На правах рукописи

СКОПИНА Галина Артуровна

АНАЛИЗ ЗАВИХРЕННОСТИ ПОТОКА

ЗА УДАРНЫМИ И ДЕТОНАЦИОННЫМИ ВОЛНАМИ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Владивосток – 2009

Работа выполнена в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор, академик Левин Владимир Алексеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Алексеев Геннадий Валентинович, доктор физико-математических наук, профессор Федоров Александр Владимирович

Ведущая организация: Научно-исследовательский институт механики МГУ им. М.В.Ломоносова 2009 года в 1100 часов на заседании

Защита состоится « 20 » марта объединенного диссертационного совета ДМ005.007.02 в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН по адресу: 690041, г. Владивосток, ул. Радио, 5, аудитория 510. E-mail: [email protected].

C диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института автоматики и процессов управления ДВО РАН Автореферат разослан «» февраля 2009 года.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук Дудко О.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задаче о сверхзвуковом взаимодействии вихревого течения с ударной волной посвящено достаточно много как теоретических, так и экспериментальных работ. Эти проблемы имеют важное прикладное значение, так как они лежат в основе ряда технических приложений. Взаимодействие сверхзвукового вихревого потока с ударными волнами встречается в ряде аэродинамических задач, связанных с полетом ракет и самолетов, в камерах сгорания ракетных двигателей и так далее. Таким образом, задача по изучению завихренности потока за ударными или детонационными волнами, возникающими в сверхзвуковом потоке горючего газа, имеет важное теоретическое и прикладное значение. В ранее проведенных исследованиях в данной области в работах Truesdell C., Лайтхилла М., Hayes W.D., Майкапара Г.И., Русанова В.В. рассматривались только однородные течения с равной нулю начальной завихренностью. Отличие от уже существующих исследований заключается в том, что в данной работе впервые изучается завихренность не только за ударными, но и за детонационными волнами, возникающими в неоднородных сверхзвуковых потоках газов с отличной от нуля начальной завихренностью.

Целью работы является изучение вектора вихря скорости за стационарными и нестационарными ударными и детонационными волнами, которые возникают в сверхзвуковых неоднородных потоках горючего газа.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- выполнена систематическая работа по определению вектора вихря скорости на поверхностях ударных и детонационных волн, возникающих в сверхзвуковом потоке газа;

- рассмотрено распространение плоских и цилиндрических детонационных волн во вращающихся потоках; получен необходимый критерий существования условий, при которых волна распространяется в режиме Чепмена–Жуге; критерий получен как для сходящихся, так и расходящихся волн детонации в закрученном потоке газа;

- впервые на поверхностях ударных и детонационных волн установлен новый закон сохранения величины, равной отношению касательной компоненты вектора вихря к плотности газа, который выполняется для нестационарных одномерных течений, а также для стационарных и нестационарных осесимметричных течений.

Достоверность полученных результатов базируется на использовании классических подходов газовой динамики, теории движущихся поверхностей разрывов и строгих методов математической физики.

Практическая значимость работы. Результаты, полученные в работе, могут быть использованы в аэродинамике летательных аппаратов, в различных технических приложениях, связанных с энергетическими установками.

Полученный в работе дополнительный закон сохранения на поверхности разрыва величины, равной отношению касательной компоненты вектора вихря к плотности, который всегда выполняется для одномерных течений и в некоторых случаях для неодномерных течений, может быть использован для локального уменьшения числа искомых функций и в численных расчетах.

Апробация работы. Отдельные результаты работы докладывались и обсуждались на 19-ой Всероссийской школе-семинаре «Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа» (Снежинск, 2002), международной конференции «19th International Colloquium on the Dynamics of Explosions and Reactive Systems» (Japan, 2003), IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006). Работа в целом докладывалась в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН.

Результаты, изложенные в данной работе, получены при поддержке грантов Дальневосточного отделения РАН (код проекта 06-II-C0-03-009) и Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 09-01-98519 р_восток_а).

Публикации по работе. По теме диссертации опубликовано 6 научных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 93 наименований. Объем работы – 157 страниц, в том числе 45 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится краткий обзор литературы, посвященной изучению завихренности потока за ударными волнами. Обсуждаются известные исследования процесса распространения детонационных волн в режиме Чепмена–Жуге. Излагается структура диссертационной работы.

Первая глава посвящена описанию моделей течений газа с разрывами. В первом параграфе вводятся основные уравнения математической модели, описывающей движения газа с образованием ударных и детонационных волн. Приводится постановка задачи для стационарных и нестационарных течений.

Для непрерывных адиабатических движений систему дифференциальных уравнений газовой динамики для совершенного невязкого газа можно записать в следующем виде:

Здесь t – время, V – вектор скорости с тремя компонентами {u,u, w}, p – давление, r – плотность газа, g – показатель адиабаты.

Уравнения (1) справедливы в области движения, где параметры газа непрерывны вместе со своими производными по координатам пространства и по времени. На поверхности разрыва должны выполняться законы сохранения, которые можно записать в виде:

В этих выражениях D – модуль скорости движения поверхности разрыва S в направлении вектора нормали n ; un = (Vn) – нормальная составляющая вектора скорости, ut = (Vt), ub = (Vb) – касательные составляющие вектора скорости V, лежащие в плоскости, касательной к поверхности разрыва; t, b –касательные вектора к S. Величины с индексом “0” обозначают значения параметров газа перед волной, а величины без индекса – за волной.

Последнее соотношение в (2) является следствием уравнения энергии для скачка с притоком энергии, когда при переходе частиц газа через фронт скачка от состояния «перед фронтом» к состоянию «за фронтом» возникает приток тепла, отнесенный к единице массы газа, равный Q. Под теплоподводом можно понимать не только приток тепла извне, но и тепловыделение внутри газа вследствие превращения некоторых видов внутренней энергии (химической, ядерной) в тепловую.

В уравнениях (2) предполагается, что значения показателя адиабаты g перед волной и за волной одинаковые. Разрывы, удовлетворяющие условиям (2), являются детонационными волнами и волнами горения. Если подвод тепла отсутствует (Q = 0), разрыв будет ударной волной.

Во втором параграфе данной главы описываются вихревые движения.

Третий параграф является вспомогательным, он посвящен кинематике и геометрии поверхностей в пространстве. В нем описывается криволинейная ортогональная система координат, которая вводится на поверхности разрыва, приводятся основные формулы из дифференциальной геометрии, которые потом используются для определения компонент вектора вихря на поверхности разрыва.

Вторая глава посвящена исследованию установившихся движений газа. Изучается поведение вектора вихря скорости за детонационной волной, расположенной в стационарном сверхзвуковом вихревом потоке горючего газа. Отличие от ранее известных работ по данной тематике заключается в том, что рассматриваются не только ударные, но и детонационные волны, а набегающий поток является неоднородным. Для определения завихренности на поверхности разрыва вводится криволинейная ортогональная система координат, связанная с линиями главных кривизн, используется система дифференциальных уравнений газовой динамики (1), записанная с помощью геометрических условий совместности на поверхности разрыва, динамические условия совместности (2).

В первом параграфе рассматриваются плоскопараллельные и незакрученные осесимметричные движения. Здесь и далее под незакрученным осесимметричным движением подразумевается равенство нулю угловой скорости (w0 = 0). В этом случае отлична от нуля только w z – компонента вектора вихря 2 = rotV, перпендикулярная к плоскости течения:

Здесь s – длина дуги кривой, определяющей форму волны в плоскости течения (натуральный параметр). Запятая обозначает производную по соответствующей координате.

Во втором параграфе рассматриваются осесимметричные закрученные движения. Тогда отличны от нуля все компоненты вектора вихря, для которых получены аналитические выражения в цилиндрической системе координат (x, r, ):

Здесь k – кривизна поверхности разрыва; n x,n r – компоненты вектора нормали n к поверхности разрыва S; w n – нормальная, а wt – касательная составляющие вектора вихря:

где t x, t r – компоненты касательного вектора t к S.

Оказалось, что при переходе через поверхность разрыва нормальная компонента w n вектора вихря скорости остается непрерывной функцией. Также, как следует из (5), для данного класса течений выполняется закон сохранения величины wt / r при любых распределениях параметров газа в набегающем потоке.

В третьем параграфе рассматривается фронт детонации общего вида. Набегающий поток является вихревым с заданным распределением параметров. В общем случае отличны от нуля все три компоненты вектора вихря:

Здесь f,s, f,l – производные величины f по координатам l и s, которые отсчитываются вдоль линий кривизны, соответствующих главным направлениям в касательной плоскости; wt, wb – касательные составляющие вектора вихря. Нормальная компонента вектора вихря w n, в силу неизменности касательных компонент вектора скорости, так же сохраняется при переходе через поверхность разрыва. Формулы для вектора вихря получены в специальной криволинейной ортогональной системе координат, введенной на поверхности разрыва. Если производная вдоль одного из главных направлений равна нулю, то для компоненты вектора вихря в перпендикулярном направлении выполняется закон сохранения величины, равный отношению этой компоненты вектора вихря к плотности.

Следует отметить, что формулы для вектора вихря в завихренном неоднородном потоке получены впервые в данной работе.

В четвертом параграфе получены ограничения на параметры течения: максимальное тепловыделение q* = q* (М0) при заданном числе Маха (рис. 1), и минимальное число Маха М0* = М0* (q) при заданном тепловыделении (рис. 2):

M 0 = u 0 / a 0 – число Маха, a 0 – скорость звука, u 0 – скорость набегающего потока.

Рис. 1. График максимально возможно- Рис. 2. График минимально возможного Для заданного значения М0 область допустимых значений для q будет находиться ниже соответствующей точки по оси ординат (рис. 1), соответственно для заданного q область допустимых значений для М0 будет располагаться выше соответствующей точки по оси ординат (рис. 2).

Получено, что угол наклона касательной к волне детонации в точке перехода течения в режим Чепмена–Жуге aJ зависит от двух этих параметров – числа Маха и тепловыделения в волне детонации:

На рис. 3, 4 показано, как меняется угол наклона касательной к волне в режиме Чепмена–Жуге (6) в зависимости от двух параметров – числа Маха и тепловыделения в волне. Получено, что с увеличением числа Маха тангенс угла наклона, а значит и сам угол, уменьшаются (рис. 3), а с ростом тепловыделения в волне, наоборот, тангенс угла наклона увеличивается (рис. 4). Вертикальные линии на графиках обозначат критические значения параметров: q* и М0*, при которых тангенс угла наклона касательной к волне детонации в режиме Чепмена–Жуге стремится к бесконечности (aJ ® p / 2).

Исследована величина завихренности потока - 2wj (ku 0 ) за ударной и детонационной волной с постоянными значениями параметров набегающего потока:

Величина завихренности исследована как функция угла наклона касательной к волне детонации a на промежутке [aJ, /2] при различных значениях числа Маха М0 (рис. 5) и тепловыделения q (рис. 6).

Получено, что завихренность принимает наибольшее значение для ударных волн. Тепловыделение в волне снижает величину завихренности (рис. 6). Увеличение же числа Маха набегающего на волну потока, наоборот, увеличивает завихренность за детонационной волной (рис. 5).

Третья глава посвящена исследованию распространения волн детонации в закрученных потоках газа. В первом параграфе данной главы рассматриваются одномерные нестационарные завихренные течения. В данном случае получено, что если завихренность потока равна нулю перед поверхностью разрыва, то такое движение не вызывает возникновения завихренности за поверхностью разрыва. Также для описанного класса течений, в случае, если начальная завихренность отлична от нуля, на поверхности разрыва выполняется закон сохранения величины w /r, хотя сами величины w и r терпят разрыв.

Во втором параграфе данной главы рассматривается распространение осесимметричных детонационных волн во вращающихся неоднородных потоках газов, а так же плоских волн в плоском сдвиговом течении. Волна распространяется вдоль координаты r. Решение ищется в виде разложение в ряд:

Решение в таком виде существует только при r > r0 (t ) либо при r < r0 (t ).

Определено необходимое условие существования решения, соответствующее распространению волны в режиме Чепмена–Жуге. Критерий найден как для сходящихся, так и расходящихся волн детонации в закрученном потоке газа:

где u J, w J, p J, r J, a J = ±(u J - D J ), D J = rJ – параметры течения за детонационной волной, распространяющейся в режиме Чепмена–Жуге, траектория которой задается соотношением r0 = r0 (t ) = rJ (t ), точка означает производную по времени;

значения = 0, 1 соответствуют плоским и цилиндрическим волнам. Нижний знак в неравенстве соответствует расходящимся волнам, а верхний – сходящимся.