«Предисловие Пособие адресовано учителю, который ведёт курс геометрии в 7—9 классах по учебнику И. Ф. Шарыгина Геометрия. 7—9 классы, содержащему 13 глав и отражающему авторскую наглядно-эмпирическую концепцию построения ...»

ИЗУЧЕНИЯ МАТЕРИАЛА

На первом уроке: в классе — пункты: параллельные прямые на плоскости, четвёртое основное свойство плоскости, признаки и свойства параллельных прямых; № и 499; дома — № 1—3В, № 497, 498 и 544 и № 1—4ДЗ.

На втором уроке: в классе — СР3; пункт: сумма углов треугольника; № 7—10ДЗ и № 484, 503; дома — № 4В, № 521, 529, 551.

На третьем уроке: в классе — СР4; № 11—23ДЗ и № 503, 504, 522; дома — № 507, 518, 527, 530, 531.

На четвёртом уроке: в классе — пункт: сумма углов n-угольника; № 519, 532, 539, 522; дома — № 5В, № 528, 534, 535, 559, 561.

2129330o3.fm Page 131 Monday, April 1, 2013 3:00 PM На пятом уроке: в классе — № 546 (а), 552—554, 565;

дома — № 545 (б), 560, 562.

ВОПРОСЫ К ДОМАШНЕМУ ЗАДАНИЮ

1. Сформулируйте четвёртое основное свойство плоскости.

2. Объясните, какие углы называют внутренними и внешними односторонними углами.

3. Объясните, какие углы называют соответственными углами.

4. Сформулируйте признаки и свойства параллельности прямых.

5. Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов треугольника.

6. Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов n-угольника.

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА №

1. Укажите два угла, каждый из которых образует с углом KLM пару односторонних углов (рис. 151).

2. Укажите два угла, каждый из которых образует с углом KLM пару накрест лежащих углов (см. рис. 151).

3. Укажите два угла, каждый из которых образует с углом KLM пару соответственных углов (см. рис. 151).

4. Внутри угла ABC, равного 38°, отмечена точка F.

Через точку F проведены прямые, параллельные сторонам угла. Найдите меньший угол с вершиной в точке F.

2129330o3.fm Page 132 Monday, April 1, 2013 3:00 PM В. Прямые n и m перпендикулярны.

1. Укажите два угла, каждый из которых образует с углом NML пару односторонних углов (см. рис. 151).

2. Укажите два угла, каждый из которых образует с углом NML пару накрест лежащих углов (см. рис. 151).

3. Укажите два угла, каждый из которых образует с углом NML пару соответственных углов (см. рис. 151).

4. Внутри угла ABC, равного 38°, отмечена точка F.

Через точку F проведены прямые, параллельные сторонам угла. Найдите больший угол с вершиной в точке F.

В. Прямые n и m перпендикулярны.

2129330o3.fm Page 133 Monday, April 1, 2013 3:00 PM

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА №

1. Определите вид треугольника, если сумма двух его углов равна третьему углу.

А. Треугольник — остроугольный.

Б. Треугольник — прямоугольный.

В. Треугольник — тупоугольный.

2. В равностороннем треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и BF, которые пересекаются в точке O.

Найдите угол AOF (рис. 154).

3. Внутри ABC отмечена точка O такая, что OA = = OB = OC. Известно, что BOC = 160°, COA = 130°.

Найдите угол BCA ABC (рис. 155).

1. Определите вид треугольника, если сумма двух его углов больше третьего угла.

А. Треугольник — остроугольный.

Б. Треугольник — прямоугольный.

В. Треугольник — тупоугольный.

2. Определите величину угла между высотами AM и CN равностороннего ABC (рис. 156).

3. В равнобедренном ABC с основанием AC проведена биссектриса AP. Найдите угол APB, если угол ABC равен 88°.

2129330o3.fm Page 134 Monday, April 1, 2013 3:00 PM

УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ УЧЕБНИКА

Основная часть задач параграфа решается устно с выполнением чертежа на доске и в тетради. № 479, 498, 519, 552.

498. Нет, не следует. Эти три прямые могут быть параллельными, а могут образовывать равнобедренный треугольник, боковые стороны которого лежат на прямых a и b (рис. 157, а и б).

504. Возьмём равносторонний треугольник со стороной, равной гипотенузе данного прямоугольного треугольника, и проведём в нём одну высоту. Она разобьёт этот треугольник на два прямоугольных треугольника, равных данному.

521. Решение задачи следует из рисунка 158.

522. Пусть ABC = (рис. 159). Тогда:

2129330o3.fm Page 135 Monday, April 1, 2013 3:00 PM ет из рисунка 160.

ABC = 36°, ACB = 72°.

угольник.

535. Чтобы построить угол, равный 60°, можно построить D (D1) равносторонний треугольник — вести высоту равностороннего Рис. треугольника — получим угол 30°; чтобы построить угол, равный 15°, можно построить бисP K угол 15°.

к стороне AC проведём высоту равен 60°, то AD1 = -- AB в силу результата № 504. Значит, точки D и D1 совпадают. Получаем BDC = 90°, DBC = 40°, DCB = 50°.

550. Заметим (рис. 163), что KAD + KDA = BKP и PEC + PCE = BPK, так как внешний угол треo3.fm Page 136 Monday, April 1, 2013 3:00 PM угольника равен сумме внутренних, с ним не смежных.

Сумма углов «звёздочки» равна = 180° – -- (ABC + ACB) = 180° – -- (180° – BAC) = 552. Так как у треугольника два внешних угла не могут быть острыми, а все указанные углы острые, значит, один из них внешний, а два других угла — внутренние.

А так как внешний угол треугольника равен сумме внутренних, с ним не смежных, то 20° + 30° = 50°. Следовательно, углы треугольника равны 20°; 30°; 130°.

553. Пусть точка K лежит на стороне AB, а точка M — на стороне BC (рис. 165). Треугольники AKP и CMP равнобедренные. Значит, APK = 90° – -- KAP.

554. Пусть точка K лежит на стороне AB, а точка M — на стороне BC (рис. 166). Нужно доказать, что треугольники MBK, MСP и KАP равнобедренные. KPM = 559. Утверждение задачи следует из того, что сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника равна 360°.

2129330o3.fm Page 137 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 560. Способ 1 (рис. 167). Из равенства треугольников BCD и BAC следует, что BD — биссектриса BAC.

Из равенства BCK и BAK следует, что BCK = = BAK = MKD. AKD — внешний угол BAK.

AKD = AKM + MKD. Отсюда AKM =.

Способ 2. Ввиду симметрии относительно BD, BAK = BCK = MKD. Значит, AKM = 180° – 561. а) Для того чтобы найти углы A1A4A5, докажите, что A2A4 = A1A2 (рис. 168).

562. Пусть BAC = x, тогда ADC = x. Внешний угол ACD при вершине C равен 2x (рис. 169). Этот угол есть половина внешнего угла C ABC. Значит, AEC = ACE = 4x, EAC = 180° – 8x. Но EAC 2129330o3.fm Page 138 Monday, April 1, 2013 3:00 PM BB1. Докажите, что PNM — равносторонний (B1N =

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

1. Докажите, что если некоторая прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает 2. На рисунке 171 1 = 2, 3 4. Определите, какие из трёх прямых c, d, e параллельны.

3. ABC — равнобедренный с основанием AC. Известно, что соответственные углы при прямых AB и KM и секущей AC равны. Докажите, что KMC — равнобедренный (рис. 172).

4. Чему равны внутренние односторонние углы при двух параллельных прямых и секущей, если один из них в два раза меньше другого.

5. Докажите, что прямая, параллельная основанию AC равнобедренного ABC, перпендикулярна его медиане BD.

6. В ABC и ABC1 проведены высоты CD и C1D1.

Докажите, что прямые CD и C1D1 параллельны или совпадают.

2129330o3.fm Page 139 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 7. Найдите неизвестный угол треугольника, если у него два других угла равны 75° и 40°.

8. Найдите углы треугольника, если они пропорциональны числам 5, 6 и 7.

9. Могут ли у треугольника быть два внешних угла прямыми?

10. Могут ли у треугольника быть два внешних угла острыми?

11. Один из углов треугольника равен 35°, а один из его внешних углов равен 100°. Найдите наибольший угол этого треугольника.

12. Наименьший угол треугольника в три раза меньше наибольшего угла и на 20° меньше среднего угла.

Найдите углы треугольника.

13. Может ли равносторонний треугольник быть прямоугольным?

14. Может ли равносторонний треугольник быть тупоугольным?

15. Найдите градусные меры внешних углов равностороннего треугольника.

16. В равностороннем треугольнике ABC проведена высота BD. Найдите углы ABD.

секает от него равносторонний треугольник DAB. Определите углы CDB (рис. 173).

стороннем треугольнике расРис. стояние от точки пересечения двух биссектрис до стороны в два раза меньше расстояния от этой же точки до вершины.

19. Найдите углы равнобедренного треугольника, если угол при вершине равен 72°.

20. Докажите, что в равнобедренном треугольнике внешние углы при основании равны.

21. Найдите углы равнобедренного треугольника, если внешний угол при основании равен 112°.

22. Докажите, что если один из внешних углов треугольника в два раза больше внутреннего не смежного с ним угла, то треугольник — равнобедренный.

23. Чему равна сумма острых углов прямоугольного треугольника?

2129330o3.fm Page 140 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 26. DF — высота прямоугольного треугольника ADB (ADB — прямой). Укажите соответственно равные углы в ADF и ADB (рис. 174).

27. Сумма углов выпуклого многоугольника в два раза меньше суммы внешних углов, взятых по одному при каждой вершине. Найдите число сторон этого многоугольника.

28. Сумма углов выпуклого многоугольника равна сумме его внешних углов, взятых по одному при каждой вершине. Найдите число сторон этого многоугольника.

29. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если все его внешние углы тупые?

30. Какое наибольшее число острых углов может быть у выпуклого многоугольника?

31. Определите вид выпуклого многоугольника, если все его внешние углы прямые.

32. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, у которого все углы равны, если сумма его внешних углов с одним из внутренних равна 468°?

33. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его внутренних углов с одним из внешних равна 2250°?

связанных с окружностью (3 ч) В параграфе рассматриваются теоремы: о вписанном угле, об угле с вершиной внутри круга (традиционное название: угол между хордами); об угле с вершиной вне круга (традиционное название: угол между секущими);

и об угле между хордой и касательной. Кроме того, вводится понятие «центральный угол в окружности» и устанавливается соотношение между центральным углом и дугой окружности, соответствующей этому углу.

2129330o3.fm Page 141 Monday, April 1, 2013 3:00 PM При изучении § 5.2 учащиеся должны достичь следующих предметных результатов:

— изображать, обозначать и распознавать на чертежах и рисунках вписанные углы, углы с вершиной внутри круга, углы с вершиной вне круга, углы между хордой и касательной, центральный угол в окружности;

— формулировать, иллюстрировать и доказывать теоремы о вписанных углах, углах с вершиной внутри круга, углах с вершиной вне круга, углах между хордой и касательной;

— решать задачи, применяя: теоремы о вписанных углах, углах с вершиной внутри круга, углах с вершиной вне круга, углах между хордой и касательной.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

К ИЗУЧЕНИЮ МАТЕРИАЛА

1 Понятие «центральный угол» вводится с опорой на рисунок 175. При этом следует на рисунке выделить ту часть окружности, которая соответствует данному углу. Необходимо заметить, что теперь рассматриваемые углы могут быть больше 180°. На закрепление понятия выполнить у п р а ж н е н и я по готовым чертежам на плакате.

1. Каждая из окружностей разделена на равные части. Найдите градусную меру центральных углов, отмеченных на рисунке 176.

2. Найдите градусную меру дуг окружностей, соответствующих углам, отмеченным на рисунке 177.

2129330o3.fm Page 142 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 3. Найдите градусную меру углов,,,, и (рис. 178).

Устное обсуждение решения № 577 на уроке поможет учащимся решить № 578 дома (полезно прокомментировать его на уроке, объяснив, что фраза «постройте одним циркулем» значит — при построении не используется линейка).

2 Рассмотрение теоремы об измерении вписанного угла можно провести в форме беседы, в ходе которой последовательно решить з а д а ч и.

1. Угол ABC — вписанный, причём BC — диаметр. Выразите ABC через AOC (рис. 220У).

2. Угол ABC — вписанный. Выразите ABC через AOC (рис. 221У).

3. Угол ABC — вписанный. Выразите ABC через AOC (рис. 222У).

Обсуждение решения этих задач позволяет сделать следующее о б о б щ е н и е. Рассмотрены все возможные случаи расположения центра окружности относительно сторон вписанного угла: на стороне угла, внутри угла, вне угла — и во всех случаях вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла и измеряется половиной дуги окружности, на которую он опирается. После этого сформулировать теорему 5.3.

3 При решении задач очень важно, чтобы учащиеся умели на наглядном уровне находить вписанный угол и соответствующий ему центральный, и наоборот. Поэтому полезно выполнить следующие у п р а ж н е н и я.

1. Нарисуйте несколько вписанных углов, соответствующих данному центральному углу (рис. 179).

2129330o3.fm Page 143 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 2. Нарисуйте центральный угол, соответствующий данному вписанному углу (рис. 180).

3. В соответствующей окружности нарисуйте угол, равный:

Затем решить № 572 и № 2ДЗ, рассмотреть № 20Т и обратить внимание учащихся на вывод решения.

4 Рассмотрение теорем об измерении угла с вершиной внутри круга (теорема 5.5), угла с вершиной вне круга (теорема 5.6), угла между хордой и касательной (теорема 5.7) можно провести в форме беседы, в ходе которой последовательно решить з а д а ч и.

1. Докажите, что градусная мера угла, вершина которого лежит внутри окружности, равна полусумме градусных мер дуг, из которых одна заключена между его сторонами, а другая между продолжениями сторон.

2. Докажите, что градусная мера угла, вершина которого лежит вне окружности, равна полуразности градусных мер дуг, заключённых между его сторонами.

3. Докажите, что градусная мера угла, образованного касательной и хордой, равна половине градусной меры дуги, заключённой внутри него.

5 Проверку домашнего задания по темам измерение углов, связанных с окружностью, можно провести в форме самостоятельной работы, которая содержит три задачи со свободным ответом.

2129330o3.fm Page 144 Monday, April 1, 2013 3:00 PM

ПРИМЕРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕРИАЛА

На первом уроке: в классе — пункты: центральный угол в окружности, вписанный угол, измерение вписанного угла; № 2ДЗ и № 572, 577; дома — № 1—5В, № 568, На втором уроке: в классе — пункты: угол с вершиной внутри круга, угол с вершиной вне круга, угол между хордой и касательной; № 579, 580 и 581; дома — На третьем уроке: в классе — СР5; № 584, 585 и 587; дома — № 570, 571, 576 и № 391, 396.

ВОПРОСЫ К ДОМАШНЕМУ ЗАДАНИЮ

1. Объясните, что такое центральный угол в окружности.

2. Объясните, как измеряется центральный угол в окружности.

3. Сформулируйте определение вписанного угла.

4. Сформулируйте и докажите теорему 5.3 об измерении вписанного угла.

5. Сформулируйте и докажите теорему 5.4 об измерении вписанного угла, опирающегося на диаметр окружности.

6. Сформулируйте и докажите теорему 5.5 об измерении угла с вершиной внутри круга.

7. Сформулируйте и докажите теорему 5.6 об измерении угла с вершиной вне круга.

8. Сформулируйте и докажите теорему 5.7 об измерении угла между хордой и касательной.

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА №

1. Центральный угол на 75° больше вписанного, опирающегося на ту же дугу. Определите, чему равна градусная мера дуги, на которую опирается вписанный 2. Точки A, B и C делят окружность на три части так, что AB : BC : AC = 3 : 7 : 8 (рис. 182). Найдите градусную меру большего угла ABC.

2129330o3.fm Page 145 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 3. Вершины четырёхугольника ABCD (рис. 183) лежат на окружности и разбивают её на четыре дуги, градусные меры которых равны 56°, 74°, 97° и 133°. Найдите градусную меру меньшего угла четырёхугольника.

1. Хорда разбивает окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как 4 : 5 (рис. 184). Под каким углом видна эта хорда из точек большей дуги?

2. Точки A, B и C делят окружность на три части так, что AB : BC : AC = 3 : 4 : 5 (см. рис. 182). Найдите градусную меру большего угла ABC.

3. В окружность с центром в точке O вписан четырёхугольник ABCD. Найдите больший угол этого четырёхугольника, если AOB = 40°, BOC = 50°, COD = 60° (см. рис. 183).

УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ УЧЕБНИКА

Основная часть задач решается устно с выполнением чертежа на доске и в тетради. № 568, 569, 574, 576, 580 и 581.

572. Если точка O — центр окружности, то AOC = = 60°, AOC — равносторонний.

577. В результате данного построения на каждом его шаге получаем равносторонний треугольник. Всего таких треугольников будет шесть, так как сумма углов при вершинах треугольников, лежащих против хорд, составo3.fm Page 146 Monday, April 1, 2013 3:00 PM ляет центральный угол, которому соответствует вся окружность. Отсюда следует утверждение задачи.

578. Построим окружность радиуса AB. Построим на ней последовательность четырёх точек: первая точка берётся произвольно, а начиная со второй, каждая следующая удалена от предыдущей на расстояние, равное радиусу окружности. Расстояние между первой и четвёртой точками равно 2AB. Доказательство аналогично 579. Дуга, на которую опирается AMB, равна 280°(рис. 185), значит, AMB = 140°.

580. Способ 1. Пусть ACD = x, тогда BCA = = 102° – x, ABD = ACD = x, CBD = 72°. Имеем BCM + CBM + BMC = (102° – x) + (72° – x) + + 110° = 180°, откуда x = 52°.

+ AD) = 568°. 2AD + 360° = 568°. AD = 104°, значит, ACD = 52° (рис. 186).

581. Обозначим градусную меру дуг AB, BC, CD и DA соответственно x1, x2, x3 и x4 (рис. 187). Тогда x2 – x4 = 40°, по условию задачи и в силу теоремы об измерении угла с вершиной вне круга. x2 + x4 = 200°, по условию задачи и в силу теоремы об измерении угла с вершиной внутри круга. x1 – x3 = 80°, по условию задачи и в силу теоремы об измерении угла с вершиной вне круга. x1 + x3 = 160°, по условию задачи и в силу теоремы об измерении угла с вершиной внутри круга.

Отсюда x1 = 120°, x2 = 120°, x3 = 40°, x4 = 80°. По теореме об измерении вписанного угла DAB = -- (120° + 2129330o3.fm Page 147 Monday, April 1, 2013 3:00 PM + 40°) = 80°, так как опирается на дугу BD, равную сумме дуг BC и DC, ABC = -- (40° + 80°) = 60°, так как опирается на дугу CA, равную сумме дуг DC и AD, BCD = -- (120° + 80°) = 100°, так как опирается на дугу DB, равную сумме дуг AB и AD, ADC = -- (120° + сумме дуг AB и BC.

582. В первом случае сумма углов равна 180°, так как сумма дуг, на которую опираются данные углы, составляет полную окружность. Во втором — 540°, так как сумма дуг, на которую опираются данные углы, составляет три полных окружности.

584. Продолжим AM и BM за точку M до пересечения с окружностью в точках A1 и B1 (рис. 188). Дуга A1B симметрична дуге AB относительно диаметра. Поскольку AMB измеряется полусуммой равных дуг AB и A1B1, то он измеряется каждой из этих дуг, т. е. равен центральному углу AOB.

585. Пусть меньшая дуга AC = x, тогда большая AC = = 360° – x. ABC = -- (360° – x – x) = 120°, отсюда утверждением задачи № 572 (рис. 189).

586. Решение задачи понятно из рисунка 190. Так как общая точка лежит на линии центров, то радиусы, проведённые в точку касания в каждой из окружностей, лежат на одной прямой. А значит, углы OAB и O1AC вертикальные.

2129330o3.fm Page 148 Monday, April 1, 2013 3:00 PM KAC + KBD = 180°, что означает параллельность AC и BD. Разберите другие случаи взаимного расположения

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

1. Окружность разделена на две дуги, причём градусная мера одной из них в три раза больше градусной меры другой. Чему равны соответствующие этим дугам центральные углы?

ресекаются под углом 30°. Как определить, является ли (mn) вписанным в окружность, часть которой представлена на рисунке, а остальная часть 3. На диаметре окружности построен равносторонний треугольник.

торые стороны треугольника делят полуокружность.

4. Из точки полуокружности проведены к концам диаметра две хорды. Одна из них равна 17 см и образует с диаметром угол, равный 45°. Найдите длину второй и геометрические места точек (3 ч) Содержание параграфа за исключением пункта «Существование окружности, проходящей через три точки.

Описанная окружность» составляет материал, не традиционный для курса планиметрии.

«Планируемые результаты обучения основного общего образования» в требованиях к геометрической 2129330o3.fm Page 149 Monday, April 1, 2013 3:00 PM подготовке учащихся требования к уровню изучения данного материала формулируются следующим образом: «Выпускник получит возможность научиться решать задачи на построение методом геометрического места точек». Тема должна быть изложена на уроке, однако как организовать контроль за усвоением данного материала и в каком объёме требовать от учащихся воспроизведения учебного материала, решать учителю.

Основная цель такого урока — познакомить учащихся с примерами решения задач на построение методом геометрических мест точек. Предлагаемая учебником система задач на построение позволяет объединить теоретические и практические аспекты курса, способствует установлению новых связей между отдельными частями учебного материала, активизирует процесс обучения и повышает к нему интерес ученика.

При изучении § 5.3 учащиеся должны достичь следующих предметных результатов:

— изображать, обозначать и распознавать на чертежах и рисунках окружность, описанную около треугольника;

— формулировать и объяснять определение окружности, описанной около треугольника, формулировку теоремы об окружности, проходящей через три точки;

— доказывать теорему об окружности, проходящей через три точки;

— решать задачи с использованием определений окружности, описанной около треугольника, и теоремы об окружности, проходящей через три точки;

— иллюстрировать и объяснять метод геометрического места точек на примерах решения задач на построение.

Учащиеся получат возможность научиться решать задачи на построение методом геометрического места точек; ознакомиться с признаками принадлежности четырёх точек окружности.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

К ИЗУЧЕНИЮ МАТЕРИАЛА

1 Решение задач «построение перпендикуляра к прямой», и «построение касательной» уже было рассмотрено в курсе 7 класса (задачи № 396 и 401 § 4.2), поэтому можно предложить учащимся самостоятельно разобрать решения, приведённые в тексте параграфа.

2129330o3.fm Page 150 Monday, April 1, 2013 3:00 PM Затем в ходе беседы сравнить их с ранее предложенными решениями с помощью в о п р о с о в.

1. На чём основывается «построение перпендикуляра к прямой» в Задаче 1 (§ 4.2)?

2. На чём основывается «построение перпендикуляра к прямой» в Задаче 1 (§ 5.3)?

3. На чём основывается «построение касательной» в Задаче 6 (§ 4.2)?

4. На чём основывается «построение касательной» в Задаче 2 (§ 5.3)?

Устно решить № 1ДЗ и затем решить № 605 и 613 устно с выполнением чертежа на доске и в тетрадях. При обсуждении условия № 1ДЗ обратить внимание на вопрос задачи: «Найдите геометрическое место точек плоскости, из которых эти отрезки видны под равными углами». Это значит, что из каждой точки, принадлежащей искомому геометрическому месту точек, отрезки видны под равными углами, хотя для разных точек эти углы не обязательно равны.

2 Формулируя теорему 5.8, обратить внимание учащихся на то, что в ней содержится два утверждения: существование окружности (через любые три точки плоскости, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность) и её единственность (единственную окружность). Доказательство теоремы лучше провести учителю с минимальным участием школьников.

После введения определения окружности, описанной около треугольника, полезно обратить внимание учащихся на то, что в ходе доказательства теоремы 5. определяется способ построения окружности, проходящей через любые три точки плоскости, не лежащие на одной прямой, т. е. способ построения описанной около треугольника окружности. При этом следует заметить, что точка пересечения серединных перпендикуляров является центром окружности, описанной около треугольника, и равноудалена от его вершин. На непосредственное применение свойств окружности, описанной около треугольника, устно № 2—3ДЗ.

3 Так как доказательство теоремы 5.9 и решение Задачи 3 достаточно трудны для восприятия учащихся, то лучше провести их полностью учителю. Включение 2129330o3.fm Page 151 Monday, April 1, 2013 3:00 PM учащихся в фронтальную работу при разборе данных утверждений может привести не только к значительным потерям времени, но и к тому, что от школьников ускользнёт основная идея и логическая последовательность рассуждений.

Затем решить устно с выполнением чертежа на доске и в тетрадях № 611, а после решения Задачи 3 — № 602.

4 Метод ГМТ уже обсуждался в 7 классе при решении задач на построение. Поэтому пункт «Метод геометрических мест в задачах на построение» вполне доступен учащимся в качестве домашнего задания или самостоятельной работы с учебником на уроке с последующим обсуждением. № 26—36Т разного уровня сложности можно использовать для дифференцированной работы в классе и в качестве домашнего задания.

5 В № 606 необходимо рассмотреть несколько случаев различного расположения данных отрезков и их длины, решение следует организовать в форме беседы, сопровождая серией рисунков, иллюстрирующих решение. При обсуждении условия задачи следует обратить внимание учащихся на вопрос задачи: «Может ли искомое геометрическое место содержать более четырёх точек?» Это значит, что достаточно привести хотя бы один пример, когда число точек, принадлежащих искомому геометрическому месту точек, будет больше четырёх.

ПРИМЕРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕРИАЛА

На первом уроке: в классе — пункты: построение перпендикуляра к прямой, построение касательной, существование окружности, проходящей через три точки, описанная окружность; № 1—2ДЗ, № 605, 613; дома — № 1—2В, № 600, 601 и 604.

На втором уроке: в классе — пункты: четыре точки на одной окружности; дуга, вмещающая данный угол;

№ 602 и 611; дома — № 3—5В; пункт «Метод геометрических мест в задачах на построение» для самостоятельной работы; № 607, 608.

На третьем уроке: в классе — СР6; № 606, и 612; дома — № 603, 610.

2129330o3.fm Page 152 Monday, April 1, 2013 3:00 PM

ВОПРОСЫ К ДОМАШНЕМУ ЗАДАНИЮ

1. Сформулируйте и докажите теорему 5.8 о существовании окружности, проходящей через любые три точки плоскости.

2. Сформулируйте определение окружности, описанной около треугольника.

3. Сформулируйте и докажите теорему 5.9.

4. Сформулируйте и докажите теорему 5.10.

5. Объясните, как построить дугу, вмещающую данный

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА №

1. Определите, как расположен центр описанной около треугольника окружности, если его углы относятся, как 1 : 2 : 3.

2. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и радиусу описанной окружности.

1. Определите, как расположен центр описанной около треугольника окружности, если его углы относятся, как 3 : 4 : 5.

2. Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной на одну из них.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ УЧЕБНИКА

Основная часть задач параграфа решается устно с выполнением чертежа на доске и в тетради.

600. Внутренняя часть круга с диаметром AB.

601. Продолжим в искомом треугольнике медиану на расстояние, равное ей. Задача сводится к построению как на диаметре окружность. Искомое геометрическое место состоит 2129330o3.fm Page 153 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 603. Пусть ABC искомый, в котором известны углы B = и C = и медиана AD к стороне BC (рис. 194, а). На продолжении AD за точку D возьмём точку A1 так, что DA1 = AD (рис. 194, б). В AA1B знаем AA1 и углы ABD = и A1BD = ACB =. Точку B можно построить как пересечение двух дуг, построенных на AD и DA1 и соответствующих B и C (рис. 194, в). Затем построим искомый треугольник (рис. 194, г и д).

604. Окружность, концентрическая данной.

605. Серединный перпендикуляр к отрезку с концами в крайних точках данных отрезков.

606. Искомое геометрическое место может содержать более четырёх точек. Например, на рисунке искомое геометрическое место точек состоит из шести точек. Более того, это геометрическое место может содержать ной окружности, которым соответствуют центральные углы, равные 2•20° = 40° и 2•30° = 60°.

607. Даны два отрезка a и ma, один из которых равен стороне треугольника a, Рис. 2129330o3.fm Page 154 Monday, April 1, 2013 3:00 PM а другой — медиане ma, проведённой к этой стороне, и угол, равный противолежащему данной стороне углу треугольника. Построим отрезок AB = a (рис. 196).

Вершина C искомого треугольника должна находиться, с одной стороны, на дуге, радиус которой равен ma, а центром является середина отрезка AB, с другой — на дуге с концами A и B, вмещающей данный угол.

Построив эти две дуги, мы найдём точку C как точку пересечения двух дуг. Таких точек может быть две. И им соответствуют два равных треугольника. В случае касания треугольник — один. Построенные дуги могут и не пересекаться. В этом случае задача не имеет решения.

608. Даны три отрезка a, ma и ha, один из которых равен стороне треугольника, другой — медиане ma, проведённой к этой стороне, а третий — высоте, опущенной на эту сторону. Построим отрезок AB = a (рис. 197).

Вершина C искомого треугольника должна находиться, с одной стороны, на дуге, радиус которой равен ma, а центром является середина отрезка AB, с другой — на прямой, параллельной AB, проходящей на расстоянии ha от AB. Построив эти прямую и дугу, найдём точку C как точку пересечения прямой и окружности. Таких точек может быть две, им соответствуют два равных треугольника. В случае касания такой треугольник один. Построенные прямая и дуга могут и не пересекаться. В этом случае задача не имеет решения.

609. Так как для любой точки B, принадлежащей искомому геометрическому месту точек, ABC — прямоугольный (BAC = 90°), то его гипотенуза BC равна 2AK. Точки A и K — фиксированы, значит, и длина отрезка BC постоянна. Отсюда следует, что искомое геоo3.fm Page 155 Monday, April 1, 2013 3:00 PM метрическое место есть окружность с центром в K и радиусом AK (рис. 198).

610. Пусть O — точка пересечения прямых, точки A и B — концы отрезка, точка K — середина отрезка AB.

Так как длина отрезка AB — постоянна, значит, и длина отрезка AK — постоянна, поскольку AK — медиана прямоугольного треугольника ABO. В силу того, что «окружность есть геометрическое место точек, равноудалённых от данной точки», середина отрезка AB описывает окружность с центром в точке пересечения прямых и радиусом, равным половине отрезка (рис. 199).

местом является окружность. Докажем это. Рассмотрим два поло- C жения точек C, D, C1 и D1, C2 и D (рис. 200). Им соответствуют точки то AM1B = +. Тогда AM2B = = ( – ) –. Значит, точки A, B, M1 и M2 лежат на одной окружности, которая делится хордой AB на дуги, равные 2( + ) 612. Рассмотрим случай, когда отрезок AB пересекает прямую l. Обозначим точку пересечения через C.

Найдутся две окружности, проходящие через A и B и касающиеся прямой l. Точки касания M1 и M2 расположены по разные стороны от точки C (рис. 201). Для любой точки M0, лежащей на прямой l с той же стороны, что 2129330o3.fm Page 156 Monday, April 1, 2013 3:00 PM Рис. 201 точки K1, L1 и M1, симметричные им относительно A. Проведём окружность через точки K, L и M и построим касательные к этой окружности, проходящие через точку A. Эти касательные будут касаться и данной окружности.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

1. В равнобедренном треугольнике ABC на основании CB от вершин отложены равные отрезки CD и BF.

Докажите, что CAD = BAF.

2. Докажите, что центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника, лежит на медиане, проведённой к основанию.

3. Найдите углы треугольника, если из центра описанной окружности его стороны видны под углами 100°, 4. На окружности отмечены точки A, B, C и D. Известно, что дуги AB, BC и CD равны 80°, 110° и 70° соответственно. Чему равен угол между прямыми AC и BD?

(Укажите все возможности.) 5.4. Метод вспомогательной окружности.

Задачи на вычисление и доказательство (3 ч) Содержание § 5.4 за исключением пунктов «Теорема о высотах. Первое доказательство» и «Вписанная окружность треугольника» составляет материал, не традиционный для курса планиметрии. Так как одной из основных задач данного курса геометрии является задача обучения школьников методам решения геометрических задач, то в учебнике довольно часто встречаются одни и те же задачи, решаемые разными методами.

2129330o3.fm Page 157 Monday, April 1, 2013 3:00 PM В параграфе такой задачей является «Теорема о высотах.

Первое доказательство». Здесь, как заявлено, даётся первое доказательство, далее эта теорема, представленная здесь как задача, будет доказана с помощью других методов.

При изучении § 5.4 учащиеся должны достичь следующих предметных результатов:

— изображать, обозначать и распознавать на чертежах и рисунках окружность, вписанную в треугольник;

— формулировать и объяснять определение окружности, вписанной в треугольник, формулировку теоремы о существовании окружности, вписанной в треугольник;

— доказывать теорему о существовании окружности, вписанной в треугольник;

— решать задачи с использованием определения окружности, вписанной в треугольник, и теоремы о существовании окружности, вписанной в треугольник;

— иллюстрировать и объяснять метод геометрического места точек на примерах решения задач на построение.

Учащиеся получат возможность научиться решать задачи на вычисление и доказательство методом вспомогательной окружности.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

К ИЗУЧЕНИЮ МАТЕРИАЛА

1 В решении Задачи 1 утверждается, что «точки O, M, A, B и C согласно теореме 5.10 лежат на одной окружности с диаметром OM». Однако в условии теоремы рассматриваются не пять, а четыре точки. Поэтому формально следует заметить, что теорема 5.10 применяется последовательно сначала — к точкам O, M, A и B, а затем к точкам O, M, A и C. После этого следует сослаться на единственность окружности, проходящей через любые три точки плоскости, не лежащие на одной прямой (точки O, M, A — общие для обеих окружностей).

Для того чтобы учащиеся лучше усвоили метод вспомогательной окружности, полезно кратко записать ход значит, по теореме 5.10 точки O, M, A и B лежат на одной окружности с диаметром OM (рис. 242У).

значит, по теореме 5.10 точки O, M, C и B лежат на одной окружности с диаметром OM.

2129330o3.fm Page 158 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 3. Точки O, M, B — общие для обеих окружностей, тогда по теореме 5.8 окружности, полученные в пунктах 1 и 2, являются одной окружностью, на которой лежат точки O, M, A, B 4. ABC = AOC, так как они опираются на общую хорду AC окружности с диаметром OM. Значит, ABC = 60°.

5. Аналогично доказывается, что ACB = AOB = 60°.

6. ACB — равносторонний треугольник.

Вообще, можно было бы и не ссылаться на теорему 5.10: то, что точки A, B и C лежат на окружности с диаметром OM, следует из того, что все углы OAM, 2 При решении Задачи 2 полезно производить дополнительные построения на чертеже или воспользоваться заранее заготовленными рисунками (рис. 202).

На рисунке 202, а отражено условие задачи.

Как и в случае решения Задачи 1, для того, чтобы учащиеся лучше усвоили метод вспомогательной окружности, полезно записать п л а н решения.

1. A1C1C = A1AC, как опирающиеся на общую дугу A1C, что следует из того, что в силу теоремы 5.10 точки A, C, A1 и C лежат на окружности с диаметром AC (рис. 202, б).

2. A1BH = A1C1H, как опирающиеся на общую дугу A1H, что следует из того, что в силу теоремы 5.10 точки B, H, A1 и C1 лежат на окружности с диаметром BH (рис. 202, в).

3. В A1C1C и CBB1: A1C1C = CBB1, C — общий для обоих треугольников. Значит, AA1C = BBC1 = 90°.

C AC AC A

2129330o3.fm Page 159 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 3 Рекомендуется разобрать решения Задачи 1 и на одном уроке, и при подведении итогов следует сообщить учащимся, что метод вспомогательной окружности основывается на теоремах 5.9 и 5.10. При применении метода вспомогательной окружности устанавливается факт принадлежности точек некоторой окружности, что в дальнейшем ходе решения позволяет воспользоваться свойствами окружности.

4 Метод решения Задачи 3 уже обсуждался в 7 классе при решении № 443 и 444 § 4.5, он основывается на известном учащимся факте: «касательные к окружности, выходящие из одной точки, равны».

5 Формулируя теорему 5.11, следует обратить внимание учащихся на то, что в ней содержатся два утверждения: существование окружности (у каждого треугольника существует вписанная окружность) и её единственность (единственная вписанная окружность). Затем обратить внимание учащихся на то, что в ходе доказательства теоремы 5.11 указывается способ построения окружности, вписанной в данный треугольник. При этом точка пересечения биссектрис является центром окружности, вписанной в треугольник, и равноудалена от его сторон.

На применение свойств окружности, вписанной в треугольник, устно решить задачи № 1—3ДЗ или подобрать задачи из № 614—620. Следует обратить внимание на № 619, в котором сформулировано полезное свойство равностороннего треугольника.

6 Полезно при задании домашней работы комментировать условия задач, объясняя, какой из изученных методов используется при их решении. Следует также учитывать, что задачи 634—637 очень трудоёмки, поэтому часть из них можно оставить для решения на резервном уроке или в конце учебного года при повторении.

При решении № 647 напомнить учащимся, что если при решении № 578 построение проводилось одним циркулем, то в данной задаче, наоборот, следует пользоваться только линейкой без применения циркуля.

2129330o3.fm Page 160 Monday, April 1, 2013 3:00 PM

ПРИМЕРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕРИАЛА

На первом уроке: в классе — пункты: метод вспомогательной окружности, теорема о высотах; № 625 и 626;

дома — повторить решение Задач 1 и 2, № 621, 622, На втором уроке: в классе — пункты: окружности и касательные, вписанная окружность треугольника;

№ 640 и 645; дома — № 1—4В; № 634 (а), 635, 636 и На третьем уроке: в классе — № 627, 639, 644 и 646;

дома — № 634 (б), 637 (б), 638.

ВОПРОСЫ К ДОМАШНЕМУ ЗАДАНИЮ

1. Объясните, что такое общая внешняя касательная к двум окружностям.

2. Объясните, что такое общая внутренняя касательная к двум окружностям.

3. Объясните, что такое вписанная окружность треугольника.

4. Сформулируйте и докажите теорему о вписанной окружности треугольника.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ УЧЕБНИКА

622. Так как ABC = ABD + DBC, значит, = ACD и точки B и C лежат по одну сторону от прямой AD, следовательно, по теореме 5.9 точки A, B, C и D лежат на одной окружности. DAC = DBC = 44°, так как опираются на одну дугу AD.

623. Так как OAM = OBM = 90°, следовательно, по теореме 5.10 точки A, B, O и M лежат на одной окружности с диаметром OM. Отсюда, используя теоремы о измерении углов, связанных с окружностью, находим 624. Так как OAM = OBM = 90°, значит, по теореме 5.10 точки O, M, A и B лежат на одной окружности с диаметром OM. Середина отрезка OM — точка P — центр этой окружности. PAB — равнобедренный, PA = PB, значит, медиана, проведённая из вершины 2129330o3.fm Page 161 Monday, April 1, 2013 3:00 PM равнобедренного треугольника к основанию AB, перпендикулярна AB.

625. AB = 1. См. решение № 626.

626. Пусть величина данного угла равна, радиус окружности равен R, A и B — основания перпендикуляров, опущенных из M на стороны угла. В силу теоремы 5.10 точки O, M, A и B лежат на одной окружности с постоянным диаметром OM = R. В этой окружности угол, опирающийся на AB, равен или 180° –.

Значит, величина AB — постоянна. На рисунке 203 показаны два возможных положения точки M: M1 и M2.

627. Точки A, A1, C и C1 лежат на одной окружности с диаметром AC. Если ABC — остроугольный (рис. 204), то CAC1 + C1A1C = 180° (сумма углов измеряется половиной окружности). Значит, C1A1B = = 180° – C1A1C =. Аналогично найдём A1C1B =.

В случае, когда ABC — тупоугольный, проводятся те же рассуждения.

630, 631, 632. Решение проводится методом, описанным в № 235.

634. а) и б). Пусть точка K — точка касания с прямой AC окружности, вписанной в ABC, а точка M — точка касания с прямой AC окружности, вписанной в ADC A (рис. 205). В соответствии с формулой, полученной при 2129330o3.fm Page 162 Monday, April 1, 2013 3:00 PM AK = -- (AB + AC – BC), AM = -- (AC + AD – DC). Значит, KM = -- (BC + AD – AB – DC).

635. Пусть ABCDE — данный пятиугольник и AE = = 5. Обозначим касательные, выходящие из вершины A, через x. «Обойдём» пятиугольник, выражая последовательно длины касательных, проведённых соответственно из вершин, через x: B (равны 6 – x), C (равны 7 – (6 – – (7 – x) = 2 + x). Получаем, что сторона AE точкой касания делится на отрезки x и 2 + x. Из уравнения x + 636. Рассуждая так же, как и при решении задачи 635, получим, что сторона 4 разделена на отрезки x и 4 + x, т. е. x = 0, что невозможно.

638. Для первой семиконечной звезды она равна 180°, а для второй 540°. Для доказательства построим большую окружность, внутри которой содержится наша звезда. Продолжим стороны каждого угла в обе стороны до пересечения с окружностью. Каждый угол измеряется полусуммой соответствующих дуг. Для первой звезды в сумму всех её углов каждая дуга окружности с коэффициентом -- войдёт ровно один раз. Значит, сумма углов в первом случае равна 180°. Во втором случае каждая 2129330o3.fm Page 163 Monday, April 1, 2013 3:00 PM трижды. Сумма будет равна -- (3•360°) = 540°.

меньшей окружности с D — точкой касания и O — центр кой E — серединой дуги BC (рис. 207). Точки A, O1 и O расРис. положены на одной прямой — линии центров. Кроме того, O1D BC, как радиус, проведённый в точку касания, и OE BC, как радиус, проходящий через середину хорды. Значит, O1D || OE и AO1D = AOE, как соответственные. Так как AO1D и AOE равнобедренные, у которых равны углы при вершинах O1 и O. Отсюда следует, что O1AD = OAE, т. е. точки A, D и E лежат на одной прямой.

640. В ABC угол ACB равен 60°. Продолжим AM и BM до пересечения со сторонами треугольника BC (точка K) и AC (точка N) соответственно. Имеем AKC = 180° – KAC – ACK = 180° – 30° – 60° = 90°.

Точно также BNC = 90°, т. е. M — точка пересечения высот треугольника ABC. Отсюда MBC = 20°.

644. Как мы знаем (глава 4 § 4.3), наименьшее значение суммы B1M + C1M достигается для такой (единственной) точки M0 на прямой BC, для которой B1M0C = C1M0B. Докажем, что это равенство выполняется, если M0 — основание A1 высоты, опущенной из A (рис. 208). Точки B, A, B1 и A1 лежат на окружносB 2129330o3.fm Page 164 Monday, April 1, 2013 3:00 PM ти с диаметром AB. Из этого следует, что B1A1C = = A (A + BA1B1 = 180° и BA1B1 + B1A1C = 180°).

Точно так же получим, что C1A1B = A.

645. См. решение предыдущей задачи.

648. Заметим, что точки E, D, M и N лежат на одной окружности (в случае, изображённом на рисунке 209, это следует из равенства END = EMD). Значит, NME = NDE = FDE = FCE. Это доказывает параллельность NM и FC.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

1. Докажите, что центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, лежит на высоте, проведённой к основанию.

2. Докажите, что в равностороннем треугольнике высота треугольника равна трём радиусам вписанной окружности.

3. Два угла треугольника равны 80° и 70°. Под каким углом видна каждая его сторона из центра вписанной в него окружности?

4. Определите вид треугольника, если центр вписанной в него окружности совпадает с центром, описанной около него окружности.

2. Угол между диаметром AB и хордой AC окружности равен 60°. Через точку C проведена касательная к окружности, которая пересекает прямую AB в точке D.

Определите вид треугольника ACD.

А. Равнобедренный.

Б. Равносторонний.

В. Разносторонний.

2129330o3.fm Page 165 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 3. Две окружности касаются в точке D. Угол между диаметром FD и хордой FE меньшей окружности равен 20°. Найдите градусную меру угла (рис. 211).

4. Внутри прямоугольного треугольника ABC (C — прямой) отмечена точка D такая, что CAD = CBD = = 15°. Найдите угол ADB (рис. 212).

5. Центр описанной около треугольника окружности лежит на его медиане. Докажите, что этот треугольник либо равнобедренный, либо прямоугольный.

6. Окружность с центром в точке O описана около четырёхугольника ABCD, стороны BC и AD которого параллельны. Докажите, что точка O лежит на прямой, проходящей через середины сторон AB и CD.

Определите, какие из трёх прямых c, d, e параллельны (рис. 213).

2. Угол между диаметром AB и хордой AC окружности равен 70°. Через точку C проведена касательная к окружности, которая пересекает прямую AB в точке D.

Определите вид треугольника ACD.

А. Равнобедренный.

Б. Равносторонний.

В. Разносторонний.

2129330o3.fm Page 166 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 3. Две окружности касаются внутренним образом в точке C (рис. 214). Линия центров AC проходит через точку касания C и образует с хордой FE AFE, равный 150°. Найдите градусную меру угла.

4. В ABC угол BAC равен 64° (рис. 215). Биссектрисы углов ABC и ACB пересекаются в точке D. Найдите CDB.

5. Докажите, что если треугольник — равнобедренный, то центр вписанной в этот треугольник окружности и центр описанной около этого треугольника окружности лежат на серединном перпендикуляре к основанию треугольника.

6. Две окружности касаются внешним образом в точке M, через которую проходит общая касательная. Прямая AB касается одной окружности в точке A, а другой окружности в точке B. Докажите, что точка M лежит на окружности с диаметром AB.

Содержание главы составляют признаки и свойства четырёхугольников и теоремы о подобии треугольников. Как правило, эти темы в других курсах геометрии отстоят друг от друга достаточно далеко по времени, часто даже в разных классах. При этом содержание глаo3.fm Page 167 Monday, April 1, 2013 3:00 PM вы составляет материал, традиционный для любого курса планиметрии: четырёхугольники, пропорциональные отрезки, теорема Фалеса, подобие треугольников, признаки подобия треугольников. С помощью теоремы Фалеса доказываются важные свойства треугольника и трапеции: теоремы о средней линии треугольника и о средней линии трапеции.

Усвоение учащимися свойств и признаков изучаемых четырёхугольников, признаков подобия треугольников и формирование умения их применения являются одной из основных задач этой главы. Сведения о четырёхугольниках и подобие фигур широко применяются при изучении последующих разделов курса, а также в курсе стереометрии. Поэтому значительное внимание при изучении данной главы должно быть уделено решению задач, в ходе которых отрабатываются умения их применения, как в дальнейшем изучении математики, так и в практической деятельности.

В главе приведено большое количество задач, что даёт возможность учителю при планировании урока подбирать задачи, учитывая уровень подготовки класса. Часть задач можно использовать позднее при подготовке к контрольным работам, как тематическим, так и итоговой. Основная часть этих задач может быть решена устно с выполнением чертежа.

В планировании указано минимальное количество уроков, рекомендуемых для каждого фрагмента теоретического материала темы, и указан большой резерв времени. Это позволяет учителю скорректировать планирование в зависимости от уровня подготовки класса.

При изучении главы 6 ученики должны достичь следующих предметных результатов:

— распознавать на чертежах и изображать на чертежах и рисунках параллелограммы, прямоугольники, ромбы, трапеции, средние линии треугольников и трапеции;

— выделять в конфигурации, данной в условии задачи, подобные треугольники;

— иллюстрировать и объяснять основные свойства и признаки четырёхугольников, формулировки: теоремы Фалеса, теоремы о пропорциональных отрезках, теоремы о средней линии треугольника, теоремы о средней линии трапеции;

признаков подобия треугольников;

— объяснять понятие подобия;

— применять при решении задач на вычисление и доказательство определения, свойства и признаки четырёхугольниo3.fm Page 168 Monday, April 1, 2013 3:00 PM ков; теорему Ферма и теорему о пропорциональных отрезках;

теоремы о средней линии треугольника и о средней линии трапеции; алгебраический аппарат; признаки подобия треугольников;

— применять при решении задач на построение понятие подобия.

6.1. Параллелограмм, прямоугольник, Учебный материал параграфа группируется вокруг четырёхугольников, при этом доказательство почти всех теорем, а также решения многих задач ведётся с использованием признаков равенства треугольников. Так же активно применяются свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, и признаки параллельности прямых, теорема о сумме углов треугольника.

Исходя из авторской концепции в теоретической части параграфа, как, впрочем, и в теоретической части всего учебника, рассматриваются только те свойства изучаемых четырёхугольников, которые необходимы для построения курса геометрии. Значительное внимание должно быть уделено задачам, в ходе решения которых применяются определения, свойства и признаки четырёхугольников, а в результате их решения доказываются дополнительные свойства и признаки четырёхугольников (№ 670, 684, 685), которые в дальнейшем можно и нужно использовать для обоснования решения Уровень геометрической подготовки учащихся к моменту изучения данной темы и её содержание позволяют определить основную форму учебной деятельности, как беседа с активным привлечением школьников на всех этапах урока: при введении нового материала;

его закреплении; решении задач.

В результате изучения § 6.1 учащиеся должны достичь следующих предметных результатов:

— изображать, обозначать и распознавать на чертежах и рисунках параллелограммы, прямоугольники, ромбы, квадраты, трапеции;

2129330o3.fm Page 169 Monday, April 1, 2013 3:00 PM — формулировать, иллюстрировать определения параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата и трапеции;

— формулировать, иллюстрировать и доказывать свойства и признаки параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата и трапеции;

— решать задачи на вычисление и доказательство, используя определения, свойства и признаки параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата и трапеции.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

К ИЗУЧЕНИЮ МАТЕРИАЛА

ние учащихся на то, что определение параллелограмма позволяет сделать два в ы в о д а.

1. Если известно, что некоторый четырёхугольник является параллелограммом, то его противоположные стороны параллельны.

2. Если известно, что у некоторого четырёхугольника противоположные стороны попарно параллельны, то он является параллелограммом.

После введения понятия параллелограмма можно 1. При пересечении двух прямых a и b прямыми c и d получается четырёхугольник. Определите, в каком случае полученный четырёхугольник является параллелограммом: а) a || b, 2. В ABC параллельно сторонам AB и AC проведены прямые DG и FG. Определите вид четырёхугольника AFGD.

3. В параллелограмме ABCD параллельно стороне AB проведена прямая FG. Определите вид четырёхугольника ABFG.

2 При рассмотрении формулировки теоремы о свойствах и признаках параллелограмма следует обратить внимание учащихся на три свойства и соответствующие им три признака параллелограмма (табл. 1), которые между собой являются взаимообратными утверждениями.

Рекомендуется на доске сделать аналогичную запись.

При проведении доказательства теоремы краткая запись доказательства каждого фрагмента делается под соответствующей формулировкой. В результате запись на доске будет представлять собой конспект доказательстo3.fm Page 170 Monday, April 1, 2013 3:00 PM ва теоремы. Это позволит лучше усвоить как содержание теоремы, так и способы доказательства каждого фрагмента.

Работу над теоремой лучше организовать в форме беседы, записи на доске должны появляться постепенно в процессе доказательств. В тетрадях учащимся достаточно сделать запись одного из пунктов 1)—3), т. е. одной из прямых теорем — доказательство свойства параллелограмма и обратной ей теоремы — признака параллелограмма.

На применение теоремы устно решить по готовым чертежам (см. табл. 1):

Кроме того, очень полезно обсудить задачу № 670.

3 Пункт «Прямоугольник» вполне доступен учащимся в качестве домашнего задания: в тетрадях законспектировать теорему 6.2 по образцу конспекта теоремы 6.1, сделанного в классе. При этом, комментируя задание, продиктовать в о п р о с ы, на которые при доказательстве теоремы 6.2 учащиеся должны дать ответы.

1. Почему перпендикуляры одной прямой параллельны?

[Следует или из признака параллельности прямых, или из теоремы 2.4, изученной в 7 классе.] 2. При доказательстве свойства прямоугольника укажите три пары равных элементов треугольников BAD и CDA.

3. При доказательстве признака прямоугольника укажите три пары равных элементов треугольников BAD и CDA.

2129330o3.fm Page 171 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 4 Работу над пунктом «Ромб» можно организовать в виде беседы по плану. Вначале, пока класс проверяет домашнее задание, предложить трём учащимся на доске 1. Докажите, что параллелограмм, все стороны которого равны, является ромбом.

2. Докажите, что параллелограмм, у которого диагонали перпендикулярны, является ромбом.

3. Докажите, что параллелограмм, у которого одна из диагоналей делит пополам каждый из углов, через которые она проходит, является ромбом.

Доказательства сформулированных в задачах утверждений могут отличаться от данных в учебнике. Это позволит обратить внимание учащихся на достаточно большой запас геометрических знаний, который они накопили и который позволяет им проводить обоснование одного и того же утверждения разными способами.

На применение теоремы 6.3 устно решить № 23ДЗ и № 656, 687.

ределения квадрата записать традиционную схему Прямоугольник (рис. 217), из которой видно, что прямоугольник и ромб обладают всеми свойствами Квадрат параллелограмма и, кроме того, имеют свои, только им присущие свойства, а квадрат является универсальным четырёхугольником, обладающим всеми свойствами как параллелограмма, так и прямоугольника и ромба. Затем устно решить № 24ДЗ.

6 Условия многих задач перед решением полезно прокомментировать.

В № 671 сказано «На плоскости расположены точки...», это совершенно не означает, что они являются вершинами четырёхугольника. При проверке решения № 681 обратить внимание учащихся, что центры окружностей, описанных около треугольников ABC и CDA, могут как совпадать, так и не совпадать. Очень важно этот комментарий дать именно после того, как учащиеo3.fm Page 172 Monday, April 1, 2013 3:00 PM ся попробуют решить задачу. При пояснении условия № 688 полезно, чтобы один из возможных способов разрезания параллелограмма показал учитель, а остальные предложил сделать учащимся.

7 При проверке домашнего задания по теме «Прямоугольник» достаточно провести фронтальный опрос, в процессе которого использовать часть задач № 17— 23ДЗ, решая их устно по готовым чертежам.

ПРИМЕРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕРИАЛА

На первом уроке: в классе — пункт параллелограмм; № 2, 4, 5, 7, 9, 12—16ДЗ, № 655, 656, 657, 670; дома — № 1—4В, пункт прямоугольник для самостоятельной работы; № 652, 653, 671, 683, 688.

На втором уроке: в классе — пункты: ромб, квадрат;

№ 17—24ДЗ, № 654, 681, 682; дома — № 5—6В, № 664, 672, 673, 698.

На третьем уроке: в классе — СР7; № 25ДЗ, № 650, 651, 680; дома — № 697, 699.

ВОПРОСЫ К ДОМАШНЕМУ ЗАДАНИЮ

1. Сформулируйте определение параллелограмма.

2. Сформулируйте и докажите теорему о свойствах и признаках параллелограмма.

3. Сформулируйте определение прямоугольника.

4. Сформулируйте и докажите теорему о свойствах и признаках прямоугольника.

5. Сформулируйте определение ромба.

6. Сформулируйте и докажите теорему о свойствах и признаках ромба.

7. Сформулируйте определение квадрата.

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА №

1. В выпуклом четырёхугольнике ABCD (рис. 218) точка O является точкой пересечения диагоналей. Известно, что AO = OC, а стороны AB и CD параллельны.

Определите вид четырёхугольника ABCD.

2129330o3.fm Page 173 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 2. Сторона AD параллелограмма ABCD равна 9 см, а его диагонали равны 14 см и 10 см. Точка O является точкой пересечения диагоналей. Найдите периметр BOC (рис. 219).

3. Найдите тупой угол ромба, в котором одна из его диагоналей равна стороне.

4. В равнобедренный треугольник вписан параллелограмм так, что угол параллелограмма совпадает с углом при вершине треугольника, а вершина противолежащего угла лежит на основании. Докажите, что периметр параллелограмма есть величина постоянная для данного треугольника.

1. В каждой из двух окружностей с центрами в точке O (рис. 220) проведены диаметры AC и BD так, что AOB = = 45°. Определите вид четырёхугольника ABCD.

А. Параллелограмм, отличный от прямоугольника и ромба.

Б. Прямоугольник.

2. Диагональ BD параллелограмма ABCD равна 8 см.

Периметр ABD равен 23 см. Найдите периметр параллелограмма ABCD (см. рис. 219).

А. 46 см. Б. 31см. В. 32 см. Г. 30 см.

3. В параллелограмме ABCD сумма двух углов равна 132°. Найдите градусную меру тупого угла параллелограмма.

2129330o3.fm Page 174 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 4. В прямоугольный равнобедренный треугольник вписан прямоугольник так, что угол прямоугольника совпадает с углом при вершине треугольника, а вершина противолежащего угла лежит на гипотенузе. Докажите, что периметр прямоугольника есть величина постоянная для данного треугольника.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ УЧЕБНИКА

Основная часть задач решается устно с выполнением чертежа на доске и в тетради. № 568, 569, 574, 576, 580 и 581.

651. У прямоугольника и ромба две оси симметрии, у квадрата — четыре.

652. Можно доказать, что если ABCD — четырёхугольник, то из равенств ABC = ADC, BAD = = BCD следует, что ABCD — параллелограмм. Примером точек, удовлетворяющих условию, но не являющихся вершинами параллелограмма, служат точки A, B, C и D, лежащие на одной окружности, как на рисунке 221.

670. а) Нет, не верно. Проведём параллельные прямые BC и AD. Радиусом, равным AB = CD, проведём две окружности с центрами в точках A и D. На прямой BC получим четыре точки пересечения B1 и B2, C1 и C (рис. 222). Отсюда видно, что среди четырёхугольников, вершинами которых являются точки A и одна из пар точек B1, B2, C1 и C2, есть параллелограммы, но не все полученные четырёхугольники — параллелограммы (например, AB1C2D). б) Верно. Решение видно из рисунка 223. в) Нет, не верно. Покажем, что четырёхугольник, 2129330o3.fm Page 175 Monday, April 1, 2013 3:00 PM удовлетворяющий условию, может и не быть параллелограммом. Рассмотрим равнобедренный ABC1 (AB = = BC1), возьмём любую, кроме середины, точку D на его основании AC1, затем построим BDC, равный BDC (BC = DC1, DC = BC1) (рис. 230). Четырёхугольник ABCD удовлетворяет условиям, но не является параллелограммом. г) Нет, не верно. Контрпример приведён на рисунке 224. д) Верно. Возьмём точку B1, симметричную B относительно O. Из условий получим, что B1 совпадает с D.

673. Поскольку по свойству ромба AC — биссектриса угла KAM (рис. 225), то MAC = CAK = 30°. В пря- моугольном треугольнике MDA угол при вершине A равен 30°. Из этого следует, что MD = -- AM. Если сторона 680. 1) Так как все вершины вписанного в окружность четырёхугольника должны лежать на окружности, то его противолежащие углы должны дополнять друг друга до 180°. Этому условию из рассматриваемых четырёхугольников соответствуют квадрат и прямоугольник.

2) Геометрическое место точек центров окружностей, касающихся двух параллельных прямых, является прямая, параллельная данным и отстоящая от них на расстоянии -- h, где h — расстояние между данными параллельными прямыми. Пусть расстояние между прямыми AB и CD (рис. 226) равно h1, а между прямыми AD 2129330o3.fm Page 176 Monday, April 1, 2013 3:00 PM и BC — h2. Значит, радиус вписанной окружности равен с одной стороны -- h1, а с другой — -- h2, т. е. h1 = h2. Этому условию из рассматриваемых четырёхугольников соответствуют квадрат и ромб.

681. Сначала проанализируем условие задачи. Точки O и O1 могут быть двумя разными точками или совпадать. 1) Пусть O и O1 — центры описанных окружностей и две разные точки (рис. 227). Точки A и C лежат на обеих окружностях, значит, являются точками их пересечения. CD = AD, как радиусы одной окружности с центром в точке O. BC = AB, как радиусы одной окружности с центром в точке O1. CD = AB, так как ABCD — параллелограмм. Отсюда ABCD — ромб. Следовательно, DBC = 40°. 2) Пусть O и O1 — центры описанных окружностей совпадают, значит, точки A, B, C и D лежат на одной окружности. Значит, ABCD — прямоугольник.

Следовательно, DBC = 50°.

682. Пусть M — точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD (рис. 228). Так как углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на равные хорды, либо равны, либо в сумме составляют 180°, то и углы, вписанные в равные окружности и опирающиеся на равные хорды, либо равны, либо в сумме составляют 180°. По условию окружности, описанные около ABM и ADM, равны. Но сумма углов ABM и ADM не может равняться 180°. Значит, ABM = ADM, AB = AD.

2129330o3.fm Page 177 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 683. Решение понятно из рисунка 229. Достаточно доказать, что CM = CK.

686. Задача имеет восемь решений. Стороны исходного параллелограмма равны 1 и 5; 4 и 5; 3 и 7; 4 и 7;

3 и 8; 5 и 8; 5 и 7; 2 и 7. Самое удобное — решать задачу с конца. Выяснить сначала, какие параллелограммы могут быть на предпоследнем шаге, затем на предыдущем 697. Пусть угол A ромба равен. Рассмотрим случай, когда 60° < 120°. Имеем (рис. 230): BAK = – 60°, 698. Рассмотрим параллелограмм ABCD; KLMN — четырёхугольник, образованный при пересечении его биссектрис (рис. 231). То, что KLMN — прямоугольник, следует из перпендикулярности двух соседних биссектрис. Пусть биссектрисы углов B и D пересекают противоположные стороны в точках E и F соответственно. AB = AE, поскольку AEB = EBC = EBA. K — середина BE. Точно так же M — середина DF. Отрезок KM параллелен AD и BC и равен ED = AD – AB.

700. Предположим, что это не так. Пусть KH пересекает прямую DB в точке F. Тогда точки M, P и F принаB 2129330o3.fm Page 178 Monday, April 1, 2013 3:00 PM длежат двум плоскостям BCD и KPMH, а значит, лежат на одной прямой, т. е. прямые KH и MP пересекаются

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

1. В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла A, которая пересекает прямую BC в точке F. Докажите, что треугольник ABF равнобедренный.

2. Стороны AB и BC параллелограмма ABCD равны 9 см и 6 см. Чему равны стороны CD и AD?

3. Стороны AB и BC параллелограмма ABCD равны 9 см и 6 см. Чему равен периметр параллелограмма 4. Периметр параллелограмма ABCD равен 38 см. Чему равна сумма двух соседних сторон параллелограмма?

5. Периметр параллелограмма равен 28 см, одна из сторон параллелограмма равна 9 см. Определите все стороны параллелограмма.

6. В параллелограмме ABCD A = 43°. Найдите градусную меру остальных углов параллелограмма.

7. В параллелограмме сумма двух противолежащих углов равна 132°. Найдите градусную меру каждого из этих углов.

8. В параллелограмме сумма двух углов равна 120°.

Могут ли эти углы прилежать к одной стороне параллелограмма?

9. Известно, что в параллелограмме один угол на 12° меньше другого. Могут ли эти углы быть противолежащими?

10. В параллелограмме ABCD диагональ BD равна 12 см. O — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Чему равен отрезок DO?

11. O — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Чему равна диагональ AC, если отрезок 12. Сторона AD параллелограмма ABCD равна 9 см, а его диагонали равны 14 см и 10 см. O — точка пересечения диагоналей. Чему равен периметр AOD?

13. В четырёхугольнике ABCD AC = 12 см; BD = = 8 см; BO = 4 см; AO = 6 см. Определите вид четырёхугольника ABCD.

14. В ABC проведена медиана BF. На её продолжении за точку F отложен отрезок FD, равный BF 2129330o3.fm Page 179 Monday, April 1, 2013 3:00 PM (рис. 232). Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

15. В ABC стороны AB и BC продолжены за точку B. На их продолжении отложены отрезки BF = AB и BD = CB (рис. 233). Докажите, что четырёхугольник ADFC — параллелограмм.

16. В каждой из двух концентрических окружностей проведён диаметр AC и BD соответственно. Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм (см.

рис. 220).

17. В прямоугольнике ABCD диагональ AC образует со стороной AD угол, равный 37°. Найдите градусную меру ACD.

18. В параллелограмме KLMN LKM = MNL. Определите, является ли параллелограмм KLMN прямоугольником.

19. Докажите, что если в четырёхугольнике три угла прямые, то он является прямоугольником.

20. ABCD — прямоугольник. O — точка пересечения диагоналей. Докажите, что AOB — равнобедренный.

17 см. Найдите сумму расстояний от точки K до всех его сторон (рис. 234).

22. Две окружности с центрами в точках O и O1 и равными радиусами пересекаются в точках A и B. Докажите, что четырёхA D угольник AO1BO — параллелограмм.

23. Сторона ромба равна 18 см, а один из углов равен 150°. Найдите расстояние между его противолежащими сторонами.

24. Докажите, что ромб, у которого один угол — прямой, является квадратом.

25. Докажите, что точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон.

2129330o3.fm Page 180 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 6.2. Теорема Фалеса и следствия из неё (4 ч) Теорема Фалеса, теорема о средней линии треугольника, теорема о средней линии трапеции, теорема о пропорциональных отрезках, рассматриваемые в параграфе, — вопросы традиционные. Теорема Фалеса в данном курсе используется для доказательства теоремы о средней линии треугольника и теоремы о пропорциональных отрезках. Кроме того, она позволяет значительно расширить круг задач на вычисление и доказательство.

При изучении § 6.2 учащиеся должны достичь следующих предметных результатов:

— выделять на чертеже, сделанном по условию задачи, конфигурацию, позволяющую применять теорему Фалеса;

— иллюстрировать и объяснять определения средней линии треугольника и средней линии трапеции;

— иллюстрировать, объяснять и доказывать: теорему Фалеса, теорему о пропорциональных отрезках, теорему о средней линии треугольника и теорему о средней линии трапеции;

— применять при решении задач на вычисление и доказательство: определения средней линии треугольника и средней линии трапеции; теорему Фалеса и теорему о пропорциональных отрезках; теоремы о средней линии треугольника и о средней линии трапеции; алгебраический аппарат.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

К ИЗУЧЕНИЮ МАТЕРИАЛА

1 Рассмотрение теоремы Фалеса можно сопроводить краткой записью основных э т а п о в доказательства (рис. 276У).

1. Параллелограммы AB2B1A1 и CD2D1C1.

Для закрепления теоремы Фалеса использовать следующие у п р а ж н е н и я по готовым чертежам.

1. По рисунку 235. Дано: OA1 = A1A2 = A2A3 = A3A4;

2129330o3.fm Page 181 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 2. По рисунку 236. Дано: DCG = BAG = 90°;

3. По рисунку 237: Дано: KMO = LNO = 116°;

На непосредственное применение теоремы Фалеса фронтально решить № 701—703.

2 Для проверки усвоения учащимися определения средней линии треугольника и умения распознавать её на чертежах и рисунках в стандартных ситуациях можно выполнить з а д а н и я по готовым чертежам (рис. 238, включив в набор контрпримеры в) и д)).

1. Среди треугольников, приведённых на рисунках, найдите треугольники, в которых проведена средняя линия треугольника.

2129330o3.fm Page 182 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 2. Определите, является ли отрезок MN на рисунке 238, а средней линией треугольника, и объясните почему.

3. Определите, является ли отрезок DF на рисунке 238, д средней линией треугольника, и объясните почему.

4. На рисунке 238, г отрезок KN является средней линей DBG, DB = 14 см, DG = 10 см. Чему равны отрезка DK, KG, 5. Сколько средних линий можно построить в данном треугольнике?

6. ST и SO — средние линии треугольника QRP (рис. 239).

Определите, является ли отрезок OT средней линией данного треугольника.

На применение определения средней линии треугольника устно решить № 725, № 1—3ДЗ, № 707, 723.

3 Перед введением понятия трапеции полезно вспомнить определение параллелограмма. У параллелограмма по определению противоположные стороны параллельны. Теперь рассмотрим такой четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие — нет, т. е. трапецию. На закрепление понятия — у п р а ж н е н и я по готовым чертежам.

1. В трапеции ABCD проведите прямую CF, параллельную AB. Определите вид четырёхугольника ABCF (рис. 240).

2. В трапеции ABCD углы, прилежащие к стороне AD, равны 74° и 81°. Определите углы, прилежащие к стороне BC.

3. Средняя линия равностороннего треугольника отсекает от него четырёхугольник. Определите вид полученного четырёхугольника и найдите его стороны, если сторона треугольника равна 8.

4 Для закрепления понятия равнобочной трапеции фронтально по готовому чертежу решить з а д а ч у:

«Докажите, что в равнобочной трапеции ABCD высоты BK и CL отсекают на основании AD равные отрезки AK и LD (рис. 241)».

2129330o3.fm Page 183 Monday, April 1, 2013 3:00 PM Затем отметить, что в математической литературе термин равнобочной трапеции является неустановившимся, поэтому такую трапецию называют и равнобедренной, и равнобокой.

5 На закрепление теоремы о средней линии трапеции устно по готовому чертежу решить з а д а ч и.

1. В трапеции ABCD стороны равны: AB = 8 см, BC = = 13 см, CD = 10 см, AD = 19 см. FG — средняя линия трапеции. Найдите стороны трапеции AFGD (рис. 242).

2. В трапеции, одно из оснований которой равно 5 см, проведена средняя линия, длина которой равна 6 см. Чему равно другое основание трапеции?

3. В трапеции ABCD с основаниями AD = 12 см и BC = = 8 см проведена средняя линия ML, которая пересекает диагональ AC в точке K. Чему равны отрезки MK и KL (рис. 243)?

4. Диагонали трапеции ABCD пересекают среднюю линию RP в точках M и N. Докажите, что RM = NP (рис. 244).

5. Докажите, что в равнобочной трапеции проекция диагонали на основание трапеции равна средней линии трапеции.

6 Доказательство теоремы о пропорциональных отрезках, приведённое в учебнике, в силу объективных причин является достаточно трудным. Можно рекомендовать изложение доказательства провести учителю в виде фрагмента лекции (воспроизведения доказательC 2129330o3.fm Page 184 Monday, April 1, 2013 3:00 PM ства теоремы от всех учащихся можно не требовать) и сделать замечание о том, что данная теорема, а также и теорема Фалеса, справедливы и в случае, когда речь идёт не о сторонах угла, а просто о двух прямых, например, как в следующей задаче.

По рисунку 245. Дано: AB || CD || FG;

На прямое применение теоремы о пропорциональных отрезках решить № 739 и рассмотреть № 77—80Т, в которых исследуются конфигурации, образованные двумя четырёхугольниками (такие задачи редко попадают в учебники).

7 При решении № 716—719 использовать результат решения № 708, а при решении № 731, 733—735 — № 730. Полезно при изучении темы или при повторении рассмотреть решения № 708—710, 716—719, 723.

ПРИМЕРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕРИАЛА

На первом уроке: в классе — пункты: теорема Фалеса, теорема о средней линии треугольника; № 1—4ДЗ, № 701—703, 707, 708, 723, 725 и 737; дома — № 1—3В;

№ 707, 708, 717 и 726.

На втором уроке: в классе — пункт: трапеция;

№ 730, 733 и 735; дома — № 4—6В, № 727, 731, 734 и 743.

На третьем уроке: в классе — пункты: пропорциональные отрезки, теорема о пропорциональных отрезках; № 739 и 751; дома — № 7, 8В; № 724, 740 и 745.

На четвёртом уроке: в классе — № 718, 752—756;

дома — № 719, 760, 761 и 762.

2129330o3.fm Page 185 Monday, April 1, 2013 3:00 PM

ВОПРОСЫ К ДОМАШНЕМУ ЗАДАНИЮ

1. Сформулируйте и докажите теорему Фалеса.

2. Сформулируйте определение средней линии треугольника.

3. Сформулируйте и докажите теорему о средней линии треугольника.

4. Сформулируйте определение трапеции.

5. Сформулируйте определение средней линии трапеции.

6. Сформулируйте и докажите теорему о средней линии трапеции.

7. Объясните, что означает понятие «отношение отрезков».

8. Сформулируйте теорему о пропорциональных отрезках.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ УЧЕБНИКА

Основная часть задач параграфа решается устно с выполнением чертежа на доске и в тетради. № 708, 713, 727, 730, 734, 708. Обратите внимание, что утверждение верно для любых четырёхугольников — выпуклых и невыпуклых (рис. 246).

718. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника, являются в силу задачи 708 диагоналями параллелограмма. Если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб. Его стороны равны, следовательно, диагонали исходного четырёхугольника равны.

719. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника, являются в силу № 708 диагоналями параллелограмма. Если у параллелограмма диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник. Его стороны параллельны диагоналям 2129330o3.fm Page 186 Monday, April 1, 2013 3:00 PM исходного четырёхугольника, следовательно, они перпендикулярны.

724. Проведите через точку K прямую, параллельную AB, и используйте теорему 6.7.

725. Средняя линия, параллельная BC.

726. Любой прямоугольный треугольник можно разрезать на четыре равных треугольника двумя различными способами: средними линиями и прямыми, выходящими из середины гипотенузы.

734. Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и BC. Проведём через вершину B прямую, параллельную CD, и обозначим через M точку её пересечения с AD. В ABM известны все стороны. Построим его.

Через вершину B проведём прямую, параллельную основанию AB, и отложим на ней от точки B отрезок, равный b, получим точку C. А на прямой AM от точки A — отрезок, равный a, получим точку D. Точки A, B, C и D являются вершинами искомой трапеции.

735. Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и BC. Проведём через B прямую, параллельную AC, и обозначим точку её пересечения с прямой AD через K.

В KBD известны все стороны, и его можно построить.

736. В случае, изображённом на рисунке 247, имеем:

BCM + BKM = (180° – ADM) + (180° – AKM) = = 360° – (ADM + AKM) = 360° – 180° = 180°. А это означает, что точки B, K, C и M лежат на одной окружности. Точно так же рассматриваются другие случаи расположения точек K и M на прямых AB и CD.

737. Проведём через конец A отрезка AB луч и отложим на нём равные отрезки AK = KL = LM (рис. 248).

Через точки K и L проведём прямые, параллельные BM.

Эти прямые разделят AB на три равные части.

740. Решение задачи следует из рисунка 249. Можно предложить и другой подход к решению задачи. Обозначим искомые отрезки через x и y. Тогда их можно 2129330o3.fm Page 187 Monday, April 1, 2013 3:00 PM ресекает боковую сторону CD. Это следует из того, что эта бис- Рис. сектриса пересекает прямую BC в точке K, для которой BK = AB = 5, = BC = 4, 5 > 4.

744. Пусть K и M — середины AB и CD, P — середина BD. Тогда KP = -- AD, PM = -- BC (KP и PM — = -- (AD + BC). Итак, KP + PM = KM. Значит, точка P лежит на отрезке KM, при этом KM || AD и KM || BC, т. е.

745. Для решения задачи достаточно выписать равенства отношений соответствующих отрезков:

------------ = ------------ ; ------------ = ------------ ; ------------ = ------------ ; ------------ = ------------.

AM CM CM AM AM

Получим равенство:

------------ = ------------ = ------------- = ------------- = ------------, отсюда ------------ = ------------. Точка M5 делит отрезок AB в том же отношении, что и точка M1. Значит, точки M1 и M совпадают (рис. 250).

751. Решение задачи аналогично решению № 745.

752. Из условия задачи следует, что точки A, B, C и D лежат на одной окружности (рис. 251). Теперь из равенства углов ACB и CAD будет следовать AB = CD.

2129330o3.fm Page 188 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 753. Через точку O проведём касательную OK к окружности, описанной около AOD (рис. 252). Угол между касательной и хордой равен половине дуги OD и OAD равен половине этой же дуги. BOH = KOD, как вертикальные. Значит, BOH = OAD = OCB.

Таким образом, прямая HK касается и окружности, описанной около BOC, т. е. указанные окружности касаются друг друга.

756. Продолжим до пересечения в точке K боковые стороны AB и CD трапеции ABCD. Если M и N — середины AD и BC, то точки K, M и N лежат на одной прямой. При этом KN = -- AD, KM = -- BC, как медианы соответствующих прямоугольных треугольников. Значит, Пусть L и K соответственно середины AB и CB, прямая, проходящая через M параллельно CA, пересекает CL точке N (рис. 253). Имеем (поскольку KL || AC)

CN CM CM CP

Из равенства --------- = -------- следует параллельность NP 2129330o3.fm Page 189 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 762. По теореме о пропорциональных отрезках

BK KC AD

-------- = ---------- = ----------. Значит, BK – DM = AB – AD.

764. Рассмотрим пирамиду ABCD, у которой сумма углов при вершинах A, B и C равна 180°. Разрежем поверхность пирамиды по рёбрам DA, DB и DC и развернём (рис. 255). Получим ABC, к которому прилегают треугольники ABD1, BCD2, CAD3 (вершине D пирамиды соответствуют три точки D1, D2 и D3). Из условия задачи следует, что точки A, B и C являются серединами отрезков D1D3, D1D2 и D2D3. Значит, все ABC, ABD1, ABD2, CAD3 равны между собой.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

1. В QRP проведены средние линии ST, OT и OS.

Докажите, что QSO, SRT, OTP и TOS равны.

2. В QRP отмечены точки S, T и O, которые являются серединами сторон QR, RP и QP соответственно.

Докажите, что QSTO — параллелограмм.

3. В равностороннем QRP отмечены точки S, T и O, которые являются серединами сторон QR, RP и QP соответственно. Найдите периметр параллелограмма QSTO, если периметр SRT равен 27.

4. Сумма диагоналей четырёхугольника равна 26.

Найдите периметр четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон данного.

5. Диагонали трапеции делят её среднюю линию на три равные части. Как относятся основания этой трапеции?

6. Докажите, что середины сторон равнобочной трапеции являются вершинами ромба.

2129330o3.fm Page 190 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 6.3. Подобные треугольники.

Признаки подобия треугольников (3 ч) Тема параграфа в определённом смысле является центральной темой курса геометрии. Здесь рассматривается подобие фигур, которое является одним из основных свойств нашего пространства. Изучение геометрических свойств подобия начинается с изучения подобия треугольников. И это не случайно: свойства подобных треугольников будут многократно использоваться во всём курсе геометрии.

При изучении подобия треугольников необходимо уделить значительное время решению задач, направленных на формирование умений доказывать подобие треугольников с опорой на признаки их подобия, а также использовать подобие как инструментарий при решении задач на вычисление, доказательство и построение.

Заметим, что названия признаков подобия треугольников в учебнике авторские: первым признаком подобия треугольников общепринято называть подобие по равенству двух углов, а здесь этот признак определяется, как второй, и наоборот.

При изучении § 6.3 учащиеся должны достичь следующих предметных результатов:

— выделять в конфигурации, данной в условии задачи, подобные треугольники;

— иллюстрировать, объяснять и доказывать признаки и свойства подобных треугольников;

— объяснять понятие подобия;

— применять при решении задач на вычисление и доказательство признаки и свойства подобия треугольников; алгебраический аппарат.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

К ИЗУЧЕНИЮ МАТЕРИАЛА

1 При введении определения подобных треугольников важно, указывая подобные треугольники, установить соответствие равных углов для того, чтобы правильно записывать пропорциональность сторон.

Используя определение подобных треугольников при решении задач, из подобия двух треугольников 2129330o3.fm Page 191 Monday, April 1, 2013 3:00 PM можно сделать вывод о равенстве в данных треугольниках соответственных углов и пропорциональности соответственных сторон. На закрепление этого понятия использовать у п р а ж н е н и я.

1. ABF и DEF подобны. Запишите отношение соответствующих сторон, используя данные рисунка 256.

2. ABC и MNL подобны и имеют коэффициент подобия 0,2. A и M, B и N, C и L — вершины соответственных углов данных треугольников. Выразите стороны ABC через сходственные стороны MNL.

3. ABC и DEF подобны. Известно, что AC = 15 см.

Найдите сходственную ей сторону DF, если коэффициент подобия треугольников равен 3.

2 Перед доказательством основной теоремы о подобных треугольниках полезно обсудить ситуацию, изложенную в условии № 787. Эта теорема даёт ответ на вопрос задачи относительно треугольников, т. е. доказывает существование таких треугольников.

3 Три признака подобия треугольников имеют общее доказательство, которое проводится по следующему п л а н у.

1. Строится AB2C2, подобный ABC в силу теоремы 6.8.

2. Доказывается равенство AB2C2 = A1B1C1.

Обучение применению признаков подобия треугольников желательно начать, как и при обучении применению признаков равенства треугольников, с обучения школьников умению выделять соответственные элементы данных треугольников, позволяющие применить один из признаков с использованием плакатов 1. Определите, на каких рисунках есть подобные треугольники.

2. Почему эти треугольники подобны?

2129330o3.fm Page 192 Monday, April 1, 2013 3:00 PM Для закрепления признаков подобия треугольников использовать у п р а ж н е н и я по готовым чертежам.

3. В равнобедренных ABC (AB = BC) и EDF (ED = DF) углы при вершинах B и D равны. В силу какого признака подобия треугольников ABC EDF?

4 В конце пункта «Признаки подобия треугольников» сказано: «Кроме трёх указанных признаков, можно доказать и специальный признак подобия прямоугольных треугольников...» Из-за отсутствия его формулировки и доказательства в учебнике желательно вместе с учащимися сформулировать и доказать признак подобия для прямоугольных треугольников.

Если отношение катета и гипотенузы одного прямоугольного треугольника равно отношению катета и гипотенузы другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.

Используя определение равнобедренного треугольника, полезно устно решить задачи № 781—783 и сфорo3.fm Page 193 Monday, April 1, 2013 3:00 PM мулировать признак подобия для равнобедренных треугольников.

Если угол при основании одного равнобедренного треугольника равен углу при основании другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники подобны.

Для равностороннего треугольника Все равносторонние треугольники подобны между собой.

5 Теорема 6.9, доказанная в пункте «Одно важное свойство подобных фигур», играет очень важную роль во всём курсе геометрии. При решении задач она позволяет из подобия треугольников сразу сделать вывод об отношении соответствующих высот, медиан, биссектрис, средних линий и других линейных элементов треугольников, а также о равенстве соответствующих углов (например, углов между соответствующими медианами).

6 В конце пункта «Одно важное свойство подобных фигур» вводится понятие подобия произвольных фигур.

Соответствие точек подобных фигур, на основе которого и вводится подобие фигур, знакомо учащимся из жизненного опыта. Например, при проецировании киноленты на экран каждой точке изображения соответствует точка на экране, и наоборот, каждой точке изображения на экране соответствует точка на плёнке.

Примерами подобных четырёхугольников является любая пара квадратов, или пара прямоугольников, у которых две смежные стороны пропорциональны двум смежным сторонам другого. Две окружности также всегда подобны с коэффициентом подобия, равным отношению их радиусов.

Признаки подобия, доказанные для треугольников, лежащих в одной плоскости, справедливы и для треугольников, лежащих в разных плоскостях.

В учебнике сделано замечание: «Понятие подобия распространяется и на пространственные объекты, тела». Примерами подобных фигур могут быть любые два куба или шары. Свойства подобных пространственных фигур используется в моделировании. Прежде чем строить самолёт, корабль, здание, создают уменьшенные в несколько раз подобные им модели. Обратить внимаo3.fm Page 194 Monday, April 1, 2013 3:00 PM ние на задачи № 83 и 84Т, условия которых не однозначны и они редко включаются в задачи учебника. Далее полезно решить № 99—102Т, из решения которых следуют прямая и обратная теоремы Чевы.

ПРИМЕРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕРИАЛА

На первом уроке: в классе — пункты: подобие треугольников, основная теорема о подобных треугольниках; № 787, 795 (а), 799 и 801; дома — № 1—3В; № 795 (б, в), 796, 797, 800.

На втором уроке: в классе — пункт: признаки подобия треугольников; № 1—3ДЗ, № 803, 804 и 807; дома — № 4В; № 794, 798, 802, 805 и 814.

На третьем уроке: в классе — пункт: одно важное свойство подобных фигур; № 808, 810 и 812 (а); дома — № 5, 6В; № 809, 811, 812 (б).

ВОПРОСЫ К ДОМАШНЕМУ ЗАДАНИЮ

1. Сформулируйте определение подобных треугольников.

2. Объясните, что означает понятие «коэффициент подобия».

3. Сформулируйте и докажите основную теорему о подобных треугольниках.

4. Сформулируйте и докажите признаки подобия треугольников.

5. Сформулируйте и докажите теорему об одном важном свойстве подобных фигур.

6. Объясните, какие фигуры называются подобными.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ УЧЕБНИКА

Основная часть задач параграфа решается устно с выполнением чертежа на доске и в тетради. № 813.

781. Нет. Примером могут служить два прямоугольника с неравными отношениями сторон.

787. Нет, не будут, так как они закрываются одинаковыми крышками.

795. а) Три решения: 3, 4, 3 -- ; б) два решения: 3, 3 -- ;

наибольшая сторона, D — середина AC. Прямая, прохоo3.fm Page 195 Monday, April 1, 2013 3:00 PM дящая через D, может пересекать либо AB, либо BC, либо обе эти стороны (т. е. проходить через вершину B).

Пусть она пересекает AB в точке M. По условию, AMD подобен = ACB (DM — средняя линия); 2) ADM = ABC, при этом надо убедиться, что AM = ---------------------AB.

796. Любой равнобедренный треугольник можно разрезать на два равных (а значит, подобных) треугольника. Кроме того, на два подобных треугольника можно разрезать любой прямоугольный треугольник (по высоте, опущенной на гипотенузу).

ку), поэтому -------- = ---------, откуда AB = 800. в) Подобие треугольников понятно из рисунка 259.

801. Расположим стороны каждого треугольника в порядке возрастания. Пусть в меньшем стороны x, и 18, а в большем 12, 18, y. Тогда ----- = ----- = -----.

802. Необходимо рассмотреть два случая: точки C и D расположены по разные стороны от прямой AB или по одну (рис. 260).

803. Утверждение задачи следует из того, что точки A, C, A1 и C1 лежат на одной окружности (AC — её диаметр). При этом надо рассмотреть, вообще говоря, три случая: 1) ABC — остроугольный; 2) неострым является угол B; 3) неострым является угол A (или C).

2129330o3.fm Page 196 Monday, April 1, 2013 3:00 PM

BC CA AB

варианты.) Имеем -------- = -------- = --------- = 2.

Из подобия следует равенство -------- = --------. Пусть AC = x, AD = x + 8. Имеем уравнение x(x + 8) = 9, откуда x = 1.

806. Проведём через точку B прямую, параллельную CD, и обозначим точки её пересечения с KM и AD через L и E. Имеем ED = BC = 3. AE = 4. Из подобия BKL 807. Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и BC. Пусть P — точка пересечения прямых AB и CD, M — точка пересечения AC и BD, K — середина BC, L — середина AD (рис. 262). Докажите, что точки M, K и L лежат на одной прямой, а также, что на одной прямой лежат точки P, K и L.