2979

УДК 62-51

ИДЕНТИФИКАЦИЯ

ПОСРЕДСТВОМ ЛС-МОДЕЛЕЙ

О.Ю. Копысов

Декартов Научен Център

Болгария, 9002, гр. Варна, ПК-135

E-mail: [email protected]

Ключевые слова: объект, модель, экспериментальные данные, реализация, класс моделей, идентификация, идентифицируемость, структурная идентифицируемость, ЛСМодель, пространство параметров, подпространство реализаций, игла множества, критерий идентифицируемости, критерий структурной идентифицируемости, неопровержимый, исчерпывающий, гарантирующий эксперименты, множество элементарных событий.

Аннотация: В докладе предпринята попытка рассмотреть основные понятия теории идентификации с различных точек зрения. С точки зрения теории множеств, линейной алгебры, геометрии, статистики.

1. Введение (теоретико-множественный подход) Изучение окружающего нас мира это проведение экспериментов с объектами, которые привлекают наше внимание. Первые эксперименты – это, скорее всего, наблюдения, затем пробные воздействия на объект, а в дальнейшем быть может и управление им. Результаты эксперимента экспериментальные данные (ЭД) (наблюдения, измерения), в которых объект проявляет свои свойства, будем называть реализацией объекта.

В дальнейшем попытки предугадать поведение объекта ведут нас к его формальному описанию это Модель, в которой обобщаются всевозможные знания об объекте, и, через сопоставления и аналогии, приписываются интересующие нас свойства.

Для упрощения и удешевления изучения объекта, дальнейшие испытания проводят на модели. Получение (построение, вычисление) реализаций модели по заданной модели составляет существо Задачи Моделирования (ЗМ), а получение модели по заданным реализациям существо Задачи Идентификации (ЗИ). В этом смысле ЗМ и ЗИ являются взаимно обратными задачами.

XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ

ВСПУ- Москва 16-19 июня 2014 г.

Каждой модели отвечает некоторое множество ее реализаций. Тогда, некоторым образом зафиксированное, множество моделей со своими множествами реализаций образуют:

Класс моделей, как множество моделей с некоторыми интересующими нас свойствами (например, единой структурой моделей), и Множество реализаций класса, как объединение всех множеств реализаций всех моделей, где одной и той же реализации может соответствовать некоторое подмножество моделей.

Эксперименты с моделями (решения задачи моделирования) порождают некоторое множество реализаций моделей, которое является подмножеством, как множества реализаций частных моделей, так и подмножеством множества реализаций класса моделей. Например, три модели R, S, T имеют следующие собственные множества реализаций:

множество реализаций класса, а также множество экспериментальных реализаций:

Различают многократный эксперимент, который порождает множество реализаций одной модели; и однократный эксперимент, порождающий одну реализацию. Например, многократный эксперимент E породил реализации: e1, e2, а однократный эксперимент X породил реализацию x.

Под идентификацией посредством класса моделей будем понимать поиск моделей в заданном классе, не противоречащих заданному эксперименту.

Частным решением задачи идентификации (ЧРЗИ) посредством класса моделей назовем модель, которая содержит в своем множестве реализаций все, без исключения, реализации заданного эксперимента. Например, только модель S является ЧРЗИ согласно эксперименту E, а модель R есть ЧРЗИ соответствующее эксперименту X и модель S есть еще одно ЧРЗИ согласно эксперименту X.

Общим решением задачи идентификации (ОРЗИ) посредством класса моделей назовем множество всех, без исключения, частных решений задачи идентификации по заданному эксперименту. Например, множество {R, S, T} есть ОРЗИ соответствующее эксперименту X, но только модель S есть ОРЗИ согласно эксперименту E.

Реализацию, которая принадлежит одной и только одной модели и никакой другой, назовем неопровержимой реализацией модели. Например, реализация pr является неопровержимой.

Модель, имеющую неопровержимую реализацию, назовем идентифицируемой в однократном эксперименте. Например, модель R имеет неопровержимую реализацию pr.

XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ

ВСПУ- Москва 16-19 июня 2014 г.

Эксперимент назовем неопровержимым, если пересечение общих решений задач идентификации по реализациям, порожденным в эксперименте, дает одну и только одну модель. Например, эксперимент E является неопровержимым.

Модель, для которой существует неопровержимый эксперимент, называется идентифицируемой в многократном эксперименте.

Класс моделей назовем идентифицируемым в многократном (однократном) эксперименте, если существует многократный (однократный) эксперимент, который является неопровержимым для любой модели из этого класса. Такой эксперимент будем называть гарантирующим идентификацию. Например, для модели R эксперимент P порождает неопровержимую реализацию pr, а для модели S эксперимент P порождает неопровержимую реализацию ps и для модели T эксперимент P порождает неопровержимую реализацию pt.

Часто образование класса моделей связано с заданием единой структуры всех моделей в классе, тогда идентифицируемость класса будем называть структурной идентифицируемостью.

Эксперимент назовем исчерпывающим, если ОРЗИ по этому эксперименту равно пересечению всех ОРЗИ по всем возможным экспериментам. Исчерпывающий эксперимент, содержащий минимальное количество реализаций из всех исчерпывающих, назовем минимальным исчерпывающим. Исчерпывающий эксперимент, ОРЗИ по которому содержит одну модель, является неопровержимым.

Веселенький примерчик.

Объект = {кошка, собака, лиса, волк, заяц и другие животные}.

Класс моделей = {Кошка, Собака, Лиса, Волк, Заяц и другие Слова}.

Множество реализаций класса = Множество фотографий.

Эксперимент = фотографирование хвостов животных.

Реализация объекта = хвост, который торчит из-за куста.

Реализация модели = фотография хвоста.

Задача Моделирования:

дано: Слово, означающее животное;

найти: фотографию хвоста этого животного.

Задача Идентификации:

дано: фотография хвоста;

найти: Слово, означающее животное, которому принадлежит хвост.

Допустим, что у нас есть фотография хвоста собаки. Мы показали ее специалистам.

Одни сказали, что это хвост собаки, другие волка, а третьи, что этот хвост может принадлежать и волку и собаке.

Заданный эксперимент приводит нас к двум частным решениям задачи идентификации: ЧРЗИ1={Волк}, ЧРЗИ2={Собака} и общему решению задачи идентификации:

ОРЗИ={Волк, Собака}.

Итак, предложенный эксперимент по фотографированию хвостов не является неопровержимым для любой модели из заданного класса, хотя фотография хвоста лисы, скорее всего, будет неопровержимой реализацией модели Лиса в этом классе. Идентифицируемость класса остается под вопросом. Хвосты однозначно не определяют всех животных в классе. Надо искать другие эксперименты или дополнять этот, ведь с моделью Лиса все в порядке.

Можно дополнить фотографию хвоста фотографиями ушей, лап, морды и...

Так мы приходим к многократному эксперименту, а также пытаемся выделить в объекте некоторые составляющие его части, тем самым обозначая структуру модели, как некую совокупность знаний об объекте.

XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ

Исследуя объект, мы, путем экспериментов и логических умозаключений, выделяем в нем части и пытаемся выяснить характер связей между ними. Ограниченные возможности наблюдений и измерительных средств, приводят к неполноте информации об объекте, выраженной в доступных наблюдениях. Классифицируя доступные наблюдения объекта, мы по аналогии получаем алфавит и атомы модели.

Обобщая информацию о составных частях объекта и доступных наблюдениях, восполняем недостающую информацию знаниями о природе этого и других аналогичных объектов и вводим отношения на атомах, формируя структуру элементов модели. Знания, как набор стандартных структур, позволяют работать с различными по физической природе доступными наблюдениями, а так же по-разному структурировать одни и те же данные.

Формируя модель, мы по аналогии соизмеряем элементы модели, связываем их родовым отношением, дабы получить целое и как целое использовать. Алфавит, атомы, структуры элементов, а также родовые отношения на элементах определяют структуру модели.

Как часть цикла процесса изготовления моделей, структуризацию можно считать удачной с точки зрения теории идентификации, если получен класс моделей, идентифицируемый в однократном эксперименте, другими словами, получена структурно идентифицируемая модель объекта. Структуризацию можно считать удачной с точки зрения теории моделирования, если модель похожа в своем поведении на объект. Однако, основной критерий хорошей модели это не только возможность однозначной идентификации или точность воспроизведения реализаций объекта, это еще и полезность модели. Ведь изначально ясно, что модель отражает лишь некоторые наиболее существенные для нас свойства объекта. Она по сути своей не тождественна объекту.

Модель лишь аналогия идеальное представление о совокупности свойств изучаемого объекта. Насколько полезна та или иная модель определит практика ее использования.

2. Идентификация посредством ЛСМоделей (алгебраический подход с элементами геометрии) 2.1. Модели линейной структуры (ЛСМодели) Определим в качестве множества элементов моделей – линейное пространство над полем. Фундаментальное отношение между элементами линейного пространства – отношение линейной зависимости – возьмем в качестве родового отношения моделей. И назовем их Моделями Линейной Структуры (ЛСМоделями). Это определение позволяет нам записать модель, как формулу линейной алгебры. Формула символизиXII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ рует модель, как единое целое и позволяет производить с ней разрешенные теорией действия.

Класс Моделей Линейной Структуры запишем следующей символической форэлементы модели ( ).

Если элементы модели, состоят в отношении линейной зависимости, то есть удовлетворяют формулу модели с коэффициентами, то они называются параметры модели. Множество значений параметров модели определяет частную модель класса и является вектором пространства параметров (ПП).

Задача моделирования (ЗМ) состоит в поиске элементов модели по заданным параметрам, а задача идентификации (ЗИ) в поиске параметров по заданным элементам.

Лирический пример. Весна, капель. На второй день – подморозило. Зато на третий... опять солнце, капель – еще пуще! Наблюдая некоторое явление – температуру воздуха за окном в 1-ый день, 2-ой день, 3-ий день, получили следующие данные:

В качестве математической модели возьмем квадратичное отображение, также хорошо известное, как логистическое отображение. В виде ЛСМодели оно пишется так:

Данных наблюдений хватает, чтобы составить два уравнения ЗИ:

каждое, из которых задает гиперплоскость в пространстве параметров: A1=ОРЗИ1 согласно первой и A2=ОРЗИ2 согласно второй реализациям ЛСМодели, а сами реализации = ( =1,2) являются векторами нормали к этим плоскостям. Пересечение этих плоскостей – (красная) прямая является ОРЗИ согласно полученным данным.

А пересекаются они обязательно, так как имеют общую точку нуль (черная), которая является ЧРЗИ согласно любому эксперименту с ЛСМоделями. Такое ОРЗИ можно назвать однозначным, так как все ЧРЗИ символизируют эквивалентные уравнения Функциональный пример. Пусть в результате решения ЗМ по ЛСМодели По-прежнему числовая реализация = при фиксированном t является вектором нормали к гиперплоскости A(t)=ОРЗИt согласно этой реализации. Пересечение всех ОРЗИt есть ОРЗИ согласно ЭД.

Таким образом, числовая реализация ЛСМодели является элементом (вектором) пространства параметров ЛСМодели перпендикуляром к Общему Решению Задачи Идентификации согласно данной числовой реализации. А линейная оболочка всех числовых реализаций эксперимента (подпространство реализаций) является ортогональXII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ ным дополнением Общего Решения Задачи Идентификации согласно данному эксперименту.

Конечно, на рисунке функционального примера гиперплоскости A(t) изображены как двумерные (вместо 4-мерных). Да и 5-мерные реализации уложены в трехмерное пространство параметров рисунка. Пересечение плоскостей изображено как красная прямая, хотя размерность ОРЗИ зависит от полученных ЭД. Нетрудно рассчитать, что ОРЗИ по указанным выше данным = 0 1 2 0 1 + 1 2 0 1 0,, является двумерным и, следовательно, подпространство реализаций является трехмерным.

Класс Моделей Линейной Структуры с опорным элементом запишем следующей символической формулой: элементы поля,, Лирический пример. Если в качестве опорного взять первый элемент ЛСМодели, получим ЛСМодель с опорным элементом вида:

Опять можно составить два уравнения:

каждое из которых задает гиперплоскость в пространстве параметров: A1=ОРЗИ1 согласно первой и A2=ОРЗИ2 согласно второй реализациям ЛСМодели с опорным элеявляются образующими векторами нормалей к этим гиперплоскостям. Пересечение этих гиперплоскостей (красная) точка является однозначным ОРЗИ согласно полученным данным.

Геометрически, структура ПП ЛСМоделей с опорным элементом мало чем отличается от аналогичной структуры ПП ЛСМодели. Пучки плоскостей ОРЗИ и их пересечения плюс перпендикулярная им линейная оболочка всех числовых реализаций эксперимента (подпространство реализаций) являющаяся ортогональным дополнением направляющего подпространства Общего Решения Задачи Идентификации согласно данному эксперименту.

Однако, если для ЛСМоделей есть только одна структура «нет решения» это пересечение всех гиперплоскостей в единственной нулевой точке ПП, то для ЛСМоделей с опорным элементом их огромное количество. Выявлять большое разнообразие разных структур «нет решения» для ЛСМоделей с опорным элементом гораздо сложнее, чем всегда одну структуру «нет решения» для ЛСМоделей. Поэтому исследования пространства параметров на структуру «нет решения» лучше проводить до выбора опорного элемента.

XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ

Критерий идентифицируемости. Эксперимент F для ЛСМодели с опорным элементом = # является исчерпывающим для параметра ( ) тогда и только тогда, когда соответствующий ему элемент экспериментальных данных является иглой множества { }.

Следствие 1. Эксперимент F для ЛСМодели с опорным элементом = # является неопровержимым тогда и только тогда, когда множество { } является линейно независимой системой.

Доказательство критерия и следствия вы можете найти в [1,2].

Элемент множества { } называется иглой множества (линейно независимым элементом множества), если любое отношение =0 влечет =0.

Свойства иглы множества:

игла множества отлична от нулевого элемента линейного пространства;

игла множества не принадлежит линейной оболочке остальных элементов этого множества (поэтому и названа иглой, торчащей из оболочки) или, другими словами, игла множества не выражается в форме линейной комбинации остальных элементов множества;

игла множества включена в любую максимальную линейно независимую систему этого множества.

Таким образом, в общем случае произвольное множество линейного пространства может быть разделено на три множество игл, максимальная линейно независимая система (и быть может не одна) и само множество.

Функциональный пример. Возьмем ЛСМодель с опорным элементом вида:

уравнение задачи идентификации можно записать в виде:

=2, (при 1) ляется прямой в ПП, то есть ЗИ имеет бесконечно много решений, однако все они имеют =2. В соответствии с критерием третий элемент ЭД является иглой и в этом легко убедиться, подставив элементы в отношение =0.

Интересно, что Метод Наименьших Квадратов (МНК) дает, в этом и других подобных ему случаях многозначного ОРЗИ, однозначное, корректное (устойчивое) решение 13, 13, 2, 13, которое является ортогональным вектором сдвига линейного многообразия ОРЗИ. Выбирать его из множества ОРЗИ в качестве единственного решения ЗИ у нас нет никаких оснований, ведь реализациями данного эксперимента в равной степени владеют все ЛСМодели из ОРЗИ. Нужен неопровержимый эксперимент, чтобы разрешить эту задачу. Если, например, проведя новый эксперимент, мы получим ЭД:

XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ

которые являются неопровержимыми, то ЗИ согласно им имеет единственное решение,,, 10, 21, 2, 10, которое очень сильно отличается от полученного ранее МНК-решения. Замечу, что все решения, которые мы обсуждали, входят в ОРЗИ.

Из критерия и определения иглы множества, также очевидно, следует, что в качестве опорного элемента нельзя выбирать иглу множества ЭД, так как в ЛСМодели мы ставим при игле коэффициент равный 1, а по определению он равен 0.

Следствие 2. Задача идентификации посредством ЛСМодели с опорным элементом иглой не имеет решения.

Функциональный пример. Возьмем ЛСМодель с опорным элементом вида:

тогда при прежних ЭД из первой строки получим 1 = ; из второй =2 ; из третьей: (при t) =2, (при 1) = и из четвертой 1 =3. Подставив и в первое и в последнее выражения, получим в обоих случаях 1=0. Замечу, что МНКрешение опять будет однозначным, но неустойчивым. Этот пример показывает еще, что каноническая управляемая форма модели может быть неидентифицируемой.

2.4. Критерий структурной идентифицируемости Эксперимент, который гарантированно ведет нас к однозначному решению задачи идентификации, назовем гарантирующим экспериментом. В ЛСМодели выделим некоторые элементы и назовем их гарантами.

Запишем ЛСМодель, как сумму двух структурных частей: общее решение задачи идентификации, как сумму некоторого частного решения, и его вариаций,. Тогда можно записать структурное уравнение для ОРЗИ в виде: Наша задача теперь состоит в том, чтобы, =0 в любом решении согласно гарантирующему эксперименту, или другими словами, найти подкласс, то есть ограничения на параметры каждой модели в классе, и условия на гаранты такие, чтобы задача идентификации имела только одно единственное (уникальное) решение,.

Применив первую структуру ЛСМодели вариаций параметров к ЛСМодели, а первую структуру ЛСМодели к ЛСМодели вариаций параметров, получим Вычтя одно уравнение из другого, и потребовав чтобы, получим ЛСМодель гарантов:

Последнее структурное отношение задает отношение пересчета параметров ЛСМодели гарантов к параметрам, ЛСМодели вариаций через матрицу,, состоящую из параметров,. Потребовав невырожденности матрицы отношения пересчета для всех ЛСМоделей в искомом подклассе и однозначного, нулевого решения задачи идентификации для ЛСМодели гарантов во всех планируемых экспериментах, получим, =0 во всех ОРЗИ посредством искомого подкласса в соответствии с этими экспериментами. Эти эксперименты мы и назвали гарантирующими.

Функциональный пример. Напомню, что ЛСМодель имеет вид:

XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ

Отношение пересчета в нотации, содержащей матрицу структурной идентифицируемости, будет иметь вид:

Нам нужна неособая матрица структурной идентифицируемости, и она должна быть квадратной, а у нас столбцов на один больше, чем строк.

Все правильно, мы ищем единственное решение для ЛСМодели, а надо искать единственное решение для ЛСМодели с опорным элементом. Нам нужно выбрать опорный элемент. Возьмем, ему соответствует параметр. С учетом переноса его в правую часть, положим = 1. A так как мы зафиксировали, его вариации =0, тогда последний столбец матрицы все время умножается на нуль и его можно удалить из матрицы, а также удалить и 0 из вектора приращений параметров. Получим:

Условие невырожденности, оно же ограничение на структуру в классе, имеет вид:

Условия на экспериментальные данные, очевидно, следуют из критерия идентифицируемости: все элементы ЛСМодели гарантов должны быть иглами (линейно независимы), другими словами, множество,,, должно быть линейно независимой системой линейного функционального пространства элементов ЛСМодели. Легко проверить, что = удовлетворяет этим условиям, хотя каждая функция не удовлетворяет. Однако, решая ЗИ, мы получили многозначное решение. Проверим условие невырожденности, подставив в него значения параметров из общего решения:

Это говорит о том, что структура частной ЛСМодели, параметры которой мы ищем, получая «хорошие» экспериментальные данные на входе, создает не контролируемые нами выходы, такие, что Задача Идентификации не имеет однозначного решения с этой моделью в этих экспериментах. Однако параметр определяется однозначно, и это тоже видно из отношения пересчета, в котором =. А так как, является иглой множества гарантов,,,, то =0, а следовательно и =0.

Подкласс ЛСМоделей, в котором матрица имеет полный ранг, будем называть Моделями Линейной Идентифицируемой Структуры или для краткости ЛИСМоделями. Матрицу назовем матрицей структурной идентифицируемости, как характеристику идентифицируемых структур ЛСМоделей.

ЛИСМодели матрица структурной идентифицируемости которых не зависит от неизвестных параметров, назовем каноническими ЛИСМоделями, а структуру таких моделей канонической идентифицируемой структурой.

XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ

Лирический пример. Если в качестве гаранта и опорного взять последний элемент Множество гарантов имеет вид:, а матрица структурной идентифицируемости будет единичной.

Полученные результаты решения задач гарантированной идентифицируемости с условиями на матрицу структурной идентифицируемости и на множество гарантов, можно формулировать как критерии идентифицируемости класса моделей для задач идентификации посредством ЛСМоделей, или в случае, когда модели в классе имеют единую структуру, как критерии структурной идентифицируемости.

Критерий структурной идентифицируемости. Задача идентификации посредством ЛСМоделей с опорным элементом:

имеет однозначное решение для любой ЛСМодели, находящейся в любом начальном сои множество,,, стоянии, тогда и только тогда, когда является линейно независимой системой пространства ЭД.

Попробуем в рамках функционального примера к «хорошим» экспериментальным данным найти еще и «хорошую» каноническую модель. Для этого положим =0, значит и =0, тогда матрица потеряет четвертый столбец. Первая строка будет нулевой, что означает ослабление условий на гаранты, и теперь необходимо и достаточно, чтобы множество,, не будет содержать параметров, то есть будет канонической. Структуризация привела ром каждая модель является идентифицируемой, и существует единый для всех моделей гарантирующий идентификацию эксперимент. (Более подробное изложение, а также алгоритмы идентификации смотрите в [1-3].) 3. Идентификация Объекта посредством ЛСМоделей Два эксперимента назовем перпендикулярными, если их Общие Решения Задач Идентификации пересекаются под прямым углом.

Очевидно, что точка пересечения перпендикулярных линий при их малом шевелении мало изменяется. А вот у линий, которые пересекаются под малыми углами, точка пересечения может получить значительные отклонения.

Это обстоятельство позволяет нам сформулировать правило перпендикулярных экспериментов, по которому, не рассматривая близкие, почти линейно зависимые ОРЗИ согласно реализациям, а беря лишь близкие к перпендикулярным, можно существенно улучшать решение ЗИ Объекта, а также давать оценку качества полученным в эксперименте данным.

Функциональный пример. Рассмотрим ЛСМодель с опорным элементом вида:

отрезке =[0,1] в дискретные моменты = только отрезок =[1, 2]. А в третьем возьмем = =.

XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ

Экспериментальные данные Объекта смоделируем с помощью датчика случайных чисел, добавив каждому значению функций в оцифрованных экспериментальных данных ЛСМодели значение датчика.

Ниже на рисунке в ПП представлены ОРЗИ согласно оцифрованным реализациям для трех экспериментов с ЛСМоделью (верхние графики) и с Объектом (нижние).

Отчетливо видно, что для ЛСМодели ЗИ согласно первому и второму экспериментам имеют однозначное решение (одну точку пересечения), а согласно третьему – многозначное. Однако по данным Объекта во втором эксперименте структура ПП такая же, как в третьем. С точки зрения правила перпендикулярных экспериментов, второй эксперимент является недостаточно хорошим и задача идентификации по нему вряд ли будет корректной. И небольшие искажения, внесенные в этот эксперимент, как показывает нижний рисунок, не позволяют выявить однозначно точку пересечения ОРЗИ по реализациям Объекта.

Из рисунка также хорошо видно, что второй и третий эксперименты близки к перпендикулярным. Замечу, что для того, чтобы рассчитать углы между ОРЗИ не нужно решать ЗИ. В пространстве параметров каждая числовая реализация является вектором нормали, к гиперплоскости ОРЗИ согласно этой реализации. Отсюда, углы между реализациями и углы между ОРЗИ согласно этим реализациям совпадают при любой размерности ПП. Анализ углов между реализациями очень просто сделать, а эффект может многократно перекрыть расходы.

В качестве множества элементарных событий (МЭС) рассмотрим множество Частных Решений Задачи Идентификации, в котором каждое решение является однозначным решением по минимальному исчерпывающему эксперименту.

Для того чтобы множество было компактным, будем рассматривать ЛСМодели с параметрами на единичной сфере. Тогда частной ЛСМодели будут соответствовать две точки (красные) на сфере параметров центрально симметрично от центра (рисунок слева).

Ниже на рисунках даны два МЭС для первой и третьей ЗИ выше описанного функционального примера. При 51-ой числовой реализации в каждой ЗИ мы имеем (5150)/2=1275 различных пар реализаций. Каждая пара является минимальным исчерпывающим экспериментом. Все ЗИ по ним имеют точные единственные решения.

XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ

Однозначное решение (первая ЗИ) Многозначное решение (третья ЗИ) С помощью рассчитанного МЭС можно, например, строить гистограммы неизвестных параметров, изучать их различные статистические характеристики, искать наиболее вероятное решение, определять размерность общего решения и т.д.

Функциональный пример. Рассмотрим: ЛСМодель с параметрами на сфере ции данных объекта добавим небольшой шум. Ниже на первом графике показаны полученные Экспериментальные Данные объекта: красным цветом, зеленым, В качестве МЭС на этот раз возьмем множество решений ЗИ по экспериментам, в которых из каждой из четырех функциональных реализаций взят один представитель одна цифровая реализация. Диапазон 1,1 каждого параметра был разбит на 128 частей для расчета гистограмм. На втором рисунке даны гистограммы параметров: красным цветом, зеленым, голубым, синим и фиолетовым.

Все гистограммы имеют чисто нулевые сектора на концах диапазона, это говорит о многозначности ОРЗИ и о том, что диаметры сферы ОРЗИ не лежат на осях. Для разворота сферы можно воспользоваться, например, сингулярным разложением. Запишем уравнение ЗИ в матричной нотации: =e, где e – невязка. Получим сингулярное разложение: =, тогда =e. Обозначив =, =b, получим b=e, =.

На третьем рисунке показаны элементы столбцы матрицы, а на последнем гистограммы параметров b. Элементы всегда будут либо иглами множества столбцов матрицы либо нулями (на рисунке синий и фиолетовый) и в соответствии с критерием идентифицируемости однозначно определяют размерность, базис и само ОРЗИ = 0 0 0 1 0 + 0 0 0 0 1,,. ОРЗИ исходной задачи =.

Ортогональная матрица развернула МЭС к осям без изменения взаимного расположения точек в нем, а мы получили возможность изучать влияние шумов на решение ЗИ согласно полученным ЭД объекта. А сами исходные ЭД преобразовала к виду = удобному для принятия решений о нулях ЭД объекта.

XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ

Огромным достоинством этого МЭС является возможность объединять совершенно разные эксперименты с Объектом в одном исследовании, в том числе целенаправленно формировать минимальные исчерпывающие эксперименты, например, в соответствии с правилом перпендикулярных экспериментов (подробности смотрите в [1,2]).

1. Копысов О.Ю. Идентификация посредством моделей линейной структуры. 2-ое издание. Издателство Декартов Научен Център, Варна, 2013. 411 с. ISBN 978-954-92807-4- 2. Kopysov O.Yu. Identification via linear structure models. Publishing house DesCartes Science Center, Varna, 2012. 368 p. ISBN 978-954-92807-2- 3. Kopysov O.Yu. Identification of Parameters and Restoring of State Vector of Dynamical Plant // IFACPapersOnLine. ISSN: 1474-6670. Manufacturing Modelling, Management, and Control MIM '2013. Vol. 7, Part 1. P. 1494-1499.

XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ