[ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«НОВОСИБИРСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
(НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ, НГУ)
Утверждаю:
«_»201г.
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
Рабочая программа дисциплиныДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Направление подготовки 010200 – «Математика и компьютерные науки»Квалификация (степень) Бакалавр Форма обучения Очная Новосибирск – 2014 год Аннотация рабочей программы Дисциплина «Дифференциальные уравнения» входит в Базовую часть Профессионального цикла ООП по направлениям подготовки 010200 – «Математика и компьютерные науки», все профили подготовки. Дисциплина реализуется на Механикоматематическом факультете Новосибирского государственного университета кафедрой Дифференциальных уравнений ММФ НГУ.
Курс «Дифференциальные уравнения», с одной стороны, является общематематической дисциплиной, а с другой стороны выступает как продолжение и дополнение к курсу математического анализа. Дисциплина «Дифференциальные уравнения» предназначена для подготовки в области динамических систем и обучения навыкам использования этих знаний в дальнейшей исследовательской работе. Она является основной для дальнейшего изучения таких разделов математики, как уравнения математической физики, функциональный анализ, вычислительная математика. С другой стороны, хорошие знания по этому курсу необходимы студентам, изучающим теоретическую механику, механику сплошных сред и т.д.
Дисциплина нацелена на формирование общекультурных компетенций ОК-7, ОКОК-14, ОК-15 и профессиональных компетенций ПК-2 – ПК-10, ПК-13, ПК-14, ПКПК-26, ПК-27 и ПК-29.
В первой часть курса целенаправленно используется понятие матричной экспоненты при изучении задачи Коши и краевых задач для линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Вторая часть курса предназначена для подготовки в области теории бифуркаций периодических решений.
Преподавание дисциплины предусматривает следующие формы организации учебного процесса: лекции, практические занятия, контрольные работы, коллоквиумы, самостоятельная работа студента. Программой дисциплины предусмотрены следующие виды контроля: зачет (в конце 3-го семестра) и экзамен (в конце 4-го семестра). В течение каждого семестра выполняются контрольные работы (не реже одного раза в месяц) и принимаются коллоквиумы (1-2 коллоквиума в семестр).
Общая трудоемкость дисциплины составляет зачетных единиц, 7 академических часов (из них 136 аудиторных). Программой дисциплины предусмотрены 36 часов лекционных и 36 часов практических занятий в 3 семестре и 32 часа лекционных и 32 часа практических занятий в 4 семестре. Остальное время – различные виды самостоятельной работы, зачет и экзамен.
1. Цели освоения дисциплины Курс «Дифференциальные уравнения» предназначен для студентов второго курса механико-математического факультета университета. Основной целью освоения дисциплины является изучение студентами основ теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Для достижения поставленной цели выделяются следующие задачи: познакомить слушателей с основными понятиями и методами теории дифференциальных уравнений, дать представление о современном состоянии и развитии этой науки, в практической части курса сформировать у студентов навыки работы с методами качественного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений и простейших уравнений с частными производными. По окончании изучения указанной дисциплины студент должен овладеть основными понятиями и методами теории, научиться применять их при решении конкретных задач, уметь находить решения задач Коши и краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и уравнений высокого порядка, исследовать устойчивость решений по Ляпунову, решать простейшие нелинейные уравнения и уравнения с частными производными первого порядка, ознакомиться с теорией бифуркаций коразмерности один, в частности, с бифуркацией Пуанкаре-Андронова-Хопфа.
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата Профессионального цикла ООП по направлению подготовки 010200 – «Математика и компьютерные науки», все профили подготовки.
дисциплины данной ООП:
Математический анализ (теория пределов, ряды, дифференцирование, интеграл параметризация).
Результаты освоения дисциплины используются в следующих дисциплинах:
Уравнения в частных производных;
Теория функций комплексного переменного;
Функциональный анализ;
Вычислительная математика;
Теоретическая механика;
Механика сплошных сред.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины:
общекультурные компетенции: ОК-7, ОК-10, ОК-14, ОК-15;
профессиональные компетенции: ПК-2 – ПК-10, ПК-13, ПК-14, ПК-16, ПК-26, В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
иметь представление о месте и роли изучаемой дисциплины среди других наук;
знать основные положения теоретических разделов курса, их прикладное уметь применять полученные знания для решения математических задач;
дифференциальных уравнений.
4. Структура и содержание дисциплины Общая трудоемкость дисциплины составляет 7 зачетных единиц, 252 часов.
п/п 1 Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Матричная экспонента.
дифференциальных уравнений.
Векторно-матричные обозначения.
Согласованные нормы векторов и представление решения. Свойства матричной экспоненты.
1.2 Задача Коши для систем линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Существование и единственность решения задачи Коши. Непрерывная зависимость решения от начальных данных и коэффициентов системы.
Формула Лиувилля.
матричной экспоненты. Простейшая оценка матричной экспоненты.
коэффициентами, зависящими от Шилова.
на основе приведения матриц к жордановой форме.
2 Краевые задачи. Матрица Грина.
(вронскиан). Формула Лиувилля.
Задача Коши для уравнения высокого порядка. Матрица Грамма.
единственность матрицы Грина.
системы уравнений. Априорная оценка. Решение неоднородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами со специальными правыми частями. Решение задачи разрешимости краевой задачи.
отрезке. Представление решения с помощью матрицы Грина. Краевая задача на отрезке для уравнения второго порядка, функция Грина.
3 Квадратичные функции Ляпунова Устойчивость нулевого решения системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Пример Винограда для линейных коэффициентами.
Разрешимость матричного уравнения Ляпунова.
Двусторонняя оценка стремления к нулю решений линейных систем.
в целом решения векторного дифференциально уравнения.
приближению. Теоремы Ляпунова и Четаева о неустойчивости.
портретов систем на плоскости Классы подобия действительных 2x канонических систем обыкновенных дифференциальных уравнений на плоскости. Параметрический портрет линейной системы двух уравнений.
5 Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.
Теория Флоке дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.
Существование и единственность решения задачи Коши для систем неоднородных уравнений. Основные постоянных.
коэффициентами. Теория Флоке.
Устойчивость решений линейных коэффициентами.
6 Нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения.
решения нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.
обыкновенного дифференциального уравнения. Доказательство теоремы существования и единственности:
Теорема Пикара.
зависимость решений от параметра.
Теорема о продолжении решения.
Тихонова.
7 Общая теория периодических решений.
решения для одного обыкновенного дифференциального уравнения с периодической правой частью.
обыкновенных дифференциальных уравнений. Лемма Адамара.
решений для систем автономных дифференциальных уравнений.
Формулировка теоремы Брауэра о неподвижной точке. Точки входа (выхода) из области по отношению к системе уравнений. Топологический принцип Важевского.
периодического решения.
периодического решения для систем второго порядка.
задачи к алгебраической. Условие периодичности. Теорема АндроноваХопфа о рождении периодического решения из стационарной точки.
параметром. Уравнение Ван дер производными первого порядка.
производными первого порядка.
обыкновенных дифференциальных уравнений. Независимые первые интегралы.
частными производными первого Представление общего решения линейного однородного уравнения с частными производными. Задача частными производными первого порядка.
5. Образовательные технологии Традиционная лекционно-семинарская система обучения.
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины 6.1. Перечень заданий для самостоятельной работы:
1. Докажите неравенства Куранта Здесь A( A ) эрмитова матрица, min ( A) и max ( A) наименьшее и наибольшее собственные значения матрицы A.
2. Найдите такие векторы y, на которых достигаются равенства в левом и правом неравенствах Куранта A max( A Ay y) операторная норма матрицы A, 4. Докажите неравенство Am A m где A – квадратная матрица и m 0 целое число.
5. Докажите неравенство Ay A y, где A квадратная матрица порядка N и y произвольный вектор из RN.
6. Докажите, что A 0 A 0N. Здесь A квадратная матрица порядка N, 0 N нулевая матрица порядка N.
7. Построить векторный ряд для решения задачи Коши для системы y Ay где 8. Построить векторный ряд для решения системы y Ay где 9. Доказать равномерную сходимость следующих рядов для t T :
где y0 - постоянный вектор, A - матрица порядка N с постоянными коэффициентами.
11. Докажите, что для любых квадратных матриц A и B справедливо неравенство 12. Покажите, что {e 13. Рассмотрим матричные полиномы P( A) pk Ak Q( A) qk Ak где pi для i 0 k и q j для j 0 l некоторые постоянные. Покажите, что 14. Докажите, что для любой матрицы A (aij ) выполнено неравенство aij A 15. Доказать, что произведение двух верхних треугольных матриц будет снова верхней треугольной матрицей. Вывести отсюда утверждение, что матричная экспонента etA для любой верхней треугольной матрицы A будет тоже верхней треугольной матрицей.
дается формулой X (t ) Ce Bt Пусть имеется решение y(t ) et (tu v). Что можно сказать о показателе и векторах u и v, если u и v непропорциональны?
дается формулой X (t ) e At Ce Bt имеет некратные корни 1 2 N, среди которых есть пара комплексно сопряженных ( j j 1 j ), то в фундаментальной системе решений можно комплексные экспоненты e j и e j заменить парой вещественных решений 20. Постройте для уравнения с вещественными коэффициентами и комплексными корнями вещественную фундаментальную систему, в случае, если среди корней есть кратные.
21. Покажите, что для уравнения с вещественными коэффициентами совокупность образует фундаментальную систему решений, где числа i являются корнями 22. Докажите, что матричная экспонента etA непрерывно зависит от матрицы A.
23. Пусть дана система обыкновенных дифференциальных уравнений y A(t ) y с непрерывными коэффициентами на отрезке [0 T ]. Известно, что на [0 T ] выполнено неравенство max ( A A ) 0. Предполагая, что на [0 T ] существуют решение задачи 24. Известно, что для любого решения задачи Коши выполнено равенство y (t ) y0. Показать, что это справедливо в том и только том случае, когда B B ( B постоянная матрица).
25. Показать, что решение матричного уравнения дается равенством X (t ) e Ce 26. Покажите, что задача Коши y y1/3 y(0) 0 t 0, имеет решение y(t ) (2t / 3). Докажите, что решение этой задачи Коши не единственно.
27. Убедитесь, что все решения задачи Коши для системы уравнений стремятся к точке (0,0) при t 28. Докажите, что любая фундаментальная матрица Y (t ) системы y A(t ) y может быть получена из любой другой Y (t ) умножением справа на некоторую невырожденную матрицу B.
то краевая задача y A(t ) y Ly (a) 0 Ry (b) 0 на отрезке [a,b] имеет только нулевое решение. Здесь Y(t) – фундаментальная матрица решений системы 30. Доказать, что все нули решения уравнения y Q( x) y 0 являются изолированными точками.
31. Для системы двух нелинейных уравнений найти положения равновесия и исследовать их устойчивость по Ляпунову.
32. Найти решение следующей задачи Коши:
33. Найти решение задачи Коши 34. Показать, что в следующих системах при = 0 происходит бифуркация Андронова-Хопфа в стационарной точке (0,0).
6.2. Пример контрольной работы:
1. Найти производную решения задачи Коши по параметру 2. При каких a R стационарное решение ( xs, ys ) (0,0) системы уравнений (1) асимптотически устойчиво? (2) устойчиво, но не асимптотически?
(3) неустойчиво?
3. Для нелинейного дифференциального уравнения x ' x sin 2 x найти все стационарные точки и исследовать их устойчивость.
4. Пусть y R и f C1. Рассмотрим задачу Коши y ' f ( x, y ), y( x0 ) y0. Доказать, что производная решения по параметру 6.3. Примеры экзаменационных билетов:
Экзаменационный билет № 1.
1. Полиномиальное представление матричной экспоненты. Простейшая оценка матричной экспоненты. Матричная экспонента как полином от А с коэффициентами, зависящими от t. Оценка Гельфанда-Шилова для матричной экспоненты Экзаменационный билет № 2.
1. Точки входа (выхода) из области по отношению к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Топологический принцип Важевского.
При каких вещественных значениях параметра разрешимо матричное уравнение Ляпунова HA A * H I ? При каких решение H положительно определено?
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины а) основная литература:
1. С. К. Годунов, Обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Том 1: Краевые задачи. Учебное пособие. Новосибирск: НГУ, 2. А. Ф. Филиппов, Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.: ЛКИ, 2011.
3. С. К. Годунов и др. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям.
4. Г. А. Чумаков, Н. А. Чумакова. Нелинейная динамика, бифуркации и хаос. I.
Введение. Учебное пособие. Новосибирск: НГУ, 2006.
5. И. Г. Петровский, Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Либрокомhttp://www.ozon.ru/brand/857102/, 2009.
6. В. И. Дмитриев, Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.:
7. Л. Э. Эльсгольц, Дифференциальные уравнения: Учебник. Изд. 6-е. М.:
УРССhttp://www.ozon.ru/brand/857102/, 2010.
б) дополнительная литература:
1. K. O. Friedrichs, Advanced Ordinary Differential Equations. New York: Courant Institute of Math. Sciences, 1961.
2. Ф. Хартман, Обыкновенные дифференциальные уравения. М.: Мир, 1970.
дифференциальных уравнений. М.: МЦНМО, 2012.
4. Э. А. Коддингтон, Н. Левинсон, Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ЛКИ, 2010.
5. Д. Эрроусмит, К. Плейс, Обыкновенные дифференциальные уравения.
Качественная теория с приложениями. М.: Мир, 1986.
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины Доска, мел.
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению 010200 – «Математика и компьютерные науки», все профили подготовки.
Рецензент (ы) Программа одобрена на заседании от _ года, протокол №
«