«ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ Метод анализа иерархий Перевод с английского Р. Г. Вачнадзе Москва Радио и связь 1993 ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА Советскому читателю предлагается перевод книги известного американского ученого Томаса ...»

Отметим, что целями руководства являются высокий доход, высокая базовая нагрузка, гарантирующая надёжность системы и небольшой излишек мощности, чтобы избежать высоких амортизационных расходов на неиспользуемое оборудование.

Цели других акторов также можно разумно объяснить. В рамках нашего обсуждения мы не будем углубленно описывать другие цели.

Четвертый уровень иерархии прямого процесса состоит из возможных будущих сценариев для энергосистемы. Первый сценарий – обычный бизнес, означающий, что при работе системы будет сохраняться настоящее положение, применяется политика краткосрочного планирования и не предусматривается долгосрочное планирование диверсификации или надежности системы. Второй сценарий – сохранение и планирование умеренного роста отрасли при диверсификации с тем же уровнем прибыли. В третьем сценарии отстаивается минимизация роста отрасли с одновременным проведением активной диверсификационной политики. Четвертый сценарий заключается в планировании и осуществлении значительного увеличения платы за электроэнергию, ведущего к ее экономии, что сильно влияет на использование электричества в качестве источника энергии.

Отметим, что второй и третий сценарии имеют почти одинаковый высокий приоритет по сравнению с первым и четвертым. Это означает, что наиболее вероятным исходом будет в равной мере второй или третий сценарий.

Обратный процесс. При имеющемся описании среды и того, что проясняет прямой процесс, применяем обратный процесс в качестве декларативного механизма для определения тех линий поведения, которым должна следовать система для достижения «желаемого» исхода сценария. На рис. 6.5 показана иерархия, соответствующая обратному процессу.

Здесь первый уровень – желаемое будущее энергосистемы. Второй уровень содержит желаемые сценарии развития энергосистемы, которые случайно (что не всегда так) оказались двумя предполагаемыми исходами прямого процесса. Третий уровень содержит проблемы, связанные с достижением каждого из желаемых сценариев. Уточнение этих проблем находится за пределами данного обсуждения.

Рис. 6.4. Иерархия процесса Большинство из них не нуждается в объяснении. Четвертый уровень содержит наиболее влиятельные силы с точки зрения их способности воздействовать на будущее энергосистемы. Они были избраны, основываясь на взвешивании, полученном при прямом процессе. В этом случае все акторы с весом меньше 0,10 не были учтены.

Поэтому рассматриваются только управление системой, государственная комиссия предприятий общественного пользования (КПОП), вкладчики и агентство по охране окружающей среды (АООС). Пятый уровень является основной причиной проведения обратного процесса. Этот уровень содержит переменные решения, или контролируемые политики системы, куда входят: устойчивая прибыль вкладчиков, гарантия надежности поставки энергии потребителям, погоня за высокой нормой прибыли на инвестируемый капитал, гарантия малого риска при инвестициях и активная кампания по экономии энергии.

Следующим шагом должно стать применение МАИ к этой иерархии так же, как и при прямом процессе. Целью является получение обобщенного вектора приоритетов для политик на пятом уровне. Эти веса показывают, какие политики следует проводить для системы наиболее энергично, для того, чтобы достигнуть сценария с наиболее желательным исходом. Результат применения МАИ представлен на рис. 6.5.

В этом случае третий сценарий, в котором настойчиво проводится политика диверсификации, был выбран в качестве наиболее желательного исхода. Обобщенные веса линий поведения, которые должны быть проведены, будут: устойчивая прибыль вкладчиков – 0,16; надежная поставка – 0,24; высокая норма прибыли – 0,26;

малый риск инвестиций – 0,10; экономия энергии – 0,24.

Заслуживает интереса интерпретация обобщенного вектора пятого уровня. Для достижения желательного сценария в энергосистеме должна проводиться политика, обеспечивающая надежную поставку энергии, высокую норму прибыли на вкладываемый капитал и экономию электроэнергии. Веса каждого из этих требований почти равны. Веса остальных двух политик несколько ниже, поэтому им уделяется меньшее внимание.

На второй итерации прямого процесса (рис. 6.6) были удалены акторы, приоритеты которых на первой итерации прямого процесса были ниже, чем 0,05. Относительная важность каждого актора также меняется, так как ситуация теперь такова, что в развитии энергосистемы ставится целью активная диверсификация. Ниже в таблице показано это изменение:

Наблюдается сдвиг в приоритетах от КПОП и АООС к управлению системой. Цели управления – лучше отразить стремление к желательному сценарию – определяются обратным процессом. Цели КПОП показывают изменение управления системой для достижения желательного сценария. Цели вкладчиков также меняются по тем же соображениям. Пересчет приоритетов для акторов и их целей во втором прямом процессе показан на рис. 6.6.

Выводы. Применение стратегии, предоставленной обратным процессом, дает согласованные с целями управления результаты при проверке во втором прямом процессе. Различия появляются в основном между двумя наиболее предпочтительными сценариями с акцентом на экономию электроэнергии.

Пример способствует пониманию управления как средства достижения компромиссов, необходимых для достижения желаемых целей. Для уточнения стратегии, которой нужно следовать, процесс нужно продолжить.

Целью этого исследования, проведенного для крупной корпорации с участием ее планирующего персонала, было выявление сфер потенциальных проблем. Предметом обсуждения были сферы и внешние акторы, на которые могла бы воздействовать политика корпорации для достижения более желательного будущего по сравнению с тем, если бы не были приложены специально направленные усилия.

Планирование исследовалось с точки зрения:

1. Проецируемого будущего. Каково будет будущее корпорации, если политика планирования останется такой же, как и сейчас, а другие, в основном внешние, акторы не будут изменяться?

2. Желаемого будущего. Какие изменения нужно провести в политике для достижения желаемого, а не прогнозируемого в настоящее время будущего?

Для иерархии проецируемого будущего перечислим уровни в убывающем порядке важности:

а) акторы, которые будут влиять на будущее корпорации: оценка их относительной важности;

б) политики/цели каждого важного актора, которые будут влиять на планирование: оценка их относительной важности для соответствующего актора;

в) альтернативные сценарии будущего корпорации относительно политики акторов: оценка относительной вероятности осуществления каждого сценария.

Для иерархии желаемого будущего были определены следующие уровни:

а) сценарии, желаемые для руководства: оценка их относительной желательности;

б) проблемы и препятствия, которые должны быть преодолены для реализации одного или более сценариев: оценка относительной важности каждой проблемы;

в) акторы, контролирующие решение каждой проблемы: оценка относительной значимости этих сил;

г) политики/цели каждого актора, воздействующие на стратегию поведения по отношению к проблемам: оценка относительной важности каждой политики/цели;

д) реакции корпорации при подборе подходящих способов воздействия на поведение акторов при решении проблем, связанных с реализацией желаемых вариантов будущего: оценка относительной важности каждой противодействующей политики.

Итоги. Структура проецирования будущего иллюстрируется рис. 6.7. Каждый сценарий строится посредством идентификации группы существенных факторов и приписывания значений каждому из них. Вес каждого сценария получен на основе совместимости с политикой акторов. Окончательный вес каждого сценария следующий: бум – 0,41; сохранение – 0,31; диверсификация на международном рынке – 0,23; крах – 0,05.

Структура желаемого будущего проиллюстрирована на рис. 6.8. Основные политики и их окончательные нормализованные веса будут: небольшой риск для вкладчиков – 0,24; политический контроль правительства – 0,20; успешная борьба с конкурентами – 0,15; успех корпорации – 0,13; высокая прибыль – 0,12; повышение курса акций – 0,09; личный успех руководства – 0,07.

Проецируемое будущее предлагает последовательную концентрацию внимания корпорации на развитие деловой сферы, которая была успешной в прошлом. Будут предприняты некоторые попытки для диверсификации на международном рынке, однако это будет в основном вызвано ухудшением положения на внутреннем рынке, а не привлекательностью международного рынка. Проецируемое будущее указывает на возможность того, что внутренний рынок не обеспечит приемлемую скорость роста в основном из-за действий поставщиков или правительства.

Наиболее значительными для проецируемого будущего корпорации акторами являются по порядку важности вице-президенты компании, основные вкладчики компании, правительство и поставщики сырья. Роль потребляемой продукции не считается особенно значительной в проецируемом будущем, подразумевается, что привычка делать покупки не изменится, если компания сама не предпримет каких-то новых действий. Политика и цели руководящего персонала корпорации, занимающего ключевые позиции, ориентирована, во-первых, на успех компании, а также на личный успех, означающий, что расширение существующих функциональных сфер как ведущее к успеху компании в целом имеет высокий приоритет. Представляется, что вкладчики руководствуются в основном минимумом риска и уже потом максимизацией прибылей. Для правительства важнейшим является политический контроль, затем развитие и извлечение доходов в виде налогов. Предполагается, что поставщиков заботит доход и они не особенно лояльны по отношению к покупателям их продукции; следовательно, существует риск недопоставки.

Международная экспансия рассматривается как намного более желаемое будущее. Основные проблемы, существенные при реализации желаемого будущего, следующие: конкуренция на внутреннем и международных рынках; риск, сопутствующий инвестициям в новую продукцию и рынки; политические и социальные проблемы. Для желаемого будущего поставка сырья и организационное развитие считались менее значимыми, чем другие проблемы. Наиболее значительными акторами, которые будут влиять на исход желаемого будущего, в порядке убывания важности считаются: правительство, вкладчики, конкуренты и руководство компании. Важно, что правительство оказалось ключевым актором при создании желаемого изменения. В то же время руководство компании, которое было самой влиятельной силой в прямом процессе, здесь имеет гораздо меньшую важность.

Из-за ограничений во времени противодействующие попытки управления корпорацией обсуждались в общих чертах. Тем не менее обнаружилось, что имеется настоятельная необходимость дальнейшего изучения, анализа и понимания поведения основных внешних акторов; метода оценки риска и доходов по альтернативным новым стратегиям роста; разработки методов для оказания большего воздействия на внешние факторы, влияющие в основном на тот будущий курс, который компания может пожелать провести.

6.7. Проецируемое будущее корпорации 6.8. Желательное будущее корпорации Управление медицинским обслуживанием Принятая форма действий в системах здравоохранения привела к стремительному росту стоимости медицинского обслуживания. Система здравоохранения значительно отличается от промышленных систем. В промышленности организационная структура строится так, чтобы управление можно было осуществлять через достижение конкретных целей, реализацию полномочий, независимых конкретных задач и показателей функционирования. В системах медицинского обслуживания цели чаще всего абстрактны, полномочия размыты, взаимозависимость низкая, а система оценок бедна и они противоречивы. Короче говоря, организационные проблемы при управлении медицинским обслуживанием выливаются в сильно конфликтующие задачи различных сил, влияющих на работу больницы. Цели часто несовместимы, а задачи совершенно различаются. Следовательно, существует необходимость в интегрирующем механизме для ослабления конфликта. Одним новым предложением, заслуживающим особого внимания, является концепция команды, в которой делается попытка интегрировать функции больницы. Вместо отдельных лиц, решающих заранее определенные задачи, обслуживание пациента будет результатом взаимозависимых действий.

В нашей иерархии отражена степень конфликта интересов между врачами, администрацией больницы, советом попечителей, обслуживающим персоналом и предполагаемыми пациентами. Рассматриваются две альтернативы современной системы медицинского обслуживания: концепция команды и статус-кво с административным контролем. Эти два сценария будут оцениваться для определения относительных предпочтений акторов и, следовательно, их совместного влияния на достижение политики сдерживания роста стоимости обслуживания. Здесь, ослабляя внутренний конфликт в частном лечебном заведении, иерархический анализ позволяет оценить:

сравнительную степень влияния акторов в больнице, связанных со сдерживанием роста стоимости обслуживания; эффективность воздействия двух сценариев на цели акторов; природу и степень конфликтов между целями каждой группы; наиболее вероятную альтернативу, а также получение для больниц общих рекомендаций о форме решений, которые необходимо принять.

С целью экономии места не будем описывать в деталях элементы иерархии. Они вместе с соответствующими приоритетами показаны на рис. 6.9. Тем не менее, возможно, будет полезным более подробно остановиться на нижнем, или четвёртом, уровне. Он воспроизводит две организационные стратегии. Политика поддержания статус-кво не будет включать фундаментальных изменений в нынешних организационных мероприятиях. Механизмы сдерживания роста стоимости чисто административны по существу, в них возможны изменения только в ограничениях на скорость роста и бюджета. Вторая политика представляет изменение организационных принципов в больнице. Концепция команды является новой политикой в управлении, включающей как экономические, так и клинические величины при управлении лечением пациентов. Врачи и обслуживающий персонал будут более тесно связаны с администрацией больницы в процессе решения управленческих проблем. Внимание будет акцентировано на подтверждении диагностических и лечебных методологий с точки зрения анализа «стоимость-эффективность». Лучше учитывается возможный контингент больных и денежные средства. Администрации понадобится большее понимание экономических последствий решений. Эти решения не будут чисто клиническими или чисто административными, а будут совместными решениями, принятыми командой, занимающейся медицинским обслуживанием.

Рис. 6.9. Иерархия и обобщенные собственные векторы Рис. 6.10. Иерархия второго прямого процесса Результаты первоначального прямого процесса показывают, что концепция команды не имеет явного преимущества над статус-кво как более предпочтительный подход для сдерживания роста стоимости медицинского обслуживания. Это – следствие конфликтующих целей двух действующих групп: врачей и остальных четырёх акторов, в равной степени воздействующих на эти два исхода. Врачи предпочитают фактически контролировать больницу, сохраняя существующее положение, в то время как другие группы поддерживают изменения через концепцию команды для получения большего контроля над больницей и, следовательно, более эффективного сдерживания роста стоимости.

Однако важно отметить, что приоритеты целей – зарплаты (а также статуса в данном случае врачей), получившие около 37% от общего веса, выделились по сравнению с целью сдерживания роста стоимости обслуживания. Поэтому зарплата сотрудников системы медицинского обслуживания не изменится в зависимости от выбора организационной структуры и, следовательно, не может считаться фактором, имеющим решающее значение.

Для заострения внимания на конфликтующих группах и попытки получения более убедительного результата, т. е. получения большей значимости для одного из двух исходов, хотя второй исход при концепции команды был бы более желателен для всех, были проведены модификации в структуре иерархии.

Был применен обратный процесс, сначала исключались цели, имевшие незначительный вес (ниже значения 0,01) и цели, индеферентные к организационным переменам, например зарплата. Затем была проведена вторая итерация прямого процесса для выявления эффекта от внесённых изменений.

Следствия первого прямого процесса выразились в повышенном внимании к семи основным целям, частично общим для всех акторов. Они смягчают противоречие между двумя основными противостоящими группами. Три из этих целей, вызывавших наибольшее внимание врачей, также рассматривались относительно всех акторов. Поскольку врач занимает ключевые позиции в современной структуре больницы, все акторы считают важным удовлетворить врачей и пациентов уровнем лечения. Оставшиеся четыре цели относятся не к врачебному блоку. Оправданием для их группировки в общий блок служит схожесть их основных интересов в больнице.

Для каждого из этих акторов концепция команды представляет собой предпочитаемый подход к достижению целей, имеющих для них наибольшие веса. Поэтому они сконцентрировали интересы для достижения своих целей в этих четырех сферах;

Врачи тем не менее не считают командный подход вообще существенным для определения их роли в медицинском учреждении и, следовательно, не интересуются любой из целей, представленных не врачебным блоком.

Иерархия второго прямого процесса (рис. 6.10) включает следующие семь целей: 1) врачи: удовлетворение обслуживанием; 2) врачи: профессиональное мастерство; 3) врачи: рабочая среда; 4) другие акторы: финансовое положение;

5) другие акторы: выполнение принимаемых решений; 6) другие акторы: удовлетворение обслуживанием; 7) другие акторы: рабочая среда. Для этих целей были определены приоритеты каждой из действующих сил. Через НУ (неучитываемые) обозначаются соответствующие неучитываемые коэффициенты собственного вектора. Подавляющий вес врачей и их относительное сопротивление переменам привели в результате к смещению приоритетов в сторону большей предпочтительности сохранения статус-кво на второй итерации прямого процесса. Врачи не склоняются к изменению своих целей и, следовательно, не похоже, что могут возникнуть условия для реализации концепции команды, хотя они и создают лучшие возможности для сдерживания роста стоимости обслуживания. Существующие тенденции будут развиваться до тех пор, пока не будет преодолена тупиковая ситуация посредством изменения основной структуры медицинского учреждения. Это повлияет как на относительный вес врачей, так и на организацию управления здравоохранением.

Метод анализа иерархии применялся к конфликту в Северной Ирландии для получения устойчивого решения в форме статуса доминиона. Уровни и соответствующие веса иерархии прямого процесса показаны в табл. 6.9. Цели взвешивались относительно действующих сил. Были получены составные веса. Для последующего взвешивания были оставлены только цели с высоким приоритетом, обозначенные в таблице звездочкой. Ирландская республика в качестве актора была исключена, так как ее цели не имеют высокого приоритета. Влияние оставшихся групп было нормализовано и использовано для взвешивания шести оставшихся целей. Составные веса заново были нормализованы, как показано в скобках. Альтернативные политические структуры сравнивались относительно целей с высокими приоритетами. Получилось, что статус доминиона наиболее приемлем.

актоСфера влияния Для применения обратного процесса прежде всего необходимо определить желательные исходы для каждой из конфликтующих группировок и оценить их реакцию на все исходы. Процесс анализа довольно длинный и подробно описан в [2, 3].

Оптимальный выбор энергоустановки, использующей уголь Проблему оптимального выбора типа работающей на угле энергоустановки (ЭРУ), обслуживающей район (общину), можно рассмотреть в виде иерархии с тремя главными критериями. Один из критериев связан с эффективностью использования источника энергии (ИИЭ), другой – с воздействием на окружающую среду, а третий – с экономикой. Каждый из этих критериев включает несколько факторов, показанных на рис. 6.11–6.13. Анализ экономического критерия здесь не приводится.

Например, эффективность ИИЭ включает четыре уровня: первый связан с временем года, топографией, географией и т. д.; второй – с различными потребностями общины в электроэнергии, такими как отопление и охлаждение, освещение и т. д.;

третий – с методом подачи энергии, а четвертый – с типом установки, генерирующей энергию.

Схема воздействий на окружающую среду в пояснении не нуждается.

Проведена оценка четырех современных систем аккумулирования энергии на основе шести критериев осуществимости. Это следующие системы: S1 – накопление S2 – подземная гидроаккумуляция; S3 – электрические батареи;

сжатого воздуха;

S4 – накопление энергии водорода.

Шестью критериями осуществимости являются: I – экологический; II – экономический; III – социальный; IV – выбор места; V – время, требуемое для постройки;

VI – совместимость с энергосистемой.

Матрица сравнений шести критериев и ее собственный вектор будут такими:

max = 6, 05 ; ИС = 0,01; ОС = 0, Рис. 6.13. Иерархические взаимоотношения для факторов окружающей среды Получено следующее ранжирование аккумулирующих систем:

S 2 = 0,14 ; S3 = 0,36 ; S 4 = 0, 24. Это подтверждает, что S3 – аккумулирующая система на электробатарее – наилучшая из всех четырех систем.

Оценка годового потребления энергии бытовыми электроприборами В этом примере, используя шкалу 1–9, студент попытался оценить относительную величину электроэнергии, потребляемой каждым из следующих бытовых электроприборов, путем сравнения их друг с другом. Затем он сравнил полученный результат с их нормализованными фактическими значениями, взятыми из справочника по потреблению электроэнергии (см. табл. 6.10).

Таблица 6.10. Матрица парных сравнений оценки годового потребления энергии Кухонная плита Холодильник Цветной телевизор Посудомойка Чёрно-белый телевизор Утюг Радиоприёмник Сушилка для волос max = 9, 256 ; ИС = 0,18; ОС = 0, В итоге получены следующие результаты:

Было оценено семь типов стеклянной тары, биметаллических и алюминиевых банок, используемых в производстве напитков. Оценки основывались на четырех критериях: потреблении энергии, стоимости, отходах и удобствах потребления.

Типами тары были: повторно используемая стеклянная тара без рецикла (ИСБР);

повторно используемая стеклянная тара с рециклом (ИСР); разовая стеклянная тара без рецикла (РБР); разовая стеклянная тара с рециклом (РР); биметаллическая банка без рецикла (БББР); алюминиевая банка без рецикла (АББР); алюминиевая банка с рециклом (АБР).

Матрица суждений о парных сравнениях четырех критериев была:

Тара сравнивалась относительно каждого критерия. Обобщенный вектор весов следующий:

ИСБР ИСР РБР РР БББР АББР АБР

Интересно отметить, что полученные результаты согласуются с опубликованными в литературе данными о расходе энергии, стоимости и отходах. Матрица для четвертого критерия – удобства потребителя и матрица взвешивания критериев строились так же, как и в предыдущем случае.

Это дало следующие приоритеты:

ИСБР ИСР РБР РР БББР АББР АБР

Вектор приоритетов близок к предыдущему вектору.

Следует обратить внимание на то, что для количественных факторов приводились минимальные и максимальные значения, которые наряду с соображениями технологичности использовались для получения диапазона значений по шкале 1–9.

В любом случае при анализе стеклянная тара предпочтительнее, что находится в соответствии с ростом ее использования на практике.

6.11. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА К ВЫБОРУ КАНДИДАТА

ОТ ДЕМОКРАТИЧЕСКОЙ ПАРТИИ

Человек, столкнувшийся с проблемой вынесения суждения о пригодности политического кандидата, часто внутренне испытывает сомнения относительно показателей, по которым должна производиться оценка. Тот, на кого глубоко подействовал Уотергейтский скандал, превыше всего ценит моральный облик и честность. Безработный, вероятно, придаст больший вес внутренней экономической политике кандидата. Если человека заботит безопасность и благосостояние угнетенных народов за рубежом; то больший приоритет получит в его оценках компетентность в международных отношениях. Но как поступать, если он восприимчив в некоторой степени ко всем этим соображениям? Очевидно, он должен решить, как сбалансировать эти и другие критерии.

Первым делом является выбор вопросов, существенных для кандидатуры. Позиция кандидатов по этим вопросам формирует критерии, которые следует оценить.

Множество вопросов может быть произвольным, однако некоторые из них несомненно рассматриваются чаше, чем другие.

Для описания реалистического множества обсуждаемых вопросов использовались суждения конгрессмена-демократа, достаточно чуткого к критериям своих избирателей. Как показано в табл. 6.11, выявилось восемь вопросов.

Таблица 6.11. Критерии выбора кандидата от демократической партии Обаяние Персональные свойства лидера, вызывающие энтузиазм Имидж Шарм, личная привлекательность; ассоциация с другими Опыт Предыдущие посты, имеющие отношение к президенту;

Экономическая политика Последовательность и ясность в экономической политике Компетентность в между- Последовательность и ясность во внешней политике плюс народных отношениях умение находить общий язык с зарубежными лидерами Моральный облик Высокие моральные принципы, верность своему слову Прошлые действия Качество исполнения роли в прошлом, независимо от роли на предыдущих общественных постах; общественная Честность Законность в общественной жизни, приверженность законам Эти вопросы сравнивались попарно в соответствии с их относительным вкладом в общий успех кандидата в президенты. Наиболее важным фактором оказался моральный облик, за ним идут с почти одинаковым весом четыре характеристики:

опыт, прошлые действия, экономическая политика и местность. Обаяние, компетентность в международных отношениях и особенно имидж получились сравнительно незначительными. Суждения конгрессмена были хорошо согласованными (индекс согласованности 0,07, который мал для матрицы такого порядка) [134].

По этим критериям было отобрано и сравнено несколько кандидатов для получения относительного веса их приоритетов.

6.12. АТТЕСТАЦИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ В ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ

Каждый год по всей стране аттестационные комиссии щедро одаривают мандатами кандидатов на продвижение по службе и пребывания в должности.

На рис. 6.14 приведена иерархия, которая использовалась на практике для обеспечения основы для суждений. Хотя используемые критерии могут быть одними и теми же для ассистентов, доцентов и профессоров, суждения становятся более жесткими по таким показателям, как значимость и качество научной работы для профессоров. Вначале комиссия устанавливает стандарты по критериям. Затем получают общие приоритеты для критериев, которые также оцениваются комиссией. Теперь все кандидаты оцениваются по одним и тем же критериям, и итоговый собственный вектор кандидата сравнивается с собственным вектором стандарта, который вычислен ранее. Среднеквадратичное отклонение и медианное абсолютное отклонение могут быть использованы для решения вопроса о том, насколько значительна разность.

6.13. ОПТИМАЛЬНОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕРРИТОРИИ

В приложении к использованию территории были применены следующие критерии для получения приоритетов различных земельных участков: живая природа, места отдыха, разработка полезных ископаемых, экономическое развитие, наличие леса. Территория была сначала разделена на кластеры с несколькими участками в каждом, а затем эти кластеры были разделены на части и сравнены.

ЧАСТЬ III

ТЕОРИЯ

Обратносимметричные матрицы – Системы с обратной связью – Краткое сравнение с другими работами.

Теперь вновь займемся формальной стороной предмета, определив и охарактеризовав иерархии и нелинейные сети. При этом исследуем свойства обратносимметричной матрицы парных сравнений и устойчивость ее максимального собственного значения и соответствующего собственного вектора. Глава 7 посвящена теории Перрона-Фробениуса и свойствам согласованных и обратно-симметричных матриц. В гл. 8 излагается метод Варфильда структурирования систем, а также наша теория приоритетов, обобщенная на системы. В гл. 9 кратко обсуждаются шкалирование и теория полезности, включая работу Терстена и процедуру наименьших квадратов.

ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ОБРАТНОСИММЕТРИЧНЫЕ

МАТРИЦЫ И ИХ СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

В гл. 4 определены функция приоритетов и вектор приоритетов в иерархии H. Как известно читателю, способ нахождения приоритетов наиболее важен в нашем методе. Для матрицы A действительных чисел, представляющих попарные сравнения важности элементов на одном уровне H по отношению к одному элементу расположенного выше уровня, определяются наибольшее собственное значение max и решение уравнения Поэтому наши интересы направлены на изучение квадратных матриц для которых т. е. положительных, обратносимметричных. квадратных матриц. Особую важность приобретают матрицы, не только обладающие приведенными выше свойствами, но и являющиеся согласованными, что означает наличие такого важного соотношения:

В этой главе рассматривается та часть теории матриц, которая необходима для обоснования математических свойств нашего метода (см. определения в Приложении 1).

Начнем систематическое изложение с введения понятия неприводимой матрицы.

Весь нужный материал по неприводимым матрицам, используемый в книге, приведен в следующем разделе. Затем изложим фундаментальную теорему ПерронаФробениуса для неотрицательных неприводимых матриц, которая обеспечивает существование единственного решения задачи о собственном значении. Так как рассматриваемые обратносимметричные матрицы положительны, сконцентрируем внимание на положительных матрицах, теореме Перрона и ее доказательстве. Далее доказывается, что искомый собственный вектор может быть получен как предельная сумма строк A, где A – примитивная матрица. Затем кратко описывается способ вычисления собственного вектора на практике, после чего обсуждаются согласованность обратносимметричной матрицы, отклонение ее главного собственного значения от n, нечувствительность этого собственного значения по отношению к малым возмущениям в A, а также изучаются свойства согласованных матриц.

Далее рассматриваются характеристики обратносимметричных матриц и их правых и левых собственных векторов, а также вопрос о том, что малые возмущения элементов обратносимметричной матрицы вызывают малые возмущения компонент ее главного собственного вектора. В том же разделе приводится формула, принадлежащая Варгасу, для величины возмущения, которое получает каждая компонента собственного вектора как функция возмущения исходной матрицы.

Обратносимметричные матрицы попарного сравнения не содержат нулей, следовательно, они всегда неприводимы. Понятие неприводимости понадобится при рассмотрении общем системы в гл. 8, где придется иметь дело именно с неприводимыми, а не просто положительными матрицами.

Определение 7.1. Квадратная матрица – неприводимая (по отношению к переA1 становкам), если она не может быть представлена в виде квадратные матрицы, 0 – нулевая матрица. В противном случае матрицу называют приводимой. Следующая матрица — приводима:

Граф, соответствующий этой матрице, имеет дугу из первой в первую и третью вершины и аналогично из третьей в первую и третью вершины, но переход во вторую вершину невозможен. Со второй вершины можно перейти во все три вершины.

Таким образом, первая и третья вершины образуют неприводимую компоненту, а вторая связана с ними. Очевидно, меняя местами второй и третий столбцы, а также вторую и третью строки, рассматриваемую матрицу можно привести к виду где A1 и A3 – квадратные, A1 – неприводимая матрицы.

Следующая теорема касается эквивалентности свойства неприводимости матрицы и сильной связности направленного графа матрицы.

Теорема 7.1. Комплексная матрица A неприводима в том и только в том слуD ( A) — сильно связный.

чае, если ее направленный граф Доказательство этой теоремы довольно очевидно. Любая степень приводимой матрицы A также приводима и, следовательно, имеет блок нулей в правом верхнем углу. Поэтому не существует пути между вершинами, соответствующими A1, и верA2 и A3. Наоборот, если граф не сильно связный, то шинами, соответствующими существует блок вершин, которые не могут быть достигнуты, и подходящими перестановками соответствующая матрица может быть приведена к указанной выше форме.

Теорема 7.2. Квадратная матрица или неприводима, или может быть приведена путем перестановок индексов к виду:

содержащему блок – диагональную матрицу с неприводимыми матрицами Ai ( i = 1, …, k ) на диагонали. При этом, по крайней мере, одна из матриц с двойным индексом в каждой строке, в которой они появляются – ненулевая (см. [52, 53]).

Доказательство теоремы проводится в предположении, что если матрица приводима и может быть представлена в виде, данном в определении приводимой матрицы, или же ее диагональные блоки приводимы, то она вновь может быть представлена в такой форме. В свою очередь, если какой-либо из ее диагональных блоков приводим, он вновь представляется в соответствии со стандартной формой приводимой матрицы. В результате после соответствующей перестановки индексов, получим матрицу, все элементы которой над диагональными блоками равны нулю; все диагональные блоки неприводимы. Кроме того, соответствующей перестановкой индексов все строки, диагональные блоки которых только ненулевые матрицы, могут быть расположены так, чтобы распасться на части, как уже было показано выше.

Отметим, что каждый; из «изолированных» блоков A1, …, Ak достижим в графотеоретическом смысле, из узлов, соответствующих строкам с двумя индексами, но не наоборот. Заметим также, что все матрицы с двумя индексами в каждом столбце могут быть просто записаны в виде строки блоков R1, R2, …, Rk, Q, где Q, конечно, уже не является неприводимым. Приведенная выше форма является единственной с точностью до перестановок блочных индексов.

Можно было бы закончить и транспонированной формой, в которой блоки R1, R2, …, Rk, Q образуют последний столбец нашей матрицы. Действительно, это та форма, которая будет использоваться позже, при рассмотрении «стохастических»

матриц приоритетов.

Процесс построения нормальной формы матрицы приоритетов – прямой. Начинаем с любого элемента и заполняем в его столбце ненулевые приоритеты воздействий как компоненты собственного вектора всех тех элементов, которые имеют воздействие на него. Каждый из этих элементов, в свою очередь, входит в примыкающие столбцы со входящими ненулевыми приоритетами воздействий всех других элементов на них. Процесс продолжается до тех пор, пока еще есть новые элементы, которые влияют на это множество. Следует удостовериться в том, что новых элементов больше нет. Так получаем блок для неприводимого множества. Начиная с другого элемента, процесс повторяется для следующего блока и т. д.

7.3. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ

ГЛАВНЫХ СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ

Как указывалось ранее, сначала будет представлена общая теорема существования и единственности при решении задачи о собственном значении для неотрицательной неприводимой матрицы (более общей, чем положительная обратносимметричная матрица). Это фактически и есть теорема, доказанная Фробениусом, который обобщил результат Перрона для положительной матрицы. Затем следует обсуждение и доказательство теоремы Перрона. Доказательство теоремы Фробениуса может быть найдено в [53].

Теорема 7.3. (Перрон–Фробениус). Пусть A 0 – неприводимая матрица. Тогда:

1. A имеет действительное положительное простое (т. е. не кратное) собственное значение max, которое по модулю не меньше любого другого собственного знаA (некоторые из которых могут быть комплексными числами).

чения матрицы 2. Собственный вектор положительные компоненты и, по существу (с точностью до постоянного множителя), единственен.

3. Число max (иногда называемое корнем Перрона матрицы A ) удовлетворяет условию Перрона удовлетворяет условию Теорема 7.4. (Перрон). В этой теореме утверждается то же, что и в предыдущей, с той разницей, что матрица A > 0 (и, следовательно, неприводима) и модуль max строго превосходит модули всех других собственных значений.

Краткое доказательство теоремы Перрона может быть получено как результат матрицах [25]. Последовательность этих фактов такова: пусть ( n n ) -матрица, max – ее наибольшее собственное значение.

1. ограничено сверху и снизу соответственно максимальной и минимальной строчными суммами матрицы A.

Следовательно, если A – стохастическая матрица, т. е. если её строчные суммы равны единице, то max = 1.

2. Для стохастической матрицы где – положительный вектор-строка, 4. есть наибольшее собственное значение A и называется главным собственным значением, а и – главные собственные векторы, единственные с точностью до постоянного множителя.

5. ортогонален всем не главным собственным векторам-столбцам, а – всем не главным собственным векторам-строкам.

б. Если 1 – наибольшее собственное значение A, причем i j, i j, i, j = 1, …, n, и если i – правый собственный вектор, соответствующий i, то Эту важную теорему, сформулированную в таком виде, очень легко доказать. Но ее можно и обобщить.

7. Теорема верна и в случае, когда же прочих условиях.

Теорема 7.5.

Неравенство имеет место, когда суммы не одинаковы.

Доказательство. Компоненты вектора Ae представляют собой суммы строк матрицы A. Пусть наибольшая сумма строк есть M, а наименьшая – m. Тогда me Ae Me, а равенство имеет место только при m = M.

Из выражения имеем Если теперь разделим неравенство на положительное число для сумм столбцов.

Доказательство (2) получается либо из выражения либо из k, 1 tr Ak. Остальная часть доказательства здесь не приводится.

при ментов каждой строки равна единице, то существует положительная вектор-строка Доказательство. Пусть ym = A y0 и пусть am и bm – максимальная и минимальная компоненты ym соответm ственно. Пусть – минимальный элемент матрицы A. Так как ym +1 = Aym, любая ym +1 получается умножением строки A на ym, и, следователькомпонента вектора но, имеем следующие границы для произвольной компоненты c вектора ym +1 :

куда (следовательно, (следовательно, Отсюда по индукции получаем Так как правая часть этого неравенства стремится к нулю, то общему пределу, и. следовательно, все компоненты т. е. lim ym = Ce при b0 C a0 (равенство имеет место только при a0 = b0 ). Пусть y0 = ( y0, y0, …, y0 ), где y0 = 1, y0j = 0, j i. Тогда ym есть i -й столбец матрицы Am, и, как уже установлено, ym ( ci, …, ci ) T, причем b0 = 0, ci > b0 = 0. СлеT довательно, Отметим, что поскольку каждая строчная сумма Теорема 7.7. Если Краткое доказательство. Пусть Рассмотрим отображение Это отображение положительно: так как fx = 1, то x имеет ненулевую компоненту, и, следовательно, Ax > 0 и fAx > 0. Далее и поэтому T отображает S в S. Так как A непрерывна, по теореме Брауера о нечто подвижной точке найдется точка Поскольку левая часть положительна, – положительна и = fA > 0. Следовательно, A =, > 0, > 0. Наконец, пусть D – диагональная матрица с d ii = i и d ij = 0, i j. Так как > 0, D имеет обратную матрицу D, также диагональную, с диагональными элементами 1 i, т. е. = De и Отсюда следует, что суммы строк матрицы D (1 ) AD равны единице, т. е.

эта матрица – стохастическая, и исходя из теоремы 7.6 найдётся такой векторчто строка (т. е. строки предельной матрицы все одинаковы), откуда непосредственно получаем Доказательство.

откуда имеем A = и Аналогично A =.

ложительны, а – неотрицателен (с некоторыми ненулевыми компонентами), все компоненты левой части равенства положительны, и, следовательно, – положителен; аналогично для.

Теорема 7.9. Все собственные векторы, соответствующие собственному значению, являются постоянными множителями и.

Доказательство. Если k имеем u = u. Аналогично для векторов-строк.

Теорема 7.10. Модуль любого другого собственного значения h 0, имеем u = 0, и, следовательно, ортогонален векторустолбцу u. Аналогичный аргумент можно использовать, чтобы показать ортогональность ко всем не главным собственным векторам-строкам матрицы A.

Следствие. = 1.

Доказательство. В условиях теоремы пусть u =, тогда h = и =. Так как – число, получаем = 1.

Замечание. есть след матрицы, и, следовательно, этот след всегда равен единице.

aij 0, dij > 0, имеет неотрицательное решение x j 0, j = 1, …, n, если где Теорема 7.11 [182]. Если A – неотрицательная неприводимая матрица, то значение max возрастает с увеличением любого элемента aij.

Доказательство. Пусть где – действительный параметр [110]. Пусть M – множество всех, для котоI A) пусто для x > 0 и остается таким для сравнительно большого, x > Ax, т. е.

x Ax > 0, и это условие обеспечивает существование неотрицательного решения и эквивалентно вышеописанному условию на главные миноры. Так как M зависит от A, обозначим его M ( A ).

другие собственные значения не превосходят Ниже показан важный результат, который заключается в том, что собственный вектор, соответствующий max, представляет собой нормализованные суммы элеменk -й степени Ak -матрицы A (а не суммы тов строк предельной матрицы в точности всех степеней A ).

Теорема 7.12.

A > 0, 1 – главный собственный вектор, соответствующий максимальному собгде ственному значению 1, i j для всех i и j, i – правый собственный вектор, Доказательство.

Так как 1 > 0, b 0, что и требовалось доказать.

Теперь обобщим эту теорему.

гда и только тогда, когда существует целое m 1. такое, что A > 0. В противном случае матрицу называют импримитивной. Граф примитивной матрицы имеет длину пути между любыми двумя вершинами m.

Из работ [50, 114, 182] известно, что неотрицательная неприводимая матрица A примитивна тогда и только тогда, когда A имеет единственный характеристический корень с максимальным модулем, и этот корень имеет кратность, равную единице.

Теорема 7.13. Для примитивной матрицы A c – постоянная, а – собственный вектор, соответствующий max 1.

Доказательство. Допустим A > 0. Рассмотрим жорданову каноническую форму B матрицы A. Тогда для некоторой невырожденной матрицы N где Bi, i = 2, …, r есть mi mi жорданова блочная форма, которая имеет вид ветственно, а базисные векторы для каждого подпространства жордановой формы и имеем Отметим, что где где u – нулевая матрица, если k n, а если k > n – диагональ единиц в u, сдвинутая вниз на каждую дополнительную степень u. Например, pij – полиномы от k, а c1, c2 – постоянные, не зависимые от k. Выражение, будет иметь член Типичный член будет стремиться к нулю при k (так как 1 превосходит все другие ). Полаe = ( a1 c1 ) и V1 =, получаем теорему для A > 0.

гая Замечание. Отметим, что показать, что a1 0, исходя из того, что все aij в разложении e и все Vi действиe оставляет a1 0, а результат при тельны и положительны. Малое возмущение этом останется тем же самым.

вует такое положительное целое m, что A > 0 (т. е. при движении по петлям в коm нечном счете возможно получение пути любой желаемой длины между произвольной парой вершин соответствующего графа). Приведенное выше доказательство Am и его наибольшему собственному вектору ( Am ). Действительно, применимо к A – ограниченный линейный оператор (и поэтому непрерывный), имеем так как Это завершает доказательство.

Замечание. Следующая неотрицательная матрица неприводима (ее граф – сильно связный, так как у любой пары вершин имеется путь, связывающий их):

Эта матрица не удовлетворяет условиям теоремы, поскольку она импримитивна, имея 2 как единственное собственное значение кратности 3. Для пояснения этого отметим следующее:

x1 с зацикливанием вместо сходимости.

мое, что и

7.4. ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННОГО ВЕКТОРА

Вычисление главного собственного вектора основано на использовании теоремы 7.13. Она утверждает, что нормализованные строчные суммы степеней примитивной матрицы (и, следовательно, положительной матрицы) в пределе дают искомый собственный вектор. Поэтому краткий вычислительный способ получения данного вектора – возводить матрицу в степени, каждая из которых представляет собой квадрат предыдущей. Строчные суммы вычисляются и нормализуются. Вычисления прекращаются, когда разность между этими суммами в двух последовательных вычислениях меньше заранее заданной величины.

Обратносимметричные неотрицательные матрицы могут иметь комплексные собственные значения. Следовательно, они не допускают просто общей характеристики. Однако поскольку максимальное собственное значение лежит между наибольшей и наименьшей из строчных сумм, согласованная матрица имеет собственное значение, равное сумме любого из ее столбцов. Как будет показано, малое возмущение не сильно меняет максимальное собственное значение и остальные собственные значения находятся в окрестности нуля, причем их сумма – действительное число.

Выбор возмущения, наиболее соответствующего описанию влияния несогласованности на вычисляемый собственный вектор, зависит от психологического процесса, имеющего место при заполнении матрицы попарных сравнений исходных данных. Предположим, что все возмущения, заслуживающие внимания, могут ( быть сведены к общему виду Например, Теперь получим некоторые элементарные, однако существенные результаты для согласованных матриц. Начнем с выражения которое является находим, что поэтому Подставляя имеем Теорема 7.14.

Доказательство.

что Теорема 7.15. Положительная обратносимметричная матрица согласована тогда и только тогда, когда max = n.

Доказательство. Если j, следовательно, матрица A – согласованна.

«несмещенного» суждения, которое ограничено «естественной» наибольшей нижней границей – 1 для ij (так как aij должно быть больше нуля) и будет стремиться к Малые возмущения элементов положительной обратносимметричной матрицы вызывают малые возмущения в собственных значениях от их исходной величины.

Вообще говоря, это неверно для положительных матриц. Докажем этот факт для max.

Теорема 7.16. Пусть Доказательство очевидно.

Таким образом, если возмущение (или ошибка в суждении) мало, и число сравниваемых элементов также мало (например, менее десяти), то отклонение max от n также мало. Отметим вновь, что для того, чтобы остаться вблизи согласованности, нужно, чтобы n было мало. Например, = 0,1, n = 7 дает max n < 0, 04, а = 0,9, n = 7 дает max n < 2, 43.

i, j имеет все собственные значения равными нулю, но та же самая матрица с ных an1, замененным на, где > 0 мало, имеет максимальное собственное значение меняется непрерывно с коэффициентом, ее величина становится большой даже для малых (этот факт сообщил мне А. Лауб из Массачусетского технологического института).

В [168] отмечено, что, используя свойство обратной симметричности aij = 1 a ji из aij a jk = aik, имеем aij a jk aki = 1. Следовательно, согласованность для обратравенства носимметричной матрицы значит, что все контуры длины три имеют единичную интенсивность.

Предполагая и рассматривая треугольные контуры, находим чае предметом нашего внимания является разность max n.

Теперь проверим гипотезу о согласованности. Полная согласованность может быть сформулирована в виде нулевой гипотезы:

и мы проверяем ее по отношению к односторонней альтернативе Соответствующая тестовая статистика будет где – максимальное наблюдаемое собственное значение матрицы, элементы aij содержат случайную ошибку. Установление статистической меры для сокоторой гласованности требует нахождения распределения статистики m. Несмотря на то, что её специфическая форма выходит за рамки материала этой главы, заметим, что m соответствует неотрицательному вероятностному распределению, дисперсия которого есть удвоенное среднее x, и представляется совершенно аналогичным расx 2, если предположить, что все ij, есть N ( 0, ) на интервале ( 1, 1).

пределению Для нашей цели при неизвестном распределении используем общепринятое отношеx µ0 ) 2 x при µ0 = 0, т. е. используем тверждения нулевой гипотезы, когда тестовая статистика, допустим, 1. Поэтому при x > 2. можно измерять несогласованность.

Более подходящий метод проверки статистики m заключается в используемом нами сравнении ИС с СИ.

Замечание. Заметим, что для матриц Возвращаясь к представлению находим, что i j приближает нас к согласованности (см. также обсуждение метода наименьших квадратов, которое будет проведено позже).

Теорема 7.17. Если положительная матрица A согласованна, то каждая строка является положительным кратным любой заданной строки.

Доказательство. Без ограничения общности будем считать, что каждая строка является положительным множителем i -й строки. Из отношения a jk = aik aij следуj и положив k = 1, 2, …, n, j -я строка будет равна i -й строет, что, зафиксировав Замечание. Очевидно, что обратное утверждение этой теоремы неверно. Матрица единичного ранга может и не быть согласованной. Например, в матрице элемент Таким образом, согласованная матрица при веденной матрице, она согласованна.

Теорема 7.18. Если aij = 1 a ji.

Доказательство. Из определения следует, что для всех Теорема 7.19. Положительная матрица A согласованна в том и только в том случае, если она единичного ранга и элементы её главной диагонали равны единице.

Доказательство. Если A согласованна, то aii = 1. Также i -я строка есть первая строка, умноженная на (1 a1i ), и, следовательно, ранг A дая строка является кратной первой строке, т. е.

и матрица A согласованна.

Перейдем к иллюстрации понятия согласованности на языке теории графов.

Определение 7.3. Интенсивность суждений, относящихся к пуль из i в j (называемая интенсивностью пути), равна произведению интенсивностей, соответствующих дугам этого пути.

Следующая теорема вносит ясность относительно связи, существующей между интенсивностями путей и согласованностью. Напомним, что перекрывающее дерево с n вершинами имеет n 1 ребер. Оно является связным графом, включающим все вершины и не имеющим контуров. Поэтому имеется единственный путь между любой парой вершин.

Теорема 7.20. Необходимым и достаточным условием существования единственной положительной согласованной матрицы является то, что объекты (как вершины) и соединяющие их суждения (как дуги) формируют перекрывающее дерево.

Доказательство. Необходимость. Если объекты формируют контур, то имеется не единственный путь между двумя вершинами в контуре, что дает два различных значения для одного и того же элемента. Все объекты должны образовывать дерево, иначе суждения для связывания изолированных объектов были бы произвольными, что нарушило бы единственность матрицы.

Достаточность. Для каждой дуги перекрывающего дерева мы используем интенсивность вдоль единственного пути для получения интенсивностей между объектами i и j. Это определяет матрицу A = ( aij ).

Для доказательства согласованности матрицы A рассмотрим любую строку, например i -ю. Для любой пары вершин j и k нужно показать, что a jk, определенная вующие произведений интенсивностей дуг на путях, соединяющих i с k и i с j.

Рассмотрим два случая:

1. i лежит на пути между а) i, j и k образуют путь; в этом случае путь, определяющий a jk, дается велиaik aij, если j находится между i и k и обратной величиной aij aik, т. е.

чиной aik aij, если k находится между i и j, так как путь должен проходить от j к k, а не от k к j ;

б) i, j и k образуют вилку в m (см. рис. 7.1). Тогда Теорема 7.21. Если A – согласованная матрица, то Доказательство. Из теоремы Сильвестра имеем Эта формула справедлива и для случая значений), когда кратное собственное значение равно нулю. Подставляя сначала соответственно. Подстановка A Теорема 7.22. Любой столбец матрицы A = (i j ) является решением задачи о собственном значении 1 j, 2 j, …, n j, то он является просто кратным и, следовательно, решением задачи.

Из последней теоремы получается предыдущая теорема, так как если обозначить столбцы Теорема 7.23. Любая строка матрицы Доказательство очевидно.

Следствие. Компоненты правого и левого собственных векторов, и, являются обратными величинами с точностью до постоянного множителя. (Будем называть их двойственными векторами.) Определим норму матрицы элементов A ).

Как известно, для примитивной матрицы c – постоянная, max – нормализованный главный собственный вектор A.

Следующая теорема является упрощенной версией этой теоремы для согласованных матриц.

Ae = C, где C > 0 постоянная и удовлетворяет равенству A = n.

Доказательство. Вектор Ae является суммой строк A и, очевидно, постоянным множителем любого столбца. Поэтому он является решением задачи о собственном значении.

Другой вариант доказательства. Легко показать, что A имеет единичный ранг тогда и только тогда, когда существуют векторы и, следовательно, Следствие 2.

Следующая теорема показывает, что в случае согласованных матриц компоненты собственного вектора изменяются монотонно с изменениями отдельных элементов.

Теорема 7.25. (Теорема о монотонности.) Пусть axy на axy + > 0 и, используя строку x, построим новую согласованодин элемент рицы Доказательство. Так как и A и A согласованны, любой нормализованный столбец дает главный собственный вектор. Рассмотрим столбец, содержащий 1 axy в A, и соответствующий столбец, содержащий 1 ( axy + ) в матрице A*. Два матрице столбца идентичны за исключением этого единственного элемента. Сумма элементов столбца в A меньше, чем сумма элементов столбца в A. Поэтому, нормализуя данный столбец, получаем большее отношение для всех тех элементов, которые не меx, поэтому x > x.

няются в обеих матрицах. В частности, это верно для В дальнейшем обобщим эту теорему на обратносимметричные матрицы порядка 2, 3 и 4.

Теорема 7.26. Если A – положительная согласованная матрица и A получена из A вычеркиванием i -й строки и i -го столбца, то A – согласованна и ее соответA, если положить i = 0 и нормализоствующий собственный вектор получается из вать компоненты.

Доказательство. Для любой заданной строки A, например для первой, имеем aij = a1i a1 j и i -я строка A зависит от элемента i -го столбца в его первой строке.

Аналогичное следует из i -й строки или i -го столбца A и, следовательно, A также согласованна. Так как их элементы совпадают за исключением i -й строки и i -го столбца A и решение задачи о собственном значении при согласованной матрице получается из любого нормализованного столбца, получаем утверждение теоремы.

Замечание. В общем случае, если словами, исключение одной строки из матрицы парных сравнений не вызывает пропорционального перераспределения весов среди других строк.

Следующая теорема показывает, что отношения порядка между отдельными aij и довольно сложным образом зависят от всей матрицы Теорема 7.27. Для примитивной матрицы тогда, когда Доказательство. Из равенства имеем Поэтому Следовательно, теорема верна, если имеет место следующее неравенство:

что завершает доказательство.

Теперь обратимся к важному обобщению предыдущих результатов. Будем считать, что наш разум работает фактически с попарными сравнениями, однако aij явaij (i j ). Например, по наi j лежит где-то между 0,3 (в случае оценки громкости) и 4 (в случае оценки электрического удара). Другими случаями являются: яркость – от 0,33 до 0,50, длина – 1,1, продолжительность во времени – 1,15, численность – 1,34, тяжесть – 1,45 и скорость – 1,77. Для метатетических явлений (процессов замещения возбуждения возбуждением), по мнению Стивенса, степенной закон неприменим, т. е. для процессов мышления a = 1.

Эти наблюдения обусловливают интерес к изучению общего решения i = 1, …, n ; задачи о собственном значении, где предполагается условие согласованности вида для которого матрица также имеет единичный ранг. Наш основной результат – следующий.

Теорема 7.28. (Степенной закон собственного значения.) Если матрица A = aij (i j ) порядка n удовлетворяет обобщенному условию согласованности, то задача о собственном значении имеет решение в виде собственного вектора Доказательство. Выражение gi (i ), i = 1, …, n, задачи о собственном значении. Если подставим его в условие согласованности, то получим ние соответствующей задачи о собственном значении (с aij на постоянную степень a его аргумента. Однако мы знаем, что заменим aij = i j при a = 1, поэтому, вообще говоря, aij = (i j ), из чего следует, что т. е.

Эта теорема показывает, что решение задачи о собственном значении, удовлетворяющей условию согласованности, дает оценки в степенной шкале. В тех приложениях, где для получения данных используется знание, а не наши ощущения, следует ожидать равенства степени единице, и, следовательно, здесь мы будем иметь оценку в основной шкале. Это наблюдение может быть полезным в социальных приложениях.

Замечание. Отметим, что различные матрицы попарных сравнений могут давать один и тот же собственный вектор. Это довольно удачное обстоятельство, так как позволяет заменять признаки и все же получать тот же самый собственный вектор в качестве ответа. Поэтому можно получить один и тот же результат с различных точек зрения и выбрать те матрицы, которые мы предпочитаем. С другой стороны, мир познания может быть сведен к малому множеству признаков с фиксированными значениями относительной шкалы. Отношения и их интенсивность будут детерминистическими, и индивидуальное предпочтение не будет существенным. Конечно, это не приведет к конфликту. Однако разнообразие с конфликтом богаче детерминизма.

Здесь возникает технический вопрос: при заданном собственном векторе и всех матрицах, из которых он получен, можно ли перейти от одной из них на любую другую, производя малые возмущения в элементах? В частности, возможен ли переход из матрицы отношений к любой другой матрице малыми возмущениями?

Другим вопросом будет: при рассмотрении двух собственных векторов, являющихся малыми возмущениями каждого, существуют ли малые возмущения, которые переводят один класс соответствующих матриц в другой?

7.6. ОБРАТНОСИММЕТРИЧНЫЕ МАТРИЦЫ

Теперь исследуем некоторые свойства положительных, обратносимметричных матриц.

Теорема 7.29. Собственные значения положительной обратно-симметричной матрицы удовлетворяют следующему уравнению:

Доказательство. Мы знаем, что так как – собственное значение из чего следует, что второе слагаемое справа равно нулю.

Теорема 7.30. Пусть a ji = aij 1. A согласованна тогда и только тогда, когда max = n.

Доказательство. Из уравнения получаем Очевидно, что из равенства сумма собственных значений равна n, следу матрицы A.

Чтобы доказать обратное утверждение, заметим, что предыдущее выражение соaij, а именно, aij ji1 и i 1 aij. Их сумма имеет вид нов aij = i j. Поэтому, когда max = n, имеем откуда следует, что Если A несогласованна, то можно ожидать, что в некоторых случаях из неравенства aij akl не следует i j k l. Однако, поскольку i, i = 1, …, n, определяA, следует ожидать, что справедлива следующая ются значениями строки матрицы теорема.

Теорема 7.31. (Сохранение порядковой согласованности.) Если – порядковая шкала объектов j = 1, …, n, то из oi ok следует, что i k.

Доказательство. Действительно, из A = max имеем, что и поэтому Теорема 7.32. Любая положительная обратносимметричная матрица порядка 2 2 согласованна.

Доказательство очевидно.

Теорема 7.33. Компоненты нормализованного левого собственного вектора обратносимметричной положительной матрицы порядка 3 3 являются обратными величинами компонент правого собственного вектора.

Доказательство требует использования следующего равенства в выражениях для и, приведенных в гл. 5 для динамических приоритетов при n = 3 :

Нормализованное обратное отношение между компонентами левого и правого собственных векторов не выполняется для n = 4, как видно из следующего контрпримера ратный вектор к нормализованному Следовательно, n = 4 есть первый случай, где решение зависит от согласованности наблюдений и их обоснованности, а не от структуры матрицы парных сравнений. (Имеются контрпримеры для n = 5, 6, 7.) Возникает искушение предположить, что свойство обратной симметричности между компонентами главного левого и правого собственных векторов для n 4 имеет место тогда и только тогда, когда матрица согласованна.

Джонсон, Ванг и Беин в [71] заметили, что так как левый и правый собственные векторы не являются обратными величинами для n 4, для решения ряда задач можно воспользоваться как левым, так и правым собственным вектором. Это наблюдение представляет интерес и с философской и с математической точек зрения. Повидимому, для нашего сознания не существует единственного пути синтеза собственных мер доминирования и антидоминирования, или рецессивности для получения единой интерпретации реальности. Хотя и возможно создание итеративных схем для объединения и левого и правого собственных векторов в одну меру, такая мера нуждается в простой естественной интерпретации.

В рамках МАИ для включения двух противоположных концепций использован анализ «эффективность – стоимость». Это представляется эффективным путем рассмотрения двух сторон человеческого опыта.

7.7. ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ СОБСТВЕННОГО ВЕКТОРА

Часто возникает вопрос, насколько чувствительны приоритеты, задаваемые компонентами собственного вектора, к небольшим изменениям в величинах суждений.

Желательно, чтобы приоритеты не колебались в широких пределах при малых изменениях в суждении. Существуют три способа проверки этой чувствительности:

1) нахождение математической оценки колебания; 2) получение ответов, основанных на большом числе компьютерных вычислений, построенных соответствующим образом для проверки чувствительности; 3) комбинация предыдущих двух способов, особенно при невозможности проведения полной аргументации аналитически.

Как уже указано, в случае согласование max равно следу матрицы, который представляет собой сумму единичных элементов. При этом следует ожидать, что собственный вектор, соответствующий возмущенной матрице, изменится на величину, обратно-пропорциональную размеру матрицы.

Собственные значения матрицы лежат между ее наибольшими и наименьшими строчными суммами элементов. Изменение величины элемента в матрице влияет на соответствующую строчную сумму и обусловливает тенденцию изменения max на такую же величину. Однако поскольку на изменение собственного вектора также влияет и размер матрицы, можно ожидать, что чем больше матрица, тем меньшим будет изменение каждой компоненты.

Начнем анализ этой проблемы, рассмотрев матрицу A с характеристическим уравнением (см. [185]) Пусть теперь A + B – матрица, полученная введением малого возмущения в A.

Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид где Пусть – максимальное простое собственное значение, соответствующее характеристическому уравнению A. Уилкинсон в [185] доказал, что для малого имеется собственное значение матрицы A + B, которое может быть выражено как сумма сходящегося степенного ряда, т. е.

вектор может быть представлен как сходящийся степенной ряд от. Можно написать Если матрица A имеет линейные элементарные делители, то существуют полные множества правых и левых собственных векторов 1, 2, …, n и 1, 2, …, n, таких, вым), а не Векторы zi, могут быть представлены через i следующим образом:

tij получены делением sij на коэффициент 1.

где Возмущения собственных значений первого порядка даны коэффициентом выражения для Теперь выведем выражение для возмущений первого порядка соответствующих собственных векторов. Нормализуя векторы j и j и используя евклидову метрику, находим При подстановке выражений для 1 ( ) и 1 ( ), полученных выше, и использоA1 = 11 имеем вании равенства где, как уже отмечено, где Возмущение первого порядка 1 определяется выражением где возмущениям в ( a ji = aij ).

iT i в некотором отношении взаимозависимы, что предотвращает возможность того, чтобы только одно них произвольно велика, они все произвольно велики. Однако желательно, чтобы они были малы, т. е. близки единице. Положим i = i = 1, i = 1, …, n. После подстановки легко убедиться, что где Тогда ны быть одного порядка.

так как Практически, для удерживания вблизи минимума нужно оперировать с относительно сравнимыми объектами, такими, чтобы ни одна из из не была слишком малой.

Для улучшения согласованности число n не должно быть слишком большим. С другой стороны, если мы собираемся полностью использовать имеющуюся информацию и получить практически обоснованные результаты, n не следует брать слишT 1 < 0,1, то нужно иметь n 9.

ком малым. Например, если отбросить величины При допущении малого числа сравниваемых объектов и их относительной сравнимости можно показать, что ни одна из компонент векторов 1 и 1 не будет произвольно малой и, следовательно, скалярное произведение двух нормализованных векторов не может быть произвольно малым.

При большой несогласованности никто не может гарантировать, что ни одна из компонент 1 не будет произвольно малой. Поэтому близость к согласованности является достаточным условием устойчивости. Отметим также, что следует ограничиваться сравнительно малым числом элементов, таким, чтобы величины всех 1i были одного порядка.

Приведенные выше соображения свидетельствуют о том, что обратносимметричные матрицы являются архитипичными матрицами, создающими в случае согласованности устойчивые собственные векторы при малых возмущениях. Это позволяет сделать важный вывод: для гарантирования устойчивости оценки в основной шкале отношений, полученной из парных сравнений, разумно сопоставлять небольшое число относительно сравнимых элементов. В социальных науках к этому выводу уже давно пришли экспериментально. Ученые заметили, что число элементов должно быть 7 ± 2, однако соответствующим образом не осознали необходимость требования относительной сравнимости [106].

Другим полезным выводом является следующее: если считать «объектами одной важности» объекты, не отличающиеся друг от друга по важности больше, чем в раз, то шкала, используемая при парных сравнениях сопоставимых объектов, должна иметь деления, лежащие где-то между единицей и десятью, в противном случае будут сравниваться объекты, которые в большой степени несопоставимы по важности. Это приведет к сравнительно малым значениям для некоторых из 1i и соответственно к нарушению стабильности шкалы, т. е. изменение собственного вектора будет непредсказуемым даже при легких изменениях величин суждений в матрице сравнений.

Определяя величину возмущения собственного вектора при некотором значении возмущения исходной матрицы, мой ученик Л. Варгас показал в своей диссертации [169], что если обратносимметричную матрицу A возмутить обратносимметричной матрицей P с использованием поэлементного (Адамара) произведения (которое обозначается A P ), то результирующая матрица будет обратносимметричной, а величина возмущения главного собственного вектора матрицы A дается выражением где <, > – скалярное произведение двух векторов, а y – вектор поэлементного произведения y на ; вектор y – главный собственный вектор матрицы E * = E P, где E получена поэлементным делением элементов A на соответствующие элементы W = (i j ).

Пример 7.1.

При изложении примера об освещенности стульев в гл. 2, согласно закону обратного квадрата в оптике для сравнительной освещенности стульев имели ( 0, 6079; 0, 2188; 0,1108; 0, 0623). Приведенная A составлена из отнониже матрица шений этих величин, а матрица возмущением A :

Собственный вектор A будет = ( 0, 6079; 0, 2178; 0,1108; 0, 0623) и max = 4. СобP будет до * = ( 0, 6187; 0, 2353; 0,1009; 0, 04507 ) и max = 4,391.

ственный вектор Матрица возмущения E получена поэлементным делением A на P :

Собственный вектор E есть y = ( 0, 2730; 0, 2885; 0, 2444; 0,1941), а max = 4,391 – такое же, что для проверить, что

ПРИОРИТЕТЫ В СИСТЕМАХ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ

До сих пор мы моделировали наши задачи иерархически, от верхних уровней к нижним или в обратном порядке, и развивали теорию для измерения приоритетов элементов на различных уровнях иерархии по отношению к элементам более высоких уровней и к обшей цели иерархии.

Теперь обратимся к задачам в системах, в которых уровни более не могут быть названы верхними или нижними. Это происходит потому, что уровень может как доминировать, так и быть доминируемым, прямо или косвенно, другими уровнями. Такие системы известны как системы с обратной связью. Они могут быть представлены в виде сети, где узлы соответствуют уровням или компонентам. Элементы в узле (или уровне) могут влиять на некоторые или все элементы любого другого узла.

Нашей задачей является изучение приоритетов в таких системах. Основное внимание будет уделено системам, в которых все элементы в узле воспринимаются совместно по отношению к каждому элементу в другом узле – аналог полной иерархии между уровнями.

Поначалу непонятно, зачем рассматривать более сложные реалии, чем иерархии, так как последние позволяют получить осмысленное представление о функциях системы. Можно легко вообразить ситуацию, слишком сложную для иерархического представления; простота, предлагаемая иерархией, может быть обманчивой. Многие задачи в социальных науках попадают в эту категорию. Например, последние труды по теории организаций предлагают такие формы организаций, уже реализованные на практике, которые не являются иерархическими. Человек может выполнить много или все задания в различных компонентах производственной системы [63].

Некоторые конфликтные задачи анализировались как посредством иерархии, так и в виде простой сети в форме петли. Такая простая сеть называется холархией. Результаты были удивительно близки. Это означает, что оба метода могут вести к одним и тем же результатам, по крайней мере, в простых случаях.

В следующем разделе изучается основанный на концепциях теории графов метод структурирования множества элементов, собранных после мозгового штурма или полученных некоторым другим образом, в виде системы с уровнями. Существуют другие, не обсуждаемые здесь методы группировки элементов в один и тот же кластер или уровень в зависимости от близости оценок их измерения [73]. Однако для наших целей это равносильно тому, что поставить телегу перед лошадью, так как нам нужно определить и группировать элементы до проведения измерения.

В разд. 8.3 исследуется понятие измерения приоритета в системах с обратной связью, а затем в разд. 8.4 вводится суперматрица для проведения такого измерения. Показывается, что иерархическое построение есть частный случай этого подхода. В разд. 8.5 определяются абсолютные и относительные приоритеты и их предельные значения, описываются условия существования приоритетов и методы их получения для различных типов систем. В разд. 8.6 с помощью двух примеров проиллюстрированы некоторые из этих идей.

8.2. МАТРИЦА ДОСТИЖИМОСТИ ПРИ СТРУКТУРИРОВАНИИ СИСТЕМ

Допустим, имеется множество элементов, которые рассматриваются в контекстуальном отношении. Множество элементов, которые нужно смоделировать, может быть образовано посредством дедуктивной логики, каузальных наблюдений, эмпирических данных, мозгового штурма или любой комбинацией этих приемов. Наиболее важная роль в этом методе отведена тому, что одно из определений исходного множества элементов является естественной и важной частью процесса. Частичное или полное описание системы может принять одну из двух различных, однако связанных форм: бинарной матрицы; направленного графа (или сети) для геометрического представления отношений [97, 171, 172].

Будем считать, что множество вершин H определено. С помощью бинарного отношения «зависит от» можно заполнить матрицу B. Ответ «да» связывают с единицей, а ответ «нет» – с нулем. Ответ «да» или «нет» зависит от имеющихся данных, ляется следующим образом:

После того как матрица заполнена, следует произвести проверку транзитивности для выявления нарушений этого условия. Если обнаружено нарушение транзитивности, то вершины, приводящие к этому нарушению, должны быть проверены для его устранения.

Получив описание матрицы единичная матрица. Можно показать, что существует наименьшее целое k, при котором т. е. каждый элемент матрицы ( I + B ) равны.

Матрица в правой части выражения называется матрицей достижимости.

Определение 8.1. Матрица достижимости направленного графа определяется как бинарная матрица, в которой элементами являются единицы, если вершина графа достижима из другой каким-либо путем, в противном случае элементы ее – нули.

Использование матрицы достижимости позволяет разделить H на множество уровней, а также разделить каждый уровень на подмножества, не обязательно несвязанные.

Определение 8.2. Вершину h j называют достижимой из вершины hi, если в ориентированном графе существует путь из Определение 8.3. Вершину возможно достижение Из H можно выделить два вида множеств: множество достижимости и множество предшествующих вершин, которое называется предшествующим множеством. ОбоR ( hi ) и A ( hi ) соответственна значим их через R ( hi ) – множество достижимости вершины hi H, состоящее из всех вершин H, лежащих на путях, которые берут начало в hi,. Таким образом, A ( hi ) – предшествующее множество вершины hi H, состоящее из всех вершин H, лежащих на путях, которые включают hi, но не берут начало в hi. Таким обраA ( hi ) = h j H | элемент ( j, i ) в ( I + B ) есть 1.

зом, Множество тех вершин достижимо из любой из оставшихся вершин H и, следовательно, может быть обозначено как уровень иерархии.

Для построения всех уровней необходимо применить следующую итерационную процедуру:

1. Сформировать таблицу с элементами:

2. Найти элементы в таблице, удовлетворяющие условию Эти элементы образуют первый уровень.

3. Вычеркнуть это множество из таблицы и применить второй шаг, и т. д.

Этот процесс, полезный сам по себе, для всех контекстуальных отношений обычно не приводит к тому виду иерархии, который определен. Однако он приводит к такой сети, в которой:

– первый уровень может состоять не только из одного элемента;

– все элементы первого уровня не обязательно связаны только с элементами второго уровня;

– промежуточные уровни могут состоять только из одного элемента.

Пример 8.1.

Сформируем венно первый уровень составляется из вершин ( h6, h7 ).

Исключив таблицу для которого легко сформировать. Таким образом, можно написать (См. рис. 8.1 и 8.2 для сетей до и после применения метода).

Это также показано на рис. 8.2.

Пример 8.2. Следующая сеть на рис. 8.3 – результат применения метода к матрице B :

Чтобы убедиться в этом, имеем Это – матрица достижимости, так как

8.3. ИЗМЕРЕНИЕ ПРИОРИТЕТОВ В СИСТЕМАХ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ

Теперь обобщим метод анализа иерархии для систем с обратной связью, которые могут быть представлены направленной сетью.

Для описания вида сети, которая нам понадобится, стоит вспомнить, как происходит измерение приоритетов элементов одного уровня иерархии по отношению к элементам последующего уровня в направленном двудольном графе. Иерархия, все двудольные графы которой полны, называется полной иерархией. Это частный случай общей неполной иерархии, которой мы тоже занимались. Двудольный граф описывает связи между всеми элементами одного (нижнего или текущего) уровня по отношению к элементам предыдущего (высшего, или доминантного) уровня. Если мы просто хотим обозначить, какой из уровней над каким доминирует, достаточно провести (направленную) дугу от нижнего к доминантному уровню. Таким образом, иерархия может быть представлена цепью или, точнее, путем, так как у дуг имеются направления.

Теперь взаимодействие между двумя компонентами системы, так же как и в случае с уровнями иерархии, можно охарактеризовать двудольным графом, который может быть или не быть полным. Для простоты используется направленная дуга, чтобы показать порядок доминирования между компонентами. Можно начертить противоположно направленные дуги между двумя компонентами и даже, в случае взаимозависимости, петлю для компоненты. Это возможно и для иерархии. В любом случае результатом такого упрощенного представления компонент системы для определения приоритетов будет направленная сеть. Иллюстрация подобной сети приведена на рис. 8.4. Такое представление требуется для построения суперматрицы, возведение которой в степени позволяет получить приоритеты по путям предписанной длины в этом представлении.

Мы вводим суперматрицу, которая будет служить единой основой для изучения приоритетов в иерархиях и в системах с обратной связью. Разработан общий принцип композиции для приоритетов в системах и показано, что изложенный ранее принцип иерархической композиции является частным случаем.

Для системы с обратной связью понятие композиции приоритетов между компонентами требует особого внимания. В этом случае обычно нет внешнего уровня как каркаса, на который опирается проведение композиции последовательно от уровня к уровню. Компоненты системы могут взаимодействовать по более чем одному пути.

Для того чтобы измерение приоритетов имело смысл, нужно единообразие при рассмотрении всех путей. Приоритеты любой компоненты системы по отношению к любой другой компоненте могут быть измерены неоднозначно по путям и контурам, связывающим их. Например, вдоль контура приоритеты могут быть измерены посредством прохода по контуру только один, два или более раз. Для системы полезно знать множество первичных, т. е. предельных, приоритетов вершин, как единое целое. Необходимость в последнем возникает, когда вершины четко не группируются в компоненты. При этом мы имеем измерение относительных приоритетов всех вершин в системе по отношению к каждой вершине системы, а в итоге получаем стохастическую матрицу (матрицу, сумма элементов столбцов которой равна единице и все элементы неотрицательны). Столбцы являются собственными векторами матриц парных сравнений вершин по отношению к каждой вершине системы.

К этому случаю применим метод суперматрицы, однако для ясности исследуется случай, в котором система является разложимой. Система разложима, если ее элементы могут быть агрегированы в независимые компоненты, взаимодействие которых представлено дугами направленной сети [39]. При этом приоритеты между смежными компонентами выводятся, как в иерархии, отдельно, по их важности в системе, получаются приоритеты для самих компонент, которые используются для взвешивания собственных векторов, соответствующих каждой компоненте, таким образом вновь получается стохастическая по столбцам матрица.

Наше исследование систем с приоритетами уподобляется марковским цепям. Такое соответствие принято, чтобы применить результаты по цепям Маркова для систем с обратной связью. Для экономии места изложение будет очень кратким. С помощью ЭВМ сравнительно легко получить оценки предельных приоритетов, возводя суперматрицу в большие степени. Однако это дает правильный ответ только при выполнении определенных условий. В общем случае теория марковских цепей предлагает элегантный теоретический аппарат.

8.4. СУПЕРМАТРИЦА – ОБЩАЯ КОМПОЗИЦИЯ ПРИОРИТЕТОВ

C1, C2, …, CN. Обозначим элементы компоненты Ck через ek 1, ek 2, …, eknk, где nk – их число. Проведенное ранее обсуждение влияния соседних уровней иерархии позволяет построить следующий тип матрицы условных измерений между вершинами соответствующих компонент. Предположим, что любая пара компонент взаимодействует. Если это предположение где-либо не имеет места, то соответствующий элемент будет равен нулю.

Суперматрица играет фундаментальную роль в дальнейшем развитии теории приоритетов для систем. Но сначала покажем, как может быть получена иерархическая композиция посредством возведения суперматрицы в степени.

Как указывалось ранее, можно построить матрицы попарных сравнений для измерения приоритетов всех вершин в системе по отношению друг к другу так, как если бы отсутствовало группирование вершин в компоненты. Например, можно было бы сравнивать отрасли промышленности и их вклад в любую другую отрасль промышленности. Однако предпочтение отдается подходу, основанному на группировании компонент по соображениям согласованности, так как легче проводить суждения о парных сравнениях на малом множестве элементов. Таким образом, предполагается, что имеются собственные векторы приоритетов элементов в компоненте по отношению к элементам в другой компоненте (которые сами могут быть компонентами). Когда это сравнение не имеет смысла, используются нули для собственного вектора.

Суперматрица, соответствующая взаимодействию между компонентами системы, имеет следующий вид:

где каждый из столбцов которого есть собственный вектор, представляющий влияние всех элементов в i -й компоненте на каждый из элементов j -й компоненты.

Суперматрица W не будет стохастической (хотя каждый из ее блоков является таковым), если не предположить, что ее компоненты также были взвешены в соответствии с важностью их вклада в систему. Как это делается, показано в примерах в конце главы. Результирующие приоритеты компонент можно затем использовать для взвешивания соответствующих им элементов в W, что превратит W в стохастическую матрицу. В дальнейшем, всякий раз, когда мы будем иметь дело с W, предполагается, что она приведена взвешиванием к стохастической матрице.

Полезно упомянуть следующие факты.

Теорема 8.1 [53]. Неотрицательная матрица A – стохастическая тогда и только собственное значение Теорема 8.2. ( n n ) -матрица A неприводима тогда и только тогда, когда ее направленный граф сильно связан.

Теорема 8.3. Связный граф сильно связан тогда и только тогда, когда каждая дуга принадлежит по крайней мере одному пути.

ре один из главных миноров порядка n 1 матрицы ( max I A ) равен нулю.

Теорема 8.5. Если A – неотрицательная неприводимая матрица порядка n, то (Это говорит о том, что если граф – сильно связный и добавить петли к каждой вершине, то результирующая матрица будет примитивной, т. е. любая вершина будет достижима из любой другой вершины посредством пути фиксированной длины.) Теорема 8.6. Сильно связный граф (с h 2 вершинами) с матрицей вершин A примитивен тогда и только тогда, когда наибольший общий делитель длин всех простых контуров есть единица.

Теорема 8.7. Примитивная стохастическая (по столбцам) матрица A обладает свойством: lim A имеет одинаковые столбцы (единственный вектор равновесной вероятности) и, следовательно, = A имеет единственное решение; кроме того, для любого начального вектора вероятности Это ключевая теорема для вычисления приоритетов, когда матрица примитивна.

Суперматрица иерархии имеет следующую форму:

Эта матрица имеет устойчивую форму для всех k n 1. Каждый коэффициент в последней строке является общим приоритетом влияния последней компоненты на каждую из оставшихся компонент. Заn, 1) влияние n -й компоненты на первую; n -я компонента – ведущая в иерархии и является аналогом поглощающего состояния в марковской цепи. Это компонента элементов, которые рассредоточиваются и являются источником влияния. Сущность вышесказанного подытоживается принципом иерархической композиции:

Теперь кратко рассмотрим, что происходит с контурами. Здесь повторяющиеся степени обычного множества компонент показывают отсутствие устойчивости. Например, для трехкомпонентного контура имеем Так как произведение стохастических матриц есть стохастическая матрица, а предел степеней стохастической матрицы, элементы которой положительны, есть матрица с одинаковыми столбцами, умножение этой предельной матрицы справа на любую стохастическую матрицу оставляет ее неизменной. В результате для контура получим, что в пределе по различным последовательностям степеней W влияние каждой компоненты на каждую другую компоненту (включая саму эту компоненту) описывается одним и тем же выражением, т. е. ее предельным приоритетом по отношению к соседней компоненте.

Начиная с i -й компоненты контура, мы индексируем соседние компоненты поi, i1, i2, …, in, i. Следующий вывод согласуется с нашими интуитивныследовательно ми ожиданиями.

В простом контуре компонент предельный относительный приоритет i -й компоненты дается собственным вектором, который получается как решение задачи Wii1 x = x. Чтобы показать это, нужно учесть предыдущее замечание, сделанное при оценке влияния i -й компоненты (не принимая во внимание стохастические матрицы справа, так как они не влияют на результат), Это – стохастическая матрица с одинаковыми столбцами. Следовательно, в пределе приоритет компоненты в контуре дается собственным вектором, который соответствует наибольшему собственному значению (равному единице для стохастической матрицы) его матрицы влияния.

8.5. ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ И АБСОЛЮТНЫЕ ПРИОРИТЕТЫ

Нас интересуют приоритеты двух типов: показывающие влияние или воздействие одного элемента на любой другой элемент в системе, известные как относительные приоритеты, а также абсолютный приоритет любого элемента безотносительно того, на какие элементы он влияет. В общем случае мы ищем предельные значения этих приоритетов. Вычисление приоритетов показывает, к чему могут привести существующие тенденции, если нет изменений в предпочтениях, которые влияют на приоритеты. Экспериментируя с процессом модификации приоритетов и наблюдая за их предельными тенденциями, можно направлять систему к более желаемому результату.

Теперь займемся формальными определениями. Если ij – относительный приi -го элемента над j -м элементом в системе, тогда [38, 70, 120] оритет Сумма относительных приоритетов по всем возможным путям от данного элемента дает приоритет элемента. Это равносильно возведению матрицы W в степени.

(Последнее выражение эквивалентно следующему щий абсолютный приоритет j -го элемента по путям длины k 0 :

Задача заключается в нахождении матрицы предельного относительного приории вектора предельного абсолютного приоритета (ПАП) при тета (ПОП) W k. (Что касается приоритетов системы, нас также может интересовать определение приоритетов для конечных значений k. Это не выдвигает задачи существования, возникающей в предельном случае.) Особый интерес вызывает определение условий, когда ПАП не зависит от начальных приоритетов называется эргодичностью системы.

Далее следует классификация элементов, полезная для характеристики системы.

Читатель при желании может продолжить обсуждение существования и построения ПОП и ПАП решений.

Элемент ijk ) > 0, Подмножество элементов марковских цепях), если ij = 0, где бы ни было i в C и j не в C. Отсюда следует, что ни один элемент в C не может быть достигнут из любого элемента, не находящегося в C. Подмножество C минимально, если оно не содержит соответствующих замкнутых подмножеств элементов. Множество элементов, которые образуют минимальное замкнутое подмножество, соответствует неприводимой матрице. Если матрица всей системы или подсистемы неприводима, то система или подсистема сама называется неприводимой. Система называется разложимой, если она состоит из двух или более замкнутых множеств.

Если мы вначале стартуем с j -го элемента для некоторого фиксированного j и обозначим его первое воздействие на самого себя по пути длины имеем показывает совокупное воздействие получаем в виде:

В соответствии с приоритетом влияния имеем (новые термины, вводимые ниже, существенны, так как мы не занимаемся временными переходами):

1. Если f j = 1, то j называют устойчивым (рекуррентным) элементом. Таким образом, элемент называется устойчивым, если сумма его относительных приоритетов на себя за один шаг (петля), два шага (по контуру, включающему один другой элемент), три шага (включающими два других элемента) и т. д., равна единице.

2. Если f j < 1, то j называют неустойчивым (преходящим). Элемент j, который является или устойчивым, или неустойчивым, называется циклическим (периодическим) с цикличностью (периодом) c, если u j имеет величины c, 2c, 3c, …, где c – c ). Устойчивый элемент j, для которого u j бесконечно, называют без остатка на исчезающим (нулевым). Устойчивый элемент j, который не является ни циклическим, ни исчезающим (т. е. u j < ), называют поддерживающим (эргодическим).

И для неустойчивого, и для исчезающего элемента один элемент в неприводимой подсистеме – циклический с периодом c, то все элементы в этой подсистеме – циклические с периодом c. Известно, что если j – подk, (jj ) 1 u j ; j – исчезающий элемент, если держивающий элемент, то при это число ноль, и поддерживающий элемент, если оно положительно. Все элементы неприводимой подсистемы являются либо неустойчивыми, либо устойчивыми, и соответственно система называется неустойчивой или устойчивой.

Замечание. Следующее выражение всегда имеет место, независимо от того, приводима система или нет. В случае неприводимости ее значения известны:

Все конечные системы элементов должны иметь, по крайней мере, один поддерживающий элемент, который образует замкнутое неприводимое подмножество элементов. Так как все устойчивые элементы конечной системы являются поддерживающими, образованный таким образом блок (компонента) называют поддерживающим.

Если j – циклический элемент с периодом c > 1, то m ; k = mc, m – положительно и c – наибольшее целое, для которого k = mc.

Ранее отмечалось, что приводимость и примитивность играют важную роль при доказательстве существования ПОП и ПАП. Теперь представим несколько основных, относящихся к этим понятиям фактов, которые будут полезны при дальнейшем обсуждении.

Неотрицательная неприводимая матрица примитивна, если имеет единственное главное собственное значение. Если матрица имеет другое собственное значение с тем же модулем, что и главное собственное значение, то ее называют импримитивной.

Если главное собственное значение имеет кратность больше единицы (равную единице), но не имеется других собственных значений с таким же модулем, как у главного собственного значения, то матрицу называют правильной (регулярной).

Примитивная матрица всегда регулярна и, следовательно, правильна, однако обратное утверждение неверно, например, что единичная матрица имеет собственным значением единицу. Кратность собственного значения равна порядку матрицы. Матрица правильна тогда и только тогда, когда в нормальной форме изолированные блоки примитивны. Для регулярной матрицы число изолированных блоков равно единице.

Заметим, что если все элементы W положительны, то мы имеем примитивную матрицу и справедлива теорема о стохастических примитивных матрицах, существуют и ПОП и ПАП. Они совпадают и получаются в результате решения задачи о собственном значении W =. В действительности – любой столбец lim W. Таk кой же результат справедлив, если W – примитивная матрица.

В общем случае неотрицательная матрица W может иметь нулевые элементы.

Тогда матрица или неприводимая, или приводимая. Если она неприводимая, то она примитивная, и в этом случае применимы приведенные выше соображения, либо она импримитивная. В последнем случае матрица имеет s не равных единице собственных значений ( s называется индексом импримитивности), модули которых равны единице. Это число играет важную роль для получения решения в общем случае, из которого следует решение в данном случае. Здесь достаточно заметить, что все W, W 2, …, W s 1 не являются правильными матрицами, и их степени имеют тенденцию к периодическим повторениям. Система циклична с периодом s.

Замечание. Система ациклична, циклична, неприводима, приводима в зависимости от того, является ли соответствующая матрица W примитивной, импримитивной, неприводимой или приводимой.

Если W неотрицательна и приводима, то она приводится к нормальной форме.

Если изолированные блоки примитивны (говорят, что они соответствуют существенным компонентам, а оставшиеся матрицы соответствуют несущественным компонентам), то система по определению называется примитивной и ПОП и ПАП существуют (см. [53], стр. 112).

Важное замечание. Когда стохастическая по столбцам матрица приводима, ее существенные компоненты определяют систему, так как они являются «источниками», или воздействующими на приоритет компонентами, в противоположность «сточным колодцам», или переходным – поглощающим состояниям марковской цепи. В любой диаграмме, за исключением петель, стрелки начинаются в этих компонентах и не заканчиваются в них.

Решение для ПОП определяется выражанием W является характеристическим вектором W, соответствующим Каждый столбец = 1. Если max = 1 – простое, т. е. W регулярна, то ( ) можно заменить на max ( ) – характеристический полином W.

Решение для ПАП получается W – правильная матрица, и как собственный вектор если если W регулярна.

Замечание. Можно показать, что матрицы W, соответствующие существенным компонентам, положительны; что касается матриц воздействий на приоритеты от существенных к несущественным компонентам, то они также положительны (они см. гл. 7). Только матрицы воздействия от несущественных к несущественным или от несущественных к существенным компонентам равны нулю.