«34-й Турнир имени М. В. Ломоносова 25 сентября 2011 года. Задания. Решения. Комментарии / Сост. А. К. Кулыгин. — М.: МЦНМО, 2013. — 197 с.: ил. Приводятся условия и решения заданий Турнира с подробными коммен­ тариями ...»

ББК 74.200.58

Т86

34-й Турнир имени М. В. Ломоносова 25 сентября 2011

года. Задания. Решения. Комментарии / Сост. А. К. Кулыгин.

— М.: МЦНМО, 2013. — 197 с.: ил.

Приводятся условия и решения заданий Турнира с подробными коммен­

тариями (математика, физика, химия, астрономия и науки о Земле, биология,

история, лингвистика, литература, математические игры). Авторы постара­

лись написать не просто сборник задач и решений, а интересную научно-попу­ лярную брошюру для широкого круга читателей. Существенная часть мате­ риала изложена на уровне, доступном для школьников 7-го класса.

Для участников Турнира, школьников, учителей, родителей, руководите­ лей школьных кружков, организаторов олимпиад.

ББК 74.200. Тексты заданий, решений, комментариев составили и подготовили: П. М. Аркадьев (лингвистика), А. Г. Банникова (математические игры), С. А. Бурлак (лингвистика), С. Д. Варламов (физика), Т. И. Голенищева-Кутузова (математика), А. А. Жаров (биология) Т. В. Караваева (математика), Е. М. Кац (лингвистика), В. А. Клепцын (математика), Е. И. Кудрявцева (биология), А. К. Кулыгин (физика), С. В. Лущекина (химия), Г. А. Мерзон (математика), Е. Г. Петраш (биология), А. Ч. Пиперски (линг­ вистика), И. В. Раскина (математика, математические игры), А. М. Романов (аст­ рономия и науки о Земле), М. А. Садкова (физика), Е. Н. Саввина (лингвистика), З. П. Свитанько (химия), А. Н. Семёнов (биология), А. М. Сигунова (биология), С. Ю. Синельников (биология), К. А. Скопцов (математические игры), С. Г. Смирнов (история), Я. Г. Тестелец (лингвистика), Б. Р. Френкин (математика), А. В. Хачатурян (математика, математические игры), Н. А. Шапиро (литература), Н. Е. Шатовская (астрономия и науки о Земле), К. Н. Шатохина (биология), О. Ю. Шведов (физика), Д. Э. Шноль (математика), А. А. Якута (физика), И. В. Ященко (математика).

XXXIV Турнир имени М. В. Ломоносова 25 сентября 2011 года был организован и проведён при поддержке Департамента образования города Москвы, Фонда некоммерческих программ «Династия», компании «Яндекс», Дойче Банка, компьютерного супермаркета «Никс», Русского фонда содействия образованию и науке, Благотворительного фонда содействия образованию «Дар».

Все опубликованные в настоящем издании материалы распространяются сво­ бодно, могут копироваться и использоваться в учебном процессе без ограничений.

Желательны (в случаях, когда это уместно) ссылки на источник.

Электронная версия: http://www.turlom.info c Московский центр непрерывного ISBN 978–5–4439–0038–4 математического образования, 2012.

XXXIV Турнир имени М. В. Ломоносова 25 сентября 2011 года Задания. Решения. Комментарии Москва Издательство МЦНМО Предисловие Турнир имени М. В. Ломоносова — ежегодное многопредметное сорев­ нование по математике, математическим играм, физике, астрономии и наукам о Земле, химии, биологии, истории, лингвистике, литературе.

Цель Турнира — дать участникам материал для размышлений и под­ толкнуть интересующихся к серьёзным занятиям.

Задания ориентированы на учащихся 6–11 классов. Можно, конечно, прийти и школьникам более младших классов (только задания для них, возможно, покажутся сложноватыми) — вообще, в Турнире может при­ нять участие любой школьник. Программа во всех местах проведения турнира одинакова. Конкурсы по всем предметам проводятся одновре­ менно в разных аудиториях в течение 5–6 часов. Дети (кроме учащихся 11 класса) имеют возможность свободно переходить из аудитории в аудиторию, самостоятельно выбирая предметы и решая, сколько вре­ мени потратить на каждый выбранный предмет. Учащиеся 11 классов получают все задания сразу и выполняют их, находясь всё время тур­ нира в одной аудитории.

Задания по всем предметам выполняются письменно (а по матема­ тическим играм, кроме того, в некоторых местах проведения турнира организуется устный приём заданий для желающих школьников).

Всем желающим также предоставляется возможность заочного уча­ стия: получить задания Турнира и сдать свои решения на проверку по сети «Интернет» (критерии проверки те же, школьники награждаются грамотами «за успешное заочное участие»).

Первый Турнир имени М. В. Ломоносова был организован в Москве в 1978 году.

В настоящее время в соответствии с действующим Положением Турнир проводится ежегодно Московским центром непрерывного мате­ матического образования, Московским государственным университе­ том имени М. В. Ломоносова, Московским институтом открытого образования, Российской Академией наук, Московским авиационным институтом (национальный исследовательский университет), Москов­ ским государственным технологическим университетом «Станкин», другими образовательными учреждениями, научными и образователь­ ными организациями. Координирует проведение Турнира Московский центр непрерывного математического образования (МЦНМО).

Традиционная дата проведения Турнира имени М. В. Ломоносова — последнее воскресенье перед первой субботой октября каждого учебного года.

Всего в XXXIV Турнире имени М. В. Ломоносова, состоявшемся в воскресенье 25 сентября 2011 года, приняли очное участие 50745 уча­ щихся (в том числе1 50738 учащихся 1–11 классов), из них 10529 были награждены Грамотами за успешное выступление:

Участников 12 31 47 112 1224 4817 6339 7656 8317 9377 Грамот 2 1 8 48 299 963 1455 1650 1579 1713 Всего рабочие группы по предметам проверили 116033 работы участ­ ников по различным дисциплинам.

Традиционно среди участников не определяются лучшие (1, 2 и места). Грамотами с формулировкой «за успешное выступление на кон­ курсе по... (предмету)» награждались все школьники, успешно спра­ вившиеся с заданием по этому предмету (или по нескольким предме­ там — тогда все эти предметы перечисляются в грамоте).

Ещё одна традиция турнира — балл многоборья. Он даётся за «про­ межуточные» результаты по предметам, когда в работе достигнуты определённые успехи, но грамоту за это участник не получил. Если у одного участника окажется 2 или больше таких баллов — его участие в разных конкурсах будет отмечено грамотой «за успешное выступление по многоборью». Ученикам начальной школы (1–4 классы), участво­ вавшим в турнире наравне со старшеклассниками, для награждения достаточно получить балл многоборья только по одному предмету.

Все материалы Турнира имени М. В. Ломоносова (выданные школь­ никам задания, переводы заданий на английский язык, материалы про олимпиады и кружки, результаты участников, статистические данные, ответы и решения с комментариями, критерии проверки работ, критерии награждения, Положение о Турнире) занимают доста­ точно большой объём. Не все они помещаются в бумажный отчёт.

С любыми из этих материалов можно ознакомиться на www-сайте турнира http://www.turlom.info (публикация всех материалов, прозрач­ ность при подведении итогов — один из основных принципов работы организаторов Турнира). Там же опубликована и электронная версия сборника заданий, предисловие к которому вы сейчас читаете.

В данном сборнике содержатся все задания, ответы и комментарии к ним всех конкурсов по разным предметам XXXIV Турнира имени 1 Также участвовали учащиеся младших курсов профессиональных колледжей, музыкальных и медицинских училищ и т. п. (что соответствует 10–11 классам) и дети, обучающиеся не в школе.

М. В. Ломоносова 25 сентября 2011 года, а также статистика резуль­ татов, дающая представление о вариантах по предметам в целом и отдельных заданиях с точки зрения школьников (насколько эти зада­ ния оказались сложными, интересными и удачными). Отметим наибо­ лее интересные задания и темы.

19 ноября 2011 года — славный юбилей для всех наук — 300-летие со дня рождения Михаила Васильевича Ломоносова. Вообще, на олимпи­ адах школьников «юбилейные» задания не всегда оказываются удач­ ными. Ведь они дают преимущество тем участникам, которые зара­ нее сообразили, что к юбилею нужно подготовиться — дополнительно что-то прочитать о юбилейном событии. Успех таких участников на такой олимпиаде нельзя считать абсолютно честным.

Но для Михаила Васильевича Ломоносова в год его 300-летнего юби­ лея на Турнире его имени было сделано исключение.

Для выполнения задания № 1 конкурса по астрономии и наукам о Земле о достижениях М. В. Ломоносова в этой научной области достаточно знакомства практически с любым разделом астрономии или геофизики — и почти наверняка он так или иначе будет исторически связан с деятельностью Ломоносова. Готовя примерные ответы на это задание и материалы для проверки работ (см. стр. 152), жюри составило список из 173 пунктов!

Из статистики результатов проверки этого задания (см. стр. 158) видно, что практически по каждому их этих пунктов кто-либо из участ­ ников Турнира дал содержательный ответ; и, кроме того, участники также предложили достаточно большое количество ответов, первона­ чально в список жюри не включённых, и получили за это дополнитель­ ные баллы.

Конечно же, мы не можем про все возможные ответы написать хоть сколько-нибудь подробно — научное наследие М. В. Ломоносова только в одной рассмотренной выше области намного больше по объёму, чем сборник заданий Ломоносовского турнира за один год.

Надеемся, что некоторые нынешние участники Турнира добьются в своей научной и творческой работе не менее впечатляющих результатов!

Не забыли про юбилей Ломоносова и составители заданий конкурса по истории — см. вопросы № 8 и № 9. И здесь та же ситуация — вопросы юбилейные, но это им ни сколько не мешает быть удачными и подходя­ щими для олимпиады.

Задача № 7 конкурса по математике посвящена нетривиальным соотношениям между корнями различной степени.

Оказывается, что для целых чисел m и n сумма может быть целой только тогда, когда оба слагаемых ( n и 3 m) — тоже целые числа, то есть только в тривиальной ситуации.

Но не всё так просто! Например, число не только целое, но и, оказывается, даже равно 0.

В игру, предложенную на конкурсе по математическим играм (задание № 3, пункт «е») относительно легко научиться играть и интуи­ тивно понять выигрышную стратегию. Но аккуратно записать решение оказывается совсем не просто! В чём вы можете убедиться, попробо­ вав сделать это самостоятельно (предупреждение: если вы придумали короткое и красивое решение этой задачи — оно скорее всего неверное) или прочитав предложенное решение.

А вдруг кому-нибудь из вас всё же удастся придумать для этой задачи короткое, красивое, понятное, но при этом верное описание выиг­ рышной стратегии?

Оказывается, на парусном корабле можно плыть не только по направлению ветра, но и в противоположную сторону! О том, как это сделать, вы можете узнать в решении задания № 4 конкурса по физике. А в задании № 9 рассматривается удивительная конструкция из зеркал, которая в одном из направлений полностью невидима.

В задании № 6 конкурса по химии речь идёт про вещество с уди­ вительными (для юных химиков) свойствами — при нагревании оно сначала вспенивается, а потом... от него вообще ничего не остаётся!

Всем известно, что пауки плетут свою паутину для ловли насеко­ мых. Можно предположить, что раз паук умеет делать паутину, он может приспособить её не только для охоты, но и ещё для чего-нибудь, что ему нужно. Оказывается, в природе известно по крайней мере два десятка самых разных применений паутины разными видами пауков, в том числе самых неожиданных. Кто бы мог подумать, что некоторые пауки делают из своей паутины «булаву» с липкой верхушкой, размахи­ вая которой ловят добычу. А также, что кроме пауков паутину умеют делать другие самые разные животные, даже моллюски. Обо всём этом идёт речь в задании № 4 конкурса по биологии.

Участникам конкурса по лингвистике было предложено задание (№ 1) про редкий язык коренного населения Австралии мангарйи, на котором сейчас говорит всего около 50 человек, живущих на полуост­ рове Арнемленд на севере этого континента. Наверное, столь немного­ численным оставшимся носителям языка будет интересно и приятно узнать, что на другом конце Света задачу про их язык правильно решили 1859 школьников, а хотя бы прочитали условие и узнали про этот язык более 20 тысяч участников конкурса по лингвистике.

Отличительная черта конкурса по литературе — тексты ответов и решений в основном подготовлены не жюри, а написаны самими участ­ никами в конкурсных работах. Задача жюри здесь — подобрать для публикации наиболее удачные, точные, содержательные и интересные ответы, дополнить, уточнить и прокомментировать их. Как показывает опыт, серьёзные литературоведческие тексты, написанные взрослыми, с точки зрения школьников часто оказываются сложными для чтения и понимания, а иногда и просто скучными. Литературный конкурс Ломо­ носовского турнира предоставляет уникальную возможность исправить эту ситуацию. Среди работ нескольких тысяч участников из разных классов, разных школ и регионов обязательно находятся очень хоро­ шие работы. Собранные вместе, они позволяют составить решения зада­ ний литературного конкурса намного лучше, понятнее и интереснее для школьников, чем это получилось бы у жюри самостоятельно.

На странице сайта Турнира имени М. В. Ломоносова по адресу http://registration.turlom.info с 5 мая по 12 сентября 2011 года прово­ дился приём заявок (в электронной форме) от всех желающих органи­ заций, готовых организовать и провести Турнир на своей территории в любом регионе (как в Российской Федерации, так и за её пределами).

Большинство заявок на проведение турнира было удовлетворено.

XXXIV Турнир имени М. В. Ломоносова состоялся в воскресенье 25 сентября 2011 года в 181 населённом пункте: с. Абый Республики Саха (Якутия), г. Алексин Тульской обл., г. Алматы (Казахстан), с. Амга Республики Саха (Якутия), г. Апатиты Мурманской обл., с. Аргас Кобяйского р-на Республики Саха (Якутия), г. Армавир Крас­ нодарского края, г. Астана (Казахстан), г. Астрахань, г. Балаково Саратовской обл., г. Белгород, г. Березники Пермского края, г. Бийск Алтайского края, с. Большой Морец Еланского р-на Волгоградской обл., с. Борискино-Игар Клявлинского р-на Самарской обл., с. Боро­ гонцы Усть-Алданского р-на Республики Саха (Якутия), г. Брянск, с. Бысыттах Нюрбинского р-на Республики Саха (Якутия), д. Веледни­ ково Истринского р-на Московской обл., с. Верхневилюйск Республики Саха (Якутия), г. Видное Московской обл., г. Вилюйск Республики Саха (Якутия), г. Владикавказ, г. Владимир, станция Внуково Ленин­ ского р-на Московской обл., г. Волгоград, г. Волгодонск Ростовской обл., г. Вологда, п. Выгоничи Брянской обл., с. Гордеевска Брянской обл., г. Губкин Белгородской обл., г. Гусь-Хрустальный Владимирской обл., г. Димитровград Ульяновской обл., г. Дмитров Московской обл., г. Донецк (Украина), п. Дубровка Брянской обл., г. Дятьково Брянской обл., г. Ейск Краснодарского края, г. Ессентуки Ставропольского края, г. Железногорск Курской обл., г. Железнодорожный Московской обл., с. Жирятино Брянской обл., г. Жуковка Брянской обл., д. Жуковка Одинцовского р-на Московской обл., с. Замишево Новозыбковского р-на Брянской обл., г. Зеленогорск Красноярского края, г. Златоуст Челябинской обл., г. Злынка Брянской обл., п. Зырянка Верхнеко­ лымского р-на Республики Саха (Якутия), г. Иваново, г. Ижевск, п. им. К. Либкнехта Курчатовского р-на Курской обл., г. Иркутск, г. Калачинск Омской обл., г. Карачевский Брянской обл., с. Кебер­ гене Абыйского р-на Республики Саха (Якутия), г. Кинель Самарской обл., с. Кинель-Черкассы Самарской обл., п. Клетня Брянской обл., п. Климово Брянской обл., г. Клин Московской обл., г. Клинцы Брян­ ской обл., г. Клинцы Брянской обл., г. Ковров Владимирской обл., г. Коломна Московской обл., п. Комаричи Брянской обл., г. Кострома, г. Котельники Московской обл., п. Красная Гора Брянской обл., г. Крас­ ноармейск Московской обл., г. Краснодар, г. Красноярск, г. Красный Сулин Ростовской обл., г. Курск, с. Левокумское Ставропольского края, г. Ленск Республики Саха (Якутия), п. Локоть Брасовский р-на Брянской обл., г. Люберцы Московской обл., г. Магнитогорск Челя­ бинской обл., с. Майя Мегино-Кангаласского р-на Республики Саха (Якутия), с. Малыкай Нюрбинского р-на Республики Саха (Якутия), г. Мглин Брянской обл., г. Межгорье Республики Башкортостан, г. Меж­ дуреченск Кемеровской обл., г. Миасс Челябинской обл., г. Михайлов Рязанской обл., г. Морозовск Ростовской обл., г. Москва, г. Мурманск, г. Набережные Челны Республики Татарстан, п. Навля Брянской обл., г. Нальчик, с. Намцы Республики Саха (Якутия), г. Нарткала Урван­ ского р-на Кабардино-Балкарской республики, г. Нелидово Тверской обл., г. Нерюнгри Республика Саха (Якутия), г. Нижний Новгород, п. Нижний-Бестях Мегино-Кангаласского р-на Республики Саха (Яку­ тия), г. Новозыбков Брянской обл., г. Новосибирск, г. Новоуральс Свердловской обл., г. Обнинск Калужской обл., г. Озёрск Челябин­ ской обл., г. Озёры Московской обл., г. Олекминск Республики Саха (Якутия), г. Оренбург, г. Орехово-Зуево Московской обл., г. Орск Орен­ бургской обл., г. Осинники Кемеровской обл., р. п. Красные Баррикады Икрянинского р-на Астраханской обл., г. Павлово Нижегородской обл., п. Парковый Тихорецкого р-на Краснодарского края, г. Пенза, с. Перво­ майское Томской обл., г. Пермь, с. Петропавловск Усть-Майского р-на Республики Саха (Якутия), с. Плещеево Орловского р-на Орловской обл., п. Погар Брянской обл., г. Подольск Московской обл., г. Почеп Брянской обл., с. Пригородное Сердобского р-на Пензенской обл., г. Про­ копьевск Кемеровской обл., г. Протвино Московской обл., п. Путёвка Брянского р-на Брянской обл., г. Пущино Московской обл., г. Раменское Московской обл., п. Рогнедино Брянской обл., г. Рязань, с. Сайылык Кобяйского р-на Республики Саха (Якутия), с. Сайылык Нюрбинского р-на Республики Саха (Якутия), г. Салават Республики Башкортостан, г. Самара, г. Санкт-Петербург, г. Саранск, г. Саров Нижегородской обл., с. Саскылах Анабарского р-на Республики Саха (Якутия), г. Сая­ ногорск, г. Севастополь, с. Северное Александровского района Став­ ропольского края, г. Севск Брянской обл., г. Сельцо Брянской обл., г. Сергиев Посада Московской обл., с. Соболох Момского р-на Респуб­ лики Саха (Якутия), c. Сосновоборское Петровского р-на Саратовской обл., г. Сочи Краснодарского края, г. Ставрополь, г. Стародуб Брянской обл., г. Старый Оскол Белгородской обл., г. Стерлитамак Республики Башкортостан, г. Ступино Московской обл., п. Суземка Брянской обл., с. Сунтар Республика Саха (Якутия), г. Сураж Брянской обл., г. Сык­ тывкар, г. Тверь, с. Техтюр Мегино-Кангаласского р-на Республики Саха (Якутия), г. Тольятти Самарской обл., г. Троицк Московской обл., г. Трубчевск Брянской обл., с. Уват Тюменской обл., с. Ударник Томпонского р-на Республики Саха (Якутия), г. Ульяновск, г. Унеча Брянской обл., г. Усть-Кут Иркутской обл., г. Уфа, станица Фастовец­ кая Тихорецкого р-на Краснодарского края, г. Фокино Брянской обл., г. Фрязино Московской обл., г. Химки Московской обл., с. Холмогоры Архангельской обл., с. Чапаево Хангаласского р-на Республики Саха (Якутия), г. Чебоксары, г. Челябинск, г. Череповец Вологодской обл., с. Чурапча Республика Саха (Якутия), г. Шебекино Белгородской обл., с. Шкрябино Стародубского р-на Брянской обл., с. Ытык-Кюель Тат­ тинского р-на Республики Саха (Якутия), г. Электросталь Московской обл., г. Юбилейный Московской обл., г. Якутск.

Во многих городах было организовано несколько мест проведе­ ния, а в Москве — более 40. Общее количество мест проведения было около 300 (точное их количество назвать трудно, так как в ряде слу­ чаев турнир проводился под единым руководством в разных зданиях).

Полный список адресов проведения турнира в 2011 году опубликован по адресу http://registration.turlom.info/cgi-bin/2011/mesta_provedenija В существенной части регионов Российской Федерации все желаю­ щие школьники получили реальную возможность принять участие в Турнире и воспользовались такой возможностью. Надеемся, что учи­ теля и энтузиасты работы со школьниками — организаторы Турнира в регионах — также получили ценный положительный опыт от проделан­ ной работы.

Также была проведена интернет-версия Турнира2, в которой могли принять участие все желающие школьники, располагающие подключён­ ным к сети Интернет компьютером, выполняя те же задания, что и очные участники. Работы проверялись по тем же критериям, участники награждались Статистика заочного участия в Турнире имени М. В. Ломоносова 2011 году:

4711 участников; проверено 13094 работ по различным предметам.

Участников 1 1 3 11 144 530 689 712 1050 906 Кажется несколько неожиданным, что заочных участников оказа­ лось примерно в 11 раз меньше, чем очных. Несмотря на, казалось бы, существенно бльшую доступность интернета по сравнению с необхо­ димостью лично посещать одно из мест проведения турнира в очной форме.

В 2011 году все задания Турнира имени М. В. Ломоносова впер­ вые были переведены на английский язык. Английские переводы были предложены желающим участникам (как очно, так и заочно), реше­ ния также по желанию можно было сдавать на английском языке. Тем самым в стать участниками Турнира имени Ломоносова (а также про­ сто ознакомиться с заданиями) смогли школьники, не знающие русского языка или владеющие им не очень уверенно. Этой возможностью вос­ пользовалось всего несколько десятков участников — возможно, потому, что остальные потенциальные участники пока о такой возможности про­ сто не знают. Все англоязычные переводы заданий опубликованы на сайте Турнира.

В 2010 году для всех желающих участников Турнира впервые в экс­ 2 Заочные интернет-версии Ломоносовского турнира проводятся начиная с года.

периментальном порядке была организована возможность просмотреть на сайте Турнира свои отсканированные работы, а также подробную информацию о проверке своих работ. Эксперимент оказался удачным и повторён в 2011 году. Всем желающим участникам предлагалось зара­ нее скачать с сайта Турнира и распечатать специальные бланки для выполнения работ, самостоятельно напечатать их на принтере и прине­ сти с собой на Турнир. Эти бланки, содержащие специальные машино­ читаемые коды, сканировались, автоматически сортировались и прове­ рялись жюри на экране компьютера. Каждый школьник, зная номер своего бланка, может просмотреть как оригинальные файлы, получен­ ные при сканировании работ, так и ознакомиться с действиями жюри, которые выполнялись в процессе одной или нескольких последователь­ ных проверок его работ (сразу после выполнения таких проверок). Все остальные работы, выполненные на обычной бумаге, проверялись как обычно.

Открытая публикация полных результатов — ещё одна из традиций турнира. Именно на этом этапе выясняется и исправляется большое количество недоразумений и ошибок.

Полная таблица результатов Турнира опубликована по адресу http://olympiads.mccme.ru/turlom/2011/rezultaty/_gramoty и содержит регистрационные номера участников, классы и полный набор оценок по каждому заданию каждого предмета3. Там же приведён список участников, награждённых Грамотами за успешное выступление.

Торжественное закрытие Турнира, вручение грамот и призов школь­ никам, принимавшим участие в турнире в Москве и Московском реги­ оне, состоялось 25 декабря 2011 года в Московском государственном уни­ верситете. По традиции собравшимся школьникам были прочитаны лек­ ции по материалам заданий Турнира (по астрономии и истории). Призё­ ров Турнира поздравили представители Московского государственного университета и Департамента образования города Москвы.

XXXIV Турнир имени М. В. Ломоносова 25 сентября 2011 года был организован и проведён при поддержке Департамента образования города Москвы, Фонда некоммерческих программ «Династия», ком­ пании «Яндекс», Дойче Банка, компьютерного супермаркета «Никс», Русского фонда содействия образованию и науке, Благотворительного фонда содействия образованию «Дар».

3 По желанию участников (ответ на соответствующий вопрос в регистрационной анкете) в таблице также указывается фамилия, имя и школа.

Оргкомитет благодарит всех, кто в этом году принял участие в орга­ низации турнира. По нашим оценкам это более 2000 человек — сотрудни­ ков и руководителей принимающих организаций, школьных учителей, студентов, аспирантов, научных работников, и многих других — всех принимавших участие в составлении и обсуждении заданий, организа­ ции турнира на местах, дежурстве в аудиториях, проведении заочной интернет-версии турнира, проверке работ, организации торжественного закрытия, подготовке к печати настоящего сборника материалов тур­ нира.

Электронная версия настоящего издания, а также материалы тур­ ниров этого (2011) года и предыдущих лет (начиная с самого первого Ломоносовского турнира 1978 года) опубликованы в интернете по адре­ сам:

http://turlom.info http://www.mccme.ru/olympiads/turlom http://ТУРЛОМ.РФ Все материалы Турнира распространяются без ограничений и могут свободно использоваться в образовательных целях.

Следующие Турниры имени М. В. Ломоносова, напоминаем, плани­ руется провести в традиционные сроки:

Приглашаем всех желающих школьников!

Конкурс по математике Задания В скобках указано, каким классам рекомендуется задача (решать задачи более старших классов также разрешается, решение задач более младших классов при подведении итогов не учитывается).

1. (6–7) Один торговец продаёт сливы по 150 рублей за килограмм, а второй — по 100 рублей. Но у первого косточка занимает треть веса каждой сливы, а у второго — половину. Чьи сливы выгоднее покупать?

2. (6–8) Внутри забора, представляющего собой замкнутую несамопересекающуюся ломаную, заперт тигр. На рисунке видна только часть забора (положение тигра пока­ зано крестиком). Нарисуйте, как мог бы выглядеть весь забор (забор может идти только по линиям сетки).

3. (6–11) Бабе-Яге подарили большие песоч­ ные часы на 5 минут и маленькие — на минуты. Зелье должно непрерывно кипеть ровно 8 минут. Когда оно закипело, весь песок в больших часах находился в нижней половине, а в маленьких — какая-то (неизвестная) часть песка в верхней, а остальная часть — в нижней половине. Помогите Бабе-Яге отмерить ровно 8 минут.

(Песок всё время сыплется с постоянной скоростью. На переворачи­ вание часов время не тратится.) 4. (8–9) На дверце сейфа написано произведение степеней an bm ck.

Чтобы дверца открылась, надо заменить каждую из шести букв нату­ ральным числом так, чтобы в произведении получился куб натураль­ ного числа. Пнки, не подумав, уже заменил какие-то три буквы числами. Всегда ли Брейн сможет заменить три оставшиеся, чтобы дверца открылась?

5. (8–11) На доске начерчен выпуклый четырёхугольник. Алёша утвер­ ждает, что его можно разрезать диагональю на два остроугольных тре­ угольника. Боря — что можно на два прямоугольных, а Вася — что на два тупоугольных.

Оказалось, что ровно один из троих неправ. Про кого можно навер­ няка утверждать, что он прав?

6. (10–11) Прямоугольник площади 14 делит сторону квадрата в отношении 1 к 3 (см. рис.).

Найдите площадь квадрата.

7. (10–11) Целые числа m и n таковы, что гаемых целые?

Решения к заданиям конкурса по математике 1. Сравним цену мякоти слив у первого и второго торговцев.

Первый торговец продаёт 1 = килограмма мякоти за 150 руб­ лей, то есть цена мякоти составляет А у второго торговца цена мякоти 100 рублей за кг, то есть 200 руб/кг.

Килограмм мякоти у второго торговца дешевле, поэтому сливы выгоднее покупать у него4.

Ответ. Выгоднее покупать сливы второго торговца.

2. Одно из решений приведено на рисунке справа (серым цветом выде­ лена внутренность ломаной). Есть и много других.

4 Считаем, что полезной является только мякоть, а сливовые косточки, получен­ ные в результате покупки, никакой ценности не представляют.

Напомним, что ломаная — это последовательность отрезков, («зве­ ньев»), такая что начало следующего отрезка совпадает с концом преды­ дущего; замкнутая ломаная — ломаная, в которой конец последнего отрезка совпадает с началом первого.

3. Пусть в начале (в момент закипания зелья) в верхней половине маленьких часов было песка на x минут. Возможное решения (последо­ вательность действий с песочными часами) показано на рисунке.

С начала процесса прошло x+x+(2x)+(2x) = 4 минуты, а песок в обоих часах весь в нижней половине. Остаётся отмерить 4 минуты — это легко сделать при помощи 2-минутных часов.

Комментарий. Решение не единственно. Но можно показать, что в любом решении необходимо сразу запустить большие часы.

4. Ответ. Всегда.

Решение. Разберём два случая.

Случай 1. Если Пинки заменил в каждой из трёх степеней только одну из букв, то Брейн может просто сделать каждый из трёх сомно­ жителей полным кубом. Действительно, если в выражении вида xy заменена только одна буква, то выбором оставшейся легко сделать его полным кубом (для этого можно либо x заменить на полный куб, либо y на число, кратное трём).

Случай 2. Пусть в каком-то из трёх множителей Пинки заменил обе буквы. Тогда в каком-то из множителей, наоборот, не заменено ни одной. Пусть, например, буквы не были заменены в сомножителе ck.

Тогда Брейн может, например, подставить вместо c значение выраже­ ния an bm, а вместо k подставить 2 — и всё произведение будет равно кубу числа an bm.

5. Ответ. Утверждать, что он прав, можно про Васю (и только про него).

Решение. Наш четырёхугольник не может быть прямоугольником, так как тогда прав только один человек — Боря.

Значит, этот четырёхугольник имеет тупой угол (действительно, если каждый угол четырёхугольника не превосходит 90, то сумма углов не превосходит 360 ; но сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360 ). Поэтому при одном из разрезаний получается тупоуголь­ ный треугольник — то есть, если правы два человека, то Вася заведомо прав.

Остается ещё привести пример, в котором неправ только Алёша (подойдёт, например, трапеция с диагональю, перпендикулярной осно­ ваниям), и пример, в котором неправ только Боря (подойдёт, например, ромб).

Замечание. Можно решить задачу и отталкиваясь от вопроса о том, как четырёхугольник может разрезаться на два прямоугольных треугольника. Например, следующим образом.

Другое решение. Если Вася неправ, то правы Алёша и Боря. Тогда четырёхугольник режется на два прямоугольных треугольника.

Если прямые углы обоих Бориных треугольников являются углами четырёхугольника, то сумма оставшихся двух углов четырёхугольника равна 180. Значит, оба этих угла не могут быть оба острыми. Поэтому при разрезании по другой диагонали не может получиться два остро­ угольных треугольника — противоречие.

Если же прямой угол какого-то из Бориных треугольников примы­ кает к диагонали, то этот угол является частью тупого угла четырёх­ угольника. Значит, при разрезании по другой диагонали получится тупоугольный треугольник — снова противоречие.

Замечание. Имеются и другие решения. Например, можно оттал­ киваться, наоборот, от разрезания на два остроугольных треугольника.

6. Ответ. Площадь квадрата равна 50.

Решение. Два серых треугольника подобны (по трём углам). При этом гипотенуза меньшего из них равна x, а гипотенуза большего есть (3x)2 + (4x)2 = 5x — т. е. их стороны относятся как 1 : 5. Значит, катеты меньшего треугольника равны x и x.

Поэтому площадь прямоугольника есть С другой стороны, она равна 14. Значит, x2 =, а искомая площадь квадрата равна (4x)2 = 16x2 = 16 · = 50.

Другое решение. Продлим короткие стороны прямоугольника.

После чего разделим обе боковые стороны квадрата на 4 равные части и проведём прямые, параллельные длинной стороне прямоугольника.

Четыре пристроенных к квадрату прямоугольных треугольника равны по гипотенузе и двум углам (и отсюда видно, что это египетские треугольники: отношение катетов у них 3 : 4). Таким образом, 7 прямо­ угольников составляют квадрат. Площадь этого (большого) квадрата 7 · 14 = 98, откуда сторона этого квадрата равна 7 2, а маленькая сторона прямоугольника равна 2.

Теперь нетрудно вычислить искомую площадь маленького квадрата как разность площади большого квадрата и площади четырёх достро­ енных треугольников:

7. Ответ. Да, верно.

Решение. Пусть n + 3 m = k, т. е. 3 m = k n. Возведём обе Так как 3k 2 + n > 0, последнее равенство равносильно тому, что Таким образом, n — число рациональное.

Но если n — число рациональное, то это число целое. Действи­ тельно, пусть n = — несократимая дробь со знаменателем, не рав­ ным единице. Но тогда и n = 2 — несократимая дробь со знаменате­ лем, не равным единице (при желании, этот факт нетрудно доказать, пользуясь основной теоремой арифметики).

Но тогда, и число 3 m = k n целое.

Комментарий. Утверждение задачи допускает различные обобще­ ния. Пусть, например, числа ai — рациональные, ni — натуральные, pi — простые.

Тогда если сумма целая, то и каждое слагаемое целое. (Это утверждение можно доказать в духе приведённого выше решения — правда, пригодятся ещё индукция и бином Ньютона.) Не стоит, впрочем, полагать, что между корнями невозможны ника­ кие нетривиальные соотношения. Можно проверить, например, что Задания для конкурса по математике предложили и подготовили:

Т. И. Голенищева-Кутузова, Т. В. Караваева, В. А. Клепцын, Г. А. Мер­ зон, И. В. Раскина, Б. Р. Френкин, А. В. Хачатурян, Д. Э. Шноль, И. В. Ященко.

Критерии проверки и награждения По результатам проверки каждого задания ставилась одна из следую­ щих оценок (перечислены в порядке убывания):

«+» — задача решена полностью;

«±» — задача решена с недочётами, не влияющими на общий ход реше­ ния;

« » — задача не решена, но имеются содержательные продвижения;

«» — задача не решена;

за задачу, к решению которой участник не приступал, ставился «0».

Так как по одному ответу невозможно определить, в какой сте­ пени участник решил задачу, за верный ответ без решения ставится оценка «». (Естественно, это не относится к задаче № 2, в которой по условию требовалось лишь привести пример.) Комментарии по задачам 1. Отметим, что в этой задаче полезной является (считается) только мякоть. За решения, содержащие утверждения типа «цена косточки у первого продавца 150 · = 150 рублей» или «у первого продавца мякоть стоит 150 · = 150 рублей», ставилась оценка «».

2. В случае, если условие было понято неверно (и либо было нарисовано что-то отличное от замкнутой несамопересекающейся ломаной, либо тигр находился снаружи замкнутой несамопересекающейся ломаной5 ), ставилась оценка «».

3. За решения, в которых предлагалось что-то делать до того, как зелье закипит (что прямо противоречит условию), ставилась оценка «».

За решения, в которых предполагалось, что «неизвестная часть»

равна чему-то конкретному (например, «пусть неизвестная часть — это половина»), ставилась та же оценка.

4. Если оба основных случая (1 и 2 в приведённом решении) рас­ сматриваются, но какой-то и мелких подслучаев упущен — ставилась оценка «±». Если же из этих случаев рассматривался только один (например, считалось, что в каждой из степеней заменена одна буква) — ставилась оценка не выше « ».

5. Для получения оценки «+» необходимо было: — во первых, доказать, что всегда прав Вася, — во вторых, привести примеры, показывающие, что утверждать этого ни про Алёшу, ни про Борю нельзя.

За решение только первой части ставилась оценка «±», за решение только второй части ставилась оценка « ».

При доказательстве первой части важную роль играет грамотная организация перебора6. В случае, когда бессистемный перебор (пере­ бор, в котором не виден принцип, упорядочены случаи) оказывается (ожидаемо) неполон, ставилась оценка не выше « » («», если рас­ сматривалось только несколько конкретных четырёхугольников).

6. Первая часть решения (геометрическая) — убедиться в подобии маленького и большого треугольников. За верное решение только этой части ставилась оценка « ».

Если же подобие написано неверно (перепутаны местами стороны треугольников) — ставилась оценка не выше « ».

Вторая часть решения (алгебраическая) — сначала получить урав­ нение на x2, а потом из него найти площадь. Если линейное уравнение на x2 было составлено верно, но дальше допущена арифметическая шибка — ставилась оценка «±».

7. Жюри обращает внимание участников на то, что утверждение «если сумма двух чисел целая, то каждое из них рационально» неверно (в качестве контрпримера можно привести иррациональные числа 5 То есть мог уйти, не пересекая ломаную.

6 Например, в первом решении перебора вообще удаётся избежать и (1 2), сумма которых равна 1), за его использование ставилась оценка «».

Неверно и утверждение «если ab и a целые числа, то b — тоже целое число».

Утверждением «корень из целого числа — число либо целое, либо иррациональное» можно было — если оно в явном виде сформулиро­ вано — пользоваться без доказательств.

Критерии награждения При награждении учитывались только задачи своего и более стар­ ших классов. Задачи, предназначенные для более младших классов (чем тот, в котором учится участник турнира), проверялись и оценивались, но не учитывались при награждении.

При подведении итогов решёнными считаются задачи, за которые выставлены оценки «+» и «±».

Оценка «e» (балл многоборья) ставилась в следующих случаях:

— решено не менее 1 задачи.

Оценка «v» (грамота за успешное выступление на конкурсе по мате­ матике) ставилась в следующих случаях:

— в 6 классе и младше решено не менее 1 задачи;

— в 7 классе и старше решено не менее 2 задач;

В случае, если поставлена оценка «v», оценка «e» не ставится.

Статистика Приводим статистику решаемости задач конкурса по математике. Такая статистика даёт интересную дополнительную информацию о задачах (и задании конкурса по математике в целом): насколько трудными ока­ зались задачи, какие задачи оказались наиболее предпочтительными для школьников, и т. п.

Учтены все работы по математике, сданные школьниками (в том числе и абсолютно нулевые). Школьники, не сдавшие работ по матема­ тике, в этой статистике не учтены.

Сведения о количестве школьников по классам, получивших гра­ моту по математике («v»), получивших балл многоборья («e»), а также общем количестве участников конкурса по математике (количестве сданных работ).

Всего 6 20 16 48 882 3494 4395 4640 4455 4862 «v» 0 0 0 4 58 307 125 104 125 237 Сведения о количестве решённых задач участниками разных клас­ сов. При составлении таблицы решёнными считались задачи своего или более старшего класса, за которые поставлены оценки «+!», «+» «+.»

и «±».

0 задач 6 20 16 44 824 3187 3680 4000 4057 1 задача 0 0 0 4 54 258 590 536 273 Сведения о распределении оценок по задачам. Оценки «+!», «+», «+.», «±» и «+/2» считались как по классам, для которых рекомендо­ вана задача, так и по младшим классам; оценки « », «.», «» и «0»

считались только по классам, соответствующим задаче.

Конкурс по математическим играм Условия игр Выберите игру, которая вас больше заинтересовала, и попробуйте при­ думать для одного из игроков (первого или второго) стратегию, гаран­ тирующую ему победу независимо от ходов соперника. Постарайтесь не только указать, как следует ходить, но и объяснить, почему при этом неизбежен выигрыш. Ответ без пояснений не учитывается.

Не пытайтесь решить все задания, сохраните время и силы для дру­ гих конкурсов. Хороший анализ даже только одной игры позволит счи­ тать ваше участие в конкурсе успешным.

1. «Крестики-нолики на полоске». Игровое поле в этой игре — полоска, разделённая на N клеточек. Играют двое. Первый игрок каж­ дым своим ходом ставит крестики в две любые свободные клетки, вто­ рой ставит в любую свободную клетку нолик. Цель первого игрока — поставить пять крестиков подряд. Второй же должен ему в этом поме­ шать.

Кто — начинающий или его соперник — победит в этой игре, как бы ни играл его партнёр?

Рассмотрите случаи:

Рассмотрите и такой вариант игры: правила остаются теми же, но полоска замкнута в кольцо. Кто победит, если:

2. «Пирамидки». Играют двое. Перед ними — пять стержней, изна­ чально пустых, и неограниченный запас колец. Каждый игрок выбирает какие-то четыре стержня и надевает на каждый по кольцу. Тот, кто не может сделать ход, проигрывает.

Кто — начинающий или его соперник — победит в этой игре, как бы ни играл его партнёр, если:

а) на стержень помещается не более восьми колец б) на стержень помещается не более семи колец в) на стержень помещается не более пяти колец, а за один ход игроки надевают по кольцу на три стержня г) стержней 100, на стержень помещается не более 95 колец, а за один ход игроки надевают по кольцу на 98 стержней 3. «Не упусти шарик!» Несколько воздушных шариков связаны тяжёлыми верёвками как показано на рисунках. Играют двое. Каждый игрок своим ходом отвязывает от шариков одну верёвку и забирает её себе. Если при этом от какого-то шарика отвязывается последняя верёвка, шарик улетает, а игрок считается проигравшим.

Кто — начинающий или его соперник — победит в этой игре, как бы ни играл его партнёр?

Рассмотрите случаи, изображённые на рисунках (кружочки изобра­ жают шарики, а жирные линии — верёвки).

Решения 1. «Крестики-нолики на полоске».

а) Ответ: выигрывает второй игрок.

Предположим сначала, что первый поставил крестики в клетки с номерами 5 и 6. Тогда второму надо поставить нолик в клетку 4. За следующий ход первый игрок сможет закрыть крестиками не более двух из трёх клеток с номерами 7, 8 или 9, следовательно, хотя бы одна из них останется свободной. В неё второму игроку и следует поставить нолик.

Теперь выставить пять крестиков подряд в полоске уже невозможно.

Если же одна из клеток 5 и 6 осталась свободной после первого хода первого игрока, то второй игрок должен сначала поставить нолик в неё.

Пусть это клетка с номером 5 (второй случай — симметричен). Вторым своим ходом второй игрок должен поставить нолик в одну из клеток с номерами 6, 7, 8, 9 и 10. Хотя бы одна из этих клеток будет свободна, так как за два хода первый игрок закроет крестиками не более 4 клеток.

После этого в полоске не останется места для пяти последовательных крестиков, и, таким образом, первый игрок проигрывает.

б) Ответ: выигрывает первый игрок.

Первым ходом первый игрок должен поставить крестики в клетки с номерами 3 и 11. Если второй игрок поставит нолик в любую сво­ бодную клетку левее центральной, т. е. с номерами от 1 до 6, первый игрок должен поставить крестики в клетки 9 и 10. После этого обра­ зуется «вилка»: в полоске есть три крестика подряд, у которых слева и справа по две свободные клетки. Одна из этих пар клеток целиком останется свободной после хода второго игрока, первый игрок поставит туда свои два крестика и выиграет. Случай, когда второй игрок пер­ вым своим ходом ставит нолик правее центра, симметричен только что разобранному.

Рассмотрим случай, когда второй игрок первым своим ходом ставит нолик в центральную клетку 7. Первому игроку следует поставить кре­ стики в клетки 4 и 10. Без ограничения общности будем считать, что второй игрок далее поставил нолик в клетку с номером, бльшим 7.

Тогда первому игроку следует поставить крестики на клетки с номе­ рами 2 и 5. Получается ещё одна «вилка»: 4 крестика подряд, у которых по бокам по одной свободной клетке. Этого достаточно первому игроку, чтобы выиграть следующим ходом.

в) Ответ: выигрывает второй игрок.

Опишем действия второго игрока в зависимости от начального хода первого игрока:

1. Два крестика рядом: второй игрок ставит нолик вплотную к ним;

2. Два крестика через одну клетку: нолик ставится между ними;

3. Два крестика через две клетки: нолик между ними в любую из двух клеток;

4. Крестики диаметрально противоположны: нолик ставим через сво­ бодную клетку от каждого из них.

Заметим, что во всех этих случаях клетка остаются свободными. Второму игроку теперь трёх клеток, чтобы лишить соперника возможно­ это сделать: первый игрок за свой следующий ход закроет крестиками не более двух из них.

г) Ответ: выигрывает первый игрок.

Первому игроку следует поставить крестики в клетки с номерами 2 и 8. Если второй игрок теперь ставит нолик в одну из клеток 4, 5, 6, то первый игрок ставит крестики в клетки 1 и 9, после чего образуется уже рассмотренная «вилка» из четырёх крестиков подряд со свободными клетками по бокам.

Если второй игрок ставит нолик в клетку клетки 6 и 7 или в клетки 3 и 4 соответственно, после чего возникает «вилка» из трёх крестиков подряд с парами свободных клеток по бокам.

Если же второй игрок ставит нолик в клетку вить крестики в клетки 4 и 5. Теперь чтобы выиг­ рать, ему достаточно поставить два крестика либо в клетки 1 и 3, либо в клетки 6 и 7. Одна из этих пар клеток останется свободной к следующему ходу первого игрока, что и обеспе­ чит ему победу.

Оставшийся же случай клетки 1 аналогичен предыдущему в силу симметрии.

д) Ответ: выигрывает первый игрок.

Первым ходом первый игрок должен поста­ вить крестики в клетки с номерами 1 и 7. Это противоположные клетки кольца. Очевидно, можно считать, что второй игрок поставит аналогичны в силу симметрии). Первому игроку теперь достаточно поставить крестики в клетки ряд с парами свободных клеток по бокам. Как было рассмотрено ранее, это приводит первого игрока к победе.

2. «Пирамидки». Назовём стержень полным, если после n ходов игры на нём n колец. Оставшиеся стержни будем называть неполными.

а) Ответ: выиграет второй игрок.

Для победы ему достаточно повторять ходы первого игрока: класть кольца на те же стержни, что и соперник. Заметим, что при этом всегда перед ходом первого игрока на всех стержнях будет чётное число колец, поскольку за каждую пару ходов количество колец на каждом стержне либо увеличивается на два, либо останется таким же, а изначально все стержни пустые. Второй игрок всегда сможет повторить ход соперника, потому что на соответствующих 4-х стержнях обязано быть нечётное число колец, а стало быть, оно меньше 8.

б) Ответ: выигрывает второй игрок.

Поскольку на каждый стержень можно надеть по 7 колец, то игра продлится по крайней мере 7 ходов. Из них 4 хода сделает первый игрок, и 3 — сделает второй. Покажем, как ходить второму, чтобы обеспечить себе последний, 8-ой ход в игре. Пронумеруем стержни. Без потери общ­ ности можно считать, что первый игрок надел кольца на стержни с номерами 2, 3, 4, 5 и не надел на первый. Стратегия второго игрока будет следующей: на первом ходу надеть кольца на все стержни, кроме второго; на втором — на все, кроме третьего; на третьем — на все, кроме четвёртого. Тогда после 7 ходов количество неполных стержней будет не менее четырёх, а именно на стержнях 1, 2, 3, 4 будет не более шести колец, значит, второй может сделать ещё один ход. Заметим, что всего на стержни помещается 5 · 7 = 35 колец, а после 8-го хода всего будет надето 32 кольца. Значит, 9-ый ход невозможен. Следовательно второй игрок выигрывает.

в) Ответ: выигрывает второй игрок.

После хода первого игрока второй должен пойти таким образом, чтобы остался ровно один полный стержень. Легко убедиться, что это возможно при любом ходе первого игрока. После следующего хода пер­ вого игрока второму необходимо сходить таким образом, чтобы на трёх стержнях было по три кольца, а на оставшихся, соответственно, 2 и 1.

Этого добиться нетрудно — надо лишь повторить ход первого игрока с одним исключением: если тот положил кольцо на полный стержень, вместо него надо положить кольцо на один из двух стержней с одним кольцом. Без потери общности будем считать, что стержни с тремя коль­ цами имеют номера 1, 2 и 3, стержень с двумя кольцами — номер 4, оставшийся с одним кольцом — номер 5.

Если теперь первый наденет кольца на первые три стержня, то вто­ рой поступает аналогично и выигрывает. Если же первый надевает по кольцу на два из трёх первых стержней, то второй с ними поступает так же, а последнее кольцо надевает на тот из двух последних стержней, на который не надел первый. Теперь два стержня заполнены, а потому ходы игроков однозначны, и, поскольку на оставшиеся стержни можно положить только два ряда колец, выигрывает второй. В последнем слу­ чае, если первый игрок надевает лишь на один из первых трёх стержней, второй повторяет его ход и получает ситуацию, где можно надевать кольца лишь на 4 стержня, при этом на одном из них — 4 кольца, а на остальных — по 3. Заметим, что как бы ни сходил первый игрок в такой ситуации, у второго будет возможность сделать ход. Но после этого оста­ нется место лишь для одного кольца (за 8 ходов надето 8 · 3 = 24 кольца, а всего помещается 25). Таким образом, выигрывает второй игрок.

г) Ответ: выигрывает первый игрок.

Стратегия первого игрока: в начале игры выбрать любые 98 стерж­ ней и каждым своим ходом надевать кольца на них. Посмотрим, как меняется количество полных стержней во время игры. После первого хода их 98. После каждого следующего хода первого игрока количе­ ство полных стержней не меняется (поскольку он надевает кольца на все полные стержни и некоторые неполные). После каждого хода вто­ рого игрока количество полных стержней не может уменьшится больше, чем на 2. Таким образом после 94-го хода (47 ходов первого и 47 ходов второго) останется как минимум 98 47 · 2 = 4 полных стержня. После 95-го хода (он приходится на первого игрока) их останется столько же, следовательно, второй игрок не сможет сделать ход, поскольку не запол­ ненными до самого конца останутся не более 100 4 = 96 стержней.

3. «Не упусти шарик!»

а) Ответ: выиграет второй игрок.

Схема шариков с верёвками является квадратом с диагоналями.

Если первый игрок убирает верёвку на стороне квадрата, второй игрок должен убрать верёвку на противоположной стороне. Если же первый игрок убирает диагональ, второй должен убрать вторую диагональ.

После первых двух ходов остаётся цепочка из четырёх последовательно соединённых верёвок с шариками в узлах. Следующий ход первого игрока оставляет второму единственный возможный ход, после кото­ рого первый проигрывает.

б) Ответ: выиграет первый игрок.

Первым ходом первому игроку необходимо убрать одну из верти­ кальных верёвок. Можно развернуть получившуюся картинку:

Теперь все верёвки можно разбить на пары симметричных друг другу относительно центра картинки. После этого как только второй убирает одну из верёвок, первый убирает вторую из соответствующей пары. Всякий раз после хода первого игрока картинка вновь становится центрально симметричной. Заметим, что ни у одной из таких пар верё­ вок нет шарика, к которой они обе были бы привязаны.

Докажем, что после хода первого игрока шарик улететь не может, и значит, он выиграет. Действительно, пусть в какой-то момент после хода первого игрока шарик улетел. Это означает, что перед этим ходом этот шарик был привязан лишь к одной верёвке. На предыдущем ходе второй игрок не мог отвязывать верёвку от этого шарика (иначе бы оказалось, что пара симметричных верёвок имеет общий шарик), значит, и перед ходом второго игрока этот шарик был привязан лишь к одной верёвке.

Но перед ходом второго игрока картинка была центрально симметрич­ ной, а значит, и шарик, центрально симметричный рассматриваемому, тоже был привязан к одной верёвке, и эта верёвка была убрана вто­ рым игроком. После этого игра должна была закончиться проигрышем второго игрока.

в) Ответ: выигрывает второй игрок.

Назовём верхние шарики: A, B, C, а нижние шарики — P, Q, R.

Заметим, что любая верёвка связывает верхний и нижний шарик, и все верхние шарики связаны со всеми нижними. Поэтому без ограниче­ ния общности можно предположить, что сначала первый игрок убирает верёвку AP. Тогда второму игроку следует убрать AQ. Таким образом, шарик A остаётся на одной верёвке AR, которую уже нельзя убирать.

Без ограничения общности можно считать, что следующим ходом пер­ вый игрок отвязывает верёвку от верхнего шарика B (от A уже отвязы­ вать нельзя, а случай шарика C аналогичен). Если это BP или BQ (эти случаи одинаковы, и для определённости можно считать, что это BP ), то второй игрок отвязывает BR. Если же первый убирает BR, второму следует убрать BP. Таким образом, шарики B и P тоже остаются на одной верёвке.

Осталось лишь две верёвки, которые можно убрать: CQ и CR. Пер­ вый игрок убирает одну из них, второй игрок — оставшуюся. Больше возможных ходов нет, таким образом, выигрывает второй игрок.

г) Ответ: выиграет первый игрок.

Пронумеруем верёвки как на рисунке.

Первый игрок убирает верёвку под номером 5. После этого картинка разбивается на две части. Каждая из частей допускает всего лишь два возможных варианта развития событий внутри себя: из части может быть убрана либо лишь одна верёвка (1 и 8), либо две (2, 3 и 7, 9).

Причём первая убранная верёвка однозначно определяет дальнейшее развитие событий в этой части. Таким образом, следующим ходом вто­ рой игрок определяет судьбу одной из частей, а далее первый игрок определяет такую же судьбу для второй части. После этого либо игра заканчивается сразу (в случае, если убраны верёвки 1 и 8), либо про­ должается ещё два хода (в случае верёвок 2, 3 и 7, 9). Таким образом, выигрывает первый игрок.

д) Ответ: выигрывает второй игрок. Схему шариков можно пред­ ставить в виде куба без диагоналей. Верёвки можно разбить на пары симметричных друг другу относительно центра куба. Когда первый уби­ рает верёвку, второй должен убирать центрально симметричную ей. Эти верёвки не имеют общих шариков, и после каждого хода второго игрока картинка остаётся симметричной.

Доказательство того, что после хода второго игрока шарик улететь не может, полностью аналогично доказательству из пункта «б» с той только разницей, что игроки поменялись местами.

е) Ответ: выиграет первый игрок.

К сожалению, у этого задания скорее всего нет решения, которое записывалось бы достаточно лаконично (например, симметричной стра­ тегии). Нам придётся перебрать возможные игровые позиции. Впрочем, если это делать аккуратно, решение получается не слишком длинным.

Поскольку каждый шарик связан с каждым, нет никакой разницы, какая именно верёвка будет убрана первой.

Если следующим ходом второй игрок уберёт верёвку, связывающую другие два шарика, то далее первому игроку следует убрать верёвку, связывающую оставшуюся пару нетронутых шариков. Если обозначить соответствующие пары шариков за A–B, C–D и E–F, то получится следующая картинка:

Заметим, что картинка симметрична относительно пунктирной линии. Все верёвки можно разбить на пары друг другу симметричных, не имеющих общих шариков. Поскольку следующий ход — второго игрока, первому теперь достаточно лишь симметрично повторять ходы второго. Таким образом, у первого игрока не может улететь шарик, иначе бы симметричный шарик улетел бы у второго ещё на предше­ ствующем ходе.

Допустим обратное: пусть второй игрок своим первым ходом убрал верёвку, имеющую общий шарик с первой убранной верёвкой. Допу­ стим, это шарик B, а убранные верёвки связывали его с шариками A и C. Тогда первому игроку следует убрать верёвку, связывающую шарики C и D. Теперь оставшиеся шарики с верёвками выглядят так:

(Здесь и дальше для наглядности на некоторых рисунках вместо оставшихся верёвок будут обозначаться, наоборот, только убранные верёвки — «точечными» линиями, как рисунке справа. Заметим, что в этом случае количество точечных линий на рисунке равно номеру хода, к которому такой рисунок относится.) Возможны два варианта дальнейшего развития игры. Если второй игрок убирает одну из двух вертикальных верёвок на картинке (AD или EF ), то первый должен убрать вторую. После этого верёвки снова разбиваются на пары симметричных друг другу относительно горизон­ тальной линии, и можно применить рассуждение из предыдущего слу­ чая.

Во втором случае второй игрок убирает любую другую верёвку.

Будем рисовать теперь только убранные верёвки (пунктирными лини­ ями). Задачу игроков можно переформулировать так: не допустить ситуацию, когда к одному шарику будут вести пять «убранных верёвок»

(пунктирных отрезков), ведь это будет означать, что шарик улетел.

Докажем, что независимо от того, какую именно верёвку убрал вто­ рой игрок, первый игрок сможет свести картинку к такой:

Сгруппируем оставшиеся верёвки (кроме вертикальных, которые мы только что рассмотрели) в таблицу. Если второй игрок убирает какую-то верёвку, первый должен следующим ходом убрать верёвку, указанную в другой строчке в том же столбце таблицы (если указано несколько верёвок, то любую одну из них).

EB FB DB AC

Легко проверить, что во всех этих случаях можно, не нарушая свя­ зей, переставить шарики и переименовать их так, чтобы образовалась следующая картинка:

Для дальнейшего нам потребуется следующее рассуждение: рассмот­ рим все финальные ситуации игры, после которых уже нельзя будет сделать ход. Всего таких ситуаций четыре:

А) когда каждый шарик остаётся привязан к одной верёвке;

Б) когда будет шарик, привязанный к двум верёвкам;

В) когда будет шарик, привязанный к трём верёвкам;

Г) когда будет шарик, привязанный к пяти верёвкам.

Нетрудно убедиться, что других ситуаций не бывает.

В начале игры всего было 15 верёвок. Поэтому выигрыш первого игрока означает, что в конечном итоге останется чётное число верёвок (ситуации «Б» и «В»), выигрыш второго — нечётное («А» и «Г»). Если первый игрок сделает так, что возникновение ситуаций «А» и «Г» будет невозможно, то он выиграет автоматически.

Вернёмся к нашей картинке (KLM N OP ). Рассмотрим все возмож­ ные варианты хода второго игрока в представленной на картинке ситу­ ации и последствия таких ходов.

Вариант 1. Второй игрок убирает верёвку P M или KN. Первому игроку следует убрать оставшуюся из этих двух верёвок.

Теперь заметим, что верёвки OK и OM нельзя убирать, поскольку иначе шарик K или M улетит. Эти верёвки имеют общий шарик, поэтому игра не может закончиться ситуацией «А». На рисунке имеется единственный шарик (O), к которому привязано 5 верёвок. Заметим, что после очередного хода второго игрока одну из верёвок OP, OL или ON первый игрок всегда сможет отвязать, и, таким образом, сделать невозможным возникновение ситуации «Г».

Вариант 2. Второй игрок убирает верёвку P L или KO. Первому игроку следует убрать оставшуюся из двух верёвок. Нарисуем соот­ ветствующие картинки: для убранных верёвок (слева), для оставшихся верёвок (в центре и справа, правая картинка отличается от центральной только более удобным для восприятия расположением шариков).

Видно, что ситуация «Г» уже невозможна. Посмотрим, какие три отдельные верёвки могут остаться, если возникнет ситуация «А». Заме­ тим, что верёвка KN останется точно. Значит, верёвки P N, ON, LN должны будут быть убраны, а из оставшихся 4-х верёвок единственным образом можно выбрать две, не имеющие общих шариков: P N и OL.

После любого следующего хода второго игрока первый сможет убрать одну из этих двух верёвок, и ситуация «A» тоже будет невозможна.

Вариант 3. Второй игрок убирает верёвку N L или M O. Этот слу­ чай полностью аналогичен предыдущему (вариант 2) с точностью до симметрии.

Вариант 4. Второй игрок убирает верёвку P N или LO. Первому игроку следует убрать оставшуюся из двух верёвок. Нарисуем соответ­ ствующие картинки для убранных и для оставшихся верёвок:

K M K M P N

P N P N M K

Понятно, что ситуация «Г» уже невозможна. Ситуация «A» может возникнуть только в том случае, если останется одна из двух троек верё­ вок: P M, OK, N L или LP, M O, KN. Можно рассмотреть два варианта.

Если второй игрок уберёт верёвку из одной из этих троек, то первый должен убрать верёвку из другой тройки (например, противоположную в шестиугольнике P M OKN L), и ситуация «A» будет невозможна.

Если же второй игрок убирает одну из двух верёвок OP или ON, то первый игрок должен убрать вторую из этих двух. Останется шести­ угольник, в котором второй игрок своим очередным ходом уберёт любую из сторон. После этого первый игрок убирает противоположную сторону и тем самым выигрывает, создав ситуацию «Б».

Вариант 5. Второй игрок убирает верёвку P O или N O. Без огра­ ничения общности будем считать, что это верёвка P O. Заметим, что получившуюся в этом случае картинку (слева) простым перемещением шариков можно преобразовать, получив такую же картинку (справа), которую мы уже рассматривали, разбирая вариант 4.

Таким образом, разобраны все случаи. Первый игрок может выиг­ рать независимо от ходов соперника.

Задачи для конкурса по математическим играм предложили:

№ 1 — И. В. Раскина, № 2 — К. А. Скопцов, № 3 — А. Г. Банникова.

Критерии оценивания За каждую задачу ставится от 0 до 20 баллов: сумма баллов за пункты этой задачи или 20 баллов (если сумма больше 20).

1. «Крестики-нолики на полоске». Баллы выставляются в соответ­ ствии с таблицей.

Изложена идея, как нужно ходить, которая легко 1 3 2 3 доводится, но в работе этого не сделано.

Изложена полная стратегия, но нет объяснения, 1 4 2 5 почему она применима.

Идея «вилки», высказанная хотя бы в одном пункте: +1 балл (за всю задачу).

2. «Пирамидки».

а) 5 баллов за полное решение. (Повторение ходов без слова «чёт­ ность»: 1 балл. Есть слово «чётность», но не показано, как из этого следует, что второй всегда сможет сделать ход: 3 балла.) б) 10 баллов за полное решение.

в) 10 баллов за полное решение. (Стратегия «оставлять первому игроку хотя бы 3 (или 4) стержня с нечётным числом колец» без объ­ яснения: 3 балла. Эта же стратегия с объяснением, почему это можно сделать (эта стратегия почти верная, она может «сломаться» в конце игры, но это легко исправить): 8 баллов.) г) 10 баллов за полное решение.

3. «Не упусти шарик!»

а) 2 балла за полное решение. (Слова о симметрии без упоминания диагоналей: 1 балл.) б) 6 баллов за полное решение. (Слова «ходим центрально-симмет­ рично» и больше ничего: 2 балла.) в) 4 балла за полное решение.

г) 7 баллов за полное решение.

д) 3 балла за полное решение. (Слова «ходим центрально-симмет­ рично» и больше ничего: 1 балл.) е) 20 баллов за полное решение.

Критерии награждения Конкурс по математическим играм проводился письменно, а в некото­ рых местах проведения — также и устно (для желающих участников).

Результаты устных ответов по каждому заданию переводятся в баллы в соответствии с критериями проверки письменных работ. (Если участник сдавал задание устно несколько раз — за каждый пункт каж­ дого задания учитывается лучшая из всех полученных оценок.) Если какое-либо задание участник сдавал и устно, и письменно, учитывается наилучшая (из двух) оценка в баллах за это задание.

Оценка «e» (балл многоборья) ставилась, если в сумме по трём зада­ ниям было набрано 8 баллов или больше.

Оценка «v» (грамота за успешное выступление в конкурсе по мате­ матическим играм) ставилась, если в сумме по трём заданиям было набрано 18 баллов или больше. (То есть достаточно было полностью выполнить любое одно задание — возможно, с незначительными недо­ чётами. Для этого, в частности, было достаточно полностью выполнить задание на одном «сеансе» устного конкурса.) В случае, если поставлена оценка «v», оценка «e» не ставится.

Инструкция проводящим устный конкурс «Математические игры»

Уважаемые коллеги! Перед Вами задания конкурса «Математические игры» Турнира Ломоносова 2011 года. Мы рекомендуем вам по возмож­ ности провести этот конкурс в устной форме для учеников не старше восьмого класса. Ученикам 9–11 классов дайте задания для письменной работы и посадите их в специальную аудиторию. Если нет возможности провести конкурс устно, дайте письменные задания и младшим ребятам, но всё же, пожалуйста, постарайтесь организовать для них устный кон­ курс — младшеклассники, как показывает печальный опыт прошлых лет, очень плохо записывают решения заданий по играм.

Мы советуем проводить устный конкурс по матиграм приблизи­ тельно так. В выделенной аудитории назначаются «сеансы игр» — например, каждый час или, если аудитория невелика, каждые 45 минут.

Расписание «сеансов» вывешивается на дверях. Перед началом сеанса в аудиторию запускаются участники и рассаживаются за парты, лучше по двое. Не допускайте перенаселения, посоветуйте тем, кто не помеща­ ется, посетить иные конкурсы, а на этот прийти к другому сеансу.

На каждом сеансе ведущие (их нужно примерно по одному на 10–15 школьников) могут выбрать одну игру из предложенных ниже.

Перед тем, как рассказать правила, можно кратко объяснить, что такое математическая игра, что такое стратегия, привести пример на самых известных играх, например «крестики-нолики 3 3» или «двое берут из кучи по 1 или 2 камня». Когда школьники поймут, в чём заклю­ чается конкурс, расскажите им правила и задания одной из трёх игр, добейтесь, чтобы правила были понятны, потом раздайте реквизит (об этом подробнее написано ниже) и попросить их сыграть друг с другом или с вами несколько партий, чтобы понять суть игры. C желающим объяснить решение какого-либо пункта задания негромко побеседуйте.

Потребуйте, чтобы он не просто «обыграл» Вас, а внятно объяснил стратегию. Сданную задачу отметьте в протоколе.

Участнику можно предложить перейти в аудиторию, где проходит письменный конкурс — если он затрудняется изложить устно решение, особенно это каса­ ется игры с мешками, — если он уже решил предложенную игру и хочет решать другие, — если по каким-то причинам Вы бы хотели, чтобы его решение подверглось внешней проверке, — если, наконец, он бузит и мешает Вам работать.

Многие дети, кстати, не настолько жаждут решить и сдать задачу, они приходят просто поиграть. Дайте им эту возможность, поиграйте с ними, устройте турнир по какой-то игре. Шутите, улыбайтесь, созда­ вайте праздничную атмосферу. Самых заядлых игроков можно оста­ вить на повторный сеанс, но сначала напомните о других конкурсах.

Чтобы конкурс прошёл хорошо, к нему надо подготовиться.

Во-первых, прорешайте заранее задания, чтобы уверенно играть с детьми, когда надо, поддаваясь, когда надо, побеждая.

Во-вторых, распечатайте бланк протокола, распечатайте и имейте несколько экземпляров заданий.

В-третьих, заранее подготовьте реквизит.

Для игры № 1 распечатайте листы с полосками и кольцами, раз­ режьте их на отдельные поля и рассортируйте. Вы можете играть с детьми, вписывая крестики и нолики в клетки (тогда распечатать надо будет достаточно много полей), а можете использовать фишки двух видов, заготовив их заранее (в роли фишек могут выступать любые мелкие предметы).

Для игры № 2 особого реквизита не требуется, только ручка и бумага.

Для игры № 3 распечатайте картинки с графами-заданиями в достаточном количестве. Можно и рисовать графы карандашом, а сти­ рать «верёвки» ластиком.

Не пожалейте времени на изготовление реквизита — оно окупится радостью маленьких участников Турнира.

О записи результатов. В протоколе отражайте сданные школь­ никами задания. Принимайте задачи строго, требуйте объяснения правильности стратегии. Не подсказывайте явно, но незаметно слегка помогите участнику, если видите, что он понимает суть решения, но не может точно её выразить. Бывает так, что маленький участник очень ловко играет в игру, в разные её варианты, но объяснить ничего тол­ ком не может. Отметьте это словами в протоколе, такого малыша тоже можно будет поощрить. Протокол(ы) сдайте старшему по точке прове­ дения Турнира.

Игра № 1 самая простая. Постарайтесь слишком явно не демон­ стрировать стратегию, играя с ребятами. Тем, кто быстро разобрался в предложенных случаях, задайте вопрос, что будет при других зна­ чениях N. (Ответ: в случае полоски первый выигрывает при N 13, а в случае кольца при N 9.) Проверка, что при игре на полоске дли­ ной 12 победит нолик, требует, вероятно, довольно кропотливого пере­ бора. Если толковый школьник справился со всеми заданиями, можно в качестве бонуса предложить ему такую игру: на бесконечной клетчатой плоскости игроки играют в обычные крестики-нолики, только крестик пытается поставить не «5 в ряд», а 4 крестика квадратиком 2 2. Нолик старается ему навредить. Кто победит?

Игра № 2, напротив, довольно сложная. Она эквивалентна такой:

«есть сколько-то кучек, в каждой поровну камней, за ход можно брать по камню из условленного количества кучек». Если школьник расска­ зывает переборное решение, внимательно следите за его полнотой.

В игру № 3, можно, конечно, играть не только на графах, пред­ ложенных составителями, но и на любых, которые придумаете Вы или сами дети.

Статистика В приведённой статистике учтены все письменные работы по матема­ тическим играм, сданные школьниками, а также все устные ответы, кроме абсолютно нулевых. При наличии нескольких устных ответов за каждый пункт каждой задачи учтён лучший результат. При наличии как устного, так и письменного ответа по каждой задаче учтена лучшая оценка (наибольшее количество баллов).

Сведения о распределении суммы баллов по классам. (Знаками «e»

и «v» показаны границы соответствующих критериев награждения.) Сведения о распределении баллов по заданиям (в таблице приведено количество участников, получивших указанные баллы за указанные задания).

Обращает на себя внимание очень большое количество нулевых бал­ лов. Это обусловлено сочетанием двух причин. Во-первых, конкурс по математическим играм для многих школьников оказался непривычным, в своих работах ребята часто приводили описание игры, примеры пар­ тий и т. п., но не делали попыток решить игру как математическую задачу. Во-вторых, ввиду достаточно сложной системы учёта результа­ тов (возможность нескольких устных и письменных ответов с последую­ щим объединением результатов) невозможно чётко разграничить ситуа­ ции, когда школьник пытался выполнить задание, но получил 0 баллов, и когда он вообще не выполнял и не планировал выполнять какое-либо задание. (Например, отвечая устно, школьник сказал пару слов и пере­ думал, но в протоколе перед началом ответа он уже был отмечен.) Сведения о количестве школьников по классам, получивших гра­ моту по математическим играм («v»), получивших балл многобо­ рья («e»), а также общем количестве участников конкурса по мате­ матическим играм (количестве сданных работ и/или устных ответов).

Всего 2 4 17 49 560 1336 1392 1221 865 794 Конкурс по физике Задания В скобках после номера задачи указаны классы, которым эта задача рекомендуется. Ученикам 7 класса и младше достаточно решить одну «свою» задачу, ученикам 8–10 классов — две «своих» задачи, учени­ кам 11 класса — три «своих» задачи. Можно решать и задачи старших классов.

1. (6–9) Из кондиционеров, холодильников и других устройств, предна­ значенных для охлаждения, во время работы часто течёт вода (которая совсем не нужна). Откуда эта вода берётся и почему без неё невозможно обойтись?

2. (6–9) Из верёвки можно сплести «шнурок», который сам расплета­ ется, если потянуть за свободный конец верёвки.

С какой средней скоростью будет перемещаться граница (указана вертикальной стрелкой) между ещё не расплетённым шнурком и верёв­ кой, если тянуть за конец верёвки, перемещая его со скоростью 1 сан­ тиметр в секунду? Считать, что длина шнурка в 5 раз меньше длины верёвки, из которой он сплетён. За конец верёвки тянут влево, как ука­ зано на рисунке стрелкой. Правый конец шнурка закреплён.

(На рисунке показан способ плетения шнурка, этот способ для реше­ ния задачи не важен.) 3. (7–10) Биологи решили простерилизовать подсолнечное масло, про­ грев его до температуры 100 C. Масло налили поверх слоя воды, кипя­ щей на сковородке, считая, что масло будет плавать сверху и прогре­ ется как раз до температуры кипения воды. Но получилось не так, как планировали: масло нагрелось до существенно большей температуры и испортилось. Предложите объяснение: что не учли биологи и что могло случиться с маслом.

4. (8–10) Как парусные корабли могут перемещаться «против ветра»?

Какие особенности конструкции корпуса корабля для этого необхо­ димы?

сосуда с водой сообщаются между собой. В пер­ вом сосуде на высоте L = 10 см от уровня воды есть маленькое отверстие. В третий сосуд начи­ нают наливать масло. Чему должна быть равна L высота столбика масла (в миллиметрах), чтобы через отверстие в первом сосуде начала выли­ ваться вода? Плотность воды 1 = 1 г/см3, плот­ ность масла 2 = 0,8 г/см3.

6. (10–11) Две металлические сферы имеют радиусы R1 и R2, центры сфер совпадают. На расстоянии R от центра сфер расположен точечный электрический заряд q, причём R1 < R < R2. Известно, что электроста­ тические потенциалы сфер также равны. Найдите величину заряда q1, находящегося на сфере радиуса R1.

7. (10–11) Планета сферической формы составлена из однородного жид­ кого вещества. Ускорение свободного падения на её поверхности равно g.

Планета не имеет атмосферы и не вращается вокруг своей оси. Найдите давление в центре этой планеты.

8. (10–11) С одноатомным идеальным газом в количестве = 1 моль проводят процесс ABCDE, график которого изображён на рисунке.

По оси абсцисс отложена температура T, умноженная на R, где R = 8,31 Дж/(моль · К) — универсальная газовая постоянная. По оси ординат отложено количество теплоты Q, полученное газом в данном процессе. Нарисуйте, как выглядит график этого процесса в координа­ тах «давление—объём»?

9. (8–11) На рисунке изображена система из четырёх треугольных призм с зеркальными гранями. Обозначенные на рисунке длины a и b и угол можно подобрать так, чтобы эта система никак не искажала параллельный пучок световых лучей (направление пучка указано на рисунке стрелками), то есть являлась для такого пучка «невидимкой».

Приведите пример таких значений a, b > 0 и > 0.

10. (10–11) Для наглядной демонстрации суточного вращения Земли можно использовать маятник с жидким наполнителем. На лёгкой нерас­ тяжимой нити подвешивается лёгкая сферическая ёмкость, заполнен­ ная до половины тяжёлой жидкостью, не смачивающей стенки ёмкости (например, ртутью). Если такой маятник отклонить в любом направ­ лении и отпустить, он начнёт совершать колебания, причём плоскость колебаний со временем будет поворачиваться, стремясь занять положе­ ние «Восток—Запад».

Объясните наблюдаемое явление (поясните, почему плоскость коле­ баний устанавливается в направлении, перпендикулярном плоскости географического меридиана, и как именно на это влияют особенности конструкции маятника).

Ответы и решения Задача 1. Вода, которая течёт из кондиционеров, ранее входила в состав воздуха в виде водяного пара. Максимальное количество воды, которая может находиться в виде пара в каком-то объёме, зависит от температуры. Чем температура меньше, тем меньше это количество.

Если воздух охладить так (до такой температуры), что водяных паров в нём оказывается больше, чем может быть при этой температуре, «лишняя» вода превращается из пара в обычную жидкую воду (или твёрдую — лёд, снег, — при низких температурах).

Жидкая вода в кондиционере образуется так же, как и обычный дождь в атмосфере или роса на поверхности предметов.

Задача 2. Если расплести весь шнурок, то образовавшаяся в резуль­ тате верёвка будет в 5 раз длиннее бывшего шнурка. При этом сво­ бодный конец верёвки переместится от своего первоначального положе­ ния на расстояние в 4 раза больше длины шнурка. А граница между шнурком и расплетённой верёвкой переместится вдоль всего шнурка, на расстояние, равное длине шнурка (шнурок расплетается полностью с начала до конца). То есть скорость перемещения границы шнурка и верёвки в 4 раза меньше скорости перемещения конца верёвки и равна см/сек.

Ответ. см/сек.

Задача 3. Кипящая вода представляет собой смесь жидкой воды и пузырьков пара. Плотность такой смеси (отношение массы смеси к её полному объёму) может оказаться меньше плотности масла. В этом случае масло будет «проваливаться»7 сквозь кипящую воду до дна ско­ вородки и нагреваться непосредственно от дна до более высокой темпе­ ратуры, чем требуется.

Комментарий. В условии задачи кратко описан реально наблюдав­ шийся процесс. Более подробное описание этого процесса приведено в решении. Естественно, от решающих задачу не требуется угадывать в точности что реально наблюдали составители задачи. Достаточно при­ вести любое разумное объяснение, соответствующее условию.

Заметим, что вода в любом случае не может прогреться до темпера­ туры, существенно большей 100 C. При попытке нагреть воду сильнее она тут же начинает интенсивно испаряться, образовывая множество пузырьков (кипение). На испарение тратится как раз столько теплоты, чтобы «вернуть» кипящей воде температуру 100 C. Нагреть до суще­ ственно большей температуры пар (даже те пузырьки, которые «сидят»

на дне горячей сковородки) тоже не получится — чем больше темпера­ тура пара отличается в бльшую сторону от 100 C, тем больше дав­ ление пара отличается (также в бльшую сторону) от атмосферного.

В результате пузырёк пара будет расширяться и при этом охлаждаться до тех пор, пока его температура не станет равной 100 C, а давление в нём — равным атмосферному давлению.

7 Точнее говоря, из-за наличия в воде пузырьков в результате перемещения вниз какого-то объёма масла в обратном направлении (вверх) перемещается кипящая вода (вода с пузырьками) такого же объёма. Масло будет «проваливаться» (тонуть), если его масса окажется больше массы вытесняего им объёма кипящей воды.

Конечно, температура кипящей воды может незначительно превы­ шать 100 C: из-за слишком интенсивного нагрева (когда вода не успе­ вает «выкипать»), из-за повышенного атмосферного давления и т. п.

Но перегрев больше 100 C в этих случаях не будет существенным (он ограничивается примерно 1 C), то есть не будет существенным (как указано в условии задачи) и не приведёт к порче масла.

То есть от контакта с водой и водяным паром масло перегреться до температуры, сильно превышающей 100 C, не сможет.

Для существенного перегрева масла необходим непосредственный контакт масла с поверхностью, температура которой существенно больше 100 C. В решении задачи нужно было предложить какой-либо механизм, обеспечивающий такой контакт.

Задача 4. Корпус парусного корабля снабжается килем — специаль­ ным выступом вдоль подводной части корпуса по его средней линии.

Сопротивление воды при движении корабля поперёк киля намного больше, чем при движении в нормальном направлении — вдоль киля.

Ветер оказывает давление на парус в направлении, близком к перпен­ дикулярному к поверхности паруса. Так, выставив парус почти парал­ лельно направлению ветра, можно получить силу ветра, действующую на парус почти перпендикулярно направлению ветра.

Комбинируя этот приём с подходящим выбором направления киля (то есть направления корпуса корабля), можно добиться ситуации, когда корабль в основном смещается перпендикулярно направлению ветра, и ещё немного в направлении, противоположном направлению ветра. (Это образно называется «подниматься на ветер».) направление ветра Имея возможность двигаться в таком направлении относительно направления ветра, можно построить зигзагообразную траекторию дви­ жения, начало которой расположено вдоль направления ветра дальше, чем конец.

Задача 5. Согласно закону Паскаля, давление, оказываемое на дно сосудов, изначально было одинаковым и равным p0 = 1 gH, где H — высота воды в любом из сосудов. После того, как в третий сосуд налили столбик масла высотой h, уровень воды в нем изменился и стал рав­ ным H H. Давление, оказываемое на дно этого сосуда, в этом случае равно При этом давление воды на дно любого другого сосуда (из оставшихся двух) — одинаково и равно p = 1 g(H + L), где L — изменение уровня воды в этих сосудах (до уровня отверстия в первом сосуде). Тогда или 2 h = 1 (H + L).

Вытесненный объём воды из третьего сосуда добавились в первые два сосуда:

Следовательно, H = 2L.

Объединяя записанные выражения, находим h > 3L = 375 мм.

Ответ. 375 мм.

Комментарий. Качественно задачу можно решить так. Если в тре­ тий сосуд налить столбик воды высотой 3L, то эта вода равномерно распределится по всем трём сосудам, уровень воды в каждом сосуде увеличится на L как раз достигнет отверстия в первом сосуде.

Если в первый сосуд налить масло такой же массы, как вышеупо­ мянутая вода, то эффект должен быть таким же8. Но высота столбика масла как раз и отличается от высоты столбика воды такой же массы раз, откуда и получается ответ 3L.

Задача 6. Пусть q2 — заряд, находящейся на внутренней поверхности сферы радиуса R2. Все силовые линии, выходящие из заряда q, закан­ чиваются на внешней поверхности сферы R1 и внутренней поверхности сферы R2. Других силовых линий в пространстве между сферами нет (потому как там нет других зарядов; также силовые линии не могут начинаться на одной из сфер и заканчиваться на другой, так как по условию задачи потенциалы сфер равны). Поэтому q = (q1 + q2 ).

На рисунке показано сечение описанной в задаче системы плоско­ стью, проходящей через центр сфер и заряд q ; электрические силовые линии показаны условно.

Заметим, что на внешней поверхности сферы радиуса R2 могут быть и какие-то другие заряды. Но такие заряды никак не влияют на раз­ ность потенциалов между сферами, поэтому для решения задачи они несущественны. Как несущественны для решения и любые заряды, рас­ положенные за пределами сферы R2. Потенциал внешней сферы (ради­ уса R2 ), созданный такими зарядами9, обозначим 0.

8 Это интуитивно понятно, но объяснить, почему так, не очень просто. Объясне­ нием фактически и является решение, приведённое выше.

9 Заряды q, q, q никакого вклада в потенциал внешней сферы не вносят в связи с тем, что q + q1 + q2 = 0.

Электростатический потенциал в центре сфер равен Внутри внутренней сферы (радиуса R1 ) нет электростатического поля, поэтому потенциал поверхности этой сферы равен потенциалу в её центре и равен 0.

По условию задачи потенциалы внешней и внутренней сфер равны, то есть потенциал внешней (радиуса R2 ) сферы также равен 0. То есть Воспользовавшись соотношением q = (q1 + q2 ) (или, что то же самое, q2 = (q1 + q) ), получим:

Задача 7. Введём обозначения для параметров планеты, которые отсутствуют в условии, понадобятся при решении и не войдут в окон­ чательный ответ:

— плотность вещества планеты;

R — радиус планеты;

V = R3 — объём планеты;

Пусть G — гравитационная постоянная10.

Через обозначенные параметры в соответствии с законом всемирного тяготения легко выразить ускорение свободного падения g на поверхно­ сти планеты:

Выразим через эти же параметры давление p в центре планеты.

Пусть M (r) = R3 — масса вещества планеты, находящегося на рас­ стоянии от центра не более r (где r R). Тогда ускорение свободного падения внутри планеты на расстоянии r от её центра равно (вещество планеты, находящееся на расстоянии от центра больше r, представляет собой симметричную сферическую оболочку, которая не создаёт никаких сил тяготения внутри себя, то есть в области простран­ ства, ограниченной сферой радиуса r с центром в центре планеты).

10 Для Как известно, давление столба жидкости (плотности ) высотой h равно p = gh, где ускорение свободного падения g не зависит от высоты. Нам же нужно решить более сложную задачу: вычислить давле­ ние столба жидкости высотой h = R в случае зависимости g(r) = rG.

Это и будет давление p в центре планеты.

Давление p в центре планеты фактически складывается из давлений вышележащих слоёв на разных уровнях. Поэтому p можно вычислить как площадь под графиком зависимости величины g от расстояния до центра планеты r.

На графике соответствующая фигура (закрашена серым цветом) представляет собой прямоугольный треугольник с катетами R2 G и R, её площадь, численно равная давлению p в центре планеты, равна Комментарий. В реальных планетах любого размера существенно изменяются и плотность, и температура, и состав и состояние вещества в зависимости от расстояния до центра. Условие задачи соответствует самой простой модели реальной планеты, не учитывающей ничего из перечисленного.

Задача 8. Количество теплоты Q, получаемое одноатомным идеаль­ ным газом на малом участке процесса, идёт на изменение его внут­ ренней энергии 1,5RT и на совершение работы, равной произведению давления p на изменение объёма V :

На участках AB и CD из графика получаем: Q = 1,5RT. Сле­ довательно, V = 0, и эти стадии процесса оказываются изохорами.

Поскольку температура на каждом из участков изменяется в два раза, для давлений имеем:

На участках BC и DE находим: Q = 2,5RT. Следовательно, RT = pV. Поскольку RT = (pV ) = pV + V p, получим, что p = 0 — стадии процесса являются изобарами. Температура и на этих участках изменяется в два раза, и для объёмов получим:

Таким образом, график процесса в pV -координатах состоит из двух вертикальных и двух горизонтальных участков. На вертикаль­ ных участках давление изменяется вдвое, на горизонтальных — объём изменяется вдвое. Точка E совпадает с точкой A.

Ответ. График процесса в (pV )-координатах изображён на рисунке справа (слева для сравнения приведён график из условия).

Значения pA и VA из условий задачи определить нельзя, так как фик­ сировано только их произведение (pA VA = RTA = 2 кДж).

Задача 9. Приведём схему построения требуемой в задаче конструк­ ции. Пунктирными линиями нарисованы равносторонние треугольники, точечными линиями — биссектрисы этих треугольников. Все длины сторон равносторонних треугольников равны, основания этих треуголь­ ников параллельны друг другу. Треугольные призмы выделены серым цветом.

В качестве примера на рисунке жирной линией показан также один из лучей, проходящих через систему. Все отрезки этого луча между последовательными отражениями от зеркальных поверхностей призм составляют с этими зеркальными поверхностями углы 30. Видно, что участки луча до и после прохождения системы зеркальных призм лежат на одной прямой, то есть система призм как бы не оказывает на это луч никакого влияния. То же самое произойдёт и со всеми другими лучами, имеющими то же направление.

Итак, в качестве ответа можно принять = 30 (угол, образован­ ный стороной и биссектрисой равностороннего треугольника). Значение b можно выбрать произвольным, например, b = 1 см (сторона равносто­ ронних треугольников). Высота равностороннего треугольника с дли­ ной стороны b по теореме Пифагора равна Учитывая, что точка пересечения высот треугольника делит эти высоты в отношении 2 : 1, для получения значения a к высоте треуголь­ ника h нужно добавить ещё h/3, то есть Ответ. Пример значений: a = (2/ 3) см, b = 1 см, = 30.

Комментарий. Задача была сформулирована для геометрического «пучка световых лучей». В геометрической оптике не ставится вопрос о скорости распространения лучей, лучи — всего лишь линии. И в этом (геометрическом) смысле никакого искажения пучка параллельных лучей действительно не происходит: после прохождения через систему призм все лучи «возвращаются на своё место».

Однако, длина разных лучей, проходящих через рассмотренную систему призм, оказывается различной. Поэтому вместо параллельного пучка лучей нельзя рассматривать плоский волновой фронт — этот волновой фронт в нашей системе подвергнется искажениям.

Ознакомиться с дополнительной информацией об описанной в задаче оптической системе можно на сайте «Математические этюды» в разделе «Невидимка» (http://www.etudes.ru/ru/mov/mov053 ). В част­ ности, там вы можете прочитать об оптических свойствах таких систем, об их необычных гидродинамических свойствах (силах сопротивления при движении в жидкости или газе), а также просмотреть короткий видеофильм, иллюстрирующий и объясняющий эти свойства.

Дополнение. В задании требовалось привести только конкретный пример значений a, b и, удовлетворяющих условию задачи. Выясним (в задании это не требовалось), при каких соотношениях между a, b и реализуется описанная в задаче ситуации «невидимого» объекта.

Изобразим на рисунке ход луча и отметим углы. Углы с величи­ ной отмечены исходя из условия задачи, соотношения «угол падения равен углу отражения» и соотношения равенства внутренних накрес­ тлежащих углов, образованных секущей с параллельными прямыми.

Заметим, что < 45 — иначе горизонтальные лучи, отразившиеся от отрезка AB, образуют со своим первоначальным направлением угол 90 и не попадут на отрезок CD.

Заметим, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом, так как его стороны — отрезки AB и CD — равны и параллельны по условию (являются боковыми сторонами равных равнобедренных тре­ угольников с параллельными основаниями).

Все горизонтальные параллельные лучи после отражения от отрезка AB, очевидно, останутся параллельными (на рисунке показан один из таких лучей). Также эти лучи (после отражения) должны быть парал­ лельны сторонам AD и BC параллелограмма ABCD (иначе какие-то из этих лучей пересекут эти отрезки, выйдут за пределы параллелограмма ABCD и не попадут на отрезок DC — тем самым их дальнейшая траек­ тория не будет соответствовать условию задачи). Так как отрезки AD и BC параллельны лучам, отразившимся от отрезка AB, они образуют с отрезками AB и ВС такие же углы, что и лучи.

По условию CE = a и AE = a; очевидно, что BF = AE/2 = a/2.

Пользуясь рисунком, выразим длину отрезка CF двумя способами:

Отсюда Окончательно получаем При таких соотношениях между a, b и условия задачи будут выполнены (представленная оптическая система будет «невидимкой»

для параллельного пучка световых лучей в указанном направлении).

Интуитивно можно предположить, что для всех остальных комбина­ ций a, b и (удовлетворяющих условию задачи), для которых эти соот­ ношения не выполняются, «невидимка» не получится. Но это только предположение.

Задача 10. Поведение маятника обусловлено силой Кориолиса. Эта сила возникает из-за того, что система отсчёта, связанная с точкой под­ веса маятника, не является инерциальной, а связана с вращающейся Землёй.

Сила Кориолиса действует на движущиеся тела в направлении, перпендикулярном плоскости, проведённой через ось вращения Земли и направление скорости тела. В частности, тела, движущиеся вдоль поверхности Земли в направлении меридиана (в любую сторону), сила Кориолиса отклоняет вправо, если движение происходит Северном полушарии, и влево — если в Южном. (Это различие обусловлено раз­ ным наклоном земной поверхности Северного и Южного полушария к оси вращения Земли.) При движении вдоль поверхности Земли в других направлениях, у силы Кориолиса также будет составляющая вдоль поверхности Земли, направленная вправо по направлению движения тела в Северном полу­ шарии и влево по направлению движения в Южном полушарии.

В случае обычного маятника (груз, подвешенный на нерастяжимой нити) сила Кориолиса, действующая перпендикулярно направлению движения груза, приводит к повороту плоскости колебаний маятника относительно Земли. Это — известный эксперимент Фуко (маятник Фуко).

В случае маятника с жидкостью процесс колебаний оказывается более сложным. Так, сила Кориолиса влияет на расположение (угол наклона) свободной поверхности жидкости, немного (сила Кориолиса мала по сравнению с силой тяжести) отклоняя её вбок относительно направления движения маятника. В результате налитая в маятник жид­ кость периодически меняет своё расположение (наклон своей свободной поверхности вправо—влево относительно плоскости колебаний), причём с тем же периодом, что и период колебаний маятника.

В случае достаточно удачно подобранной конструкции боковые воз­ действия силы Кориолиса, незначительные на каждом отдельном пери­ оде колебаний, будут накапливаться, существенно смещая плоскость колебаний маятника. Наиболее эффективное смещение наблюдается, когда маятник колеблется в плоскости меридиана — в этом случае сила Кориолиса перпендикулярна направлению движения маятника, и плос­ кость колебаний быстрее всего «уходит» из этого положения. Наобо­ рот, в плоскости колебаний «Восток—Запад» сила Кориолиса наименее эффективно «уводит» маятник из этой плоскости. И при определённом подборе параметров маятника его колебания в этой плоскости окажутся устойчивыми.

Комментарий. Как и во всякой физической задаче, предлагаю­ щей объяснить описанное в условии явление, от решающих задачу не требуется угадывать именно то, что наблюдали составители задачи.

В качестве правильного решения достаточно привести любое физиче­ ски разумное объяснение, соответствующее условию задачи.

Подробнее об описанном в задаче маятнике вы можете прочитать в статье: Гаврик В. Я. Маятник с жидким наполнителем — прибор для демонстрации суточного вращения Земли. Статья опубликована в журнале «Успехи физических наук» № 12 за 1963 год (стр. 774–777), и доступна в интернете по адресу http://ufn.ru/ru/articles/1963/ При проведении физического эксперимента, поставленного с целью наблюдения какого-либо эффекта, необходимо по возможности так выбрать конструкцию экспериментального оборудования, чтобы макси­ мально уменьшить влияние посторонних факторов, мешающих наблю­ дению. Соответствующие детали конструкции рассмотренного в задаче маятника также описаны в названной статье. Там же приведено и более подробное теоретическое описание колебаний такого маятника и результаты экспериментальных наблюдений.

К сожалению, ртуть является ядовитым веществом. Поэтому детям заниматься изготовлением маятника, описанного в статье, не следует.

Проверка и награждение Инструкция для проверяющих работы За каждую задачу ставится одна из следующих оценок:

Если в работе нет никакого текста по данной задаче — за эту задачу ставится оценка «0».