«В. М. Марченко, Н. П. Можей, Е. А. Шинкевич ЭКОНОМЕТРИКА И ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ Допущено Министерством образования Республики Беларусь в качестве учебного пособия для студентов учреждений высшего ...»

1А+Б102 (Пример). Рассмотрим модель 2 (предложение и спрос кейнсианского типа):

где y1t – спрос на товар в момент времени t; y2t – предложение товара в момент t; y3t – цена товара в момент t; y3,t–1 – цена товара в момент (t – 1); x1t – доход на душу населения в момент t; t – текущий период; (t – 1) – предыдущий период.

В модели три эндогенные переменные (y1t, y2t, y3t) и две предопределенные переменные (x1t и y3,t–1).

1А103 (Приведенная форма модели). Структурная форма модели может быть преобразована в приведенную форму:

где i0, i = 1, n, – свободный член уравнения модели; ij, i = 1, n;

j = 1, m, – коэффициент при предопределенной переменной, являющийся функцией коэффициентов структурной формы модели; i, i = 1, n, – случайная составляющая (ошибка) i-го уравнения приведенной формы модели.

1А+Б104 (Причины построения приведенной формы модели). Причины, по которым наряду со структурной формой модели строят ее приведенную форму:

104.1) оценки параметров структурной формы модели, найденные с помощью МНК, являются смещенными и несостоятельными (нарушаются предпосылки МНК) в силу того, что эндогенные переменные, как правило, коррелируют со случайным отклонением;

104.2) независимость уравнений в приведенной форме модели позволяет определять состоятельные оценки ее параметров с помощью МНК;

104.3) параметры (коэффициенты) приведенной формы модели связаны с параметрами ее структурной формы.

1А+Б105 (Идентификация модели). Идентификация – это установление соответствия между приведенной и структурной формами модели. Единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели составляет задачу идентификации.

1А+Б106 (Классы структурных моделей). С точки зрения задачи идентификации выделяют следующие классы структурных моделей:

106.1) идентифицируемая. Все структурные коэффициенты однозначно определяются через приведенные коэффициенты;

106.2) неидентифицируемая. Структурные коэффициенты невозможно найти по приведенным коэффициентам;

106.3) сверхидентифицируемая. Структурные коэффициенты, выраженные через приведенные коэффициенты, имеют два и более числовых значения.

1А+Б107 (Установление идентифицируемости модели).

Модель идентифицируема тогда и только тогда, когда идентифицируемо каждое ее уравнение. Идентификация не применяется для тождеств модели.

1А+Б108 (Необходимое условие идентифицируемости уравнений системы). Если уравнение модели идентифицируемо, то количество эндогенных переменных (n) этого уравнения на единицу больше количества предопределенных переменных (р) системы, не входящих в данное уравнение: n = p + 1. Если п < р + 1, то уравнение сверхидентифицируемо; если п > р + 1, то уравнение неидентифицируемо.

1А+Б109 (Достаточное условие идентифицируемости уравнений системы). Если определитель (* ) матрицы коэффициентов (А) при переменных системы, не входящих в данное уравнение, не равен нулю (* 0) и количество эндогенных переменных системы без единицы равно рангу этой матрицы (rank A = n 1), то уравнение модели идентифицируемо.

Проверка структурной модели на идентифицируемость позволяет установить степень возможности оценки коэффициентов структурных уравнений по коэффициентам приведенных уравнений.

1А+Б110 (Методы решения систем одновременных уравнений). Для получения качественных оценок параметров системы одновременных уравнений пользуются специальными методами. В настоящее время классическими для решения систем одновременных уравнений являются:

110.1) косвенный метод наименьших квадратов. Основан на получении оценок параметров структурной формы модели по оценкам параметров приведенной формы. Оценки являются состоятельными и несмещенными в силу применения к каждому уравнению приведенной формы МНК.

Алгоритм косвенного МНК:

1. Структурная форма модели преобразуется в приведенную форму.

2. С помощью МНК оцениваются параметры приведенной формы.

3. Приведенная форма преобразуется в структурную форму.

Область применения косвенного МНК ограничивается идентифицируемыми системами одновременных уравнений;

110.2) двухшаговый метод наименьших квадратов. Применяется как для идентифицируемых, так и для сверхидентифицируемых систем одновременных уравнений.

Алгоритм двухшагового МНК:

1. Структурная форма модели преобразуется в приведенную форму.

2. С помощью МНК оцениваются параметры приведенной формы.

3. В правой части сверхидентифицируемого уравнения структурной модели выбираются эндогенные переменные и рассчитываются их теоретические значения по соответствующим приведенным уравнениям.

4. С помощью МНК на основе фактических значений предопределенных и теоретических значений эндогенных переменных оцениваются параметры сверхидентифицируемого уравнения структурной модели.

3.1. ЗАНЯТИЕ 1. ЭЛЕМЕНТЫ

КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА

3А1. Имеются следующие данные (табл. 3) о зависимости между среднедушевым денежным доходом населения и оборотом розничной торговли по районам (за месяц).

Зависимость между среднедушевым денежным доходом населения Необходимо:

1) построить корреляционное поле;

2) выбрать вид зависимости (линейная, степенная, показательная, логарифмическая);

3) оценить тесноту и направление связи между переменными с помощью коэффициента корреляции;

4) оценить значимость полученного коэффициента корреляции по критерию Стьюдента (уровень значимости = 0,05);

5) вычислить коэффициент детерминации;

6) найти уравнение регрессии Y по X;

7) вычислить коэффициент эластичности;

8) проверить адекватность полученной модели по критерию Фишера при = 0,05;

9) сделать выводы.

3А2. Даны следующие функции:

Определите, какие из них:

1) линейны по переменным;

2) линейны по параметрам;

3) нелинейны ни по переменным, ни по параметрам.

3А3. Для двух видов продукции А и В зависимость расходов у (тыс. ден. ед.) предприятия от объема х (шт.) производства характеризуется данными, представленными в табл. 4.

Необходимо:

1) пояснить смысл величин 0,7 и 0,5 в уравнениях регрессии;

2) сравнить эластичность расходов на производство продукции А и В при выпуске объемом 500 единиц;

3) определить, каким должен быть выпуск продукции А, чтобы эластичность расходов на ее производство совпадала с эластичностью расходов на производство продукции В;

4) оценить значимость каждого уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (уровень значимости = 0,05).

3А+Б4. Известна зависимость производительности труда Y от уровня механизации работ X (табл. 5).

yi, тыс. ден. ед. 20 24 28 30 31 33 34 37 38 40 41 43 Необходимо:

1) найти уравнение регрессии Y по X;

2) найти коэффициент детерминации D и пояснить его смысл;

3) проверить значимость уравнения регрессии на 5%-ном уровне по F-критерию;

4) оценить среднюю производительность труда на предприятиях и построить для нее 95%-ный доверительный интервал.

3А+Б5. Исследуя спрос на телевизоры марки N по данным, собранным для 19 торговых точек, аналитический отдел компании АВС выявил следующую зависимость:

где у – объем продаж телевизоров марки N в отдельной торговой точке; х – средняя цена телевизора в данной торговой точке. В скобках приведены фактические значения t-критерия Стьюдента для параметров уравнения регрессии (уровень значимости = 0,05).

До проведения этого исследования администрация компании предполагала, что эластичность спроса по цене для телевизоров марки N составляет –0,9. Подтвердилось ли предположение администрации результатами исследования?

3Б6. Зависимость объема продаж у (тыс. ден. ед.) от расходов на рекламу х (тыс. ден. ед.) для 12 предприятий концерна характеризуется следующим образом:

– среднее квадратическое отклонение х: x = 4,7;

– среднее квадратическое отклонение у: y = 3,4.

Необходимо:

1) определить коэффициент корреляции;

2) оценить значимость коэффициента корреляции с помощью t-критерия Стьюдента ( = 0,05).

3Б7. По данным 30 нефтяных компаний получено следующее уравнение регрессии между оценкой Y (ден. ед.) и фактической стоимостью Х (ден. ед.) этих компаний: ух = 0,8750х + 295.

Найти: 95%-ный доверительный интервал для оценки стоимости предприятий, фактическая стоимость которых составила ден. ед., если среднее значение, которое может принимать фактическая стоимость, равно 1100 ден. ед., среднее квадратическое отклонение переменной X равно 270 ден. ед., а стандартная ошибка регрессии составляет 0,189.

3Б8. Зависимость материалоемкости продукции от объема выпуска для 10 однородных предприятий представлена в табл. 6.

Зависимость материалоемкости продукции Показатель Потребление материалов на единицу Выпуск продукции, Необходимо:

1) записать систему нормальных уравнений, предполагая, что представленные данные могут описываться зависимостями вида:

2) оценить тесноту связи с помощью индекса корреляции;

3) охарактеризовать эластичность изменения материалоемкости продукции;

4) сделать вывод о значимости уравнения регрессии.

3.2. ЗАНЯТИЕ 2. ЭЛЕМЕНТЫ

КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА.

ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПРИ НАРУШЕНИИ

КЛАССИЧЕСКИХ ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ

3А9. Зависимость спроса на продукцию от ее цены для 10 однородных предприятий представлена в табл. 7.

Зависимость спроса на продукцию от ее цены Необходимо:

1) построить корреляционное поле;

2) выбрать вид зависимости (степенная, показательная, логарифмическая и др.);

3) линеаризовать зависимость;

4) построить корреляционное поле для преобразованных данных.

3А+Б10. Моделирование прибыли фирмы по уравнению у = аbх привело к результатам, представленным в табл. 8.

№ Прибыль фирмы y, тыс. ден. ед. № Прибыль фирмы у, тыс. ден. ед.

п/п фактическая yi расчетная y п/п фактическая yi расчетная y Требуется оценить качество модели:

1) определить ошибку аппроксимации;

2) найти показатель тесноты связи прибыли с исследуемым в модели фактором;

3) рассчитать F-критерий Фишера (уровень значимости = 0,05);

4) сделать выводы.

3А11. Для 20 однотипных предприятий изучалась зависимость рентабельности (y) от производительности труда ( x1 ) и фондоотдачи ( x2 ). Были получены следующие варианты уравнений регрессии:

Средняя ошибка: (2,5) (3) Средняя ошибка: (5) (12) (0,4).

Проанализируйте связь результата с каждым из факторов.

Выберите лучшее уравнение регрессии и обоснуйте выбор.

3А+Б12. Зависимость среднемесячной производительности труда от возраста рабочих характеризуется моделью у = а + bx + сх2.

Ее использование привело к результатам, представленным в табл. 9.

Результаты моделирования производительности труда Требуется оценить качество модели, определив ошибку аппроксимации, индекс корреляции и F-критерий Фишера (уровень значимости = 0,05).

3А+Б13. Дана зависимость уровня рентабельности y (%) от производительности труда x1 (тыс. ден. ед.), продолжительности оборота оборотных средств предприятия x2 (дней) и материалоотдачи x3 (тыс. ден. ед.) (табл. 10).

от производительности труда, продолжительности оборота Необходимо:

1) найти множественный коэффициент детерминации и пояснить его смысл;

2) найти уравнение множественной линейной регрессии y по x1, x2, x3;

3) оценить значимость этого уравнения и его коэффициентов на уровне = 0,05;

4) сравнить раздельное влияние на зависимую переменную каждой из объясняющих переменных, используя коэффициенты эластичности.

3Б14. Для 40 точек оценена следующая модель производственной функции:

где у, l, k – темпы прироста объема выпуска, затрат труда и капитала соответственно.

Какие из следующих выводов верны:

1) нужно ввести новую объясняющую переменную, т. к. доля объясненной дисперсии слишком мала;

2) нужно исключить фактор k, т. к. он оказался статистически незначимым;

3) нужно исключить фактор l, т. к. он оказался статистически незначимым;

4) модель имеет удовлетворительные статистики, поэтому нет смысла ее совершенствовать?

Ответ обоснуйте.

3Б15. В результате 26 наблюдений получена следующая модель производственной функции:

где y, l, k – темпы прироста объема выпуска, затрат труда и капитала соответственно.

Какие из следующих выводов верны:

1) нужно ввести новую объясняющую переменную, т. к. доля объясненной дисперсии слишком мала;

2) нужно исключить фактор k, т. к. он оказался статистически незначимым;

3) нужно исключить фактор l, т. к. он оказался статистически незначимым;

4) модель имеет удовлетворительные статистики, поэтому нет смысла ее совершенствовать?

Ответ обоснуйте.

3Б16. По выборке объемом n = 50 для x1, x2, x3 построена следующая корреляционная матрица:

Найдите и оцените статистическую значимость частных коэффициентов корреляции r12(3), r23(1), r13(2).

3Б+С17. Имеются следующие данные об урожайности озимой Необходимо:

1) найти среднее значение, среднее квадратическое отклонение и коэффициенты автокорреляции (для лагов = 1; 2) временного ряда;

2) найти уравнение тренда временного ряда yt, полагая, что он линейный, и проверить его значимость на уровне = 0,05.

3) провести сглаживание временного ряда yt методом скользящих средних, используя простую среднюю арифметическую с интервалом сглаживания: а) т = 3; б) т = 5.

3Б18. В табл. 12 представлены данные, отражающие динамику роста доходов на душу населения yt (ден. ед.) за восьмилетний период.

Полагая, что тренд линейный и условия классической модели выполнены, необходимо:

1) найти уравнение тренда и оценить его значимость на уровне = 0,05;

2) дать точечный и с надежностью 0,95 интервальный прогнозы среднего и индивидуального значений доходов на 9-й год.

ОДНОВРЕМЕННЫХ УРАВНЕНИЙ

3А19. Рассматривается система уравнений вида Какие из переменных данной модели являются экзогенными, эндогенными, предопределенными? Проверить, является ли данная система идентифицируемой. Изменится ли ответ, если в число регрессоров второго уравнения включить: а) константу; б) переменную x?

3А20. Проверить, идентифицируемы ли уравнения:

где y1t – спрос на товар в момент времени t; y2t – предложение товара в момент t; y3t – цена товара в момент t; y3,t–1 – цена товара в момент (t – 1); x1t – доход в момент t; t – текущий период; (t – 1) – предыдущий период.

3А+Б21. Определите метод оценки параметров модели. Запишите приведенную форму модели. Оцените параметры идентифицируемой структурной модели:

где y1 и y2 – эндогенные переменные системы; x1 и x2 – экзогенные переменные этой системы.

Исходные данные приведены в табл. 13.

Задачи для самостоятельной работы 3А22. Проверить, идентифицируема ли система:

где y1t – спрос на товар в момент времени t; y2t – предложение товара в момент t; y3t – цена товара в момент t; y3,t–1 – цена товара в момент (t – 1); x1t – доход в момент t; t – текущий период; (t – 1) – предыдущий период.

3А23. Рассматривается модель предложения денег и спроса на деньги:

где y1t – процентные ставки в период t; y2t – ВВП в период t;

x1t – денежная масса в период t.

Какие из переменных данной модели являются экзогенными, эндогенными, предопределенными? Применив необходимое и достаточное условия идентифицируемости, определите, идентифицируемо ли каждое из уравнений модели.

3А+Б24. Оценить параметры идентифицируемой структурной модели:

где y1 и y2 – эндогенные переменные системы; x1 и x2 – экзогенные переменные этой системы.

Исходные данные приведены в табл. 14.

3А+Б25. Эконометрическая модель содержит три уравнения, три эндогенные переменные (y) и три экзогенные переменные (x).

Ниже представлена матрица коэффициентов при переменных в структурной форме этой модели (табл. 15).

Уравнение Запишите структурную форму модели. Решите проблему идентифицируемости для данной модели.

Исходя из приведенной формы модели:

рассчитайте, если это возможно, структурную форму.

3Б26. Эконометрическая модель содержит четыре уравнения, четыре эндогенные переменные (у) и три экзогенные переменные (х).

Ниже представлена матрица коэффициентов при переменных в структурной форме этой модели (табл. 16).

Уравнение Применив необходимое и достаточное условия идентифицируемости, определите, идентифицируемо ли каждое уравнение модели. Определите метод оценки параметров модели.

3Б27. Ниже приводятся результаты расчета параметров некоторой эконометрической модели. Структурная форма модели:

приведенная форма модели:

Какими методами получены параметры структурной и приведенной форм модели? Обоснуйте возможность применения косвенного МНК для расчета структурных параметров модели. Восстановите пропущенные характеристики.

4. ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

4.1. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

«НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ»

Тема: элементы корреляционно-регрессионного анализа.

– изучить основные понятия корреляционно-регрессионного анализа;

– освоить методы выбора вида зависимости и оценки качества полученного уравнения;

– научиться использовать MS Excel при построении и анализе регрессионных моделей.

1. Из каких соображений выбирается вид зависимости?

2. Какой вид должна иметь точечная диаграмма преобразованных исходных данных?

3. Каким методом ищется линейная зависимость по преобразованным исходным данным?

4. Как оценить тесноту связи между экзогенной и эндогенной переменными? Как оценить значимость полученного коэффициента?

5. Каков экономический смысл параметров эмпирической зависимости? Как оценить значимость полученных параметров?

6. Как находятся параметры искомой эмпирической зависимости?

8. Каков экономический смысл коэффициента эластичности?

Как он находится для нелинейной регрессии?

9. Что дает анализ точечной диаграммы и графика эмпирической зависимости?

10. Как проверяется качество построенной модели?

Теоретические сведения. Пусть заданы результаты наблюдений (табл. 17), такие что точки M(xi; yi) не располагаются на прямой линии. Пусть далее геометрическим или каким-либо другим образом определен вид нелинейной зависимости y от x. Найдем, если это возможно, взаимно-однозначное преобразование X = (x; y), Y = (x; y), при котором эта нелинейная зависимость переходит в линейную Y = AX + B.

По формулам Xi = (xi; yi), Yi = (xi; yi) и исходным данным (табл. 17) найдем соответствующие значения новых переменных X и Y (табл. 18).

Здесь точки M(Xi; Yi), i = 1, n, будут располагаться вблизи некоторой прямой. По исходным данным (табл. 18) с помощью МНК найдем коэффициенты А и В эмпирической зависимости Y = AX + B. Затем, переходя в этой формуле к исходным переменным x и y, найдем искомую зависимость y от x.

Использованные выше преобразования называются методом выравнивания. Этот метод используется не только для определения неизвестных параметров, но и для проверки правильности выбора вида функциональной зависимости. Действительно, если вид зависимости y от x определен правильно, то точки M(Xi; Yi), i = 1, n, будут располагаться вблизи некоторой прямой; если это не так, то вид зависимости y от x определен неправильно.

В табл. 19 указаны преобразования, с помощью которых можно «выровнять» некоторые классы функций, наиболее часто встречающиеся на практике.

На рис. 913 приведены графики некоторых функциональных зависимостей.

сильная.

Проверим значимость коэффициента корреляции по критерию Стьюдента. При уровне значимости = 0,1 и с учетом того, что в примере количество степеней свободы равно: = n – k – 1 = = 10 – 1 – 1 = 8, получим табличное значение критерия tтабл = 1, (функция СТЬЮДРАСПОБР). Теперь вычислим фактическое (расчетное) значение: tрасч = = 84,32. Поскольку фактиr ческое значение tрасч выше табличного, то связь между результативным и факторным показателями является надежной, а величина коэффициента корреляции – значимой.

Коэффициент детерминации равен: D = R2 = 0,9989. Это значит, что изменение K на 99,89% зависит от изменения исследуемых факторов (t), а на долю других факторов приходится 0,11% изменения результативного показателя.

Для того чтобы убедиться в надежности уравнения связи и правомерности его использования для практических целей, необходимо дать статистическую оценку надежности показателей связи.

Критерий Фишера. Найдем фактическое значение критерия по формуле: Fрасч = (R2 / k) / ((1 – R2) / (n – k – 1)) = 7109,8. Найдем табличное значение критерия: при уровне значимости = 0,1 и с учетом того, что в примере количество степеней свободы равно:

(функция FРАСПОБР). Так как Fрасч Fтабл, то построенную модель можно считать адекватной.

Найдем среднюю относительную ошибку аппроксимации по формуле: Eотн = i 100% = 0,54%. Заметим, что yi вы- числяется по уравнению регрессии. Средняя относительная ошибка мала, что также свидетельствует об адекватности модели.

Найдем теперь коэффициенты нелинейной зависимости a, b по формулам (см. табл. 19): a = A = 0,52; b = e B = e 0,23 = 0,797. Исходная зависимость имеет вид: K = 0,797e0,52t.

Коэффициент эластичности находим по формуле: Э = K.

Для этого вида зависимости Э = 0,5154t. Согласно полученным данным, K возрастает на 0,5154t (%) при увеличении t на 1%.

Сделаем проверку полученной формулы. На диаграмме, построенной по исходным данным (ti; Ki), выделим любое значение и нажатием правой кнопки мыши вызовем меню, в котором выберем команду Добавить линию тренда. Будет открыто диалоговое окно Линия тренда, содержащее вкладку Тип, где задается вид тренда (уравнения): линейный, логарифмический, полиномиальный (от 2-й до 6-й степени включительно), степенной, экспоненциальный.

(табл. 19) следует с помощью Мастера диаграмм построить точечную диаграмму зависимости Y от X и выбрать линейную линию тренда (во вкладке Тип диалогового окна Линия смотрено).

Для того чтобы получить аналитическое выражение выбранного уравнения, необходимо во вкладке Параметры активизировать флажок Показывать уравнение на диаграмме.

Если поставить флажок Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации R2, то в области построения будет выделено значение показателя R2, по которому можно судить, насколько хорошо выбранное уравнение аппроксимирует эмпирические данные. Чем ближе значение R2 к единице, тем более адекватным исследуемому явлению или процессу является уравнение.

Выбирая предлагаемые виды зависимости, убеждаемся, что экспоненциальная зависимость K = be at наиболее хорошо аппроксимирует эмпирические данные (рис. 16).

Исходные данные представлены в табл. 21.

Необходимо:

1) построить корреляционное поле, выбрать вид зависимости (степенная, показательная, логарифмическая и др.), линеаризовать зависимость, построить корреляционное поле для преобразованных данных;

2) определить параметры линейной зависимости;

3) найти коэффициент корреляции и сделать вывод о тесноте связи между переменными. Проверить значимость коэффициента корреляции. Проверить адекватность полученной модели по критерию Фишера и определить среднюю относительную ошибку аппроксимации. Уровень значимости = 0,1;

4) получить зависимость для исходных данных. Для полученной модели определить коэффициент эластичности;

5) сделать проверку при помощи Мастера диаграмм.

4.2. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

«МНОЖЕСТВЕННАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ И РЕГРЕССИЯ.

ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПРИ НАРУШЕНИИ

КЛАССИЧЕСКИХ ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ»

Тема: элементы корреляционно-регрессионного анализа.

Эконометрический анализ при нарушении классических предположений.

– освоить методы отбора экзогенных переменных и оценки качества полученного уравнения;

– научиться использовать надстройку «Анализ данных» пакета MS Excel при построении и анализе моделей множественной регрессии;

– изучить предпосылки метода наименьших квадратов (условия Гаусса – Маркова), научиться обнаруживать и устранять нарушение этих предпосылок.

1. Какой метод используют, чтобы найти линейную зависимость по исходным данным?

2. Каков экономический смысл параметров эмпирической зависимости? Как оценить значимость полученных параметров?

3. Как оценить тесноту связи между экзогенными переменными?

4. Как определить наличие либо отсутствие мультиколлинеарности?

5. Назовите и опишите методы устранения мультиколлинеарности.

6. Как оценить тесноту связи между экзогенной и эндогенной переменными? Как оценить значимость полученных коэффициентов?

7. Что характеризует коэффициент детерминации?

8. Каков экономический смысл коэффициента эластичности?

Как он находится для множественной регрессии?

9. Как проверяется качество построенной модели?

10. Как определить наличие либо отсутствие гетероскедастичности, автокорреляции?

Формулировка задачи. Зависимость уровня рентабельности y (%) от производительности труда x1 (тыс. ден. ед.), продолжительности оборота оборотных средств предприятия x2 (дней) и материалоотдачи x3 (тыс. ден. ед.) приведена в табл. 22.

от производительности труда, продолжительности оборота оборотных средств предприятия и материалоотдачи 1. Считая, что между результативным и факторными признаками имеет место линейная связь, найти линейное уравнение связи (регрессии), проверить значимость его коэффициентов.

2. Найти парные коэффициенты корреляции и составить корреляционную матрицу. По полученным данным сделать вывод о тесноте связи между рассматриваемыми переменными. Проверить значимость коэффициентов корреляции и проанализировать полученные данные. Сделать вывод о наличии либо отсутствии мультиколлинеарности и при необходимости устранить мультиколлинеарность.

3. Найти линейное уравнение регрессии для преобразованной модели. Для полученной линейной модели определить коэффициенты эластичности. Сделать выводы.

4. Проверить адекватность полученной модели по критерию Фишера и определить среднюю относительную ошибку аппроксимации. Уровень значимости = 0,1.

Решение. Уравнение множественной линейной регрессии имеет следующий вид:

Оценка параметров b0, b1, b2, …, bk обычно осуществляется по методу наименьших квадратов:

Для получения уравнения регрессии используем команды меню Сервис Анализ данных Регрессия. Укажем исходные эндогенные и экзогенные переменные, а также заданный уровень значимости. Получим следующий результат (табл. 23).

Регрессионная статистика Дисперсионный анализ Y-пересечение 6, Запишем уравнение регрессии:

y = 6,81299 + 0,46423x1 + 0,55652 x2 + 0,00903x3.

Найдем коэффициенты корреляции с помощью функции КОРРЕЛ (или по формулам) и составим корреляционную матрицу.

Коэффициенты ryx1 = 0,70235; ryx2 = 0,83406; ryx3 = 0,39061 показывают связь между результативным признаком y и факторами x1, x2, x3 соответственно; коэффициенты rx1x2 = 0,4359; rx1x3 = 0,8072;

rx2 x3 = 0,04064 показывают связь между факторными признаками.

Коэффициент парной корреляции является безразмерной величиной и не зависит от выбора единиц обеих переменных. Значение коэффициента корреляции лежит в интервале от –1 (в случае строгой линейной отрицательной связи) до +1 (в случае строгой линейной положительной связи). Соответственно, положительное значение коэффициента корреляции свидетельствует о прямой связи между исследуемым и факторным показателями, а отрицательное – об обратной.

Чем ближе значение коэффициента корреляции к единице, тем теснее связь. Близкий к нулю коэффициент корреляции говорит об отсутствии линейной связи переменных, но не свидетельствует об отсутствии их связи вообще. В случае равенства нулю показателя корреляции нельзя однозначно утверждать, что исследуемые показатели независимы. В данном случае можно попытаться найти более сложную модель их связи. Значительный интерес представляют коэффициенты корреляции, характеризующие взаимосвязь факторов между собой.

В корреляционную модель следует подбирать независимые между собой факторы. Если коэффициент корреляции двух факторов выше 0,8, то один из них необходимо исключить из модели.

Так как rx1x2 = 0,4359 < 0,8 и rx2 x3 = 0,04064 < 0,8, то связь между факторами x1 и x2, а также x2 и x3 достаточно слабая, и их можно включить в модель; rx1x3 = 0,8072 > 0,8, поэтому связь между факторами x1 и x3 достаточно сильная, имеет место мультиколлинеарность. Для устранения мультиколлинеарности применим метод исключения факторов.

Проверим значимость коэффициентов регрессии по критерию Стьюдента. Значения t-статистики (фактические значения) для показателей x1 и x3 равны соответственно 0,73643 и 0,31019.

Наименьшее значение t-статистики у фактора x3. Исключим фактор x3 (незначим, k = 3) из рассмотрения и будем искать зависимость между факторами y и x1, x2.

Значимость коэффициентов корреляции проверяется по критерию Стьюдента. Выдвигаем нулевую гипотезу Н0: коэффициент корреляции равен нулю (r = 0); конкурирующая гипотеза Н1: r 0.

Если расчетное значение tрасч выше табличного, то можно сделать вывод, что величина коэффициента корреляции является значимой, следовательно, нулевая гипотеза отвергается.

При уровне значимости = 0,1 и с учетом того, что в примере количество степеней свободы равно: = n – k – 1 = 9 – 1 – 1 = 7, получим табличное значение критерия (функция СТЬЮДРАСПОБР). Теryx1 n фактическое значение критерия в первых двух случаях выше табличного, то связь между результативным и факторными показателями x1 и x2 является надежной, а величина коэффициентов корреляции – значимой. Про фактор x3 можно сказать, что коэффициент корреляции значимым не является.

Матрица коэффициентов парной корреляции имеет вид:

По данным этой матрицы можно примерно оценить, какие факторы существенно влияют на переменную y, а какие – несущественно, а также выявить взаимосвязь между факторами.

После исключения фактора x3 корреляционная матрица имеет вид:

Связь между оставшимися факторами достаточно слабая (rx1x2 = 0,4359 < 0,8).

Коэффициент множественной корреляции принимает значения от 0 до 1, но несет в себе более универсальный смысл:

чем ближе его значение к единице, тем в большей степени учтены факторы, влияющие на зависимую переменную, тем более точной выглядит построенная на основе отобранных факторов модель. Расчет коэффициента множественной корреляции производится на основе значений коэффициентов парной корреляции:

где detK – определитель корреляционной матрицы; K11 – алгебраическое дополнение элемента первой строки и первого столбца матрицы K.

Найдем коэффициент множественной корреляции по формуле (или воспользуемся результатами, представленными в табл. 24):

Если коэффициент корреляции возвести в квадрат, получим коэффициент детерминации: D = R2.

Коэффициент детерминации D = 0,837. Это значит, что изменение рентабельности на 83,7% зависит от изменения исследуемых факторов, а на долю других факторов приходится 16,3% изменения результативного показателя. После исключения фактора коэффициент детерминации уменьшился несущественно (ранее D = 0,840). Значит, в корреляционную модель удалось включить наиболее существенные факторы.

Найдем уравнение регрессии для преобразованной модели.

Используем команды меню Сервис Анализ данных Регрессия (табл. 24).

Y-пересечение 6, Проверим значимость коэффициентов нового уравнения регрессии по критерию Стьюдента. Значения t-статистики (фактические значения) для показателей x1 и x2 равны соответственно 2,286 и 3,563, tтабл = t;nk1 = 1,943, следовательно, коэффициенты нового уравнения регрессии являются значимыми, а мультиколлинеарность устранена.

Это уравнение выражает зависимость уровня рентабельности от производительности труда и продолжительности оборота оборотных средств.

Коэффициенты уравнения показывают количественное воздействие каждого фактора на результативный показатель при неизменности других. В примере рентабельность повышается на 0,6359% при увеличении производительности труда на 1 тыс. ден. ед.; на 0,5209% – при увеличении продолжительности оборота оборотных средств на 1 день.

Определение уравнения линейной регрессии осуществляется также с помощью функции ЛИНЕЙН категории Статистические.

Для записи результата нужно выделить область размером 5(k + 1), где k – число переменных, а затем вызвать функцию ЛИНЕЙН.

В диалоговом окне требуется задать следующие аргументы: интервал значений Yi; блок значений Xi; константу; статистику. В полях Константа и Статистика следует задать значение Истина (первое – для того чтобы получить уравнение регрессии с ненулевым свободным членом, второе – для получения оценки достоверности этого уравнения регрессии). Задав аргументы, необходимо нажать Ctrl+Shift+Enter. Вывод результата осуществляется в следующем формате (табл. 25).

Результат применения функции ЛИНЕЙН В первой строке записываются коэффициенты уравнения регрессии в обратном порядке, во второй – их среднеквадратические отклонения. Первый элемент третьей строки – множественный коэффициент детерминации. Здесь SSост = ( yi yi ) 2 – остаточi = ная сумма квадратов; s = SSост / f ад – дисперсия адекватности;

f ад = n k 1 – число степеней свободы дисперсии адекватности;

используется для проверки значимости множественного коэффициента регрессии.

Проверим правильность полученных результатов, используя Уравнение регрессии и коэффициент детерминации совпадают с полученными ранее.

Коэффициенты эластичности рассчитываются по формуле:

и показывают, на сколько процентов в среднем изменяется функция с изменением аргумента на 1%.

Так, для переменной x1 коэффициент эластичности равен 0,2474, а для переменной x2 – 0,4454.

Согласно полученным данным, рентабельность возрастает на 0,247% при увеличении производительности труда на 1%; на 0,445% – при увеличении продолжительности оборота оборотных средств на 1%.

Для того чтобы убедиться в надежности уравнения связи и правомерности его использования для практических целей, необходимо дать статистическую оценку надежности показателей связи. Для этого используются критерий Фишера, средняя ошибка аппроксимации, коэффициенты множественной корреляции и детерминации.

Критерий Фишера. Значимость построенной модели проверяется следующим образом. Выдвигаем гипотезу Н0: модель незначима. Конкурирующая гипотеза Н1: модель значима. Гипотеза проверяется по критерию Фишера. Фактическая величина Fрасч сопоставляется с табличной и делается заключение о надежности связи. Если Fрасч Fтабл при заданном уровне значимости, то линейную модель можно считать адекватной (нулевая гипотеза отвергается).

Найдем фактическое значение критерия из результатов применения команд меню Сервис Анализ данных Регрессия (или функции ЛИНЕЙН):

Найдем табличное значение критерия: при уровне значимости = 0,1 и с учетом того, что в примере количество степеней свободы равно: 1 = k = 2 и 2 = n – k – 1 = 9 – 2 – 1 = 6, получим:

Fтабл = 3,4633 (функция FРАСПОБР). Так как Fрасч Fтабл, то построенную модель можно считать адекватной.

Для статистической оценки точности уравнения связи используется также средняя относительная ошибка аппроксимации:

Чем меньше теоретическая линия регрессии (рассчитанная по уравнению) отклоняется от фактической (эмпирической), тем меньше средняя относительная ошибка аппроксимации.

Средняя ошибка мала, что также свидетельствует об адекватности модели.

Следовательно, данное уравнение можно использовать для практических целей: оценки результатов хозяйственной деятельности; расчета влияния факторов на прирост результативного показателя; подсчета резервов повышения уровня исследуемого показателя; планирования и прогнозирования его величины.

Задача. Зависимость уровня рентабельности y (%) от производительности труда x1 (тыс. ден. ед.), продолжительности оборота оборотных средств предприятия x2 (дней) и материалоотдачи x3 (тыс. ден. ед.) приведена в табл. 26.

1. Считая, что между результативным и факторными признаками имеет место линейная связь, найти линейное уравнение регрессии.

2. Найти парные коэффициенты корреляции и составить корреляционную матрицу. По полученным данным сделать вывод о тесноте связи между рассматриваемыми переменными. Проверить значимость коэффициентов корреляции и проанализировать полученные данные. Сделать вывод о наличии либо отсутствии мультиколлинеарности и при необходимости устранить мультиколлинеарность.

3. Найти линейное уравнение регрессии для преобразованной модели. Для полученной линейной модели определить коэффициенты эластичности. Сделать выводы.

4. Проверить адекватность полученной модели по критерию Фишера и определить среднюю относительную ошибку аппроксимации. Уровень значимости = 0,1.

И ПРАКТИЧЕСКИЙ МИНИМУМ

5.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МИНИМУМ 1. Основные понятия эконометрики.

2. Элементы корреляционно-регрессионного анализа. Основные понятия корреляционного анализа.

3. Понятие о регрессионной модели.

4. Задачи корреляционно-регрессионного анализа.

5. Линейная парная регрессия.

6. Метод наименьших квадратов.

7. Модель множественной регрессии.

8. Коэффициент корреляции. Коэффициент детерминации.

9. Нелинейная эмпирическая регрессия.

10. Эконометрический анализ при нарушении классических предположений. Основные проблемы при нарушении классических предположений.

11. Мультиколлинеарность.

12. Автокорреляция.

13. Гетероскедастичность.

14. Временные ряды.

15. Системы одновременных уравнений.

Основные понятия эконометрики. Эконометрика – наука, объединяющая совокупность математико-статистических методов моделирования и количественного анализа экономических явлений и процессов.

Эконометрика позволяет найти количественное подтверждение (либо неподтверждение) того или иного экономического закона или гипотезы. Одним из важнейших направлений эконометрики является построение прогнозов по различным экономическим показателям.

Задачи эконометрики:

• спецификация модели – построение эконометрических моделей для эмпирического анализа;

• параметризация модели – оценка параметров модели;

• верификация модели – проверка качества параметров модели и самой модели в целом;

• прогнозирование модели – составление прогноза и рекомендаций для конкретных экономических явлений по результатам моделирования.

Эконометрическая модель – математическое описание соотношений между входными (объясняющими, независимыми, экзогенными) и выходными (объясняемыми, зависимыми, эндогенными) переменными изучаемого экономического явления или процесса, основанное на реальных статистических данных.

Эконометрическое моделирование – исследование экономических процессов посредством их эконометрических моделей.

Эконометрические модели условно делят на три класса.

1. Регрессионные модели с одним уравнением. Результативный признак представлен в виде функции факторных признаков Y = f(X) + = f (X1, X2, …, Xk) +, где Y – наблюдаемое значение объясняемой (эндогенной) переменной, которое зависит от значений объясняющих (экзогенных) переменных (факторов); – случайная ошибка (возмущение).

Объясняемая переменная Y – случайная величина (СВ) при заданных значениях объясняющих переменных Xi, i = 1, k. Объясняющие переменные в модели могут также носить случайный характер. Например, модель зависимости цены от объема поставки, модель зависимости спроса от цены на отдельный товар, модель зависимости спроса от реальных доходов потребителей, модель зависимости объема производства от производственных факторов.

2. Системы одновременных уравнений. Они состоят из уравнений, в которые наряду с факторными признаками включены и результативные признаки, т. е. одни и те же переменные могут одновременно рассматриваться как зависимые переменные в одних уравнениях и как независимые – в других.

3. Модели временных рядов. Результативный признак является функцией времени или переменных, относящихся к другим моментам времени.

В эконометрическом моделировании рассматриваются следующие типы данных:

• пространственные данные – набор сведений по разным объектам, взятым за один и тот же период времени (объем производства предприятий региона, численность сотрудников институтов и т. д.);

• временные данные – набор сведений, характеризующий один и тот же объект за разные периоды времени (индекс потребительских цен и др.).

Элементы корреляционно-регрессионного анализа. Основные понятия корреляционного анализа. Корреляционный анализ – раздел математической статистики, изучающий силу (тесноту) связи между признаками (между двумя признаками при парной связи и между результативным и множеством факторных признаков при многофакторной связи). Регрессионный анализ – раздел математической статистики, изучающий форму связи между признаками.

Различают следующие типы зависимостей между явлениями и их признаками:

1. Функциональная зависимость – связь, при которой каждому значению независимой переменной X соответствует точно определенное значение зависимой переменной Y (зависимость выработки продукции на одного рабочего от объема выпущенной продукции и численности рабочих).

2. Статистическая зависимость – связь, при которой каждому значению независимой переменной X соответствует множество значений зависимой переменной Y и изменение которой происходит в условиях неопределенности, имеющей, как правило, случайный характер (зависимость всхожести семян некоторых культур от количества микроэлементов при их обработке, зависимость производительности труда на предприятии от его энерговооруженности и т. д.).

3. Корреляционная зависимость – частный случай статистический зависимости – связь, при которой каждому значению независимой переменной X соответствует определенное математическое ожидание (среднее значение) зависимой переменной Y.

Условным математическим ожиданием (условной средней) M x (Y ) = M (Y X = x ) = Yx называется математическое ожидание СВ Y, вычисленное в предположении, что СВ X приняла значение x.

Корреляционная зависимость бывает:

• парная – связь между двумя признаками (результативным Y и факторным X или двумя факторными);

• частная – зависимость между результативным и одним факторным признаком или между двумя факторными признаками при фиксированных значениях других факторных признаков;

• множественная – зависимость между результативным признаком и двумя или более факторными признаками, включенными в исследование.

Теснота связи количественно выражается величиной коэффициента корреляции.

В зависимости от количества признаков, включенных в модель, связи подразделяются на два вида.

1. Однофакторные – связи между одним признаком-фактором и результативным признаком (при абстрагировании от влияния других факторов).

2. Многофакторные – связи между несколькими факторными признаками и результативным признаком (факторы действуют комплексно, т. е. одновременно и во взаимосвязи).

Корреляционная зависимость исследуется с помощью методов корреляционного и регрессионного анализа.

Понятие о регрессионной модели. Теоретическим уравнением (или просто уравнением) регрессии Y на X называется уравнение M (Y | X = x) = Yx = f (x). Функция f (x) называется теоретической регрессией (или просто регрессией) Y на X, а ее график – линией регрессии СВ Y на СВ X. При этом X является независимой (объясняющей) переменной, Y – зависимой (объясняемой) переменной. При рассмотрении зависимости двух СВ говорят о парной регрессии.

Зависимость нескольких переменных, выражаемую функцией где M (Y | x1, x2,..., xk ) – условное математическое ожидание (математическое ожидание СВ Y при условии, что СВ X1, X2,..., Xk приняли значения x1, x2,..., xk соответственно), называют множественной регрессией.

Поскольку реальные значения зависимой переменной не всегда совпадают с ее условными математическими ожиданиями и могут быть различными при одном и том же значении объясняющей переменной (наборе объясняющих переменных), фактическая зависимость должна учитывать ошибку (погрешность), которая также является СВ. Таким образом, связи между зависимой и объясняющей(ими) переменными можно описать соотношениями:

Задачи корреляционно-регрессионного анализа. Основные задачи корреляционно-регрессионного анализа:

1. Установление формы корреляционной связи, т. е. установление вида функции регрессии (линейная, квадратичная, показательная и т. д.).

2. Оценка тесноты корреляционной связи Y и X (степени рассеяния значений СВ Y около Yx ). Большое рассеяние означает слабую зависимость Y от X либо вообще ее отсутствие. Малое рассеяние указывает на существование достаточно сильной зависимости Y от X.

3. Оценка неизвестных параметров регрессионной модели, проверка гипотез об их значимости и адекватности модели рассматриваемому экономическому объекту.

Выбор формулы связи переменных называется спецификацией уравнения регрессии. В случае парной регрессии выбор формулы обычно осуществляется по графическому изображению реальных статистических данных.

Пример 1. Для анализа зависимости инвестиций (Y) предприятия от объемов (X) производства исследуются данные 12 однотипных предприятий, которые приведены в табл. 27.

Показатель Инвестиции yi, Необходимо построить корреляционное поле.

Решение. Построим корреляционное поле (рис. 17).

По расположению точек на корреляционном поле полагаем, что зависимость между X и Y близка к линейной.

Линейная парная регрессия. По выборке ограниченного объема можно искать (приближенно) регрессионную зависимость в определенном виде, например в виде линейной зависимости (эмпирическое линейное уравнение регрессии):

где yi – оценка условного математического ожидания M (Y | X = xi ) ;

b0 и b1 – оценки неизвестных параметров, называемые эмпирическими коэффициентами линейной регрессии, отклонение ei – оценка теоретического случайного отклонения i.

Модель линейной регрессии (линейное уравнение) является наиболее распространенным (и простым) видом зависимости между экономическими переменными. Кроме того, построенное линейное уравнение может служить начальным этапом эконометрического анализа.

Задачи линейного регрессионного анализа (см. пример 2):

1. По имеющимся статистическим данным (xi; yi), i = 1, n, получить наилучшие оценки неизвестных параметров.

2. Проверить статистические гипотезы о параметрах модели.

3. Проверить, достаточно ли хорошо модель согласуется со статистическими данными (адекватность модели данным наблюдений).

Метод наименьших квадратов. Различные выборки из одной и той же генеральной совокупности обычно приводят к определению отличающихся друг от друга оценок. Требуется по конкретной выборке (xi; yi), i = 1, n, найти оценки b0 и b1 неизвестных параметров уравнения (*) так, чтобы соответствующая линия регрессии (прямая) являлась бы наилучшей в некотором смысле среди всех других прямых. Другими словами, построенная прямая должна быть «ближайшей» к совокупности точек наблюдений.

Мерами качества найденных оценок могут служить определенные функции отклонений (невязок) ei = yi yi, i = 1, n (рис. 18).

Самым распространенным методом нахождения коэффициентов (оценок) b0 и b1 уравнения эмпирической линейной регрессии является метод наименьших квадратов (МНК). Согласно МНК, эти коэффициенты выбираются таким образом, чтобы минимизировать функцию (сумму квадратов отклонений) Необходимым условием минимума данной функции является равенство нулю ее частных производных по параметрам b0 и b1, откуда для определения параметров линейной регрессии получаем линейную систему алгебраических уравнений:

Коэффициент b1 называется выборочным коэффициентом регрессии Y на X. Он показывает, на сколько единиц в среднем изменяется переменная Y при увеличении переменной X на одну единицу.

Коэффициент b1 нельзя непосредственно использовать для оценки влияния факторного признака x на результативный признак y из-за различия единиц измерения исследуемых показателей.

Для этих целей применяется коэффициент эластичности. Для эмпирической линейной регрессии коэффициент эластичности где x = xi, y = yi – средние значения независимой и завиn i =1 n i = симой переменных.

Напомним, что в общем случае коэффициент эластичности определяется по формуле:

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется результативный признак y при изменении факторного признака x на один процент.

Для проверки гипотез о статистической значимости коэффициента регрессии, т. е. гипотезы Н0: b1 = 0 и конкурирующей (альтернативной) гипотезы Н1: b1 0 используется t-статистика:

которая, при выполнении исходных предпосылок модели, имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы = n – k – 1, где n – число наблюдений, k – число независимых переменных в уравнении регрессии, а Sb1 – стандартная ошибка коэффициента регрессии. Если речь идет о парной линейной регрессии, то k = 1.

Гипотеза Н0 отклоняется, если tрасч = tтабл = t ;nk 1, где – требуемый уровень значимости.

Если гипотеза Н0 принимается, то есть основание полагать, что величина Y не зависит от X. В этом случае говорят, что коэффициент b1 статистически незначим. При отклонении гипотезы Н0 коэффициент b1 считается статистически значимым, что указывает на наличие линейной зависимости между Y и X.

Для парной регрессии более важным является анализ статистической значимости коэффициента b1, т. к. именно он позволяет оценить влияние объясняющей переменной X на зависимую переменную Y.

Воздействие неучтенных факторов и ошибок наблюдений определяется с помощью дисперсии случайных отклонений D(i).

Несмещенной оценкой этой дисперсии является выборочная остаточная дисперсия.

Прогнозируемое значение переменной y вычисляется по формуле:

Данный прогноз является точечным.

Пример 2. Для данных примера 1 найти уравнение регрессии Y по X, а также вычислить коэффициент эластичности. Сделать статистические выводы.

Решение. Найдем уравнение регрессии Y по X. Будем искать уравнение регрессии в виде yi = b0 + b1 xi, i = 1, n.

Вычисления по МНК удобно выполнять, используя данные табл. 28.

Согласно МНК, имеем:

Таким образом, эмпирическое уравнение парной линейной регрессии имеет вид:

Изобразим данную прямую на корреляционном поле (см.

рис. 17). Построим ее, например, по следующим двум точкам:

( x ; y ) = (32,42; 24, 42) и ( x ; y ) = (20; 15,07).

Коэффициент b1 = 0,754 показывает, на какую величину изменятся инвестиции в данное предприятие, если его объем производства возрастет на одну единицу.

Коэффициент эластичности Э yx = b1 = 1,001 (или Э yx = f ( x) ) показывает, на сколько процентов в среднем изменяются инвестиции с изменением объема производства на 1%.

Модель множественной регрессии. Уравнение множественной эмпирической линейной регрессии имеет вид:

где yi (i = 1, n) – i-е наблюдение зависимой переменной;

xi1, xi2, …, xik (i = 1, n) – i-е наблюдения независимых переменных x1, x2, …, xk; n – количество наблюдений (объем выборки); k – количество независимых переменных в уравнении.

Оценка параметров регрессии обычно осуществляется по методу наименьших квадратов:

Метод наименьших квадратов предусматривает нахождение параметров b0, b1, b2, …, bk из условия минимума суммы квадратов отклонений. Используя необходимое условие экстремума, получим систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов b0, b1, b2, …, bk:

Оценку параметров модели можно провести в матричной форме. Уравнение линейной множественной регрессии в матричной форме имеет вид:

где Y = (y1, y2,..., yn) – вектор значений зависимой переменной разx11 x12... x1k зависимых переменных x1, x2,..., xk; B = (b0, b1,..., bk) – подлежащий оценке вектор неизвестных параметров; = (1, 2, …, n) – вектор случайных отклонений.

Тогда формула для вычисления параметров регрессионного уравнения по методу наименьших квадратов имеет вид:

где X' – транспонированная матрица X; (XX)–1 – обратная матрица.

В частном случае для двухфакторной модели получаем матричное уравнение Коэффициенты b1, b2,..., bk показывают количественное воздействие каждого фактора на результативный показатель при неизменности значений других факторов.

Коэффициенты эластичности рассчитываются по формуле:

Коэффициенты эластичности показывают, на сколько процентов в среднем изменяется функция с изменением аргумента на 1%.

Коэффициент корреляции. Коэффициент детерминации.

Коэффициент парной корреляции используется в качестве меры, характеризующей степень линейной связи двух переменных. Он представляет собой ковариацию двух наборов данных, деленную на произведение их стандартных отклонений:

Коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.

Если r > 0, то полагаем, что корреляционная связь между переменными является прямой, если r < 0 – обратной.

Если r = ±1, корреляционная связь представляется линейной функциональной зависимостью. При r = 0 линейная корреляционная связь отсутствует.

Множественная корреляция возникает от взаимодействия нескольких факторов с результативным показателем.

Значительный интерес представляют коэффициенты корреляции, характеризующие взаимосвязь факторов между собой. В корреляционную модель следует подбирать независимые между собой факторы. Если коэффициент корреляции двух факторов выше 0,8, то один из этих факторов рекомендуется исключить из модели.

Качественные характеристики связи представлены в табл. 29.

В случае парной линейной регрессии коэффициент корреляции также можно вычислить по формуле:

где x, y – средние квадратические отклонения случайных величин х и у.

Матрица коэффициентов парной корреляции (корреляционная матрица) имеет вид:

По данным этой матрицы можно примерно оценить, какие факторы существенно влияют на переменную y, а какие – несущественно, а также выявить взаимосвязь между факторами.

Для линейной множественной регрессии коэффициент множественной корреляции определяется по формуле:

где detK – определитель корреляционной матрицы; K11 – алгебраическое дополнение элемента первой строки и первого столбца матрицы K.

Коэффициент множественной корреляции принимает значения от 0 до 1. Чем ближе его значение к единице, тем в большей степени учтены факторы, влияющие на зависимую переменную, тем более точной является построенная на основе отобранных факторов модель.

Индекс корреляции (коэффициент множественной корреляции) вычисляется по формуле:

Чем выше значение R, тем вероятнее близость расчетных значений результативного признака к фактическим. Данный показатель используется при любой форме связи переменных.

Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака характеризует коэффициент детерминации D = R2, получаемый возведением в квадрат коэффициента множественной корреляции.

О полноте связи можно судить по величине коэффициентов множественной корреляции и детерминации. Например, если R = 0,92, a D = 0,85, то это значит, что вариация результативного признака на 85% зависит от изменения исследуемых факторов, а на долю других факторов приходится 15% вариации результативного показателя. Следовательно, в корреляционную модель удалось включить наиболее существенные факторы.

Для проверки гипотез о статистической значимости коэффициента корреляции, т.е. гипотез при заданном уровне значимости и объеме выборки n используется t-статистика:

По таблице критических точек распределения Стьюдента по заданному уровню значимости и числу степеней свободы = n – находят tкр = tтабл = t;n–2. Если tрасч tкр, нет оснований отвергнуть гипотезу H0. Если tрасч > tкр, то гипотезу H0 о равенстве коэффициента корреляции нулю отвергают. Другими словами, r значительно отличается от нуля, т. е. СВ X и СВ Y коррелированны.

Значимость построенной модели проверяется следующим образом. Выдвигаем гипотезу H 0 : модель незначима. Конкурирующая гипотеза H1: модель значима. Гипотеза проверяется по критерию Фишера. Фактическая величина сопоставляется с табличной и делается заключение о надежности связи. Здесь k – количество независимых переменных в уравнении связи.

Если Fрасч Fтабл = F ;1 ; 2 со степенями свободы 1 = k; 2 = n – k – при заданном уровне значимости, то линейную модель можно считать адекватной, гипотеза о случайной природе зависимости между оцениваемыми характеристиками (нулевая гипотеза) отклоняется и признается статистическая значимость и надежность модели.

Определение меры точности модели производится с помощью расчета средней относительной ошибки аппроксимации Допустимый предел значений Eотн составляет не более 8–15%.

Графическое представление поведения остаточного члена е:

позволяет проанализировать наличие автокорреляции и гетероскедастичности (непостоянства дисперсий отклонений). С помощью графического представления отклонений может быть обнаружена неправильная спецификация уравнения.

Пример 3. По данным примеров 1 и 2 оценить тесноту и направление связи между переменными с помощью коэффициента корреляции; оценить значимость полученного коэффициента корреляции по критерию Стьюдента (уровень значимости = 0,1);

проверить адекватность полученной модели по критерию Фишера.

Сделать выводы.

Решение. Оценим тесноту и направление связи между переменными с помощью коэффициента корреляции rxy = 0,9. Поскольку коэффициент корреляции положительный, связь прямая. Так как коэффициент корреляции близок к единице, то связь сильная.

Для проверки значимости коэффициента корреляции используется t-критерий Стьюдента При уровне значимости = 0,1 и с учетом того, что в примере количество степеней свободы равно: = n – k – 1 = 12 – 1 – 1 = 10, получим: tтабл = t0,1;10 = 1,81. Так как tрасч > tтабл, то значение коэффициента корреляции признается значимым. Парный коэффициент детерминации D = rxy = 0,81. Это значит, что изменение y на 81% зависит от изменения исследуемых факторов, а на долю других факторов приходится 19% изменения результативного показателя.

Для проверки адекватности модели используется F-статистика (критерий Фишера) При заданном уровне значимости = 0,1 и с учетом того, что количество степеней свободы равно: 1 = k = 1, 2 = n – k – 1 = 10, получим: Fтабл = 3,285. Расчетное значение критерия больше табличного, поэтому модель можно считать значимой, гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется, признается их статистическая значимость.

Нелинейная эмпирическая регрессия. Многие экономические зависимости не являются линейными по своей сути, и поэтому их моделирование линейными уравнениями регрессии не дает положительного результата.

Нелинейность может проявляться как относительно переменных, так и относительно входящих в функцию коэффициентов.

Оценка параметров регрессии, нелинейной по переменным, включенным в анализ, но линейной по оцениваемым параметрам, проводится с помощью МНК путем решения системы линейных алгебраических уравнений.

1. Степенные модели вида y = bxa, где a, b – параметры модели (рис. 19).

Прологарифмируем выражение y = bx a : ln y = ln b + a ln x. Выполним замену: Y = ln y; X = ln x; b0 = ln b; b1 = a. Тогда получим:

Y = b0 + b1 X. Коэффициент b1 определяет эластичность переменной y по переменной x и является константой.

Данная модель легко обобщается на большее число переменных. Например, ln y = b0 + b1 ln x1 + b2 ln x2 +. Здесь коэффициенты b1 и b2 являются эластичноcтями переменной y по переменным x1 и x2 соответственно.

2. Показательная модель y = beax, b > 0 (рис. 20).

Прологарифмируем выражение y = beax: ln y = ln b + ax.

Выполним замену: Y = ln y; X = x; b0 = ln b; b1 = a. Получим линейную модель Y = b0 + b1 X.

3. Логарифмические модели – это модели вида y = a ln x + b (рис. 21). Они сводятся к линейной модели заменой Y = y;

– исследование матрицы XX. Если определитель матрицы XX близок к нулю, то это свидетельствует о возможности наличия мультиколлинеарности;

– выявление статистически незначимых коэффициентов регрессии (т. е. имеющих низкие t-статистики) при достаточно высоком коэффициенте детерминации R2;

Выделяют следующие методы устранения или уменьшения мультиколлинеарности:

1. Сравнение значений линейных коэффициентов корреляции.

При отборе факторов предпочтение отдается тому, который более тесно, чем другие факторы, связан с результативным признаком, причем желательно, чтобы связь данного факторного признака с у была выше, чем его связь с другими факторными признаками.

2. Метод включения факторов. В модель включаются факторы по одному в определенной последовательности. После включения каждого фактора в модель рассчитывают ее характеристики и проверяют модель на достоверность.

3. Метод исключения факторов. В модель включаются все факторы. После построения уравнения регрессии из модели исключают фактор, коэффициент при котором незначим и имеет наименьшее значение t-критерия. Процесс исключения факторов продолжается до тех пор, пока все коэффициенты регрессии не будут значимы.

4. Получение дополнительных данных или новой выборки.

5. Изменение спецификации модели.

6. Использование предварительной информации о некоторых параметрах.

Автокорреляция. Автокорреляция (последовательная корреляция) определяется как корреляция между наблюдаемыми показателями, упорядоченными во времени (временные ряды) или в пространстве (перекрестные данные).

Автокорреляция остатков (отклонений) обычно встречается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов.

Методы определения автокорреляции:

1. Графический метод. По оси абсцисс откладываются либо время (момент) получения статистических данных, либо порядковый номер наблюдения, а по оси ординат – отклонения (или оценки отклонений). По графику предполагают, имеются ли определенные связи между отклонениями, т. е. автокорреляция. Отсутствие зависимости, скорее всего, свидетельствует об отсутствии автокорреляции. Данный график можно также дополнить графиком зависимости et от et–1.

2. Тест Дарбина – Уотсона.

Гетероскедастичность. Одной из ключевых предпосылок МНК является условие постоянства дисперсий случайных отклонений. Выполнимость данной предпосылки называется гомоскедастичностью, а невыполнимость – гетероскедастичностью (непостоянством дисперсий отклонений).

Проблема гетероскедастичности характерна для перекрестных данных и довольно редко встречается при рассмотрении временных рядов.

Не существует однозначного метода определения гетероскедастичности. Однако для проверки разработано много тестов и критериев. Наиболее популярные и наглядные: графический анализ отклонений, тест ранговой корреляции Спирмена, тест Парка, тест Глейзера, тест Голдфелда – Квандта.

Использование графического представления отклонений позволяет определиться с наличием гетероскедастичности. В этом случае по оси абсцисс откладываются значения объясняющей переменной X (либо линейной комбинации объясняющих переменных), а по оси ординат – либо отклонения, либо их квадраты.

Если все отклонения находятся внутри полосы постоянной ширины, параллельной оси абсцисс, то это говорит о независимости дисперсий от значений переменной X и их постоянстве, т. е. в этом случае выполняются условия гомоскедастичности.

Если наблюдаются некоторые систематические изменения в соотношениях между значениями переменной X и квадратами отклонений (линейная, квадратичная, гиперболическая и другие зависимости), то такие ситуации отражают большую вероятность наличия гетероскедастичности для рассматриваемых статистических данных.

Временные ряды. Для характеристики и анализа различных социально-экономических явлений за определенный период применяют показатели и методы, характеризующие эти процессы во времени (динамике). Под временным рядом в экономике понимается последовательность наблюдений некоторого признака (случайной величины) Y в последовательные моменты времени. Отдельные наблюдения, которые называются уровнями ряда, будем обозначать уt, t = 1, n (где п – число уровней).

Последовательно расположенные во времени числовые показатели характеризуют уровень состояния и изменения явления или процесса.

Классификация временных рядов:

1. В зависимости от показателя времени временные ряды бывают моментные (на определенную дату) и интервальные (за определенный период).

2. По форме представления уровни во временном ряду могут быть представлены абсолютными, средними и относительными величинами.

3. По расстоянию между уровнями временные ряды подразделяются на ряды с равноотстоящими и неравноотстоящими уровнями по времени. В равноотстоящих рядах даты регистрации периода следуют друг за другом с равными интервалами, в неравноотстоящих рядах равные интервалы не соблюдаются.

4. По содержанию временные ряды подразделяют на состоящие из частных и агрегированных показателей. Частные показатели характеризуют явления изолированно, односторонне (например, динамика показателей среднесуточного объема потребленной воды). Агрегированные показатели являются производными от частных показателей и характеризуют изучаемое явление комплексно (например, динамика показателей экономической конъюнктуры).

Каждый уровень временного ряда формируется из трендовой, циклической, сезонной и случайной компонент. В случае относительно коротких временных рядов (например, 3–5 лет) циклическая компонента отдельно не выделяется, а происходит объединение циклической компоненты с трендом.

В общем виде модель экономического временного ряда может быть представлена следующим образом:

где ut – тренд, плавно меняющаяся компонента, описывающая чистое влияние долговременных факторов, т. е. длительную тенденцию изменения признака (например, рост населения, экономическое развитие, изменение структуры потребления и т. п.); vt – сезонная компонента, отражающая повторяемость экономических процессов в течение не очень длительного периода: года, иногда месяца, недели и т. д. (например, объем продаж товаров или перевозок пассажиров в различные времена года); t – случайная компонента, отражающая влияние не поддающихся учету и регистрации случайных факторов.

Следует обратить внимание на то, что в отличие от компоненты t составляющие ut, vt являются закономерными, неслучайными.

Модели, в которых временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называются аддитивными; как произведение – мультипликативными моделями временного ряда.

Аддитивная модель имеет вид: yt = ut + vt + t.

Мультипликативная модель имеет вид: yt = ut · vt · t. Такую модель применяют в случае, если происходят существенные сезонные изменения.

Среди наиболее распространенных методов анализа временных рядов выделим корреляционный анализ, модели авторегрессии и скользящей средней.

Важную роль в анализе временных рядов играют стационарные временные ряды, вероятностные свойства которых не изменяются во времени. Стационарные временные ряды применяются, в частности, при описании случайных составляющих анализируемых рядов. Временной ряд yt называется стационарным, если совместное распределение вероятностей p наблюдений y1, y2, …, yp такое же, как и распределение вероятностей p наблюдений y1+, y2+, …, yp+ при любых p и. Иначе говоря, свойства стационарных рядов yt не зависят от момента t, т. е. закон распределения и его числовые характеристики не зависят от t. Поэтому математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение могут быть оценены по наблюдениям yt, t = 1, n, по формулам:

Степень тесноты связи между компонентами временного ряда yt (сдвинутых относительно друг друга на единиц, или, как говорят, с лагом ) может быть определена с помощью коэффициента корреляции.

Системы одновременных уравнений. Для изучения комплексных экономических явлений средствами эконометрики, как правило, применяют не отдельные уравнения регрессии, а системы уравнений.

Виды систем эконометрических уравнений:

1. Система независимых уравнений. Каждый результативный признак (объясняемая переменная) yj, j = 1, n, является функцией одной и той же совокупности факторов (объясняющих переменных) xi, i = 1, m. Набор факторов в каждом уравнении системы может варьироваться в зависимости от изучаемого явления.

2. Система рекурсивных уравнений. Результативный признак yj, j = 1, n, одного уравнения системы в каждом последующем уравнении является фактором наряду с одной и той же совокупностью факторов xi, i = 1, m.

3. Система одновременных уравнений. Результативный признак yj, j = 1, n, одного уравнения системы входит во все другие уравнения системы в качестве фактора наряду с одной и той же совокупностью факторов xi, i = 1, m. Такие системы эффективны в эконометрических исследованиях и наиболее широко применяются в макроэкономике.

Параметры системы независимых или рекурсивных уравнений определяют с помощью МНК. Для исследования системы одновременных уравнений требуются другие, отличные от МНК методы.

Система одновременных уравнений может быть представлена:

• в виде структурной формы модели;

• в виде приведенной формы модели.

Основными составляющими обеих форм записи являются эндогенные и экзогенные переменные. Эндогенные переменные (у) определяются внутри модели и являются зависимыми переменными.

Экзогенные переменные (х) определяются вне системы и являются независимыми переменными. Предполагается, что экзогенные переменные не коррелируют с ошибкой в соответствующем уравнении.

Под предопределенными переменными системы одновременных уравнений понимают экзогенные и лаговые (за предыдущие моменты времени) эндогенные переменные этой системы.

Структурная форма модели имеет вид:

где ci0, i = 1, n, – свободный член уравнения модели; bij, i = 1, n;

j = 1, m, – коэффициент при эндогенной переменной модели;

aij, i = 1, n; j = 1, m, – коэффициент при экзогенной переменной;

i, i = 1, n, – случайная составляющая (ошибка) i-го уравнения структурной формы модели.

Наряду с регрессионными уравнениями в модели могут быть записаны и тождества.

Таким образом, структурные уравнения модели подразделяются на два класса:

1. Поведенческие уравнения. Описывают взаимодействие между экзогенными и эндогенными переменными.

2. Тождества. Устанавливают соотношения между эндогенными переменными, не содержат случайных составляющих и структурных коэффициентов модели.

Структурная форма модели может быть преобразована в приведенную форму:

где i0, i = 1, n, – свободный член уравнения модели; ij, i = 1, n;

j = 1, m, – коэффициент при предопределенной переменной, являющийся функцией коэффициентов структурной формы модели; i, i = 1, n, – случайная составляющая (ошибка) i-го уравнения приведенной формы модели.

Идентификация – это установление соответствия между приведенной и структурной формами модели. Единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели составляет задачу идентификации.

Классы структурных моделей с точки зрения задачи идентификации:

1. Идентифицируемая. Все структурные коэффициенты однозначно определяются через приведенные коэффициенты.

2. Неидентифицируемая. Структурные коэффициенты невозможно найти по приведенным коэффициентам.

3. Сверхидентифицируемая. Структурные коэффициенты, выраженные через приведенные коэффициенты, имеют два и более числовых значения.

Необходимое условие идентифицируемости уравнений системы:

если уравнение модели идентифицируемо, то количество эндогенных переменных (n) этого уравнения на единицу больше количества предопределенных переменных (р) системы, не входящих в данное уравнение: n = p + 1. Если п < р + 1, то уравнение сверхидентифицируемо;

если п > р + 1, то уравнение неидентифицируемо.

Достаточное условие идентифицируемости уравнений системы: если определитель ( * ) матрицы коэффициентов (А) при переменных системы, не входящих в данное уравнение, не равен нулю ( * 0 ) и количество эндогенных переменных системы без единицы равно рангу этой матрицы (rank A = n 1), то уравнение модели идентифицируемо.

Проверка структурной модели на идентифицируемость позволяет установить степень возможности оценки коэффициентов структурных уравнений по коэффициентам приведенных уравнений.

Модель идентифицируема тогда и только тогда, когда идентифицируемо каждое ее уравнение. Идентификация не применяется для тождеств модели.

Для получения качественных оценок параметров системы одновременных уравнений пользуются косвенным МНК, алгоритм которого следующий:

1. Структурная форма модели преобразуется в приведенную форму.

2. С помощью МНК оцениваются параметры приведенной формы.

3. Приведенная форма преобразуется в структурную форму.

Область применения косвенного МНК ограничивается идентифицируемыми системами одновременных уравнений.

Пример 5. Проверить, идентифицируемы ли уравнения (1) и (2) модели предложения и спроса кейнсианского типа:

где y1t – спрос на товар в момент времени t; y2t – предложение товара в момент t; y3t – цена товара в момент t; y3,t–1 – цена товара в момент (t – 1); x1t – доход в момент t; t – текущий период; (t – 1) – предыдущий период.

Решение. Запишем систему в виде:

Запишем коэффициенты последней системы в виде табл. 34.

Уравнение (1):

а) необходимое условие: эндогенных переменных две (y1t, y3t), отсутствующих экзогенных – одна (y3,t–1). Таким образом, п = 2, р = и выполняется необходимое условие идентификации (n = p + 1):

б) достаточное условие. В первом уравнении отсутствуют переменные y2t и y3,t–1. Запишем матрицу коэффициентов при этих переменных в других уравнениях системы (табл. 35).

Матрица коэффициентов при отсутствующих переменных Матрица коэффициентов при переменных системы, не входяa щих в уравнение, A =. Ранг этой матрицы rankA = 2 (равен количеству эндогенных переменных модели минус один). Причем * = A = 1 0 1 a23 = a23 0. Достаточное условие идентифицируемости также выполняется. Следовательно, можно сделать вывод, что уравнение (1) идентифицируемо.

Уравнение (2):

а) п = 2, р = 1. Выполняется необходимое условие идентификации (n = p + 1): 2 = 1 + 1;

б) матрица коэффициентов при переменных системы, не вхоa (равен количеству эндогенных переменных модели минус один).

Причем * = A = a11 0. Достаточное условие идентифицируемости также выполняется. Следовательно, можно сделать вывод, что уравнение (2) идентифицируемо.

Основные понятия эконометрики 1. Перечислите задачи эконометрики.

2. Что понимается под эконометрическим моделированием?

3. Определите, к какому классу относится каждая из следующих моделей:

4. Какие типы данных используются в эконометрическом моделировании?

Элементы корреляционно-регрессионного анализа 1. В чем заключается корреляционный анализ?

2. В чем заключается регрессионный анализ?

3. При каком значении линейного коэффициента корреляции связь между признаками можно считать тесной?

4. Какой критерий используют для оценки значимости коэффициента корреляции?

5. Чему равен коэффициент детерминации в модели вида y = b0 + b1x, если коэффициент корреляции между признаками x и y принимает значение 0,687?

6. Какой коэффициент определяет среднее изменение результативного признака при изменении факторного признака на 1%?

7. Какой критерий используют для оценки значимости уравнения регрессии?

8. Какие виды нелинейных эконометрических моделей Вы знаете?

Эконометрический анализ при нарушении классических предположений. Временные ряды 1. Объясните значение термина «мультиколлинеарность».

2. Каковы основные последствия мультиколлинеарности?

3. Как можно обнаружить мультиколлинеарность?

4. Как оценивается коррелированность между двумя объясняющими переменными?

5. Перечислите основные методы устранения мультиколлинеарности.

6. Что такое автокорреляция?

7. Перечислите методы обнаружения автокорреляции.

8. В чем суть гетероскедастичности?

9. Что называется временным рядом?

10. Какие составляющие временного ряда Вы знаете?

11. Какой временной ряд называется стационарным?

Системы одновременных уравнений 1. Перечислите виды систем эконометрических уравнений.

2. Какие виды переменных встречаются в системах одновременных уравнений?

3. Какой вид имеет структурная форма модели?

4. Какой вид имеет приведенная форма модели?

5. Перечислите классы структурных уравнений модели. Объясните, в чем их отличие.

6. Что такое идентификация модели?

7. Какие структурные модели выделяются с точки зрения задачи идентификации?

8. Сформулируйте необходимое условие идентифицируемости уравнений системы.

9. Сформулируйте достаточное условие идентифицируемости уравнений системы.

10. Опишите алгоритм косвенного метода наименьших квадратов.

Элементы корреляционно-регрессионного анализа Пример 6. Для анализа зависимости инвестиций (y) предприятия от объемов (x) производства исследуются данные 12 однотипных предприятий (табл. 36).

Зависимость инвестиций предприятия Инвестиции yi, тыс. ден. ед. 12 15 18 20 22 17 19 25 31 30 Объем производства xi, млрд. шт. 17 19 20 21 28 30 31 38 42 48 Необходимо:

1) построить корреляционное поле;

2) оценить тесноту и направление связи между переменными с помощью коэффициента корреляции;

3) оценить значимость полученного коэффициента корреляции по критерию Стьюдента (уровень значимости = 0,1);

4) вычислить коэффициент детерминации;

5) найти уравнение регрессии Y по X;

6) вычислить коэффициент эластичности;

7) проверить адекватность полученной модели по критерию Фишера;

8) cделать выводы.

Решение.

Пункт 1) см. пример 1.

Пункты 2)–5) см. пример 2.

Пункты 6), 7) см. пример 3.

Отметим, что уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных. Индивидуальные значения переменных в силу различных причин могут отклоняться от модельных значений. Однако при определенных условиях уравнение регрессии служит основным качественным инструментом анализа и прогнозирования.

Пример 7. Для трех видов продукции (А, В и С) модели зависимости удельных постоянных расходов от объема выпускаемой продукции выглядят следующим образом: y A = 600; yB = 80 + 0,7 x;

yC = 40 x 0,5.

1. Определите коэффициенты эластичности по каждому виду продукции и поясните их смысл.

2. Сравните эластичность затрат для продукции В и С при х = 100.

3. Определите, каким должен быть объем выпускаемой продукции, чтобы коэффициенты эластичности для продукции В и С были равны.

Решение.

1. Коэффициент эластичности определяется по формуле Э yx = f ( x). Поскольку y = 600 = 0; y = (80) + (0,7 x) = 0,7;

yC = (40 x 0,5 ) = 20 x 0,5, то коэффициент эластичности Э A = 0;

Э B = 0,7 x /(80 + 0,7 x); ЭC = 0,5. Коэффициент эластичности показывает, что с изменением объема выпуска продукции на 1% удельные постоянные расходы для продукции А не изменяются, для продукции В изменяются на 0,7 x / (80 + 0,7 x) % (в зависимости от объема выпускаемой продукции х); для продукции С в среднем изменяются на 0,5%.

2. При х = 100 эластичность затрат для продукции В равна:

Э B = 0,7 100 /(80 + 0,7 100) = 70 /150 = 7 /15 0,467; для продукции С равна 0,5, следовательно, эластичность затрат для продукции В ниже, чем для продукции С.

3. Чтобы коэффициенты эластичности для продукции В и С были равны, должно выполняться равенство 0,7 x /(80 + 0,7 x) = 0,5, следовательно, объем выпускаемой продукции х = 800/7.

Эконометрический анализ при нарушении классических предположений Пример 8. Зависимость уровня рентабельности y (ед.) от производительности труда x1 (тыс. ден. ед.), продолжительности оборота оборотных средств предприятия x2 (дней) и материалоотдачи x3 (тыс. ден. ед.) приведена в табл. 37.

от производительности труда, продолжительности оборота оборотных средств предприятия и материалоотдачи Найти парные коэффициенты корреляции и составить корреляционную матрицу. По полученным данным сделать вывод о тесноте связи между рассматриваемыми переменными. Проверить значимость коэффициентов корреляции и проанализировать полученные данные. Выяснить, имеет ли место мультиколлинеарность, и устранить ее при необходимости.

Решение. Найдем средние значения: y = yi = 21,4;

x1 = xi1 = 8,21; x2 = xi 2 = 18,2; x3 = xi 3 = 592, n = 10, а x1 = 0,777; x2 = 1,327; x3 = 14,613.

Найдем коэффициенты корреляции по следующей формуле:

ryx3 = 0, 404 показывают связь между результативным признаком y и факторами x1, x2, x3 соответственно; а коэффициенты rx1x2 = 0,525; rx1x3 = 0,851; rx2 x3 = 0,173 показывают связь между факторными признаками.

Тогда корреляционная матрица имеет вид:

Так как rx1x2 = 0,525 < 0,8 и rx2 x3 = 0,173 < 0,8, то связь между факторами x1 и x2, а также между x2 и x3 достаточно слабая, и эти факторы можно включить в модель; rx1x3 = 0,851 > 0,8, поэтому связь между факторами x1 и x3 достаточно сильная и есть основания полагать, что имеет место мультиколлинеарность.

Проверим значимость коэффициентов корреляции по критерию Стьюдента. При уровне значимости = 0,1 и с учетом того, что в примере количество степеней свободы равно:

= n k 1 = 10 1 1 = 8, получим табличное значение критерия:

tтабл = 1,86. Теперь вычислим фактические значения. Для переменной x1 расчетное значение t равно 3,208, для переменной x2 – 7,96, а для переменной x3 – 1,448.

Поскольку фактическое значение t в первых двух случаях выше табличного, то связь между результативным и факторными показателями x1 и x2 является надежной, а величина коэффициентов корреляции – значимой. Про фактор x3 можно сказать, что его следует исключить из модели, т. к. имеет место тесная связь между факторами x1, x3 и коэффициент корреляции значимым не является. В результате исключения фактора x3 из рассмотрения мультиколлинеарность устраняется.

Пример 9. По данным примера 8 найти линейное уравнение связи (регрессии), считая, что между результативным и факторными признаками имеет место линейная связь. Для полученной линейной модели определить коэффициенты эластичности. Сделать выводы.

Решение. Найдем уравнение регрессии. Используя метод наименьших квадратов, получим систему уравнений, которая в матричном виде (более удобном для расчетов в нашем случае) может быть представлена следующим образом:

Составим следующие матрицы:

Тогда по формуле В = ( X X ) ( X Y ) найдем вектор коэффициентов регрессии. Сначала вычислим обратную матрицу:

а затем вектор В:

Запишем уравнение регрессии: y = 8,648 + 0,426 x1 + 0,509 x2.

Это уравнение выражает зависимость уровня рентабельности от производительности труда и продолжительности оборота оборотных средств. Коэффициенты уравнения показывают количественное воздействие каждого фактора на результативный показатель при неизменности других. В примере рентабельность в среднем повышается на 0,426 ед. при увеличении производительности труда на 1 тыс. ден. ед. и на 0,509 ед. – при увеличении продолжительности оборота оборотных средств на 1 день.

Коэффициенты эластичности найдем по формуле Эi = bi i.

Для переменной x1 коэффициент эластичности равен 0,163, а для переменной x2 – 0,433.

Согласно полученным данным, рентабельность возрастает на 0,16% при увеличении производительности труда на 1%; на 0,43% – при увеличении продолжительности оборота оборотных средств на 1%.

Пример 10. Проверить адекватность полученной в примере модели по критерию Фишера и определить среднюю ошибку аппроксимации. Уровень значимости = 0,1.

Решение. Для того чтобы убедиться в надежности уравнения связи и правомерности его использования для практических целей, необходимо дать статистическую оценку надежности показателей связи.

По корреляционной матрице найдем коэффициент множественной корреляции где det K – определитель корреляционной матрицы; K11 – алгебраическое дополнение элемента первой строки и первого столбца матрицы K.

При уровне значимости = 0,1 и с учетом того, что в примере количество степеней свободы равно: 1 = k = 2 и 2 = n – k – 1 = 10 – – 2 – 1 = 7, получим табличное значение критерия: Fтабл = 3, 26. Так как Fрасч Fтабл, то построенную модель можно считать адекватной.

Найдем среднюю относительную ошибку аппроксимации:

yi = 8,648 + 0,426 xi1 + 0,509 xi 2, где данные xi1 и xi 2, i = 1, 10, берутся из условия задачи.

Средняя ошибка мала, что также свидетельствует об адекватности модели.

Следовательно, данное уравнение можно использовать для различных практических целей: а) оценки результатов хозяйственной деятельности; б) расчета влияния факторов на прирост результативного показателя; в) подсчета резервов повышения уровня исследуемого показателя; г) планирования и прогнозирования его величины.

Системы одновременных уравнений Пример 11. Проверить, идентифицируема ли модель предложения и спроса кейнсианского типа. Выписать приведенную форму модели. Указать метод оценки параметров модели:

где y1t – спрос на товар в момент времени t; y2t – предложение товара в момент t; y3t – цена товара в момент t; y3,t–1 – цена товара в момент (t – 1); x1t – доход в момент t; t – текущий период; (t – 1) – предыдущий период.

Решение. См. пример 5.

Таким образом, система одновременных уравнений идентифицируемая в силу идентифицируемости первого и второго уравнений. Для оценки параметров системы можно применять как косвенный, так и двухшаговый МНК.

Приведенная форма модели имеет вид:

Используя соответствующие статистические данные, с помощью косвенного МНК можно найти несмещенные и состоятельные оценки структурной формы, смоделировав тем самым реальную экономическую ситуацию изучения спроса-предложения с учетом дохода в текущий период и цены товара в предыдущий период.

Отметим, что каждое уравнение системы оценивают тогда и только тогда, когда установлена его идентифицируемость. Идентификация не применяется для тождеств модели.

Пример 12. Предложение денег и спрос на деньги представлены в виде модели:

где y1t – процентные ставки в период t; y2t – ВВП в период t; x1t – денежная масса в период t.

Проверить, идентифицируемы ли уравнения.

Решение. Запишем коэффициенты системы в виде табл. 38.

Уравнение (1):

Необходимое условие: п = 2 (y1t, y2t), p = 0 (т. к. x1t является единственной предопределенной переменной, которая входит в первое уравнение системы), следовательно, п > p + 1.

Уравнение неидентифицируемо, поэтому неидентифицируема вся система.

В этом случае модель изменяют так, чтобы она, с одной стороны, содержала основные эндогенные и экзогенные переменные, которые определяют предложение и спрос на деньги, а с другой – была эконометрически разрешима.

Пример 13. Оценить параметры идентифицируемой структурной модели:

где y1 и y2 – эндогенные переменные системы; x1 и x2 – экзогенные переменные этой системы.

Исходные данные приведены в табл. 39.

Решение.

1. От структурной формы перейдем к приведенной форме модели:

2. Применим МНК для оценки коэффициентов уравнений модели.

Оценки коэффициентов можно найти, составив систему нормальных уравнений и решив ее. Можно также использовать электронные таблицы Excel (функция ЛИНЕЙН или команды меню Сервис Анализ данных Регрессия).

Рассмотрим сначала первое уравнение системы. Нам нужно определить коэффициенты 10, 11, 12. Для этого используем данные табл. 39 (столбцы y1, x1, x2 ).

Получаем уравнение: y1 = 2,64 0,02 x1 + 0,66 x2 + 1.

Аналогичным образом определяются коэффициенты второго уравнения (используются данные столбцов y2, x1, x2 ).

Получаем уравнение: y2 = 3,51 0,34 x1 + 0,44 x2 + 2.

Запишем приведенную форму модели:

3. От приведенной формы переходим к структурной форме модели. Из уравнения (*) выражаем x1 = (2,64 y1 + 0,66 x2 ) / 0,02 и подставляем правую часть этого равенства в уравнение (**):

Из уравнения (**) выражаем x2 = ( y2 3,51 + 0,34 x1 ) / 0,44 и подставляем в правую часть уравнения (*). После преобразований получаем:

Таким образом, структурная форма модели имеет вид:

5.3. МИНИМУМ ДЛЯ АУДИТОРНОЙ РАБОТЫ

Занятие 1: 3А1; 3А2; 3А3.

Занятие 2: 3А9; 3А11.

Занятие 3: 3А19; 3А20.

6.1. ТРЕНИРОВОЧНАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

1А. Уравнение множественной регрессии имеет вид: у = –27,16 + + 1,37 x1 – 0,29 x2. Определить коэффициенты эластичности для данной модели, если известно, что x1 = 15; x2 = 10; y = 30. Указать их экономический смысл.

2А+Б. Зависимость прибыли предприятия Y (млн. ден. ед.) от расходов на рекламу X (млн. ден. ед.) за 10 лет представлена в табл. 40.

Зависимость прибыли предприятия от расходов на рекламу Построить корреляционное поле и оценить по МНК коэффициенты предполагаемого уравнения регрессии.

3А+Б. Рассматривается система уравнений вида 1. Какие из переменных данной модели являются экзогенными, эндогенными, предопределенными?

2. Проверить, является ли данная система идентифицируемой.