«ТРИГОНОМЕТРИЯ Допущено Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия по тригонометрии для учащихся 10 классов общеобразовательных учреждений МЦНМО АО Московские учебники Москва 2002 ББК ...»

И. М. Гельфанд, С. М. Львовский, А. Л. Тоом

ТРИГОНОМЕТРИЯ

Допущено Министерством образования Российской Федерации

в качестве учебного пособия по тригонометрии для учащихся 10 классов

общеобразовательных учреждений

МЦНМО

АО «Московские учебники»

Москва 2002

ББК 22.151.0

Г32

И. М. Гельфанд, С. М. Львовский, А. Л. Тоом. ТриГ32 гонометрия. М.: МЦНМО, 2002. — 199 с.

ISBN 5-94057-050-X Эта книга, написанная группой авторов под руководством одного из крупнейших математиков 20 века академика И. М. Гельфанда, призвана опровергнуть расхожее мнение о тригонометрии как скучном и непонятном разделе школьного курса математики. Читателю предлагается взглянуть на знакомый предмет по-новому. Изложение, сопровождающееся большим количеством задач, начинается «с нуля» и доходит до материала, выходящего довольно далеко за рамки школьной программы; тригонометрические формулы иллюстрируются примерами из физики и геометрии.

Отдельная глава посвящена типичным приемам решения тригонометрических задач, предлагаемых на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения.

Книга будет незаменимым помощником для школьников старших классов, преподавателей, родителей и всех, интересующихся математикой.

©И. М. Гельфанд, С. М. Львовский, А. Л. Тоом, ©МЦНМО, ISBN 5-94057-050-X Предисловие Что такое тригонометрия? Скучные и никому не нужные формулы — скажут почти все старшеклассники. Тем не менее, мы хотим вас в этом разубедить.

Чтобы взглянуть на тригонометрию по-новому, мы рассказываем о ней «с нуля». Поэтому читать пособие лучше с самого начала и подряд, хотя кое-что вы, скорее всего, уже знаете.

Наши определения равносильны определениям из школьных учебников, но не всегда дословно с ними совпадают.

Не надо стремиться перерешать все задачи из книги (мы сознательно поместили их с запасом), но сколько-то задач после каждого параграфа порешать стоит. Если задачи к параграфу совсем не выходят, значит, что-то вы не усвоили, и есть смысл перечитать этот параграф.

Более трудные задачи отмечены звездочкой, более трудный текст напечатан мелким шрифтом. При первом чтении все это можно пропустить.

Теперь более подробно о содержании книги. В первых двух главах речь идет о начальных понятиях тригонометрии (точнее говоря, о той ее части, в которой не участвуют формулы сложения). Третья глава («Решение треугольников») посвящена применениям тригонометрии к планиметрии. (Имейте в виду, что решение треугольников — не единственный раздел геометрии; не следует думать, что, проработав только нашу книжку, вы уже научитесь решать геометрические задачи.) Четвертая глава посвящена формулам сложения и их следствиям. Это — центральная часть тригонометрии (и книги), и именно здесь сосредоточены основные тригонометрические формулы.

Мы надеемся, что после изучения этой главы вы поймете, откуда они берутся, и научитесь в них ориентироваться. Мы начинаем эту главу с параграфов, в которых рассказано о векторах на плоскости, а сами тригонометрические формулы иллюстрируем примерами из физики.

Тригонометрия по традиции занимает большое место в материалах конкурсных экзаменов в вузы; чтобы научиться уверенно решать экзаменационные задачи по тригонометрии, нужна тренировка. В пятой главе мы описываем типичные приемы решения тригонометрических уравнений и неравенств. Многие из задач к этой главе взяты из материалов приемных экзаменов в Московский государственный университет и ведущие вузы.

Заключительная шестая глава, напротив, посвящена теме, не входящей в программу вступительных экзаменов, но тесно связанной с тригонометрией — комплексным числам. Мы надеемся, что наши читатели получат удовольствие от знакомства с этим красивым и важным разделом математики.

При написании пятой главы нам помогли беседы с Ж. М. Рабботом; часть задач к этой главе мы позаимствовали из известного «Сборника задач по математике для конкурсных экзаменов в вузы» под редакцией М. И. Сканави. Многие задачи по планиметрии взяты из сборников И. Ф. Шарыгина. Обсуждение примеров из физики и комплексных чисел многим обязано заслуженно популярным «Фейнмановским лекциям по физике».

Работа над этой книгой никогда не была бы завершена, если бы мы не ощущали постоянного внимания и поддержки и не пользовались помощью многих и многих людей. Пользуемся случаем выразить им всем глубокую благодарность. Особенно тепло мы хотим поблагодарить Н. Б. Васильева, Ж. М. Раббота и А. Шеня, потративших много сил и времени на улучшение рукописи этого пособия.

Предисловие ко второму и третьему изданиям Второе издание этого пособия готовилось без участия И. М. Гельфанда и А. Л. Тоома, поэтому отличия от первого издания невелики (самое существенное — иное изложение дистрибутивности скалярного произведения в § 18). Само собой разумеется, что вся ответственность за эти изменения лежит только на мне. В третьем издании исправлен ряд ошибок и добавлены указания и решения к некоторым задачам.

С. Львовский Глава Первое знакомство с тригонометрией § 1. Как измерить крутизну 1.1. Синус Пусть человек поднимается в гору. Будем считать, что склон горы — это гипотенуза AB прямоугольного треугольника ABC (рис. 1.1).

Можно предложить по крайней мере два способа измерения крутизны подъема: 1) измерить высоту подъема (отрезок BC на рис. 1.1а);

2) провести дугу с центром в точке (рис. 1.1б) и измерить ее длину.

Конечно, сама по себе высота подъема ничего не характеризует: если вы долго идете по склону, то можно подняться высоко шение длины подъема к длине пути (соответственно отношение длины дуги к радиусу)1. Эти отношения от длины пути уже не зависят.

Вот формальное доказательство того, что отношение длины подъема к длине пути не зависит от этой длины. Пусть человек прошел не весь путь, а дошел только до точки B (рис. 1.2). Тогда крутизна подъема на отрезке AB равна B C /A B, а на отрезке AB равна BC/AB.

Однако B C BC как два перпендикуляра к одной прямой, так что AC B = быть, треугольники ABC и AB C подобны по двум углам, и BC/AB = B C /AB.

Таким образом, отношение высоты подъема к длине пути не зависит от длины пути. Доказать, что отношение длины дуРис. 1.2.

ги к радиусу не зависит от радиуса, также можно, но для этого надо формально определить, что такое длина дуги.

В этой книжке мы этим заниматься не будем.

Определение. Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение катета этого треугольника, лежащего против угла, к гипотенузе треугольника (рис. 1.3).

От выбора прямоугольного треугольника, содержащего угол, это отношение не зависит.

Физик объяснил бы это так: высота подъема имеет размерность длины, а крутизна — безразмерное число.

Рис. 1.3. sin = BC/AB. Рис. 1.4. Радианная мера угла 1.2. Измерение углов Вторая из введенных нами характеристик крутизны называется радианной мерой угла.

Определение. Радианной мерой угла называется отношение длины дуги окружности, заключенной между сторонами угла и с центром в вершине угла, к радиусу этой окружности (рис. 1.4).

От радиуса окружности это отношение не зависит.

Например, когда говорят, что «радианная мера угла равна 1/2», или «величина угла равна 1/2 радиана», или попросту «угол равен 1/ радиана», это значит, что заключенная внутри него дуга вдвое короче радиуса.

Вычислим радианную меру прямого угла. В соответствии с нашим определением проведем дугу окружности радиуса r с центром в вершине прямого угла (рис. 1.5). Дуга AB составляет четРис. 1.5.

верть всей окружности. Коль скоро длина окружности радиуса r равна 2r, длина нашей дуги равна 2r/4 = r/2, а радианная мера прямого угла равна (r/2)/r = /2 1,57.

Обе введенные нами характеристики крутизны (синус и радианная мера угла) имеют то преимущество перед привычным измерением углов в градусах, что являются естественными; про измерение углов в градусах этого не скажешь: как бы вы стали объяснять представителю внеземной цивилизации, почему один градус составляет именно одну девяностую прямого угла? Кстати, во время Великой французской революции, когда пытались изменить все, включая календарь и названия игральных карт, была предложена и новая единица измерения углов — одна сотая прямого угла, что ничуть не хуже и не лучше одной девяностой.

Выясним, как связаны между собой радианная и градусная меры угла. Как мы уже знаем, величина прямого угла равна радиан. Так как угол 1 в 90 раз меньше прямого угла, то и его радианная мера в 90 раз меньше радианной меры прямого угла, то есть равна меру (/180)k радиан. Чтобы узнать, сколько градусов содержит угол в 1 радиан, надо найти такое k, что (/180)k = 1. Стало быть, в одном радиане содержится 180/ 57,29.

Задача 1.1. Заполните пустые места в таблице, после чего выучите таблицу наизусть:

градусы радианы Задача 1.2. Для каждого из углов 10, 30, 60 найдите приближенные значения синуса и радианной меры (с двумя значащими цифрами). На сколько процентов отличаются синус и радианная мера для этих углов?

Задача 1.3. Пусть радианная мера острого угла равна. Докажите неравенство: sin < (словами: синус острого угла меньше его радианной меры).

Указание. См. рис. 1.6.

§ 2. Тангенс В предыдущем параграфе мы научились измерять крутизну с помощью синуса угла. Есть и другой способ измерения крутизны, составляющий, как пока еще говорят, альтернативу синусу.

Представим себе, что человек, поднимаясь по тропе, приближается к крутому берегу (рис. 2.1). Если измерять крутизну подъема с помощью отношения высоты подъема к длине пути, то получится уже знакомый нам синус. Давайте теперь вместо длины пройденного человеком пути измерять, насколько он приблизился к берегу по горизонтали. Иными словами, рассмотрим расстояние AC — проекцию пути на горизонталь. В качестве характеристики крутизны возьмем отношение BC/AC. Это отношение называется тангенсом угла.

Определение. Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение катета этого треугольника, лежащего против угла, к катету треугольника, прилежащему к углу (рис. 2.1).

Как и синус угла, тангенс не зависит от выбора прямоугольного треугольника, содержащего этот угол.

Обозначается тангенс угла так: tg (читается «тангенс альфа»).

Задача 2.1. Докажите, что тангенс угла не зависит от размеров прямоугольного треугольника, содержащего этот угол.

Задача 2.2. Для данного острого угла что больше: sin или tg ?

Выясним, как связаны синус и тангенс угла. Пусть, например, известен тангенс угла ; как найти его синус? Воспользуемся тем, что для вычисления tg годится любой прямоугольный треугольник с углом ; выберем тот из них, что изображен на рис. 2.1. По теореме Пифагора его гипотенуза равна 1 + tg2, так что Задача 2.3. Пусть — острый угол; выведите формулу, выражающую tg через sin.

Задача 2.4. Для каждого из углов 10, 30, 60 найдите приближенные значения их тангенса. Что больше: тангенс или радианная мера? И на сколько процентов больше?

Из предыдущей задачи вы должны были увидеть, что тангенсы фигурировавших в ней углов больше, чем их радианная мера.

На самом деле это верно для любых острых углов. Наглядно это можно пояснить с помощью рис. 2.2а. На нем AC = 1, так что длина дуги CM C равна 2 (мы считаем, что угол измерен в радианах), а длина ломаной CBC равна 2 tg. Из рисунка ясно, что длина ломаной CBC больше, чем длина дуги CM C,1 так что 2 tg > 2, откуда tg >.

Аккуратное доказательство этого неравенства вы узнаете, решив следующую задачу.

Задача 2.5. Докажите неравенство tg >.

Указание. Сравните площадь треугольника ABC и сектора AM C (рис. 2.2б). Площадь сектора равна половине произведения длины дуги, ограничивающей этот сектор, на радиус окружности.

Веревочку CBC надо укоротить, чтобы она облегала дугу CM C вплотную.

§ 3. Косинус Определение. Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение катета, прилежащего к углу, к гипотенузе треугольника (рис. 3.1).

От выбора прямоугольного треугольника, содержащего угол, это отношение не зависит.

Косинус угла обозначается cos («косинус альфа»).

Задача 3.1. Докажите следующие формулы:

Задача 3.2. Докажите формулу: sin2 + cos2 = 1.

Указание. Воспользуйтесь теоремой Пифагора.

Задача 3.3. Пусть — острый угол. Выведите формулу, выражающую cos через tg : cos = 1/ 1 + tg2.

Указание. Воспользуйтесь рис. 2.1 из предыдущего параграфа.

Задача 3.4. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна a, угол при основании равен. Найдите: а) основание; б) высоту, опущенную на боковую сторону; в) высоту, опущенную на основание.

Не существует простой формулы, позволяющей по величине угла найти точное значение его синуса или косинуса. Тем не менее для некоторых углов точные значения синуса, косинуса и тангенса легко вычислить. Сделаем это для углов 30, 45 и 60.

Начнем с угла 45. Чтобы посчитать его синус, косинус и тангенс, надо, согласно нашим определениям, взять прямоугольный треугольник с углом 45. В качестве такого треугольника можно взять половинку квадрата со стороной 1 (рис. 3.2).

теоремы Пифагора ясно, что диагональ этого квадрата равИз на 2. Следовательно, из треугольника ACD получаем:

Теперь займемся углами 30 и 60. Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 1 и опустим в нем высоту (рис. 3.3).

Эта высота разделит его на два прямоугольных треугольника с гипотенузой 1 и острыми углами 60 и 30 ; при этом AD = 1/ (высота BD в равностороннем треугольнике является также биссектрисой и медианой). По теореме Пифагора находим BD = AB 2 AD2 = 3/2. Теперь, когда длины всех сторон треугольника ABD нам известны, остается только выписать:

tg 30 = AD/BD = 1/ 3 = 3/3; tg 60 = BD/AD = 3.

Кстати, тот факт, что sin 30 = 1/2, был известен вам и раньше, только в другом обличье, как теорема о том, что катет, лежащий против угла 30, равен половине гипотенузы.

Приведем более сложный пример явного вычисления синуса и косинуса. Для этого рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с углом при основании 72 и углом при вершине 36 (рис 3.4). Проведем в нем биссектрису AM угла A и подсчитаем все углы. Из рисунка видно, что треугольники ABM и ACM равнобедренные и AC = AM = BM.

Если AB = a, то AC = 2a cos 72, M C = 2AC cos 72 = 4a cos2 72 ;

так как AB = BC = M C + BM = M C + AC, получаем равенство откуда 4 cos2 72 + 2 cos 72 1 = 0. Решая это (квадратное) уравнение относительно cos 72, ¦§ Задача 3.5. Найдите cos 36.

пятиугольник. Найдите отношение его стороны Можно доказать, что правильный многоугольник можно построить с помощью циркуля и линейки в том и только в том случае, когда отношение его стороны к радиусу описанной окружности можно выразить через целые числа с помощью четырех арифметических действий и извлечения квадратного корня. Решив задачу 3.6, вы убедитесь, что правильный пятиугольник именно таков. В 1796 году К. Ф. Гаусс окончательно выяснил, какие правильные многоугольники можно построить с помощью циркуля и линейки (будущему великому немецкому математику было тогда всего 19 лет, и это была его первая научная работа).

В частности, оказалось, что циркулем и линейкой можно построить правильный 17-угольник.

Для практических применений нужны не столько точные формулы, сколько приближенные значения синусов и косинусов конкретных углов. В прежние времена эти значения собирались в таблицы тригонометрических функций. Пример такой таблицы мы приводим ниже. Излишне объяснять, что таблицы, использовавшиеся на практике, давали значения тригонометрических функций не через 5, а с гораздо более мелким шагом. В настоящее время тригонометрические таблицы утратили былое значение: чтобы приближенно найти синус или косинус угла, достаточно нажать несколько клавиш на микрокалькуляторе или компьютере.

Таблица 3.1. Значения тригонометрических функций (с двумя знаками после запятой) sin 0,09 0,17 0,26 0,34 0,42 0,50 0,57 0, tg 0,09 0,18 0,27 0,36 0,47 0,58 0,70 0, sin 0,71 0,77 0,82 0,87 0,91 0,94 0,97 0,98 0, tg 1,00 1,19 1,43 1,73 2,14 2,75 3,73 5,67 11, Задача 3.7. Найдите с помощью таблицы 3.1 приближенное значение cos 25.

§ 4. Малые углы В принципе можно было бы мерить все углы в радианах. На практике широко используется и градусное измерение углов, хотя с чисто математической точки зрения оно неестественно. При этом для малых углов используются специальные единицы: угловая минута и угловая секунда. Угловая минута — это 1/60 часть градуса; угловая секунда — это 1/60 часть угловой минуты. Если, например, величина угла равна 129 градусам, 34 минутам и секундам, то пишут: 129 34 16.

Задача 4.1. На какой угол поворачивается за одну секунду:

а) часовая стрелка часов;

б) минутная стрелка часов;

в) секундная стрелка часов?

Решение. Разберем только пункт а). Полный оборот часовая стрелка делает за 12 часов; стало быть, за час она поворачивается на 360/12 = 30. Следовательно, за минуту часовая стрелка повернется на угол, в 60 раз меньший, чем за час, то есть на 30 ;

в свою очередь, за секунду стрелка повернется на угол, в 60 раз меньший, чем за минуту, то есть на 30. Теперь вы видите, насколько мала угловая секунда: ведь даже угол, в тридцать раз больший (поворот часовой стрелки за секунду времени) мы не в состоянии заметить.

Представление об угловой минуте дает такой факт: «разрешающая способность» человеческого глаза (при стопроцентном зрении и хорошем освещении) равна примерно одной угловой минуте. Это означает, что две точки, которые видны под углом или меньше, на глаз воспринимаются как одна.

Посмотрим, что можно сказать о синусе, косинусе и тангенсе малых углов. Если на рис. 4.2 угол мал, то высота BC, дуга BD и отрезок BE, перпендикулярный AB, очень близки. Их длины — это sin, радианная мера и tg. Стало быть, для малых углов синус, тангенс и радианная мера приближенно равны друг другу:

Рис. 4.1. Разрешающая способность.

Если — малый угол, измеренный в радианах, то sin ;

Задача 4.2. Запишите приближенные формулы для синуса и тангенса малых углов, считая, что угол измеряется в градусах.

Ответ. sin /180.

Видно, что формулы сложнее, чем для радианной меры — еще один довод в ее пользу!

Задача 4.3. Под каким углом видно дерево высотой 10 метров с расстояния в 800 метров? Дайте ответ: а) в радианах; б) в угловых минутах.

Задача 4.4. Чему равно расстояние, равное одной минуте дуги земного меридиана? Радиус Земли равен примерно 6370.

Расстояние, о котором идет речь в этой задаче, примерно равно морской миле (именно так и появилась эта мера длины).

Задача 4.5. В астрономии применяется единица измерения расстояний, называемая парсек. По определению, расстояние в 1 парсек — это расстояние с которого радиус земной орбиты1 виден под углом 1 (рис. 4.3). Сколько километров в одном парсеке?

(Радиус земной орбиты равен примерно 150 миллионам километров.) Задача 4.6. Военные пользуются единицей измерения углов, называемой «тысячная». По определению, тысячная — это 1/ развернутого угла. Такое измерение углов военные применяют в следующей формуле для определения расстояния до удаленных предметов: = (/) · 1000. Здесь — расстояние до предмета, — его высота, — угол, под которым он виден, измеренный в тысячных (рис. 4.4). Точна ли эта формула? Почему ей можно пользоваться на практике? Чему равно число, по мнению военных?

Мы видим, что формулы sin, tg верны с хорошей точностью для малых углов. Посмотрим, что произойдет, Астрономы поправили бы нас: не радиус (орбита Земли — не круг, а эллипс), а большая полуось (половина расстояния между наиболее удаленными друг от друга точками орбиты).

если угол не столь мал. Для угла в 30 точное значение синуса равно 0,5, а радианная мера равна /6 0,52. Ошибка (или, как еще говорят, погрешность), которую дает формула sin, равна примерно 0,02, что составляет 4% от значения синуса. Можно сказать, что относительная погрешность при таком вычислении (отношение погрешности к значению синуса) составляет 4%.

Для углов, меньших 10, относительная погрешность формулы sin меньше одного процента. Чем меньше угол, тем меньше относительная погрешность формулы sin.

Существуют и другие формулы, позволяющие вычислять синусы и тангенсы — и не только малых углов — с хорошей точностью. Например, формула sin 3 /6 (напоминаем, что измеряется в радианах!) дает относительную погрешность менее 1% уже для всех углов, не превосходящих 50. Позднее мы увидим, как оценить погрешность наших формул.

Задача 4.7. Пусть — острый угол, измеренный в радианах. Докажите неравенство cos > 1 2.

Указание. Воспользуйтесь формулой cos = 1 sin2, неравенством sin < и неравенством t > t (для 0 < t < 1).

Задача 4.8. Для косинусов малых углов в качестве приближенного значения можно брать 1. Докажите, что при величине угла менее 5 относительная погрешность этого приближения будет менее 1%.

Глава Начальные свойства тригонометрических функций § 5. Часы, или современный взгляд на тригонометрию 5.1. Часы и процессы До сих пор тригонометрия была для нас наукой о соотношениях сторон в треугольниках. Именно с этого развитие тригонометрии и начиналось (слово «тригонометрия» означает в переводе с древнегреческого «измерение треугольников»). Позднее, однако, акценты сместились, и сейчас тригонометрию правильнее рассматривать как науку не о треугольниках, а о периодических процессах. Чтобы понять, при чем тут периодические процессы, рассмотрим простейший из них — движение стрелок часов.

Задача 5.1. Предположим, что все стрелки часов имеют длину 1 см (видимо, это женские наручные часики). Какой путь проходит за сутки:

а) секундная стрелка;

б) минутная стрелка;

в) часовая стрелка?

Рис. 5.1. Часы фирмы «Тригонометрия».

(Мы имеем в виду, конечно, путь, проходимый концом стрелки.) Задача 5.2. Секундная стрелка часов имеет длину 1 см. Часы завели в 12 часов дня 1 января. В котором часу и какого числа путь, пройденный концом секундной стрелки, составит 1 км? С какой точностью надо знать пройденный стрелкой путь, чтобы иметь возможность ответить на вопрос о дате?

Часы нам еще сослужат добрую службу, но чтобы не входить в противоречие с общепринятой терминологией и обозначениями, нам нужны часы не совсем обычные. Наши «часы для любителей тригонометрии» имеют всего одну стрелку. Эта стрелка движется в обратном (по сравнению с обычными часами) направлении.

В момент пуска часов стрелка указывает вправо (туда, где на обычных часах написана цифра 3). За час стрелка поворачивается на 1 радиан.

Будем считать, что длина стрелки равна 1. Тогда, согласно определению радианной меры угла, длина дуги, описываемой концом стрелки за час, равна 1, за два часа — 2 и т. д.

Объясним теперь, какое отношение эти часы имеют к синусам и косинусам. Для этого рассмотрим систему координат, расположенную, как показано на рис. 5.2а.

Каковы будут координаты конца стрелки в момент t (через t часов после запуска)? Из рис. 5.2б ясно, что, пока стрелка не успела выйти за пределы первой координатной четверти, ее координаты будут (cos t; sin t) (имеются в виду косинус и синус угла в t радиан). В самом деле, из прямоугольного треугольника M AP видно, что cos M AP = AP, sin M AP = M P, а радианная мера угла M AP равна t.

Пусть теперь стрелка вышла за пределы первой координатной четверти (это означает, что пройденный ей путь t превысил /2).

Формально мы не можем сказать, что координаты конца стрелки равны (cos t; sin t), так как t больше не является радианной мерой острого угла, а синус и косинус мы определили только для острых углов. Однако мы можем обобщить наши определения.

Можно определить косинус числа t как абсциссу конца стрелки в тот момент, когда пройденное этим концом расстояние составит t. Аналогично синус t определяется как ордината конца стрелки в тот же момент. Как мы видели, в тех случаях, когда t является радианной мерой острого угла, новые определения согласуются с прежними.

Задача 5.3. Как бы вы определили синус и косинус отрицательного числа t?

Задача 5.4. Найдите:

в) cos(3/2) и sin(3/2); г) cos(5/2) и sin(5/2).

В следующем параграфе мы дадим более формальные определения синуса и косинуса произвольного числа и начнем систематическое изучение тригонометрии. Но некоторые важные свойства синуса и косинуса можно увидеть уже сейчас.

Заметим, что за время 2 стрелка наших часов делает полный круг и оказывается на прежнем месте. Поэтому координаты ее конца в моменты t и t + 2 одинаковы. Другими словами:

Как говорят, функции синус и косинус имеют период 2.

Задача 5.5. Как меняется положение стрелки за время ? Чему равны cos(t + ) и sin(t + )?

5.2. Скорость Посмотрим теперь, как изменяются cos t и sin t при изменении t.

Сделаем это для косинуса (ситуация с синусом аналогична).

Стрелка часов равномерно вращается, при этом в тот момент, когда конец стрелки прошел расстояние t, проекция этого конца на ось абсцисс отмечает число cos t (рис. 5.3а). Видно, что эта проекция совершает колебания от 1 до 1 и обратно. Далее, движение конца стрелки по окружности равномерно, но движение его проекции равномерным уже не будет. Чтобы это увидеть, нанесем на окружность положения конца стрелки через равные промежутки времени, а на ось абсцисс — их проекции (рис. 5.3б). Хорошо видно, что вблизи концов отрезка [1; 1] точки идут гуще, чем в его середине. Однако отмеченные точки — не что иное, как проекции конца стрелки через равные промежутки времени. Стало быть, в середине отрезка [1; 1] наша точка движется быстрее, чем у его краев. Это и понятно: в своих колебаниях по отрезку наша точка в концах разворачивается, а чтобы развернуться, надо сначала затормозить.

Задача 5.6. а) Если для каждого целого n найти число sin(n/30), сколько различных чисел получится?

б*) Каким должно быть число a, чтобы множество чисел вида cos(na), где n пробегает все целые числа, было конечно?

в**) Существует ли такое натуральное число n, что | cos n| < < 1/1000?

Давайте подсчитаем поточнее, с какой скоростью движется проекция конца стрелки. Будем опять-таки рассматривать проекцию на горизонтальную ось, соответствующую косинусу. Мы считали, что стрелка движется со скоростью 1 / и имеет длину 1, так что ее конец движется со скоростью 1. Пусть в данный момент стрелка повернута на угол t (рис. 5.4) Через маленькое время конец стрелки переместится из точки A в точку B, а его проекция — из точки M в точку N. Найдем отрезок M N. Для этого заметим, что угол CAB можно приближенно считать прямым, так как хорда AB мала. Поэтому (углы измеряются в радианах). Следовательно, Далее, так как хорда AB мала, ее длина приближенно равна длине дуги AB, то есть. Следовательно, M N · sin t, и средняя скорость проекции конца стрелки на участке от M до N приблизительно равна M N/ = sin t. На самом деле чем меньше, тем меньше ошибки наших приближенных вычислений и тем ближе средняя скорость к sin t. Как говорят, мгновенная скорость проекции конца стрелки в тот момент, когда стрелка прошла расстояние t, равна sin t. Точнее говоря, эта мгновенная скорость равна sin t, так как при возрастании пройденного расстояния от t до t + проекция конца стрелки движется по оси абсцисс в «отрицательном направлении» (от бльших чисел к меньшим).

Говоря по-ученому, производная от функции y = cos t — это функция y = sin t.

§ 6. Определение тригонометрических функций В этом параграфе мы аккуратно сформулируем определения тригонометрических функций.

Для этого введем на плоскости прямоугольную систему координат и рассмотрим окружность радиуса 1 с центром в начале координат (рис. 6.1а).

Такой чертеж принято называть тригонометрическим кругом (или тригонометрической окружностью). Точку с координатами (1; 0), лежащую на этой окружности, будем называть началом отсчета или точкой ноль (не путайте с началом координат!).

Направление движения против часовой стрелки будем называть положительным направлением (рис. 6.1б).

Тригонометрическая окружность служит для того, чтобы наносить на нее числа. Это делается так. Пусть у нас есть число t.

Начав с начала отсчета, пройдем по тригонометрической окружности путь длиной |t|: если t > 0 — в положительном направлении, если t < 0 — в отрицательном (возможно, нам придется при этом несколько раз пройти по одному и тому же месту). Точка, в которой мы остановились, и есть точка на окружности, соответствующая числу t.

По-другому точку на окружности, соответствующую числу t, можно себе представить как второй конец намотанной на окружность нерастяжимой нити длины |t|, один конец которой закреплен в начале отсчета, или как положение стрелки часов, о которых мы говорили в предыдущем параграфе, в момент t.

На рис. 6.2 отмечено, какая точка соответствует числу / (длина дуги от 0 до этой точки составляет как раз 1/4 всей длины окружности, т. е. 2/4 = /2). Впрочем, в ту же точку попадут и числа + 2, 2, + 4 — при движении по окружности мы сделаем один или несколько лишних кругов, но остановимся все в той же точке.

Задача 6.1. Нанесите на тригонометрический круг числа 3/2, /4, /4, /2, 7/4, 7/2. Сколько различных точек у вас получилось?

Задача 6.2. Нанесите на тригонометрическую окружность точки, Рис. 6.1. Тригонометрический круг.

ных точек у вас получилось?

Задача 6.3. Выполните задание предыдущей задачи для чисел:

а) /4 + n; б) /3 + 2n (n — любое целое число).

Задача 6.4. В какой четверти будет находиться точка тригонометрической окружности, соответствующая числу 1000?

Задача 6.5. Сколько точек получится, если нанести на тригонометрический круг все числа вида 73n/107, где n — целое число?

Задача 6.6. Каким должно быть число a, чтобы среди точек, соответствующих числам вида 2an при всех целых n, было бы конечное число различных?

Задача 6.7. Пусть числу t соответствует на тригонометрической окружности точка P. Запишите какое-нибудь другое число, которому на тригонометрической окружности соответствуют:

а) та же самая точка P ;

б) точка, симметричная точке P относительно начала координат;

в) точка, симметричная точке P относительно оси абсцисс;

г) точка, симметричная точке P относительно оси ординат;

д) точка, симметричная точке P относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Задача 6.8. Как выглядит на тригонометрическом круге множество точек, соответствующих числам из промежутков: а) [0; /2];

б) [/2; 2]; в) (; ); г) (2; 9).

Если 0 < t < /2, то число t на круге будет расположено так, что отрезок, соединяющий соответствующую точку с началом координат, составит   угол t радиан с осью абсцисс. В самом деле, в этом случае длина дуги от 0 до t будет как раз равна t (рис. 6.3).

Теперь все готово для того, чтобы ввести основные определения тригонометрии.

Определение. Косинусом числа t называется абсцисса точки на тригонометрическом круге, соответствующей числу t.

Если t — радианная мера острого угла, то косинус этого угла в нашем прежнем смысле равен косинусу числа t в новом смысле.

Косинус числа t обозначается cos t.

Определение. Синусом числа t называется ордината точки на тригонометрическом круге, соответствующей числу t.

Если t — радианная мера острого угла, то синус этого угла в нашем прежнем смысле равен синусу числа t в новом смысле.

Синус числа t обозначается sin t.

Определение. Тангенсом числа t называется отношение синуса числа t к его косинусу.

Если t — радианная мера острого угла, то тангенс этого угла в нашем прежнем смысле равен тангенсу числа t в новом смысле (так как для острых углов верна формула tg t = sin t/ cos t).

Тангенс числа t обозначается tg t.

Определения синуса и косинуса, которые вы сейчас прочитали, — это те же самые определения, что были даны в предыдущем параграфе, только сформулированные более аккуратно. В предыдущем же параграфе было объяснено, почему для острых углов эти определения согласуются с прежними.

Кроме синуса, косинуса и тангенса используются также и менее употребительные функции котангенс, секанс и косеканс, которые определяются так:

Теперь, когда мы определили тригонометрические функции числового аргумента, можно узнать, чему равны тригонометрические функции не только острых, но и прямого и тупых углов:

надо перевести величину угла в радианы и взять синус, косинус или тангенс от получившегося числа.

Задача 6.9. Заполните пустые места в следующей таблице:

Замечание. В графе для tg 90 мы сразу поставили прочерк, так как, по определению, tg 90 = sin 90 / cos 90, но cos 90 = 0, так что tg 90 не определен.

Задача 6.10. Определите котангенс, секанс и косеканс острых углов с помощью прямоугольных треугольников (аналогично тому, как мы определяли синус, косинус и тангенс).

Задача 6.11. Одна из вершин правильного шестиугольника, вписанного в тригонометрическую окружность, расположена в начале отсчета. Найдите координаты остальных его вершин.

Задача 6.12. Тот же вопрос, что и в предыдущей задаче, но для правильного пятиугольника (указание: см. задачу 3.5).

Задача 6.13. В задаче 4.8 было сказано, что в качестве приближенного значения косинуса малого угла можно взять число 1, то есть значение функции косинус в нуле. Что, если в качестве приближенного значения для синуса малого угла, не мудрствуя лукаво, взять 0 = sin 0? Чем это плохо?

Рис. 6.4. Точка M движется по циклоиде.

Задача 6.14. Рассмотрим колесо радиуса 1, касающееся оси абсцисс в начале координат (рис. 6.4). Предположим, что колесо покатилось по оси абсцисс в положительном направлении со скоростью 1 (т. е. за время t его центр смещается на t вправо).

а) Нарисуйте (примерно) кривую, которую будет описывать точка M, касающаяся в первый момент оси абсцисс.

б) Найдите, каковы будут абсцисса и ордината точки M через время t после начала движения.

6.1. Ось тангенсов Синус и косинус мы в этом параграфе определили геометрически, как ординату и абсциссу точки, а тангенс — алгебраически, как sin t/ cos t. Можно, однако, и тангенсу придать геометрический смысл.

Для этого проведем через точку с координатами (1; 0) (начало отсчета на тригонометрической окружности) касательную к тригонометрической окружности — прямую, параллельную оси ординат. Назовем эту прямую осью тангенсов (рис. 6.5). Название это оправдывается так: пусть M — точка на тригонометрической окружности, соответствующая числу t. Продолжим радиус SM до пересечения с осью тангенсов. Тогда оказывается, что ордината точки пересечения равна tg t.

В самом деле, треугольники N OS и M P S на рис. 6.5, очевидно, подобны. Отсюда что и утверждалось.

Если точка M имеет координаты (0; 1) или (0; 1), то прямая SM параллельна оси тангенсов, и тангенс нашим способом определить нельзя. Это и не удивительно: абсцисса этих точек равна 0, так что cos t = 0 при соответствующих значениях t, и tg t = sin t/ cos t не определен.

6.2. Знаки тригонометрических функций Разберемся, при каких значениях t синус, косинус и тангенс положительны, а при каких — отрицательны. Согласно определению, sin t — это ордината точки на тригонометрической окружности, соответствующая числу t. Поэтому sin t > 0, если точка t на окружности лежит выше оси абсцисс, и sin t < 0, если точка t на окружности лежит ниже оси абсцисс (рис. 6.6а). На рис. 6.6б аналогичным образом изображено, когда положителен и когда отрицателен cos t. Увидеть, когда положителен, а когда отрицателен tg t, проще всего с помощью оси тангенсов: tg t положителен, если точка на окружности, соответствующая числу t, лежит в первой или третьей четверти, и отрицателен, если эта точка лежит во второй или четвертой четверти. Схематически это изображено на рис. 6.7.

Задача 6.15. Нарисуйте картинки, аналогичные рис. 6.7, для знаков ctg t.

Задача 6.16. а) Изобразите на числовой оси множество точек t, удовлетворяющих системе неравенств:

б) Рассмотрим множество чисел на числовой оси, удовлетворяющих системе неравенств:

Найдите сумму длин отрезков, из которых состоит это множество.

§ 7. Простейшие формулы В § 3 мы установили для острых углов такую формулу:

¤ когда — любое число. В самом деле, пусть M — точка на тригонометрической окружности, соответствующая Итак, формула cos2 + sin2 = 1 вытекает из уравнения окружности.

Может показаться, что тем самым для острых углов мы дали новое доказательство этой формулы (по сравнению с указанным в § 3, где мы пользовались теоремой Пифагора). Отличие, однако, чисто внешнее: при выводе уравнения окружности x2 + y 2 = 1 используется та же теорема Пифагора.

Для острых углов мы получали и другие формулы, например cos = 1/ 1 + tg2. Для произвольных углов эта формула в таком виде верна быть не может: согласно общепринятому пониманию символа, правая часть всегда неотрицательна, в то время как левая часть вполне может быть и отрицательной. Чтобы формула была верна при всех, надо ее возвести в квадрат.

Получится равенство: cos2 = 1/(1 + tg2 ). Докажем, что эта формула верна при всех : Задача 7.1. Выведите все формулы, приведенные ниже, из определений и формулы sin2 + cos2 = 1 (некоторые из них мы уже доказали):

Эти формулы позволяют, зная значение одной из тригонометрических функций данного числа, почти найти все остальные. Пусть, например, мы знаем, что sin x = 1/2. Тогда cos2 x = = 1sin2 x = 3/4, так что cos x равен или 3/2, или 3/2. Чтобы узнать, какому именно из этих двух чисел равен cos x, нужна дополнительная информация.

Задача 7.2. Покажите на примерах, что оба вышеуказанных случая возможны.

Задача 7.3. а) Пусть tg x = 1. Найдите sin x. Сколько ответов у этой задачи?

б) Пусть в дополнение к условиям пункта а) нам известно, что sin x < 0. Сколько теперь ответов у задачи?

Для которых tg определен, т. е. cos = 0.

Задача 7.4. Пусть sin x = 3/5, x [/2; 3/2]. Найдите tg x.

Задача 7.5. Пусть tg x = 3, cos x > sin x. Найдите cos x, sin x.

Задача 7.7. Докажите тождества:

Задача 7.8. Упростите выражения:

§ 8. Периоды тригонометрических функций Числам x, x+2, x2 соответствует одна и та же точка на тригонометрической окружности (если пройти по тригонометрической окружности лишний круг, то придешь туда, где был). Отсюда вытекают такие тождества, о которых уже шла речь в § 5:

В связи с этими тождествами мы уже употребляли термин «период». Дадим теперь точные определения.

Определение. Число T = 0 называют периодом функции f, если для всех x верны равенства f (x T ) = f (x + T ) = f (x) (подразумевается, что x + T и x T входят в область определения функции, если в нее входит x). Функцию называют периодической, если она имеет период (хотя бы один).

Периодические функции естественно возникают при описании колебательных процессов. Об одном из таких процессов речь уже шла в § 5. Вот еще примеры:

1) Пусть = (t) — угол отклонения качающегося маятника часов от вертикали в момент t. Тогда — периодическая 2) Напряжение («разность потенциалов», как сказал бы физик) между двумя гнездами розетки в сети переменного тока, если его рассматривать как функцию от времени, является периодической функцией1.

3) Пусть мы слышим музыкальный звук. Тогда давление воздуха в данной точке — периодическая функция от времени.

Если функция имеет период T, то периодами этой функции будут и числа T, 2T, 2T... — одним словом, все числа nT, где n — целое число, не равное нулю. В самом деле, проверим, например, что f (x + 2T ) = f (x):

Определение. Наименьшим положительным периодом функции f называется — в соответствии с буквальным смыслом слов — такое положительное число T, что T — период f и ни одно положительное число, меньшее T, периодом f уже не является.

Периодическая функция не обязана иметь наименьший положительный период (например, функция, являющаяся постоянной, имеет периодом вообще любое число и, стало быть, наименьшего положительного периода у нее нет). Можно привести примеры и непостоянных периодических функций, не имеющих наименьшего положительного периода. Тем не менее в большинстве интересных случаев наименьший положительный период у периодических функций существует.

Когда говорят «напряжение в сети 220 вольт», имеют в виду его «среднеквадратичное значение», о котором мы будем говорить в § 21. Само же напряжение все время меняется.

В частности, наименьший положительный период как синуса, так и косинуса равен 2. Докажем это, например, для функции y = sin x. Пусть вопреки тому, что мы утверждаем, у синуса есть такой период T, что 0 < T < 2. При x = /2 имеем sin x = = 1. Будем теперь увеличивать x. В точке x + T значение синуса должно быть также равно 1. Но в следующий раз синус будет равен 1 только при x = (/2) + 2. Поэтому период синуса быть меньше 2 не может. Доказательство для косинуса аналогично.

Наименьший положительный период функции, описывающей колебания (как в наших примерах 1–3), называется просто периодом этих колебаний.

Поскольку число 2 является периодом синуса и косинуса, оно будет также периодом тангенса и котангенса. Однако для этих функций 2 — не наименьший период: наименьшим положительным периодом тангенса и котангенса будет. В самом деле, точки, соответствующие числам x и x + на тригонометрической окружности, диаметрально противоположны: от точки x до точки x + 2 надо пройти расстояние, в точности равное половине окружности. Теперь, если воспользоваться определением тангенса и котангенса с помощью осей тангенсов и котангенсов, равенства tg(x + ) = tg x и ctg(x + ) = ctg x станут очевидными (рис. 8.1). Легко проверить (мы предложим это сделать в задачах), что — действительно наименьший положительный период тангенса и котангенса.

Одно замечание по поводу терминологии. Часто слова «период функции» употребляют в значении «наименьший положительный период». Так что если на экзамене у вас спросят: «Является ли 100 периодом функции синус?», не торопитесь с ответом, а уточните, имеется в виду наименьший положительный период или просто один из периодов.

Тригонометрические функции — типичный пример периодических функций: любую «не очень плохую» периодическую функцию можно в некотором смысле выразить через тригонометрические.

Задача 8.1. Найдите наименьшие положительные периоды функций:

г) y = cos x + cos(1,01x).

Задача 8.2. Зависимость напряжения в сети переменного тока от времени задается формулой U = U0 sin t (здесь t — время, U — напряжение, U0 и — постоянные величины). Частота переменного тока — 50 Герц (это означает, что напряжение совершает колебаний в секунду).

а) Найдите, считая, что t измеряется в секундах;

б) Найдите (наименьший положительный) период U как функции от t.

Задача 8.3. а) Докажите, что наименьший положительный период косинуса равен 2;

б) Докажите, что наименьший положительный период тангенса равен.

Задача 8.4. Пусть наименьший положительный период функции f равен T. Докажите, что все остальные ее периоды имеют вид nT для некоторых целых чисел n.

Задача 8.5. Докажите, что следующие функции не являются периодическими:

д*) y = cos x + cos(kx), где k — иррациональное число.

Задача 8.6. Числа 5 и 8 являются периодами функции f. Докажите, что число 1 — тоже ее период.

Задача 8.7. Функция y = f (x) имеет наименьший положительный период 2, а функция y = g(x) имеет наименьший положительный период 6. Может ли функция y = f (x) + g(x) иметь наименьший положительный период 3?

Задача 8.8. Определим функцию f так:

Докажите, что всякое рациональное число будет периодом функции f (отсюда следует, что у нее нет наименьшего положительного периода).

§ 9. Формулы приведения Нанесем на тригонометрическую окружность точку M, соответствующую числу x. Ее координатами будут (cos x; sin x).

Опустим из точки M перпендикуляр на ось абсцисс. У нас получится прямоугольный треугольник (на рис. 9.1а он заштрихован).

Теперь повернем этот треугольник на 90 против часовой стрелки. Он займет положение, показанное на рис. 9.1б. Точка M на этом рисунке соответствует числу x + /2 (так как угол M ZM, очевидно, прямой) и имеет координаты ( sin x; cos x). Поскольку координаты точки на тригонометрической окружности — это косинус и синус соответствующего этой точке числа, получаем такие формулы:

Рис. 9.1. Точка M соответствует числу x, точка M соответствует числу x + /2.

Поделим эти равенства одно на другое. Получится вот что:

Строго говоря, мы доказали эти формулы лишь в одном случае — если точка, соответствующая числу x, лежит в первой четверти.

Проверьте сами, что эти формулы верны и в других случаях.

Итак, сравнив два положения треугольника на рис. 9.1а, мы получили несколько формул. Прикладывать этот треугольник к осям можно и разными другими способами, и каждый из этих способов дает свой набор формул. На рис. 9.2 изображены разные способы перекладывания треугольника, а под ними выписаны соответствующие формулы.

Задача 9.1. Заполните пустые места в подписях к чертежам на рис. 9.2.

Формулы, которые мы получили с помощью перекладывания треугольника, называются формулами приведения. Точнее говоря, пусть у нас есть число a, равное n/2 для какого-то целого числа n. Формулами приведения называются формулы, связывающие тригонометрические функции от x + a, x a или a x с тригонометрическими функциями от x. Как видите, этих формул много, и заучивать их наизусть было бы неразумно. На практике, если требуется воспользоваться формулой приведения, удобно нарисовать картинку наподобие тех, из которых составлен рис. 9.2, и посмотреть по ней, как должна выглядеть формула. Кроме того, есть и мнемоническое правило, позволяющее выписать любую формулу приведения. Сформулируем это правило.

1) Пусть в левой части стоит тригонометрическая функция от x + a, x a или a x, где a = n/2. Если укладывается в числе a целое число раз (a = 0,,, 2, 2,... ), то в правой части надо записать ту же тригонометрическую функцию, что и в левой части. Если же укладывается в числе a не целое, а «полуцелое» число раз (a = /2, /2, 3/2, 5/2,... ), то название тригонометрической функции надо заменить на похожее (синус на косинус и наоборот, тангенс на котангенс и наоборот).

2) Если при x, принадлежащем первой четверти, левая часть положительна, то перед правой частью надо поставить знак плюс, в противном случае — знак минус.

Вот как по этим правилам получается формула для sin(3/2+x): 3/2 скобках указывает,   что название функции меняется, так что в правой части будет стоять косинус; так как при x, лежащем в первой четверти, sin(3/2 + x) отрицателен (рис. 9.3), перед косинусом будет стоять знак минус. В итоге: sin(3/2 + x) = С помощью формул приведения тригонометрические функции любого числа можно выразить через тригонометрические функции чисел, лежащих на отрезке [0; /2] (от 0 до 90, если измерять углы в градусах). Поэтому тригонометрические таблицы составляются только для углов от 0 до 90 ; в современных калькуляторах и компьютерах программы, вычисляющие тригонометрические функции, также предварительно «приводят» аргумент к промежутку [0; /2].

Из множества формул приведения стоит, возможно, отметить такие:

Эти формулы называются «формулами дополнительного угла»;

для острых углов они нам уже знакомы.

Полезно также запомнить, как меняются тригонометрические функции при изменении знака аргумента:

Иными словами, синус, тангенс и котангенс — нечетные функции, косинус — четная функция.

Задача 9.2. Упростите выражения:

а) sin(x /2); б) sin(x 1998); в) sin(x 1991/2);

Задача 9.3. Вычислите:

к) sin(1200 ).

Задача 9.4. Выразите через тригонометрическую функцию числ, лежащего на отрезке [0; /2]:

Задача 9.5. Определите знаки следующих выражений:

а) sin(127/5); б) cos(26, 17); в) tg 83, 1;

Задача 9.6. Пусть на плоскости задана система координат и точка M с координатами (a; b). Запишите координаты точки, в которую M переходит при следующих преобразованиях:

а) симметрии относительно оси абсцисс;

б) симметрии относительно оси ординат;

в) симметрии относительно начала координат;

г) повороте относительно начала координат на 90 в положительном направлении;

д) симметрии относительно прямой с уравнением y = x.

§ 10. Простейшие тригонометрические уравнения Будем учиться решать тригонометрические уравнения. Начнем с самого простого: уравнения sin x = 1. Мы помним, что sin x — ордината точки x на тригонометрической окружности. На ней есть только одна точка с ординатой 1 — точка M на рис. 10.1а. Одно из чисел, соответствующих точке M, — это число /2. Кроме / этой точке соответствуют, очевидно, все числа вида /2+2n, где n — целое число, и только они. Вместо «n — целое число» принято писать «n Z» (буквальный перевод: «n принадлежит множеству Рис. 10.2. Простейшие уравнения: систематизация.

всех целых чисел, обозначаемому Z»). Итак, решения уравнения sin x = 1 можно записать так: x = /2 + 2n, n Z. Можно записать решения этого уравнения и в виде множества:

Можно, наконец, написать так:

Решим еще уравнение cos x = 0. Так как cos x — абсцисса точки, соответствующей x, на тригонометрическом круге числу x могут соответствовать точки M и N (рис. 10.1б), и только они.

Точке M, как мы только что выяснили, соответствуют числа вида /2+2n, n Z. Точке N соответствует, в частности, число /2, а значит, и все числа вида /2 + 2m (m Z).

Можно записать оба эти множества чисел одной формулой, а именно x = /2n (n Z). Убедитесь, что эта формула дает в точности все числа, которым соответствует точка M или N на рис 10.1б.

Решения этих и аналогичных тригонометрических уравнений изображены на рис. 10.2.

Прежде чем читать дальше, убедитесь, что решения уравнений на рис 10.2 соответствуют рисункам.

Теперь займемся уравнениями посложнее. Решим уравнение sin x = 1/2. Сначала мы опять-таки найдем не сами решения, 1/2, их, очевидно, две (точки M1 и M2 на рис. 10.3).

Выясним, какие числа соответствуют этим точкам. Точка M1 соответствует (в частности) числу /6 (/6 радиан — это 30, sin 30 = 1/2), а точка M2 — числу /6 = 5/6 (чтобы пройти путь от начала отсчета O до точки M2, можно сначала пройти в положительном направлении расстояние до точки S, а затем вернуться из S в M2, пройдя расстояние /6 — дги SM2 и OM1 равны). Числа, соответствующие точке M1, имеют вид /6 + 2n, а числа, соответствующие точке M2, имеют вид 5/6+2n (n Z). Итак, ответ к уравнению sin x = 1/2 готов:

С уравнением sin x = 1/2 нам повезло в том отношении, что мы смогли явно указать число, синус которого равен 1/2. Чтобы решить уравнение sin x = a для произвольного a, нам нужно както обозначить число, синус которого равен a. При этом, если такие числа есть, то их много, так что нужно еще выбрать из них одно.

Эти проблемы принято решать следующим образом:

Определение. Арксинусом числа a называется такое число x, что sin x = a и /2 x /2. Это число обозначается arcsin a.

Из рис. 10.4 видно, что arcsin a существует и однозначно определен, если 1 a 1. Если |a| > 1 (то есть a > 1 или a < 1), то arcsin a не определен, поскольку sin x не бывает больше 1 или меньше 1. Теперь мы можем записать в общем виде решения уравнения sin x = a. Будем для начала считать, что 1 < a < 1.

Тогда на тригонометрической окружности есть две точки с ординатой a (рис. 10.5).

Точка M1 соответствует, очевидно, числу arcsin a (а также числам, отличающимся от него на кратные 2). Точка M2 соответствует числу arcsin a (вспомните уравнение sin x = 1/2, а также формулу приведения sin( x) = sin x). Все числа, соответствующие этим двум точкам, — это числа arcsin a+2n и arcsin a+2n (n Z). Стало быть, при |a| < 1 ответ к уравнению sin x = a таков:

Когда a приближается к 1, две точки с ординатой a на тригонометрической окружности приближаются друг к дружке, а когда a становится равным 1, они сливаются. Сливаются в одну и две «серии» решений уравнения sin x = a: каждая из двух формул переходит в знакомую нам /2+2n. Если же a > 1 (или a < 1), то уравнение sin x = a не имеет решений: точек с соответствующей ординатой на тригонометрической окружности просто нет.

Это напоминает положение дел с уравнением x2 = a: если a > 0, то корня два; когда a приближается к нулю, эти корни приближаются друг к другу, когда a = 0, два корня сливаются в один, а когда a отрицательно, то корней у уравнения x2 = a нет. Если, однако, рассматривать наряду с обычными еще и так называемые «комплексные числа», то окажется, что при a < 0 у уравнения x2 = a тоже есть два корня, но только комплексных. Аналогичным образом у уравнения sin x = a при a > 1 есть решения, являющиеся комплексными числами. Об этом у нас пойдет речь в главе 6.

Решения уравнения sin x = a можно записать и одной формулой:

Проверьте, что формула (10.2) дает другую запись того же ответа, что и формула (10.1) (для этого полезно отдельно разобрать случай четных n, когда (1)n = 1, и нечетных n, когда (1)n = 1).

Запись ответа к уравнению sin x = a в виде (10.2) удобна, если ничего, кроме ответа, от нас не требуется. Если же нужен дальнейший анализ решений (как, например, в задаче 10.10 в конце параграфа), то запись (10.1) (в виде двух «серий») удобнее.

Разберемся теперь с уравнением cos x = a. Для записи его решений используется функция арккосинус.

Определение. Арккосинусом числа a называется такое число x, что cos x = a и 0 x. Это число обозначается arccos a.

Из рисунка 10.6 видно, что arccos a существует и однозначно определен, если 1 a 1, и не определен, если a > 1.

Теперь запишем решения уравнения cos x = a. Опять будем сначала считать, что 1 < a < 1. Решениям этого уравнения соответствуют точки с абсциссой a на тригонометрической окружности (рис. 10.7). Точка M1 соответствует числу arccos a, а точка M2 — числу arccos a (вспомните формулу cos(x) = cos x). Вспоминая, что числа, отличающиеся на кратные 2, соответствуют одной и той же точке, получаем, что при |a| < 1 ответ к уравнению cos x = a таков:

Если a = 1 или 1, этот ответ тоже верен, причем обе «серии»

сливаются в одну (т. е. одни и те же значения x встречаются в обеих сериях); впрочем, при этих значениях a пользоваться общими формулами неразумно. Если же a > 1, то уравнение cos x = a не имеет решений.

Часто решения уравнения cos x = a кратко записывают так:

Эта запись имеет те же преимущества и недостатки, что и запись решений уравнения sin x = a с помощью одной формулы.

Для записи решений уравнения tg x = a используется функция арктангенс.

Определение. Арктангенсом числа a называется такое число x, что tg x = a и /2 < x < /2. Это число обозначается arctg a.

Из рис. 10.8 видно, что arctg a существует и однозначно определен для всех a.

Теперь решим уравнение tg x = a. Очевидно, что оно имеет решения для всех a и что его решения — числа, соответствующие точкам M1 и M2 на рис. 10.8. Точке M1, очевидно, соответствуют числа arctg a+2n, а точке M2 — числа (arctg a+)+2k (если нанести на тригонометрическую окружность числа, отличающиеся на, то получатся две диаметрально противоположные точки).

Получилось две серии решений. Проще, однако, ответ записать так:

Эта запись дает верный ответ, так как при четных n получается точка M1, а при нечетных — точка M2. Впрочем, это также следует из того, что период тангенса равен.

Осталось еще сказать про уравнение ctg x = a. Для его решения используется малоупотребительная функция арккотангенс.

Определение. Арккотангенсом числа a называется такое число x, что ctg x = a и 0 < x <. Обозначается это число arcctg a.

Арккотангенс, как и арктангенс, определен для всех чисел и связан с арктангенсом простой формулой (см. задачу 10.5).

Решениями уравнения ctg x = a являются числа x = arcctg a + Задача 10.1. Заполните таблицы:

arcsin a arccos a Задача 10.2. Решите уравнения:

Задача 10.3. Решите уравнения:

Задача 10.4. Решите уравнения:

Задача 10.5. Докажите формулы:

а) arcsin(x) = arcsin x; б) arccos(x) = arccos x;

Задача 10.6. Постройте графики функций:

д) y = tg(arctg x).

Задача 10.7. Упростите выражения:

д) arccos(sin 11).

Задача 10.8. Для каких x верны равенства:

а) arcsin 1 x2 = arccos x; б) arctg(1/x) = arcctg x;

в) arcsin(sin x) = x; г) sin(arcsin x) = x.

Задача 10.9. Упростите выражения:

Задача 10.10. а) Сколько решений уравнения sin x = 1/2 лежит на отрезке [0; 10]?

б) Сколько решений уравнения sin x = 1/3 лежит на отрезке в) Найдите сумму решений уравнения sin x = 2/2, лежащих на отрезке [0; 64].

§ 11. Графики синуса и косинуса Повторить: § 5. Часы, или современный взгляд на тригонометрию.

Построим график функции y = sin x. При этом нам опять пригодятся часы из § 5.

Если x = 0, то, очевидно, y = 0. Когда x возрастает от 0 до /2, число sin x возрастает от 0 до 1 (представьте себе, как меняется ордината конца стрелки на наших фирменных часах). Участок y = x: вспомним, что при малых x верна приближенная формула sin x x. Можно сказать, Рис. 11.1.

что прямая y = x касается кривой с уравнением y = sin x в точке (0; 0). Заметим также, что наш участок графика расположен ниже этой прямой: ведь для острых углов x, измеренных в радианах, выполнено неравенство sin x < x.

Чем ближе x к /2, тем более полого идет наша кривая. Это происходит потому, что проекция конца стрелки на ось ординат, колеблясь по отрезку [1; 1], быстрее всего движется в середине отрезка и замедляется у его краев: мы это уже обсуждали в § 5.

Пусть далее, /2 x 2 (стрелка часов продолжает движение). Тогда, очевидно, ордината конца стрелки, то есть sin x, уменьшается от 1 до 0 — рис. 11.2а. Далее, когда x возрастает от до 3/2, sin x уменьшается от 0 до 1, а когда x возрастает от 3/2 до 2, возрастает от 1 до 0. Итак, участок графика для 0 x 2 готов (рис. 11.2б). Заметим, кстати, что кривая на рис 11.2а симметрична относительно вертикальной прямой с уравнением x = /2. В самом деле, формула приведения sin(/2 x) = sin x показывает, что точки с абсциссами x и x имеют на графике одинаковые ординаты и, стало быть, симметричны относительно прямой x = /2 (рис. 11.3а).

Задача 11.1. Запишите уравнение прямой, касающейся графика функции y = sin x в точке с координатами (; 0).

Кривая на рис 11.2б центрально симметрична относительно точки с координатами (; 0); это следует из другой формулы приведения: sin(2 x) = sin x (рис. 11.3б).

После того, как у нас есть участок графика функции y = sin x для 0 x 2, весь график строится уже просто. В самом деле, когда конец стрелки прошел путь 2, стрелка вернулась в исходное положение; при дальнейшем движении все будет повторяться. Значит, график будет состоять из таких же кусков, как на рис 11.2б. Окончательно график функции y = sin x выглядит так, как на рис. 11.4. При этом участки графика при x [2; 4], [4; 6], [2; 0],... получаются из графика на рис 11.2б сдвигом вдоль оси абсцисс на 2, 4, 2,... соответственно. Это — просто переформулировка того факта, что функция y = sin x имеет период 2.

Теперь построим график функции y = cos x. Можно было бы строить его так же, как мы строили график синуса. Мы, однако, изберем другой путь, который позволит использовать уже имеющуюся у нас информацию.

Именно, воспользуемся формулой приведения sin(x + /2) = = cos x. Эту формулу можно понимать так: функция y = cos x принимает те же значения, что и функция y = sin x, но на / раньше. Например, функция y = sin x принимает значение 1 при x = /2, а функция y = cos x = sin(x + /2) принимает это же значение уже при x = 0. На графике это означает следующее: для каждой точки графика y = sin x есть точка графика y = cos x, у которой ордината та же, а абсцисса на /2 меньше (рис. 11.5).

Стало быть, график y = cos x получится, если сдвинуть график y = sin x вдоль оси абсцисс на /2 влево. На рис. 11.5 график функции y = cos x изображен сплошной кривой.

Итак, мы выяснили, что график косинуса получается преобразованием (сдвигом) из графика синуса. Случаи, когда график одной функции можно получить преобразованием из графика другой функции, интересны и сами по себе, поэтому скажем о них несколько слов.

Как, например, будет выглядеть график функции y = 2 sin x?

Ясно, что ординаты точек этого графика получаются из ординат соответствующих точек графика y = sin x умножением на 2, так что наш график изобразится сплошной кривой на рис. 11.6. Можно сказать, что график y = 2 sin x получается из графика y = sin x растяжением в два раза вдоль оси ординат.

Теперь построим график функции y = sin 2x. Легко понять, что функция y = sin 2x принимает те же самые значения, что и функция y = sin x, но при в два раза меньших значениях x.

Например, функция y = sin x принимает значение 1 при x = /2, а функция y = sin 2x — уже при x = /4; иными словами, чтобы получить график y = sin 2x, надо абсциссы всех точек графика y = sin x уменьшить в два раза, а ординаты оставить неизменными. То, что получается, изображено на рис. 11.7. Можно сказать, что график y = sin 2x (сплошная линия на рис. 11.7) получается из графика y = sin x сжатием в 2 раза к оси ординат.

Попробуем еще построить график функции y = sin(2x + /3).

Понятно, что он должен получаться каким-то преобразованием из графика y = sin 2x. На первый взгляд может показаться, что это преобразование — сдвиг влево на /3 вдоль оси абсцисс, по аналогии с тем, что изображено на рис. 11.5. Однако, если бы это было так, то вышло бы, например, что функция y = sin(2x + /3) принимает значение 1 при x = /4 /3 = /12, что не соответствует действительности (проверьте!). Правильно рассуждать так: sin(2x + /3) = sin 2(x + /6), так что функция y = sin(2x+/3) принимает те же значения, что и функция y = sin 2x, но на /6 раньше. Так что сдвиг влево — не на /3, а на / (рис. 11.8).

Кривые, являющиеся графиками функций y = a sin bx, где a = 0, b = 0, называются синусоидами. Заметим, что кривой «косинусоида» вводить не надо: как мы видели, график косинуса — это та же кривая, что и график синуса, только иначе расположенная относительно осей координат.

Задача 11.2. Каковы координаты точек, помеченных на рис. 11. вопросительными знаками?

Задача 11.3. Возьмите свечу, тонкий лист бумаги и острый нож.

Намотайте лист бумаги на свечу в несколько слоев и аккуратно разрежьте эту свечу вместе с бумагой наискосок ножом. Теперь разверните бумагу. Вы увидите, что она оказалась разрезанной по волнистой линии. Докажите, что эта волнистая линия является синусоидой.

Задача 11.4. Постройте графики функций:

ж) y = sin(x).

Замечание. Если вы строите графики тригонометрических функций на клетчатой бумаге, удобно выбрать немного разные масштабы по осям, с тем чтобы на оси абсцисс числу соответствовало целое число клеточек. Например, часто выбирают такой масштаб:

по оси ординат отрезок длины 1 занимает две клеточки, по оси абсцисс отрезок длины занимает 6 клеточек.

Задача 11.5. Постройте графики функций:

Посмотрим, как выглядят на графиках уже известные нам решения уравнений sin x = a и cos x = a. Эти решения являются абсциссами точек пересечения горизонтальной прямой y = a с графиком функций y = sin x (соответственно y = cos x). На рис. 11.9, 11.10 хорошо видны две серии решений, получающихся при 1 < a < 1.

По графикам синуса и косинуса видно, на каких промежутках эти функции возрастают, а на каких убывают. Ясно, например, что функция y = sin x возрастает на отрезках [/2; /2], [3/2; 5/2], [5/2; 3/2],... — одним словом, на всех отрезках [/2 + 2k; /2 + 2k], где k Z, и убывает на всех отрезках [/2 + 2n; 3/2 + 2n], где n Z.

Задача 11.6. На каких отрезках возрастает и на каких убывает функция y = cos x?

Задача 11.7. Сравните числа:

а) sin(17/5) и cos(6/7); б) sin(11, 2) и cos(6, 4);

Задача 11.8. Расположите в порядке возрастания: sin 1, cos 2, sin 3, cos 4, sin 5, cos 6.

§ 12. Графики тангенса и котангенса Построим график функции y = tg x. Для начала построим его для чисел x, принадлежащих интервалу (/2; /2).

Если x = 0, то tg x = 0; когда x возрастает от 0 до /2, tg x тоже возрастает — это видно, если посмотреть на ось тангенсов (рис. 12.1а). Когда x приближается к /2, оставаясь меньше /2, значение tg x возрастает (точка M на рис. 12.1а убегает все выше) и может, очевидно, стать сколь угодно большим положительным числом. Аналогично, когда x убывает от 0 до /2, tg x становится отрицательным числом, абсолютная величина которого возрастает при приближении x к /2. При x = /2 или / функция tg x не определена. Стало быть, график y = tg x при x (/2; /2) выглядит примерно как на рис. 12.1б.

Вблизи начала координат наша кривая близка к прямой y = x x: ведь для малых острых углов верно приближенное равнество tg x x. Можно сказать, что прямая y = x касается графика функции y = tg x в начале координат. Кроме того, кривая на рис 12.1б симметрична относительно начала координат. Это объясняется тем, что функция y = tg x нечетная, то есть выполнено тождество tg(x) = tg x.

Чтобы построить график функции y = tg x для всех x, вспомним, что tg x — периодическая функция с периодом. Стало быть, чтобы получить полный график функции y = tg x, надо повторить бесконечно много раз кривую рис. 12.1б, перенося ее вдоль оси абсцисс на расстояния n, где n — целое число. Окончательный вид графика функции y = tg x — на рис. 12.2.

По графику мы в очередной раз видим, что функция y = tg x не определена при x = /2 + n, n Z, то есть при тех x, при которых cos x = 0. Вертикальные прямые с уравнениями x = /2, 3/2,..., к которым приближаются ветви графика, называются асимптотами графика.

На том же рис. 12.2 мы изобразили решения уравнения tg x = a.

Построим график функции y = ctg x. Проще всего, воспользовавшись формулой приведения ctg x = tg(/2 x), получить этот график из графика функции y = tg x с помощью преобразований наподобие тех, что мы описывали в предыдущем параграфе.

Результат — на рис. 12. Задача 12.1. График функции y = ctg x получается из графика функции y = tg x с помощью симметрии относительно некоторой прямой. Какой именно? Есть ли другие прямые с указанным свойством?

Задача 12.2. Как выглядит уравнение прямой, касающейся графика функции y = ctg x в точке с координатами (/2; 0)?

Задача 12.3. Сравните числа: а) tg(13/11) и tg 3,3; б) tg 9,6 и ctg(11,3).

Задача 12.4. Расположите числа в порядке возрастания: tg 1, tg 2, tg 3, tg 4, tg 5.

Задача 12.5. Постройте графики функций:

Задача 12.6. Постройте графики функций:

Задача 12.7. Постройте график функции y = arctg x + arctg(1/x).

§ 13. Чему равно sin x + cos x?

В этом параграфе мы попытаемся решить такую задачу: какое самое большое значение может принимать выражение sin x+cos x?

Ясно, что sin x + cos x 2 при всех x: ведь как sin x, так и cos x не превосходят 1. Впрочем, значения 2 ни при каком x получиться не может: чтобы так вышло, нужно, чтобы sin x и cos x оба равнялись 1, а это невозможно, поскольку формула sin2 x + cos2 x = говорит нам, что когда sin x = 1, тогда cos x = 0 (и вообще, что когда sin x велик, тогда cos x мал). Хорошо было бы найти такое x, для которого оба слагаемых как бы уравновесили друг друга:

и то, и другое было бы не слишком велико. Советуем вам, прежде чем читать дальше, поискать такое x с помощью таблицы из § 3.

Если вы правильно считали, у вас должно было выйти, что из всех x, входящих в эту таблицу, наибольшее значение sin x + cos x получается при x, близких к 45, или, в радианной мере, к /4.

Если x = /4, точное значение sin x+cos x равно 2. Оказывается, что наш результат, полученный экспериментальным путем, и в самом деле верен: при всех x верно неравенство sin x + cos x 2, так что 2 — самое большое из значений, принимаемых этим выражением.

У нас еще не хватает средств, чтобы доказать это неравенство наиболее естествен-   ¦   ¤ ным способом. Пока что мы покажем, как катеты прямоугольного треугольника с гипотенузой 1 и острым углом x (рис. 13.1).

Поэтому наша задача переформулируется так: доказать, что сумма длин катетов прямоугольного треугольника с гипотенузой будет максимальной, если этот треугольник — равнобедренный.

Задача 13.1. Докажите это утверждение.

Так как у равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой 1 сумма длин катетов равна 2, из результата этой задачи вытекает неравенство sin x + cos x 2 для всех x, лежащих в интервале (0; /2). Отсюда уже нетрудно заключить, что это неравенство выполнено и вообще для всех x.

Результат задачи 13.1 верен не только для прямоугольных треугольников.

Задача 13.2. Докажите, что среди всех треугольников с данными величинами стороны AC и угла B наибольшая сумма AB + BC будет у равнобедренного треугольника с основанием AC.

Вернемся к тригонометрии.

Задача 13.3. Пользуясь таблицей синусов из § 3, постройте по точкам график функции y = sin x + cos x.

Указание. Не забудьте, что x должен быть выражен в радианах;

для значений x за пределами отрезка [0; /2] воспользуйтесь формулами приведения.

Если вы все сделали правильно, у вас должна была получиться кривая, похожая на синусоиду. Позже мы увидим, что эта кривая не просто похожа, а является синусоидой. Научимся мы также находить и наибольшие значения таких выражений, как 3 sin x + 4 cos x (кстати, график функции y = 3 sin x + 4 cos x тоже является синусоидой!).

Глава Решение треугольников § 14. Теорема косинусов Определения тригонометрических функций острых углов, которые мы давали в начале нашей книжки, можно рассматривать как соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. В этой главе речь пойдет о произвольных треугольниках (не обязательно прямоугольных). Ход мыслей будет вот каким. С каждым треугольником связаны шесть чисел: величины трех сторон и трех углов. Между этими числами есть соотношения. Одно из этих соотношений вы уже знаете: сумма углов треугольника равна 180. Если, например, два угла в треугольнике равны 75 и 55, то третий угол уже не может быть каким попало, он обязательно равен 180 75 55 = 50. Этим соотношением, однако, дело не исчерпывается. Пусть, например, у некоторого треугольника мы знаем величины двух сторон и угла между ними. Тогда, согласно одному из признаков равенства треугольников, оставшаяся сторона и остальные два угла уже полностью определены. Наша цель — найти формулы, по которым они выражаются через уже известные стороны и угол.

Другие признаки равенства треугольников также ведут к соотношениям между сторонами и углами, и эти соотношения также можно задать формулами. Кроме того, если известны стороны и углы треугольника, то этим однозначно определяются площадь треугольника, радиусы вписанной и описанной окружности и тому подобное. Для них тоже имеет смысл поискать формулы, выражающие их через стороны и углы треугольника.

Начнем же мы как раз с соотношения, связанного с «первым признаком равенства треугольников» (по двум сторонам и углу между ними)1. Итак, пусть заданы две стороны a и b треугольника и угол между ними. Попробуем выразить через эти данные длину третьей стороны. Обозначим эту сторону c. План действий таков: опустим высоту AM BC (рис. 14.1а — чертеж для случая, когда угол острый, 14.1б — для случая, когда он тупой). По теореме Пифагора для треугольника AM B имеем c2 = AM 2 + M B 2 ;

если мы теперь выразим AM и M B через известные нам a, b и, то задача будет решена. Теперь конкретно:

• Пусть угол острый (рис. 14.1а). Тогда:

AM = b sin (из прямоугольного треугольника AM C);

CM = b cos (из того же треугольника);

Теперь по теореме Пифагора После упрощений, которые предоставляем вам провести самостоятельно, получаем:

В некоторых учебниках этот признак имеет другой номер.

• Пусть угол тупой (рис. 14.1б). Тогда:

(мы воспользовались формулами приведения). Отсюда Получилось то же самое выражение, что и в первом случае;

тем самым для всех случаев мы доказали такую формулу:

Эта формула называется теоремой косинусов.

В нашем доказательстве мы не рассмотрели случай, когда угол прямой. В этом случае теорема косинусов также верна и, более того, была вам уже известна: если = 90, то cos = 0, и теорема косинусов приобретает вид c2 = a2 +b2, то есть сводится к обычной теореме Пифагора.

Итак, часть программы по переводу первого признака равенства треугольников на язык формул мы выполнили: формула для вычисления третьей стороны по двум сторонам и углу между ними у нас уже есть. Надо еще найти два оставшихся угла треугольника, при том что один из углов и все стороны мы уже знаем.

Собственно говоря, угол даже и не нужен: «третий признак равенства треугольников» гласит, что треугольник полностью определяется своими тремя сторонами1.

Стало быть, зададимся такой задачей: даны три стороны треугольника, найти его углы. Оказывается, ее решение дает та же теорема косинусов: надо только в формуле, выражающей эту теорему, выразить cos через a, b и c:

Вторая и третья формулы получаются аналогично первой.

В некоторых учебниках этот признак также идет под другим номером.

Мы нашли не сами углы, а только их косинусы, но углы треугольника этим полностью определяются: когда меняется от до 180 (то есть от 0 до радиан), значение cos изменяется от до 1, принимая каждое значение ровно один раз. Таким образом, можно записать:

Задача 14.1. В треугольнике со сторонами a, b и c против стороны c лежит угол. Докажите, что угол острый тогда и только тогда, когда a2 + b2 > c2, и тупой тогда и только тогда, когда a2 + b2 < c2.

С помощью теоремы косинусов легко получить формулу, выражающую длину медианы треугольника через длины его сторон.

С другой стороны, по теореме косинусов уже для всего треугольника ABC имеем Подставляя это в предыдущую формулу, получим (после упрощений) вот что:

В треугольнике со сторонами a, b и c длина медианы, проведенной к стороне a, равна В задаче 14.4 мы предложим другой способ вывода этой формулы.

Задача 14.2. Докажите что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Задача 14.3. Две стороны треугольника равны b и c, угол между ними равен. Докажите, что длина медианы, проведенной к третьей стороне, равна 1 b2 + c2 + 2bc cos.

Указание. Достройте треугольник до параллелограмма.

Задача 14.4. Используя результат задачи 14.2, дайте новое доказательство формулы, выражающей медиану треугольника через три его стороны.

Задача 14.5. В треугольнике ABC даны стороны AB = c, BC = = a, AC = b. Точка M выбрана на стороне BC таким образом, что BM/M C = 1/2. Найдите длину отрезка AM.

§ 15. Вокруг площади треугольника Пусть опять в треугольнике известны стороны a и b и угол между ними. Выразим через эти данные — которые полностью определяют треугольник — его площадь. Для этого опустим из вершины A высоту AM BC (рис. 15.1а); пусть AM = h. Как известно, площадь треугольника равна ah/2.

С другой стороны, если угол острый, то из прямоугольного треугольника AM C находим, что h = b sin (рис. 15.1а); если же угол тупой (рис. 15.1б), то из треугольника AM C опять же получаем h = b sin(180 ) = b sin. Стало быть, в любом случае площадь равна 1 ah = 1 ab sin.

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Мы пропустили случай, когда угол прямой. В этом случае sin = 1, и формула принимает вид S = 2 ab, что, очевидно, справедливо.

Задача 15.1. Докажите, что площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Задача 15.2. Диагонали четырехугольника делят его на четыре треугольника, площади которых равны S1, S2, S3 и S4 (рис. 15.2).

Докажите, что S1 S3 = S2 S4.

мулой sin = 1 cos2 (для произвольных, как вы помните, в правой части может стоять минус, но если — угол в пределах от 0 до 180, то sin 0, так что в этом случае минус не нужен).

Подставляя все это в нашу формулу для площади треугольника, получим вот что (S — площадь треугольника):

Это выражение можно преобразовать к более приятному виду.

Для этого обозначим буквой p величину (a+b+c)/2 (p — половина периметра треугольника, коротко — полупериметр). Тогда после упрощений получим:

Площадь треугольника со сторонами a, b и c равна Эта формула называется формулой Герона.

Задача 15.3. Проведите преобразования, с помощью которых из нашей формулы для площади получается формула Герона.

Существует полезная формула, связывающая площадь треугольника с радиусом вписанной в него окружности. Именно, пусть O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC со сторонами AB = c, BC = a, CA = b, r — ее радиус. Расстояние от O до каждой из сторон треугольника равно, очевидно, r (рис. 15.3).

Поэтому, если разбить наш треугольник на треугольники AOB, BOC и COA, то высоты, опущенные в них из точки O, все равны r; следовательно, площади этих треугольников равны cr/2, ar/ и br/2, а площадь всего треугольника ABC равна cr/2 + ar/2 + br/2 = (a + b + c)/2 · r = pr, где p — полупериметр. Словами:

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности.

Задача 15.4. Даны стороны a, b, c треугольника. Найдите:

а) радиус вписанной окружности;

б) высоту, опущенную на сторону a.

Задача 15.5. Пусть стороны треугольника равны a, b, c. Найдите радиус окружности, касающейся стороны a и продолжений сторон b и c. (Окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон, называется вневписанРис. 15.4.

Мы уже умеем находить медианы, площадь, высоты и радиус вписанной окружности треугольника по его трем сторонам (или по двум сторонам и углу между ними).

Теорема. Если AM — биссектриса угла A в треугольнике ABC Рис. 15.5. Теорема о биссекрис. 15.5), то BM/CM = AB/AC. трисе.

Словами эту теорему можно сформулировать так: «биссектриса угла в треугольнике делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам».

Проще всего доказать эту теорему, используя площади. Именно, обозначим AB = c, AC = b, AM = l, BAC =, BM = x, CM = y. Биссектриса AM делит треугольник ABC на два: ABM и ACM. Найдем двумя способами отношение их площадей. Треугольники ABM и ACM имеют общую высоту h, поэтому их площади пропорциональны основаниям:

С другой стороны, так как AM — биссектриса, то BAM = CAM = /2.

Пользуясь нашей формулой для площади, получаем:

Сопоставляя два выражения для отношения площадей треугольников ABM и ACM, получаем, что x/y = c/b, или BM/CM = = AB/CB, что и утверждалось.

Задача 15.6. а) В треугольнике со сторонами AB = c, BC = a, CA = b проведена биссектриса AM угла A. Чему равны отрезки BM и M C?

б) В каком отношении точка пересечения биссектрис делит биссектрису угла A этого же треугольника?

Задача 15.7. Стороны треугольника равны 7, 8 и 12. Найдите длину биссектрисы1, проведенной к стороне длиной 12.

Замечание для педантов: под длиной биссектрисы в треугольнике понимают длину отрезка биссектрисы от вершины угла до пересечения с противоположной стороной.

Задача 15.8. В треугольнике биссектриса угла между сторонами длиной a и b имеет длину l и делит противоположную сторону на отрезки длиной x и y. Докажите формулу: l2 = ab xy.

Задача 15.9. В треугольнике ABC биссектриса угла, смежного к углу BAC, пересекает прямую BC в точке M (рис. 15.6). Докажите, что M B/M C = AB/AC.

Задача 15.10. Высоты треугольника равны 2, 3 и 4. Найдите углы этого треугольника.

§ 16. Теорема синусов Мы уже перевели на язык формул первый и третий признаки равенства треугольников (то есть мы можем восстановить все элементы треугольника, если даны две его стороны и угол между будут соответствовать второму признаку равенства треугольников, который гласит, что треугольник полностью определяется стороной и двумя и опустим из C высоту h на сторону AB (рис. 16.1). Тогда h = a sin (независимо от того, будет ли чертеж таким, как на рисунке, или же угол будет тупым или прямым). Точно так же можно записать равенство h = b sin. Значит, a sin = b sin, откуда, деля обе части на sin sin, получаем равенство a/ sin = b/ sin :

отношение длины стороны к синусу противолежащего угла будет одно и то же для стороны a и стороны b. Однако то же самое можно сделать и для любых двух сторон, так что эти отношения для всех трех сторон равны. Получилось у нас вот что:

Теорема синусов (предварительная форма). Если в треугольнике против сторон a, b, c лежат углы,, соответственно, Задача 16.1. К стороне a треугольника прилегают углы и.

а) Найдите остальные стороны и углы этого треугольника.

б) Найдите площадь этого треугольника.

В теореме синусов в том виде, ли, что отношения сторон к синусам противолежащих им углов равны между собой, но чему же именно равны эти отношения? Чтобы ответить на этот вопрос, вспомним коечто из геометрии.

Для начала вспомним, как связаны угловая величина дуги и длина стягиваемой ей хорды. Из равнобедренного треугольника ABO на рис. 16.2 видно, что если дуга AB имеет угловую величину, а радиус окружности равен R, то AB = 2 · AM = 2R sin(/2) (на рисунке дуга занимает меньшую из двух половин окружности, но величина дуги, дополняющей дугу AB до полной окружности, равна = 360 и sin(/2) = sin(180 /2) = sin(/2), так что формулой можно пользоваться для любых дуг).

Второй факт из геометрии, который нам понадобится, — это теорема о вписанном угле. Пусть на окружности даны дуга AB и точка M, не лежащая на ней (рис. 16.3а), тогда угол AM B называется вписанным углом1, опирающимся на дугу AB. Теорема о Если дуга AB больше половины окружности, угол AM B становится больше 180, что нынешние учебники запрещают. Мы опускаем необходимые уточнения.

вписанном угле гласит, что величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается. Из этой теоремы следует, в частности, что величина угла AM B, где точки A, M, B лежат на одной окружности, полностью определяется дугой AB и не зависит от положения точки M вне дуги AB: на рис. 16.3б углы AM1 B, AM2 B, AM3 B, и т. д. равны.

теорема о вписанном угле, мы можем наконец уточнить теорему синусов. Именно, рассмотрим треугольник ABC с углами A =, BC = a, CA = b, и опишем около него окружность. Радиус окружности обозначим через R треугольника ABC. Подставляя эти равенства в выражение для BC, получаем, что a = 2R sin, или a/ sin = 2R. Проделывая то же для двух других сторон, получаем:

Если в треугольнике против сторон a, b, c лежат углы,, соответственно, то где R — радиус окружности, описанной около треугольника.

Задача 16.2. Треугольник с углами,, вписан в окружность радиуса R. Найдите площадь треугольника.

Задача 16.3. а) Докажите, что площадь треугольника со сторонами a, b и c, вписанного в окружность радиуса R, равна abc/4R.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами a, b и c.

Задача 16.4. Сторона квадрата ABCD равна a. Найдите радиус окружности, проходящей через вершину A, центр квадрата и середину стороны BC.

Задача 16.5. В окружности проведены три хорды, каждая из которых пересекается с двумя другими. Каждая из этих хорд делится точками пересечения на три отрезка равной длины a. Найдите радиус окружности.

Задача 16.6. Диагонали разбивают выпуклый четырехугольник на четыре треугольника. Радиусы окружностей, описанных около этих треугольников, одинаковы и равны R. Найдите стороны четырехугольника.

Задача 16.7. В круг радиуса R вписана трапеция, основания которой видны из центра под углами и. Найдите площадь трапеции.

Задача 16.8. Диагонали трапеции, вписанной в круг радиуса R, образуют с ее боковыми сторонами углы и 2. Найдите площадь трапеции.

Задача 16.9. Вокруг треугольника ABC со стороной BC = a и углами ABC = и ACB =, описана окружность. Биссектриса угла A пересекает окружность в точке K. Найдите длину хорды AK.

Задача 16.10. Внутри угла величины лежит точка, находящаяся на расстояниях m и n от сторон угла. Найдите ее расстояние от вершины угла.

Глава Формулы сложения и их следствия § 17. Векторы Повторить: Свойства параллелограмма.

Прямоугольные координаты на плоскости (по любому пособию).

17.1. Направленные отрезки и векторы Чтобы как следует понять важный раздел тригонометрии, которому посвящена эта глава, нам придется познакомиться с векторами на плоскости.

Давайте рассматривать отрезки, у которых один из концов назван началом отрезка (а дру-   гой так и остался концом). Такие отрезки называются направленными отрезками. На черРис. 17.1.

тежах их принято изображать в виде стрелки, идущей от начала отрезка к его концу. Направленный отрезок с началом A и концом B обозначается AB.

Главное отличие направленных отрезков от обычных — это то, в каких случаях два направленных отрезка считаются равными.

Если обычные отрезки равны в том случае, когда равны их длины, то для направленных отрезков мы будем учитывать еще и направление. Именно:

Определение. Два направленных отрезка AB и CD считаются равными, если:

1) Равны их длины, т. е. AB = CD;

2) Прямые AB и CD параллельны (или совпадают), и при этом отрезки AB и CD направлены в одну сторону.

Например, на рис. 17.2 длины направленных отрезков AB, CD, KL, P Q и M N равны друг другу; тем не менее верны только равенства AB = CD = KL; направленные отрезки P Q и M N не равны друг другу и этим трем (P Q хоть и лежит на прямой, параллельной AB, но направлен в сторону, противоположную AB).

(Вспомним, что четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда Рис. 17.3. две его стороны равны и параллельны.) Обратите внимание, что вершины параллелограмма идут в порядке ABDC: именно это обеспечивает выполнение того условия, что направленные отрезки AB и CD направлены в одну сторону, а не в противоположные.

Рис. 17.4. Координаты направленного отрезка.

Предположим теперь, что на плоскости задана система координат. Тогда можно определить, что такое координаты направленного отрезка.

По определению, координаты направленного отрезка получаются, если из координат его конца вычесть координаты начала.

Точнее говоря:

Если точка A имеет координаты (x1 ; y1 ), а точка B имеет координаты (x2 ; y2 ), то координатами направленного отрезка AB называется пара чисел (x2 x1 ; y2 y1 ).

В частности, если начало направленного отрезка OA совпадает с началом координат, то координаты OA — не что иное, как координаты точки A.

Геометрически можно представить координаты направленного отрезка так: проведем через его концы прямые, параллельные осям координат (рис. 17.4). Вместе с самим отрезком эти прямые ограничивают прямоугольный треугольник (AM B на рисунке)1.

Координаты AB — это длины катетов этого треугольника, взятые с подходящим знаком («плюс», если при движении по катетам треугольника из начала в конец отрезка мы движемся в том же направлении, куда указывает соответствующая ось координат, и «минус» в противном случае).

Если отрезок AB параллелен одной из осей, этот «треугольник» будет отрезком.

Можно еще сказать, что координаты направленного отрезка AB — это числа, указывающие, на какие расстояния надо сдвинуться вдоль осей координат, чтобы попасть из A в B.

Главное свойство координат направленного отрезка таково:

Направленные отрезки равны тогда и только тогда, когда равны их координаты.

и BAM = DCN : первое равенство — это часть определения направленных отрезков, второе вытекает из того, что AB CD и AM Рис. 17.5. CN. Значит, прямоугольные треугольники ABM и CDN равны, стало быть, равны и их катеты: AM = CN, BM = DN. А катеты этих треугольников — это и есть координаты AB и CD.

Напротив, пусть нам известно, что у направленных отрезков AB и CD равны координаты. Тогда, построив те же треугольники ABM и CDN, получаем, что они равны (по двум катетам), откуда BAM = DCN ; так как AM CN, из этого следует, что AB CD.

С формальной точки зрения наши рассуждения неполны: например, из равенства направленных отрезков мы вывели лишь равенство абсолютных величин их координат, ни словом не обмолвившись об их знаках. Это — неизбежное следствие того, что в определении равенства направленных отрезков мы пользовались наглядно очевидным, но не определенным формально понятием «отрезки направлены в одну сторону». Давайте сформулируем определение равенства направленных отрезков более строго.

Для случая, когда отрезки AB и CD не лежат на одной прямой, равенство AB = CD равносильно, как мы знаем, тому, что ABDC — параллелограмм. Однако четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда его диагонали в точке пересечения делятся пополам, поэтому определение можно сформулировать еще и так:

AB = CD если и только если середины отрезков AD и BC совпадают.

В таком виде это определение имеет смысл и в том случае, когда точки A, B, C и D лежат на одной прямой; легко убедиться, что и в этом случае оно равносильно нашему исходному определению. Такое определение равенства направленных отрезков уже безупречно с формальной точки зрения.

С помощью нового определения легко дать аккуратное доказательство того факта, что равенство направленных отрезков равносильно равенству их координат. В самом деле, пусть точки A, B, C, D имеют координаты соответственно (a1 ; a2 ), (b1 ; b2 ), (c1 ; c2 ), (d1 ; d2 ). Так как координаты середины отрезка являются полусуммами координат его концов, равенство AB = CD (то есть, по нашему определению, совпадение середин отрезков AD и BC) равносильно равенствам Эти равенства, в свою очередь, равносильны равенствам b1 a1 = d1 c1, b2 a2 = d2 c2, то есть равенству координат AB и CD.

Задача 17.1. Точки M, N и P таковы, что координаты направленного отрезка M N равны (10; 14), а координаты направленного отрезка N P равны (6; 26). Найдите координаты направленного отрезка M P.

Задача 17.2. Докажите, что длина направленного отрезка с координатами (x; y) равна x2 + y 2.

Указание. Воспользуйтесь формулой, выражающей расстояние между точками через их координаты, или теоремой Пифагора.

Задача 17.3. Рассмотрим на плоскости наряду с той системой координат OXY, которая у нас уже есть (назовем ее «системой координат номер 1»), еще две следующие системы координат (рис. 17.6):

Система координат номер 2. Ее начало координат O имеет в системе номер 1 координаты (3; 2), а оси O X и O Y параллельны осям OX и OY и направлены в ту же сторону.

Система координат номер 3. Ее начало координат совпадает с O, а оси OX и OY повернуты на 45 в положительном направлении относительно осей OX и OY.

Пусть направленный отрезок имеет в системе координат номер 1 координаты (1; 1). Каковы будут его координаты: а) в системе номер 2? б) в системе номер 3?

Указание. Так как равные направленные отрезки имеют равные координаты, удобно рассмотреть равный данному направленный отрезок, имеющий своим началом точку O.

В тех случаях, когда все равно, о котором из равных направленных отрезков идет речь (в трех последних задачах так и было), направленные отрезки часто называют векторами.

Например, на рис. 17.2 изображено 5 различных направленных отрезков, но всего 3 различных вектора. Так как с точностью до равенства направленный отрезок полностью определяется координатами, для задания вектора не обязательно рисовать направленный отрезок: если есть система координат, то достаточно указать координаты, и вектор будет полностью определен.

В большинстве интересных задач, в которых встречаются направленные отрезки, равные направленные отрезки взаимозаменяемы, так что обычно предпочитают говорить именно о векторах, а не о направленных отрезках.

Наряду с векторами, соответствующими настоящим отрезкам, рассматривают еще «нулевой вектор», имеющий координаты (0; 0).

Можно сказать, что нулевой вектор соответствует любому из «отрезков» AA, у которого начало и конец совпадают. Как мы вскоре увидим, нулевой вектор играет роль, аналогичную роли нуля среди чисел.

Обозначать векторы можно так же, как и направленные отрезки; кроме того, иногда их обозначают латинскими буквами с черточкой сверху, например a. Можно также в качестве обозначения вектора записать его координаты: если вектор a имеет координаты (x; y), пишем a = (x; y). Нулевой вектор обозначается 0 или (0; 0). Длина вектора a обозначается |a|.

И еще одна особенность терминологии: если про направленные отрезки говорят «отрезки параллельны», то векторы принято называть не «параллельными», а «коллинеарными».

Задача 17.4. Рассмотрим всевозможные векторы вида AB, где A и B — две вершины данного правильного шестиугольника. Сколько среди этих векторов различных?

Если нам даны вектор a и точка M, то a = M N (рис. 17.7). В этом случае говорят, от точки M. Говорят также, что точка N получена из точки M переносом на вектор a.

Задача 17.5. Каждую точку квадрата с вершинами (1; 0), (0; 1), (1; 0), (0; 1) подвергли переносу на вектор (1; 2). Изобразите фигуру, которая при этом получилась.

17.2. Сложение векторов С векторами можно производить различные действия, немного похожие на арифметические действия с числами. Сначала мы научимся векторы складывать.

Пусть нам даны векторы a и b. Чтобы их тор M N = a; от конца этого вектора отложим   называется вектор M P. Сумма векторов a и b обозначается a + b — так же, как сумма чисел.

Вкратце наше определение сложения векРис. 17.8.

торов можно записать так: