«Предисловие Пособие адресовано учителю, который ведёт курс геометрии в 7—9 классах по учебнику И. Ф. Шарыгина Геометрия. 7—9 классы, содержащему 13 глав и отражающему авторскую наглядно-эмпирическую концепцию построения ...»

2129330o3.fm Page 271 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 1312. Решение видно из рисунка 347. Две прямые, параллельные стороне AВ, и отстоящие от неё на расстоянии, равном высоте, проведённой к этой стороне.

1313. У AMB и AMC сторона AM — общая. Для того чтобы площади этих треугольников были равны, надо, чтобы и высоты, опущенные на общую сторону, были равны. 1) Если точки B и C лежат по разные стороны от прямой AM, то точка M принадлежит прямой, содержащей медиану AD (см. рис. 346). 2) Если точки B и C лежат по одну сторону от прямой AM, то точка M принадлежит прямой, параллельной стороне BC.

a2 + a + 1 выражают длину отрезков, то исследуем, 2129330o3.fm Page 272 Monday, April 1, 2013 3:00 PM Применяя неравенство треугольника, выясним, могут ли данные отрезки быть сторонами треугольника.

+ a 2 + a + 1 > a 2 – a + 1. Следовательно, для любого a существует треугольник, стороны которого равны Для нахождения площади данного треугольника воспользуемся формулой S = -- cb sin A. Пусть d = 2129330o3.fm Page 273 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 1 – ----------------------------------- = ----------------------------------- ;

- ----------------------------------------------- = -- 1316. В трапеции ABCD (рис. 348) O — точка пересечения диагоналей. Так как AD || BC, то ABD равновелик ACD. Площадь BOC — общая. Вычтем её из площадей ABD и ACD, отсюда следует, что AOB и COD — равновелики.

1317. В четырёхугольнике ABCD (см. рис. 346) O — точка пересечения диагоналей. Так как ABO и COD равновелики, то равновелики и ABC и DBC, у которых общее основание BC. Следовательно, у этих треугольников равны высоты AK = DL. Значит, прямая AD, проходящая через точки A и D, равноудалена от прямой BC, т. е. AD || BC.

нобокая трапеция, либо параллелограмм в зависимости 2129330o3.fm Page 274 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 1318. В четырёхугольнике ABCD (рис. 349) O — точка пересечения прямых KM и LN, причём AK = KB, BL = LC, CM = MD и AN = ND. Соединим точку O с вершинами четырёхугольника и проведём перпендикуляры из точки O к его сторонам OH AB, OF BC,

AOK BOL LOC

COM AON

+ S AOK, SLCMO = S LOC + S COM, значит, SAKON + + SLCMO = S AON + S AOK + S LOC + S COM, аналогично, равенства площадей соответствующих пар треугольников, на которые разбит четырёхугольник ABCD, следует равенство SAKON + SLCMO = SKOLB + SNOMD.

1319. Поскольку в ABC (рис. 350) B1C1 || BC, то ABC и A1B1C1 подобны. Следовательно, площади венных сторон --------------------- = ------------- = -- ; ------------- = BC = a, тогда B1C1 = a --. Пусть AK = h, тогда AK1 = 2129330o3.fm Page 275 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 1320. В четырёхугольнике ABCD (рис. 351) O — точка пересечения диагоналей и AO = a, BO = b, CO = c и DO = d. Поскольку и смежные, то sin = sin.

AOB BOC COD

BOC AOD

= -- ad sin = 9. Из решения задачи № 1320 следует:

AOB COD

-- ac sin (180° – ) = -- bd sin (180° – ). Отсюда ac = bd.

1322. Так как AL = LD (рис. 353), то ML — медиана AMD. Следовательно, S AML = S DML. Так как BK = = KC, то MK — медиана BMC. Следовательно, S BMK = S CMK. Продолжим стороны AB и CD до пересечения в точке F. В AFD отрезок FL является медианой. Медиана FL проходит через точку K, что следует из 2129330o3.fm Page 276 Monday, April 1, 2013 3:00 PM подобия AFD и BFC. Значит, S AFL = S DFL, S BFK = = S CFK, отсюда SABKL = SDCKL; S ABM = SABKL – S BMK – 1323. В трапеции ABCD (рис. 354) AC и BD — её диагонали и точка их пересечения O лежит на отрезке KL (см. Задачу 4). Так как AL = LD, то OL — медиана AOD. Следовательно, S AOL = S DOL, так как AL = LD, то ML — медиана AMD. Следовательно, S AML = = S DML. Значит, S AOM = S DOM. Аналогично доказывается, что S BMO = S CMO. Отсюда, S AMC = S AOM + 1324. В четырёхугольнике ABCD E — точка пересечения диагоналей и при этом S ABD = p, S ACD = g, = S ACD – S AED = g – r. Из решения № 1320 следует, что S ABE•S CDE = S AED•S BEC. (p – r)•(g – r) = + S CDE + S BEC = p + g – r + ----------------------------------------- = -----.

1325. В трапеции ABCD (рис. 355) AD = a, BC = b.

Обозначим KL = x, BO = y и BN = h. SKBCL = ------------- •y;

2129330o3.fm Page 277 Monday, April 1, 2013 3:00 PM = SKBCL + SAKLD, т. е. ------------- •y + ------------- •(h – y) = ний:

------------- •y = ------------- •(h – y), ------------- •y + ------------- •(h – y) = что их площади относятся как квадраты их диаметров (см. рис. 437У), т. е. 12 :

-Значит, площадь большего круга равна площади четырёх маленьких кругов. Следовательно, площадь заштрихованной фигуры равна площади квадрата плюс площадь двух больших кругов и минус площадь восьми маленьких кругов. Но площадь восьми маленьких кругов равна площади двух больших кругов, значит, площадь заштрихованной фигуры равна площади квадрата, т. е. 1.

1327. Обозначим (рис. 356) площадь полукруга, построенного на гипотенузе через Sг, площадь полукруга, построен- a c ного на большем катете через Sбк, плоb щадь полукруга, построенного на меньшем катете через Sмк, а площадь треугольника через Sт. Из подобия кругов Рис. раты диаметров. Значит:

------- = -----, отсюда Sбк = ----- •Sг;

-------- = ----, отсюда Sмк = ---- •Sг; Sбк + Sмк = ----- •Sг + + ----- •Sг = ------------------- •Sг. В силу теоремы Пифагора a2 + + b2 = c2, значит, Sбк + Sмк = Sг. Вычтем из площади Sг общую часть площадей Sг, и Sбк и общую часть площадей Sг, и Sмк. Получим площадь прямоугольного треугольника. Вычтем из суммы площадей полукругов, поo3.fm Page 278 Monday, April 1, 2013 3:00 PM катете Sбк + Sмк, общую часть площадей Sг, и Sбк и общую часть площадей Sг, и Sмк. Получим сумму треугольника равна сумме площадей частей полукругов, построенных на большем и меньшем катете вне полукруга, построенного на гипотенузе.

1328. Как следует из рисунка 357, в четырёхугольнике OLCE стороны LC и OE параллельны. Поскольку прямоугольник FECA(L) составлен из частей квадрата ABCD (рис. 358, а), значит, LC(A) и O1E2(F1A1) параллельны. Следовательно, EF2A1 и ECA — прямоугольные. Найдём тангенс из EF2A1 tg = -- = 0, не совпадают, то отрезки LO1 и EA1 являются звеньями ломаной. Аналогично доказывается, что AE и L1O2 являются звеньями ломаной. Следовательно, площадь прямоугольника FECA равна сумме площадей фигуры, составленной из частей квадрата ABCD, и четырёхугольника E(O2)A1(O1)L(A)L1(E1) (рис. 358, б).

1329. Пусть для определённости CB = 3, CA = 2129330o3.fm Page 279 Monday, April 1, 2013 3:00 PM дённых из одной точки к данной окружности, LC = CN, = --------------------, cos = --------------------. Используя формулу синуса суммы двух углов (§ 7.2), найдём синус двойного угла sin 2 = 2 sin cos = 2 -------------------- • -------------------- = ----------------. Smp = = -- •CB•CA•sin 2 = -- •3•4• ----------------. С другой стороx ны, Smp = -- (CB + CA + AB)•OL = (3 + 4 + 7 – 2x)•1.

Отсюда -- •3•4• ---------------- = -- (3 + 4 + 7 – 2x)•1; после преx образований получим x3 – 7x2 + 13x – 7 = 0. Один из корней уравнения равен 1. x3 – 7x2 + 13x – 7 = (x – AB = 7 – 2x < 0, следовательно, AB не существует; x3 =

C L B A M C

2129330o3.fm Page 280 Monday, April 1, 2013 3:00 PM Отсюда -- •AB•(MD + MF) = -- •AB•CK. Значит, A1A2A3A4A5...An через a. Соединим данную точку M со всеми вершинами многоугольника (рис. 361). Таким образом, данный многоугольник разбивается на n треугольников, площадь каждого из которых равна -- • ah Nn, где N = 1, 2,..., n — номер треугольника. Отсюда Sмногоугольника = -- (ah1 + ah2 +... + ahn) = -- a(h1 + многоугольник разбивается на N равных треугольников, площадь каждого из которых равна -- •ah, где h — высота треугольника. Отсюда, Sмногоугольника = -- (ah)•N. Значит, -- a(h1 + h2 +... + hn) = -- (ah)•N; h1 + h2 +... + hn = Поскольку ADB, CDB и ADC — прямоугольные, то по теореме Пифагора AB = 5, CB = 13, CA = 10.

2129330o3.fm Page 281 Monday, April 1, 2013 3:00 PM – 2•AB •CA•cos. Отсюда cos = скольку ADB, CDB и ADC — прямоугольные, то по теореме Пифагора a2 = k2 + n2; b2 = m2 + k2; c2 = m2 + n2.

В ABC a2 = b2 + c2 – 2•bc cos. Отсюда cos = --------------------------------------------------------. sin = = -- bc sin = -- bc --------------------------------------------------------.

S 2 ABC = -- (bc)2 -------------------------------------------------------- = -- (m2 + k2) (m2 + n2) -------------------------------------------------------- = -- (m2k2 + k2n2 + m2n2) = 1336. Даны куб, крест, равновеликий грани куба. На рисунке 364 хорошо видно, как нужно наложить на грань крест: завернув «торчащие уши» на соседние грани, можно таким образом заклеить поверхность куба шестью крестами (рис. 365).

2129330o3.fm Page 282 Monday, April 1, 2013 3:00 PM

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

1. Стороны параллелограмма 4 см и 6 см. Меньшая его высота равна 3 см. Вычислите вторую высоту.

2. Докажите, что стороны параллелограмма обратно пропорциональны соответствующим высотам.

3. Дан параллелограмм ABCD. 1) Постройте параллелограмм с основанием AD, равновеликий данному.

2) Сколько таких параллелограммов существует?

4. Основания трапеции равны 4 см и 7 см, высота равна 3 см. Вычислите площадь трапеции.

5. Средняя линия трапеции равна 7 см, а её площадь равна 56 см2. Найдите высоту трапеции.

6. Основания трапеции равны 4 см и 7 см, а боковые стороны равны 5 см и 6 см. Вычислите площадь трапеции.

7. Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции и через точку пересечения продолжений её боковых сторон, делит основания трапеции пополам.

8. В треугольнике центр вписанной окружности соединили с вершинами треугольника и точками касания.

Докажите, что пары треугольников, прилежащие к одной вершине, равны.

9. Докажите, что две касательные, проведённые из одной точки к окружности, равны.

10. Докажите, что площадь квадрата равна половине квадрата его диагонали.

11. Найдите площадь правильного шестиугольника, если его сторона равна a.

12. Докажите, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

13. Докажите, что площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

10.3. Площади в теоремах и задачах (3 ч) Материал, определяемый «Примерными программами основного общего образования» как обязательный, в параграфе составляет только его часть. А именно возможность на примерах рассмотреть очень важный метод доказательства — метод площадей. Вместе с понятием 2129330o3.fm Page 283 Monday, April 1, 2013 3:00 PM равновеликости он позволяет значительно упростить решение многих задач и углубляет общие представления учащихся о методах геометрии. Для остального материала учитель сам определяет его место в процессе изучения. Примерное планирование изучения материала, приведённое здесь, является рекомендательным для тех учителей, которые решат изучить весь материал параграфа.

При изучении § 10.3 учащиеся получат возможность:

приводить примеры применения метода площадей; объяснять формулу синуса двойного угла; применять метод площадей при решении задач на вычисление и доказательство.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

К ИЗУЧЕНИЮ МАТЕРИАЛА

1 Материал параграфа является обобщением темы «Площади многоугольников», вся работа организуется через решение задач. Поэтому работу можно организовать следующим образом:

— если рассматривается известная теорема, то предложить учащимся сформулировать её; вспомнить, как эта теорема доказывалась раньше; затем поиск нового доказательства провести в форме фронтальной беседы и обсудить, какой метод проще, изящнее;

— если рассматривается новый факт, то условие теоремы можно сформулировать в виде задачи и попытаться найти её решение вместе с учащимися.

2 При обсуждении методов доказательства теоремы Пифагора: одного — подобия треугольников и второго — с опорой на свойства площадей можно предложить учащимся найти ещё какое-нибудь доказательство теоремы.

3 В процессе вывода формулы длины биссектрисы угла треугольника, необходимо найти синус двойного угла. Для этого учащиеся должны вспомнить формулы сложения для синуса и косинуса. После вывода этой формулы решить № 1337 с использованием формулы синуса суммы углов.

4 Решение № 1347 предварить задачей: «Докажите, что средняя линия треугольника отсекает от него треo3.fm Page 284 Monday, April 1, 2013 3:00 PM угольник, площадь которого равна -- площади данного 5 Материал параграфа служит для обобщения, вопросы к домашнему заданию здесь не предусматриваются. Задачи параграфа позволяют достаточно глубоко проработать предлагаемые методы.

ПРИМЕРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕРИАЛА

На первом уроке: в классе — пункты: ещё одно доказательство теоремы Пифагора; метод площадей, теорема о медианах треугольника; № 1339; дома — повторить пункт формулы сложения для синуса и косинуса» § 7.2, № 1338, 1340, 1341, 1342 и 1343.

На втором уроке: в классе — пункты: теорема о биссектрисе внутреннего угла треугольника, одна важная задача, ещё один метод, основанный на понятии площади, вывод формулы синуса двойного угла; № и 1344; дома — № 1347, 1348, 1349 и 1350.

На третьем уроке: в классе — пункты: отношение отрезков диагонали четырёхугольника, одна типичная задача, составление уравнений; № 1345 и 1353; дома —

УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ УЧЕБНИКА

1337. Так как треугольник — прямоугольный, то l = --------------------------------- = ---------------------- = ------------------.

2129330o3.fm Page 285 Monday, April 1, 2013 3:00 PM

KBC ABC

AKP ABC

KBM KBC

ABC PCM

Значит:

ABC AKP KBM MCP

= SABCD – ----- S 1342. Из точки A1 опустим перпендикуляры A1F и A1E на стороны AC и AB соответственно (рис. 369).

A1AF и A1AE равны, как 2129330o3.fm Page 286 Monday, April 1, 2013 3:00 PM рому углу. Следовательно, A1F = A1E = h. Из вершины A опустим перпендикуляр AD = h1 на сторону A1C.

= -- h•AB. Отсюда A1B : A1C = AB : AC.

Допустим MBC = 90°. Задача не имеет решения, так как MC и AB параллельны, как два перпендикуляра к одной прямой. 2) MBC 90°. Возможны два варианта: а) a < b; б) a > b (рис. 370).

AMC AMC

Отсюда а) CM = ------------------------- ; б) CM = -------------------------.

= -----------------------. OCD — прямоугольный, так как CD — каa2 + b сательная. Пусть CD = x, а COD =, тогда чение tg. sin = --------- = ---------------------------------------------------- = ------------------- ;

2129330o3.fm Page 287 Monday, April 1, 2013 3:00 PM cos = 1 – sin 2 = ------------------- ; tg = ---------------------. Значит, x = ------------------------------ (рис. 371).

KBC KBM AKC

AKF BFC FMC

Рассмотрим четырёхугольник KBMF, в котором KM и BF — диагонали. В силу решения Задачи -------- = ----------------- = -----.

По аналогии с № 1339 (рис.

ABF FBC

Рассмотрим четырёхугольРис. ник ABMF, в котором AM и BF — диагонали. В силу решения Задачи 3 ---------- =

BGC GMC GBM

2129330o3.fm Page 288 Monday, April 1, 2013 3:00 PM

AMC AMG AMC GMC

AOG FOG

1347. Треугольники ABP, PQA, PQC и DCQ равны по третьему признаку равенства треугольников (рис. 374): BP = PC = AQ = DQ (P и Q — середины сторон параллелограмма), AB = QP = DC и AP = QC (как отрезки параллельных прямых, заключённых между паSABCD. Треугольники QND и PLB равны по второму признаку равенства треугольников: (P и Q — середины сторон параллелограмма), LBP = NDQ и BPL = DQN (как углы при параллельных прямых). Отсюда PL = QN — средняя линия BMC, MR — средняя линия NDC.

S DCQ = 5S CMR = -- SABCD. Отсюда S CMR = ----- SABCD, 2129330o3.fm Page 289 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 1348. Обозначим высоту треугольника через h:

По алгоритму условия задачи получаем: S ABC = = sin •cos + sin •cos.

Следовательно, выполняется равенство OA2 = CA2 + OC2.

По обратной теореме Пифагора AOC — прямоугольный (C — прямой). Аналогично доказывается, что BOC — прямоугольный (C — прямой). Из точки C, лежащей на прямой OC, к данной прямой можно провести только один перпендикуляр. Следовательно, точки A, B и C лежат на одной прямой.

1350. S KLN = S KON + S NOL + S LOK (рис. 376).

Введём обозначения BC = a, AC = b, B =, A =.

Из подобия соответствующих треугольников следует ренный), sin 2 = -------------------, значит, OL = --------------------------. В чеa2 + b2 2 a2 + b 2129330o3.fm Page 290 Monday, April 1, 2013 3:00 PM = -- LO•NO•sin = -- • -------------------------- • -- b --------------------------. Аналоa2 + b2 4 2 a2 + b гично, S LOK = -- LO•KO•sin = -- • -------------------------- • -- a --------------------------. Следовательно, S

ABC KLN

PBC PBC MPC PBC

ABM MKB ABM AKC

AKF BFC FMC KMF

= S 1 – ----- – ----- – ----- = ----- S.

Касательные, выходящие из точки K, обозначим x (рис. 378). CD = 2r = uv. Найдём площадь ABK по формуле Герона S = и по формуле S = pr = (u + v + x) ---------- = ------------------, а затем 1353. Непосредственно следует из решения Задачи 3.

2129330o3.fm Page 291 Monday, April 1, 2013 3:00 PM Контрольная работа № 1. Прямоугольник ABCD и параллелограмм AFGB расположены так, как показано на рисунке, при этом их стороны AB и FG лежат на одной прямой. Площадь прямоугольника ABCD равна 11 см2, а площадь CMF равна 1 см2. Найдите площадь параллелограмма AFGB (рис. 379).

2. ABC и A1B1C1 подобны и их периметры относятся, как 2 : 5. Площадь A1B1C1 на 42 см2 больше площади ABC. Найдите площадь ABC.

А. 36 см2. Б. 50 см2. В. 42 см2. Г. 8 см2.

3. Площадь прямоугольника, в котором стороны относятся как 1 : 4, равна площади квадрата со стороной 6 см. Найдите большую сторону прямоугольника.

4. В ABC, стороны которого равны 25 см, 26 см и 3 см, вписана окружность. Найдите радиус вписанной окружности (рис. 380).

5. ABC, стороны которого 13 см, 14 см и 15 см, разбит на три треугольника отрезками, соединяющими точку пересечения медиан M с вершинами треугольника. Найдите площадь BMC.

2129330o3.fm Page 292 Monday, April 1, 2013 3:00 PM а площадь AND равна 3 см2. Найдите площадь параллелограмма AFGD (рис. 381).

2. ABC и A1B1C1 подобны и отношение сходственных сторон равно 5 : 3. Площадь ABC на 16 см больше площади A1B1C1. Найдите площадь ABC.

3. В прямоугольнике ABCD стороны равны 3 см и 8 см. Найдите меньшую сторону равновеликого ему прямоугольника A1B1C1D1, периметр которого равен 20 см.

4. В ABC, стороны которого равны 25 см, 26 см и 3 см, вписана окружность. Найдите радиус вписанной окружности (см. рис. 380).

5. В треугольник вписана окружность радиуса 4 см.

Одна из сторон треугольника разделена точкой касания на отрезки 6 см и 8 см. Найдите длины сторон треугольника (см. рис. 380).

Длина окружности, площадь круга (13 ч) В главе продолжается изучение свойств многоугольников, а именно правильных многоугольников. Изучение свойства правильных многоугольников, вписанных в окружность и описанных около окружности, и их периметров позволяет подводить учащихся к понятию длины окружности и площади круга, а также выводу формул для их вычисления. Для правильных n-угольников доказывается существование описанной и вписанo3.fm Page 293 Monday, April 1, 2013 3:00 PM ной окружностей. При выводе формулы длины окружности в неявном виде используется метод предельного перехода. Наряду с площадью круга рассматриваются также площади кругового сектора и кругового сегмента.

Здесь же учащимся предстоит познакомиться с новой для них мерой углов — радианной, определение которой дано конструктивно. Учащиеся должны понять соотношение между градусной и радианной мерами угла.

В процессе изучения данной главы полезно уделить внимание использованию электронного приложения.

При изучении главы 11 учащиеся должны достичь следующих предметных результатов:

— формулировать и иллюстрировать определение правильного многоугольника;

— объяснять свойство правильного многоугольника: быть вписанным в окружность и описанным около окружности;

— объяснять расположение центров вписанной и описанной окружностей правильного многоугольника;

— выводить формулы, связывающие радиус описанной окружности и радиус вписанной окружности со стороной правильного n-угольника;

— объяснять формулы длины окружности и площади круга, опираясь на наглядные представления;

— вычислять длину окружности, длину дуги окружности;

— вычислять площади круга, кругового сектора и кругового сегмента;

— применять при решении задач на вычисление и доказательство: формулы длины окружности и длины дуги окружности, формулы площади круга, площади кругового сектора и площади кругового сегмента; формулы перехода от градусной меры угла к радианной и обратно.

Учащиеся получат возможность научиться выводить формулы перехода от градусной меры угла к радианной и обратно; применять при решении задач на вычисления и доказательство формулы перехода от градусной меры угла к радианной и обратно.

11.1. Правильные многоугольники (3 ч) Рассматриваемый в параграфе материал служит фундаментом для изучения таких важных тем школьного курса планиметрии, как «Длина окружности» и «Площадь круга».

После того как учащиеся убеждаются в существовании описанной и вписанной окружностей, несколько 2129330o3.fm Page 294 Monday, April 1, 2013 3:00 PM вскользь сообщается об определении центров вписанной и описанной окружностей.

В результате изучения § 11.1 учащиеся должны достичь следующих предметных результатов:

— изображать и выделять из ситуации, изображённой на чертежах или рисунках, конфигурацию, позволяющую применить формулы длины окружности и длины дуги;

— формулировать и объяснять теоремы о существовании описанной и вписанной окружностей; свойства периметра правильного n-угольника;

— объяснять расположение центров вписанной и описанной окружностей правильного многоугольника;

— выводить формулы, связывающие радиус описанной окружности и радиус вписанной окружности со стороной правильного n-угольника;

— решать задачи на построение правильных многоугольников;

— решать задачи на вычисление и доказательство с использованием: формул, связывающих радиус описанной окружности и радиус вписанной окружности со стороной правильного n-угольника; алгебраический аппарат.

Учащиеся получат возможность познакомиться с доказательством теоремы о существовании описанной и вписанной окружностей; с доказательством теоремы о свойстве периметра правильного n-угольника.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

К ИЗУЧЕНИЮ МАТЕРИАЛА

1 Доказательство утверждения «любой правильный многоугольник является одновременно вписанным и описанным...» фактически сводится к построению точки, равноудалённой от всех вершин и сторон правильного многоугольника и проводится с опорой на рисунок 453У. При обсуждении доказательства этого утверждения следует очень чётко зафиксировать внимание учащихся на том факте, что «для правильных многоугольников центры вписанной и описанной окружностей совпадают». Отметим, что центр вписанной и описанной окружностей правильного многоугольника во многих сборниках задач и учебниках называют центром многоугольника. Из доказательства утверждения вытекают а л г о р и т м ы построения общего центра впиo3.fm Page 295 Monday, April 1, 2013 3:00 PM санной и описанной окружностей правильного многоугольника и их радиусов:

— Для нахождения центра и радиуса окружности, вписанной в правильный многоугольник, достаточно построить биссектрисы двух соседних углов, найти точку их пересечения и опустить из неё перпендикуляр на соответствующую сторону многоугольника. Точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности, а перпендикуляр — радиусом вписанной окружности.

— Для нахождения центра и радиуса окружности, описанной около правильного многоугольника, достаточно построить перпендикуляры к двум соседним сторонам, найти точку их пересечения и соединить её с соответствующей вершиной многоугольника. Точка пересечения перпендикуляров является центром описанной окружности, а отрезок, соединяющий её с вершиной многоугольника, — радиусом описанной окружности.

На закрепление темы — у п р а ж н е н и е: «Начертите правильный треугольник (четырёхугольник) и постройте: а) вписанную в него окружность; б) описанную около него окружность» и № 162, 164, 165Т. № 167— 170Т составляют серию очень полезных задач, результаты решения которых могут быть использованы в дальнейшем.

2 Формулы, связывающие радиусы вписанной и описанной окружностей со стороной правильного n-угольника, входят в содержание курса планиметрии, определяемое «Примерными программами основного общего образования», получаются при решении № 1354 и и будут неоднократно использоваться в процессе решения. Следует решить эти задачи на уроке. Для лучшего запоминания формул полезно выразить сторону правильного n-угольника через радиусы вписанной и описанной окружностей и сделать в тетрадях таблицу 8.

3 Материал пункта «Свойство периметра правильного n-угольника» является пропедевтическим для тем «Длина окружности» и «Площадь круга», рекомендуется дать его на уроке в полном соответствии с учебником, а опрос учащихся по нему не проводить, кроме формулировок теоремы и леммы.

2129330o3.fm Page 296 Monday, April 1, 2013 3:00 PM = ------------------------ = --------------------- При доказательстве теоремы обратить внимание учащихся на нестандартный метод доказательства, применяемый в этой теореме.

Дополнительные задачи являются классическими по теме «Правильные многоугольники» и могут быть использованы для организации дифференцированной работы на уроке и дома.

ПРИМЕРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕРИАЛА

На первом уроке: в классе — пункт: определение правильного многоугольника; № 1354 и 1355; дома — № 1—5В, № 1356, 1357, 1358 и 1361.

На втором уроке: в классе — пункт: свойство периметра правильного n-угольника; № 1362 и 1364; дома — № 6, 7В, № 1359, 1360 и 1363.

На третьем уроке: в классе — № 1367—1370; дома —

ВОПРОСЫ К ДОМАШНЕМУ ЗАДАНИЮ

1. Сформулируйте определение правильного многоугольника.

2129330o3.fm Page 297 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 2. Объясните, какой многоугольник называется вписанным.

3. Объясните, какой многоугольник называется описанным.

4. Сформулируйте и докажите утверждение о правильном многоугольнике, вписанном в окружность и описанном около окружности.

5. Выведите формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей правильного n-угольника.

6. Сформулируйте лемму о периметрах двух треугольников, которые имеют по одной равной стороне и равные углы против равных сторон.

7. Сформулируйте свойство периметра правильного n-угольника.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ УЧЕБНИКА

1361. Воспользуемся результатом Задач 1, 2.

----------------------------. Воспользуемся результатом решения № 948 (§ 7.2) sin 18° = ----------------- и получим 2129330o3.fm Page 298 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 1363. Угол правильного десятиугольника равен 144°.

Рассмотрим ADC (рис. 382): DC — отрезок прямой, соединяющей центр окружности с вершиной десятиугольника. Значит, отрезок DC перпендикулярен стороне пятиугольника и является биссектрисой ACB, что следует из утверждения о правильном многоугольнике, вписанном в окружность и описанном около окружносADC (прямоугольный) следует -- a5 = a10 cos 18°.

Воспользуемся результатами № 954 и 1362, a10 = = 2R sin 18° = R ----------------- и получим: a5 = 2R ----------------- 1364. a10 = 2R sin 18° = R ----------------- № 362). Чтобы построить отрезок -----------------, построим единичную окружность с центром в точке C (рис. 383). Построим прямоугольный ABC с прямым углом в точке C, один катет которого равен 1, а второй — --. Тогда 2129330o3.fm Page 299 Monday, April 1, 2013 3:00 PM = ----------------- по построению (см. № 1362) является стороной десятиугольника. Продолжая делать засечки раствором циркуля, равным AD, получим вершины десятиугольника. Соединив вершины через одну, получим пятиугольник. Чтобы вписать десятиугольник в окружность заданного радиуса, достаточно провести окружность заданного радиуса с центром в точке C и через вершины построенного в единичной окружности десятиугольника из центра окружности провести лучи до пересечения с заданной окружностью.

1365. Нет. Контрпример: прямоугольник.

1366. Нет. Контрпример: ромб.

1367. В AOF и FOD проведены высоты OK и OM соответственно. Так как эти треугольники равнобедренные, то OK и OM являются O и медианами. OAF = OFA =.

угол данного пятиугольника равен +. На рисунке 384, двигаясь по часовой стрелке, отметим равные углы при основаниях равнобедренных треугольников соответственно или. Следовательно, в AOB:

Отсюда из равенства OKF и OMF (по гипотенузе и острому углу) следует KF = FM, а значит, AF = FD. Аналогично доказывается равенство остальных сторон пятиугольника. Следовательно, у данного пятиугольника равны все стороны и все углы, значит, пятиугольник — правильный.

1368. Доказательство аналогично № 1367.

1369. Проведём радиусы OK и OM в точки касания.

OKA2 и OMA2 равны, так как KA2 = A2M, как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, а A2O — общая гипотенуза. Следовательно, KA2O = MA2O. Значит, OA2 — биссектриса A1A2A3.

Аналогично доказывается, что OA1, OA2,..., OAn — соответственно биссектрисы A2 A1 An, A2 A3 A4,..., An – 1 An A1. Обозначим отрезки KA2 через a, а KA1 чеo3.fm Page 300 Monday, April 1, 2013 3:00 PM рез b. На рисунке 385, двигаясь по часовой стрелке, как в № 1367, отметим соответственно равные отрезки, являющиеся касательными, через a или b. В результате придём к противоречию: в A1KO катет A1K с одной стороны равен b, а с другой — a. Значит, b = a. Следовательно, A1KO = A2KO, OA1K = OA2K, а значит, An A1 A2 = A1 A2 A3. Поскольку OA1, OA3,..., OAn — биссектрисы соответствующих углов, то все углы равны.

Значит, данный многоугольник с нечётным числом сторон имеет равные стороны и равные углы, следовательно, — правильный.

1370. Сначала докажем утверждение задачи для правильного многоугольника A1 A2 A3...An (рис. 386). Соединим точку A с вершинами многоугольника и опустим перпендикуляры на стороны многоугольника. Таким образом, многоугольник A1 A2 A3...An разбит на n треугольников с равными основаниями A1 A2 = A2 A3 = = A3 A4 =... = An A1 = a и высотами x1, x2, x3,..., xn. Значит, 2S = a(x1 + x2 + x3 +... + xn), отсюда Рассмотрим теперь многоугольник B1B2B3B4B5B с равными углами (рис. 387). Построим правильный многоугольник A1A2 A3 A4 A5 A6, ны. Обозначим расстояния от точки A до сторон многоугольника 2129330o3.fm Page 301 Monday, April 1, 2013 3:00 PM ние между параллельными прямыми, значит, сумма расстояний между параллельными сторонами обоих многоугольников не зависит от выбора точки A внутри многоугольника B1B2B3B4B5B6. Следовательно, сумма расстояний от произвольной точки до сторон многоугольника есть величина постоянная.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

1. Какой многоугольник получится, если последовательно соединить отрезками взятые через одну вершины правильного: а) шестиугольника; б) восьмиугольника;

в) восемнадцатиугольника?

2. Какой многоугольник получится, если последовательно соединить отрезками середины сторон правильного: а) шестиугольника; б) восьмиугольника; в) восемнадцатиугольника?

3. Проведите доказательство задачи 1 б)ДЗ: «Если последовательно соединить отрезками взятые через одну вершины правильного восьмиугольника, то получится квадрат».

4. Сторона правильного шестиугольника равна a.

Найдите его большую диагональ.

5. Сторона правильного восьмиугольника равна b.

Найдите его большую диагональ.

6. Докажите, что в правильном шестиугольнике противолежащие стороны параллельны.

7. Докажите, что диагональ правильного пятиугольника параллельна одной из его сторон.

11.2. Длина окружности (2 ч) В параграфе выводятся формулы длины окружности, длины дуги окружности, вводится новая единица измерения углов (радиан) и определяется её соотношение с градусной мерой. Авторская концепция обоснования формулы длины окружности потребовала введения пункта «Формулы удвоения». Пункт «Число » следует рассмотреть в ознакомительном порядке. В параграфе учащиеся знакомятся с новой для них мерой углов, называемой радианной. При этом выводятся формулы для 2129330o3.fm Page 302 Monday, April 1, 2013 3:00 PM выражения радианной меры угла через его градусную меру, и наоборот.

Следует заметить, что радианная мера углов не входит в содержание, определяемое «Примерными программами основного общего образования», однако рассмотреть её на уроке полезно. В формулировках многих задач не только этого учебника, но и других учебников или сборников задач эта мера используется.

При изучении § 11.2 учащиеся должны достичь следующих предметных результатов:

— выводить формулы перехода от градусной меры угла к радианной и обратно;

— формулировать и объяснять формулы удвоения;

— объяснять формулы длины окружности, опираясь на наглядные представления;

— вычислять длину окружности, длину дуги окружности;

— объяснять природу числа ;

— применять при решении задач на вычисление и доказательство формулы длины окружности и длины дуги окружности.

Учащиеся получат возможность научиться выводить формулы перехода от градусной меры угла к радианной и обратно; применять при решении задач на вычисление и доказательство: формулы перехода от градусной меры угла к радианной и обратно.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

К ИЗУЧЕНИЮ МАТЕРИАЛА

1 Материал пункта «Формулы удвоения» носит вспомогательный характер и его основная цель — обосновать формулы длины окружности и её дуги, рассмотреть его целесообразно в виде лекции. Следует обратить внимание учащихся на полученные формулы удвоения для вписанных и описанных многоугольников, так как они будут использоваться в пункте «Число » для вычисления длины единичной полуокружности. После вывода формулы длины окружности необходимо сконцентрировать внимание учащихся на двоякой интерпретации числа, как длины единичной полуокружности и как отношения длины окружности к её диаметру.

2129330o3.fm Page 303 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 2 В основе вывода формулы длины дуги окружности лежит известный факт, что градусная мера всей окружности равна 360°. Предложив учащимся составить пропорцию (180° – R; n° – l), получим формулу для вычисления длины дуги. На закрепление формул длины окружности и длины дуги окружности использовать 3 В основе вывода формул для перевода градусной меры угла в радианную и обратно лежит тот факт, что развёрнутому углу соответствует половина окружности.

Поэтому, предложив учащимся составить пропорцию (180° – радиан; n° – радиан), вместе с ними получим формулу для перевода градусной меры угла в радианную и наоборот. На закрепление этих формул предложить учащимся заполнить таблицу 9 и выполнить № 182— 183Т как обобщение знаний учащихся о числовых значениях тригонометрических функций углов.

4 Введена новая мера измерения углов, теперь следует определить единицу этой меры. За единицу таковой принимается центральный угол, соответствующий дуге, длина которой равна длине радиуса данной окружности.

Этот угол называется радианом. При измерении угла в радианах название единицы измерения или его обозначения не существует, а угол выражается в долях числа.

ПРИМЕРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕРИАЛА

На первом уроке: в классе — пункты: формулы удвоения, число, длина окружности и её дуги; № 4ДЗ;

2129330o3.fm Page 304 Monday, April 1, 2013 3:00 PM дома — повторить пункт: центральный угол в окружности (§ 5.2), № 1—3В, № 1371—1374.

На втором уроке: в классе — пункты: радианная мера угла, связь между градусной и радианной мерами углов; дома — № 4—6В, № 1375—1378.

ВОПРОСЫ К ДОМАШНЕМУ ЗАДАНИЮ

1. Объясните, что такое число.

2. Объясните вывод формулы длины окружности.

3. Объясните вывод формулы длины дуги окружности.

4. Объясните, что такое радианная мера угла.

5. Выведите формулу для перевода градусной меры угла в радианную.

6. Выведите формулу для перевода радианной меры угла в градусную.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ УЧЕБНИКА

1374. Пусть хорды BC = 2 и AC = 3. Соединим концы хорд с центром (точка O) окружности. Рассмотрим BOC: BO = OC = 1, как радиусы единичной окружности, BC = 2. Значит, по обратной теореме Пифагора BOC — прямоугольный, BOC — прямой.

Рассмотрим AOC: AO = OC = 1, как радиусы единичной окружности, AC = 3. По теореме косинусов найдём AOC = 120°. Дуга BC = -- ; дуга AC = ------. Отношение дуг равно --.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

1. Даны две концентрические окружности, длина одной из них равна 33 см, а другой 27 см. Найдите ширину кольца.

2. Найдите длину окружности, описанной около трапеции, стороны которой равны a см, a см, a см и 2a см.

3. Дуги A1B1 и A2B2 равной длины l принадлежат разным окружностям с радиусами R1 и R2. Найдите отношение градусных мер центральных углов, соответствующих этим дугам.

2129330o3.fm Page 305 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 4. Найдите длину границы каждой из заштрихованных фигур, используя данные рисунка 388.

11.3. Длина окружности (продолжение) (1 ч) Поскольку материал данной главы не является программным, чтобы не нарушать авторский подход к изложению курса геометрии, его можно изложить в форме рассказа учителя. Опрос учащихся по данной теме не проводится. К параграфу задачи не рекомендованы, и для домашнего задания использовать либо не решённые задачи к предыдущим параграфам, либо — из их дополнительных задач.

11.4. Площадь круга и его частей (2 ч) Параграф содержит программный материал: вывод формул площади круга, площади сектора и дополнительный материал: вывод формулы площади сегмента.

При выводе этих формул, как и при выводе формулы длины окружности, неявно используется предельный переход. Как и в случае многоугольника, в ходе изучения темы у учащихся формируется представление о площади круга и его частей, как о некоторой величине, характеризующей фигуру.

Как и в случае многоугольников, основное внимание уделяется решению задач, что позволяет расширить 2129330o3.fm Page 306 Monday, April 1, 2013 3:00 PM представления учащихся об аналитических методах решения геометрических задач. При этом формулы площадей круга, сектора и сегмента применяются не только при решении задач на вычисление, но и при решении задач на доказательство и построение.

Вычисление площадей круга и его частей является составной частью задач на тела вращения в курсе стереометрии. Поэтому основное внимание уделяется формированию практических навыков вычисления площадей круга и его частей.

В электронном приложении к этому пункту весь учебный материал освещается полностью, и его использование будет способствовать усвоению этой темы.

При изучении § 11.4 учащиеся должны достичь следующих предметных результатов:

— выводить формулы площади круга, кругового сектора;

— вычислять площади круга, кругового сектора;

— применять при решении задач на вычисление и доказательство формулы площадей круга, кругового сектора.

Учащиеся получат возможность научиться выводить формулы площади кругового сегмента; вычислять площадь кругового сектора; применять при решении задач на вычисления и доказательство: формулу площади кругового круга, сектора и сегмента.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

К ИЗУЧЕНИЮ МАТЕРИАЛА

1 При обосновании формулы вычисления площади круга следует обратить внимание на последовательность 1) Строится правильный n-угольник, описанный около данной окружности, с периметром Pn и площадью Sn = -- PnR.

Sn стремится к R2.

2) Строится правильный n-угольник, вписанный в данную окружность, с периметром Pn и площадью Sn = -- PnR. При и стремится к длине описанной окружности.

2129330o3.fm Page 307 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 3) Делается вывод о вычислении площади круга по формуле S = R2.

Для закрепления алгоритма решить № 1379.

2 При выводе формулы сектора воспользуемся известным фактом, что градусная мера всей окружности равна 360°, поэтому площадь сектора в 1° равна -------- R2.

3 Так как задачи, рекомендованные к данному параграфу, достаточно сложны, поэтому можно воспользоваться дополнительными задачами и № 186, 187, 189, 190, 198, 200Т (частично заменить ими задачи из учебника, если уровень геометрической подготовки класса низкий).

ПРИМЕРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕРИАЛА

На первом уроке: в классе — параграф; № 1379, 1384;

дома — 1—3 ДЗ, № 1380—1382 и 1386.

На втором уроке: в классе — № 1385, 1387, 1390, 1391; дома — № 1388, 1389 и 1392.

ВОПРОСЫ К ДОМАШНЕМУ ЗАДАНИЮ

1. Выведите формулу площади круга.

2. Выведите формулу площади сектора.

3. Выведите формулу площади сегмента.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ УЧЕБНИКА

Для квадрата P4 = 1, a4 = --, S4 = -----. -- > --, S > S4.

2129330o3.fm Page 308 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 1383. Используя данные на рисунке 389 обозначения, получим соотношение x + y = 2 (по условию);

3 – (2 – x)2 = h2; 1 – x2 = h2 (по теореме Пифагора).

1384. Возможное расположение данных хорд по разные стороны от центра окружности и с одной стороны от центра. Площадь сегмента, ограниченного хордой В первом случае площадь большей части равна: S = – – -- -- – 1 – -- -- – ------ = -- + ------ – -- < 2,3. Во втором O2O1B = 60°. Аналогично, O1O4A — равносторонo3.fm Page 309 Monday, April 1, 2013 3:00 PM ний, O4O1A = 60°. Значит, O2O1B = AO1B = = BO1O4 = 30°. Аналогично доказывается, что каждый из углов DO2C, DO3C и AO4D равен 30°. Из рисунка видно, что Sискомая = Sквадрата ABCD + 4Q30°. Площадь сегмента, ограниченного дугой в 30°, Q30° = -- •12• -- – ну квадрата ABCD через x, тогда -- x = 1•cos 75°;

сюда x = ------ ( 3 – 1); Sквадрата ABCD = 2 – как смежный с ABC = 140°. Рассмотрим BDE, где BDE = 90°, так как BD — высота, причём BD = 1, BE = 2, следовательно, BDE — прямоугольный равнобедренный. Отсюда BED = 45°, а поскольку FBE — равнобедренный, значит, FBE = 90°. Площадь общей части круга и треугольника равна площади полуокружности минус площадь сектора в 40° и минус 2129330o3.fm Page 310 Monday, April 1, 2013 3:00 PM площадь сегмента, ограниченного хордой FE. Следовательно, S40° = -- • -- ( 2 )2 = --, AB заметает кольцо, образованное окружностями радиусов AM и BM. Продолжим отрезок AB до пересечения с прямой l в точке C. Так как AMC и BMC — прямоугольные, то по теореме Пифагора: AM2 = AC2 + MC2;

BM2 = BC2 + MC2; Sкольца = BM2 – AM2 = (BC2 + + MC2 – AC2 – MC2) = (BC2 – AC2). Таким образом, ясно, что площадь, заметаемая отрезком AB, не зависит от расположения точки M на прямой l.

из рисунка 393, а. Окружности радиуса 2 пересекаются в точке D, A2DA1 — равнобедренный. A2D = DA1 радиусы равных окружностей, а так как A2A1 = 2, то по теореме, обратной теореме Пифагора, A2DA1 — пряo3.fm Page 311 Monday, April 1, 2013 3:00 PM моугольный. Отсюда A2DA1 = 45°, а DA1O = 15°.

Часть площади A2OA1, расположенная вне кругов радиуса 2, равна площади A2OA1 минус площадь A2DA1 и минус площадь двух секторов 15°.

= ----- •Sискомая = 1390. MOL = 90°. Пусть луч ON образует с лучом OL угол, равный (рис. 394). С центром в точке O проведём окружность радиуса 1. Она пересечёт луч OL в точке A. Из точки A к лучу OL восставим перпендикуляр и точку его пересечения с лучом ON обозначим B. BOA — прямо- M 2129330o3.fm Page 312 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 1391. Можно. Rn = --, в этом случае при достаточно большом n сумма -- может превосходить 100, а сумма • -- быть меньше 0,01.

1392. Найдём радиусы и площади построенных полуокружностей (рис. 395): AO1 = x; AO2 = x + -- b;

– b) – x. Отсюда Sискомая = -- ab.

описана около этой же четверти окружности. Радиус окружности равен 100, а его площадь равна 10 000. Площадь четверти круга равна 2500. Площадь вписанной (описанной) фигуры состоит из 99 (100) прямоугольников, одна сторона которых у всех равна 1, а другая есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые её основание делит диаметр окружности: Sвписанная = 2129330o3.fm Page 313 Monday, April 1, 2013 3:00 PM

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

1. Даны две концентрические окружности, длина одной из них равна 33 см, а другой 27 см. Найдите площадь кольца.

2. Дана окружность, описанная около трапеции, стороны которой равны a см, a см, a см и 2a см. Найдите площадь круга.

3. Найдите площадь каждой из заштрихованных фигур (см. рис. 440).

Контрольная работа № 1. На отрезке AB, равном 8, отмечена точка C и на отрезках AB, AC и BC, как на диаметрах, построены полуокружности с одной стороны от AB. Определите длину границы фигуры, заключённой между полуокружностями.

2. Дуги A1B1 и A2B2 равной длины принадлежат разным окружностям с радиусами 3 см и 9 см. Найдите отношение градусной меры центрального угла, соответствующего дуге A1B1 к градусной мере центрального угла, соответствующего дуге A2B2.

3. Найдите сторону квадрата, описанного около окружности, если сторона правильного шестиугольника, вписанного в эту окружность, равна 3 см.

4. По данным рисунка найдите площадь заштрихованной фигуры (KL, LM, MN и KN — дуги окружностей с центрами в вершинах B, C, D и A квадрата ABCD) (рис. 397).

2129330o3.fm Page 314 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 5. Площадь кольца, образованного окружностью, описанной около правильного восьмиугольника, и окружностью, вписанной в него, равна. Найдите сторону восьмиугольника.

1. Из вершины прямого угла ABC внутри его проведены дуга радиуса 6 и на его стороне BC полукруг диаметра 6. Определите длину границы фигуры, заключённой между дугой и полукругом.

2. Дуга окружности с центром в точке O соответствует центральному углу, равному 120°. Известно, что длина окружности с центром в точке O1 равна длине этой дуги. Найдите отношение радиуса окружности с центром в точке O1 к радиусу окружности с центром в 3. Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в окружность, если сторона правильного шестиугольника, описанного около этой окружности, равна площадь заштрихованной фигуры, если данный треугольник — равносторонний, а центры проведённых 5. Площадь кольца, образованного окружностью, описанной около правильного n-угольника, и окружностью, вписанной в него, равна. Найдите сторону n-угольника.

2129330o3.fm Page 315 Monday, April 1, 2013 3:00 PM Координаты и векторы (15 ч) Учебный материал темы «Координаты и векторы» — традиционный для любого курса геометрии. Тема «Декартовы координаты» в определённом смысле дублирует аналогичный материал курса алгебры. При этом содержание ограничено знакомством учащихся с системой декартовых координат и применением метода координат к выводу формулы расстояния между точками и выводу уравнений окружности и прямой. Задание системы координат позволяет определить положение точки на плоскости парой чисел (координатами), что в свою очередь определяет положение фигур (прямых и окружностей) соответствующими уравнениями, которым удовлетворяют координаты точек этих фигур. Метод координат позволяет многие геометрические задачи перевести на язык алгебраических формул и уравнений.

Поэтому при его изучении широко используются элементы алгебры: тождественные преобразования, решение линейных и квадратных уравнений и их систем.

Вопросы, связанные с выводом уравнений прямой и окружности, их взаимного расположения и расположения их на плоскости, полностью дублируются в курсе алгебры, поэтому их можно дать в обзорном виде и за основную форму работы на уроке можно принять фронтальную беседу.

Содержание темы « Векторы» в курсе геометрии ограничено знакомством учащихся с понятием вектора, и далее в курсе планиметрии векторный аппарат не используется. Понятие «вектор» вводится на основе естественного и наглядного представления о направленном отрезке. При этом основное внимание следует уделить формированию у учащихся умений выполнять действия над векторами в координатных и геометрических формах. Кроме того, изучение векторов должно удовлетворить потребности курса физики. Основной целью изучения векторов в данном курсе является знакомство учащихся с одним из эффективных методов геометрии — векторным методом решения задач.

Задачный материал в основном направлен на непосредственное закрепление введённых понятий, формул, 2129330o3.fm Page 316 Monday, April 1, 2013 3:00 PM уравнений. Многие из этих задач решаются чисто аналитически, однако полезно проиллюстрировать их решения на рисунке.

В процессе изучения данной главы полезно уделить внимание использованию электронного приложения.

В рабочей тетради к теме «Координаты и векторы»

дан дополнительный теоретический материал, значительно расширяющий содержание темы, определяемое «Примерными программами основного общего образования». Кроме того, в тетради дано избыточное число задач. Методику использования рабочей тетради определяет учитель.

При изучении главы 12 учащиеся должны достичь следующих предметных результатов:

— изображать на чертежах и рисунках систему координат, строить точки по координатам, определять знаки координат конкретных точек;

— изображать на чертежах и рисунках векторы, сумму и разность двух векторов, вектор, равный произведению заданного вектора на число, заданных геометрически;

— оперировать с векторами: находить сумму и разность двух векторов, заданных геометрически, находить вектор, равный произведению заданного вектора на число;

— выводить формулы длины отрезка и координат середины отрезка;

— составлять уравнения окружности и прямой;

— определять координаты вектора по координатам его начала и конца;

— находить для векторов, заданных координатами: длину вектора, координаты суммы и разности двух и более векторов, координаты произведения вектора на число, применяя при необходимости сочетательный, переместительный и распределительный законы;

— применять при решении задач на вычисление и доказательство формулы для вычисления длин отрезков.

Учащиеся получат возможность научиться вычислять скалярное произведение векторов, находить угол между векторами; устанавливать взаимное расположение прямых; иллюстрировать и описывать положение окружностей и прямых относительно осей координат по их уравнениям; применять при решении задач на вычисление и доказательство координатный и векторный методы.

2129330o3.fm Page 317 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 12.1. Декартовы координаты на плоскости (1 ч) Содержание темы «Декартовы координаты на плоскости» в учебнике ограничено знакомством учащихся с системой декартовых координат и применением метода координат к выводу формулы расстояния между точками. Рассматриваемая в параграфе формула расстояния между точками служит опорой для вывода уравнений окружности и прямой, в дальнейшем она используется при изучении темы «Векторы на плоскости».

При изучении § 12.1 учащиеся должны достичь следующих предметных результатов:

— изображать на чертежах и рисунках систему координат, строить точки по координатам, определять знаки координат конкретных точек;

— выводить формулы длины отрезка и координат середины отрезка;

— применять при решении задач на вычисление и доказательство формулы для вычисления длин отрезков.

Учащиеся получат возможность применять при решении задач на вычисление и доказательство координатный метод.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

К ИЗУЧЕНИЮ МАТЕРИАЛА

1 Терминология, связанная с введением на плоскости системы декартовых координат, в основном знакома учащимся. Представляется целесообразным изложение материала провести таким образом, чтобы теоретические фрагменты текста являлись обобщением выполненных упражнений. При выполнении № напомнить учащимся понятия осей и начала координат, положительных и отрицательных полуосей, а № 1. Какие знаки у координат точки, если она принадлежит первой (второй, третьей, четвёртой) четверти?

2. Чему равны абсциссы (ординаты) точек, лежащих на оси ординат (абсцисс)?

3. Чему равны координаты начала координат?

Затем решить № 1396 а), б) и сформулировать вывод:

«в пределах одной четверти знаки обеих координат сохраняются».

2129330o3.fm Page 318 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 2 Так как при выводе формулы расстояния между точками используется теорема Пифагора, то его лучше начать с решения следующей з а д а ч и: «Докажите, что расстояние между точками (x1; 0) и (x2; 0) оси x при любых x1 и x2 определяется по формуле d = | x2 – x1|». Используя результат её решения: d = |x2 – x1| для точек (x1; 0) и (x2; 0) оси x; d = |y2 – y1| для точек (0; y1) и (0; y2) оси y, приходим к выводу, что «расстояние между точками на прямых, параллельных осям координат, вычисляется по выше приведённым формулам» (см. рис. 475У).

Для закрепления этой формулы — № 1395.

3 Практически во всех учебниках геометрии выводятся формулы координат середины отрезка (см.

№ 1398, а). Так как эти формулы входят в содержание геометрии, определяемое «Примерными программами основного общего образования», следует решить эту задачу на уроке, и результаты решения учащиеся должны запомнить и уметь выводить.

ПРИМЕРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕРИАЛА

На уроке: в классе — параграф; № 1394, 1395 (в, г), 1396 (а, б); дома — № 1—5В, № 1395 (а, б), 1396 (в), и 1398 (кроме пункта а).

ВОПРОСЫ К ДОМАШНЕМУ ЗАДАНИЮ

1. Выведите формулу расстояния между точками.

2. Выведите формулы координат середины отрезка.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ УЧЕБНИКА

Все задачи параграфа отмечены знаком. Эти задачи достаточно просты, использование электронного приложения способствует закреплению материала.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

1. Из точек A(–2; –4) и B(5; –4) опущены перпендикуляры AA1 и BB1 на ось x. Определите вид четырёхугольника AA1BB1.

2. Отметьте точки A(0; 2), B(5; 0), C(0; –2) и D(–5; 0).

Определите вид четырёхугольника ABCD.

2129330o3.fm Page 319 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 3. На окружности с центром в точке C(1; –6) отмечена точка A(10; 6). Найдите радиус окружности.

4. Даны точки A(0; –3), B(2; 3) и C(6; –1). а) Докажите, что ABC — равнобедренный с основанием BC.

б) Определите длину медианы BM.

5. Дан ABC с вершинами в точках A(7; –4), B(–4; 3) и C(5; 0). Определите координаты концов средней линии треугольника, параллельной стороне AB, и её длину.

6. В окружности с центром в точке C проведён диаметр AB. Определите: а) координаты точки C, если A(–6; –1), B(1; 4); б) координаты точки A, если C(0; 3), B(3; 0).

12.2. Уравнение линии (2 ч) В параграфе выводятся уравнение окружности и уравнение прямой. Вопросы, связанные с их выводом и окружности, их взаимного расположения и расположения на плоскости, полностью дублируются в курсе алгебры, поэтому их можно дать в обзорном виде.

В результате изучения § 12.2 учащиеся должны достичь следующих предметных результатов:

— составлять уравнения окружности и прямой;

— применять при решении задач на вычисление и доказательство формулы для вычисления длин отрезков.

Учащиеся получат возможность: устанавливать параллельность прямых; иллюстрировать и описывать положение окружностей и прямых относительно осей координат по их уравнениям; применять при решении задач на вычисление и доказательство координатный метод.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

К ИЗУЧЕНИЮ МАТЕРИАЛА

1 Полезно ещё раз обратить внимание учащихся, что найти ГМТ — это значит доказать два взаимно обратных утверждения: первое — любая точка фигуры обладает указанным свойством и второе — любая точка, обладающая этим свойством, является точкой фигуры.

Из курса алгебры учащимся известны уравнения с двумя переменными x и y. При этом все точки, коорo3.fm Page 320 Monday, April 1, 2013 3:00 PM динаты которых x и y удовлетворяют данному уравнению, составляют на плоскости некоторую фигуру. Таким образом, любая точка полученной фигуры имеет координаты, удовлетворяющие данному уравнению, и обратно: любая точка, координаты которой удовлетворяют данному уравнению, является точкой этой фигуры.

После вывода уравнения окружности полезно вместе с учащимися записать уравнение окружности с центром в начале координат и проиллюстрировать его № 1399.

Затем провести и с с л е д о в а н и е взаимного расположения двух окружностей: «При каком условии окружности с радиусами R1 и R2 и расстоянием между центрами m пересекаются, не пересекаются и касаются?» и сделать вывод: «если одно из чисел R1, R2 и m больше суммы двух других, то окружности не пересекаются; если одно из чисел R1, R2 и m равно сумме двух других, то окружности касаются; если каждое из чисел R1, R и m меньше суммы двух других, то окружности пересекаются в двух точках». Вывод использовать при решении № 1401.

2 Кроме предложенного способа вывода уравнения прямой, можно на основании решения № 1403 продемонстрировать ещё один способ получения уравнения прямой, который практически во всех учебниках и используется.

относительно системы координат прямой, двух прямых;

прямой и окружности.

1. Как расположена прямая, если в её уравнении коэффициент a = 0 (b = 0, c = 0)?

2. Как найти координаты точки пересечения двух прямых?

3. При каком условии прямые параллельны?

4. При каком условии прямые перпендикулярны (№ 1405)?

5. При каком условии окружность радиуса R и прямая, расстояние от которой до центра окружности равно m, не пересекаются, пересекаются в двух точках, касаются?

не пересекаются; если R1 = m, то окружность и прямая касаются; если R > m, то окружность и прямая пересекаются в двух точках». Используя его, решить № 1401.

2129330o3.fm Page 321 Monday, April 1, 2013 3:00 PM

ПРИМЕРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕРИАЛА

На первом уроке: в классе — параграф № 399 (в), 1400 (в), 1403 и 1405; дома — 1—4 ДЗ; 1399 (а, б), 1400 (а, б) и 1406.

На втором уроке: в классе — № 1401 (б, в), 1402 (г, д), 1404 (в, г) и 1407 б); дома — № 1401 (а, д), 1402 (а, б, в), 1404 (а, б, в) и 1407 (а, б).

ВОПРОСЫ К ДОМАШНЕМУ ЗАДАНИЮ

1. Объясните, что такое уравнение фигуры в декартовых координатах.

2. Выведите уравнение окружности.

3. Докажите, что ax + by + c = 0 является уравнением прямой в декартовых координатах.

4. Объясните, что такое коэффициент прямой и его геометрический смысл.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ УЧЕБНИКА

1401. Поскольку во всех заданиях уравнения задают окружности, то наибольшее и наименьшее расстояния между их точками находятся на линии центров. Обозначим расстояние между центрами окружностей через l.

R2 = ------------. l = ------, окружности не пересекаются и первая лежит внутри второй; min: R2 – R1 – l = ------------ – 1 – 2129330o3.fm Page 322 Monday, April 1, 2013 3:00 PM O2 -- ; --, R2 = --. l = R2 = --, окружности пересекаются, l = ---------, точка O1(1; –2) лежит внутри окружности;

1402. Преобразуем каждое из данных уравнений:

и радиусом 5, однако по условию рассматривается не вся окружность, а только верхний полукруг.

д) (x2 + y2)2 – 5(x2 + y2) + 4 = 0, отсюда две концентрические окружности с центром O(0; 0): x2 + y2 = 4 радиуса 2, и x2 + y2 = 1 радиуса 1.

1403. Пусть точка C(x; y) принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку AB. Тогда BC2 = AC2, (x + 2)2 + (y – 3)2 = (x – 1)2 + (y + 4)2. Отсюда уравнение серединного перпендикуляра 3x – 7y – 2 = 0.

1404. Пусть точка M(x; y) принадлежит искомому геометрическому месту точек. При этом AM2 = (x – 1)2 + + (y – 2)2; BM2 = (x – 3)2 + y2; AB2 = 8. В результате подстановки и преобразований: а) AM2 + BM2 = 2AB2;

(x – 2)2 + (y – 1)2 = 6 — окружность. б) AM2 – BM2 = – 2AM•BM• -- = AB2; AB2 = cos AMB — дуга окружy= ются уравнениями y1 = k1x и y2 = k2x2 (рис. 399). Тогда вершины MON имеют координаты: M(x2; k2x2), O(0; 0), N(x1; k1x1). Если прямые перпендикулярны, то по теореме Пифагора NM 2 = = OM 2 + ON2, (x1 – x2)2 + (k1x1 – k2x2)2 = x 1 + (k1x1)2 + 2 + (k x )2. В результате преобразований: –2x x – – 2k1k2x1x2 = 0, k1k2 = –1.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

1. Составьте уравнение окружности, если точки A(–2; 5) и B(5; –19) являются концами её диаметра.

2. Запишите уравнения оси абсцисс и оси ординат.

3. Запишите уравнения прямой, если она пересекает оси координат в точках (0; 4) и (8; 0).

4. Запишите уравнения прямой, которая образует с осью x угол, равный 60°, и проходит через точку (0; –3).

5. Найдите точки пересечения с осями координат прямой, заданной уравнениями: а) x + y – 7 = 0; б) x – y + 6. Чему равно расстояние от начала координат до 7. Докажите, что окружность (x – 5)2 + (y + 3)2 = 25:

а) касается оси y; б) пересекается с осью x; в) не пересекается с прямой y = –9.

8. Расстояние от начала координат до прямой m равно 3. Пересекается ли прямая m с окружностью 12.3. Векторы на плоскости (2 ч) Понятие «вектор» вводится на основе естественного и наглядного представления о направленном отрезке.

2129330o3.fm Page 324 Monday, April 1, 2013 3:00 PM При изучении темы основное внимание следует уделить формированию у учащихся умения выполнять действия над векторами в координатной и геометрических формах. Изучение векторов в данном курсе в основном имеет целью познакомить учащихся с одним из эффективных методов геометрии: векторным методом решения В электронном приложении к этому пункту освещается материал пункта полностью, и его использование будет полезно при изучении этой темы.

При изучении § 12.3 учащиеся должны достичь следующих предметных результатов:

— изображать на чертежах и рисунках векторы, сумму и разность двух векторов, вектор, равный произведению заданного вектора на число, заданных геометрически;

— оперировать с векторами: находить сумму и разность двух векторов, заданных геометрически, находить вектор, равный произведению заданного вектора на число;

— определять координаты вектора по координатам его начала и конца;

— находить для векторов, заданных координатами: длину вектора, координаты суммы и разности двух и более векторов, координаты вектора a по координатам a, применяя при необходимости сочетательный, переместительный и распределительный законы;

— применять при решении задач на вычисление и доказательство сумму и разность двух векторов, произведение вектора на число.

Учащиеся получат возможность научиться: устанавливать взаимное расположение прямых; применять при решении задач на вычисление и доказательство векторный метод.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

К ИЗУЧЕНИЮ МАТЕРИАЛА

Объяснение материала удобно организовать в форме беседы через систему упражнений. После выполнения каждого из них или в процессе решения формулируются определения, вводится новая терминология, объясняются правила.

2129330o3.fm Page 325 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 1. Выпишите все векторы, изображённые на рисунке 400.

2. Изобразите векторы DA, DB.

2 Следующие у п р а ж н е н и я позволяют ввести понятия: равных векторов, коллинеарных векторов и модуль вектора.

1. ABCD — квадрат? O — точка пересечения диагоналей.

а) Почему в каждой из пар AB и DC, BC и AD, BO и OD векторы равны? б) Модули векторов AB и CD равны. Почему векторы AB и CO не равны? в) Почему в каждой из пар AB и AD, BO и OC векторы не равны? г) Почему векторы BO и BD не равны?

2. В прямоугольнике ABCD стороны AB и AD соответственно равны 8 см и 15 см. Чему равны модули векторов DA, AB, AC и BC ? б) Докажите, что векторы BC и AD коллинеарны.

3. В равностороннем ABC, сторона которого равна 6 см, проведена средняя линия DF, параллельная стороне BC.

а) Докажите, что векторы AD и DB равны. б) Чему равны модули векторов DA, AB, DF, AC и BC ? в) Докажите, что векторы BC и FD коллинеарны.

Из определения равных векторов и модуля вектора следует: «Векторы равны тогда и только тогда, когда они одинаково направлены и имеют равные модули».

3 Описание способов построения суммы векторов можно дать в виде а л г о р и т м а по шагам (табл. 10).

2129330o3.fm Page 326 Monday, April 1, 2013 3:00 PM При объяснении определения произведения вектора на число следует подчеркнуть, что это произведение — вектор, и ответить на в о п р о с ы.

1. Какой из рисунков 401, а или б соответствует:

а) правилу параллелограмма сложения векторов;

б) правилу треугольника сложения векторов?

2. Вектор NO = a (рис. 402). В квадрате ABCD выразите векторы BC, CB, AD и DA через вектор a.

3. Векторы AO = a и DA = b (рис. 403). В параллелограмме ABCD выразите векторы CD и BD через векторы a и b.

4 Введение координат вектора удобно провести с использованием плаката (рис. 404), сопровождая объяснение в о п р о с а м и.

1. Какая точка является началом вектора a?

2129330o3.fm Page 327 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 2. Какая точка является концом вектора a?

3. Как вычисляются координаты вектора a?

4. Как вычисляется модуль вектора a?

5. Какие координаты имеют равные векторы?

Для закрепления учебного материала провести устные вычисления и заполнить пропуски таблицы 11.

ПРИМЕРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕРИАЛА

На первом уроке: в классе — параграф; № 1408 (последнее задание) и 1411; дома — № 1—11В, № 1408, 1409, 1410, 1412 и 1413.

На втором уроке: в классе — № 1414, 1417, и 1420; дома — № 1415, 1416 и 1418.

ВОПРОСЫ К ДОМАШНЕМУ ЗАДАНИЮ

1. Объясните, что такое вектор и как он обозначается.

2. Какие векторы называются одинаково направленными?

3. Объясните, какие векторы называют равными.

4. Какие векторы называются коллинеарными?

5. Объясните, что такое модуль вектора.

6. Объясните, что такое нулевой вектор.

7. Дайте определение произведения вектора на число.

2129330o3.fm Page 328 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 8. Дайте определение суммы векторов.

9. Объясните, что значит сложить два вектора по правилу параллелограмма.

10. Объясните, что значит сложить два вектора по правилу треугольника.

11. Объясните, что такое координаты вектора.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ УЧЕБНИКА

1410. Прямая 3x – 2y = 0 параллельна данной прямой и проходит через начало координат. Точка (2; 3) принадлежит прямой 3x – 2y = 0. Вектор OB (2; 3) коллинеарен прямым 3x – 2y + 1 = 0, 3x – 2y = 0, не являетЗначит, --------- ; --------- — едися единичным. |OB | = ничный вектор, коллинеарный прямой 3x – 2y + 1 = 0.

1411. От произвольной точки плоскости (рис. 405, а) отложим вектор OA (рис. 405, б). От точки A1(O) отложим вектор, равный OA2. Продолжим откладывать векторы, соответственно равные OA3, OA4, OA5. Полученный пятиугольник — правильный, так как исходный пятиугольник был правильный. Отсюда следует утверждение задачи.

1413. Медианы ABC пересекаются в точке M (рис.

B1M, равный MB, так что его конец совпадает с точкой M. ALB1 = CLM по первому признаку равенства 2129330o3.fm Page 329 Monday, April 1, 2013 3:00 PM треугольников. Отсюда AB1 = MC, а значит, AB1 = MC.

Из AMB1 следует MA + MB + MC = 0. 2) На прямой BM (рис. 407, б) от точки M отложим вектор MB1, равный MB по модулю, но противоположно направленный. По условию MB1 = MA + MC, т. е. AMCB1 — параллелограмм. AC и MB1 — его диагонали, значит, AL = LC, а следовательно, BL — медиана.

1415. Решение задачи следует из рисунка 408.

2129330o3.fm Page 330 Monday, April 1, 2013 3:00 PM AM = AA1 + A1M1. Значит, точки M и M1 совпадают.

1417. Введём систему координат (рис. 409) и рассмотрим точки A(x; y) и B(x + a; y + b). В OAB: OB = В силу неравенства треугольника:

1417. Введём систему координат (рис. 410) и рассмотрим точки A(3; 4) и M(x; y). В OAB AM = OM + AM = 5. OA = 3 2 + 4 2 = 5. Значит, точка M лежит на отрезке OA.

1418. По условию MA + MB = CD (рис. 411). Изменим направление векторов AM + BM = DC. В полученное соотношение подставим MB = BA + AM и получим AM + BA + AM = DC, отсюда центром описанной около него окружности (рис. 412).

2129330o3.fm Page 331 Monday, April 1, 2013 3:00 PM Тогда точки A, B и C — середины сторон ABC. Стороны ABC и A1B1C1 параллельны, так как высоты ABC являются серединными перпендикулярами A1B1C1. ABC A1B1C1 с коэффициентом подобия 2. Отсюда следует:

HB = HO – -- HB1. HC = -- (HB1 + HA1);

1420. Сделать поворот на 90°.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

1. Даны точки A(1; –3) и B(2; 0). Найдите такую точку C(x; y), чтобы векторы AB и CA были равны?

2. Найдите координаты начала вектора (–3; 2), если его конец находится в точке (1; –1).

3. Даны векторы m(4; –3) и n(–2; 1). Найдите координаты и модули векторов m + n; m – n.

12.4. Скалярное произведение векторов (2 ч) Вводится ещё одна операция над векторами, а именно, скалярное произведение векторов. Определение скалярного произведения векторов, как и определения ранее введённых действий над векторами, даётся в геометрической форме, а его координатная форма вводится позднее.

Определение скалярного произведения векторов и теоремы 12.3 задают метод нахождения угла между векo3.fm Page 332 Monday, April 1, 2013 3:00 PM торами. Кроме того, введение скалярного произведения векторов позволяет определять перпендикулярности векторов и скалярный квадрат.

В электронном приложении к этому пункту освещается весь материал пункта полностью. Поскольку материал пункта сложный, использование приложения поможет в работе учителя и будет способствовать усвоению темы.

При изучении § 12.3 учащиеся должны достичь следующих предметных результатов:

— формулировать и объяснять понятие скалярного произведения векторов;

— формулировать, объяснять и доказывать свойства скалярного произведения векторов;

— находить скалярное произведение векторов; угол между векторами;

— решать задачи на вычисление и доказательство, применяя определение скалярного произведения векторов, свойства скалярного произведения векторов.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

К ИЗУЧЕНИЮ МАТЕРИАЛА

1 При введении определения скалярного произведения векторов используется понятие «угол между векторами». Во всех известных современных учебниках геометрии это понятие вводится и отрабатывается.

Здесь возникает некоторая трудность для понимания, так как два вектора, как правило, расположены на плоскости так, что не имеют общих точек, поэтому полезно обсудить с учащимися этот вопрос. Угол между векторами не зависит от выбора точки, от которой откладываются векторы. Важно при объяснении скалярного произведения векторов обратить внимание учащихся на то, что результатом перемножения двух векторов является число. На закрепление определения — у п р а ж н е н и е по готовому чертежу: « ABC — равносторонний с высотой BD и со стороной, равной 3. Найдите скалярное произведение векторов: AB и AC, AB и DC, BA и DC, (первое задание).

2 Из определения скалярного произведения векторов в учебнике делаются два вывода об условии их колo3.fm Page 333 Monday, April 1, 2013 3:00 PM линеарности и условии их перпендикулярности. Полезно сообщить учащимся ещё два следствия: «скалярное произведение векторов положительно (отрицательно), если угол между векторами острый (тупой)».

3 Рассмотрев распределительный закон скалярного произведения векторов, можно вместе с учащимися обсудить переместительный и сочетательный законы 4 Следует заметить, что определение скалярного произведения векторов и теорема 12.3 позволяют находить угол между векторами, на закрепление следующие 3. Определите, какие из векторов a(1; 3), b 2; – -и c – -- ; –3 перпендикулярны.

При решении задач № 1425 и 1426 следует обратить внимание учащихся, что координаты вектора, перпендикулярного к данной прямой ax + by + c = 0, не зависят от свободного члена c. Другими словами, поa скольку все прямые с коэффициентом k = -- параллельb ны, то координаты вектора, перпендикулярного данной прямой (a; b), а коллинеарного — (b; –a).

ПРИМЕРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕРИАЛА

На первом уроке: в классе — параграф; № 1421 (а, б), 1422, 1423 (а), 1424 (а, б, г) и 1425; дома — № 1—5В;

№ 1421 (в), 1423 (а), 1424 (в, д) и 1426.

На втором уроке: в классе — № 1427, 1428, 1430 (в) и 1431; дома — № 1429 и 1430 (а, б).

2129330o3.fm Page 334 Monday, April 1, 2013 3:00 PM

ВОПРОСЫ К ДОМАШНЕМУ ЗАДАНИЮ

1. Дайте определение скалярного произведения векторов.

3. Чему равен угол между коллинеарными векторами?

4. При каком условии векторы перпендикулярны?

5. Запишите и докажите формулу скалярного произведения векторов в декартовой системе координат.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ УЧЕБНИКА

1425. --------- ; – --------- — единичный вектор, коллинеарный прямой (см. № 1423). Тогда --------- ; --------- — единичный вектор, перпендикулярный прямой 2x + 3y – 1 = 0.

1427. Заметим, что при переносе правой части в левую получим в левой части квадрат суммы векторов. Отсюда, в силу того, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля, следует данное равенство.

1428. Введём систему координат, при этом A(0; 0), B -- ; ------, C(1; 0), M(x; y) — произвольная точка + CA • BM = 0 подставим выражения AM = AC + CM 2129330o3.fm Page 335 Monday, April 1, 2013 3:00 PM и значит, AB •CM + BC • AM + CA • BM = 0 — тождество, а M — любая точка плоскости.

и MD = MA + AD. (*) а) В равенство MA • BM = = MC • MD подставим выражения (*) MA • AB = = MA • AD + MA • AC + AC • AD. Сгруппируем все члены выражения, содержащие MA, и при переносе в левую часть равенства изменим направление векторов = | AD |•| AC |•cos 45° = a2. MA •DA = ax; 2ax = a2;

x = -- a. б) В равенство MA • BM + MC • MD = 0 подставим выражения (*) 2( MA )2 + MA •( AB + AC + AD ) + 2( MA )2 + 2 MA • AC + AC • AD = 0. Перейдём к координатной записи: 2(x2 + y2) + 2(–ax – ay) + a2 = 0. После преобразований x – ------ a Перейдём к координатной записи: 2(x2 + y2) + 2(–ax – – ay) + a2 = a2. После преобразований

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

1. При каком значении x векторы a и b перпендикулярны, если: а) a(4; 5) и b(x; –6); б) a(x; –1) и b(3; 2);

в) a(0; –3) и b(5; x).

и угол между векторами равен 60°.

3. Вычислите скалярное произведение векторов a и b взаимно перпендикулярны.

4. Найдите угол, лежащий против основания равнобедренного треугольника, если медианы, проведённые к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны.

12.5. Координатный и векторный методы (3 ч) Требование к уровню усвоения темы формулируют следующим образом: «Выпускник получит возможность овладеть координатным и векторным методами решения задач на вычисление и доказательство». Значит, тема должна быть изложена на уроке, однако как организовать контроль за усвоением данной темы и в каком объёме требовать от учащихся воспроизведения учебного материала, решать учителю. При этом урок лучше организовать в форме лекции. Основная цель такого урока — познакомить учащихся с примерами применения координатного метода. Поэтому в этом пункте не даётся планирование изучения материала.

При изучении § 12.3 учащиеся получат возможность применять при решении задач на вычисление и доказательство координатный и векторный методы.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

К ИЗУЧЕНИЮ МАТЕРИАЛА

1 Материал параграфа является обобщением всей темы «Координаты и векторы», то вся работа организуo3.fm Page 337 Monday, April 1, 2013 3:00 PM ется через решение задач. При обсуждении векторного метода доказательства теоремы о высотах треугольника предложить учащимся вспомнить, как эта теорема доказывалась раньше; затем поиск нового доказательства провести в форме фронтальной б е с е д ы и о ц ен и т ь, какой из известных учащимся методов проще, понятнее, а может быть, и интереснее.

2 На применение координатного метода, на обучение умению правильно выбирать систему координат № 1432 и 1433.

3 Задачи параграфа позволяют достаточно глубоко проработать предлагаемые методы.

ПРИМЕРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕРИАЛА

На первом уроке: в классе — пункты: выбор системы координат, задачи на коллинеарность векторов; № и 1435; дома — повторить вопросы, связанные с теоремой о высотах треугольника (§ 5.4 Задача 2; § 8.1;

теорема 8.1; § 8.4 теорема 8.4); № 1433, 1434, На втором уроке: в классе — № 1438, 1440, 1443, 1444; дома — № 1441, 1442 и 1445.

На третьем уроке: в классе — № 1446, 1447, 1449;

дома — № 1439, 1446 и 1448.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ УЧЕБНИКА

и по условию составим уравнеM(x; y) преобразуем его, получим уравнеB(2; 0) ние окружности (x – 1)2 + y2 = -x с центром в точке (1; 0) и радиРис. усом ------.

1434. В соответствии с обозначениями, данными на рисунке 417, по условию задачи составим уравнение:

2129330o3.fm Page 338 Monday, April 1, 2013 3:00 PM (x – 1)2 + y2 + x2 + (y – 3)2 = 2(x2 + y2). После преобразования получим уравнение прямой: x + 3y – 5 = 0.

= -------------. Из подобия AKB и MKD:

--------- = -------------.

Из этих двух соотношений получим x = --------------.

из соответствующих подобных треугольников. При этом возможны три случая: 1) y1 < b; 2) b < y2 < a;

a. 1) ------------ = ------------- ; ------------ = ------------- ; ------------- + ------------- = k.

Отсюда y = --------------. 2) ------------ = ------------- ; ------------ = ------------- ; ------------- + + ------------- = k. Отсюда y = --------------. 3) ------------ = ------------- ;

------------ = ------------- ; ------------- + ------------- = k. Отсюда y = -------------.

а) y1 = y2 = 1, т. е. искомое геометрическое место тоo3.fm Page 339 Monday, April 1, 2013 3:00 PM чек — прямая, параллельная прямой l и проходящая через точку B. б) y1 = ----- ; y2 = -- ; y3 = 12; но по условию от прямой l, что и точки A и B на расстоянии -- и 12.

- y1 < b, а в третьем y3 a, значит, искомое геометрическое место точек — прямая, параллельная прямой l, лежащая по ту же сторону от прямой l, что и точки A и B, на расстоянии --.

мыми AM и DK равен косинусу угла между векторами AM -- a; a и ние векторов AM •DK = – -- a2 + -- a2 = = -- a2 (рис. 4120, | AM | = --------- a и | DK | = ------ a•cos = ------.

1438. Заметим, что возможны два случая расположения вершин A и B (рис. 421). Рассмотрим один из них, решение второго аналогично. Обозначим сторону треугольника через a. Проекция стороны AB на прямую l — отрезок A1B1 (рис. 421, а) равна a•cos (60° – ) с одной 2129330o3.fm Page 340 Monday, April 1, 2013 3:00 PM ция стороны AC на прямую l – A1C1 равна a•cos с одной стороны и 6 + x — с другой, т. е. a•cos = 6 + x. Отрезок BO равен ------ a. Проекция отрезка BO на прямую 1439. Поскольку AM = CB, то (рис. 422) получим:

- + ------------y2 + (x – a)2. После преобразования получим 3x2 – 10ax + 3y2 + 3a2 = 0; x2 – 2• -- •ax + y2 + - с центром в точке -- a; 0 и радиусом -- a. Искомым геометрическим местом точек будет полученная окружность за исключением точек -- a; 0 и (3a; 0).

– 2x – 2y + 4) = 4[(x – 1)2 + (y – 1)2 + 2]. Заметим, что (x – 1)2 + (y – 1)2 является правой частью уравнения единичной окружности с центром в точке O(1; 1) и, знаy 2129330o3.fm Page 341 Monday, April 1, 2013 3:00 PM чит, равна 1. Отсюда сумма квадратов расстояний равна 12. Значит, сумма расстояний равна 2 3.

вию AD = CE). Отсюда h = -- AB. Значит, точка E — середина стороны AB, а CE — медиана и высота ABC.

Значит, ABC — равнобедренный (AB = AC). Отсюда медиана AD, равная CE, является высотой. Следовательно, ABC — равносторонний и точка C — единственная.

Контрольная работа № 1. Найдите координаты вектора c = 2a – -- b, если M и N — середины диагоналей AC и BD соответственно. Выразите вектор MN чеРис. рез векторы a, b и c (рис. 425).

2129330o3.fm Page 342 Monday, April 1, 2013 3:00 PM 4. Даны три коллинеарных вектора a, b и c. Известно, что 2a + 0,5b – c = 0 и |a| = 1, |b | = 2. Найдите |c |, если векторы a и b сонаправлены.

5. Дан квадрат ABCD, O — точка пересечения диагоналей квадрата. Докажите, что 1. Найдите координаты вектора c = b – -- a, если 4. Даны три коллинеарных вектора a, b и c. Известно, что 3a – b – 2c = 0 и | a| = 2, |c | = 4. Найдите |b |, если векторы a и c сонаправлены.

5. Дан прямоугольник ABCD, O — точка пересечения диагоналей прямоугольника. Докажите, что 2129330o3.fm Page 343 Monday, April 1, 2013 3:00 PM Преобразования плоскости (8 ч) Номенклатура содержания, определяемая «Примерными программами основного общего образования» как геометрические преобразования, содержит примеры движений фигур:

симметрии фигур (осевая и центральная), параллельный перенос, поворот, а так же понятия о гомотетии и подобие фигур. Введение в «Примерные программы...» этой темы обосновано не только и не столько необходимостью ознакомить учащихся с реально существующими и часто встречающимися в обыденной жизни отношениями между реальными объектами, сколько потребностями самого предмета геометрии. Понятие движения важно, прежде всего, тем, что, опираясь на него, можно ввести общее понятие равенства геометрических фигур. Это, в свою очередь, необходимо для обоснования правил построения фигур с заданными свойствами, а точнее, для этапа «исследование» в задачах на построение.

В учебнике изложение темы «Преобразования плоскости» дано в трёх фрагментах: в главе 2 «Основные свойства плоскости», в главе 6 «Подобие» и в главе «Преобразования плоскости». Первый фрагмент состоит из двух частных видов движения: центральной и осевой симметрии. Введение этих движений необходимо автору для полноты изложения свойств прямой и плоскости. Кроме того, в начале изложения курса вводится понятие геометрического равенства, которое опирается на интуитивное понимание учащимся понятия совмещения. С другой стороны, при столь раннем введении двух видов симметрии автор не рассматривает свойства симметричности четырёхугольников непосредственно в процессе изучения свойств четырёхугольников. Во втором фрагменте вводится понятие подобия треугольников и даётся объяснение обобщения понятия подобия для случая произвольных фигур. Третий фрагмент, рассматриваемая глава 13, содержит общее понятие движения и ещё два частных случая движения: параллельный перенос и поворот, и является заключительной темой курса планиметрии. Здесь автор доказывает теорему о том, что любое движение плоскости задаётся движением трёх её точек, не лежащих на одной прямой. Такой подход к обоснованию эквивалентности двух определеo3.fm Page 344 Monday, April 1, 2013 3:00 PM ний равенства треугольников является для школьного курса геометрии весьма оригинальным и достаточно наглядным. Как было сказано выше, традиционно для достижения наибольшей доступности и наглядности представления движения в виде композиции простейших движений выбирают две симметрии, поворот на некоторый угол и параллельный перенос. Этого вполне достаточно, чтобы учащиеся получили представление о сложности произвольных движений, поскольку в реальных задачах обычно используется разложение движения на повороты, параллельные переносы и иногда на отражения. В учебнике предпринята попытка дать более универсальное представление о всех движениях, как сохраняющих, так и меняющих ориентацию, в виде композиций некоторого минимального числа простейших движений, а именно, в виде композиции только осевых симметрий. Такое представление обладает внутренней эстетической красотой, поскольку, несмотря на его малую эффективность, позволяет посмотреть на произвольные движения с единой простой точки зрения.

К недостаткам такого представления можно отнести тот факт, что при практическом применении даже простейший параллельный перенос будет строиться как композиция двух осевых симметрий, и тем самым задействовать в рассуждениях и построениях большее число вспомогательных фигур, чем прямое построение параллельного переноса.

«Планируемые результаты обучения основного общего образования» в требованиях к геометрической подготовке учащихся требование к уровню изучения данной темы формулируют следующим образом: «Выпускник получит возможность приобрести опыт применения идей движения при решении задач на вычисления и доказательства». Значит, тема должна быть изложена на уроке, однако, как организовать контроль за усвоением данной темы и в каком объёме требовать от учащихся воспроизведения учебного материала, решать учителю. При этом уроки лучше организовать в форме лекций. Основная цель таких уроков — познакомить учащихся с примерами преобразования движения — симметрия относительно точки и прямой, параллельный перенос, поворот — учащиеся должны усвоить на уровне практических применений.

2129330o3.fm Page 345 Monday, April 1, 2013 3:00 PM В результате изучения главы 13 учащиеся должны достичь следующих результатов:

— формулировать, иллюстрировать и объяснять формулировки: центральной симметрии, симметрии относительно прямой, параллельного переноса, поворота;

— изображать, обозначать и распознавать на рисунке точки и простейшие фигуры, симметричные данным относительно точки; симметричные данным относительно прямой, в которые переходят данные фигуры при параллельном переносе;

в которые переходят данные фигуры при повороте.

Учащиеся получат возможность научиться: иллюстрировать и объяснять понятия: движения и его свойства; применять при решении простейших задач на доказательство, построения и вычисления идеи движения.

13.1. Движения плоскости (1 ч) Вводимые в параграфе определение движения, а также свойства движения в дальнейшем не применяются в качестве аппарата для решения задач и изложения теории. Кроме того, как было сказано выше, вся тема идёт согласно «Планируемым результатам обучения основного общего образования» в ознакомительном порядке, т. е. не требовать от учащихся воспроизведения доказательств. Форма проведения урока — лекция.

В результате изучения § 13.1 учащиеся получат возможность иллюстрировать и объяснять понятие «движения плоскости», объяснять свойство движения: два движения, выполненные последовательно, являются движением, применять при решении простейших задач на доказательство, построения и вычисления идеи движения.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

К ИЗУЧЕНИЮ МАТЕРИАЛА

1 При введении определения преобразования плоскости следует обратить внимание на взаимно однозначное соответствие точек данной фигуры и точек её образа. На закрепление № 1451.

2 При введении определения движения плоскости обратить внимание на его важнейшее с в о й с т в о: соo3.fm Page 346 Monday, April 1, 2013 3:00 PM хранять расстояние между точками. Для проверки правильности усвоения определения — у п р а ж н е н и я.

1. Точки A и B при движении переходят в точки A и B. Чему равно расстояние между точками A и B, если AB = 7?

2. Точки A и B при движении переходят в точки A и B. Чему равно расстояние между точками A и B, если AB = 6?

Это же определяющее свойство движения используется при решении задачи № 1454, на что следует обратить внимание учащихся при комментарии к заданию на дом. Далее ответить на в о п р о с: «Является ли преобразование, обратное движению, движением?»

Теорема 13.1 позволяет сделать следующие в ы в од ы (предлагаются как з а д а ч и).

1. При движении прямые переходят в прямые (№ 1452), полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки.

2. При движении сохраняются углы между полупрямыми.

3. При движении треугольник переходит в равный ему треугольник.

4. При движении любая фигура переходит в равную ей фигуру (№ 1452).

ПРИМЕРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕРИАЛА

На уроке: в классе — параграф; № 1451, 1452 и 1455;

дома — № 1—5В; № 1453, 1454 и 1456.

ВОПРОСЫ К ДОМАШНЕМУ ЗАДАНИЮ

1. Дайте определение преобразования плоскости.

2. Дайте определение движения плоскости.

3. Сформулируйте и докажите теорему о двух последовательных движениях плоскости.

4. Сформулируйте и докажите теорему о задании движения тремя точками плоскости.

5. Сформулируйте и докажите теорему о задании движения плоскости не более, чем тремя симметриями.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ УЧЕБНИКА

1451. Нет. По о п р е д е л е н и ю: «задано преобразование плоскости, если указан способ, с помощью которого каждой точке A плоскости ставится в соответствие точка A этой же плоскости, при этом различным 2129330o3.fm Page 347 Monday, April 1, 2013 3:00 PM точкам A и B соответствуют различные точки A и B».

Через точку A проведём прямую, перпендикулярную данной прямой. Все точки прямой A1A2 будут иметь одну и ту же проекцию — точку A (рис. 427).

1452. По о п р е д е л е н и ю: «если в результате движения точки A и B переходят в точки A и B, то AB = = AB». Пусть точки A, B и C переходят в точки A, B и C. При этом выполняются равенства AB + BC = AC, AB = AB, BC = BC, AC = AC. Следовательно, выполняется и равенство AB + BC = AC. Исходя из определения окружности как ГМТ, равноудалённых от данной точки, получим, что окружность переходит в окружность того же радиуса.

1453. Квадрат ABCD переходит сам в себя при симметрии: 1) относительно прямых AC и BD (рис. 428, а);

2) относительно прямых O1O2 и O3O4 (рис. 428, б);

3) поворота на 90°, 180°, 270° и 360° относительно точки пересечения прямых AC и BD (или O1O2 и O3O4) (рис. 503, в). При этом следует заметить, что симметрия относительно центра квадрата совпадает с поворотом на 180°.