[ Семинар № 7
Модели динамики популяций
• Модель Мальтуса
• Модель Ферхюльста
• Модели Моно и Базыкина
• Модели с запаздыванием
• Возрастное распределение
• Модель смертности
Где применяется
Главное отличие от физики и химии – изменение
численности объектов, составляющих систему.
Области применения математических моделей динамики
популяций:
•Микробиология (количество органелл клетки)
•Санитария (распространение патогенных бактерий) •Медицина (раковые опухоли, распространение инфекций, рост и дифференцирование тканей) •Экология (борьба с вредителями, сохранение видов) •Экономика (рост трудовых ресурсов, миграция, планирование социальных программ по рождаемости, продлению жизни и пенсионному страхованию) •Страхование жизни (оценка рисков) Определения Население — непрерывно возобновляющаяся в процессе воспроизводства совокупность людей, живущих на Земле в целом или в пределах какой-либо её части (стране, части страны, группе стран и т. п.).
Численность населения — один из демографических показателей. В общем случае — число людей в определенной их совокупности (регион и т. п.).
Постоянно изменяется вследствие рождений, смертей, миграции, измеряется и оценивается по состоянию на определенный момент времени.
Рост населения Земли •15 тыс. лет до н.э. — 3 млн. человек •2 тыс. лет до н.э. — 50 млн. человек •0 год н.э. — 230 млн. человек •в 1000 году — 275 млн. человек •в 1800 году — 1 млрд. человек •в 1900 году — 1,6 млрд. человек •в 1960 году — 3 млрд. человек •в 1993 году — 5,5 млрд. человек •в 2003 году — 6,3 млрд. человек •в 2011 году — 7,0 млрд. человек •Прогноз на 2050 год — 9 млрд. человек.
Факты Крупнейшие по численности народонаселения страны (январь 2012 год):
•Китай — 1 349,7 млн. (+0,493%) •Индия — 1 222,1 млн. (+1,344%) •США — 313,3 млн. (+0,963%) •Индонезия — 245,6 млн. (+1,213%) •Бразилия — 196,0 млн. (+1,134%) •Пакистан — 174,8 млн. (+1,573%) •Бангладеш — 162,2 млн. (+1,573%) •Нигерия — 154,0 млн. (+1,933%) •Россия — 143,0 млн. (-0,03%) •Япония — 127,0 млн. (-0,088%) Факты •Вплоть до 1970-х гг. численность населения мира росла по гиперболическому закону; в настоящее время наблюдается прогрессирующее замедление темпов роста населения Земли.
•В начале 2000-х гг. народонаселение мира ежегодно увеличивалось примерно на 90 млн.
человек.
•Географическое распределение народонаселения неравномерно: на 7 % суши живет 70 % человечества.
•В мире насчитывается свыше 2 тыс. народов (в России — более 100).
Показатели населения •численность и динамика численности •интенсивность демографических процессов:
рождаемость, смертность, естественный прирост, брачность •расселение, урбанизация, миграция •возрастно-половой состав и семейное состояние •уровень образования •расовый, языковой, этнический и религиозный состав Ряд Фибоначчи Леонардо из Пизы, более известный как Фибоначи (Leonardo Pisano, Fibonacci (сын Боначи), около 1170 — около 1250), — итальянский купец, рассмотревший идею так называемых чисел Фибоначчи и считающийся одним из самых значительных западных математиков средневековья.
"Некто выращивает кроликов в пространстве, со всех сторон обнесенном высокой стеной. Сколько пар кроликов рождается в один год от одной пары, если через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рожают кролики, начиная со второго месяца после своего рождения.".
Томас Роберт Мальтус (англ. Thomas Robert Malthus, 1766-1834) — английский священник и учёный, демограф и экономист В 1798 году он опубликовал свою книгу «Essay on the Principle of Population» («Опыт о законе народонаселения»).
Основные идеи «Опыта»:
•Если рост населения не задерживается какимилибо причинами, то население будет удваиваться каждые четверть века, и, следовательно, возрастать в геометрической прогрессии.
•В своей книге ученый впервые использовал категорию «борьба за существование», которая затем была использована биологом Ч. Дарвином в его «Происхождении видов»
r0 – постоянный темп роста численности однополой популяции (бактерий, клеток опухоли) при избытке ресурса.
где a – рождаемость, b – смертность Пусть ресурсы ограничены, k - емкость среды (какое максимальное количество особей могут прокормиться) Задача. Вылов рыбы в пруду.
Найти долю или количество рыбы, которую необходимо отлавливать из пруда, чтобы количество отлавливаемой рыбы было максимальным и постоянным. Изменение численности рыбы при отсутствии вылова описывается моделью Ферхюльста с параметрами r и k.
Вылов рыбы: v N стац Количество отлавливаемой рыбы:
Разнополая популяция Для разнополой популяции при неограниченных ресурсах скорость размножения популяции определяется числом встреч самцов и самок:
При большой плотности размножение лимитируется числом самок в популяции (модель Моно):
Смертность:
Слагаемые – обычная и внутривидовая конкуренция соответственно.
Модель Базыкина:
Система имеет 3 стационарные точки:
•N=0 и N=k (ёмкость среды) – устойчивые •N=L, 0 1/r (собственное время системы) могут возникать нарастающие колебания •При T < 1/r колебания затухают.
Пример: у саранчи время развития от яйца до взрослой особи больше времени естественной смертности -> периодически возникают «вспышки» численности.
При этом амплитуда “вспышки” пропорциональна интервалу между вспышками ( “регулярный хаос“) Для простоты рассмотрим упрощенную модель Морана:
Возможны следующие варианты :
• r < 1 – численность стремится к устойчивому равновесию • 1< r < 2,570 – устойчивые циклы, по мере увеличения длина цикла растет, и значения численности повторяются через 2, 4, 8, …, 2n поколений • r > 2,570 – хаотизация решений Типы динамики численности в модели популяции с неперекрывающимися поколениями при разных значениях собственной скорости роста:
•а - затухающие колебания;
•б - монотонный рост;
•в - двухточечный цикл;
•г - четырехточечный цикл;
•д, е - квазистохастическое поведение.
Точка бифуркации – качественная перестройка системы c возникновением нового режима ее поведения. Вхождение системы в непредсказуемый режим описывается каскадом бифуркаций, следующих одна за другой.
Распределение по возрасту Дискретные возрастные модели, в которых популяция делится на конечное число возрастных групп, описываются системой разностных уравнений Лесли:
где x - вектор численности возрастных групп, а L матрица вероятностей перехода.
Вид матрицы перехода:
Двухвозрастная модель Предельный случай: n = 2 – двухвозрастная модель Степановой T1 – среднее время созревания “молодой” клетки T2 – среднее время пребывания “старой” клетки в детородном периоде Непрерывное распределение Предельный случай: n – модель МакКендрикафон Ферстера.
При T Tкр Прогноз – стабилизация численности населения Земли на 11-14 млрд. человек.
«