МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени М.В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

УДК 539.3

Мищенко Александр Васильевич

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ДИНАМИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ И

РАЗРУШЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ В ОДНОМЕРНОМ

ПРИБЛИЖЕНИИ МЕТОДОМ РАЗДЕЛЕНИЯ ПО

ФИЗИЧЕСКИМ ПРОЦЕССАМ

Специальность 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физикоматематических наук, профессор Киселев Алексей Борисович Москва -

Работа выполнена на кафедре газовой и волновой динамики механикоматематического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова и в Центре фундаментальных и прикладных исследований ВНИИ автоматики имени Н.Л. Духова.

Научный руководитель: Доктор физико-математических наук, профессор Киселев Алексей Борисович

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Пшеничнов Сергей Геннадиевич Доктор физико-математических наук, доцент Медведский Александр Леонидович

Ведущая организация: НИИ системных исследований РАН

Защита состоится «20» декабря 2013 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 501.001.91 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119992, Москва, Ленинские горы, Главное здание МГУ, механико-математический факультет, аудитория 12-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механикоматематического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж) Автореферат разослан «14» ноября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.91, доктор физико-математических наук, профессор С.В. Шешенин

Общая характеристика работы

Актуальность исследований, проведенных в диссертации, обусловлена необходимостью создания новых численных методов для расширения класса решаемых задач и необходимостью получения точных решений задач механики деформируемого твердого тела, которые могут быть использованы, в частности, для оценки эффективности новых численных методов и тестирования компьютерных программ.

Цель диссертационной работы. Численное и аналитическое исследование одномерных упругопластических задач деформирования и разрушения твердых тел.

Научная новизна. В работе впервые подробно и в полной постановке аналитически исследуются волны нагружения и разгрузки в твердом упругопластическом теле при одноосном деформировании.

Предлагается оригинальный численный метод решения систем уравнений, описывающих модели упругопластического деформирования и разрушения сплошной среды (упругопластическая модель Прандтля-Рейса, упруговязкопластическая модель Соколовского-Пэжины, модель повреждаемой упруговязкопластической среды). Данный метод протестирован на ряде упругопластических задач без учета разрушения.

Впервые с помощью данного метода численно исследована задача о плоском соударении тонких пластин с откольным разрушением. Показано, что разработанный численный метод и используемая модель разрушения дают результаты, которые с высокой точностью согласуются с экспериментальными данными по плоскому соударению тонких пластин.

Научная и практическая значимость. Результаты работы могут быть использованы при тестировании новых численных методов и программных комплексов. Предложен новый численный метод, основанный на методе разделения по физическим процессам с использованием метода Годунова на подвижных эйлеровых сетках. Данный метод используется для решения широкого круга задач механики деформируемых сред. Метод положен в основу комплекса прикладных программ "ТИС". В его создании принимали участие И.С. Меньшов, А.Б. Киселев, П.П. Захаров, А.А. Серёжкин, М.И.

Климов, А.В. Мищенко, являющиеся сотрудниками механикоматематического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова и Центра фундаментальных и прикладных исследований ВНИИ автоматики имени Н.Л. Духова. Данный комплекс успешно применяется в ВНИИ автоматики имени Н.Л. Духова для проведения расчетов динамики упругопластического деформирования сплошной среды.

Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, обусловлена использованием термодинамически корректных моделей сплошных сред, фундаментальных законов механики и апробированных численных методов. Результаты численного решения ряда тестовых задач с высокой точностью согласованы с экспериментальными данными и аналитическими решениями, описание которых приводится в работе.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты № 09-01-00144а и № 12-01-00425а).

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих научных конференциях и семинарах:

1. Ломоносовские чтения МГУ. Москва (ноябрь 2011, апрель 2012, апрель 2013).

2. Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2013», Москва, апрель 2013.

3. XI Забабахинские научные чтения. Снежинск, 16-20 апреля 2012.

4. Advanced Problems in Mechanics. St. Petersburg, July 2-8, 2012.

5. European Congress on Computational Methods in Applying Science and Engineering (ECCOMAS 2012). Vienna, Austria, September 10-14, 2012.

6. XII International Conference on Computational Plasticity. Fundamentals and Applications (COMPLAS XII). Barcelona, Spain. September 3-5, 2013.

7. V-VII научно-технические конференции молодых ученых ВНИИ автоматики имени Н.Л. Духова (март 2011, март 2012, март 2013).

8. Научно-исследовательский семинар кафедры газовой и волновой динамики механико-математического факультета МГУ под руководством академика РАН Р.И. Нигматулина.

9. Научно-исследовательский семинар кафедры механики композитов механико-математического факультета МГУ под руководством профессора Б.Е. Победри.

10. Научно-исследовательский семинар кафедры теории пластичности механико-математического факультета МГУ под руководством член-корр.

РАН Е.В. Ломакина.

11. Научно-исследовательский семинар кафедры теории упругости механико-математического факультета МГУ под руководством профессора И.А. Кийко.

На защиту выносятся:

- аналитическое исследование волн нагружения и разгрузки в твердом упругопластическом теле при одноосном деформировании в полной постановке;

- численное исследование задачи о плоском соударении тонких пластин с откольным разрушением методом разделения по физическим процессам.

Публикации. По работе имеется 5 публикаций, в том числе две статьи в журналах из перечня ВАК.

Личный вклад автора состоит в аналитическом исследовании волн нагружения и разгрузки в твердом упругопластическом теле при одноосном деформировании, в участии в разработке численного метода, в адаптации комплекса для расчета представленных в диссертации задач, в проведении расчетов и анализе их результатов.

Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. В работе содержится 43 рисунка, 81 библиографическая ссылка. Общий объем диссертационной работы составляет 104 страницы.

Во введении приводится краткий обзор численных методов, применяющихся для моделирования процессов упругопластического деформирования и разрушения твердых тел. Обосновываются преимущества предлагаемого численного метода. Также приводится описание рассматриваемых в работе задач упругопластического деформирования и разрушения. Определяются актуальность, новизна и практическая значимость проведенных исследований. Приведен список публикаций автора по теме диссертации, конференций и семинаров, где докладывались основные результаты работы.

упругопластической среды без учета микроповреждений и разрушения в одномерном приближении, подробное описание используемого численного метода, аналитические решения упругопластических задач без учета разрушения, а также верификация (сравнение численных и аналитических решений) на ряде упругопластических задач.

В настоящей работе рассматривается упругопластическое деформирование твердого тела в одномерном приближении, когда все параметры зависят только от времени t и эйлеровой координаты r. В случае одноосной деформации (будем в дальнейшем называть этот случай плоским) r является продольной координатой x, в цилиндрическом и сферическом – радиальной координатой r.

Математическая модель упругопластической среды Прандтля-Рейса без учета микроповреждений и разрушения в случае произвольной симметрии выглядит следующим образом:

- уравнение неразрывности:

- уравнение движения:

- уравнение энергии:

- определяющие уравнения модели Прандтля-Рейса:

- критерий пластичности Мизеса:

Здесь и далее используются следующие обозначения:

– плотность материала; u – скорость вдоль оси r ; p – давление;

r p Sr, p S – радиальная и кольцевая компоненты тензора напряжений; S r, S – радиальная и кольцевая компоненты девиатора тензора напряжений; Su – интенсивность девиатора тензора напряжений; r, – радиальная и кольцевая компоненты тензора скоростей деформаций;

e – полная удельная энергия на единицу массы; – удельная внутренняя энергия на единицу массы;

Хевисайда; k – коэффициент симметрии:

k 0 – для случая плоской симметрии, k 1 – для случая цилиндрической симметрии, k 2 – для случая сферической симметрии.

Предел текучести при простом растяжении Y и модуль сдвига в данной главе считаются постоянными ( Y Y0 const, 0 const ).

Среда предполагается термодинамически двухпараметрической, т.е., три термодинамических параметра (давление, плотность и удельная внутренняя энергия) связаны определенной функциональной зависимостью, которая называется уравнением состояния (УРС). Уравнение состояния служит для замыкания системы дифференциальных определяющих уравнений (1)-(5) и в общем случае имеет вид:

В качестве УРС используются следующие уравнения:

УРС твердого тела (“логарифмический закон”):

Здесь K 0 – объемный модуль, v – коэффициент объемного расширения, cv – теплоемкость при постоянном объеме, 0 – плотность недеформированного материала.

недеформированном материале.

Здесь 0 – коэффициент Грюнайзена, s – константа, связывающая скорость ударной волны D и скорость частицы среды u : D c0 su.

В материальных соотношениях (4), (5) положим параметр (гипоупругое приближение) и запишем уравнения для нахождения пластических деформаций. Тогда систему определяющих дифференциальных уравнений (1) - (5) в дивергентном векторном виде можно записать следующим образом:

Для численного решения системы используется метод разделения по физическим процессам. Система (12) расщепляется на две подсистемы и, соответственно, расчетный цикл временного шага разбивается на 2 этапа, "упругопластический" (лагранжев).

На первом этапе система уравнений в частных производных (13) решается методом конечного объема на подвижной эйлеровой сетке.

Аппроксимация потока производится с помощью метода Годунова, основанном на точном решении задачи о распаде произвольного разрыва.

Следует отметить, что точное решение существует только для двучленного УРС. При использовании в расчете другого уравнения состояния, его необходимо аппроксимировать двучленным. Пусть, p, – значения плотности, давления и внутренней энергии в данной ячейке на некотором временном шаге, 0 – выражение внутренней энергии через те же давление и плотность из двучленного УРС. Тогда неизвестные параметры аппроксимации, p0 и c0 находятся путем приравнивания внутренних энергий, 0 и их производных по плотности и давлению. Для повышения точности схемы используется метод подсеточного кусочно-линейного восполнения MUSCL. С явным интегрированием по времени это приводит к монотонной схеме второго порядка по времени и координате. Устойчивость схемы обеспечивается выполнением условия Куранта-Фридрихса-Леви.

Решения, полученные на первом этапе, используются в качестве начальных данных на втором. Сетка остается неподвижной. Система обыкновенных дифференциальных уравнений (14) решается двухшаговым методом Рунге-Кутта. На данном этапе ячейка, по сути "замораживается", и рассматриваются происходящие в ней процессы, как в лагранжевой частице.

В предположении одноосной деформации возможно построение аналитических решений для автомодельных задач о волне нагружения и волне разгрузки. Подобные исследования уже проводились, как известно из литературы, но с разного рода упрощающими предположениями. В данной работе приводится подробное исследование в полной постановке. В случае одноосной деформации модель Прандтля-Рейса (уравнения (1) - (5) вместе с критерием пластичности (6)) описывается следующей системой уравнений:

Здесь и далее x – продольная координата, S S x – компонента девиатора напряжений вдоль оси x, которая вследствие интегрирования определяющего соотношения модели (4-е уравнение в системе (15)) с использованием уравнения неразрывности (1-е уравнение в системе (15)), является функцией только плотности:

Здесь Y, Y – плотности материала при переходе в состояние текучести при сжатии и растяжении, соответственно. Индексом " 0 " обозначено начальное (невозмущенное) состояние, S0 2Y0 3.

Распространение ударной волны в твердом теле описывается уравнениями Рэнкина-Гюгонио на скачке, следствиями которых являются два соотношения, определяющие состояние среды за волной. Это – адиабата Гюгонио (АГ) и линия Михельсона-Релея (МР) где 1 – удельный объем, сжатия ( D – скорость волны).

В работе приводится подробный анализ зависимости взаимного расположения кривых АГ и МР от интенсивности сжатия m. Показано, что существуют три возможных волновых режима нагружения в упругопластическом материале: одноволновой упругий режим, двухволновой режим с упругим предвестником и одноволновой пластический режим.

Схематически все эти случаи изображены на рисунке 1. Черная кривая соответствует адиабате Гюгонио, цветные пунктирные линии – линиям Релея-Михельсона для различных волновых режимов.

Рис. 1. Взаимное расположение кривых АГ и МР при различных значениях массового расхода. Возможные волновые режимы нагружения.

Волна разгрузки в твердом теле – решение системы уравнений (15), зависящее только от одной автомодельной переменной x t.

Напряжение и удельный объем связаны обыкновенным дифференциальным уравнением:

В результате интегрирования этого уравнения с начальным условием являющейся аналогом изэнтропы в газовой динамике. В виду слабого разрыва данной кривой в точке Y возможны два волновых режима разгрузки:

одноволновой упругий режим и двухволновой упругопластический режим.

Схематически это отображено на рисунке 2.

В порядке иллюстрации данного анализа приводятся решения задач об ударе по жесткой стенке и об ударном растяжении пластины. В первой задаче полубесконечная пластина налетает на абсолютно жесткую стенку со скоростью u0, во второй задаче скорость u0 направлена от стенки. Материал в начальный момент находится в ненапряженном состоянии. В качестве УРС выбран УРС Ми-Грюнайзена. Таким образом, постановки обеих задач выглядят следующим образом:

Ввиду нелинейной зависимости давления от плотности в УРС МиГрюнайзена, полностью аналитически разрешить обе задачи невозможно. В связи с этим, в задаче об ударе для решения алгебраических уравнений используется метод Ньютона, а в задаче о растяжении для решения обыкновенных дифференциальных уравнений используется метод РунгеКутта. В таблице 1 приведены константы и критические скорости для трех различных материалов. Здесь u0 Y и u0 * – скорости удара, при которых происходит переход в двухволновой упругопластический и одноволновой пластический режимы, соответственно, u0 Y – скорость растяжения, при которой происходит переход в двухволновой упругопластический режим.

Таблица 1. Константы материала и рассчитанные критические скорости для задач алгоритма. Результаты приведены на рисунках 3 и 4.

Рис. 3. Распределение давления по координате для трех характерных Рис. 4. Распределение напряжения по координате для двух характерных Кроме того, в первой главе проводится верификация на двух одномерных задачах с толстостенными оболочками. Отметим, что под оболочкой в данном случае понимается слой конечной толщины (цилиндрический или сферический), а не используется какая-либо широко распространенная теория оболочек. Это же относится и к задаче о соударении пластин, которая рассматривается в следующей главе.

Постановка задачи о сжатии толстостенной цилиндрической оболочки выглядит следующим образом.

В качестве УРС выбран УРС Ми-Грюнайзена, в качестве материала – бериллий. Данная задача решена аналитически (Howell B. P., Ball G. J.

A Free-Lagrange Augmented Godunov Method for the Simulation of ElasticPlastic Solids // J. Comp. Phys. – 2002. – Vol. 175. – Pp. 128-167).

На рисунке 5а изображены зависимости кинетической, внутренней и полной энергии от времени. По графику виден процесс перехода кинетической энергии во внутреннюю, который полностью осуществляется к аналитически рассчитанному моменту остановки оболочки. На рисунке 5б изображены зависимости изменения радиусов оболочки от времени. Оба радиуса к моменту остановки сходятся к своим аналитически рассчитанным значениям.

Рис. 5. Зависимость энергии (а) и радиусов (б) цилиндрической оболочки от времени.

Постановка задачи о расширении толстостенной сферической оболочки идентична предыдущей задаче, но, при этом начальная скорость материальной точки оболочки направлена от её центра и обратно пропорциональна квадрату расстояния от центра. В данной задаче использовались логарифмический УРС и вязкоупругопластическая модель Соколовского-Пэжины. Ее определяющие соотношения выглядят следующим образом:

Здесь – динамическая вязкость, которую в данном случае считаем постоянной ( 0 const ).

Для расчетов использовался алюминий со следующим набором параметров материала:

На рисунке 6а показаны зависимости энергии от времени. На рисунке 6б представлены зависимости радиусов оболочки от времени. Видно, что численное и аналитическое (Киселев А.Б. К исследованию процесса нестационарного расширения толстостенных сферических и цилиндрических вязкопластических оболочек // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ. – 2012. – № 6. – C. 20-25.) согласуются с высокой точностью (погрешность порядка 0,2 %).

Рис. 6. Зависимость энергии (а) и радиусов (б) сферической оболочки от времени.

Необходимо отметить, что в аналитическом решении предполагается несжимаемость материала, однако, используемый численный метод предназначен для расчета задач, в которых учитывается сжимаемость среды, и рассматриваются волновые процессы. Ввиду этого сравнение численного и аналитического решения будет не совсем корректным, тем не менее, определенное сопоставление можно провести. На рисунке 7 изображены зависимости скоростей границ сферической оболочки от времени. По данным графикам видно, что численные значения скоростей колеблются около аналитических. Колебания обусловлены распространением волн по толщине оболочки (период колебаний в точности совпадает со временем двойного пробега упругой волны по толщине оболочки).

Рис. 7. Зависимость скоростей внутренней (а) и внешней (б) границ сферической Во второй главе представлена используемая математическая модель Математическое моделирование динамического деформирования и комбинированного микроразрушения термоупруговязкопластической среды // Вестн. МГУ. Сер. 1. Матем. Механ. – 1998. – № 6. – С. 32-40), корректировка вычислительной схемы при учете повреждаемости и разрушения, а также подробно рассмотрена задача о плоском соударении тонких пластин с откольным разрушением.

Математическая модель повреждаемой упруговязкопластической среды помимо законов сохранения (1) - (3) включает в себя определяющие уравнения модели Соколовского-Пэжины (20). В модели возможен учет упрочнения. В самом простом, линейном, случае имеет место следующая зависимость предела текучести от накопленных пластических деформаций:

где up – интенсивность тензора пластических деформаций, – параметр упрочнения. В случае одноосного деформирования up p.

В общем случае микроразрушение материала описывается с помощью двух скалярных параметров поврежденности и. Они характеризуют наличие микроразрушений типа пор сферической формы и типа полос адиабатического сдвига соответственно. В случае одноосного деформирования можно положить 0. Кинетическое уравнение для следующим образом:

где Параметры материала при наличии повреждений меняются следующим образом:

В качестве критерия начала макроразрушения материала используется критерий предельной удельной диссипации:

континуального разрушения; t* время начала разрушения; D* предельная удельная диссипация; константа материала.

В качестве уравнения состояния используется УРС твердого тела, который с введением поврежденности преобразуется следующим образом:

В дивергентном виде вся система дифференциальных уравнений, описывающих процесс, выглядит следующим образом:

изменении компонент расчетных векторов Q, F и H M.

Пусть в некоторой ячейке области выполнился критерий разрушения:

D D*. В этом случае считается, что через данную ячейку проходит поверхность разрушения. Для определенности полагаем, что поверхность разрушения проходит через центр ячейки. Тогда исключаем разрушенную ячейку из дальнейшего расчета и производим разбиение данной области на две новых области по центру данной ячейки. На образовавшихся новых границах ставим условие свободной поверхности. Пересчет параметров в соседних ячейках производится с выполнением закона сохранения массы.

Хорошо изученная задача о плоском соударении двух тонких пластин (рис. 8) с откольным разрушением в пластине-мишени наиболее часто используется для определения констант материала в динамических условиях путем сопоставления экспериментальных данных и результатов численного моделирования. Эта задача также является важным валидационным тестом, оценивающим адекватность и эффективность применения, как используемого численного метода, так и выбранной математической модели, описывающей процессы упругопластического деформирования и разрушения. Поскольку толщины пластин малы по сравнению с их размерами, и характерное время процесса соударения порядка времени нескольких пробегов упругих волн по толщине пластины-мишени, задача может быть рассмотрена в одномерной постановке (одноосная деформация) и адиабатическом приближении.

Экспериментально данная задача была подробнейшим образом изучена в работах Г.И. Канеля с соавторами для множества различных материалов и скоростей соударения.

Приведем ниже полную математическую постановку данной задачи.

Начальные условия задаются следующим образом.

Здесь и далее параметры с нижним индексом " i " относятся к ударнику, а с индексом "t " – к мишени. Верхними индексами " L " и " R " обозначены, соответственно, левая и правая границы каждой из пластин.

Начальные координаты пластин зададим следующим образом:

На левой границе ударника и правой границе мишени ставится условие свободной поверхности:

Условие на контактной границе между пластинами ( x 0 ) имеет вид:

Это означает, что пластины находятся в контактном взаимодействии друг с другом до тех пор, пока напряжение на границе является сжимающим.

Как только оно становится растягивающим, происходит отскок пластиныударника от пластины-мишени. Соответственно, на правой границе ударника и левой границе мишени ставится условие свободной поверхности. Пластины больше не взаимодействуют друг с другом.

Основным результатом экспериментов является измерение зависимости скорости свободной поверхности пластины-мишени от времени.

В работе приведены расчеты характерных задач по соударению пластин из алюминия и титана с различными скоростями соударения и толщинами пластин.

На рисунке 9 приведен график сравнения численного расчета и экспериментальных данных для теста по соударению алюминиевых пластин, в котором толщина ударника равна hi 2 мм, толщина мишени ht 4,1 мм, следующими:

Динамическая вязкость, коэффициент упрочнения и параметры разрушения для алюминия в данном расчете были подобраны следующим образом:

Рис. 9. Скорость свободной поверхности мишени при соударении В данном расчете упругий предвестник выходит на свободную поверхность в момент времени te 0,65 мкс. Разрушение происходит в момент времени t* 1,13 мкс, относительная толщина отколотой части пластины-мишени (откольной тарелки) составляет h* 0,47 ( h* 1 X *, где относительная толщина пластины-мишени). Таким образом, толщина откольной тарелки составляет чуть менее, чем половину от толщины мишени. Оба этих факта хорошо согласуются с экспериментом. Кроме того, с экспериментом хорошо согласуется и амплитуда колебаний скорости свободной поверхности откольной тарелки. В целом, в данном тесте наблюдается достаточно точное совпадение (погрешность не более 4 % ) численного расчета и экспериментального результата по всем основным исследуемым нами аспектам: ударная волна, волна разгрузки и разрушение.

Также был рассмотрен тест с соударением алюминиевой (ударник толщиной hi 2 мм ) и титановой (мишень толщиной ht 10 мм ) пластин со скоростью U i 700 м/с.

Параметры материала для титана выбраны следующим Динамическая вязкость, коэффициент упрочнения и параметры разрушения для титана в данном расчете были подобраны следующим образом:

На рисунке 10 приведен график скорости свободной поверхности пластины-мишени. Здесь также можно отметить близкое совпадение экспериментальных данных и численного расчета. В данном расчете упругий предвестник выходит на свободную поверхность в момент времени te 1,6 мкс, а разрушение происходит в момент времени t 2,4 мкс.

Толщина откольной тарелки составляет h* 0,17 от толщины пластинымишени.

Рис. 10. Скорость свободной поверхности мишени при соударении На рисунках 11а и 11б приведены графики распределения удельной диссипации D и деформации по толщине пластины-мишени X в момент разрушения. Видно, что оба графика имеют четко выраженный максимум в точке разрушения.

Рис. 11. Распределение удельной диссипации (а) и деформации (б) по толщине пластины-мишени в момент разрушения.

На рисунках 12а и 12б изображены зависимости времени разрушения и относительной толщины откольной тарелки пластины-мишени от скорости удара. Как можно видеть по данным графикам, время разрушения имеет тенденцию к снижению при увеличении скорости удара. Толщина откольной тарелки, в свою очередь, практически не меняется со скоростью удара и составляет приблизительно пятую часть от толщины пластины-мишени.

Рис. 12. Зависимость времени разрушения (а) и относительной толщины В заключении приводятся основные результаты работы и выводы:

1) Были впервые подробно и в полной постановке аналитически исследованы волны нагружения и разгрузки в твердом упругопластическом теле при одноосном деформировании. Рассчитаны параметры перехода из одного волнового режима в другой для различных материалов.

2) Предложен новый численный метод расчета упругопластических задач – метод разделения по физическим процессам. Метод успешно верифицирован на одномерных задачах об ударе по жесткой стенке, ударном растяжении пластины, сжатии цилиндрической оболочки и расширении сферической оболочки.

3) Разработанный численный метод и используемая модель повреждаемой упруговязкопластической среды позволяют рассчитывать напряженно-деформируемое состояние и кинематические параметры тонких пластин в задачах плоского соударения последних. А именно: скорость движения тыльной поверхности пластины-мишени, момент откольного разрушения и толщину откольной тарелки. Результаты расчетов с высокой точностью согласуются с экспериментальными данными.

1. Киселев А.Б., Мищенко А.В. Одномерные упругопластические задачи в плоской постановке. Аналитические и численные решения // Вестн. Моск.

ун-та. Сер.1. Матем. Механ. – 2014. – № 2.

2. Меньшов И.С., Мищенко А.В., Серёжкин А.А. Численное моделирование упругопластических течений методом Годунова на подвижных эйлеровых сетках // Математическое моделирование. – 2013. – Т. 25. – № 8. – С. 89-108.

3. Menshov I., Mischenko A., Serezhkin A. An eulerian Godunov-type scheme for calculation of the elastic-plastic flow equations with moving grids // Europ.

Congress on Comput. Methods in Appl. Sc. and Eng. (ECCOMAS 2012). J.

Eberhardsteiner et. al. (eds.). Vienna, Austria, September 10-14, 2012. CD format, 2012. Article 2164. 20 p.

4. Мищенко А.В., Серёжкин А.А., Меньшов И.С., Киселев А.Б. Метод разделения по физическим процессам для моделирования деформирования и разрушения твердых тел // Забабахинские научные чтения: сб. материалов XI Межд. конф. 16-20 апреля 2012. – Снежинск: Изд-во РФЯЦ-ВНИИТФ, 2012.

– С. 306.

5. Киселев А.Б., Меньшов И.С., Мищенко А.В. Программный комплекс «ТИС»: тестирование на задачах динамики твердого тела // Ломоносовские чтения. Научная конф. Секция механики. Апрель 2012 года. Тезисы докладов. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 2012. – С. 90-91.