Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Тобольский государственный педагогический институт

имени Д.И. Менделеева»

Кафедра алгебры, геометрии, ТиМОМ

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

“ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И

ТОПОЛОГИЯ” Направление: 010200.62 – “Математика. Прикладная математика ” Квалификация: бакалавр математики Программу составил:

Коробейников В.С.

Тобольск 2009 2

I. ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ

1. ЦЕЛЬ КУРСА. Классическая ветвь математики – дифференциальная геометрия – и более современная математическая дисциплина – топология – являются теми, связанными между собой разделами современной математики, без знания которых невозможно представить квалифицированного специалистаматематика. Современные дифференциальная геометрия и топология используются как для решения теоретических вопросов математики, так и для решения прикладных математических задач. Всё это показывает важность и актуальность изучения дифференциальной геометрии и топологии для подготовки квалифицированных специалистов по направлению 010200.62.

Главная цель курса вытекает из квалификационных требований к выпускникам вузов по математическим специальностям: формирование у студентов – будущих бакалавров математики – системы знаний об основных проблемах математики, о состоянии и перспективах развития её важнейших направлений;

о значении математики в познании фундаментальных законов мира;

о важнейших аспектах прикладного использования математических знаний.

Поэтому целью преподавания дисциплины “Дифференциальная геометрия и топология” является:

овладение студентами математическим аппаратом классической и современной дифференциальной геометрии и топологии, фундаментальными теоретическими положениями этих теорий;

воспитание и развитие их математической культуры;

осознание ими прикладного характера математики в целом и дифференциальной геометрии и топологии в частности.

Вместе с тем, изучение дисциплины “Дифференциальная геометрия и топология” преследует и следующие частные цели:

обеспечение понятийной базы для изучения других предметов, использующих геометрию и топологию в качестве поставщика необходимого математического аппарата (математический и функциональный анализ, теория дифференциальных уравнений, теоретическая физика, геометрия “в целом”, алгебраическая и дифференциальная топология и др.), и дальнейшего самостоятельного изучения математики;

формирование более широкого и глубокого понимания важнейших геометрических и топологических структур, повсеместно используемых в математике;

сопровождение теоретического материала разнообразными задачами и упражнениями для самостоятельного решения, позволяющими более глубоко прочувствовать теоретические положения дисциплины и развить у студентов навыки самостоятельной работы.

2. ЗАДАЧИ КУРСА. Курс дифференциальной геометрии и топологии должен решать следующие задачи:

вооружать студентов фундаментальными теоретическими знаниями по геометрии и топологии;

давать достаточный терминологический и понятийный запас, необходимый для самостоятельного изучения специальной литературы;

предлагать строгие формальные доказательства основных результатов, развивая культуру мышления студентов;

учить навыкам формулировки разнообразных теоретических и практических задач на языке геометрии и топологии;

демонстрировать применение дифференциальной геометрии и топологии для решения широкого круга математических задач;

обеспечить разнообразный материал для самостоятельной работы.

3. МЕСТО КУРСА В ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ПОДГОТОВКЕ

ВЫПУСКНИКА. Содержание дисциплины “Дифференциальная геометрия и топология” тесно связано с другими курсами, предусмотренными учебным планом по направлению подготовки 010200.62:

с алгеброй (теория линейных векторных пространств, теория групп);

с аналитической геометрией (геометрией евклидова, аффинного и проективного пространств);

с математическим анализом (дифференциальное и интегральное исчисление);

с теорией дифференциальных уравнений.

При этом преподавание дифференциальной геометрии и топологии не только создаёт базу для изучения вышеперечисленных предметов, но и предполагает достаточно хорошее освоение классических результатов алгебры, геометрии и математического анализа.

Кроме того, в процессе изучения дисциплины “Дифференциальная геометрия и топология” (в личном общении с преподавателем, при овладении теоретическими и практическими аспектами дисциплины, в коллективном общении студентов группы) у студентов формируются навыки в следующих основных видах деятельности, предусмотренные стандартом высшего профессионального образования:

1) научно-исследовательская и научно-изыскательская деятельность;

2) производственно-технологическая деятельность;

3) организационно-управленческая деятельность.

4. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ СОДЕРЖАНИЯ

КУРСА. Основные требования к знаниям и умениям студентов по дисциплине “Дифференциальная геометрия и топология” раскрываются через требования, заложенные в стандарте высшего профессионального образования по направлению подготовки 010200.62 “Математика. Прикладная математика”.

Изучение каждой темы предполагает овладение определёнными знаниями, умениями и навыками, представленными ниже:

Знать определение и способы задания кривых.

Иметь представление о репере Френе.

Уметь вычислять кривизну и кручение кривой.

Знать определение поверхности, её касательной плоскости и нормали.

Иметь представление о первой и второй квадратичных формах поверхностей и их роли при изучении поверхностей. Уметь решать задачи, связанные с метрикой поверхности.

Иметь представление о главных кривизнах, Гауссовой и средней кривизнах поверхности и уметь их вычислять.

Понимать предмет внутренней геометрии поверхности.

Знать определение многомерного проективного пространства и модели проективных прямой и плоскости.

Иметь представление о метрических группах.

Раздел 2. Гладкие и римановы многообразия Знать определения метрического и топологического пространств и их примеры.

Иметь представление о непрерывных отображениях и гомеоморфизме.

Понимать предмет топологии.

Иметь представление о компактности и связности топологического пространства, о компактных множествах евклидова пространства.

Знать определение гладкого многообразия и примеры многообразий.

Иметь понятие о римановом многообразии.

Иметь представление о касательном пространстве и векторных полях на многообразии.

Иметь представление о тензорах на римановом многообразии и об основных операциях над тензорами.

Знать определение внешней дифференциальной формы, внешнего произведения и внешнего дифференциала.

Уметь вычислять внешний дифференциал внешней дифференциальной формы.

Иметь представление о параллельном переносе векторных полей и о геодезической связности риманова многообразия.

Иметь понятие о тензоре кривизны.

Раздел 3. Теория интегрирования. Элементы топологии многообразий Иметь представление о разбиении единицы.

Знать определение интеграла дифференциальной формы на многообразии.

Понимать суть общей формулы Стокса и её частных случаев: формул Грина, Стокса, Остроградского-Гаусса.

Уметь решать задачи прикладного характера с применением вышеперечисленных формул.

Знать определение гомотопии отображений.

Иметь представление о степени отображения, степени векторного поляна поверхности.

Знать теорему Гаусса-Бонне.

Иметь представление об индексе особой точки векторного поля.

Приводимые ниже (п. 2.1) примерные контрольная работа и вопросы к экзамену по курсу “Дифференциальная геометрия и топология” позволяют более предметно судить о приобретаемых в процессе обучения знаниях, умениях и навыках.

II. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА

1. РАЗДЕЛЫ КУРСА И ИХ КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ

Раздел 1. Геометрические объекты:

Тема 1. Гладкие кривые: Плоские и пространственные кривые, способы их задания. Репер Френе, кривизна и кручение кривой, формулы Френе. Натуральные уравнения кривой. Эволюта и эвольвента.

Тема 2. Гладкие поверхности: Определение и способы задания, касательная плоскость и нормаль. Первая квадратичная форма и её роль, метрика поверхности. Вторая квадратичная форма, кривизна линии на поверхности, главные кривизны поверхности. Полная (гауссова) и средняя кривизны поверхности. Деривационные формулы, символы Кристоффеля, геодезическая кривизна.

Тема 3. Многомерные геометрические объекты: Проективное пространство и его аффинная карта. Модели проективных пространств малых размерностей. Метрические группы.

Раздел 2. Гладкие и римановы многообразия:

Тема 4. Гладкие многообразия. Элементы общей топологии: Топологические и метрические пространства, примеры. Непрерывное отображение и гомеоморфизм, компактность и связность. Определение гладкого многообразия и примеры, отображения многообразий, многообразие с краем. Риманова метрика, касательный вектор, касательное пространство к многообразию, векторные поля на Тема 5. Тензорный анализ на многообразиях: Тензоры на римановом многообразии, операции с тензорами, поднятие и опускание индексов, оператор Ходжа, кососимметрические тензоры. Дифференциальные формы, их внешнее произведение и внешнее дифференцирование, внешняя алгебра. Дифференциал отображения, отображение касательных пространств гладких многообразий.

Тема 6. Связность: Ковариантная производная тензоров, параллельный перенос векторных полей, геодезические связности, согласованные с метрикой риманова многообразия. Тензор кривизны, порождённый метрикой, тензор кривизны двух- и трёхмерных многообразий.

Раздел 3. Теория интегрирования. Элементы топологии многообразий:

Тема 7. Интегрирование на многообразии: Разбиение единицы на многообразии. Интеграл дифференциальной формы, криволинейные и поверхностные интегралы второго рода. Общая формула Стокса, формулы Грина, Стокса и Остроградского-Гаусса.

Тема 8. Элементы топологии многообразий: Понятие гомотопии, относительная гомотопия. Степень отображения, гомотопическая классификация отображений многообразий в сферу. Степень и интеграл, степень векторного поля на поверхности, теорема ГауссаБонне. Индекс особой точки векторного поля, теорема ПуанкареБендиксона.

5. ПЕРЕЧЕНЬ ПРИМЕРНЫХ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ И

ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

2.1 ПРИМЕРНАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ И ТОПОЛОГИИ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

2. Написать уравнение нормали и касательной плоскости к поверхности 3. Найти кривизну и кручение линии x = t3 – 2 t + 1, y = t2 – 3 t, z = 4 – t2 при 4. Вычислить длину дуги кривой y = ln cos x между точками x1 = 0, x2 =.

5. Определить первую квадратичную форму поверхности и вычислить площадь области поверхности, ограниченной линиями u = 0, u = 3, v = 0, 6. Доказать, что интервал, полуинтервал и сегмент на вещественной прямой попарно не гомеоморфны.

7. Найти внешний дифференциал дифференциальных форм:

8. Используя формулу Грина, вычислить замкнутый интеграл по окружности Г: x2 + y2 = 2 в направлении против часовой стрелки:

9. Используя внешний дифференциал, показать, что следующий интеграл не зависит от пути интегрирования: ( x 2 y 2 ) dx 2 x y dy.

3. ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ К ЭКЗАМЕНУ И ЗАЧЁТУ

ПО КУРСУ “ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ”

Способы задания плоской кривой. Касательная.

Пространственная линия. Репер Френе.

Кривизна и кручение линии. Натуральные уравнения.

Эволюта и эвольвента линии.

Гладкая поверхность. Касательная плоскость и нормаль.

Первая квадратичная форма поверхности и её роль.

Вторая квадратичная форма поверхности. Кривизна линии на поверхности.

Полная и средняя кривизны поверхности.

Деривационные формулы поверхности.

10. Символы Кристоффеля и их вычисление.

11. Проективное пространство. Модели проективной прямой и проективной 12. Метрические пространства. Примеры.

13. Топологические пространства. Примеры.

14. Непрерывные отображения и гомеоморфизмы.

15. Компактность и связность топологического пространства.

16. Гладкие многообразия. Примеры.

17. Касательное пространство гладкого многообразия.

18. Тензоры на римановом многообразии и операции над ними. Кососимметрические тензоры.

19. Дифференциальные формы. Внешнее произведение и внешнее дифференцирование форм.

20. Геодезические связности на римановом многообразии. Параллельный перенос векторных полей.

21. Тензор кривизны.

22. Интеграл дифференциальной формы. Общая формула Стокса и её частные случаи (формулы Грина, Стокса, Остроградского-Гаусса).

23. Степень векторного поля на поверхности. Теорема Гаусса-Бонне.

24. Индекс особой точки векторного поля. Теорема Пуанкаре-Бендиксона.

III. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСОВ КУРСА ПО

ТЕМАМ И ВИДАМ РАБОТ

Теория интегрирования. Элементы топологии многообразий

IV. ФОРМА ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ

Дисциплина “Дифференциальная геометрия и топология” читается в IV-м семестре, имеет общий объём 110 часов, из которых 38 часов лекций, 18 часов практических занятий, 54 часов отводится на самостоятельную работу студентов. Форма итогового контроля – зачёт и экзамен в IV-м семестре.

V. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

ОБЕСПЕЧЕНИЕ КУРСА

1. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА (ОСНОВНАЯ)

1. Абрамов А.А. Введение в тензорный анализ и риманову геометрию. – 2-е изд. – М. : Физматлит, 2004.

2. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. – М.: Дрофа, 2004.

3. Линёв В.С. Дифференциальная геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.

4. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.

5. Подран В.Е. Элементы топологии. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.

2. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА (ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ)

1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.:

Наука, 1971.

2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. ч. II. – М.: Просвещение, 1987.

3. Бакельман И.Я., Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Введение в дифференциальную геометрию в “целом”. – М.: Наука, 1973.

4. Димитриенко Ю.И. Тензорное исчисление: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001.

5. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия:

Методы и приложения. – М.: Наука, 1979.

6. Ефимов Н.В. Введение в теорию внешних форм. – М.: Наука, 1977.

7. Косневски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. – М.: Мир, 1983.

8. Мищенко А.С., Соловьёв Ю.П., Фоменко А.Т. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Изд-во МГУ, 1981.

9. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Изд-во МГУ, 1980.

10. Поздняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия. – М:

Изд-во МГУ, 1990.

11. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. – М.:

Наука, 1967.

12. Садовничий В.А. Теория операторов. – М.: Дрофа, 2004.

13. Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгеб- ры. – М.: Изд-во НЦ ЭНАС, 2003.