На правах рукописи

КНЯЗЬКОВ Дмитрий Юрьевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА

ФОРМИРОВАНИЯ ГОЛОГРАФИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

НА ОСНОВЕ ЭФФЕКТИВНЫХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ

специальность 05.13.18 — Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2013

Работа выполнена в лаборатории механики управляемых систем Федерального государственного бюджетного учреждении науки Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского Российской академии наук (ИПМех РАН)

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук Шамаев Алексей Станиславович

Официальные оппоненты:

Ильинский Анатолий Серафимович, доктор физико-математических наук, профессор, кафедра математической физики факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова, профессор Андреев Владимир Андреевич, кандидат физико-математических наук, отделение оптики, оптический отдел Физического института им. П.Н. Лебедева РАН, старший научный сотрудник

Ведущая организация:

Институт радиотехники и электроники им В.А. Котельникова РАН

Защита состоится « » 2013 г. в часов на Д 212.156.05 при Московском физикозаседании диссертационного совета техническом институте (государственном университете) по адресу:

141700, Московская облаcть, г. Долгопрудный, Институтский пер., д. 9, ауд. 903 КПМ МФТИ (ГУ).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Автореферат разослан « » 2013 г.

Учёный секретарь Федько О.С.

диссертационного совета

Общая характеристика работы

Актуальность работы. В настоящее время задача создания светового изображения голографическими методами с заданными параметрами качества представляется весьма актуальной. Она находит приложения в ряде отраслей современной электроники, оптической промышленности, микромеханике; при замене сложных линзовых систем голографическими элементами, а именно такая тенденция характерна для современных приложений оптики таких, как, например, интерференционная микроскопия или микролитография. Эта задача требует разработки новых вычислительных методов и подходов к численному моделированию процесса формирования голографических изображений.

Принципиальным для проведения научно-исследовательских работ в указанной области было создание программного комплекса (ПК), позволившего бы рассчитывать голограммы, моделировать эксперимент по засветке этих голограмм и осуществлять прочие численные эксперименты. С другой стороны, из-за высокой вычислительной трудоемкости задачи, уже на этапе предварительных исследований была выявлена необходимость использовать суперкомпьютеры кластерного типа. Обпервой щее описание и более формальная постановка задач дается в главе настоящей работы, а специально разработанный суперкомпьючетвертой главе.

терный ПК подробно описан в Примеры некоторых исследований задачи формирования голографических изображений для нужд современной микроэлектроники, проведенных с помощью этого ПК, описаны в Другая принципиальная проблема создания изображений с заданными свойствами, когда размеры деталей изображения соизмеримы с длиной волны излучения, - низкое качество восстановленного с голограммы изображения, обусловленное необходимостью использовать для засветки голограмм когерентное излучение. Описанию использования 1 Philip S. Considine Effects of coherence on imaging systems // J. Opt. Soc. Am.. V.

56. No. 8. P. 1001-1009. 1966.

разработанного ПК в решении задачи оптимизации качества изображения, получаемого с компьютерно-синтезированной голограммы, посвятретья глава диссертации.

щена Ключевым вопросом настоящей работы было обоснование возможности рассчитывать голограммы для изображений с числом элементов 108 1011 и более на доступных в настоящее время суперкомпьютерных вычислительных комплексах за приемлемое время (сутки). Эта задача подробно рассмотрена и решена во что подобные задачи расчета электромагнитных полей в миллиардах и десятках миллиардов точек возникают, например, в проекционной микролитографии, однако здесь вычислительная сложность существенно ниже, так как нет необходимости рассчитывать дифракцию от далеко расположенных элементов.

Цели работы.

Разработать и протестировать на современном суперкомпьютере изображения.

Разработать и реализовать эффективные вычислительные методы расчета электромагнитных полей в виде суперкомпьютерного ПК для проведения вычислительных экспериментов в области формирования голографических изображений.

Провести комплексное исследование научной проблемы формирования голографических изображений с применением разработанного ПК, в том числе исследовать возможности оптимизации качества изображений, получаемых с помощью голограмм Габора.

Научная новизна. заключается в том, что представленная программная реализация в виде ПК BinNet для моделирования процесса 2 Singh V., Hu B., Bollepalli S., Wagner S., Borodovsky Y. Making a trillion pixels dance // Proc. of SPIE. Vol. 6924. P. 69240S-1 - 69240S-12. 2008.

элементов - единственная из известных на сегодняшний день. Впервые показано, что применение метода локальных вариаций к задаче оптимизации качества получаемых с голограммы изображений позволяет существенно уменьшить отрицательное влияние эффекта Гиббса на изображение. Разработан новый эффективный метод большого пиксела ускоренного расчета электромагнитных полей для решения задач формирования изображений с большим числом (10 элементов.

Впервые методы локальных вариаций и внесения коррекций в исходное объектное поле применены для оптимизации качества голографических изображений с элементами околоволновых размеров. Результаты численных исследований процесса восстановления изображений с голограмм показало высокую степень устойчивости таких изображений к локальным и случайным распределенным возмущениям.

Научная и практическая значимость работы. Исследована модель формирования голографическими пластинами изображений, сои более элементов околоволновых размеров. Аналидержащих тически, численно-аналитически и, наконец, в сравнении с экспериментом показана адекватность используемой модели для описания процесса формирования голографических изображений. Предложен, исследован и реализован эффективный метод расчета быстроосциллирующих интегралов - метод большого пиксела. Показано, что решая оптимизационную задачу улучшения функционала качества голографического изображения, возможно существенное уменьшение отрицательного влияния эффекта Гиббса на изображение.

Полученные в диссертации результаты могут использоваться при расчете электромагнитных полей и оптимизации качества формируемых этими полями световых изображений. Эти результаты уже нашли практическое применение при решении задачи создания голографических изображений требуемого качества для целей голографической литографии. Разработанный ПК BinNet успешно использовался исследовательской группой [7,8,9] на суперкомпьютерах МВС100-К Межведомственного суперкомпьютерного центра РАН и МИИТ Т4700 Московского государственного университета путей сообщения, а также в научно-исследовательских работах Научно-исследовательский института системных исследований РАН [15], АНО КБ «Корунд-М», ООО «Нанотех» [4], ООО «NANOTECH SWHL» [15].

Помимо рассматриваемых в настоящей работе примеров применения, разработанный ПК BinNet может быть использован для решения различных задач, связанных с расчетом и моделированием результата прохождения электромагнитного излучения через дифракционный оптический элемент в дальней зоне дифракции. Более того, ПК BinNet имеет гибкую, удобную модульную архитектуру и легко может быть расширен для решения более широкого класса задач волновой оптики.

Достоверность полученных результатов подтверждается использованием строгих математических доказательств и рассуждений и апробированных в научной практике вычислительных методов. Более того, достоверность моделирования для стандартных изображений (полосы, квадраты и т.д.) подтверждена экспериментом. По результатам работы ПК формировалась голограмма, экспериментальное восстановление которой давало полное совпадение изображений: исходного, восстановленного и расчетного.

Численные эксперименты проводились на суперкомпьютере МВСК с использованием до 640 вычислительных ядер (80 вычислительных узлов) и на кластере МИИТ Т4700 с использованием до 320 вычислительных ядер (40 вычислительных узлов).

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Разработка и реализация эффективного вычислительного метода большого пиксела для расчета голограмм произвольных изображений, состоящих из и более элементов, позволяющего осуществлять расчеты за приемлемое время на современных суперкомпьютерах кластерного типа.

2. Демонстрация действенности вычислительного метода большого пиксела с помощью тестового расчета голограммы Габора с числом элементов изображения на современном супервычислительном кластере МВС-100К.

3. Высокоэффективный ориентированный на использование на суперкомпьютерах ПК BinNet, разработанный на основе предложенных вычислительных методов расчета электромагнитных полей и позволяющий осуществлять вычислительные эксперименты в области создания голографических изображений и заменить дорогостоящий эксперимент моделированием.

4. Комплексное исследование научной проблемы формирования голографических изображений заданного качества, проведенное с помощью ПК BinNet на суперкомпьютерах МВС-100К и МИИТ 5. Метод локальных вариаций для оптимизации качества результирующего изображения путем варьирования голограммы Габора простых объектов (полосок, квадратов, уголков, шевронов) обеспечивает существенное улучшение качества восстановленного изображения.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на сленаучных семинарах :

дующих 1. Теория управления и динамика систем, ИПМех РАН (руководитель семинара - академик Черноусько Ф.Л., научный секретарь семинара - Костин Г.В.), 12.11.2009, 27.10.2011 и 27.09.2012;

2. Асимптотические методы математической физики, МГУ им. М.В.

Ломоносова, Механико-математический факультет (руководители семинара - Жиков В.В., Радкевич Е.В., Шамаев А.С., Шапошникова Т.А.), 28.03.2011;

3. Проблемы механики сплошной среды, ИПМех РАН (руководители семинара - проф. Нестеров С.В., проф. Георгиевский Д.В., научный секретарь семинара - Гавриков А.А.), 5.05.2011.

Результаты работы были доложены на 1. Форум нобелевских лауреатов, Санкт-Петербург, 2010 г.;

2. Пятая международная конференция «Параллельные вычисления и задачи управления» (PACO-2010), Москва, 2010 г.;

3. Международная научно-техническая конференция «Суперкомпьютерные технологии: разработка, программирование, применение» (СКТГеленджик, 2010 г.;

4. 53-я и 55-ая научные конференции МФТИ, Москва - Долгопрудный - Жуковский, 2010, 2012 гг.;

5. Mathematical Modeling and Computational Physics, Stara Lesna, Slovakia, 2011 г.;

6. 28-ая международная конференция «European Mask and Lithography Conference», Дрезден, Германия, 2012 г.;

7. Международная научная конференция «Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ) 2012», Новосибирск, 2012 г.;

8. Форум индустрии микроэлектроники и фотовольтаики в России SEMICON Russia: Конференция EU-RU.NET Workshop, Москва, 2012 г.;

9. Международная научная конференция SEMI Advanced Semiconductor Manufacturing Conference, 2012 23rd Annual SEMI, Саратога Спрингс, США, 2012 г.;

10. Пятая международная конференция «Численный анализ и приложения» (NAA-2012), Лозенец, Болгария, 2012 г.;

11. 39th International Conference on Micro and Nano Engineering, London, UK, 2013 г.

На международной научно-технической конференции «Суперкомпьютерные технологии: разработка, программирование, применение», Геленджик, 2010 г. соискателем была получена грамота за лучший доклад, представленный на секции 2 (Князьков Д.Ю. "Задача расчета электромагнитных полей в голографической литографии").

Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 работ, в том числе 6 статей в журналах из перечня, рекомендованного ВАК РФ [1-6], два патента РФ [7,8], одна заявка на патент США [9].

Личный вклад автора в работы с соавторами определяется положениями, выносимыми на защиту и основными результатами данной диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 137 страницах, содержит 68 иллюстраций, 5 таблиц и список литературы, состоящий из 81 наименования.

Краткое содержание работы Во введении обоснована актуальность рассматриваемых в работе проблем, сформулированы цели диссертационной работы, перечислены представленные в диссертации новые результаты, их практическая ценность и положения, выносимые на защиту, кратко изложена структура диссертации.

В первой главе дается постановка основных задач, решаемых в настоящей работе. Здесь и далее рассматривается схема создания изображения, состоящая из оптической системы, которая формирует волну голографической пластинки, занимающей в плоскости оби области регистрации, находящейся на расстоянии от голограммы, в которой создается Для удобства рассмотрим следующий математический объект - голограмму, имеющую непрерывно меняющуюся функцию пропускания:

Пусть - некоторая функция, задающая желаемое изображение. Представляющие интерес для настоящего исследоРис. 1. Оптическая схема засветки голографической пластины.

вания изображения состоят из огромного количества прямоугольников с различным соотношением сторон ориентированных вдоль координатных осей (возможно, имеющих общие участки границ), либо вовсе только из полосок ориентированных вдоль одной оси координат. Возьмем в процесс создания голограммы Габора (то есть результат интерференции объектной о опорной волн) может быть промоделирован следующим образом:

число, - длина волны, а (, ) - поле, комплексно-сопряженное вое то интенсивность излучения в объектной плоскости (восстановленное изображение) может быть в скалярном приближении вычислена с использованием интеграла Кирхгофа:

Для моделирования процесса формирования голографических изображений были рассмотрены как модели непосредственно соответствующие методам расчета (1), (2) при работе с объектами, имеющими непрерывно изменяющееся пропускание, так и модели, построенные на основе суммирования излучения от отдельных простых элементов (например, прямоугольников или квадратов), при работе с объектами дискретной структуры. Разработке и исследованию методов расчета голограмм (1) и изображений (2) посвящена вторая глава диссертации.

дет сходно с заданным изображением = 0 (, ) здесь не достижимо. Более того, качество восстановленного с голограммы Габора изображения оказывается неприемлемым для практических нужд. Поэтому в третьей главе настоящей работы будут рассмотрены различные подходы к решению задачи минимизации где - некоторый функционал отличия.

Кроме того, должен быть создан ПК, позволяющий проводить раси моделировать весь процесс от создания чет серой голограммы голограммы до восстановления изображения с неё.

Во второй главе исследуются существующие и разрабатываются новые методы расчета распространения электромагнитного излучения, необходимые для осуществления расчета голограммы (1) и моделирования эксперимента по ее засветке (2). Основная вычислительная сложность этих задач - это расчет интеграла с сильно осциллирующим ядром Для расчета (4) предлагаются и исследуются алгоритмы полуаналитического расчета свертки суммированием излучения от прямоугольников и алгоритм двумерного БПФ. Показана хорошая масштабируемость первого алгоритма (см. рис. 5) и низкая эффективность второго (БПФ).

Первый метод был реализован в составе ПК BinNet. Была доказана что количество операций, требуемых для вычислений интеграла (4) по методу суммирования излучения от прямоугольников, не препричем существует класс топологий, на которых эта вышает верхняя оценка достигается.

Таким образом (используя еще результаты тестовых расчетов и результаты исследования эффективности алгоритмов), была показана невозможность расчета такими методами голограммы Габора для изображений, состоящих из и более элементов за приемлемое время, даже на существующих суперкомпьютерных вычислителях. Таким образом, расчет интеграла (4) для изображений содержащих элементов представляет собой очень трудоемкую вычислительную задачу, даже если используется современный суперкомпьютер. Решению этой задачи и посвящена вторая часть настоящей главы.

Далее описан метод большого пиксела. Суть метода состоит в разбиении области интегрирования на одинаковые квадратики размера и сведения вычисления интеграла (4) к расчету свертки вида где. Эта свертка, в свою очередь, считается с помощью трех двумерных БПФ соответствующих матриц. Суммарное количество арифметических операций, требуемых для вычисления по методу большого пиксела, дает числения свертки (4) методом большого пиксела необходимо ( + 1) (302 (( + 1) ) + 1) арифметических операций.

снизить объем требуемой оперативной памяти, вариант метода большого пиксела - метод большого пиксела с декомпозицией области расчета, который и был реализован в составе суперкомпьютерного ПК BinNet.

Была доказана следующая вычисления свертки (4) методом большого пиксела с декомпозицией области расчета необходимо арифметических операций.

Приведены результаты расчета голограммы Габора для изображения содержащего расчетных элементов на суперкомпьютере МВС-100К (см. рис. 2). Время синтеза такой голограммы на 640 вычислительных ядрах составило около 100 мин.

Далее приводятся результаты исследования параллельных свойств реализованного алгоритма метода большого пиксела на суперкомпьютере кластерной архитектуры.

Следует отметить, что существует много подходов к вычислению интеграла типа (4) с быстро осциллирующим ядром. В отдельных случаGreengard L. Fast algorithms for classical physics // Science. 1994. V. 265. P. 909Рис. 2. Восстановленный участок изображения из элементов, содержащий 9 мир.

ях удается добиться асимптотики количества операций однако получаемая в общих стандартных методах расчета константа оказывается слишком большой. В настоящей главе доказано (Следствие 1 Теоремы 3), что предлагаемый метод большого пиксела позволят получить асимптотику количества операций. При этом константа такова, что расчет голограмм Габора для изображений, состоящих из и более элементов, на современных параллельных вычислительных системах кластерного типа становится возможным.

В третьей главе настоящей работы решалась задача (3) оптимизации голограммы Габора с целью создания световых изображений с требуемым распределением интенсивности. Для решения этой задачи были предложены два различных подхода. Первый - это варьирование функции пропускания голограммы В результате оптимизации методом локальных вариаций синтезированной на компьютере голограммы удалось снизить амплитуду колебаний яркости на изображении до технологически приемлемых значений (см. рис. 3), существенно уменьшив "эффект Гиббса" - искажения возникающие на краях создаваемого объекта при физической регистрации голограммы.

Рис. 3. Результат применения метода локальных вариаций к задаче оптимизации качества изображения, состоящего из одиночной полоски.

Слева полоска до оптимизации, справа - после.

Приведенные примеры оптимизации элементарных объектов показывают возможность существенно (до технологически приемлемых значений) уменьшить влияние эффекта Гиббса с помощью оптимизации компьютерно-синтезированной голограммы. Возможность оптимизации отдельных полосок говорит о том, что может быть улучшено качество и для любого другого изображения рассматриваемого типа.

Предлагаются способы оптимизации изображений составленных из большого количества элементов. Полученное улучшение изображения после внесения предварительных коррекций в исходное объектное поле [2] говорит о возможности реализовать алгоритм локальных вариаций, когда варьируется не функция пропускания голограммы, а объектное поле, по которому эта голограмма рассчитывается:

Такой подход кажется перспективным, поскольку позволяет локально исправлять изображение не рассчитывая на каждом шаге поле на всей площади голограммы.

В четвертой главе описывается разработанный и реализованный автором суперкомпьютерный ПК BinNet, позволяющий осуществлять расчеты голограмм, моделировать процесс формирования голографических изображений и проводить различные численные эксперименты для исследовательских нужд (заменив, таким образом, дорогостоящий натурный эксперимент). Суперкомпьютерный ПК BinNet успешно использовался на современных суперкомпьютерных вычислителях МВСК и МИИТ Т4700. Структура работы ПК приведена на рис. 4.

Рис. 4. Структура работы программного комплекса BinNet.

Рис. 5. Масштабируемость алгоритма расчета электромагнитного поля из ПК BinNet на кластерах МВС-100К и МИИТ Т-4700.

ПК BinNet был написан на языке программирования С++ с использованием технологии обеспечения межпроцессорного взаимодействия MPI и был ориентирован на осуществление вычислений на суперкомпьютерах кластерного типа. Исходный код ПК BinNet содержит около 15000 строк (плотность кода - 2.8 оператора на строку) на языке С++ и около 450 процедур и функций, находящихся в 11 файлах. Он сочетает в себе объектно-ориентированный подход в частях, не требующих параллельного выполнения и более эффективный не-объектный подход в наиболее трудоемких по времени параллельных частях. Достигнутая таким образом гибкость позволят легко расширять функциональность ПК, не снижая при этом его эффективность.