«ТРИГОНОМЕТРИЯ Допущено Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия по тригонометрии для учащихся 10 классов общеобразовательных учреждений МЦНМО АО Московские учебники Москва 2002 ББК ...»

Строго говоря, надо еще проверить, что a + b зависит только от самих векторов a и b. Предположим, мы начали построение не с точки M, а с другой точки M, построив N и P ; где гарантия, что полученный в результате вектор M P будет равен вектору M P ? Интуитивно ясно, что так оно и будет; вскоре мы увидим, как это доказать формально.

Координаты суммы векторов очень просто выражаются через координаты слагаемых. Именно, по определению координат направленного отрезка (вектора) мы можем записать:

(координаты a) = (координаты точки N ) (координаты точки M );

(координаты b) = (координаты точки P ) (координаты точки N ).

Сложим эти два равенства. При этом координаты точки N сократятся, и получится вот что:

(координаты a) + (координаты b) = В правой части стоит не что иное, как координаты вектора M P, то есть, по нашему определению, a + b. Стало быть, координаты вектора a + b являются суммами координат векторов a и b.

Запишем это же формулой:

Эта формула показывает, в частности, что координаты вектора a + b зависят только от координат a и b, так что сумма векторов действительно не зависит от выбора точки M, использованной на рис. 17.8 для ее построения.

Итак, операция сложения векторов вполне соответствует своему названию: при сложении векторов координаты складываются.

Из этого следует также, что сложение векторов подчиняется тем же законам, что и сложение чисел:

a + b = b + a (переместительность, или коммутативность);

a + (b + c) = (a + b) + c (сочетательность, или ассоциативность);

Задача 17.6. Через точку O, лежащую внутри параллелограмма ABCD, проведены отрезки M N и P Q, параллельные его сторонам (рис. 17.9а). Если от точки A отложить вектор a = DN + + AP + M B + ON, где окажется конец этого вектора?

Задача 17.7. ABCDE — пятиугольник (рис. 17.9б). Найдите сумму векторов AD + CE + BC + DB.

Задача 17.8. На плоскости задана точка O. Изобразите множество таких точек C, что OC = a + b, где a и b — всевозможные векторы, для которых: а) |a| 1, |b| 2; б) |a| = 1, |b| = 2.

Если векторы a и b неколлинеарны (непараллельны), то существует еще один способ построить их сумму. Именно, если отложить a и b от точки O так, что OA = a, OB = b, то a + b = OC, где C — такая точка, что мом деле, OB = AC, так что OC = OA + В старых учебниках это построение называлось «сложение векторов по правилу параллеРис. 17.10.

лограмма».

17.3. Вычитание и умножение на число Раз уж мы умеем складывать векторы, давайте научимся их вычитать. Для начала найдем для вектора a = M N противоположный ему, то есть такой вектор a, что a + (a) = 0. Ясно, что + N M = 0. Таким образом, чтобы получить вектор, противоположный данному, и начало. Координаты a = M N получаются, если из координат N вычесть координаты M, а координаты a = N M — если Рис. 17.11. OA из координат M вычесть координаты N.

OB = BA. Стало быть, координаты a получаются из координат a переменой знака.

Что же до разности векторов a и b, то это, конечно, такой вектор c, что c + b = a (вычитание — действие, обратное сложению).

Разностью векторов a и b будет, очевидно, вектор a + (b) = a b;

ясно, что координаты разности векторов a и b равны разности их координат. Если векторы a = OA и b = OB отложены от одной точки O, то a b = BA (так как OB + BA = OA). Подытожим:

Разобравшись со сложением и вычитанием, перейдем к умножению. Из начальной школы мы помним, что перемножить натуральные числа a и b — это найти сумму b слагаемых, каждое из которых равно a. Например, 5a = a + a + a + a + a.

Рассмотрим теперь не число a, но вектор a. Для него также будет 5a = a + a + a + a + a (рис. 17.12).

Мы видим, что вектор P Q = 5a коллинеарен (параллелен) вектору a, что его длина в 5 раз больше длины a, и направлен он в ту же сторону, что и a. Ясно также, что в качестве 5a разумно взять вектор, противоположный вектору 5a.

Итак, мы описали, что значит умножить вектор на число 5 или 5. Число 5 можно заменить на любое другое. Тогда получится такое Определение. Произведением вектора a = 0 на число k = 0 называется такой вектор b, что:

2) b коллинеарен a;

3) b направлен в ту же сторону, что и a, если k > 0, и в противоположную сторону, если k < 0.

Произведение вектора a на число k обозначается ka. По определению полагаем ka = 0, если k = 0 или a = 0.

Вектор ka этим определением задается однозначно: условие определяет его длину, а условия 2 и 3 — его направление.

Чтобы определить формально, что такое «коллинеарные векторы a и b направлены в одну сторону», отложим a = OA и b = OB от одной точки O. Тогда точки O, A и B окажутся на одной прямой, и мы скажем, что a и b направлены в противоположные стороны, если точка O лежит между A и B, и в одну сторону — в противном случае.

Посмотрим, как меняются координаты вектора при умножении его на число. Пусть мы умножаем вектор a = AB на число k, получая в результате ka = AB (рис. 17.13а для случая k > и рис. 17.13б для случая k < 0). Проведем через концы отрезков AB и AB1 прямые, параллельные осям координат. Получающиеся прямоугольные треугольники ABM и AB1 M1 будут, очевидно, подобны. Коэффициент подобия равен, очевидно, AB1 /AB = |k|;

поэтому катеты треугольника AB1 M получаются из катетов треугольника ABM умножением на |k|, и, стало быть, координаты вектора ka получаются из координат вектора a умножением на k (знаки совпадают, если k > 0, и противоположны, если k < 0).

Запишем это формулой:

Если a = (a1 ; a2 ), то ka = (ka1 ; ka2 ).

Или: k(a1 ; a2 ) = (ka1 ; ka2 ).

Из этой формулы следует, что умножение вектора на число подчиняется законам, аналогичным законам умножения чисел:

Задача 17.9. Докажите эти законы для векторов.

Обратите внимание, что у нас два различных распределительных закона. Так получилось потому, что сомножители неравноправны: один из них — число, другой — вектор. Наверное, было бы более естественно, если бы мы определили умножение вектора на вектор так, чтобы произведение тоже было вектором. Однако же для векторов на плоскости вообще невозможно геометрически определить такое умножение (если мы хотим, чтобы выполнялся распределительный закон). В следующем параграфе мы определим умножение вектора на вектор, но результат при этом будет не вектором, а числом.

Действия над векторами позволяют дать еще одно объяснение того, что такое координаты вектора. Именно: пусть на плоскости задана система координат. Рассмотрим два вектора e1 и e2, имеющие длину 1, параллельные осям абсцисс и ординат и направленные в сторону положительного направления этих осей.

Эти векторы называются единичными координатными векторами. Очевидно, e1 = (1; 0), e2 = (0; 1). Рассмотрим теперь произвольный вектор a = (a1 ; a2 ) и запишем такие равенства: a = Как видите, координаты вектора a — это коэффициенты, с помощью которых он выражается через единичные координатные векторы.

Если e1 и e2 — единичные координатные векторы, то вектор a имеет координаты (a1 ; a2 ) тогда и только тогда, когда a = a1 e1 + Задача 17.10. Даны векторы a = (2; 1), b = (1; 6), c = (2; 24).

Найдите такие числа x и y, что c = xa + yb.

17.4. О векторах в физике Многие физические величины представляют собой векторы. В самом деле, такие величины, как скорость, ускорение, сила, напряженность электрического поля, характеризуются не только величиной, но и направлением (если нам известно, из какого порта и с какой скоростью вышел корабль, то мы не можем сказать, где он будет через час, не зная направления его движения). Поэтому, например, скорость изображают в виде вектора, длина которого соответствует величине скорости, а направление указывает на направление движения. При этом формулировка многих физических законов использует те самые операции над векторами, которые мы только что определили. Простейший пример векторной величины в физике — это перемещение. Если тело, размерами и формой которого мы пренебрегаем, передвинулось из точки A в точку B, то говорят, что перемещение нашего тела равно вектору AB (если не пренебрегать размерами тела, то вектора для описания передвижения тела будет недостаточно: по дороге тело может и повернуться). Если тело сначала переместилось на вектор S 1, а затем на вектор S 2, то в результате его перемещение будет равно S 1 + S 2 (рис. 17.14а). Точно так же складываются перемещения, если тело совершило перемещение S относительно платформы, которая за это время сама совершила относительно нас перемещение S: перемещение тела относительно нас будет равно S 1 + S 2 (рис. 17.14б).

Так как скорость — это перемещение за единицу времени, то скорость тоже является векторной величиной. Свойство перемещений, изображенное на рис. 17.14б, для скоростей будет выглядеть так: если платформа движется относительно нас со скоростью u, а тело движется относительно платформы со скоростью v, то относительно нас тело движется со скоростью u + v.

Задача 17.11. а) Скорость течения реки равна 5 /, ширина реки равна 80, гребец в лодке развивает скорость 3 / относительно воды. Гребец переправляется через реку, направив лодку перпендикулярно берегу. На какое расстояние снесет лодку?

б*) Как надо направить лодку, чтобы ее снесло течением как можно меньше? На какое расстояние ее при этом снесет?

Задача 17.12. Два корабля, находящиеся друг от друга на расстоянии 30 миль, движутся со скоростью 10 узлов1 (каждый) курсами, указанными на рис. 17.15. На какое наименьшее расстояние они сблизятся? Через какое время после момента, показанного на рисунке, это произойдет?

Узел — единица скорости, равная одной морской миле в час.

Указание. Перейдите в систему отсчета, движется со скоростью v, другое — со скоростью w, то второе тело движетРис. 17.15.

ся относительно первого со скоростью § 18. Скалярное произведение Пусть тело, на которое действует сила F, совершило перемещение s. При этом, как говорят физики, сила совершает работу. Если сила параллельна перемещению, работа равна произведению силы и перемещения, взято-   и s образуют угол, работа равна |F |·|s| cos.

Это объясняется тем, что силу F можно предРис. 18.1. Работа.

ставить в виде суммы сил F и F, параллельной и перпендикулярной направлению перемещения, причем работа равна работе силы F (сила, перпендикулярная пути, работы не совершает). Великий английский физик и математик прошлого века У. Гамильтон понял, что действие над векторами, используемое в определении работы, заслуживает названия умножения, так как для него, как и для умножения чисел, выполняется распределительный закон. Давайте и мы изучим эту операцию.

Определение. Скалярным произведением векторов a = 0, b = 0 называется число |a| · |b| cos, где — угол между векторами   лены в противоположные стороны). Если один из векторов равен нулю, то скалярное Рис. 18.2.

произведение полагают равным нулю. Скалярное произведение векторов a и b обозначается a · b.

Основное свойство скалярного произведения — это распределительный закон a · (b + c) = a · b + a · c.

Чтобы его доказать, установим прежде всего следующий факт: если a = (a1 ; 0), где a1 > 0, b = (b1 ; b2 ), то a · b = a1 · b1. В самом деле, в этом случае |a| = a1, |b| · cos = b1 (рис. 18.2), так что требуемое равенство непосредственно следует из определения скалярного произведения; чтобы теперь доказать распределительный закон для векторов a, b и c, выберем систему координат так, чтобы вектор a был параллелен оси абсцисс и направлен в положительную сторону. В этой системе координат имеем a = (a1 ; 0), где a1 > 0; если в этой же системе b = (b1 ; b2 ), c = (c1 ; c2 ), то из доказанного нами факта вытекает:

так что распределительный закон для векторов вытекает из обычного распределительного закона a1 (b1 + c1 ) = a1 · b1 + a1 · c1.

Еще одно важное свойство скалярного умножения — это аналог сочетательного закона: если k — число, a и b — векторы, то (ka)·b = k(a · b) (в самом деле, если — угол между a и b, то обе части равенства равны k · |a| · |b| · cos ). Наконец, уж совсем очевидно, что для скалярного умножения выполняется переместительный закон: a · b = b · a. Подытожим:

Выписанные свойства показывают, что при проведении выкладок с участием скалярного произведения, как и при действиях с числами, можно раскрывать скобки, приводить подобные члены и так далее. Нужно только не забывать, что скалярное произведение векторов — не вектор, а число.

Задача 18.1. Пусть a и b — ненулевые векторы. В каких случаях a·b положительно, в каких — отрицательно, а в каких равно нулю?

Попробуем скалярно умножить вектор a на самого себя. Так как он образует сам с собой нулевой угол и cos 0 = 1, получаем, что скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его длины: a · a = |a|2.

скалярного произведения дадим новое доказательство теоремы косинусов. Для этого рассмотрим треугольник ABC с углом BC через AB и AC. Так как скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его Рис. 18.3.

что и утверждает теорема косинусов.

Задача 18.2. Пусть a и b — векторы. Докажите формулу:

Указание. Можно вывести эту формулу из теоремы косинусов и определения скалярного произведения, можно и раскрыть скобки в равенстве |a + b|2 = (a + b)(a + b).

Задача 18.3. Пусть ABC — равносторонний треугольник и O — его центр. Докажите, что для любой точки M верно равенство Указание. Положите M O = x, OA = a, OB = b, OC = c и воспользуйтесь тем, что M A2 = M A · M A, M B 2 = M B · M B, M C 2 = Давайте теперь выясним, как вычислять скалярное произведение векторов, если даны их координаты. Пусть a = (a1 ; a2 ), b = (b1 ; b2 ). Рассмотрим на плоскости единичные координатные векторы e1 = (1; 0), e2 = (0; 1), о которых шла речь в предыдущем параграфе. Тогда Однако же e1 e2 = e2 e1 = 0, так как e1 и e2 перпендикулярны;

с другой стороны, e1 e1 = e2 e2 = 1; с учетом этих равенств получаем, что a · b = a1 b1 + a2 b2. Запишем эту формулу еще раз:

Частный случай этой формулы (когда a2 = 0) мы уже установили, когда доказывали распределительный закон для скалярного произведения.

Задача 18.4. Выведите формулу, выражающую скалярное произведение векторов через их координаты, используя результат задачи 18.2.

§ 19. Тригонометрические формулы сложения Формула, выражающая скалярное произведение векторов через их координаты, — это главное, ради чего мы занялись векторами.

  работы. Для начала давайте научимся находить синус и косинус суммы чисел, если Итак, пусть нам даны числа и. Рассмотрим на тригонометрической окружности точку A, соответствующую числу Рис. 19.1. (рис. 19.1). Обозначим начало координат b = ZB. Из определения тригонометрических функций ясно, что координаты векторов a и b таковы: a = (cos ; sin ); b = = (cos ; sin ). Стало быть, скалярное произведение векторов a и b равно, по формуле из предыдущего параграфа, С другой стороны, длина каждого из векторов a и b равна единице, а угол между ними равен (точнее говоря, ( ) + 2n для некоторого целого n, так как число может оказаться отрицательным или бльшим ). Так или иначе косинус угла между векторами a и b равен cos( ), так что a · b = |a|· |b|· cos( ) = = cos( ). Сопоставляя два выражения для a · b, получаем:

Чтобы получить теперь формулу для косинуса суммы, надо в формулу для cos( ) подставить вместо :

Чтобы получить формулы для синуса суммы и разности, воспользуемся формулами приведения. Вот формула синуса суммы:

Аналогичным способом получается и формула синуса разности.

Предлагаем вам вывести ее самостоятельно и свериться с ответом:

Из формул для синуса и косинуса суммы и разности получаются и формулы для тангенса суммы и разности. Вот, например, как получается формула для тангенса суммы:

Выпишем еще раз формулы для тангенса суммы и разности:

В этой книжке уже шла речь о периодических, или колебательных, процессах. В простейшем и типичном случае колебательного процесса график зависимости величины (скажем, силы тока) от времени является синусоидой. Если отсчитывать время от того момента, когда значение величины равно нулю, то зависимость величины u, совершающей колебания, от времени t задается формулой u = A sin t, где A и — постоянные. В общем же случае, когда отсчет времени начинается через время после этого момента, вместо t в формулу надо будет подставить t +, и формула примет вид u = A sin (t + ) = A sin(t + ), где через мы обозначили величину. Постоянные, A и называются соответственно частотой, амплитудой и фазой, и этими тремя параметрами синусоидальное колебание полностью определяется.

Амплитуда показывает, какого наибольшего значения достигает величина в процессе колебаний, а фаза показывает, на каком этапе колебаний мы начали отсчет времени: если = 0, то в момент, когда u = 0, а если, допустим, = /2, то в момент, когда u достигло наибольшего значения.

Если преобразовать выражение u = A sin(t + ), то мы получим:

где P = A cos, Q = A sin — постоянные. Учитывая, что вместо Задача 19.1. Если, и + — острые углы, то формулу для синуса суммы можно получить геометрически, без всяких векторов.

Рис. 19.2. Сделайте это, руководствуясь рис. 19.2.

Задача 19.2. а) Докажите тождество б) Выведите аналогичное тождество для ctg + ctg.

Задача 19.3. Докажите тождество Задача 19.4. Найдите значения следующих выражений:

а) cos 78 cos 18 + cos 12 cos 72 ;

б) cos 76 cos 31 + cos 14 cos 59 ;

Задача 19.5. а) Найдите sin, если sin(/6 + ) = 4/5, / Найдите.

Задача 19.6. Докажите тождества:

а) arctg 2 + arctg 3 = 3/4;

б) arctg 3 + arctg 1 + arctg 1 + arctg 1 = /4.

Задача 19.7. а) Докажите тождество б) Равносторонний треугольник ABC вписан в окружность.

На дуге BC взята точка M. Докажите, что AM = BM + CM.

Задача 19.8. Расстояние между центрами двух пересекающихся окружностей равно a, общая хорда видна из центров под углами 90 и 60. Найдите радиусы окружностей.

Задача 19.9. Остроугольный треугольник вписан в окружность радиусом. Центр окружности удален от двух сторон треугольника на 2 5 и 8. Чему равно расстояние от центра окружности до третьей стороны треугольника?

Задача 19.10. а) На клетчатой бумаге нарисован треугольник, вершины которого расположены в узлах (точках пересечения линий).

Докажите, что тангенсы углов этого треугольника являются рациональными числами.

б) Докажите, что на клетчатой бумаге нельзя нарисовать равносторонний треугольник с вершинами в узлах.

Задача 19.11. Величина u зависит от времени t по закону Сдвинем начало отсчета на постоянную величину (то есть подставим t = t + и выразим u через t ); получится формула u = P cos t + Q sin t. Выразите P и Q через P, Q и число Если говорить не о колебательных процессах, а просто о функциях, то эта задача говорит, что функция y = a sin x + b cos x после сдвига аргумента на постоянное число c (замены x на x + c) остается функцией того же вида, только с другими коэффициентами a и b. Существует и более простой пример такого рода: показательная функция y = kax после замены x на x + c остается функцией того же вида, только с другим коэффициентом k. Великий математик XVIII века Леонард Эйлер открыл, что эти два примера — фактически одно и то же. У нас пойдет об этом речь, когда мы займемся комплексными числами.

Задача 19.12. Точку M, имеющую координаты (x; y), повернули относительно начала координат на угол в положительном направлении. Получилась точка M (рис. 19.3). Каковы ее координаты?

Указание. Если e1 и e2 — единичные координатные векторы, то OM = xe1 + ye2 ; пусть e1 и e2 — векторы, полученные из e и e2 соответственно поворотом на угол (относительно начала координат в положительном направлении). Тогда, очевидно, OM = xe1 + ye2.

Формулы, выражающие координаты точки M через координаты точки M, совпадают с формулами из предыдущей задачи, выражающими P и Q через P и Q. Причины такого совпадения мы обсудим в следующем параграфе.

Задача 19.13. а) Пусть a и b — положительные числа, меньшие 1.

Покажите, что arctg a + arctg b = arctg.

б) Что нужно подставить вместо многоточия в правую часть равенства чтобы получилось тождество, верное при всех достаточно малых положительных a и b?

§ 20. Формула вспомогательного угла, или сложение колебаний равной частоты Повторить: § 13: Чему равно sin x + cos x?

В предыдущем параграфе мы с помощью формул сложения перешли от записи колебаний в виде u = A sin(t+) к записи u = = P cos t + Q sin t. Давайте теперь научимся переходить от второй записи к первой.

Если вместо t написать, то задача будет такова: дано выражение P sin + Q cos ; требуется найти такие числа A и, чтобы выполнялось тождество P sin +Q cos = A sin(+) (мы можем, очевидно, считать, что P и Q не равны одновременно нулю).

Предположим сначала, что нам удалось найти такое, что P = cos, Q = sin. Тогда наша задача решалась бы просто:

Однако в общем случае такого числа может и не существовать:

ведь если P = cos, Q = sin, то P 2 + Q2 = cos2 + sin2 = 1, а сумма квадратов двух произвольных чисел P и Q равняться единице не обязана. Поэтому применим небольшой трюк, а именно умножим и поделим наше выражение на P 2 + Q2 :

Заметим, что тригонометрической окружности; пусть — какое-нибудь из соответствующих ей чисел. Тогда выполнены равенства и наше выражение запишется так:

Итак, наша цель достигнута.

Если числа P и Q не равны 0, то Эта формула называется формулой вспомогательного угла (вспомогательный угол — это ).

Если поделить друг на друга выражения для sin и cos, то получится равенство tg = Q/P, так что возникает искушение написать попросту = arctg(Q/P ). К сожалению, так писать можно только если P > 0:

в этом случае точка, соответствующая, лежит правее оси ординат, и поэтому ей соответствует число из интервала (/2; /2), в котором лежат арктангенсы всех углов. Если P < 0, то это уже не так (тогда в качестве годится число arctg((Q/P ) + )).

Теперь мы можем довести до конца исследование функции y = sin x + cos x, начатое в § 13. Если преобразовать выражение sin x + cos x по нашему рецепту, то получится вот что:

= 2(sin x · cos(/4) + sin(/4) cos x) = 2 sin(x + /4).

Стало быть, график нашей функции — действительно синусоида;

заодно мы еще раз убеждаемся, что наибольшее значение выражения sin x + cos x равно 2, а наименьшее значение равно 2.

Задача 20.1. Постройте графики функций:

Задача 20.2. Найдите множество значений функции y = sin x 2 cos x.

Задача 20.3. Решите уравнения:

Нашу формулу вспомогательного угла можно получить и геометрически. Напомним для начала, что вектор длины r, образующий с осью абсцисс угол, имеет координаты (r cos ; r sin ) (рис. 20.1а).

Теперь рассмотрим вектор OA, имеющий длину P и образующий с осью абсцисс угол, и перпендикулярный ему вектор OB, имеющий длину Q и образующий с осью абсцисс угол + / (рис. 20.1б). Тогда (второе равенство вытекает из формул приведения sin( + /2) = = cos, cos( + /2) = sin ), откуда Однако сумму можно найти и по правилу параллелограмма: OA+ + OB = OC, где точка C — вершина прямоугольника OACB. По теореме Пифагора имеем OC = OA2 + OB 2 = P 2 + Q2 ; если обозначить AOC через, то вектор OC образует с осью абсцисс угол +, откуда Приравнивая ординаты векторов OC и OA + OB, получаем, что Угол найдем также геометрически: из прямоугольного треугольника OAC видим, что tg = AC/OA = Q/P. Это также согласуется с предыдущими результатами (напомним, что числа P и Q положительны).

Задача 20.4. Если приравнять абсциссы векторов OC и OA + OB, то для положительных P и Q получится формула где = arctg(Q/P ). Выведите эту формулу, не используя векторов.

Прием, которым мы воспользовались, позволяет придать геометрический смысл и другим тригонометрическим выкладкам.

Давайте, например, упростим выражение sin + sin( + 120 ) + +sin(120 ) (задача 19.3 из предыдущего параграфа). Для этого отложим от начала координат следующие три вектора a, b и c, соответствующие точкам, 120, 120 тригонометрической окружности: a = (cos ; sin ), b = (cos( 120 ); sin( 120 )), c = (cos( + 120 ); sin( + 120 )) (рис. 20.2а). Если искать сумму a + b + c геометрически (откладывая b от конца a и т. д.), то ясно, что наша ломаная из трех звеньев замкнется в правильный треугольник, так что a + b + c = 0 (рис. 20.2б). Записывая же сумму a + b + c в координатах, получаем равенства Таким образом, мы доказали тождество из задачи 19.3 (а заодно и аналогичное тождество для косинусов). Впрочем, в данном случае ничего не стоит доказать эти тождества без всяких векторов, с помощью формул сложения. Приведем более серьезный пример.

Рассмотрим синусоидальное колебание с амплитудой A > 0, частотой и фазой : u = A sin(t + ). Тогда значение u в момент времени t есть ордината вектора длины A, образующего угол t + с осью абсцисс. Иными словами, значение u в момент t равно ординате вектора длины A, вращающегося вокруг начала координат с угловой скоростью. На рисунках принято изображать положение этого вращающегося вектора в момент t = 0. При этом угол, образованный им с осью абсцисс, будет равняться фазе (рис. 20.3а). Рассмотрим теперь два колебания одной частоты:

u1 = A1 sin(t + 1 ), u2 = A2 sin(t + 2 ). Как найти амплитуду и фазу их суммы u1 + u2 ? Если изобразить u1 и u2 вращающимися векторами, то очевидно, что сумма этих векторов также будет вращаться со скоростью, и u1 + u2 будет равно ординате их суммы. Стало быть, при изображении колебаний векторами сумме колебаний соответствует сумма векторов. В частности, из рис. 20.3б и теоремы косинусов ясно, что длина суммы векторов равна A2 + A2 + 2A1 A2 cos(1 2 ), так что где угол также может быть найден геометрически (например, с помощью теоремы синусов).

При таком соответствии между колебаниями и векторами разложение соответствует разложению вектора на сумму векторов, параллельных осям абсцисс и ординат (так что коэффициенты P и Q — не что иное, как координаты вектора). Сдвиг начала отсчета времени на, в результате которого к фазе прибавляется число =, соответствует повороту на угол. Теперь становится понятным, почему полностью аналогичны ответы к задачам 19.11 и 19.12.

Описанное нами изображение колебаний с помощью векторов применяется в электротехнических расчетах; там его называют методом векторных диаграмм.

Задача 20.5. Рассмотрим колебания, заданные формулами u1 = = A1 sin t и u2 = A2 sin(t + ). Найдите с помощью векторной диаграммы амплитуду и фазу для u1 + u2.

§ 21. Двойные, тройные и половинные углы Запишем формулы синуса, косинуса и тангенса суммы для частного случая, когда слагаемые равны. Получится вот что:

Стало быть, мы получили формулы, выражающие тригонометрические функции от 2 через тригонометрические функции Формулу для cos 2 можно немного преобразовать. Если заменить в ней sin2 на 1 cos2, то получится формула, выражающая cos 2 через cos :

Можно, наоборот, заменить cos2 на 1sin2. В итоге получается вот что:

Задача 21.1. Формулу cos 2 = 1 2 sin2 можно доказать (для острых углов ) геометрически. Сделайте это, найдя двумя разными способами основание равнобедренного треугольника с углом при вершине 2 и боковой стороной 1.

Задача 21.2. а) Пусть sin + cos = m; найдите sin 2.

б) Пусть sin cos = n; найдите sin 2.

Задача 21.3. Докажите тождество:

Указание. Умножьте и поделите левую часть на 8 sin.

Задача 21.4. Найдите значения выражений, не используя калькулятор или таблицы:

а) cos(/9) cos(2/9) cos(4/9);

б) sin 10 sin 50 sin 70.

Подобно формулам для функций двойного угла, можно получать формулы для синуса и косинуса 3, 4 и т.д. Например:

(заменяем sin2 на 1 cos2 ) Задача 21.5. Выведите вторую из нижеприведенных формул:

Мы не будем выписывать формулы для синуса и косинуса n при n, больших 3. Для небольших значений n читатель легко сделает это сам; как устроена формула для произвольного n, мы узнаем, когда познакомимся с комплексными числами.

На наши формулы для cos 2 можно посмотреть и с другой стороны. Именно, выразим в этих формулах cos2 или sin2 через cos 2. Получается вот что:

Эти формулы часто называют формулами понижения степени; вот два их применения.

Во-первых, давайте заменим всюду в этих формулах на /2.

Получится вот что:

Если теперь извлечь из обеих частей квадратные корни, то получатся такие «формулы половинного угла»:

Стало быть, если нам известен косинус числа, то — с точностью до знака — мы можем найти также синус и косинус числа /2.

Если отбросить в формулах половинного угла знаки абсолютcos ной величины и записать, например, cos =, то получится неверная формула: правая часть у нее всегда неотрицательна (по определению квадратного корня), а левая часть может быть отрицательной. Если мы знаем только значения тригонометрических функций от угла, то для определения знаков sin и cos нужна дополнительная информация.

Такая неоднозначность в определении значений функций половинного угла не удивительна: если мы знаем только sin и cos, то нам известно расположение точки, соответствующей числу, на тригонометрической окружности, но узнать, где на окружности находится число /2, без дополнительной информации нельзя: если числа и отличаются на 2, то сами они занимают на тригонометрической окружности одно и то же место, а числа /2 и /2 диаметрально противоположны.

Задача 21.6. а) Найдите cos(x/2), если cos x = 1/3, 2 < x < 3.

б) Найдите sin(x/2), если cos x = 1/4, 0 x.

в) Пусть нам требуется найти sin(x/2), если cos x = 1/4 и a 2 x a. Для каких a из отрезка [0; /2] эта задача будет иметь единственное решение?

Задача 21.7. В треугольнике против сторон a, b, c лежат углы A, B, C. Докажите следующие формулы:

(p = (a + b + c)/2 — полупериметр).

Второй пример применения формул понижения степени относится к физике. Как известно, если «нагрузка» (например, лампочка) сопротивлением R находится под напряжением U, то на ней выделяется мощность U 2 /R. Если ток у нас переменный, то напряжение U, а стало быть, и мощность все время меняются;

практический интерес представляет среднее значение этой мощности. Давайте его найдем. Пусть напряжение зависит от времени по закону U = U0 cos t, где U0 — амплитуда (максимальное значение напряжения). Тогда по формуле понижения степени имеем:

В этой сумме меняется со временем только второе слагаемое, но при этом его среднее значение равно нулю: половину времени число cos 2t положительно, другую половину — отрицательно, а при усреднении эти положительные и отрицательные значения компенсируют друг друга (см. рис. 21.1).

Поэтому среднее значение мощности равно первому слагаемому, то есть U0 /2R. Если обозначить U = U0 / 2, то получится, что средняя мощность равна (U 2 )/R. Стало быть, средняя мощность, выделяемая на сопротивлении R в цепи переменного тока с амплитудой напряжения U0, такая же, как если бы ток был постоянен, а напряжение было в 2 раз меньше, чем U0. Величину U называют среднеквадратичным значением напряжения; именно его имеют в виду, когда говорят, что напряжение равно 220.

Задача 21.8. Докажите тождества:

Задача 21.9. Упростите выражение sin4 x + cos4 x и постройте график функции y = sin4 x + cos4 x.

Мы уже выписывали формулы для | sin(/2)| и | cos(/2)|, так что формулу для | tg(/2)| можно получить, просто поделив эти формулы друг на друга:

Можно, однако, получить для тангенса половинного угла форsin(/2) мулы и поинтереснее. Для этого в равенстве tg(/2) = умножим числитель и знаменатель на 2 cos(/2):

(мы воспользовались формулами синуса двойного угла и понижения степени). Можно было бы также умножить числитель и знаменатель на 2 sin(/2):

Итак:

Задача 21.10. Формулу tg = можно (по крайней меcos ре для острых углов ) доказать геометрически. Сделайте это, руководствуясь рис. 21.2.

Тангенс половинного угла играет в тригонометрии особую роль: через него (мы поделили числитель и знаменатель на cos(/2)). Обработаем аналогичным образом косинус:

Деля формулу для sin на формулу для cos, получим:

Впрочем, в этой последней формуле ничего нового как раз нет: если записать tg = tg(2 · (/2)), то это — просто формула тангенса двойного угла.

Запишем три наши формулы вместе:

Формулы, которые мы только что получили, в принципе позволяют чисто механически проверить любое тригонометрическое тождество, в обеих частях которого стоят выражения относительно sin и cos : надо только выразить всюду sin и cos через tg(/2), после чего, если обозначить tg(/2) через t, получится алгебраическое тождество с одной переменной t, проверка которого может потребовать времени, но не изобретательности. Точно так же любое тригонометрическое уравнение, в котором левая и правая части выражены через sin x и cos x, сводится с помощью этих формул к алгебраическому уравнению относительно tg(x/2) (впрочем, для решения уравнений в «школьном» смысле эта подстановка мало что дает, поскольку при этом, как правило, получаются алгебраические уравнения высокой степени).

Формулы, выражающие тригонометрические функции через тангенс половинного угла, называются «формулами универсальной подстановки».

На формулы универсальной подстановки можно посмотреть и еще с одной стороны. Рассмотрим нашу старую знакомую — окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Уравнение этой окружности x2 +y 2 = 1 можно рассматривать как рецепт проверки, принадлежит ли окружности данная точка: «подставь ее координаты (x; y) в уравнение;

точка будет лежать на окружности, если при этом получится верное равенство». После того, как мы определили функции синус и косинус, появляется возможность описать окружность, что называется, параметрически, а именно задать координаты всех ее точек формулами: «точки окружности — это точки с координатами (cos ; sin ) для всевозможных чисел ». Если теперь выразить cos и sin через t = tg(/2), то точки окружности окажутся заданными с помощью формул, не использующих тригонометрии: точки окружности с уравнением x2 + y 2 = 1 — говорят, координаты точек окружности задаются с помощью «рациональных функций» от t (рациональная функция — это функция, для вычисления значения которой достаточно четырех действий арифметики и возведения в целую степень).

Представим теперь, что кривая задается не уравнением x2 +y 2 = 1, а каким-то другим алгебраическим уравнением. Спрашивается, можно ли Строго говоря, эти формулы задают все точки окружности, кроме (1; 0).

Мы не будем обращать внимания, если конечное число точек формулой не охватывается.

в этом случае координаты ее точек задать рациональными выражениями от переменной t? Ответ на этот вопрос зависит от уравнения кривой.

Если в обеих частях уравнения стоят многочлены от x и y степени не выше второй, то задать точки кривой с помощью рациональных функций от одной переменной всегда удается (примеры — в задаче 21.11).

Если же кривая задана уравнением степени больше 2, то, как правило, задать координаты ее точек рациональными функциями невозможно:

так обстоит дело уже для кривой x3 + y 3 = 1.

Задача 21.11. Задайте с помощью рациональных функций координаты точек следующих кривых:

а) эллипса с уравнением x2 + 4y 2 = 1;

б) гиперболы с уравнением xy = 1;

в) гиперболы с уравнением x2 y 2 = 1.

Указания. б) Если x = t, то y = 1/t. в) Разложите левую часть на множители.

Задача 21.12. а) Укажите пять решений уравнения x2 + y 2 = 1 в положительных рациональных числах.

б) Укажите пять решений уравнения a2 + b2 = c2 в натуральных числах.

§ 22. Преобразование произведения в сумму и суммы в произведение Напишем одну под другой формулы синуса суммы и синуса разности:

Сложив эти формулы, получим sin(+)+sin() = 2 sin cos, или Поступая аналогичным образом с формулами косинуса суммы и разности, получим:

откуда получаются такие формулы:

Мы получили формулы, позволяющие переходить от произведения тригонометрических функций к их сумме. Давайте теперь научимся делать переход в другую сторону: от суммы к произведению.

Рассмотрим, например, формулу Обозначим в правой части этой формулы + через x, а через y. Складывая и вычитая равенства + = x и = y, находим, что = (x + y)/2, = (x y)/2. Подставляя эти выражения в левую часть формулы и читая формулу справа налево, получаем окончательно:

Подставляя в только что полученную формулу y вместо y, получаем:

Если обработать формулы для cos cos и для sin sin так же, как мы это сделали с формулой для sin cos, то получится вот что:

(обратите внимание на знак «минус» во второй формуле).

Задача 22.1. Докажите эти формулы.

Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение можно получить и геометрически. В самом деле, отложим от начала координат векторы OA и OB, имеющие длину 1 и образующие с положительным направлением оси абсцисс углы и соответственно; пусть С другой стороны, так как OA = OB = 1, параллелограмм OACB является ромбом. Следовательно, OC — биссектриса угла AOB, откуда BOC =, и для равнобедренного треугольника OBC имеем Так как вектор OC составляет с осью абсцисс угол + = Сопоставляя два выражения для координат вектора OC, получаем в согласии с выведенными нами формулами.

Задача 22.2. Докажите тождества:

б) 4 sin sin(/3 ) sin(/3 + ) = sin 3;

Задача 22.3. В предположении, что + + =, докажите равенства:

Задача 22.4. Пусть в треугольнике против сторон a, b, c лежат соответственно углы,,. Докажите формулы:

Эти формулы называются формулами Региомонтана, или теоремой тангенсов.

Задача 22.5. а) В предположении, что + + + =, докажите тождество:

б) Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Докажите, что AB·CD+BC ·AD = AC ·BD (во вписанном четырехугольнике сумма произведений противоположных сторон равна произведению диагоналей — теорема Птолемея).

Формулы, которыми мы занимались в этом параграфе, применяются в радиотехнике. Пусть нам надо передать по радио голос диктора частотой, скажем, 300. На таких низких частотах вести радиопередачу невозможно: частоты радиоволн, применяемых для радиовещания, могут измеряться миллионами. Волны таких частот используют так. Пока диктор молчит, в эфир идут только радиоволны высокой частоты (несущая частота — см.

график на рис. 22.2а).

Никакой информации с этим сигналом не передается. Пусть теперь диктор начал издавать звуки с частотой ( много меньше, чем ); тогда в эфир идет сигнал u = (A sin t) sin t. Примерный график его представлен на рис. 22.2б. Можно сказать, что амплитуда колебаний высокой частоты сама претерпевает колебания с низкой частотой. Как говорят, высокочастотный сигнал модулируется низкочастотным (все сказанное — лишь грубая схема того, что на самом деле происходит в приемнике).

Преобразуем выражение для модулированного сигнала:

Как видите, наш модулированный сигнал — не что иное, как сумма сигналов с частотами + и. Так что когда говорят, что радиостанция ведет передачу на частоте, скажем, = 10, то надо помнить, что фактически в эфир идут не только радиоволны частоты, но и волны всех частот из интервала [ ; + ] где — максимальная частота полезного сигнала, передаваемого радиостанцией. Значит, несущие частоты разных радиостанций не могут быть слишком близки друг к другу: если отрезки [ ; + ] будут перекрываться, то радиостанции будут мешать друг дружке.

Еще одно приложение формул из этого параграфа — вычисление суммы косинусов или синусов чисел, образующих арифметическую прогрессию (в физике такие вычисления используются при исследовании явления дифракции).

Пусть нам надо упростить выражение Для начала решим эту задачу геометрически, а потом покажем, как к ней можно применить наши формулы. Рассмотрим следующие векторы: a0 = (cos ; sin ), a1 = (cos( + h); sin( + h)),..., a10 = (cos( + 10h); sin( + 10h)). Очевидно, искомая сумма — это абсцисса вектора a0 + a1 +... + a10. Найдем эту сумму векторов.

Для этого отложим OA1 = a0 от начала координат, A1 A2 = a от точки A1 и т. д. (рис. 22.3). Тогда a0 + a1 +... + a10 = OA11.

Чтобы найти координаты вектора OA, найдем его длину и угол наклона к оси абсцисс. Для этого заметим, что каждый из отрезков OA1, A1 A2,... имеет длину 1 и повернут относительно предыдущего на один и тот же угол h радиан. Следовательно, точки O, A1, A2,..., A11 лежат на одной окружности. Ее центр Z является точкой пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам OA1 и A1 A2. Если F Z и GZ — эти перпендикуляры, то F ZG = h, так что F ZA1 = h/2 и радиус окружности R равен F A1 / sin F ZA1 = 1/2 sin(h/2) (напомним, что длины отрезков OA1 и A1 A2 равны единице). Так как, очевидно, OZA1 = = A1 ZA2 =... = A10 ZA11 = h, то OZA11 = 11h, и из равнобедренного треугольника OZA11 имеем Чтобы найти угол наклона вектора OA11 к оси абсцисс, заметим, что центральный угол A1 ZA11 = 10h, так что вписанный угол A11 OA1, опирающийся на дугу A1 A11, равен 10h/2 = 5h, а A11 OX = A11 OA1 + = + 5h. Стало быть, OA11 = (OA11 cos( + 5h); OA11 sin( + 5h)) = Сопоставляя две записи для координат вектора OA11, получаем формулы:

cos + cos( + h) + cos( + 2h) +... + cos( + 10h) = sin + sin( + h) + sin( + 2h) +... + sin( + 10h) = Первая из этих формул — это то, к чему мы стремились, вторая получилась в качестве побочного продукта.

Как видите, вычисления оказались довольно длинными. К тому же читатель-педант может заметить, что чертеж на рис. 22. получается только для достаточно малых h, а при больших h ломаная OA1 · · · A10 A11 может обойти всю окружность, и не один раз, так что чертеж будет другой. На самом деле наша формула верна при всех и h (если только знаменатель sin(h/2) не равен нулю; но последнее возможно только если h = 2n для некоторого целого n, а тогда и без всякой формулы ясно, что сумма равна 11 cos ). Чтобы в этом убедиться, давайте подсчитаем нашу сумму, не используя чертеж.

Именно, умножим и разделим нашу сумму на 2 sin(h/2):

cos + cos( + h) + cos( + 2h) +... + cos( + 10h) = + 2 sin(h/2) cos( + 2h) +... + 2 sin(h/2) cos( + 10h)).

Каждое из слагаемых в скобках вида 2 sin(h/2) cos( + mh) преобразуем так:

Подставляя это в нашу формулу, видим, что сумма равна если раскрыть скобки, то сократятся все слагаемые, за исключеh (мы преобразовали сумму в произведение). Сокращая двойки в числителе и знаменателе, получаем ту же формулу, что мы нашли геометрически.

Наше второе вычисление короче и проще первого, но менее естественно. Когда мы познакомимся с комплексными числами, мы научимся находить такие суммы наиболее естественным (хотя и не наиболее коротким) способом.

Задача 22.6. Докажите, что на рис. 22.3 точки O, A1, A2,..., A действительно лежат на одной окружности.

Задача 22.7. Упростите выражения:

Задача 22.8. Через центр окружности, описанной около правильного многоугольника, проведена прямая. Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин многоугольника до этой прямой не зависит от выбора прямой.

§ 23. Производные тригонометрических функций Повторить: § 4: малые углы;

§ 5: часы, или современный взгляд на тригонометрию;

§ 11: графики синуса и косинуса.

Для начала вспомним, что такое вообще производная.

Посмотрим на таблицу значений функции y = 0,7x + 0,4:

Чтобы продолжить заполнение этой таблицы, не нужно даже подставлять x = 8, x = 9... в выражение 0,7x + 0,4: достаточно заметить, что при увеличении x на 1 значение y увеличивается на 0, 7. Это и не удивительно: ведь наша функция линейна, а у линейных функций одинаковым изменениям аргумента соответствуют одинаковые изменения функции.

Если, однако, функция линейной не является, то положение будет другим. Посмотрим, для тех же значений x, на таблицу значений функции y = x (приближенные значения даны с тремя знаками после запятой):

На сей раз при увеличении x на 1 значение x увеличивается то на 0,268, то на 0,234, то еще как-нибудь. Исходя только из этой таблицы, предсказать значение 7 будет затруднительно. Возьмем, однако, значения x с меньшим шагом, скажем, отстоящие друг от друга на 0,01:

x 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1,00 1,01 1, x 0,975 0,980 0,985 0,990 0,995 1,000 1,005 1, (значения x вновь взяты с тремя знаками после запятой).

Чудесным образом вновь возникла та же ситуация, что была у нас с линейной функцией: при увеличении x на 0,01 значение x увеличивается всегда на 0,005. Точные значения приращений друг другу все равно, конечно, не равны, но приближенно можно сказать, что при изменениях x на отрезке [0,95; 1,02] функция y = Таким свойством обладает не только функция g(x) = x.

Большинство интересных функций при изменении аргумента на малых промежутках ведут себя почти как линейные функции:

равным изменениям аргумента соответствуют приближенно равные изменения функции. По-ученому такие функции называются «дифференцируемыми» или «гладкими».

В эпоху, предшествовавшую распространению калькуляторов и компьютеров, этим свойством пользовались при нахождении значений функций с помощью таблиц. Если, допустим, в таблице были приближенные значения для 1,93 и 1,94, а требовалось найти 1,931, то поступали так: к табличному значению 1, прибавляли одну десятую от разности приведенных таблице знав чений 1,94 и 1,93, как если бы функция y = x на отрезке [1,93; 1,94] была линейна. Такой способ обращения с таблицами Давайте выразим то, что мы узнали про функцию y = x, с помощью формулы. Если x близко к 1, то при увеличении x на 0,01 значение x увеличивается примерно на 0,005, т. е. на в два раза меньшую величину. Если x отстоит от 1 на малую величину h, то x отстоит от 1 примерно на h/2. Стало быть, для малых h верна приближенная формула 1 + h 1 +.

Рассмотрим теперь вместо y = x произвольную «достаточно хорошую» функцию y = f (x) и число a из ее области определения. При x, близких к a, изменения значений f (x) приблизительно пропорциональны изменениям значений x. Обозначим коэффициент пропорциональности буквой c; тогда если x отстоит от a на малую величину h, то f (x) отстоит от f (a) приблизительно на ch, так что f (a + h) f (a) + ch.

Если при малых h верна приближенная формула f (a + h) f (a) + ch, то число c называется производной функции f в точке a. Производная функции f в точке a обозначается f (a).

Результат наших экспериментов над функцией y = x можно теперь записать так: производная функции y = x в точке 1 равна 1/2.

Как искать производные функций, не обращаясь к таблицам их значений? Рассмотрим произвольную функцию y = f (x). Из приближенной формулы f (a + h) f (a) + ch число c = f (a) выражается так:

Чем меньше a, тем эта формула точнее. Стало быть, f (a) — это число, к которому приближается отношение при h, приближающемся к нулю.

стремящемся к нулю». Еще раз повторим, что этот предел может не существовать, но он существует для большинства интересных функций (и в большинстве точек).

Вот как можно найти этим способом производную функции f (x) = x3. Чтобы найти ее производную в точке a, надо узнать, h к нулю. После упрощений с использованием формулы куба суммы это выражение примет вид 3a2 + 3ah + h2. Ясно, что при стремлении h к нулю это выражение приближается к 3a2, так что Теперь найдем производную функции y = x. Чтобы найти эту производную в точке a, надо узнать, к чему приближается отношение обозначим a через b, a + h a через t; тогда a + h будет равен b + t; запишем еще число h в виде Тогда получается:

Когда h приближается к нулю, число t = a + h a тоже приa+h a ближается к нулю, так что = 1/2 a. Стало быть, производная функции y = x в точке a равна 1/2 a. При a = 1 получается 1/2, что согласуется с результатами нашего эксперимента.

Более подробно о производной вы прочитаете в книжках, посвященных основам анализа. Мы же еще напомним только, как производная связана с графиками функций.

Рассмотрим на графике функции y = f (x) секущую, соединяющую точки (a; f (a)) и (a + h; f (a + h)) (рис. 23.1). Если — угол наклона этой секущей к оси абсцисс, то из треугольника P QR ка R(a + h; f (a + h)) сливается с точкой P (a; f (a)), секущая P R превращается в касательную к графику в точке P, а отношение f (a + h) f (a) производная функции y = f (x) в точке a равна тангенсу угла между касательной к графику функции в точке (a; f (a)) и осью абсцисс.

Теперь перейдем к производным синуса и косинуса. Первое, что тут надо сказать, — это что производную функции y = cos x мы уже вычисляли. В самом деле, в § 5, где шла речь о наших фирменных часах, мы вычисляли скорость движения проекции конца стрелки на ось абсцисс. Для этого мы делили путь, пройденный этой проекцией за малое время, на само, то есть вычисляли (для малых ) отношение. С точностью до обозначений это то же отношение, что используется для вычисления производной. Как мы выяснили в § 5, при уменьшении это отношение стремится к sin t, так что производная функции y = cos x в точке t равна sin t, или, короче: (cos x) = sin x. Рассуждая аналогичным образом, но рассматривая проекцию на ось ординат, а не абсцисс, можно было бы установить, что (sin x) = cos x. Однако рассуждения в § 5 были не слишком аккуратными: по ходу дела мы заменяли длину дуги на длину хорды, считали перпендикулярными прямые, которые перпендикулярными не являются, и тому подобное. Поэтому мы сейчас подсчитаем производные синуса и косинуса другим способом.

Начнем с того, что подсчитаем производную от синуса в точке 0. Согласно определению, для этого надо узнать, к чему приближается отношение когда h приближается к нулю. Если вспомнить, что для малых h есть приближенная формула sin h h, то естественно предположить, что это отношение будет приближаться к 1. Чтобы убедиться в этом, вспомним, что для всех h от 0 до /2 верны неравенства sin h < h и tg h > h. Из первого неравенства следует, что sin h/h < 1, а из неравенства tg h > h (т. е. sin h/ cos h > h) получаем, что sin h/h > cos h. Итак, отношение sin h/h заключено между единицей и числом cos h, которое при стремлении h к нулю также приближается к единице. Стало быть, и отношению sin h/h при приближении h к нулю ничего не остается, как приближаться к единице. Итак, в точке 0 производная синуса равна единице.

Теперь можно найти производную функции y = sin x в любой точке a. Для этого сделаем такие преобразования:

Когда h приближается к нулю, величина h/2 также приближается к нулю. Поэтому первый сомножитель, как мы только что установили, приближается к единице, а второй приближается к cos a, так что значение всего выражения приближается к cos a. Итак, производная функции sin x в точке a равна cos a, или:

Производную функции y = cos x можно найти с помощью аналогичных выкладок, преобразуя разность в произведение. Для разнообразия поступим иначе: воспользуемся тем, что cos x = = sin + x. Тогда производная косинуса в точке a будет вычисляться так:

при стремлении h к нулю это последнее выражение стремится, очевидно, к производной функции синус в точке как мы только что вычислили, cos + a. Так как cos +a = = sin a, получаем окончательно, что производная функции y = = cos x в точке a равна sin a, или:

Наше рассуждение, сводящее вычисление производной косинуса к производной синуса, имеет простой геометрический смысл. В самом деле, как мы помним из § 11, график функции y = cos x получается из графика функции y = sin x параллельным переносом на вдоль оси абсцисс; стало быть, и касательная к графику y = cos x в точке с абсциссой a получается параллельным переносом из касательной к графику y = sin x в точке с абсциссой a + (рис. 23.2). Эти две прямые образуют, очевидно, равные углы с осью абсцисс; однако тангенс угла наклона пунктирной прямой равен производной синуса в точке a +, то есть равен или sin a. Значит, таков же и тангенс угла наклона cos a + сплошной прямой, равный производной косинуса в точке a.

Теперь, когда мы нашли производные синуса и косинуса в любой точке a, мы можем выписать приближенные формулы, пригодные при малых h:

Однако, чтобы иметь возможность ими пользоваться, необходимо знать их погрешность. Выясним это.

Начнем опять со случая, когда a = 0. Тогда формулы принимают вид sin h h, cos h 1. Для малых h значение cos h положительно, так что можно записать cos h = 1 sin2 h. С другой стороны, если 0 h, то sin h h. Отсюда ходит h2. Чтобы оценить погрешность формулы sin h h, снова воспользуемся неравенствами sin h h tg h:

1h формулы sin h h не превосходит 1,02|h| Теперь можно оценить погрешность формулы Чтобы это сделать, заметим, что погрешность равна и раскроем sin(a + h) по формуле синуса суммы:

sin a + h cos a sin(a + h) = (мы молчаливо предполагаем, что 0 a, так что sin a и cos a неотрицательны; с помощью формул приведения к этому сводятся любые приближенные вычисления синуса и косинуса). Поскольбудет выполнено неравенство 1,02h3 < h2, нашу ку при h погрешность можно далее оценить так:

Стало быть, погрешность формулы sin(a + h) sin a + h cos a не если h = 0,01, то погрешность не превосходит 0,0002, так что при пользовании формулой sin(a + h) sin a + h cos a три знака после запятой будут верны.

Результат, который мы получили, — иллюстрация общего факта: если f — «достаточно хорошая» гладкая функция, то для малых h погрешность приближенной формулы f (a + h) f (a) + hf (a) не превосходит M h2 для некоторого числа M, не зависящего от h.

Задача 23.1. Докажите, что погрешность приближенной формулы cos(a + h) cos a h sin a также не превосходит 2h2 при всех достаточно малых h. Укажите какую-нибудь конкретную границу для h, наподобие 0 h 0,1 в нашей формуле для синуса (не стремитесь найти наиболее экономную).

Мы ничего не говорили о производных тангенса и котангенса.

Они легко находятся из формул для производных синуса и косинуса и следующей формулы для производной частного:

Применяя эту формулу к tg x = sin x/ cos x, получим:

В заключение покажем, как искать производные от обратных тригонометрических функций. Найдем, например, производную от функции y = arcsin x. Пусть мы ищем эту производную чим arcsin a = b, arcsin(a + h) arcsin a = t; тогда arcsin(a + h) = b + t, поэтому h = (a + h) a = sin(b + t) sin b, так что Когда h приближается к нулю, t тоже приближается к нулю; величина, обратная к нашему отношению, стремится к производной синуса в точке b, то есть к cos b, а само отношение стремится к 1/ cos b; так как b = arcsin a ;, то так что производная в точке a равна 1/ 1 a2. Итак:

Способ, которым мы нашли производную арксинуса, аналогичен способу, с помощью которого мы нашли производную функции y = x. Если известна производная от какой-то функции, то таким способом можно найти производную от обратной к ней (функции y = x и y = arcsin x обратны к функциям y = x и y = sin x соответственно).

Глава Тригонометрия для абитуриентов § 24. Как решать тригонометрические уравнения Повторить: § 10. Простейшие тригонометрические уравнения.

§ 19. Тригонометрические формулы сложения.

§ 20. Формула вспомогательного угла.

§ 21. Двойные, тройные и половинные углы.

§ 22. Преобразование произведения в сумму и суммы в произведение.

С точки зрения поступающего в вуз, важным применением тригонометрии является ее использование в задачах вступительного экзамена. Кроме хорошего знания тригонометрии как таковой, для успешного решения экзаменационных задач необходимо освоить несколько стандартных приемов. Изучению этих приемов и посвящена настоящая глава.

Предполагая, что вы уже умеете решать простейшие тригонометрические уравнения наподобие cos x = 0 или sin x = 1/3, пойдем дальше.

В простых случаях тригонометрическое уравнение можно почти сразу свести заменой переменной к алгебраическому.

Пример 24.1. cos Решение. Если бы в правой части не было sin2, можно было бы сразу же обозначать cos новой буквой. В данном же случае придется предварительно выразить в правой части sin2 через cos2. Заменим sin2 на 1 cos2 :

Обозначая cos = 0. Корни этого уравнения: t1 = 3, t2 = 1/2, так что cos = или cos = 1/2. Первое из этих уравнений не имеет решений, так как cos 1; решая второе, получаем Ответ: ± + 6k (k Z).

Вот еще пример, когда уравнение сводится к простейшим с помощью разложения левой части на множители.

Пример 24.2. sin 2x + 4 cos x sin x = 1.

Решение. Заменим sin 2x по формуле синуса двойного угла и перенесем все в левую часть:

откуда 2 cos x = 0 или sin x+2 = 0, то есть cos x = или sin x = = 2. Решениями первого уравнения будут числа x = ± arccos + +2n (n Z), второе уравнение решений не имеет, так как sin x Ответ: ± arccos + 2n (n Z).

Теперь перейдем к более специфическим приемам.

Часто решение тригонометрического уравнения находится, если воспользоваться формулой для косинуса двойного угла в одном из следующих вариантов:

Пример 24.3. 2 sin + cos x + 2 = 0.

Решение. Так как cos x = cos 2 · sin через t, получаем уравнение Корни этого уравнения равны, так что наше уравнение равносильно совокупности уравнений sin = и sin = =. Первое из этих уравнений не имеет решений, так как Задача 24.1. Решите уравнения: а) cos 2x 5 sin x 3 = 0;

Некоторые уравнения рассчитаны на то, что их будут решать с помощью формул синуса и косинуса тройного угла:

Задача 24.2. Решите уравнения:

Следующий тип тригонометрических уравнений, с которыми нам надо познакомиться, — это однородные тригонометрические уравнения. Вообще, однородным уравнением от двух неизвестных u и v называют уравнение в котором во всех слагаемых сумма степеней при u и v одна и та же (она называется степенью однородного уравнения). Однородным тригонометрическим уравнением называется уравнение, которое получится из (), если вместо u и v подставить синус и косинус одного и того же выражения. Вот пример однородного тригонометрического уравнения степени 2:

Пример 24.4. sin2 x 4 sin x cos x + 3 cos2 x = 0.

Решение. Поделим обе части уравнения на cos x. Чтобы это действие было законным, надо убедиться, что выражение, на которое мы делим, не может обращаться в нуль для тех x, которые являются корнями уравнения. В самом деле, если cos2 x = 0, то cos x = 0; в нашем уравнении второе и третье слагаемые обратятся в нуль, а потому и первое слагаемое обращается в нуль: sin2 x = 0.

Однако cos2 x и sin2 x не могут одновременно равняться нулю, так что деление на cos2 x законно. Поделив, после очевидных упрощений получим: tg2 x 4 tg x + 3 = 0. Обозначая tg x = t, получаем квадратное уравнение, из которого находим t, а затем и сам x.

Ответ: (/4) + n; arctg 3 + n (n Z).

Рассуждение, оправдывающее законность деления на cos2 x, проходит всегда, если только в уравнении присутствует слагаемое с sin2 x. В противном случае делить на cos2 x нельзя, но в этом и нет необходимости, так как можно сразу вынести cos x за скобку.

Приведем пример.

Пример 24.5. 3 sin x cos x + 2 cos2 x = 0.

Решение. Переписав уравнение в виде cos x(3 sin x + 2 cos x) = 0, получаем, что оно равносильно совокупности уравнений:

шения уравнения (2) поделим обе части на cos x (на сей раз это можно, так как если cos x = 0, то из (2) вытекало бы, что sin x = 0, а sin x и cos x не могут одновременно равняться нулю) и получим Кстати, уравнение (2), которое мы решили по ходу дела, — тоже однородное уравнение относительно sin x и cos x, только первой степени.

Наряду с уравнениями, которые сразу записаны в виде однородных относительно синуса и косинуса, существуют и уравнения, которые можно свести к однородным с помощью следующего приема:

Если в каждой из частей тригонометрического уравнения стоит сумма выражений вида sin2 x, cos2 x, sin x cos x, sin 2x, cos 2x (возможно, с какими-то коэффициентами) и свободных членов, то это уравнение сведется к однородному, если всюду заменить sin 2x на 2 sin x cos x, cos 2x на cos2 x sin2 x, а каждый свободный член a заменить на a(cos2 x + sin2 x).

С учетом этого уравнение запишется так:

или, после упрощений:

Получилось однородное уравнение относительно sin и cos.

Дальнейшее ясно.

Ответ: arctg С помощью описанного приема можно решать и уравнения вида a sin x + b cos x = c, которые мы решали в § 20 с помощью формулы вспомогательного угла: надо только заменить sin x на Задача 24.3. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению Задача 24.4. Решите уравнение Задача 24.5. Решите уравнения:

Задача 24.6. При каких значениях a уравнение имеет решение?

Ключ ко многим уравнениям — это преобразование суммы в произведение и произведения в сумму.

Разберем два примера.

Пример 24.7. sin 3x = cos 5x.

Решение. Преобразуем cos 5x по формуле приведения и перенесем его в левую часть. Тогда получим уравнение Преобразуем в произведение:

откуда sin x + = 0 или cos 4x + = 0. Решая первое уравнение, получаем x + = n, откуда x = + n, n Z. Решая второе уравнение, получаем 4x + = + k, откуда x = +, Пример 24.8. sin 2x sin 6x = cos x cos 3x.

Решение. Преобразуем обе части следующим образом:

откуда cos 5x = 0 или cos 3x = 0. Дальнейшее ясно.

Ответ: /10 + n/5; /6 + n/3 (n Z).

Задача 24.7. Решите уравнения:

Некоторые уравнения легко решаются с помощью формулы вспомогательного угла (§ 20).

В дополнение к сказанному в § 20 об этой формуле заметим, что на практике при преобразовании выражений вида a sin x + + b cos x с конкретными a и b не обязательно пользоваться именно формулой синуса суммы: можно воспользоваться любой другой формулой сложения.

Пример 24.9. sin x cos x = 2/2.

Решение. Преобразуем левую часть так:

Стало быть, уравнение принимает вид 2 cos x + = 2/2, откуда cos x + Можно было бы решить это уравнение и по-другому, сведя его к однородному относительно cos и sin.

Задача 24.8. Решите уравнения:

В некоторых уравнениях решающим переходом является использование формул понижения степени:

Пример 24.10. cos 4x + 2 cos2 x = 2.

Решение. Преобразуем уравнение так:

Дальнейшее ясно.

В связи с формулами понижения степени находится еще один частный, но поучительный прием решения тригонометрических уравнений.

Пример 24.11. sin x + cos x = sin 2x.

Решение. Пусть sin x + cos x = t. Тогда t2 = (sin x + cos x)2 = sin2 x + cos2 x + 2 sin x cos x = 1 + sin 2x, откуда sin 2x = t2 1. Стало быть, уравнение принимает вид t = t2 1, откуда t =, и уравнение сводится к совокупности уравнения можно далее решать разными известными вам способами (удобнее всего — с помощью формулы вспомогательного угла).

Неопытные люди часто решают это уравнение так: возводят обе части в квадрат, получают, после упрощений, уравнение после чего обозначают sin 2x = y и действуют далее обычным образом. В полученном ответе, однако, будут посторонние решения.

Дело в том, что уравнение после возведения в квадрат тоже дает уравнение ()! Значит, решая (), мы находим не только то, что нам нужно, но и корни «постороннего» уравнения (). Именно так и появляются «посторонние корни» при возведении уравнений (не обязательно тригонометрических) в квадрат. В принципе посторонние корни можно отсеять (либо непосредственной подстановкой в исходное уравнение, либо оставив только те из них, при которых обе части возводимого в квадрат уравнения имеют один знак), но в данном случае провести такой отсев было бы непросто.

Задача 24.9. Решите уравнения:

в) sin 2x = cos4 sin4 ;

д) cos2 cos з) 2 sin x + 2 cos x + 1 = sin 2x + 4(sin3 x + cos3 x).

До сих пор мы избегали уравнений, в которых участвуют тангенс или котангенс или же что-то стоит в знаменателе, теперь дошла очередь и до них. Основной новый момент — необходимость следить за областью определения.

Напомним, что выражение tg x имеет смысл тогда и только тогда, когда x = + n ни для какого n Z (иными словами, когда cos x = 0). Аналогично выражение ctg x имеет смысл тогда и только тогда, когда x = n, n Z (иными словами, когда sin x = 0).

Лучше всего в самом начале решения уравнения выписать все необходимые ограничения (если в уравнении присутствует tg 2x, надо написать, что 2x = + n; если какое-то выражение стоит в знаменателе, надо записать, что оно не равно 0, причем не обязательно сразу же «расшифровывать» это ограничение, выясняя, чему именно не может равняться x: ведь для этого может потребоваться решить еще одно уравнение!). В конце решения надо проверить найденные значения неизвестных на вхождение в область определения. Часто это бывает совсем просто. Например, если мы свели уравнение в конечном счете к простейшему уравнению cos x =, а выписанные нами ограничения имеют вид cos x + 1 = 0, то ясно, что все наши x этому ограничению удовлетворяют. Или, допустим, уравнение свелось к совокупности уравнений tg 2x = 1 и tg 2x =, в то время как ограничение быn ло x = +, что проистекает из условия «tg 2x имеет смысл»;

тогда опять-таки все найденные нами x подходят: уж если мы знаем, чему равен tg 2x, то заведомо tg 2x имеет смысл. Бывают и случаи, когда так просто с проверкой не обойдешься; о них речь пойдет в следующем параграфе.

Пример 24.12. (cos x + 1) ctg x = sin 2x.

Решение. Выпишем область определения: x = k (k Z). Теперь перепишем уравнение, согласно определению котангенса:

Избавимся от знаменателя и преобразуем:

Получилось алгебраическое уравнение относительно cos x; решая его, получаем: cos x = 0, cos x = 1 или cos x = 1/2. Решения первого уравнения имеют вид + n (n Z); все эти x входят в область определения, так как для них sin x = 0. Решения уравнения cos x = 1 в область определения не входят, так как если cos x = 1, то sin x = 0. Наконец, решения уравнения cos x = 1/ имеют вид x = ± +2m; они в область определения входят (если cos x = 1/2, то sin x = 0).

Ответ: + n; ± + 2m (n, m Z).

Задача 24.10. Решите уравнения:

Еще одна неприятность, связанная с областью определения, возникает при применении тригонометрических тождеств, левая или правая часть которых определена не при всех значениях переменных. Если мы заменяем выражение на тождественно равное ему, но с меньшей областью определения, то те значения переменной, при которых определена левая часть тождества, но не определена его правая часть, из рассмотрения выпадают, и даже если какие-то из них являются корнями исходного уравнения, в ответ они заведомо не войдут. Поэтому при каждой такой замене те значения неизвестного, что выпадают из рассмотрения, надо немедленно проверить (например, подстановкой в исходное уравнение).

Пример 24.13. Решим уравнение 3 sin x 2 cos x = 2 с помощью «формул универсальной подстановки» (выражающих sin x и cos x через tg(x/2)). Согласно этим формулам, Левые части этих тождеств определены при всех x, а правые — этому эти значения x надо проверить подстановкой в исходное ставляя в уравнение, убеждаемся, что эти x являются корнями.

Теперь обозначим tg(x/2) = t и заменим в уравнении sin x и cos x по формулам (). Получим:

Решая это уравнение, находим:

t = 2/3, tg(x/2) = 2/3, Собирая найденные значения x, получаем Ответ: + 2k; 2 arctg(2/3) + 2n (k, n Z).

Если бы мы забыли проверить те значения x, при которых tg(x/2) не имеет смысла, то первая из двух серий решений была бы потеряна.

Задача 24.11. Рассмотрим следующие тригонометрические тождества:

Разбейте их на такие группы: 1) тождества, у которых области определения левой и правой частей совпадают; 2) тождества, у которых область определения правой части шире, чем область определения левой части; 3) тождества, у которых область определения правой части уже, чем область определения левой части.

Задача 24.12. Решите уравнение 3 sin x2 cos x = 2, разобранное в предыдущем примере, двумя другими способами: с помощью формулы вспомогательного угла и с помощью сведения к уравнению, однородному относительно sin(x/2) и cos(x/2).

Задача 24.13. Решите уравнения:

В заключение параграфа приведем один пример решения системы тригонометрических уравнений, который должен предостеречь вас от типичной ошибки.

Пример 24.14. Решите систему уравнений:

Решение. Эта система, очевидно, равносильна следующей:

Складывая и вычитая уравнения, находим: x = + (k + n), y = + (k n). Теперь записываем Ответ: (x; y) = Типичная ошибка при решении этой и подобных систем — обозначить «любое целое число» в двух уравнениях одной и той же буквой:

после этого в качестве решений системы получатся пары (x; y) = + 2k;. Все они решениями действительно являются, но кроме них есть еще много других, скажем. Чтобы cos(x+y) равнялся 1, а cos(xy) равнялся 1, вполне достаточно, чтобы равенства x + y = 2k и x y = + 2n выполнялись при разных k и n.

Задача 24.14. Изобразите на плоскости множество точек, координаты (x; y) которых удовлетворяют следующим условиям:

а) системе уравнений из примера 24.14;

Задача 24.15. Решите системы уравнений:

§ 25. Отбор чисел на тригонометрическом круге Повторить: § 6. Определение тригонометрических функций.

§ 10. Простейшие тригонометрические уравнения.

В уравнениях, встречавшихся нам до сих пор, при отборе корней получалось так, что при проверке в ответ включалась или же отбрасывалась вся серия целиком. В этом параграфе мы расскажем, что делать в более сложных случаях, когда часть серии в ответ входит, а часть — нет.

Решение. Это уравнение, очевидно, равносильно системе Итак, нам нужно из множества всех x, представимых в виде +, где k — некоторое целое число, выкинуть посторонние корни — те, что представимы в виде Для этого нанесем на тригонометрический круг все числа вида При этом получится 6 точек, обозначенных на рис. 25.1а. Эти точки появляются, если взять любые 6 последовательных значений n, при остальных n точки будут повторяться. Более того, ясно, что всякое число, которому соответствует одна из отмеченk ных на рис. 25.1а точек, имеет вид + для некоторого целого k.

Если нанести на этот рисунок еще и точки, соответствующие числам вида, то у нас получится рис. 25.1б (точки, соответn ствующие числам, отмечены белыми кружками). Ответом к наk шему уравнению будут числа, представимые в виде + и при этом не представимые в виде. Иными словами, решения уравнения — числа, которым соответствуют черные кружки, не совпадающие с белыми. Обращаясь к рис. 25.1б, видим, что таких кружков ровно четыре, и каждому из них соответствует бесконечная серия значений x: + 2n; + 2n; + 2n; + 2n.

Можно также объединить первую серию с третьей, а вторую — с четвертой. Тогда ответ запишется так: x = + n; x = + n (n Z).

Мы не случайно при записи системы использовали две разные буквы для обозначения «произвольного равно посторонний корень. Например, так будет при k = 4 и n = (получается посторонний корень 3/2).

Решение Это уравнение равносильно системе Попробуем действовать так же, как и в предыдущем примере:

нанесем на тригонометрический круг черные точки — числа вида + 2k и белые точки — числа вида 3n. То, что получится, изображено на рис. 25.2.

нет: ведь на рисунке нет черных точек, не совпадающих с белыми. Тем не менее легко видеть, что, скажем, число x = будет решением уравнения. Где же мы ошиблись? Дело Рис. 25.2. n Z, на тригонометрическом круге неадекватно: верно, что все такие числа изображаются одной из белых точек на рис. 25.2, но неверно, что все числа, соответствующие белым точкам, имеют вид 3n с целым n: белым точкам на рис. 25.2 соответствуют и числа, 2, 4, и т. д.

Вообще, изображение множества чисел на тригонометрическом круге будет адекватно, только если это множество «имеет период 2»: вместе с каждым числом x содержит числа x 2 и x + 2.

В частности, будет иметь период 2 множество решений уравнения, обе части которого имеют период 2 как функции от x.

Доведем теперь до конца решение уравнения Все, что нам нужно, — выяснить, для каких целых чисел k число x = +2k окажется посторонним корнем. Это будет тогда, когда найдется такое число n Z, что + 2k = 3n. Сокращая в этом равенстве на, получаем вопрос, к которому все сводится: для каких k Z существует такое n Z, что 1 + 2k = 3n?

Чтобы ответить на этот вопрос, выразим k через n: k = ;

выделим из этой дроби «целую часть»:

Так как k и n — целые числа, то — тоже целое число. Значит, = m, n = 2m + 1 (m Z). Подставляя в (), получаем k = 3m + 1 (m Z). Итак, мы получили ответ на наш вопрос:

посторонние корни получаются при k = 3m + 1, m Z. Нас же интересуют как раз все остальные k. Ясно, что сказать «k = 3m + 1, m Z»— все равно, что сказать «число k при делении на 3 дает остаток, не равный 1». Однако кроме единицы при делении на возможны только остатки 0 или 2. Так что можно еще сказать, что для числа x = +2k, являющегося корнем, число k дает при делении на 3 остаток 0 или 2, или, иными словами, k = 3m или k = 3m + 2, m Z. Подставляя это выражение для k, получаем окончательно ответ: x = + 6m или x = 5 + 6m.

Прием, позволивший нам выделить «плохие» значения k, срабатывает всегда; как им пользоваться в общем случае, рассказано в приложении к этому параграфу.

Заметим еще, что и для уравнения бы обойтись изображением чисел на круге. Для этого надо было бы сделать замену переменной x = 6t. После этого уравнение принимает вид период 2 как функция от t, так что его можно решать, отбирая числа на круге. Найдя t, остается найти x = 6t.

Задача 25.1. Решите уравнения:

Задача 25.2. Решите уравнения:

Указание к пункту а). При всех x верны неравенства sin 3x 1, cos 4x 1. Складывая их, получаем, что sin 3x+cos 4x 2, причем равенство достигается только в том случае, когда оба слагаемых одновременно равны 1.

Задача 25.3. Решите уравнения:

Указание к пункту а). При всех x верны неравенства | sin 6x| 1, | cos 8x| 1. Следовательно, sin 6x cos 8x = 1 тогда и только тогда, когда оба сомножителя одновременно равны 1 или 1.

Задача 25.4. а) Решите уравнение cos x + cos(x 2) = 2.

б) При каких значениях a уравнение cos x + cos(ax) = 2 имеет бесконечно много решений?

Приложение. Линейные неопределенные уравнения с двумя неизвестными При отборе корней тригонометрических уравнений иногда приходится отвечать на вопросы наподобие: «для каких k Z существует такое n Z, что 44k + 6 = 166n»? Посмотрим на этот вопрос немного с другой стороны: выясним, для каких вообще целых k и n выполняется равенство 166n 44k = 6. Такого рода задачи называются неопределенными уравнениями (точнее говоря, линейными неопределенными уравнениями с двумя неизвестными, но эти уточняющие слова мы будем опускать, поскольку других неопределенных уравнений нам не встретится). Расскажем, как можно решать такие уравнения.

Первое, что надо сделать для решения неопределенного уравнения, — это найти наибольший общий делитель коэффициентов при неизвестных и попробовать сократить на него обе части уравнения (разумеется, свободный член должен при этом остаться целым числом). Рассмотрим, например, уравнение 21k 24n = 8.

Наибольший общий делитель коэффициентов равен 3, и сократить на него не удается, так как 8 на 3 не делится. Тогда можно сразу сказать, что это уравнение решений в целых числах не имеет. В самом деле, если (k; n) — решение этого уравнения1, то левая В этом приложении под «решением» мы всегда понимаем целочисленное решение.

часть делится на 3 (так как на 3 делятся оба коэффициента), а правая часть на 3 не делится. Значит, у этого уравнения решений нет. Сформулируем примененное нами соображение в общем виде:

Если в уравнении ax+by = c (с целыми a, b и c) коэффициенты a и b делятся на некоторое число d, а свободный член c не делится на d, то это уравнение не имеет решений в целых числах.

Мы указали одну причину, по которой наше неопределенное уравнение может не иметь решений. Оказывается, во всех остальных случаях решения обязательно будут.

Если в неопределенном уравнении ax + by = c свободный член c делится на наибольший общий делитель коэффициентов a и b (в частности, так будет, если a и b вообще не имеют общих делителей, кроме единицы), то уравнение обязательно имеет решения в целых числах.

Мы не будем доказывать это утверждение, а просто покажем, как искать решения.

Решим уравнение 166n 44k = 6. Для начала, как мы уже говорили, поделим обе части на 2: 83n 22k = 3. Теперь выберем ту неизвестную, коэффициент при которой меньше по абсолютной величине — в нашем случае это k, — и выразим ее через другую неизвестную: k =. Выделим в этой дроби целую часть:

Как видите, целочисленные решения нашего уравнения будут получаться, если подставлять в него все те целые n, для которых тоже будет целым: ведь тогда из () получается, число что и k — целое число. Но как же узнать, когда число будет целым? Для этого обозначим 17n = t, или 17n 3 = 22t. Как видите, снова получилось неопределенное уравнение, но его коэффициенты уже меньше, чем у исходного. Проделаем с этим новым уравнением ту же операцию, что и c исходным: выразим из него ту неизвестную, коэффициент при которой меньше по абсолютной величине (на сей раз это будет n), и выделим из получающейся дроби целую часть:

Из () видно, что число обязано быть целым. Обозначим его буквой s: = s, 5t + 3 = 17s. Продолжая в том же духе, выразим t через s:

Обозначим, далее, v+ = u, v = 2u 3. В этом месте наши мучения и кончаются. В самом деле, нам надо выяснить, для каких целых v чисv+ ло будет целым, и ответ на этот вопрос уже готов: если v = 2u 3, где u — любое целое число! (дело тут, конечно, в том, что в неопределенном уравнении v = 2u 3 коэффициент при v равен единице). Теперь, чтобы получить решения исходного уравнения, нам осталось последовательно выразить v через u, s через v, t через s, n через t и k через n. Отправимся в обратный путь:

шение получено: k = 83u 102, n = 22u 27, где u — произвольное целое число. Стало быть, ответ на наш исходный вопрос таков:

пусть k — целое число. Тогда 44k + 6 = 166n для некоторого n Z тогда и только тогда, когда k = 83u 102, где u Z.

Изложенный нами способ нахождения решения линейного неопределенного уравнения с целыми коэффициентами называется алгоритмом Евклида.

Задача 25.5. Для каких целых k существует такое целое n, что 7k 19 = 5n?

Задача 25.6. Решите уравнения в целых числах:

Задача 25.7. При решении в целых числах уравнения 166n44k = = 6 нам пришлось ввести помимо n и k четыре дополнительные переменные (t, s, v и u). Приведите пример неопределенного уравнения вида ax + by = c, в котором a и b — двузначные числа, для решения которого по изложенному методу надо ввести восемь дополнительных переменных. Попробуйте также доказать, что большего количества дополнительных переменных при двузначных a и b никогда не потребуется.

§ 26. Как решать тригонометрические неравенства Повторить: § 6. Определение тригонометрических функций.

§ 11. Графики синуса и косинуса.

Мы начнем с простейших неравенств, к которым любое тригонометрическое Пример 26.1. sin x > 1/2.

Решение. Для начала выясним, какие точки на тригонометрической окружности соответствуют решениям неравенства. Это — точки, ордината которых больше 1/2, и на окружности они заполняют дугу P Q, отмеченную на рис. 26.1.

Теперь можно записать множество чисел, соответствующих точкам на дуге P Q. Ясно, что это множество содержит интервал (/6; 5/6) (/6 соответствует точке P, 5/6 — точке Q), а вообще наше множество состоит из всех интервалов (/6 + 2k; 5/6 + 2k), где k — целое: ведь если точке на тригонометрической окружности соответствует число x, то ей же соответствуют и все числа вида x + 2k (k Z) (рис. 26.2).

Ответ к неравенству можно записать так:

или еще проще: /6 + 2k < x < 5/6 + 2k.

Пример 26.2. sin x 1/3.

Решение. На тригонометрической окружности   ¤ множество решений неравенства изобразится дугой P Q, отмеченной на рис. 26.3. Нам нужно выбрать на числовой оси какой-нибудь отрезок, соответствующий этой дуге, и тогда останется Рис. 26.3.

какое-нибудь число, соответствующее одному из концов дуги. Очевидно, точке P соответствует arcsin. Раз это число выбрано, выбор числа, соответствующего другому концу, уже предопределен. Чтобы найти это число, надо сдвинуться из точки arcsin на числовой оси в отрицательном направлении на расстояние, равное длине дуги P Q. Точке O на окружности соответствует ноль, точке B — число, а точке Q — число, расположенное еще на arcsin левее, то есть arcsin.

Стало быть, один из отрезков, соответствующих дуге P Q, будет arcsin ; arcsin, а ответом к неравенству sin x 1/3 будет объединение отрезков Разумеется, тот же ответ можно представить и по-иному, например Пример 26.3. tg x >.

Решение. Используя ось тангенсов, легко убедить- ¦ ся, что на тригонометрической окружности решения неравенства изображаются двумя дугами, ет интервал ; arctg, а дуге M N — инРис. 26.4.

тервал. Второй из этих интервалов получается из первого сдвигом на, так что ясно, что ответ к неравенству — это объединение интервалов При решении простейших тригонометрических неравенств можно также пользоваться не тригонометрическим кругом, а графиками. Например, чтобы решить то же неравенство sin x 1/3, достаточно отметить на числовой оси такие точки, что лежащие над ними точки графика y = sin x имеют ординату не более 1/ (рис. 26.5). По этому рисунку легко записать ответ.

При оформлении решений простейших тригонометрических неравенств не надо записывать рассуждений наподобие тех, что мы проводили в этих примерах: достаточно рисунка наподобие рис. 26.3 и ответа. Можно также нарисовать рисунок наподобие рис. 26.5 и опять же записать ответ.

Задача 26.1. Решите неравенства:

Задача 26.2. Решите неравенства:

Задача 26.3. Решите неравенства:

Задача 26.4. Решите неравенства:

Задача 26.5. Решите неравенства:

Задача 26.6. Решите неравенства:

Приведем пример решения более сложного неравенства.

Решение. Мы применим «метод интервалов», который должен быть вам знаком по решению рациональных неравенств. Рецепт таков: надо на числовой оси отметить те точки, в которых обращаются в нуль числитель и знаменатель; на каждом из интервалов, на которые делится этими точками числовая ось, знак левой части будет постоянен, и останется только записать ответ как объединение интервалов с нужным знаком. В случае тригонометрических неравенств точек и интервалов будет, как правило, бесконечно много, однако они будут периодически повторяться, поэтому достаточно все проделать на отрезке длиной в период.

В нашем случае наименьшим периодом числителя будет 2, а знаменателя 4. Будем поэтому рассматривать знак левой части на отрезке [0; 4]: его длина равна 4, а это число служит периодом как числителя, так и знаменателя.

Легко видеть, что на отрезке [0; 4] числитель обращается в и. Знаки числителя, знаменателя и левой части удобно записать в таблице (точки, в которых знаменатель обращается в нуль, мы в интервалы не включили).

Интервал Левая часть Теперь, выделяя промежутки, на которых левая часть неотрицательна, и прибавляя к их концам 4k, получаем + 4k ;

Задача 26.7. Ответ к неравенству из примера 26.4 можно записать и так:

+ 4k;

задает то же самое множество значений x.

Задача 26.8. Решите неравенства:

§ 27. Задачи на повторение Задача 27.1. Решите уравнения:

л) sin x(3 sin 2x sin3 x + 12 sin 2x sin x 16 cos x) + 2 sin 4x = 0;

п) 4(sin 4x sin 2x) = sin x(4 cos 3x + 3);

Задача 27.2. Решите уравнения в) (1 + 2 cos x) sin(x + /4) = 0;

Задача 27.3. Решите уравнения:

е) cos( arcctg2 x) = ;

Задача 27.4. Решите системы уравнений:

Задача 27.5. Решите неравенства:

а) cos 2x sin x;

г) 4 sin x sin 2x sin 3x sin 4x;

д) (cos x cos 5x)(2 sin + 3 cos x + 4) > 0;

Задача 27.6. Решите уравнения:

а) sin2 x + cos2 14x = sin x + cos 14x ;

б) x2 + 2x sin(xy) + 1 = 0;

в) sin10 x + cos16 x = 1;

Задача 27.8. При каждом значении параметра a решите уравнение Задача 27.9. Найдите множество значений функции Глава Комплексные числа § 28. Что такое комплексные числа Повторить: § 17: векторы на плоскости.

В этой главе мы познакомимся с комплексными числами, о которых уже неоднократно упоминали. Итак, что же это такое?

Как известно, из отрицательного числа извлечь квадратный корень невозможно: квадраты всех чисел неотрицательны. Давайте, однако, вообразим, что нашлось такое необычное число i, квадрат которого равняется 1. Посмотрим, что получится, если это число i добавить к обычным числам.

Для начала поумножаем i на само себя: i2 = 1 (как мы и договаривались), тогда i3 = (i2 ) · i = (1) · i = i; i4 = i3 i = Задача 28.1. Чему равно i5 ? i6 ? i2003 ?

Теперь давайте умножать число i на обычные числа и складывать его с обычными числами. При этом будут получаться выражения наподобие 1 i, 4i, 2 + 5i и т.д. Раскрывая скобки и приводя подобные члены, такие выражения можно складывать и перемножать; поскольку i2 всякий раз можно заменять на 1, в выражения, получающиеся после упрощений, i будет входить не более чем в первой степени:

Задача 28.2. Упростите выражения: а) Имея в распоряжении число i, мы можем извлечь корень не только из 1, но и из любого отрицательного числа. Например, в качестве 2 подойдет число i 2, поскольку (i 2)2 = i2 · 2 = 2.

Впрочем, i 2 также даст в квадрате 2; число i 2 мы тоже будем называть квадратным корнем из 2. Выделять из этих двух квадратных корней один «арифметический корень» мы не будем:

для чисел, в записи которых участвует i, не удается разумным образом определить, какие из них следует считать положительными, а какие — отрицательными.

Задача 28.3. Пользуясь формулой для корней квадратного уравнения, найдите корни уравнения x2 4x + 5 = 0 (дискриминант этого уравнения отрицателен, так что в их записи будет участвовать i). Проверьте найденные значения x, подставив их в уравнение.

А если выражение с i стоит в знаменателе? Сейчас мы увидим, что всякую дробь, в знаменателе которой присутствует i, можно преобразовать так, чтобы в знаменателе были только обычные числа. Покажем это на примере.

Пусть требуется упростить выражение. Поступим так же, как мы делали, когда в школьных примерах избавлялись от иррациональности в знаменателе: домножим числитель и знаменатель на «сопряженное выражение» 2 3i:

Задача 28.4. Упростите выражения: а) ; б).

Теперь можно ответить на вопрос, стоящий в заглавии этого параграфа: комплексные числа — это те самые выражения с участием i, которыми мы до сих пор занимались. Точнее говоря:

Комплексным числом называется выражение вида a + bi, где a и b — обычные (действительные, или вещественные) числа.

Комплексные числа a + bi и c + di считаются равными, если a = c и b = d. Чтобы сложить или перемножить два комплексных числа, надо раскрыть скобки и привести подобные члены, заменяя i2 на 1.

Если провести это приведение подобных в общем виде, получится вот что:

Чтобы поделить одно комплексное число на другое, надо «домножить на сопряженные»:

Задача 28.5. Умножьте, вычисленное по вышеприведенной формуле, на c+di и убедитесь, что действительно получится a+bi (то есть что деление комплексных чисел действительно является действием, обратным к умножению).

Комплексное число a+bi удобно изображать точкой на плоскости с координатами (a; b) (рис. 28.1). Абсцисса этой точки, то есть a, называется вещественной (или действительной) частью числа a+bi, а ордината этой точки, то есть b, называется мнимой частью числа a + bi. Плоскость с системой координат, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью.

Комплексные числа, мнимая часть которых равна нулю, располагаются при таком изображении на оси абсцисс (когда речь идет о таком изображении комплексных чисел, ось абсцисс принято называть вещественной, или действительной, осью, а ось ординат — мнимой осью). Комплексные числа, лежащие на действительной оси, складываются и умножаются так же, как обычные действительные числа: ведь в их записи i не участвует. Поэтому можно считать, что действительные числа — частный случай комплексных, а действительная ось, которую они заполняют, — это знакомая нам с младших классов числовая прямая.

Задача 28.6. Докажите, что уравнение z 2 = 1 не имеет (в комплексных числах) других решений, кроме i и i.

Указание. Пусть z = x + iy. Тогда z 2 = x2 y 2 + i · 2xy. По условию, z 2 = 1. Так как комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, получаем:

Решите эту систему уравнений.

Задача 28.7. Найдите все комплексные решения уравнения z 3 = и изобразите их на комплексной плоскости.

Указание. Решений три; на комплексной плоскости они окажутся вершинами правильного треугольника.

Задача 28.8. Найдите все комплексные решения уравнения z 2 = = 5 12i.

Задача 28.9. Докажите, что для всякого отличного от нуля комплексного числа a + bi существуют ровно два решения уравнения z 2 = a + bi.

Результат задачи 28.9 показывает, что, имея в своем распоряжении комплексные числа, можно извлекать квадратные корни не только из отрицательных, но и вообще из любых комплексных чисел.

Если дано комплексное число z = a + bi, то сопряженным к нему называется число a bi. Мы уже сталкивались с сопряженными комплексными числами, когда обсуждали деление комплексных чисел. Число, сопряженное к комплексному числу z, обозначается z. Говорят еще, что числа z и z сопряжены друг другу. Сопряженные числа изображаются на комплексной плоскости точками, симметричными относительно действительной оси.

Задача 28.10. Докажите тождества:

Задача 28.11. Пусть z и w — комплексные числа, не являющиеся действительными. Докажите, что z и w сопряжены тогда и только тогда, когда z + w и zw — действительные числа.

Задача 28.12. Докажите, что всякое квадратное уравнение с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня, сопряженных друг с другом.

Верна ли для таких уравнений теорема Виета?

Если изобразить комплексные числа точками на плоскости, то оказывается, что у действий над комплексными числами есть геометрический смысл. Давайте выясним, какой геометрический операции соответствует сложение комплексных чисел.

Соединим начало координат 0 (соответствующее числу нуль) с точкой на плоскости, соответствующей комплексному числу z = x + iy — получится вектор OZ, имеющий координаты (x; y). Так как при сложении векторов их координаты складываются, то равенство z1 + z2 = z3 равносильно равенству OZ1 + OZ2 = OZ (рис. 28.2). Итак, сложить комплексные числа — все равно что сложить соответствующие векторы.

Рис. 28.2. Сложение комплексных чисел.

Умножение комплексных чисел также имеет геометрический смысл; мы выясним его в следующем параграфе.

§ 29. Модуль и аргумент комплексного числа Повторить: § 25: отбор чисел на круге.

В этом параграфе мы выясним геометрический смысл умножения комплексных чисел. Сначала — небольшая подготовка.

Расстояние на комплексной плоскости от начала координат (точки O) до точки z ¤   Модуль комплексного числа z обозначается |z|, как и модуль действительного числа.   Такое совпадение обозначений не приводит к путанице, поскольку модуль действительРис. 29.1.

ного числа также равен расстоянию от соответствующей точки на числовой оси до точки O. Если z = a + bi, то, очевидно, |z| = a2 + b2 (рис. 29.1).

Задача 29.1. Докажите, что для любых комплексных чисел z и w верно неравенство |z + w| |z| + |w|.

Теперь соединим точку z с точкой O. Угол, образуемый полученным отрезком с действительной осью (точнее говоря, с полоа) б) жительным направлением действительной оси), называется аргументом числа z (рис. 29.2а). Этот угол принято выражать в радианах.

Если z = a + bi, |z| = r, аргумент z равен, то, очевидно, Стало быть, z = r cos + ir sin = r(cos + i sin ).

Запись комплексного числа в виде r(cos + i sin ), где r > 0, называется тригонометрической формой комплексного числа. В тригонометрической форме можно записать любое комплексное число, кроме нуля (аргумент нуля мы не определяем).

Запишем, например, в тригонометрической форме число z = = 1 i. Очевидно, |z| = 2, и из рис. 29.2б видно, что в качестве аргумента можно взять 5/4:

Впрочем, с тем же успехом можно было бы сказать, что аргумент 1 i равен 3 : ведь равенство 1 i = 2 cos + +i sin также верно. Вообще, аргумент комплексного числа определен не однозначно, а с точностью до прибавления 2n, где n — целое число. В качестве аргумента числа z можно взять любое число, для которого z = |z|(cos + i sin ).

Задача 29.2. Найдите аргументы следующих чисел, после чего запишите эти числа в тригонометрической форме: а) i; б) 1; в) Задача 29.3. Докажите, что Пусть теперь нам даны комплексные числа z1 = r1 (cos 1 + + i sin 1 ) и z2 = r2 (cos 2 + i sin 2 ). Давайте их перемножим:

(мы воспользовались формулами синуса и косинуса суммы).

Как видите, если перейти к тригонометрической форме, то умножение комплексных чисел запишется простой формулой:

Или словами:

При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Поскольку деление — действие, обратное к умножению, то:

При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Итак, мы придали геометрический смысл умножению комплексных чисел, рассматриваемых как векторы на плоскости. На первый взгляд это противоречит сказанному в § 17, где мы говорили, что геометрически определить умножение векторов на плоскости невозможно. Представьте себе, однако, что у нас даны два вектора и мы хотим их умножить «как комплексные числа»— тут же выяснится, что для того, чтобы сложить аргументы, надо сначала иметь ось, от которой эти аргументы отсчитывать, причем если выбрать «действительную ось» по-другому, то произведение изменится!