5

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2004. №4(34).

МАТЕМАТИКА

УДК 517.11

О НОВОМ ПРОЧТЕНИИ ”ОСНОВАНИЙ

МАТЕМАТИКИ” А. УАЙТХЕДА И Б. РАССЕЛА

1 Ю.Н. Радаев2

c 2004 Г.П. Яровой, В статье обсуждается современное прочтение фундаментальной трехтомной монографии А. Уайтхеда и Б. Рассела ”Principia Mathematica” в связи с окончанием перевода на русский язык первого тома и перспективным проектом, реализуемым Самарским государственным университетом, по полному переводу и комментированию указанного сочинения с целью приобщения всего научного сообщества к этому выдающемуся образцу творческой мысли. Предполагается, что современный перевод на русский язык ”Principia Mathematica” восполнит также существующий пробел в литературе по математической логике и основаниям математики, а также будет способствовать развитию формальной математики в духе ее основоположников.

Представляемая работа возникла как результат современного осмысления фундаментальной трехтомной монографии А. Уайтхеда и Б. Рассела ”Principia Mathematica” и ее нового прочтения в процессе перевода этой книги на русский язык. Изданием первого тома мы начинаем опубликование на русском языке всего этого сочинения. Предполагается, что два оставшихся тома будут переведены, откомментированы и изданы в течение ближайших трех лет, завершая тем самым проект по полному переводу ”Principia Mathematica” на русский язык.

Трехтомная монография А. Уайтхеда и Б. Рассела занимает уникальное место в мировой математической литературе. Ее первое английское издание увидело свет в 1910–1913 гг. в трех томах, составлявших вместе почти 2000 страниц3. ”Principia Mathematica” по праву считается одним из самых ярких сочинений по основаниям математики и, в широком смысле, — выдающимся вкладом в интеллектуальную сферу прошедшего столетия. Не Яровой Геннадий Петрович ([email protected]), кафедра радиофизики и компьютерного моделирования радиосистем Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

Радаев Юрий Николаевич ([email protected]), кафедра механики сплошных сред Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад.

Павлова, 1.

Второе издание вышло в свет в 1925–1927 гг.

6 Г.П. Яровой, Ю.Н. Радаев будет преувеличением сказать, что ”Principia Mathematica” оказала настолько существенное влияние на развитие математики и логики, что по прошествии почти целого столетия с момента первого издания этой монографии интерес к ней не ослабевает. По нашему глубокому убеждению, перевод на русский язык трехтомной монографии А. Уайтхеда и Б. Рассела восполнит также известный пробел в литературе по основаниям математики4 и будет воспринят как совершенно необходимый шаг в направлении приобщения всего научного сообщества к такого рода образцам научной творческой мысли.

Выполняя перевод оригинального материала такого значительного объема, написанного более ста лет назад, мы столкнулись с проблемой полной и ясной передачи тех мыслей, которые авторы ”Principia Mathematica”, как нам представляется, стремились донести до читателя в четырех различных аспектах: историческом, философском, логическом и собственно математическом. Преследуя эту цель, мы сделали все от нас зависящее для того, чтобы перевод как можно точнее соответствовал оригиналу: не подверглась никакому изменению символика и математическая терминология оригинала5 ; не нарушена нумерация предложений логической системы А. Уайтхеда и Б. Рассела; полностью сохранены все вспомогательные разделы книги; в значительной степени оставлен без изменения присущий авторам стиль изложения, часто в ущерб современным нормам орфографии русского языка.

”Principia Mathematica” несет на себе отпечаток личностей ее авторов.

Б. Рассел является одним из самых ярких философов XX столетия. Рассел как философ — основоположник сразу двух философских направлений — неореализма и аналитической философии. Опубликованная в 1948 г. его ”История западной философии” сразу завоевала огромную популярность и была переведена почти на все языки мира, в том числе и на русский. Рассел также хорошо известен своим фундаментальным вкладом в теорию познания и критику религиозного мировоззрения6.

I Заметим, что круг фундаментальных русскоязычных литературных источников по математической логике и основаниям математики весьма ограничен и, по существу, исчерпывается двухтомной монографией Д. Гильберта и П. Бернайса ”Основания математики”, перевод на русский язык которой был опубликован в 1979–1982 гг. через сорок лет после выхода в свет оригинального немецкого издания. Необходимо отметить также книгу ”Grundlagen der Geometrie” (”Основания геометрии”) Д. Гильберта (1899 г.), перевод которой на русский язык с седьмого немецкого издания 1930 г.

вышел в свет в 1948 г., и особенно три добавления к ней ”Об основаниях логики и арифметики” (1904 г.), ”Обоснования математики” (1927 г.) и ”Проблемы обоснования математики” (1928 г.). Во втором из них Д. Гильберт указывает на то, что ”математика, как и любая другая наука, не может быть основана только на логике”.

Заметим, что математическая терминология ”Principia Mathematica” сейчас часто воспринимается как архаичная. В примечаниях переводчиков и редакторов перевода мы сочли целесообразным указать на современные аналоги устаревшей терминологии.

С этим аспектом творчества Рассела заинтересованный читатель может ознакомиться по сборнику статей. См.: Рассел Б. Почему я не христианин. М.: Политиздат, 1987.

О новом прочтении ”Principia Mathematica” Уайтхеда и Рассела А. Уайтхед и Б. Рассел начали совместную работу по основаниям математики в 1903 г. в целях развития всего математического знания из небольшого числа четко сформулированных аксиом с помощью логических правил вывода. Краеугольным камнем предпринятой ими работы выступает логистическая концепция, которая утверждает, что математика принципиально сводима к формальной логике. Эта концепция включает в себя два важнейших положения: (1) все математические истины могут быть сформулированы в терминах некоторого символического языка и распознаваться как логические истины; (2) все математические доказательства могут быть переформулированы как символьные цепи логического вывода7. Значительно позже, в 1955 г., Б. Рассел указал цель этого направления как ”продемонстрировать, что вся чистая математика следует из чисто логических посылок и использует только концепции, определимые в логических терминах”. Почти десять лет А. Уайтхед и Б. Рассел работали над написанием ”Principia Mathematica”. Первый том был издан Cambridge University Press в 1910 г. Содержание ”Principia Mathematica” разделено на шесть частей, части подразделяются на главы, главы — на параграфы.

Первый том начинается с Введения, которое состоит из трех разделов:

— ”Предварительные сведения о понятиях и обозначениях”, — ”Теория логических типов”, — ”Неполные символы”.

Он также содержит первую часть ”Математическая логика”, состоящую из глав — ”Теория вывода”, — ”Теория кажущихся переменных”, — ”Классы и отношения”, — ”Логика отношений”, — ”Произведения и суммы классов”;

и вторую часть ”Пролегомены к арифметике кардиналов”, состоящую из глав — ”Единичные классы и пары”, — ”Подклассы, подотношения и относительные типы”, — ”Одно-многозначные, много-однозначные и одно-однозначные отношения”, — ”Выборки”, — ”Индуктивные отношения”.

Второй том начинается с ”Предварительных формальных соглашений”, за которыми следует третья часть ”Арифметика кардиналов”, состоящая из глав — ”Определение и логические свойства кардинальных чисел”, — ”Сложение, умножение и возведение в степень”, 334 с. Здесь особо следует отметить одну из ранних его работ (1914 г.) ”Мистицизм и логика”.

В системе ”Principia Mathematica” имеется весьма примечательное определение процесса формального логического вывода: ”Логический вывод есть пропуск одной истинной посылки и распад одной импликации.” Отметим одну интересную деталь. Издательство Cambridge University Press оценило убытки от предполагаемого издания ”Principia Mathematica” в 600, но согласилось на половину означенной суммы. Королевское общество (Royal Society) внесло 200.

Остался дефицит в 100. Авторы внесли по 50 каждый, после чего начался процесс напечатания.

— ”Конечное и бесконечное”;

четвертая часть ”Арифметика отношений”, состоящая из глав — ”Подобие ординалов и реляционные числа”, — ”Сложение отношений и произведение двух отношений”, — ”Принцип первых разностей, умножение и возведение в степень отношений”, — ”Арифметика реляционных чисел”;

а также первая половина пятой части ”Серии”, состоящая из глав — ”Общая теория серий”, — ”О сечениях, сегментах, промежутках и производных”, — ”О сходимости и пределах функций”.

Третий том включает вторую половину пятой части с главами — ”Вполне упорядоченные серии”, — ”Конечные и бесконечные серии и ординалы”, — ”Компактные серии, рациональные серии и непрерывные серии”;

и шестая часть ”Количества”, состоящая из глав — ”Обобщения чисел”, — ”Вектор-семейства”, — ”Измерения”, — ”Циклические семейства”.

Следуя логистической концепции, А. Уайтхед и Б. Рассел большое внимание уделили развитию выразительных средств математической логики, создав символическую систему, превосходящую все известные аналоги. Если попытаться кратко охарактеризовать самое существенное в ”Principia Mathematica”, то можно, по-видимому, остановиться лишь на одном обстоятельстве. Это выдающееся произведение ярко продемонстрировало, насколько мощным орудием современной математики является понятие формальной логической системы.

В свете сказанного выше понятна особая роль математической логики в попытках разобраться в основаниях современного математического знания.

Поэтому мы считаем необходимым остановиться здесь на основных этапах важнейшего эволюционного процесса, который привел к фундаментальному понятию формальной дедуктивной системы и постепенному осознанию того, что основания математики должны быть одной из таких систем.

Логика — одна из древнейших научных дисциплин. Формальная традиционная логика была создана в трудах Аристотеля (Aristotles, 384–322 гг.

до н.э.) на заре европейской цивилизации в Древней Греции. Аристотель — автор оригинальной, тщательно разработанной логической системы. Его силлогистика была исторически первой логической дедуктивной системой.

Сам Аристотель свое логическое учение называл ”Аналитикой”. Ключевым в логике Аристотеля является понятие силлогизма9. Исследуя строение силлогизмов, он все термины в них представляет буквами. Этим он вводит в логику буквенные переменные, совершая тем самым фундаментальное отСам Аристотель признавался, что на создание теории силлогизма он затратил очень большой труд.

О новом прочтении ”Principia Mathematica” Уайтхеда и Рассела крытие, которое собственно и позволяет считать его основателем формальной логики. Действительно, буквенная форма представления логики10 ясно указывает на то, что заключение получается не как следствие содержания посылок, а как следствие их формы и сочетания. Форма силлогизма характеризуется числом переменных, их расположением, соединениями терминов силлогизма (выражаемыми союзами ”и” и ”если”) и четырьмя отношениями между общими терминами. Аристотель развил систематическое исследование силлогистических форм. Логика Аристотеля, таким образом, предстает как наука о законах, которым должны подчиняться силлогизмы, выраженных с помощью переменных. В течение двух тысячелетий считалось, что логика Аристотеля настолько совершенна, что не может иметь дальнейшего развития.

Математическая логика — часть формальной логики, характеризующаяся применением математических методов и символьных представлений для выражения мыслительных процессов человека в процессе его познавательной деятельности.

Еще в начале XX века математическая логика казалась совершенно абстрактной математической дисциплиной. Сейчас положение коренным образом изменилось. В наше время, которое характеризуется глубоким проникновением математики во многие области науки и искусства, современная логика привлекает все большее внимание не только ученых, но и людей, чья профессиональная деятельность напрямую не связана с математической логикой. Все большее число высших учебных заведений включает в обязательную программу обучения курсы математической логики, теории алгоритмов, теории вычислимых функций или их фрагменты. Быстрый прогресс в области классических и квантовых вычислений выявил фундаментальную роль математической логики в этих областях знания.

Математическая логика традиционно также была тесно связана с философией математики, ибо математика, в противоположность другим наукам, в процессе получения нового знания использует доказательства, а не наблюдения. Математическая логика оправдывает свое название не только потому, что она формировалась, исходя из потребностей математики, и что подавляющее большинство результатов, составляющих в настоящее время ее классический базис, принадлежит ученым-математикам. Дело в том, что ее структура типична для строго математической дисциплины. Поэтому эта наука может трактоваться не только как логика математики, но и как математика логики, поскольку она является в значительной степени результатом применения математических методов к проблемам формальной логики.

В целом математическая логика должна быть отнесена к числу новейших научных дисциплин, формирование которых происходило в основном в Здесь, следуя Я. Лукасевичу (J. Lukasiewicz), отметим, что в логических системах ”буквы являются знаками общности”.

первой половине XX столетия. Идея математической логики (или скорее математизации формальной логики) впервые в ясной форме была выдвинута Лейбницем (1646–1716) (G.W. Leibniz). Одним из первых Лейбниц высказал мысль о введении в логику математической символики и использовании в логике математических методов. Однако Лейбниц не создал законченной формализованной логической системы11. В 1672 г. Лейбниц значительно усовершенствовал счетную машину, ранее изобретенную Паскалем. Лейбниц выдвинул первые идеи о ”machina rationatrix”, думающей машине.

Синтезируя логику и математику в единую науку, Лейбниц преследовал две цели. Первая из них состояла в истолковании мышления как оперирования знаками в форме некоторого исчисления. Базой этого исчисления должна служить ”characteristica universalis”, т.е. всеобщая система знаковых обозначений для представления предметов и отношений между ними. Вторая — во всестороннем применении логических исчислений в научном поиске12. Лейбниц назвал будущую науку об исчислении умозаключений ”calculus ratiocinator”. Реализация программных установок Лейбница потребовала от него разработки ряда новых научных направлений. Прежде всего, необходим был метод, позволяющий разлагать сложные понятия на простые, сводя последние к небольшому количеству основных. Затем надо было найти подходящие символы (”характеры”), которые могли бы представлять и замещать понятия и термины естественного языка. Наконец требовались организующие принципы символического исчисления. Грандиозный метафизический проект Лейбница не мог быть осуществлен во всей полноте так, как он был задуман. Тем не менее он дал мощный импульс развитию математической логики.

Первые после Лейбница существенные результаты на пути применения математики к логике были получены в XIX в. де Морганом13 (A. de Morgan, 1806–1871) и Булем14 (G. Boole, 1815–1864). Буль построил первую систему математической логики в форме алгебры логики. Затем последовали раЦикл логических работ Лейбница (всего их пять) был написан им, начиная с апреля 1679 г. Все они не окончены. Большинство логических произведений Лейбница не печаталось при его жизни (некоторые из них, по-видимому, вообще не предназначались для опубликования). Они были извлечены из его рукописного архива и опубликованы разными издателями много времени спустя после его смерти. Важнейшие логические работы Лейбница были впервые переведены на русский язык и вошли в третий том его сочинений. См.: Лейбниц Г.В. Сочинения: В 4 т. Т. 3. М.: Мысль, 1984. 734 с.

Ему принадлежит идея о том, что, записав исходные гипотезы на языке специальных знаков, можно, сформулировав правила логического вывода новых суждений из исходных, заменить рассуждение вычислением. Лейбниц также считал, что подобное универсальное логическое исчисление на практике может быть реализовано как вычислительная машина. Таким образом задачу математической логики можно сформулировать следующим образом: заменить рассуждения вычислениями.

Morgan A. de. Formal logic: or, the calculus of inference, necessary and probable.

London, 1847.

Boole G. The mathematical analysis of logic, being an essay toward a calculus of deductive reasoning. Cambridge and London, 1847.

О новом прочтении ”Principia Mathematica” Уайтхеда и Рассела боты Джевонса (W.S. Jevons, 1835–1882) и Пирса15 (C.S. Peirce, 1839–1914).

К концу XIX столетия окончательно сложилась алгебра логики. Проблемы строгого и точного обоснования математики и необходимость аксиоматического ее изложения исследовались в работах Фреге (G. Frege, 1848–1925) и Пеано16 (G. Peano, 1858–1932). Последний придал математической логике ее современную форму. Пеано и его сотрудники начали в 1894 г. работу над изданием ”Formulaire de Mathmatiques” (”Формуляр математики”), в котоe ром все математические дисциплины должны были бы предстать в форме логического исчисления. Здесь мы процитируем А. Уайтхеда и Б. Рассела с их оценкой вклада Пеано в разработку оснований математики: ”Его главная заслуга состоит не столько в его определенных логических открытиях и не столько в деталях его обозначений (хотя оба этих достижения — самого высокого уровня), сколько в том, что он впервые продемонстрировал, как символическая логика освободилась от чрезмерной навязчивости обычных алгебраических форм, став поэтому подходящим инструментом для исследования. Направляемые нашим собственным пониманием его метода, мы пользовались очень большой свободой при конструировании и реконструировании символики, стараясь сделать ее адекватной всем граням предмета исследования. Ни одного символа не было введено иначе как на почве его практической целесообразности и непосредственной пригодности для целей нашего исследования.” Пеано впервые сформулировал задачу применения символической логики с целью дедуктивно-аксиоматического построения всей математики. Ему принадлежит система аксиом для формальной арифметики натуральных чисел (1889 г.)17.

Пеано вместе с группой единомышленников реализовал свой грандиозный проект ”Formulario Mathematico”, направленный на формализованное представление всех разделов математики в символике математической логики, в пяти изданих в течение 1895–1908 гг., собрав в последнем из них приблизительно 4200 теорем на страницах18. При этом он заявил, что он до некоторой степени реализовал метафизическую программу Лейбница, что представляется справедливым, так как Пеано создал и логическую идеографию, т.е. символический язык, который впоследствии стал общеупотребительным, и формальную систему, представляющую математическое знание. Книга ”Formulario Mathematico” к настоящему времени уже почти забыта. Не осталось энтузиастов, которые бы продолжили формалиPeirce C.S. On the algebra of logic: A contribution to the philosophy of notation // Amer. J. Math. 7. 1885. P. 180–202.

Профессор математики Туринского университета (1890–1932).

Представляет интерес анализ логических основ теории натуральных чисел, данный Ф. Клейном (F. Klein) (см.: Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей.

Т. I. Арифметика. Алгебра. Анализ. М.: Наука, 1987. С. 26–35).

Первые четыре тома имели название ”Formulaire de Mathmatiques”. Последний пяe тый том был практически полностью подготовлен к изданию самим Пеано и был назван ”Formulario Mathematico”. В нем Пеано даже перешел от французского языка к Latino sine exione — специально разработанному им языку, который он применял для написания научных работ.

зацию математики в духе Пеано и видели бы в этом хоть какой-то смысл19.

Тем не менее представляется преждевременным утверждать, что формализованная математика никогда не найдет применения.

Появлением фундаментальной книги ”Principia Mathematica” 20 Уайтхеда (A.N. Whitehead, 1861–1947) и Рассела (B. Russell, 1872–1970) заканчивается этап создания классических логических исчислений с целью представления всех математических дисциплин как формальных исчислений. Эта цель была отчетливо сформулирована Гильбертом (D. Hilbert, 1862–1943) в двадцатых годах в его программе обоснования математики на базе математической логики с помощью аксиоматического метода. С этого времени, по-видимому, и начинается современный этап развития математической логики, характеризующийся использованием точных математических методов при исследовании формальных теорий. Именно с предпринятой в начале XX века Гильбертом разработки теории доказательств на базе развитого в работах Фреге и Пеано логического языка обычно связывают становление собственно математической логики. Двухтомная монография Гильберта и Бернайса (P. Bernays) ”Основания математики” 21 (1934–1939) подвела в определенном плане итог работы над программой обоснования математики средствами математической логики. Предложенный Гильбертом аксиоматический метод в перспективе сулил перевод всей математики на формальные рельсы с последующей ее универсальной алгоритмизацией.

В тридцатые года XX века, благодаря прежде всего работам Геделя (K. Gdel, 1906–1978), Черча (A. Church), Поста (E.L. Post, 1897–1954) и Тьюринга (A.M. Turing, 1912–1954), стало ясно, что программу Гильберта по обоснованию математики реализовать в полной мере невозможно, однако бурное развитие математической логики, стимулировавшееся в то время программой Гильберта, позволило ей не окаменеть в своем суровом совершенстве, а шаг за шагом уточнить определение алгоритма и вычислимости функций, развить рекурсивный анализ, четко сформулировать понятие разрешимости множеств и формальных систем.