«ВВЕДЕНИЕ Электротехника, объединяя знания соответствующих разделов физики и математики, развивает их в направлении понимания сущности работы различных электротехнических устройств и методов их расчёта. Поэтому курс ...»

ВВЕДЕНИЕ

Электротехника, объединяя знания соответствующих разделов физики и математики, развивает их в направлении понимания сущности работы различных электротехнических устройств и методов их расчёта. Поэтому курс электротехники является базой для многих последующих

специальных дисциплин студентов и основой грамотности инженеров

самых различных специальностей.

Изучение курса электротехники студентами-заочниками в соответствии с предлагаемой методикой состоит из следующих этапов.

1. Самостоятельное изучение курса в соответствии с приведённой программой по одному из учебников, указанных в библиографическом списке. Значительное внимание в первой части курса уделяется характеристикам элементов и методам расчета линейных электрических цепей. Основная цель изучения методов заключается в совершенствовании навыков применения их для решения практических вопросов. При этом рекомендуется составлять конспект, записывая в нем основные законы, правила, определения, формулы, единицы измерения величин, типовые графики и векторные диаграммы, рекомендованные методики, алгоритмы расчета и др. В этом же конспекте следует приводить решения типовых задач для самоконтроля, которые могут быть взяты либо из данных методических указаний, либо из учебников или задачников. Такой конспект, если он составлен правильно, является в дальнейшей работе основным средством как при выполнении контрольных заданий и лабораторного практикума, так и при подготовке к экзамену.

2. Разбор решений приведённых в пособии типовых задач по отдельным темам программы курса электротехники.

3. Решение приведённых в пособии контрольных задач. Решённые задачи необходимо оформить в виде контрольной работы и направить в методический кабинет в указанные сроки. Вариант контрольных задач определяется двумя последними цифрами шифра.

4. Выполнение лабораторного практикума, направленного на проведение экспериментального исследования электрических цепей и их элементов.

5. Подготовка к решению в ИГЭУ задач на компьютере.

6. Сдача экзамена по электротехнике. На экзамене студент должен показать знание теоретического материала и умение решать с помощью компьютера конкретные задачи, аналогичные задачам контрольных работ.

При анализе решённых задач и при решении контрольных задач по теории цепей рекомендуется придерживаться следующих правил:

1. Ясно понять условие задачи: что дано и что неизвестно.

2. Детально изучить электрическую схему цепи: сколько ветвей, узлов, контуров в схеме, как соединены между собой отдельные элементы.

Подумать, нельзя ли изобразить схему проще, чтобы нагляднее были видны все соединения.

3. Проанализировать заданные параметры элементов, не приводит ли данное сочетание параметров к возникновению особых режимов (например, резонансов).

4. Продумать план решения, вспомнить, не была ли рекомендована в учебниках, задачниках, на лекциях целесообразная методика решения подобных задач. Например, последовательность действий при составлении уравнений по законам Кирхгофа, по методу контурных токов, методу узловых потенциалов и др.

5. При описании электромагнитных процессов в цепях уравнениями придерживаться существующих правил знаков.

6. При преобразовании исходной схемы целесообразно новую схему нарисовать отдельно с указанием условных положительных направлений токов в ветвях и обозначением одинаковыми символами соответственных узлов (точек). Иногда может оказаться полезным изменить начертание схемы для удобства ее анализа и наглядности способов соединения элементов.

7. В ходе решения задачи необходимо контролировать каждый шаг, анализировать его результат логически (может ли быть такое в данной цепи?), сопоставлять размерности суммируемых величин, оценивать правдоподобность численных ответов.

8. Правильность численных результатов расчета можно проверить подстановкой их в исходные уравнения. При этом следует учитывать особенности того или иного метода расчета. В методе узловых потенциалов целесообразно делать проверку рассчитанных токов по первому закону Кирхгофа, а в методе контурных токов – по второму. Во всех случаях положительный эффект дает проверка по уравнениям баланса мощностей.

1. ПРОГРАММА КУРСА «ЭЛЕКТРОТЕХНИКА»

1.1. Свойства и методы расчета линейных электрических цепей при синусоидальных и постоянных напряжениях и токах Электрическая цепь и ее элементы. Активные и пассивные двухполюсники. Линейные и нелинейные элементы.

Основные интегральные величины и понятия электромагнитного поля, применяемые в теории электрических цепей.

Узлы и ветви электрической цепи. Законы Кирхгофа. Обобщенный закон Ома.

Источники энергии, их внешние характеристики. Представление реальных генераторов источниками тока и напряжения, их взаимные преобразования.

Закон сохранения энергии для электрической цепи. Мгновенная мощность и энергия.

Применение переменного тока в технике. Способы получения синусоидальных напряжений и токов.

Действующие значения гармонических величин.

Понятия, относящиеся к синусоидально изменяющимся величинам:

фаза, начальная фаза, фазовый сдвиг, амплитуда, частота.

Комплексные величины, характеризующие установившиеся процессы в электрической цепи: комплексная амплитуда, комплекс действующего значения, комплекс мгновенного значения.

Синусоидальный ток в отдельных элементах электрической цепи.

Активные, реактивные и полные сопротивления и проводимости пассивных двухполюсников в цепи синусоидального тока. Комплексные сопротивление и проводимость.

Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме.

Энергетические процессы в цепи переменного тока. Активная энергия и реактивная энергия. Измерение энергии.

Активная, реактивная и полная мощности в цепи синусоидального тока. Измерение активной мощности.

Коэффициент мощности. Понятие о некоторых способах его увеличения.

Расчёт мощности в комплексной форме. Баланс мощностей.

Векторное изображение гармонических величин. Векторные диаграммы, основные правила их построения.

Потенциальная (топографическая) диаграмма.

Уравнения состояния электрических цепей по методу контурных токов. Последовательность расчета токов в ветвях цепи указанным методом.

Система уравнений по методу узловых потенциалов. Последовательность расчета токов в ветвях цепи данным методом.

Эквивалентные преобразования последовательно-параллельных электрических схем с источниками и без источников. Назначение указанных преобразований.

Преобразование соединения треугольником в эквивалентную звезду (и наоборот). Назначение указанных преобразований.

Метод наложения. Выражения для расчета цепи методом наложения.

Смысл входных и взаимных проводимостей.

Теорема об эквивалентном источнике (активном двухполюснике).

Последовательность расчета цепи методом активного двухполюсника.

Принцип взаимности в линейной электрической цепи.

Теорема о компенсации.

Оценка влияния изменения параметров на режим работы цепи. (Теорема о взаимных приращениях токов и напряжений.) Понятие об индуктивно связанных элементах цепи (цепи с взаимной индуктивностью). Разметка зажимов индуктивно связанных катушек.

Методы расчета электрических цепей с взаимными индуктивностями.

Трансформатор без ферромагнитного сердечника (линейный или "воздушный"). Уравнения и векторная диаграмма трансформатора.

Идеальный трансформатор.

Особенности уравнения баланса мощностей в цепях с взаимными индуктивностями.

Резонанс при последовательном соединении элементов цепи. Колебания энергии при резонансе. Частотные характеристики цепи и резонансные кривые.

Резонанс при параллельном соединении элементов цепи. Колебания энергии при резонансе. Частотные характеристики цепи и резонансные кривые.

Резонансы в сложных цепях. Общие условия резонанса.

Частотные характеристики чисто реактивных двухполюсников.

Условие передачи максимальной мощности от активного двухполюсника к пассивному на постоянном токе.

Условие передачи максимальной мощности от активного двухполюсника к пассивному на переменном токе.

Передача энергии по двухпроводной линии постоянного тока. Экономичность высоких напряжений при передаче электроэнергии на дальние расстояния.

Понятие о падении и потере напряжения в линии переменного тока.

1.2. Четырехполюсники Уравнения линейного пассивного четырехполюсника. Коэффициенты четырехполюсника, связь между ними и способы их определения.

Передаточная функция четырехполюсника, входное сопротивление при произвольной нагрузке, КПД.

Эквивалентные схемы четырехполюсника.

1.3. Понятие о матричных методах расчета электрических цепей Граф электрической цепи и его подграфы: ветвь, узел, путь, контур, дерево, сечение. Проиллюстрировать все понятия на примере.

Топологические матрицы графа: матрица соединений (узловая), матрица сечений, матрица контуров. Записать все указанные матрицы для конкретного графа.

Первый и второй законы Кирхгофа в матричной форме записи.

Обобщенный закон Ома.

Соотношения между топологическими матрицами.

Уравнения состояния электрической цепи для узловых потенциалов в матричной форме.

Матричные уравнения электрической цепи с напряжениями ветвей дерева.

Матричные уравнения для контурных токов.

1.4. Многофазные цепи Виды многофазных систем. Симметрия и уравновешенность многофазной системы.

Краткая история развития техники трехфазного тока. Преимущества трехфазных систем. Работы М.О. Доливо-Добровольского.

Трехфазный симметричный генератор.

Соотношения между линейными и фазными токами и напряжениями при симметрии и несимметрии трехфазной системы, при соединении звездой и треугольником.

Расчет симметричных трехфазных цепей.

Расчет несимметричного режима трехфазной цепи при соединении фаз приемника звездой с нейтральным проводом в двух случаях:

а) нейтральный провод обладает сопротивлением;

б) сопротивление нейтрального провода равно нулю.

Расчет несимметричных режимов трехфазной цепи при соединении приемника звездой без нейтрального провода, полагая заданной а) систему фазных ЭДС; б) систему линейных напряжений.

Случаи обрыва и короткого замыкания фаз нагрузки. Смещение нейтрали.

Расчет несимметричных режимов трехфазной цепи при соединении фаз приемника треугольником в двух случаях:

а) линейные провода обладают сопротивлениями;

б) сопротивления проводов равны нулю.

Случаи обрыва линейных и фазных проводов.

Простейшие фазоуказатели, их схемы и принцип работы.

Резонансные режимы в трехфазной цепи.

Мощности в трехфазной цепи.

Способы измерения мощности в трехфазной цепи.

Вращающееся магнитное поле трехфазной и двухфазной систем неподвижных обмоток.

Принцип действия асинхронного и синхронного двигателей.

Основные понятия и уравнения метода симметричных составляющих.

Свойства токов и напряжений различных последовательностей при различных соединениях трехфазной цепи.

Сопротивления трехфазной цепи для токов различных последовательностей.

Применение метода симметричных составляющих для расчета несимметричных коротких замыканий ("поперечная" несимметрия).

Применение метода симметричных составляющих для случая "продольной" несимметрии.

Выражение мощности трехфазной цепи через симметричные составляющие токов и напряжений.

1.5. Свойства и методы расчета линейных электрических цепей при несинусоидальных периодических напряжениях и токах Несинусоидальные периодические напряжения и токи в технике.

Представление их в виде ряда Фурье.

Действующие и средние значения несинусоидальных величин.

Коэффициенты, характеризующие форму несинусоидальных периодических кривых (коэффициенты амплитуды, формы, искажения, гармоник).

Метод расчета линейных электрических цепей с несинусоидальными источниками.

Влияние отдельных элементов цепи на форму кривой тока.

Мощность при несинусоидальных токах и напряжениях.

Особенности измерения негармонических токов и напряжений.

Резонансы в линейных электрических цепях при несинусоидальных источниках.

Высшие гармоники в трехфазных цепях при различных схемах соединения фаз генератора и приемника.

Порядок чередования фаз отдельных гармоник.

Несинусоидальные кривые с периодической огибающей. Биения и модуляция.

2. ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ

1. Исследование элементов электрических цепей.

2. Основные законы и методы расчета линейных электрических цепей.

3. Последовательное соединение активных и реактивных элементов цепи переменного синусоидального тока.

4. Параллельное соединение активных и реактивных элементов цепи переменного синусоидального тока.

5. Электрические цепи с взаимной индуктивностью.

6. Исследование трехфазной цепи при соединении треугольником.

7. Исследование трехфазной цепи при соединении звездой.

8. Исследование электрических цепей при несинусоидальных токах и напряжениях.

В зависимости от времени, отведенного на лабораторный практикум, отдельные работы могут выполняться либо по сокращенной программе, либо по расширенной (с элементами учебно-исследовательских заданий).

3. УКАЗАНИЯ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ВЫПОЛНЕНИЮ

И ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Учебное пособие и контрольные работы по электротехнике охватывают следующие основные темы.

1. Основные понятия постоянного и переменного токов.

2. Элементы электрических цепей и их характеристики при постоянном и переменном токах.

3. Свойства и характеристики электрических цепей.

4. Основные законы и методы расчета электрических цепей.

5. Цепи с взаимной индуктивностью.

6. Трёхфазные электрические цепи.

7. Несинусоидальные токи в электрических цепях.

8. Переходные процессы в линейных электрических цепях.

9. Нелинейные электрические цепи постоянного и переменного токов.

10. Магнитные цепи.

Основные понятия, используемые в перечисленных темах, приведены в виде кратких теоретических сведений, которые могут быть расширены с помощью литературы, приведённой в списке. Далее даются типовые задачи с развёрнутым решением, которое должно быть детально изучено, после чего необходимо решить контрольные задачи, оформить их в виде контрольных работ и направить в методический кабинет. Детальное изучение задач в контрольных работах необходимо для решения задач, соответствующих приведённым в учебном пособии, в ИГЭУ во время экзамена.

При оформлении контрольных работ необходимо придерживаться следующих правил:

1. Текст задания следует переписать полностью со всеми рисунками и числовыми значениями параметров своего варианта.

2. Решения задач должны сопровождаться объяснениями основных этапов. Необходимо приводить все основные этапы вычислений.

При применении готовых формул обязательно дать ссылку на соответствующую страницу учебника или задачника, откуда была взята данная формула.

3. Применять стандартные обозначения величин и единиц измерения.

После каждого числового результата следует написать соответствующие единицы.

4. Графики и векторные диаграммы выполнять на миллиметровке.

Указать, какие величины и в каких единицах отложены по осям.

Оси проградуировать равномерно. Числовые значения координат точек на кривых, по которым они строятся, не указывать (желательно привести таблицу их значений).

5. Векторные диаграммы строить на комплексной плоскости. График в целом, отдельные кривые на нем, а также векторные диаграммы должны иметь названия.

6. Номера индексов токов в ветвях рекомендуется выбирать соответствующими номерам ветвей и нумерации входящих в нее активных и пассивных элементов. В ходе расчета не рекомендуется менять принятые обозначения величин и условных положительных направлений токов.

7. При решении задачи символическим методом окончательные ответы для токов и напряжений должны быть даны в показательной форме, чтобы ясно были видны их модули и начальные фазы.

8. Все исправления сделанных рецензентами замечаний должны быть выполнены после текста первоначального решения. Не разрешается исправлять ошибки в рецензированном тексте.

4. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

4.1. Основные понятия переменного и постоянного токов Электрический ток в проводнике – это поток заряженных частиц под действием приложенного напряжения. Он бывает постоянным, т.е. неизменным по величине во времени, и переменным, т.е. изменяющимся во времени. В электротехнике переменным называется ток, периодически изменяющийся во времени. Периодичность изменения означает, что через некоторое время, называемое периодом Т, переменная величина будет иметь то же самое значение. Величина, обратная периоду, называется частотой: (f = 1/T) и измеряется в герцах. Очевидно, что для постоянного тока период Т = и частота f = 0.

В курсе ТОЭ – 1 рассматривается синусоидальное изменение переменных, т.е. ток, напряжение и ЭДС, изменяющиеся синусоидально. Поскольку в пределах периода они в разные моменты времени (мгновения времени) могут иметь разное значение, то эти величины называются мгновенными и обозначаются строчными латинскими буквами: i, u, e.

Графики изменения тока и напряжения во времени представлены на рис. 4.1. Аналогичный график имеет и ЭДС источников энергии.

Аналитические выражения для этих величин имеют вид Рис. 4.1. Графики синусоидального изменения напряжения и тока Здесь Im, Um, Em – амплитудные значения соответственно тока, напряжения и ЭДС; (щt + Ш) – фаза тока;

(щt + Ш ) – фаза напряжения; (щt + Ш ) – фаза ЭДС. В начальный момент времени (t = 0) синусоидально изменяющиеся величины имеют начальные фазы i, u, и e соответственно.

Все три мгновенных значения (ток, напряжение и ЭДС) объединяет одна величина – угловая частота, измеряемая в радианах в секунду (р/с) или (с-1).

Она связана с периодом синусоидально изменяющихся величин и с их частотой (в герцах) формулой щ = 2 р / T = 2рf ( с1 ).

Важно запомнить, что в одной линейной электрической цепи в установившемся режиме синусоидально изменяющиеся ток, напряжение и ЭДС могут иметь разные амплитуды и начальные фазы, но не могут иметь разные частоты и f и период T. То есть период и частота всех синусоидально изменяющихся величин одной электрической цепи одна и та же.

Мгновенные значения токов, напряжений и ЭДС показывают их действительное изменение во времени. На практике для оценки (измерения) синусоидально изменяющихся величин используется их действующее значение. Действующее значение переменного тока – это такой эквивалентный переменному постоянный ток, который в том же приёмнике энергии за тот же период времени совершает ту же самую работу или выделяет то же самое количество тепла.

Для синусоидально изменяющихся величин действующее значение тока, напряжения и ЭДС в корень из двух раз меньше их амплитудного значения.

4.2. Основные понятия о комплексных числах Рассмотренное представление синусоидально изменяющихся величин в виде тригонометрических функций наглядно, но неудобно для проведения расчётов электрических цепей. Значительные преимущества в этом случае имеют комплексные числа.

Число А называется комплексным, если в его состав входит действительная часть (а) и мнимая часть (jb), где j = 1 – мнимая единица.

Это алгебраическая форма записи комплексного числа. Оно может быть записано и в другой, показательной форме:

Здесь А – модуль комплексного числа; – аргумент этого числа.

Обе эти формы записи представляют одно и то же комплексное число:

Переход от алгебраической формы записи к показательной осуществляется по формулам При этом знак аргумента и его величина зависят от знаков действительной и мнимой частей алгебраической формы записи комплексного числа (от того, в каком квадранте находится вектор, соответствующий комплексному числу).

Переход от показательной формы записи к алгебраической осуществляется по формулам 4.3. Использование комплексных чисел для расчёта электрических цепей при синусоидально изменяющихся напряжениях, токах и ЭДС Если принять модуль и аргумент комплексного числа равными амплитуде и фазе тока, напряжения и ЭДС, то получим комплексы мгновенных значений этих переменных:

Обратите внимание на то (рис. 4.2), что при увеличении времени t вектор тока вращается против часовой стрелки с угловой частотой. А проекция этого вектора на мнимую ось будет полностью соответствовать мгновенному значению тока: i = I msin ( щt + Ш ).

Аналогично проекции векторов напряжения и ЭДС на мнимую ось будут соответствовать мгновенным значениям этих величин:

То есть для расчёта электрических цепей при синусоидальных токах, напряжениях и ЭДС можно использовать комплексные числа, математические операции с которыми выполняются достаточно просто. А для нахождения действительного (синусоидального) изменения рассчитанных с помощью комплексных чисел величин во времени необходимо взять мнимую часть результатов расчёта.

Для расчёта используются комплексы амплитудного значения:

где m, U m, Em – комплексы амплитудного значения тока, напряжения и ЭДС;

Im, Um, Em, i, u, e – амплитудное значение тока, напряжения и ЭДС и их начальные фазы.

Однако чаще для расчёта цепей и построения диаграмм (рис. 4.3) используются комплексы действующего напряжения, тока и ЭДС:

где, U, E – комплексы действующего значения тока, напряжения и ЭДС; I, U, E, i, u, e – действующие значения тока, напряжения и ЭДС и их начальные фазы.

Рис. 4.3. Векторы ЭДС, напряжения и тока на комплексной плоскости 4.4. Элементы линейных электрических цепей и их характеристики 4.4.1. Виды источников электрической энергии Источники электрической энергии – это активные элементы электрических цепей, преобразующие механическую, химическую, тепловую или световую энергию в электрическую. Они бывают постоянного и переменного токов. Однако их характеристики аналогичны, поэтому анализ паE раметров источников проведём на основе ис- I точников постоянного тока.

У идеальных источников напряжения (исU точников ЭДС) напряжение на зажимах не заUxx висит от величины потребляемого от них тока (рис. 4.4):

основные параметры: напряжение холостого хода (Uхх ), ток короткого замыкания (Iкз) и Рис. 4.4.1. Обозначение и внутреннее сопротивление (для источника ВАХ идеального постоянного тока Rвн). Uхх – это напряжение источника напряжения при токе, равном нулю. У идеального источника напряжения при любом токе напряжение равно Uхх. Iкз – это ток при напряжении, равном нулю. У идеального источника напряжения он равен бесконечности (Iкз = ). Внутреннее сопротивление определяется как отношение изменения напряжения к изменению тока. Поскольку напряжение у идеального источника напряжения неизменно при любом токе (U = 0), то его внутреннее сопротивление равно нулю:

При положительном напряжении и токе источник отдаёт энергию в электрическую цепь и работает в режиме генератора (Г). При обратном направлении тока источник принимает энергию из цепи и работает в режиме приёмника (П).

У идеального источника тока величина тока не зависит от величины напряжения на зажимах (рис. 4.5):

Рис. 4.5. Обозначение и При обратном направлении напряжения исВАХ идеального источниточник принимает энергию из цепи и рабока тока Рис. 4.6. Обозначение и ВАХ реального источника напряжения 4.4.2. Пассивные элементы электрических цепей К пассивным элементам электрических цепей относятся резисторы (R), катушки индуктивности (L) и конденсаторы (С). Они являются линейными элементами, если их сопротивление, индуктивность и ёмкость остаются постоянными при любом напряжении и токе.

Частотные характеристики пассивных элементов электрических цепей – это зависимость их сопротивления и фазового сдвига () между напряжением и током от частоты (f).

Реальные пассивные элементы электрических цепей обладают как сопротивлением R, так и индуктивностью L и емкостью C. Однако во многих случаях некоторыми характеристиками элемента можно пренебречь из-за их незначительности по сравнению с более значимыми.

То есть у резистора можно пренебречь индуктивностью и ёмкостью, у катушки индуктивности можно пренебречь сопротивлением и ёмкостью, а у конденсатора – сопротивлением и индуктивностью. Такие элементы электрических цепей называются идеальными, и они используются как для представления реальных элементов, так и для составления схем их замещения в расчётных схемах. В дальнейшем рассмотрим идеальные пассивные элементы электрических цепей.

Резистор – это элемент электрической цепи, преобразующий электрическую энергию в другие виды энергии (тепловую, механическую, световую, химическую). Из определения видно, что резистором на схеме электрической R цепи можно обозначать любой элемент, потребляющий активную энергию, мощность, Вт, кото- UR рой может быть рассчитана по формулам R = const (для линейных резисторов);

U – действующее значение приложенного к резиРис. 4.7. Обозначение и стору напряжения, В;

Математическая модель резистора В линейных электрических цепях принято (с определённым допущением), что сопротивление резистора не зависит от частоты (R(f) = В связи с отсутствием сдвига фаз на переменном токе векторы напряжения и тока резистора на комплексной плоскости всегда Рис. 4.8. Векторная диаграмма резистора Катушка индуктивности Идеальная катушка индуктивности – это элеi L мент электрической цепи, запасающий электрическую энергию в магнитном поле, которую может Рис. 4.9. Обозначение идеальной катушки индуктивности Математическая модель идеальной катушки индуктивности отражает то, что приложенное к ней напряжение uL уравновешивается ЭДС самоиндукции e:

где L – индуктивность катушки, Гн.

На переменном токе катушка обладает индуктивным сопротивлением, Ом:

Оно может быть определено через действующее значение напряжения на катушке и действующее значение протекающего по ней тока по формуле где XL= const – для линейных катушек индуктивности.

В соответствии с формулой сопротивления идеальной катушки индуктивности видно, что оно пропорционально частоте f.

В то же время сдвиг по фазе между напряжением и током идеальной катушки индуктивности равен /2.

Частотные характеристики идеальной катушки индуктивности XL(f) и L(f) представлены на рис. 4.10.

В комплексной форме сопротивление идеальной катушки индуктивности чисто мнимое:

и закон Ома для идеальной катушки индуктивности в комплексной форме имеет вид Векторная диаграмма, соответствующая этой Рис. 4.10. Частотные харакформуле, представлена на рис. 4.11. теристики идеальной каИз неё видно, что напряжение на идеальной ка- тушки индуктивности тушке индуктивности опережает ток на /2.

Однако реальная катушка индуктивности намотана проводом, обладающим активным сопротивлением Rk. Поэтому реальная катушка индуктивности потребляет активную энергию, и её активная мощность, Вт, определяется формулой В то же время максимальный запас энергии в Рис. 4.11. Векторная магнитном поле катушки индуктивности характе- диаграмма идеальной ризуется её реактивной мощностью Q, вар: катушки индуктивности Рис. 4.12. Схема замещения реальной катушки индуктивности Конденсатор Конденсатор – это элемент электрической цепи, запасающий электрическую энергию в электрическом поле, которую может полностью возвратить в последующем. Поэтому конденсатор активную энергию не потребляет и его Рис. 4.13. Обозначение конденсатора которое может быть определено через действующее напряжение на конденсаторе и протекающий через него действующий ток по формуле Рис. 4.14. Частотные характеристики конденсатора В соответствии с формулой сопротивления конденсатора видно, что оно обратно пропорционально частоте f.

В то же время сдвиг по фазе между напряжением и током конденсатора равен –/2.

Частотные характеристики конденсатора XC(f) и C(f) представлены на рис. 4.14.

В комплексной форме сопротивление конденсатора, Ом, чисто мнимое:

Закон Ома для конденсатора в комплексной форме имеет вид Векторная диаграмма, соответствующая этой формуле, представлена на рис. 4.15.

Из неё видно, что ток конденсатора опережает напряжение на /2.

Из многофазных электрических цепей наиболее распространены трёхфазные. Они образуются соответствующим соединением трёх однофазных источников и приёмников энергии. У источников ЭДС фаз сдвина 1200). В электриченуты относительно друг друга во времени на ских генераторах это осуществляется сдвигом в пространстве трёх однофазных обмоток на 1200. При этом ЭДС этих обмоток, которые называются фазами А, В и С, изменяются во времени в соответствии со следующими выражениями (начальная фаза для фазы А принята равной нулю):

Графики временных зависимостей этих ЭДС представлены на рис. 4.19.

Комплексы действующего значения ЭДС трёх фаз, соответствующие их временным зависимостям, имеют вид Расположение векторов ЭДС трёхфазного источника на комплексной плоскости представлено на рис. 4.20 (принято для трехфазных электрических цепей повернуть оси комплексной плоскости на 900 против часовой стрелки).

Рис 4.20. Векторная диаграмма трёхфазного источника Трёхфазные источники и приёмники электрической энергии могут соединяться в звезду и в треугольник. Соединение в звезду показано на рис.4.21.

Рис. 4.21. Соединение в звезду трёхфазного источника энергии (a, b); трёхфазного приёмника энергии (c, d): А, В, С – напряжения между началом и концом каждой из фаз (А и N, В и N, C и N) источника энергии – фазные напряжения источника;

a, b, c – напряжения между началами и концами фаз (a и n, b и n, c и n) приёмника энергии – фазные напряжения приёмника; АВ, ВС, СА – напряжения между началами фаз А, В и С источника энергии – линейные напряжения источника; ab, bc, ca – напряжения между началами фаз a, b и c приёмника энергии – линейные напряжения приёмника; А, В, С, – токи фаз А, В и С источника энергии – фазные токи источника; a, b, c, – токи фаз a, b и c приёмника энергии – фазные токи примника); N, n – нейтральные точки источника и приёмника энергии.

Токи фаз приёмника энергии связаны с напряжениями законом Ома:

При соединении звездой в симметричном режиме линейные и фазные напряжения связаны соотношением В то же время при соединении звездой фазные токи протекают по проводам линии, связывающим источники и приёмники энергии, и поэтому одновременно являются линейными. То есть В симметричном режиме, когда напряжения всех фаз источника равны и сдвинуты друг относительно друга на 2/3 и комплексные сопротивления фаз приёмника энергии равны (ZA = ZB = ZC), векторная диаграмма токов и напряжений источника энергии имеет вид, представленный на рис. 4.22.

Рис. 4.22. Векторная диаграмма токов и напряжений трёхфазной симметричной При этом векторы линейных напряжений как для источника, так и для приёмника энергии не только больше по величине векторов фазных напряжений в 3 раз, но и сдвинуты относительно фазных напряжений на угол +300. То есть В симметричном режиме работы токи всех фаз (А, В, С) равны по величине, а векторы токов сдвинуты относительно своих векторов напряжений (А, В, С) на один и тот же угол. Та же картина наблюдается и у приёмника энергии. Поэтому расчёт можно вести на одну фазу (например, фаза А), а токи остальных фаз получать соответствующим сдвигом (относительно фазы А) на 2/3.

Соединение источника и приёмника энергии в треугольник показано на рис. 4.23.

Рис. 4.23. Соединение источника и приёмника энергии в треугольник:

АB, ВC, СA – напряжения между началами и концами фаз А, В и С источника энергии (фазные напряжения источника);

ab, bc, ca – напряжения между началами и концами фаз a, b и c приёмника энергии (фазные напряжения приёмника);

АB, ВC, СA, – токи фаз источника энергии (фазные токи источника);

ab, bc, ca, – токи фаз приёмника энергии (фазные токи приёмника);

А, В, С, – линейные токи источника и приёмника энергии (линейные токи).

При соединении треугольником фазные напряжения одновременно являются линейными:

В то же время при соединении треугольником в симметричном режиме фазные токи связаны соотношением В симметричном режиме, когда напряжения всех фаз источника равны и сдвинуты друг относительно друга на 2/3 и комплексные сопротивления фаз приёмника энергии равны (Zab = Zbc = Zca ), векторная диаграмма токов и напряжений источника энергии имеет вид, представленный на рис. 4.24.

Рис. 4.24. Векторная диаграмма токов и напряжений источника энергии При этом фазные токи рассчитываются по формулам Линейные токи определяются по первому закону Кирхгофа:

В симметричном режиме векторы всех фазных токов (АB, ВC, СA ) равны по величине и сдвинуты относительно своих векторов напряжений (АB, ВC, СA) на один и тот же угол. Аналогичны те же соотношения и для приёмника энергии. В то же время векторы фазных токов сдвинуты друг относительно друга на 2/3. Поэтому расчёт электрической цепи можно вести на одну фазу (например, фаза А), а токи остальных фаз получать соответствующим сдвигом (относительно фазы А) на 2/3. При этом векторы линейных токов не только больше фазных в 3 раз, но и сдвинуты относительно фазных токов на угол -300. То есть При несимметрии источника энергии напряжения его фаз не равны по величине и (или) сдвиг по фазе между ними отличается от 2/3. Несимметрия приёмника энергии заключается в неравенстве комплексных сопротивлений его фаз (Zab Zbc Zca). При этом любой вид несимметрии приводит к неравенству комплексного значения фазных и линейных токов, которые в этом случае могут быть определены по формулам (4.1) – (4.3).

4.6. Несинусоидальные токи и напряжения Несинусоидальные токи могут появиться при подключении к источнику синусоидального напряжения электрической цепи, содержащей нелинейные элементы. В то же время для практических целей создаются специальные источники несинусоидальных напряжений и токов, используемые в самых различных электротехнических устройствах.

Несинусоидальные токи и напряжения могут быть представлены в виде рядов Фурье как сумма постоянной составляющей и ряда синусоид (гармоник), частота которых отличается в k раз. То есть u(t) = U0 + Um1 sin(t + U1) + Um2 sin(2t + U2) + Um3 sin(3t + U3) + i(t) = I0 + Im1 sin(t + i1) + Im2 sin(2t + i2) + Im3 sin(3t + i3) + … + где U0, I0 – постоянные составляющие напряжения и тока;

Um1 sin(t + U1); Im1 sin(t + i1) – первые гармоники напряжения и тока;

Um2 sin(2t + U2) + Um3 sin(3t + U3) + …+ Umk sin(kt + Uk ) + …, Im2 sin(2t + i2) + Im3 sin(3t + i3) + …+ Imk sin(kt + ik ) + … – высшие гармоники напряжения и тока; k – порядок гармоник напряжения и тока.

Расчёт линейных электрических цепей несинусоидального тока проводится методом наложения. При этом для отдельных гармоник могут использоваться все известные методы расчёта цепей синусоидального тока. Итоговый результат находится как сумма всех рассчитываемых гармоник. Отличительной особенностью является зависимость сопротивления реактивных элементов (катушек индуктивности и конденсаторов) от частоты (порядка гармоник):

При этом для постоянной составляющей тока ( = 0) сопротивление катушки индуктивности XL0 = 0, а сопротивление конденсатора XC0 = Действующее напряжение несинусоидального напряжения (U) и тока (I) определяются соотношениями где Uk и Ik – действующие значения напряжения и тока для k-й гармоники.

Активная мощность электрической цепи представляет собой сумму активных мощностей постоянной составляющей и отдельных гармоник:

где 1, 2, 3, … k – угол сдвига между напряжением и током первой, второй, третьей … k-й гармоник.

4.7. Основные законы электрических цепей 4.7.1. Закон Ома для участка цепи Для участка цепи, состоящего из пассивного элемента Z и идеального источника напряжения (рис 4.25), закон Ома имеет вид Однако в самом общем виде закон Ома определяется формулой где k – ток k-го участка цепи; k – напряжение на k-м участке цепи; k – ЭДС источника k-го участка цепи; Zk – сопротивление пассивного элемента k-го участка цепи.

При этом "+" ставится при совпадении цепи и ЭДС источника с током, а "–", когда они направлены навстречу току.

Полезно помнить, что напряжение на этом участке равно разности потенциалов между точками А и В:

где A и B – потенциалы точек А и В.

4.7.2. Законы Кирхгофа Первый закон Кирхгофа Для узла электрической цепи (точки соединения нескольких ветвей) алгебраическая сумма токов равна нулю. То есть для узла (рис. 4.26) Второй закон Кирхгофа В замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма напряжений на входящих в контур ветвях равна нулю. Для электрической цепи (рис. 4.27) второй закон Кирхгофа имеет вид Рис. 4.27. Схема замкнутого контура электрической цепи Применив для каждой ветви закон Ома, второй закон Кирхгофа можно записать в виде или для n ветвей, входящих в контур, В соответствии с приведёнными формулами второй закон Кирхгофа может быть сформулирован следующим образом: в замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма напряжений на пассивных элементах, входящих в контур ветвей, равна алгебраической сумме ЭДС источников в этом контуре. При этом "+" ставится в том случае, если ток ветви или ЭДС источника совпадают с заранее выбранным направлением обхода контура, и "–" ставится при встречном обходу контура направлении.

4.8. Некоторые приёмы и методы расчёта электрических цепей 4.8.1. Эквивалентные преобразования в электрических цепях Перед расчётом электрической цепи иногда удобно сделать эквивалентные преобразования, упрощающие схему и уравнения, её описывающие.

При последовательном соединении элементов преобразуемого участка цепи (рис. 4.28, а) эквивалентные сопротивление и ЭДС (рис. 4.28, б) получаются путём суммирования сопротивления пассивных элементов и ЭДС источников.

Рис. 4.28. Эквивалентные преобразования при последовательном соединении При этом сопротивление эквивалентного пассивного элемента ZЭ и ЭДС эквивалентного источника ЕЭ определяются по формулам или для n соединённых последовательно элементов В формуле для эквивалентной ЭДС плюс "+" ставится при совпадении направления ЭДС суммируемого источника с направлением ЭДС эквивалентного источника и минус "–" при направлении навстречу.

При параллельном соединении элементов преобразуемого участка цепи (рис. 4.29,а) для определения проводимости эквивалентного пассивного элемента (рис. 4.29,б) суммируются проводимости включённых параллельно пассивных элементов:

где YЭ = 1/ZЭ ; Y1 = 1/Z1 ; Y2 = 1/Z2 ; Y3 = 1/Z3 – проводимости параллельно соединяемых ветвей электрической цепи, обратно пропорциональные величине их сопротивления (Z1, Z2, Z3 ).

Рис. 4.29. Эквивалентные преобразования при параллельном соединении элементов электрической цепи Для n соединённых параллельно ветвей проводимость эквивалентного элемента определяется по формуле а его сопротивление где Yk = 1/Zk – проводимость k - й ветви, ЭДС эквивалентного источника для электрической цепи рис. 4.29,б определяется по формуле или для n соединённых параллельно ветвей 4.8.2. Преобразование "звезда – треугольник" Преобразование элементов электрической цепи, соединённых в звезду, в эквивалентный треугольник полезно при необходимости уменьшения количества узлов в электрической цепи. Преобразование соединения треугольника в эквивалентную звезду позволяет уменьшить количество контуров.

При известных величинах сопротивлений пассивных элементов, соединённых в звезду (рис. 4.30,а), сопротивление элементов сторон эквивалентного треугольника (4.30,б) определяется по формулам Рис. 4.30. Соединение пассивных элементов электрической цепи: а – в звезду; б – в треугольник При известных величинах сопротивлений пассивных элементов, соединённых в треугольник (рис. 4.30,б), сопротивление элементов сторон эквивалентной звезды (4.30,а) определяется по формулам 4.8.3. Расчёт электрической цепи прямым применением законов Для расчёта токов во всех ветвях электрической цепи составляются уравнения по первому и второму законам Кирхгофа. Количество уравнений равно количеству неизвестных токов. По первому закону Кирхгофа может быть составлено (m – 1) независимых уравнений, где m – количество узлов электрической цепи. При n ветвей с неизвестными токами остальные (n – (m – 1)) уравнений составляются по второму закону Кирхгофа.

Для схемы электрической цепи (рис. 4.31) имеем количество узлов m=3 и количество ветвей с неизвестными токами n=5.

Уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов 1 и 2 имеют вид Поскольку токи всех ветвей схемы вошли в уравнения для двух узлов, то уравнение для узла 3 новую информацию в расчёт не внесёт. Поэтому количество уравнений по первому закону Кирхгофа на единицу меньше, чем количество узлов в схеме электрической цепи (m – 1).

При пяти неизвестных токах по второму закону Кирхгофа необходимо составить ещё 3 уравнения (n – (m – 1)). При составлении уравнений следует соблюдать следующие принципы:

1. Каждая ветвь электрической цепи должна войти хотя бы в одно уравнение.

2. Каждый контур должен отличаться от других хотя бы одной ветвью.

3. При расчёте нематричными методами направление обхода контуров выбирается произвольно.

Направления обхода контуров показаны пунктирными линиями. Для первого контура ток 1 и ЭДС источника 1 совпадают по направлению с обходом контура, а ток 2 и ЭДС источника 2 направлены навстречу направлению обхода контура. Поэтому для первого контура уравнение имеет вид По аналогии для второго и третьего контуров Окончательно имеем систему из пяти уравнений, решив которую, получим значения токов в ветвях электрической цепи (1, 2, 3, 4, 5):

4.8.4. Расчёт электрической цепи методом контурных токов При расчёте электрической цепи методом контурных токов в схему вводятся условные токи, протекающие по контуру неизменными. Они обозначены на рис. 4.32 символами 11, 22 и 33.

Рис. 4.32. Схема электрической цепи для расчёта методом контурных токов Для контурных токов первый закон Кирхгофа выполняется автоматически. Действительно, для первого узла контурный ток 11 входит в узел и выходит из него. Аналогичное происходит и с током 22. То есть Поэтому для контурных токов уравнения составляются только по второму закону Кирхгофа.

В первом контуре ток 11 протекает по пассивным элементам Z1 и Z2.

В то же время по Z2 навстречу току 11 протекает ток 22. Следовательно, второй закон Кирхгофа для первого контура имеет вид По аналогии второй и третий контуры описываются с помощью контурных токов следующими уравнениями:

В результате решения системы из трёх уравнений для всех контуров имеем контурные токи 11, 22 и 33. Действительные токи 1, 2, 3, 4 и определяются через контурные с помощью схемы рис. 4.32. По первой ветви протекает действительный ток 1 и в том же направлении – только один контурный ток 11. Следовательно, По второй ветви согласно с действительным током 2 протекает контурный ток 22 и навстречу – контурный ток 11. Следовательно, По аналогии действительные токи в других ветвях определяются через контурные по выражениям 4.8.5. Расчёт электрической цепи методом узловых потенциалов При расчёте электрической цепи методом узловых потенциалов уравнения составляются для потенциалов узлов электрической цепи.

Уравнения получаются из первого закона Кирхгофа. Поэтому количество уравнений при расчёте электрических цепей этим методом равно m –1.

Однако поскольку для расчёта токов необходимы потенциалы всех узлов, потенциал одного из узлов должен быть задан. Чаще всего потенциал одного из узлов принимается равным нулю (узел заземляется).

В электрической цепи (рис. 4.33) узел 3 заземлён.

Для узлов 1 и 2 уравнения имеют вид Рис. 4.33. Схема электрической цепи для расчёта методом узловых В результате решения этих уравнений имеем потенциалы узлов 1 и 2.

Искомые токи определяем по закону Ома. В первой ветви ток протекает от узла 3 к узлу 1. Согласно с током 1 действует напряжение 31, равное разности потенциалов 3 и 1, и ЭДС источника 1. Поэтому с учётом того, что 3 = 0, По аналогии остальные токи определяются выражениями Таким образом, расчёт токов электрической цепи можно выполнять различными методами. При этом важно выбирать оптимальный, исходя из постановки задачи расчёта, структуры рассчитываемой цепи, известных данных и других особенностей. В дальнейшем на основе рассчитанных токов можно определить напряжения на элементах электрической цепи, потребляемые ими мощности и другие интересующие величины.

4.8.6. Метод эквивалентного генератора Метод эквивалентного генератора (теорема об активном двухполюснике) используется в случаях, когда в сложной электрической цепи требуется определить ток, напряжение на элементах или мощность в одной ветви. Метод формулируется следующим образом. Электрическую цепь любой сложности относительно одной её ветви можно представить в виде эквивалентного генератора. Эквивалентная ЭДС источника этого генератора равна напряжению холостого хода относительно зажимов интересующей ветви. А внутреннее сопротивление генератора равно входному сопротивлению всей цепи относительно зажимов интересующей ветви.

Сложная электрическая цепь А (рис 4.34,а) может быть представлена относительно зажимов аб ветви с сопротивлением ZК эквивалентным генератором (рис. 4.34,б) с ЭДС, равной абхх, и с внутренним сопротивлением Zвхаб, равным входному сопротивлению всей сложной цепи относительно зажимов аб.

Рис 4.34. Преобразование по теореме об активном двухполюснике Очевидно, что в электрической цепи (рис. 4.34,б) ток легко найти по формуле Однако при этом надо знать U абхх и Zвхаб.

Например, в электрической цепи (рис. 4.35) необходимо определить только ток 5.

Для этого всю электрическую цепь (за исключением ветви Z5) относительно зажимов аб представим в виде эквивалентного генератора (рис. 4.34,б).

При расчёте внутреннего сопротивления эквивалентного генератора исключим Z5 и заменим источники 1, 2 и 3 их внутренними сопротивлениями. У идеальных источников напряжения внутреннее сопротивление равно нулю. Поэтому схема приобретает вид рис. 4.36. По этой схеме внутреннее сопротивление эквивалентного генератора равно входному сопротивлению цепи относительно зажимов аб и определяется выражением Рис. 4.36. Схема электрической цепи для расчёта внутреннего сопротивления эквивалентного генератора Для расчёта напряжения холостого хода относительно зажимов аб схема приобретает вид рис 4.37.

Рис. 4.37. Схема электрической цепи для расчёта напряжения холостого хода эквивалентного генератора Токи 1 и 2 определяются по формулам При этом напряжение холостого хода на зажимах аб определяется выражением Тогда ток 5, который необходимо было определить, можно рассчитать по формуле Режим согласованной нагрузки двухполюсника используется в электрических цепях для получения в приёмнике энергии максимальной мощности. Для этого необходимо, чтобы сопротивление приёмника энергии было равно внутреннему сопротивлению эквивалентного генератора:

4.9. Нелинейные электрические цепи 4.9.1. Основные понятия Электрическая цепь называется нелинейной, если хотя бы один её элемент имеет нелинейную зависимость между входными и выходными переменными. Нелинейные пассивные элементы бывают резистивными, индуктивными и ёмкостными. К резистивным могут быть отнесены диоды, стабилитроны, тиристоры и другие полупроводниковые приборы, работающие в электрических цепях с невысокой частотой тока.

Нелинейные индуктивные элементы – это катушки индуктивности с ферромагнитным сердечником. К нелинейным ёмкостным элементам относятся специальные конденсаторы с нелинейной кулон - вольтной характеристикой. Нелинейными характеристиками могут также обладать источники питания. Обозначение нелинейных резисторов, катушек индуктивности и конденсаторов показано на рис. 4.38.

Рис. 4.38. Условные обозначения нелинейных элементов Примеры характеристики нелинейных элементов представлены на рис. 4.39.

Рис. 4.39. Примеры характеристик нелинейных элементов: а – вольт-амперная характеристика резистора; б – вебер-амперная характеристика катушки индуктивности; в – кулон-вольтная характеристика конденсатора В соответствии с представленными характеристиками резистор при подключении к нему постоянного напряжения UСТ и при протекании по нему постоянного тока (рабочая точка А) характеризуется статическим сопротивлением RСТ:

где m R = Этот же резистор при получении питания от источника переменного тока невысокой частоты с небольшими отклонениями от точки А характеризуется дифференциальным сопротивлением Rd:

Аналогично катушка индуктивности характеризуется статической и дифференциальной индуктивностями, а конденсатор – статической и дифференциальной ёмкостями:

4.9.2. Методы расчета нелинейных электрических цепей Нелинейные резистивные электрические цепи постоянного тока могут быть рассчитаны следующими методами:

• графо-аналитическими;

• аналитическими;

• численными.

К графо-аналитическим относятся метод эквивалентных преобразований и метод эквивалентного генератора.

По методу эквивалентных преобразований для схемы рис. 4.40, а с нелинейными резисторами, имеющими вольт-амперные характеристики (рис. 4.40, б), в соответствии с аналитическим выражением для электрической цепи по второму закону Кирхгофа строится характеристика эквивалентного резистора RЭ (рис. 4.41).

Рис. 4.40 Схема электрической цепи (а) и нелинейные ВАХ резисторов (б) Рис 4.41. ВАХ нелинейных резисторов R1 и R2 и эквивалентного им резистора RЭ При известной ЭДС источника, откладывая её по оси ординат на рис. 4.41, легко найти ток в электрической цепи по характеристике эквивалентного резистора и напряжения на резисторах по их ВАХ.

Метод эквивалентного генератора рационально использовать в сложных электрических цепях с одним нелинейным элементом. При этом вся линейная часть схемы цепи преобразуется в эквивалентный генератор относительно зажимов нелинейного элемента (см. разд. 4.8.6).

Электрическая цепь в этом случае приобретает вид рис. 4.42.

Рис. 4.42. Преобразованная схема электрической цепи Для неё напряжение на нелинейном резисторе равно напряжению на зажимах эквивалентного генератора:

То есть напряжение на нелинейном резисторе и ток в нём определяются точкой пересечения характеристики эквивалентного генератора и нелинейной ВАХ резистора (рис. 4.43).

Рис. 4.43. Внешняя характеристика эквивалентного генератора и нелинейная ВАХ Аналитические методы расчёта базируются на подборе аналитического выражения I( U R ), соответствующего нелинейной ВАХ резистора с заданной точностью. Часто аналитическое выражение подбирается в виде степенного полинома:

Подставляя аналитическое выражение в уравнение для эквивалентного генератора, получим Решая это уравнение относительно UR, определим напряжение на нелинейном резисторе и, используя зависимость I(UR ), ток в нём.

Численные методы расчета базируются на компьютерном решении нелинейных электрических цепей с более сложными и точными аналитическими зависимостями для ВАХ или заданием их с помощью таблиц.

4.10. Переходные процессы в электрических цепях 4.10.1. Основные понятия Переходный процесс в электрической цепи – это переход её из одного устойчивого состояния в другое. В электрических цепях этот переход происходит при любом изменении её параметров (сопротивлений элементов, а также напряжений и токов источников питания). Однако чаще переходные процессы возникают при коммутации – замыкании или размыкании контактов выключателей, реле и контакторов.

Рис.4.44. Контакты выключателей, реле и контакторов: а – замыкающий; б – размыкающий При этом немгновенность перехода из одного состояния в другое связана с наличием в цепи накопителей электрической энергии – катушек индуктивности и конденсаторов, которые не могут мгновенно изменить накопленную энергию в их магнитном и электрическом поле. Это обусловливает законы коммутации.

Первый закон коммутации: ток в катушке индуктивности (рис. 4.45) не может измениться скачком.

Математически первый закон коммутации записывается следующей формулой:

где i L (0 + ) – ток в катушке индуктивности через мгновение после коммутации; i L (0 ) – ток в катушке индуктивности за мгновение до коммутации.

В соответствии с математической записью первый закон коммутации может быть сформулирован следующим образом: ток в катушке индуктивности через мгновение после коммутации равен току за мгновение до коммутации.

Второй закон коммутации: напряжение на зажимах конденсатора (рис. 4.46) не может измениться скачком.

Математически второй закон коммутации записывается следующей формулой:

где u C (0 + ) – напряжение конденсатора через мгновение после коммутации; u C (0 ) – напряжение конденсатора за мгновение до коммутации.

В соответствии с математической записью второй закон коммутации может быть сформулирован следующим образом: напряжение конденсатора через мгновение после коммутации равно напряжению за мгновение до коммутации.

Начальные условия – это значение искомых переменных в момент коммутации (при t = 0) y к (0 ). Поскольку в соответствии с законами коммутации токи в катушках индуктивности и напряжения на конденсаторах не изменяют своей величины во время коммутации, то в начале расчета определяют их докоммутационные значения y (0 ) и через них рассчитывают начальные значения остальных интересующих переменных.

4.10.2. Расчёт переходных процессов в электрических цепях Электрическая цепь во время переходного процесса описывается дифференциальным уравнением, порядок которого после максимально возможного её упрощения определяется общим количеством в цепи накопителей энергии (катушек индуктивности и конденсаторов). Поэтому рассчитать переходный процесс в электрической цепи – это решить дифференциальное уравнение соответствующего порядка. Для электрических цепей с одним или двумя накопителями энергии наиболее прост и нагляден классический метод расчёта. В соответствии с ним решение дифференциального уравнения для искомой переменной состоит из суммы её принуждённой и свободной составляющих:

где y (t ) – зависимость искомой переменной от времени во время переходного процесса; y пр – принуждённое значение искомой переменной в конце переходного процесса; y св – свободная составляющая переходного процесса, определяющая вид перехода искомой переменной от начального значения к принуждённому.

При расчёте принуждённой составляющей и начальных условий в электрических цепях постоянного тока расчётная схема изменяется за счёт того, что катушки индуктивности имеют сопротивление, равное нулю. Поэтому они заменяются проводником без сопротивления (перемычками). А сопротивление конденсаторов постоянному току равно бесконечности. Поэтому в расчётной схеме на месте конденсаторов ставятся разрывы (рис. 4.47).

Рис. 4.47. Замена катушки индуктивности и конденсатора в расчётной схеме Свободная составляющая переходного процесса в электрических цепях с одним накопителем энергии всегда имеет один и тот же вид:

где A – постоянная интегрирования; – постоянная времени переходного процесса; t – время.

Постоянная времени определяет длительность переходного процесса и рассчитывается по параметрам элементов электрической цепи. Принято считать, что изменяющиеся во время переходного процесса переменные достигнут своего принуждённого значения за 3 – 5 постоянных времени:

где t ПП время переходного процесса.

Для цепи с катушкой индуктивности постоянная времени равна отношению индуктивности L к эквивалентному сопротивлению всей цепи относительно зажимов катушки R Э. При его определении ключ считается сработавшим, а источник заменяется его внутренним сопротивлением.

Для электрической цепи с конденсатором постоянная времени равна произведению ёмкости конденсатора C и величины эквивалентного сопротивления относительно его зажимов R Э :

Постоянная интегрирования A рассчитывается исходя из начальных условий. В момент коммутации при t = 0 уравнение (4.4) принимает вид Отсюда A = y (0) y пр.

Таким образом, все слагаемые для окончательной записи уравнения переходного процесса искомой переменной определены.

4.11. Магнитные цепи при постоянных магнитных потоках Магнитной цепью называется совокупность ферромагнитных и других сред, по которым замыкаются линии магнитной индукции, создаваемые катушками индуктивности. Ферромагнитные материалы используются в магнитных цепях в целях получения бльших индукций при одних и тех же токах в катушках индуктивности.

Ферромагнитные материалы характеризуются кривыми намагничивания B(H), которые представляют собой нелинейную зависимость индукции от напряжённости магнитного поля (рис. 4.48).

Рис. 4.48. Кривая намагничивания ферромагнитного материала Математически эта зависимость имеет вид где B – вектор магнитной индукции; H – вектор напряжённости магнитного поля;

µ a = µ 0µ – абсолютная магнитная проницаемость; µ 0 = 410 7 Гн / м – магнитная проницаемость вакуума; µ – относительная магнитная проницаемость ферромагнитного материала.

Магнитные цепи при постоянных магнитных потоках характеризуются также магнитодвижущей силой (МДС) F, магнитным потоком Ф, потокосцеплением.

где W – число витков катушки индуктивности; S – поперечное сечение магнитопровода.

Направление МДС определяется по правилу правой руки или по правилу правого винта.

В целом между электрическими цепями постоянного тока и магнитными цепями при постоянных потоках имеется аналогия, представленная в табл. 4.1.

Таблица 4. Электродвижущая сила Е (В) Первый закон Кирхгофа Закон непрерывности линий магнитной Падение напряжения на резисторе Магнитное напряжение на участке цепи Вольт-амперная характеристика Вебер-амперная характеристика Приведённые соотношения и аналогия показывают, что кривая намагничивания B( H ) может быть представлена в других координатах Ф(U M ) или (I ) при соответствующем изменении масштабов.

Общий вид неразветвлённой магнитной цепи представлен на рис. 4.49.

Рис. 4.49. Общий вид неразветвлённой магнитной цепи: lC и lЯ – длины сердечника и якоря магнитной цепи, определяемые по средней линии; – длина воздушного зазора Основное уравнение для расчёта этой цепи имеет вид где H = – напряжённость магнитного поля в воздушном зазоре.

Поскольку при расчёте магнитных цепей при постоянных потоках пренебрегают рассеянием, то по всем участкам магнитной цепи протекает один и тот же магнитный поток Ф. Поэтому индукция в сердечнике и в якоре определяется выражениями где S C и S Я – поперечное сечение сердечника и якоря соответственно.

По полученным значениям индукции в отдельных частях магнитной цепи напряжённость в них находится по заданной кривой намагничивания для используемого в магнитной цепи ферромагнитного материала.

5. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задача Методы расчета электрических цепей постоянного тока На рис. 5.1 – 5.10 приведены расчетные схемы, номера которых равны последним цифрам номеров студенческих билетов. В табл. 5. приведены варианты данных для расчета. Номер варианта равен сумме последних двух цифр номера студенческого билета.

Задание 1. Упростить схему до двухконтурной.

2. Рассчитать потенциал независимого узла относительно узла 0 по методу узловых потенциалов.

3. Заменить источник тока эквивалентным источником напряжения.

4. Рассчитать токи в преобразованной схеме методом контурных токов.

5. Определить ток в ветви, не содержащей активных элементов по методу эквивалентного генератора.

6. Проверить решение по балансу мощностей.

Таблица 5. В качестве примера решения задачи 1 рассмотрим расчёт схемы, показанной на рис. 5.11.

Данные для расчета показаны в табл. 5.2.

Таблица 5. 1. Для того чтобы преобразовать эту схему в двухконтурную, заменим треугольник, состоящий из резисторов R1, R2, R3, эквивалентной звездой (R12, R23, R13).

Преобразованная схема представлена на рис. 5.12.

По известным формулам преобразования треугольника в звезду определим:

После расчета, округляя до второго знака после запятой, получим R12=18,31 Ом; R23=18,31 Ом; R13=10,35 Ом.

2. В данной схеме независимым принимаем узел 4.

Уравнение, составленное по методу узловых потенциалов, будет следующим:

Из этого уравнения после расчетов получаем потенциал 4=23,214 В.

3. Преобразование источника тока в источник напряжения проводится по формуле Преобразованная схема показана на рис. 5.13.

4. Для решения задачи методом контурных токов необходимо выбрать (произвольно) направления токов в ветвях (I1, I2, I3) и направления контурных токов (I11 и I22).

Система уравнений по методу контурных токов составляется по второму закону Кирхгофа и выглядит следующим образом:

Решая систему относительно I11 и I22, получаем I11= – 0,765 А;

I22=0,717 А. Знак минус говорит о том, что контурные токи направлены в противоположную сторону.

Определяем токи в ветвях 5. Для определения тока в ветви, содержащей резисторы R6 и R23, необходимо всю схему по отношению к данной ветви (точки 0 - 1) представить в виде эквивалентного генератора, содержащего эквивалентную ЭДС – ЕЭ и эквивалентное сопротивление – RЭ, как это показано на рис. 5.14. В этом случае ток I1 можно определить как Для расчёта ЕЭ проведем опыт холостого хода. Уберем исследуемую цепь и определим напряжение холостого хода UXX (рис. 5.15):

Определим сопротивление по отношению к точкам 0 – 1. Это будет RЭ.

После расчетов получаем I1=0,765 A.

5. Проверка решения по балансу мощностей сводится к решению уравнения вида В правой части уравнения необходимо учитывать режим работы источника ЭДС. Если источник работает в режиме потребителя, он учитывается со знаком (-), в генераторном режиме знак (+).

При решении уравнения баланса мощностей Таким образом, баланс мощностей сошёлся, что указывает о правильности проведённого решения задачи.

Задача Расчёт однофазных линейных электрических цепей Задание Для электрической цепи (рис. 5.16) следует выполнить следующее:

1. В соответствии с табл. 5.3 нарисовать схему замещения (вариант выбирается по двум последним цифрам шифра).

2. По данным табл. 5.4 (вариант выбирается по последней цифре шифра) определить сопротивления элементов электрической цепи.

3. По заданному напряжению между двумя точками (m-n) рассчитать действующее значение тока.

4. Определить напряжение на всех элементах электрической цепи.

5. Рассчитать ЭДС источника электрической энергии.

6. Включить в схему электрической цепи вольтметр электромагнитной системы (табл. 5.3) и рассчитать его показания.

7. Построить временные зависимости e(t) и i(t).

8. Проверить расчёт по балансу мощности.

9. Построить потенциальную (топографическую) диаграмму напряжений.

Таблица 5.3.

Таблица 5.4.

Рассмотрим решение задачи 2 на примере. Пусть в табл. 5.3 задано 1. Данным таблицы соответствует схема замещения рис. 5.17.

Параметры элементов схемы замещения берём из табл. 5.4.

2. Определим активные и реактивные сопротивления схемы замещения.

Для резисторов сопротивления заданы в табл. 5.4:

Сопротивление катушки индуктивности и конденсатора рассчитываются по формулам (см. разд. 4.4.2):

Комплексное сопротивление катушки индуктивности всегда мнимое положительное:

Комплексное сопротивление конденсатора также мнимое, но отрицательное:

3. Для расчёта тока найдём сопротивление Z13, к которому приложено напряжение U13 (см. разд. 4.8.1):

где 20 + j40 – алгебраическая (удобная для выполнения математических операций сложения и вычитания) и 44,72 ej 63,4 – показательная (удобная для выполнения математических операций умножения и деления) формы записи сопротивления Z13 (см. разд. 4.2).

Поскольку начальная фаза напряжения не задана, то примем её равной нулю. То есть комплекс действующего напряжения между точками 1 – 3 (см. разд. 4.3) По закону Ома (см. разд. 4.7.1) ток, протекающий по R1 и L2, При последовательном соединении всех элементов электрической цепи ток во всех её элементах будет один и тот же, т.е.

4. Используя закон Ома, рассчитаем напряжения на всех элементах электрической цепи и представим их в показательной и алгебраической формах:

5. По второму закону Кирхгофа алгебраическая сумма напряжений на всех пассивных элементах замкнутого контура электрической цепи равна алгебраической сумме ЭДС источников в этом контуре (см. разд. 4.7.2). Поскольку у нас один контур, ток направлен во всех элементах электрической цепи в одном направлении и имеется один источник ЭДС, то её величина будет равна просто сумме напряжений на всех участках цепи. Удобнее суммировать комплексные числа в алгебраической форме. Тогда E = U12 +U23 +U34 +U45 +U56 = 18 – j35,9 + 71,9 + j36 + 27 – j53,9 – 107,8 –j54 + +22,5 – j44,9 = 31,6 – j152,7 = 156 е– j78,3B.

ЭДС источника в электрической цепи с последовательным соединением элементов может быть также найдена по закону Ома как произведение суммарного сопротивления цепи и протекающего по ней тока.

Суммарное сопротивление электрической цепи (см. разд. 4.9.1) 6. Рассчитаем показание вольтметра, подключённого к точкам 4 – 6.

Поскольку вольтметр электромагнитной системы показывает действующее значение напряжения, то оно может быть определено по закону Ома как произведение полного сопротивления участка цепи между точками 4 – 6 и протекающего тока. Полное сопротивление этого участка цепи определяется формулой Действующее значение тока равно I = 2,01 А. Тогда показание вольтметра 7. Для построения временных зависимостей e(t) и i(t) перейдём от комплексов действующих значений этих величин к их мгновенным значениям. Амплитуда синусоид в 2 раз больше действующего значения.

Найдём амплитуды ЭДС и тока (см. разд. 4.3):

Угловая частота синусоид связана с частотой переменного тока f соотношением Мгновенные значения ЭДС источника и тока будут изменяться синусоидально во времени в соответствии с формулами где e = 78,30 и i = 63,40 – начальные фазы ЭДС и тока, рассчитанные ранее для комплексных значений этих величин.

Иногда рационально строить зависимости e(t) и i(t) не в функции времени, а в функции фазы t, задавая её в пределах периода равной 3600. При построении графиков с помощью компьютера в некоторых программах следует перевести начальную фазу в радианы:

Графики зависимостей e(t) и i(t) представлены на рис.5.18.

Рис 5.18. Графики изменения мгновенных значений ЭДС и тока 8. Баланс мощности в электрических цепях заключается в равенстве сумм активной и реактивной мощностей всех источников и приёмников электрической энергии:

где РИК и QИК – сумма активных и реактивных мощностей всех источников энергии электрической цепи;

РПК и QПК – сумма активных и реактивных мощностей всех приёмников энергии электрической цепи.

Для источника активная мощность определяется формулой Поскольку в задаче один источник, то его мощность Активную мощность потребляют только резисторы, поэтому Погрешность баланса активной мощности Реактивная мощность источника определяется формулой Реактивную мощность потребляют реактивные элементы электрической цепи – катушки индуктивности и конденсаторы. Для к-го реактивного элемента реактивная мощность определяется формулой при этом сопротивление реактивного элемента (ХК )берётся положительным для катушек индуктивности и отрицательным для конденсаторов.

В нашем случае Погрешность баланса реактивных мощностей Полученные значения погрешностей баланса активных и реактивных мощностей показывают, что проведённый ранее расчёт выполнен достаточно точно.

9. Потенциальная (топографическая) диаграмма напряжений – это совокупность точек на комплексной плоскости, каждая из которых соответствует потенциалу точки электрической цепи относительно точки, потенциал которой равен нулю. То есть необходимо принять потенциал одной из точек электрической цепи равным нулю.

Выбор этой точки произволен. Однако для того, чтобы иметь всю диаграмму, сориентированную по току, при расчёте потенциалов надо двигаться против тока. Поэтому в нашей задаче рационально приравнять к нулю потенциал точки 6 (6 = 0). Тогда потенциал точки 5 будет выше потенциала точки 6 на величину напряжения на резисторе R2 (ток течёт от большего потенциала к меньшему). То есть Аналогично потенциал точки 4 будет выше потенциала точки 5 на величину напряжения на конденсаторе С3 :

Расчёт потенциалов остальных точек электрической цепи аналогичен:

Обратите внимание на то, что потенциал точки 1 ( 1 ) совпал с величиной ЭДС источника, создающей напряжение 16.

Потенциальную диаграмму можно строить, и не рассчитывая потенциалы всех точек. Для этого необходимо к потенциалу предыдущей точки прибавлять в масштабе отрезок, соответствующий комплексному значению напряжения на последующем элементе схемы электрической цепи. То есть При этом следует сначала построить на комплексной плоскости в своём масштабе вектор тока и затем откладывать отрезки, пропорциональные напряжениям на элементах электрической цепи, с учётом их сдвига относительно тока (напряжение на резисторе совпадает по фазе с током, напряжение на катушке индуктивности опережает ток по фазе на 900, напряжение на конденсаторе отстаёт от тока по фазе на 900 ).

Векторная диаграмма тока и потенциальная диаграмма напряжений электрической цепи представлены на рис. 5.19.

Рис 5.19. Векторная диаграмма тока и потенциальная диаграмма Удобство потенциальной диаграммы в том, что с её помощью можно определить напряжение между любыми двумя точками электрической цепи. Например, измерив отрезок между точками 4 и 6, можно, использовав масштаб, определить напряжение на зажимах вольтметра V.

Расчет линейных электрических цепей при несинусоидальных К электрической цепи (рис. 5.20) приложено несинусоидальное напряжение, представленное в виде гармонического ряда Параметры этого напряжения даны в табл. 5.5 (вариант выбирается по последней цифре шифра).

Таблица 5.5.

Примечание: f(1) – частота первой гармоники напряжения.

Задание 1. Записать выражение для приложенного к электрической цепи напряжения в соответствии с данными табл. 5.5.

2. В соответствии с табл. 5.6 нарисовать схему замещения (вариант выбирается по двум последним цифрам шифра).

3. По данным табл. 5.7 (вариант выбирается по последней цифре шифра) определить сопротивления пассивных двухполюсников П1, П2 и П3 электрической цепи для каждой из гармоник.

4. Рассчитать комплексные сопротивления всех ветвей электрической цепи для каждой из гармоник.

5. По заданному напряжению и сопротивлению элементов рассчитать мгновенные значения токов во всех ветвях i1 (t), i2 (t), i3 (t) и 6. Построить графики мгновенных значений напряжения u(t) и тока 7. Рассчитать показания амперметра и вольтметра электромагнитной системы и ваттметра электродинамической системы.

Примечание: по указанию преподавателя для некоторых специальностей расчёт может проводиться при уменьшенном гармоническом ряде входного напряжения (например, только для первой гармоники).

Таблица 5.6.

Таблица 5.7.

Рассмотрим решение задачи 3 на примере.

1. Пусть в табл. 5.5 задано Вариант Рассчитаем угловую частоту для первой гармоники (см. разд. 4.6):

Угловая частота третьей гармоники напряжения В соответствии с табл. 5.5 и проведёнными расчётами приложенное к электрической цепи напряжение имеет вид То есть приложенное к электрической цепи напряжение содержит:

• постоянную составляющую (частота равна нулю f = 0; щ = 0 ), • первую гармонику с частотой f(1) = 80 Гц ( щ = 5 02 1/c), • третью гармонику с частотой, в три раза большей, f( 3) = 24 0 Гц 2. В табл. 5.6 задан вид элементов, входящих в схему пассивных двухполюсников электрической цепи. Пусть дано Данным таблицы соответствует схема замещения рис. 5.21.

3. Определение сопротивлений элементов электрической цепи для каждой из гармоник.

Пусть по табл. 5.7 имеем следующие данные.

Определение сопротивлений элементов электрической цепи для каждой из гармоник проводится в соответствии со следующими положениями:

• сопротивление всех резисторов не зависит от частоты и остаётся постоянным для каждой из гармоник:

• поскольку частота постоянного тока равна нулю (f = 0), то и сопротивление катушки индуктивности постоянному току • сопротивление конденсатора постоянному току равно бесконечности:

• для первой гармоники сопротивление катушки индуктивности сопротивление конденсатора • для третьей гармоники сопротивление катушки индуктивности сопротивление конденсатора Все проведённые расчёты сведём в табл. 5.8.

Таблица 5.8.

4. Расчёт комплексных сопротивлений всех ветвей электрической цепи для каждой из гармоник (см. разд. 4.8.1):

• сопротивление ветвей постоянному току то есть для постоянного тока эта ветвь представляет собой разрыв и может не учитываться в расчётах;

то есть для постоянного тока эта ветвь представляет собой только резистор R2 ;

• сопротивление ветвей первой гармонике тока • сопротивление ветвей третьей гармонике тока 5. Расчёт токов во всех ветвях и общего тока первоначально проводим в комплексной форме по отдельным гармоникам.

Для постоянной составляющей тока схема электрической цепи имеет вид, представленный на рис. 5.22.

Рис. 5.22. Схема замещения электрической цепи для токов от постоянной Поскольку при параллельном соединении ко всем ветвям приложено одно и то же напряжение, то токи в них определяются по формулам:

По первому закону Кирхгофа входной ток I(0) определяется как сумма токов ветвей (см. разд. 4.7.2):

Для первой гармоники тока схема электрической цепи имеет вид, представленный на рис. 5.23.

Рис. 5.23. Схема замещения электрической цепи для токов от первой В связи с тем, что первая гармоника напряжения имеет синусоидальный характер, расчёт необходимо вести в комплексной форме. При этом удобнее рассчитывать в комплексах амплитудного, а не действующего значения, чтобы сначала не делить, а потом не умножать на 2.

Мгновенному значению первой гармоники напряжения соответствует комплекс амплитудного значения первой гармоники (см. разд. 4.3):

Тогда токи в трёх ветвях электрической цепи определятся как одинаковое для всех их напряжение, делённое на комплексное сопротивление ветви первой гармонике тока:

Общий ток трёх ветвей находится по первому закону Кирхгофа как сумма рассчитанных токов:

Э (1) = Э (1) + Э (1) + Э (1) = 5,84 + j19, 28 + 3,14 – j3,72 + 7,5 + j3,8 = = 16,48 + j19, 36 = 25,42 е j49,6.

Комплексам амплитудного значения рассчитанных токов соответствуют следующие их мгновенные значения:

Для третьей гармоники схема замещения будет иметь тот же вид (рис. 5.7), но сопротивления ветвей будут другими в связи с отличающимися сопротивлениями катушки индуктивности и конденсатора токам утроенной частоты.

Мгновенному значению третьей гармоники напряжения соответствует комплекс амплитудного значения третьей гармоники:

Общий ток трёх ветвей находится по первому закону Кирхгофа как сумма рассчитанных токов:

Комплексам амплитудного значения рассчитанных токов третьей гармоники соответствуют следующие их мгновенные значения:

В целом мгновенные значения всех токов определяются суммой их гармонических составляющих (см. разд. 4.6):

6. Для построения графиков мгновенных значений напряжения u(t) и входного тока i(t) используются их выражения:

При построении графиков необходимо определить период первой гармоники, который задаётся как отрезок времени для кривых напряжения и тока, в течение которого можно наиболее полно проследить их изменение во времени:

Рационально строить кривые с помощью компьютера. При этом надо перевести начальную фазу в радианы. То есть выражения для напряжения и тока примут вид Графики мгновенных значений напряжения и тока представлены на рис. 5.24.

Рис. 5.24. Графики мгновенных значений напряжения и тока 7. Рассчитаем показания амперметра и вольтметра электромагнитной системы и ваттметра электродинамической системы.

Приборы электромагнитной системы измеряют действующее значение токов и напряжений.

Действующие значения первой и третьей гармоник тока Действующее значение несинусоидального тока равно корню квадратному из суммы квадратов постоянной составляющей и действующих значений отдельных гармоник (см. разд. 4.6). То есть амперметр показывает ток Аналогично действующее значение первой и третьей гармоник напряжения Показание вольтметра Ваттметр электродинамической системы показывает потребляемую цепью активную мощность, которая рассчитывается как сумма активных мощностей отдельных гармоник (см. разд. 4.6):

Активная мощность от постоянной составляющей напряжения и тока Активная мощность от первой гармоники напряжения и тока Активная мощность от третьей гармоники напряжения и тока Показание ваттметра Задача Задание Для электрической цепи рис. 5.25 следует выполнить следующее:

1. В соответствии с табл. 5.9 нарисовать схему замещения (вариант выбирается по двум последним цифрам шифра).

2. По данным табл. 5.10 (вариант выбирается по последней цифре шифра) определить комплексы действующего значения ЭДС всех фаз источника электрической энергии и сопротивления ветвей электрической цепи.

3. По заданным параметрам электрической цепи рассчитать фазные и линейные токи, а также ток в нейтральном проводе.

4. Определить напряжение на всех элементах электрической цепи.

5. Проверить расчет по балансу мощности.

6. Построить потенциальную (топографическую) диаграмму напряжений и векторную диаграмму токов электрической цепи.

Таблица 5.9.

Таблица 5.10. Параметры элементов электрической цепи Рассмотрим решение задачи 4 на примере при наличии нейтрального провода.

1. Схема замещения электрической цепи. Пусть в табл. 5.9 задано Данным таблицы соответствует схема замещения (рис. 5.26).

Рис. 5.26. Схема замещения трехфазной электрической цепи при наличии Из схемы видно, что электрическая цепь состоит из симметричного источника, соединённого звездой, симметричного приёмника энергии, соединённого треугольником (Z4 = R1), и несимметричного приёмника, соединённого звездой 2. Расчёт напряжений и сопротивлений (см. разд. 4.5). Пусть в табл. 5.10 заданы следующие параметры электрической цепи:

Поскольку заданы величина ЭДС фазы В и её начальная фаза, то комплекс её действующего значения имеет вид Фаза А, оставаясь той же по величине, что и фаза В, опережает её на 1200, а фаза С отстаёт от фазы В на 1200. Следовательно, комплексы действующего значения ЭДС этих фаз примут вид Фазные напряжения трёхфазного источника равны их ЭДС, то есть Линейные напряжения при соединении источника энергии звездой больше фазных в 3 раз и сдвинуты по фазе на +300 :

Сопротивления ветвей электрической цепи, соединённых звездой, Сопротивления ветвей электрической цепи, соединённых треугольником, 3. Расчёт токов в ветвях электрической цепи проведём отдельно для симметричного приёмника, соединённого треугольником, и для несимметричного, соединённого звездой.

Для симметричного приёмника, соединённого треугольником, комплекс действующего значения фазного тока AB определяется по формуле Токи в других фазах симметричного трехфазного приёмника могут быть найдены сдвигом по фазе рассчитанного тока AB на (см. разд. 4.5):

Линейные токи, подходящие к симметричному треугольнику (A1, В и С1), могут быть определены по первому закону Кирхгофа (см.

рис. 5.19). Так, линейный ток A1 определяется по формуле В то же время линейный ток A1 можно рассчитать и по-другому. В симметричной трёхфазной цепи, соединённой в треугольник, линейные токи в 3 раз больше фазных и сдвинуты относительно их на –300. Тогда Аналогично можно найти и два других линейных тока (В1 и С1). Однако в симметричной трехфазной цепи токи всех фаз равны по величине и сдвинуты друг относительно друга на 1200. Поэтому Для несимметричного приёмника, соединённого звездой с нейтральным проводом, комплекс действующего значения фазных токов ( A2, В2 и С2) определяется приложенным к фазе напряжением и сопротивлением фазы:

Из-за несимметрии приёмника, соединённого звездой, в нейтральном проводе протекает ток Расчёт фазных токов источника электрической энергии проводим по первому закону Кирхгофа (см. рис. 5.26):

Э = Э + Э = 9 + 2,02 + j1,41 = 11,02 + j1,41 = 11,11e j7,3 А;

Э = Э + Э = – 4,5 – j7,8 – 2,76 – j1,17 = – 7,26 – j8,97 = 11,54e– j129 А;

Э = Э + Э = – 4,5 + j7,8 – 1,66 + j2,88 = – 6,16 + j10,68 = 12,33ej120 А.

4. Определим напряжение на всех элементах электрической цепи.

Напряжение на фазах приёмника энергии, соединённого треугольником, равно линейным напряжениям источника энергии:

Напряжение на элементах фаз приёмника энергии, соединённого звездой, рассчитаем по закону Ома:

UC3 = Ua1N = (– jXC3 ) • Э = – j70• 2,46e j35 = 70е– j90 • 2,46e j35 = UL2 =Ub1N = jXL2 • Э = j60 • 3е– j157 = 60е j90 • 3е– j157 = 180е– j67 B.

Напряжение на фазе С приёмника энергии в связи с наличием нейтрального провода равно напряжению фазы С источника энергии:

5. Проверка расчёта по балансу мощности проводится расчётом мощности источника и приёмника энергии и их сопоставлением.

Расчёт активной, реактивной и полной мощностей источника электрической энергии может быть проведён либо с помощью определения комплекса полной мощности, либо расчётом суммы мощностей отдельных фаз.

Расчёт активной, реактивной и полной мощностей источника электрической энергии проведём с помощью комплекса полной мощности +300e j 120 10, 7e j 118 = 10420 + j117, 21 = 10421e j0,64, где I A = 12,25e j5, 2, I B = 12e j124,4, I C = 10,7e j118 – сопряжённые комплексы токов трёхфазного источника, отличающиеся от комплексов действующего значения знаком начальной фазы.

Активная мощность трёхфазного источника энергии равна действительной части комплекса полной мощности PИ = 10420 Вт. Реактивная мощность равна мнимой части комплекса полной мощности QИ =117,21 вар. Полная мощность равна модулю комплекса полной мощности SИ = 10421 ВА.

При расчёте мощности источника по отдельным фазам активная мощность фазы А где UA и IA – действующие значения напряжения и тока фазы А;

UA и IA – начальные фазы напряжения и тока фазы А;

реактивная мощность фазы А полная мощность фазы А Аналогично рассчитываются активная, реактивная и полная мощности фаз В и С:

Активная мощность трехфазного источника энергии Реактивная мощность трехфазного источника энергии Полная мощность трехфазного источника энергии В соответствии с балансом мощности мощность приёмников энергии должна быть равна мощности источников энергии электрической цепи.

Комплекс полной мощности приёмников энергии определяется выражением = 10421e j 0,64 BA.

Сопоставление мощностей источника и приёмника показывает их отличие, которое можно объяснить округлением результатов расчёта на каждом из этапов. Погрешности в расчёте мощностей 6. Построение потенциальной (топографической) диаграммы напряжений и векторной диаграммы токов рационально начать с потенциальной (топографической) диаграммы напряжений. На диаграмме откладываем векторы всех напряжений в соответствии с их величиной и угловым положением:

Обратите внимание на то, что при построении диаграмм для трехфазных цепей оси координат сдвинуты относительно однофазных на против часовой стрелки.

Потенциальная (топографическая) диаграмма напряжений имеет вид, представленный на рис. 5.27.

Рис. 5.27. Потенциальная (топографическая) диаграмма напряжений трехфазной цепи На векторной диаграмме токов откладываем векторы токов в соответствии с их величиной и угловым положением:

AB ВС СА

Э = 11,11e j7,3 А; Э = 11,54e – j129 А; Э = 12,33e j12 0 А.

Векторная диаграмма токов электрической цепи представлена на рис. 5.28.

Рис. 5.28. Векторная диаграмма токов электрической цепи Совмещая потенциальную (топографическую) диаграмму напряжений с векторной диаграммой токов, получим общую диаграмму напряжений и токов (рис. 5.29), по которой легко проследить их взаимное расположение (у резисторов напряжение и ток совпадают по фазе, у катушек индуктивности ток отстаёт от напряжения на 900, а у конденсаторов он опережает напряжение на 900 ).

Рис. 5.29. Потенциальная (топографическая) диаграмма напряжений и векторная Рассмотрим решение задачи 4 на примере, когда нейтральный провод отсутствует.

1. Схема замещения электрической цепи. Пусть в табл. 5.9 задано Данным таблицы соответствует схема замещения (рис. 5.30).

Рис. 5.30. Схема трёхфазной цепи при отсутствии нейтрального провода Схема рис. 5.30 отличается от схемы рис. 5.19 только отсутствием нейтрального провода между нейтралью источника (N) и нейтралью примника, соединённого звездой (n). При этом наличие или отсутствие нейтрального провода никак не влияет на приёмник, соединённый треугольником. То есть методика расчета приёмника при отсутствии нейтрального провода, соединённого треугольником, будет та же, что и при наличии нейтрального провода. Поэтому для упрощения сохраним те же параметры элементов схемы.

2.Тогда в соответствии с предыдущим расчётом имеем (см. разд. 4.5) Сопротивления ветвей электрической цепи, соединённых звездой, Сопротивления ветвей электрической цепи, соединённых треугольником, 3. Из расчёта токов в ветвях электрической цепи имеем Для расчёта токов несимметричного приёмника, соединённого звездой без нейтрального провода ( A2, В2 и С2), необходимо определить приложенные к фазам напряжения. Поскольку нейтраль приёмника не соединена с нейтралью источника, то потенциал точки n за счёт несимметрии смещается относительно потенциала точки N. Напряжение смещения определяется формулой где проводимости фаз приёмника Y1, Y2 и Y3 рассчитываются по формулам Подставляя численные значения, получим величину напряжения смещения Напряжения на фазах несимметричного приёмника Фазные токи несимметричного приёмника Расчёт фазных токов источника электрической энергии проводим по первому закону Кирхгофа (см. рис. 5.23):

4. Определим напряжение на всех элементах электрической цепи.

Напряжение на фазах приёмника энергии, соединённого треугольником, равно линейным напряжениям источника энергии:

Напряжение на элементах фаз приёмника энергии, соединённого звездой, рассчитаем по закону Ома:

UC3 = Ua1n = (–jXC3 )•Э = – j70• 3,4ej19 = 70е–j90 • 3,4ej19 = 238,4 е–j71 В;

UL2 = Ub1n = jXL2 •Э = j60 • 3,8е–j134,8 = 60е j90 • 3,8е–j134,8 = 227е–j44,8В.

Напряжение на фазе С приёмника энергии в связи с отсутствием нейтрального провода равно напряжению cn:

5. Проверка расчёта по балансу мощности – это равенство мощностей источника и приёмника энергии. Расчёт активной, реактивной и полной мощностей источника электрической энергии проведём с помощью комплекса полной мощности:

где I A = 12,25e, I B = 12e плексы токов трёхфазного источника, отличающиеся от комплексов действующего значения знаком начальной фазы.

Активная мощность трёхфазного источника энергии равна действительной части комплекса полной мощности PИ = 10637 Вт. Реактивная мощность равна мнимой части комплекса полной мощности QИ =102,2 вар. Полная мощность равна модулю комплекса полной мощности SИ = 10638 ВА.

В соответствии с балансом мощности мощность приёмников энергии должна быть равна мощности источников энергии электрической цепи.

Комплекс полной мощности приёмников энергии определяется выражением Сопоставление мощностей источника и приёмника показывает их отличие, которое можно объяснить округлением результатов расчёта на каждом из этапов. Погрешности в расчёте мощностей 6. Построение потенциальной (топографической) диаграммы напряжений и векторной диаграммы токов рационально начать с потенциальной (топографической) диаграммы напряжений. На диаграмме откладываем векторы всех напряжений в соответствии с их величиной и угловым положением:

Обратите внимание на то, что при построении диаграмм для трехфазных цепей оси координат сдвинуты относительно однофазных на против часовой стрелки.

Потенциальная (топографическая) диаграмма напряжений имеет вид, представленный на рис. 5.31.

Рис. 5.31. Потенциальная (топографическая) диаграмма напряжений На векторной диаграмме токов откладываем векторы токов в соответствии с их величиной и угловым положением:

AB ВС СА

Векторная диаграмма токов электрической цепи представлена на рис 5.32.

Совмещая потенциальную (топографическую) диаграмму напряжений с векторной диаграммой токов, получим общую диаграмму напряжений и токов (рис. 5.33), по которой легко проследить их взаимное расположение (у резисторов напряжение и ток совпадают по фазе, у катушек индуктивности ток отстаёт от напряжения на 900, а у конденсаторов он опережает напряжение на 900 ).

Рис. 5.33. Потенциальная (топографическая) диаграмма напряжений и векторная Потенциальная диаграмма напряжений и векторная диаграмма токов позволяют легко проследить сдвиг по фазе между напряжениями и токами отдельных элементов электрической цепи.

Задача Нелинейные элементы в цепях постоянного тока В табл. 5.11 приведены варианты данных для расчета. Выбрать схему, номер которой равен последним двум цифрам номера студенческого билета.

Задание 1. Представить всю цепь по отношению к нелинейному элементу в виде эквивалентного генератора.

2. Записать в соответствии с вариантом функцию изменения напряжения U=f(I) или тока I=f(U) на нелинейном элементе.

3. Определить графическим методом рабочую точку нелинейного элемента.

4. Определить статическое сопротивление нелинейного элемента в рабочей точке.

5. Определить аналитическим методом напряжение на нелинейном элементе и ток, протекающий через него в статическом режиме работы схемы.

6. Определить в статическом режиме все токи в схеме.

Таблица. 5. ВариU=f(I) I=f(U) В данной таблице символ x соответствует последней цифре, а у двум последним цифрам номера студенческого билета. Например, Ваш студенческий билет имеет № 950836, это значит, что х=6, а у=36.

В качестве примера рассмотрим схему, показанную на рис. 5.34.

Рис.5.34. Схема нелинейной электрической цепи Данные для расчета показаны в табл. 5.12.

Таблица 5. 1. По отношению к нелинейному элементу схему можно представить в виде эквивалентного генератора, как показано на рис. 5.35.

Рис. 5.35, Схема эквивалентного генератора 2. Запишем зависимость I=f(U) с подстановкой коэффициентов:

I=U·n3+k, после подстановки получим I=U·0,33+4.

3. Для преобразованной схемы, показанной на рис. 5.36, необходимо записать уравнения IЭ = f(U) с подстановкой данных для эквивалентного источника и для нелинейного элемента I = f(U). В соответствии с этими уравнениями на одном графике построить зависимости IЭ= f(U) и I = f(U). Точка пересечения этих зависимостей и будет рабочей точкой.

Рис. 5.36. Схема нелинейной цепи после преобразования Уравнение для эквивалентного источника можно записать следующим образом:

Для нелинейного элемента запишем После построения получаем график, показанный на рис. 5.37.

Из графика определяем ток и напряжение в рабочей точке (см. разд. 4.9):

4. Статическое сопротивление нелинейного элемента в рабочей точке определяется выражением 5. Для решения задачи аналитическим методом необходимо решить систему уравнений приведённого ниже вида и выбрать корни, удовлетворяющие физическому смыслу:

После решения получим следующие результаты: I P 4,85 A;

U P 6,57 B.

Как видим, графический и аналитический методы дали достаточно хорошее совпадение.

6. Вернемся к исходной схеме (см. рис. 5.34) и по законам Ома и Кирхгофа определим токи во всех ветвях, указанных на рис. 5.38.