«К. К. ВАСИЛЬЕВ, М. Н. СЛУЖИВЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ СВЯЗИ Учебное пособие по дисциплине Математическое моделирование каналов и систем телекоммуникаций для студентов специальностей 21040665 Сети связи и ...»

Для самоподобного СП X = {xi } вычисляется периодограмма где N - количество отсчетов временного ряда. Учитывая, что самоподобие влияет на характер спектра S (), должен получаться график зависимости спектральной плотности вида Из последнего выражения следует, что множество случайных точек log I N ( ) ;log() будет располагаться линейно с коэффициентом наклона линии 1 2H. На практике для вычисления оценки должны использоваться только нижние 10% частот, т. к. описанное выше поведение справедливо только для области частот, близких к нулю. Основным недостатком данного метода является большой объем вычислений при построении оценки показателя Херста.

5.2.3. Виды самоподобных случайных последовательностей Простым примером самоподобных случайных последовательностей может служить случайное движение точки, начиная с некоторого момента времени t 0, когда она находилась в нуле. В каждый последующий момент времени t1, t2,...

ее координата меняется на произвольную случайную добавку ( ti ). Тогда модель движения можно описать как т. е. текущая координата определяется на основе предыдущей плюс случайное смещение. Если СВ ( ti ) подчиняется нормальному закону распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, то формируемый процесс x (t i ) будет представлять собой броуновское движение частицы (стохастический винеровский процесс).

Рассмотрим координату частицы x(t k ) в момент времени tk, k = 1, 2,....

Величина x(t k ) будет состоять из случайных добавок i, i = 1, 2,..., k в предшествующие моменты времени, т. е.

Следовательно, математическое ожидание координаты частицы а дисперсия Таким образом, при k математическое ожидание СВ x(t k ) равно нулю, а дисперсия стремится к бесконечности. Кроме того, для любых двух Так как процесс x (t i ) представляет собой суммы гауссовских СВ и имеет известную дисперсию для каждого момента времени ti, то можно записать ПРВ данной величины в виде где x = x(t i ) x(t 0 ) - координата или приращение координаты броуновской частицы (т. к. данный процесс в момент времени t 0 равен нулю); t = t i t 0 интервал времени наблюдения.

Для того чтобы процесс x (t i ) обладал свойством самоподобия, т. е. являлся фракталом, достаточно значение дисперсии t заменить на t, где H - параметр Херста. Такая замена приводит к тому, что отсчеты стохастического т. е. M {x(ti ) x(t j )} = R(ti, t j ) 0. Следовательно, можно записать, что x2 = x(t 4 ) x(t3 ) может быть определена следующим выражением В дискретном случае, когда величины t1, t 2, t3 и t 4 заменяются на n, n + 1, n + k и n + k + 1 соответственно, получаем следующую КФ для приращений фрактального броуновского движения Последовательность случайных приращений с данной КФ называется фрактальным гауссовским шумом [25]. Причем коэффициент корреляции r (k ) k 2 H 2 при k и определяет долговременную зависимость между отсчетами СП. КФ r (k ) отличается от гауссовских e N / 2 и экспоненциальных e N / 2 тем, что предполагает спад в корреляции при увеличении k заметно более медленный, что согласуется с результатами наблюдений интенсивностей в реальных трафиках с пакетной коммутацией. Кроме того, она полностью описывается только двумя параметрами – дисперсией и показателем H.

Одной из характеристик самоподобия является величина выбросов процесса. Для самоподобных процессов характер выбросов сохраняется при рассмотрении процесса в различных масштабах времени. Это означает, что если вы будете записывать нагрузку на каком-либо элементе сети с дискретностью, например, 10 миллисекунд, то, рассматривая график изменения нагрузки во времени на интервалах 10 секунд, 10 минут или часов, вы не заметите существенных различий в поведении кривой. В этом смысле самоподобие графиков может быть охарактеризовано соотношением где - коэффициент самоподобия непрерывных процессов.

5.2.4. Моделирование самоподобных случайных процессов Рассмотрим некоторые из наиболее распространенных распределений, используемых при моделировании пульсирующих источников.

Одним из первых неэкспоненциальных распределений, которые были применены при моделировании сетевого трафика, является логнормальное распределение. Определение логнормального распределения основывается на нормальном распределении в виде функциональной зависимости где Z - нормально распределенная СВ с нулевым средним; X - СВ распределенная по логнормальному закону, который имеет вид где - среднеквадратическое отклонение СВ Z ; m - математическое ожидание. Эти параметры можно определить на основе экспериментальных данных по следующим формулам На основе известных значений m и нормально распределенной СВ Z можно определить математическое ожидание и дисперсию для логнормально распределенной СВ X :

функционального преобразования:

где ui - нормально распределенная СВ с нулевым средним и единичной дисперсией.

Для моделирования размеров передаваемых файлов, типовых сообщений, Web-страниц часто используется распределение Парето, которое имеет следующий вид где - параметр формы; k - параметр, определяющий нижнюю границу для СВ x.

Известно, что ЭВМ позволяет генерировать равномерно распределенные СВ y в диапазоне от 0 до 1. Для того, чтобы смоделировать СВ x с ПРВ Парето необходимо найти функциональное преобразование x = f ( y ). Это можно сделать на основе выражения откуда Таким образом, получаем следующее функциональное преобразование для моделирования СВ с ПРВ Парето:

где y - случайное число, генерируемое на ЭВМ в диапазоне от 0 до 1. Параметр связан с показателем Херста выражением Параметр обычно вычисляется на основе метода максимального правдоподобия по известным результатам измерения интенсивности реального трафика X = [ x1, x2,..., xn ] :

где k = min xi.

Пример реализации случайной последовательности с параметрами k = 0 и H = 0.7 представлен на рис. 5.7.

Рис. 5.7. Пример фрактальной случайной последовательности с ПРВ Парето Другим примером ПРВ для генерирования самоподобных трафиков является распределение Вейбулла, которое имеет следующий вид:

где и - некоторые параметры, влияющие на форму данной ПРВ. Для моделирования СВ x с ПРВ Вейбулла используется функциональное преобразование вида:

Существуют разные способы подбора распределения Вейбулла: метод наименьших квадратов, метод моментов, оценка максимального правдоподобия и др. Однако наиболее простым и надежным способом является метод максимального правдоподобия, при котором оценка параметра определяется последовательным вычислением В свою очередь, оценка параметра находится как На основе вычисленных значений трафика X = [ x1,..., x N ] можно путем моделирования определить средний объем использованного буфера при передаче данных по каналу связи с заданной пропускной способностью v (в условных единицах измерения). Алгоритм моделирования заключается в следующем. Если значение передаваемого трафика xi > v, то в буфере передачи запоминается объем данных равный si = xi v, в противном случае si = 0. В следующий момент времени i + 1 объем передаваемых данных составит величину xi +1 + si. Если данное значение больше пропускной способности канала передачи v, то в буфере запоминается объем данных si +1 = xi +1 + si v. И так далее, до тех пор, пока все данные не будут переданы по каналу связи. Таким образом, получаем набор значений {si }, i = 1,2,..., N, которые будут характеризовать размер данных, находящихся в буфере в моменты времени ti. Следовательно, средний размер использования буфера можно найти по формуле Следует заметить, что если размер буфера резко возрастает при уменьшении v, то канал с такой пропускной способностью «не справляется»

с требуемым объемом передаваемых данных, и, следовательно, значение v нужно увеличивать.

Зная средний объем использования буфера, по формуле Литтла [25] можно определить среднее время нахождения единицы данных (байт, пакет и т. п.) в буфере:

где - средняя интенсивность входного потока, которая определяется как где w( x) - ПРВ, используемая при моделировании входного потока.

Рассмотрим алгоритм моделирования фрактального броуновского движения (ФБД) на основе RMD-метода [25].

Шаг 1. Формируются два отсчета x(0) и x(1), причем x(0) = (по условию), а x(1) = (1) - нормально распределенная СВ с нулевым МО и дисперсией 0 (рис. 5.8).

Шаг 2. На интервале от 0 до 1 берется центральный отсчет x(1 / 2), который определяется как где d1 - гауссовская СВ с нулевым средним и дисперсией выбранной так, чтобы дисперсия сформированного отсчета x(1 / 2) была равна Дисперсия линейной аппроксимации 1 / 2 ( x(0) + x(1)) равна 0 / 4, тогда можно записать Шаг 3. Рассматриваются поочередно два интервала (0; 1/2) и (1/2; 1), в которых выделяются центральные отсчеты x(1 / 4) и x(3 / 4). Значения этих отсчетов формируются аналогично величине x(1 / 2) :

где d 21 и d 22 - гауссовские СВ с нулевым средним и дисперсией выбранной так, чтобы дисперсии сформированных отсчетов x(1 / 4) и x(3 / 4) удовлетворяли условию 1 / 2 ( x(0) + x(1 / 2)) равна 0 (1 / 2) 2 H / 4, тогда можно записать Аналогичное значение дисперсии сохраняется и для величины d 22.

Шаг 4… n. На данных шагах повторяются действия, описанные на 2 и третьем шагах. Причем для значений дисперсий случайных добавок d ij имеем следующую формулу 5.3. Модели систем массового обслуживания Допущения о пуассоновском характере потока заявок и о показательном распределении времени обслуживания позволяют применить в теории массового обслуживания аппарат марковских СП (см. главу 3). Процесс, протекающий в физической системе, называется марковским (или процессом без последействия), если для каждого момента времени вероятность любого состояния системы в будущем p ( t0 + t ) зависит только от состояния системы в настоящий момент p ( t0 ) и не зависит от того, каким образом система пришла в это состояние.

Рассмотрим СМО с конечным дискретным множеством состояний (рис. 5.9). Определим состояние xk как состояние СМО, соответствующее наличию в данный момент k занятых каналов. При этом система может изменять свое состояние xk дискретно в соответствующие дискретные моменты времени ti. При поступлении на вход СМО одной заявки система изменяет свое состояние с xk на xk +1, а при уходе одной заявки из системы и соответствующем освобождении одного канала - с xk на xk 1.

Типичным примером СМО является телекоммуникационная система с несколькими обслуживающими серверами. Заявка, поступающая на вход такой СМО, может быть либо обслужена, либо поставлена в очередь, либо получить отказ в обслуживании. В связи с этим СМО делятся на два основных типа: а) СМО с отказами; б) СМО с ожиданием [6, 21].

В системах с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, немедленно получает отказ, покидает систему и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует.

В системах с ожиданием заявка, заставшая все каналы занятыми, не покидает систему, а становится в очередь и ожидает, пока не освободится какой-нибудь канал.

5.3.1. Система массового обслуживания с отказами.

Рассмотрим n -канальную СМО с отказами как физическую систему X с конечным множеством состояний [6]:

x0 - свободны все каналы;

x1 - занят ровно один канал;

... xk - занято ровно k каналов...

xn - заняты все n каналов.

Определим вероятности состояний системы pk ( t ), k = 0, 1,..., n для любого момента времени t при следующих допущениях:

1) поток заявок – простейший, с плотностью ;

2) время обслуживания Tоб имеет показательный закон распределения с параметром µ : wоб ( t ) = µeµt, t > 0.

Рассмотрим возможные состояния xk системы и их вероятности Составим ДУ для всех вероятностей pi ( t ), начиная с p0 ( t ). Вначале зафиксируем момент времени t и найдем вероятность p0 ( t + t ) того, что в момент t + t система будет находиться в состоянии x0 (все каналы свободны). Переход в состояние x0 определяется двумя событиями (рис. 5.10):

A – в момент t система находилась в состоянии x0, а за время t не перешла из нее в x1 (не пришло ни одной заявки);

B – в момент t система находилась в состоянии x1, а за время t канал освободился, и система перешла в состояние x0.

Рис. 5.10. Диаграмма возможных переходов в состояние x Возможностью «перескока» системы через состояние (например, из x2 в x через x1 ) за малый промежуток времени t можно пренебречь, как величиной высшего порядка малости по сравнению с P ( A ) и P ( B ). По теореме сложения вероятностей имеем: p0 ( t + t ) P ( A ) + P ( B ).

Найдем вероятность события A по теореме умножения. Вероятность того, что в момент t система была в состоянии x0, равна p0 ( t ). Вероятность того, что за время t не придет ни одной заявки, равна P0 ( t ) = et. С точностью до величин высшего порядка малости при t 0 имеем e t 1 t.

Следовательно, вероятность события A равна P ( A ) p0 ( t )(1 t ).

Найдем вероятность события B. Вероятность того, что в момент t система была в состоянии x1, равна p1 ( t ). Вероятность того, что за время t канал освободится, равна 1 e µt ; при малых t 0 : 1 e µt µt. Следовательно, искомая вероятность P ( B ) p1 ( t ) µt.

Перенося p0 ( t ) в левую часть, деля на t и переходя к пределу при t 0, получим ДУ для p0 ( t ) :

Аналогичные ДУ могут быть составлены и для других вероятностей состояний.

Возьмем любое k ( 0 < k < n ) и найдем вероятность pk ( t + t ) того, что в момент t + t система будет в состоянии xk. Эта вероятность вычисляется как вероятность суммы трех событий (рис. 5.11):

A – в момент t система была в состоянии xk (занято k каналов), а за время t не перешла из него ни в xk +1, ни в xk 1 (ни одна заявка не поступила, ни один канал не освободился);

B – в момент t система была в состоянии xk 1 (занято k 1 каналов), а за время t перешла в xk (пришла одна заявка);

C - в момент t система была в состоянии xk +1 (занято k + 1 каналов), а за время t перешла в xk (один из каналов освободился).

Рис. 5.11. Диаграмма возможных переходов в состояние xk Найдем вероятность P ( A ). Для этого сначала вычислим вероятность того, что за время t не придет ни одна заявка и не освободится ни один из каналов:

P ( C ) pk +1 ( t )( k + 1) µt, откуда имеем Выполнив предельный переход, получаем ДУ для pk ( t ) ( 0 < k < n ) :

Составим уравнение для последней вероятности pn ( t ) (рис. 5.12). Имеем где 1 nµt e nµt, при t 0 - вероятность того, что за время t не освободился ни один канал; t - вероятность того, что за время t придет одна заявка.

Рис. 5.12. Диаграмма возможных переходов в состояние xn Таким образом, ДУ для pn ( t ) имеет следующий вид:

Уравнения (5.28) называются уравнениями Эрланга. Интегрирование p0 ( 0 ) = 1; p1 ( 0 ) =... = pn ( 0 ) = 0 (в начальный момент все каналы свободны) дает зависимость pk ( t ) для любого k. Вероятности pk ( t ) характеризуют среднюю нагрузку в СМО и ее изменение с течением времени. В частности, pn ( t ) есть вероятность того, что заявка, пришедшая в момент t, застанет все каналы занятыми (получит отказ): Pотк = pn ( t ).

Зачастую в целях удобства используют величину q ( t ) = 1 pn ( t ), называемую относительной пропускной способностью системы. Для данного момента t это есть отношение среднего числа обслуженных за единицу времени заявок к среднему числу поданных.

5.3.2. Установившийся режим обслуживания. Формулы Эрланга При включении СМО в работу вначале имеет место переходный (неустановившийся) процесс, а затем система переходит в установившийся режим работы, вероятностные характеристики которого уже не зависят от времени, т.е. для любой системы с отказами существует предельный режим при t все вероятности p0 ( t ), p1 ( t ), p2 ( t ),..., pn ( t ) стремятся к постоянным пределам p0, p1,..., pn, а все их производные стремятся к нулю. Таким образом, из системы ДУ (5.28) получим систему алгебраических уравнений:

Из первого уравнения имеем p1 = p0. Из второго p2 = 2 p0 и вообще, для любого k n выполняется равенство Введем обозначение = µ и назовем эту величину приведенной плотностью заявок. Это есть не что иное, как среднее число заявок, приходящееся на среднее время обслуживания одной заявки.

Действительно, обслуживания одной заявки. Таким образом, Данная формула выражает все вероятности pk через p0. Чтобы выразить в него (5.31), получим (5.32) Подставляя (5.32) в (5.31), получим Формулы (5.33) называются формулами Эрланга. Они дают предельный закон распределения числа занятых каналов в зависимости от характеристик потока заявок и производительности СМО. Полагая в формуле (5.33) k = n, получим вероятность отказа (поступившая заявка находит все каналы занятыми):

В частности, для одноканальной системы ( n = 1) а относительная пропускная способность Формулы Эрланга (5.33) и их следствия (5.34)-(5.36) выведены для случая показательного распределения времени обслуживания, Однако эти формулы остаются справедливыми и при любом законе распределения времени обслуживания, лишь бы входной поток был простейшим.

Пример 5.1. Автоматическая телефонная станция имеет 4 линии связи.

На станцию поступает простейший поток заявок с плотностью = 3 (вызова в минуту). Вызов, поступивший в момент, когда все линии заняты, получает отказ. Средняя длительность разговора 2 минуты. Найти: а) вероятность отказа;

б) среднюю долю времени, в течение которой телефонная станция вообще не загружена.

Решение. Имеем mtоб = 2 [мин]; µ = 0.5 [разг/мин]; = µ = 6.

Несмотря на то, что формулы Эрланга в точности справедливы только при простейшем потоке заявок, ими можно с известным приближением пользоваться и в случае, когда поток заявок отличается от простейшего, (например, является стационарным потоком с ограниченным последействием).

Расчеты показывают, что замена произвольного стационарного потока с не очень большим последействием простейшим потоком той же плотности,. как правило, мало влияет на характеристики пропускной способности системы.

Наконец, можно заметить, что формулами Эрланга можно приближенно пользоваться и в случае, когда СМО допускает ожидание заявки в очереди, но когда срок ожидания мал по сравнению со средним временем обслуживания одной заявки. Плотность потока заявок может быть выбрана такой, что при регулярном следовании заявок одна за другой через определенные интервалы и при точно фиксированном времени обслуживания номинальная пропускная способность системы достаточна для того, чтобы обслужить все без исключения заявки. Снижение пропускной способности происходит из-за наличия случайных сгущений и разрежений в потоке заявок, которые нельзя предвидеть заранее.

5.3.3. Система массового обслуживания с ожиданием Как было упомянуто выше СМО с ожиданием подразумевает наличие буфера с очередью из заявок, заставших все каналы занятыми и ждущих освобождения одного из каналов. Если время ожидания заявки в очереди ничем не ограничено, то система называется «чистой системой с ожиданием». Если оно ограничено какими-то условиями, то система называется «системой смешанного типа». Это промежуточный случай между чистой системой с отказами и чистой системой с ожиданием.

Для практики наибольший интерес представляют именно системы смешанного типа. Ограничения, наложенные на ожидание, могут быть различного типа. Часто бывает, что ограничение накладывается на время ожидания заявки в очереди; считается, что оно ограничено сверху каким-то сроком Tож, который может быть как строго определенным, так и случайным.

При этом ограничивается только срок ожидания в очереди, а начатое обслуживание доводится до конца, независимо от того, сколько времени продолжалось ожидание (например, в системах с коммутацией каналов после установления соединения между абонентами процесс разговора уже не прерывается). В других задачах естественнее наложить ограничение не на время ожидания в очереди, а на общее время пребывания заявки в системе (например, при передаче SMS-сообщений, если после определенного количества попыток сообщение не доходит до адресата оно аннулируется).

Наконец, можно рассмотреть и такую смешанную систему (она ближе всего к типу торговых, предприятий, торгующих предметами не первой необходимости), когда заявка становится в очередь только в том случае, если длина очереди не слишком велика. Здесь ограничение накладывается на число заявок в очереди (или на размер буфера m, рис. 5.13).

Рис. 5.13. Логическая схема односерверной СМО В системах с ожиданием существенную роль играет так называемая «дисциплина очереди». Ожидающие заявки могут вызываться на обслуживание как в порядке очереди (раньше прибывший раньше и обслуживается), так и в случайном, неорганизованном порядке. Существуют СМО «с приоритетами», где некоторые заявки обслуживаются предпочтительно перед другими («генералы и полковники вне очереди»). Каждый тип системы с ожиданием имеет свои особенности и свою математическую теорию.

Здесь мы остановимся только на простейшем случае смешанной системы, являющемся естественным обобщением задачи Эрланга для системы с отказами. Для этого случая мы выведем ДУ, аналогичные уравнениям Эрланга, и формулы для вероятностей состояний в установившемся режиме, аналогичные формулам Эрланга.

Рассмотрим смешанную СМО X с n каналами при следующих условиях [6]. На вход системы поступает простейший поток заявок с плотностью.

Время обслуживания одной заявки Tоб - показательное, с параметром µ = 1 mtоб.

Заявка, заставшая все каналы занятыми, становится в очередь и ожидает обслуживания; время ожидания ограничено некоторым сроком Tож ; если до истечения этого срока заявка не будет принята к обслуживанию, то она покидает очередь и остается необслуженной. Срок ожидания Tож будем считать случайным и распределенным по показательному закону где параметр v - величина, обратная среднему сроку ожидания:

v = 1 mtож ; mtож = M [Tож ].

Параметр v полностью аналогичен параметрам и µ потока заявок и «потока освобождений». Его можно интерпретировать, как плотность «потока уходов» заявки, стоящей в очереди. Действительно, представим себе заявку, которая только и делает, что становится в очередь и ждет в ней, пока не кончится срок ожидания Tож, после чего уходит и сразу же снова становится в очередь. Тогда «поток уходов» такой заявки из очереди будет иметь плотность v. Очевидно, при v система смешанного типа превращается в чистую систему с отказами; при v 0 она превращается в чистую систему с ожиданием.

Заметим, что при показательном законе распределения срока ожидания пропускная способность системы не зависит от того, обслуживаются ли заявки в порядке очереди или в случайном порядке: для каждой заявки закон распределения оставшегося времени ожидания не зависит от того, сколько времени заявка уже стояла в очереди.

Благодаря допущению о пуассоновском характере всех потоков событий, приводящих к изменениям состояний системы, процесс, протекающий в ней, будет марковским. Запишем уравнения для вероятностей состояний системы.

Для этого, прежде всего, перечислим эти состояния. Будем их нумеровать не по числу занятых каналов, а по числу связанных с системой заявок. Заявку будем называть «связанной с системой», если она либо находится в состоянии обслуживания, либо ожидает очереди.

Возможные состояния системы будут (рис. 5.14):

x0 - ни один канал не занят, очереди нет;

x1 - занят ровно один канал, очереди нет;

……………………………………………….

xk - занято ровно k каналов, очереди нет;

……………………………………………….

xn - заняты все n каналов, очереди нет;

xn+1 - заняты все n каналов, одна заявка стоит в очереди;

……………………………………………….

xn+ s - заняты все n каналов, s заявок стоят в очереди.

Рис. 5.14. Диаграмма возможных переходов для СМО с очередью Число заявок s, стоящих в очереди, в наших условиях может быть сколь угодно большим. Таким образом, система X имеет бесконечное (хотя и счетное) множество состояний. Соответственно, количество ДУ, описывающих ее, тоже будет бесконечным.

Очевидно, первые n ДУ ничем не будут отличаться от соответствующих уравнений Эрланга (5.28):

Отличие новых уравнений от уравнений Эрланга начнется при k = n.

Действительно, в состояние xn система с отказами может перейти только из состояния xn1 ; что касается системы с ожиданием, то она может перейти в состояние xn не только из xn1, но и из xn+1 (все каналы заняты, одна заявка стоит в очереди).

Составим ДУ для pn ( t ). Зафиксируем момент t и найдем pn ( t + t ) вероятность того, что система в момент t + t будет в состоянии xn.

Эта вероятность вычисляется как вероятность суммы трех событий:

A - в момент t система уже была в состоянии xn, а за время t не вышла из него (не пришло ни одной заявки и ни один из каналов не освободился);

B - в момент t система была в состоянии xn1, а за время t перешла в состояние xn (пришла одна заявка);

C - в момент t система была в состоянии xn+1 (все каналы заняты, одна заявка стоит в очереди); а за время t перешла в xn (либо освободился один канал и стоящая в очереди заявка заняла его, либо стоящая в очереди заявка ушла в связи с окончанием срока ожидания).

В итоге имеем:

откуда ДУ для состояния xn имеет вид Вычислим теперь pn+ s ( t + t ) при любом s > 0 - вероятность того, что в момент t + t все n каналов будут заняты и, кроме этого, s заявок будут стоять в очереди. Эта вероятность вновь вычисляется как вероятность суммы трех событий:

A - в момент t система уже была в состоянии xn+ s, а за время t это состояние не изменилось (значит, ни одной заявки не принято, ни один канал не освободился и ни одна из s стоящих в очереди заявок не ушла);

B - в момент t система была в состоянии xn+ s 1, а за время t перешла в состояние xn+ s (пришла одна заявка);

C - в момент t система была в состоянии xn+ s +1, а за время t перешла в состояние xn+ s (для этого либо один из каналов должен освободиться, и тогда одна из s + 1 стоящих в очереди заявок займет его, либо одна из стоящих в очереди заявок должна уйти в связи с окончанием срока ожидания).

Следовательно:

откуда ДУ для состояния xn+ s имеет вид бесконечного числа ДУ:

Уравнения (5.40) являются естественным обобщением уравнений Эрланга на случай системы смешанного типа с ограниченным временем ожидания.

Параметры, µ, v в этих уравнениях могут быть как постоянными, так и переменными. При интегрировании системы (5.40) нужно учитывать, что хотя теоретически число возможных состояний системы бесконечно, но на практике вероятности pn+ s ( t ) при возрастании становятся пренебрежимо малыми, и соответствующие уравнения могут быть отброшены.

Выведем, формулы, аналогичные формулам Эрланга, для вероятностей состояний системы в установившемся режиме обслуживания (при t ).

Из уравнений (5.40), полагая все pk ( k = 0, 1,..., n,...) постоянными, а все производные - равными нулю, получим систему алгебраических уравнений:

К ним необходимо добавить условие Найдем решение системы (5.41), для чего применим тот же прием, которым мы пользовались в случае системы с отказами; разрешим первое уравнение относительно p1, подставим во второе, и т. д. Для любого k n, как и в случае системы с отказами, получим:

Далее перейдем к уравнениям для k > n ( k = n + s, s 1) и тем же способом получим:

и вообще при любом s В обе формулы (5.43) и (5.44) в качестве сомножителя входит вероятность p0. Определим ее из условия (5.42). Подставляя в него выражения (5.43) и (5.44) для k n и s 1, получим откуда имеем Преобразуем выражения (5.43), (5.44) и (5.45), вводя в них вместо плотностей и v «приведенные» плотности:

Параметры и выражают соответственно среднее число заявок и среднее число уходов заявки, стоящей в очереди, приходящиеся на среднее время обслуживания одной заявки.

В новых обозначениях формулы (5.43), (5.44) и (5.45) примут вид:

Подставляя (5.49) в (5.47) и (5.48), получим окончательные выражения для вероятностей состояний системы:

Зная вероятности всех состояний системы, можно легко определить другие интересующие нас характеристики, в частности, вероятность PН того, что заявка покинет систему необслуженной. Определим ее из следующих соображений: при установившемся режиме вероятность PН того, что заявка покинет систему необслуженной, есть не что иное, как отношение среднего числа заявок, уходящих из очереди в единицу времени, к среднему числу заявок, поступающих в единицу времени. Найдем среднее число заявок, уходящих из очереди в единицу времени. Для этого сначала вычислим математическое ожидание ms числа заявок, находящихся в очереди:

Чтобы получить PН, нужно ms умножить на среднюю «плотность уходов»

одной заявки v и разделить на среднюю плотность заявок, т. е. умножить на коэффициент Получим:

Пропускная способность системы характеризуется вероятностью того, что заявка, попавшая в систему, будет обслужена:

Очевидно, что пропускная способность системы с ожиданием, при тех же и µ, будет всегда выше, чем пропускная способность системы с отказами:

в случае наличия ожидания необслуженными уходят не все заявки, заставшие n каналов занятыми, а только некоторые. Пропускная способность увеличивается при увеличении среднего времени ожидания Непосредственное использование формул (5.50), (5.51) и (5.53) несколько затруднено тем, что в них входят бесконечные суммы. Однако члены этих сумм быстро убывают.

Посмотрим, во что превратятся формулы (5.50) и (5.51) при и 0. Очевидно, что при система с ожиданием должна превратиться в систему с отказами (заявка мгновенно уходит из очереди). Действительно, при формулы (5.51) дадут нули, а формулы (5.50) превратятся в формулы Эрланга для системы с отказами (5.29).

Рассмотрим другой крайний случай: чистую систему с ожиданием ( 0 ).

В такой системе заявки вообще не уходят из очереди, и поэтому PH = 0 : каждая заявка рано или поздно дождется обслуживания. Зато в чистой системе с ожиданием не всегда имеется предельный стационарный режим при t.

Можно доказать, что такой режим существует только при < n, т. е. когда среднее число заявок, приходящееся на время обслуживания одной заявки, не выходит за пределы возможностей n -канальной системы. Если же n, число заявок, стоящих в очереди, будет с течением времени неограниченно возрастать.

Предположим, что < n, и найдем предельные вероятности pk ( 0 k n ) для чистой системы с ожиданием. Для этого, положив в формулах (5.49), (5.50) и (5.51) 0, получим или, суммируя прогрессию (что возможно только при < n ), получим Отсюда, пользуясь формулами (5.47) и (5.48), найдем и аналогично для k = n + s ( s 0 ) Среднее число заявок, находящихся в очереди; определяется из формулы (5.52) при 0 :

Пример 5.2. На вход трехканальной системы с неограниченным временем ожидания поступает простейший поток заявок с плотностью n = 4 [заявки/час].

Среднее время обслуживания одной заявки mtоб = 30 мин. Определить, существует ли установившийся режим обслуживания; если да, то найти вероятности p0, p1, p2, p3, вероятность наличия очереди и среднюю длину очереди ms Решение. Имеем µ = 1 mtоб = 2 ; = µ = 2. Так как < n, установившийся режим существует. По формуле (5.55) находим Вероятность наличия очереди Pоч = 1 ( p0 + p1 + p2 + p3 ) = 0.297.

Средняя длина очереди по формуле (5.57) будет равна ms 0.89 [заявки].

5.3.4. Система смешанного типа с ограничением по длине очереди В п. 5.2.3 была рассмотрена СМО с ограничением по времени пребывания в очереди. Здесь мы рассмотрим n -канальную систему смешанного типа с другим видом ограничения ожидания - по числу заявок, стоящих в очереди (буфер имеет конечную длину m ). Предположим, что заявка, заставшая все каналы занятыми, становится в очередь, только если в ней находится менее m заявок; если же число заявок в очереди равно m (больше m оно быть не может), то последняя прибывшая заявка в очередь не становится и покидает систему необслуженной. Остальные допущения - о простейшем потоке заявок и о показательном распределении времени обслуживания - оставим прежними.

Составим ДУ для вероятностей состояний системы. Заметим, что в данном случае число состояний системы будет конечно, так как общее число заявок, связанных с системой, не может превышать n + m ( n обслуживаемых и m стоящих в очереди).

Возможны следующие состояния системы:

x0 - все каналы свободны, очереди нет;

x1 - занят один канал, очереди нет;

………………………..

xk - занято k каналов, очереди нет;

………………………..

xn1 - занято n 1 каналов, очереди нет;

xn - заняты все n каналов, очереди нет;

xn+1 - заняты все n каналов, одна заявка стоит в очереди;

…………………………..

xn+ m - заняты все n каналов, m заявок стоят в очереди.

Очевидно, первые n уравнений для вероятностей p0 ( t ),..., pn1 ( t ) будут совпадать с уравнениями Эрланга (5.29). Выведем остальные уравнения. Имеем откуда Далее выведем уравнение для pn+ s ( t ) (1 s < m ) откуда Последнее уравнение будет иметь вид Таким образом, получена система ( n + m + 1) ДУ:

Рассмотрим предельный случай при t. Приравнивая все производные нулю, а все вероятности считая постоянными, получим систему алгебраических уравнений:

и добавочное условие:

Уравнения (5.61) могут быть решены аналогично (5.41). Не останавливаясь на этом решении, приведем только окончательные формулы:

Вероятность того, что заявка покинет систему необслуженной, равна вероятности pn+m того, что в очереди уже стоят m заявок. Нетрудно заметить, что формулы (5.63) и (5.64) получаются из формул (5.50), (5.51), если положить в них = 0 и ограничить суммирование по s верхней границей m.

Пример 5.3. На телефонную станцию поступает простейший поток заявок с плотностью = 0.5 (вызовов в минуту). Имеется один обслуживающий сервер. В буфере могут одновременно находиться, ожидая очереди, не более трех заявок. Среднее время разговора составляет mtоб = 1 µ = 2 [минуты].

Определить: а) пропускную способность системы; б) среднее время простоя станции; в) определить, насколько изменятся эти характеристики, если добавить второй обслуживающий сервер.

а) по формуле (5.64), полагая n = 1, находим вероятность того, что пришедшая заявка покинет систему необслуженной:

Относительная пропускная способность системы Абсолютная пропускная способность: Q = q = 0.4 [заявок в минуту].

б) среднюю долю времени, которое система будет простаивать, найдем по формуле (5.63): p0 = 1 5 = 0.2.

При этом q = 1 PH 0.979 (т. е. будет удовлетворяться около 98% всех заявок) и Q = q 0.49 [заявок в минуту]. Относительное время простоя:

p0 = 16 47 0.34, т. е. оборудование будет простаивать полностью около 34% всего времени.

6. МОДЕЛИ СИГНАЛОВ И ПОМЕХ В СИСТЕМАХ СВЯЗИ

6.1. Основные понятия и определения Совокупность сведений, подлежащих передаче, называется информацией.

Сведения могут быть представлены в различной форме, зависящей от используемых знаков (символов), являющихся условными обозначениями некоторых элементарных знаний. Совокупность символов, содержащих некоторую информацию, называют сообщением, т. е. сообщение является формой, в которой информация передается от одного объекта (источника) к другому объекту (получателю). Вид сообщения зависит от используемого набора знаков, который может произвольно меняться и не имеет существенного значения для передачи информации. Важно только, чтобы источник и получатель одинаково понимали значения знаков, используемых для представления сообщений. Действительно, одно и то же сообщение может быть выражено, например, набором букв русского или английского алфавитов, а также с помощью иероглифов или других наборов условных обозначений.

Передача сообщений, а, следовательно, и информации осуществляется при помощи сигналов. Сигналом называют физический процесс, параметры которого зависят от передаваемых сообщений.

Под системой связи понимают совокупность технических средств, предназначенных для передачи информации, включая источник сообщений и получателя сообщений. Если для передачи сообщений используется радиотехнические сигналы (радиоволны), то система передачи информации называется радиотехнической. Специфика радиотехнических систем передачи информации (РТСПИ) связана с особенностями распространения радиоволн, которые учитываются при выборе модели канала связи. В остальном же процессы, протекающие в РТСПИ, не отличаются от процессов в других системах, например, системах проводной связи, акустических и гидроакустических системах. Поэтому рассматриваемые закономерности одинаково присущи всем системам передачи информации.

Передающее устройство предназначено для преобразования сообщения x ( t ) в сигнал s ( t ), который может распространяться по линии связи. В общем случае оно выполняет операции кодирования и модуляции. При передаче непрерывных сообщений цифровыми методами передающее устройство осуществляет также операции дискретизации по времени и квантования по уровню.

Современные РТСПИ характеризуются большим разнообразием видов передаваемых сообщений, способов модуляции, принципов построения, режимов работы и т. п. Соответственно они могут быть классифицированы по многим признакам. По числу каналов различают одноканальные и многоканальные системы. По наличию обратного канала различают системы без обратной связи и с обратной связью. По режиму использования канала различают системы односторонней связи (симплексные), системы двусторонней связи (дуплексные) и полудуплексные системы. В первых передача осуществляется в одном направлении, во вторых осуществляется одновременная передача в обоих направлениях. В последних возможна двусторонняя связь, но передача и прием ведутся поочередно.

По виду передаваемых сообщений различают системы передачи дискретных и непрерывных сообщений.

По назначению передаваемых сообщений различают следующие типы систем: телефонные, предназначенные для передачи речи; телеграфные, предназначенные для передачи текста; фототелеграфные, предназначенные для передачи неподвижных изображений; телевизионные, предназначенные для передачи изображений; телеметрические, предназначенные для передачи измерительной информации; системы телеуправления, предназначенные для передачи команд управления; системы передачи данных, предназначенные для обслуживания автоматизированных систем управления.

В зависимости от механизма распространения радиоволн, используемых для передачи сообщений, различают ионосферные, тропосферные, метеорные и космические системы.

Классификация систем по другим признакам, таким, как вид модуляции, способ уплотнения-разделения каналов, способ обеспечения свободного доступа, будет приведена далее.

Любая система характеризуется рядом показателей, которые можно разделить на информационно-технические (достоверность, помехоустойчивость, скорость передачи информации, задержка, диапазон частот) и конструктивно-эксплуатационные (объем и масса аппаратуры, энергетический КПД, мобильность, гибкость, эксплуатационная надежность, стоимость). Далее будут рассмотрены лишь характеристики, наиболее существенные с точки зрения передачи информации.

Достоверность передачи информации характеризует степень соответствия принятых сообщений переданным. Она зависит от параметров самой системы, степени ее технического совершенства и условий работы.

Последние определяются типом и состоянием линии связи, видом и интенсивностью помех, а также организационными мероприятиями по соблюдению правил радиообмена и эксплуатации аппаратуры.

Под помехоустойчивостью РТСПИ понимается способность системы противостоять вредному действию помех на передачу сообщений. Она зависит от способов кодирования, модуляции, метода приема и т. п. Количественно помехоустойчивость систем передачи дискретных сообщений можно характеризовать вероятностью ошибки pош при заданном отношении средних мощностей сигнала и помехи в полосе частот, занимаемой сигналом, или требуемым отношением средних мощностей сигнала и помехи на входе приемника системы, при котором обеспечивается заданная вероятность ошибки pош.

Одной из важных характеристик системы передачи информации является задержка, под которой понимается промежуток времени между подачей сообщения от источника на вход передающего устройства и выдачей восстановленного сообщения получателю приемным устройством. Она зависит от протяженности линии связи и времени обработки сигнала в передающем и приемном устройствах.

Рис. 6.1. Обобщенная схема системы передачи информации Другие важные характеристики системы, такие как скорость передачи информации и эффективность, рассмотрены в работах [9, 36].

Рассмотрим обобщенную схему РТСПИ с одним источником и одним получателем (рис. 6.1).

Источник сообщений – это устройство, осуществляющее выбор сообщений из ансамбля сообщений. Им может быть датчик, ЭВМ и т. п.

Учитывая, что первичные сигналы часто отождествляют с передаваемыми сообщениями, в дальнейшем под источником сообщений будем понимать источник первичных сообщений разной природы и преобразователь неэлектрической величины в электрическую.

Для систем передачи информации представляют интерес источники, которые изменяют свое состояние с течением времени. Поэтому источники сообщений можно рассматривать как генераторы СП с реализациями X ( t ).

По типу генерируемых процессов источники делятся на дискретные и непрерывные.

Дискретные источники имеют конечное число внутренних состояний, которым соответствует конечное число символов. Совокупность символов называется алфавитом источника (сообщения). Число разных символов есть объем алфавита L. Сообщение образуется путём последовательного выбора символов из алфавита источника и является реализацией дискретного СП.

Примером дискретного сообщения может служить текст или последовательность единиц и нулей на выходе цифрового устройства. В первом случае символами источника являются буквы, во втором – цифры 0 и 1.

Каждый символ X i характеризуется вероятностью появления p ( X i ).

Совокупность символов и вероятностей их появления называется ансамблем источника.

Непрерывные источники имеют бесконечное число внутренних состояний и порождают СП, реализации которых описываются или непрерывными функциями времени, или функциями дискретного времени.

Примерами непрерывных сообщений являются речь, музыка, значения напряжений (токов), снимаемые с телеметрических датчиков и т. д.

С любой заранее заданной точностью непрерывное сообщение может быть заменено дискретным путем квантования по времени и уровню. Дискретизация по времени основана на теореме Котельникова (теореме отсчетов) [4, 9].

В соответствии с ней сообщение, описываемое функцией времени со спектром, ограниченным верхней частотой FВ, полностью определяется значениями своих отсчетов, взятых через интервал времени t = FВ 2 (рис. 6.2).

Рис. 6.2. Квантование непрерывного сообщения Диапазон изменения непрерывных сообщений ( X min, X max ) можно разбить на дискретные уровни с материалом X и непрерывные отсчеты заменить их ближайшими дискретными значениями. Такую замену называют квантованием непрерывных отсчетов, а величину X – шагом квантования.

Дискретные значения отсчетов можно обозначить символами по аналогии с обозначением внутренних состояний дискретного источника. Совокупность таких символов образует алфавит квантованного сообщения.

Очевидно, объем алфавита совпадает с числом уровней квантования:

Максимальная ошибка при такой замене непрерывных значений отсчетов дискретными равна Выбором шага квантования X можно всегда обеспечить допустимое значение ошибки.

Таким образом, квантование непрерывных сообщений по времени и по уровню позволяет приближенно заменить их дискретными и рассматривать как последовательности символов. Очевидно, за время T количество символов в последовательности K 2 FB T, а число сообщений M x = L.

Кодер (кодирующее устройство) служит для преобразования сообщения X ( t ) в первичный электрический сигнал S ( t ), который подается на модулятор.

Кодирование заключается в сопоставлении последовательности символов источника определенным образом сформированной последовательности символов кодера [9, 36].

В узком смысле кодирование представляет собой преобразование дискретного сообщения в последовательность кодовых символов, осуществляемое по определенному правилу (в широком смысле под кодированием понимают любое преобразование сообщения в сигнал путем установления взаимного соответствия). Множество всех кодовых последовательностей (кодовых комбинаций), возможных при данном правиле кодирования, образует код. Совокупность символов, из которых составляются кодовые последовательности, называют кодовым алфавитом, а их число (объем кодового алфавита) – основанием кода. Число символов в кодовой комбинации может быть одинаковым или разным. Соответственно различают равномерные и неравномерные коды. Число символов в кодовой комбинации равномерного кода называется длиной кода. Из-за простоты реализации наибольшее распространение получил код с основанием 2 (двоичный код), имеющий в алфавите два символа: 0 и 1. Последовательности кодовых символов на выходе кодера называются кодовыми комбинациями или кодовыми словами [9, 36].

При установлении взаимно-однозначного соответствия между сообщениями и кодовыми комбинациями (при выборе правила кодирования) могут решаться разные задачи. Это сопоставление может быть выполнено таким образом, чтобы на передачу сообщения затрачивать в среднем минимальное число сигналов, т. е. экономно. В этом случае говорят о статистическом или эффективном кодировании. Наилучшим с этой точки зрения является код, при котором, во-первых, имеется возможность восстановления первоначального сообщения по кодовой комбинации, и, во-вторых, для представления одного сообщения в среднем требуется минимальное число символов. Первому требованию удовлетворяют обратимые коды, у которых все кодовые комбинации различимы и однозначно связаны с соответствующими сообщениями. Код, удовлетворяющий второму требованию, называется экономным.

С другой стороны кодирование может повысить достоверность передачи информации. Для этого используются так называемые помехоустойчивые коды, в которых используется лишь некоторая часть из общего числа возможных кодовых комбинаций. Благодаря этому появляется возможность обнаруживать и исправлять ошибки в принятых комбинациях, что и способствует повышению достоверности передачи информации [9, 36].

Введение дополнительных символов при помехоустойчивом кодировании и устранение избыточности при статистическом кодировании являются противоположно направленными операциями. Необходимость их проведения объясняется тем, что естественную избыточность источника трудно учесть при технической реализации, декодеров, она не согласована c характером искажений и помех, действующих на сигнал в процессе его передачи.

Искусственная избыточность вводится с учетом как характера искажений и помех, так и возможности построения устройств, способных обнаруживать и исправлять возникающие при передаче ошибки.

Таким образом, при кодировании дискретных сообщений кодер преобразует сообщение из одного алфавита в другой, производит статистическое (экономное) и помехоустойчивое кодирование. Выходным сигналом кодера является случайная последовательность, составленная из дискретных сигналов, чаще всего двоичных. При передаче непрерывных сообщений кодер может отсутствовать, если преобразование непрерывных сообщений в дискретные сигналы не производится. Если же для передачи непрерывных сообщений используются дискретные сигналы, то в кодере перечисленным выше операциям предшествует преобразование аналоговых (непрерывных) сообщений в последовательности дискретных сигналов.

Модулятор преобразует первичный сигнал S ( t ) в радиосигнал S p (t, 0 ).

Преобразование заключается в изменении одного или нескольких параметров 0 сигнала несущей частоты в соответствии c изменением модулирующего сигнала.

Совокупность операций превращения сообщения X ( t ) в радиосигнал S p (t, 0 ) составляет способ передачи информации. Основным при описании способа передачи является указание типа используемых кодов и вида модуляции при передаче дискретных сообщений, а также описание аналогоцифрового преобразования при передаче непрерывных сообщений дискретными сигналами.

В общем случае под каналом передачи информации понимают всю совокупность технических средств, обеспечивающих передачу электрических сигналов от источника сообщений к потребителю. При рассмотрении каналов линию связи чаще всего полагают заданной (считается, что все необходимые характеристики линии связи известны) и все задачи анализа и синтеза каналов передачи информации сводятся к анализу и синтезу операторов преобразования сигналов в передатчике, приемнике и других устройствах [3, 23].

Каналы передачи информации классифицируют по различным признакам:

по назначению, по характеру линий связи, по диапазону частот, по характеру сигналов на входе и выходе каналов и т. п. В теории передачи сигналов каналы классифицируют по характеру сигналов на входе и выходе. Различают непрерывные, дискретные и дискретно-непрерывные каналы. В непрерывных каналах сигналы на входе и выходе непрерывны по уровням; в дискретных каналах – они соответственно дискретны; а в дискретно-непрерывных – сигналы на входе дискретны, а на выходе непрерывны, и наоборот.

Возможна также классификация каналов по назначению РТСПИ (телеграфные, телефонные, телевизионные, телеметрические и др.), по виду физической среды распространения (проводные, кабельные, волноводные и др.) и по диапазону используемых ими частот. К радиодиапазону относят частоты в пределах 30...30·1012 Гц, что соответствует длинам волн от 108 м до 0,1 мм.

Кроме радиодиапазона, в настоящее время широкое распространение нашел и оптический диапазон волн. В силу дискретного характера электромагнитного излучения в оптическом диапазоне волн такие каналы принято называть квантовыми.

По способу распространения радиоволн различают каналы с открытым и с закрытым распространением. В каналах с закрытым распространением электромагнитная энергия распространяется по направляющим линиям (кабельные, проводные, волноводные СВЧ тракты и др.): для них характерны малый уровень помех и постоянство параметров сигнала, что позволяет передавать информацию с высокой скоростью и достоверностью.

Рассмотрим кратко особенности использования радиоволн различных диапазонов в каналах с открытым распространением. В диапазонах инфранизких (ИНЧ), очень низких (ОНЧ) и низких (НЧ) частот на небольших расстояниях поле в месте приема создается за счет дифракционного огибания волнами выпуклой поверхности Земли. На больших расстояниях радиоволны распространяются в своеобразном сферическом волноводе, внутренняя стенка которого образуется поверхностью Земли, а внешняя – ионосферой. Такой механизм распространения позволяет принимать сигналы в любой точке Земли, причем параметры принятых сигналов отличаются достаточно высокой стабильностью. Особенностью этих диапазонов является также способность волн проникать в толщу Земли и воды на глубину в десятки метров.

Принципиальным недостатком таких каналов являются: ограниченная полоса частот (единицы герц) и очень большие линейные размеры антенных устройств, соизмеримых с длиной волны, составляющей километры.

Сверхдлинные волны применяются для навигации и передачи информации на подводные объекты.

В распространении волн диапазона высоких частот (ВЧ) принимает участие ионосфера: если волны длиннее 1 км отражаются от нижнего ее слоя практически зеркально, то декаметровые волны достаточно глубоко проникают в ионосферу, что приводит к эффекту многолучевости, когда в точку приема приходят одновременно несколько сигналов с различным временем запаздывания. Декаметровые волны широко применяются для глобальной связи и радиовещания. С их помощью можно передавать информацию сравнительно большого объема в пределах всего земного шара при ограниченной мощности передатчика и небольших по размеру антеннах. Полоса частот передаваемых сигналов в декаметровом канале не превышает десяти килогерц. До появления спутниковых систем связи этот диапазон был единственным пригодным для организации связи между двумя любыми пунктами на Земле без промежуточной ретрансляции.

Гектометровые волны днем распространяются как земные, а ночью – как ионосферные. Дальность распространения земной волны над сушей не превышает 500 км, а над морем – 1000 км. Диапазон средних частот широко используется в радиовещании, связи и радионавигации.

Волны диапазона частот от 30 МГц и выше слабо дифрагируют и поэтому распространяются в пределах прямой видимости. Некоторого увеличения дальности можно достичь, применив поднятые антенны, а для организации связи на расстояния, превышающие прямую видимость, ретрансляцию сигналов. Системы с ретрансляцией сигналов называются радиорелейными линиями. Одним из основных достоинств высокочастотных диапазонов является большой частотный ресурс, что позволяет создавать радиосистемы передачи информации с высокой скоростью передачи и радиосети с большим числом одновременно работающих радиостанций.

Стремление увеличить ширину полосы частот канала, а также повысить пространственную селекцию сигналов за счет использования остронаправленных антенн при их ограниченных размерах привело к освоению диапазона миллиметровых волн. Главной его особенностью является сильное поглощение радиоволн в дожде и тумане, что ограничивает их применение в наземных системах большой дальности. Однако в космических и спутниковых системах они весьма перспективны.

Новый этап в освоении высокочастотной области радиодиапазона для средств связи открыл запуск искусственных спутников Земли (ИСЗ). Обычно ИСЗ находятся на высоте от 500 до 40 000 км от поверхности Земли и поэтому обеспечивают радиосвязь между земными станциями, удаленными на расстояния до 10...17 тыс. км. Линия спутниковой связи состоит из двух оконечных земных станций и одного или нескольких спутниковретрансляторов, обращающихся вокруг Земли по заданным орбитам [9].

Выбор рабочих частот для линии радиосвязи через ИСЗ определяется условиями распространения и поглощения радиоволн, уровнем внешних помех, принимаемых антенной, возможными техническими средствами, взаимными помехами между системами связи через ИСЗ и другими службами, работающими в смежных или совмещенных диапазонах частот. Ограничение диапазона частот снизу определяется экранирующим действием ионосферы, а сверху – поглощением в тропосфере. Эти два фактора предопределили диапазон рабочих частот 40 МГц...40 ГГц. В настоящее время наибольшее использование находит диапазон 1...12 ГГц.

В зависимости от того, распространяются ли сигналы в свободном пространстве или по направляющим линиям, различают каналы радиосвязи и каналы проводной связи: воздушные, кабельные, волноводные, световодные и др. По воздушным проводным линиям связи передают сигналы в диапазоне 0...160 кГц. На более высоких частотах возрастает влияние помех, резко увеличивается затухание сигналов, сказывается влияние радиовещательных станций длинноволнового диапазона. Существенный недостаток воздушных проводных линий связи - большая зависимость их характеристик от атмосферных условий. Значительно лучшими характеристиками и большей устойчивостью в работе обладают кабельные линии связи. Они являются основой сетей дальней магистральной связи, по ним передают сигналы в диапазоне частот от 600 кГц до 60 МГц. С дальнейшим увеличением частоты затухание сигналов резко возрастает.

Наряду с проводными линиями связи широко используют радиолинии различных диапазонов. Эти линии во многих случаях более экономичны, позволяют быстро организовать сверхдальнюю (глобальную) связь без промежуточных станций. Кроме того, эти линии являются единственным средством связи с подвижными объектами (воздушными судами, космическими кораблями, морскими судами, автомобилями).

Наибольшее распространение для передачи многоканальных сообщений получили наземные радиорелейные линии, работающие в метровом, дециметровом и сантиметровом диапазонах волн на частотах от 60 МГц до 15 ГГц. На этих частотах обеспечивается широкая полоса тракта передачи, необходимая для многоканальной телефонной и телевизионной связи, мал уровень атмосферных и промышленных помех. Все это обеспечивает высокую помехоустойчивость передачи информации.

Разновидностью радиорелейных линий являются тропосферные линии, в которых принимаются сигналы, отраженные от неоднородностей тропосферы.

Использование дальнего тропосферного распространения радиоволн позволяет создать линии дальней радиосвязи с расстояниями между ретрансляционными станциями в несколько сотен километров. Эти линии работают чаще всего в диапазоне частот от 0,5 до 6 ГГц.

Широко применяются и очень перспективны спутниковые линии связи [9]. По принципу работы они представляют разновидность радиорелейных линий, ретрансляторы которых находятся на искусственных спутниках Земли. Существенным преимуществом спутниковых линий является большая дальность связи, которая при одном спутнике (ретрансляторе) составляет около 10000 км. При использовании системы спутников можно организовать глобальную связь – между любыми пунктами Земли.

Спутниковые линии связи работают в диапазоне частот 4...6 ГГц. В настоящее время отведено шесть новых частотных диапазонов от 11 до 250 ГГц, освоение которых позволит существенно повысить качественные показатели спутниковой связи [9, 43]. Спутниковые системы связи, особенно с цифровыми методами передачи сигналов, перспективны и в гражданской авиации, особенно с выходом на воздушные трассы сверхзвуковых пассажирских судов.

В настоящее время для оптической связи используется диапазон длин волн 0,5...10,6 мкм, включающий видимый (0,5...0,76 мкм) и инфракрасный (0,76...10,6 мкм) участки спектра электромагнитных колебаний. Имеющаяся широкая полоса частот оптических каналов связи позволяет создавать каналы и сети связи с огромной пропускной способностью. В космических и атмосферных лазерных линиях связи громадный коэффициент усиления передающих оптических антенн и соответствующая малая расходимость лазерного луча также позволяют получить большое отношение сигнал/шум в приемнике в широкой полосе частот при маломощных передатчиках.

По условиям распространения оптические линии и каналы связи можно разделить на три категории:

• волоконно-оптические линии связи;

• лазерные космические линии связи;

• наземные атмосферные оптические линии связи.

Оптическая (лазерная) линия связи – это не просто линия связи с очень высокой (световой) несущей. По сравнению с системами радиодиапазона сигналы и шумы в лазерных линиях связи имеют принципиально иной характер. При детектировании оптического сигнала, при котором происходит его преобразование и электрический, необходимо учитывать корпускулярную (квантовую) природу оптического сигнала. В видимом диапазоне длин волн тепловые шумы отсутствуют. Поэтому оптические элементы приемника, такие как антенна, оптические фильтры и другие, не создают шумов, несмотря на активные потери в этих элементах. Ширина диаграммы направленности приемной оптической антенны определяется не только апертурой антенны, но и размером фотодетектора, который можно рассматривать как совокупность большого числа облучателей многолучевой антенны. Эти облучатели запараллелены и в сумме создают относительно широкую диаграмму направленности приемной антенны [43].

Совокупность технических средств, включенных между модулятором и демодулятором (рис. 6.1), т. е. выходные каскады передатчика, передающая антенна, среда распространения, приемная антенна и линейная часть приемника, образуют непрерывный канал, так как входные и выходные радиосигналы S p (t, 0 ) и Yp (t ) непрерывны по своей природе. Рассматривая часть системы между выходом кодера и входом декодера, получим дискретный канал. Наконец, часть системы между выходом кодера и входом демодулятора образует дискретно-непрерывный канал. Таким образом, дискретный канал содержит дискретно-непрерывный, который в свою очередь включает в себя непрерывный канал.

Рассмотрим особенности передачи сигналов по непрерывному каналу.

Радиосигнал S p (t, 0 ) претерпевает изменения при распространении по каналу.

Эти изменения обусловлены поглощением и рассеянием энергии, отражением от неоднородностей среды распространения, замираниями сигнала, искажениями сигнала за счет несовершенства аппаратуры передатчика и приемника. Вследствие этих изменений принятый полезный сигнал S p (t, ) отличается от переданного S p (t, 0 ). Вектор параметров принятого сигнала кроме параметров 0 получает дополнительные составляющие, например, время запаздывания, доплеровский сдвиг частоты, изменение амплитуды и др.

Некоторые из дополнительных параметров на приемной стороне могут считаться известными и их можно учесть при приеме сигнала. Например, ослабление сигнала легко компенсируется соответствующим усилением в приемнике.

Для передачи сообщений наиболее опасны искажения полезного сигнала, связанные с изменением его информационных параметров. Так как физические процессы, происходящие с излученным сигналом в канале, сложны и не поддаются простому математическому описанию, то предложены многочисленные модели каналов, с разной степенью подробностей рассматриваются в следующих подразделах.

Кроме излученного сигнала на антенну приемника поступают сигналы от посторонних источников и создают помехи приему полезного сигнала. Природа помех многообразна. Внешними мешающими помехами могут быть естественные электромагнитные процессы, происходящие в атмосфере, ионосфере, космосе, а также сигналы других радиотехнических систем.

К внутренним помехам относятся флуктуационные шумы приемника, нестабильности питающих напряжений и параметров элементов приемника.

На рис. 6.1 наличие помех в канале отображено в виде источника помех, вырабатывающего случайный процесс n ( t ). В большинстве случаев помехи складываются на входе приемника с полезным сигналом и поэтому называются аддитивными. Наиболее распространено предположение о СП n ( t ) как о нормальном белом шуме с нулевым средним значением и спектральной плотностью N 0.

Таким образом, выходной сигнал канала часто можно представить в виде аддитивной модели где S p (t, ) – принятый с искажениями полезный сигнал с параметрами.

Данная модель не описывает многие практические случаи, когда прием полезного сигнала может происходить в условиях узкополосных и импульсных помех, а также замираний сигнала (мультипликативных помех).

Демодулятор и декодер выполняют операции по превращению принимаемого сигнала Yp (t ) в сообщение. Демодулятор выделяет сигнал Y ( t ), который модулирует несущую принятого колебания. Декодер по этому сигналу вырабатывает сообщение X (t ). Превращение сообщения в сигнал, выполненное на передающей стороне, и преобразование сигнала в сообщение на приемной стороне являются взаимозависимыми операциями. Поэтому кодер и декодер, модулятор и демодулятор принято объединять и рассматривать как единые устройства. Устройство, выполняющее функции модулятора и демодулятора, называется модемом, а устройство, осуществляющее кодирование сообщений и декодирование сигналов – кодеком.

направляемое получателю, может отличаться от сообщения выработанного источником. Степень соответствия X (t ) и X ( t ) зависит от операций, составляющих способ передачи, от уровня сигнала и помех, от свойств канала связи и от вида преобразования сигнала в сообщение на приемной стороне. Основной операцией при приеме непрерывных сообщений является демодуляция, т. е. выделение сообщения X (t ), модулирующего несущую принятого сигнала Yp (t ).

Совокупность операций по превращению сигнала Y (t ) в сообщение X (t ) называется способом приема. При передаче дискретных сообщений различают прием в целом и поэлементный (посимвольный) прием [36].

Сущность приема в целом состоит в том, что на приемной стороне определяется расстояние между принятым сигналом и всеми образцами ожидаемых сигналов. За переданный сигнал принимают образец, наименее удаленный от принятого сигнала. Этот выбор осуществляет специальная решающая схема. Число образцов должно быть равно числу возможных сообщений источника. Прием в целом является оптимальным, однако его реализация требует значительного объема оборудования.

При посимвольном приеме преобразование сигнала в сообщение происходит в два этапа с помощью двух решающих схем. На первом этапе в последовательность дискретных сигналов (символов кодового алфавита) Y (t ).

Во второй решающей схеме производится коррекция ошибок в последовательности сигналов с выхода первой решающей схемы. На выходе второй решающей схемы формируются символы сообщения.

Техническая реализация посимвольного приема обычно значительно проще, чем приема в целом. Поэтому, несмотря на проигрыш в помехоустойчивости, посимвольный прием нашел наибольшее распространение в системах передачи дискретных сообщений.

6.2. Модели непрерывных каналов Непрерывными называются каналы, входные и выходные сигналы которых принимают произвольные значения из некоторого интервала.

Непрерывные каналы можно классифицировать по виду помех и характеру преобразования входного сигнала S p (t, 0 ) в полезный принятый S p (t, ). Если ограничиться предположением, что в канале действует аддитивный нормальный белый шум n ( t ), то непрерывные каналы подразделяются по виду преобразования S p (t, 0 ) в S p (t, ), т.е. по виду искажений сигнала.

В большинстве радиотехнических систем излученные сигналы являются узкополосными:

где A ( t ) и (t ) – функции, отображающие законы амплитудной и угловой модуляции; 0 – несущая частота сигнала.

Искажения излученного сигнала S p (t, 0 ) принято рассматривать отдельно для однолучевых и многолучевых каналов. В однолучевых каналах Однолучевыми каналами являются линии связи на расстояниях прямой видимости: линии ближней радиосвязи на коротких и ультракоротких волнах, линии связи Земля-воздух, воздух-Земля, воздух-воздух и т. п.

Принятый полезный сигнал по отношению к излученному характеризуется дополнительными параметрами: случайным ослаблением (t ), средним временем запаздывания 3, доплеровским смещением частоты и случайной начальной фазой и может быть записан в виде стороне значений дополнительных параметров ( t ), 3,, можно выделить несколько моделей непрерывных каналов [16, 36].

Гауссовским каналом называется канал, в котором действует аддитивный нормальный белый шум, а искажения полезного сигнала несущественны и могут быть скомпенсированы. Компенсация искажений возможна, если на приемной стороне дополнительные параметры полностью известны или могут быть измерены достаточно точно. Поэтому можно считать, что S p (t, 0 ) = S p (t, ). Выходной сигнал гауссовского канала Представление выходного сигнала в виде суммы полезного сигнала и нормального белого шума n ( t ) позволяет указать правило принятия решения о переданном сигнале.

Гауссовский канал с неизвестной фазой сигнала определяется параметрами 3,, (t ) =, которые постоянны и известны. Фаза считается равномерно распределенной величиной в интервале [0, 2 ]. Такая модель хорошо описывает процессы в линиях радиосвязи на расстояниях прямой видимости.

Канал с амплитудными замираниями является дальнейшим усложнением канала с неизвестной фазой в предположении, что ( t ) – случайная функция времени. Выходной полезный сигнал канала с замираниями Случайная функция ( t ) перемножается с сигналом и поэтому называется мультипликативной помехой, которую можно рассматривать как функцию, модулирующую по амплитуде излученный сигнал. Модуляция приводит к расширению спектра принятого сигнала относительно спектра излученного сигнала. Поэтому такой канал называют каналом с рассеянием энергии по частоте.

По времени корреляции мультипликативные помехи разделяются на медленные и быстрые [9, 17]. О медленных замираниях говорят в случае, если время корреляции ( t ) значительно превышает интервал наблюдения сигнала.

Причинами медленных замираний является изменения свойств среды распространения радиоволн в зависимости от метеорологических условий, времени суток, года, от солнечной активности и т. п. Быстрая мультипликативная помеха имеет время корреляции меньше, чем интервал наблюдения сигнала. Основной причиной быстрых замираний является наличие многих путей, по которым распространяются электромагнитные волны [9, 17].

Многолучевое распространение возникает при передаче информации на дальние расстояния при отражении радиоволн от протяженных поверхностей суши и моря, при отражении от ионосферы и тропосферы. Из-за разных путей распространения времена запаздывания отдельных принимаемых сигналов различны. Поэтому многолучевые каналы называют также каналами с рассеянием энергии во времени.

Результирующий сигнал на выходе многолучевого канала При большом числе путей можно считать, что S p (t, ) является реализацией нормального СП. Обычно среднее значение процесса равно нулю, тогда модели многолучевых каналов различаются по виду КФ [43].

Таким образом, непрерывный канал считается заданным, если указаны мощность сигналов, полоса частот, дано описание моделей помех и искажений сигналов.

6.3. Модели дискретных каналов Дискретными называются каналы, входные и выходные сигналы которых принимают конечное число мгновенных значений. Понятие дискретного канала естественно возникает при передаче дискретных сообщений и определяется как совокупность технических средств, включенных между кодером и декодером (рис. 6.1).

Переход от дискретных сигналов к непрерывным осуществляется на передающей стороне при манипуляции параметрами непрерывной несущей.

На приемной стороне дискретные сигналы появляются на выходе первой решающей схемы (демодулятора).

Свойства дискретного канала определяются непрерывным каналом и структурой модема. Дискретный канал задается множеством входных {si }, i = 1, Ls и выходных { y j }, j = 1, L y символов (сигналов), длительностью символов и условными вероятностями P( y j si ) преобразования входных символов в выходные. Обычно длительности всех входных и выходных символов одинаковы. Объемы алфавитов входных Ls и выходных Ly сигналов в общем случае могут быть разными, причем L y L s. Однако в большинстве случаев L y = Ls. Для дискретных каналов широко используется представление принятой последовательности символов Y = ( y1, y 2,..., y n ) в виде суммы переданной последовательности S = ( s1, s 2,... s n ) и комбинации помехи (вектора ошибки) E = ( e1, e2,..., en ) где понимается как поразрядное сложение S и E по модулю Ls. В случае двоичных последовательностей ( Ls = 2 ) нулевой символ вектора ошибки ei = означает, что i-й символ принят правильно ( y i = s i ), a ei = 1 ошибку в приеме Классификацию дискретных каналов удобно вести по вектору ошибки Е.

Разные модели каналов отличаются распределением вероятностей вектора Е.

Наиболее распространены следующие модели [36].

Канал без памяти – это канал, в котором символы ei являются независимыми СВ. Прием каждого сигнального символа в таком канале не зависит от результата приема предыдущих символов. При наличии такой зависимости имеет место канал с памятью. Дискретный канал называется стационарным, если вероятность ошибочного приема символов не изменяется с течением времени.

В силу простоты технической реализации наибольшее применение находят каналы, сигналы в которых представляются двоичным кодом. Такие каналы называются двоичными (бинарными) и задаются с помощью графа (рис. 6.3).

Вероятности P (0 0) к P (1 1) характеризуют правильный прием символов 0 и 1 соответственно, a P (1 0) и P (0 1) - вероятности ошибок при приеме символов 0 и 1.

Симметричным двоичным называется канал, в котором вероятности ошибок при приеме 0 и 1 одинаковы, P (1 0) = P (0 1), а следовательно, равны и вероятности правильного приема символов P (0 0) = P (1 1) = 1 p. Для симметричного стационарного канала без памяти вероятность искажения i-го символа P(ei = 1) = p, а вероятность правильного приема P(ei = 0) = 1 p.

Двоичный канал без памяти со стиранием отличается от рассмотренного тем, что выходной алфавит помимо 0 и 1 содержит третий символ «?» – символ стирания. Он появляется в тех случаях, когда демодулятор не может надежно опознать переданный символ. Такой канал часто используется в системах передачи информации с обратной связью, когда при приеме символа «?»

производится повторение передачи. Это позволяет значительно снизить вероятность ошибочного приема за счет уменьшения скорости передачи.

Марковский канал является простейшей моделью дискретного канала с памятью. Он характеризуется вектором ошибки, символы которого образуют простую цепь Маркова [44]. Вероятность искажения символа в этом канале зависит от результата приема только предыдущего символа.

Из других моделей симметричных двоичных каналов следует отметить канал с пакетами ошибок, который характеризуется тем, что искажающие символы (единицы) вектора ошибки группируются в пакеты. Такое группирование происходит, если в непрерывном канале, входящем в дискретный, действуют сильные замирания сигналов на время длительности нескольких символов или присутствуют импульсные помехи большой длительности. Подобные каналы задаются вероятностями искажений серий из q символов подряд.

6.4. Статистика случайных сигналов и помех в реальных В системах связи на передающей стороне используют сигналы вида где 0 – средняя частота; A ( t ) и ( t ) – соответственно амплитуда (огибающая) и фаза, изменяющиеся по сравнению с колебанием частоты 0, как правило, настолько медленно, что сигнал S p ( t, 0 ) можно считать узкополосным [9, 36].

Таковы, в частности, сигналы обычной амплитудной, частотной или фазовой модуляции и их разновидностей. В этом случае при многолучевом распространении сигналов, характерном, как уже отмечалось, для многих реальных каналов (в частности, радиоканалов) каждая из скалярных компонент выходного сигнала S p ( t,, r ), как это описано в [16, 43], даже при заданном на входе скалярном сигнале ( m = 1 ) имеет вид где r характеризует координаты точки наблюдаемой области пространства;

– среднее время задержки -го луча, которое в большинстве реальных каналов меняется значительно медленнее, чем сами сигналы, допускает простое измерение и потому может считаться известным в месте приема [16, 36];

hxi ( t, r ), hyi ( t, r ) – квадратурные компоненты передаточной функции канала по i -й скалярной компоненте выходного сигнала в -м луче (медленно меняющиеся по сравнению с колебанием частоты 0 ); i ( t, r ) – модуль той же передаточной функции (относительно которого делается аналогичное допущение); i ( t, r ) – суммарный фазовый сдвиг в i -й компоненте -ro луча;

N – число лучей в канале, обусловленное его физическими свойствами.

При использовании представления (6.2) следует учитывать, что сигнал на передаче S p ( t, 0 ) имеет конечную длительность T, соответствующую длительности передаваемого им сообщения или его элемента (например, отдельного символа), поэтому A ( t ) = 0 при t < 0, t > T.

Как правило, каждый из лучей сигнала в (6.2), в свою очередь, является результатом наложения многих компонент (подлучей), разность задержек которых в канале пл 0, (6.10) mM, M – соответственно математическое ожидание и дисперсия где величины ln (параметры распределения).

Для моделирования каналов связи помимо закона распределения замираний важно знать возможные значения их интервала корреляции кор.

Замирания в радиоканалах декаметрового диапазона, описываемые четырехпараметрическим или m -распределениями (при m = 0.5 – самые глубокие), имеют кор в пределах 1…10 с. В каналах с тропосферным нескольких секунд, но возможно и кор =0.1 с. Для медленных (абсорбционных) замираний, описываемых логнормальным распределением (6.10) характерны значения кор =10 мин.

Разновидности аддитивных помех, чаще всего встречающиеся в реальных каналах связи, обычно подразделяют на три группы:

1) помехи, распределенные по частоте, времени и пространству (гладкие шумы), обусловленные внутренними шумами аппаратуры и множеством помех внешнего происхождения;

2) помехи, сосредоточенные на отдельных участках спектра временных или пространственных частот и в радиоканалах, обусловленные чаще всего работой посторонних передатчиков;

3) помехи, сосредоточенные во времени или пространстве (импульсные помехи).

Для помех первой группы, которые чаще всего называют флуктуационными, обычно приемлема модель в виде «белого» или «окрашенного» (т. е. с неравномерным спектром) гауссовского шума. Лишь в редких случаях возникает необходимость рассматривать более общие законы распределения, например [16] где – параметр, выбираемый в пределах 0,5…2. При =2 это распределение переходит в гауссовское.

Для сосредоточенных по спектру помех в большинстве каналов из-за их физической природы характерны замирания, которые могут описываться четырехпараметрическим и другими рассмотренными выше распределениями.

Если амплитуда замирающей помехи распределена по закону Накагами, а фаза – равномерно, то ПРВ мгновенных значений помехи подчиняется бимодальному закону, который часто аппроксимируют выражением с параметрами p и q, связанными с параметром m -распределения Накагами соотношениями Для узкополосных негауссовских помех на выходе высокочастотного тракта приемника иногда используется модель Холла [16]:

где [2, 5].

Сосредоточенные во времени помехи представляют собой быстро затухающие колебания или импульсы той или иной формы, длительность существования которых меньше интервала анализа, а моменты появления и амплитуды обычно случайны. Появление такой помехи в любой момент заданного интервала времени, как правило, равновероятно, а число появляющихся в нем помех подчиняется закону Пуассона. Распределения амплитуд могут быть весьма разнообразными. Для описания импульсных помех часто используют распределение вида (6.11), логнормальное распределение (6.10), гиперболический закон где < 0, 1 5, и гамма-распределение где > 0, > 1, а также взвешенные суммы четырехпараметрических, экспоненциальных и других распределений. Для помех в форме радиоимпульсов начальная фаза обычно принимается равномерно распределенной.

7. ПРОГРАММНАЯ СРЕДА MATLAB И ПАКЕТ

ВИЗУАЛЬНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ SIMULINK

Как известно, сложные электрические цепи постоянного тока легко описываются системами линейных уравнений, составленными на основе законов Кирхгофа, - например, методами узловых потенциалов и контурных токов. Для цепей переменного тока необходимо составлять такие уравнения с комплексными элементами. А для моделирования динамических систем и устройств необходимо составлять и решать системы ДУ, чаще всего нелинейных. Матричная система MATLAB – идеальное средство для реализации такого моделирования [14, 34].

Среда MATLAB, являясь мощной матричной системой, открывает обширные возможности в выполнении численного моделирования как линейных, так и нелинейных систем и устройств, описываемых большими системами уравнений. Такое моделирование предполагает решение системы уравнений состояния достаточно апробированными и хорошо известными численными методами – в том числе на основе рекуррентных и итерационных алгоритмов. Уравнения состояния реальных систем и устройств часто содержат множество нулевых коэффициентов, что порождает разреженные матрицы и массивы. Их аппарат прекрасно представлен в базовой системе MATLAB.

В настоящее время известно множество программных средств моделирования частного характера. Например, для моделирования электронных схем применяются программы схемотехнического моделирования MicroCAP, MicroLOGIC, Pspice, Design Center, Electronics WorkBench и др. Они обычно содержат обширные библиотеки полупроводниковых и схемных компонентов и представляют результаты в привычном для пользователя виде – например в виде осциллограмм их виртуальных осциллографов или показаний виртуальных вольтметров или амперметров. Однако применение таких систем носит частный и потому довольно ограниченный характер, хотя в своей области многие такие программы являются подлинным шедевром изобретательности их создателей.

Разработчики системы MATLAB+Simulink отказались от конкуренции с разработчиками подобных программ узкого назначения. Они сосредоточили свое внимание на решении куда более важной и сложной задачи – моделирования блочных динамических систем и устройств произвольного назначения. Для этого пришлось с одной стороны существенно расширить библиотеки компонентов таких систем и устройств, а с другой стороны, применить укрупненные модели ряда компонентов, благодаря чему стало возможным моделирование сложных систем и устройств.

В настоящей главе под моделью будем подразумевать блочную (функциональную) диаграмму системы или устройства, содержащую ее компоненты в виде отдельных блоков и подсистем с соответствующим описанием их свойств. Это описание, как правило, носит внутренний характер и количественно может корректироваться изменением параметров в списке параметров каждого компонента. С помощью подсистем исследователь может составлять свои собственные сложные компоненты. Набор виртуальных регистрирующих устройств позволяет контролировать поведение созданной модели.

7.1. Интерфейс среды MATLAB Среда MATLAB является интерактивной системой для выполнения инженерных и научных расчетов, ориентированной на работу с массивами данных. Система использует математический сопроцессор и допускает возможность обращения к программам, написанным на языках Fortran, C и C++.

Среда MATLAB имеет собственный язык программирования, напоминающий BASIC, а также располагает большими возможностями для работы с сигналами, для расчета и проектирования систем связи, цифровых и аналоговых фильтров, различных вычислительных систем. Имеются в наличии и средства для спектрального анализа и синтеза, быстрого преобразования Фурье (БПФ), обработки изображений, Wavelet-анализа [34]. Кроме этого, пользователь может ввести в систему любую новую встроенную команду, оператор или функцию.

При помощи командного окна (рис. 7.1) можно осуществлять все вычисления в режиме калькулятора. При этом можно осуществлять присвоения различным переменным значений и далее пользоваться ими в командном окне.

Рабочее пространство среды является удобным средством для просмотра числовых массивов в процессе формирования и отладки вычислительных процедур (программ).

Программирование в среде MATLAB осуществляется путем создания М-файлов с расширением.m (рис. 7.2). Недостатком является отсутствие оператора безусловного перехода GO TO, однако это можно полностью возместить путем структурного программирования с обращением к различным функциям и процедурам. Кроме этого, с помощью встроенных инструментальных средств имеется возможность формировать графический пользовательский интерфейс, значительно облегчающий работу с программами, созданными в среде MATLAB, а также их отладку.

Пакет визуального моделирования Simulink (рис. 7.1) является пакетом расширения среды MATLAB и позволяет осуществлять моделирование поведения динамических линейных и нелинейных систем. Пользователь осуществляет графическую сборку любой системы из отдельных блоков, хранящихся в библиотеках Simulink (рис. 7.3). В результате такой сборки образуется модель исследуемой системы (S-модель), которая хранится в файле с расширением.mdl.

Просмотр массивов в рабочем пространстве 7.2. Пакет визуального моделирования Simulink Одной из самых сложных проблем в реализации математического моделирования в среде MATLAB является подготовка модели моделируемой системы или устройства. Модель обычно представляется в форме графического, табличного или таблично-топологического описания. При этом необходимо предусмотреть организацию связей между компонентами и установку их параметров. После этого нужно запустить модель на исполнение, т. е. задать решение автоматически составленной системы уравнений состояния и вывод результатов решения, что зачастую представляет собой достаточно сложную задачу.

Все вышеупомянутые проблемы эффективно решаются при помощи расширения Simulink – важной составной части системы MATLAB.

Это расширение реализует визуально-ориентированное программирование задач автоматического составления графической модели системы или устройства, составления и решения уравнений состояния и наглядного представления результатов моделирования. Пакет Simulink позволяет выполнять симуляцию работы моделируемых систем и устройств, т. е. осуществлять имитационное моделирование [10].

Новые версии Simulink интенсивно развиваются в направлении развития техники моделирования систем и устройств, структура которых может изменяться под воздействием ситуаций, которые характерны для работы устройств в те или иные моменты времени. Другими словами, развивается направление ситуационного моделирования. Специальное расширение StateFlow BlockSet обеспечивает расширенные возможности ситуационного моделирования – в частности позволяет в динамике отслеживать связи между блоками моделей и строить наглядные SF-диаграммы [10, 14].

Пакет Simulink является ядром интерактивного программного комплекса, предназначенного для математического моделирования линейных и нелинейных динамических систем и устройств, представленных своей функциональной блок-схемой, именуемой S-моделью или просто моделью. При этом возможны различные варианты моделирования: во временной области, в частотной области, с событийным управлением, на основе спектральных преобразований, с использованием метода Монте-Карло (реакция на воздействия случайного характера) и т. п.

Для построения функциональной блок-схемы моделируемых устройств Simulink имеет обширную библиотеку блочных компонентов (рис. 7.1) и удобный редактор блок-схем. Он основан на графическом интерфейсе пользователя и по существу является типичным средством визуальноориентированного программирования. Используя палитры компонентов (наборы), пользователь с помощью мыши переносит нужные блоки с палитр на рабочий стол пакета Simulink и соединяет линиями входы и выходы блоков.

Таким образом, создается блок-схема системы или устройства, то есть модель.

Непрерывные элементы Дискретные элементы Математические преобразования Библиотека по созданию подсистем Устройства отображения сигналов Источники сигналов Системы связи с кодовым разделением каналов (CDMA) Пакет моделирования систем связи Цифровая обработка Simulink автоматизирует следующий, наиболее трудоёмкий этап моделирования: он составляет и решает сложные системы алгебраических и дифференциальных уравнений, описывающих заданную функциональную схему (модель), обеспечивая удобный и наглядный визуальный контроль за поведением созданного пользователем виртуального устройства – достаточно уточнить (если нужно) вид анализа и запустить Simulink в режиме симуляции созданной модели системы или устройства.

Ценность пакета Simulink заключается и в обширной, открытой для изучения и модификации библиотеке компонентов (блоков). Она включает источники сигналов с практически любыми временными зависимостями, масштабирующие, линейные и нелинейные преобразователи с разнообразными формами передаточных характеристик, квантующее устройство, интегрирующие и дифференцирующие блоки и т. д. Кроме этого пакет Simulink включает в себя отдельные специализированные библиотеки, наиболее полезными из которых являются пакет для моделирования систем передачи дискретных сообщений (Communications Blockset) и пакет для моделирования систем цифровой обработки сигналов (DSP Blockset).

Программные средства моделирования динамических систем известны давно, к ним относятся, например, программы Tutsim и LabVIEW for Industrial Automation. Однако для эффективного применения таких средств необходимы высокоскоростные решающие устройства. Интеграция системы MATLAB с пакетом Simulink открывает новые возможности использования самых современных математических методов для решения задач динамического и ситуационного моделирования сложных систем и устройств.

Средства графической анимации Simulink позволяют строить виртуальные физические лаборатории с наглядным представлением результатов моделирования. Возможности Simulink охватывают задачи математического моделирования сложных динамических систем в физике, электро- и радиотехнике, биологии и других областях науки и техники. Этим объясняется популярность данного пакета как в вузах, так и в научных лабораториях.

Важным достоинством пакета Simulink является возможность задания в блоках произвольных математических выражений, что позволяет решать типовые задачи, пользуясь примерами пакета Simulink или же просто задавая новые выражения, описывающие работу моделируемых пользователем систем и устройств. Важным свойством пакета является возможность задания системных функций (S-функций) с включением их в состав библиотек Simulink.

Необходимо также отметить возможность моделирования устройств и систем в реальном масштабе времени.

Как программное средство Simulink – типичный представитель визуальноориентированных языков программирования. На всех этапах работы, особенно при подготовке моделей систем, пользователь практически не имеет дела с обычным программированием. Программа в кодах автоматически генерируется в процессе ввода выбранных блоков компонентов, их соединений и задания параметров компонентов.

Важное преимущество Simulink – это интеграция не только с системой MATLAB, но и с рядом других пакетов расширения, что обеспечивает, по существу, неограниченные возможности применения Simulink для решения практически любых задач имитационного и событийного моделирования.

7.3. Создание и маскирование подсистем При моделировании сложных систем с помощью пакета Simulink целесообразным является формирование отдельных блоков в виде подсистем, для которых можно задавать собственные параметры. Подсистема формируется из группы отдельных блоков следующим образом: выделяется группа блоков, в меню Edit выбирается опция Create Subsystem и после этого группа блоков преобразуется в один блок с соответствующим числом входов и выходов, показанный на рис. 7.4.

На рис. 7.4 также показан пример маскирования подсистемы: маскируемая подсистема выделяется нажатием левой клавиши мыши, в меню Edit выбирается опция Mask Subsystem и после этого появляется окно, показанное на рис. 7.4 справа внизу, где можно задавать параметры маскируемой подсистемы. Далее выбирается панель Initialization, где в окне Prompt вводится наименование параметра подсистемы, которое будет в дальнейшем отображаться в виде, показанном на рис. 7.4 слева внизу (Carrier_Wave(Hz)) (можно задавать до 12 параметров), а в окне Variable задается, описывающая этот же параметр, переменная, которая в дальнейшем вводится в окна параметров различных блоков. Таким образом, маскирование подсистемы позволяет задавать глобальные переменные, относящиеся ко всей подсистеме.

Рис. 7.5. Имитационная модель ФМн модулятора «1»

Рис. 7.6. Имитационная модель ФМн модулятора «0»

На рис. 7.4 показана имитационная модель дискретной системы связи. При этом модулятор в этой системе представляет собой формирователь фазоманипулированных сигналов генерируемых блоками с именами «1» и «0», которые также в свою очередь являются подсистемами (рис. 7.5, 7.6).

В зависимости от того, какой уровень (1 или 0) поступает на вход модулятора, на его выходе формируется либо синус с нулевой начальной фазой, либо синус с фазой сдвинутой на 180°.

7.4. Общие замечания по моделированию систем Испытание готовых и отлаженных демонстрационных примеров может создать у малоопытного пользователя иллюзию простоты моделирования.

На самом деле в большинстве случаев это возможно только при работе достаточно опытного пользователя, реально проработавшего с тем или иным пакетом расширения не один десяток часов и способного анализировать правоту (или неправоту) своих действий [14].

Малоопытный пользователь, скорее всего, при переходе к моделированию своих систем или устройств, столкнется с множеством неожиданных ошибок.

Наиболее характерными из них являются:

– неверное задание параметров моделей;

– нестыковка входных, выходных и управляющих параметров блоков;

– несоответствие блоков по типу;

– ошибочные записи математических выражений;

– неверный выбор метода моделирования и т. д.

Никакая, даже самая обширная фирменная документация не способна отразить все нюансы ошибочного применения системы MATLAB с её пакетами расширения. Поэтому ограничимся лишь некоторыми общими рекомендациями.

Довольно часто причиной ошибок является несоответствие типов блоков и их входных и выходных параметров. В таких случаях надо предусматривать переходные элементы. Наглядный пример – переход от тока к напряжению включением резистора 1 Ом в цепь тока.

Особенно часто нестыковка блоков наблюдается при совместном использовании блоков из разных пакетов расширения, например, из пакетов Power System и Simulink. Размерные величины, используемые в пакете Power System Blockset, зачастую недопустимы для блоков Simulink, использующих безразмерные величины (например, при задании функций).