«Нестандартные методы анализа Е. И. Гордон, А. Г. Кусраев, С. С. Кутателадзе ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ Новосибирск Издательство Института математики 2001 УДК 517.11+517.98 ББК 22.16 K94 Гордон Е. И., Кусраев А. Г., ...»

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С. Л. СОБОЛЕВА

Нестандартные методы анализа

Е. И. Гордон, А. Г. Кусраев,

С. С. Кутателадзе

ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

Новосибирск

Издательство Института математики

2001

УДК 517.11+517.98

ББК 22.16

K94

Гордон Е. И., Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Инфинитезимальный анализ. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2001. xii+526 с. (Нестандартные методы анализа).

ISBN 5–86134–059–5.

Инфинитезимальный анализ один из наиболее разработанных разделов, составляющих нестандартные методы анализа. В его рамках получили строгое обоснование метод неделимых и монадология, восходящие к глубокой древности. В монографии подробно излагаются теоретико-множественные формализмы, позволяющие использовать актуальные бесконечно большие и бесконечно малые величины. Детально изучаются приложения инфинитезимальных методов в топологии, теории меры, оптимизации и гармоническом анализе.

Книга ориентирована на широкий круг читателей, интересующихся современным состоянием и приложениями классического нестандартного анализа.

Библиогр.: 528.

Ответственный редактор академик Ю. Г. Решетняк Редактор серии С. С. Кутателадзе Издание осуществлено при финансовой поддержке:

Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ, коды проектов 94–01–00001, 94–01–00529-а, 97–01–00001), Международного научного фонда (ISF, коды проектов NYU000, NYU300), Международной Соросовской образовательной программы (ISSEP, коды проектов 385 p, p98–1358).

K 1602080000–01 Без объявл.

Я82(03)– c Е. И. Гордон, А. Г. Кусраев, ISBN 5–86134–059– С. С. Кутателадзе, c Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Содержание От редактора серии vi Введение viii Глава 1. Экскурс в историю математического анализа § 1.1. Г. В. Лейбниц и И. Ньютон

§ 1.2. Л. Эйлер

§ 1.3. Дж. Беркли

§ 1.4. Ж. Д’Аламбер и Л. Карно

§ 1.5. Б. Больцано, О. Коши и К. Вейерштрасс........ § 1.6. Н. Н. Лузин

§ 1.7. А. Робинсон

Глава 2. Наивные основы инфинитезимальных методов § 2.1. Понятие множества в нестандартном анализе... § 2.2. Простейшие свойства стандартных и нестандартных вещественных чисел.............................. § 2.3. Начальные понятия математического анализа на прямой................................ iv Содержание Глава 3. Теоретико-множественные формализмы нестандартного анализа § 3.1. Язык теории множеств

§ 3.2. Аксиоматика Цермело Френкеля.............. § 3.3. Теория внутренних множеств Нельсона.......... § 3.4. Теории внешних множеств

§ 3.5. Установки нестандартного анализа.............. § 3.6. Теория фон Неймана Геделя Бернайса..... § 3.7. Нестандартная теория классов

§ 3.8. Непротиворечивость NCT

§ 3.9. Теория относительно стандартных множеств.... Глава 4. Монады в общей топологии § 4.1. Монады и фильтры

§ 4.2. Монады в топологических пространствах........ § 4.3. Околостандартность и компактность............ § 4.4. Бесконечная близость в равномерных пространствах..................................... § 4.5. Предстандартность, полнота и полная ограниченность........................... § 4.6. Относительные монады

§ 4.9. Существенные и проидеальные точки § 4.10. Изображения компактных и предкомпактных § 4.11. Монады проультрафильтров и § 5.2. Классические аппроксимирующие и § 5.4. Аппроксимации, определяемые набором § 6.2. Дискретные приближения в банаховом § 6.6. Дискретизация псевдоинтегральных операторов и § 7.1. Гиперприближение преобразования Фурье § 7.4. Гиперприближение локально компактных абелевых § 7.6. Дискретное приближение функциональных пространств § 7.7. Гиперприближение псевдодифференциальных От редактора серии Нестандартные методы анализа в современном понимании состоят в привлечении двух различных стандартной и нестандартной моделей теории множеств для исследования конкретных математических объектов и проблем. Такие методы получили существенное развитие во второй половине XX века и сформировались в несколько направлений.

Первое из названных направлений вслед за его основоположником А. Робинсоном часто называют запоминающимся, хотя и отчасти эпатажным, термином нестандартный анализ (теперь чаще говорят о классическом или робинсоновском нестандартном анализе). Робинсоновский нестандартный анализ характеризуется широким использованием давно известных в практике естествознания, но долгое время запрещенных в математике XX века концепций, связанных с представлениями об актуальных бесконечно больших и актуальных бесконечно малых величинах. В этой связи сейчас за ним закрепилось наименование инфинитезимальный анализ, выразительно напоминающее о классическом анализе бесконечно малых.

Инфинитезимальный анализ бурно развивается и уже внес капитальные изменения в систему общематематических представлений. Прежде всего это связано с тем, что в нем предложено новое понимание метода неделимых, восходящего к глубокой древности, и осуществлен синтез подходов к дифференциальному и интегральному исчислению, предложенных его основоположниками. В наши дни инфинитезимальный анализ находит широкое распространение и проникает во все разделы современной математики. Наибольшие изменения происходят в этой связи в негладком анализе, в теории вероятностей и теории меры, в качественной теории дифференциальных уравнений и в математической экономике.

Второе направление булевозначный анализ характеризуется широким использованием таких терминов, как спуски и подъемы, циклические оболочки и миксинги, B-множества и изображения объектов в моделях. Развитие этого направления, становление которого связано со знаменитыми работами П. Дж. Коэна по гипотезе континуума, привело к принципиально новым идеям и результатам в ряде направлений функционального анализа, прежде всего в теории пространств Канторовича, в теории алгебр фон Неймана, в выпуклом анализе и теории векторных мер.

В монографии [119], изданной в 1990 году Сибирским отделением издательства Наука и переизданной в 1994 году издательством Kluwer Academic Publishers на английском языке, впервые с единых методологических позиций были рассмотрены оба указанных выше направления, составляющих ядро современных нестандартных методов анализа.

Читательский интерес и стремительное развитие самой дисциплины поставили задачу отразить современное состояние дел, изложив новые темы и результаты. При работе над реализацией проекта выяснилось, что остаться в прежних рамках одной книги уже невозможно. В этой связи в 1999 году было принято решение о подготовке серии монографий под общим названием Нестандартные методы анализа, каждая из которых трактует различные аспекты этого математического направления.

В названной серии уже вышли две книги [56, 124], опубликованные практически одновременно с их переводами на английский язык. Монография [124] посвящена булевозначному анализу, а книга [56] трактует приложения нестандартных методов к теории векторных решеток.

Настоящее издание посвящено инфинитезимальному анализу и состоит из двух частей единой монографии. Наряду с систематическим изложением соответствующего формального аппарата, большое место в книге уделено приложениям к топологии, оптимизации и гармоническому анализу.

Введение Идея инфинитезимали актуальной бесконечно малой величины восходит к эпохе античности. В наше время после примерно полувекового перерыва инфинитезимальным понятиям уделяется все большее внимание внутри современной математики. Бесконечно большие и бесконечно малые числа, математические атомы неделимые монады все чаще фигурируют в различных публикациях, входят в математическую практику. Поворотный пункт в развитии инфинитезимальных концепций связан с выдающимся достижением А. Робинсона созданием нестандартного анализа.

Около полувека нестандартный анализ рассматривали как довольно тонкую и даже экзотическую логическую технику, предназначенную для обоснования метода актуальных бесконечно больших и бесконечно малых чисел. Считалось также, что эта техника имеет ограниченную сферу применимости и в любом случае принципиально не может привести к серьезному пересмотру общематематических представлений. В конце 70-х годов после опубликования теории внутренних множеств Э. Нельсона (и несколько позже теорий внешних множеств К. Хрбачека и Т. Каваи) взгляды на место и роль нестандартного анализа коренным образом обогатились и видоизменились.

В свете новых открытий нестандартные элементы стало возможно рассматривать не как мнимые, глухие, идеальные сущности, добавляемые к обычным множествам из соображений формального удобства, а как неотъемлемые части любых привычных математических объектов.

Возникла установка, состоящая в том, что каждое множество образовано стандартными и нестандартными элементами. В свою очередь, стандартные множества формируют своеобразную реперную сетку, плотно расположенную в совокупности всех предметов изучения математики.

При этом обнаружилось, что фигурирующие в нестандартном математическом анализе объекты монады фильтров, стандартные части чисел и векторов, тени операторов и т. п. составляют канторовские множества, не попадающие ни на одну из канонизированных картин, рисуемых известными формальными теориями множеств.

Универсум фон Неймана не исчерпывает мир классической математики вот одно из очевидных следствий новых воззрений. Таким образом, традиционные взгляды на нестандартный анализ стали нуждаться, по меньшей мере, в ревизии, потребовали переосмысления инфинитезимальных концепций.

Важным достоинством возникших путей стал аксиоматический подход, дающий возможность овладеть аппаратом нестандартного математического анализа без предварительного изучения техники ультрапроизведений, булевозначных моделей или их аналогов. Выдвинутые аксиомы просты в обращении и отчетливо мотивируются на содержательном уровне в рамках привычной для анализа наивной теоретико-множественной установки. В то же время они существенно расширяют круг математических объектов, создают возможности развития нового формального аппарата, позволяют значительно уменьшить опасные разрывы между представлениями, методическими установками и уровнями строгости, принятыми в математике и ее приложениях к естественным и социальным наукам.

Иначе говоря, аксиоматическое теоретико-множественное обоснование нестандартного математического анализа имеет общенаучное значение.

В 1947 г. К. Гдель отметил: Могут существовать аксиомы, столь богатые проверяемыми следствиями, проливающие такой яркий свет на всю дисциплину и доставляющие настолько сильные методы решения задач (даже, насколько это возможно, решающие их в каком-либо конструктивистском смысле), что совершенно безотносительно к их внутренней необходимости эти аксиомы придется принять хотя бы в том же смысле, в каком принимают любую основательную физическую теорию [310, с. 521]. Предсказание К. Гделя сбывается на наших глазах.

Цель настоящего сочинения сделать более доступными появившиеся пути в нестандартный анализ.

Для достижения этой цели мы начинаем с изложения содержательных качественных представлений о стандартных и нестандартных объектах, об аппарате нестандартного анализа на наивном уровне строгости, абсолютно достаточном для эффективных применений без апелляции к логическим формализмам.

Затем приводится краткий и в то же время достаточно полный справочный материал, относящийся к современным аксиоматическим построениям нестандартного анализа в рамках канторовской установки. При этом мы сочли возможным значительное место уделить идейной и исторической стороне дела, что определило специфику изложения.

ственные мотивировки принципов нестандартного анализа и обсуждение их простейших следствий для дифференциального и интегрального исчисления составляют наивное обоснование инфинитезимального анализа. Формальные детали соответствующего аппарата нестандартной теории множеств собраны в третьей главе.

Веским доводом в пользу известной концентричности изложения служат замечательные слова Н. Н. Лузина: Математический анализ вовсе не есть совершенно законченная наука, как иногда склонны себе его представлять, с раз навсегда найденными принципами, из которых только остается извлекать дальнейшие следствия... Математический анализ ничем не отличается от всякой другой науки и имеет свой ход идей, движущийся не только поступательно, но и кругообразно, с возвращением к группе прежних идей, правда всегда в новом освещении [151, с. 389].

В четвертой и пятой главах представлены инфинитезимальные методы в общей топологии и субдифференциальном исчислении.

Шестая глава посвящена проблемам приближения бесконечномерных банаховых пространств и операторов в них конечномерными пространствами и матрицами. Разумеется, размерность аппроксимирующего пространства является здесь бесконечно большим числом.

Близким по проблематике является и материал седьмой главы, относящейся к гармоническому анализу на группах. Здесь подробно излагается нестандартная техника приближения локально компактных групп и соответствующих преобразований Фурье.

Выбор именно этих тем из многообразия современных приложений нестандартного анализа определен во многом личными предпочтениями авторов.

В заключительной восьмой главе собраны упражнения, полезные для закрепления материала, а также сформулированы и открытые вопросы, трудность которых варьируется от нулевой до бесконечно большой.

Мы не захотели ограничивать себя двухэлементной булевой алгеброй и кое-где привлекаем общие булевозначные модели. Для удобства читателя необходимый минимум сведений о последних собран в приложении.

Предлагаемое читателю сочинение отчасти служит отчетом о работе над проблемами, занимавшими авторов в течение последней четверти двадцатого века. Мы с удовлетворением вспоминаем трудности и радости нашей многолетней совместной работы и теплого дружеского общения.

Возможно, они также были проявлениями приятных следствий нестандартного анализа...

Экскурс в историю математического анализа Идеи дифференциального и интегрального исчисления восходят к глубокой древности и связаны с наиболее фундаментальными математическими концепциями. Сколь-либо детальное изложение истории становления представлений о математических объектах, о процессах вычисления и измерения, определяющих нынешние взгляды на инфинитезимали, требует специальных сочинений, выходящих за рамки наших возможностей и намерений. Ситуация существенно осложнена тем, что математическая история подвержена широко известным негативным процессам, возникающим при постоянных попытках апологии тех или иных современных воззрений. Формирование аппарата математического анализа, в частности, далеко не всегда излагается достаточно полно и бесстрастно.

Односторонние взгляды на сущность дифференциала и интеграла, гипертрофирование роли понятия предела, предание анафеме актуальных бесконечно больших и бесконечно малых чисел получили в течение пятидесяти лет двадцатого века столь широкое распространение, что не позволяют игнорировать их существование.

Стало трюизмом воззрение, что сами основания анализа были долго окружены таинственностью вследствие нежелания признать за понятием предела исключительного права быть источником новых методов [104, c. 562]. Между тем, как справедливо отметил Л. С. Понтрягин: Исторически интегральное и дифференциальное исчисление были уже хорошо развитыми областями математики до того, как появилась теория пределов. Последняя возникла как некоторая надстройка над существовавшей уже теорией. Многие физиГл. 1. Экскурс в историю математического анализа ки считают, что так называемое строгое определение производных и интегралов вовсе не нужно для хорошего понимания дифференциального и интегрального исчисления. Я разделяю их точку зрения [188, с. 64–65].

В связи с изложенным мы сочли необходимым в доступной нам краткой форме ознакомить читателя с некоторыми поворотными моментами в истории анализа и с положениями, высказанными классиками в процессе формирования современных взглядов. Отбор соответствующих фрагментов с неизбежностью субъективен. Надеемся, что тем не менее он достаточен для формирования критического отношения к односторонним искаженным картинам становления инфинитезимальных методов.

1.1. Г. В. Лейбниц и И. Ньютон Дифференциальное и интегральное исчисление имеет давнее название анализ бесконечно малых. Именно так был озаглавлен первый учебник математического анализа, вышедший в свет в 1696 г.

Этот учебник был составлен Г. Лопиталем в результате контактов с И. Бернулли (старшим), одним из выдающихся последователей Г. В. Лейбница.

Научное наследие, творчество и взаимоотношения основоположников математического анализа Г. В. Лейбница и И. Ньютона подвергнуты детальному, можно сказать, скрупулезному изучению.

Стремление восстановить ход мысли гениальных людей, выявить пути, приведшие к открытию новых истин, оправдано и закономерно. Однако никогда не следует забывать имеющихся принципиальных различий между черновиками и набросками, частными письмами к коллегам и сочинениями, специально предназначенными для более широкого распространения. В этой связи необходимо прежде всего обратиться к официальным изложениям интересующих нас представлений Г. В. Лейбница и И. Ньютона о бесконечно малых.

Первой опубликованной работой по дифференциальному исчислению является статья Г. В. Лейбница Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не служат препятствием ни дробные, ни иррациональные величины, и особый для этого род исчисления (см. [145]). Эта работа вышла в свет в лейпцигском журнале Acta Eruditorum триста лет назад в 1684 г. Лейбниц дает следующее определение дифференциала. Рассматривая кривую Y Y и отрезок касательной, проведенной в фиксированной точке кривой Y, отвечающей выбранной координате X на оси AX, и обозначая D точку пересечения касательной с указанной осью, он пишет: Назовем произвольно взятую прямую dx, а другой отрезок, относящийся к dx так, как... y...относится к XD, назовем... dy или же разностью (dierentia)...y.... К этому прилагается рисунок, существенные детали которого (с учетом письменных разъяснений Лейбница) воспроизводятся здесь (рис. 1).

Итак, по Лейбницу для функции x y(x) в точке x при произвольном dx мы имеем Иначе говоря, дифференциал определен как соответствующее линейное отображение, т. е. тем способом, над которым подпишется большинство теперешних специалистов.

Г. В. Лейбниц серьезный мыслитель, считавший, что изобретение силлогистической формы есть одно из прекраснейших и даже важнейших открытий человеческого духа. Это своего рода универсальная математика, все значение которой еще недостаточно понято. Можно сказать, что в ней содержится искусство непогрешимости... [147, с. 492–493]. Безусловно понимая, что описание и обоснование изложенного им алгоритма дифференциального исчисления (так Г. В. Лейбниц называл правила дифференцирования) требует уточнения понятия касательной, он разъясняет:...найти касательную значит провести прямую, соединяющую две точки кривой, 4 Гл. 1. Экскурс в историю математического анализа расстояние между которыми бесконечно мало, или же провести продолженную сторону бесконечноугольного многоугольника, который для нас равнозначен кривой. Иначе говоря, Г. В. Лейбниц базирует свое исчисление на апелляции к устройству кривых в малом.

На статут бесконечно малых в те времена имелись практически две точки зрения. В силу первой, по-видимому, более близкой Г. В. Лейбницу, бесконечно малое число мыслилось как меньшее любого могущего быть заданным количества. Актуально существующие неделимые элементы, составляющие величины и фигуры вот образы, сопутствующие приведенной концепции бесконечной малости. Для Г. В. Лейбница неоспоримо суждение о существовании простых субстанций, входящих в состав сложных монад. Этито монады и суть истинные атомы природы, одним словом, элементы вещей [146, с. 413].

Для другого родоначальника анализа И. Ньютона бесконечно малые были связаны с представлениями об исчезающих количествах [183, 217]. Неопределенные величины он рассматривал не как состоящие из крайне малых частей, но как описываемые непрерывным движением,...как возрастающие или убывающие в непрерывном движении, т. е. как притекающие или утекающие. Знаменитый метод первых и последних отношений в классическом трактате Математические начала натуральной философии (1687 г.) имеет следующую формулировку:

Количества, а также отношения количеств, которые в продолжение любого конечного времени постоянно стремятся к равенству и ранее конца этого времени приблизятся друг к другу ближе, нежели на любую заданную разность, будут напоследок равны [217, с. 101].

Проводя идеи, которые сейчас прочно ассоциируются с теорией пределов, И. Ньютон проявлял свойственную настоящим ученым проницательность, предусмотрительность и мудрость, оценивая конкурирующие воззрения. Он писал:...построение анализа посредством конечных величин и исследование первых или последних отношений нарождающихся или исчезающих конечных величин согласно с геометрией древних, и я желал обнаружить, что в методе флюксий нет необходимости вводить в геометрию бесконечно малые фигуры.

Можно, правда, провести анализ на каких угодно фигурах, и конечных и бесконечно малых, которые представляют себе подобными исчезающим, так же как и на фигурах, которые в методах неделимых обычно считаются бесконечно малыми, но только при этом следует действовать с должной осторожностью [183, с. 169].

Столь же гибких, глубоко диалектических взглядов придерживался Г. В. Лейбниц. В своем известном письме к П. Вариньону от 2 февраля 1702 г. [217], подчеркивая, что...нет нужды ставить математический анализ в зависимость от метафизических споров, он указывает на единство противоположных представлений об объектах нового аппарата:...если какой-либо противник желает возражать против наших утверждений, то из нашего исчисления следует, что ошибка будет меньше, чем любая ошибка, какую он сможет указать, ибо в нашей власти взять несравнимо малое достаточно малым для этой цели, поскольку такую величину всегда можно взять сколь угодно малой. Быть может, Вы, сударь, это и имеете в виду, говоря о неисчерпаемом, и в этом, без сомнения, состоит строгое доказательство применяемого нами исчисления бесконечно малых... Также можно сказать, что бесконечные и бесконечно малые обоснованы так, что в геометрии и даже в природе все происходит, как если бы они представляли собой совершенные реальности. Об этом свидетельствует не только наш геометрический анализ трансцендентных, но еще мой закон непрерывности, в силу которого допустимо рассматривать покой как бесконечно малое движение (т. е. как равносильный роду своей противоположности), и совпадение как бесконечно малое расстояние, и равенство как последнее из неравенств и т. д..

Близкие положения высказывал Г. В. Лейбниц в следующем отрывке, выделенный конец которого часто цитируют в сочинениях по нестандартному анализу, следуя примеру А. Робинсона [454, с. 260– 261]:...нет необходимости понимать здесь бесконечное в строгом смысле слова, но лишь в том смысле, в каком в оптике говорят, что солнечные лучи исходят из бесконечно удаленной точки и потому считаются параллельными.

И когда имеются различные порядки бесконечного или бесконечно малых, то понимаются они в том же смысле, в каком земной шар считают точкой по сравнению с расстоянием до неподвижных звезд, а шарик в наших руках точкой по сравнению с полудиаметром земного шара, так что расстояние от неподвижных звезд является бесконечно бесконечным или бесконечностью бесконечности по отношению к диаметру шарика.

Дело в том, что вместо бесконечного или бесконечно малого берут настолько большие и настолько малые величины, насколько это 6 Гл. 1. Экскурс в историю математического анализа нужно, чтобы ошибка оказалась менее данной ошибки и, таким образом, отличие от стиля Архимеда состоит лишь в выражениях, которые в нашем методе являются более прямыми и более пригодны для искусства изобретения [145, с. 190].

1.2. Л. Эйлер Восемнадцатое столетие в истории математического анализа по праву называют веком Л. Эйлера. Каждый, кто ознакомится с его сочинениями, будет потрясен виртуозной техникой, глубоким проникновением в суть дела. Можно вспомнить, что замечательный ученый-инженер А. Н. Крылов с восторгом видел в знаменитой форei = 1 символ единства всей математики, отмемуле Эйлера чая, что в ней 1 представляет арифметику, i алгебру, геометрию и e анализ.

Для Л. Эйлера характерен многосторонний, как сейчас говорят системный, подход к исследованию математических задач он широко использует весь разработанный к тому времени аппарат. Существенно подчеркнуть постоянное, эффективное и эффектное применение инфинитезимальных концепций и, прежде всего, актуальных бесконечно больших и бесконечно малых чисел. Л. Эйлер достаточно подробно разъяснил методические основы своих представлений, названных исчислением нулей. Имеется склонность искать (отличные от имеющихся) пятна на солнце и (аналогичные) слабости гениев. Долгие годы Л. Эйлеру инкриминировали неверное обращение с расходящимися рядами, пока не были поняты его взгляды.

Сейчас кое-кто употребляет оборот Эйлер в вопросе о расходящихся рядах стоял на вполне современной точке зрения... Правильнее обернуть эту фразу и сказать, что современные математики, наконец, доросли до идей Эйлера. Как станет видно из дальнейшего (см. 2.2, 2.3), мнение, что...мы не сможем восторгаться тем способом, которым Эйлер обосновывает анализ, вводя нули различных порядков столь же самонадеянно, как и суждение о том, что гиганты науки, главным образом, Эйлер и Лагранж, дали неверное обоснование анализа. Эйлер, и это стит признать безоговорочно и навсегда, владел анализом и ведал, что творил.

1.3. Дж. Беркли Идеи анализа в их общей форме оказали заметное воздействие на характер мировоззренческих представлений XVIII века.

Отражением глубины проникновения понятий бесконечно больших и бесконечно малых количеств в культурную среду того времени служат, в частности, вышедшие в 1726 г. из-под пера Дж. Свифта Путешествия Лемюэля Гулливера... (Лилипутия и Бробдингнег) и знаменитый Микромегас 1752, написанный ярким, язвительным мыслителем Ф.-М. Аруэ Вольтером. Интересно, что А. Робинсон к своему классическому сочинению [454] в качестве эпиграфа избрал начало следующей речи Микромегаса:

Теперь я вижу яснее, чем когда-либо, что ни о чем нельзя судить по его видимой величине. О боже, даровавший разум существам, столь ничтожных размеров! Бесконечно малое равно перед лицом твоим бесконечно большому; если только возможны существа, еще меньшие чем эти, то и они могут обладать разумом, превосходящим ум тех великолепных творений твоих, виденных мною на небе, одна ступня которых покрыла бы эту планету [30, с. 154].

Представляется серьезным то воздействие на развитие математического анализа, которое оказало выступление в 1734 г. крупного деятеля церкви и теолога, епископа Дж. Беркли с памфлетом Аналитик, или Рассуждение, адресованное неверующему математику, где исследуется, являются ли предмет, принципы и заключения современного анализа более отчетливо познаваемыми и с очевидностью выводимыми, чем религиозные таинства и положения веры [10, с. 361–408]. Клерикальная направленность сочинений Дж. Беркли сочетается с афористичностью, тонкостью наблюдений и убийственной точностью выражений....Ошибка может породить истину, хотя не может породить науку [10, с. 377] вот лейтмотив его критики анализа. Вызов Беркли [10, с. 377]: У меня нет разногласий с вами относительно ваших выводов, они у меня есть только относительно вашей логики и метода. Как вы проводите доказательство? С какими предметами вы хорошо знакомы и ясно ли вы их себе представляете? На основе каких принципов вы действуете, насколько они правильны и как вы их применяете? был адресован всему естествознанию.

Сочинение Дж. Беркли, завершенное 67 острыми вопросами, оспаривающими научность методов анализа того времени, не могло быть оставлено без ответа наиболее передовыми представителями научной мысли XVIII века энциклопедистами.

8 Гл. 1. Экскурс в историю математического анализа 1.4. Ж. Д’Аламбер и Л. Карно Поворотный пункт в истории формирования основных понятий анализа связан с идеями и деятельностью Ж. Д’Аламбера. Один из организаторов и ведущих авторов бессмертного шедевра просветительской мысли Энциклопедии или толкового словаря наук, искусств и ремесел в статье Дифференциал заявил: Ньютон никогда не считал дифференциальное исчисление исчислением бесконечно малых, а видел в нем метод первых и последних отношений [217, с. 157]. Д’Аламбер стал первым математиком, объявившим себя обладателем доказательства, что бесконечно малые на самом деле не существуют ни в природе, ни в допущениях геометров (из статьи Бесконечно малое 1759 г.). Позиция Ж. Д’Аламбера, отраженная Энциклопедией..., в немалой степени способствовала оформлению в конце XVIII века представления о бесконечно малой как о величине, стремящейся к нулю. По-видимому, в этой связи следует упомянуть работу Л. Карно Размышления о метафизике исчисления бесконечно малых, в которой отмечено...понятие бесконечно малого количества не менее ясно, чем понятие предела, потому что оно есть не что иное, как разность этого предела и количества, последним значением которого он является.

1.5. Б. Больцано, О. Коши и К. Вейерштрасс XIX век стал веком обоснования анализа с помощью теории пределов. Выдающийся вклад в этот процесс внесли Б. Больцано, О. Коши и К. Вейерштрасс. Достижения названных ученых отражены в любом традиционном курсе дифференциального и интегрального исчисления. Новый канон строгости, выдвинутый Б. Больцано, данное О. Коши определение бесконечно малого количества как переменной с нулевым пределом, наконец, --техника К. Вейерштрасса составляют неотъемлемую часть математических воззрений, став частью современной культуры. Стоит особо отметить (см. [217]), что, давая словесную характеристику непрерывности, О. Коши и К. Вейерштрасс прибегают к практически тождественным выражениям:

бесконечно малое приращение переменной порождает всегда бесконечно малое приращение самой функции бесконечно малым изменениям аргумента соответствуют бесконечно малые изменения функции Указанное совпадение подчеркивает достойную уважения потребность связать новые представления с позициями великих предшественников.

Размышляя о значении пересмотра аналитических воззрений, происходившего в XIX веке, следует иметь в виду сделанное в этой связи важное наблюдение Ф. Севери [201, с. 113]: Этот пересмотр, который приобрел в наши дни относительную завершенность, не имеет, однако, той определенной ценности, в которую верят многие ученые. В самом деле, строгость сама по себе есть функция совокупности знаний в каждый исторический период, соответствующий способу научной обработки истины.

1.6. Н. Н. Лузин Начало XX века в математике отмечено дальнейшим ростом недоверия к концепции актуальных бесконечных величин. Эта тенденция особенно усилилась в связи с переустройством математики на основе теоретико-множественной установки, завоевавшей себе в 30-е годы прочные ключевые позиции.

Н. Н. Лузин в первом издании Большой Советской Энциклопедии в 1934 г. писал: Что же касается постоянного бесконечно малого количества, отличного от нуля, то современный математический анализ, не отрицая формальной возможности определить идею постоянного бесконечно малого (например, как соответствующего отрезка,,неархимедовой“ геометрии), рассматривает эту идею как совершенно бесплодную, так как ввести такое бесконечно малое в исчисление оказывается невозможным [151, с. 293–294].

В те годы в России известным событием стал выход в свет учебника М. Я. Выгодского Основы исчисления бесконечно малых, вызвавший серьезную и острую критику. М. Я. Выгодский старался сохранить концепцию инфинитезималей, апеллируя к исторической практике. Он, в частности, отмечал: Если бы дело шло только о создании логического аппарата, который работал бы сам по себе, то, устранив из рассмотрения бесконечно малые величины и изгнав дифференциалы из математики, можно было бы праздновать победу над теми затруднениями, которые доставляли столько хлопот математикам и философам в течение двух веков. Но исчисление бесконечно 10 Гл. 1. Экскурс в историю математического анализа малых возникло из потребностей практики, и с течением времени его связь с естествознанием и техникой (а в позднейшее время и с социальными науками) все более и более укреплялась и становилась все более и более плодотворной. Между тем полное изгнание бесконечно малых величин сделало бы эту связь если не невозможной, то чрезвычайно затруднительной [33, с. 160].

Характеризуя учебник М. Я. Выгодского, Н. Н. Лузин в 40-е годы писал: Этот курс внутренне цельный и освещенный большой идеей, которой он остается верным, не укладывается в рамки современного этапа математического анализа, длящегося 150 лет, и в настоящее время приходящего к своему завершению [151, с. 398].

На отношении Н. Н. Лузина к бесконечно малым стит остао новиться особо, как на важном свидетельстве того, обычно скрытого, драматизма, которым наполнена история каждой глубокой идеи, волнующей людей. Н. Н. Лузин отличался редкой способностью проникать в ядро самых изощренных математических проблем и, можно сказать, владел замечательным даром предвидения [139, 140, 153].

Идея актуальных бесконечно малых при этом была чрезвычайно близка ему психологически. Он подчеркивал:...мысль о них никогда не могла быть успешно изгнана из сознания. Имеются, очевидно, какие-то глубоко скрытые причины, еще до сих пор не выясненные полностью, которые заставляют наш ум быть расположенным всерьез считаться с ними [151, с. 396].

В одном из писем к М. Я. Выгодскому, Н. Н. Лузин предсказывал: Я всегда готов в свою очередь защищать то в Ваших теориях, что я считаю,,от истины“. Ваша критика Анализа правдива и верна. Но напрасно Вы только оправдываете актуально-малые только педагогическими соображениями. Наука, конечно, если не вернется вполне и совершенно к ним, то во всяком случае, актуально малые будут совершенно реабилитированы с полной научной точки зрения, как своего рода,,математические кванты“.

В другом месте с подлинной скорбью Н. Н. Лузин отмечал: Когда ум начинает свое знакомство с анализом, словом, когда для него весна, он начинает именно с актуально малых, которые можно назвать,,элементами“ количества.

Но постепенно, шаг за шагом, по мере накопления у него знаний, теорий, пресыщения к абстракции, усталости, ум начинает забывать свои первоначальные стремления, улыбаться их,,ребячеству“. Короче говоря, когда приходит осень ума, он дает себя убедить в единА. Робинсон ственности правильного обоснования при помощи пределов [27].

Последнюю точку зрения Н. Н. Лузин энергично развивал в учебнике Дифференциальное исчисление, указывая, что для правильного понимания самой сути дела учащийся должен хорошо усвоить, что бесконечно малое по самому своему определению есть всегда переменная величина и что поэтому никакое постоянное число, как бы мало оно ни было, никогда не есть бесконечно малое. Учащийся должен остерегаться пользоваться сравнениями или уподоблениями вроде, например, следующего:,,Один сантиметр есть величина бесконечно малая по сравнению с диаметром солнца“. Эта фраза совершенно неправильна. Обе величины и сантиметр и диаметр солнца суть величины постоянные и, значит, конечные, только, разумеется, одна значительно меньше другой. Притом и сантиметр вовсе не представится маленькой величиной, если мы, например, сравним его с,,толщиной волоса“, а для движущегося микроба сантиметр явится пространством колоссальной величины. Чтобы избавиться от всяких рискованных сравнений и субъективных случайных уподоблений, учащийся твердо должен помнить, что никакая постоянная величина не является бесконечно малой, так же как никакое число, как бы мало оно ни было.

Поэтому, в сущности говоря, было бы гораздо правильнее употреблять не термин,,бесконечно малое“, но термин,,бесконечно умаляющееся“ как более ярко выражающий идею переменности [152, с. 61].

1.7. А. Робинсон Седьмое (посмертное) издание названного учебника Н. Н. Лузина увидело свет в том же 1961 г., в котором А. Робинсон опубликовал свой Нестандартный анализ, содержащий современное обоснование метода актуальных бесконечно малых. А. Робинсон опирался на локальную теорему А. И. Мальцева, выделяя ее как результат основополагающего значения для нашей теории [454, с. 13] и прямо ссылаясь на работу А. И. Мальцева, относящуюся к 1936 г. Открытие А. Робинсона разъясняет идеи родоначальников дифференциального и интегрального исчисления, дает новое подтверждение диалектического характера развития математики.

Наивные основы инфинитезимальных методов Долгие годы несправедливой борьбы с актуальными бесконечно большими и бесконечно малыми величинами не прошли бесследно, породив обычные в таких случаях негативные последствия, в частности, массу предрассудков по отношению к понятиям и конструкциям, связанным с инфинитезималями.

Один из них весьма широко распространен и состоит во мнении о сложности овладения аппаратом нестандартного анализа. При этом подчеркивается, что последний опирается на продвинутые разделы современной формализованной теории множеств и математической логики.

На самом же деле наличие упомянутой связи, являясь безусловным и неоспоримым фактом, ни в коей мере не затрудняет ни понимания, ни методов работы с инфинитезималями.

Цель текущей главы обосновать высказанное положение с помощью изложения методологии нестандартного анализа на уровне строгости, принятом в нынешней системе математического образования, базирующемся на представлениях наивной теоретико-множественной установки, восходящей к Г. Кантору.

Помимо разъяснения смысла концепций нестандартной теории множеств и принимаемых в ней принципов переноса, идеализации и стандартизации, определенное место мы уделяем проведению параллелей излагаемых достаточно свежих представлений о простейших объектах математического анализа с подходами классиков. Тем самым нам хотелось подтвердить преемственность в развитии идей 2.1. Понятие множества в нестандартном анализе дифференциального и интегрального исчисления, по-новому освещаемую нестандартным анализом.

2.1. Понятие множества в нестандартном В этом параграфе мы приведем фрагмент обоснования нестандартных методов, близкий по уровню строгости к принятому при знакомстве с началами математического анализа.

2.1.1. Нынешние курсы математического анализа часто строятся на понятии множества.

2.1.2. Примеры.

(1) Л. Шварц Анализ : Множеством называется совокупность некоторых объектов.

Примеры: Множество учащихся одного выпуска, (2) В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов Математический анализ :

...при изучении вещественных чисел важным понятием являлось понятие множества. Подчеркнем, что множество мы рассматривали как начальное понятие, неопределенное через другие.

В этом параграфе мы будем изучать множества произвольной природы или, как говорят, абстрактные множества. Это означает, что объекты, составляющие данное множество, или, как говорят, элементы данного множества уже не обязаны быть обязательно вещественными числами. Элементами абстрактного множества могут быть, например, функции, буквы алфавита, фигуры на плоскости и т. д. [73, с. 69].

(3) Ю. Г. Решетняк Курс математического анализа.

Для нас множество будет одним из первичных математических понятий, не выражаемым через другие математические понятия.

14 Гл. 2. Наивные основы инфинитезимальных методов Обычно, говоря слово,,множество‘‘, мы будем под этим понимать совокупность объектов произвольного рода, рассматриваемую как единое целое. Вместе с термином множество будут употребляться и его синонимы типа набор, система, совокупность и т. п. Например, можно говорить о множестве решений некоторого уравнения, о коллекции картин, хранящихся в музее, совокупности точек круга и т. д.

Объекты, составляющие то или иное множество, называются его элементами.

Множество считается заданным, если для любого объекта можно установить, является он элементом данного множества или нет.

[194, с. 12].

(4) В. А. Зорич Математический анализ :

Основные предпосылки канторовской (или, как условно говорят,,,наивной‘‘) теории множеств сводятся к следующему:

1 множество может состоять из любых различных объектов;

2 множество однозначно определяется набором составляющих его объектов;

3 любое свойство определяет множество тех объектов, которые этим свойством обладают.

x обладает свойством P, то через {x : P (x)} обозначают весь класс объектов, обладающих свойством P.

Объекты, составляющие класс или множество, называют элементами класса или множества.

Слова,,класс‘‘,,,семейство‘‘,,,совокупность‘‘,,,набор‘‘ в наивной теории множеств употребляют как синонимы термина,,множество‘‘.

Следующие примеры демонстрируют применение этой терминологии:

множество букв,,а‘‘ в слове,,я‘‘;

множество жен Адама;

семейство бобовых;

множество песчинок на Земле;

совокупность точек плоскости, равноудаленных от двух семейство множеств;

множество всех множеств.

2.1. Понятие множества в нестандартном анализе Различие в степени определенности задания множеств наводит на мысль, что множество не такое уж простое и безобидное понятие.

И в самом деле, например, понятие множества всех множеств просто противоречиво [70, с. 17–18].

2.1.3. Нестандартный анализ, или, более полно, нестандартный математический анализ, является разделом математического анализа. В этой связи становится очевидным, что в нем принимаются изложенные взгляды на множества. Иными словами, в нестандартном анализе предполагаются множествами те и только те совокупности, которыми оперирует классическая стандартная теория. Стоит подчеркнуть, что справедлива и переформулировка приведенного утверждения: нестандартный анализ не считает множествами те и только те совокупности, которые не признает в качестве множеств обычная математика. В то же время нестандартный анализ связан с уточненными воззрениями на множества, т. е., как иногда говорят, строится в рамках нестандартной теории множеств.

2.1.4. В основе наивной теории множеств лежат классические представления Г. Кантора: Множество есть многое, мыслимое нами как единое и множество это соединение в некое целое определенных хорошо различимых объектов нашего созерцания или нашего мышления [78, с. 173]. Общеизвестно, что подобные концепции чересчур широки. Это обстоятельство обходится известной детализацией различий множеств и немножеств. Например, для обозначения неприемлемых слишком больших совокупностей множеств применяется термин класс. При этом подразумевается, что класс не обязан быть множеством. Иными словами, при формализации понятий наивной теории множеств более полно и тщательно регламентируются процедуры, позволяющие вводить то или иное канторовское множество в математический обиход. Все допущенные в математику множества совершенно равноправны. Само собой, отсюда никак не следует, что все множества равны или не имеют отличий. Просто множества однотипны, обладают общим статусом они элементы класса всех множеств.

2.1.5. Решающий новый момент, главная посылка, формирующая нестандартную теорию множеств, чрезвычайно проста. Она заключена в том, что множества бывают разные: стандартные и 16 Гл. 2. Наивные основы инфинитезимальных методов нестандартные. Поэтому правильнее говорить не о нестандартной теории множеств, а о теории множеств, стандартных и нестандартных. Интуитивное представление, выделяемое фразой: множество A стандартно, состоит в том, что A ясно и отчетливо описано, стало артефактом познавательной деятельности людей. Понятием стандартности проводится разграничительная линия между объектами, определяемыми явными математическими конструкциями, например, с помощью теорем существования и единственности, их называют стандартными множествами, и объектами, возникающими в процессе исследования неявным, косвенным образом нестандартными множествами.

Прямыми недвусмысленными способами заданы такие числа, как, e, sin 81, четко описаны множества натуральных и вещественных чисел. Названные объекты являются стандартными. В свою очередь, произвольное абстрактное вещественное число в рамках теоретико-множественной установки возникает косвенным образом, вводится как элемент ранее указанного множества всех вещественных чисел.

Подобный способ введения объектов в рассмотрение чрезвычайно распространен: вектор это элемент векторного пространства, фильтр множество подмножеств данного множества, обладающее к тому же известными свойствами и т. п. Значит, среди вещественных чисел есть стандартные и нестандартные, существуют стандартные и нестандартные векторы и фильтры и, вообще, имеются стандартные и нестандартные множества.

Разберем пример множества песчинок на Земле. Как указал Архимед в своем классическом сочинении Псаммит :...среди чисел, которые получили от нас название и опубликованы в написанной к Зевксиппу книге, некоторые превосходят не только число песчинок в объеме, равном заполненной, как мы сказали, Земле, но даже в объеме, равном миру [8, с. 358]. Значит, число песчинок на Земле конкретное натуральное число. Однако дать непосредственное определение этого числа, назвать именно это число практически невозможно. Последовательный перебор песчинок, очевидно, неосуществим.

Следовательно, количество песчинок на Земле выражается недоступным, неосуществимым, нестандартным натуральным числом и соответственно множество песчинок нестандартно.

Разумеется, приведенные взгляды на различия стандартных и 2.1. Понятие множества в нестандартном анализе нестандартных множеств имеют вспомогательное значение для овладения правилами оперирования с ними. Стоит провести аналогию с положением в геометрии, где интуитивные наглядные представления о пространственных формах помогают выработать навыки использования аксиом, составляющих, в конечном счете, строгие определения точек, прямых, плоскостей и т. п. Следуя А. Д. Александрову, необходимо отметить, что аксиомы сами по себе нуждаются в содержательном обосновании, они лишь суммируют другой материал и дают начало логическому построению теории [3, с. 51].

В связи с этим формальному введению аксиом нестандартной теории множеств необходимо предпослать их качественное обсуждение.

Как мы уже знаем, нестандартная теория множеств начинается с фиксации первичного наблюдения: множества бывают разные стандартные и нестандартные. Помимо этого принимаются следующие постулаты (или, более точно, варианты следующих постулатов).

2.1.6. Принцип переноса: обычное математическое утверждение, доказывающее существование некоторого множества, задает одновременно и стандартное множество.

Иными словами, теоремы существования и единственности, принятые в классической математике, считаются вполне явными определениями математических объектов. Эквивалентная переформулировка приведенного принципа, разъясняющая смысл его названия, гласит: для того чтобы доказать какое-либо утверждение обо всех множествах, достаточно доказать его только для стандартных множеств. Интуитивным обоснованием принципа переноса служит тот бесспорный факт, что суждения, относящиеся к произвольным множествам, мы выносим, оперируя только с уже реально описанными со стандартными множествами.

Размышления над смыслом принципа переноса показывают, что в нем речь идет о двух аспектах представлений о стандартных объектах. Первый заключен в том, что новые стандартные объекты возникают из уже имеющихся с помощью описаний типа теорем существования и единственности, т. е. постулируется допустимость рекурсии. Это обстоятельство можно выразить заключением, что в стандартном непустом множестве имеется стандартный элемент и что объект, конструируемый или определяемый единственным образом из уже имеющихся стандартных элементов, сам стандартен.

18 Гл. 2. Наивные основы инфинитезимальных методов Второй аспект представлений о стандартности, выраженный принципом переноса, неразрывно связан с первым и означает представительность мира стандартных объектов в универсуме всех изучаемых множеств. Можно сказать, что постулируется возможность индукции познаваемость идеальных конструкций с помощью изучения реально доступных стандартных объектов.

2.1.7. Принцип идеализации: в каждом бесконечном множестве имеется нестандартный элемент.

Адекватность приведенного положения общим представлениям о бесконечности несомненна. Принцип идеализации в дальнейшем часто дается в более сильных формах, отражающих концепцию неисчерпаемого разнообразия идеальных объектов. Например, иногда принимают, что все стандартные множества являются элементами некоторого конечного множества. Число элементов такого универсального множества колоссально и, что важнее всего, недоступно нестандартно. Поэтому не может вызывать удивление нестандартность самого универсального множества.

Полезно подчеркнуть, что при работе с изложенными первыми двумя постулатами (как, впрочем, и везде) необходимо проявлять осторожность. Так, в силу принципа переноса стандартное множество определяется своими стандартными элементами однозначно в среде сородичей стандартных множеств. Однако рассматриваемое множество не сводится, вообще говоря, к принадлежащим ему стандартным элементам. Могут существовать другие, нестандартные множества, содержащие в себе весь запас стандартных элементов исходного множества и не имеющие никаких иных стандартных элементов. Еще одно достойное упоминания обстоятельство заключается в том, что, как и в обычной теории множеств, понятие утверждение следует применять осмотрительно. В принципе переноса речь должна идти об обычных математических предложениях, не апеллирующих к новому, описанному на содержательном уровне свойству множеств быть или не быть стандартными. В противном случае, исходя из того, что все стандартные множества стандартны, мы сделали бы вывод о стандартности произвольного множества.

Последнее заключение противоречит принципу идеализации. Итак, констатация того, что некоторое множество стандартно, это не обычное утверждение.

2.1. Понятие множества в нестандартном анализе 2.1.8. Принцип стандартизации: каждое стандартное множество и любое свойство определяют новое стандартное множество подмножество исходного множества, стандартные элементы которого обладают названным свойством.

Подробнее говоря, пусть A это рассматриваемое стандартное множество и P какое-либо свойство. Принцип стандартизации утверждает, что имеется стандартное множество, обозначаемое обычно {x A : P (x)} и удовлетворяющее соотношению y {x A : P (x)} y {x A : P (x)} для всякого стандартного y.

Множество {x A : P (x)} часто называют стандартизацией, опуская указания на параметры, участвующие в его определении.

Интуитивное обоснование принципа стандартизации состоит в том, что, имея в наличии явные описания математических объектов, мы можем оперировать составленными из них по тем или иным законам новыми вполне конкретными множествами.

Стандартизация дополняет общепринятый метод выделения подмножеств с помощью отбора элементов с наперед заданным свойством. При обдумывании принципа стандартизации полезно обратить внимание на то, что в нем ничего не говорится о нестандартных элементах возникающего множества. Это неслучайно, такие элементы могут обладать, а могут и не обладать рассматриваемым свойством. Стоит здесь же подчеркнуть, что принцип стандартизации нужно применять с должной осмотрительностью. Попытка самовольно стандартизовать универсальное множество, содержащее все стандартные множества, приводит к немедленному противоречию.

2.1.9. Приведенные постулаты кладутся в основу аксиоматических изложений нестандартной теории множеств. Мы обсудим их детально несколько позже, а пока можно, не отклоняясь от В. А. Зорича, заявить: В целом любая из существующих аксиоматик такова, что она, с одной стороны, избавляет от известных противоречий наивной теории, а с другой обеспечивает свободу оперирования с конкретными множествами, возникающими в различных отделах математики и в первую очередь именно в математическом анализе, понимаемом в широком смысле слова [70, с. 18–19].

20 Гл. 2. Наивные основы инфинитезимальных методов 2.2. Простейшие свойства стандартных и нестандартных вещественных чисел Перейдем к знакомству с новыми свойствами классической числовой прямой, изучать которые позволяют принципы нестандартного анализа.

2.2.1. Для множества A условимся писать a A вместо выражения: a стандартный элемент A.

2.2.2. Имеют место утверждения:

(1) справедлив принцип индукции по стандартным натуральным числам, т. е. если A множество, для которого 1 A и при n N верно n A n + 1 A, то A содержит все стандартные натуральные числа:

(2) конечное, т. е. не допускающее взаимнооднозначного отображения на собственное подмножество, множество, составленное из стандартных элементов, стандартно;

(3) стандартное конечное множество имеет только стандартные элементы;

(4) если множество имеет только стандартные элементы, (5) для бесконечного (= не являющегося конечным, ср.

(2)) стандартного множества A совокупность A не (1): Используя принцип стандартизации, образуем следующее (стандартное) подмножество натурального ряда: B := {n N :

n A}. Допустим, что B =. Тогда у B имеется наименьший стандартный (в силу принципа переноса) элемент m. По условию m = 1 (ибо 1 A). Кроме того, m A и, стало быть, m 1 A.

По принципу переноса m 1 N, т. е. m 1 B. Получим противоречивое неравенство m 1 m. Итак, B =, т. е. ( n N)(n A). Это и означает включение N A.

(2): Очевидное следствие принципа переноса.

(3): Одноэлементное стандартное множество имеет единственный (а потому стандартный) элемент. Число элементов конечного стандартного множества A стандартно. Кроме того, A = (A {a}) {a} для каждого a A. Учитывая, что число элементов A {a} также стандартно, мы можем применить принцип индукции (1).

(4): Непосредственное следствие принципа идеализации.

(5): Допустим, что A множество. На основании (4) заключаем: A конечно. В силу (2) A стандартное множество. По принципу переноса A = A и, стало быть, A конечно. Это противоречие.

2.2.3. Натуральное число N нестандартно (= неосуществимо) в том и только в том случае, если N больше любого стандартного натурального числа. Символически:

Достаточно заметить, что, например, в силу 2.2.2 для стандартного числа n из условия n > N вытекает, что N доступно:

2.2.4. В связи с 2.2.3 нестандартные натуральные числа называют актуальными бесконечно большими или недоступными. Используя традиционную вольность речи, говорят о бесконечных числах.

Вопреки следующему распространенному суждению: Эйлер довольно легкомысленно утверждал, что 1/0 бесконечность, хотя и не счел нужным определить, что такое бесконечность, а лишь ввел для нее обозначение, на самом деле Л. Эйлер прямо указывал [231, с. 89]:...бесконечное число и число, большее всякого могущего быть заданным, это синонимы.

Недоступность натурального числа N выражают символом N или, более полно, N +. Иногда пишут также N +.

Стоит подчеркнуть, что использование атрибута бесконечное для недоступного числа N может вызвать некоторое недоумение.

В самом деле, проводя последовательно теоретико-множественную точку зрения, мы видим, что соответствующее множество N конечно в теоретико-множественном смысле (ср. 2.2.2 (2)). Недоступность N не должна ассоциироваться с бесконечностью N как множества.

В действительности N конечное множество, число элементов которого нестандартно. Именно этот смысл вкладывается (в рамках теоретико-множественной установки) в понятие актуального бесконечно большого натурального числа N.

22 Гл. 2. Наивные основы инфинитезимальных методов 2.2.5. Имеют место утверждения:

(4) у любого недоступного составного натурального числа имеются недоступные делители;

(6)... если 1 обозначает бесконечно большое число, то число, хотя бы и бесконечно большое, может стать (7) пусть t вещественное положительное число. Целая часть t недоступна в том и только в том случае, если недоступно t, т. е. t больше любого стандартного (8) пусть : N N строго возрастающая стандартная Докажем только (7) и (8), так как прочие утверждения проверяются более просто.

(7): Если целая часть s числа t недоступна и ( r R) t r, то t n для некоторого n N. Значит, будет n + 2 s t n, что нелепо. Итак, t +. Если же t +, то s + 1 t, где s целая часть t. Значит, s + 1 +. В силу 2.2.5(2) отсюда вытекает, что (8): Пусть сначала (N ) + и n N. Тогда число (n) доступно, т. е. (n) N и, стало быть, (N ) > (n). В силу строгой монотонности выводим: N > n, т. е. N +.

Допустим теперь, что N +. Тогда для n N будет N > n и, следовательно, (N ) > (n) n. Окончательно (N ) +.

2.2.6. Пусть R расширенная числовая прямая, т. е. R := R {, +}, где +, присоединенные к R наибольший и наименьший элементы. Множество := {+, } удобно называть (символической) потенциальной бесконечностью и соответственно говорить об элементе + (или ) как о положительной или отрицательной (символической) бесконечности.

Число t R называют доступным, если найдется стандартное число n N, для которого |t| n. Условие доступности t из R символически записывают как t ltd(R) или t R. Элементы из R, не являющиеся доступными, называют недоступными или актуальными бесконечными числами. Пишут t + для t R и t > 0.

По аналогии понимают записи t и t. Часто используют условное соглашение t + t µ(+) и словесные обороты типа число лежит в монаде бесконечно удаленной точки (в монаде плюс-бесконечности).

Число t R называют бесконечно малым или, более полно, актуальным бесконечно малым, если для всякого n N верно |t| 1/n. При этом пишут t 0 или t µ(R) и говорят, что t лежит в монаде нуля. (Символ µ(R) используют наряду с обозначением µ(0), подчеркивая очевидную связь с единственной отделимой векторной топологией на R.) Бесконечно малые называют также инфинитезималями, реже используют неудачный термин дифференциалы.

Если x y и разность между x и y не бесконечно мала, то пишут записывают также и формулой |t| +.

2.2.7. Термин монада (M) восходит к глубокой древности и традиционно без достаточных оснований переводится как единица.

По первому определению книги седьмой Начал Евклида монада есть то, через что каждое из существующих считается единым [178, с. 9].

Приведем здесь некоторые качественные разъяснения представлений об устройстве монад, высказанные Секстом Эмпириком:

...Пифагор говорил, что началом сущего является монада, по причастности к которой каждое из сущего называется одним [203, с. 361];

...точка устроена по типу монады, ведь, как монада есть нечто неделимое, так и точка, и, как монада есть некое начало в числах, так и точка есть некое начало в линиях [203, с. 364];

24 Гл. 2. Наивные основы инфинитезимальных методов...единое, поскольку оно есть единое, неделимо, и монада, поскольку она есть монада, не делится. Или если она делится на много частей, она становится совокупностью многих монад, а уже не [просто] монадою [203, с. 367].

Изучением монад, их статуса и строения в полном объеме мы займемся несколько позже. Начнем же с рассмотрения элементарных свойств инфинитезималей или, что эквивалентно, монады бесконечно малых.

2.2.8. Справедливы следующие утверждения:

... если z становится количеством, меньшим любого могущего быть заданным количества, т. е. бесконечно малым, то значение дроби z должно быть бльшим, чем любое могущее быть заданным колио чество, т. е. бесконечно большим количеством Отсюда |s + t| |s| + |t| (2n)1 + (2n)1 = n1, т. е. число s + t бесконечно мало.

(2) Пусть s R и s = 0 (иначе нечего доказывать). Возьмем n N. Привлекая условие, видим, что |s| m для некоторого m N. Итак, |t| (nm)1. Отсюда |st| |s| |t| m(nm)1 = n1, т. е. st 0.

n N. Ясно, что |1/z| 1/n, т. е. 1/z не является бесконечно малым числом. Наоборот, если z, то для всякого конечного n будет |z| n, откуда и вытекает: z 1 0.

(4) Имеем |t| 21 |t|, как только t стандартно. Последнее невозможно при |t| > 0. Значит, t = 0.

2.2.9. Монада µ(R) это не множество.

Допустим противное. Тогда µ(R) подмножество R. Для каждого t > 0, t R будет t µ(R). Значит, t s := sup µ(R).

Ясно, что число s бесконечно малое. Кроме того, 2s s s = 0. Но это противоречит наличию нестандартных (актуальных) бесконечно малых чисел.

2.2.10. При работе с вещественными числами удобно выделять различные случаи их взаимного расположения.

(здесь r = 0). Числа s и t при этом называют r-близкими, или бесконечно близкими по модулю r. В случае r = 1 пишут просто s t и говорят о бесконечной близости s и t.

Родоначальники анализа бесконечно малых часто не отличали числа, бесконечно близкие к определенному числу, от самого этого числа. Такое положение Л. Эйлер выражал словами:...бесконечно малое количество есть точно нуль [231, с. 92]. В этой связи вместо символа x y для x R, y R раньше применяли запись x = y. Г. В. Лейбниц отмечал в этой связи: я считаю равными не только те величины, разность которых есть совершенное ничто, но и те, разность которых несравненно мала [145, с. 188], подчеркивал в другом месте, что...ошибка неуказуема и не может быть дана посредством какого бы то ни было построения [236, с. 195].

t = O(s), то говорят, что s и t имеют один и тот же порядок ; если s/t 0, то пишут s = o(t) и говорят, что s имеет больший порядок малости чем t; наконец, если s t = o(t) и s t = o(s), то s и t называют эквивалентными и пишут s t. = Излагая свои взгляды о природе малых высших порядков, Г. В. Лейбниц писал: Я бы хотел прибавить еще одно замечание, чтобы прекратить все споры о реальности разностей любого порядка, а именно, что их всегда можно изобразить обыкновенными пропорциональными им прямыми отрезками... Я уже объяснил, как изображать обыкновенными прямыми отрезками разности первого порядка, когда впервые изложил начала этого исчисления в Acta за октябрь 1684 г. (см. [236, с. 188–190], ср. 1.1).

2.2.11. Для s, t R введем естественные сокращения:

Выполняются правила Э. Ландау:

26 Гл. 2. Наивные основы инфинитезимальных методов Проверим для определенности соотношение O + o O. Итак, пусть s = O(t) и r = o(t). Тогда s/t R и r/t 0. Таким образом, (s + r)/t R, т. е. s + r = O(t).

2.2.12. Для чисел s, t R равносильны утверждения:

Ясно, что (1) (2). Если, к примеру, t s = o(s), то выполняется (t s)/s 0, т. е. t/s 1 0. Отсюда для > 0 и R /(1 ) s/t 1 /(1 + ), т. е. s/t 1. Итак, (2) (3) (4).

Импликация (4) (1) бесспорна.

k k для k := 1,..., N. Справедливы утверждения:

Для доказательства заметим, что в силу 2.2.12 k + k k k + k при каждом стандартном > 0. Отсюда вытекает (1).

Кроме того, если t := k=1 |k | R, то как только стандартное n N таково, что |t| n.

2.2.14. Существует такое натуральное число N, что для каждого стандартного числа t из R произведение N t бесконечно близко к какому-то натуральному числу.

Возьмем конечное подмножество {x1,..., xn } в R, содержащее все стандартные вещественные числа, и какое-нибудь бесконечно малое положительное число > 0, 0. В теории чисел устанавливается следующая теорема принцип Дирихле для наборов : при любом > 0 и произвольных x1,..., xn R имеется такое целое число N N, что числа N x1,..., N xn отличаются от целых не более чем на. Остается применить эту теорему к указанным параметрам.

2.2.15. Полезно специально подчеркнуть, что бесконечную близость (как и эквивалентность) чисел нельзя назвать подмножеством произведения R R. В самом деле, в противном случае множеством оказался бы образ элемента нуль при этом отношении, т. е. монада µ(R). Однако, как мы установили, монада µ(R) множеством не является. Здесь же стоит подчеркнуть, что монада µ(R) неделима в следующем точном смысле: для каждого стандартного n верно:

n1 µ(R) = µ(R).

При продумывании роли монады µ(R) в построении системы целых чисел поучительно обратиться к определению 2 цитированной книги седьмой Начал Евклида: Число же множество, составленное из монад [178, с. 9]. Аналогично, вся нестандартная расширенная числовая прямая R и, что наиболее нетривиально, ее доступная часть R представляют собой наборы монад, размещенных в стандартных точках. Более строгая формулировка этого утверждения основывается на следующем фундаментальном факте, доказательство которого существенно опирается на принцип стандартизации.

2.2.16. Для произвольного доступного числа существует и притом единственное бесконечно близкое к нему стандартное число.

По принципу стандартизации при данном t R можно организовать стандартное множество A := {a R : a t}. Ясно, что A = и A n, где стандартное число n N таково, что n t n.

В самом деле, для каждого стандартного a A будет a t n. По принципу переноса заключаем: A n. В силу полноты R имеется s := sup A R. Очевидно, s стандартное число. Покажем, что s t. В противном случае при некотором стандартном > 0 будет |s t| >. Если s t, то получится s t +, т. е. s a + для каждого стандартного a A. Но тогда было бы s s +, что неверно.

Оставшаяся возможность s < t приводит к противоречию столь же скоро. В самом деле, было бы t > s + и вновь s s +.

2.2.17. Стандартное число, являющееся бесконечно близким к доступному числу t R, называют стандартной частью или тенью числа t и обозначают st(t) или t. Для удобства полагают также 28 Гл. 2. Наивные основы инфинитезимальных методов t = st(t) = +, если t +, и соответственно t = st(t) = при t (при этом, конечно же, считают, что + + и ). Таким образом, каждому (стандартному) t R отнесена его монада µ(t), т. е. элементы s из R, для которых s t.

Значит, расширенную прямую в нестандартном анализе нужно представлять себе в связи со схемой, указанной на рис. 2. Выделяя стандартное число t на оси R, мы рисуем жирную точку монаду µ( t) неделимое, точное изображение t. Если направить сильный микроскоп в район точки t, то в окуляре мы усидим расплывшееся облачко с неясными краями, представляющее образ µ(t). При выборе объектива с еще большей степенью увеличения наблюдаемый нами кусочек точки-монады детализируется, станет крупнее и частично выйдет из поля зрения. При этом всякий раз мы имеем дело с одним и тем же стандартным вещественным числом, которое, если угодно, описано приведенным процессом изучения микроструктуры физической прямой.

2.2.18. Справедливы утверждения:

(3) для произвольных элементов s, t R выполнены соотношения:

(4) переход от вещественного числа к его стандартной части не является множеством (и, в частности, функцией).

(1): Установим, например, мультипликативность перехода к стандартной части. Имеем: s st(s) ts t st(s). Помимо того, t st(t) st(s)t st(t) st(s). Окончательно st st(s) st(t). Осталось понять, что произведение стандартных чисел стандартно.

(2): Пусть s < t (иначе все и так ясно). Если s t, то st(s) = st(t). В противном случае монады µ(s) и µ(t) не пересекаются. Отсюда следует: s < t.

(3): В начальной эквивалентности правая импликация очевидна, а противоположная обеспечена тем, что при s t будет s каждого > 0, R. По принципу переноса это означает, что и при произвольном положительном будет s t + и, стало быть, s t. В свою очередь, если s < t, то, учитывая, что монады µ (s) и µ( t) не пересекаются, выводим: s < t + для всякого > 0, Для проверки стрелки вправо в нижней эквивалентности заметим, что s не лежит в монаде µ(t) числа t. Значит, вся монада s лежит левее монады t, т. е. µ(s) < µ(t). Следовательно, s < t. Наконец, для установления оставшейся импликации заметим, что при Поэтому для t t выполнено: t s.

(4): Если бы закон t st(t) был множеством, то множеством была бы монада µ(R) (ибо t µ(R) t = 0). Осталось учесть 2.2.9.

2.3. Начальные понятия математического Обсудим теперь фундаментальные понятия, связанные с дифференциальным и интегральным исчислением функций одной вещественной переменной.

2.3.1. Нестандартные критерии пределов. Для произвольной стандартной последовательности (an ) и любого стандартного числа a R имеют место утверждения:

(1) число a частичный предел (an ) в том и только в том случае, если для некоторого бесконечно большого N если для всех бесконечно больших номеров N член 30 Гл. 2. Наивные основы инфинитезимальных методов Приведенные утверждения проверяются вполне аналогично.

Поэтому установим лишь одно из них, например (2). Итак, пусть an a и для определенности будем считать, что a R (случаи a = + или a = разбираются по той же схеме). По условию для произвольного положительного числа > 0 и некоторого n N будет |aN a|, как только N N и n N. Значит, для стандартного > 0 найдется стандартное n с тем же свойством в силу принципа переноса. Каждое бесконечно большое N мажорирует найденное n, т. е. |aN a|. В силу произвольности это означает, что aN a.

Пусть, в свою очередь, известно, что для всех N + верно aN = a. Будем для определенности и разнообразия считать, что a :=. Возьмем произвольное стандартное число n N. Ясно, что для всех N M, где M какое-либо бесконечно большое число, будет aN n. Итак, для каждого стандартного n мы доказали нечто (именно, нечто : = ( M )( N M )(aN n)). По принципу переноса это нечто верно для всякого n N. Последнее, как всем известно, и означает, что an.

2.3.2. Подчеркнем достоинства найденных критериев. Мы увидели, что частичные пределы стандартной последовательности это в точности те доступные числа, которые отвечают бесконечно большим номерам. Иначе говоря, частичный предел представляет собой наблюдаемое значение некоторого бесконечно далекого члена последовательности. Приведенные утверждения имеют ясное интуитивное обоснование и чрезвычайно резко отличаются от обычных определений частичного предела как числа, к которому стремится некоторая подпоследовательность исходной последовательности, или как такого элемента прямой, что всякий интервал, его содержащий, пересекается с любым остатком хвостом рассматриваемой последовательности.

Поучительно ознакомиться с разъяснением понятия частичного предела [обобщенной] последовательности, которым Н. Н. Лузин сопроводил формулировку общепринятого определения (см. [150, с. 98– 99]): Читателю эта формулировка, без сомнения, в начале покажется громоздкой и отвлеченной. Но чувство неясности исчезнет, если читатель призовет на память привычное ему понятие,,переменного‘‘ и,,времени‘‘. В самом деле, чего хочет добиться данная формулировка, если ее перевести на язык,,переменного‘‘ и,,времени‘‘ ? Для того, чтобы понять это, рассмотрим переменное x, которое,,пробегает‘‘ данную числовую последовательность M, переходя от предшествующих чисел к последующим... данная формулировка на языке переменного и времени означает, что ([частичным]) пределом числовой последовательности M называется такое число a, от которого переменное x окончательно отделиться не может, так как,,по временам‘‘ величина переменного x делается сколь угодно,,близкой‘‘ к a.

В нестандартном анализе, прибегая к тем же образам, мы можем сказать еще нагляднее и яснее: если переменная x в какойнибудь бесконечно далекий момент времени бесконечно мало отличается от a, то a есть [частичный] предел M.

Переходя к обсуждению нестандартного критерия предела последовательности, обратимся к следующим указаниям Р. Куранта:

Мотивировка точного определения предела. Не следует удивляться, что тот, кто в первый раз слышит отвлеченное определение предела последовательности, не сразу его вполне поймет. Определение предела как бы заводит игру между двумя лицами A и B:

A требует, чтобы постоянная величина a могла быть приближенно представлена величиной an таким образом, чтобы отклонение было меньше заданной им, A, произвольной грани = 1. B выполняет это требование тем, что доказывает существование такого целого числа N = N1, что все an, начиная с элемента aN, удовлетворяют требованию 1. Тогда A хочет задать новую, меньшую грань = 2, B со своей стороны выполняет это требование тем, что находит новое целое число N = N2 (быть может, много большее), и т. д. Если B в состоянии всегда удовлетворить требования A, какую бы малую грань A ни задавал, тогда мы имеем ту ситуацию, которая выражается символом an a.

Существует, без сомнения, психологическая трудность в овладении этим точным определением предельного перехода. Наше наглядное представление внушает,,динамическую‘‘ идею предельного перехода как результата движения: мы,,пробегаем‘‘ последовательность чисел 1, 2, 3,..., n... и наблюдаем при этом поведение последовательности an. У нас такое ощущение, что при этом,,пробегании‘‘ приближение должно быть доступно наблюдению. Но эта,,естестГл. 2. Наивные основы инфинитезимальных методов венная‘‘ установка не допускает точной математической формулировки. Для того чтобы прийти к точному определению, необходимо обратить порядок рассмотрения: вместо того, чтобы сперва следить за аргументом n и затем рассматривать связанную с ним зависимую переменную an, мы основываем наше определение на шагах, которые допускают последующую проверку утверждения an a. При таком исследовании приходится сначала выбирать сколь угодно малый интервал, окружающий a, а затем проверять, возможно ли выполнить это условие, выбирая независимую переменную n достаточно большой. Так-то мы приходим к точному определению предела, присваивая выражениям,,сколь угодно малая грань‘‘ и,,достаточно большое n‘‘ символические имена и N [103, с. 66–67].

Разумеется, что признак, сформулированный в 2.3.1 (2): если для всех бесконечно больших N общий член aN невозможно отличить от стандартного числа a, то a объявляется (и является на самом деле) пределом (an ) удачно схватывает динамическую идею предельного перехода.

Следует всегда помнить при этом, что нестандартный критерий предела применим только к стандартным последовательностям и не верен, вообще говоря, для нестандартных плохо описанных последовательностей. Так, если an := N/n, где N +, то an 0 и в то же время aN = 1. Другими словами, критерий 2.3.1 дополняет современные представления о пределе, а не отвергает или отменяет их.

Более точно, определяя предел только для стандартных последовательностей, мы тем самым автоматически формируем стандартное множество всех сходящихся последовательностей с помощью принципа стандартизации. Иначе говоря, привычное -N -определение и непривычное определение с актуальными бесконечно большими и бесконечно малыми теснейшим образом взаимосвязаны, находятся в неразрывном единстве.

Полезно особо подчеркнуть, что в приложениях (в физике, в частности) приходится сталкиваться с реальными, явно описанными, т. е. стандартными последовательностями. Кроме того, в подобных ситуациях бесконечно большое имеет точный (физический) смысл прямо указывается горизонт граница, за которой числа объявлены неразличимыми. Учитывая также, что проблемы существования равным образом решаются на практике из содержательных соображений (если нет физической скорости, ее не стоит и искать), возникает задача опознания заведомо имеющегося предела стандартной последовательности. Нестандартный анализ дает простой рецепт: Возьмите общий член вашей последовательности с каким-нибудь (все равно каким) бесконечно большим номером; определяемое (с точностью до малых) этим членом число и есть искомый предел. В этой связи становится более понятной обоснованность методов родоначальников дифференциального и интегрального исчисления, которые искали ответы на вопросы о точных значениях конкретных стандартных объектов: площадей фигур, уравнений касательных к именным кривым, интегралов явно выписанных аналитических выражений и т. п.

2.3.3. Важным новым вкладом нестандартного анализа является формирование понятия предела конечной последовательности a[N ] := (a1,..., aN ), где N бесконечно большое натуральное число. Интуитивная идея, положенная в основу следующего определения, хорошо отражает практические приемы нахождения числовых характеристик необозримых дискретных совокупностей термодинамических параметров объемов жидкости или газа, оценок спроса населения и т. п.

2.3.4. Число a называют микропределом или околопредельным значением последовательности a[N ], если для всех бесконечно больших M, меньших N, будет aM a. При этом говорят также, что a[N ] почти сходится к a. В случае, когда a доступное число, стандартную часть a называют пределом (или S-пределом) последовательности a[N ] и пишут a = lim a[N ] или a = S-limnN an.

Итак, 2.3.5. Пусть (an ) стандартная последовательность, N + и a R. Следующие утверждения эквивалентны:

(2) последовательность (an ) сходится к a.

Импликация (2) (1) содержится в 2.3.1(2). Для доказательства (1) (2) возьмем произвольное стандартное > 0 и рассмотрим множество 34 Гл. 2. Наивные основы инфинитезимальных методов Множество A непусто, ибо N A. Значит, A содержит наименьший элемент m. Если m +, то m 1 + и по условию m 1 A.

Таким образом, m стандартно. Кроме того, если n m и n стандартно, то n N и |an a|. Итак, ( R, > 0) ( m N) ( n N) n m |an a|. По принципу переноса заключаем:

(an ) сходится к a.

2.3.6. Установленный признак дает точное обоснование принципа заданного горизонта, состоящего в том, что в конкретных исследованиях указывают физическое или экономическое актуальное бесконечно большое число, служащее как мерилом представительности исследуемой совокупности, так и естественной границей сверху.

2.3.7. Примеры.

Возьмем бесконечно большое i. Имеем i1 = 1 1 = 1.

Подробнее говоря (Л. Эйлер): Так как i есть число бесконечно большое, то i1 = 1; действительно, ясно, что чем большее число подi ставим вместо i, тем ближе значение i1 будет подходить к единице;

если i станет больше всякого заданного числа, то дробь i1 станет равна единице [230, с. 116].

Для каждого бесконечно большого N имеем 2N = (1 + 1)N N (N 1)/2, т. е. 0 N/2N 2/(N 1) 0. Итак, N/2N 0.

Для каждого натурального n выполнено a|,..., |a2N 1 a|, ибо все aM при M N бесконечно близки к a. Отсюда т. е. a = f (a). Найденное свойство вместе с положительностью l обеспечивают искомые оценки.

Осталось установить инвариантность построенного функционала относительно сдвигов: l( a) = l(a) для всех a l. Вновь можно считать, что последовательность a стандартна. В этом случае элемент a также стандартен и, следовательно, Здесь мы учли доступность чисел a2N /N и aN /N и 2.2.18.

2.3.8. Нестандартный критерий непрерывности. Пусть f стандартная числовая функция и x стандартная точка ее области определения dom(f ). Эквивалентны утверждения:

(2) f переводит точки, бесконечно близкие к x, в точки, (1) (2): Заметим прежде всего, что dom(f ) стандартное множество, и возьмем стандартное число > 0. Найдется > такое, что при |x x| и x dom(f ) будет |f (x ) f (x)|. В силу принципа переноса имеется и стандартное с тем же свойством.

Если x x и x dom(f ), то, конечно, |x x| (ибо R) и, стало быть, |f (x) f (x )|. В силу произвольности R это означает, что f (x ) f (x).

(2) (1): Возьмем произвольное > 0. Нам нужно подыскать, фигурирующее в --определении. По принципу переноса достаточно найти такое лишь для стандартного. В последнем же случае в качестве можно взять любое актуальное бесконечно малое положительное число.

2.3.9. В связи с 2.3.8 (2) функцию f : dom(f ) R называют микронепрерывной в точке x из dom(f ), если при x dom(f ) и x x будет f (x ) f (x).

38 Гл. 2. Наивные основы инфинитезимальных методов 2.3.10. При обсуждении найденного нестандартного критерия, состоящего в том, что непрерывность и микронепрерывность для стандартных функций в стандартной точке совпадают, можно повторить аргументацию, приведенную в 2.3.2. Стоит подчеркнуть, следуя Р. Куранту, что как и в случае предела последовательности, определение Коши покоится, так сказать, на обращении интуитивно приемлемого порядка, в каком хотелось бы рассматривать переменные. Вместо того, чтобы рассматривать сперва независимую, а затем зависимую переменную, мы сначала направляем свое внимание,,на границу точности‘‘ для зависимой переменной, а потом пытаемся ограничить соответствующую,,арену‘‘ для независимой переменной [103, с. 73]. Нестандартный критерий освобождает нас от неприятного обращения кванторов для всех доступных нам стандартных функций и точек. В то же время --определение в полном объеме лишь косвенно восстанавливается через микронепрерывность в точке с помощью процедуры стандартизации. Так что вновь, как и следовало ожидать, стандартный и нестандартный подходы демонстрируют свое непростое подлинное единство. Интересным приобретением является новое математическое свойство микронепрерывность функции в точке. Понять микронепрерывность в большем объеме помогают следующие утверждения.

2.3.11. Примеры.

(1) Функция x x2 не является микронепрерывной в каждой бесконечно большой точке t R.

(2) Пусть строго положительное бесконечно малое число. Рассмотрим функцию x sin(x1 ), доопределяемую в нуле нулем. Эта функция разрывна в нуле и микронепрерывна в нуле.

Достаточно заметить, что sin x R для x R, и сослаться на свойства бесконечно малых чисел 2.2.8.

2.3.12. Нестандартный критерий равномерной непрерывности. Для стандартной числовой функции f, определенной на стандартном множестве dom(f ), справедливы утверждения:

(1) f микронепрерывна, т. е. f микронепрерывна в каждой точке из dom(f ) символически:

(2) f равномерно непрерывна.

(1) (2): Пусть > 0 стандартное число и > 0 бесконечно мало. Ясно, что при |x x | будет x x. Значит, Привлекая принцип переноса, убеждаемся в равномерной непрерывности f.

(2) (1): В силу принципа переноса для каждого стандартного > 0 и некоторого стандартного > 0 будет |x x | |f (x) f (x )| при любых x, x dom(f ). Замечая, что x x |xx |, приходим к требуемому.

2.3.13. Нестандартный критерий производной. Пусть f стандартная функция, определенная в стандартной окрестности стандартной точки x из R. Эквивалентны утверждения:

(2) для каждого ненулевого бесконечно малого числа h Требуемое есть прямое следствие 2.3.8.

2.3.14. Пусть y стандартная функция, определенная в окрестности стандартной точки x и дифференцируемая в этой точке.

Пусть, далее, dx произвольное ненулевое бесконечно малое число. Обозначим (следуя Г. В. Лейбницу) символом dy дифференциал функции y в точке x, примененный к элементу dx. Тогда По определению Г. В. Лейбница, с учетом 2.3.9, имеем Значит, что доказывает первую часть утверждения. Вторая часть следствие 2.3.10.

40 Гл. 2. Наивные основы инфинитезимальных методов 2.3.15. Приведенные в 2.3.13 и 2.3.14 нестандартные толкования роли бесконечно малых при определении производных, дифференциалов и приращений дополняют указания Л. Эйлера:

В дифференциальном исчислении я уже отметил, что задачу разыскания дифференциалов нужно понимать не в абсолютном, а в относительном смысле; это значит, что если y есть некоторая функция от x, то нужно определить не столько сам ее дифференциал, сколько его отношение к дифференциалу dx. Действительно, так как все дифференциалы сами по себе равны нулю, то какова бы ни была функция y количества x, всегда dy = 0; таким образом, в абсолютном смысле здесь чего-нибудь большего нельзя и искать.

Правильная же постановка вопроса такова: x получает бесконечно малое, т. е. исчезающее [= evanescens актуальное число, которое,,есть точно нуль‘‘] приращение dx; требуется определить, как относится к dx приращение, которое вследствие этого получает функция y. Правда, оба приращения = 0, однако между ними существует определенное отношение, которое и находится должным образом в дифференциальном исчислении. Так, если y = x2, то, как доказыdy вается в дифференциальном исчислении, dx = 2x, и это отношение приращений верно лишь в том случае, если приращение dx, которым порождается dy, считать равным нулю. Тем не менее после того, как сделано это предостережение об истинном понятии дифференциала, допустимо пользоваться и общепринятыми выражениями, в которых о дифференциалах говорится как бы в абсолютном смысле, лишь бы мысленно всегда иметь в виду истину. Так мы вправе сказать: если y = x2, то dy = 2xdx. Правда, если бы кто-либо сказал, что dy = 3xdx или что dy = 4xdx, то и это не будет ложным, ибо также и эти равенства имеют место вследствие того, что dx = 0 и dy = 0.

Но лишь первое равенство согласуется с истинным соотношением dx = 2x [232, с. 9].

Полезно отметить, что Л. Эйлер употребляет знак = там, где мы пишем (см. 2.2.10). Кроме того, следует подчеркнуть, что он ищет дифференциал, который считает имеющимся, работая с конкретными (дифференцируемыми) функциями. В этой связи вполне правомочно использовать для нахождения дифференциала любое как угодно подобранное бесконечно малое dx.

Итак, для Л. Эйлера с полным основанием дифференциал dy (вычисляемый при бесконечно малом dx) есть точно нуль, диффеНачальные понятия анализа на прямой ренциал dy есть точно приращение абсолютный дифференциал и в то же время дифференциал dy четвертый пропорциональный при бесконечно малых приращениях, т. е. в наших обозначениях:

Проведенный анализ показывает корректность представлений и методов Л. Эйлера при работе с явно заданными стандартными объектами (функцией y и точкой x) в существеннейшем предположении бесконечной малости dx.

В свете изложенного необходимо с должной критичностью подойти к оценке следующих указаний Р. Куранта:...если мы хотим постигнуть сущность дифференциального исчисления, то должны остерегаться того, чтобы смотреть на производную как на частное двух действительно существующих (актуальных),,бесконечно малых величин‘‘. Дело обстоит так, что мы всегда должны сперва образовать отношение приращений y/ x, где разность x не равна нулю. Затем следует представить себе, что путем преобразования этого отношения или каким-либо другим путем совершен переход к пределу. Но ни в коем случае нельзя представлять себе, что сперва совершает какой-то переход от x к бесконечно малой величине dx, которая все же отлична от нуля, и от y к dy и затем делим эти,,бесконечно малые‘‘ друг на друга. Такой взгляд на производную совершенно несовместим с требованием математической ясности понятий, да и вообще не имеет смысла [103, с. 126–128]. Чрезмерная жесткость последней фразы лишь отчасти смягчается дальнейшим разъяснением: Физик, биолог, техник или всякий другой, кому приходится практически иметь дело с этими понятиями, имеет поэтому право, в пределах требуемой точности, отождествить производную с отношением приращений...

...,,физически бесконечно малые‘‘ величины имеют точный смысл.

Это, безусловно, конечные, отличные от нуля величины, только выбранные в рассматриваемом вопросе достаточно малыми, например меньше какой-то доли длины волны или меньше расстояния двух электронов в атоме и т. п., вообще меньше некоторой желательной степени точности [103, с. 135].

42 Гл. 2. Наивные основы инфинитезимальных методов 2.3.16. Нестандартное представление интеграла Римана. Пусть f : [a, b] R стандартная непрерывная функция и k [xk, xk+1 ] и xk xk+1 для k := 1,..., N. Тогда справедливо равенство Следует заметить, прежде всего, что N бесконечно велико, и воспользоваться как определением интеграла, так и нестандартными критериями предела 2.3.1 и равномерной непрерывности f 2.3.12.

2.3.17. Основной принцип интегрального исчисления.

...Возможно при вычислении суммы бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых [одного знака] откидывать от каждого слагаемого бесконечно малую высшего порядка.

Пусть имеется сумма k=1 k = t, где k 0. По условию заданы k := k o(k ). В силу 2.2.13 (2) выводим k k и, стало быть, Это и требовалось.

2.3.18. Приведенные утверждения дают формальное обоснование представления интеграла в виде конечной суммы бесконечно малых элементов, т. е. оправдывают идущее из глубокой древности понимание интегрирования как своеобразного процесса суммирования. Полезно в этой связи привести здесь определение интеграла ( с переменным верхним пределом ), данное Л. Эйлером:

Интегрирование обычно определяется так. Говорят, что это есть суммирование всех значений дифференциального выражения Xdx, если переменному x придавать последовательно все отличающиеся друг от друга на разность dx значения, начиная с некоторого данного значения вплоть до x, разность же эту считать бесконечно малой... Из изложенного же метода, во всяком случае, ясно, что интегрирование можно получить из суммирования с любой точностью;

точно же его нельзя совершить иначе, как положив, что разности являются бесконечно малыми, т. е. нулями [232, с. 163].

Стоит вновь подчеркнуть, что для поиска интеграла стандартной непрерывной функции в силу приведенных выше фактов следует найти точное значение (= стандартную часть) всего одной конечной суммы бесконечно большого числа малых слагаемых, в которой можно отбрасывать малые высших порядков. Для нестандартных функций этот прием, вообще говоря, не действует. Иначе говоря, как и в предыдущих случаях, мы обнаруживаем, что нестандартные представления об объектах математического анализа дополняют, уточняют и развивают (но ни в коей мере не отменяют) свои классические аналоги.

2.3.19. Отмеченные обстоятельства свидетельствуют, что нестандартный анализ в его теперешних формах прямой наследник исчисления бесконечно малых. Именно поэтому сейчас все большее распространение получает термин инфинитезимальный анализ.

Последний значительно точнее отражает суть дела, чем несколько экстравагантное название нестандартный анализ, довольно часто вызывающее в конечном счете оправданное раздражение.

Стоит обратить особое внимание на то, что концепция актуальных бесконечно больших и бесконечно малых величин за последние триста лет никогда не исчезала из арсенала рабочих средств естествознания, а лишь отсутствовала в математике в течение примерно тридцати лет. Это позволяет нам не останавливаться подробнее на значении нестандартных методов.

Теоретико-множественные формализмы нестандартного анализа Проведенное нами на содержательном наивном уровне обсуждение различий между стандартным осуществимым и нестандартным косвенным способами задания объектов позволило вложить согласующийся с интуицией смысл в понятия актуальных бесконечно большого и бесконечно малого чисел. В качестве замечательного приобретения удалось глубже освоить способы рассуждения, принятые при оформлении математического анализа.

В то же время уже в простейших примерах мы сталкиваемся с серьезными трудностями. Прежде всего, остается неясным способ различения стандартных объектов от нестандартных, что заставляет считаться с возможностью неправильного применения принципов нестандартного анализа. Растущую тревогу вызывает появление объектов, сформированных по виду вполне приемлемыми математическими конструкциями, за которыми без противоречий не удается признать статуса наивных множеств. Здесь стоит назвать всевозможные монады, совокупности стандартных элементов, объекты, Еще более неприятно, что математический закон x x, действующий из R в R, не является функцией. Дело в том, что понятие функции сформировано в математике задолго до появления теоретико-множественной установки. Так, еще в 1755 г. Л. Эйлер писал: Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменениям, то первые называются функциями вторых. Это наименование имеет чрезвычайно широкий характер; оно охватывает все способы, какими одно количество может определяться с помощью других. Итак,... все количества, которые как-либо зависят от x, т. е. определяются им, называются его функциями [231, с. 38].

Динамическая идея преобразования одних объектов в другие не охватывается полностью господствующим сейчас стационарным теоретико-множественным представлением о функции как о множестве. Последнее является формальной теоретико-множественной моделью интуитивной идеи функции моделью, которая охватывает лишь один аспект этой идеи, а не все ее значение в целом [38, с. 32].

Напомним в этой связи, что при s, t [0, 1] выполнено:

и, кроме того, t = 0 в некотором подынтервале t [0, h], где h строго положительное число (любое актуальное бесконечно малое).

Наличие такой числовой функции вопит о противоречии или, деликатно говоря, свидетельствует наличие антимоний.

Названные обстоятельства требуют немедленного и явного уточнения используемых нами концепций и средств, указания фундамента, на котором они строятся.

Нестандартный анализ, как мы уже отмечали, получает обоснование в рамках теоретико-множественной установки. Точнее говоря, оказывается, что развитые выше представления наивной нестандартной теории множеств могут быть поставлены на те же (и, значит, столь же прочные) основы, на которых покоится канторовская теория или, что более строго, приближающие ее снизу аксиоматические теории множеств.

Для того чтобы яснее осознать связи математического анализа и теории множеств, стоит сопоставить следующие высказывания:

...анализ... есть сама наука о бесконечном.

...математический анализ является просто наукой о бесконечном. Это старое его определение идет через века...

МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ, раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств, преимущественно бесконечных. Большой энциклопедический словарь Следовательно, самим понятием бесконечность анализ накрепко связан с теорией множеств. В то же время никогда не нужно забывать, что классические работы Г. Кантора появились спустя двести лет после открытия математического анализа.