[ «ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ Метод анализа иерархий Перевод с английского Р. Г. Вачнадзе Москва Радио и связь 1993 ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА Советскому читателю предлагается перевод книги известного американского ученого Томаса ...»
В терминах реберной связности величину связности графа можно измерить через минимальное число цепей, связывающих любую пару вершин, или через существующие простые циклы различных размеров. Цепи и циклы, с одной стороны, и разрезы – с другой, являются двумя дополнительными путями изучения связности и ее отсутствия. Даже вопросы планарности (построение графа на плоскости без пересечений ребер в точках, не являющихся вершинами) и непланарности графов относятся к связности. Уменьшая число ребер непланарного графа, его можно сделать планарным.
Существуют два подхода к изучению того, как вершины разделяют граф. Первый ассоциируется с понятием степени вершины. Например, если в дереве с вершиной степени два исключить ее вместе с инцидентными ей ребрами, то оставшийся граф будет несвязным. С другой стороны, если граф является простым циклом и, следовательно, любая вершина имеет степень два, исключение вершины не превратит граф в несвязный. Представляется допустимым тот факт, что чем выше степени вершин, тем сильнее будет связность. Однако выражение такого типа слишком общее и нуждается в уточнении в контексте конкретной проблемы.
Вершина графа называется точкой артикуляции, или разделяющей вершиной, если ее исключение делает граф несвязным. Кратность разделяющей вершины – это число компонент, на которые распался граф после ее удаления. Может существовать более чем одна вершина, являющаяся точкой артикуляции. Например, на рис.
П.1 v2 и v5 – точки артикуляции, v6 не является таковой. Набор точек артикуляции образует множество вершин артикуляции, которые в контексте коммуникационных сетей можно считать «узким местом» графа. Конечно, граф может не иметь точки артикуляции (такой граф называют несепарабельным), однако удаление одновременно k вершин делает его несвязным. Такое множество известно как множество артикуляции степени k.
Граф k -связный, 0 k n, если удаление k 1 или менее вершин не делает его несвязным. Любая пара вершин такого графа может быть соединена k параллельными цепями (из которых никакие две не имеют общих вершин). Граф, не имеющий множества артикуляции степени k, называется k -несводимым. В противном случае говорят, что граф k -сводимый.
До сих пор речь шла об общем ненаправленном графе. Вопросы связности несколько усложняются, если ребрам графа приписываются направления. Здесь граф может быть связным в ненаправленном смысле и может быть, но только слабо связным, в направленном смысле. Следовательно, возможен путь из одной вершины в другую, но не наоборот, т. е. граф – не сильно связный. Ясно, что циклы играют важную роль в сильно связных графах.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ackoff, R. L., S. K. Gupta and J. S. Minas: "Scientific Method," Wiley, 1962.2. Alexander, Joyce, and T. L. Saaty: The Forward and Backward Processes of Conflict Analysis, Behavioral Science, vol. 22, pp. 87-98, March 1977.
3. and : Stability Analysis of the Forward-Backward Process, Behavioral Science, vol. 22, pp. 375-382, November 1977.
4. Anderson, N. H.: Information Integration Theory: A Brief Survey, in D. H. Krantz, R. C. Atkinson, R. D. Luce, and P. Suppes (Eds.) Contemporary Developments in Mathematical Psychology, vol. II, Freeman, San Francisco, 1974.
5. Arrow, Kenneth J.: "Social Choice and Individual Values," Yale University Press, New 6. Ball, W. W. Rouse: "Mathematical Recreations and Essays," MacMillan, New York, 7. Batschelet, E.: "Mathematics for Life Scientists," Springer-Verlag, New York, 1973.
8. Bauer, Louis, H. B. Keller, and E. L. Reiss: Multiple Eigenvalues Lead to Secondary Bifurcation, Siam Rev., vol. 17, no. 1. January 1975.
9. Baumol, W.: "Business Behavior, Value and Growth," MacMillan, New York, 1959.
10. Bell, R. and R. Wagner: "Political Power," Free Press, New York, 1969.
11. Bellman, R. E. and L. A. Zadeh: "Decision-Making in a Fuzzy Environment," Management Sci., vol. 17, 1970.
12. Berge, C: "Theory of Graphs and Its Applications," Wiley, New York, 1962.
13. Blum, M. L. and Naylor, J. C: "Industrial Psychology – Its Theoretical and Social Foundations," Harper and Row, New York, 1968.
14. Bogart, Kenneth P.: Preference Structures I: Distances between Transitive Preference Relations, J. Math. Sociology, vol. 3, pp. 49-67, 1973.
15. : Preference Structures II: Distances between Transitive Preference Relations, (publication status unknown).
16. Bouteloup. Jacques: "L'Algebre Lineaire," Presses Universitaires de France, Paris, 17. : "Calcul Matriciel Elementaire," Presses Universitaires de France, Paris, 18. Bronson, Gordon: The Hierarchical Organization of the Central Nervous System, in "International Politics and Foreign Policy: A Reader in Research and Theory."
Rev. edn, James A. Rosenau (Ed.), Free Press, New York, 1969.
19. Buck, R. C. and D. L. Hull: The Logical Structure of the Linnaean Hierarchy, Systematic Zoology, vol. 15, pp. 97-111, 1966.
20. Carroll, J. Douglas: "Impact Scaling: Theory, Mathematical Model, and Estimation Procedures, " Bell Laboratories, Murray Hill, New Jersey, 1977.
21. Chipman, J.: The Foundations of Utility, Econometrica, vol. 28, no. 2, 1960.
22. Churchman, C. West and Philburn Ratoosh (Eds.): "Measurement – Definitions and Theories," Wiley, New York, 1959.
23. and H. B. Eisenberg: Deliberation and Judgment, Chapter 3, in M. W. Shelley II and G. L. Bryan (Eds.), "Human Judgments and Optimally," Wiley, New 24. Cliff, N.: Complete Orders from Incomplete Data: Interactive Ordering and Tailored Testing, Psychological Bull., vol. 82. no. 2, pp. 289-302, 1975.
25. Cogan, E. J., J. G. Kemeny, R. Z. Norman, J. L. Snell, and G. L. Thompson: "Modern Mathematical Methods and Models," vol. II, Committee on the Undergraduate Program, Mathematical Association of America, 1959.
26. Coombs, Clyde H.: "A Theory of Data," Wiley, New York, 1964.
27. David, H. A.: "The Method of Paired Comparisons," Griffin, London, 1969.
28. Dobson, Ricardo, T. F. Golob, and R. L. Gustafson: Multidimensional Scaling of Consumer Preferences for a Public Transportation System: An Application of Two Approaches, Socio-Economic Planning Science, vol. 8, pp. 23-36, 1974.
29. Duimage, A. L. and N. S. Mendelsohn: Graphs and Matrices, "Graph Theory and Theoretical Physics," Frank Harary (Ed.), Academic, pp. 167-227. New York, 30. Dyer, J. S.: An Empirical Investigation of a Man-Machine Interactive Approach to the Solution of the Multiple Criteria Problem, in "Multiple Criteria Decision Making," Cochrane James L., and Milan Zeleny, University of South Carolina Press, Columbia, S.C., 1973.
31. Eckart, Carl and Gale Young: The Approximation of One Matrix by Another of Lower Rank, Psychometrika, vol. 1, r.o. 3, pp. 211-217, September 1936.
32. Eckenrode, R. T.: Weighting Multiple Criteria, Management Sci., vol. 12. no. 3, pp. 180-192, November 1965.
33. Eisler, Hannes: The Connection Between Magnitude and Discrimination Scales and Direct and Indirect Scaling Methods, Psychometrika, vol. 30, no. 3. pp. 271September 1965.
34. Emshoff, J. R. and T. L. Saaty: Prioritized Hierarchies as a Vehicle for Long Range Planning. May 1978 (to appear) 35. Encarnation, J.: A Note on Lexicographical Preferences, Econometrica, vol. 32, 36. Farquhar, Peter H.: A Survey of Multiattribute Utility Theory and Applications, Studies in the Management Sciences, vol. 6, North-Holland Publishing, Amsterdam, 37. Fechner, G.: "Elements of Psychophysics," vol. 2, translated by Helmut E. Adler, Holt, Rinehart and Winston, New York, 1966.
38. Feller, W.: "An Introduction to Probability Theory and Its Applications," Wiley, New 39. Feraro, T.: "Introduction to Mathematical Sociology," Wiley, 1973.
40. Fishburn, P. C: "Decision and Value Theory," Wiley, New York, 1964.
41. : Independence in Utility Theory with Whole Product Set, Operations Research, vol. 13, pp. 28-45, 1965.
42. : Additive Utilities with Incomplete Product Set: Applications to Priorities and Assignments, Operations Research, 1967a.
43. : Methods of Estimating Additive Utilities, Management Sci., vol. 13, no. 7, 44. : Arrow's Impossibility Theorem: Concise Proof and Infinite Voters, J. Econ.
Theory, vol. 2. pp. 103-106, 1970.
45. : "Utility Theory for Decision Making," Wiley, New York, 1972.
46. : "Lexicographic Orders, Utilities and Decision Rules: A Survey," July 1974.
47. Fitz,.Raymond and Joanne Troha: "Interpretive Structural Modeling and Urban Planning," University of Dayton, 1977.
48. Franklin, Joel N.: "Matrix Theory," Prentice-Hall. Englewood Cliffs, N.J., 1968.
49. Frazer, R. A., W. J. Duncan, and A. R. Collar: "Elementary Matrices and some Applications to Dynamics and Differential Equations," Cambridge University Press, 50. Frobenius, G.: Uber Matrizcn aus nicht negativen Elementen, Sitzber. Akad. Wiss.
Berlin, Phys. Math. Kl., pp. 456-477, 1912.
51. Gal, T. and J. Nedoma: Multiparametric Linear Programming, Management Sci., 52. Gale, David: "The Theory of Linear Economic Models." McGraw-Hill, New York. 1960.
53. Gantmacher. F. R.: "Applications of the Theory of Matrices," lnterscience, New York, 54. Gardner, Martin: The hierarchy of Infinites and the Problems it Spawns, Scientific American, vol. 214, pp. 112-118, March 55. Geoffrion, A. M., J. S. Dyer, and A. Feinberg: An Interactive Approach for Multicriterion Optimization with an Application to the Operation of an Academic Department, Management Sci., vol. 19, no. 4. 1972.
56. Gillett, J. R.: The Football League Eigenvector. Eureka, October 1970.
57. Green, P. and F. Carmone, "Multidimensional Scaling and Related Techniques in Marketing Analysis," Allyn and Bacon, Boston, 1970/ 58. and Yoram Wind: "Multiattribute Decision in Marketing," Dryden, Hinsdale, III., 1973.
59. Guilford, J. P.: The Method of Paired Comparisons as a Psychometric Method, Psychological Rev., vol. 35, pp. 494-506. 1928.
60. Guttman, Louis: The Principal Components of Scalable Attitudes, in " Mathematical Thinking in the Social Sciences," Paul F. Lazarsfeld (Ed.), pp. 216-257, Russell 61. Hammond, K. R. and D. A. Summers: Cognitive Dependence on Linear and Nonlinear Cues, Psychological Rev., vol. 72, no. 3, pp. 215-224. 1965.
62. Harris, E. E.: Wholeness and Hierarchy, Chapter 7 in Foundations of Metaphysics in Science, Humanities Press, New York, 1965.
63. Herbst, Ph. G.: "Alternatives to Hierarchies," H. E. Stenfert Kroese b.v., Leiden, 64. Hildebrand, F. B.: "Methods of Applied Mathematics," Prentice-Hail Englewood Cliffs, 65. Hill, J. Douglas and John N. Warfield: Unified Program Planning, IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, vol. SMC-2, no. 5, pp. 610-621, November 66. Hirsch, G.: Logical Foundation, Analysis and Development of Multicriterion Methods, Ph.D. Thesis, Operations Research, University of Pennsylvania, 1976.
67. Hotelling, H.: Analysis of a Complex of Statistical Variables into Principal Components, J. Ed. Psychology, vol. 24, pp. 417-141, 498-520, 1933.
68. Huber, George P.: Multi-Attribute Utility Models: A Review of Field and Field-Like Studies, Management Sci., vol. 20, no. 10, June 1974.
69. Intriligator, Michael D.: A Probabilistic Model of Social Choice, Rev. of Economic Studies, vol. XL, pp. 553-560, October 1973.
70. Isaacson, Dean L. and Richard W. Madsen: "Markov Chains. Theory and Applications," a volume in the Series in Probability and Mathematical Statistics; Probability and Mathematical Section, Wiley, New York, 1976.
71. Johnson, Charles R., Theodore Wang, and William Beine: A Note on Right-Left Asymmetry in an Eigenvector Ranking Scheme, J. Math. Psychology, January 72. Johnson, Richard M.: "On a Theorem Stated by Eckart and Young," Psychometrika, vol. 28, no. 3, pp. 259-263, September 1963.
73. Johnson, Stephen C: Hierarchical Clustering Schemes, Psychometrika, vol. 32, pp. 241-254, September 1967.
74. Julien, Pierre-Andre, P. Lamonde, and D. Latouche: "La Methode Des Scenarios," University of Quebec and Ministere D'Etat Sciences et Technologie, Quebec, 75. Kahneman, Daniel and Amos Tversky: Subjective Probability: A Judgment of Representativeness, Cognitive Psychology, vol. 3, pp. 430-454, 1972.
76. and : Prospect Theory: An Analysis of Decision Under Risk, Econometrica, in publication.
77. Keeney, Ralph L.: Decision Analysis with Multiple Objectives: The Mexico City Airport, Bell J. Econ. Management Sci., Spring 1973.
78. and Craig W. Kirkwood: Group Decision Making Using Cardinal Social Welfare Functions, Management Sci., vol. 22, no. 4, December 1975.
79. and h. Raiffa: "Decisions with Multiple Objectives: Preference and Value Tradeoffs," Wiley, New York, 1976.
80. Keller, J. B.: Miscellanea, Factorization of Matrices by Least-Squares, Biometrika, 81. Kemeny, John G. and J. Laurie Snell: "Mathematical Models in the Social Sciences," Blaisdell, New York, 1962.
82. Klee, A. J.: The Role of Decision Models in the Evaluation of Competing Environmental Health Alternatives, Management Sci., vol. 18, no. 2, 53-67, October, 83. Knorr, K.: Power and Wealth, Basic Books, New York, 1973.
84. Koestler, Arthur and J. R. Smythies (Eds.): "Beyond Reductionism: New Perspectives in the Life of the Sciences," MacMillan, London, 1970.
85. Krantz, David H., R. Duncan Luce, Patrick Suppes, and Amos Tversky, "Foundations of Measurement," vol. 1, Academic, New York, 1971.
86. : A Theory of Magnitude Estimation and Cross-Modality Matching, J. Math.
Psychology, vol. 9, no. 2, pp. 168-199, May 1972.
87. : Fundamental Measurement of Force and Newton’s First and Second Laws of Motion, Philos. Sci., vol. 40, no. 4, pp. 481-495, December 1973.
88. Kruskal, J. B.: Multidimensional Scaling by Optimizing Goodness of Fit to a Nonmetric, Hypothesis, Psychometrika, vol. 29, no. 1, 1964.
89. : Nonmetric Multidimensional Scaling: A Numerical Method, Psychometrika, 90. : "How to Use MDSCAL, a Multidimensional Scaling Program," The Bell Telephone Lab. Inc., Murray Hill, N.J., 1967.
91. Kunreuther, H. and Paul Slovic: Economics, Psychology, and Protective Behavior, Amer. Econ. Rev., vol. 68, November 1978.
92. Lindgren, B. W.: Elements of Decision Theory, Macmillan, New York, 1971.
93. Linstone, H. A. and Murray Turoff, "The Delphi Method: Techniques," AddisonWesley, Reading, Ma., 1975.
94. Lootsma, F. A..;" Saaty's Priority Theory and the Nomination of a Senior Professor in Operations Research," University of Technology, Delft, Holland, 1978.
95. Luce, R. D. and P. Suppes: Preference, Utility and Subjective Probability, in Handbook of Mathematical Psychology, vol. III, 1964.
96. MacCrimmon, K. R.: An Overview of Multiple Objective Decision Making, in "Multiple Criteria Decision Making," Cochrane, James L., and Milan Zeleny (Eds), University of South Carolina Press, Columbia S.C., 1973.
97. Malone, David W.: An Introduction to the Application of Interpretive Structural Modeling, Proc. IEEE, vol. 63, no. 3, pp. 397-404, 1975.
98. Manheim,.Marvin L.: Hierarchical Structure: A Model of Planning and Design Processes, The M.I.T., Cambridge, Mass., p. 222, 1966.
99. Marcus, Marvin and Henryk Minc: "A Survey of Matrix Theory and Matrix Inequalities," Allyn and Bacon, Boston, 1964.
100. Marshall, C. W.: Applied Graph Theory, Wiley-Interscience, New York, 1971.
101. May, Kenneth Q.: Intransitivity, Utility, and the Aggregation of Preference Patterns, Econometrica, vol. 22, no. 1, January 1954.
102. McCracken, R. F.: "Multidimensional Scaling and the Measurement of Consumer Perception," University of Pennsylvania (Thesis) 1967.
103. McNeil, D. R. and J. W. Tukey: Higher-Order Diagnosis of Two-Way Tables, Illustrated on Two Sets of Demographic Empirical Distributions, Biometrics, vol. 31, 104. Mesarovic, M. D. and D. Macko: Scientific Theory of Hierarchical Systems, in "Hierarchical Structures," L. L. White, A. G. Wilson, and D. Wilson (Eds.). American 105.,,and Y. Takahara: "Theory of Hierarchical Multilevel Systems," Academic, New York, 1970.
106. Miller, G. A.: The Magical Number Seven Plus or Minus Two: Some Limits on our Capacity for Processing Information, Psychological Rev., vol. 63, pp. 81-97, 107. Moreno, J. L.: "Fondements de la Sociometrie," translated by Lesage-Maucorps, Presses Universitaires de France, Paris, 1954.
108. Moreney, M. J.: "Facts from Figures," Penguin, Baltimore, 1968.
109. Morris, Peter C.: Weighting Inconsistent Judgments, Pi Mu Epsilon J., 1979.
110. Nikaido, H.: "Introduction to Sets and Mappings in Modern Economics," NorthHolland, Amsterdam/American Elsevier, New York. 1970.
111. Patee, H. H.: The Problem of Biological Hierarchy, in Towards a Theoretical Biology, vol. III, C. H. Waddington (Ed.), Edinburgh University Press, 1969.
112. (Ed.): "Hierarchy Theory, the Challenge of Complex Systems," George Braziller, New York, 1973.
113. Perlis, Sam: "Theory of Matrices." Addison-Wesley, Reading, Ma., 1952.
114. Perron, O.: Zur Theorie der Matrices, Math. Ann., vol. 64, pp. 248-263. 1907.
115. Pinski, Gabriel and Francis Narin: Citation Influence for Journal Aggregates of Scientific Publications: Theory, with Application to the Literature of Physics, Information Processing and Management, vol. 12, Pergamon, Oxford, pp. 297-312.
116. Proceedings of the IEEE, Special Issue on Social Systems Engineering, Chapter 2, "Binary Matrices in System Modeling," March 1975.
117. Rabinovitch, I.: "The Dimension Theory of Semiorders and Interval Orders," Ph.D.
Thesis, Dartmouth College, June 1973.
118. Rivett, Patrick: Policy Selection by Structural Mapping. Proc. R. Soc. Lond., vol. 354, 119. Rosen, Robert: Hierarchical Organization in Automata Theoretic Models of Biological Systems, in Hierarchy Theory: the Challenge of Complex Systems, Howard H. Pattee (Ed), Braziller, New York, 1973.
120. Rosenblatt, M.: "Random Processes," Oxford University Press, New York, 1962.
121. Russell, Bertrand: A History of Western Philosophy, Simon & Schuster, New York, 122. Saaty, Thomas L.: "An Eigenvalue Allocation Model for Prioritization and Planning," Energy Management and Policy Center, University of Pennsylvania, 1972.
1977b. See also "Facing Tomorrow's Terrorist Incident Today," U.S. Department of Justice, LEAA, Wash. D.C. 20531, 28-31, 1977.
123. and Reynaldo S. Mariano: Rationing Energy to Industries; Priorities and Input-Output Dependence, Energy Systems and Policy, January, 1979.
124. and Paul C. Rogers: Higher Education in the United Sates (1985-2000): Scenario Construction Using a Hierarchical Framework with Eigenvector Weighting, Socio-Econ. Plan. Sci., vol. 10, pp. 251-263, 1976.
125. and Luis Vargas: "A Note on Estimating Technological Coefficients by Hierarchical Measurement," Socio-Econ. Plan. Sci., vol. 13, no. 6, 333-336, 1979.
126. Sankaranarayanan, A.: "On a Group Theoretical Connection Among the Physical Hierarchies, " Research Communication No. 96, Douglas Advanced Research Laboratories, Huntingdon Beach, California. 1978.
127. Savage, C. Wade: Introspectionist and Behaviorist Interpretations, of Ratio Scales of Perceptual Magnitudes, Psychological Monographs: General and Applied, vol. 80, no. 19, whole no. 627, 1966.
128. Schoemaker, P. J. H. and C. C. Waid: "A Comparison of Several Methods for Constructing Additive Representations of Muiti-Attribute Preferences," Wharton Applied Research Center, University of Philadelphia, August 1978.
129. Scott, Dana: Measurement Structures and Linear Inequalities, J. Math. Psychology, 130. Shepard, R. N.: The Analysis of Proximities: Multidimensional Scaling with an Unknown Distance Function, Psychometrika, vol. 27, 1962.
131. : Analysis of Proximities as a Technique for the Study of Information Processing in Man, Human Factors, no. 5, 1963.
132. : A Taxonomy of Some Principal Types of Data and of Multidimensional Methods for their Analysis, Multidimensional Scaling: Theory and Applications in the Behavioral Sciences, 133. : "Measuring the Fuzziness of Sets," J. Cybernetics, vol. 4, no. 4, pp. 53-61, 134. : "Hierarchies and Priorities–Eigenvalue Analysis." University of Pennsylvania, 1975.
135. : Hierarchies, Reciprocal Matrices, and Ratio Scales, Modules in Applied Mathematics, Cornell University, The Mathematical Association of America, 136. : Interaction and Impacts in Hierarchical Systems, Proceedings of the Workshop on Decision Information for Tactical Command and Control, Robert M.
Thrall and Associates, Rice University, Houston, pp. 54-102, 1976b.
137. : Theory of Measurement of Impacts and Interactions in Systems, Proceedings of the International Conference on Applied General Systems Research: Recent Developments and Trends, Binghamton, New York, 1977a.
138. : A Scaling Method for Priorities in Hierarchical Structures, J. Math. Psychology, vol. 15, no. 3, pp. 234-281, June 1977b.
139. : Scenarios and Priorities in Transport Planning: Application to the Sudan, Transportation Research, vol. 11, no. 5, October 1977c.
140. : The Sudan Transport Study, Interfaces, vol. 8, no. 1, pp. 37-57, 1977d.
141. : "The Faculty Tenure Problem–Determination of Requirements," in publication, with Anand Desai, 1977e.
142. : "A New Paradigm for Queueing and Its Application," in publication, with J. J. Dougherty III, 1977f.
143. : Exploring the Interface Between Hierarchies, Multiple Objectives and Fuzzy Sets, Fuzzy Sets and Systems, January 1978.
144. : Modeling Unstructured Decision Problems: Theory of Analytical Hierarchies, Mathematics and Computers in Simulation, vol. 20, no. 3, pp. 147-157, September 1978. Also appeared in Proceedings of the First International Conference on Mathematical Modeling, University of Missouri-Rolla, vol. 1, pp. 59-77, 145. and J. P. Bennett: A Theory of Analytical Hierarchies Applied to Political Candidacy, Behavioral Science, vol. 22, pp. 237-245, July 1977a.
146. and : "Terrorism: Patterns for Negotiations; Three Case Studies Through Hierarchies and Holarchies," Study for the Arms Control and Disarmament Agency, 208 pp. vol. 1, R. N. Shephard (Ed.), Seminar Press, New York, 147., A. Kimball Romney, and Sara Beth Nerlove (Eds.): "Multidimensional Scaling, Theory and Applications in the Behavioral Sciences," Vol. 1. Seminar Press, 148. Shinn, A.: An Application of Psychophysical Scaling to the Measurement of National Power. J. Politics, vol. 31, pp. 132-951, 1969.
149. Simon, H. A. The Architecture of Complexity, Proc. Amer. Philosophical Soc., vol. 106, pp. 467-481, December 1962.
150. and A. Ando: Aggregation of Variables in Dynamic Systems, Econometrica, vol. 29, no 2, pp. 111-138. April 1961.
151. Sluckin, W.: Combining Criteria of Occupational Success, Occupational Psychology, Part I, vol. 30, pp. 20-26, 1956, and Part II, vol. 30, pp. 57-67, 1956.
152. Srinivasan. V. and A. D. Shocker: Linear Programming Techniques for Multidimensional Analysis of Preferences, Psychometrika, vol. 38, pp. 337-369, 1973.
153. Stevens. S. S. On the Psychophysical Law, Psychological Reviews, vol. 64, 154. : Measurement, Psychophysics, and Utility, in "Measurement. Definitions and Theories," C. W. Churchman and P. Ratoosh (Eds.), Wiley, New York, 1959.
155. : To Honor Fechner and Repeal His Law, Science, vol. 13. 13 January 1961.
156. and E. Gaianter: Ratio Scales and Category Scales for a Dozen Perceptual Continua, J. Experimental Psychology, vol. 54, pp. 377-411. 1964.
157. Stewart, G. W.: Error and Perturbation Bounds for Subspaces Associated with Certain Eigenvalue Problems, SIAM Review, vol. 15, no 4, pp. 727-764, October 158. : Gershgorin Theory for the Generalized Eigenvalue Problem, Mathematics of Computation, vol. 29, no. 130. pp. 600-606, April 1975.
159. Stoessinger, J. G. "The Might of Nations," Random House, New York, 1965.
160. Suppes, P. and J. L. Zinnes: "Basic Measurement Theory," Handbook of Mathematical Psychology, vol. 1, 1963.
161. Sutherland, John W.: "Systems: Analysis. Administration, and Architecture," Van Nostrand Reinhold, New York, 1975.
162. Thurstone, L. L.: A Law of Comparative Judgment, Psychological Review, vol. 163. Torgerson, Warren S.: Theory and Methods of Scaling, New York. 1958.
164. Tucker, Ledyard R.: Determination of Parameters of a Functional Relation by Factor Analysis, Psychometrika, vol. 23, no. 1, pp. 19-23, March 1958.
165. Tversky, Amos: A General Theory of Polynomial Conjoint Measurement J. Math. Psychology, vol. 4, pp. 1-20, 1967.
166. and D. Kahneman: Judgment under Uncertainty: Heuristics and Biases, Science, vol. 185, pp. 1124-1131, 27 September 1974.
167. Van der Waerden, B. L.: Hamilton's Discovery of Quaternions. Mathematics Magazine, vol. 48, no. 5, pp. 227-234, November 1976.
168. Vargas, L.: Note on the Eigenvalue Consistency Index, 1978.
169. : "Sensitivity Analysis of Reciprocal Matrices," Chapter 3 in Ph.D. dissertation. The Wharton School, University of Pennsylvania, 1979.
170. Waid, Carter: "On the Spectral Radius of Non-negative Matrices," (to appear).
171. Waller, Robert J.: The Synthesis of Hierarchical Structures: Technique and Applications. Decision Sciences, vol. 7, no. 4, pp. 659-674, October 1976.
172. Warfield, John N.: On Arranging Elements of a Hierarchy in Graphic Form, IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, vol. SMC-3, no. 2, 173. : Developing Subsystem Matrices in Structural Modeling. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, vol. SMC-4, no. 1, pp. 74-80, January 174. : Developing Interconnection Matrices in Structural Modeling, IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, vol. SMC-4, no. 1. pp. 81-87, January 175. : "Societal Systems: Planning, Policy and Complexity," Wiley, New York, 176. Wei, T. H.: "The Algebraic Foundations of Ranking Theory," Thesis, Cambridge, 177. Weiss, Paul A.: "Hierarchically Organized Systems in Theory and Practice," Hafner, 178. Weyl, H.: Chemical Valence and the Hierarchy of Structures, Appendix D in "Philosophy of Mathematics and Natural Science," Princeton University Press, N.J., 179. Whyte, L. L.: Organic Structural Hierarchies, in "Unity and Diversity in Systems, " Essays in honor of L. von Bertalanffy, R. G. Jones and G. Brandl (Eds.), Braziller, New York, 1969.
180. : The Structural Hierarchy in Organisms, "Unity and Diversity in Systems," Essays in honor of L. von Bertalanffy, R. G. Jones and G. Brandl (Eds.), Braziller, New York, (in press).
181., A. G. Wilson, and D. Wilson (Eds.): "Hierarchical Structures," American Elsevier, New York, 1969.
182. Wielandt, H.: Unzerlegbare, nicht negative mairizen, Mathematische Zeitschrift, 183. Wigand, Rolf T. and George A. Barnett: Multidimensional Scaling of Cultural Processes: The Case of Mexico, South Africa and the United States, International and Intercultural Communication Annual, vol. III. pp. 140-172, 1976.
184. Wilf, Herbert S.: "Mathematics for the Physical Sciences," Wiley, New York, London, 185. Wilkinson, J. H.: "The Algebraic Eigenvalue Problem," Clarendon Press, Oxford, 186. Williamson, R. E. and H. F. Trotter: "Multivariable Mathematics," Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1974.
187. Wilson, A. G.: Hierarchical Structure in the Cosmos, in Hierarchical Structures, Proc., American Elsevier, New York. 1969.
188. Woodall, D. R.: A Criticism of the Football League Eigenvector, Eureka, October 189. Yu, P. L.: "A Class of Solutions for Group Decision Problems," Center for System Science, University of Rochester, New York, 1972a.
190. : "Cone Convexity, Cone Extreme Points and Nondominated Solutions in Decision Problems with Multiobjectives," University of Rochester, New York, 191. and M. Zeleny: "The Set of all Nondominated Solutions in the Linear Case and a Multicriteria Simplex Method," University of Rochester, New York, 1973.
192. Zeleny, M.: Linear Multiobjective Programming, Ph.D. thesis, University of Rochester, New York, 1972.
193. : On the Inadequacy of the Regression Paradigm Used in the Study of Human Judgment, Theory and Decision, vol. 7, pp. 57-65, 1976.
Список работ, переведенных на русский язык 11. Беллман Р., Заде Л. А. Принятие решений в расплывчатых условиях//Вопросы анализа и процедуры принятия решений. – М.: Мир. 1976. – С. 172-215.
12. Берж К. Теория графов и ее применения/Пер. с франц. под ред. И. А. Вайнштейна. – М.: ИЛ, 1962. – 319 с.
27. Дэвид Г. Метод парных сравнении./Пер. с англ. под ред. Ю. Адлера. – М.: Статистика, 1978. – 114 с.
38. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х томах/Пер.
с англ. под ред. А. Н. Колмогорова. – 3-е изд. – М.: Мир, 1984. – Т. 1-2.
45. Фишберн П. Теория полезности для принятия решений/Пер. с англ. под ред.
Н. Н. Воробьева. – М.: Наука. 1978. – 352 с.
52. Гейл Д. Теория линейных экономических моделей/Пер. с англ. под ред.
Н. Н. Воробьева. – М.: ИЛ, 1963. – 418 с.
53. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. Ч. II. Специальные вопросы и приложения. – М.: Наука, 1966. – 576 с.
55. Джоффрион А., Дайер Дж., Файнберг А. Решение задач оптимизации при многих критериях на основе человеко-машинных процедур//Вопросы анализа и процедуры принятия решений. – М.: Мир, 1976. – С. 116–127.
79. Кини Р. Л., Райфа X. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения: Пер. с англ. – М.: Радио и связь, 1981. – 560 с.
81. Кемени Дж., Снелл Дж. Кибернетическое моделирование. Некоторые приложения/Пер. с англ. под ред. И. Б. Гутчина. – М.: Сов. радио, 1972. – 192 с.
99. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств/Пер. с англ. под ред. В. Б. Лидского. – М.: Наука, 1972. – 232 с.
105. Месарович М., Мако Д., Такахара И. Теория иерархических многоуровневых систем/Пер. с англ. под ред. И. Ф. Шахнова. – М.: Мир, 1973.— 344 с.
121. Рассел Б. История западной философии/Пер. с англ. под ред. В. Ф. Асмуса. – 160. Суппес П., Зинес Дж. Основы теории измерений. – В кн.: Психологические измерения/Пер. с англ. под ред. Л. Д. Мешалкина. – М.: Мир, 1967. – 185. Уилкинсон Дж. Алгебраическая проблема собственных значений: Пер. с англ.
– М.: Наука, 1979. – 564 с.
ДОПОЛНЕНИЕ Т. СААТИ
ЗАМЕНА ИНТЕРВАЛЬНОЙ ШКАЛЫ НА ШКАЛУ
ОТНОШЕНИЙ В ПРИМЕРЕ РАЗВИТИЯ ВЫСШЕГО
ОБРАЗОВАНИЯ В США
В разд. 6.7 для описания развития высшего образования в США на период 1985– 2000 гг. использованы семь взвешенных сценариев и обобщенный сценарий, взятые из статьи Т. Саати и П. Роджерса [124]. В этой работе введены три основных этапа.Во-первых, разработка иерархической структуры факторов, акторов и их целей, влияющих на семь возможных сценариев. Затем получение с помощью МАИ весов сценариев.
Во-вторых, градуировка рассматриваемых характеристик (переменных состояния) в целых числах между –5 и +5 (в разд. 6.7 градуировка произведена в диапазоне –8… +8). Положительные целые числа используются для воспроизведения различных степеней «возрастания» или «больше, чем в настоящее время», а отрицательные – для воспроизведения различных степенен «уменьшения» или «меньше, чем в настоящее время».
В-третьих, обобщение значений характеристик с использованием «весов сценариев» для получения весов обобщенного сценария, с помощью которых описывается будущее высшего образования в США (см. табл. Д.1).
Попытаемся заменить на втором этапе интервальную шкалу от –5 до +5 на МАИ.
Мотивацией здесь служит не только показ возможности использования МАИ вместо интервальной шкалы, но и демонстрация того, что МАИ совпадает с поведенческим образом мышления человека при принятии решений.
В данном случае первый и третий этапы не меняются. На втором этапе применяем МАИ следующим образом:
1. Возьмем семь сценариев в качестве «альтернатив» и каждую характеристику как «критерий» и затем сформируем иерархию для каждой характеристики. Например, для «числа студентов» имеем следующую иерархию.
Здесь, в отличие от текста разд. 6.6 автор применяет термин «интервальная шкала», имея в виду содержательную сторону характеристики. Действительно, при допустимом преобразовании интервальной шкалы фиксируется как нулевая точка шкалы (шкала разностей), так и единица измерений. – Прим.
перев.
Студенты Число Тип Функции Работа Преподаватели Число Тип Функции Обеспеченность работой Академическая свобода Учебные заведения Число Тип Управляющая структура Эффективность Доступность Культура и досуг Денежные средства и другие ресурсы Образование Учебная программа Продолжительность обучения Значимость учебной степени Стоимость обучения Исследования, проводимые преподавателями Затем для каждой пары сценариев (альтернатив) задаем вопрос: При каком из сценариев будет больше студентов в будущем и насколько? Вычислив собственные векторы матриц попарных сравнений, получим веса этих семи сценариев по отношению к каждой характеристике. Эти результаты даны в табл. Д.2.
2. Для использования данных табл. Д.1 произведем следующее преобразование с целью получения парных сравнений в шкале 1–9.
Пусть Si – заданное значение i -го сценария по любой из характеристик. Тогда Значения парных сравнений Студенты Преподаватели Обеспеченность работой 0,090 0,259 0,359 0,062 0,150 0,040 0,040 0,179 0, Академическая свобода 0,175 0,077 0,175 0,364 0,135 0,045 0,032 0,155 0, Учебные заведения Управляющая структура 0,083 0,190 0,061 0,029 0,083 0,277 0,277 0,125 2, Денежные средства и другие ресурсы Образование Продолжительность обучения Значимость учебной степени Стоимость обучения 0,171 0,171 0,171 0,291 0,112 0,042 0,042 0,164 3, Исследования, проводимые преподавателями 3. Делим обобщенные веса каждой из характеристик на соответствующие веса статус-кво каждой характеристики, в результате чего получим последний столбец табл. Д.2. Здесь статус-кво воспроизводит неизменность в будущем. Имеем два случая. В первом случае веса статус-кво уже имеются для некоторых строк (соответствуют нулям в табл. Д.1). Во втором случае ни один из сценариев не остается в положении статус-кво. Здесь нужно аппроксимировать веса статус-кво. Например, для строки «Число студентов» табл. Д.1 сценарии 1 и 2 симметричны по отношению к статус-кво. Поэтому берется среднее их весов в качестве оценки веса статус-кво.
4. Из табл. Д.2 можно сделать выводы, аналогичные полученным ранее в [124].
Крайний справа столбец таблицы представляет собой частное от обобщенных весов сценариев и весов статус-кво соответствующей характеристики Таким образом, приходим к заключению, что любые элементы столбца, большие единицы, означают увеличение в будущем, в то время как числа, меньшие единицы, воспроизводят уменьшение в будущем. Кроме того, величина этих значений определяет степень увеличения или уменьшения. Сравнивая последние столбцы табл. Д.1 и Д.2, убеждаемся в правомочности проведённой замены.
ДОПОЛНЕНИЕ Р. Г. ВАЧНАДЗЕ
РАЗВИТИЕ МЕТОДА АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ
В предлагаемом дополнении проводится краткий исторический экскурс, излагаются наиболее значительные полученные за последние годы теоретические результаты, приложения МАИ в различных сферах, дается характеристика некоторых программных средств. Исследуется вопрос о месте метода анализа иерархий в ряду методов принятия решений. В заключение приводится перечень возможных тем дальнейших исследований по МАИ.Идея использования собственного вектора для решения так называемой задачи о лидере известна из работы К. Бержа [Д1], предложившего ее в 1958 г. для обработки простых структур (см. определения в [Д2]). В 1972 г. независимо друг от друга в СССР (Б. Брук и В. Бурков [ДЗ]) и в США (Т. Саати [Д4]) метод собственного вектора был применен для обратносимметричных матриц (матриц со степенной калибровкой по классификации [Д2]). Работа [Д3], по-видимому, не нашла дальнейшего развития, в то время как трудами Т. Саати и его последователей идея использования собственного вектора в качестве вектора приоритетов выросла в довольно мощную методологию системного анализа иерархических структур.
За десятилетие, прошедшее с момента публикации первой книги Т. Саати (1980 г.), метод анализа иерархий получил широкое распространение во многих странах. Т. Саати и его последователями проделана большая работа по теоретическому обоснованию метода, углублению исследования различных его аспектов, многочисленным приложениям метода в различных сферах и созданию соответствующих программных средств. Эти работы нашли отражение во многих публикациях, число которых к данному времени достигло 500. В США, Японии, Китае проводятся симпозиумы и конференции в национальном масштабе. В 1988 г. и г. Тяньцзине (КНР) был проведен первый международный симпозиум по МАИ, в работе которого участвовало около 200 ученых из США, Японии, Китая, Финляндии, Ирана, Канады и СССР. Тяньцзиньским университетом изданы доклады, представленные на симпозиуме |Д5]. Методу анализа иерархий посвящены специальные выпуски журналов:
Socio-Economic Planning Sciences, Vol. 20, No 6, 1986 и International Journal on Mathematical Modelling, Vol. 9, № 3–5, 1987. В 1986 г. вышли два обзора :|Д6, Д7], в которых приводятся данные по большинству из работ, опубликованных к тому времени по МАИ.
Д.2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
В 1986 г. Т. Саати опубликовал работу [Д8], в которой была сделана попытка аксиоматического обоснования метода анализа иерархий. Аксиомы Т. Саати охватывают основные свойства метода:1. Обратная симметричность – основная характеристика парных сравнений. Для ратна интенсивности предпочтения 2. Гомогенность (однородность), характеризующая свойство людей сравнивать объекты, которые не слишком сильно отличаются друг от друга, следовательно, необходимость упорядочивания объектов в сохраняющих порядок иерархиях. Гомогенность существенна для сравнения объектов одного порядка, так как человеческий разум склонен к допущению больших ошибок при сравнении несопоставимых элементов. Когда эта несопоставимость большая, элементы располагают в отдельные кластеры сравнимых размеров, что выдвигает идею об уровнях и их декомпозиции.
3. Зависимость нижнего уровня от непосредственно примыкающего к нему высшего уровня.
4. Результат анализа может отражать ожидания экспертов только в том случае, если эти ожидания правильно воспроизведены в иерархии, т. е. все альтернативы, так же как и все критерии, воспроизведены в иерархии. Это не предполагает ни рациональности процесса, ни того, что процесс может приспосабливаться только к рациональной точке зрения. Многие ожидания людей иррациональны.
Аксиомы позволяют получить ряд общих теорем, определяющих операционные возможности МАИ и показывающих удобства парных сравнений и метода собственного вектора при оценке отношений, а также исследовать устойчивость собственного вектора к малым возмущениям в данных (подробнее об этом в [Д8]).
Абсолютные и относительные измерения: перестановка рангов В появившихся в последнее время работах Т. Саати и других авторов [Д9, Д10, Д11] значительное внимание уделено вопросу сохранения и перестановки рангов, связанного с абсолютными и относительными измерениями.
Известно, что ранжирование альтернатив может быть получено в, результате как относительных измерений (основанных на парных сравнениях, дающих относительные значения), так и абсолютных измерений (основанных на сравнениях с известным стандартом). Тип измерений зависит от рассматриваемой ситуации. При совершенно новой задаче принятия решений, или в старых задачах, для которых не установлены общепринятые стандарты, следует применять относительные измерения, сравнивая альтернативы попарно для выявления их предпочтительности. Если же стандарты имеются, то следует применять абсолютные суждения. Метод анализа иерархий может быть использован при обоих типах измерений. Однако с типом измерений связана одна важная особенность, обусловленная перестановкой рангов в случае добавления дополнительных альтернатив (критериев) или удаления некоторых из рассматривавшихся альтернатив (критериев). Как показано в [Д10, Д11], при абсолютных изменениях добавление или удаление альтернативы не меняет взаимного расположения рангов начальных альтернатив для матрицы. Этот результат верен и для всей иерархии [Д12, Д13].
При относительных измерениях, когда имеется только один критерий и суждения согласованны, добавление или удаление альтернативы не влияет на ранговый порядок начальных альтернатив. В случае многих критериев, при согласованности в суждениях ранговый порядок любых двух альтернатив не меняется (в результате структурных изменений), когда одна альтернатива предпочтительнее другой в матрицах сравнения для всех критериев. Тем не менее даже для согласованных матриц, когда одна альтернатива доминирует над другой не по всем критериям, структурные изменения могут вызвать перестановку рангов альтернатив. В [Д11] приводятся математические условия сохранения рангового порядка иерархических структур в общем случае. Эта проблематика связана с теорией многокритериальных задач и может быть рассмотрена в ее рамках (см. [Д14]).
Как уже известно, для получения матрицы сравнения порядка n ( n 1) / 2 суждений. В [Д15] подход, распространен на ситуации, в копроизвести торых ЛПР позволено отвечать «не знаю» или «не уверен» на некоторые из вопросов. Подход Харкера основан на определении квазиобратносимметричных матриц.
Неотрицательная n n -матрица A квазиобратносимметрична, если aij 0 и из aij > 0 следует, что aij = 1 a ji, i, j = 1, 2, …, n.
Пусть ЛПР рассмотрено множество n альтернатив и проведено некоторое подмножество n ( n 1) / 2 парных сравнений, которые позволили получить матрицу C = ( cij ) с элементами cij 0, и из cij > 0 следует, что cij = 1 c ji. Пусть B = ( bij ) – n n -матрица, полученная из частично заполненной матрицы C следующим образом:
bii = mi, т. е. диагональные элементы матрицы B равны числу недополученных суждений в строке i.
Матрица A = I + B – примитивна, т. е. существует такая постоянная k > 1, что матрица A положительна. Следовательно, решение задачи о собственном значении для матрицы A можно рассматривать как приоритеты альтернатив при неполных сравнениях. В [Д15] доказано также, что корень Перрона неотрицательной, неприводимой, квазиобратносимметричной матрицы A больше или равен n (рангу матрицы A ) и равен n только в том случае, если матрица A – согласованна.
Аналогичный подход к выявлению приоритетов для неполной обратносимметричной матрицы предложен и в [Д16].
Неопределенность может быть выражена в следующем виде:
1) точечные оценки с функциями распределения вероятностей, 2) интервальные оценки без вероятностного распределения, 3) нечеткие оценки в виде нечетких чисел (определение последних, см., например, в [Д17, Д18]).
В работе Варгаса [Д19] исследованы матрицы с элементами в виде случайных переменных. Показано, что при условиях полной согласованности, если суждения подчинены гамма-распределению, главный правый собственный вектор результирующей матрицы парных сравнений подчиняется распределению по Дирихле. Утверждается, что этот результат верен и для несогласованности менее 10%.
Саати и Варгам в [Д20| исследовали интервальные оценки моделированием в предположении, что все точки интервала распределены равномерно. Используя тест Колмогорова–Смирнова, они показали, что компоненты собственного вектора удовлетворяют усеченному нормальному распределению. Была подтверждена возможность распространения центральной предельной теоремы на распределение компонент собственного вектора как предельных средних значений доминирования каждой альтернативы над другими альтернативами по путям всех длин. Было показано, каким образом выбираются альтернативы в соответствии с произведением их приоритетов и вероятностью того, что не произойдет перестановки рангов. Данный способ преодоления неопределенности в суждениях ЛПР позволяет измерять одновременно как важность, так и вероятность сохранение рангов.
Применение МАИ при неопределенности, связанной с суждениями виде нечетких чисел, рассмотрено в [Д21, Д22].
Как было отмечено, за последние годы МАИ широко использовался при решении различных задач. Но претендуя здесь на полноту, отошлем читателя к ранее упомянутым обзорным работам [Д6, Д7], а также к сборнику докладов Первого международного симпозиума по МАИ [Д5] и вышедшей в 1989 г. в книге [Д23|, и в данном обзоре остановимся на нескольких, наиболее интересных приложениях.
С помощью МАИ были найдены коэффициенты целевой функции для задачи целевого программирования большой размерности (9060 уравнений, 28730 переменных и 6950 целевых ограничений) [Д24]. В работе представлено интересное сопоставление многомерной теории полезности с МАИ при решении многокритериальных задач. Показано, что трудности, возникающие у аналитиков при непосредственном определении требуемых функций полезности, сильно снижают привлекательность подхода, основанного на теории полезности. В то же время МАИ позволяет аналитику структурировать элементы проблемы довольно быстро и облегчает проведение анализа. Существенные ограничения МАИ, связанные с проведением многочисленных парных сравнений, преодолеваются при использовании предложенной в [Д15] процедуры, значительно снижающей количество необходимых парных сравнений.
Э. Формен (один из авторов программной системы Expert Choice) предложил объединить МАИ с традиционными методологиями исследования операций [Д25]. В работе обосновывается система поддержки принятия решений, которая понятна и релевантна для ЛПР в реальной жизни. Показано, как ЛПР могут разрабатывать, понимать и применять.модели для принятия управленческих решений, что на практике они редко делают. Рассматривается объединение МАИ с линейным программированием, анализом очередей, методом критического пути, прогнозированием и целочисленным линейным программированием для решения ряда практических задач (дизайн новых видов продукции, распределение ресурсов во времени, по деньгам, труду и материалам с целью своевременного выполнения проекта).
Новый подход к оценке риска для международных инвестиций, основанный на МАИ, был предложен в [Д26]. Подход позволяет исследовать факторы как количественно, так и качественно, обеспечивая основу для обсуждения и обмена идеями между ЛПР при анализе риска. В работе исследуются структуры, в пределах которых фирма может анализировать все важнейшие факторы, влияющие на ее бизнес за рубежом, и быстро принимать логические решения.
Метод анализа иерархий успешно применялся при оценке эффективности лекарственных средств [Д27, Д28, Д29]. Методика обработки данных морфологического анализа позволила оценивать как действие отдельного препарата, так и сравнивать эффективность отдельных фармакологических средств при лечении ишемической болезни сердца. Полученные результаты хорошо согласуются с выводами клинических исследований.
Заслуживает интереса возможность приложения МАИ в различных видах спорта, связанная с определением состава эстафетной команды [Д27]. Из заданного множества кандидатов, относительно которых мы располагаем достаточно полной информацией, следует отобрать необходимое число и расставить их по этапам эстафеты (бег 4 100 м). В данном виде спорта оценка подготовки спортсмена производится согласно специальным методикам, выделяющим шесть специальных показателей.
Часть этих показателей объективна (получается в результате абсолютных измерений) и измеряется во времени. Есть и такие показатели, которые получаются в результате относительных измерений (например, психологическая подготовка). Кроме того, важность различных этапов также оценивается в результате относительных сравнений, проводимых экспертами (тренерами). Следует отметить возможность получения неожиданных для ЛПР (тренера) решений, в данной задаче. Анализ, который может быть проведен для этого примера, наглядно иллюстрирует теоретические результаты, полученные в [Д11] для условий сохранения и перестановки рангов в случае абсолютных и относительных измерений.
Метод анализа иерархий стал применяться и при построении экспертных систем.
Для задач принятие решений классификационного типа в [Д30] описана основанная на фреймах экспертная система с элементами МАИ. Система проводит диагностику текущего состояния затвора плотины и предсказывает его срок службы, основываясь как на структурных, так и на эмпирических точках зрения. Метод также применяется в качестве средства для снижения неопределенности информации в интегрированной системе поддержки приобретения знаний [Д31].
Д.4. ПРОГРАММНЫЕ РЕАЛИЗАЦИИ
В настоящее время имеется несколько программных систем для мини- и микрокомпьютеров, которые реализуют МАИ.Наиболее известная зарубежная система Expert Choice создана Т. Саати и Э. Форменом [Д32, ДЗЗ] Это – система поддержки принятия решений, предназначенная для использования на персональных компьютерах IBM PC типа XT, AT и их клонах. Она требует 256K памяти и один двухсторонний НГМД. Стоимость системы около 500 долларов. Система Expert Choice позволяет:
– структурировать сложную проблему в виде иерархии в диалоговом режиме с редактированием;
– воспринимать как количественные (абсолютные), так и качественные (относительные) суждения при оценках; соответственно имеется возможность переключения с вербальной шкалы на численную и обратно;
– изменять суждения с целью достижения лучшего индекса согласованности для матриц парных сравнений, выявлять наиболее несогласованные суждения;
– синтезировать приоритеты нижнего уровня;
– анализировать чувствительность приоритетов;
– использовать подход ранговой шкалы вместо проведения парных сравнений при большом числе альтернатив (до 100);
– прервать работу и продолжить её с прерванного места.
Отметим, что система нашла довольно широкое распространение в различных правительственных и частных организациях США.
В 1988 г. X. Голям-Незад из Мурхедского государственного университета (штат Миннесота, США) предложил новую реализацию программной системы, воспроизводящей МАИ, под названием Decide. Это – система поддержки принятия решений, также предназначенная для использования на персональных компьютерах IBM PC типа XT, AT и их семействах. Основной особенностью системы является то, что в ней применяется непрерывная шкала при высказывании суждений, причём она меняется в диапазоне от нуля до пяти.
В Японии компания Sumitomo Computing Service, Inc. модифицировала систему Expert Choice для японских персональных компьютеров NEC РС-9801 и IBM JAPAN-5550. Имеется также японская оригинальная версия программной системы, реализующей МАИ, которая разработана компанией.JUSF. Inc. под руководством К. Тоне для персональных компьютеров серии NEC РС-9801.
Программные реализации МАИ для персональных компьютеров разработаны также и в Китае (см., например, [Д34], где имеются соответствующие ссылки).
В Советском Союзе основанная на МАИ система поддержки принятия решений, предназначенная для использования мини-ЭВМ СМ-4, разработана в 1985 г. [ДЗ5, Д36]. Система под названием «САЭМА», созданная на языке ФОРТРАН IV, позволяет сохранять несколько моделей иерархий, причем реализована парольная система доступа к модели. Предусмотрены средства редактирования соответствующей иерархии и прерывания работы с ней с возможностью ее возобновления во время других сеансов работы с ЭВМ, а также возможность анализа иерархий большого размера.
В настоящее время (1990 г.) в Институте вычислительной математики им. Н. И. Мусхелишвили АН Грузинской ССР разработана система поддержки принятия решений, предназначенная для пользования на персональных компьютерах IBM PC типа XT, AT и их семействах. Система под названием «ПРАИС».(поддержка решений анализом иерархических структур) построена в виде открытой системы и включает в себя ряд методов, которые могут быть в дальнейшем дополнены.
Система позволяет решить проблему, для которой может быть построена иерархия в смысле МАИ с использованием различных подходов в зависимости от возможностей экспертов или ЛПР. В случае, когда иерархия и соответствующие оценки вводятся в режиме диалога с компьютером, используется некоторый аналог системы САЭМА. Но предусмотрен такой случай, когда часть информации об иерархии имеется в некотором наборе данных (подготовленном заранее или полученном из какойлибо информационной базы). Другими словами, для некоторой исходной иерархии часть информации существует в обработанном виде. Пользователь формирует «личную» иерархию в виде некоторого поддерева исходной. При этом он может расширять исходную иерархию путем добавления вершин на отдельных уровнях. Таким образом, диалог каждый раз «подстраивается» на получение недостающей информации. В системе предусмотрена возможность работы при неполных сравнениях. В случае, когда эксперты не полностью заполняют матрицы парных сравнений по шкале 1–9, используется модификация МАИ согласно [Д15, Д16].
В системе ПРАИС предусмотрена также групповая экспертная процедура МАИ с применением элементов кластерного анализа. И, наконец, в случае, когда эксперты испытывают затруднения в оценках по шкале отношений, оценивая объекты по дихотомической шкале (больше–меньше, лучше–хуже и т. д.), и более того, в некоторых случаях затрудняются вообще высказать какое-либо мнение при парных сравнениях, в системе ПРАИС для анализа иерархий используется подход, основанный на групповой экспертной процедуре [Д37].
Для решения задачи стратегического планирования, описанной в гл. 6 (подробное описание методологии дано в [Д38]), разработан пакет прикладных программ СТРАТЕГ. Система предусматривает два режима работы: 1) непосредственно описанный в [Д38] и 2) так называемый многопользовательский, который предусматривает заполнение матриц попарных сравнений иерархии и оценку переменных состояния для первой итерации прямого процесса как согласованного мнения всей группы экспертов, а в дальнейшем – работу каждого пользователя (эксперта) отдельно на итерациях первого обратного и последующих прямых и обратных процессов. Затем информация, полученная от каждого эксперта, решающего задачу стратегического планирования, обобщается. Система проводит анализ отклонений в мнениях, а также их причины как для каждой матрицы попарных сравнений, так и по структуре иерархии, создаваемых каждым экспертом. Такая организации процесса позволяет исследователям в полной мере учитывать мнения различных сторон, при этом пакет прикладных программ СТРАТЕГ приобретает черты экспертной системы.*
Д.5. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ОЦЕНКИ
Попытаемся дать некоторую общую оценку МАИ как метода принятия решений.Принятие решений складывается в многодисциплинарную область исследований, в которой работают психологи, математики, экономисты, инженеры, программисты.
Полностью присоединяясь к мнению С. В. Емельянова и О. И. Ларичева [Д39], отметим, что эта многодисциплинарность является как бы переходным этапом к появлению повой дисциплины, в рамках которой специалисты будут обладать необходимыми научными знаниями из приведенных выше дисциплин, а также новыми знаниями по проблемам, ранее не рассматривавшимся.
Рассмотрим, насколько удовлетворяет МАИ ряду требований к научному обоснованию методов принятия решений, которые выдвигаются в результате накопления опыт я разработки этих методов.
1. В МАИ способы получения информации от эксперта соответствуют данным психологических исследований о возможностях человека переработать информацию. Действительно, аксиома гомогенности и принцип иерархической декомпозиции приводят в соответствие проблему получения оценок с психометрическими возможностями человека.
2. В МАИ имеется возможность проверки экспертной информации на непротиворечивость посредством индекса и отношения согласованности как для отдельных матриц, так и для всей иерархии. В некоторых программных средствах, реализующих МАИ (Expert Choice, ПРАИС), как было уже отмечено, также предусмотрена возможность проверки экспертной информации путём проверки порядковой транзитивности, а также выявления наиболее несогласованных суждений.
3. Любые соотношения между вариантами решений в МАИ объяснимы на основе информации, полученной от экспертов (четвертая аксиома МАИ [Д8]). Так, анализ приоритетов элементов решения по нисходящим уровням иерархии позволяет помять, как получено то или иное значение вариантов решения.
4. Математическая правомочность решающего правила в МАП прозрачна и базируется на методе собственного значения и принципа иерархической композиции, имеющих чёткое математическое обоснование.
Таким образом, МАИ удовлетворяет четырём основным критериям, обеспечивающим согласно [Д39] всестороннюю научную обоснованность метода принятия решений.
Наряду с научным обоснованием корректности МАИ отделенный интерес представляют границы (пределы) применимости метода. Выделяются пределы трех типов:
1. По возможностям экспертов давать непротиворечивую информацию при увеличении параметров проблемы. В МАИ оперируем гомогенными элементами в пределах одного уровня. Иерархическая декомпозиция, присущая методу, позволяет оперировать со значительным числом в общем случае негомогенных элементов.
2. По трудоемкости для экспертов в МАИ этот показатель напрямую зависит от числа уровней иерархии, числа элементов на каждом из уровней и от полноты иерархии. Подсчет трудоемкости для эксперта при применении МАИ легко может поСистемы ПРАИС и СТРАТЕГ разработаны Р. Г. Вачнадзе, Н. И. Маркозаишвили, М. О. Карчава и Е. Н. Благидзе в ИВМ АН Груз. ССР.
зволить оценить в каждом конкретном случае целесообразность применения метода для рассматриваемой проблемы.
3. По вычислительной сложности алгоритмов МАИ выгодно отличается от многих методов принятия решений простотой вычислений и наличием надежных программных средств.
Д.6. ТЕМАТИКА ДАЛЬНЕЙШИХ ИССЛЕДОВАНИЙ
Ниже перечислены наиболее интересные темы дальнейших исследований по МАИ (некоторые из этих тем предложены в [Д40, Д6]):1. Углубление исследований по непрерывным суждениям (в отличие от дискретной шкалы 1–9). В этом направлении известна лишь одна статья [Д41].
2. Экспертные суждения в виде интервальных чисел. Представляется перспективным применение методов интервального анализа [Д42] для разработки соответствующих вычислительных процедур МАИ. В этом направлении некоторый путь намечает предложенная в [Д43] процедура, основанная на технике теории ошибок.
3. Оценка метода собственного вектора в ряду методов построения по заданной матрице парных сравнений объектов оптимального в том или ином смысле их линейного упорядочения. Эта оценка может оказаться полезной при определении границ применимости как самого метода собственного вектора, так и МАИ в целом.
4. Проверка различных групповых методов экспертного оценивания на одних и тех же задачах и поиск общих элементов. Здесь имеется некоторый задел в виде теоретической работы [Д44], а также [Д45]. Заслуживает внимания применение методов кластерного анализа для выявления в группе экспертов однородных (или близких) оценок.
5. Разработка теоретических основ моделирования проблем принятия решений в виде иерархий, которых пока не существует, несмотря на широкое распространение иерархических структур. Возможно, развитие этого подхода будет исходить из областей, в которых применяются иерархические структуры, например моделирование данных в базах данных.
6. Обобщение теоретических результатов, полученных для иерархий и сетевых систем, на многообразия [Д40].
7. Дальнейшее исследование связи главного собственного вектора со степенным законом Вебера–Фехнера. Применение психологических исследований в части адекватного представления человеческих ощущений в числовых шкалах.
8. Исследование чувствительности приоритетов от числа критериев и в более общем случае от размеров и вида иерархии.
9. Исследование структур решения для зависимых от времени и динамических структур. Несмотря на важность этого аспекта для сложных реальных систем, имеющиеся результаты (см., например, [Д46]) все еще не дают практически приемлемых методов.
10. Метод анализа иерархий и анализ риска: развитие теории использования сценариев при анализе риска.
11. Развитие приложений МАИ на теорию игр, в частности, для разрешения конфликтов. Здесь также имеется несколько работ (см., например, [Д47]), которые могли бы стать отправной точкой в исследованиях.
12. Исследование связи МАИ с оптимизацией. В частности, можно ли с помощью МАИ решить общую задачу оптимизации [Д40].
13. Связь МАИ с искусственным интеллектом и экспертными системами. Очевидно, эта тема предоставит широкое поле деятельности для исследователей.
Д1. Берж К. Теория графов и ее приложения/Пер. с франц. под ред. И. А. Вайнштейна. – М.: ИЛ, 1962. – 319 с.
Д2. Белкин А. Р. Желательные свойства оптимальных линейных упорядочений// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. – 1987 – №2.– С. 3–21.
ДЗ. Брук Б. Н., Бурков В. Н. Методы экспертных оценок в задачах упорядочения объектов// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. – 1972 – №3. – С. 3–11.
Д4. Saaty T. L. An eigenvalue allocation model for prioritization and planning Energy Management and Policy Center. – University of Pennsylvania, 1972.
Д5. Proseedings of International Symposium on the Analytic Hierarchy Process, Tianjin University, Tianjin, China. 6–9 Sept. 1983. – Tianjin, 1988. – 653 p.
Д6. Zahedi F. The Analytic Hierarchy Process – a survey of the method and its applications//Interfaces. – 1986, Vol. 16, №4. – P. 96–108.
Д7. Xu Shubo. References on the analytic hierarchy process//Institute of Systems Engineering. – Tianjin: Tianjin university, 1986. June, 15 p.
Д8. Saaty T. L. Axiomatic foundation of the analytic hierarchy process//Management Science. 1986, July. – Vol. 32, №7. – P. 841-855.
Д9. Saaty T. L., Vargas L. C. Inconsistency and rank preservation//J. of Mathematical Psychology. 1984, June. – Vol. 28. №2. – P. 205—241.
Д10. Saaty T. L. Absolute and relative measurement with the AHP: the most livable cities in the U.S.//Socio-Economic Planning Sciences. – 1986. – Vol. 20, No. 6. – Д11. Saaty T. L. Concepts, theory and techniques: rank generation, preservation and reversal in the analytic hierarchy process//Decision Sciences. – 1987. – Vol. 18. – Д12. Saaty T. L. Generalization of Perron's theorem to hierarchic composition. – Unpublished manuscript. – University of Pittsburg, 1984.
Д13. Barbeau E. Perron's result and decision on admission tests//Mathematics Magazine. – 1986, January. – P. 16–22.
Д14. Подиновский В. В., Ногин В. Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. – М.: Наука, 1982. – 256 с.
Д15. Harker Р. Т. Alternative models of questioning in the analytic hierarchy process//Mathematical Modelling. – 1987. – Vol. 9. № 3–5.
Д16. Takeda E., Yu P. L. Eliciting the relation weights from incomplete reciprocal matrices//Proceedings of International Symposium on the Analytic Hierarchy Process.
Tianjin university, Tianjin, China, 6–9 Sept. 1988. – Tianjin, 1988. – P. 192–200.
Д17. Dubois D., Prade H. Fuzzy sets and systems: theory and application. – New-York.
Academic Press, 1980. – 393 p.
Д18. Вачнадзе Р. Г., Маркозашвили Н. И. К вопросу об определении нечетких чисел//Сообщения АН ГССР. – 1982. – Т. 108. №1. – С. 45–48.
Д19. Vargas L. G. Reciprocal matrices with random coefficients//Mathematical Modeling. – 1982. – Vol. 3, №1. – P. 69–81.
Д20. Saaty T. L., Vargas L. G. Uncertainty and rank order in the analytic hierarchy process//Socio-Economic Planning sciences. – 1986. – Vol. 20, №6.
Д21. Van Laathoven. A fuzzy extension of Saaty's priority theory//'Fuzzy Sets and Systems. 1983. – Vol. 11, №3. – P. 229–241.
Д22. Buckley J. J. Fuzzy hierarchycal analysis//Fuzzv Sets and Systems. – 1985. – Vol. 17, №3. – P. 233–247.
Д23. The Analytic hierarchy process: applications and studies//B. Golden, E. Wasil, Р.
Harker, Eds. – New-York: Springer–Verlag. 1989. – 265 p.
Д24. Gass S. I. On setting goal-programming weights using the AHP//Proceedings of International Symposium on the Analytic Hierarchy Process, Tianjin university, Tianjin, China, 6–9 Sept. 1988. – Tianjin, 1988. – P. 32–36.
Д25. Forman E. H. Integrating AHP and traditional OR/MS methodologies. (//Ibid. – Д26. Gholam-Nezhad H. Risk assessment for international investment//Ibid. – Д27. Vachnadze R. G., Markozashvili N. L. Some applications of the analytic hierarchy process//Mathematical Modelling. – 1987. – Vol. 9. №3–5. – P. 185–191.
Д28. Вачнадзе Р. Г., Гибрадзе Т. А., Карчава М. О., Маркозашвили С. Г. Методика оценки эффективности лекарственных средств на основе экспериментальных морфологических данных//Вестник Л.МН СССР. 1988. – №7. – Д29 Вачнадзе Р. Г., Маркозашвили С. Г. Обработка морфологических данных при помощи методики оценки эффективности лекарственных средств//Тр. ин-та вычислительной математики АН ГССР. – 1988. – Т. XXVII: 2. – С. 21–26.
Д30. Теrаnо Т. Using the analytic hierarchy process in frame based expert systems//Proceeding of international Symposium on the Analytic Hierarchy Process.
Tianjin university, Tianjin, China. 6–9 Sept. 1988 – Tianjin. I988. – P. 638–645.
Д31. Boose I. H., Brandshaw J. M. Expertise transfer and complex problems: using AQUINAS as a knowledge-acquisition workbench for knowledge-based systems//Int. J Man–Machine Studies. – 1987. – Vol. 26, №1. – P 3–28.
Д32. Expert Choice/E. H. Forman, T. L. Saaty, M. A. Seily, R. Waldron. – Decision Support Software. – McLean: Virginia, 1983.
Д33. Expert Choice Manual. Decision Support Software. – McLean, 1986.
Д34. Liu B. AHP in China//Proceedings of International Symposium on the Analytic Hierarchy Process. Tianjin University, Tianjin, China, 6–9 Sept. 1988. – Tianjin. 1988.
Д35. Диалоговая система прогнозирования на основе экспертом информации/ Р. Г. Вачнадзе, М. О. Карчава, Н. И..Маркозашвили и др.//Вопросы совершенствования планово-управленческой деятельности: Тр. ин-та управления народным хозяйством ГКНТ ГССР. – 1985. – С. 56–63.
ДЗ6. Карчава М. О., Цигриашвили Э. Н. Диалоговая система «САЭМА» для анализа взаимодействий в системах с иерархической структурой//Алгоритмы и программы. Информ. бюллетень ВНТИ Центр. – 1986. – №2. –С. 16.
Д37. Jech Т. The ranking оf incomplete tournaments. A mathematician's guide to popular sports//American Mathematical Monthly. – 1983. – Vol. 890, №4. – P. 74-87.
Д38. Саати Т. Л., Керис К. П. Аналитическое планирование. Организация систем/Пер. с англ. под ред. И. А. Ушакова. – М.: Радио и связь, 1991, 244 с.
Д39. Емельянов С. В., Ларичев О. И. Многокритериальные методы принятия решений. – М.: Знание, 1985, 32 с. –(Новое в жизни, науке. технике. Сер. Математика, кибернетика; № 10).
Д40 Saaty R. W. The analytic hierarchy process: what it as and how it is used?// Mathematical.Modeling. – 1987. – Vol. 9, №3–5.
Д41. Jensen R. E. An alternative scaling method for priorities in hierarchical structures//J. of Mathematical Psychilogy.- 1984. September - Vol. 28, №3. P317-332.
Д42. Калмыков С. А., Шокин Ю. И., Юлдашев 3. X. Методы интервального анализа. – Новосибирск: Наука, Новосиб. отделение, 1986 – 223 с.
Д43. Yoon K. The analytic hierarchy process with bounded interval input//Proceedings of International Symposium on the Analytic Hierarchy Process. Tianjin university, Tianjin, China, 6–9 Sept, 1988. – Tianjin, 1988, P. 149–156.
Д44. Aczel J., Saaty T. L. Procedures for synthezing ratio judgements//J. of Mathematical Psuchology. – 1983. – Vol. 27, №1. – P. 93–102.
Д45. Aczel J., Alsina C. On synthesis of judgments//Socio-Economic Planning Sciences.
– 1986. – Vol. 20, №6. – P. 333–339.
Д46. Xu Shubo, Liu Bao. A new dynamic priorities model and an analysis of China’s energy study for the future//VII International Conference on Multiple Criteria Decision Making, Kioto, Japan, August, 1986. – 1986.
Д47. Saaty T. L. The US-OPEC energy conflict: the pay off matrix by the analytic hierarchy process//International Journal of Game Theory. – 1979. – Vol. 8. №4. –
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие переводчикаПредисловие к русскому изданию
Предисловие
ЧАСТЬI
МЕТОД АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ
Глава 1. Иерархии и приоритеты: предварительное обсуждение................ 1.1. Введение1.2. Измерения и суждения
1.3. Иерархии
1.4. Приоритеты в иерархиях
1.5. Интуитивное обоснование метода
1.6. Пример иерархической композиции приоритетов
1.7. Процедура определения приоритетов
1.8. Резюме
Глава 2. Поучительные примеры
2.1. Введение
2.2. Тесты на точность, среднеквадратичное отклонение и медианное абсолютное отклонение
2.5. Оценка расстояний
2.6. Типичные иерархии
2.7. Психотерапия
2.8. Распределение энергии [137]
Глава 3. Основы
3.1. Введение
3.3. Сравнение шкал
3.5. Пересмотр суждений
3.6. Все собственные значения и собственные векторы: пример национальных богатств из гл. 2
3.7. Консенсус и метод Дельфи
3.8. Некоторые обобщения
Глава 4. Иерархии и приоритеты: формальный подход
4.1. Введение
4.2. Иерархии и приоритеты
4.5. Согласованность иерархии
Ч А С Т Ь II
ПРИЛОЖЕНИЯ
Глава 5. Прогноз, динамические приоритеты, взаимозависимость «вход–выход» и размещение ресурсов5.1. Введение
5.2. Ожидаемые величины, получаемые методом анализа иерархий:
прогноз
5.3. Маргинальные приоритеты
5.4. Динамические суждения и уравнение:
5.5. Измерение взаимосвязей между производственными способами:
«вход–выход»; приложение к Судану
5.6. Размещение ресурсов
5.7. Вероятностные суждения
Глава 6. Планирование, разрешение конфликтов и другие приложения... 6.1. Введение
6.2. Интегрированное нахождение приоритетов ресурсов для развивающейся страны
6.3. Мера влияния в мире
6.4. Процессы с двухточечным граничным значением: планирование от 6.5. Будущее высшего образования в США (1985–2000 гг.), планирование от достигнутого
6.7. Комбинированный процесс
6.8. Анализ конфликтов
6.9. Примеры из энергетики
6.10. Задача о таре для напитков
6.11. Применение метода к выбору кандидата от демократической партии
6.12. Аттестация преподавателей в высшей школе
6.13. Оптимальное использование территории
Ч А С Т Ь III
ТЕОРИЯ
Глава 7. Положительные обратносимметричные матрицы и их собственные значения7.1. Введение
7.2. Неприводимые матрицы
7.4. Вычисление собственного вектора
7.5. Согласованность
7.6. Обратносимметричные матрицы
7.7. Чувствительность собственного вектора
Глава 8. Приоритеты в системах с обратной связью
8.1. Введение
8.2. Матрица достижимости при структурировании систем
8.4. Суперматрица – общая композиция приоритетов
8.5. Относительные и абсолютные приоритеты
8.6. Примеры
Глава 9. Шкалирование и многокритериальные методы
9.1. Введение
9.2. Шкалы и измерение
9.3. Теория полезности
9.4. Краткое сравнение метода собственного значения с другими методами, использующими шкалы отношений
9.5. Подход, основанный на возмущениях: метод логарифмических наименьших квадратов
9.6. Метод наименьших квадратов для аппроксимации матрицы матрицей меньшего ранга
9.7. Многокритериальные методы
9.8. Другие сравнения
Приложение 1. Матрицы и собственные значения
Приложение 2. Некоторые понятия теории графов
Список литературы
Список работ, переведенных на русский язык
Дополнение Т. Саати. Замена интервальной шкалы на шкалу отношений в примере развития высшего образования в США
Д.1. Введение
Д.2. Теоретические результаты
Д.3. Приложения
Д.4. Программные реализации
Д.5. Некоторые общие оценки
Д.6. Тематика дальнейших исследований
Список литературы к дополнению
«