РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ им. Л. Д. ЛАНДАУ

На правах рукописи

РОДИОНОВ Ярослав Игоревич

Равновесный и неравновесный транспорт в одноэлектронных

устройствах

Специальность 01.04.02 Теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Черноголовка – 2010

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наука Институте теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН, г. Черноголовка.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук Бурмистров И. С.,

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, Скворцов М. А., доктор физико-математических наук, Качоровский В. Ю.

Ведущая организация: Институт физики твердого тела РАН

Защита состоится 24 декабря 2010 года в 11 часов 30 минут на заседании Диссертационного совета Д 002.207.01 при Институте теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН по адресу: 142432, Московская обл., Ногинский р-н, г. Черноголовка, Институт физики твердого тела РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН.

Автореферат разослан ноября 2010 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета, доктор физико-математических наук Гриневич П. Г.

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Первые измерения эффектов кулоновской блокады на одноэлектронных транзисторах следует отнести еще к 1987 г. [1]. По мере развития техники эксперимента одно-электронные транзисторы стали стандартным инструментом для наблюдения эффектов кулоновского взаимодействия на мезоскопических масштабах. Размер одноэлектронного транзистора L 1µm достаточно мал, так что уже классическое кулоновское взаимодействие Ec e2 /L, где e – заряд электрона, существенно меняет свойства низкотемпературного электронного транспорта при температурах T 10 K Ec. К настоящему времени развито достаточно много теоретических [2, 3, 4] и экспериментальных [5, 6, 7] методов исследования кулоновской блокады. Физические явления в одноэлектронной коробке (ОЭК) и одноэлектронном транзисторе (ОЭТ) - простейших мезоскопических системах, обнаруживающих кулоновскую блокаду, являются главным предметом исследования в диссертации. Свойства таких систем в высокой степени определяются электронной когерентностью и кулоновским взаимодействием.

Работа мотивирована недавним теоретическим и экспериментальным интересом к:

a) взаимосвязи между адмиттансом, сопротивлением и диссипацией в ОЭК в различных параметрических режимах [8, 9, 10, 11, 12, 13, 14], б) релаксации температуры в квантовой точке [15] и термо-электрическим эффектам в ОЭТ [16], в) влиянию неравновесных условий на электрический транспорт в одноэлектронных системах [17, 18, 19].

В работах [9, 10, 11] проведены первые расчеты диссипации и адмиттанса во взаимодействующей ОЭК для сверхнизких температур T, где – среднее расстояние между одно-частичными уровнями островка ОЭК. Такой температурный режим будет называться в дальнейшем режимом когерентной ОЭК. В данном режиме полное решение задачи об адмиттансе ОЭК с учетом сильного кулоновского взаимодействия построено лишь недавно [14]. Теории, описывающей адмиттанс и диссипацию при более высоких температурах T не было построено. Оказывается, при температурах T max{1, g}, где g – безразмерный кондактанс туннельного контакта ОЭК (или ОЭТ) задача упрощается, т.к. при таком условии, электронной когерентностью можно пренебречь [20]. С точки зрения эксперимента актуальным является вопрос о построении теории диссипации и адмиттанса в ОЭК в условиях неравновесия.

Важный вопрос о законе релаксации электронной температуры и функции распределения островка ОЭК в неравновесных условиях затрагивался в работе [15]. Однако, рассмотрение в работе [15] ограничилось случаем сильной кулоновской блокады и предположениями, что: во-первых, электронное распределение является ферми-функцией с некоторой температурой, отличной от равновесной; во-вторых, транспорт доминируется ко-туннелированием (режим кулоновской долины); в-третьих, температуры резервуаров и островка близки. Задача о релаксации электронов при произвольно отличающихся характерных энергиях островка и резервуара еще не получила теоретического освещения.

Цель работы состоит в исследовании диссипации и адмиттанса, а так же релаксационных процессов в одно-электронной системе в режиме высоких температур T max{1, g}. Для достижения этой цели была выполнена следующая программа:

1. Изучение равновесной диссипации в одноэлектронной системе с учетом сильного кулоновского взаимодействия; получение количественных, экспериментально проверяемых предсказаний для величин адмиттанса и диссипации в предельных случаях сильной и слабой кулоновской блокады.

2. Изучении закона релаксации электронной функции распределения в островке металлической ОЭК.

3. Обобщение теории диссипации в одноэлектронной системе с сильным кулоновским взаимодействием на неравновесный режим.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, состоят в следующем:

1. В режиме температур T max{1, g} вычислен адмиттанс и построена теория диссипации ОЭК с сильным кулоновским взаимодействием.

В предельных случаях сильной и слабой кулоновской блокады вычислено сопротивление зарядовой релаксации и перенормированная затворная емкость ОЭК.

2. Получено квантовое кинетическое уравнение, описывающее релаксацию электронной функции распределения островка, для ОЭТ с сильным кулоновским взаимодействием при характерных энергиях электронов островка d max{1, g} и справедливое для любых значений безразмерного кондактанса. Приведены решения для наиболее интересных предельных случаев.

3. При характерных энергиях электронов островка d max{1, g} вычислен адмиттанс и построена теория диссипации ОЭК с сильным кулоновским взаимодействием в неравновесных условиях. Вычислено сопротивление зарядовой релаксации и перенормированная затворная емкость для случая сильной кулоновской блокады.

Научная новизна и достоверность Результаты диссертационной работы получены впервые, ее выводы обоснованы надежностью применявшихся при исследовании современных методов теоретической физики, подтверждаются экспериментальными результатами и апробацией работы.

Научная и практическая ценность. Полученные новые результаты позволяют лучше понять физику сильно-взаимодействующих одноэлектронных систем в некогерентном режиме и могут быть применены для дальнейших теоретических исследований и анализа новых экспериментальных данных.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации были представлены: на конференции Сильно-коррелированные электронные системы и квантовые критические явления, г.Троицк, 2010, на международной конференции Fundamentals of electronic nano-systems NanoПитер, г.Санкт-Петербург, 2010, докладывались: на конференции XXXV совещание по физике низких температур, г.Черноголовка, 2009, на международной конференции Landau Days, г.Черноголовка 2009, а также на научных семинарах в Институте теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН, Российском научным центре Курчатовский институт, Физическом институте им. П. Н. Лебедева РАН, Институте теоретической и прикладной электродинамики РАН.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 научные работы, список которых приведен в конце реферата.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность рассматриваемой темы, научная новизна исследований, а также сформулированы цели и приведены основные результаты работы. Кратко описана структура диссертации.

Глава 1 посвящена изучению диссипации и адмиттанса в одноэлектронной коробке. Физическая система состоит из металлического островка, соединенного с равновесным электронным резервуаром через туннельный контакт. Островок соединен с затворным электродом емкостным образом. Потенциал островка определяется затворным напряжением Ug электрода (см. Рис. 1). Система не пропускает постоянного электрического тока и непосредственное измерение кондактанса невозможно. Таким образом, основной динамической характеристикой системы становится адмиттанс, то есть отклик тока на переменное затворное напряжение: Ug (t) = U0 +U cos t.

Физика системы определяется несколькими энергетическими масштабами:

энергией Таулесса островка ETh, его зарядовой энергией Ec и средним расстоянием между одночастичными уровнями. Безразмерный (в единицах e2 /h, где e - заряд электрона, h постоянная Планка) кондактанс туннельного контакта g характеризует тунннельную связь островка с резервуаром.

В диссертации исследуются только системы, для которых имеет место следующая иерархия масштабов:

Условие T ETh позволяет считать металлический островок нульмерным объектом с пренебрежимо малым внутренним сопротивлением.

Температурный режим таков, что с одной стороны электроны сильно коррелированны (T Ec ), с другой стороны можно пренебречь электронной когерентностью (T max{, g}) [20, 21]. С учетом условий (1) одноэлектронная коробка описывается универсальным гамильтонианом [4] Здесь, a† (d† ) - оператор рождения электрона в резервуаре (островке), k, tk ak d – туннельный член, q = Cg Ug /e затворный заряд, d d - оператор числа частиц. Первая пара слагаемых в (2) описывает свободные электроны в резервуаре и на островке, следующая – туннелирование, и последнее слагаемое есть кулоновское взаимодействие в простейшей емкостной форме. Туннелирование характеризуется безразмерным эффективным кондактансом одного канала gch D D |t2 | (здесь, D, R – туннельные плотности состояний в островке и резервуаре, |t|2 - характерная прозрачность транспортного канала) и эффективным числом транспортных каналов: Nch. Безразмерный кондактанс контакта определяется как g = gch Nch. Во всей диссертации мы всегда будем предполагать, что При этом полный кондактанс g может быть произвольным. В дальнейшем, единицы выбраны так, что = e = 1.

Если пренебречь квантовыми флуктуациями заряда, то система описывается классическими уравнениями, дающими следующее выражение для средней скорости диссипации в ОЭК:

где Cg обозначает затворную емкость. В первой главе вычислена мощность диссипации и адмиттанс ОЭК в предельных случаях большого (g 1) и малого (g 1) безразмерного туннельного кондактанса контакта. При выполнении условий (3) физика задачи может быть наиболее адекватно описана в рамках эффективного действия Амбегаокара-Экерна-Шона (АЭШ) [22].

Полученные результаты приводят к обобщению классического результата (4). Обнаружено, что при 0 средняя скорость диссипации энергии факторизуется в обоих g 1 и g 1 пределах следующим образом:

в полной аналогии с классическим выражением (4). Здесь, Rq и Cg определены соответственно как сопротивление зарядовой релаксации и перенормированная затворная емкость. Сопротивление зарядовой релаксации Rq и перенормированная затворная емкость Cg отличаются от своих классических аналогов и связаны с физическими наблюдаемыми, формально определенными в терминах квантового коррелятора K R () [23] Здесь, Q = nd – средний заряд на островке, корреляционная функция K (t) = i(t) [X(t), X † (0)]. Для того, чтобы выявить физику, скрытую в величинах g и Cg, предпочтительнее рассмотреть одноэлектронный транзистор (см. Рис. 2). В отсутствии постоянного напряжения между левым и правым резервуарами ОЭТ представляет собой по-существу ОЭК с по-другому определенным параметром g = gl + gr. Тогда g есть физическая величина, определяющая кондактанс транзистора [24, 25].

Перенормировання затворная емкость Cg сильно отличается от эффективной емкости Q/U0. В действительности, Cg = q (T )/U0, где q (T ) - так называемый квазичастичный заряд, физическая наблюдаемая, введенная недавно в работе [23] для описания перенормировки -угла в задаче о кулоновской блокаде.

Для адмиттанса в режимах g 1 и g 1 удалось проверить выполнение общего соотношения Для ОЭК в режиме слабой кулоновской блокады (g 1) получен следующий результат для перенормированной затворной емкости:

Ech (n, q) и сопротивления зарядовой релаксации:

Здесь, g(T ) = g 2 ln gEc e+1 /(2 2 T ), где 0.577 – константа Эйлера и D = ( 2 /3) exp( 1). Результат (8) показывает, что эффекты кулоновской блокады приводят к появлению периодической зависимости затворной емкости ОЭК от затворного заряда. Так же, ожидаемую зависимость от затворного заряда имеет и Rq (9).

В режиме сильной кулоновской блокады g 1 наиболее интересный режим соответствует положению системы в окрестности точки вырождения (см. Рис. 3), т.е. когда заряд, наведенный затворным напряжением, близок к полуцелому числу k + 1/2. В этом режиме транспорт определяется двумя ближайшими зарядовыми состояниями [26], которые при g = 0 разделены кулоновской щелью = 2Ec (k + 1/2 q). Однако из-за туннелирования ( g > 0) все физические наблюдаемые, такие как и туннельный кондактанс g, сильно перенормируются вблизи точки вырождения.

Результат для адмиттанса при g 1:

благодаря виртуальным процессам, = ln max{T,||} – большой логарифм.

Далее, g = gZ () и туннельный кондактанс и кулоновскую щель. Выражение (10) переходит в (7), в пределе 0. При этом сопротивление зарядовой релаксации и перенормированная затворная емкость даются следующими выражениями:

Полученные результаты составляют основу теории диссипации в одноэлектронных системах развитой для случая высоких температур T max{1, g}.

В главе 2 мы рассматриваем задачу о релаксации электронов островка к термодинамическому равновесию за счет обмена электронами с резервуаром.

Предположим, на островке ОЭК создана неравновесная электронная функция распределения с характерной энергией d (температурой Td ) большей чем температура резервуара Tr (Рис. 4). Tr предполагается постоянной во времени. По какому закону электронное распределение (температура) островка будет релаксировать к своему равновесному значению? Существует широкий параметрический режим, при котором обмен электронами между островком и резервуаром будет доминирующим процессом релаксации (см. обсуждение ниже). Возможны два сценария релаксации. Первый, квази-равновесный, соответствует случаю, когда электронное распределение внутри островка дается ферми-функцией с неравновесной температурой Td, которая релаксирует к своему равновесному значению. Второй сценарий соответствует полностью неравновесному режиму, когда функция распределения электронов островка произвольна.

Сценарий, по которому протекает релаксация определяется соотношением времени релаксации обусловленной электронным туннелированием E и временем релаксации обусловленной кулоновским взаимодействием электронов внутри островка ee. Неравновесный режим устанавливается при условии E ee, в то время как квази-равновесие имеет место при E ee. Важную роль играет также RC-время RC 1/(gEc ), за которое в системе устанавливается электрическая нейтральность. В работе показано, что условие Ec гарантирует выполнение условия RC E. Таким образом, релаксация электронного распределения протекает в условиях электронейтральности.

C учетом условий (3) в работе получено квантовое кинетическое уравнение описывающее эволюцию функции распределения электронов островка.

Здесь Fd,r ( ) есть вигнеровское преобразование электронной функции распределения f d,r (t, t ) внутри островка (резервуара): Fd,r ( ) = 2f ( ), где = (t + t )/2 - медленное время. В равновесии Fd,r = tanh(/2Tr ). Правая часть ур. (12) есть интеграл столкновений, описывающий обмен электронами между резервуаром и островком.

Функция B ( ) есть функция распределения коллективных бозонных мод, возникающих в системе благодаря кулоновскому взаимодействию. Их динамика описывается эффективным неравновесным АЭШ-действием, а ядро интеграла столкновений - их запаздывающим пропагатором. Показано, что функция распределения B ( ) имеет вид, свойственный для функции распределения электрон-дырочных пар в ферми-жидкости:

Кинетическое уравнение (12) получено для любых значений безразмерного кондактанса g и обобщает результат [17], полученный для последовательного туннелирования (первый порядок по g) и котунеллирования (второй порядок по g) в рамках ортодоксальной теории кулоновской блокады. Разложение правой части (интеграла столкновений) ур. (12) по степеням g, всегда содержит все степени g и функции Fd ( ). Таким образом, физика релаксации за счет обмена электронами с резервуаром отличается от релаксации в ферми-жидкости за счет электрон-электронного или электрон-фононного взаимодействия.

Наиболее интересное релаксационное поведение наблюдается при сильной кулоновской блокаде g 1 в точке вырождения = 0. Для неравновесной релаксации, аналитическое решение удается получить в случае d Tr :

Здесь, неравновесное обобщение перенормированного кондактанса g, введенного в (6). Ур. (14) справедливо для не слишком больших времен: /Gr.

Решение (14) примечательно своей локальностью по энергии: эволюция функции распределения при данной энергии зависит только от ее же значения на данной энергии. Отметим, что стандартная экспоненциальная релаксация возникающая в начале: Gr /(G 2 (0)), перетекает в более медленную для промежуточных времен Gr /(G 2 (0)) /(Gr ):

Через большое время /(Gr ), возникает вновь экспоненциальная релаксация:

Для квази-равновесной релаксации аналитическое решение так же получено для случая горячего островка, Td (0) Tr :

Решение (19) справедливо, пока островок остается горячим, Td ( ) Tr. Если Td (0) Tr exp( 2 /G(0)), тогда начальная экспоненциальная релаксация при 2 3 /[G 2 (0)] перетекает в любопытный промежуточный режим:

Подчеркнем, что в этом режиме, релаксация становится независимой от прозрачности туннельного контакта g. В противоположном пределе, Td (0) Tr exp( 2 /G(0)) температура Td ( ) меняется в соответствии с Ур. (20) для (4/G(0)) ln Td (0)/Tr. На больших временах (4/Gr ) ln Td (0)/Tr температура Td ( ) становится порядка Tr : Td ( )Tr Tr и система приходит к стандартной экспоненциальной релаксации:

Эволюция температуры электронов внутри островка представлена на Рис. 5.

Все уравнения релаксации, решенные в работе, обнаруживают общность:

где Xd - релаксирующая величина, а G(Xd ) перенормированный кондактанс.

Ур. (23) имеет физически прозрачную интерпретацию. Характерный временной масштаб в правой части ур. (23) есть просто время нахождения частицы внутри островка, [19] т.е. E G. Общность и простота ур. (23) однако обманчива, так как приводит к сильно различающимся временным эволюциям физических величин в режимах слабой и сильной кулоновской блокады. Ур. (23), однако, не справедливо в режиме, когда транспорт доминируется ко-туннелированием. В общем случае, кинетическое уравнение не сводится к дифференциальному.

При решении задачи сделано предположение о доминантной роли релаксации за счет обмена электронами. Проведенные оценки показывают, что при T 100 mK, электрон-фононным взаимодействием можно пренебречь. В работе так же пренебрегается кулоновским взаимодействием между электронами островка и резервуара. Детальные оценки показывают, что в широком параметрическом режиме им также можно пренебречь.

В главе 3 рассчитан адмиттанс ОЭК в неравновесных условиях в режиме сильной кулоновской блокады (g 1); в тех же условиях развита теория диссипации ОЭК, найдены формулы для сопротивления зарядовой релаксации и перенормированной затворной емкости. Как и в равновесном режиме, диссипация в системе вызвана медленно меняющимся затворным напряжением Ug (t). При внешней частоте 1/E функция распределения электронов в ОЭК не успевает релаксировать за счет электронного обмена с резервуаром к своему равновесному значению и фактически стационарна, оставаясь при этом неравновесной. При этом, для поддержания стационарного режима из системы должен существовать отвод тепла (к примеру, через электрон-фононное взаимодействие). Показано, что в таком режиме диссипация так же факторизуется в соответствии с выражением (5). Найдены неравновесные обобщения для сопротивления зарядовой релаксации Rq = h/(e2 g ) и перенормированной затворной емкости Cq = q /Cg. В случае сильной кулоновской блокады величины q и g равны:

Здесь, функция B дается выражением (13), а перенормированные параметры g и как всегда содержат скейлинговые множители, обусловленные виртуальными процессами:

max{||, Tr, d }:

Формула для адмиттанса (26) справедлива для любой функции B и является неравновесным обобщением результата (10). Как наиболее просто реализуемый экспериментально, подробно рассмотрен квази-равновесный случай Fd = tanh(/2Td ), Td > Tr в качестве примера. Вещественная часть адмиттанса (26) при фиксированной частоте как функция затворного заряда q представлена на Рис. 6 для случая Td > Tr.

При фиксированных Cg, C и g высота максимума Re G определяется эффективной температурой электронно-дырочных возбуждений Teh = lim0 (/2)B [27]. Из результатов части 2 следует оценка: Tr Teh Td, а так же: Teh Td ln 2 при Td Tr. Таким образом, значения неравновесного адмиттанса лежат в области Re G,Td < Re G < Re G,Tr, где G,Td и G,Tr соответственно равновесные адмиттансы при температурах Td и Tr.

Электронно-дырочное распределение B входит в адмиттанс двояко.