На правах рукописи

КАЧКОВСКИЙ Илья Васильевич

ОТСУТСТВИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ В СПЕКТРЕ

НЕКОТОРЫХ ОПЕРАТОРОВ ШРЁДИНГЕРА С

ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

специальность 01.01.03 – математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2013

Работа выполнена в лаборатории математической физики федерального бюджетного учреждения науки Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова Российской Академии Наук.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, ст. н. с.

ФИЛОНОВ Николай Дмитриевич

Официальные оппоненты:

СУСЛИНА Татьяна Александровна, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики и математической физики, Санкт-Петербургский государственный университет, физический факультет НАЗАРОВ Сергей Александрович доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник лаборатории математических методов механики материала, Институт проблем машиноведения РАН

Ведущая организация:

Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН

Защита состоится “ ” 2013 года в часов на заседании диссертационного совета Д 002.202.01 в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В.А. Стеклова РАН по адресу:

191023, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, д. 27, к. 311.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В.А. Стеклова РАН.

Автореферат разослан “ ” 2013 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, А.Ю. Зайцев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Спектральный анализ периодических операторов математической физики имеет как общетеоретическое, так и прикладное значение. В очень широких предположениях известно (теория Флоке–Блоха, см. [5]), что спектр периодического оператора имеет зонную структуру. Общая теория не исключает, однако, ситуации, когда какая-то зона вырождается в точку. Тогда у оператора возникает собственное значение бесконечной кратности. Наличие или отсутствие таких зон существенно отражается на выводах о физических свойствах рассматриваемой периодической структуры. Общепринятая точка зрения состоит в том, что в достаточно “регулярных” случаях вырожденных зон быть не должно. Обоснование этой гипотезы в каждом конкретном случае представляет собой сложную математическую задачу. Известно также, что в “нерегулярных” случаях бесконечнократные собственные значения могут возникнуть: в работе [10] построен пример оператора акустики с негладкими коэффициентами, имеющего в спектре вырожденную зону. Наличие определенных особенностей у коэффициентов вполне реалистично с точки зрения приложений. Поэтому важно уметь исключить наличие вырожденных зон при возможно более широких предположениях на коэффициенты.

Настоящая работа посвящена доказательству отсутствия собственных значений в спектре многомерного периодического оператора Шрёдингера в пространстве, в слое и в цилиндре. Электрический потенциал может содержать “сингулярную” составляющую в виде заряда, сосредоточенного на периодической системе гиперповерхностей. Такие потенциалы встречаются в теории фотонных кристаллов (см. [4, 9]). В случае оператора в слое и в цилиндре на границе ставится условие Дирихле, Неймана или краевое условие третьего типа. Коэффициенты в третьем краевом условии также предполагаются периодическими. Отсутствие собственных значений в спектре матричного несамосопряженного оператора Шрёдингера в слое или цилиндре с третьим краевым условием позволяет установить абсолютную непрерывность спектра периодического оператора Максвелла в соответствующих областях.

Цель работы. Целью диссертации является 1. доказательство отсутствия собственных значений в спектре оператора Шрёдингера с сингулярным электрическим потенциалом, сосредоточенным на периодической системе гиперповерхностей;

2. исследование случая цилиндра с сечением общего вида;

3. доказательство отсутствия собственных значений в спектре оператора Шрёдингера в прямоугольном и круговом цилиндрах с третьим краевым условием.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты.

1. Впервые доказана абсолютная непрерывность спектра многомерного оператора Шрёдингера с электрическим потенциалом, сосредоточенным на периодической системе гиперповерхностей, на которую не налагается никаких геометрических условий.

2. Установлено отсутствие собственных значений у оператора Шрёдингера в цилиндре с сечением общего вида при широких предположениях об электрическом потенциале.

3. Впервые доказана абсолютная непрерывность спектра оператора Шрёдингера в прямоугольном и круговом цилиндрах с третьим краевым условием.

Методика исследований. Мы следуем классической схеме Томаса, впервые использованной в [8]. Оператор Шрёдингера унитарно эквивалентен (разложение Флоке–Блоха–Гельфанда) прямому интегралу от некоторого семейства секториальных операторов H() с дискретным спектром. Если одно из собственных значений оператора H() постоянно по, то у исходного оператора H это собственное значение является собственным значением бесконечной кратности. Если же таких собственных значений нет, то спектр оператора H абсолютно непрерывен. Таким образом, достаточно доказать отсутствие собственных значений, постоянных по.

Идея Томаса состоит в аналитическом продолжении операторного семейства H() в комплексную область по одной из компонент. В силу аналитической альтернативы Фредгольма достаточно доказать, что при любом фиксированном оператор H()I обратим при достаточно большой мнимой части параметра. Оценка нормы соответствующей резольвенты представляет основную техническую трудность и в каждом конкретном случае производится различными методами. В случае оператора с обычным электрическим потенциалом в цилиндре с липшицевой границей мы оцениваем действие свободного оператора в некотором анизотропном пространстве Соболева, а затем применяем теоремы вложения. В случае цилиндра с гладкой границей мы используем оценки спектральных проекторов оператора Лапласа, полученные в [6]. Для оператора с сингулярным потенциалом во всем пространстве, в слое и в прямоугольном цилиндре мы применяем аналогичную схему, но основанную на оценках следов спектральных проекторов на гиперповерхностях, впервые полученных в [1]. Наконец, в случае кругового цилиндра используется явное выражение для собственных функций свободного оператора в терминах специальных функций, и оценки символа оператора опираются на известные результаты о расположении нулей функций Бесселя.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в дальнейшем для исследования спектра периодического оператора Максвелла, а также в физике твердого тела и в теории фотонных кристаллов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре кафедры Высшей математики и Математической Физики СПбГУ (руководитель В. С. Буслаев), на Санкт-Петербургском семинаре им. В. И. Смирнова по математической физике (руководитель Н. Н. Уральцева), на семинаре по анализу Королевского колледжа Лондона (King’s College, London), а также на конференциях: Дни дифракции (ПОМИ РАН, 2009 и 2010), Международная конференция по спектральной теории (ММИ им. Эйлера, 2009).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [KF1, KF2, K] в российских журналах из Перечня ведущих рецензируемых журналов и изданий ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на разделы, и списка литературы. Объем диссертации – 127 страниц. Список литературы содержит 59 наименований.

Краткое содержание работы Введение содержит общую постановку задачи, обзор ранее известных результатов об абсолютной непрерывности спектра, описание схемы Томаса, перечисление основных результатов диссертации и идей их доказательств, описание приложения результатов (оператор Максвелла) и формулировки нескольких открытых вопросов.

Глава 1. Схема Томаса доказательства абсолютной непрерывности спектра. Данная глава является вводной, в ней излагаются известные результаты. В разделе 1.1 формулируются необходимые сведения из теории секториальных форм и m-секториальных операторов. Даются определения голоморфного семейства типа (B) m-секториальных операторов с дискретным спектром и самосопряженного голоморфного семейства. Доказывается аналитическая альтернатива Фредгольма для таких семейств. Вводятся прямые интегралы -измеримых семейств самосопряженных или m-секториальных операторов A(x). Доказываются теоремы 1.1.23 и 1.1.25 о структуре спектра таких семейств: если никакое C не является собственным значением операторов A(x) на множестве положительной меры, то у оператора A отсутствуют собственные значения. Если семейство A(x) дополнительно является самосопряженным аналитическим семейством, а M – отрезок вещественной оси с мерой Лебега, то спектр оператора A является чисто абсолютно непрерывным.

В разделе 1.2 вводится оператор Шрёдингера R – ограниченная область или гладкое компактное k-мерное многообразие с краем. При k = 0 подразумевается, что = Rd. Предполагается, что система гиперповерхностей периодична относительно решетки где b1,..., bm – некоторый базис в Rm, а V и – -периодические функции.

Оператор (1) вводится с помощью квадратичной формы h[u, u] = Областью определения формы h является пространство Соболева H 1 (; CN ) или (в зависимости от краевых условий на ) некоторое замкнутое подпространство, плотное в L2 (; CN ). В терминах шкалы Lp, для самосопряженности/секториальности оператора H естественно предполагать где через MN (C) обозначено пространство комплексных N N -матриц. Доказывается, что при этих условиях квадратичная форма h замкнута, секториальна и, следовательно, корректно определяет соответствующий оператор.

Вводится преобразование Флоке–Блоха–Гельфанда где – элементарная ячейка решетки, двойственной к. Доказывается, что оно продолжается до изометрического изоморфизма и частично диагонализует оператор H:

где – оператор в L2 (U ; CN ). Наконец, пусть – ограниченное множество в Rm, являющееся проекцией на гиперплоскость, ортогональную b1. Любой вектор допускает однозначное представление в виде = 1 b1 +, где 1 R,. Параметр фиксируется и изучается зависимость свободного оператора от одномерного параметра 1.

Условие A(q1 ). Для любых, C существует 0 > 0, такое что при > равномерно по u L2 (U ; CN ).

Условие B(q2 ). Для любых, C существует 0 > 0, такое что при > равномерно по u L2 (U ), а также равномерно по u L2 (U ), где C3 ( ) 0 при +.

Оказывается, что условия A(q1 ) и B(q2 ) удобно использовать в виде критериев отсутствия собственных значений. Следующая теорема является центральным результатом главы. Дальнейшие результаты диссертации сводятся к проверке условий теоремы 1.2.4 для различных случаев оператора (1).

Теорема 1.2.4. Пусть оператор H задан секториальной формой (2) с V и, удовлетворящими Предположим, что семейство операторов H0 () удовлетворяет условиям A(q1 ) и B(q2 ) с Тогда у оператора H нет собственных значений. Если V (x, y) = V (x, y), (x, y) = (x, y), то спектр оператора H абсолютно непрерывен.

Глава 2. Оценки сужений спектральных проекторов операторов Лапласа. В данной главе мы доказываем следующий вспомогательный результат для случая d-мерного тора M = Td.

Теорема 2.1.1. Пусть M – гладкое компактное d-мерное риманово многообразие без края, d 3. Пусть M – компактная C d -гладкая гиперповерхность (то есть подмногообразие размерности d 1). Пусть E = E [( 1)2 ; 2 ) – спектральный проектор оператора Лапласа–Бельтрами на M. Тогда supp R {x Rd : |x| 2}, выполняется неравенство пространство, а при k = 1 – плоско-параллельный слой. Основным результатом является – -периодическая система C d -гиперповерхностей. Пусть Lp,loc (), p > d 1, и V Ld/2,loc () – -периодические функции. Тогда у соответствующего оператора H в L2 () нет собственных значений. Если H = H, то его спектр абсолютно непрерывен.

При = 0 соответствующий результат для электрического потенциала V с оптимальным показателем d/2 известен. Доказательство соответствующего условия A(q) дано в [2]. Для полноты изложения мы приводим его в разделе 3.3 (для цилиндра с периодическими краевыми условиями).

В случае ненулевого сингулярного потенциала теорема является новой.

Подчеркнем, что на гиперповерхность не накладывается никаких геометрических условий. В старших размерностях таких результатов известно не было. Соответствующее условие B(q) доказывается в разделе 3.2 (для цилиндра с периодическими краевыми условиями). Доказательство основано на применении теоремы 2.1.1. Отметим также, что при d 3 оптимальным показателем для в шкале Lp является p = d 1. Таким образом, условие p > d1 близко к оптимальному. В разделе 3.4 мы выводим теорему 3.1.1 из результатов, полученных для цилиндров с периодическими краевыми условиями.

Опишем основную идею доказательства условия B(q). Для простоты обозначений пусть k = 0, то есть оператор H является оператором во всем пространстве. Оператор H0 ( ) в базисе является оператором умножения на символ Теорема 3.1.1 выводится из этой оценки, выражения для символа и следующей элементарной леммы:

Лемма 3.2.1. Пусть 0 < < 1/2, b при > 1.

Глава 4. Случай электрического потенциала в цилиндрах с сечением общего вида. В данной главе установлено отсутствие собственных значений у периодического оператора Шрёдингера (в самосопряженном случае – абсолютная непрерывность спектра) с обычным электрическим потенциалом в случае, когда цилиндр = U Rm не является прямоугольным.

Методы главы 3, базирующиеся на явном виде собственных функций оператора Лапласа в ячейке, здесь неприменимы.

Напомним, что оператор H задается квадратичной формой в цилиндре L2 (; CN ), где = U Rm ; U – ограниченная область в Rk с липшицевой границей. Потенциал V периодичен относительно решетки Rm с элементарной ячейкой. Квадратичная форма (3) определена на области L2 (U ; H 1 (Rm ; CN )) L2 (Rm ; Dom a). Предполагается, что форма a отвечает некоторому неотрицательному эллиптическому дифференциальному оператору A второго порядка в U.

Теорема 4.1.1. Пусть U Rk – ограниченная область с липшицевой границей, = U Rm, m 1, d = k +m 3. Пусть a – замкнутая неотрицательная квадратичная форма в L2 (U ; CN ), такая что Dom a – замкнутое подпространство H 1 (U ; CN ), Dom a C 1 (U ; CN ) плотно в Dom a. Пусть V Ld1 (U ; MN (C)). Тогда в спектре оператора H, отвечающего квадратичной форме (3), отсутствуют собственные значения. Если V самосопряжен, то спектр H абсолютно непрерывен.

В частности, при N = 1 и получаем, что спектр обычного оператора Шрёдингера H = + V с условиями Дирихле или Неймана абсолютно непрерывен. В теореме 4.1. допускается достаточно негладкая (липшицева) граница. В случае гладкой границы и скалярного оператора H условия суммируемости на потенциал V можно немного ослабить.

Теорема 4.1.2. Пусть U Rk – ограниченная область с C -гладкой границей, = U Rm, m 1, d = k + m 3. Пусть N = 1, V – скалярная вещественная функция, V Lp (U ), где p > d/2 при d = 3, 4, p > d 5. Тогда спектр оператора H = + V с краевыми условиями при d Дирихле или Неймана абсолютно непрерывен.

В случае сечения общего вида вопрос об абсолютной непрерывности спектра оператора с сингулярным потенциалом и/или с третьим краевым условием остается открытым.

Согласно результатам главы 1, обе теоремы сводятся к проверке условий A(q) для соответствующих свободных операторов.

Теорема 4.1.3. В условиях теоремы 4.1.1 оператор H0 (), построенный в главе 1, удовлетворяет условию A( 2d2 ).

Теорема 4.1.3 доказывается в разделе 4.2. Доказательство основано на теоремах вложения для анизотропных пространств Соболева. Теорема 4.1. используется в главе 5.

мерное риманово многообразие с краем или без края. Пусть a – квадратичная форма неотрицательного эллиптического дифференциального оператора второго порядка с гладкими коэффициентами и краевыми условиями Дирихле или Неймана. Тогда оператор H0 (), построенный в главе 1, удовлетворяет условию A(q) при q < d2, в случае, если U – многообразие без края (при любом d), и в случае, если U – многообразие с краем при d = 3 или d = 4. Если d 5 и U – многообразие с краем, то условие A(q) выполняется с q < 2d4.

Теорема 4.1.4 доказывается в разделе 4.3. Доказательство опирается на результаты [6], известные, по-видимому, только для скалярных операторов.

Опишем основные моменты доказательства теоремы 4.1.3. Пусть l (x) – собственные функции оператора A, заданного квадратичной формой a[·, ·] на области определения Dom a, Al = l l. Тогда в базисе оператор H0 ((+i )b1 + ), который мы будем сокращенно обозначать через H0 ( ), является оператором умножения на символ Пусть Основная часть доказательства теоремы 4.1.3 содержится в следующей лемме:

Лемма 4.2.2. Пусть u Dom |H0 ( )|1/2, причем (подчеркнем, что суммирование только по J2 ). Тогда Аналогичные оценки для множеств J1 и J3 доказываются элементарно. Лемма 4.2.2 следует из двух оценок:

где = [0; 1], и неравенства Теорема 4.1.4 доказывается аналогично теореме 3.1.1. Вместо результатов главы 2 в случае многообразия без края используется следующий результат, полученный в [7]:

Теорема 4.3.1. Пусть M – C -гладкое компактное риманово многообразие размерности d без края, A – эллиптический дифференциальный оператор второго порядка на M с гладкими коэффициентами. Пусть Eµ = EA [(µ 1)2 ; µ2 ). Тогда В случае, когда U – область в Rk или многообразие с краем, используется аналогичный (более слабый) результат для многообразия с краем, полученный в [6].

Глава 5. Оператор Шрёдингера в круговом цилиндре. В этой главе подробно изучается случай цилиндра, сечение которого U = {x Rk : |x| 1} – k-мерный шар. С физической точки зрения наиболее интересен случай k = 2, m = 1, поэтому многие утверждения снабжаются явными формулами при k = 2. Собственные функции оператора Лапласа в шаре известны – они явно выражаются через функции Бесселя. Благодаря этому, удается доказать отсутствие собственных значений для оператора Шрёдингера с третьим краевым условием. Однако, поведение собственных функций оператора Лапласа в шаре сложнее, чем поведение собственных функций в прямоугольном параллелепипеде. Поэтому получить оптимальные результаты не удается, и доказательства получаемых результатов технически более тяжелые. В частности, требуются тонкие оценки расположения нулей функций Бесселя.

Сформулируем основной результат в случае d = 3. Пусть U R2 – единичный диск. Рассмотрим оператор в трехмерном цилиндре = U R, действующий на вектор-функции u = (ua, ur ) L2 (U R; C6 ) и отвечающий квадратичной форме на пространстве где ua,n – нормальная компонента, а ur, – тангенциальная компонента трехмерных векторных полей ua, ur.

Теорема 5.4.1. Пусть V (x, y + a) = V (x, y), (x, y + a) = (x, y) для некоторого a R, и Тогда у периодичекого оператора Шрёдингера, отвечающего форме h2+1, нет собственных значений. Если V и самосопряжены, то его спектр абсолютно непрерывен.

Из теоремы 5.4.1 вытекает абсолютная непрерывность спектра периодического оператора Максвелла в таком цилиндре. Размерность N = 6 соответствует тому факту, что электромагнитное поле шестимерно: три компоненты электрического поля и три – магнитного. Для работы с краевыми условиями (4) оказался удобен аппарат дифференциальных форм.

Теорема 5.4.1 является следствием более общего результата об операторе Лапласа, действующем на дифференциальные формы. Через p (U ) обозначим пространство всех дифференциальных p-форм на U, а через L2 (p (U )) и H 1 (p (U )) – пространства форм с коэффициентами из L2 (U ) и H 1 (U ) соответственно. Заметим, что выбором стандартного базиса данные пространства можно отождествить с L2 (U ; Ck(p) ) и H 1 (U ; Ck(p) ), где k(p) = k.

Пусть : p (U ) p1 (U ) – операция сужения формы на границу.

Пусть также N – векторное поле на U, являющееся в окрестности U единичным векторным полем, нормальным к границе, iN : p (U ) p1 (U ) – операция подстановки. В пространстве Соболева H 1 (p (U )) выделим два подпространства Соответствующие краевые условия будем называть абсолютным ( iN = 0) и относительным ( = 0).

Предложение 5.2.1. Квадратичная форма в L2 (p (U )), заданная на области определения Ha (p (U )) или Hr (p (U )), замкнута и неотрицательна.

Для случая произвольного гладкого многообразия с C 2 -гладкой границей оно доказано в [11].

Определение 5.2.2. Оператор, отвечающий форме (5) с областью определения Ha (p (U )), называется оператором Лапласа на p-формах с абсолютным краевым условием и обозначается a. Оператор, отвечающий форме (5) с областью определения Hr (p (U )), называется оператором Лапласа на p-формах с относительным краевым условием и обозначается Оба оператора являются самосопряженными расширениями оператора изначально заданного на C0 (p (U )).

Мы рассматриваем матричный периодический оператор Шрёдингера, заданный квадратичной формой в цилиндре L2 (; Ck(p) ), где = U Rm. Квадратичная форма (6) определена на области Теорема 5.3.1. Пусть Тогда в спектре оператора Шрёдингера, заданного формой (6), где форма a[·, ·] задана (5), Dom a = Ha (p (U )) или Dom a = Hr (p (U )), отсутствуют собственные значения. Если дополнительно V и самосопряжены, то его спектр абсолютно непрерывен.

теоремы 1.2.4 достаточно доказать следующее утверждение.

Теорема 5.3.2. Пусть периодический оператор Шрёдингера задан формой (6), где форма a[·, ·] задана (5), Dom a = Ha (p (U )) или Dom a = Hr (p (U )). Тогда соответствующий оператор H0 (), построенный в главе 1, удовлетворяет условию B( 8d16 ).

Замечание 5.3.3. В скалярном случае (p = 0) условие на V можно ослабить до V Lq (U ), q > max{d/2, d 2}, d 3.

В разделе 5.1 мы приводим нужные сведения из теории дифференциальных форм и явные выражения для некоторых операций над ними в случае шара. В разделе 5.2 описываем оператор Лапласа, действующий на p-формы. В разделе 5.3 формулируем основной результат. В разделе 5. описываем прикладной трехмерный случай. В разделе 5.5 исследуем нули функций Бесселя. В разделе 5.6 мы приводим выражение для собственных p-форм оператора Лапласа в k-мерном шаре, заимствованное из [3]. В разделе 5.7 мы оцениваем их следы на границе. В разделе 5.8 доказывается несколько технических лемм о символе оператора. Наконец, в последнем разделе 5.9 доказывается теорема 5.3.1.

Список литературы [1] Burq N., Grard P., Tzvetkov N. Restrictions of the Laplace–Beltrami eigenfunctions to submanifolds // Duke Math. J. 2007. Vol. 138. No. 3.

P. 445–486.

[2] Danilov L. I. On absolute continuity of the spectrum of a periodic magnetic Schrdinger operator // J. Phys. A: Math. Theor. 2009. Vol. 42. No. 27.

Article ID: 275204.

[3] Kirsten K. Spectral Functions in Mathematics and Physics // Chapman & Hall/CRC. 2002.

[4] Kuchment P., The mathematics of photonic crystals // SIAM J. Math. Mod.

Opt. Sci. 2001. P. 207–272.

[5] Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4.

Анализ операторов // 1982. М., Мир.

[6] Smith H. F., Sogge C. D. On the Lp norm of spectral clusters for compact manifolds with boundary // Acta Math. 2007. Vol. 198. No. 1. P. 107–153.

[7] Sogge C. D. Concerning the Lp norm of spectral clusters for second-order elliptic operators on compact manifolds // J. Funct. Anal. 1988. Vol. 77.

No. 1. P. 123–138.

[8] Thomas L. Time dependent approach to scattering from impurities in a crystal // Comm. Math. Phys. 1972. Vol. 33. P. 335–343.

[9] Figotin A., Kuchment P. Spectral properties of classical waves in highcontrast periodic media // SIAM J. Appl. Math. 1998. Vol. 58. No. 2. P.

683–702.

[10] Филонов Н. Д. Эллиптическое уравнение второго порядка в дивергентной форме, имеющее решение с компактным носителем // Пробл. мат.

анал. 2001. СПб. Вып. 22. С. 246–257.

[11] Friedrichs K. Dierential forms on Riemannian manifolds // Comm. Pure Appl. Math. 1955. Vol. VIII. P. 551–590.

Публикации автора по теме диссертации [KF1] Качковский И. В., Филонов Н. Д. Абсолютная непрерывность спектра периодического оператора Шрёдингера в многомерном цилиндре // Алгебра и анализ. 2009. Том 21. №2. С. 133–152.

[KF2] Качковский И. В., Филонов Н. Д. Абсолютная непрерывность спектра периодического оператора Шрёдингера в слое и в гладком цилиндре // Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 41. Записки научных семинаров ПОМИ им.

В. А. Стеклова Российской академии наук. 2010. Том 385. С. 69–82.

[K] Качковский И. В. Теорема Стейна–Томаса для тора и периодический оператор Шрёдингера с сингулярным потенциалом // Алгебра и ана- лиз. 2012. Том 24. №6. С. 124–138.