«Предисловие Пособие адресовано учителю, который ведёт курс геометрии в 7—9 классах по учебнику И. Ф. Шарыгина Геометрия. 7—9 классы, содержащему 13 глав и отражающему авторскую наглядно-эмпирическую концепцию построения ...»

1454. Пусть точка M имеет координаты (x; y). Поскольку в результате движения точки A, B и M переходят в точки A, B и M и при этом расстояние между точками сохраняется. AM = 34, BM = 113. AM = 2129330o3.fm Page 348 Monday, April 1, 2013 3:00 PM ле решения системы уравнений получим x1 = x2 = – -----, Рис. 429 AO1N = A1O1N =. Аналогично при симметрии относительно прямой NO2 прямая A1B1 перейдёт в прямую A2B2, при этом A1O2L = = A2O2L. A2O2L = + 45°, так как A2O2L является внешним для NO1O2 при вершине O2. Рассмотрим O2MO1, где M — точка пересечения прямых AB и A2B2.

Так как A2O2O1 является внешним для O2MO1 при вершине O2, то A2O2O1 = O2MO1 + MO1O2. Отсюда O2MO1 = A2O2O1 – MO1O2 = 2 + 90° – 2 = = 90°. Следовательно, прямые AB и A2B2 перпендикулярны.

1456. См. доказательство теоремы 12.3.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

1. Докажите, что при движении параллельные прямые переходят в параллельные прямые.

2. Докажите, что при движении: а) параллелограмм переходит в параллелограмм; б) трапеция переходит в трапецию.

13.2. Виды движений плоскости (2 ч) В параграфе рассматриваются такие виды движения, как поворот и параллельный перенос, которые являются результатом последовательного выполнения двух 2129330o3.fm Page 349 Monday, April 1, 2013 3:00 PM симметрий относительно двух осей: в первом случае пересекающихся, во втором — параллельных.

В результате изучения § 13.2 учащиеся должны достичь следующих предметных результатов:

— иллюстрировать и объяснять определение параллельного переноса и поворота;

— строить на чертежах и рисунках точки и простейшие фигуры, в которые переходят данные фигуры при параллельном переносе, в которые переходят данные фигуры при повороте.

Учащиеся получат возможность научиться объяснять параллельный перенос, как результат последовательного выполнения двух симметрий относительно двух параллельных осей, объяснять поворот, как результат последовательного выполнения двух симметрий относительно двух пересекающихся осей, применять при решении простейших задач на доказательство, построение и вычисление идеи движения.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

К ИЗУЧЕНИЮ МАТЕРИАЛА

1 Прежде чем начать доказательство теоремы 13.4, необходимо рассмотреть понятие параллельного переноса. Для этого можно использовать рисунок 430 или более наглядный рисунок 431. А также можно проиллюстрировать деталями из доступных орнаментов. Для вывода формул, которые в декартовой системе координат позволяют задавать параллельный перенос, можно решить № 1457. Полученные формулы xB = xB + xAA, yB = yB + yAA полезно запомнить.

По результатам доказательства теоремы 12.4 выясняется, что параллельный перенос является результатом 2129330o3.fm Page 350 Monday, April 1, 2013 3:00 PM последовательного выполнения двух симметрий относительно двух параллельных осей. Далее предложить Последовательно выполнено два параллельных переноса, модули векторов которых равны q и g.

1. Сколько осевых симметрий будет при этом выполнено?

2. Чему равно расстояние между осями симметрии?

3. Какое движение задают данные параллельные переносы?

2 Практика показывает, что как само определение поворота, так и построение фигур, в которые переходят данные фигуры, вызывает определённые трудности у учащихся. Поэтому необходимо рассмотреть понятие поворота, а потом доказательство теоремы 13.5, или используя рисунок 432, а, или более наглядный рисунок 432, б, деталями из доступных орнаментов.

В результате доказательства теоремы 13.5 выясняется, что поворот является результатом последовательного выполнения двух симметрий относительно двух пересекающихся осей, далее предложить в о п р о с: «Каким движением будет движение, полученное в результате последовательно выполненных двух поворотов с общим центром, углы которых равны и » и решить № 1462.

ПРИМЕРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕРИАЛА

На первом уроке: в классе — пункты: параллельный перенос, поворот; № 1457 (а), 1458 (б) и 1462; дома — № 1—4В, № 1457 (б, в), 1458 (а) и 1460.

На втором уроке: в классе — № 1—2ДЗ, № 1459, 1461 (в) и 1464; дома — № 1461 (а, б), 1463 и 1465.

2129330o3.fm Page 351 Monday, April 1, 2013 3:00 PM

ВОПРОСЫ К ДОМАШНЕМУ ЗАДАНИЮ

1. Дайте определение параллельного переноса.

2. Дайте определение поворота.

3. Сформулируйте и докажите теорему о том, что параллельный перенос является результатом последовательного выполнения двух симметрий относительно двух параллельных осей.

4. Сформулируйте и докажите теорему о том, что поворот является результатом последовательного выполнения двух симметрий относительно двух пересекающихся осей.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ УЧЕБНИКА

1457. По определению параллельного переноса AA = BB. Координаты вектора AA определяются из условия а) (3; 1). Координаты точки B определяются по формулам xB = xB + xAA, yB = yB + yAA, B(4; –2).

1458. а) Поскольку при параллельном переносе все точки прямой 2x – 3y = 1 переместятся в одном направлении и на одно расстояние, то новая прямая будет параллельна исходной, т. е. 2x – 3y = b. Вектор переноса AA имеет координаты (5; –9). Точка на прямой 2x – – 3y = 1 имеет координаты (x; y), а на прямой 2x – 3y = = b — координаты (x + 5; y – 9). Отсюда 2(x + 5) – 3(y – – 9) = b, b = 38. Значит, 2x – 3y = 38.

1459. Пусть вектор переноса (a; b). Точка (x; y) лежит на прямой y = 3x – 2, а точка с координатами (x + a;

y + b) лежит на прямой y = 3x + 4. Отсюда b = 3a + 6.

Точка (x1; y1) лежит на прямой 3x + 2y = 2, а точка с координатами (x1 + a; y1 + b) лежит на прямой 6x + 4y = 3.

Отсюда 6a + 4b + 1 = 0. После решения системы уравнений относительно a и b получим вектор переноса в вектор того же модуля, и начало его находится в начале координат. Поэтому его конец находится в точке -o3.fm Page 352 Monday, April 1, 2013 3:00 PM An A2 метрии относительно двух осей, пересекающихся под углом, получается поворот на угол 2. Значит, верA3 шина Ak (рис. 433) при повороте на угольник займёт первоначальное положение m раз, при этом вершина Ak побывает на месте каждой из вершин многоугольника, а сам многоугольник повернётся вокруг центра n раз. Значит:

1462. Сначала проведём симметрию относительно прямой, проходящей через середину отрезка AA (точка O1) перпендикулярно ему (рис. 434, а). При этом точка A перейдёт в точку A, а точка B перейдёт в точку B. Затем проведём прямую, проходящую через середину отрезка BB (точку O2) перпендикулярно ему (рис. 434, б). При этом точка A останется на месте, а точка B перейдёт в точку B. Отрезки AB и AB равны, так как каждый из них равен отрезку AB (один по условию, другой в силу свойств симметрии). Следовательно, BAB — равнобедренный. Значит, прямая, 2129330o3.fm Page 353 Monday, April 1, 2013 3:00 PM рез точку A. Две прямые, относительно которых были проведены симметрии, позволившие перевести отрезок AB в равный ему отрезок AB, пересекаются в точке O.

Значит, по теореме 12.5 полученное движение является поворотом около точки O.

1463. APB = CPD, как вертикальные (рис. 435), значит, AO2B = CO1D, как центральные для равных вписанных углов. AO2B = CO1D, как равнобедренные треугольники с равными основаниями и углами, противолежащими основаниям. Следовательно, радиусы окружностей равны. OAP = OCP, как опирающиеся на равные дуги в равных окружностях. Отсюда AOC — равнобедренный и AO = OC.

Аналогично, AOB = COD, как опирающиеся на равные дуги в равных окружностях. Следовательно, BOD = AOC – AOB + COD = AOC. Значит, при повороте вокруг точки O на AOC луч OB перейдёт в луч OD. OBP = ODP, как опирающиеся на равные дуги в равных окружностях. Отсюда BOD — равнобедренный и BO = OD.

1464. Повернём прямую l вокруг точки A на 60°, и получим прямую l1 (рис. 436, а). На прямой l возьмём 2129330o3.fm Page 354 Monday, April 1, 2013 3:00 PM произвольную точку L, которая при этом повороте перейдёт в точку M, лежащую на прямой l1, причём AL = AM. В LAM: LAM = 60° и AL = AM, а значит, LAM — равносторонний. Точка M — искомая, так как получена поворотом точки A на угол 60° вокруг точки L, лежащей на прямой l. Поскольку точка L — произвольная, то геометрическим местом точек M является вся прямая l1. Аналогично, прямую l можно повернуть вокруг точки A на 60° против часовой стрелки, и получим прямую l2 (рис. 436, б).

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

1. Каким движением будет движение, полученное в результате последовательно выполненных поворота и параллельного переноса?

2. Каким движением будет движение, полученное в результате последовательно выполненных параллельного переноса и поворота?

В § 13.3 рассматривается новое преобразование плоскости — гомотетия и её свойства. Гомотетия является примером такого преобразования плоскости, при котором сохраняются углы, а расстояния между точками изменяются в соответствии с заданным коэффициентом гомотетии. Урок лучше организовать в форме лекции.

Использовать материал из рабочей тетради учитель может по своему усмотрению.

2129330o3.fm Page 355 Monday, April 1, 2013 3:00 PM В результате изучения § 13.3 учащиеся должны достичь следующих предметных результатов:

— иллюстрировать и объяснять определение гомотетии;

— строить на чертежах и рисунках простейшие фигуры, гомотетичные данным.

Учащиеся получат возможность научиться применять понятие и свойства гомотетии при решении простейших задач.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

К ИЗУЧЕНИЮ МАТЕРИАЛА

При введении определения гомотетии (рис. 516У) обратить внимание учащихся на забавный рисунок учебника ( с. 440) и № 1466—1467.

При рассмотрении теоремы 13.8 обратить внимание учащихся на то, что в ней соединено несколько утверждений, каждое из которых является с в о й с т в о м гомотетии.

1) Отрезок AB переходит в параллельный ему отрезок AB такой, что AB = |k|AB.

2) Любая фигура F переходит в подобную ему фигуру F с коэффициентом подобия k.

3) Любой элемент фигуры F переходит в соответствующий элемент фигуры F.

гомотетии в теореме 13.8 обратить внимание учащихся на то, что гомотетия является преобраC зованием подобия, но подобие не всегда является преобразованием гомотетии, контрпример A B но, чтобы на рисунке, используемом при введении определения гомотетии и доказательстве теоремы 13.8, и рисунке, используемом в контрпримере, были одни и те же фигуры, в нашем случае треугольники. На закрепление — № 1470.

1) гомотетия сохраняет углы;

2) при гомотетии прямая отображается на параллельную прямую;

3) прямая, проходящая через центр гомотетии, при гомотетии отображается на себя.

2129330o3.fm Page 356 Monday, April 1, 2013 3:00 PM

ПРИМЕРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕРИАЛА

На уроке: в классе — параграф; № 1466, 1467 и 1470;

дома — № 1—5В, № 1468, 1469, 1471 и 1472.

ВОПРОСЫ К ДОМАШНЕМУ ЗАДАНИЮ

1. Дайте определение гомотетии.

2. Объясните, что такое коэффициент гомотетии.

3. Объясните, каким будет преобразование плоскости, если коэффициент гомотетии равен 1.

4. Объясните, какие гомотетии называются обратными.

5. Сформулируйте и докажите свойства гомотетий.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ УЧЕБНИКА

1466. AB || AB, OA = k•OA, OB = k•OB (рис. 439).

1467. Решение на рисунке 440.

1468. Через точки B и B проведём прямые, перпендикулярные данной прямой, и отложим на них отрезки BM = AB и BM = AB(рис. 441). Через точки M и M проведём прямую до пересечения с данной прямой в точке O, которая и будет центром гомотетии. Так как BM = AB и BM = AB, то равнобедренные и прямоугольные треугольники BMA и BMA подобны, 2129330o3.fm Page 357 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 1469. Для построения центров гомотетии (рис. 442) надо провести в окружностях параллельные диаметры и построить центры гомотетий двух отрезков (см.

№ 1467).

1470. Проведём прямые AA1 и BB1 и покажем, что точка их пересечения O является центром гомотетии (рис. 443). Предположим, что при гомотетии точка C перейдёт в точку C2. В силу преобразования OCA перейдёт в OC2A1, причём OCA OC2A1. Следовательно, CAO = C2A1O и CA || C2A1. А по условию CA || C1A1, значит, C1A1 || C2A1. Получили, что две параллельные прямые C1A1 и C2A1 имеют общую точку A1, а значит, они совпадают.

Аналогично доказывается, что прямые C1B1 и C2B совпадают. Поскольку две прямые C1A1 и C2B1 пересекаются в одной точке, то точки C1 и C2 совпадают, и вершина C ABC переходит в вершину C1 A1B1C1.

1471. Проведём гомотетию относительно точки A с коэффициентом подобия k = -- (рис. 444). По теореB 2129330o3.fm Page 358 Monday, April 1, 2013 3:00 PM ме 13.8 окружность радиуса R с центром в точке O перейдёт в окружность радиуса -- R с центром в точке O1.

перейдёт в точку C — середину отрезка AB, лежащую на окружности с центром в точке O1.

1472. Решение задачи следует из рисунка 445.

1. Определите по рисунку 446 вид движения. Укажите на рисунке, как оно может быть задано.

2. Треугольник имеет три оси симметрии. Определите вид треугольника.

А. Разносторонний.

Б. Равносторонний.

В. Равнобедренный.

3. Внутри угла AOB, равного 45°, отмечена точка M.

Точки M1 и M2 симметричны точке M относительно сторон угла. Определите угол M1OM2.

2129330o3.fm Page 359 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 4. Правильный многоугольник имеет две оси симметрии, пересекающиеся под углом 15°. Какое наименьшее число сторон может иметь этот многоугольник?

5. В ABC вершина B симметрична точке K относительно биссектрисы внутреннего угла треугольника при вершине A. Найдите отрезок CK, если AB = 3 см, 1. Определите по рисунку вид движения. Укажите на рисунке, как оно может быть задано.

А. Центральная симметрия (указать центр).

Б. Поворот (указать угол и направление).

В. Осевая симметрия (указать ось).

Г. Параллельный перенос (указать вектор).

2. Треугольник имеет только одну ось симметрии.

Определите вид треугольника.

А. Разносторонний.

Б. Равносторонний.

В. Равнобедренный.

3. Внутри угла AOB, равного 90°, отмечена точка M.

Точки M1 и M2 симметричны точке M относительно сторон угла. Определите угол M1OM2.

4. Правильный многоугольник имеет две оси симметрии, пересекающиеся под углом 18°. Какое наименьшее число сторон может иметь этот многоугольник?

5. В треугольнике ABC вершина B симметрична точке K относительно биссектрисы внешнего угла треугольника при вершине A. Найдите отрезок CK, если 2129330o3.fm Page 360 Monday, April 1, 2013 3:00 PM Примерное тематическое планирование 1.2. Поверхность Как изучать геометрию?

Глава 2. Основные свойства плоскости (17 ч) 2.2. Основные свойства прямой на плоскости 2129330o3.fm Page 361 Monday, April 1, 2013 3:00 PM Контрольная работа 3.3. Неравенства в треугольнике.

и окружностью Глава 5. Параллельные прямые и углы (18 ч) с окружностью 2129330o3.fm Page 362 Monday, April 1, 2013 3:00 PM Задачи на вычисление и доказательство бия треугольников ном треугольнике. Теорема Пифагора синусов и косинусов кающими при пересечении прямых с окружностью 2129330o3.fm Page 363 Monday, April 1, 2013 3:00 PM Глава 10. Площади многоугольников (18 ч) прямоугольника Глава 11. Длина окружности, площадь круга (13 ч) 2129330o3.fm Page 364 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 2129330o3.fm Page 365 Monday, April 1, 2013 3:00 PM Глава 1. Геометрия как наука. Первые понятия 1.1. Геометрическое тело.

1.3. Линия.

1.5. От точки к телу.

Глава 3. Треугольник и окружность.

3.3. Неравенства в треугольнике. Касание окружности Глава 4. Виды геометрических задач и методы 2129330o3.fm Page 366 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 5.3. Задачи на построение и геометрические места 5.4. Метод вспомогательной окружности. Задачи 6.3. Подобные треугольники. Признаки подобия Глава 7. Метрические соотношения в треугольнике 7.1. Метрические соотношения в прямоугольном 7.2. Тригонометрические функции. Теоремы косинусов 7.3. Соотношения между отрезками, возникающими при пересечении прямых с окружностью........... 8.2. Некоторые теоремы и задачи геометрии.

8.3. Построение отрезка по формуле. Метод подобия 8.6. Вычислительные методы в геометрии, или Глава 10. Площади многоугольников............... 10.1. Основные свойства площади. Площадь 10.2. Площади треугольника и четырёхугольника..... 2129330o3.fm Page 367 Monday, April 1, 2013 3:00 PM