ИЗ ФОНДОВ РОССИЙСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ БИБЛИОТЕКИ

Семенова Наталия Федоровна

Математические модели модулярной алгебры для

систем пролонгированной защиты данных с

"блуждающими" ключами в распределенных

вычислительных системах автореф. дис. на соиск.

учен. степ. канд. физ.-мат. наук

Автореферат диссертации на соискание ученой степени канд.

физ.-мат. наук

Специальность 05.13.18 Москва Российская государственная библиотека diss.rsl.ru 2006 Семенова, Наталия Федоровна Математические модели модулярной алгебры для систем пролонгированной защиты данных с "блуждающими" ключами в распределенных вычислительных системах [Электронный ресурс]:

автореф. дис. на соиск. учен. степ. канд. физ.-мат. наук:

специальность 05.13.18 / Семенова Наталия Федоровна; [Ставроп. гос. ун-т]. - М.: РГБ, 2005. - Из фондов Российской Государственной Библиотеки.

Текст воспроизводится по экземпляру, находящемуся в фонде РГБ:

Семенова Наталия Федоровна Математические модели модулярной алгебры для систем пролонгированной защиты данных с "блуждающими" ключами в распределенных вычислительных системах автореф. дис. на соиск. учен. степ. канд. физ.мат. наук Автореферат диссертации на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук Специальность 05.13. Ставрополь - Российская государственная библиотека, (электронный текст)

На правах рукописи

Семёнова Наталия Фёдоровна

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

МОДУЛЯРНОЙ АЛГЕБРЫ ДЛЯ СИСТЕМ

ПРОЛОНГИРОВАННОЙ ЗАЩИТЫ ДАННЫХ

С «БЛУЖДАЮЩИМИ» КЛЮЧАМИ В

РАСПРЕДЕЛЁННЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ

СИСТЕМАХ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена в Ставропольском государственном университете

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Защита состоится 17 декабря 2004 года в 16:40 часов на заседании диссертационного совета Д 212.256.05 по присуждению учёной степени кандидата физико-математических наук в Ставропольском государственном университете по адресу: 355009, г. Ставрополь, ул. Пушкина 1, ауд

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СГУ по адресу г. Ставрополь, ул. Пушкина Автореферат разослан ноября 2004 года Учёный секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук,

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Современный период развития цивилизации характеризуется возрастанием масштабов использования компьютерных технологий во всех сферах человеческой деятельности.

По мере развития и усложнения средств, методов и форм автоматизации процессов обработки информации повышается зависимость общества от степени безопасности используемых им информационных технологий.

В настоящее время радикальное решение проблем обеспечения безопасности электронной информации может быть получено только на базе использования криптографических методов, которые позволяют решать важнейшие проблемы защищенной автоматизированной обработки и передачи данных. Появление распределенных систем обработки данных, развитие технически очень сложных вычислительных систем привели к изменению среды обращения информации. В связи с этим особую актуальность приобрели не столько локальные алгоритмы криптографического преобразования информации, сколько распределенные алгоритмы, характеризующиеся наличием двух и более участников системы связи.

Проблема распределения ключей является наиболее острой в информационных системах. Отчасти эта проблема решается за счет использования открытых ключей. Но наиболее надежные криптосистемы с открытым ключом, типа RSA, достаточно трудоемки, а для шифрования мультимедийных данных и вовсе непригодны.

Оригинальным решением этой проблемы являются системы пролонгированной безопасности, в основе которых лежит одновременное, совместное применение методов периодического обновления и пространственного разделения секретной информации. Эти системы являются некоторым компромиссом между системами с открытыми ключами и обычными алгоритмами для которых требуется наличие одного и того же ключа у отправителя и получателя.

Одним из перспективных направлений развития концепции пролонгированной безопасности является построение систем пролонгированной безопасности, в которых пространственное разделение реализуется пороговой системой доступа к информации, а периодическое обновление ключей реализуется путем использования «блуждающих» ключей.

Основная идея метода «блуждающих» ключей заключается в следующем:

после того, как ключ использован в одном сеансе, он по некоторому правилу сменяется другим. Это правило должно быть известно и отправителю, и получателю. Периодическая смена затрудняет раскрытие информации злоумышленником. Смену ключей предполагается осуществить на основе перебирающих последовательностей. На множестве ключей путем одной и той же операции над элементом получается другой элемент. Последовательность этих операций позволяет переходить от одного элемента к другому пока не будет перебрано все множество.

В качестве «блуждающих» ключей возможно использование элементов полей Галуа, где за счет возведения в степень порождающего элемента поля можно последовательно переходить от одного ненулевого элемента поля к другому. Эти элементы и принимаются в качестве ключей. Ключевой информацией в данном случае является исходный элемент, который перед началом связи должен быть известен и отправителю и получателю.

Объектом диссертационных исследований являются системы пролонгированной безопасности с «блуждающими» ключами, используемые для обеспечения долговременной и устойчивой защиты информации в распределенных вычислительных сетях, а предметом - математические преобразования, лежащие в основе алгоритмических конструкций и криптографических примитивов, отвечающих модели пролонгированной безопасности с «блуждающими» ключами.

Цель диссертационных исследований состоит в повышении эффективности криптографической защиты информации в распределенных вычислительных системах на основе концепции пролонгированной безопасности с «блуждающими» ключами.

Научная задача исследований состоит в разработке математических моделей пролонгированной безопасности с использованием в качестве пространств «блуждающих» ключей нетрадиционных полей Галуа.

Для решения поставленной общей научной задачи исследования она была разбита на ряд частных задач:

1. Разработка математической модели пролонгированной безопасности, в которой в качестве пространства «блуждающих» ключей используются традиционные поля Галуа, и анализ аспектов практического использования этой модели для выбора направления дальнейших исследований.

2. Построение и исследование свойств нетрадиционных полей Галуа, которые могут быть использованы в качестве пространств «блуждающих»

ключей.

3. Разработка математической модели пролонгированной безопасности с «блуждающими» ключами на основе построенных нетрадиционных полей Галуа.

4. Разработка методов нахождения элементов большого порядка и примитивных элементов в нетрадиционных полях Галуа для практической реализации модели пролонгированной безопасности с «блуждающими»

ключами.

5. Оценка эффективности и сравнительный анализ уровня защиты данных в системах с различными режимами безопасности.

Методы исследования. Для решения поставленных в работе научных задач использованы основы теории чисел, абстрактной и линейной алгебры, комбинаторики, теории вероятностей, дискретной математики и математического моделирования.

Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе теоретических результатов и формулируемых на их основе выводов обеспечивается строгостью производимых математических выкладок. Справедливость выводов относительно эффективности предложенных методов подтверждена математическим моделированием.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Анализе и систематизации математических моделей пространственного разделения и периодического обновления ключевой информации, составляющих основу пролонгированной безопасности.

2. Разработке математической модели пролонгированной безопасности с использованием в качестве пространств «блуждающих» ключей традиционных полей Галуа.

3. Построении квадратичных полей Галуа и исследовании их свойств, позволяющих довольно просто производить вычисления в полях этого вида.

4. Построении математической модели пролонгированной безопасности с использованием в качестве пространств «блуждающих» ключей квадратичных полей Галуа.

5. Разработке методов выделения элементов большого порядка и примитивных элементов квадратичных полей Галуа, использующихся для нахождения генерирующих элементов в пространствах «блуждающих» ключей и приводящих к увеличению числа сеансовых ключей.

6. Разработке методов определения общих примитивных элементов в изоморфных квадратичных полях Галуа, которые могут быть использованы при переходе из одного пространства «блуждающих» ключей в другое.

7. Исследовании вопроса оценки эффективности обеспечения безопасности информации в системах с использованием различных режимов безопасности и показе преимуществ систем пролонгированной безопасности с «блуждающими» ключами.

Практическая значимость. Разработанные математические алгоритмы, лежащие в основе протоколов модели пролонгированной безопасности, являются элементами математической базы построения и организации процесса функционирования систем пролонгированной безопасности. В свою очередь системы данного типа могут найти применение в любых приложениях, где необходимо обеспечивать надежное функционирование системы безопасности при долговременных атаках противника (военные системы, банковские системы электронных платежей, смарт-технологии, клиент-серверные технологии, центры сертификации ключей в системах с большим числом абонентов ми т. п.).

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Математическая модель пролонгированной безопасности с использованием традиционных полей Галуа.

2. Свойства квадратичного поля Галуа, дающие возможность его эффективного использования в качестве пространства «блуждающих» ключей.

3. Математическая модель пролонгированной безопасности с использованием квадратичных полей Галуа.

4. Методы нахождения генерирующих элементов в пространствах «блуждающих» ключей, построенных с использованием свойств квадратичных полей Галуа.

5. Оценка уровня защиты информации в системах пролонгированной безопасности с «блуждающими» ключами.

Апробация работы. Результаты работы были представлены на VI Международной научно-практической конференции «Информационная безопасность» (ТРТУ, Таганрог, 2004 г.), на 2-й Международной научно-практической конференции (ТГУ, Тамбов, 2004 г.), на 49-й научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука-региону»

(СГУ, Ставрополь, 2004 г.), на постоянно действующем межвузовском семинаре «Моделирование и нейросетевые технологии» (СГУ, Ставрополь, 2003-2004 г.).

Публикации. Полученные автором результаты достаточно полно изложены в 7 научных статьях.

Реализация результатов исследования. Основные результаты диссертационной работы реализованы в ЗАО «ТЕЛКО» (г. Ставрополь) и в учебном процессе СГУ.

Структура работы. Работа состоит из введения, четырёх глав, заключения и приложения.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

.

Во введении обоснована актуальность исследований математических моделей пролонгированной безопасности с «блуждающими» ключами в распределённых вычислительных системах, сформулирована цель работы, поставлена научная задача исследований, изложены основные результаты проведённых исследований, показана их научная новизна, практическая значимость и указаны основные положения выносимые на защиту.

В первой главе дан аналитический обзор криптографических методов защиты информации в распределённых вычислительных системах (РВС). Показано, что на сегодняшний день наиболее эффективным средством защиты информации в РВС являются системы пролонгированной безопасности.

На основе анализа математических моделей пространственного разделения и периодического обновления ключевой информации в РВС сделан вывод о целесообразности исследования систем пролонгированной безопасности, в которых пространственное разделение осуществляется с помощью пороговых криптосистем, периодическое обновление после каждого сеанса с использованием элементов полей Галуа в качестве пространств «блуждающих» ключей.

Вторая глава посвящена формированию пространств «блуждающих»

ключей на основе традиционных и нетрадиционных полей Галуа.

Предложена математическая модель системы пролонгированной безопасности, в которой предусмотрено хранение общего секретного ключа с периодическим обновлением его «проекций». В качестве базовой схемы разделения общего секретного значения использована линейная пороговая схема разделения секрета.

Разработан математический алгоритм преобразования «вертикальных»

связей в схеме разделения секрета (т.е. алгоритм изменения секретных «проекций» абонентов сети) при условии сохранения горизонтальных связей между «проекциями» (т.е. значения должны оставаться неизменными) без передачи ключей и их элементов по открытым каналам связи.

Данная задача решена на основе использования идеи «блуждающих» ключей для осуществления периодической смены секретных «проекций» абонентов системы.

В качестве пространства «блуждающих» ключей выбрано конечное поле, где - простое число. Для того чтобы использовать элементы поля как «блуждающие» ключи было рассмотрено их представление в виде многочленов с коэффициентами из поля степень которых не превышает Пусть - примитивный элемент поля, а. - примитивный многочлен получить все элементы поля в полиномиальном представлении на основе формулы где (в формулу (1) не входит получение только нулевого элемента, которому соответствует нулевой многочлен).

В качестве «блуждающих» ключей для изменения «проекций» абонентов были использованы те ненулевые элементы (многочлены) поля, определяемые по формуле (1), у которых свободный член равен 0, т. е. многочлены, имеющие вид где Очевидно, что «блуждающие» ключи, т.е. элементы вида (2) поля получаются путем возведения примитивного элемента данного поля в соответствующие степени и приведения полученного результата по модулю примитивного многочлена Следовательно, каждый абонент сети, зная, может найти все элементы п о л я в том числе и ненулевые элементы вида (2).

Построенная система пролонгированной безопасности обладает способностью минимизировать угрозы долговременных атак противника и сохранять общие секретные ключи в течение длительного периода времени.

В рассмотренной математической модели системы пролонгированной безопасности в качестве пространства «блуждающих» ключей было выбрано конечное поле · примитивный многочлен отличные от нуля элементы и:, как степени примитивного элемента а.

Показано, что с практической точки зрения задача нахождения примитивного м ногочлена в степени является довольно сложной при произвольных, что затрудняет построение математической модели в общем случае и ограничивает свободу действий пользователей, так как для нахождения примитивных многочленов они вынуждены обращаться к таблицам, где часто указан только один примитивный многочлен для фиксированных. Кроме того, вычисления в традиционном поле Галуа связаны с привидением всех полученных результатов по модулю примитивного многочлена или необходим переход к дискретным логарифмам.

В связи с этим была поставлена задача: построить такое конечное поле, в котором пользователь при работе с «блуждающими» ключами не был бы привязан к одному примитивному многочлену и привидению всех полученных результатов по модулю примитивного многочлена.

Для решения этой задачи были построены квадратичные поля Галуа, т.е.

Показано, что для любого нечетного простого можно построить изоморфных квадратичных полей Галуа, которые все могут быть использованы в качестве пространств «блуждающих» ключей при фиксированном.

В квадратичных полях Галуа умножение и деление сводятся к действиям над элементами из и могут быть легко выполнены без перехода к дискретным логарифмам.

Норма элемента квадратичного поля Галуа обладает свойствами квадрата модуля комплексного числа и Если где - остаток от деления Показано, что Получены формулы:

если Для разделения общего секретного ключа выбрана - пороговая схема разделения секрета.

В качестве пространства «блуждающих» ключей выбрано квадратичное, Элементы данного поля представлены в виде двумерных векторов:

Абоненты сети заранее подбирают большое простое нечётное число и генерируют элементы поля, среди которых выбирают элемент В качестве элемента g выбирается либо порождающий элемент мультипликативной группы, либо элемент, генерирующий довольно большую подгруппу мультипликативной группы Число и элемент могут быть распространены среди пользователей системы. Кроме того, абоненты заранее договариваются о том, какой ключ они будут использовать в качестве начального ключа, и формируют последовательность случайных целых чисел Пусть в результате применения пороговой СРС каждый абонент получил свою пару значений - секретная «проекция» / -го абонента. Представим значение «проекции» в виде многочлена где и будем записывать «проекцию» секрета -го абонента в виде вектора. Применение так называемого «вторичного» пространственного разделения секретной информации, т.е. представление секретной «проекции» абонента в виде вектора, усложнит задачу вскрытия противником сервера абонента, так как координаты секретного вектора могут храниться на сервере отдельно.

Для хранения и смены секретных «проекций» абонентов использованы следующие преобразования шифрования, аналогичные тем, которые применяются в криптосистеме Эль Гамаля (таблица 1).

Хранение и смена «проекций» абонентов с использованием сеансовых «блуждающих» ключей Из таблицы 1 следует, что Для того чтобы восстановить начальную секретную «проекцию» s,, абонент Pt должен выполнить следующие действия:

3. Восстановить начальную секретную «проекцию» s, по формуле В разработанной модели пролонгированной безопасности с использованием квадратичных полей Галуа построение пространства «блуждающих»

ключей и работа с его элементами освобождены от ограничений, с которыми встречается пользователь, применяя математическую модель с «блуждающими» ключами на основе традиционного поля Галуа, но для её практического использования необходима разработка методов нахождения элементов большого порядка и примитивных элементов квадратичного поля Галуа.

В третьей главе исследованы методы нахождения генерирующих элементов в пространствах «блуждающих» ключей, построенных на основе квадратичных полей Галуа. Для этого разработаны способы выделения элементов большого порядка и примитивных элементов в квадратичных полях Галуа, атакже обоснованы методы определения общих примитивных элементов полей то в полях Анализ полученных в главе 3 методов определения порядка элемента квадратичного поля Галуа и примитивных элементов в этом поле показал, что данные методы могут быть эффективно использованы для нахождения генерирующих элементов в пространствах «блуждающих» ключей, построенных на основе квадратичных полей Галуа.

Для реализации указанных выше целей следует выбирать квадратичные поля Галуа по таким простым числам, для которых имеет по возможности меньше делителей. Поэтому следует обратить внимание на квадратичные поля по числам Мерсенна и по простым числам вида Полученные условия существования общих примитивных элементов в изоморфных квадратичных поля> открывают возможность перехода из одного пространства «блуждающих» ключей в другое при сохранении общего генерирующего элемента.

Четвёртая глава посвящена приложениям вопросов пролонгированной безопасности для обеспечения безопасности информации в распределенных вычислительных сетях. На основе разработанных в главах 2 и 3 принципов формирования сеансовых ключей произведена вероятностная оценка различных режимов безопасности. Показано, что в РВС с большим числом абонентов системы пролонгированной безопасности гарантируют значительно более эффективную защиту, чем обычные системы. А наиболее эффективно применение системы пролонгированной безопасности с «блуждающими» ключами, так как вероятность взлома такой системы значительно ниже (на шесть порядков) вероятности взлома обычной системы.

В приложении приведена программа оценки защищённости пролонгированных систем безопасности.

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем. · 1. На основе анализа криптографических методов защиты информации в распределённых вычислительных сетях сделан вывод об эффективности систем пролонгированной безопасности. Рассмотрены математические модели пространственного разделения и периодического обновления ключевой информации, составляющие базовую основу систем данного типа.

Для дальнейшего исследования выбраны те системы пролонгированной безопасности, в основе которых лежит одновременное совместное применение методов «блуждающих» ключей и пороговых систем разграничения доступа к информации.

2. В связи с тем, что в качестве «блуждающих» ключей наиболее доступным является использование полей Галуа, была разработана математическая модель пролонгированной безопасности с использованием традиционных полей Галуа.

3. Так как практическое использование элементов традиционного поля Галуа, в качестве пространства «блуждающих» ключей, оказалось привязано к одному примитивному многочлену и привидению всех полученных результатов по модулю примитивного многочлена, то было построено квадратичное поле Галуа и исследованы его свойства.

4. Разработана математическая модель пролонгированной безопасности с «блуждающими» ключами на основе квадратичных полей Галуа, свойства которых позволили для каждого фиксированного построить пространств «блуждающих» ключей и достаточно просто производить вычисления в этих пространствах.

5. Для практической реализации математической модели пролонгированной безопасности с использованием квадратичных полей Галуа были разработаны методы нахождения генерирующих элементов в пространствах «блуждающих» ключей.

6. Разработаны методы определения общих примитивных элементов в изоморфных квадратичных полях Галуа, которые могут быть использованы при переходе из одного пространства «блуждающих» ключей в другое при сохранении общего генерирующего элемента в этих пространствах.

7. На основе классического подхода, с вероятностной точки зрения, исследован вопрос оценки эффективности функционирования систем в различных режимах безопасности. Показано, что в РВС с порогом вероятность взлома системы пролонгированной безопасности с блуждающими ключами на 6 порядков ниже вероятности взлома обычной системы.

СПИСОК ОСНОВНЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ

ДИССЕРТАЦИИ

Семёнова.. Об оценке порядков элементов в некоторых квадратичных полях Галуа. // Инфокоммуникационные технологии. Т. 2, № 4. - Самара, 2004.-С. 12-14.

Бондарь В.В., Семёнова.. Использование полей Галуа для разработки математической модели пролонгированной безопасности с «блуждающими» ключами. // Инфокоммуникационные технологии. Т. 2, № 3. - Самара, 2004.-С. 36-38.

Бондарь В.В., Семёнова.. Использование полей Галуа в системах пролонгированной безопасности с «блуждающими» ключами. // Материалы VI Международной научно-практической конференции «Информационная безопасность». - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2004. - С. 319-321.

Бондарь В.В., Семёнова.. Разработка математической модели пролонгированной безопасности с использованием алгоритмов асимметричного шифрования. // Физико-математические науки. Материалы 49-й научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука-региону». - Ставрополь: Издательство СГУ, 2004. - С. 180-183.

Бондарь В.В., Семёнова Н. Ф., Морозова О. В. Использование MTI -протокола для распространения секретных «проекций» в СРС//Фундаментальные и прикладные исследования в системе образования: Материалы 2-й Международной научно-практической конференции. В 5 ч. Ч.1. - Тамбов:

Изд-во ТГУ, 2004.-С. 181-183.

Семёнова Н. Ф., Бондарь В.В. Построение «блуждающих» ключей в системах пролонгированной безопасности с использованием полей Галуа. // Материалы VI Международной научно-практической конференции «Информационная безопасность». -Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2004. - С. 321-324.

Бондарь В.В., Червяков Н.И., Семёнова.., Болгова О. А. Использование «блуждающих» ключей в системах пролонгированной безопасности.

// Вестник Ставропольского государственного университета. Выпуск 38. Ставрополь, 2004. - С. 25-30.