На правах рукописи

Валиев Харис Фаритович

РЕШЕНИЕ АВТОМОДЕЛЬНЫХ И НЕАВТОМОДЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ

О СИЛЬНОМ СЖАТИИ

СФЕРИЧЕСКИХ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБЪЕМОВ ГАЗА

01.02.05 – Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2011

Работа выполнена в Центральном институте авиационного моторостроения имени П.И. Баранова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Крайко Александр Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Брушлинский Константин Владимирович кандидат физико-математических наук, доцент Чернов Игорь Алексеевич

Ведущая организация: Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН

Защита состоится 23 ноября 2011 года в час мин на заседании диссертационного совета Д 212.156.08 при Московском физико-техническом институте по адресу: 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., д. 9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского физикотехнического института.

Автореферат разослан октября 2011 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.156. к. ф.-м. н. В.П. Коновалов Введение. Интерес к задачам о цилиндрически и сферически симметричном нестационарном сжатии стимулирует ряд приложений, включая проекты реализации инерциального управляемого термоядерного синтеза [1–6].

В связи с ограниченными возможностями традиционной энергетики и постепенным исчерпанием разведанных запасов топлива, на повестку дня выходит управляемый термоядерный синтез (УТС). Согласно современным представлениям, звезды светят благодаря стационарной термоядерной реакции. А неконтролируемый термоядерный процесс в земных условиях удалось реализовать с помощью водородной бомбы.

В лабораторных условиях УТС реализуется, но, к сожалению, пока цена ядерной энергии слишком высока. Иными словами, затраты энергии превышают энергетический выигрыш.

Проблема термоядерного синтеза состоит в решении двух задач: нагрева вещества до необходимых температур и его удержания на достаточное для "сжигания" заметной части термоядерного топлива время определяемое критерием Лоусона [7]:

n const где – время удержания высокотемпературной плазмы в системе, n – концентрация ее частиц, константа зависит от реакции. В таком виде критерий удобен для перспективных реакторов непрерывного действия.

УТС с инерционным удержанием, или инерциальный УТС, основан на возможности получения положительного энергетического эффекта в реакторах импульсного типа. В инерциальном УТС небольшая масса, миллиграммы, термоядерного топлива (дейтериево-тритиевой смеси) сжимаются оболочкой, ускоряемой за счет реактивных сил, возникающих при испарении оболочки с помощью мощного облучения. Облучение термоядерной мишени осуществляется лучами лазера, пучками ионов или электронов [1–4, 8, 9]. Энергия выделяется в виде микровзрыва, когда в процессе сжатия в плазме мишени достигаются необходимые условия для термоядерного горения. Время жизни такой плазмы определяется инерционным разлетом смеси и поэтому критерий Лоусона для инерционного удержания принято записывать в терминах произведения r, где – плотность реагирующей смеси и r – радиус сжатой мишени. Для того, чтобы за время разлета смесь успела выгореть, нужно, чтобы r I*, I* ~ 0.1 – 3 г/см2 [7]. Для субмиллиметровых мишеней это отвечает плотностям в сотни г/см3, т.е. плотность термоядерного вещества должна увеличиться в тысячи и более раз.

Попытки реализовать термоядерное горение с помощью взрывчатых веществ, или газодинамический термоядерный синтез, на данный момент не увенчались успехом [10]. К настоящему времени энергоэффективную реакцию удалось получить в водородной бомбе. Она состоит из взрывателя – атомной бомбы и термоядерного топлива, дейтерида лития-6 LiD, которое советские оружейники назвали «Лидочкой» [11].

Взрыв термоядерной бомбы доказал возможность синтеза с инерционным удержанием.

Недавно в Ливерморе (США) заработала мощная лазерная установка National Ignition Facility с энергией импульса до 1.8 МДж [12]. Лазерные лучи со всех сторон направляют на мишень, содержащую термоядерное топливо. Под действием светового давления и реактивной силы от испаряющегося с поверхности вещества происходит одновременно сильное сжатие и нагрев мишени. Использование лазеров с энергией порядка 1 МДж в установках Laser Mgajoule, Бордо, Франция и National Ignition Facility, Ливермор, США, должно обеспечить условие термоядерного зажигания и энергоэффективные режимы УТС [7].

Взрыв полноценной водородной бомбы – неуправляемый термоядерный синтез, при котором выделяется слишком много энергии, что делает его непригодным для энергетических целей.

Предложен метод получения ядерной энергии путем взрывов атомных зарядов, инициирующих DD-реакцию. Согласно ему предлагается производить в камере котла вспышечного сгорания термоядерные взрывы большой мощности (а не микровзрывы, как в инерциальном термояде) с целью получения энергии. [13]. Проблема реализации реактора типа котла вспышечного сгорания состоит в большой мощности взрыва, а значит и большой опасности такого реактора, а также том, что все атомные взрывы, даже подземные, сейчас запрещены.

Сильное сжатие предполагает неограниченный рост давления, а при очень больших давлениях вещества ведут себя подобно газам. Например, горные породы при прохождении через них сильной ударной волны ведут себя как идеальный газ с показателем адиабаты = 3, так называемый газ Ландау-Станюковича. Для замагниченной плазмы используется уравнение состояния идеального газа с показателем адиабаты 2.

Вследствие пространственного усиления из-за уменьшения сечений трубок тока некоторые параметры по мере приближения к центру симметрии неограниченно возрастают, это приводит к тому, что начальные значения этих параметров перестают влиять на течение, т.е. «забываются», а само течение выходит на автомодельный режим. Так происходит в задачах о схождении ударной волны к центру или оси симметрии и схлопывании пустой полости, в которых из всех параметров вначале неавтомодельного течения не «забываются» только начальная плотность перед волной и начальная энтропия соответственно.

Негазообразные вещества при меньших давлениях можно приближенно заменить идеальным газом с большим эффективным показателем адиабаты, вплоть до = [17].

В диссертации рассмотрены 4 задачи о сжатии цилиндрических и сферических объемов газа:

1. Автомодельная задача о сходящейся к центру симметрии сильной ударной волне для показателей адиабаты от 1.001 до 3 (задача Гудерлея).

2. Неавтомодельная задача о быстром сильном сжатии, предполагающем одновременное получение сколь угодно больших температур и плотностей для показателей адиабаты от 1.001 до 3. К особой характеристике задачи Гудерлея примыкает пучок волн сжатия, сфокусированный на конечном расстоянии от центра симметрии.

Рост температуры обеспечивается интенсивностью сходящейся ударной волны, а рост плотности происходит за ней в центрированной волне сжатия.

3. Автомодельная задача о сходящейся к центру симметрии сильной ударной волне с изменением показателя адиабаты на фронте отраженной ударной волны.

4. Автомодельная задача о схлопывающейся к центру симметрии пустой сферической полости с изменением показателя адиабаты на фронте ударной волны.

Автомодельная задача о схлопывающейся полости, впервые рассмотренная в [14] в сферически симметричном случае, позже рассматривалась как отдельно [15, 16], так и совместно [17, 18] с одной из основных газодинамических задач атомного проекта – задачей о схождении ударной волны к центру симметрии и отражении от него, впервые рассмотренной Г. Гудерлеем [19].

В литературе отсутствовало полное решение задачи Гудерлея для показателей адиабаты от 1 до 3.

Задача о быстром сильном сжатии была сформулирована А.Н. Крайко, и решена для нескольких показателей адиабаты, 6/5, 7/5 и 5/3 [20]. Позже оказалось, что построенное решение годится для показателей адиабаты, не превышающих 1.9.

Третья и четвертая задачи ранее в литературе не рассматривались.

Актуальность. Вопросы, рассмотренные в диссертации – возможность достижения больших плотностей с помощью одной ударной волны, а также с помощью следующей за сходящейся ударной волной непрерывной волны изэнтропического сжатия; построение траектории поршня, осуществляющего близкое к оптимальному сжатие с одновременным получением сколь угодно больших плотностей и температур; влияние изменения показателя адиабаты на отраженной ударной волне на картину течения – являются важными для проблемы инерциального УТС. Все вышеуказанные вопросы рассмотрены для широкого диапазона показателей адиабаты. Эти вопросы являлись предметом внимания многих исследователей в последние годы.

Можно считать, что и в будущем они также окажутся важными в проблеме реализации инерциального УТС.

Результаты диссертации применимы в численном моделировании сильного сферически или цилиндрически симметричного сжатия газа, а также схлопывания пустой сферической полости в газе, как для сравнения полученных решений с автомодельной асимптотикой, так и для разрешения особенности около центра или оси симметрии (далее – центра симметрии), возникающей в момент прихода ударной волны или границы полости в него.

Цель и предмет исследований. В диссертации исследуются процессы автомодельного схождения ударной волны к центру симметрии в сферически и цилиндрически симметричном случаях как в постановке с постоянным показателем адиабаты во всем поле течения, так и в постановке, допускающей изменение показателя адиабаты на отраженной ударной волне; схлопывания пустой сферической полости в постановке, допускающей изменение показателя адиабаты на ударной волне, идущей от центра симметрии; построение дополнительной к сходящейся ударной волне неавтомодельной изэнтропической волны сжатия, сфокусированной вблизи центра симметрии.

Тема диссертации была предложена А.Н. Крайко. Под его руководством были выполнены все этапы работы. Первоначально планировалось рассмотреть сжатие газа сходящимися ударными волнами и дополнительного сжатия в центрированной волне сжатия, сфокусированной вблизи центра симметрии. Позже было принято решение рассмотреть также задачу о схлопывании пустой сферической полости в газе в постановке, допускающей изменение показателя адиабаты на ударной волне, идущей от центра симметрии, как близкую к задаче о схождении ударной волны к центру симметрии по физическим и математическим особенностям.

1. В работах [21, 24] построено полное решение автомодельной задачи о схождении ударной волны к центру симметрии для показателей адиабаты от 1.2 до 3. Цель построения полного решения состоит в том, чтобы проверить возможность достижения условий, необходимых для реализации инерциального УТС, с помощью сжатия сходящейся ударной волной большой интенсивности, а также в использовании полученного решения для построения траектории поршня, обеспечивающего одновременное достижение сколь угодно больших температур и плотностей.

2. В работах [22, 25, 26, 28, 30-34, 38-40] рассмотрено цилиндрически и сферически симметричное быстрое сильное сжатие идеального совершенного газа с показателями адиабаты от 1.001 до 3. При быстром сильном сжатии одновременно достигаются сколь угодно большие плотности и температуры за время, много меньшее времени пробега звуковой волны через несжатый объем газа. Цель такого рассмотрения состоит в том, чтобы показать возможность достижения чисто газодинамическими средствами условий, необходимых для реализации инерциального УТС.

3. В работах [23, 27, 29, 35-37] рассмотрены автомодельные задачи о схождении ударной волны к центру симметрии в сферически и цилиндрически симметричных случаях и о схлопывании пустой сферической полости с изменением показателя адиабаты на ударной волне, идущей от центра симметрии. Цель такого рассмотрения состоит в том, чтобы выяснить поведение вышеуказанных нестационарных течений совершенного газа при изменении показателя адиабаты на ударной волне, идущей от центра симметрии. Уменьшение показателя адиабаты приближенно моделирует различные физико-химические процессы (например, ионизацию и диссоциацию), а в задаче о схлопывании полости – фазовый переход (превращение жидкости в пар).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации 137 страниц, 41 рисунок.

Список литературы включает 128 наименований.

Основные результаты работы, выносимые на защиту.

1. Комплекс программ и решение с его помощью задачи о сферической или цилиндрической сильной ударной волне, сходящейся к центру или оси симметрии соответственно (задачи Гудерлея) для показателей адиабаты от 1.001 до 3.

2. Комплекс программ определения траектории поршня, реализующего быстрое (за время, много меньшее времени пробега звуковой волны через несжатый объем газа) сжатие со сколь угодно большим ростом температуры (в основном в идущей к центру симметрии ударной волне) и с ростом плотности в тысячу раз в центрированной неавтомодельной волне непрерывного сжатия. Программа расчёта неавтомодельной центрированной волны сжатия методом характеристик составлена с использованием средства аналитических вычислений «Математика».

3. Постановка новых автомодельных задач об отражении от центра симметрии сильной ударной волны и границы схлопывающейся пустой сферической полости с изменением показателя адиабаты на «отражённой» ударной волне.

4. Обнаружение неизвестных ранее качественных особенностей в задачах с допущением изменения показателя адиабаты на отражённой ударной волне: запрет увеличения показателя адиабаты, ударные волны конечной интенсивности, движущиеся по газу перед ними со скоростью звука и другие.

Новизна результатов диссертации. Следующие результаты получены впервые:

1. Построено течение, реализующее быстрое сильное сжатие с ростом плотности в тысячу раз в волне непрерывного сжатия, примыкающей к особой характеристике сходящейся сильной ударной волны, для показателей адиабаты от 1.001 до 3.

2. Решены задачи о сходящейся к центру симметрии ударной волне большой интенсивности и схлопывающейся пустой полости в постановке, допускающей изменение показателя адиабаты на ударной волне, идущей от центра симметрии. Обнаружена возможность существования особых режимов течения газа, при которых ударная волна конечной интенсивности идет со скоростью звука в газе перед ней.

Практическая ценность результатов диссертации. В связи со строительством экспериментальных установок для исследования инерциального УТС, таких как National Ignition Facility в Ливерморе, США и Laser Mgajoule в Бордо, Франция, результаты работы могут служить теоретическим обеспечением проводимых на подобных установках работ Достоверность результатов диссертации подтверждается согласием с результатами других работ по рассматриваемой тематике.

Достоверность решения неавтомодельной задачи быстрого сильного сжатия также подтверждается выходом полученного численного решения на найденные асимптотики при больших интенсивностях волны сжатия.

Личный вклад. В диссертации непосредственно использованы результаты работ [21–40], выполненных автором лично или в соавторстве с А.Н. Крайко и другими.

Все программы, использовавшиеся для расчетов, приведенных в диссертации, написаны автором лично.

Случаи использования в диссертации результатов других авторов отмечены необходимыми ссылками.

Апробация работы. Результаты работ по диссертации докладывались и обсуждались на 50-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (МФТИ, 2007), 51-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (МФТИ, 2008), 52-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (МФТИ, 2009), XXXIII Дальневосточной математической школе-семинаре им. академика Е.В. Золотова (Владивосток, 2008), конференции «Высокопроизводительные вычисления в задачах механики и физики», посвященной памяти А.В. Забродина, международной конференции «IX Харитоновские научные чтения» (Саров, Россия, 2007), IX международной конференции «Забабахинские научные чтения»

(Снежинск, Россия, 2007), X международной конференции «Забабахинские научные чтения» (Снежинск, Россия, 2010), XXIV международной конференции «Interaction of Intense Energy Fluxes with Matter» (п. Эльбрус, Кабардино-Балкарская Республика, Россия, 2009), XXV международной конференции «Equations of State for Matter» (п.

Эльбрус, Кабардино-Балкарская Республика, Россия, 2010), X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической механики (Нижний Новгород, 2011).

Содержание диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.

Во введении приведен краткий обзор работ по тематике диссертации, сформулированы цели диссертации, кратко пересказаны содержание и основные результаты, сформулированы положения, выносимые на защиту, изложены новизна результатов, их практическое применение, перечислены аргументы, указывающие на достоверность результатов, описан личный вклад диссертанта в достижение результатов.

В главе 1 построено полное автомодельное решение задачи о сходящейся к центру или оси симметрии (далее – центра симметрии) соответственно сферически или цилиндрически симметричной initial shock) идет по холодному несжатому покоящемуся газу к центру симметрии. Момент прихода ударной волны в времени до прихода ударной волны в центр симметрии отвечают значения t < 0. Расстояние до центра симметрии обоРисунок 1. Траектория известным заранее показателем автомодельности, который определяется условием существования решения задачи.

Пусть = 2 и = 3 в цилиндрическом и сферическом случаях соответственно, T – абсолютная температура, s и h = срТ – удельные энтропия и энтальпия, cp – константа (удельная теплоемкость при постоянном давлении) и v – скорость газа.

В уравнениях Эйлера производится замена = | t |, u = v signt.

Введем искомые функции согласно определениям Здесь K – произвольный множитель.

После подстановки выражений для автомодельных функций (2) уравнения Эйлера (1) примут вид Независимая переменная входит в эти уравнения только в виде дифференциала dln. Поэтому за счет выбора множителя K в определении на траектории сходящейся ударной волны можно положить IS 1.

Отношение производных dZ/dln и dU/dln приводит к уравнению, связывающему U и Z:

Здесь Уравнения для определения и R имеют вид Движению газа к центру отвечают положительные u и U(). Переменная пробегает все значения от некоторого значения IS на приходящей ударной волне до на оси r. Соответственно, граничные условия для функций R, U, Z должны быть поставлены при = IS.

Выражения (2) можно переписать в виде На оси r, где =, значения a и u при r > 0 конечны. Соответствующие условия для Рисунок 2. Интегральные кривые задачи Гудерлея их звуковую линию, в выбранных переменных являющуюся параболой (штрихпунктир на рисунке 2). При переходе через звуковую параболу функция F(Z,U) меняет знак. Для монотонности автомодельной переменной с учетом выражений (4) функция G(Z,U) так же должна поменять знак, иными словами переход через звуковую параболу возможен через особую точку. Уравнение (3) в интервале 0 < U < 1, 0 < Z < 1 имеет 2 особые точки на звуковой параболе, которые могут совпадать. Для выбранного на рисунке 2 случая переход осуществляется через седловую особую точку SP (сокращение от saddle point). При более высоком положении начальной точки IS возможен переход через верхнюю узловую особую точку NP (сокращение от node point).

Показатель автомодельности n определяется условием прохождения интегральной кривой в координатах U, Z через особую точку на звуковой параболе, эта точка при от 1 до * – седло, * 1.90921 при = 2 и * 1.86977 при = 3, а при > * узел. Вышеуказанная особая точка соответствует особой C–-характеристике, приходящей в центр симметрии одновременно со сходящейся ударной волной. На рисунке 1 особая C–-характеристика показана сплошной толстой линией, траектория поршня показана штриховой линией. Стрелки на интегральных кривых на рисунке показывают направление увеличения переменной.

После отражения ударной волны (RS на рисунке 1) при r = 0 и t > 0 давление p ограничено, скорость u = 0, а сохраняющаяся в частице газа энтропийная функция p/ остается такой же, как непосредственно за отраженной ударной волной в момент ее отражения = 0. Поскольку показатель автомодельности n < 1 и p R(RS+ ) Z (RS+ ) при 0, энтропийная функция всюду на оси r бесконечна.

При конечном давлении это возможно лишь при (0, t > 0) = 0. Отсюда получаются граничные условия при = Z (0) =, |U (0) | Интегральная кривая может попасть в конечную точку U(0), Z(0), только испытав разрыв. Этот разрыв соответствует отраженной от центра симметрии ударной волне RS конечной интенсивности.

На рисунке 2 отраженной волне соответствует скачок от состояния перед волной RS– к состоянию за волной RS+. Конечной точке U(0), Z(0) соответствует точка SP на оси, 1/Z = 0 (Z = ) в правой части рисунка 2– особая точка типа седла.

После того, как найдена интегральная кривая в координатах U, Z, остальные параметры газа определяются интегрированием соответствующих уравнений вдоль этой кривой. Таким способом найдены распределения за отраженной волной RS скорости газа, плотности, давления, отношения кинетической энергии газа к его внутренней энергии, а также величины, обратной скорости звука. Построено поле плотности в координатах rt в сферически симметричном случае для показателей адиабаты = 4/3, 5/3 и 2. Найдены значения плотности на особой C–-характеристике, на оси r, перед отраженной ударной волной RS и за ней, а также другие параметры течения, представленные в виде двух таблиц.

В главе 2 рассмотрена задача о быстром сильном, т.е. сжатии, при котором одновременно достигаются сколь угодно большие температуры и плотности, цилиндрически или сферически симметричном сжатии идеального (невязкого и нетеплопроводного) совершенного газа показателями адиабаты от 1.001 до 3. Быстрое сильное сжатие достигается объединением сходящейся к центру симметрии сильной ударной волны (IS на рисунке 3) с примыкающей к ее особой С0–-характеристике непрерывной волны изэнтропического сжатия, которая Рисунок 3. Схема волн и Построенное в главе 1 автомодельное решение траектория «поршня» было использовано при построении неавтомодельного пучка волн сжатия. Для всех рассмотренных в главе 1 показателей адиабаты с использованием массовой лагранжевой переменной m методом характеристик построены решения с фокусировкой волны сжатия на цилиндре или сфере исчезающе малого радиуса rf, в момент прихода на них особой С0–характеристики (нижняя часть рисунка 3) или отраженной ударной волны RS задачи Гудерлея (верхняя часть рисунка 3). Решены возникающие при такой фокусировке задачи о распаде разрыва в точке f. При фокусировке на отраженной волне RS разрыв параметров в фокусе распадается либо на две ударные волны с контактным разрывом между ними, либо на ударную волну и центрированную волну разрежения, идущую вправо от контактного разрыва. Величина m в точке фокусировки mf < 10–16, за траекторию поршня принята линия с m = 1.

На рисунке 3 точка f соответствует радиусу цилиндра или сферы, на которых производилась фокусировка. Двойным штрихпунктиром в верхней части рисунка схематически показана траектория частиц, условно принимаемая за траекторию «поршня». Ударные волны, а также участок особой С0–-характеристики до точки фокусировки схематично показаны сплошными толстыми линиями, крупными штрихами показаны траектории контактных разрывов, мелкими – пучки волн разрежения, тонкими линиями показаны центрированные волны сжатия. Мнимый участок особой Рисунок 4. Плотность газа на «поршне» для разных показателей адиабаты в цилиндрическом (слева) и Рисунок 5. Траектория «поршня» для разных показателей сивность (большим значениям соответствует больший рост параметров в пучке), производные стремятся к постоянным показателям степени, т.е. добавочные функции f1,2(,,) 0.

Рисунок 6. Значения * на последней характеристике В главе 3, в отличие от классических постановок, в автомодельных задачах о схлопывании пустой сферической полости и в задаче Гудерлея об отражении ударной волны от центра симметрии допускается изменение в распространяющейся от центра симметрии («отраженной») ударной волне отношения удельных теплоемкостей (показателя адиабаты) совершенного газа. Показатель адиабаты перед (за) «отраженной»

волной обозначим через – (+) Начало отсчета времени и расстояния выбираются аналогично главам 1 и 2. В обеих задачах при малых временах t > 0, в решениях с увеличивающимся показателем адиабаты (+ > –) энтропия на отраженной ударной волне уменьшается (в момент отражения энтропийная функция р/ – до нуля, р – давление, – плотность). По этой причине в данных задачах допустимо только уменьшение показателя адиабаты. Как уже отмечалось, в задаче Гудерлея уменьшение значения приближенно моделирует различные физико-химические процессы (например, ионизацию и диссоциацию), а в задаче о схлопывании полости – фазовый переход (превращение жидкости в пар).

границы полости в зависимости от задачи, показана сплошной линией 1, особая характеристика – штриховой линией 2, траектория «отраженной» ударной волны RS – сплошной линией 3.

При превышении указанного порога автомодельное решение возможно, если с момента отражения из центра симметрии по специальному закону будет расширяться цилиндрический или сферический поршень (рисунок 7, б). К изображенным на рисунке 7, а траекториям добавляется траектория поршня – сплошная линия 4.

В задаче о схлопывающейся полости при отсутствии характерной плотности (в полости = 0) известна начальная величина «энтропийной функции» = p /, сохраняющаяся до ударной волны. С учетом этого вводятся автомодельные функции и получаются начальные условия для них:

Здесь – автомодельная переменная, на границе полости равная h. При подстановке автомодельных функций в уравнения Эйлера (1) получаются дифференциальные уравнения перед «отраженной» ударной волной, идущей от центра симметрии:

и за ней:

Автомодельные уравнения для задачи о сходящейся ударной волне по форме совпадают с дифференциальными уравнениями в задаче Гудерлея, за исключением того, что перед отраженной ударной волной заменяется на –, а за ней – на +.

Аналогично классической постановке, показатель автомодельности в обеих задачах определяется условием перехода интегральной кривой из начальной точки в начало координат через особую точку на звуковой линии, а потому не зависит от показателя адиабаты за отраженной ударной волной, т.е. совпадает с показателем автомодельности в классической постановке.

Начальные условия в задаче об отражении ударной волны от центра симметрии такие же, как и в классической постановке.

Граничные условия на оси r в обеих задачах такие же, как в задаче Гудерлея.

Граничные условия на оси t, а при наличии «поршня» – на нем, в обеих задачах для переменных A, U, R определяются по аналогии с задачей Гудерлея:

Пройдя через начало координат, интегральная кривая движется к звуковой линии, пересечь которую без разрыва не может. Реализуется отраженная ударная волна наименьшей интенсивности. Для значений +, меньших порогового, интегральная кривая не доходит до звуковой линии и испытывает разрыв. После этого она устремляется к седловой особой точке с ординатой A = ( = 0), абсцисса в задаче о схлопывающейся полости U = (k 1) / (3 + ), а в задаче о сходящейся ударной волне U = 2( k 1) / ( + ). При значениях +, превышающих пороговое, интегральная кривая не может попасть в седловую особую точку, поэтому попадает в узел U = 1, = 0. При этом разрыв минимальной интенсивности начинается на звуковой линии, который в переменных rt соответствует С+-характеристике. В этом случае область течения не доходит до оси t. Поэтому для реализации такого решения необходимо наличие расширяющегося от центра симметрии «поршня» с траекторией = p, соответствующей значению p, при котором достигаются граничные условия (6).

Сказанное выше иллюстрирует рисунок 8, построенный для задачи о схлопывающейся пустой сферической полости и отвечающий при – = 7.0 восьми разным 1 + 7.0. Интегральная кривая 1 в плоскости UA выходит из точки M, соответствующей начальным условиям на границе пустой полости, проходит через особую точку N на штриховой звуковой линии, далее идет в начало координат O, соответствующее условиям на оси r. Затем переходит на участок кривой, приходящий в граничную точку, соответствующую либо условиям на оси t, либо условиям на расширяющемся из центра симметрии поршне. Переход осуществляется скачком, показанным стрелкой – «отраженной» от центра симметрии ударной волной RS. Для + = 7.0 и 5.11 реализуются решения без поршня, причем + = 5.11 чуть больше «порогового» значения +(7.0). При меньших значениях + реализуются решения с поршнем, в которых отраженная ударная волна конечной интенсивности движется по газу перед ней со скоростью звука. Между номерами кривых и величинами + установлено соответствие: + = 7.0 (2), 5.11 (3), 3.2 (4), 2.0 (5), 5/3 (6), 7/5 (7), 6/5 (8) и 1.0 (9).

В последнем случае (+ = 1) интегральная кривая за «отраженным» скачком RS становится вертикалью U = 1, 0 A. При этом в силу закона сохранения массы на ударной волне RS отношение плотностей +/– =, хотя по газу перед ней эта ударная волна движется со скоростью звука.

Рисунок 8. Интегральные кривые задачи о схлопыВ некоторый конечный за отраженной ударной волной s+ и перед ней s– оказываются равными, а при t > t в автомодельном решении отношение s+/s– становится меньше единицы, что физически недопустимо. После этого (при t > t) набирающая интенсивность, но остающаяся локально изэнтропической (s+/s– = 1) отраженная ударная волна становится причиной нарушения автомодельности. Этим условием определяется область существования автомодельного решения после возникновения «отраженной» ударной волны.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы, которые сводятся к следующему:

Рассмотрены четыре задачи о сжатии цилиндрических и сферических объемов газа. Для двух из них, рассматривавшихся ранее, решение в более широком диапазоне параметров, в частности, для показателей адиабаты 1.001 3. Другие две задачи рассмотрены впервые.

1) Получено полное решение задачи о схождении ударной волны к центру или оси симметрии для показателей адиабаты 1.001 3 с шагом, не превышающим 0.1.

Расчеты показали, что основное изменение плотности, внутренней энергии, а, следовательно, и температуры за отраженной ударной волной происходит в малой окрестности центра или оси симметрии. Большой рост плотности (более чем в тысячи раз) при сжатии сходящейся ударной волной реализуется только для газов с показателем адиабаты, близким к 1. Всюду за отраженной ударной волной кинетическая энергия газа составляет малую долю от его внутренней энергии. Изменение по радиусу давления за отраженной ударной волной не превышает 1.5 раза.

2) Рассмотрена задача о быстром сильном сжатии в цилиндрически и сферически симметричном случаях. Для показателей адиабаты 1.001 3 построены решения со сферически и цилиндрически симметричными неавтомодельными пучками волн сжатия с фокусировкой вблизи центра симметрии на особой характеристике и на отраженной ударной волне задачи Гудерлея. Установлено, что зависимости радиуса сжимающего поршня и плотности на нем от времени близки к степенным.

3) Показано, что для всех рассмотренных показателей адиабаты чисто газодинамическими средствами возможно получение плотностей и температур, необходимых для реализации управляемого инерциального термоядерного синтеза.

4) Рассмотрены задачи о схождении ударной волны к центру или оси симметрии и о схлопывании пустой сферической полости в постановке, допускающей изменение показателя адиабаты на фронте ударной волны, идущей от центра симметрии. Эти задачи обнаружили ряд неожиданных, интересных и важных моментов, возникающих в модели с изменением показателя адиабаты на ударной волне. В построенных решениях самые слабые («звуковые») ударные волны, которые при уменьшении показателя адиабаты на фронте ударной волны движутся по газу перед ними со скоростью звука, имеют конечную интенсивность. Более того, при + = 1 на такой звуковой ударной волне при небольшом (всего двукратном) повышении давления отношение плотностей, как на сильной ударной волне, бесконечно. Скорость ударных волн меньшей интенсивности дозвуковая, из-за чего они, будучи неэволюционными, запрещены.

5) В задачах о схождении ударной волны к центру или оси симметрии и схлопывании пустой сферической полости автомодельные решения с повышением показателя адиабаты на фронте ударной волны, идущей от центра или оси симметрии, запрещены из-за уменьшения энтропии. Типичны ситуации, в которых сохранение автомодельности возможно только при введении поршня, расширяющегося от центра симметрии. При его отсутствии течение за отраженной ударной волной становится неавтомодельным с момента отражения.

Благодарности. В течение всего времени работы над диссертацией автор ощущал поддержку со стороны научного руководителя диссертации доктора физикоматематических наук, профессора А.Н. Крайко, которому выражает свою глубокую благодарность.

Работы, в которых опубликованы основные результаты диссертации. По теме диссертации опубликовано 20 работ [21-40], из них 4 статьи – в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях. Они выделены жирным шрифтом.

Литература 1. Nuckolls J., Wood L., Thiessen A. et al. Laser compression of matter to superhigh densities: thermonuclear (CTR) applications // Nature, 1972. – V. 239. – No. 5368. – P. 139–146.

2. Clarke J.S., Fisher H.N., Mason R.J. Laser-driven implosion of spherical DT targets to thermonuclear burn conditions // Physics Review Letters, 1973. – V. 30. – No. 3. – P. 89-92.

3. Kidder R.E. Theory homogeneous isentropic compression and its application to laser fusion // Nucl. Fusion, 1974. – V. 14. – No. 1. – P. 53–60.

4. Nuckolls J.H. The feasibility of inertial-confinement fusion // Physics Today, 1982. - V. 35. - № 9. - P. 24-31 = Накколс Дж.Г. Осуществимость инерциальнотермоядерного синтеза. Успехи физических наук, 1984. – Т. 143. – № 3. – С. 467–482.

5. Долголева Г.В., Забродин А.В. Кумуляция энергии в слоистых системах и реализация безударного сжатия // М.: Физматлит, 2004. – 70 с.

6. Баско М.М., Гуськов С.Ю., Диденко А.Н. и др. Ядерный синтез с инерционным удержанием. Современное состояние и перспективы для энергетики / под ред.

Б.Ю. Шаркова. М.: Физматлит, 2005. – 262 с.

7. Фортов В.Е. Экстремальные состояния вещества на Земле и в космосе. - М. :

Физматлит, 2008. - 264 с.

8. Nakai S., Takabe H. Principles of inertial confinement fusion - physics of implosion and the concept of inertial fusion energy // Reports on progress in physics, 1996. – V. 59. – P. 1071–1131.

9. Anderson M.H., Puranik B.P., Oakley J.G. et al. Shock tube investigation of hydrodynamic issues related to inertial confinement fusion // Shock waves, 2000. – V. 10. – P. 377–387.

10. Попов Н.А., Щербаков В.А., Минеев В.Н. и др. О термоядерном синтезе при взрыве сферического заряда (проблема газодинамического термоядерного синтеза) // Успехи физ. наук. 2008. – Т. 178. – Вып. 10. – С. 1087-1094.

11. Киселев Г.В. Участие Л.Д. Ландау в советском Атомном проекте (в документах). // Успехи физических наук, 2008. – Т. 178. – № 9. – С. 947–990.

12. https://lasers.llnl.gov/science_technology/ 13. Иванов Г.А., Волошин Н.П., Танеев А.С. Взрывная дейтериевая энергетика – Снежинск: Изд-во РФЯЦ-ВНИИТФ, 2004. – 288 с.

14. Hunter С. On the collapse of an empty cavity in water // Journal of Fluid Mechanics, 1960. – V. 8. – Pt. 2. – P. 241-263 = Хантер К. О захлопывании пустой полости в воде // Механика. Иностранная литература, 1961. – № 3 (67). – С. 77–100.

15. Кожанов В.С., Чернов И.А. Задача о схлопывании пустой цилиндрической полости // Математика. Механика: Сб. науч. тр. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007.

– Вып. 9. – С. 136 – 139.

16. Кожанов В.С., Чернов И.А. К автомодельной задаче о схлопывании пустой каверны / Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского. - Саратов, 2007. – 28 с., ил., библ. 4. – Рус. – Деп. в ВИНИТИ РАН 20.11.2007, № 1080– В2007.

17. Брушлинский К.В., Каждан Я.М. Об автомодельных решениях некоторых задач газовой динамики // Успехи математических наук. 1963. – Т. 18. –- Вып. 2. – С. 3–23.

18. Lazarus R.B. Self-similar solutions for converging shocks and collapsing cavities // SIAM Journal of Numerical Analysis, 1981. – V. 18. – No. 2. – P. 316–371.

19. Guderley G. Starke kugelige und zylindrische Verdichtungsste in der Nhe des Kugelmittelpunktes bzw. der Zylinderachse // Luftfartforschung, 1942. – Bd 19. – Lfg. 9. – S. 302– 20. Крайко А.Н. Быстрое цилиндрически и сферически симметричное сильное сжатие идеального газа // Прикладная математика и механика, 2007. – Т. 71. –- Вып. 5.

– С. 744-760.

21. Валиев Х.Ф. Отражение ударной волны от центра или оси симметрии при показателях адиабаты от 1.2 до 3 // Прикладная математика и механика, 2009. – Т.73. – Вып. 3. – С. 397–407.

22. Валиев Х.Ф., Крайко А.Н.Цилиндрически и сферически симметричное быстрое сильное сжатие идеального совершенного газа с показателями адиабаты от 1.001 до 3 // Прикладная математика и механика, 2011. – Т.75. – Вып. 2. – С. 314–326.

23. Валиев Х.Ф., Крайко А.Н. Автомодельные нестационарные течения совершенного газа с изменением показателя адиабаты на «отраженной» ударной волне // Прикладная математика и механика, 2011. – Т.75. – Вып. 6. – С. 961–982.

24. Валиев Х.Ф. Отражение ударной волны от центра и оси симметрии при разных показателях адиабаты / под ред. С.Ю. Крашенинникова // Сб. Теоретическая и прикладная газовая динамика. Т. 2. – М.: Торус-Пресс, 2010. – 416 с.

25. Валиев Х.Ф., Крайко А.Н. Цилиндрически и сферически симметричное быстрое сильное сжатие идеального совершенного газа / под ред. С.Ю. Крашенинникова // Сб. Теоретическая и прикладная газовая динамика. Т. 2. – М.: Торус-Пресс, 2010. – 416 с.

26. Kraiko A.N., Valiyev Kh.F. Cylindrical and spherical fast intense compression of ideal gas with the adiabatic exponents from 1.2 to 3 // Physics of Extreme States of Matter Chernogolovka: Inst. of Probl. of Chem. Phys. RAS, 2009. – P. 152–154.

27. Kraiko A.N., Valiyev Kh.F. Attainment of extreme temperatures and densities in compression by a shock wave and non-self-similar centered wave and a collapse of an empty spherical cavity with change behind the reflected shock wave of medium properties // Physics of Extreme States of Matter - 2010. - Chernogolovka: Inst. of Probl. of Chem. Phys.

RAS, 2010. – P. 101–103.

28. Валиев Х.Ф., Крайко А.Н. Быстрое сильное сжатие идеального газа // Сб.

«Высокопроизводительные вычисления в задачах механики и физики». – М.: Изд-во ин-та прикл. матем. им. М.В. Келдыша РАН, 2009. – С. 45–49.

29. Валиев Х.Ф., Крайко А.Н. Быстрое сильное сжатие при любых показателях адиабаты и схлопывание пустой сферической полости с изменением на отраженной ударной волне свойств среды // Международная конференция «Забабахинские научные чтения». http://www.vniitf.ru/images/zst/2010/sec1/1-20.pdf 30. Валиев Х.Ф., Крайко А.Н., Тилляева Н.И. Быстрое цилиндрически и сферически симметричное сильное сжатие идеального газа // Международная конференция «IX Харитоновские научные чтения». Сб. тезисов «Экстремальные состояния вещества. Детонация. Ударные волны». Саров, 2007. – С. 281.

31. Валиев Х.Ф., Ермолова Е.В. Крайко А.Н., Тилляева Н.И. Быстрое сильное сжатие идеального газа и ударные волны в среде с лучистой теплопроводностью // Международная конференция «Забабахинские научные чтения». Тезисы. – Изд-во РФЯЦ – ВНИИТФ, Снежинск, 2007. – С. 25– 32. Валиев Х.Ф., Крайко А.Н. Быстрое сильное сжатие при любых показателях адиабаты и схлопывание пустой сферической полости с изменением на отраженной ударной волне свойств среды // Международная конференция «Забабахинские научные чтения». Тезисы. Изд-во РФЯЦ – ВНИИТФ, Снежинск, 2010. – С. 32.

33. Валиев Х.Ф., Крайко А.Н. Цилиндрически и сферически симметричное быстрое сильное сжатие идеального газа с показателями адиабаты от 1.2 до 3 // XXXIII Дальневосточная математическая школа-семинар им. академика Е.В. Золотова. Тезисы докладов. – Владивосток, 2008. – С. 192–193.

34. Kraiko A.N., Valiyev Kh.F. The cylindrical and spherical fast intense compression of ideal gas with the adiabatic exponents from 1.2 to 3 // Book of Abstracts. XXIV International Conference «Interaction of Intense Energy Fluxes with Matter». – Chernogolovka: Inst. of Probl. of Chem. Phys. RAS, 2009. – P. 131–132.

35. Kraiko A.N., Valiyev Kh.F. Attainment of extreme temperatures and densities in compression by a shock wave and non-self-similar centered wave and a collapse of an empty spherical cavity with change behind the reflected shock wave of medium properties // Book of Abstracts. XXV International Conference «Equations of State for Matter». – Chernogolovka: Inst. of Probl. of Chem. Phys. RAS, 2010. – P. 83– 36. Kraiko A.N., Valiyev Kh.F. Shock wave convergence to the centre of symmetry and a collapse of an empty spherical cavity with substance compressibility change on the reflected shock wave // Book of Abstracts. XXVI International Conference «Interaction of Intense Energy Fluxes with Matter». – Chernogolovka: Inst. of Probl. of Chem. Phys. RAS, 2011. – P. 85– 37. Валиев Х.Ф., Крайко А.Н. Особенности нестационарных автомодельных, стационарных осесимметричных и двумерных конических течений с ударными волнами // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011. – № 4 –Ч. 3. – С. 670–672.

38. Валиев Х.Ф. Быстрое цилиндрически и сферически симметричное сильное сжатие идеального газа // Тр. 50 Научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», Ч. 6. Аэродинамика и летательная техника. М.-Жуковский: МФТИ. 2007. С. 11– 39. Валиев Х.Ф. Решение задачи об отражении ударной волны от оси и центра симметрии и создание газодинамическими средствами условий, необходимых для реализации УИТС // Тр. 51 Научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», Ч. 6. Аэродинамика и летательная техника.

М.-Жуковский: МФТИ. 2008. – С. 15-18.

40. Валиев Х.Ф. Цилиндрически и сферически симметричное быстрое сильное сжатие идеального совершенного газа с разными показателями адиабаты // Тр. 52-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», Москва, 2009. Ч. 6. Аэродинамика и летательная техника. М.-Жуковский:

МФТИ, 2009. – С. 119-