«СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Минск БГУ 2009 УДК 519.2 Леваков, А. А. Стохастические дифференциальные уравнения/ А. А. Леваков. Минск: БГУ, 2009. 231 с. ISBN 978-985-518-250-5. В монографии изложена теория ...»

Анатолий Афанасьевич

ЛЕВАКОВ

СТОХАСТИЧЕСКИЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ

Минск

БГУ

2009

УДК 519.2

Леваков, А. А. Стохастические дифференциальные уравнения/

А. А. Леваков. Минск: БГУ, 2009. 231 с. ISBN 978-985-518-250-5.

В монографии изложена теория стохастических дифференциальных уравнений, являющаяся одним из основных средств исследования случайных процессов.

Рассмотрены три раздела теории стохастических дифференциальных уравнений:

теоремы существования, теория устойчивости и методы интегрирования. Приведены факты из функционального анализа, теории многозначных отображений и случайных процессов, на которых основано изложение книги.

Для специалистов в области теории вероятностей, теории дифференциальных уравнений и их приложений, а также преподавателей, аспирантов и студентов математических факультетов вузов.

Библиогр.: 171 назв.

Печатается по решению Редакционно-издательского совета Белорусского государственного университета Рецензенты:

член-корреспондент НАН Беларуси, доктор физико-математических наук, профессор Л. А. Янович;

доктор физико-математических наук, профессор Н. В. Лазакович ISBN 978-985-518-250-5 c Леваков А. А., c БГУ,

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПЕРЕЧЕНЬ ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ......................... ВВЕДЕНИЕ................................................................. ГЛАВА 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ....................... 1.1. Функциональный анализ............................................. 1.2. Случайные процессы................................................. 1.3. Многозначные отображения и многозначные случайные процессы.................................................. 1.4. Полудинамические системы.......................................... 1.5. Дифференциальные включения......................................

ГЛАВА 2. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ ДЛЯ

СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ И ВКЛЮЧЕНИЙ............................ 2.1. Теорема существования решений стохастических дифференциальных уравнений....................................... 2.2. Теорема существования слабых решений стохастических дифференциальных уравнений....................................... 2.3. Теорема существования -слабых решений стохастических дифференциальных уравнений....................................... 2.4. Сильное и слабое существование, потраекторная и слабая единственность для стохастических дифференциальных уравнений и включений.............................................. 2.5. Инвариантные множества. Теорема существования жизнеспособных решений стохастических дифференциальных включений............ 2.6. Теоремы существования решений стохастических дифференциальных уравнений с отражением от границы........... 2.7. Одномерные стохастические дифференциальные уравнения.........

ГЛАВА 3. СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ СТОХАСТИЧЕСКИХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

И ВКЛЮЧЕНИЙ............................................... 3.1. Зависимость решений стохастических дифференциальных уравнений от начальных условий..................................... 3.2. Исследование устойчивости стохастических дифференциальных уравнений методом функций Ляпунова......... 3.3. Исследование устойчивости стохастических дифференциальных уравнений по нелинейному приближению............................ 3.4. Критерий ограниченности в среднеквадратическом решений линейных стохастических дифференциальных систем............... 3.5. Асимптотическая эквивалентность в среднеквадратическом обыкновенного дифференциального уравнения и возмущенной стохастической дифференциальной системы......................... 3.6. Среднеквадратические характеристические показатели стохастических систем................................................

ГЛАВА 4. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ....................... 4.1. Элементарные стохастические дифференциальные системы......... 4.2. Уравнения Колмогорова.............................................. 4.3. Дифференциальные уравнения для условных математических ожиданий............................................................. ЛИТЕРАТУРА..............................................................

ПЕРЕЧЕНЬ ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

B(x0, r) шар в метрическом пространстве (X, ) с центром в точке (T ) борелевская -алгебра топологического пространства T cl (X) семейство всех непустых замкнутых подмножеств множества X comp(X) семейство всех непустых компактных подмножеств множества X conv(X) семейство всех непустых компактных выпуклых подмножеств множества X C(R+, X) пространство непрерывных функций, определенных на t (C(R+, X)) под--алгебра (C(R+, X)), порожденная f (s), 0 s t E(x) математическое ожидание случайной величины x F ([x] ) замыкание объединения множеств F (x1 ) по всем x1 таким, что (x, x1 ) [F (x)] = coF ([x] ) замыкание выпуклой оболочки множества F ([x] ) Lp (T, E) пространство классов эквивалентности интегрируемых Scc (X) семейство всех замкнутых выпуклых подмножеств множества X E(x) математическое ожидание случайной величины x ССДУ система стохастических дифференциальных уравнений функций h : Rd R, ограниченных вместе со всеми частными производными до второго порядка включительно (A, B) = sup((x, B)|x A) (A, B) = max( (A, B), (B, A))

ВВЕДЕНИЕ

Поведение реального объекта, функционирующего в условиях естественных шумов, характеризуется некоторой неопределенностью, кроме того, в системах управления сложными системами обычно участвуют люди, для которых характерна некоторая неопределенность поведения. Описание таких систем при помощи детерминистских подходов не всегда отражает действительную картину функционирования объекта. Если моделью процесса является дифференциальное уравнение dx(t) = f (t, x(t)) dt, то для получения модели, учитывающей помехи типа белого шума, к правой части дифференциального уравнения прибавляют слагаемое вида g(t, x(t)) dW (t) и рассматривают стохастическое дифференциальное уравнение или в интегральной форме где второй интеграл является интегралом Ито по броуновскому движению W (t). Возникновение и развитие стохастических интегралов и стохастических дифференциальных уравнений восходит к С. Н. Бернштейну, К. Ито, И. И. Гихману. К настоящему времени имеется огромная литература, посвященная стохастическим дифференциальным уравнениям, теория которых продолжает интенсивно развиваться и в настоящее время [8, 18, 85, 125, 133, 137, 146, 148, 149, 152, 156]. К. Ито первый показал, что для липшицевых функций f, g уравнение (0.1) имеет единственное сильное решение, но для приложений, особенно для теории управляемых случайных процессов, важно доказательство теорем существования и единственности при более слабых условиях на отображения f и g. А. В. Скороход ввел новое понятие решения слабое решение, допустив, что решение может быть определено на подходящем вероятностном пространстве с подходящим броуновским движением. Это позволило доказать теорему существования решений при условиях непрерывности коэффициентов уравнения. При доказательстве был использован аналог ломаных Эйлера, однако из получающейся при этом последовательности процессов выбрать сходящуюся подпоследовательность невозможно. А. В. Cкороход с помощью перехода к другому вероятностному пространству и к другой последовательности процессов, но с теми же законами распределения построил последовательность процессов, сходящуюся к решению уравнения.

В настоящее время при доказательстве большинства теорем существования используется именно такой подход. Следующий важный шаг получение Н. В. Крыловым [38, 39] оценок для распределений стохастических интегралов и доказательство с их помощью теоремы существования слабых решений стохастического дифференциального уравнения (0.1) с измеримыми по Борелю ограниченными функциями f, g и невырожденной матрицей g (,, gg ). Эта теорема показывает существенное отличие стохастических дифференциальных уравнений от обыкновенных систем. Уравнение x = f (t, x) с измеримой функцией f, вообще говоря, не имеет решений. В дальнейшем условие невырожденности матрицы g было ослаблено. Но чтобы теорема существования решений стохастических дифференциальных уравнений охватывала решения, аналогичные скользящим режимам для обыкновенных дифференциальных уравнений, например движения по поверхности, на которой коэффициент сноса f разрывен, а коэффициент диффузии g равен нулю, необходимо переходить, так же как и для обыкновенных дифференциальных уравнений, к соответствующим стохастическим дифференциальным включениям. Так как получение именно скользящих режимов часто является целью управления, поскольку они слабо зависят от внешних воздействий, то доказательство теорем существования таких решений важная задача. Вопросам существования решений различных типов стохастических дифференциальных уравнений уделено большое внимание в книге.

Слабые решения используются при изучении тех свойств уравнений, которые связаны с мерой в пространстве траекторий, таких, как устойчивость процессов, вероятностное представление решений и т. д.

Но если необходимо рассматривать конкретное свойство траекторий, например в теории управления диффузионными процессами, в теории фильтрации, тогда рассматривают сильные решения. При доказательстве теорем существования сильных решений важную роль играет принцип Ямады Ватанабэ: из существования слабых решений и потраекторной единственности следует сильное существование. Отметим, что принцип применим в различных ситуациях: для стохастических дифференциальных уравнений, для стохастических дифференциальных уравнений с отражением от границы, для стохастических дифференциальных включений. Проблему существования и единственности решений стохастических дифференциальных уравнений можно описать следующим образом. Есть уравнения, у которых нет слабых решений. Существуют уравнения, у которых имеются слабые решения на некотором вероятностном пространстве с подходящим броуновским движением, в то время как на других вероятностных пространствах с другими броуновскими движениями решений может и не быть. Если имеет место потраекторная единственность и уравнение обладает свойством слабого существования, то на любом вероятностном пространстве с любым броуновским движением существует единственное решение, и оно является сильным.

В книге показывается, что любое уравнение c измеримыми по Борелю локально ограниченными функциями f, g имеет слабое решение, но под слабым решением понимаем слабое решение стохастического включения где F (t, x), G(t, x) некоторые многозначные отображения, соответствующие функциям f и g.

Мы рассматриваем лишь диффузионные уравнения марковского типа. Долгое время исследовались именно такие уравнения. Однако в теории фильтрации, в физике появляются стохастические уравнения с частными производными, которые, как правило, можно трактовать как стохастические уравнения в гильбертовом или банаховом пространстве. При изучении многих экономических проблем приходится рассматривать уравнения не по броуновскому движению, а по некоторым семимартингалам. В настоящее время теория стохастических уравнений по семимартингалам в банаховом пространстве успешно развивается, и несмотря на существенное усложнение ситуации, многие методы и идеи уравнений в конечномерных пространствах продолжают работать и в банаховом пространстве с соответствующими изменениями [12, 40, 80, 125, 137, 148, 152, 156].

Первая глава посвящена изложению сведений из функционального анализа, теории случайных процессов, теории динамических систем и дифференциальных включений, используемых в монографии. Книга предназначена в первую очередь для студентов факультета прикладной математики и информатики и механико-математического факультета Белорусского государственного университета, и предлагаемый вариант сведений продиктован теми курсами по фундаментальной математике, которые читаются на этих факультетах, а также потребностями теории стохастических дифференциальных уравнений. Конечно, набор сведений нельзя признать полным.

В параграфах 2.1 2.4, 2.7 второй главы доказываются теоремы существования слабых и сильных решений стохастических дифференциальных уравнений и включений, охватывающие и решения типа скользящего режима для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Если уравнение рассматривается в некоторой области D, то при достижении траекториями границы D одна из возможностей их дальнейшего продолжения заключается в отражении от границы внутрь области. Воздействие на решение на границе представляют как своеобразный снос в стохастическом уравнении, т. е. рассматривают уравнение dx(t) = f (t, x(t))dt + g(t, x(t))dW (t) + dK(t), где K(t) непрерывный процесс ограниченной вариации, возрастающий только на границе. Впервые диффузионные процессы с отражением от прямой исследовал А. В. Скороход [89, 90]. Исследованию проблемы Скорохода и ее приложениям к стохастическим дифференциальным уравнениям посвящены работы [147, 164, 167]. Наиболее общие условия, обеспечивающие существование слабых решений стохастических дифференциальных уравнений с отражением от границы, даны в [162] (предложение 1.54). Различные аспекты проблемы рассматривались в работах [165, 166]. Теорема существования слабых решений стохастических дифференциальных включений с отражением от границы устанавливается в параграфе 2.6.

Решения, которые при всех t 0, принадлежат заданному множеству K, называют жизнеспособными. Первые условия, обеспечивающие существование жизнеспособных решений обыкновенных дифференциальных уравнений, были получены Н. Нагумо [153] еще в 40-х гг. ХХ в. Для стохастических дифференциальных уравнений (0.1) первая теорема существования жизнеспособных решений доказана Ж.-П. Обэном и Г. Да Прато [112] с липшицевыми функциями f и g и постоянным выпуклым множеством K. В дальнейшем эта теорема была усилена [113, 114, 124, 134]. М. Кизилевич [141] рассматривал проблему при условиях, обеспечивающих применение теоремы Фана о неподвижной точке для многозначных функций. В параграфе 2. приводится теорема об инвариантности множества для стохастических дифференциальных уравнений. Ее доказательство основано на связи, существующей между некоторым семейством обыкновенных дифференциальных уравнений и стохастическим дифференциальным уравнением. Здесь же доказана теорема существования слабых жизнеспособных решений для стохастических дифференциальных включений с измеримыми отображениями f, g и с отображением K, зависящим от переменных состояния.

В третьей главе книги исследуются асимптотические свойства стохастических дифференциальных уравнений и включений. Асимптотические задачи стохастических дифференциальных уравнений возникали и решались одновременно с развитием самой теории стохастических уравнений. Один из основателей этой теории И. И. Гихман рассматривал эту задачу как первоочередную и сами уравнения отчасти строил для того, чтобы строго ставить и решать асимптотические проблемы [92]. Случайные возмущения могут не только количественно, но и качественно отражаться на свойствах дифференциальных систем, что хорошо продемонстрировано в монографиях [32, 34, 36, 39, 92, 103, 105]. Задача изучения малых случайных возмущений на динамические системы ставилась еще Л. С. Понтрягиным, А. А. Андроновым, Д. А. Виттом [84]. Для обыкновенных дифференциальных включений, правые части которых выпуклые компактные множества, условия, обеспечивающие существование решений, влекут за собой и компактность множеств достижимости [97, 102]. Известно также, что обыкновенные автономные дифференциальные включения порождают полудинамические системы. Аналогичные утверждения верны и для стохастических дифференциальных уравнений и включений, если рассматривать множество законов распределения слабых решений в метрическом пространстве по нелинейному приближению исследовалась Н. Н. Красовским [35], И. Г. Малкиным [74] и др. После представления В. М. Алексеевым [1] решения нелинейной системы через решения системы в вариациях во многих работах применялся метод интегральных неравенств с использованием формулы Алексеева [76]. В параграфе 3.3 получен аналог формулы Алексеева для стохастических дифференциальных систем и методом интегральных неравенств проведено исследование устойчивости ряда стохастических уравнений.

Н. Н. Красовский и И. Я. Кац [28], Дж. Э. Бертрам и П. Э. Сарачик [116] были первыми, кто использовал метод функций Ляпунова для исследования устойчивости стохастических систем. Первыми монографиями, посвященными этой теме, были книги Р. З. Хасьминского [103] и Г. Дж. Кушнера [36]. На стохастические системы были распространены наиболее глубокие результаты классической теории устойчивости детерминированных систем, а также установлен ряд свойств, присущих лишь стохастическим уравнениям [9, 20, 92]. Обобщенный прямой метод Ляпунова для стохастических уравнений Ито изложен в [107], где доказаны теоремы о локализации предельных множеств с помощью функций Ляпунова, как являющихся мартингалами, так и не являющихся таковыми.

Параграф 3.2 посвящен обобщению хорошо известных теорем [103] об устойчивости стохастических дифференциальных уравнений на стохастические дифференциальные уравнения более общего вида и доказательству аналога теоремы Барбашина Красовского [3] для стохастических дифференциальных уравнений.

В работе [123] В. Коппель установил необходимые и достаточные условия существования по крайней мере одного ограниченного решения у обыкновенной дифференциальной системы с каждой непрерывной ограниченной на R+ функцией b(t), а также с каждой функцией b L1 (R+, Rn ). В дальнейшем эти результаты были обобщены и усилены в работах Н. А. Изобова, Р. А. Прохоровой, Р. Конти. Обзор этих результатов дан в [26]. В параграфе 3.4 для линейных нестационарных стохастических систем получен критерий ограниченности в среднеквадратическом всех решений. В отличие от обыкновенных дифференциальных систем ограниченность решений обеспечивает другое соотношение между индексами пространств Lp. Для стационарных систем получены явные критерии ограниченности в среднеквадратическом решений системы.

Исследование асимптотических характеристик стохастических уравнений является более сложной задачей, чем изучение аналогичных свойств обыкновенных дифференциальных систем. Поэтому изучение возмущенной стохастической системы на основании свойств невозмущенной обыкновенной системы важная и интересная задача. В параграфе 3.5 найдены условия, при которых для каждого решения возмущенной стохастической системы существует решение невозмущенного обыкновенного уравнения со случайным начальным условием такое, что среднеквадратическое отклонение указанных решений стремится к нулю при t. Обыкновенные уравнения с аналогичным свойством называют асимптотически эквивалентными и рассмотрены в [19, 73].

Введенное А. М. Ляпуновым [72] понятие характеристического показателя линейной нестационарной линейной системы является ключевым в первом методе Ляпунова исследования устойчивости обыкновенных дифференциальных систем. В последние несколько десятилетий этот метод интенсивно и успешно развивается в Беларуси под руководством академика НАН Беларуси Н. А. Изобова [24, 25].

В параграфе 3.6 вводится среднеквадратический характеристический показатель решения стохастической дифференциальной системы Ито и показывается, что, как и для обыкновенных систем, центральный показатель линейной невозмущенной системы является достижимой верхней границей подвижности старшего среднеквадратического показателя линейной возмущенной системы со случайными возмущениями, что позволяет использовать первый метод Ляпунова и для стохастических систем Ито, если вместо показателей решений обыкновенной дифференциальной системы применять среднеквадратические показатели стохастических уравнений.

В четвертой главе рассматриваются некоторые классы стохастических дифференциальных уравнений, решения которых могут быть построены через функции, входящие в уравнения, с помощью элементарных операций (параграф 4.1). Приводятся уравнения Колмогорова, которые являются уравнениями в частных производных второго порядка параболического типа и которые позволяют находить многие важные характеристики стохастических дифференциальных уравнений (параграф 4.2), что является свидетельством глубокой связи, существующей между стохастическими уравнениями и уравнениями в частных производных. Приводятся дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют условные математические ожидания многих важных случайных процессов (параграф 4.3).

В монографии изложены лишь три раздела теории стохастических дифференциальных уравнений: теоремы существования, теория устойчивости и методы интегрирования. С другими разделами теории можно познакомиться по источникам, приведенным в книге. В список литературы внесены лишь работы, непосредственно касающиеся рассматриваемых проблем.

Автор выражает благодарность академику Н. А. Изобову, преподавателям кафедры высшей математики БГУ и участникам Минского городского семинара по дифференциальным уравнениям, под влиянием которых были получены результаты, вошедшие в книгу.

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

В этой главе мы приводим сведения из функционального анализа, теории случайных процессов, теории динамических систем и дифференциальных включений, которые используются в дальнейшем в книге.

Эти сведения приведены лишь для облегчения читателю изучения содержания книги и не предназначены для изучения соответствующих разделов математики. Утверждения приведены без доказательств. С доказательствами можно ознакомиться в монографиях, которые указаны перед формулировками теорем.

Пусть задано некоторое множество X и система его подмножеств G. Система G называется топологией на множестве X, если:

а) объединение любых подмножеств из G также является его подмножеством;

б) пересечение конечного числа подмножеств из G принадлежит G;

в) X и пустое множество принадлежат G.

Элементы из G называются открытыми множествами, а множество X с топологией G называется топологическим пространством (X, G). Подмножества из X, дополнения которых открыты, называются замкнутыми. Любое открытое множество, содержащее точку x, называется окрестностью x. Топологическое пространство, в котором любые две различные точки имеют непересекающиеся окрестности, называется хаусдорфовым.

Пусть (X, G), (Y, T) два топологических пространства, f : X Y функция, определенная на X, со значениями в Y. Функция f называется непрерывной в точке x0, если для каждой окрестности V точки f (x0 ) существует окрестность U точки x0 такая, что f (U ) V. Последовательность (xn ) точек xn X называется сходящейся к x X, если каждая окрестность точки x содержит все элементы последовательности, за исключением конечного числа.

Пусть (X, G) топологическое пространство и S подмножество X. Можно определить топологию на S, состоящую из множеств U S, U G. Ее называют топологией на S, порожденной топологией G. Замыкание S множества S это пересечение всех замкнутых множеств из X, содержащих S. Множество S топологического пространства называется плотным в X, если S = X. Топологическое пространство называется сепарабельным, если существует счетное плотное подмножество пространства X.

Семейство F открытых множеств из X называется открытым покрытием множества S, если каждая точка из S принадлежит хотя бы одному элементу из F. Множество S называется компактным, если каждое открытое покрытие F множества S содержит конечное число подмножеств из F, которое также покрывает S. Множество S называется секвенциально компактным, если каждая последовательность из S имеет подпоследовательность, которая сходится к некоторой точке из S. S относительно компактно, если его замыкакомпактно. S если каждая последовательность из S имеет подпоследовательность, сходящуюся к точке из X.

Пусть D система подмножеств из X. Существует единственная топология G на X, которая содержит систему D и является слабейшей топологией на X с этим свойством. Ее называют топологией, порожденной системой D. Рассмотрим множество функций f : X Y, X некоторое множество, (Y, F) топологическое пространство, A. Слабейшая топология на X такая, что все функции f непрерывны, называется топологией, порожденной множеством функций f.

Эта топология порождена системой множеств D = {f () F, Другой полезный способ ввести топологию на множестве X это определить метрику на X. Функция : X X R+ называется метрикой на X, если ii) (x, z) (x, y) + (y, z);

для всех x, y, z X. Множество X с метрикой называется метрическим пространством (X, ).

Пусть (X, G) топологическое пространство и система подмножеств из X, удовлетворяющая условиям:

Множество всевозможных объединений элементов из вместе с пустым множеством является топологией на X. Система называется базисом этой топологии. Система подмножеств метрического пространства (X, ), состоящая из открытых шаров {y (x, y) < r}, x X, r > 0, удовлетворяет условиям j), jj), и, следовательно, метрическое пространство (X, ) является топологическим пространством с топологией G, базисом которой является система открытых шаров.

Последовательность xn метрического пространства (X, ) называется последовательностью Коши, если выполняется > 0, N > 0, n N, m N, выполняется неравенство (xn, xm ).

Метрическое пространство полное, если каждая последовательность Коши сходится к некоторому элементу из этого пространства. Топологическое пространство называется метризуемым, если его топология может быть задана с помощью какой-либо метрики.

Пусть X линейное пространство над полем действительных чисел R. Предположим, что X также и топологическое пространство.

X называется линейным топологическим пространством, если X непрерывны.

Функция ·, удовлетворяющая условиям eee) x = || x, для всех x, y X, R, называется нормой на линейном пространстве X. Линейное пространство с нормой называется линейным нормированным пространством. Норму можно использовать для введения метрики (x, y) = xy и соответствующей топологии на X. Полное линейное нормированное пространство называется банаховым пространством, а полное сепарабельное метрическое пространство называется польским пространством.

Если X и Y два линейных нормированных пространства, то множество всех линейных непрерывных операторов T : X Y с обычными операциями сложения и умножения на скаляры тоже является линейным нормированным пространством с нормой T = = sup{ T x x L(X, R) называют пространством, сопряженным к X, и обозначают X. Последовательность (xn ) пространства X сходится к x слабо, если скалярная последовательность x (xn x) сходится к нулю для каждого фиксированного x X. Элементы из X являются функциями, заданными на X, и их можно использовать для введения топологии на X. Слабейшую топологию в X, при которой все элементы x из X непрерывны, называют слабой топологией в X и обозначают (X, X ). Говорят, что множество S слабо компактно, если оно компактно в (X, (X, X )). Множество S называется слабо секвенциально компактным, если из любой последовательности xn S можно выбрать подпоследовательность, слабо сходящуюся к точке из S. Аналогично определяются слабая замкнутость, слабая относительная компактность, слабая относительная секвенциальная компактность множества S.

Предложение 1.1 (теорема Эберлейна Шмульяна [139, p. 7]).

Пусть S подмножество банахова пространства. Тогда следующие утверждения равносильны:

k) S слабо относительно секвенциально компактно;

kk) S слабо относительно компактно.

Предложение 1.2 (теорема Шмульяна [139, p. 7]). Если S относительно слабо компактное подмножество банахова пространства X, то для каждого x, принадлежащего слабому замыканию S, существует последовательность элементов из S, слабо сходящаяся к x.

Пусть X линейное топологическое пространство и K подмножество из X. K называется выпуклым, если x, y K множество x + (1 )y, 0 1, принадлежит K. Выпуклой оболочкой множества S называют пересечение всех выпуклых множеств, содержащих S, обозначается co(S). Пересечение всех замкнутых выпуклых подмножеств из X, содержащих S, называют замкнутой выпуклой оболочкой S, обозначают co(S). Для произвольных множеств A, B из линейного топологического пространства X имеем:

1) co(A) = co(A), co(A + B) = co(A) + co(B);

2) co(A) = co(A);

3) co(A) = co(A);

4) если co(A) компактно.

Предложение 1.3 (теорема Каратеодори [139, p. 8]). Пусть A подмножество из Rn. Тогда каждая точка x co (A) является линейной комбинацией не более чем n + 1 точек из A.

Предложение 1.4 (теорема Крейна Шмульяна [139, p. 8]). Замкнутая выпуклая оболочка слабо компактного множества банахова пространства является слабо компактной.

Предложение 1.5 (теорема Банаха Мазура [139, p. 8]). Если X банахово пространство и (xn ) слабо сходящаяся к x последовательность, то некоторая последовательность линейных комбинаций элементов из xn сходится к x в топологии, порожденной нормой X.

оператор. Говорят, что A замкнут, если из условий xn E, xn x, Axn y следует, что Ax = y. Оператор A называется ограниченным, если существует постоянная K, что f E Предложение 1.6 (теорема Банаха о замкнутом графике [33, с. 227 – 228]). Если A : E E1 линейный замкнутый оператор, то A ограничен.

Предложение 1.7 (теорема Хана Банаха [109, c. 171]). Пусть A замкнутое выпуклое подмножество в банаховом пространстве E и x0 E\A. Тогда существует такая непрерывная линейная форма f на E, что f (x0 ) > sup f (x).

некоторое множество. Говорят, что система F его подПусть T множеств является алгеброй, если T F, Ac = T \ A F, A B F A, B F. Алгебра называется -алгеброй, если с каждой последовательностью множеств A1, A2,..., принадлежащих F, объединение Ai принадлежит F. Множество T с -алгеброй F называетi= ся измеримым пространством (T, F). Если S система подмножеств из T, то пересечение всех -алгебр, содержащих S, является -алгеброй и называется -алгеброй, порожденной S. В частности, если T топологическое пространство, то -алгебра, порожденная открытыми множествами из T, называется борелевской -алгеброй и обозначается (T ).

Пусть заданы два измеримых пространства (T1, F1 ), (T2, F2 ) и отображение f : T1 T2. Отображение f называется (F1, F2 )-измеримым, если f 1 (E) F1 для каждого E F2. Если (T, F) измеримое пространство, X метрическое пространство и (fn ) последовательность (F, (X))-измеримых функций таких, что lim fn (t) = = f (t) для каждого t T, то функция f является (F, (X))-измеримой. Если X = R и функции fn, n 1, f, g являются (F, (X))измеримыми, то (F, (X))-измеримы и функции sup fn ; inf fn ; f g;

, если g = 0. Отображение f топологического пространства T1 в тоg пологическое пространство T2 называется измеримым по Борелю, если оно является ((T1 ), (T2 ))-измеримым. Если g : T1 T2 измеримое по Борелю отображение, f : T T1 (F, (T1 ))-измеримое отображение, то g f является (F, (T2 ))-измеримым. Предел последовательности измеримых по Борелю отображений fn : T1 T2, где T2 метризуемое топологическое пространство, является измеримым по Борелю.

Пусть (T, F) измеримое пространство. Функция µ : F R+, определенная на множествах A из -алгебры F, называется мерой, если она обладает следующими свойствами: µ(A) 0 A F;

µ( Ai ) = называется конечной, если µ(T ) <.

Рассмотрим отображение f : T R+, заданное на измеримом пространстве (T, F, µ) с конечной мерой µ, которое является (F, (R+ ))-измеримым. Предел торых i2 < f (t) (i + 1)2, аналогично определяется множество {f > n}, называется интегралом Лебега и обозначается T f (t)dµ.

В случае произвольной функции f : T R и в случае конечности одного из интегралов T f + (t)dµ, T f (t)dµ, где f + (t) = = max{f (t), 0}, f (t) = min{f (t), 0}, T f (t)dµ полагают равным T f (t)dµ T f (t)dµ. Функцию f называют интегрируемой по Лебегу, если T |f (t)|dµ <.

Пусть (T, F, µ) измеримое пространство с конечной мерой µ, X банахово пространство. Функция f : T X называется простой, если существуют x1,..., xn X и E1,..., En F такие, что Ei X называется µ-измеримой, если существует последовательность простых функций (fn ) с lim fn (t) f (t) = 0 для µ-почти всех t T. Если последовательность (fn ) µ-измеримых функций fn : T X µ-почти всюду слабо сходится к f, то f также µ-измерима.

Функция ( µ-измеримая) f : T X называется интегрируемой по Бохнеру, если существует последовательность (fn ) простых функций fn : T X такая, что lim T fn f dµ = 0. В этом случае мощью соотношения E f dµ = lim E fn dµ, где E fn dµ интеграл, определенный обычным образом i=1 xi µ(Ei E).

Функция ( µ-измеримая) f : T X интегрируема по Бохнеру, если и только если функция f : T R+ является (F, (R+ ))-измеримой и T f dµ <.

3) если (En ) последовательность попарно не пересекающихся Предложение 1.9 ([139, p. 11]). Пусть (fn ) последовательность определенных на T интегрируемых по Бохнеру функций, сходящаяся для µ-почти всех t T к функции f : T X. Если lim E fn dµ = 0 равномерно по n N, то f интегрируема µ(E) Если 1 p <, то символом Lp (T, F, µ, X) или кратко Lp (T, X) обозначаем множество интегрируемых по Бохнеру функций f : T X таких, что f = ( T f p dµ)1/p <. Множество функций Lp (T, X) (точнее множество классов, состоящих из эквивалентных функций) с нормой f является банаховым пространством. Символ L (T, X) используем для обозначения банахова пространства µ-измеримых существенно ограниченных функций с нормой f = ess sup f.

Предложение 1.10 (теорема Рисса [139, p. 13]). Если A : L1 (T, R) X непрерывный линейный оператор, то существует функция g L (T, X) такая, что A(f ) = T f gdµ для всех f L1 (T, R).

Рассмотрим векторную меру : F X. Если каждое множество нулевой µ меры имеет нулевую меру, то говорят, что является µ-непрерывной. Пусть : F X определена равенством (E) = = E f dµ для E F, где f : T X интегрируемая по Бохнеру функция, тогда является µ-непрерывной и имеет ограниченную вариацию ||(E) = E f dµ, E F.

Предложение 1.11 (теорема Радона Никодима [139, p. 13]).

Пусть (T, F, µ) измеримое пространство с конечной мерой µ, X конечномерное банахово пространство.

µ-непрерывная векторная мера ограниченной вариации, то существует единственная функция g L1 (T, X) такая, что (E) = E gdµ для всех E F.

Функция g L1 (T, X), определяемая теоремой Радона Никодима, называется производной Радона Никодима векторной меd ры относительно меры µ и обозначается.

Подмножество K L1 (T, X) называется равномерно интегрируемым, если lim E f dµ = 0 равномерно по f K Предложение 1.12 (теорема Данфорда [139, p. 12]). Подмножество K L1 (T, R) является относительно секвенциально слабо компактным, если и только если оно равномерно интегрируемо.

Множество K L1 (T, X) называют интегрально ограниченным, если существует интегрируемая функция : T R+ такая, что для каждой функции v(·) K для почти всех t v(t) (t).

Предложение 1.13 (теорема Дистеля [126]). Пусть: X банахово пространство; T измеримое пространство с конечной мерой µ; K подмножество из L1 (T, X). Предположим далее, что для любого > 0 существует измеримое множество T T и слабо компактное подмножество Q X такие, что µ(T \ T ) и для каждой функции v(·) K почти всюду на T выполняется условие v(t) Q. Тогда множество K относительно слабо компактно.

Пусть (T1, F1, µ1 ), (T2, F2, µ2 ) два измеримых пространства с конечными мерами. Тогда -алгебра подмножеств из T1 T2, порожденная множествами A1 A2, A1 F1, A2 F2, называется произведением -алгебр F1 и F2, обозначается F1 F2. Мера µ на (T1 T2, F F2 ) такая, что µ(A B) = µ(A) µ(B), A F1, B F2, называется произведением мер µ1 и µ2, обозначается µ1 µ2.

Предложение 1.14 (теорема Фубини [108, c. 213–217]). Пусть функция f (t1, t2 ) является (F1 F2, (R))-измеримой и Тогда интегралы T1 f (t1, t2 )dµ1 и T2 f (t1, t2 )dµ2 являются соответственно µ2-измеримой, µ1-измеримой функциями и справедливо равенство Если T Rd, то обычно будем считать, что в измеримом пространстве (T, F, µ) -алгебра F состоит из измеримых по Лебегу подмера Лебега. В этом случае (F, (Rn ))-измемножеств из T, а µ римая функция f : T Rn называется измеримой по Лебегу, а для интеграла Лебега функции f используем обозначение T f dx.

Предложение 1.15 (обобщенное неравенство Минковского [82, c. 302]). Пусть D Rn, G Rm и функция f : D G R такова, что для некоторого 1 p < выполнено условие D ( G |f (x, y)| dx) dy <. Тогда справедливо неравенство Предложение 1.16 (теорема о монотонных классах [79, c. 18–19]). Пусть H векторное пространство ограниченных действительных функций, заданных на, содержащее единицу, замкнутое относительно равномерной сходимости и такое, что для каждой возрастающей равномерно ограниченной последовательности неотрицательных функций fn H предельная функция f = lim fn принадлежит H. Пусть E подмножество H, замкнутое относительно умножения. Тогда пространство H содержит все ограниченные функции, измеримые относительно -алгебры, порожденной элементами E.

Следующие условия также достаточны для справедливости теоремы о монотонных классах:

a) H множество действительных функций, замкнутое относительно монотонной сходимости;

б) E векторное пространство, замкнутое относительно операции Предложение 1.17 (лемма Цорна [29, c. 55]). Пусть P непустое частично упорядоченное множество со свойством: каждое упорядоченное подмножество из P имеет верхнюю грань в P. Тогда P содержит максимальный элемент.

1. Вероятностное пространство.

Первоначальным объектом теории вероятности является вероятностное пространство (, F, P ), где (, F) измеримое пространство, состоящее из множества и системы F его подмножеств, образующих -алгебру, а P вероятностная мера (вероятность), определенная на множествах из F, т. е. мера на F такая, что P () = 1. Пусть (, F, P ) вероятностное пространство, (E, (E)) измеримое пространство, состоящее из топологического пространства E и борелевской -алгебры (E). Функция : E называется случайной величиной, если она (F, (E))-измерима.

Система множеств FP называется пополнением -алгебры F по мере P, если FP принадлежат все те множества A, для которых найдутся такие множества A1, A2 F, что A1 A A и P (A2 \ A1 ) = 0. Система множеств FP является -алгеброй, и мера P однозначно продолжается с F на FP. Вероятностное пространство (, F, P ) называется полным, если FP совпадает с F.

Предложение 1.18 [8, с. 13–14]. Пусть (S, ) полное метрическое пространство. Тогда для каждого B (S) имеет место равенство 2. Условное математическое ожидание.

Математическим ожиданием случайной величины = () со значениями в банаховом пространстве X называется интеграл Бохнера ()dP (обозначают E() ).

Случайная величина = () называется интегрируемой, если Пусть () интегрируемая случайная величина со значениями в конечномерном банаховом пространстве и J под- -алгебра F. Тогда формула µ(B) = ()P (d), B J, определяет вероятностную меру на (, J), которая является непрерывной относительно меры = = P |J. Производная Радона Никодима dµ/d обозначается E(|J) и называется условным математическим ожиданием относительно J. Таким образом, E(|J) является J-измеримой интегрируемой случайной величиной Y такой, что B Y ()P (d) = B ()P (d) для всех B J.

Свойства условных математических ожиданий случайных величин со значениями в R [108, c. 232–236].

I) E(aX + bY |J) = aE(X|J) + bE(Y |J);

II) если X 0 п. н., то E(X|J) 0 п. н.;

III) E(1|J) = 1 п. н.;

чае, если XY интегрируема и X = XE(Y |J) п. н.;

V) если H под- -алгебра -алгебры J, то E(E(X|J)|H) = = E(X|H) п. н., VI) если Xn X в L1 (, R), то E(Xn |J) E(X|J) в L1 (, R).

3. Последовательности случайных величин.

Пусть (n ) последовательность случайных величин, заданная на некотором вероятностном пространстве (, F, P ) со значениями в метрическом пространстве (S, ). Последовательность называется сходящейся по вероятности к случайной величине (обозначается Последовательность называется сходящейся с вероятностью (почти наверное) к случайной величине (обозначается n ), если Последовательность случайных величин называется сходящейся в среднем порядка p, 0 < p <, к случайной велиLp чине (обозначается n ), если Последовательность случайных величин n, n 1, со значениями в R называется слабо сходящейся к случайной величине (обознасл.

чается n ), если для любой ограниченной случайной величины Справедливы следующие утверждения:

Обратные импликации, вообще говоря, несправедливы, но отмеP тим, что если n, то из последовательности n можно выбрать подпоследовательность nk, сходящуюся с вероятностью 1.

= P (() B), B (S) определяет вероятность на (S, (S)). Мера P называется законом распределения случайной величины.

Пусть (S, (S), ) метрическое пространство S с метрикой и -алгеброй борелевских подмножеств (S) и пусть P(S) совокупность вероятностей на (S, (S)), а (Pn ) последовательность вероятностей из P(S). Последовательность (Pn ) называется слабо схосл.

дящейся к вероятностной мере P (обозначается Pn P ), если для всех функций f C b (S), где C b (S) множество непрерывных ограниченных на S функций.

Предложение 1.19 [8, с. 14–15]. Следующие пять условий эквивалентны:

2) S f (x)dPn S f (x)dP для каждой равномерно непрерывной функции f C b (S);

3) lim sup Pn (F ) P (F ) для каждого замкнутого множества F ;

4) lim inf Pn (G) P (G) для каждого открытого множества G;

5) lim Pn (A) = P (A) для каждого A (S) с P (A) = 0.

Последовательность n S-значных случайных величин, которые могут быть определены на разных вероятностных пространствах, называется сходящейся по распределению к случайной величине (обозначается n ), если P n P.

Множество вероятностных мер {P, }, p P(S), называется относительно компактным, если из любой последовательности мер из этого множества можно выбрать подпоследовательность, слабо сходящуюся к некоторой вероятностной мере из P(S).

Семейство вероятностных мер {P, } называется плотным, если для > 0 существует компакт K S такой, что Последовательность случайных величин n : n S называется плотной в S, если последовательность распределений P n плотна.

Предложение 1.20 (теорема Прохорова [8, c. 16]). Пусть {P, } семейство вероятностных мер, заданных на (S, (S)).

Если семейство {P, } плотно, то оно относительно компактно. В случае, когда S полное метрическое пространство, справедливо и обратное утверждение.

Слабую сходимость Pn P можно метризовать, т. е. вести такое расстояние (P, P ) между двумя мерами P и P, чтобы Pn P было равносильно (Pn, P ) 0. Одной из такой метрик является метрика Леви Прохорова. Положим (P, P ) = inf{ > 0 | P (F ) P ([F ] ) + для всех замкнутых F S}, где [F ] -окрестность множества F.

Функция, определенная равенством L(P, P является метрикой на P(S) и называется метрикой Леви Прохорова.

метризует слабую сходимость:

Если f : Rd R измеримая по Борелю функция, : Rd случайная величина, E(f (())) <, то Случайные величины X = X(), Y = Y ( ), заданные на вероятностных пространствах (, F, P ), (, F, P ) соответственно и со значениями в одном и том же пространстве S, называют эквивалентными по распределению (обозначают P X = P Y ), если они имеют одинаковые законы распределения. Пусть C(R+, Rd ) множество всех непрерывных функций, определенных на R+ со значениями в Rd.

Определим метрику Топология на C(R+, Rd ), порожденная этой метрикой, называется локально равномерной. Последовательность (fn ) сходится к f в (C(R+, Rd ), c ) тогда и только тогда, когда (fn ) сходится к f равномерно на каждом компактном интервале из R+.

Предложение 1.22 (теорема Асколи Арцела [139, p. 15]). Подмножество A из пространства (C(R+, Rd ), c ) относительно компактно тогда и только тогда, когда для каждого T R+ выполнены условия Пусть D(R+, Rd ) множество всех функций, непрерывных справа и имеющих конечный предел слева в каждой точке t R+. Пусть множество всех непрерывных строго возрастающих функций что равносильно следующим двум условиям:

Предложение 1.24 (лемма Фату [71, c. 24]).

a) Если последовательность действительных случайных величин n = n 0, n 1, равномерно интегрируема и существует E(lim sup n ), то имеет место неравенство В частности, если для последовательности n существует интегрируемая случайная величина такая, что n, то последовательность n равномерно интегрируема и, следовательно, справедливо неравенство (1.1).

Предложение 1.25 [71, с. 25]. Пусть выполнены условия необходима и достаточна равномерная интегрируемость последовательности n.

Предложение 1.26 (теорема Лебега о мажорируемой сходимоп. н.

сти [71, c. 25]). Пусть n и существует такая интегрируемая случайная величина, что |n |. Тогда мость n заменить на сходимость по вероятности n.

Пусть F1... Fn... неубывающая последовательность под- -алгебр -алгебры F. Минимальную -алгебру, содержащую алгебру Fn, обозначим через F = Fn.

Предложение 1.27 (теорема Леви [71, c. 25]). Пусть действительная случайная величина с E(||) <. Тогда с вероятностью 1 имеет место соотношение Предложение 1.28 (критерий Валле Пуссена [71, c. 26]). Для равномерной интегрируемости последовательности (n ) действительных интегрируемых случайных величин необходимо и достаточно существование такой положительной возрастающей выпуклой функции G(t), t 0, для которой 4. Основные неравенства для математических ожиданий действительных случайных величин [108, c. 206–209].

Неравенство Коши Буняковского. Пусть, таковы, что E( ) <, E( ) <. Тогда E(||) < и E(||) Неравенство Чебышева. Пусть неотрицательная случайная величина. Если E() <, то для всякого a > 0 выполняется неравенство Для произвольной случайной величины, E( 2 ) <, для любого > 0 имеет место оценка Неравенство Гёльдера. Если 1 < p <, 1/p + 1/q = 1, E(||p ) <, E(||q ) <, то Неравенство Минковского. Если E(||)p <, то Неравенство Иенсена. Пусть f (x) действительная непрерывная выпуклая функция и E(|f ()|) <. Тогда Неравенство Ляпунова. Если 0 < s < t, E(||t < ), то Пусть (, F, P ) вероятностное пространство, A1, A2,... последовательность множеств из F. Множества A = n=1 m=n Am, n=1 m=n Am называют соответственно верхним и нижним пределом последовательности (An ).

Предложение 1.29 (лемма Бореля Кантелли [71, c. 27]). Есn=1 P (An ) <, то P (A ) = 0. Если же n=1 P (An ) = и A1, A2,... независимы, то P (A ) = 1.

5. Случайные процессы.

Рассмотрим пространство (C(R+, Rd ), c ). Борелевским цилиндрическим множеством в этом пространстве называют множество B C(R+, Rd ) вида Если обозначить через G совокупность всех борелевских цилиндрических множеств, то -алгебры [G] и (C(R+, Rd )) совпадают.

Пусть (, F, P ) вероятностное пространство, T = R+ или T = = [0, a], a > 0. Семейство Xt, t T, случайных величин Xt () со значениями в Rd, называется d-мерным случайным процессом. При фиксированном функция t Xt () называется траекторией процесса. С каждым случайным процессом Xt связывают -алгебру Ft = {Xs |s t}, являющуюся наименьшей -алгеброй, относительно которой измеримы случайные величины Xs, s t.

Случайный процесс Xt называется измеримым, если для любых борелевских множеств B (R) множество {(, t) | Xt () B} принадлежит F (T ).

Предложение 1.30 [71, c. 30].

Пусть Xt измеримый случайный процесс. Тогда:

1) почти все траектории являются измеримыми по Борелю функциями;

2) функция m(t) = E(Xt ) является измеримой, если для каждого t случайная величина ||Xt || интегрируема;

т. е. Ft Fs, если 0 t s. Семейство (Ft ) называется непрерывным справа, если Ft+0 >0 Ft+ = Ft для каждого t R+. В дальнейшем предполагается, что (Ft ) непрерывно справа. Такое семейство (Ft ) называется потоком.

Процесс Xt, t 0, называется (Ft )-согласованным, если случайная величина Xt () (Ft )-измерима при каждом t. Процесс Xt, t 0, называется прогрессивно измеримым, если для каждого t T борелевское множество на Rd, а ([0, t]) Прогрессивно измеримый случайный процесс является измеримым и (Ft )-согласованным.

с E(||Xt ||) < и пусть (Ft ) поток под- -алгебр. Тогда условные математические ожидания t = E(Xt |Ft ) могут быть выбраны таким образом, что процесс t будет измеримым [71, c. 32]. Случайные процессы Xt, Yt, t T, заданные на вероятностном пространстве (, F, P ), называются стохастически эквивалентными, если P (Xt = Yt ) = для всех t T. Процесс Y (t), стохастически эквивалентный X(t), называют модификацией процесса X(t). Если Xt измеримый (Ft )согласованный процесс, то у него существует прогрессивно измеримая модификация.

Непрерывным ( d-мерным) процессом Xt, заданным на (, F, P ), называется случайная величина со значением в C(R+, Rd ), т. е. (F, (C(R+, Rd ))-измеримое отображение X : C(R+, Rd ).

Случайная величина со значениями в (D(R+, Rd ), D ) называется процессом Скорохода. Наименьшую -алгебру на R+, относительно которой измеримы все (Ft )-согласованные процессы Скорохода, обозначим G, а через наименьшую -алгебру на R+, относительно которой измеримы все (Ft )-согласованные непрерывные слева процессы. Процесс Xt называется предсказуемым, если отображение (t, ) Xt () (, (Rd ))-измеримо. Процесс называется вполне измеримым, если отображение (t, ) Xt () (G, (Rd ))-измеримо. Любой предсказуемый процесс вполне измерим.

Предложение 1.31 [8, с. 26]. Пусть Xn (t) последовательность d-мерных процессов, определенных на вероятностных пространствах (n, Fn, Pn ) и удовлетворяющих условиям:

Тогда последовательность (Xn (t)) плотна в C(R+, Rd ).

Предложение 1.32 [8, с. 27]. Пусть Xn (t) последовательность d-мерных непрерывных процессов, определенных на вероятностных пространствах (n, Fn, Pn ) и удовлетворяющих условию:

существуют положительные постоянные,, Mk, k = 1, 2,..., такие, что En { Xn (t) Xn (s) } Mk |t s|1+ для каждых n и t, s [0, k], k 1. Тогда последовательность Xn удовлетворяет условию (1.3).

6. Моменты остановки.

Пусть заданы вероятностное пространство (, F, P ) и поток подалгебр Ft. Отображение : [0, +] называется моментом остановки, если для каждого t 0 множество {|() t} принадлежит Ft. Для момента остановки мы полагаем:

Ясно, что F под- -алгебра F и F = Ft если () = t.

действительный непрерывный процесс, Ft под- -алгебр, C открытое множество, то момент первого достижения множества C является моментом остановки. Если C является замкнутым множеством, то C является моментом остановки относительно Ft.

Свойства моментов остановки [71, c. 34–39].

2 = max{1, 2 }, 1 + 2 тоже являются моментами остановки.

2. Пусть n последовательность моментов остановки, тогда sup n, inf n, lim sup n, lim inf n также являются моментами остаn новки.

3. Пусть Xt действительный прогрессивно измеримый процесс момент остановки такой, что P ( < ) = 1. Тогда функция X () () является (F )-измеримой.

В дальнейшем множество [0, +] считаем метрическим пространством с метрикой Предложение 1.33 [162, p. 297]. Пусть: D вероятность на (C(R+, Rd )) такая, что P {x(t) | x(t) D, t R+ } = 1; A непустое замкнутое подмножество в D; x () = = inf{t | x(t) [A] } [0, ], > 0. Тогда за исключением не более счетного множества значений для P -почти всех x C(R+, Rd ) функция x () непрерывна.

7. Мартингалы.

Пусть (, F, P ) вероятностное пространство и Ft поток подалгебр. Действительный случайный процесс Xt, t T, где T = = [0, ] или T = R+ или T = {0, 1, 2,...} называется мартингалом (супермартингалом, субмартингалом) относительно Ft, если:

I) случайная величина Xt интегрируема для каждого t T ;

II) процесс Xt (Ft )-согласован;

III) E(Xt |Fs ) = Xs (соответственно E(Xt |Fs ) Xs, E(Xt |Fs ) Xs ) п. н. для любых t, s T и s < t.

Свойства мартингалов.

1. Если Xt каждого t 0 существует предел Xt = lim Xs и процесс Xt является субмартингалом таким, что отображение t Xt непрерывно справа и имеет предел слева п. н.; Xt Xt п. н. для всякого t R+ [8, c. 41].

для каждого t1 > 0 [8, c. 41] 3.(Теорема о преобразовании свободного выбора [8, c. 42]). Пусть непрерывный справа субмартингал относительно Ft и t = 1, если t < s. Пусть Xt = Xt и Ft = Ft, t R+. Тогда Xt субмартингал относительно Ft.

4. Пусть Xt субмартингал с непрерывными справа траекториями такой, что sup E(Xt+ ) <, где Xt+ = max{Xt, 0}. Тогда с вероятt ностью 1 существует lim Xt = X и E(X ) < [71, c. 68].

5. Пусть X = (xn ) неотрицательный супермартингал. Тогда с вероятностью единица и в L1 () существует предел lim xn = x и процесс X равномерно интегрируем [8, c. 40].

Действительный случайный процесс Xt на (, F, P ) называется локальным (Ft )-мартингалом, если он согласован с Ft и существует последовательность (Ft )-моментов остановки n с n <, n и Xn = Xn (t) (Ft )-мартингал для каждого n 1, где Xn (t) = = X(t n ). Если к тому же Xn квадратично интегрируемый мартингал, то X называется локально квадратично интегрируемым (Ft )-мартингалом.

<, то Xt является мартингалом.

8. Броуновские движения.

Пусть (, F, P ) вероятностное пространство с потоком Ft.

Непрерывный случайный процесс W (t) называется r-мерным (Ft )броуновским движением, если для каждых Rr и 0 s t. Пусть функция p(t, x), t > 0, x Rr определяется равенством Если W (t) = (W1 (t),..., Wr (t)) (Ft )-броуновское движение, то W (t) W (s) не зависит от Fs, закон распределения разности W (t) W (s) является гауссовским с плотностью p(t s, x) и Предложение 1.34 [8, с. 86]. Пусть W (t) (Ft )- броуновское движение, а W (t) = W (t + ) и Ft = Ft+, t [0, +[. Тогда W (t) броуновское движение, которое не зависит от F0 = F.

Пусть 0 (), 1 (),... независимые нормально распределенные случайные величины и пусть где Nk подпоследовательность последовательности натуральных чисел. Тогда последовательность Wk (t) сходится равномерно на [0, ] п. н. к некоторому броуновскому движению.

9. Интеграл Ито.

Пусть (, F, P ) полное вероятностное пространство с потоком (Ft ), причем при каждом t 0 под- -алгебра Ft содержит все P нулевые множества, B(t) одномерное (Ft )-броуновское движение.

Пусть L2 пространство всех действительных измеримых (Ft )согласованных процессов (t) таких, что для всякого t1 > Процессы, L2 отождествляем, если 2 1 = 0 для люt бого t1 > 0 (пишем ). Так как для всякого L2 существует предсказуемый процесс, то без ограничения общности можпредсказуемый процесс. Для L2 полагаем но считать, что ||||2 = n=1 2 (||||2,n 1).

Через L0 обозначаем подмножество L2 процессов (t) со следующими свойствами: существует последовательность действительных чисел 0 = t0 < t1 <... < tn <... и такая последовательность случайных величин (fi ), что fi являются (Fti )-измеримыми, sup ||fi || < и Если (t, ) L0, то полагают I()(t, ) = Пусть M2 = {X(t) | X квадратично интегрируемый (Ft )мартингал }, M2 = {X M2 | t X(t) непрерывно п. н. }. МноC жество M2 является полным метрическим пространством с метрикой Для любого процесса L2 найдется последовательность n L0 с || n ||2 0 при n. Последовательность I(n ) является последовательностью Коши в M2 и, следовательно, сходится к единственному элементу I() MC. Процесс I() MC называют стохастическим интегралом (или интегралом Ито) от L2 по броуновскому движению B(t).

Определим семейство стохастических интегралов It,s () при t s 0, полагая It,s () = I(1[s,t] ). Для It,s () используется заt пись s (, )dW ( ).

Свойства интеграла Ито [8, c. 56–60].

п. н., то для любого t > где (t, s) = 1(() t) ((t, )).

Пусть B(t) = (B1 (t),..., Br (t)) r-мерное броуновское движение и пусть 1 (t, ),..., r (t, ) L2, тогда определены интегралы 0 i (s)dBi (s) и для 0 s t Mloc = {Xt | X локально квадратично интегрируемый (Ft )Пусть мартингал с X0 = 0 }, Mc,loc = {Xt Mloc | t Xt непрерывно п. н. }.

Стохастический интеграл был определен для элементов L2. Расширение его на более общий класс подынтегральных функций производится следующим образом. Пусть Lloc = {(t) | (Ft )-согласованный действительный измеримый процесс, что для всякого t1 > 0 (t, )dt < п. н.}. Для L2 определим последовательность моментов остановки n () = inf{t | 0 2 (s, )ds n} n, n = 1, 2,..., n п. н. Положим n (s, ) = 1(n () s) (s, ).

Определим I() посредством равенства I()(t) = I(n )(t) для t n. Процесс I() Mc,loc называется стохастическим интегралом от L2 по броуновскому движению B(t). Часто I() будет обоloc значаться 0 (s)dB(s) и называться интегралом Ито.

Пусть B(t) r-мерный (Ft )-броуновский процесс; процессы a : R+ Rd, b : R+ Rdr принадлежат соответственно пространствам Lloc, Lloc, где Lloc множество всех изi меримых (Ft )-согласованных процессов таких, что для каждого t1 0 0 1 (s, ) i ds < п. н.; X(0, ) (F0 )-измеримая случайная величина, а X(t, ) d-мерный случайный процесс вида Формула Ито [71, c. 140–141]. Если функция f : R+ Rd R непрерывна вместе с производными ft, fxi, fxi xj, i, j = 1,..., d, а X(t, ) процесс, определенный выше, то с вероятностью Формула Ито справедлива и в том случае, когда функция f имеет вид f (t, x, ) = (t, )f1 (x), где f1 : Rd R дважды непрерывно дифференцируемая функция, а : R+ R ограниченный (Ft ) -согласованный процесс с непрерывно дифференцируемыми траекториями.

Непрерывный (Ft )-согласованный процесс x(t) называется возрастающим, если для почти всех x(·, ) возрастающая функция по t. Говорят, что процесс x(t) является процессом ограниченной вариации, если его можно записать как разность двух возрастающих процессов. Процесс x(t) называется семимартингалом, если его можно записать как сумму локального мартингала и процесса ограниченной вариации.

|| = max(tk tk1 ). Если f (t) непрерывный семимартингал, то существует предел в смысле сходимости по вероятности. Его называют интегралом Стратоновича и обозначают 0 f (s) dB(s) [146, p. 60–61].

Пусть M (t) M2. Тогда найдется такой предсказуемый интегрируемый возрастающий процесс A(t), что M 2 (t) A(t) является (Ft )-мартингалом. Процесс A(t) обозначается M (t) и называется квадратичной вариацией M (t). Пусть M (t) и N (t) два элемента M2. Тогда найдется такой процесс D(t), который представим в виде разности двух предсказуемых интегрируемых возрастающих процессов и M (t)N (t) D(t) является (Ft )-мартингалом. Процесс D(t) обозначается M, N (t) и называется квадратичной ковариацией процессов M и N.

Для любого процесса M Mc,loc и любого 0 < p < существуют постоянные cp, Cp такие, что t > 0 [8, c. 117–120] В частности, для Lloc выполняется неравенство Предложение 1.35 [71, с. 118]. Пусть f Lloc. Тогда для любых c1 > 0, c2 > 0, T R+ выполняется неравенство Пусть (, F, P ) вероятностное пространство с потоком (Ft ).

что Ft F Ft Ft {, }, то (, F, P ) с потоком Ft называется стандартным расширением вероятностного пространства (, F, P ) с потоком (Ft ).

Предложение 1.36 [8, с. 97]. Пусть: (, F, P ) вероятностное пространство с потоком Ft ; M i Mc,loc, i = 1, 2,..., d; ij, i, j = 1, 2,..., d и ik, i = 1, 2,..., d, k = 1, 2,..., r, (Ft )предсказуемые процессы, принадлежащие соответственно L1, Lloc ; loc Тогда на расширении (, F, P ) и Ft пространства (, F, P ) с Ft существует такое r-мерное (Ft )-броуновское движение W (t), что ное пространство с потоком (Ft ) ; aij, i, j = 1,..., d, ak, i = 1,..., d, k = 1,..., r, вещественные (Ft )-предсказуемые процессы, принадлежащие соответственно пространствам Lloc, Lloc, aij = r ai aj ;

X(t) d-мерный непрерывный (Ft )-согласованный процесс; vi, i = = 1,..., d, измеримые (Ft )-согласованные процессы такие, что для любой функции h Cb (Rd ) процесс принадлежит Mc,loc. Тогда на расширении (, F, P ) и Ft пространства (, F, P ) с Ft можно определить r-мерное (Ft )-броуновское движение W (t) такое, что или в векторной форме Предложение 1.38 [8, с. 164]. Пусть: (, F, P ) вероятностное пространство с потоком Ft ; f : R+ R R, g : R+ Rd Rdr измеримые по Борелю локально ограниченные функции; an бесконечно большая последовательность; e (Ft )-момент остановки; x = x(t) заданный на вероятностном пространстве (, F, P ) процесс такой, что x(t)1[o,e) (Ft )-согласован, имеет непрерывные траектории при t < e и lim sup x(t) = для e < ;

является (Ft )-мартингалом, где n = inf{t | x(t) an }. Тогда на расширении (, F, P ) и Ft пространства (, F, P ) с Ft можно определить r-мерное (Ft )-броуновское движение W (t) такое, что с вероятностью 1 для всех t [0, e()) выполняется равенство Предложение 1.39 [71, c. 111]. Пусть: (, F, P ) вероятностное пространство с потоком Ft ; (Ft )-момент остановки; f (t), fn (t) L2, n = 1, 2,... ; W (t) (Ft )-броуновское движение. Если Предложение 1.40 (теорема Альдуса [110]). Пусть (Xn (t)) последовательность d-мерных (Ft )-согласованных процессов, которые определены на вероятностных пространствах (n, Fn, Pn ) с потоками (Fnt ). Если выполнены условия:

1) для любых > 0 и последовательностей n 0, (n ) (Fnt )моментов остановки имеет место равенство 2) для любых b > 0 и > 0 существуют n0 и K такие, что для любого n n0 выполняется соотношение то последовательность (Xn (t)) плотна в D(R+, Rd ).

1.3. Многозначные отображения и многозначные случайные процессы 1. Многозначные отображения.

conv (X) соответственно семейство всех непустых замкнутых, непустых выпуклых замкнутых, непустых замкнутых ограниченных, непустых компактных, непустых компактных выпуклых подмножеств из X. Определим отклонение и полуотклонение по Хаусдорфу множеств A, B X : (A, B) = sup((a, B) : a A) отклонение множеств A и B. Функция : cl (X) cl (X) R+ метрика на cl (X). Пространство (cl (X), ) является полным (сепарабельным) метрическим пространством, если таковым является X.

Пусть (T, F) измеримое пространство. Многозначное отображение : T S(X) называется измеримым, если 1 (M ) = = { t T | (t) M = } F для каждого открытого множества M.

Если : T1 T2 S(X), где (T1, F1 ), (T2, F2 ) два измеримых пространства, то измеримость отображения понимается в терминах произведения -алгебр F1 F2. Отметим, что однозначная функция f : T X измерима, если и только если она является (F, (X))-измеримой. Измеримое отображение : T X называют селектором многозначного отображения : T S(X), если (t) (t) для всех Предложение 1.41 [117, теорема III.9, с. 67]. Пусть X = E сепарабельное банахово пространство и : T cl (E) многозначное отображение. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) измеримо;

2) функция t (x, (t)) измерима для каждого x E;

3) существует последовательность селекторов n (·) для такая, что (t) = {n (t)}, t T.

Многозначное отображение : T S(E) называется интегрируемым по Ауману, если существует последовательность интегрируемых по Бохнеру селекторов (n (·)) отображения такая, что (t) (t) {n (t)} для почти всех t (черта означает замыкание в E ;

{n (t)} = n (t)). Через B (t)dt = { B f (t)dt | f (·) интегриn= руемый по Бохнеру селектор для } обозначаем интеграл Аумана для интегрируемого по Ауману многозначного отображения : T E по измеримому множеству B F.

Будем говорить, что отображение F : T E cl (Y ), Y банахово пространство, удовлетворяет условиям Каратеодори, если оно непрерывно по x при почти всех t T и измеримо по t при каждом x E. Пусть многозначное отображение F : T E cl (E) удовлетворяет условиям Каратеодори, а отображение X : T cl (E) непрерывно. Тогда функция t F (t, X(t)), t T, измерима.

Отображение : R+ Rd cl (Rdr ) называется измеримым по Борелю, если оно ((R+ ) (Rd ), (Rdr ))-измеримо.

Отображение : X S(Y ), X, Y топологические хаусдорфовы пространства, называется полунепрерывным сверху в точке x X, если для каждой окрестности U для () существует окрестx ность V точки x такая, что (x) U для всех x V. называется полунепрерывным сверху, если оно полунепрерывно сверху в каждой точке x X. Отображение : X S(Y ) полунепрерывно сверху тогда и только тогда, когда для любого замкнутого множества B Y множество {x X | (X) B} является замкнутым. Отображение : X S(Y ), X, Y метрические пространства, является полунепрерывным сверху тогда и только тогда, когда для любой точки x Rd, для любой последовательности (xn ), сходящейся к x, и любой последовательности yn (xn ) существует сходящаяся подпоследовательность ynk, чей предел принадлежит (x). Если : Rd cl (Rd ) ограничено, то полунепрерывно сверху тогда и только тогда, когда для любой точки x Rd, для любой последовательности xn x выполняется то полунепрерывно сверху и co.

Отображение : X S(Y ), X, Y топологические хаусдорфовы пространства, называется полунепрерывным снизу в точке x X, если для каждого открытого множества U в Y с F () U = = существует окрестность V точки x такая, что F (x) U = для каждой точки x V. называется полунепрерывным снизу, если оно полунепрерывно снизу в каждой точке x X. Отображение : X S(Y ) полунепрерывно снизу тогда и только тогда, когда для любого открытого множества B Y множество {x X | (x) B} является открытым. Отображение : X S(Y ), X, Y метрические пространства, является полунепрерывным снизу тогда и только тогда, когда для любой точки x Rd любой последовательности (xn ), сходящейся к x, и любой точки y () существует последовательность yn (xn ), сходящаяся к y и такая, что yn (xn ). Многозначное отображение называется непрерывным, если оно полунепрерывно сверху и снизу.

Предложение 1.42 [139, p. 48]. Пусть: X польское пространство; Y метрическое пространство; T измеримое пространство; f : T X Y функция, измеримая по t и непрерывная по x; : T comp (X) измеримая многозначная функция; g : T Y измеримая функция такая, что g(t) f (t, (t)) для t T.

Тогда существует селектор : T X для такой, что g(t) = = f (t, (t)) t T.

Предложение 1.43 [139, p. 49]. Пусть (X, ) польское пространство, а : T comp (X), g : T X измеримые отображения. Тогда существует селектор : T X для такой, что (g(t), (t)) = (g(t), (t)) t T.

Предложение 1.44 (теорема Майкла [139, p. 57–58]. Пусть X метрическое пространство, Y банахово пространство и : X Scc (Y ) полунепрерывное снизу многозначное отображение. Тогда существует непрерывный селектор : X Y для отображения.

Предложение 1.45 [111]. Пусть: F : [a, b]Rd conv (Rdr ) многозначное отображение, измеримое по t и непрерывное по x;

z : [a, b] Rd измеримое отображение; w : [a, b] Rd селектор для F (t, z(t)). Тогда существует измеримый по t и непрерывный по x селектор f для отображения F такой, что w(t) = f (t, z(t)) п. в. t [a, b].

Пусть (X, ) метрическое пространство. Если существует постоянная c > 0 такая, что отображение F : X cl (Rd ) удовлетворяет неравенству (F (x), F (y)) c(x, y) x, y Rd, то отображение F называют c-липшицевым. Говорят, что отображение F : [a, b] X cl (Rd ) является c(t)-липшицевым по x, если оно c(t)-липшицево при каждом фиксированном t. Если функция c(t) постоянна, то отображение F : [a, b] X cl (Rd ) называем просто липшицевым по x.

Предложение 1.46 [111]. Пусть F : [a, b]X conv (Rd ) измеримое по Борелю c(t)-липшицевое по x отображение. Тогда существует постоянная k > 0 и измеримый по Борелю kc(t)-липшицевый по x селектор f для F.

Пусть T топологическое хаусдорфово пространство. Мера µ : (T ) R+ называется мерой Радона, если:

i) для каждой точки t T существует окрестность конечной меры;

ii) для каждого множества A (T ) µ(A) = sup{µ(K) | K comp (A)}.

Пространство T называется локально компактным, если каждая точка имеет относительно компактную окрестность.

Предложение 1.47 (теорема Скорца Драгони [139, p. 45]).

Пусть: T локально компактное хаусдорфово топологическое пространство с положительной мерой Радона µ; X польское пространство; Y сепарабельное метрическое пространство;

(T,, µ ) расширение Лебега для (T, (T ), µ); F : T X Y (, (X))-измеримое по t и непрерывное по x отображение. Тогда для любого > 0 существует замкнутое множество E T с µ(T \ E ) такое, что F непрерывно на E X.

теграл Rd u(y)v(x y)dy = (u v)(x) называется сверткой функций u и v. Пусть где постоянные c1, c2 выбраны так, что R J1 (t)dt = 1 = Rd J2 (x)dx, и пусть J(t, x) = J1 (t)J2 (x), Jn (t, x) = nd+1 J1 (nt)J2 (nx). Если f : R+ Rd R измеримая по Лебегу локально ограниченная функция, то отображения fn (t, x) = (f Jn )(t, x), n = 1, 2,..., бесконечно дифференцируемы и fn (t, x) f (t, x) для почти всех (t, x) R+ Rd.

Предложение 1.48 (лемма Крылова [39, c. 80]). Пусть: m > 0;

Cm = {(t, x)|t R, x m}; h Ld+1, h(t, x) 0, h(t, x) = 0 при t 0, h(t, x) = 0 при x m. Тогда на (, +) Rd существует ограниченная функция z(t, x) 0, равная нулю при t < 0 и такая, что для всех достаточно больших n и неотрицательно определенных симметрических матриц a = (aij ) на цилиндре Cm выполняется неравенство в котором N (d) > 0, hn = h Jn, zn = z Jn. Кроме того, если вектор b и число c таковы, что b m c, то на том же множестве справедливо неравенство для достаточно больших n. Наконец, при всех t 0 и x Rd имеет место неравенство 2. Многозначные случайные процессы.

Отображение Y : comp (Rd ) называют многозначной случайной величиной, если оно (F, (Rd ))-измеримо. Семейство Y (t), t 0 многозначных случайных величин называют многозначным случайным процессом.

Многозначный случайный процесс измерим, если {(t, ) | Y (t, ) B = } (R+ ) F для любого B (Rd ), если, кроме того, для любого t R+ многозначная случайная величина Y (t, ) является (Ft, (Rd ))-измеримой, то говорят, что многозначный процесс согласован с Ft.

Пусть F : cl (Rd ), X : Rd случайные величины, тогда { | X() F ()} F [27, с. 340].

Предложение 1.49. Пусть: (, F, P ) вероятностное пространство с потоком Ft ; b(t, )-измеримый случайный процесс;

: R+ conv (Rd ) многозначный измеримый (Ft )-согласованный процесс; b(t, ) (t, ) для (µ P )-почти всех (t, ) процесса b(t) относительно потока Ft. Тогда ) (t, ) для (µ P )-почти всех (t, ) R+ ).

рых b(t, ) (t, ) на множестве t положительной меры P (t ) > 0.

Тогда µ(K) = 0. Возьмем t R+ \ K. Так как функция t, ) и многозначное отображение (t, ) являются (Ft, (R ))-измеt, ) (t, )} принадлежит Ft.

Предположим, что P () > 0. Для каждого возьмем точку ражение r() является (Ft, (Rd ))-измеримым. Следовательно, такими же будут отображения r и u, определенные следующим образом: r : Rd, r() = r(), если ; r() = t, ), если \, u() = t, ) r(). Из построения u() следует E(u ()b(t, )|Ft ) = u () t, ). Поэтому Предложение 1.50. Если : [0, t1 ] conv (Rd ), : [0, t1 ] (([0, t1 ])) F, (Rd ))-измеримые (Ft )-согласованные процессы, то существует измеримый (Ft )-согласованный процесс, удовлетворяющий соотношениям Доказательство. Существование измеримого процесса, удовлетворяющего соотношениям (1.5), следует из предложения 1.43. Взяв t [0, T ] и применив предложение 1.43 к отображениям (t, ), (t, ), получим, что существует (Ft, (Rd ))-измеримая случайная величина такая,что (t, ) (t, ), ()(t, ) = ((t, ), (t, )). (1.6) Так как множество (t, ) непустое выпуклое компактное, то для каждой пары (t, ) существует единственная точка (t, ) (t, ), удовлетворяющая (1.5), и существует единственная точка (t, ) (t, ), удовлетворяющая (1.6), следовательно, (t, ) = (t, ).

Из (Ft, (Rd ))-измеримости следует (Ft )-измеримость (t, ).

Предложение 1.51. Пусть последовательность bn (t, ) слабо сходится к b(t, ) в L1 ([0, t1 ], Rd ). Тогда имеет место включение для (µ P )-почти всех (t, ) [0, t1 ].

= co j=m bj (t, ) и через m обозначим множество всех селекторов для m (t, ), принадлежащих L1 ([0, T ], Rd ). Если последовательность yl m, l 1, сходится к y в L1 ([0, T ], Rd ), то из нее можно выбрать подпоследовательность yli, i 1, сходящуюся почти всюду к y. Следовательно, m является замкнутым подмножеством пространства L1 ([0, T ], Rd ), кроме того, очевидно, что множество m непустое и выпуклое. Поэтому множество m слабо замкнуто в L1 ([0, T ], Rd ), значит, b m для любого m 1, т. е. b удовлетворяет (1.7).

Предложение 1.52. Пусть s : R+ Rd Rdr измеримое по Борелю локально ограниченное отображение, S(t, x) наименьшее выпуклое замкнутое множество, содержащее все предельные точки отображения s(t, x ) при x x. Тогда многозначное отображение S : R+ Rd conv (Rdr ) измеримо по Борелю и полунепрерывно сверху по x.

Доказательство. Возьмем произвольную точку x Rd и произвольную последовательность xn x. Пусть S1 (t, y) наименьшее замкнутое множество, содержащее все предельные точки s(t, y ) при y y, и пусть yn S1 (t, xn ). Из последовательности yn выбираем сходящуюся подпоследовательность yni y. Считаем для простоты, что yn y. Из определения S1 следует, что n N существует последовательность xnk xn, k, такая, что s(t, xnk ) yn, k. Отсюда следует, что s(t, xnn ) y, n, т. е. y S1 (t, x).

Таким образом, отображение S1 полунепрерывно сверху по x, но тогда таким же является и отображение S. Множество S1 (t, y) можно представить в виде где s(t, [x]1/i ) наименьшее замкнутое множество, содержащее все точки s(t, x ), x x 1/i. Пусть U тогда {(t, x)|s(t, [x]1/i ) U = } = {(t, x) | (x, x) 1/i, s(t, x ) U } = Bi (R+ ) (Rd ). Поэтому {(t, x) | s(t, [x]1/i ) U= Борелю отображения S1. Измеримость по Борелю отображения S = = co S1 вытекает из теоремы III.40 [117].

Предложение 1.53. Пусть: Rs множество неотрицательных симметрических матриц; a : R+ Rd Rs dd ограниченное отображение; для каждых (t, x) R+ R множество A(t, x) является наименьшим выпуклым замкнутым множеством, содержащим точку a(t, x) и все предельные точки отображения a(t, x ) при x x. Тогда для любых (t, x) R+ Rd элементами множества A(t, x) являются неотрицательные симметрические матрицы.

Доказательство. Если матрица b(t, x) является пределом для последовательности неотрицательных симметрических матриц a(t, xi ), xi x, то все миноры матрицы b являются пределами соответствующих миноров матрицы a(t, xi ). Все угловые миноры матрицы a(x, ti ) неотрицательны, следовательно, такими же являются и миноры матрицы b, поэтому b неотрицательная симметрическая матрица.

Любая точка в выпуклой оболочке ограниченного замкнутого множества B, согласно теореме Каратеодори, представима в виде Поэтому угловые миноры любой матрицы из выпуклой оболочки симметрических неотрицательных матриц являются линейной комбинацией неотрицательных миноров с неотрицательными коэффициентами и, следовательно, сами неотрицательны. Отсюда и из равенства coB = = coB, верного для всякого замкнутого ограниченного множества B, следует предложение 1.53.

Если a Rdd симметрическая неотрицательная матрица, то существуют ортогональная матрица T и диагональная матрица = = diag (11,..., dd ), 0 11... dd такие, что a = T T 1 Через где = diag( 11,..., dd ).

Nx,r = {n Rd | n = 1, B(x rn, r) D = }, где B(z, r) = {y Условия Лионса Шнитмана для области D.

1) Существует r0 ]0, +[ такое, что Nx = Nx,r0 =, x D.

2) Существуют постоянные > 0, 1 такие, что для каждого x D существует единичный вектор kx со следующим свойством:

kx, n 1/ n yB(x,) D Ny.

Предложение 1.54 (теорема Рожкоша Сломинского [162]).

функции; область D удовлетворяет условиям Лионса ШнитмаC (t, x) R+ D, C = const ; замыкание на; (t, x) + b(t, x) (R+ D) U (t,x) det a (s, y)dsdy = для каждой открытой окрестности U (t, x) точки (t, x)}, a =, F1 = {(t, x) F | (R+ D) U (t,x)\F det a (s, y)dsdy = для каждой открытой окрестности U (t, x) точки (t, x)}, M = {(t, x) R+ D | (t, ·)|F или b(t, ·)|F разрывна в x}, M1 = {(t, x) R+ D | (t, ·) или b(t, ·) разрывна в x}, E = {(t, x)|(s, x) = 0 и b(s, x) = 0 для почти всех s t}; x0 D.

Тогда существуют вероятностное пространство (, F, P ) с потоком Ft, (Ft )-броуновское движение W (t), пара непрерывных (Ft )согласованных процессов x(t), K(t), x принимает значения в D, K процесс с ограниченной вариацией, K(0) = 0 и где |K|t вариация отображения K на [0, t], n(s) Nx(s), если x(s) D, и таких, что выполняется соотношение Процесс x(t) называют слабым решением на D уравнения (1.8) с отражением от границы. Пусть X метрическое пространство с метрикой. Предположим, что задано отображение f : R+ X comp (X), ставящее в соответствие каждой точке (t, x) R+ X непустой компакт f (t, x).

Говорят, что на X задана полунепрерывная по x полудинамическая система f (t, x) [87, с. 11], если отображение f удовлетворяет следующим аксиомам:

lim (f (t, x), f (t, x0 )) = 0 x0 X, t R+.

xx +[, [c, +[ с c ], 0] либо ]c, +[ с c ], 0[, называем движением полунепрерывной по x полудинамической системы f (t, x), если x (0) = x и x (t2 ) f (t2 t1, x (t1 )) t1, t2 Ix, t2 > t1. Движение x (t) называется максимальным, если не существует другого движения x (t), что Ix Ix и x |Ix = x. Каждое движение полунепрерывной по x полудинамической системы f (t, x) можно продолжить до максимального движения [87, с. 36]. Движение x называется Отображения x : ], 0]Ix X, x : [0, +[ X, x : [a, b] X, [a, b] Ix, называются соответственно отрицательным полудвижением, положительным полудвижением и отрезком движения x и обозначаются, +, |[a,b]. Отрицательное полудвижение полное, Через (f ) обозначаем совокупность всех движений полунепрерывной по x полудинамической системы f, а через (f, R+ ) совокупность всех ее положительных полудвижений, R+ = [0, +[.

Предложение 1.55 [87, с. 46 47]. Множество (f, R+ ) обладает следующими свойствами:

I) x X существует (f, R+ ) такое, что (0) = x;

II) если 1, 2 (f, R+ ) таковы, что 1 (t1 ) = 2 (t2 ) для некоторых t1, t2 R+, то отображение принадлежит (f, R+ );

IV) если xn x0, n (f, R+ ), n (0) = xn, то существует подпоследовательность nk, сходящаяся на R+ к некоторому полудвижению (f, R+ );

V) если tn t0, n (f, R+ ), n (0) = x0 n, то существует такое полудвижение (f, R+ ), (0) = x0, что (t0 ) предельная точка для n (tn ).

Предложение 1.56 [87, с. 28, с. 47]. Пусть некоторое подмножество из C(R+, X) = {h : R+ X | h непрерывна}. Если для функций из выполняются условия I) V), то отображение f (t, x) = {(t) |, (0) = x}, x X, t R+, является полунепрерывной по x полудинамической системой на X, причем = = (f, R+ ). Если |[a,b] отрезок движения (движение x (t)), то z = x (t1 ), t + t1 Ix ) также является отрезком движения (движением) полунепрерывной по x полудинамической системы.

Скажем, что полунепрерывная по x полудинамическая система f (t, x) на X удовлетворяет свойству VI), если совокупность движений (f ) этой системы обладает свойством:

VI) существует > 0 такое, что если последовательность движений n (t) (f ) равномерно ограничена на некотором отрезке [a, b], то из нее можно выбрать подпоследовательность nk, сходящуюся на [a, b] к отрезку |[a,b] некоторого движения этой системы.

Полунепрерывную по x полудинамическую систему, для которой выполняется свойство VI), называем G -системой на X.

Дифференциальные включения, функционально-дифференциальные включения, эволюционные уравнения параболического типа при естественных условиях порождают G -системы на соответствующих метрических пространствах.

Одну из точек пространства X обозначим 0. Множество, состоящее из непрерывных функций : I X, где I множество вида называем Z -системой, если существует d > 0 такое, что для любых t0 R+, x X, (x, 0) d, существует функция со свойством (t0 ) = x.

Будем говорить, что Z -система (G -система f (t, x)) обладает свойством интегральной непрерывности в точке x = 0, если функция (t) 0, t 0, принадлежит Z -системе (является полудвижением G -системы) и > 0, t0 R+, t1 > t0, (, t0, t1 ) > 0, x0, (x0, 0), ( (f )), (t0 ) = x0, t [t0, t1 ] выполняется неравенство ((t), 0). Для Z -системы (G -системы), обладающей свойством интегральной непрерывности в точке x = 0, используем обозначение Z0 -система (G0 -система).

Скажем, что Z -система приближается к G -системе f (t, x) при t +, если существуют постоянные > 0, L > 0 такие, что любые две последовательности tn +, n, удовлетворяющие условию (zn (t), 0) L, t [a, b], zn (t) = n (t + tn ), обладают свойством: из последовательности zn можно выбрать подпоследовательность znk, сходящуюся на [a, b] к отрезку |[a,b] некоторого движения G -системы.

Функция x(t) 0, t 0, называется устойчивой для Z -системы (для G -системы f (t, x)), если функция x(t) 0, t 0, принадлежит Z -системе (является положительным полудвижением G -системы) и для любых > 0, t0 > 0 существует (, t0 ) > 0, что для любых x0, (x0, 0), ( (f )), (t0 ) = x0, выполняется неравенство ((t), 0) t [t0, +[.

Функция x(t) 0, t 0, называется асимптотически устойчивой для Z -системы (G -системы f (t, x)), если она устойчива и для любого t0 R+ существует (t0 ) > 0 такая, что для любых x0, при t +.

называется полной траекторией (полной отрицательной полутраекторией) полного движения (полудвижения ). Траектория (поx x лутраектория) называется нетривиальной, если она отлична от точки x = 0. Движение (полудвижение) называется нетривиальным, если его траектория (полутраектория) нетривиальна.

Теорема 1.1 [63]. Функция x(t) 0, t 0, асимптотически устойчива для G0 -системы f тогда и только тогда, когда существует окрестность точки x = 0, в которой G0 -система f не имеет полных отрицательных нетривиальных полутраекторий.

Теорема 1.2 [63]. Если Z0 -система приближается к G -системе при t + и функция x(t) 0, t 0, асимптотически устойчива для G -системы, то функция x(t) 0, t 0, асимптотически устойчива и для Z0 -системы.

В следующей теореме рассматриваем G -системы, для которых выполняется условие I). Существуют непрерывная функция V : X [0, +[, V (0) = 0, и постоянная > 0 такие, что функция t V ((t)) не возрастает для каждого движения G -системы до тех пор, пока ((t), 0).

Теорема 1.3 [63]. Функция x 0, t 0, асимптотически устойчива для G0 -системы f, удовлетворяющей условию I), в том и только в том случае, когда существует постоянная 1, 0 < 1, такая, что G0 -система не имеет полных отрицательных нетривиальных полудвижений и полных нетривиальных движений, удовлетворяющих условиям (t) m1 t 0; V ( (t)) = V ((0)), ( (t), 0) 1 t R.

1.5. Дифференциальные включения Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений Под решением системы (1.9) понимают функцию x(t), определенную на некотором промежутке |a, b|, которая дифференцируема на |a, b| и удовлетворяет условию x(t) = f (t, x(t)) t |a, b|. Если отображение f непрерывно, то для любой точки x0 Rd существует решение уравнения (1.9) с начальным условием x0, которое продолжимо Для дифференциальных уравнений с разрывной функцией f такое определение решения уже не является приемлемым, что показывает следующий пример: x = 1 2 sign x. При x < 0 имеем x = 3, x(t) = = 3t + c1 ; при x > 0 имеем x = 1, x(t) = t + c2. При возрастании t каждое решение доходит до прямой x = 0, и далее поле направлений не позволяет решению сойти с нее. Продолжение же решения по этой прямой невозможно, так как на ней x(t) = 0, а 1 2 sign x(t) = = 1. Для дифференциальных уравнений с разрывной правой частью обычно используют следующее обобщение понятия решения, принадлежащее А. Ф. Филиппову [99, 100, 102]. Для каждой точки (t, x) строят множество F (t, x), состоящее из одной точки f (t, x), если функция f непрерывна в (t, x). Если же (t, x) точка разрыва f, то множество F (t, x) задается тем или иным способом. Обычно F (t, x) наименьшее выпуклое замкнутое множество, содержащее все предельные значения отображения f (t, x ), когда x x. Решениями системы (1.9) называют решения включения А под решением включения (1.10) понимают абсолютно непрерывную функцию, определенную на промежутке [0, b|, для которой x(t) F (t, x(t)) при почти всех t [0, b|. В рассмотренном выше примере F (x) = 1 2 sign x, x = 0, F (x) = [1, 3] при x = 0. Решения включения уже продолжимы по прямой x = 0 и после попадания на эту прямую.

Отображение F : R+ Rd comp (Rd ) называется локально ограниченным, если b > 0, Mb > 0, что (F (t, x), 0) Mb t [0, b], x, x b.

Пусть D множество локально ограниченных многозначных отображений F : R+ Rd conv Rd, измеримых по t и полунепрерывных сверху по x.

Предложение 1.57 [102]. Пусть F D. Тогда дифференциальное включение (1.10) обладает следующими свойствами:

1) для каждого x0 Rd существует решение x(t) включения (1.10), которое продолжимо на промежуток [0, c[, где либо c = +, либо lim x(t ) = +;

2) пусть все решения x(t) включения (1.10) с начальными условиями x0 M comp (Rd ) определены на отрезке [0, b] и пусть HF (M ) множество всех этих решений, тогда HF (M ) является компактным подмножеством в C([0, b], Rd );

3) пусть все решения x(t) включения (1.10) с начальным условием x0 определены на отрезке [0, b], тогда > 0, () > 0, x, x (t) задачи x F (t, x ), x (0) = x, продолжимо на [0, b] и найдется решение x(t) включения (1.10), удовлетворяющее неравенству max x(t) x (t).

0tb

ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ

ДЛЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

И ВКЛЮЧЕНИЙ

2.1. Теорема существования решений стохастических дифференциальных уравнений Мы начинаем изучение стохастических дифференциальных уравнений с доказательства теоремы существования решений уравнений, правые части которых могут зависеть от. В параграфе 2.4 введенные решения для уравнений с правыми частями, независящими от, будут названы сильными решениями, а также там же будет доказана более сильная теорема существования.

Пусть заданы вероятностное пространство (, F, P ) с потоком Ft, d -мерное (Ft ) броуновское движение W (t) и функции f : R+ Rd Rd, g : R+ Rd Rdr. Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение Определение 2.1. Под решением x(t, ) уравнения (2.1) с начальным условием () понимаем d -мерный непрерывный (Ft ) согласованный случайный процесс x(t, ), определенный на вероятностном пространстве (, F, P ) с потоком Ft, такой, что для кажt t дого t и для каждого t R+ с вероятностью 1 имеет место равенство Будем говорить, что отображения f и g удовлетворяют условию А), если:

A1 ) при каждом фиксированном x процессы f (·, x, ·) и g(·, x, ·) измеримы и (Ft ) -согласованы; при каждых фиксированных (t, ) отображения f (t, ·, ) и g(t, ·, ) непрерывны по x ; при всех a R+ и T R+ выполняется неравенство где A2 ) существует вещественная функция V (x), определенная на Rd непрерывная вместе с производными Vxi xj xl, i, j, l = 1,..., d, V (x) > где при каждом a R+ k(t, a, ) непрерывный (Ft ) согласованный процесс, удовлетворяющий для любых T R+, a R+ неравенству Будем говорить, что отображения f и g удовлетворяют условию B), если существует вещественная неотрицательная функция Q(x), определенная на Rd непрерывная вместе с производными Qxi xj xl i, j, l = 1,..., d, lim Q(x) =, такая, что при всех t R+, x Rd, выполняется неравенство где k1 (t, ) непрерывный (Ft ) -согласованный процесс, удовлетворяющий при каждом T R+ условию Лемма 2.1. Пусть (t) непрерывный (Ft ) -согласованный неотрицательный процесс, ограниченный момент остановки, b R+, и пусть для любого момента остановки имеем E(( )) b. Тогда для любого > 0 выполняется неравенство Доказательство. Возьмем = inf{t 0 (t) }. Тогда { sup (t) } = { ( ) }. Теперь требуемое неравенство вытекает из неравенства Чебышева.

Лемма 2.2. Пусть: отображения f и g удовлетворяют условиям A) и B) ; (xn (t, ), pn (t, )) последовательности непрерывных (Ft ) -согласованных процессов таких, что для каждого t 0 с вероятностью 1 имеет место равенство a R+, T R+ выполняется условие Тогда для каждого T R+ имеет место соотношение Доказательство. Пусть Из условий леммы следует, что при всех a R+, T R+ выполняется неравенство Покажем, что при всех a R+, T R+ имеет место равенство Представим выражение под знаком предела в (2.7) в виде имеем Отсюда и из предложения 1.8 следует, что для произвольного > > 0 можно выбрать i таким образом, что первое слагаемое в (2.8) оказалось бы меньше 2. Зафиксируем такое i, а затем, используя (2.5), выберем номер N так, что второе слагаемое в (2.8) было меньше 2 при n N, отсюда и из равенства (2.8) следует неравенство (2.7). Далее, фиксируем на время n, m, a и полагаем Используя формулу Ито, для любого T R+ имеем +Vx (z(s) y(s))(f (s, z(s) + p(s), ) f (s, y(s) + q(s), ))+ + tr Vx2 (z(s) y(s))(g(s, z(s) + p(s), ) g(s, y(s) + q(s), )) + (s)Vx (z(s)y(s))(g(s, z(s)+p(s), )g(s, y(s)+q(s), ))dW (s).

Отсюда с помощью условия A2 ) получаем V (z(s) y(s))) + (Vx (z(s) y(s)) Vx (z(s) + p(s) y(s) q(s))) (g(s, z(s) + p(s), ) g(s, y(s) + q(s), ))(g(s, z(s) + p(s), ) + Vxi xj (x) 1 (t, a, ) + Vxi xj xl (x) 2 (t, a, ) ( p(s) + q(s) )ds+ Возвращаясь к предыдущим обозначениям, из последнего неравенства для любого a R+ и для любого (Ft ) -момента остановки, T n,m, имеем неравенство По лемме 2. Множитель exp((t, a, )) можно опустить, так как он не зависит от n, m. Отсюда и из свойств функции V следует соотношение Если мы покажем, что для любого T R+ выполняется равенство то лемма вытекает из соотношения (2.9). Опять временно положим Используя формулу Ито и условие В), имеем + tr (Qx2 (z(s)) Qx2 (z(s) + p(s)))g(s, z(s), )g (s, z(s), ) ds+ + 1 (s)Qx (z(s))g(s, z(s, ), )dW (s) c1 (exp(Q())(1 + Q())+ + 1 (s)Qx (z(s))g(s, z(s, ), )dW (s)) = c1 (exp(Q())(1 + Q())+ где венства следует, что для всех достаточно больших n, где Соотношение (2.7) справедливо и после замены процесса h на h1, т. е.

Для всех достаточно больших n и для любого b > 0, согласно лемме 2.1, имеем неравенство Пусть r(a) = inf a Q(x). Тогда Множитель 1 (t) не зависит от a, поэтому соотношение (2.10) вытекает из (2.11). Лемма 2.2 доказана.

Теорема 2.1. Если отображения f и g удовлетворяют условиям A) и B), то для любого (F0 ) -измеримого вектора () уравнение (2.1) имеет решение с начальным условием.

Доказательство. Определим процессы xn (t, ) : xn (0, ) = (), при t [ n, k+1 ], которые, легко видеть, удовлетворяют уравнениям где pn (t, ) = xn (n (t), ) xn (t, ), n (t) = [tn], ( [tn] целая часть числа tn ). Определим n как момент первого выхода xn (t, ) из шара pn (t, ) следует, что его можно представить в виде Пусть vn (t, ) = pn (t, )1A (t, ), где A = {(t, )|0 t n }. Для любых > 0, > 0, используя предложение 1.35, имеем неравенство Неравенство (2.13) совместно с условием A1 ) показывает, что для любого t R+ выполняется соотношение Так как vn (t, ) a, то из (2.14), используя теорему Фубини и теорему Лебега о мажорируемой сходимости, получаем, что для любых a R+, T R+ справедливо равенство т. е. условие (2.5) леммы 2.2 выполняется. Из леммы 2.2 вытекает существование непрерывного процесса x(t, ) такого, что для любого Ясно, что также Процесс x(t, ) является (Ft ) -согласованным, так как этим свойством обладают процессы xn (t, ). Пусть b R+, (b, ) = = inf{t| x(t, ) > b}. Зафиксируем t R+ и выберем подпоследовательность xnk (nk (s), ) последовательности xn (n (s), ), сходящуюся равномерно по s [0, t] п. н. Используя теорему Лебега о мажорируемой сходимости, имеем Для некоторой подпоследовательности xnki (nki (s), ) выполняется равенство [предложение 1.39] Из соотношений (2.12), (2.16), (2.17) для любой последовательности bl имеем Из (2.10), (2.15) следует Переходя к пределу в (2.18) при l, убеждаемся, что x(t, ) решение уравнения (2.1). Теорема доказана.

Замечание 2.1. Если V (x) = x 2, Q(x) = x 2, то неравенства (2.2), (2.3) имеют вид Говорят, что отображения f и g удовлетворяют локальному условию Липшица по x, если для любого a R+ существует непрерывный (Ft ) -согласованный процесс k(t, a, ), что при всех t Говорят, что отображения f и g имеют линейный порядок роста по x, если при всех, t R+, x Rd где k1 (t, ) непрерывный (Ft ) -согласованный процесс такой, что Ясно, что отображения f и g, удовлетворяющие локальному условию Липшица по x, удовлетворяют также неравенству (2.19), а отображения f, g, имеющие линейный порядок роста по x, удовлетворяют неравенству (2.20) с функциями k, k1 такими, как в условиях A), B).