«ТРИГОНОМЕТРИЯ Допущено Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия по тригонометрии для учащихся 10 классов общеобразовательных учреждений МЦНМО АО Московские учебники Москва 2002 ББК ...»

Рассматривая умножение комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, мы убедились, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются. Запишем это свойство комплексных чисел в виде формулы Задача 29.4. Докажите формулу (29.1), исходя из определения умножения комплексных чисел.

Задача 29.5. а) Докажите, что |z| = z · z ; б) выведите из этой формулы тождество (29.1).

Формулу (29.1) можно переписать и не используя комплексных чисел. В самом деле, если z = a1 + b1 i и w = a2 + b2 i, то, возводя (29.1) в квадрат, получаем такое тождество:

Разумеется, это тождество легко проверить и непосредственно.

Задача 29.6. Докажите, что число 32858969712941053630927296788431704044342041015625 = 531 · является суммой квадратов двух целых чисел.

Задача 29.7. Докажите, что число 73734314159378042035384049570 = также является суммой квадратов двух целых чисел.

Существует аналог тождества (29.2) для сумм четырех квадратов, показывающий, что произведение двух сумм четырех квадратов также равно сумме четырех квадратов:

Задача 29.8. Докажите это тождество.

Имеется также аналог этих двух тождеств для сумм восьми квадратов, но на этом все и кончается: при n = 2, 4, 8 тождеств типа «произведение двух сумм n квадратов равно сумме n квадратов» не существует.

Теперь посмотрим, что вытекает из того, что аргументы комплексных чисел при умножении складываются.

Если возвести комплексное число в степень n, то есть умножить его на себя n раз, то его модуль возведется в степень n, а аргумент умножится на n:

В частности, при r = 1 получится вот что:

Эта формула называется формулой Муавра.

Из формулы Муавра легко вывести формулы, выражающие cos n и sin n через cos и sin. Для этого надо в ее левой части раскрыть скобки и привести подобные. При n = 5, например, получится вот что:

Так как выражения слева и справа равны, то равны по отдельности их вещественные и мнимые части, откуда:

Чтобы получить такие формулы для произвольного n, надо раскрывать скобки в (cos + i sin )n, а для этого требуется общая формула для раскрытия скобок в выражении (a + b)n. Мы выпишем эту формулу, но не будем ее доказывать. Выглядит она так:

Иными словами, в правой части коэффициент при ank bk равен k натуральных чисел, а в числителе — произведение k идущих подряд целых чисел в убывающем порядке, начиная с n. Хотя коэффициенты в нашей формуле записаны как дроби, на самом деле все они — целые числа.

Формула для (a + b)n, которую мы выписали, называется формулой бинома Ньютона.

Задача 29.9. Проверьте формулу бинома Ньютона для n = 3, 4, 5.

Задача 29.10. а) Выпишите формулу бинома Ньютона для n = 6.

б) Выпишите формулы для cos 6 и sin 6.

Задача 29.11. Убедитесь, что в формуле бинома Ньютона коэффициент при abn1 равен n.

Задача 29.12. Докажите, что в формуле бинома Ньютона коэффициенты при ank bk и ak bnk равны (что и не удивительно: если левая часть тождества не меняется, когда меняешь местами a и b, то такой же должна быть и правая часть).

Другое приложение формулы Муавра — еще один вывод формулы для суммы косинусов или синусов углов, образующих арифметическую прогрессию (§ 22). В самом деле, пусть нам надо вычислить сумму Рассмотрим комплексные числа a = cos + i sin, b = cos + + i sin. Тогда, очевидно, abk = cos( + k) + i sin( + k). Следовательно, Однако правую часть можно вычислить по формуле для суммы геометрической прогрессии:

(Если вас смущает, что мы применяем эту формулу к комплексным числам, посмотрите в вашем школьном учебнике, как она доказывается, и убедитесь, что дословно то же доказательство годится и для комплексных чисел.) Теперь осталось упростить выражение в правой части (для этого, как обычно при делении комплексных чисел, надо умножить числитель и знаменатель дроби на (1cos )+i sin и выделить в полученном выражении действительную и мнимую части).

Действительная часть будет равна cos + cos( + ) +... + cos( + + n), а мнимая часть будет равна sin + sin( + ) +... + sin( + + n).

Задача 29.13. Проведите эти выкладки и убедитесь, что ответы совпадают с полученными в § 22.

Раз с помощью тригонометрической формы комплексные числа удобно возводить в степень, естественно надеяться, что та же тригонометрическая форма поможет и в выполнении обратной операции — извлечения корней из комплексных чисел. Покажем на примере, какие новые явления при этом возникают.

Давайте извлечем корень пятой степени из 32, то есть найдем число, которое, будучи возведенным в пятую степень, даст 32.

Среди действительных чисел такое число одно — это число 2. Посмотрим, что будет, если рассматривать любые комплексные числа. Мы ищем такие числа z, что z 5 = 32. Проще всего найти модуль числа z: если z 5 = 32, то |z 5 | = |z|5 = 32 (при перемножении чисел модули перемножаются), откуда |z| = 2 (уж |z|-то — это обычное действительное число, так что тут никаких разночтений не будет). Осталось найти аргумент z. Для этого запишем z в тригонометрической форме: z = 2(cos + i sin ). Тогда z 5 = 32(cos 5 + i sin 5), откуда 32(cos 5 + i sin 5) = 32, cos 5 + i sin 5 = 1, что, в свою очередь, равносильно системе тригонометрических уравнений Этой системе, очевидно, удовлетворяют в точности те и только те числа, для которых числу 5 соответствует начало отсчета на тригонометрической окружности, то есть 5 = 2k, или = 2k/5 (k Z). Стало быть, решения уравнения z 5 = 32 — это числа вида 2(cos 2k/5 + i sin 2k/5), где k Z. Не все эти числа различны: так как комплексные числа с аргументами, отличающимися на 2, совпадают, то разные комплексные числа получаются только при k = 0, 1, 2, 3, 4, а дальше значения z будут повторяться. Итак, все корни уравнения z 5 = 32 или, если угодно, все корни пятой степени из 32 таковы:

ный корень уравнения z 5 = 32. Прочие кор-   ни этого уравнения действительными уже пятой степени из 32 на комплексной плос- ¤  в вершинах правильного пятиугольника.

В наших рассуждениях не играло никаРис. 29.3.

кой роли ни то, что мы извлекали корень именно степени 5, ни то, что мы извлекали его из 32. На самом деле для всякого комплексного числа a = 0 существует ровно n решений уравнения z n = a (эти решения называются корнями степени n из a). При изображении на комплексной плоскости корни степени n из a располагаются в вершинах правильного nугольника с центром в точке 0.

Задача 29.14. Найдите: а) все три кубических корня из i; б) все шесть корней степени 6 из 1 и изобразите их на комплексной плоскости.

Задача 29.15. а) Докажите, что произведение двух корней степени n из 1 — тоже корень степени n из 1.

б*) Пусть z1, z2,..., zn — все корни степени n из 1, k — целое число. Докажите, что Мы добавили к обычным вещественным числам число i для того, чтобы можно было извлекать квадратные корни из отрицательных чисел; при этом оказалось, что в комплексных числах можно решить любое квадратное уравнение. Замечательно, что и вообще любое алгебраическое уравнение имеет корень в комплексных числах: никаких новых чисел помимо i ради этого вводить не надо. Этот важный факт, который по традиции называют основной теоремой алгебры, доказал в конце 18 века великий немецкий математик К. Ф. Гаусс.

§ 30. Показательная функция и формула Эйлера Повторить: § 23. Производная.

В предыдущих параграфах мы видели, что с комплексными числами можно так же, как и с действительными, проделывать такие операции, как сложение, умножение, возведение в степень и извлечение корня. Цель этого параграфа — придать смысл таким выражениям, как 2z или sin z, где z — комплексное число.

В последующем тексте не будет ни аккуратных математических определений, ни (тем более) строгих доказательств: мы будем обращаться с математикой примерно так же вольно, как это делают физики. Тем не менее обмана не будет: все последующие определения и рассуждения можно довести до математического уровня строгости, и в абзацах, набранных мелким шрифтом, объясняется, как это сделать. Руководствуясь этими указаниями, заинтересованный читатель сможет навести строгость в нашем тексте (если не сейчас, то тогда, когда он овладеет основами математического анализа).

Теперь приступим к делу. Удобнее начать с показательной функции. Пусть a — положительное действительное число; чему должно быть равно az для комплексных чисел z? Вспомним для начала, как определяется az для действительных z. Если z — целое число, то az — это произведение z сомножителей, каждый из которых равен a; если z = m/n, где m и n — целые числа, то az = n am.

Как распространить такие определения на случай комплексных z — неясно: что такое «умножить на себя i раз» или «извлечь корень i-й степени»?! Поэтому придется пойти другим путем.

Для начала заметим, что если x мало, то для ax можно записать приближенную формулу. В самом деле, если обозначить буквой l производную функции y = ax в точке x = 0, то, согласно § 23, для малых x получается: ax = a0+x a0 + lx = 1 + lx. Итак, Если x мало, то ax 1+lx, где l — производная функции y = ax в точке x = 0.

Разумеется, как мы уже объясняли в § 23, приближенную формулу такого типа можно получить для любой «достаточно хорошей» функции, и действовать она будет только для малых x.

К счастью, свойства показательной функции позволяют перейти к формуле, пригодной при любых x. Вот как это делается.

Пусть x — любое число. Выберем большое целое число n и запишем ax = a(x/n)n = (ax/n )n ; если n велико, то x/n уже мало, и можно с помощью нашей приближенной формулы заменить ax/n на 1 + lx/n. Подставляя это выражение для ax/n, получаем:

Для больших целых n верна приближенная формула где l — производная функции y = ax в точке x = 0.

Добросовестный читатель скажет, что наше рассуждение не очень убедительно: при умножении погрешности могут накапливаться, и где гарантия, что после перемножения n штук формул ax/n 1 + lx/n они не накопятся настолько, что ax не будет иметь с (1 + lx/n)n ничего общего? Это действительно могло бы случиться, но, к счастью, в данном случае накопление погрешностей к опасным последствиям не приводит: при больших n приближенное равенство ax (1 + lx/n)n имеет место, причем, выбрав n достаточно большим, погрешность этой формулы можно сделать сколь угодно малой.

Вот как это устанавливается. В § 23 мы уже говорили, что для «достаточно хороших» функций погрешность формулы f (a+h) f (a)+hf (a) не превосходит M h2 для некоторого числа M, не зависящего от h. Если применить это соображение к функции f (x) = ax, выйдет, что погрешность формулы ax/n 1+lx/n не превосходит M l2 x2 /n2 для некоторого M. Обозначая, для сокращения письма, M l2 x2 буквой c, получаем, что погрешность формулы ax/n 1 + lx/n не превосходит c/n2, где число c от n не зависит. При возведении обеих частей этой формулы в степень n эта погрешность возрастает, но не слишком сильно: можно показать, что при возведении в n-ую степень обеих частей приближенной формулы, в которой левая и правая части близки к 1 (а именно таковы ax/n и 1 + lx/n), погрешность возрастает примерно в n раз.

Стало быть, погрешность формулы ax (1 + lx/n)n не превосходит n · (c/n2 ) = c/n, и чем больше n, тем эта погрешность меньше, так что наша формула действительно позволяет вычислить ax с любой степенью точности.

Теперь мы готовы определить az для комплексных значений z.

В самом деле, правая часть нашей приближенной формулы имеет смысл и при комплексных значениях x. Теперь для любого комплексного z определим az как (1 + lz/n)n для большого целого числа n. Точнее говоря, это будет не само az, но его приближенное значение, а точное значение az — это то, к чему стремится (1 + lz/n)n при росте n (по-ученому говоря, «предел (1 + lz/n)n при n, стремящемся к бесконечности»). Напомним, что через l обозначена производная функции y = ax в нуле.

Сейчас мы исследуем свойства показательной функции комплексного аргумента, но сперва — одно замечание. В наших формулах постоянно присутствует число l. Наиболее простые формулы получатся, если взять основание степени, для которого l равняется 1. Это число так часто встречается в математике, что для его есть специальное обозначение: его обозначают буквой e;

повторим еще раз, что e — это, по определению, положительное число, для которого производная в нуле функции y = ex равна единице.

Задача 30.1. Покажите, что производная функции y = ax в точке 0 равна логарифму числа a по основанию e.

Приближенно e равно 2,718. Таким образом, имеем формулу:

Для действительных z эта формула выражает свойство показательной функции с основанием e, а для произвольного комплексного z представляет собой определение.

Если в нашей формуле для ez положить z = 1, то получим же показать, что при нашем определении показательной функции от комплексных чисел основное свойство показательной функции ez+w = ez ew будет верно для любых комплексных z и w.

Давайте теперь посмотрим, каковы будут свойства функции ez при z, не являющихся действительными. Выясним, например, как подсчитать eix, где x — действительное число.

Согласно нашему определению, надо взять большое целое число n, и тогда eix будет примерно равно (1 + ix/n)n. Чтобы узнать, к чему будет приближаться это число при росте n, заметим, что при больших n число x/n мало, так что действуют приближенные формулы sin(x/n) x/n, cos(x/n) 1. Поэтому (1 + ix/n)n cos(x/n) + i sin(x/n), откуда, возводя в степень n, получаем:

Иными словами, при больших n верна приближенная формула (1 + ix/n)n cos x + i sin x. Можно показать, что с ростом n погрешность этой формулы уменьшается.

Это следует из того, что в формулах sin(x/n) x/n, cos(x/n) 1 погрешность, как мы видели в § 23, не превосходит (x/n)2 (при достаточно больших n); стало быть, можно сказать, что и у приближенной формулы погрешность не превосходит (по модулю) c/n2, где c не зависит от n.

После возведения обеих частей этой формулы в степень n погрешность увеличится примерно в n раз (это свойство возведения в степень верно и для комплексных чисел) и станет равняться примерно c/n, что стремится к нулю с ростом n.

Итак, то число, к которому (1 + ix/n)n приближается с ростом n, — это cos x + i sin x. Значит, это и есть eix. Итак:

Это — не что иное, как знаменитая формула Эйлера.

Посмотрим, что из нее можно вывести.

Для начала, теперь мы можем найти значение показательной функции от любого комплексного числа a + bi:

Задача 30.2. Выведите из формулы () тождество ez+w = ez ew для произвольных комплексных z и w.

Задача 30.3. Вычислите: а) ei/2 ; б) ei.

Задача 30.4. Найдите все комплексные числа z, для которых выполнено равенство ez = 1.

Из формулы Эйлера следует, что e2i = cos 2i + i sin 2i = 1.

Следовательно, для любого комплексного числа z имеем:

Значит, 2i — период функции f (z) = ez. Как видите, показательная функция тоже является периодической, только мы этого не видели, пока ограничивались действительными числами.

Задача 30.5. Докажите, что всякий период функции f (z) = ez имеет вид 2in для некоторого целого числа n (так что 2i является чем-то вроде наименьшего положительного периода для этой функции).

Следующее, что мы сделаем с помощью формулы Эйлера — это покажем, что тригонометрические и показательные функции — фактически одно и то же (как и было обещано в § 19). Точнее говоря, мы выразим тригонометрические функции через показательные.

Для этого запишем формулу Эйлера, а под ней — ту же формулу, в которую вместо x подставлено x:

(мы воспользовались тем, что cos(x) = cos x, sin(x) = sin x).

Если сложить и вычесть эти два равенства, получится eix +eix = = 2 cos x, eix eix = 2i sin x, откуда выходит:

Таким образом, мы выразили тригонометрические функции через показательную, а формула Эйлера, наоборот, выражает показательную функцию через тригонометрические. Так что если в нашем распоряжении есть комплексные числа, то тригонометрические функции выражаются через показательные, и наоборот.

У наших формул, выражающих синус и косинус через показательную функцию, есть еще одно применение. Именно, правые части этих формул имеют смысл, если вместо x подставить любое комплексное число. Поэтому их можно использовать для того, чтобы определить, что такое синус и косинус от любого комплексного числа. Именно: если z — комплексное число, то положим по определению:

Формулы, выражающие синус и косинус от действительных чисел через показательную функцию, показывают, что для действительного числа z наше определение дает обычные синус и косинус.

Задача 30.6. Найдите sin i и cos i.

Задача 30.7. Докажите, что формула Эйлера eiz = cos z + i sin z верна для произвольных комплексных значений z.

Задача 30.8. Докажите, что Задача 30.9. а) Докажите, что все комплексные решения уравнения sin z = 0 имеют вид z = n, где n — целое (так что дополнительных комплексных решений у этого уравнения нет).

б) Решите в комплексных числах уравнение cos z = 0.

в) Решите в комплексных числах остальные простейшие тригонометрические уравнения из начала § 10.

Задача 30.10. Верно ли, что для всех комплексных чисел z выполнено неравенство | sin z| 1?

Задача 30.11. Докажите, что для всех комплексных z верны тождества:

в) cos(z) = cos z;

Задача 30.12. Докажите, что для всех комплексных чисел верны тождества:

Все тригонометрические тождества, которые мы выводили в главе 4, следуют из трех тождеств, перечисленных в этой задаче (а также из свойств четности и нечетности синуса и косинуса, которые в комплексных числах также верны — см. задачу 30.11). Поэтому все эти тождества верны и для тригонометрических функций комплексного переменного.

Задача 30.13. Решите в комплексных числах уравнение sin z = (решить уравнение — найти все его решения).

Задача 30.14. Верны ли для тригонометрических функций комплексного аргумента формулы приведения?

Задача 30.15. Докажите, что уравнения sin z = a и cos z = a имеют решения (возможно, комплексные) при любом a.

Ответы и указания к некоторым задачам 1.2. sin 10 0,17, sin 30 = 0,5, sin 60 0,87. Радианные меры углов в 10, 30 и 60 градусов приближенно равны 0,17, 0,52 и 1,05. Радианные меры углов в 30 и 60 градусов больше их синусов приблизительно на 4% и 21% соответственно; радианная мера угла в 10 градусов совпадает с его синусом с точностью до двух знаков после запятой.

2.1. Указание: два прямоугольных треугольника с равными острыми углами подобны.

2.4. tg 10 0,18, tg 30 0,58, tg 60 1,73. Тангенсы углов в 10, 30 и 60 градусов больше их радианных мер приблизительно на 1%, 10% и 65% соответственно.

3.4. а) 2a cos. б) a sin. в) a sin 2, если < 45, и a sin( 2), если > 45 (когда мы познакомимся с тригонометрическими функциями произвольного угла, вы увидите, что этот ответ во всех случаях записать в виде a sin 2).

3.7. cos 25 = sin 65 0,91.

4.3. 0,012 радиана, или приблизительно 43.

4.4. Примерно 1850 метров.

4.6. Указание. Тысячная равна /3000 1/1000 радиана (если принять, что 3, что при таких измерениях и делают). И не надо считать военных неучами: ошибка порядка 15%, получающаяся при вычислениях по формуле тысячных, несущественна, поскольку измерить угол подручными средствами с бльшей точностью нереально.

5.1. а) Примерно 90 метров. б) Примерно полтора метра.

5.2. 12 января, в двенадцать часов три минуты пополуночи. Чтобы не ошибиться с датой, достаточно знать путь, пройденный секундной стрелкой за сутки, с точностью до 4 метров.

5.4. а) cos(/2) = 0, sin(/2) = 1. г) cos(5/2) = 0, sin(5/2) = 1.

5.6. а) 30 различных чисел. б) Число a должно быть рациональным.

в) Да.

6.1. Если вы не ошиблись, должно получиться 4 различных точки.

6.3. а) Две точки. б) Одна точка.

6.4. В первой четверти.

6.5. 214 точек.

6.6. Рациональным.

6.11. (1/2; 3/2), (1/2; 3/2), (1; 0), (1/2; 3/2), (1/2; 3/2).

6.12. (( 5 1)/4; 10 + 2 5/4), ((1 + 5)/4; 10 2 5/4), ((1 + + 5)/4; 10 2 5/4), (( 5 1)/4; 10 + 2 5/4).

6.13. При пользовании формулой cos 1 для малых углов относительная погрешность (отношение погрешности к точному значению) будет мала, а если для столь же малых углов использовать формулу sin 0, то погрешность будет близка к 100% точного значения — столь грубые приближенные формулы в этой ситуации бесполезны.

7.3. а) 2/2 или 2/2. б) Только 2/2.

7.5. cos x = 10/10, sin x = 3 10/10.

7.6. 13/5.

7.8. а) 2. б) 2(tg2 + ctg2 ). в) 2/ sin.

8.1. а) 2/3. б) 4. в) 2. г) 200.

8.2. а) 100. б) 1/50.

8.7. Ответ: да. Когда вы освоите § 22, вы сможете проверить, что такими свойствами обладают функции f (x) = sin x, g(x) = sin sin x. Можно, однако, построить пример, в котором тригонометрические функции вообще не используются.

9.3. а) 3/2. в) 0. д) 1. ж) 3/2. и) 2/2.

9.4. б) tg(10 3). г) cos(114 36). е) sin(/7).

9.6. а) (a; b). в) (a; b). д) (b; a).

10.3. а) (1) arcsin положите sin x = t; ответ: (1)n arcsin + n n Z. ж) Указание:

к) arctg 3 + n, n Z; л) arcctg(4 + n, n Z.

10.4. а) 1/2. б) Нет решений. в) 3/2.

10.6. а) Указание: sin(arcsin x) = x по самом определению арксиу нуса, но не от всякого числа можно взять арксинус. в) Указание: эта функция — периодическая с периодом 2.

10.7. а) 2/5. б) 3/10. д) 10.9. а) 2 13/13. в) 1/3. д) 2 2/3.

10.10. а) 10.

11.2. (0; 3/2), (5/6; 0).

11.7. б) sin(11,2) < cos(6,4). г) sin 7 < cos 7;

12.1. Например, относительно прямой с уравнением x = /4.

12.3. а) tg(13/11) < tg 3,3.

12.7. Указание: эта функция нечетная.

14.1. Указание: каковы знаки косинуса острых и тупых углов?

14.2. Указание: обозначьте стороны параллелограмма буквами a и b, а угол между ними буквой ; выразите диагонали через a, b и.

14.5. Указание: выразите косинус угла ABM через стороны треугольника, после чего примените теорему косинусов еще раз.

15.1. Указание: диагонали разбивают четырехугольник на четыре треугольника.

15.7. 6 14/5.

15.10. arccos(43/48), arccos(29/36), arccos(11/24).

16.4. a10/4.

16.5. a 21/6.

16.6. Указание: докажите, что четырехугольник является ромбом.

ответа!).

16.8. R2 (sin + sin 2) 4 sin2 3 (sin 2 sin )2.

17.3. а) (1; 1). б) ( 2; 0).

17.4. 19 (не забудьте про нулевой вектор!).

17.11. а) На 400/3 133,9 м. б) Лодку надо направить против течения под углом arctg(4/3) к берегу; при этом ее снесет на 320/3 106,7 м.

17.12. Наименьшее расстояние — 15 миль; на этом расстоянии корабли окажутся через 3 3/2 2,6 часов.

21.4. а) 1/8. б) 1/8.

21.6. а) 6/3. б) 6/4. в) 0 a < 2 arcsin( 6/4).

23.1. Годится, например, та же граница 0 h 0,1.

24.3. Объединение прямых, заданных уравнениями y = x и y = = 10x/3.

24.5. а) arctg + 2k, n, k Z.

+ 4n, n Z.

24.11. К первой группе относятся тождества (а), (б), (г) и (е), ко второй группе относится тождество (д), к третьей — тождество (в).

24.13. а) 2n, + 2k, n, k Z. б) n, arctg(5 ± 34) + k, n, k Z.

+ 2l, n, k, m, l Z.

25.2. а) + 2n, n Z. г) Решений нет. д) Решений нет.

25.4. а) 0. б) При рациональных a и только при них.

25.6. а) x = 10 + 19t, y = 9 17t, t Z. б) Решений нет. в) Решений нет.

26.3. а) arcsin +2n; arcsin +2n, n Z. б) arccos + в) (10 + 2n; 8 10 + 2n), n Z.

28.1. i5 = i, i6 = 1, i1999 = i.

28.8. ±(3 2i).

29.10. а) (a + b)6 = a6 + 6a5 b + 15a4 b2 + 20a3 b3 + 15a2 b4 + 6ab5 + b6.

б) cos 6 = cos6 15 cos4 sin2 + 15 cos2 sin4 sin6. sin 6 = 30.10. Нет.

Предметный указатель Аргумент комплексного числа Арккосинус Арккотангенс Арксинус производная Арктангенс производная Бином Ньютона Биссектриса 72– Векторная диаграмма 107 Комплексные числа Векторы 79–97, 101, 105–108, аргумент противоположный вектор 88 извлечение корней 177– скалярное произведение 94–97 определение распределительный закон 94 сопряжение правило параллелограмма 88 геометрический смысл Координатные векторы 91 через две стороны и угол Координаты вектора 81, Корни из комплексных чисел 177– Косеканс Косинус график 55– знаки значения для некоторых углов комплексного числа малых углов 18, общее определение 21, острого угла период производная 23–24, четность Косинусов теорема 67, Котангенс график нечетность производная Круг тригонометрический 25– Медиана Минута угловая Модуль комплексного числа Модуляция Муавра формула 174– Период комплексной показательной функции наименьший положительный синуса и косинуса тангенса и котангенса Периодическая функция Площадь треугольника, связь с градусной мерой 8 половинного угла Региомонтана формулы 119 производная Секанс Секунда угловая Синус график значения для некоторых углов комплексного числа малых углов 16, 29, нечетность общее определение 21, острого угла период производная Синусов теорема Системы тригонометрических уравнений 147–148, Скалярное произведение, см.

векторы Сложение векторов запись в координатах правило параллелограмма комплексных чисел геометрический смысл Сложения формулы 98, Сопряженные комплексные числа Тангенс геометрическое определение график знаки значения для некоторых однородное 137, 138 дополнительного угла 11, Формула вспомогательного угла геометрический смысл Герона двойного угла использование в уравнениях 136, Муавра 174– Эйлера Формулы двойного угла 109 Эйлера формула Оглавление § 20. Формула вспомогательного угла, или сложение колебаний равной частоты................ § 21. Двойные, тройные и половинные углы........ § 22. Преобразование произведения в сумму § 23. Производные тригонометрических функций..... § 24. Как решать тригонометрические уравнения..... § 25. Отбор чисел на тригонометрическом круге..... § 26. Как решать тригонометрические неравенства.... § 28. Что такое комплексные числа............. § 29. Модуль и аргумент комплексного числа....... § 30. Показательная функция и формула Эйлера..... Израиль Моисеевич Гельфанд, Сергей Михайлович Львовский, Издательство Московского Центра непрерывного математического образования Лицензия ИД №01335 от 24.03.2000 г.

Формат 60 90 1/16. Печать офсетная. Печ. л. 12,5.

121002, Москва, Большой Власьевский пер., Отпечатано с готовых диапозитивов в АО «Московские учебники и картолитография»