«OCHOBbI fi AHKquoHr/tbHoeo AHAJIH3A РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С. Л. СОБОЛЕВА Современная математика — студентам и аспирантам C. C. КУТАТЕЛАДЗЕ ОСНОВЫ ФУНКЦИОНAЛЬНОГО АНАЛИЗА ...»

1.2.20. Лемма Куратовского — Цорна. Индуктивное множество имеет максимальный элемент.

1.2.21. Замечание. Лемма Куратовского — Цорна служит эквивалентом аксиомы выбора, принимаемой в теории множеств.

1.3. Фильтры 1.3.1. Определение. Пусть X — множество и B — непустое подмножество непустых элементов 2X. Множество B называют базисом фильтра (в X), если B фильтровано по убыванию при введении в множество 2X подмножеств X отношения порядка по включению.

1.3.2. Подмножество B в 2X является базисом фильтра в том и только в том случае, если 1.3.3. Определение. Подмножество F в 2X называют фильтром (в X), если F представляет собой совокупность надмножеств некоторого базиса фильтра B (в X), т. е.

При этом говорят, что B — базис F или что F имеет B своим базисом и т. п.

1.3.4. Подмножество F в 2X является фильтром в том и только в том случае, если 1.3.5. Примеры.

(1) Пусть F X Y — соответствие и B — фильтрованное по убыванию подмножество 2X. Положим F (B) := {F (B) :

B B}. Видно, что F (B) фильтровано по убыванию. Допускают некоторую вольность в обозначениях, считая F (B) := l F (B). Если фильтр в Y. Этот фильтр называют образом фильтра F при соответствии F. В частности, если F : X Y — отображение и B — базис фильтра в X, то F (F ) — фильтр в Y.

(2) Пусть (X, ) — направление. Несомненно, что B := {(x) : x X} — это базис фильтра. Если F : X Y — некоторая обобщнная последовательность, то фильтр l F (B) называют фильтром хвостов F.

Пусть (X, ) и F : X Y — другие направление и сеть элементов Y. Если фильтр хвостов F содержит фильтр хвостов F, то F называют подсетью (в широком смысле) сети F. Если же существует подсеть (в широком смысле) G : X X тождественной сети (x)xX элементов направления (X, ) такая, что F = F G, то F называют подсетью F (иногда говорят: F — подсеть Мура или строгая подсеть F ). Каждая подсеть служит подсетью в широком смысле.

1.3.6. Определение. Пусть F (X) — совокупность всех фильтров в множестве X. Если F1, F2 F (X) и F1 F2, то говорят, что F1 тоньше F2 или F1 мажорирует F2 (соответственно F грубее F1 или F2 минорирует F1 ).

1.3.7. Множество F (X) с отношением «тоньше» является упорядоченным.

1.3.8. Пусть N — направление в F (X). Тогда у N есть точная верхняя граница F0 := sup N. При этом Нужно убедиться только, что F0 — это фильтр. Ясно, что F0 и, в силу непустоты N, F0 =. Если A F0 и B A, то, подбирая F из N, для которого A F, заключаем: B F F0. Если же A1, A2 F0, то можно найти элемент F в N такой, что A1, A2 F, ибо N — это направление. На основании 1.3.4, 1.3.9. Определение. Максимальные элементы в упорядоченном множестве F (X) фильтров в X называют ультрафильтрами.

1.3.10. Каждый фильтр грубее некоторого ультрафильтра.

Ввиду 1.3.8 множество фильтров, содержащих данный, является индуктивным. Остатся сослаться на лемму Куратовского — Цорна 1.2.20.

1.3.11. Фильтр F является ультрафильтром в том и только в том случае, если для каждого A X либо A F, либо X \ A F.

F1 и B F1 F1 =. Столь же просто проверить 1.3.4 (2) и 1.3.4 (3). Итак, F1 — фильтр. По построению F1 F. Раз F — ультрафильтр, то F1 = F. Получилось противоречие: B F и X \A F по условию. Отсюда X \A F1, т. е. = A(X \A) F1, чего быть не может.

1.3.12. Если f — отображение из X в Y и F — ультрафильтр в X, то f (F ) — ультрафильтр в Y.

1.3.13. Пусть X := XF0 := {F F (X) : F F0 } для некоторого F0 F (X). Тогда X — полная рештка.

Понятно, что F0 — наибольший, а {X} — наименьший элементы в X. Стало быть, пустое множество в X имеет точную верхнюю и точную нижнюю границы: sup = inf X = {X} и inf = sup X = F0. В силу 1.2.17 и 1.3.8 достаточно установить существование F1 F2 для любых F1, F2 X. Рассмотрим F := {A1 A2 : A1 F1, A2 F2 }. Нет сомнений, что F F0 и F F1, F F2. Поэтому для проверки равенства F = F1 F нужно доказать, что F — фильтр.

Соотношения F = и F очевидны. Ясно также, что (B1, B2 F B1 B2 F ). Помимо этого, если C A1 A2, где Поскольку A1 C F1, а A2 C F2, выводим: C F. Апелляция к 1.3.4 дат требуемое.

Упражнения 1.1. Привести примеры множеств и не множеств, теоретико-множественных свойств и не теоретико-множественных свойств.

1.2. Может ли отрезок [0, 1] быть элементом отрезка [0, 1]? А отрезок [0, 2]?

1.3. Найти композиции простейших соответствий и отношений: квадратов, кругов и окружностей с общими и с несовпадающими центрами, шаров в RM RN при различных допустимых наборах M, N.

1.4. Для соответствий R, S, T установить соотношения:

1.5. Пусть X X X. Доказать, что X =.

1.6. Выяснить условия разрешимости уравнений XA = B и AX = B относительно X в соответствиях, в функциях.

1.7. Найти число отношений эквивалентности на конечном множестве.

1.8. Будет ли эквивалентностью пересечение эквивалентностей? Объединение эквивалентностей?

1.9. Найти условие коммутативности эквивалентностей (относительно композиции).

1.10. Сколько порядков и предпорядков на двух- и трехэлементном множествах? Предъявить их. Что можно сказать о числе предпорядков на конечном множестве?

1.11. Пусть F — возрастающее, идемпотентное отображение упорядоченного множества X в себя. Допустим, что F мажорирует тождественное отображение: F IX. Такие F называют операторами (абстрактного) замыкания или, короче, оболочками. Исследовать свойства неподвижных точек оператора замыкания.

1.12. Пусть X, Y — упорядоченные множества и M (X, Y ) — множество возрастающих отображений X в Y с естественным упорядочением (каким?). Доказать, что 1.13. Установить, что для упорядоченных множеств X, Y, Z справедливы следующие утверждения:

1.14. Сколько фильтров на конечном множестве?

1.15. Как устроены точные границы множества фильтров?

1.16. Пусть f отображает X на Y. Доказать, что каждый ультрафильтр в Y есть образ относительно f некоторого ультрафильтра в X.

1.17. Доказать, что каждый ультрафильтр, мажорирующий пересечение двух фильтров, тоньше хотя бы одного из них.

1.18. Доказать, что каждый фильтр представляет собою пересечение содержащих его ультрафильтров.

1.19. Пусть A — ультрафильтр в N, содержащий дополнения конечных подмножеств. Для x, y s := RN положим x A y := ( A A ) x|A = y|A.

Обозначим R := RN /A. Для t R знак t символизирует класс, содержащий постоянную последовательность t(n) := t (n N). Доказать, что R \ {t : t R} =. Ввести в R алгебраические и порядковую структуры. Как связаны свойства R и R?

Векторные пространства 2.1. Пространства и подпространства 2.1.1. Замечание. В алгебре, в частности, изучают модули над кольцами. Модуль X над кольцом A определяют указанием абелевой группы (X, +) и представления A в кольце эндоморфизмов X, заданного отображением левого умножения · : AX X. При этом заранее обеспечивают естественное согласование операций сложения и умножения. С учтом сказанного трактуют фразу: «модуль X над кольцом A описывается четвркой (X, A, +, ·)».

2.1.2. Определение. Поле вещественных чисел R и поле комплексных чисел C называют основными полями. Для обозначения каждого из этих двух полей используют также символ F. Считают, что поле R стандартным (и общеизвестным) способом вложено в C.

2.1.3. Определение. Пусть F — основное поле. Модуль X над полем F называют векторным пространством (над F). Элементы F называют скалярами, а элементы X — векторами. Векторное пространство над R называют вещественным векторным пространством, а векторное пространство над полем C — комплексным векторным пространством. Употребляют соответствующие разврнутые записи: (X, F, +, ·), (X, R, +, ·) и (X, C, +, ·). Вс же, как правило, допускают бльшую вольность, отождествляя мноо жество векторов X с отвечающим ему векторным пространством.

2.1.4. Примеры.

(1) Основное поле F — векторное пространство над F.

смотрим набор (X, F, +, · ), где · : (, x) x для s F и x X, а — комплексно сопряжнное к число. Полученное векторе ное пространство называют дуальным к X и обозначают X. При F := R пространство X совпадает с X.

(3) Векторное пространство (X0, F, +, ·) называют подпространством векторного пространства (X, F, +, ·), если X0 — это подгруппа в X и умножение на скаляр в X0 — это сужение на F X0 умножения на скаляр в X. Множество X0 называют линейным множеством в X. Очень удобно, хотя и не вполне корректно, рассматривать линейное множество X0 как векторное подпространство в X. Более того, нейтральный элемент — нуль группы X — считают подпространством X и обозначают символом 0. Поскольку связь нуля с X явно не отражена, все векторные пространства, включая и основные поля, можно воспринять зацепленными за один общий нуль.

(4) Пусть (X ) — семейство векторных пространств над полем F. Пусть, далее, X := X — произведение соответствующих множеств, т. е. совокупность отображений x :

X, для которых x := x() X при каждом (в подобных ситуациях всегда молчаливо подразумевают, что = ). Наделим X покоординатными операциями сложения и умножения на скаляр:

(ниже, как правило, вместо выражений типа · x будем писать сокращнно: x и изредка x). Полученное векторное пространство X над F называют произведением семейства векторных пространств В случае, когда X = X для любого, используют обозначение X := X. Если к тому же := {1, 2,..., N }, полагают X N := X.

(5) Пусть (X ) — семейство векторных пространств над полем F. Рассмотрим прямую сумму множеств X0 := X, т. е. подмножество в произведении X := X, состоящее из таких элементов x0, что найдтся (вообще говоря, свое для каждое го x0 ) конечное подмножество 0 в Видно, что X0 — линейное множество в произведении X. Соответствующее векторное пространство — подпространство произведения векторных пространств (X ) — называют прямой суммой семейства векторных пространств (X ).

(6) Пусть (X, F, +, ·) — векторное пространство и задано подпространство (X0, F, +, ·) в X. Положим Тогда X0 — эквивалентность в X. Пусть X := X/ X0 и : X X — каноническое отображение. Определим в X операции Здесь, как обычно, для множеств S1, S2 в X, множества элемента F считается, что Таким образом в X введена структура векторного пространства над F. Это пространство называют фактор-пространством пространства X по подпространству X0 и обозначают X/X0.

2.1.5. Пусть X — векторное пространство и Lat(X) — совокупность всех подпространств в X с отношением порядка по включению.

Тогда упорядоченное множество Lat(X) является полной решткой.

Ясно, что inf Lat(X) = 0 и sup Lat(X) = X. Помимо этого, пересечение непустого множества подпространств также подпространство. Привлекая 1.2.17, получаем требуемое.

2.1.6. Замечание. Для X1, X2 Lat(X) справедливо соотношение X1 X2 = X1 + X2. Столь же несомненно, что для непустого множества E в Lat(X) выполнено inf E = {X0 : X0 E }. Если к тому же E фильтровано по возрастанию, то sup E = {X0 : X 2.1.7. Определение. Подпространства X1 и X2 данного векторного пространства X разлагают X в (алгебраическую) прямую сумму (символическая запись: X = X1 X2 ), если X1 X2 = 0 и X1 X2 = X. При этом X2 называют (алгебраическим) дополнением X1, а X1 — (алгебраическим) дополнением X2.

2.1.8. Любое подпространство векторного пространства имеет алгебраическое дополнение.

Пусть X1 — подпространство X. Положим Очевидно, 0 E и для каждой цепи E0 в E, в силу 2.1.6, X1 sup E0 = 0, т. е. sup E0 E. Таким образом, E — индуктивно, и на основании 1.2.20 в E есть максимальный элемент X2. Если x X \ (X1 + X2 ), В самом деле, если для некоторых F и x1 X1, x2 X2 выполнено x2 + x = x1, то x X1 + X2 и, стало быть, = 0. Отсюда x1 = x2 = 0, ибо X1 X2 = 0. Следовательно, X2 +{x : F} = X в силу максимальности X2. Последнее означает, что x = 0. В то же время явно x = 0. Окончательно X1 X2 = X1 + X2 = X.

2.2. Линейные операторы 2.2.1. Определение. Пусть X, Y — векторные пространства над F. Соответствие T X Y называют линейным, если T — линейное множество в произведении векторных пространств X Y.

Отображение T : X Y, являющееся линейным соответствием, называют линейным оператором (или просто оператором, если линейность ясна из контекста). Желая отличить такой T от линейных однозначных соответствий S X Y с областью определения dom S = X, говорят: T — всюду определнный линейный оператор (из X в Y ) и S — линейный оператор из X в Y, или даже S — не всюду определнный линейный оператор.

2.2.2. Отображение T : X Y является линейным оператором в том и только в том случае, если выполнено 2.2.3. Множество L (X, Y ) всех линейных операторов из X в Y представляет собой векторное пространство — подпространство Y X.

2.2.4. Определение. Операторы из L (X, F) называют линейными функционалами на X, а пространство X # := L (X, F) — (алгебраически) сопряжнным пространством. Линейные функцие оналы на X называют -линейными функционалами на X.

Если хотят подчеркнуть природу основного поля F, то говорят о вещественно линейных функционалах, о комплексно сопряжнном пространстве и т. п. Понятно, что при F = R термин «-линейный функционал», как правило, не употребляют.

2.2.5. Определение. Линейный оператор T L (X, Y ) называют (алгебраическим) изоморфизмом, если соответствие T 1 является линейным оператором из L (Y, X).

2.2.6. Определение. Векторные пространства X и Y называют (алгебраически) изоморфными и пишут X Y, если существует изоморфизм между X и Y.

2.2.7. Пространства X и Y являются изоморфными в том и только в том случае, если найдутся операторы T L (X, Y ) и S L (Y, X) такие, что S T = IX и T S = IY. При этом выполнено 2.2.8. Замечание. Пусть X, Y, Z — векторные пространства, причм заданы T L (X, Y ) и S L (Y, Z). Бесспорно, что сооте ветствие S T — это элемент L (X, Z). Оператор S T в дальнейшем для простоты будет обозначен символом ST. Отметим здесь же, что композицию (S, T ) ST, как правило, считают отображением : L (Y, Z) L (X, Y ) L (X, Z). В частности, если E L (Y, Z), а T L (X, Y ), то полагают E T := (E {T }).

2.2.9. Примеры.

(1) Если T — линейное соответствие, то T 1 также линейное соответствие.

(2) Если X1 — подпространство векторного пространства X и X2 — его алгебраическое дополнение, то X2 изоморфно X/X1.

Действительно, если : X X/X1 — каноническое отображение, то его сужение на X2, т. е. оператор x2 (x2 ), где x2 X2, осуществляет требуемый изоморфизм.

ляемое соотношением Pr x := x, называют координатным проектором (= проекцией). Ясно, что Pr — линейный оператор: Pr L (X, X ). Отметим, что часто этот оператор рассматривают как элемент пространства L (X ) := L (X, X ), имея в виду естественный изоморфизм X и X, где X := X, а X := 0 при = (4) Пусть X := X1 X2. Поскольку отображение + осуществляет изоморфизм X и X1 X2, то определены линейные операторы PX1 := PX1 ||X2 := Pr1 (+1 ), PX2 := PX2 ||X1 := Pr2 (+1 ), действующие из X в X. Оператор PX1 называют проектором X на X1 параллельно X2, а PX2 — дополнительным проектором к PX1.

В свою очередь, PX1 дополнителен к PX2, а PX2 осуществляет проектирование X на X2 параллельно X1. Отметим также, что PX1 + PX2 = IX. Кроме того, PX1 := PX1 PX1 = PX1, т. е. проектор — идемпотентный оператор. Наоборот, любой идемпотентный оператор P L (X) является проектором на P (X) параллельно P 1 (0).

Если T L (X), то PX1 T PX1 = T PX1 в том и только в том случае, если T (X1 ) X1, т. е. X1 инвариантно относительно T.

Равенство T PX1 = PX1 T справедливо в том и только в том случае, если как X1, так и дополнение X2 инвариантны относительно T.

В последнем случае говорят, что разложение X = X1 X2 приводит оператор T.

Со следом T на X1 работают как с элементом T1 пространства L (X1 ). При этом T1 называют частью T в X1. Если T2 L (X2 ) — часть T в X2, то оператор T мыслят как матрицу Именно, элемент x из X1 X2 рассматривают как «вектор-столбец»

с компонентами x1 X1, x2 X2, где x1 = PrX1 x, x2 = PrX2 x.

Умножение матриц проводят обычным способом по закону «строка на столбец», а результат умножения указанной матрицы на векторстолбец x, т. е. вектор-столбец с компонентами T1 x1, T2 x2 (или, что в данном случае то же самое, T x1, T x2 ), естественно трактуют как элемент T x.

Иными словами, T отождествляют с отображением X1 X2 в X1 X2, действующим по правилу Аналогичным образом вводят матричные представления общих операторов T L (X1 X2, Y1 Y2 ).

(5) Конечное множество E в X называют линейно независимым, если из условия eE e e = 0, где e F (e E ), вытекает, что e = 0 для всех e E. Множество E называют линейно независимым, если любое конечное подмножество E линейно независимо.

Максимальное по включению линейно независимое множество в X называют базисом Гамеля (или алгебраическим базисом) в X. Любое линейно независимое множество содержится в некотором базисе Гамеля.

У всех базисов Гамеля в X одинаковая мощность, называемая размерностью X. Размерность X обозначают dim X.

Каждое векторное пространство X изоморфно прямой сумме семейства (F), где имеет мощность dim X.

Если X1 — подпространство X, то размерность X/X1 называют коразмерностью X1 и обозначают codim X1. Если X = X1 X2, то codim X1 = dim X2 и dim X = dim X1 + codim X1.

2.3. Уравнения в операторах 2.3.1. Определение. Для оператора T L (X, Y ) определяют: ker T := T 1 (0) — ядро, coker T := Y / im T — коядро, coim T := X/ ker T — кообраз T.

Оператор T называют мономорфизмом, если ker T = 0. Оператор T называют эпиморфизмом, если im T = Y.

2.3.2. Оператор является изоморфизмом в том и только в том случае, если он мономорфизм и эпиморфизм одновременно.

2.3.3. Замечание. В дальнейшем иногда удобно пользоваться языком коммутативных диаграмм. Научиться им пользоваться можно, разобрав подходящий пример.

Так, фраза «следующая диаграмма коммутативна» означает, что 1 L (X, Y ), 2 L (Y, W ), 2.3.4. Определение. Диаграмму X Y Z называют точной (в члене Y ) последовательностью, если ker S = im T. Последовательность... Xk1 Xk Xk+1... называют точной в члене Xk, если точна последовательность Xk1 Xk Xk+ (наименования операторов опущены). Рассматриваемую последовательность называют точной, если она точна в каждом члене (кроме первого и последнего, если таковые, разумеется, есть).

2.3.5. Примеры.

(1) Точная последовательность X Y Z полуточна, т. е. ST = 0. Обратное утверждение неверно.

(2) Последовательность 0 X Y точна в том и только в том случае, если T — мономорфизм. (Здесь и в дальнейшем запись 0 X — это, конечно же, ещ одно обозначение нуля — единственного элемента пространства L (0, X) (см. 2.1.4 (3)).) (3) Последовательность X Y 0 точна в том и только в том случае, если T — эпиморфизм. (Понятно, что под символом Y 0 тут снова скрывается нуль — единственный элемент пространства L (Y, 0).) (4) Оператор T L (X, Y ) является изоморфизмом в том и только в том случае, если 0 X Y 0 — это точная последовательность.

(5) Пусть X0 — некоторое подпространство в X. Символом : X0 X обозначим оператор (тождественного) вложения: x0 := x0 для всех x0 X0. Пусть теперь X/X0 — факторпространство и : X X/X0 — соответствующее каноническое отображение. Тогда последовательность является точной. (Знаки и ниже в подобных случаях, как правило, опущены.) Указанная последовательность в известном смысле уникальна. Именно, рассмотрим произвольную, как говорят, «короткую» последовательность и допустим, что она точна. Полагая Y0 := im T, легко построить изоморфизмы,, так, что получается следующая коммутативная диаграмма:

Иными словами, короткая точная последовательность по сути дела то же, что подпространство и фактор-пространство по нему.

(6) Пусть T L (X, Y ) — оператор. С ним связана точная последовательность называемая канонической точной последовательностью для T.

2.3.6. Определение. Оператор T называют продолжением T (пишут T T0 ), если коммутативна диаграмма т. е. T0 = T, где : X0 X — вложение.

2.3.7. Пусть X, Y — векторные пространства и X0 — подпространство в X. Для любого T0 L (X0, Y ) существует продолжение T L (X, Y ).

Предъявим T := T0 PX0, где PX0 — оператор проектирования на X0.

2.3.8. Теорема о разрешимости уравнения XA = B.

Пусть X, Y, Z — векторные пространства; A L (X, Y ), B L (X, Z). Диаграмма коммутативна для некоторого X L (Y, Z) в том и только в том случае, если ker A ker B.

: То, что при B = X A выполнено ker A ker B, очевидно.

A(x) = B (A1 A)x = B(x + ker A) = Bx. Проверим, что X0 := X |im A — линейный оператор. Следует проверить только однозначность X. Пусть y im A и z1, z2 X (y). Тогда z1 = Bx1, z2 = Bx2, а Ax1 = Ax2 = y. По условию B(x1 x2 ) = 0. Значит, z1 = z2. Применяя 2.3.7, возьмм какое-либо продолжение X оператора X0 на пространство Y.

2.3.9. Замечание. Если в условиях 2.3.8 оператор A — эпиморфизм, то оператор X единствен.

2.3.10. Линейный оператор допускает единственное снижение на свой кообраз.

2.3.11. Линейный оператор T допускает (каноническое) разложение в композицию эпиморфизма, изоморфизма T и мономорфизма, т. е. коммутативна следующая диаграмма:

для единственного оператора T.

2.3.12. Пусть X — некоторое векторное пространство и заданы f0, f1,..., fN X #. Функционал f0 является линейной комбинацией f1,..., fN в том и только в том случае, если ker f0 N ker fj.

Пусть (f1,..., fN ) : X FN — линейный оператор, заданный соотношением Видно, что ker(f1,..., fN ) = N ker fj. Используя теорему 2.3. для задачи и учитывая строение пространства FN #, получаем требуемое.

2.3.13. Теорема о разрешимости уравнения AX = B.

Пусть X, Y, Z — векторные пространства; A L (Y, X), B L (Z, X). Диаграмма коммутативна для некоторого X L (Z, Y ) в том и только в том случае, если im A im B.

: Пусть Y0 — алгебраическое дополнение ker A в Y и A0 := A|Y0.

Тогда A0 взаимно однозначно отображает Y0 на im A. Оператор X := A1 B, очевидно, искомый.

2.3.14. Замечание. Если в условиях 2.3.13 оператор A — мономорфизм, то оператор X единствен.

2.3.15. Замечание. Теоремы 2.3.8 и 2.3.13 связаны «формальной двойственностью». Каждая из них получается из другой «обращением стрелок», «перестановкой ядер и образов» и «переходом к противоположному включению».

2.3.16. Лемма о снежинке. Пусть заданы S L (Y, Z) и T L (X, Y ). Существуют, и притом единственные, операторы 1,..., 6, для которых коммутативна диаграмма:

При этом (выделенная) последовательность является точной.

Упражнения 2.1. Привести примеры векторных пространств, а также и не векторных пространств. Какие конструкции приводят к векторным пространствам?

2.2. Изучить векторные пространства над двухэлементным полем Z2.

2.3. Описать векторное пространство со счтным базисом Гамеля.

2.4. Доказать существование разрывных решений f : R R функционального уравнения Как представить такие f графически?

2.5. Доказать, что пространство, алгебраически сопряжнное к прямой сумме, реализуется как прямое произведение.

2.6. Пусть X X0 X00. Доказать, что X/X00 и (X/X0 )/(X00 /X0 ) — изоморфные пространства.

2.7. Пусть отображение «двойной диез» определено правилом:

Установить, что это отображение осуществляет вложение векторного пространства X во второе сопряжнное пространство X ##.

2.8. Доказать, что алгебраически рефлексивными являются конечномерные пространства и только они, т. е.

2.9. Есть ли аналоги базисов Гамеля в общих модулях?

2.10. При каких условиях сумма проекторов будет проектором?

2.11. Пусть T — это эндоморфизм некоторого векторного пространства, причм T n1 = 0 и T n = 0 для какого-то натурального n. Доказать, что операе торы T 0, T,..., T n1 линейно независимы.

2.12. Описать строение линейных операторов, определнных на прямой сумме пространств и действующих в произведение пространств.

2.13. Найти условия единственности решений следующих уравнений в операторах XA = B и AX = B (здесь неизвестным является оператор X ).

2.14. Как устроено пространство билинейных операторов?

2.15. Охарактеризовать векторные пространства, возникающие в результате овеществления комплексных векторных пространств.

2.16. Для семейства линейно независимых векторов (xe )eE подыскать такое семейство функционалов (x# )eE, чтобы выполнялись соотношения:

2.17. Для семейства линейно независимых функционалов (x# )eE подысe кать такое семейство векторов (xe )eE, чтобы выполнялись соотношения:

2.18. Найти условия совместности системы линейных уравнений и линейных неравенств в вещественных векторных пространствах.

2.19. Пусть дана коммутативная диаграмма с точными сторонами, причм — эпиморфизм, а — мономорфизм. Доказать, Выпуклый анализ 3.1. Множества в векторных пространствах 3.1.1. Определение. Пусть — подмножество F 2, а U — подмножество какого-либо векторного пространства. Множество U называют -множеством (и пишут U ( )), если выполнено 3.1.2. Примеры.

(1) Любое множество входит в (). (Таким образом, () не является множеством.) (2) При := F 2 непустые -множества это в точности линейные подмножества векторных пространств.

(3) Если := R2, то непустые -множества в векторном пространстве X называют вещественными подпространствами (4) Если := R2, то непустые -множества называют конусами. Иными словами, непустое множество K является конусом в том и только в том случае, если K + K K и K K при всех R+. Непустые R2 \ 0-множества (иногда) называют незаостренными конусами, а непустые R+ 0-множества — невыпуклыми конусами. (Здесь и в дальнейшем использовано обычное обозначение R+ := {t R : t 0}.) (5) Пусть := {(1, 2 ) F 2 : 1 + 2 = 1}. Непустые -множества называют аффинными многообразиями. Если X — подпространство в X и x X, то x + X0 := {x} + X0 — аффинное многообразие в X. Наоборот, если L — аффинное многообразие в X и x L, то L x := L + {x} — линейное множество в X.

непустые -множества называют абсолютно выпуклыми.

называют уравновешенными (при F := R говорят также о звездных множествах; используют и термин «симметричное множество», что не вполне оправдано).

2 = 1}. Тогда -множества называют выпуклыми.

-множества называют коническими отрезками. Множество является коническим отрезком в том и только в том случае, если оно выпукло и содержит нуль.

(10) Для любого F 2 и произвольного векторного пространства X над F выполнено X ( ). Отметим ещ, что в 3.1. (1)–3.1.2 (9) множество является -множеством.

3.1.3. Пусть X — векторное пространство и E — некоторое семейство -множеств в этом пространстве X. Тогда {U : U im E } ( ). Если, кроме того, im E фильтровано по возрастанию (относительно включения множеств), то {U : U im E } ( ).

3.1.4. Замечание. Предложение 3.1.3, в частности, означает, что совокупность -множеств данного векторного пространства, будучи упорядочена по включению, становится полной решткой.

3.1.5. Пусть X и Y — векторные пространства, а U X и V Y — некоторые -множества. Тогда U V ( ).

Если одно из множеств U или V пусто, то U V = и доказывать нечего. Пусть теперь u1, u2 U и v1, v2 V, а (1, 2 ).

Тогда 1 u1 +2 u2 U, а 1 v2 +2 v1 V. Значит, (1 u1 +2 u2, 1 v1 + 3.1.6. Определение. Пусть X, Y — векторные пространства и T X Y — соответствие. Пусть F 2. Если T ( ), то T называют -соответствием.

3.1.7. Замечание. Если -множества (при фиксированном ) носят специальное название, то это название сохраняют и для соответствий. В этом смысле говорят о линейных и выпуклых соответствиях, аффинных отображениях и т. п. Уместно подчеркнуть особенность терминологии: выпуклая функция одной переменной не является выпуклым соответствием, за исключением тривиальных случаев (см. 3.4.2).

3.1.8. Пусть T X Y — некоторое 1 -соответствие, а U X — некоторое 2 -множество. Если 2 1, то T (U ) ( 2 ).

значит, 1 (x1, y1 )+2 (x2, y2 ) T. Отсюда следует, что 1 y1 +2 y T (U ).

3.1.9. Суперпозиция -соответствий — -соответствие.

«Умножая первую строчку на 1, вторую — на 2, где (1, 2 ), и складывая результаты», последовательно получаем требуемое.

то для любых, F выполнено U + V ( ).

Следует сослаться на 3.1.5, 3.1.8 и 3.1.9.

3.1.11. Определение. Пусть X — векторное пространство, — подмножество F 2 и U — подмножество X. Множество называют -оболочкой U.

3.1.12. Справедливы утверждения:

(2) H (U ) — наименьшее -множество, содержащее U ;

3.1.13. Имеет место формула Моцкина:

H (U ) = {H (U0 ) : U0 U, U0 — конечное подмножество}.

Обозначим через V множество, стоящее в правой части формулы Моцкина. Так как U0 U, то, по 3.1.12 (3), H (U0 ) H (U ), а потому H (U ) V. В силу 3.1.12 (2) необходимо (и, разумеется, достаточно) проверить, что V ( ). Но последнее следует из 3.1. и того факта, что H (U0 ) H (U1 ) H (U0 U1 ).

3.1.14. Замечание. Формула Моцкина показывает, что для описания произвольных -оболочек следует найти лишь -оболочки конечных множеств. Подчеркнм, что при конкретных используе ют специальные (но естественные) названия для -оболочек. Так, при := {(1, 2 ) R2 : 1 + 2 = 1} говорят о выпуклых оболочках и вместо H (U ) пишут co(U ). Вместо HF 2 (U ) пишут L (U ) или lin(U ), если U =, кроме того, полагают для удобства L () := 0.

Множество L (U ) называют линейной оболочкой U (и по возможности не путают с пространством эндоморфизмов L (X) векторного пространства X). Аналогично вводят понятия аффинной оболочки, конической оболочки и т. п. Отметим здесь же, что выпуклая оболочка конечного множества точек составлена из их выпуклых комбинаций, т. е.

3.2. Упорядоченные векторные пространства 3.2.1. Определение. Пусть (X, R, +, · ) — векторное пространство. Пусть, далее, — предпорядок в X. Говорят, что согласован с векторной структурой, если — конус в X 2. В этом случае пространство X называют упорядоченным векторным пространством. (Точнее говорить о предупорядоченном векторном пространстве (X, R, +, ·, ), сохраняя термин «упорядоченное векторное пространство» для тех ситуаций, когда — это отношение порядка.) 3.2.2. Пусть X — упорядоченное векторное пространство и — соответствующий предпорядок. Тогда (0) — конус. При этом (x) = x + (0) для всякого x X.

Множество (0) — конус в силу 3.1.3. Помимо того, из тождества (x, y) = (x, x) + (0, y x) выводим (x, y) y x (0).

3.2.3. Пусть K — конус в векторном пространстве X. Положим Тогда — предпорядок, согласованный с векторной структурой, причм K совпадает с конусом положительных элементов (0). Бое лее того, является порядком в том и только в том случае, если K (K) = 0.

Имеем также представление 1 = {(x, y) X 2 : x y K}.

Значит, 1 IX K (K) = 0. Осталось проверить, что — конус. С этой целью возьмм (x1, y1 ), (x2, y2 ) и 1, 2 R+.

3.2.4. Определение. Заданный конус K называют упорядочивающим или острым, если K (K) = 0.

3.2.5. Замечание. На основании 3.2.2 и 3.2.3 задание в векторном пространстве структуры предупорядоченного векторного пространства равносильно выделению в нм конуса положительных элее ментов. Структуру упорядоченного векторного пространства создают выделением острого конуса. В этой связи о (пред)упорядоченном векторном пространстве X часто говорят как о паре (X, X+ ), где X+ — конус положительных элементов.

3.2.6. Примеры.

(1) Пространство функций R с конусом R+ := (R+ ) функций, принимающих положительные значения.

(2) Пусть X — упорядоченное векторное пространство с конусом положительных элементов X+. Если X0 — подпространство X, то порядок, индуцируемый в X0 из X, задан конусом X0 X+.

В этом смысле X0 рассматривают как упорядоченное векторное пространство.

(3) Пусть X и Y — (пред)упорядоченные векторные пространства. Оператор T L (X, Y ) называют положительным (пишут T 0), если выполнено T (X+ ) Y+. Множество всех положительных операторов образует конус L+ (X, Y ). Линейную оболочку L+ (X, Y ) обозначают символом Lr (X, Y ). Операторы из Lr (X, Y ) называют регулярными.

3.2.7. Определение. Упорядоченное векторное пространство называют векторной решткой, если решткой является упорядое е ченное множество векторов рассматриваемого пространства.

3.2.8. Определение. Векторную рештку называют простране ством Канторовича или, короче, K-пространством, если любое непустое ограниченное сверху множество в ней имеет точную верхнюю границу.

3.2.9. В K-пространстве каждое непустое ограниченное снизу множество имеет точную нижнюю границу.

Пусть x U. Тогда x U. Значит, по 3.2.8 существует sup(U ). При этом x sup(U ). Отсюда очевидно следует, что sup(U ) = inf U.

3.2.10. В K-пространстве для непустых ограниченных сверху множеств U и V выполнено В случае, когда множество U или множество V состоит из одного элемента, требуемое равенство ясно. Общий случай получаем теперь в силу «ассоциативности точных верхних границ». Именно, 3.2.11. Замечание. Вывод предложения 3.2.10 можно считать справедливым в произвольном упорядоченном векторном пространстве при условии, что у исходных множеств имеются точные верхние границы. Аналогично трактуют соотношение: sup U = sup U для 3.2.12. Определение. Для элемента x векторной рештки веке тор x+ := x 0 называют положительной частью x, элемент x := (x)+ — отрицательной частью, а |x| := x (x) — модулем x.

3.2.13. В векторной рештке для любых элементов x и y имеет место тождество Первое равенство получается из 3.2.13 при y := 0. Помимо x+ + x.

3.2.15. Лемма о сумме промежутков. Для положительных элементов x, y в векторной рештке X будет (Как обычно, [u, v] := (u) 1 (v) — (порядковый) промежуток или интервал.) Включение [0, x] + [0, y] [0, x + y] несомненно. Если же 0 z x + y, то положим z1 := z x. Видно, что z1 [0, x].

Пусть теперь z2 := z z1. Тогда z2 0. При этом z2 = z z x = 3.2.16. Теорема Рисса — Канторовича. Пусть X — векторная рештка, а Y — некоторое K-пространство. Пространство регуе лярных операторов Lr (X, Y ) с конусом L+ (X, Y ) положительных операторов является K-пространством.

3.3. Продолжение положительных функционалов и 3.3.1. Контрпримеры.

(1) Пусть X — пространство B([0, 1], R) ограниченных вещественных функций на [0, 1], а X0 := C([0, 1], R) — подпространство X, составленное из непрерывных функций. Положим Y := X и наделим X0, X и Y естественными отношениями порядка (ср. 3.2. (1) и 3.2.6 (2)). Рассмотрим задачу о продолжении тождественного оператора T0 : X0 Y до положительного оператора T L+ (X, Y ).

Если бы эта задача имела решение T, то у каждого непустого ограниченного множества E в X0 нашлась бы точная верхняя граница supX0 E, вычисленная в X0. Именно, supX0 E = T supX E, где supX E — точная верхняя граница E в X. В то же время нет сомнений, что Y не является K-пространством.

(2) Пусть s := RN — пространство последовательностей, наделнное естественным порядком. Пусть, далее, c — подпростране ство в s, составленное из сходящихся последовательностей. Установим, что положительный функционал f0 : c R, определнный е соотношением f0 (x) := lim x(n), не допускает положительного продолжения на s. В самом деле, пусть f s#, f 0 и f f0. Положим x0 (n) := n и xk (n) := k n для k, n N. Ясно, что f0 (xk ) = k.

Помимо этого, f (x0 ) f (xk ) 0, так как x0 xk 0. Получили противоречие.

3.3.2. Определение. Подпространство X0 упорядоченного векторного пространства X с конусом положительных элементов X+ называют массивным (в X), если X0 + X+ = X.

3.3.3. Подпространство X0 массивно в X в том и только в том случае, если для всякого x X найдутся элементы x0, x0 X такие, что выполнено x0 x x0.

3.3.4. Теорема Канторовича. Пусть X — упорядоченное векторное пространство, X0 — массивное подпространство в X и Y — некоторое K-пространство. Любой положительный оператор T L+ (X0, Y ) допускает положительное продолжение T L+ (X, Y ).

Этап I. Пусть сначала X := X0 X1, где X1 — одномерное подпространство, X1 := {x : R}. Так как подпространство X0 массивно и оператор T0 положителен, то множество U := {T0 x0 :

x0 X0, x0 x} ограничено снизу и, значит, определн элемент y := inf U. Положим Очевидно, T — однозначное линейное соответствие, причм T T и dom T = X. Осталось убедиться в положительности T.

Если x = x0 + x и x 0, то при = 0 доказывать нечего. Если же > 0, то x x0 /. Отсюда следует, что T0 x0 / y, т. е.

T x Y+. Аналогично при < 0 имеем x x0 /. Стало быть, Этап II. Пусть теперь E — совокупность таких однозначных линейных соответствий S X Y, что S T0 и S(X+ ) Y+.

В силу 3.1.3 при упорядочении по включению E индуктивно, и по лемме Куратовского — Цорна в E есть максимальный элемент T.

Если x X \ dom T, то можно применить доказанное на этапе I к случаю X := dom T X1, X0 := dom T, T0 := T и X1 := {x : R}.

Возникает противоречие с максимальностью T. Итак, T — искомое продолжение.

3.3.5. Замечание. При Y := R о 3.3.4 иногда говорят как о теореме Крейна — Рутмана.

3.3.6. Определение. Элемент x из конуса положительных элементов называют дискретным, если [0, x] = [0, 1]x.

3.3.7. Если на пространстве (X, X+ ) имеется дискретный функционал, то X = X+ X+.

f X #. Достаточно показать, что ker f X f = 0. По условию T + f [0, T ], т. е. для некоторого [0, 1] будет T + f = T. Если T |X = 0, то 2T [0, T ]. Отсюда T = 0 и f = 0. Если же T (x0 ) = для какого-либо x0 X, то = 1 и вновь f = 0.

3.3.8. Теорема Крейна – Рутмана для дискретного функционала. Пусть X — упорядоченное векторное пространство, X — массивное подпространство в X и T0 — дискретный функционал на X0. Тогда существует дискретный функционал T на X, продолжающий T0.

«Подправим» доказательство 3.3.4.

Этап I. Предъявленный функционал T дискретен. В самом деле, при T [0, T ] для подходящего [0, 1] при всех x0 X0 будет T (x0 ) = T (x0 ) и (T T )(x0 ) = (1 )T (x0 ). Оцениваем:

Таким образом, T = T и [0, T ] [0, 1]T. Противоположное включение справедливо всегда. Итак, функционал T дискретен.

Этап II. Пусть E — множество, введнное при доказательстве 3.3.4. Рассмотрим множество Ed, состоящее из таких элементов SE, что след S|dom S представляет собой дискретный функционал на пространстве dom S. Следует установить индуктивность Ed. В соответствии с 1.2.19 возьмм цепь E0 в Ed. Положим S := {S0 : S0 E0 }.

3.4. Выпуклые функции и сублинейные функционалы Очевидно, что S E. Убедимся в дискретности S, что и завершит доказательство.

Пусть S (dom S)# таков, что 0 S (x0 ) S(x0 ) для всех x0 (dom S)+. Если S(x0 ) = 0 для любого такого x0, то S = 0S, что и нужно. Если же S(x0 ) = 0 для некоторого x0 (dom S)+, то выберем S0 E0 из условия S0 (x0 ) = S(x0 ). Тогда в силу дискретности S0 можно записать: S (x ) = S(x ) для всех x dom S0. При этом = S (x0 )/S(x0 ), т. е. не зависит от выбора S0. Поскольку E0 — цепь, заключаем: S = S.

3.4. Выпуклые функции и сублинейные 3.4.1. Определение. Полурасширенной числовой прямой R· называют множество R· с присоединнным наибольшим элементом +. При этом полагают (+) := + ( R+ ), + + x := x + (+) := + (x R· ).

3.4.2. Определение. Пусть f : X R· — некоторое отображение. Множество называют надграфиком f, а множество — эффективной областью определения функции f.

3.4.3. Замечание. Непоследовательность в применении символа dom f кажущаяся. Именно, эффективная область определения функции f : X R· совпадает с областью определения однозначного соответствия f X R из X в R. В этой связи при dom f = X будем, как и прежде, писать f : X R, опуская точку в R·.

3.4.4. Определение. Пусть X — вещественное векторное пространство. Отображение f : X R· называют выпуклой функцией, если надграфик epi f — это выпуклое множество.

3.4.5. Отображение f : X R· является выпуклой функцией в том и только в том случае, если имеет место неравенство Йенсена, т. е.

: Если выбраны числа 1, 2 0, 1 +2 = 1 и один из векторов x1, x2 не входит в dom f, то доказывать нечего — неравенство Йенсена очевидно. Пусть x1, x2 dom f. Тогда (x1, f (x1 )) epi f и (x2, f (x2 )) epi f. Стало быть, с учтом 3.1.2 (8), 1 (x1, f (x1 )) + 2 (x2, f (x2 )) epi f.

epi f, т. е. t1 f (x1 ) и t2 f (x2 ) (в случае dom f = будет f (x) = + (x X) и epi f = ). Привлекая неравенство Йенсена, видим, что для 1, 2 0, 1 + 2 = 1 справедливо (1 x1 + 2 x2, 1 t1 + 3.4.6. Определение. Отображение p : X R· называют сублинейным функционалом, если надграфик epi p — это конус.

3.4.7. При dom p = 0 эквивалентны утверждения:

(1) p является сублинейным функционалом;

(2) p — выпуклая функция, удовлетворяющая условию положительной однородности; т. е. p(x) = p(x) (4) p — положительно однородный функционал, удовлетворяющий условию субаддитивности: p(x1 + x2 ) 3.4.8. Примеры.

(1) Линейный функционал сублинеен, в то время как аффинный функционал — выпуклая функция.

(2) Пусть U — выпуклое множество в X. Положим Отображение (U ) : X R· называют индикаторной функцией множества U. Ясно, что (U ) — выпуклая функция. Если U — конус, то (U ) — сублинейный функционал. Если U — аффинное множество, то (U ) — аффинный функционал.

(3) Сумма конечного числа выпуклых функций и точная верхняя граница (или верхняя огибающая) семейства выпуклых функций (вычисляемая поточечно, т. е. в (R· )X ) суть выпуклые функции. Аналогичные свойства наблюдают у сублинейных функционалов.

(4) Суперпозиция выпуклой функции с аффинным оператором (т. е. со всюду определнным однозначным аффинным сое ответствием) является выпуклой функцией. Суперпозиция сублинейного функционала с линейным оператором — сублинейный функционал.

3.4.9. Определение. Пусть X — векторное пространство, а U и V — два подмножества в X. Говорят, что U поглощает V, если найдтся n N, для которого V nU. Множество U называют поглощающим (в X), если U поглощает каждую точку в X, т. е.

X = nN nU.

3.4.10. Пусть T X Y — линейное соответствие, причм е im T = Y. Если U поглощающее (в X), то T (U ) поглощающее (в Y ).

3.4.11. Определение. Пусть U — подмножество векторного пространства X. Точка x из U принадлежит ядру core U множества U (или алгебраически внутренняя в U ), если множество U x — поглощающее в X.

3.4.12. Пусть f : X R· — произвольная выпуклая функция и x core dom f. Для всякого h X существует При этом отображение f (x) : h f (x)h является сублинейным функционалом f (x) : X R.

Пусть () := f (x + h). В силу 3.4.8 (4) отображение : R R· — это выпуклая функция. При этом 0 core dom. Отображение (() (0))/ ( > 0) возрастает и ограничено снизу, т. е.

имеется (0)(1). По определению f (x)(h) = (0)(1).

Для > 0 и h H последовательно получаем Кроме того, для h1, h2 X в силу уже установленного Ссылка на 3.4.7 завершает доказательство.

3.5. Теорема Хана — Банаха 3.5.1. Определение. Пусть X — вещественное векторное пространство, f : X R· — выпуклая функция и x dom f . Множество x (f ) := {l X # : ( y X) l(y) l(x) f (y) f (x)} называют субдифференциалом функции f в точке x.

3.5.2. Примеры.

(1) Пусть p : X R· — сублинейный функционал. Определим субдифференциал p соотношением (p) := 0 (p). Тогда (3) Пусть X0 — подпространство X. Тогда (4) Пусть f : X R· — выпуклая функция и при этом выполнено x core dom f. Тогда 3.5.3. Теорема Хана — Банаха. Пусть T L (X, Y ) — линейный оператор, f : Y R· — выпуклая функция, а точка x X такова, что T x core dom f. Тогда На основании 3.4.10 заключаем, что x core dom f T. Применяя 3.5.2 (4), имеем x (f T ) = ((f T ) (x)). Помимо этого, для h X выполнено Положим p := f (T x). Вновь апеллируя к 3.5.2 (4) и учитывая, что, в силу 3.4.12, p — это сублинейный функционал, выводим:

Таким образом, осталось доказать равенство для любого y Y. В частности, l(x) l1 (T x) p(T x) = p T (x) при p(0) = 0, т. е. l(x) 0. То же верно для элемента x. Окончательно l(x) = 0. Другими словами, ker l ker T. Значит, по теореме 2.3.8, l = l1 T для некоторого l1 Y #. Полагая Y0 := T (X) и обозначая символом вложение Y0 в Y, видим, что функционал l1 входит в (p ). Если мы покажем, что (p ) (p), то для подходящего Таким образом, для завершения доказательства теоремы Хана — Банаха следует установить только, что (p ) (p).

Возьмм элемент l0 из (p ) и в подпространстве Y0 := Y0 R пространства Y := Y R рассмотрим функционал T0 : (y0, t) t l0 (y0 ). Упорядочим Y с помощью конуса Y+ := epi p. Заметим, во-первых, что подпространство Y0 является массивным в силу тождества Во-вторых, при (y0, t) Y0 Y+, на основании 3.4.2, t p(y0 ) и, стало быть, T0 (y0, t) = t l0 (y0 ) 0, т. е. T0 — положительный функционал на Y0. По теореме 3.3.4 найдтся положительный функционал T на Y, продолжающий T0. Положим l(y) := T (y, 0) для y Y. Ясно, что l = l0. Помимо этого, T (0, t) = T0 (0, t) = t.

Следовательно, 0 T (y, p(y)) = p(y) l(y), т. е. l (p).

3.5.4. Замечание. Утверждение теоремы 3.5.3 именуют также формулой линейной замены переменной под знаком субдифференциала, подразумевая бросающуюся в глаза связь со стандартным цепным правилом дифференциального исчисления. Отметим здесь же, что включение (p ) (p) часто называют «теоремой Хана — Банаха в аналитической форме» и выражают словами: «линейный функционал, заданный на подпространстве векторного пространства и мажорируемый там сублинейным функционалом, допускает продолжение на вс пространство до линейного функционала, мажорие руемого исходным сублинейным функционалом».

3.5.5. Следствие. Пусть X — векторное пространство, X0 — подпространство в X и p : X R — сублинейный функционал.

Имеет место (несимметричная) формула Хана — Банаха:

Включение правой части искомой формулы в е левую часть очевидно. Для доказательства противоположного включения возьмм l (p + (X0 )). Тогда l (p ), где — вложение X0 в X.

По 3.5.3, l (p), т. е. для подходящего l1 (p) выполнено l = l1. Положим l2 := l l1. Из определения получаем l2 = (3), это означает, что l2 ((X0 )).

3.5.6. Следствие. Пусть f : X R· — некоторая выпуклая функция и x core dom f. Тогда x (f ) =.

т. е. (p ) =. По 3.5.3, (p) = (иначе было бы = (p) = (p )). Осталось привлечь 3.5.2 (4).

3.5.7. Следствие. Пусть f, f : X R· — выпуклые функции и x core dom f1 core dom f2. Тогда x (f1 + f2 ) = x (f1 ) + x (f2 ).

p(x1, x2 ) := p1 (x1 ) + p2 (x2 ) и (x1 ) := (x1, x1 ). Используя 3.5.2 (4) и 3.5.3, последовательно выводим:

3.5.8. Замечание. Следствие 3.5.6 иногда называют теоремой о непустоте субдифференциала. С одной стороны, е можно устаное вить непосредственным применением леммы Куратовского — Цорна. С другой стороны, имея следствие 3.5.6, можно доказать, что (p T ) = (p) T, следующим образом. Положим где l (p) и приняты обозначения из 3.5.3. Ясно, что функционал pT сублинеен и любой элемент l1 из (pT ) удовлетворяет соотношению l = l1 T. Итак, непустота субдифференциала и теорема Хана — Банаха в субдифференциальной форме образуют удобный (и не порочный) круг.

3.6. Теорема Крейна — Мильмана для субдифференциалов 3.6.1. Определение. Пусть X — вещественное векторное пространство и seg X 2 X — соответствие, действующее по закону Пусть, далее, V — выпуклое множество в X и segV — сужение seg на V 2. Выпуклое множество U, лежащее в V, называют крайним в V, если seg1 (U ) U 2. Крайние множества иногда называют гранями. Точку x из V называют крайней точкой V, если {x} — крайнее подмножество V. Множество крайних точек V обозначают символом ext(V ).

3.6.2. Множество U является крайним в V в том и только в том случае, если из условий v1, v2 V, 1, 2 > 0, 1 + 2 = 1 и 1 v1 + 2 v2 V вытекает, что v1 U и v2 U.

3.6.3. Примеры.

(1) Пусть p : X R· — сублинейный функционал и точка x из X входит в dom p. Тогда x (p) — крайнее подмножество (p).

Действительно, если для 1, 2 > 0 и 1 +2 = 1 известно, что 1 (p(x) l1 (x)) + 2 (p(x) l2 (x)) 0. Помимо этого, p(x) l1 (x) и p(x) l2 (x) 0. Следовательно, l1 x (p) и l2 x (p).

(2) Пусть U — крайнее множество в V и, в свою очередь, V — крайнее множество в W. Тогда U — крайнее множество в W.

(3) Пусть X — упорядоченное векторное пространство.

Элемент x X+ является дискретным в том и только в том случае, если луч {x : R+ } представляет собой крайнее множество в конусе X+.

В силу 3.6.2, 2y = x и 2(x y) = x для некоторых, R+.

Итак, 2x = ( + )x. Если x = 0, то доказывать нечего. Если же x = 0, то /2 [0, 1] и, стало быть, [0, x] [0, 1]x. Обратное включение очевидно.

2 = 1 и элементов y1, y2 X+ выполнено x = 1 y1 + 2 y2. Если = 0, то 1 y1 [0, x] и 2 y2 [0, x] и, стало быть, y1 и y2 лежат на рассматриваемом луче. Если же > 0, то (1 /)y1 = tx при подходящем t [0, 1]. Наконец, (2 /)y2 = (1 t)x.

(4) Пусть U — выпуклое множество. Выпуклое подмножество V множества U называют шапкой U, если U \ V — выпуклое множество.

Точка x в U является крайней в том и только в том случае, если {x} — шапка множества U.

3.6.4. Лемма о крайней точке субдифференциала. Пусть p : X R — сублинейный функционал и l (p). Пусть, далее, Тогда l — крайняя точка (p) в том и только в том случае, если Tl — дискретный функционал.

: Возьмм функционал T X # такой, что T [0, Tl ].

Положим Ясно, что t1 0, t2 0, t1 +t2 = 1; l1 (t1 p), l2 (t2 p) и l1 +l2 = l.

Если t1 = 0, то l1 = 0, т. е. T = 0 и T [0, 1]Tl. Если же t2 = 0, то t1 = 1, т. е. T = Tl и вновь T [0, 1]Tl. Пусть теперь t1, t2 > 0.

Тогда 1/t1 l1 (p) и 1/t2 l2 (p), причм l = t1 (1/t1 l1 )+t2 (1/t2 l2 ).

Поскольку по условию l ext((p)), из 3.6.2 выводим l1 = t1 l, т. е.

T = t1 Tl.

T [0, Tl ], ибо T + T = Tl. Значит, найдтся [0, 1], для которого T = Tl. Рассматривая точку (0, 1), получаем 1 =.

Следовательно, l1 = l. Аналогично l2 = l.

3.6.5. Теорема Крейна — Мильмана для субдифференциалов. Пусть p : X R — сублинейный функционал. Для всякого x X найдтся крайний функционал l ext((p)) такой, что l(x) = p(x).

Установим сначала теорему Крейна — Мильмана «в узком смысле», т. е. докажем, что в субдифференциале любого сублинейного функционала p есть крайние точки: ext((p)) =.

Введем в пространство X := X R конус X+ := epi p и выделим подпространство X0 := 0R. Заметим, что X+ X0 = 0R+ = epi 0.

Применяя 3.6.4 для случая X := 0, l := 0 и p := 0, видим, что T — это дискретный функционал на X0. Подпространство X0 в X массивное (ср. доказательство 3.5.3). Апеллируя к 3.3.8, подыщем дискретное продолжение T X # функционала T0. Понятно, что T = Tl, где l(x) := T (x, 0) при x X. Вновь привлекая 3.6.4, приходим к соотношению l ext((p)).

Установим теперь теорему в полном объме. На основании 3.4. и уже доказанного выберем элемент l из ext(x (p (x))). Из 3.5.2 (2) и 3.5.2 (4) вытекает: l ext(x (p)). По 3.6.3 (1), x (p) — крайнее множество в (p). Таким образом, в силу 3.6.3 (2) функционал l является крайней точкой субдифференциала (p).

3.6.6. Следствие. Пусть p1, p2 : X R — сублинейные функционалы. Неравенство p1 p2 (в RX ) справедливо в том и только в том случае, если (p1 ) ext((p2 )).

Бесспорно, что p1 p2 (p1 ) (p2 ). Кроме того, по 3.6.5, p2 (x) = sup{l(x) : l ext((p2 ))}.

3.7. Теорема Хана — Банаха для полунормы 3.7.1. Определение. Пусть (X, F, +, · ) — векторное пространство над F. Векторное пространство (X, R, +, · |R X ) называют вещественной основой пространства (X, F, +, · ) и обозначают коротко символом XR.

3.7.2. Определение. Пусть X — векторное пространство и f X # — линейный функционал. Положим Re f : x Re f (x) (x X). Возникающее отображение Re : (X # )R (XR )# называют овеществлением.

3.7.3. Овеществление Re — это изоморфизм вещественных векторных пространств (X # )R и (XR )#.

Следует разобрать только случай F := C, ибо при F := R оператор Re — тождественное отображение.

Линейность оператора Re не вызывает никаких сомнений. Убедимся в том, что Re — мономорфизм и эпиморфизм одновременно (ср. 2.3.2).

Отсюда f = 0 и Re — мономорфизм.

Если теперь g (XR )#, то положим f (x) := g(x) ig(ix). Очевидно, что f L (XR, CR ) и Re f (x) = g(x) при x X. Осталось проверить, что f (ix) = if (x), ибо тогда f X #. Прямое вычисление f (ix) = g(ix) + ig(x) = i(g(x) ig(ix)) = if (x) позволяет заключить, что Re — эпиморфизм.

3.7.4. Определение. Оператор Re1 : (XR )# (X # )R называют комплексификатором.

3.7.5. Замечание. В силу 3.7.3 для комплексного поля скаляров В случае F := R комплексификатор Re1 — тождественный оператор.

3.7.6. Определение. Пусть (X, F, +, · ) — векторное пространство над F. Функцию p : X R· называют полунормой, если 3.7.7. Замечание. Каждая полунорма является сублинейным функционалом (на вещественной основе рассматриваемого пространства).

3.7.8. Определение. Пусть p : X R· — полунорма. Множество называют субдифференциалом полунормы p.

3.7.9. Лемма о субдифференциале полунормы. Для любой полунормы p : X R· субдифференциалы ||(p) и (p) связаны соотношениями При F := R очевидно равенство ||(p) = (p). Осталось вспомнить, что в этом случае отображение Re — тождественное.

Пусть F := C. Если l ||(p), то (Re l)(x) = Re l(x) |l(x)| p(x) для всех x X, т. е. Re (||(p)) (p). Пусть теперь g (p) и f := Re1 g. Если f (x) = 0, то |f (x)| p(x). Если же f (x) = 0, то положим := |f (x)|/f (x). Тогда |f (x)| = f (x) = f (x) = Re f (x) = g(x) p(x) = ||p(x) = p(x), ибо || = 1. Итак, f ||(p).

3.7.10. Пусть X — векторное пространство, p : X R — полунорма и X0 — подпространство в X. Имеет место (несимметричная) формула Хана — Банаха для полунормы С помощью 3.7.9 и 3.5.5, выводим:

||(p + (X0 )) = Re1 ((p + (X0 ))) = Re1 ((p) + ((X0 ))) = = Re1 ((p)) + Re1 (((X0 ))) = ||(p) + ||((X0 )).

3.7.11. Пусть X, Y — векторные пространства, T L (X, Y ) — линейный оператор и p : Y R — полунорма. Тогда p T — полунорма, причм Привлекая 2.3.8 и 3.7.10, последовательно имеем 3.7.12. Замечание. В случае оператора вложения и комплексного поля скаляров 3.7.11 называют теоремой Сухомлинова — Боненблюста — Собчика.

3.7.13. Теорема Хана — Банаха для полунормы. Пусть X — векторное пространство, p : X R — полунорма и X0 — подпространство в X. Пусть, далее, l0 — линейный функционал на X0, для которого |l0 (x0 )| p(x0 ) при x0 X0. Тогда существует такой линейный функционал l на X, что |l(x)| p(x) для всякого x X и, кроме того, l(x0 ) = l0 (x0 ), как только x0 X0.

3.8. Функционал Минковского и отделимость 3.8.1. Определение. Пусть R — расширенная числовая прямая (т. е. R· с присоединнным наименьшим элементом ). Если X — произвольное множество и f : X R — некоторое отображение, то для t R полагают Множества {f t}, {f = t}, {f < t} называют лебеговыми множествами f. Помимо этого, множества {f = t} называют множествами уровня.

3.8.2. Лемма о задании функции лебеговыми множествами. Даны T R и t Ut (t T ) — семейство подмножеств X.

Существует функция f : X R такая, что в том и только в том случае, если отображение t Ut возрастает.

: Пусть T содержит не менее двух элементов s и t (в противном случае нечего доказывать). Если s < t, то : Положим f (x) := inf{t T : x Ut }. Тем самым задано отображение f : X R. Если для некоторого t T множество {f < t} пусто, то {f < t} Ut. Если же x {f < t}, то f (x) < +, а потому найдтся элемент s T, удовлетворяющий соотношениям x Us и s < t. Итак, {f < t} Us Ut. Помимо этого, если x Ut, то по определению f будет f (x) t, т. е. выполнено Ut {f t}.

3.8.3. Лемма о сравнении функций, заданных лебеговыми множествами. Пусть функции f, g : X R определены семействами (Ut )tT и (Vt )tT соответственно:

Пусть, далее, T плотно в R (т. е. ( r, t R, r < t) ( s T ) (r < s < t)). Неравенство f g (в R, т. е. f (x) g(x) для x X) имеет место в том и только в том случае, если : Следует из включений : Пусть g(x) = + (иначе заведомо f (x) g(x)). Для t R такого, что g(x) < t < +, выберем t1, t2 T из условий g(x) < t1 < t2 < t. Имеем Итак, f (x) < t. Из-за произвольности t получаем: f (x) g(x).

3.8.4. Следствие. Пусть T плотно в R и семейство t Ut (t T ) возрастает. Существует, и притом единственная, функция f : X R, для которой Для лебеговых множеств f выполнены соотношения Существование и единственность f обеспечены 3.8.2 и 3.8.3.

в силу плотности T найдтся s T так, что f (x) < s < t. Значит, x {f < s} Us, что доказывает формулу для {f < t}. Пусть теперь r > t, r T. Тогда {f t} {f < r} Ur. В свою очередь, если x Ur для r T, r > t, то будет выполнено f (x) r для всех r > t, откуда f (x) t.

3.8.5. Пусть X — векторное пространство и S — некоторый конический отрезок в нем. Для t R положим Ut :=, если t < 0, и Ut := tS при t 0. Отображение t Ut (t R) возрастающее.

x t2 S.

3.8.6. Определение. Функционал pS : X R такой, что и {p < 0} =, называют функционалом Минковского конического отрезка S. (Существование и единственность этого функционала обеспечивают 3.8.2, 3.8.4 и 3.8.5.) Иными словами, 3.8.7. Теорема о функционале Минковского. Функционал Минковского конического отрезка сублинеен и принимает положительные значения. Если, в свою очередь, p — некоторый сублинейный функционал с положительными значениями, то множества {p < 1} и {p 1} суть конические отрезки. При этом p является функционалом Минковского любого конического отрезка S такого, Пусть S — некоторый конический отрезок и pS — его функционал Минковского. Пусть x X. Неравенство pS (x) 0 очевидно.

Возьмм > 0. Тогда Для проверки субаддитивности pS возьмм x1, x2 X и, заметив, что для t1, t2 > 0 выполнено t1 S + t2 S (t1 + t2 )S (ибо имеет место тождество последовательно получаем = inf{t1 > 0 : x1 t1 S} + inf{t2 > 0 : x2 t2 S} = pS (x1 ) + pS (x2 ).

Пусть теперь p : X R· — произвольный сублинейный функционал с положительными значениями. Пусть {p < 1} S {p 1}.

Положим Vt := {p < t}, Ut := tS для t R+ и Vt := Ut := при t < 0.

Ясно, что Значит, в силу 3.8.3 и 3.8.4, p = pS.

3.8.8. Замечание. Конический отрезок S в X является поглощающим множеством в том и только в том случае, если dom pS = X.

Если же известно, что S абсолютно выпукло, то pS — полунорма.

При этом для любой полунормы p множества {p < 1} и {p 1} являются абсолютно выпуклыми.

3.8.9. Определение. Подпространство H данного векторного пространства X называют гиперподпространством, если X/H изоморфно основному полю. Элементы X/H называют гиперплоскостями в X (параллельными H). Под гиперплоскостью в X понимают аффинное многообразие, параллельное какому-либо гиперподпространству X. При необходимости гиперплоскости в вещественной основе XR пространства X именуют вещественными гиперплоскостями в X.

3.8.10. Гиперплоскости в X суть в точности множества уровня ненулевых элементов из X #.

3.8.11. Теорема отделимости. Пусть X — векторное пространство, U — непустое выпуклое множество в X и L — аффинное многообразие в X. Если L U =, то найдтся гиперплоскость H Не нарушая общности, можно считать, что core U = (иначе нечего доказывать) и, более того, что 0 core U. Возьмм точку x L и положим X0 := L x. Рассмотрим вектор-пространство X/X0 и соответствующее каноническое отображение : X X/X0.

Привлекая 3.1.8 и 3.4.10, видим, что (U ) является поглощающим коническим отрезком. Значит, в силу 3.8.7 и 3.8.8 функционал Минковского p := p(U ) таков, что dom p = X/X0 и, кроме того, Отсюда, в частности, следует, что p((x)) 1 либо (x) (U ).

На основании 3.5.6 имеется функционал f из субдифференциала x (p ). Учитывая теорему Хана — Банаха 3.5.3, выводим Положим H := {f = p (x)}. Ясно, что H — это вещественная гиперплоскость в X. То, что H L, несомненно. Осталось сослаться на 3.5.2 (1), чтобы заключить: H core U =. Пусть теперь f := Re1 f и H := {f = f (x)}. Нет сомнений, что L H H. Таким образом, гиперплоскость H — искомая.

3.8.12. Замечание. В условиях теоремы отделимости 3.8. можно считать, что core U L =. Отметим здесь же, что теорему 3.8.11 часто называют теоремой Хана — Банаха в геометрической форме или же теоремой Минковского — Асколи — Мазура.

3.8.13. Определение. Пусть U, V — множества в X и H — вещественная гиперплоскость в X. Говорят, что H разделяет U и V, если эти множества лежат в разных полупространствах, определяемых H, т. е. если существует представление H = {f = t}, где f 3.8.14. Теорема отделимости Эйдельгайта. Пусть U и V — непустые выпуклые множества, причм ядро V не пусто и не перее секается с U. Тогда найдтся вещественная гиперплоскость, раздее ляющая U и V и не содержащая точек ядра V.

Упражнения 3.1. Установить, что гиперплоскостями служат в точности максимальные по включению аффинные множества, не совпадающие со всем пространством.

3.2. Доказать, что каждое аффинное множество представляет собой пересечение гиперплоскостей.

3.3. Доказать, что в вещественном векторном пространстве дополнение гиперплоскости состоит из двух выпуклых множеств, каждое из которых совпадает со своим ядром. Такие множества именуют открытыми полупространствами.

Объединение открытого полупространства с исходной гиперплоскостью называют замкнутым полупространством. Найти способы задания полупространств.

3.4. Найти возможные представления элементов выпуклой оболочки конечного числа точек. Как учесть конечномерность пространства, в котором ведтся рассмотрение?

3.5. Для множеств S1 и S2 полагают S = 01 S1 (1)S2. Доказать, что S выпукло при условии выпуклости S1 и S2.

3.6. Вычислить функционалы Минковского полупространства, конуса, выпуклой оболочки объединения и пересечения конических отрезков.

3.7. Пусть S := {p + q 1}, где p, q — функционалы Минковского конических отрезков Sp и Sq. Выразить S через Sp и Sq.

3.8. Описать сублинейные функционалы, определнные на RN.

3.9. Вычислить субдифференциал максимума конечного числа линейных функционалов.

3.10. Пусть p, q — сублинейные функционалы, находящиеся в общем положении, т. е. такие, что Доказать симметричную формулу Хана — Банаха (ср. 3.5.7) 3.11. Пусть p, q : X R — всюду определнные на X сублинейные функе ционалы. Тогда выполнено равенство 3.12. Найти функционал Минковского шара с необязательно нулевым центром симметрии в гильбертовом пространстве.

3.13. Симметричную квадратную 2 2-матрицу назовм положительной, если у не положительные собственные числа. Согласован ли возникающий пое рядок в пространстве таких матриц с векторной структурой? Определяет ли он структуру пространства Канторовича?

3.14. На каждом ли упорядоченном векторном пространстве можно задать нетривиальный положительный функционал?

3.15. Какими способами RN можно превратить в K-пространство?

3.16. При каких условиях заключение теоремы Хана — Банаха в аналитической форме выполнено для не всюду определнного сублинейного функционае ла?

3.17. Для стандартной нормы в l найти крайние точки е субдифферене циала.

3.18. Найти возможные обобщения теоремы Хана — Банаха для отображений, действующих в пространства Канторовича.

3.19. Для множества C в пространстве X определим преобразование Хре мандера H(C) соотношением Изучить свойства преобразования Хрмандера.

Экскурс в метрические пространства 4.1. Равномерность и топология метрического 4.1.1. Определение. Отображение d : X 2 R+ называют метрикой на X, если Пару (X, d) называют метрическим пространством. Вещественное число d(x, y) обычно именуют расстоянием между x и y.

Допуская вольность речи, само множество X в этой ситуации также называют метрическим пространством.

4.1.2. Отображение d : X 2 R+ является метрикой в том и только в том случае, если Свойства 4.1.2 (1)–4.1.2 (3) суть переформулировки 4.1.1 (1)– 4.1.1 (3) соответственно.

4.1.3. Определение. Пусть (X, d) — метрическое пространство и R+ \ 0. Множество B := Bd, := {d } называют замкнутым цилиндром (порядка ), а множество B := B d, := {d < } — открытым цилиндром (порядка ). Образ B (x) точки x при соответствии B называют замкнутым шаром радиуса с центром в x.

Аналогично множество B (x) называют открытым шаром радиуса с центром x.

4.1.4. Открытые цилиндры, рвно как и замкнутые цилиндры непустого метрического пространства, составляют базисы одного и того же фильтра.

4.1.5. Определение. Фильтр, порожднный цилиндрами непуе стого метрического пространства (X, d) в множестве X 2, называют метрической равномерностью и обозначают UX, или Ud, или, наконец, просто U, если нет сомнений, о каком пространстве идет речь.

При X := полагают UX := {}. Элементы равномерности UX называют окружениями (диагонали).

4.1.6. Пусть U — метрическая равномерность. Тогда 4.1.7. Замечание. Свойство 4.1.6 (4), связанное с 4.1.1 (1), часто называют хаусдорфовостью U.

4.1.8. Для пространства X с равномерностью UX положим Тогда (x) — фильтр для каждого x X. При этом 4.1.9. Определение. Отображение : x (x) называют метрической топологией, а элементы (x) — окрестностями точки x. Для обозначения топологии используют также и более полные обозначения: X, (U ) и т. п.

4.1. Равномерность и топология метрического пространства 4.1.10. Замечание. Замкнутые шары с центром в некоторой точке составляют базис фильтра окрестностей этой точки. То же верно и для открытых шаров. Отметим еще, что у различных точек в X существуют непересекающиеся окрестности. Это свойство, связанное с 4.1.6 (4), называют хаусдорфовостью X.

4.1.11. Определение. Множество G в X называют открытым, если оно является окрестностью каждой своей точки (символически: G Op( ) (( x G) G (x))). Множество F в X называют замкнутым, если его дополнение открыто (символически:

4.1.12. Объединение любого семейства и пересечение конечного семейства открытых множеств суть множества открытые. Пересечение любого семейства и объединение конечного семейства замкнутых множеств суть множества замкнутые.

4.1.13. Определение. Для множества U в X полагают Множество int U называют внутренностью U, а его элементы — внутренними точками U. Множество cl U называют замыканием U, а его элементы — точками прикосновения U. Внутренность дополнения X \ U называют внешностью U, а элементы внешности — внешними точками U. Точки пространства X, не являющиеся ни внешними, ни внутренними для U, называют граничными точками U. Совокупность всех граничных точек U называют границей U и обозначают fr U или U.

4.1.14. Множество U является окрестностью точки x в том и только в том случае, если x — внутренняя точка U.

4.1.15. Замечание. В связи с предложением 4.1.14 множество Op(X ) также часто называют топологией X, имея в виду, что X однозначно восстанавливается по Op(X ). Последнее, разумеется, относится и к совокупности Cl(X ) всех замкнутых множеств в X.

4.1.16. Определение. Пусть B — базис фильтра в X. Говорят, что B сходится к точке x из X или что x — это предел B (и пишут:

B x), если l B тоньше фильтра окрестностей точки x, т. е. l B (x).

4.1.17. Определение. Пусть (x ) — это (обобщнная) пое следовательность в X. Говорят, что рассматриваемая последовательность сходится к x (пишут: x x), если к x сходится фильтр хвостов этой последовательности. Используют и другие распространенные обозначения и обороты. Например, x = lim x и x — предел (x ), когда пробегает.

4.1.18. Замечание. Предел фильтра, как и предел обобщнной последовательности, единствен. Этот факт есть другое выражение хаусдорфовости топологии.

4.1.19. Для непустого множества U и точки x равносильны следующие утверждения:

(1) точка x является точкой прикосновения U ;

(3) существует последовательность (x ) элементов U, (1) (2): Так как x не является внешней точкой U, то фильтры (x) и l {U } имеют точную верхнюю границу F := (x)l {U }.

(2) (3): Пусть F x и U F. Превратим F в направление с помощью порядка, противоположного порядку по включению.

Возьмм xV V U для V F. Ясно, что xV x.

(3) (1): Пусть V — замкнутое множество, (x ) — последовательность элементов V и x x. Достаточно показать, что в этом случае x V. Последнее очевидно, ибо при x X \ V хотя бы для одного было бы x X \ V.

4.1.20. Замечание. В условиях метрического пространства в 4.1.19 (2) можно считать, что фильтр F имеет счтный базис, а в 4.1.19 (3) — что := N. Указанное обстоятельство иногда выражают словами: «метрические пространства удовлетворяют первой аксиоме счтности».

4.2. Непрерывность и равномерная 4.2.1. Пусть f : X Y и X, Y — топологии в X и Y соответственно. Эквивалентны утверждения:

(5) f (x ) f (x), каковы бы ни были точка x и сходящаяся к ней последовательность (x ).

Эквивалентность (1) (2) вытекает из 4.1.11. Остатся прое верить, что (1) (3) (4) (5) (2).

Отсюда f 1 (W ) Op(X ) и x f 1 (W ). Иначе говоря, f 1 (W ) X (x) (см. 4.1.14). Помимо этого, f 1 (V ) f 1 (W ) и, следовательно, f 1 (V ) X (x). Наконец, V f (f 1 (V )).

(3) (4): Если F x, то l F X (x) по определению 4.1.16.

Привлекая условие, выводим f (F ) f (X (x)) Y (f (x)). Повторная апелляция к 4.1.16 дат f (F ) f (x).

(4) (5): Образ фильтра хвостов последовательности (x ) при отображении f грубее фильтра хвостов (f (x )).

(5) (2): Пусть F — замкнутое подмножество в Y. Если F =, то f 1 (F ) также пусто, а потому и замкнуто. Пусть F непусто и x — точка прикосновения f 1 (F ). Рассмотрим последовательность (x ) точек из f 1 (F ), сходящуюся к x (ее существование обеспечено 4.1.18). Тогда f (x ) F и f (x ) f (x). Вновь применяя 4.1.18, видим, что f (x) F и, стало быть, x f 1 (F ).

4.2.2. Определение. Отображение f : X Y, удовлетворяющее одному (а значит, и любому) из эквивалентных утверждений 4.2.1 (1)–4.2.1 (5), (как хорошо известно) называют непрерывным.

Если при этом 4.2.1 (5) выполнено в фиксированной точке x X, то говорят, что f непрерывно в точке x. Стало быть, f непрерывно на X в том и только в том случае, если f непрерывно в каждой точке X.

4.2.3. Суперпозиция непрерывных отображений непрерывна.

Следует трижды применить 4.2.1 (5).

4.2.4. Пусть f : X Y и UX, UY — равномерности в X и Y соответственно. Эквивалентны утверждения:

Достаточно заметить, что по 1.1.10 для U X 2 и V Y выполнено 4.2.5. Определение. Отображение f : X Y, удовлетворяющее одному (а значит, и любому) из эквивалентных утверждений 4.2.4 (1)–4.2.4 (4), (как хорошо известно) называют равномерно непрерывным.

4.2.6. Суперпозиция равномерно непрерывных отображений равномерно непрерывна.

для всех x, y из X. Значит, h (UX ) = g (f (UX )) g (UY ) UZ в силу 4.2.4 (3). Вновь апеллируя к 4.2.4 (3), видим, что h равномерно непрерывно.

4.2.7. Равномерно непрерывное отображение непрерывно.

4.2.8. Определение. Пусть E — множество отображений из X в Y и UX, UY — соответствующие равномерности. Множество E называют равностепенно (равномерно) непрерывным, если 4.2.9. Равностепенно непрерывное множество отображений состоит из равномерно непрерывных отображений. Конечное множество равномерно непрерывных отображений равностепенно непрерывно.

4.3. Полунепрерывность 4.3.1. Пусть (X1, d1 ) и (X2, d2 ) — метрические пространства.