На правах рукописи

Кислицин Алексей В л а д и м и р о в и ч

Т О Ж Д Е С Т В А В Е К Т О Р Н Ы Х ПРОСТРАНСТВ,

В Л О Ж Е Н Н Ы Х В ЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРЫ, И

П Р И М Е Р Ы КОНЕЧНОМЕРНЫХ АЛГЕБР, НЕ

И М Е Ю Щ И Х КОНЕЧНОГО Б А З И С А

ТОЖДЕСТВ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

Барнаул — 2014

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном об­ разовательном учреждении высшего профессионального образования «Алтайская государственная педагогическая академия».

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Исаев Исмаил Мусаевич.

Официальные оппоненты:

Пчелинцев Сергей Валентинович, доктор физикоматематических наук, профессор, Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессиональ¬ ного образования «Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации», профессор кафедры «Математика-1»;

Гончаров Максим Евгеньевич, кандидат физикоматематических наук, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки «Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук», научный сотрудник лаборатории теории колец.

Ведущая организация:

Федеральное государственное автономное образовательное учре¬ ждение высшего профессионального образования «Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина».

Защита диссертации состоится 18 сентября 2014 г. в 15 ч. 00 мин.

на заседании диссертационного совета Д 003.015.02 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки «Институте матема¬ тики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук» по адресу: 630090, Новосибирск, пр. Акад. Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Федерального государственного бюджетного учреждения науки «Институт матема¬ тики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук» и на сайте www.math.nsc.ru.

Автореферат разослан « » 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических Стукачев наук, доцент Алексей Ильич

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Одним из способов изучения алгебраиче¬ ских систем является изучение их тождеств. Если рассмотреть ал¬ гебру A некоторой сигнатуры Е, то множество тождеств алгебры A, из которых следуют все тождества этой алгебры, называется базисом тождеств алгебры A. Если базис тождеств алгебры A конечен, то алгебру A называют конечно базируемой (или короче, КБ-алгеброй).

В противном случае говорят, что алгебра A бесконечно базируема или не конечно базируема (коротко: НКБ-алгебра).

Одной из центральных задач при изучении тождеств конечных алгебр является проблема, сформулированная в 1966 году А. Тарским [17]: будет ли множество всех конечно базируемых конечных алгебр фиксированной сигнатуры, содержащей по крайней мере од¬ ну двуместную операцию, рекурсивно? В 1996 году Р. МакКензи ре¬ шил проблему Тарского отрицательно [14]. Однако, проблему Тарского можно изучать в конкретных классах конечных алгебр. Ясно, что эта проблема имеет содержательный смысл лишь в тех классах конечных алгебр, в которых существуют как КБ-алгебры, так и НКБалгебры. Поэтому важным направлением в изучении многообразий алгебр является построение примеров конкретных конечных алгебр, не имеющих конечного базиса тождеств.

Примеры таких алгебр приведены: в классе группоидов - Р. Линдоном [13] и В. Л. Мурским [6], в классе полугрупп - П. Перкинсом [15], в классе луп - М. Р. Воон-Ли [18], в классе колец и линейных алгебр - С. В. Полиным [7].

Важным объектом при изучении конечных алгебр являются су¬ щественно бесконечно базируемые алгебры и многообразия алгебр.

Напомним, что локально конечное многообразие алгебр называется существенно бесконечно базируемым (коротко: СББ-многообразием), если любое локально конечное многообразие алгебр, его содержащее, не имеет конечного базиса тождеств. Алгебра называется существен¬ но бесконечно базируемой, если она порождает СББ-многообразие.

Из этого определения следует, что любая конечная алгебра, содержа¬ щая в качестве подалгебры некоторую СББ-алгебру, сама не имеет конечного базиса тождеств. Таким образом, конечная СББ-алгебра определяет в классе алгебр целую серию НКБ-алгебр.

Первые примеры СББ-группоидов приведены В. Л. Мурским [5] и П. Перкинсом [16]. М. В. Сапир привел пример СББ-полугруппы [9]. В классе колец и линейных алгебр пример конечной СББ-алгебры при¬ вел И. М. Исаев [2]. М. В. Сапир в 1987 году получил полное описание негрупповых СББ-многообразий полугрупп [10].

Р. Фриз, Дж. МакНалти и Дж. Нейшн в 2002 году указали ме¬ тод построения СББ-решеток [12]. Этими же авторами в 2006 году построен пример существенно бесконечно базируемой модулярной ре¬ шетки [11].

В 1978 году И.В. Львов построил пример конечномерной неассоци¬ ативной алгебры V = V © E (здесь V - конечномерное векторное про­ странство, E = End_F V) над полем F, тождества которой не задаются конечным набором тождеств [3]. Ясно, что V G P = Var(x(yz) = 0).

Всякое тождество алгебры V = V © E эквивалентно (по модулю x(yz) = 0) конечной системе тождеств вида zf (R, R, • • •, R ) = 0, где f ( x i, x, • • •, x ) - тождество векторного пространства E, Д - опе¬ ратор правого умножения на элемент x в свободной алгебре много¬ образия P [3].

В 1973 году Ю.П. Размыслов при описании тождеств алгебры мат­ риц второго порядка ввел понятие слабого тождества ассоциативно лиевой пары (A, L) (здесь L - алгебра Ли, A - ее ассоциативная обер­ тывающая алгебра), т. е. ассоциативного многочлена f (x, x, • • •, x ), который обращается в нуль в алгебре A при подстановке вместо пе¬ ременных любых элементов из L [8].

Пусть далее E - векторное пространство, являющееся подпрост¬ ранством линейной алгебры A. Будем называть тождеством век¬ торного пространства E (вложенного в линейную алгебру A) сла¬ бое тождество пары (A, E), т. е. такой неассоциативный многочлен ei,e2, • • •,en G E.

Пусть G С F ( X ) - подмножество абсолютно свободной алгебры.

Класс всех пар (A, E) (E - векторное пространство, A - обертыва¬ ющая алгебра пространства E), в которых выполняются все тожде¬ ства вида g = 0, где g G G, будем называть L-многообразием, заданным множеством тождеств G. Если G - множество тождеств пары ( A, E), где E - векторное пространство, A - обертывающая алгеб¬ ра пространства E, то L-многообразие, заданное множеством тож­ деств G, будем называть L-многообразием векторных пространств, Рассмотрим L-многообразие A ассоциативных векторных прост¬ ранств, т. е. векторных пространств, в которых выполняются все тож¬ дества ассоциативности вида (uv)w = где u, v, w - произволь¬ ные неассоциативные слова. Всюду далее, если не оговорено против¬ ное, мы будем рассматривать все векторные пространства и их тож¬ дества внутри L-многообразия A.

В связи с примерами НКБ-алгебр, приведенными в различных классах алгебраических систем, нами была поставлена следующая за¬ дача.

Задача 1. Построить примеры конечномерных векторных про¬ странств минимальной размерности, вложенных в ассоциативные ал¬ гебры и не имеющих конечного базиса тождеств.

Ввиду условия локальной конечности, в классе линейных алгебр понятие СББ-алгебры может рассматриваться только для линейных алгебр над конечным полем [2]. Нами введено понятие сильно беско­ нечно базируемой или сильно не конечно базируемой алгебры (сокра¬ щенно СНКБ-алгебры), являющееся некоторым аналогом существен¬ но бесконечно базируемых алгебр для произвольного поля. А именно, рассмотрим тождества Капелли