МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

“Оренбургский государственный университет”

Н.А.ТИШИНА

ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ

МАТЕМАТИКИ

Рекомендовано Ученым советом государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по программам высшего профессионального образования по специальности «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем»

Оренбург УДК ББК Т Рецензент кандидат физико-математических наук, доцент Е.А. Корнев Тишина, Н.А.

Т Основы вычислительной математики : учебное пособие / Н.А. Тишина. – Оренбург: ГОУ ОГУ, 2009. – 192 с.

ISBN В учебном пособии рассмотрены основные теоретические сведения о численных методах решения: задач линейной алгебры, нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений; аппроксимации функций; методах численного интегрирования и дифференцирования, решения дифференциальных уравнений. Теоретический материал дополнен примерами и задачами с решениями, контрольными вопросами, упражнениями с ответами и тестами.

Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по программам высшего профессионального образования по специальности 230105.65 – «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» для изучения дисциплины «Вычислительная математика».

Т ББК ISBN © Тишина Н.А., © ГОУ ОГУ, Содержание Введение 1 Учет погрешностей приближенных вычислений 1.1 Понятие вычислительного эксперимента 1.2 Учет погрешностей приближенных вычислений 1.3 Контрольные вопросы и упражнения 1.4 Тесты по разделу 2 Методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений 2.1 Постановка задачи 2.2 Отделение корней 2.3 Уточнение корней уравнения методом деления пополам 2.4 Метод простых итераций уточнения корней уравнения 2.5 Уточнение корней уравнения методом Ньютона 2.6 Контрольные вопросы и упражнения 2.7 Тесты по разделу 3 Решение систем линейных алгебраических уравнений 3.1 Постановка задачи 3.2 Метод Гаусса 3.3 Вычисление определителей и обращение матриц на основе метода Гаусса 3.4 Метод Холецкого ( метод квадратных корней ) 3.5 Метод простых итераций 3.6 Метод Зейделя 3.7 Контрольные вопросы и упражнения 4 Решение систем нелинейных уравнений 4.1 Постановка задачи 4.2 Метод простых итераций 4.4 Контрольные вопросы и упражнения 5 Решение проблемы собственных значений 5.1 Постановка задачи 5.2.2 Метод Данилевского 5.3 Итерационные методы 5.3.1 Метод итераций (степенной метод) 5.3.2 Метод обратных итераций 5.4 Контрольные вопросы и упражнения 6 Методы приближения функций 6.1 Основные понятия теории приближения функций 6.2 Интерполяционный многочлен Лагранжа 6.3 Конечноразностные интерполяционные формулы 6.4 Контрольные вопросы и упражнения 6.5 Тесты по разделу 7 Аппроксимация функций методом наименьших квадратов 7.1 Постановка задачи 7.2 Линейная задача наименьших квадратов 7.3 Применение степенных базисных функций 7.4 Сведение нелинейной задачи к линейной 7.5 Применение ортогональных базисных функций 7.6 Контрольные вопросы и упражнения 7.7 Тесты по разделу 8 Численное интегрирование 8.1 Определение квадратурной формулы 8.2 Простейшие квадратурные формулы (формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона) 8.3 Составные квадратурные формулы 8.4 Правило Рунге практической оценки погрешности 8.5 Квадратурные формулы Гаусса 8.6 Формулы Гаусса-Кристоффеля 8.7 Вычисление интегралов в нерегулярных случаях 8.8 Контрольные вопросы и упражнения 8.9 Тесты по разделу 9 Численное дифференцирование 9.1 Постановка задачи 9.2 Простейшие формулы численного дифференцирования 9.3 Погрешности формул 9.4 Контрольные вопросы и упражнения 9.5 Тесты по разделу 10 Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 10.1 Постановка задачи 10.2 Метод Эйлера 10.3 Методы Рунге-Кутты 10.4 Устойчивость разностных схем 10.5 Многошаговые разностные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 10.6 Контрольные вопросы и упражнения 10.7 Тесты по разделу 11 Итоговые тесты Список использованных источников Приложение А Ключ к тестам Приложение Б Глоссарий Приложение В Ответы к упражнениям Список использованных источников 1 Амосов, А.А. Вычислительные методы для инженеров [Текст]:

учебное пособие/ А.А. Амосов, Ю.А. Дубинский, Н.В. Копченова.-2-е –изд., доп. – М. : МЭИ, 2003. – 596 с., ил., 1000 экз. - ISBN 5-7046-0919- 2 Бахвалов, Н.С. Численные методы [Текст]/ Н.С. Бахвалов, Н.П.

Жидков, Г.М. Кобельников.-3-е изд., доп. и перераб. – М. : БИНОМ.

Лаборатория знаний, 2004. – 636 с., ил. – 3000 экз.- ISBN 5-94774-175- X.

вычислительной математики [Текст] / В.Ю. Белашов, Н.М., Чернова. - Магадан:

СВКНИИ ДВО РАН, 1997. - 160 с. - ISBN 5-7442-1013-Х 4 Боглаев, Ю.П. Вычислительная математика и программирование [Текст] : учеб. пособие для студентов вузов / Ю.П. Боглаев. - М. : Высш. шк., 1990. - 544 с. : ил.

5 Вержбицкий, В.М. Основы численных методов [Текст]: учебник для вузов/В.М. Вержбицкий. – М. : Высш. шк., 2002. – 840с. – 6000 экз. – ISBN 5Демидович, Б.П. - Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения [Текст]/ Б.П.

Демидович, И. А. Марон, Э. З. Шувалова; под ред. Б. П. Демидовича. – 3-е изд.

перераб. - М.: Наука, 1967. – 368 с., 75000 экз.

7 Калиткин, Н.Н. Численные методы [Текст]/Н. Н. Калиткин. – Москва :Наука, 1978. -512 с.

8 Каханер, Д. Численные методы и математическое обеспечение [Текст]: [пер. с англ.] / Д. Каханер, К. Моулер, С. Неш. – М. : Мир, 1998.- 575 с.экз. - ISBN 5-03-002432-8.

9 Киреев, В. И. Численные методы в примерах и задачах [Текст] : уч.

пособие / В.И. Киреев, А.В. Пантелеев.- М.: Высш. шк., 2004.-480 с., ил.

(Прикладная математика для вузов).- ISBN 5-060047663-6.

10 Лапчик, М. П. Численные методы [Текст] : учеб. пособие для студ.

вузов / М. П. Лапчик, М. И. Рагулина, Е. К. Хеннер; под ред. М. П. Лапчика. – М. : Издательский центр «Академия», 2004. – 384 с., 5100 экз.- ISBN 5-7695X.

11 Лобанов, А.И. Лекции по вычислительной математике [Текст] :учеб. пособие для втузов/ А.И. Лобанов, И.Б. Петров.- М.: Изд. Интернетуниверситет информационных технологий - ИНТУИТ.ру, БИНОМ.

Лаборатория знаний. – 2006.- 528с.:ил., - ISBN: 5-9556-0065- 12 Мудров, А. Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль [Текст] /.А. Е. Мудров. – Томск : МП «РАСКО», 1991.- с.:ил.-25000 экз.- ISBN 5-256-00602-9.

13 Плис, А.И. Лабораторный практикум по высшей математике [Текст] :учеб. пособие для втузов / А.И. Плис, Н.А. Сливина.- 2-е изд., перераб.

и доп. - М. : Высш. шк., 1994. - 416 с. : ил.

14 Ракитин, В.И. Практическое руководство по методам вычислений с приложением программ для персональных компьютеров [Текст] : учеб.

пособие/В.И. Ракитин, В.Е. Первушин. – М.:Высш.шк., 1998. – 383 с.:ил. – 10000 экз.- ISBN 5-06-003342- 15 Самарский, А.А. Введение в численные методы [Текст]: учебное пособие /А.А. Самарский.- 3-е изд., стер. – СПб.: Издательство «Лань», 2005. – 288 с. :ил. – 3000 экз.- ISBN 5-8114-0602- 16 Тарасов, В.Н. Численные методы. Теория, алгоритмы, программы [Текст] : учеб. пособие для вузов / В. Н. Тарасов, Н. Ф. Бахарева. – Оренбург :

ИПК ОГУ, 2003. - 178 с. - Библиогр.: с. 178. – ISBN 5-7410-0451-2.

17 Шуп, Т.Е. Прикладные численные методы в физике и технике [Текст]/ Т.Е. Шуп; пер. с англ. С.Ю.Славянова; под ред. С.П.Меркурьева. – М.:

Высш.шк., 1990.- 255с.:ил. - ISBN 5-06-001014-