«32-й Турнир им. М. В. Ломоносова 27 сентября 2009 года. Задания. Решения. Комментарии / Сост. А. К. Кулыгин. — М.: МЦНМО, 2011. — 223 с.: ил. Приводятся условия и решения заданий Турнира с подробными коммен­ тариями ...»

1. (6–7) У Вани было некоторое количество печенья; он сколько-то съел, а потом к нему в гости пришла Таня, и оставшееся печенье они разде­ лили поровну. Оказалось, что Ваня съел в пять раз больше печений, чем Таня. Какую долю от всего печенья Ваня съел к моменту Таниного прихода?

2. (6–7) В квадрате 4 4 клетки левой половины покра­ шены в чёрный цвет, а остальные — в белый. За одну опе­ рацию разрешается перекрасить в противоположный цвет все клетки внутри любого прямоугольника. Как за три операции из первоначальной раскраски получить шахмат­ ную?

3. (8–9) Петя и Вася играют на бирже. Некоторые дни удачные, и в такие дни капитал Пети увеличивается на 1000$, а капитал Васи — на 10%. А остальные дни неудачные — и тогда капитал Пети уменьшается на 2000$, а капитал Васи уменьшается на 20%. Через некоторое время капитал Пети оказался таким же, как был в начале. А что произошло с капиталом Васи: уменьшился он, увеличился или остался прежним?

4. (8–11) Даны две картофелины произвольной формы и размера. Дока­ жите, что по поверхности каждой из них можно проложить по прово­ лочке так, что получатся два изогнутых колечка (не обязательно плос­ ких), одинаковых по форме и размеру.

5. (6–8) На левую чашу весов положили два шара радиусов 3 и 5, а на правую — один шар радиуса 8. Какая из чаш перевесит? (Все шары изготовлены целиком из одного и того же материала.) 6. (9–11) На левую чашу весов положили две круглых монеты, а на правую — ещё одну, так что весы оказались в равновесии. А какая из чаш перевесит, если каждую из монет заменить шаром того же ради­ уса? (Все шары и монеты изготовлены целиком из одного и того же материала, все монеты имеют одинаковую толщину.) 7. (6–11) В ряд слева направо лежит 31 кошелёк, в каждом по 100 монет.

Из одного кошелька часть монет переложили: по 1 монете в каждый из кошельков справа от него. За один вопрос можно узнать суммарное число монет в любом наборе кошельков. За какое наименьшее число вопросов можно гарантированно вычислить «облегчённый» кошелёк?

8. (10–11) Вася отвечает теорему Виета: «Сумма трёх коэффициентов квадратного трёхчлена равна одному из его корней, а произведение — другому». Экзаменатор: «Неверно». Вася: «Как же неверно? Я проверил для случайно выбранного трёхчлена, и всё получилось». Какой это мог быть трёхчлен, если его коэффициенты — целые числа?

Решения к заданиям конкурса по математике 1. Пусть Таня съела печений. Тогда Ваня съел 5 печений, из которых 5 = 4 печений он съел до прихода Тани. Так как всего печений было 5 + = 6, до Таниного прихода Ваня съел = всего пече­ нья.

Ответ. 2/3.

2. Одно из решений приведено ниже.

3. За один неудачный день капитал Пети уменьшается на столько же, на сколько он увеличивается за два удачных. Поскольку в итоге капитал Пети такой же, как вначале, удачных дней было в два раза больше, чем неудачных.

В удачный день капитал Васи умножается на 1,1, а в неудачный на 0,8. От перемены мест сомножителей произведение не меняется.

Поэтому результат для Васи получается такой же, как если бы за каж­ дыми двумя удачными днями шёл один неудачный. В этом случае за первые три дня капитал Васи умножится на 1,1 · 1,1 · 0,8 = 0,968 < 1, т. е. уменьшится. За следующие три дня он опять уменьшится, и т. д.

Поэтому и в итоге капитал Васи уменьшится.

Ответ. Капитал Васи уменьшился.

4. Посмотрим на поверхности картофелин как на абстрактные геомет­ рические фигуры.

Подвинем их так, чтобы они пересеклись.

Возьмём маркер и нарисуем возникшую на пересечении замкнутую кривую на каждой из картофелин.

Это и есть пути, по которым можно проложить проволочки.

Замечание. Пересечение поверхностей может оказаться устроен­ ным достаточно сложно — состоять из нескольких частей (если поверх­ ность одной картофелины пересекают несколько «наростов» другой кар­ тофелины), иметь разветвления, быть завязанным в узел, иметь беско­ нечную длину и т. п. (Речь здесь, конечно, идёт уже об абстрактных геометрических поверхностях, а не о поверхностях обычных картофе­ лин.) Вообще, слова «картофелина» и «колечко» объясняют математиче­ ское содержание задачи наглядно, но не вполне строго. Поэтому и саму задачу (и её решение) следует рассматривать как наглядную демонстра­ цию интересного математического факта, а не как строгую теорему.

5. Заметим, что два меньших шара, если их поста­ вить рядом, поместятся внутрь большого. Значит, Комментарий. Хотя на картинке и видно, что два маленьких шара не вылезают за границы большого, докажем это. Пусть, например, точка лежит внутри шара с радиусом 5. Проверим, что она попадает внутрь большого шара, т. е. что тельно, по неравенству треугольника Имеется у задачи и алгебраическое решение, основанное на том, что (1 + 2 )3 > 1 + 2 (см. также следующую задачу).

6. Так как при растяжении в раз площади меняются в 2, а объёмы в 3 раз, площадь круга радиуса равна 2 2, а площадь шара 3 3, где 2 и 3 — некоторые константы (площадь единичного круга и объём единичного шара, соответственно; на самом деле 2 =, а 3 = 3, но для решения задачи это не важно).

Обозначим радиусы монет через 1, 2 и 3. Вначале весы были в равновесии, поэтому 2 1 + 2 2 = 2 3, т. е.

Аналогично, чтобы определить, что произошло с весами, после того как монеты заменили шарами, нужно сравнить 1 + 2 с 3. Но по сравнению с равенством выше правая часть умножилась на больший радиус 3, а два слагаемых в левой части — на меньшие радиусы Значит, правая чаша перевесит.

Ответ. Перевесит правая чаша весов.

7. Достаточно получить ответ на вопрос «сколько всего монет в кошель­ ках с нечётными номерами?»

Действительно, если ответ на него «1600 + » ( > 0), то монеты перекладывали из кошелька с чётным номером, справа от которого было ровно кошельков с нечетными номерами — т. е. из (2 + 1)-го справа кошелька. Если же ответ на него «1600 » ( > 0), то монеты перекладывали из кошелька с нечётным номером, справа от которого было ровно кошельков с чётными номерами — т. е. из 2-го справа кошелька.

Ответ. За один вопрос.

8. Пусть — корень, равный сумме коэффициентов, — корень, рав­ ный их произведению, — старший коэффициент. Если коэффициенты целые, то их сумма и произведение, тоже целые.

Согласно настоящей теореме Виета, коэффициент при равен ( + ), а свободный член. Таким образом, уравнение имеет вид Поэтому фактически Вася утверждает, что Перепишем первое равенство в виде Видим, что делится на (1 ). Прибавив (1 ) к, получаем, что 1 также делится на (1 ), откуда равно 0 или 2. Если = 0, то ввиду второго равенства = 0, а тогда из первого равенства = = 0, что невозможно для старшего коэффициента трёхчлена.

Остаётся случай = 2. Если сократить во втором равенстве на, то получим, что 1 делится на 2. Значит, сокращать на нельзя, т. е.

= 0. Тогда из первого равенства находим, а затем по теореме Виета находим остальные коэффициенты. Полученный трёхчлен 22 + удовлетворяет условию задачи.

Критерии проверки и награждения По результатам проверки каждого задания ставилась одна из следую­ щих оценок (перечислены в порядке убывания):

Общий смысл этих оценок следующий:

«+» — задача решена полностью, «±» — решена с недочётами, не влияющими на общий ход решения, «+/2» — см. критерии к задаче 7, «» — задача не решена, но имеются содержательные продвижения, «» — задача не решена;

за задачу, к решению которой участник не приступал, ставится «0».

Так как по одному ответу невозможно определить, в какой степени участник решил задачу, за верный ответ без решения ставится не выше «» («» если ответ типа «да–нет»); потеря случаев в переборе или рас­ смотрение только (содержательного) частного случая — не выше «».

Уточняющие критерии по задачам (оценки типичных случаев).

1. Решение, с объяснением в виде картинки — «+» или «±» в зависимо­ сти от внятности; только частный случай (например, «пусть всего было 30 печений») — «»; ответ без решения (возможно, с проверкой того, что он подходит) — «»; ответ не на тот вопрос — «».

2. Не указано, какие прямоугольники перекрашивались (или указано с ошибкой), но есть правильная последовательность раскрасок — «±»;

имеются невозможные переходы — «».

3. Частный случай (например, «два удачных, один неудачный») без объяснения того, что удачных дней всегда в два раза больше, а все сво­ дится к умножению, поэтому порядок, в котором идут дни, не важен, или соображения о том, что проценты отнимаются от большей суммы, а прибавляются к меньшей (без полного решения) — «», то же с ошиб­ ками в арифметике — «»; только ответ — «».

4. Разобран только случай круглых картофелин / объяснение того, как найти колечки, равные только по длине / «рассмотрим очень маленькие колечки» — «».

5. Доказывать, что 2 шара вкладываются в третий, не требуется, доста­ точно (внятной) картинки. Правильное решение с неверным коэффици­ ентом в формуле объёма шара или рассмотрены кубы вместо шаров — «±», неверная степень в формуле объёма — «»; вычислительное решение с ошибкой в вычислениях — «»; только ответ — «».

6. Правильное решение с неверным коэффициентом в формуле объ­ ёма шара — «±», неверная степень в формуле объёма — не выше «»; рассмотрен только частный случай (например, случай одинако­ вых радиусов) — «»; частный случай с арифметическими ошибками / неверными коэффициентами — «»; только ответ — «».

7. Верное решение без полного объяснения, как восстановить номер облегчённого кошелька по полученному ответу — «±»; бинарный (или тернарный) поиск кошелька — «»; только ответ — «».

Комментарий. Жюри имело в виду, что вопросы можно задавать только про конкретно указанные кошельки (например, «сколько монет в первом, втором и седьмом кошельках»). Но некоторые участники решили, что допустимы и вопросы вроде «сколько монет в кошель­ ках правее облегчённого?». За такие решения ставилась оценка «+/2»

(если в результате удавалось узнать кошелек за один вопрос — иначе «»); при подведении итогов оценка «+/2» по этой задаче учитывалась также, как оценка «+».

8. Ответ без верного обоснования — «»; потеря одного из случаев в переборе — «».

Задачи, предназначавшиеся более младшим классам, чем тот, в кото­ ром учится участник турнира, проверяются, но не учитываются при подведении итогов.

Оценка «e» (балл многоборья) ставилась при наличии хотя бы одной оценки не хуже «+/2».

Оценка «v» (грамота за успешное выступление в конкурсе по мате­ матике) ставилась:

— в 6–11 классах, если есть не меньше 2 оценок не хуже «+/2» каждая.

— в 5 классе и младше, если есть хотя бы 1 оценка не хуже «+/2».

В случае, если поставлена оценка «v», оценка «e» не ставится.

Статистика Приводим статистику решаемости задач конкурса по математике. Такая статистика даёт интересную дополнительную информацию о задачах (и задании конкурса по математике в целом): насколько трудными ока­ зались задачи, какие задачи оказались наиболее предпочтительными для школьников, и т. п.

Учтены все работы по математике, сданные школьниками (в том числе и абсолютно нулевые). Школьники, не сдавшие работ по матема­ тике, в этой статистике не учтены.

Сведения о количестве школьников по классам, получивших гра­ моту по математике («v»), получивших балл многоборья («e»), а также общем количестве участников конкурса по математике (количестве сданных работ).

Всего 0 3 5 34 486 2133 3037 3787 3619 3158 Сведения о количестве решённых задач участниками разных клас­ сов. При составлении таблицы решёнными считались задачи своего или более старшего класса, за которые поставлены оценки «+» и «±». Две оценки «+/2» за задачи своего или старшего класса при составлении данной таблицы условно отмечались как одна решённая задача.

Сведения о распределении оценок по задачам. Оценки «+», «±» и «+/2» считались как по классам, для которых рекомендована задача, так и по младшим классам; оценки «», «» и «0» считались только по классам, соответствующим задаче.

Конкурс по математическим играм Условия игр Выберите игру, которая Вас больше заинтересовала, и попробуйте при­ думать для одного из игроков (первого или второго) стратегию, гаран­ тирующую ему победу независимо от ходов соперника. Постарайтесь не только указать, как следует ходить, но и объяснить, почему при этом неизбежен выигрыш. Ответ без пояснений не учитывается.

Не пытайтесь решить все задания, сохраните время и силы для дру­ гих конкурсов. Хороший анализ даже только одной игры позволит счи­ тать Ваше участие в конкурсе успешным.

1. «Горошины». Два игрока ходят по очереди. Перед началом игры у них есть поровну горошин. Ход состоит в передаче сопернику любого числа горошин. Не разрешается передавать такое количество горошин, которое до этого уже кто-то в этой партии передавал. Ноль горошин тоже передавать нельзя. Тот, кто не может сделать очередной ход по правилам, — считается проигравшим.

Кто — начинающий или его соперник — победит в этой игре, как бы ни играл его партнёр?

Рассмотрите случаи:

а) У каждого по две горошины;

б) У каждого по три горошины;

в) У каждого по десять горошин;

г) Общий случай: у каждого по горошин.

2. «Красим треугольник». Двое играют на треугольной доске (см. рис.), закрашивая по очереди на ней треугольные клеточки. Одна клетка (начальная) уже закрашена перед началом игры.

Первым ходом закрашивается клеточка, граничащая (по стороне) с начальной, а каждым следующим ходом — клетка, граничащая с только что закрашенной. Повторно клетки красить нельзя. Тот, кто не может сделать ход, проигрывает. Кто — начинающий или его соперник — побе­ дит в этой игре, как бы ни играл его партнёр?

Рассмотрите случаи:

а) Начальная клетка — угловая, поле любого размера;

б) Поле и начальная клетка как на рисунке к этому заданию;

в) Общий случай: поле любого размера, и начальная клетка в нём произвольная.

г) Дополнительное задание. Можно подумать, что начальная клетка определяет исход партии независимо от действий игроков. Нарисуйте, однако, на каком-нибудь поле примеры таких двух партий с одной и той же начальной клеткой, чтобы в первой побеждал начинающий, а во второй — его партнёр. Для удобства нумеруйте клетки: начальная — 0, первым ходом красится клетка 1, вторым — 2 и т. д.

(Специально для удобства решающих это задание на обороте усло­ вия напечатана треугольная сеточка, на которой можно рисовать и рас­ крашивать треугольники).

3. «Линейные шашки». Игровое поле представляет собой полоску 1. В начале игры на нескольких крайних левых полях стоит по одной белой шашке, на стольких же крайних правых полях — по одной чёрной шашке. Белые и Чёрные ходят по очереди, начинают Белые.

Ход заключается в передвижении одной из своих шашек в направлении противника (Белые ходят направо, Чёрные — налево). Можно делать простой ход или бить шашки соперника. При простом ходе разрешается перемещать шашку на любое число клеток, но нельзя перепрыгивать ни через свои шашки, ни через чужие. Бьют шашки соперника по тем же правилам, что и в обычных шашках:

Шашка бьёт шашку соперника, стоящую на соседнем поле, если следующее за ним поле свободно. При этом своя шашка перемеща­ ется на это свободное поле, а побитая шашка соперника снимается Бить обязательно: если есть возможность бить, делать вместо этого простой ход какой-либо шашкой нельзя.

Если шашка, побившая шашку соперника, может сразу побить сле­ дующую его шашку, она должна продолжать бить тем же ходом.

Кто — Белые или Чёрные — победят в этой игре вне зависимости от игры партнёра? Рассмотрите случаи:

а) У игроков по одной шашке, поле длиной > 2 клеток;

б) У игроков по две шашки, поле длиной > 4 клеток;

в) У игроков по три шашки, поле длиной > 6 клеток;

г) Дополнительное задание. Можно подумать, что численное пре­ имущество решает исход игры. Придумайте и нарисуйте, однако, пози­ цию, где у Белых меньше шашек, чем у Чёрных, и тем не менее, Белые начинают (с простого хода) и выигрывают.

Решения 1. «Горошины». Во всех случаях победит второй игрок.

В пункте «а», когда у игроков по две горошины, первый игрок либо отдаст второму две горошины (на это второй даст ему одну, и у первого не будет ходов), либо отдаст одну. В этом случае второй игрок может отдать ему две горошины, назад получит три, отдаст четыре и победит.

Подобным же образом пойдёт игра и в пункте «б». Если первый игрок отдаст три или две, назад получит одну и сразу проиграет. Если же отдаст одну, то назад получит две. Далее у первого два варианта хода, но оба плохи: отдав 4, он получит назад 3 и проиграет, а отдав 3, получит 4, будет вынужден отдать 5, получит 6 и всё равно проиграет.

Разбирать случай 10 горошин, как предлагается в пункте «в», нет смысла. Этот пункт давался для того, чтобы на большом числе горо­ шин почувствовать общую стратегию. Изложим её — это будет решение пункта «г».

г) Первое решение. Победит второй игрок, придерживаясь правила:

«всякий раз отдавай минимально возможное число горошин». Докажем, что это действительно стратегия. Достаточно показать, что у второго игрока всегда будет ход. Начинает игру у нас первый игрок, но мы схитрим и сделаем так, чтобы игру начинал второй: предположим, что второй (условно) передаёт сначала первому 0 горошин. Теперь можно видеть, что всякий раз в ответ на ход второго первый игрок вынуж­ ден будет отдать ему больше, чем сам получил. Поэтому количество горошин у второго с каждым парным ходом будет увеличиваться хотя бы на одну. Перед -м ходом у него будет не менее + горошин.

А отдать на -м ходу он в соответствии со своей стратегией должен не более 2 горошин. Это осуществимо, поскольку + 2 при. А более, чем ходов игра длиться не может.

Второе решение. Разобьём числа от 1 до 2 на пары и так далее. Победит второй игрок, придерживаясь правила: «всякий раз, получив число из некоторой пары, отдавай другое число из той же пары». Докажем, что и это верная стратегия. Опять же, требуется показать, что у второго игрока всегда будет ход. Пусть первый пере­ дал второму число из некоторой пары ( ; ). Ясно, что никто пока не передавал: второй это мог делать только в ответ на ход первого, а если бы первый ранее передал бы, то второй тогда же передал бы.

Итак, что же может помешать второму отдать ? Только отсутствие у него нужного количества горошин. Однако, поскольку + 1, а он только что получил, отдать второй не сможет только в одном случае — если у него ничего до хода первого не было. Однако, за каждый пар­ ный ход у первого количество горошин может уменьшиться максимум на одну, а было у него, так что 0 у него может быть только после парных ходов, то есть после окончания игры. Во время же игры такой ситуации сложиться не может. Значит, второй всегда ответит первому и в конце концов победит.

2. «Красим треугольник». В пункте «а» побеждает второй игрок.

После хода первого игрока (единственно возможного), ему следует закрасить клетку, примыкающую к стороне. Ход первого вынужден, второй снова красит клетку у стороны и в конце концов побеждает, крася угловую клетку.

Нетрудно понять, что в пункте «б», наоборот, победит первый игрок.

Не приводя специально решения пункта «б», разберём общий случай.

в) То, кто будет победителем зависит от начальной клетки. Раскра­ сим клетки как на рисунке 1, в шахматном порядке, так, чтобы клетки вида были белыми, а клетки вида — чёрными.

Покажем, что если начальная клетка чёрная, начинающий побеж­ дает. Разделим поле на «слои» (см. рис. 2). Начинающий должен всегда закрашивать клетку, оставаясь в текущем слое. При этом соперник либо тоже будет оставаться в этом слое (и тогда они вскоре доберутся до угла слоя), либо уйдёт во внешний слой. (Из угла он в любом случае ухо­ дит во внешний слой.) В конце концов первый игрок закрасит угловую клетку поля и победит.

Рис. 1. Шахматная раскраска поля. Рис. 2. «Слои» на игровом поле.

Решение дополнительного задания показано на рисунках 3 и 4. Поле и начальная клетка взяты как в пункте «б». Согласно теории, победить должен первый игрок, что и проиллюстрировано рисунком 3. Послед­ ний, седьмой ход в угол делает первый игрок. Но если бы первый игрок играл «как попало», он мог бы и проиграть: на правом рисунке после 10-го хода второго первый терпит поражение.

Рис. 3. Начинающий побеждает. Рис. 4. Начинающий проигрывает.

3. «Линейные шашки». В этой игре Белые, бесспорно, имеют пре­ имущество, хотя иногда они и проигрывают. Клетки поля мы для удоб­ ства иногда будем нумеровать слева направо: 1, 2, 3,... ( 1),.

В пункте «а» при = 3 Белые проиграют (этот тривиальный слу­ чай многие «прозевали»), а в остальных случаях — победят, передви­ нув шашку с клетки 1 на клетку ( 2). Эта атака — поставить свою шашку за одну клетку до шашки противника — будет часто в дальней­ шем применяться Белыми.

В пункте «б» Белые тоже, казалось бы, должны идти с клетки на ( 3). Однако, такой ход возможен только если 3 > 2, то есть > 5. В этом случае у Чёрных только один ход, следует размен, и возникает положение (рис. 5). Теперь Белые ходят с 1 на ( 4) (это возможно, так как 4 > 1 при > 5) и выигрывают.

Случай же = 5 разбирается отдельно. Все ходы там вынужден­ ные, и побеждают тоже Белые.

В пункте «в» Белые тоже побеждают, атакуя стандартным обра­ зом, но это возможно только при > 8. Вот как пойдёт игра: Белые:

3 ( 4), размен и далее Белые повторяют атаку: 2 ( 5).

Оба эти хода возможны: при > 8 заведомо будет и 4 > 3, и 5 > 2. После второго хода Белых возникнет ситуация как на рис 2. Теперь двигать левую чёрную шашку Чёрным невыгодно, а вто­ рой шашкой они смогут сделать максимум 2 хода, тогда как Белые ( 7) ходов. Поскольку 7 2 при > 8, у Чёрных раньше кон­ чатся ходы, и им придётся отдавать свою шашку на съедение, что быстро приведёт их к проигрышу.

Случаи = 7 и = 8 требуют отдельного разбора. При = 7 ход у Белых один, далее серия вынужденных разменов, и возникает позиция (рис. 7), где Белые легко побеждают.

При = 8 у Белых теоретически два возможных первых хода. Под­ даться первым ходом (3 5) оказывается невыгодным: после серии вынужденных ходов имеем положение (рис. 8), где ход Чёрных, так что они легко выигрывают, пойдя 7 5. Атаковать тоже не удаётся: после первого хода 3 4 и разменов получается позиция (рис. 9). Ходить 2 4 глупо, после же 2 3 следует 8 7, Белые ходят 1 2, Чёрные 7 6, после чего Белые вынуждены пойти на клетку 4 и про­ играть. Итак, при = 8 победят Чёрные.

Возможное (видимо, простейшее) решение дополнительного задания представлено на рисунке 10. Пусть у Чёрных две шашки, у белых — только одна. Ходя на клетку влево, Белые вынуждают Чёрных сдать обе свои шашки следующим ходом.

Критерии оценивания За каждую задачу присуждается целое количество баллов от 0 до 20.

Оценки по различным пунктам суммируются (при этом ставится 20 бал­ лов, если сумма оказывается больше 20).

В переборных решениях, в которых не разобраны все случаи, сле­ дует ставить долю оценки, примерно соответствующую доле верно разо­ бранных случаев. Голый ответ не даёт баллов, кроме явно указанных позиций. Примеры партий не дают баллов.

В исключительных случаях за задачу ставится 10 баллов (половина стоимости), если по ней написано неполное математически содержатель­ ное решение, однако ввиду невнятности и неясности изложения приме­ нение более детальных критериев оценки оказывается крайне затрудни­ тельным.

1. «Горошины».

а) 2 балла. За пример партии 1 балл, если понятно, что это рассмот­ ренный случай, который автор считает выгодным для начинающего (ибо случаев всего там два).

б) 5 баллов.

в) Не оценивается. Жюри считает невероятной ситуацию сколь­ нибудь полного решения его без решения г).

г) 20 баллов. При этом внутри пункта ставится:

3 балла за формулировку стратегии «Второй победит, если будет отда­ вать минимально возможное число горошин».

4 балла за формулировку парной стратегии: «Объединим числа в пары: 1–2, 3–4 и т. д. Второй победит, если будет отдавать второе число из той же пары».

1 балл за некий намёк на парность, вроде «Второй победит, если будет отдавать соседнее (на 1 большее, на 1 меньшее) число по сравнению с тем, что ему только что дали».

1 балл за соображение «Второй победит, потому что ходов чётное число, и его ход будет последним».

2. «Треугольники».

а) 4 балла. За раскрашенную полоску без комментариев — 2 балла.

б) 4 балла. За рисунок без слов о симметрии — 1 балл.

в) 16 баллов. При полном решении этого пункта пункты а) и б) не учитываются (более точно: участник, не решивший г), не может полу­ чить более 16 баллов). В этот пункт входят:

3 балла за ответ (то есть раскраска и верный ответ. При этом ино­ гда вместо раскраски авторы апеллируют к расположению клеток — дельтообразно и наблаобразно, — это тоже правильно).

2 балла за невнятные мысли типа «идём к стороне, идём к краю».

1 балл за голую идею раскраски.

г) 7 баллов.

3. «Шашки».

Если понятно, что автор считает, что игра ведётся не на полоске, а на доске большей ширины — 0 баллов. Если понятно, что автор считает, что шашка ходит на одну клетку (на это указывают обычно рассужде­ ния о чётности и нечётности ) — 0 баллов.

а) 2 балла (1 балл снимается за неучтение случая = 3).

б) 1 + 3 = 6 баллов (1 балл за = 5, 3 балла за > 5). Если вместо > 5 разобран конкретный случай — 1 балл, если в рисунке или есть рассуждение «и так далее» — считать верным, полные 3 балла. в) 2 + 2 + 4 = 8 баллов. 2 балла за = 7, 2 балла за = 8, 4 балла за > 8. При верных голых ответах для = 7, = 8 — 1 балл за оба. Если вместо > 8 разобран конкретный случай — 1 балл, если в рисунке или рассуждение есть «и так далее» — считать верным. Если в общем случае нет соображения «у второго после первой серии раз­ менов будет меньше нейтральных ходов, и ему придётся поддаться и проиграть», не более 2 баллов. Если общий случай описан только как «делаем первый ход такой-то и побеждаем» — 1 балл за него.

г) 4 балла.

Критерии награждения Кроме письменного конкурса по математическим играм в ряде мест проведения турнира математические игры также проводились устно.

Результаты устных ответов по каждому заданию переводятся в баллы в соответствии с критериями проверки письменных работ. Если какое-либо задание участник сдавал и устно, и письменно, учитывается наилучшая (из двух) оценка в баллах за это задание. (Если участ­ ник сдавал задание устно несколько раз — за каждый пункт каждого задания учитывается лучшая из всех полученных оценок.) Оценка «e» (балл многоборья) ставилась, если в сумме по трём зада­ ниям было набрано 8 баллов или больше.

Оценка «v» (грамота за успешное выступление в конкурсе по мате­ матическим играм) ставилась, если в сумме по трём заданиям было набрано 18 баллов или больше. (То есть достаточно было полностью выполнить любое одно задание — возможно, с незначительными недо­ чётами. Для этого, в частности, было достаточно полностью выполнить задание на одном «сеансе» устного конкурса.) В случае, если поставлена оценка «v», оценка «e» не ставится.

Статистика В приведённой статистике учтены все письменные работы по матема­ тическим играм, сданные школьниками, а также все устные ответы, кроме абсолютно нулевых. При наличии нескольких устных ответов за каждый пункт каждой задачи учтён лучший результат. При наличии 4 Условная запись «1 + 3 = 6» означает, что полное решение оценивается выше, чем сумма баллов за составляющие его отдельные случаи.

как устного, так и письменного ответа по каждой задаче учтена лучшая оценка (наибольшее количество баллов).

Сведения о количестве школьников по классам, получивших гра­ моту по астрономии и наукам о Земле («v»), получивших балл мно­ гоборья («e»), а также общем количестве участников конкурса по аст­ рономии и наукам о Земле (количестве сданных работ).

Сведения о распределении баллов по заданиям.

Обращает на себя внимание очень большое количество нулевых бал­ лов. Это обусловлено сочетанием двух причин. Во-первых, конкурс по математическим играм для многих школьников оказался непривычным, в своих работах ребята часто приводили описание игры, примеры пар­ тий и т. п., но не делали попыток решить игру как математическую задачу. Во-вторых, ввиду достаточно сложной системы учёта результа­ тов (возможность нескольких устных и письменных ответов с коррект­ ным объединением результатов) невозможно чётко разграничить ситуа­ ции, когда школьник пытался выполнить задание, но получил 0 баллов, и когда он вообще не выполнял и не планировал выполнять какое-либо задание. (Например, отвечая устно, школьник сказал пару слов и пере­ думал, но в протоколе перед началом ответа он уже был отмечен.) Сведения о распределении суммы баллов по классам. (Знаками «e»

и «v» показаны границы соответствующих критериев награждения.) Сумма Классы // количество участников Всего Конкурс по физике Задания В скобках после номера задачи указаны классы, которым эта задача рекомендуется. Ученикам 7 класса и младше достаточно решить одну «свою» задачу, ученикам 8–10 классов — две «своих» задачи, учени­ кам 11 класса — три «своих» задачи. Можно решать и задачи старших классов.

1. (6–9) Почему чайный пакетик, если его залить кипятком — обычно всплывает, а если опустить в кипяток — обычно тонет? В чём разница?

2. (6–9) По расписанию поезд должен проехать участок железной дороги со скоростью 60 км/ч. Поезд опаздывает на 5 минут. Рассчи­ тайте, сколько километров машинисту нужно проехать со скоростью 70 км/ч, чтобы ликвидировать опоздание.

3. (7–11) Мышка, Кошка и Жучка умеют бегать по плоскости с посто­ янной скоростью, причём Кошка бегает быстрее Мышки, а Жучка — быстрее Кошки. Кошка всё время бежит по направлению на Мышку, а Жучка — по направлению на Кошку.

Первоначально Мышка, Кошка и Жучка сидят на одной прямой линии, (Кошка — между Жучкой и Мышкой). Известно, что если Мышка будет убегать от Кошки вдоль этой прямой линии, никуда не сворачивая, то Кошка поймает Мышку раньше, чем Кошку догонит Жучка.

Может ли так получиться, что Мышка, убегая более хитрым спосо­ бом, сумеет сделать так, что Кошка встретится с Жучкой раньше, чем поймает Мышку? Объясните, почему.

4. (8–11) В карманных механических часах основной механизм, обес­ печивающий точный отсчёт равных интервалов времени («механизм спуска») представляет собой подпружиненный поворотный маятник, который должен поворачиваться вокруг своей оси туда-обратно.

С целью увеличения точности хода часов применяется на первый взгляд неожиданное техническое решение — «механизм спуска» кре­ пится не к корпусу часов, а к той же шестерёнке, к которой прикреплена секундная стрелка. Почему это увеличивает точность хода?

5. (9–11) В космосе вдали от других тел находятся три одинаковых маленьких шарика с массами и зарядами каждый. Шарики скреп­ лены попарно тремя невесомыми и нерастяжимыми нитями одинаковой длины. Система находится в покое. Неожиданно одна из нитей рвётся.

С какими по величинам ускорениями начнут двигаться шарики сразу после обрыва нити?

6. (10–11) Имеются два одинаковых незаряженных конденсатора и бата­ рейка с ЭДС. Из них разрешается собирать любые электрические схемы, и повторять сборку и разборку много раз. Как это не удиви­ тельно, с помощью последовательности таких действий можно зарядить один из конденсаторов до напряжения, сколь угодно мало отличающе­ гося от 2. Как именно это нужно делать? Почему это приведёт к нужному результату?

7. (10–11) На горизонтальном столе лежит лист бумаги с напечатанным текстом. На текст положили лупу (собирающую линзу).

За столом сидит человек и смотрит на текст через лупу. Поскольку линза лежит далеко от края стола, направление взгляда составляет с расположенной вертикально главной оптической осью линзы угол при­ мерно 45.

Что касается автоматической сиг- Что касается автоматической сигнализации от воров, мистер Твен, я не нализации от воров, мистер Твен, я не одного, а миссис Мак-Вильямс друго- одного, а миссис Мак-Вильямс другого и мы поступаем, как хочется миссис го и мы поступаем, как хочется миссис Человек видит, что изображение текста в лупе немного искажается и строчки «выгибаются вверх» (рисунок слева). Объясните, почему именно «вверх», а не «вниз» («неправильный» рисунок справа).

8. (10–11) Молекула водорода может находиться в двух устойчивых состояниях, которые называются «орто» (спины ядер двух атомов в молекуле H2 имеют одинаковое направление) и «пара» (спины имеют противоположное направление). Молекулы H2 могут самопроизвольно обратимо перестраиваться, равновесное соотношение зависит от темпе­ ратуры:

Конфигурация Комнатная температура, 20,4 K (температура кипения молекулы H2 атмосферное давление H2 ), атмосферное давление Газообразный водород комнатной температуры превратили в жид­ кий, охладив до кипения = 20,4 K, и поместили в теплоизолированный сосуд со свободным удалением испаряющегося водорода при атмосфер­ ном давлении. Что произойдёт с жидким водородом в сосуде: уста­ новится равновесная «орто»/«пара»-концентрация или водород полно­ стью испарится?

Перестройка молекул «орто» «пара» идёт с выделением тепла, удельная теплота этого процесса составляет = 719 кДж/кг, про­ цесс протекает достаточно медленно. Считать, что удельная теплота испарения H2 в этих условиях не зависит от состава смеси и равна = 447 кДж/кг, а различие молекул H2 на процессе испарения никак не сказывается.

Ответы и решения 1. (6–9) Почему чайный пакетик, если его залить кипятком — обычно всплывает, а если опустить в кипяток — обычно тонет? В чём разница?

Объяснение. Чайный пакетик сделан из пористого материала.

В этом материале очень много маленьких дырочек — чтобы пропус­ кать кипяток внутрь пакетика и заваренный чай обратно из пакетика в стакан.

Ни одной более крупной дырочки в пакетике быть не должно — иначе будет просыпаться заварка. А пакетик как раз нужен для того, чтобы чаинки не попали в чай и не просыпались ещё раньше.

Сухой чайный пакетик хорошо пропускает воздух через те же маленькие дырочки, предназначенные для воды.

А через мокрые стенки пакетика воздуху пройти намного труднее — все маленькие дырочки уже заняты водой.

Под водой воздух собирается в пузырьки. Пузырёк целиком в маленькую дырочку в стенке пакетика не поместится. (Конечно, его можно «продавить», например, прижав пакетик к стенке чайной лож­ кой.) Если пакетик лежит на дне стакана и сверху льют кипяток — вся поверхность пакетика сразу оказывается мокрой. Весь воздух, который был внутри, так там и останется. Именно из-за воздуха внутри такой пакетик и плавает.

Когда мы опускаем пакетик в чай, вода в него проникает снизу, занимая место воздуха, который может свободной выходить сверху, где стенки пакетика пока ещё сухие.

Чтобы разобраться в том, что и как происходит с чайными пакети­ ками, лучше не читать приведённое описание, а поставить эксперимент с настоящими пакетиками.

И ещё замечание. Так, как описано, пакетики ведут себя обычно.

Конечно, могут быть и исключения. Например, если залитый пакетик случайно окажется дырявым. Кроме того, жюри имело ввиду чай­ ные пакетики, привычные для московских и российских школьников.

А вообще чайные пакетики могут выглядеть и вести себя самым экзо­ тическим и непривычным образом. Например, «чайный пакетик» в виде сеточки с крупными кусками чайного листа внутри не подходит под описание задачи и почти всегда будет тонуть, так как воздуху там удержаться негде.

2. (6–9) По расписанию поезд должен проехать участок железной дороги со скоростью 60 км/ч. Поезд опаздывает на 5 минут. Рассчи­ тайте, сколько километров машинисту нужно проехать со скоростью 70 км/ч, чтобы ликвидировать опоздание.

Решение. Двигаясь со скоростью 60 км/ч и отставая на 5 минут, поезд находится от того места, где он должен был бы сейчас быть по расписанию, на расстоянии (в одном часе — 60 минут).

За один час разница пройденного расстояния со скоростями 70 км/ч и 60 км/ч составит, очевидно, 10 км. А поезду нужно «нагнать» только 5 км, что случится за полчаса. За это время поезд со скоростью 70 км/ч проедет расстояние Ответ. Поезду, чтобы «нагнать» расписание, нужно проехать рас­ стояние 35 км.

3. (7–11) Мышка, Кошка и Жучка умеют бегать по плоскости с постоянной скоростью, причём Кошка бегает быстрее Мышки, а Жучка — быстрее Кошки. Кошка всё время бежит по направлению на Мышку, а Жучка — по направлению на Кошку.

Первоначально Мышка, Кошка и Жучка сидят на одной прямой линии, (Кошка — между Жучкой и Мышкой). Известно, что если Мышка будет убегать от Кошки вдоль этой прямой линии, никуда не сворачивая, то Кошка поймает Мышку раньше, чем Кошку догонит Жучка.

Может ли так получиться, что Мышка, убегая более хитрым спосо­ бом, сумеет сделать так, что Кошка встретится с Жучкой раньше, чем поймает Мышку? Объясните, почему.

Ответ. Да, такая ситуация возможна.

Решение. Понятно, Мышке нужно ускорить встречу Кошки с Жуч­ кой по сравнению с вариантом убегания по прямой.

Подберём параметры задачи так, чтобы последующее решение было легко придумать и объяснить.

Посадим Кошку на очень маленьком расстоянии от Мышки. Пусть разница скоростей Кошки и Мышки тоже будет очень маленькая. То есть по условиям задачи у Мышки будет «хвост» в виде кошки, факти­ чески повторяющий все движения самой Мышки. И так до тех пор, пока Кошка Мышку не поймает. Но из-за маленькой разности их скоростей это случится не сразу.

Посадим Жучку очень далеко от Кошки с Мышкой. А скорость Жучки сделаем такой, чтобы в случае движения всех зверей вдоль прямой линии Жучка, Кошка и Мышка встретились бы почти одно­ временно (Жучка с Кошкой — чуть-чуть позже, чем Кошка с Мышкой, как это требуется по условию.) Теперь опишем нужный пример. Мышка начинает бежать в направ­ лении от Кошки и тут же начинает разворот по окружности на градусов. Радиус разворота должен быть намного больше чем рас­ стояние Кошка—Мышка. Поэтому в результате разворота расстояние Кошка—Мышка будет не сильно меньше, чем в случае погони по пря­ мой, продолжавшейся такое же время.

В то же время радиус разворота нужно выбрать существенно меньше, чем расстояние от места разворота до Жучки. То есть с точки зрения Жучки получается, что Мышка развернулась практически на месте и теперь бежит прямо на Жучку. А за Мышкой — Кошка.

В этой ситуации Кошка встретится с Жучкой раньше, чем с Мыш­ кой. В самом деле, скорость Жучки была подобрана так, чтобы все животные встретились почти одновременно в случае, когда Жучка и Кошка бегут в одном направлении. Когда же они бегут навстречу друг другу с теми же скоростями — времени от начала движения до момента встречи пройдёт меньше.

Мышка же к моменту встречи не будет поймана Кошкой, как мы выяснили выше — потому, что в этих условиях зависимость расстояния Кошка—Мышка от времени будет почти такой же, как и в случае погони вдоль прямой линии.

На рисунке приведена схема «погони». Первоначально Жучка, Кошка и Мышка расположены на координатной оси в точках с координатами 0, 9 и 10 соответственно. Скорости животных выбраны пропорционально числам 1,441, 1,045 и 1 соответственно. Мышка сна­ чала разворачивается по полукругу диаметра 4, а затем бежит по прямой.

Стрелочки на каждой траектории поставлены через одинаковые интервалы времени. Поскольку по условию догоняющий всегда бежит точно по направлению к тому, кого он догоняет, соответствующие друг другу стрелочки также указывают друг на друга.

Для наглядности соотношения между некоторыми геометрическими параметрами сильно преувеличены по сравнению с оговоренными в решении задачи.

На всякий случай убедимся, что выбранные координаты и скоро­ сти соответствуют условию: Мышку, если она будет убегать по прямой, Кошка поймает раньше, чем Жучка Кошку. Чтобы определить услов­ ное «время» поимки, мы разделим первоначальное расстояние между тем, кого ловят, и тем, кто ловит, на разницу их условных скоростей 4. (8–11) В карманных механических часах основной механизм, обес­ печивающий точный отсчёт равных интервалов времени («механизм спуска») представляет собой подпружиненный поворотный маятник, который должен поворачиваться вокруг своей оси туда-обратно.

С целью увеличения точности хода часов применяется на первый взгляд неожиданное техническое решение — «механизм спуска» кре­ пится не к корпусу часов, а к той же шестерёнке, к которой прикреплена секундная стрелка. Почему это увеличивает точность хода?

Решение. Если ось поворотного маятника (вокруг которой он пово­ рачивается туда—обратно) проходит точно через его центр масс (через центр масс детали, совершающей эти колебания), то период колебаний не будет зависеть от ориентации часов в пространстве.

Но точно изготовить поворачивающуюся деталь с расположением её центра масс на оси вращения трудно. А в случае отклонений период колебаний маятника (и скорость хода часов) будет зависеть от ориента­ ции маятника в пространстве.

Если центр масс поворотного маятника окажется ниже его оси вращения, из-за наличия силы тяжести на маятник будет действо­ вать дополнительная возвращающая сила (как у обычного маятника:

поворотный маятник окажется как бы «подвешенным»). В результате наличия возвращающей силы период колебаний будет меньше и часы будут ходить быстрее.

Если, наоборот, часы положить так, что центр масс поворотного маятника окажется выше оси вращения, период колебаний будет больше (из-за дополнительной «отклоняющей» силы, обусловленной действием силы тяжести), скорость хода часов замедлится.

Очевидно, не очень хорошо, когда скорость хода часов зависит от того, на какой бок их положили.

Описанное в задаче решение как раз и устраняет этот недостаток.

Секундная стрелка вместе со своей ведущей шестерёнкой делает один оборот в минуту. Если положение этой шестерёнки оказалось вертикаль­ ным или наклонным, вертикальная ориентация поворотного маятника будет также меняться раз в минуту. И работа часового механизма не будет зависеть от того, как именно расположены часы.

Описанная система носит название «турбийон». Турбийон впервые сконструировал и запатентовал в 1795–1801 годах французский часов­ щик швейцарского происхождения Абрахам-Луи Бреге (1747–1823).

В современных условиях детали часового механизма можно изгото­ вить с достаточной точностью, не требующей компенсации с помощью турбийона или аналогичных механизмов. Но часы с турбийоном по­ прежнему выпускаются — как дань традиции. Как и вообще механиче­ ские часы, уступившие свои позиции электронным часам, мобильным телефонам, компьютерам и прочим электронным устройствам, показы­ вающим время.

5. (9–11) В космосе вдали от других тел находятся три одинаковых маленьких шарика с массами и зарядами каждый. Шарики скреп­ лены попарно тремя невесомыми и нерастяжимыми нитями одинаковой длины. Система находится в покое. Неожиданно одна из нитей рвётся.

С какими по величинам ускорениями начнут двигаться шарики сразу после обрыва нити?

Решение. При небольших (в сравнении с длиной целой нити ) сме­ щениях от прежнего положения равновесия шарики, можно считать, движутся с постоянными ускорениями. При этом проекции скоростей пар шариков на нить, которая их соединяет, должны быть одинако­ выми, так как нить нерастяжима. Если шарик, к которому прикреп­ лены две оставшиеся целыми нити, сместился вдоль биссектрисы угла, образованного оставшимися целыми нитями, на небольшое расстояние, то проекции смещений двух других шариков на соответствую­ щие нити должны быть равны cos 30 = Смещения же y этих крайних шариков в направлениях, перпенди­ кулярных соответствующим нитям должны быть такими, чтобы центр масс всей системы шариков остался на прежнем месте. Соответственно, на прежнем месте должна остаться и проекция центра масс на направ­ ление смещения центрального шарика. Отсюда получается связь:

Полное смещение крайних шариков складывается из двух: смещения вдоль первоначального направления нити и смещения поперёк этого направления:

Таким образом, модули полных смещений крайних шариков в раз больше модуля смещения среднего шарика. Во столько же раз отли­ чаются и ускорения, с которыми сразу после разрыва нити движутся шарики.

Увеличение расстояния между крайними шариками при этом равно:

Потенциальная энергия системы уменьшилась примерно на Обозначим скорость, приобретённую средним шариком к моменту, когда он сместился на, символом. Из закона сохранения энергии Известно, что скорость, ускорение и смещение связаны соотно­ шением Отсюда следует, что ускорение среднего шарика равно по величине Ускорения крайних шариков по модулю в 7 раз больше.

Ответ. Сразу после обрыва нити центральный шарик будет дви­ Пояснение. На рисунке показаны описанные в решении задачи сме­ щения шариков: наложены друг на друга исходная конфигурация и конфигурация после смещения центрального шарика на.

Рисунок приведён в двух вариантах. Слева показаны только рас­ положения шариков и нитей; этот рисунок для удобства восприятия геометрической картинки не содержит никаких пояснений. Справа — на таком же рисунке кроме того отмечены смещения шариков (и проекции этих смещений), которые упомянуты в решении и могут пригодиться для понимания и анализа решения.

Для наглядности на рисунке не выполнено соотношение, в связи с чем картинка смещения шариков не полностью соответствует действительной: на рисунке выполнено условия равенства проекций сме­ щений шариков на первоначальные направления нитей, в то время как на самом деле направления нитей меняются со временем и в каждый момент условие проекций определяется направлениями нитей в данный момент времени.

Другое решение. Задачу можно решить и «статическим» мето­ дом, не рассматривая малых перемещений. Для этого нужно аккуратно переформулировать данные условия в непривычной динамической ситу­ ации.

Например, нерастяжимость нити соответствует утверждению: «про­ екции ускорений концов нити на саму нить равны друг другу». В самом деле, если бы это было не так — у длины нити появилось бы «ускоре­ ние», равное разности ускорений концов, но длина нерастяжимой нити меняться не должна5.

Рассмотрим участок нити в указанный условии задачи момент (раз­ рыв нижнего участка нити произошёл, но положение шариков пока ещё не изменилось) между шариками, обозначенными на рисунке цифрами «1» и «2». Для его силы натяжения введём обозначение.

Для силы попарного электростатического взаимодействия шариков (их заряды, расстояние между ними ) введём обозначение = 2.

Мы допускаем ситуацию =. И по ходу решения именно так оно и окажется, хотя это и может показаться неожиданным.

Определим в соответствии со 2 законом Ньютона проекцию ускоре­ ния шарика «1» на направление «1»«2» (напомним, это направление 5 Точнее, это условие неизменности длины проекции нити на направление нити в данный момент. Но, поскольку нить в первый момент неподвижна, этим же условием можно воспользоваться и для длины самой нити.

определяется по первоначальному положению шариков «1» и «2»):

Определим проекцию ускорения шарика «2» на это же направление:

Эти проекции, как разъяснено выше, равны друг другу:

Теперь, зная массу шариков и все действующие на них силы, мы можем найти требуемые в условии задачи ускорения (для векторного сложения сил применим теорему косинусов):

Дополнение. Жюри не предполагало учёт в решении данной задачи гравитационного взаимодействия между шариками. Но довольно большое решавших задачу такое взаимодействие учитывали (возможно, их натолкнуло на эту мысль информация из условия о том, что дело про­ исходит «в космосе»). В этом случае решение ничем принципиально не отличается. Поскольку и электростатические, и гравитационные силы имеют одинаковую зависимость 1/2 от расстояния, учёт гравитаци­ онных сил приведёт только к наличию дополнительного поправочного множителя в выражениях для силы взаимодействия между шари­ ками. (А если силы гравитационного притяжения окажутся больше сил электростатического отталкивания, то этот множитель будет отри­ цательным, что несколько поменяет смысл задачи, не изменив при этом формальных вычислений.) 6. (10–11) Имеются два одинаковых незаряженных конденсатора и батарейка с ЭДС. Из них разрешается собирать любые электрические схемы, и повторять сборку и разборку много раз. Как это не удиви­ тельно, с помощью последовательности таких действий можно зарядить один из конденсаторов до напряжения, сколь угодно мало отличающе­ гося от 2. Как именно это нужно делать? Почему это приведёт к нужному результату?

Решение. Основная идея понятна. Заряжаем один конденсатор от батарейки до напряжения. Затем включаем заряженный конденса­ тор последовательно с батарейкой, получается «батарейка» с напряже­ нием 2.

Теперь заряжаем от этой «батарейки» второй конденсатор. При этом, если ранее этот конденсатор был заряжен до напряжения менее 2, «батарейка» частично «разрядится» (за счёт разряда входящего в её состав конденсатора), её напряжение станет меньше 2. А напряжение на конденсаторе, наоборот, увеличится.

Теперь опять «сконструируем» батарейку с напряжением 2 и ещё подзарядим конденсатор.

Будем повторять описанный процесс многократно. После каждого раза напряжение на заряжаемом конденсаторе будет всё меньше и меньше отличаться от 2.

Теперь посчитаем всё аккуратно.

Имеется батарейка с ЭДС и конденсатор C1 ёмкостью, заряжен­ ный до напряжения и подсоединённый к батарейке последовательно (с соблюдением полярности, то есть между свободными выводами бата­ рейки и конденсатора напряжение 2 ).

Подсоединяем к этим свободным выводам конденсатор C2 ёмкости, уже заряженный до напряжения 0 < 2 (полярность соединения обратная, такая, чтобы конденсатор дополнительно подзарядить).

Обозначим заряды, которые установятся на конденсаторах в собран­ ной цепи после перераспределения и установления равновесия, 1 и соответственно.

Первоначально конденсаторы имели заряды и 0. Сумма этих зарядов сохранится, так как в схеме есть изолированный участок, содер­ жащий обкладки двух конденсаторов с суммарным зарядом + 0.

Отсюда получаем уравнение Напряжения на конденсаторах выражаются через заряды: 1 / и 2 /. Разность этих напряжений должна компенсировать ЭДС бата­ Складываем полученные уравнения:

а это и есть установившееся напряжение на конденсаторе C2.

После повторения описанного действия ещё раз (с исходным напря­ жением + 1 0 на конденсаторе С2) мы получим напряжение На следующей итерации:

и т. д.

Нетрудно понять, что в конце концов (после бесконечного количе­ ства повторений описанной операции) конденсатор C2 окажется заря­ женным до напряжения 2.

7. (10–11) На горизонтальном столе лежит лист бумаги с напечатанным текстом. На текст положили лупу (собирающую линзу).

За столом сидит человек и смотрит на текст через лупу. Поскольку линза лежит далеко от края стола, направление взгляда составляет с расположенной вертикально главной оптической осью линзы угол при­ мерно 45.

Что касается автоматической сиг- Что касается автоматической сигнализации от воров, мистер Твен, я не нализации от воров, мистер Твен, я не одного, а миссис Мак-Вильямс друго- одного, а миссис Мак-Вильямс другого и мы поступаем, как хочется миссис го и мы поступаем, как хочется миссис Человек видит, что изображение текста в лупе немного искажается и строчки «выгибаются вверх» (рисунок слева). Объясните, почему именно «вверх», а не «вниз» («неправильный» рисунок справа).

Объяснение. Рассмотрим луч, проходящий через центр лупы.

Направление этого луча не меняется, что соответствует приближе­ нию тонкой линзы. Но этот луч испытывает как бы «параллельный перенос» в пространстве. Участок изображения, которому этот луч соответствует, реально находится там, где этот луч пересекается с листом бумаги (горизонтальная линия). А наблюдателю кажется, что этот участок находится там, где лист бумаги пересекается пунктирной линией — продолжением части луча, идущей к наблюдателю.

Такой же эффект проявляется во всех других частях лупы (не только центральной), накладываясь на то изображение, которое должна была бы сформировать лупа в приближении тонкой линзы.

Чем меньше толщина участка линзы, формирующего какой-то уча­ сток изображения, тем меньше проявляются описанные искажения для этого участка. В частности, края линзы (где толщина линзы мини­ мальна) формируют свои участки изображения практически без откло­ нений (на тех же местах, где их должна была бы сформировать идеаль­ ная тонкая линза).

На рисунке некоторые геометрические параметры преувеличены по сравнению с реальными для большей наглядности.

8. (10–11) Молекула водорода может находиться в двух устойчивых состояниях, которые называются «орто» (спины ядер двух атомов в молекуле H2 имеют одинаковое направление) и «пара» (спины имеют противоположное направление). Молекулы H2 могут самопроизвольно обратимо перестраиваться, равновесное соотношение зависит от темпе­ ратуры:

КонфигурацияКомнатная температура,20,4 K (температура кипения молекулы H2 атмосферное давление H2 ), атмосферное давление Газообразный водород комнатной температуры превратили в жид­ кий, охладив до кипения = 20,4 K, и поместили в теплоизолированный сосуд со свободным удалением испаряющегося водорода при атмосфер­ ном давлении. Что произойдёт с жидким водородом в сосуде: уста­ новится равновесная «орто»/«пара»-концентрация или водород полно­ стью испарится?

Перестройка молекул «орто» «пара» идёт с выделением тепла, удельная теплота этого процесса составляет = 719 кДж/кг, процесс протекает достаточно медленно. Считать, что удельная теплота испа­ рения H2 в этих условиях не зависит от состава смеси и равна = 447 кДж/кг, а различие молекул H2 на процессе испарения никак не сказывается.

Решение. В случае преобразование какой-то части водорода из «орто»-конфигурации в «пара»-конфигурацию количество «орто»-водорода в сосуде, очевидно, уменьшится: часть «орто»-водорода превратилась в «пара»-водород, а потом ещё в результате выделения тепла часть «орто»-водорода испарилась.

А вот количество «пара»-водорода в сосуде в таком процессе может как уменьшиться, так и увеличиться. Это зависит от того, что будет больше: количество «пара»-водорода, образовавшегося в этом процессе, или количество «пара»-водорода, испарившегося в результате выделе­ ния теплоты в этом же процессе.

По условию различие молекул H2 на процессе испарения никак не сказывается. Поэтому при выделении в сосуде какого-то количества теплоты количество испарившихся «орто»- и «пара»-молекул водорода будет пропорционально концентрации таких молекул.

Пусть в сосуде концентрация молекул параводорода среди всех моле­ кул составляет. Пусть в результате преобразование небольшого коли­ чества водорода из состояния «орто» в состояние «пара» выделилось количество теплоты. В этом случае образуется параводород в коли­ честве / и испарится параводород в количестве /.

Найдём равновесную концентрацию, при которой параводорода испаряется столько же, сколько и образуется:

То есть мы выяснили, что пока концентрация параводорода не достигнет / 62%, весь водород испариться не сможет. Действи­ тельно, в начале у нас уже было 25% параводорода, и потом его количество только увеличивалось.

А когда концентрация параводорода / 62% уже достигнута, запас теплоты преобразования, содержащийся в оставшемся ортоводо­ роде (концентрация которого равна 1 ) уже недостаточен, чтобы испарить весь имеющийся жидкий водород.

Действительно, если удельная теплота преобразования чистого орто­ водорода равна, то для смеси с концентрацией ортоводорода (1 ) эта величина равна По данным условия Ответ. В сосуде с жидким водородом установится равновесная «орто»/«пара»-концентрация, полного испарения водорода к этому моменту не произойдёт.

Комментарий. Более точный и аккуратный подсчёт показывает, что в сосуде должно остаться около 29% от первоначального количе­ ства жидкого водорода. (Ещё точнее подсчитывать бесполезно, т. к. в условии задачи учтены не все тонкости реального процесса.) Водород достаточно широко используется в качестве ракетного топ­ лива и сырья в химической промышленности. Описанное в задаче необычное поведение жидкого водорода при этом создаёт серьёзные проблемы. Ситуацию, когда примерно 70% произведённого жидкого водорода за первые дни хранения самопроизвольно испаряется (да ещё и создаёт взрывоопасную смесь с воздухом), нельзя признать удовлетво­ рительной. Поэтому ортоводород обычно преобразуют в параводород с помощью катализаторов прямо в процессе производства жидкого водорода.

Проверка и награждение Инструкция для проверяющих работы За каждую задачу ставится одна из следующих оценок:

Если в работе нет никакого текста по данной задаче — за эту задачу ставится оценка «0».

Если задача решена верно (это решение может быть как похо­ жим на приведённое здесь, так и совершенно оригинальным; главное, чтобы оно было грамотным с научной точки зрения и давало ответ на поставленный в задании вопрос) — за него ставится оценка «+». Гра­ мотность, содержательность, оригинальность решения можно отмечать оценкой «+!» (если такая оценка поставлена, то дальнейшие недочёты не отмечаются, впрочем, если есть серьёзные недочёты, то нужно поду­ мать, стоит ли вообще ставить «+!»). Мелкие недочёты отмечаются оценкой «+.», а более серьёзные проблемы — оценкой «±». Не имеет зна­ чения, как именно «оформлен» пробел в решении — школьник ошибся, просто пропустил логически необходимый фрагмент решения или явно указал («признался») что он что-то не обосновывает.

Оценка «+/2» ставится, если школьник продвинулся на пути к верному решению примерно наполовину. Это последняя оценка, которая содержательно учитывается при подведении итогов.

Оценка «» ставится, если решение неверно, но сделан хотя бы один логический шаг в любом верном направлении.

Оценка «.» ставится, если школьник на пути к решению с места не сдвинулся, но упомянул что-то, что на этом пути может пригодится.

Оценка «» ставится, если в решении не содержится абсолютно никаких полезных для решения сведений, новых по сравнению с усло­ вием (только данные из условия, но переписанные в определённом логи­ ческом порядке, могут быть частью верного решения, за что ставится оценка выше, чем «»).

Одна из основных целей подробной шкалы оценок — «обратная связь» со школьниками — почти все они узнют свои оценки. Поэтому оценки нужно выбирать внимательно, даже тогда, когда выбор не вли­ яет на итоговый результат. По этой же причине нужно оценивать в основном физику (и математику в той мере, в какой она необходима для решения конкретной задачи). Грамматические ошибки никак не учитываются. За описки в формулах оценка по возможности ста­ вится «+.» (но если это дальше привело к серьёзным проблемам — ставится более низкая оценка, тут ничего не поделаешь). За арифмети­ ческие ошибки (при верном подходе к решению) в основном ставится «+.» или «±» в зависимости от серьёзности последствий. Если задача была именно на вычисления и в результате проблем с этими вычис­ лениями получен принципиально неверный ответ — за это обычно ставится «+/2».

Разумеется, форма записи условия (в том числе отсутствие условия в работе), а также форма записи решения никак не должна влиять на оценку.

За верно угаданный (без дополнительных разъяснений) ответ из двух очевидных возможных вариантов ставится «», из трёх и больше вариантов — «+/2».

Зачёркнутое верное решение учитывается также, как незачёркнутое.

Особенно внимательно относитесь к «ляпам» младших ( 7 класса) школьников, которые только начали учиться физике (или даже ещё не начинали). Не судите их за это строго. Если понятно, что именно хотел сказать ребёнок, и это правильно — ставьте «+».

Подведение итогов При подведении итогов учитываются только решения задач своего и старших классов. Оценки за задачи, адресованные более младшим клас­ сам, чем класс, в котором учится участник, при подведении итогов никак не учитываются.

Оценка «e» (балл многоборья) ставилась в следующих случаях:

— класс не старше 6 и не менее 1 оценки не хуже +/ — класс не старше 8 и не менее 2 оценок не хуже +/ — класс не старше 10 и не менее 4 оценок не хуже +/ — класс не старше 11 и не менее 1 оценки не хуже ± — класс не старше 11 и не менее 4 оценок не хуже +/2, среди которых не менее 1 оценки не хуже ± Оценка «v» (грамота за успешное выступление в конкурсе по физике) ставилась в следующих случаях:

— класс не старше 6 и не менее 2 оценок не хуже +/ — класс не старше 7 и не менее 1 оценки не хуже ± — класс не старше 11 и не менее 2 оценок не хуже ± В случае, если поставлена оценка «v», оценка «e» не ставится.

Статистика Приводим статистику решаемости задач конкурса по физике. Эта ста­ тистика даёт интересную дополнительную информацию о задачах (и задании конкурса по физике в целом): насколько трудными ока­ зались задачи, какие задачи оказались наиболее предпочтительными для школьников, и т. п.

В приведённой статистике учтены все работы по физике, сданные школьниками (в том числе и абсолютно нулевые). Школьники, не сдав­ шие работ по физике, в этой статистике не учтены.

Сведения о количестве школьников по классам, получивших гра­ моту по физике («v»), получивших балл многоборья («e»), а также общем количестве участников конкурса по физике (количестве сданных работ).

Сведения о количестве участников конкурса по классам и количе­ стве решённых ими задач. При составлении таблицы решёнными счита­ лись задачи своего или более старшего класса, за которые поставлены оценки «+!», «+», «+.» и «±». Две оценки «+/2» за задачи своего или старшего класса при составлении таблицы условно отмечались как одна решённая задача.

Сведения о распределении оценок по задачам. Оценки «+!», «+», «+.», «±» и «+/2» считались как по классам, для которых рекомендо­ вана задача, так и по младшим классам; оценки «», «.», «» и «0»

считались только по классам, соответствующим задаче.

Всего 6058 6042 9341 7980 5634 3507 Конкурс по химии Задания Участникам 8 классов (и младше) предлагается решить 1–2 задачи, участникам 9–11 классов — 2–3 задачи. После номера каждой задачи в скобках указано, каким классам она рекомендуется. Также можно решать задачи старших классов. Решённые задачи класса младше сво­ его не влияют на оценку.

1. (8) Железные опилки смешали с такой же массой серы. Полученную смесь нагрели в тигле без доступа воздуха. Получили тёмно-коричневую массу и охладили её до комнатной температуры. Будет ли эта масса притягиваться магнитом? Ответ объясните.

2. (8–9) В двух баллонах находятся оксид углерода(II) и оксид угле­ рода(IV). Предложите несколько способов определения, в каком бал­ лоне какой газ находится. Приведите, если нужно, уравнения реакций.

3. (8–9) Приведите уравнения реакций, позволяющие осуществить сле­ дующие превращения. Определите вещество Х. Каждая стрелка соот­ ветствует одной реакции.

4. (8–11) В раствор, содержащий 4 г сульфата меди, погрузили кад­ миевую пластинку. После полного вытеснения меди из раствора масса пластинки уменьшилась на 3%. Определите первоначальную массу пла­ стинки.

5. (8–10) При действии избытка щёлочи на 23 г твёрдого вещества было получено 4,48 л аммиака (н. у.). При прокаливании такого же количе­ ства этого вещества образовалось 14,2 г твёрдого остатка, представляю­ щего собой оксид, содержащий 56,34% кислорода. Определите формулу вещества. Приведите уравнения упомянутых реакций.

6. (9–10) Чтобы понять сущность процессов превращения минералов, часто бывает удобно (хотя и не всегда обоснованно) представить их фор­ мулы в виде сочетания оксидов (например, CaO · CO2 вместо CaCO3, FeO · Fe2 O3 вместо Fe3 O4 ). Выразите в таком виде, более привычном для химика, следующие превращения.

Переход данбурита в датолит на границе с известняком:

Превращение волластонита, магнетита и кварца в геденбергит и андрадит:

4CaSiO3 + Fe3 O4 + SiO2 = CaFeSi2 O6 + Ca3 Fe2 Si3 O 7. (9–11) В закрытый сосуд неизвестного объёма ввели 560 г азота и 16 г водорода. После нагревания до 500 С в присутствии катализатора в реакцию вступило 75% водорода, и установилось равновесие при дав­ лении 15 атм. Определите объём сосуда.

8. (10–11) Причиной трагедий в угольных шахтах чаще всего явля­ ются взрывы смесей метана с воздухом, в которых объёмная доля метана составляет 5–15%. Представляет ли опасность смесь с плотно­ стью 1,225 г/л? (н.у.). При расчёте молярную массу воздуха считать равной 29,0.

Почему взрывоопасны смеси именно такого состава? Предложите объяснение.

9. (11) Расшифруйте приведённую схему превращений: изобразите структурные формулы всех упомянутых в схеме веществ, напишите уравнения реакций и укажите условия их протекания.

CH3 COOH Решения 1. (8) Железные опилки смешали с такой же массой серы. Полученную смесь нагрели в тигле без доступа воздуха. Получили тёмно-коричневую массу и охладили её до комнатной температуры. Будет ли эта масса притягиваться магнитом? Ответ объясните.

Решение. При нагревании смеси железа и серы между ними прохо­ дит химическая реакция с образованием сульфида железа Полученное коричневое вещество — это уже не смесь железа и серы, а новое вещество. Железо присутствует только в виде химического эле­ мента, а простого вещества больше нет, поэтому продукт не будет при­ тягиваться магнитом6.

Однако это верно только если железо полностью вступило в реак­ цию. Но это не обязательно так. Вещества взаимодействуют не в любых, а только в определённых количественных отношениях. По уравнению реакции Fe + S = FeS видно, что один атом железа Fe взаимодействует с одним атомом серы S. Относительная атомная масса железа 56, а серы 32. Это и задаёт количественное отношение при взаимодей­ ствии. Так как масса железа, вступающего в реакцию, больше, чем масса серы, а в условии задачи указано, что взяты одинаковые массы, то значит железо прореагирует полностью, а сера останется в избытке.

Значит полученный продукт представляет собой смесь FeS и S, а сво­ бодного железа там в самом деле нет. Продукт не будет притягиваться магнитом.

Однако остаётся ещё одна возможность, при которой железо прореа­ гирует не полностью. Дело в том, что химические реакции протекают не мгновенно, а с определённой скоростью. Кроме того, чтобы атомы про­ реагировали между собой, они должны «повстречаться». А если хотя бы один из реагентов — твёрдое вещество, то на это требуется время, а иногда это просто не случается, и вещество может не полностью всту­ пить в реакцию даже если второй реагент присутствует в избытке.

Таким образом, несмотря на сказанное выше, в продукте может остаться непрореагировавшее железо, так что, строго говоря, однознач­ ного ответа на вопрос не существует. А при проверке оценивались все элементы приведённого выше рассуждения.

2. (8–9) В двух баллонах находятся оксид углерода(II) и оксид угле­ рода(IV). Предложите несколько способов определения, в каком бал­ лоне какой газ находится. Приведите, если нужно, уравнения реакций.

Решение. Прежде всего — эти газы ядовиты! Все эксперименты с ними нужно проводить так, чтобы вдыхание газов экспериментатором (и находящимися рядом с ним людьми) было исключено.

Газы можно различить по физическим свойствам. Оба газа без цвета, но угарный газ CO легче воздуха ( = 28 г/моль), а углекис­ лый CO2 — тяжелее ( = 44 г/моль). Для использования различия в 6 Магнитными свойствами обладают все вещества. Но у большинства веществ эти свойства очень слабые, поэтому мы не говорим, что они «притягиваются к магниту».

молекулярной массе необходимо убедиться, что давление в баллонах одинаково, а также сами баллоны тоже должны быть одинаковыми. Но всё равно этот способ не очень удобен для практического применения.

Например, для баллонов объёмом 22,4 л, содержащих газы при нор­ мальных условиях, различие в массе составит только 16 г, в то время как масса такого баллона более 10 кг.

Можно схитрить и «налить» газообразный CO2 в какой-нибудь сосуд. А затем «окунуть» туда мыльный пузырь, надутый газообраз­ ным CO (или обычным воздухом — его плотность почти такая же). Если эксперимент выполнить аккуратно, добившись необходимой маленькой массы мыльной плёнки на пузыре и отсутствия перемешивания CO2 с воздухом в сосуде — пузырь «зависнет» на поверхности раздела CO2 и воздуха. Если же поменять газы местами — этот эффект наблюдаться не будет.

Гораздо удобнее использовать для определения газов их химические свойства. CO является несолеобразующим оксидом, очень малоактив­ ным в химическом отношении, но при определённых условиях может выступать восстановителем и образовывать комплексы с металлами.

Кроме того, CO горит на воздухе. CO2 проявляет кислотные свойства.

Проще всего определить, где какой газ, при помощи различий в кис­ лотно-основных свойствах.

При пропускании углекислого газа через раствор гидроксида каль­ ция раствор мутнеет (CO2 + Ca(OH)2 = CaCO3 + H2 O), в то время как угарный газ с Ca(OH)2 не взаимодействует и раствор остаётся прозрач­ ным.

Также газы можно пропустить через обычную воду. CO2 при рас­ творении образует угольную кислоту, что можно легко определить при помощи индикатора. CO с водой не реагирует, соответственно, при про­ пускании газа через воду кислотность раствора изменяться не будет.

В определённых случаях CO2 может реагировать с магнием при высоких температурах 2Mg + CO2 = 2MgO + C, выступая как окисли­ тель, т. е. поддерживая горение магния. Но в большинстве случаев CO2, например, в реакции с древесиной, не может выступать окислителем, т. е. горение не поддерживает, и зажжённая лучина (свеча, спичка), внесённая в струю или атмосферу CO2, гаснет. Но и CO, имеющий более низкую степень окисления углерода, чем в CO2, тем более не может выступать окислителем и поддерживать горение, поэтому горя­ щий предмет погаснет, если его внести в струю газа из обоих баллонов, т. е. этот способ нельзя использовать для различения газов. CO участ­ вует в реакции горения в качестве восстановителя, окисляясь кислоро­ дом: 2CO + O2 = 2CO2. А CO2 с кислородом не реагирует.

Существуют реакции, в которые вступает CO и не вступает CO2.

Например при нагревании и высоком давлении CO образует коорди­ национные комплексы с некоторыми переходными металлами, которые называются карбонилами (Ni(CO)4, Fe(CO)5 ), но из-за сложности про­ ведения использовать эти реакции для различения двух газов затруд­ нительно.

CO взаимодействует с хлором при облучении светом, образуя ядо­ витый газ фосген. CO2 с хлором не взаимодействует. Формально это позволяет различить два газа, но поскольку такая реакция приводит к образованию чрезвычайно ядовитого соединения, как способ определе­ ния газов её использовать нельзя.

Эти газы также обладают различным физиологическим действием.

Угарный газ CO сильно токсичен, связывается с гемоглобином, препят­ ствуя переносу кислорода в организме, отравление наступает уже при содержании 0,08% CO в воздухе. Углекислый газ гораздо менее ток­ сичен, в малых количествах он даже необходим живым организмам, т. к. участвует во многих физиологических процессах, и признаки отрав­ ления наблюдаются только при концентрации CO2 в воздухе более 5% и во многом объясняются недостатком кислорода. Поэтому, добавив небольшое количество (менее 1%) этих газов из баллонов в дыхательную смесь для лабораторных животных, можно по признакам отравления определить CO, но при наличии гораздо более простых и гуманных способов, вряд ли его можно считать применимым на практике7.