«2011 2 Оглавление ВВЕДЕНИЕ МАТЕМАТИКА ПРОФИЛЬНЫЙ ПОТОК МАТЕМАТИКА ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ПОТОК ФИЗИКА ПРОФИЛЬНЫЙ ПОТОК ЗАДАЧИ ФИЗИЧЕСКОГО ПРАКТИКУМА ИНФОРМАТИКА ПРОФИЛЬНЫЙ ПОТОК ИНФОРМАТИКА ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ПОТОК ...»
-- [ Страница 1 ] --
Московский государственный университет
имени М.В. Ломоносова
Специализированный учебно-научный центр (факультет) –
школа-интернат имени А.Н. Колмогорова
2011
2
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ
МАТЕМАТИКА ПРОФИЛЬНЫЙ ПОТОК
МАТЕМАТИКА ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ПОТОК
ФИЗИКА ПРОФИЛЬНЫЙ ПОТОК
ЗАДАЧИ ФИЗИЧЕСКОГО ПРАКТИКУМА
ИНФОРМАТИКА ПРОФИЛЬНЫЙ ПОТОК
ИНФОРМАТИКА ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ПОТОК
БИОЛОГИЯ ПРОФИЛЬНЫЙ ПОТОК
БИОЛОГИЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ПОТОК
ХИМИЯ ПРОФИЛЬНЫЙ ПОТОК
ПРАКТИКУМ ПО ХИМИИ
ХИМИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПОТОК
ПРИЛОЖЕНИЯ
3
ВВЕДЕНИЕ
Программы учебных курсов, реализуемые в Специализированном учебно-научном центре (факультете) Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова – школе-интернате имени А.Н. Колмогорова (СУНЦ МГУ), разработаны в соответствии с учебными планами, принятыми Ученым Советом СУНЦ МГУ в июне 2009 года (Приложения 1-5).
Обучение в СУНЦ МГУ осуществляется на профильных отделениях:
физико-математическом и химическо-биологическом. Учащиеся, поступившие после окончания 9-го класса на физико-математическое отделение, обучаются по программам двухгодичного потока, а поступившие после окончания 10 класса учатся в одногодичном потоке. В рамках двухгодичного физико-математического потока выделен класс с углубленным изучением информатики. Продолжительность обучения на химическо-биологическом отделении – два года.
Процесс обучения в СУНЦ МГУ обеспечивают шесть кафедр: математики, физики, химии, информатики, биологии и гуманитарных дисциплин.
Обучение построено на сочетании школьного и университетского принципов.
Учебный год разбит на два семестра, по окончании каждого семестра учащиеся сдают зачеты и экзамены. В процессе обучения, помимо обучения на уроках, учащиеся слушают лекции, материал которых закрепляется на семинарских занятиях и практикумах.
В настоящем сборнике приведены программы курсов, реализуемых профильными для СУНЦ МГУ кафедрами. Приводится программа как профильного, так и непрофильного уровней по соответствующему предмету. Эти программы соответствуют принятым государственным стандартам, включают программы вступительных экзаменов в МГУ имени М.В. Ломоносова по соответствующим предметам и, как правило, содержат авторскую составляющую. Обучение гуманитарным дисциплинам осуществляется по программам, соответствующим государственным стандартам для классов, в которых обучается учащийся.
Учебные курсы, изучаемые в СУНЦ МГУ, обеспечивают глубокие фундаментальные знания. В 11-ом классе все учащиеся проходят обязательный тренинг сдачи ЕГЭ, но он лишь служит для психологической адаптации учащихся в жестких рамках экзамена и привития необходимых навыков оптимизации распределения времени экзамена.
Помимо 36 часов обязательных занятий, учебные планы по каждому профилю содержат вариативную часть, которая обеспечивает развитие творческих способностей учащегося, а также обеспечивает, при необходимости, дополнительную проработку базового учебного материала. Еженедельно учащийся СУНЦ МГУ обязан прослушать 2 часа специальных курсов и от до 3 часов заниматься самостоятельными творческими исследованиями.
Высокий уровень обучения в СУНЦ МГУ подтверждается результатами выступления учащихся на олимпиадах, творческих конкурсах, ЕГЭ и вступительных экзаменах в МГУ. Ежегодно 50-70 учеников принимают участие в заключительных турах Всероссийской олимпиады по математике, физике, информатике, химии, биологии, астрономии, экономике и другим предметам. Получившие существенные продвижения в первых творческих исследованиях выступают с докладами на международных и всероссийских школьных научных конференциях. Трудно перечислить все соревнования, в которых участвуют и побеждают наши ученики. Большинство становятся победителями и призерами олимпиад высшего уровня, проводимых Союзом ректоров, получают льготы при поступлении в университеты. Это, а также высокие баллы ЕГЭ по профильным предметам и русскому языку обеспечивают поступление нашим выпускникам в избранные ими высшие учебные учреждения.
По окончании СУНЦ МГУ выпускники получают аттестаты государственного образца о полном среднем (общем) образовании. Все выпускники поступают в ведущие российские учебные учреждения высшего профессионального образования, большинство из них – на профильные факультеты МГУ имени М.В. Ломоносова: механико-математический, физический, вычислительной математики и кибернетики, химический, факультет наук о материалах, биоинженерии и биоинформатики и другие.
Главным отличием СУНЦ МГУ от других школ является его структурная принадлежность на правах факультета Московскому государственному университету. Поэтому занятия проводят не только школьные учителя, но и ученые, занимающиеся научными исследованиями, имеющие степень кандидата или доктора наук. Учащиеся СУНЦ МГУ пользуются правами студентов МГУ, посещают библиотеку МГУ, проходят практику в лабораториях профильных факультетов, их личность формируется под влиянием университетской среды.
Математика Профильный поток Представленная программа соответствует стандартам, утвержденным Министерством образования и науки РФ.
Цели и задачи Изучение математики на профильном уровне в СУНЦ МГУ направлено на достижение следующих целей:
формирование представлений об идеях и методах математики; о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования реальных явлений и процессов;
овладение математическим языком в устной и письменной форме, математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения школьных естественно-научных дисциплин и продолжения образования;
развитие логического мышления, пространственного воображения, творческих способностей на уровне, необходимом для продолжения образования;
воспитание средствами математики культуры личности: знакомство с историей развития математики, эволюции математических идей, понимание значимости математики для общественного прогресса.
Особенности учебной программы Программы курсов математического анализа, алгебры и геометрии в СУНЦ МГУ в их базовой части едины для одногодичного и двухгодичного физико-математического потока. Различия между программами для этих потоков, обусловленные двукратной разницей в числе учебных часов, проявляются, во-первых, в том, что темы, относящиеся к 10 классу, изучаются в одногодичном потоке в порядке повторения, и, во-вторых, в объеме и содержании изучаемых дополнительных тем.
Реализация указанных целей достигается в результате освоения следующего содержания образования.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Степенная, показательная и логарифмическая функция Линейная, квадратичная функции, степенная функция с натуральным и целым показателем. Свойства. График.
Корень степени n>1, его свойства. Степень с рациональным показателем, ее свойства. Понятие о степени с действительным показателем.
Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Логарифм произведения, частного, суммы. Переход к другому основанию.
Показательная и логарифмическая функция. Свойства, область определения, область значений, графики.
Множества. Операции над множествами. Понятие мощности. Функции:
область определения и множество значений, монотонность, (не)четность, периодичность, ограниченность. Способы задания функций. Промежутки возрастания и убывания. Наибольшее и наименьшее значение. Локальные экстремумы (без производной). Сложная и обратная функции. Примеры функциональных зависимостей.
Построение графиков функций, заданных разными способами.
Преобразования графиков. Графики элементарных функций (степенных, показательных, логарифмических, тригонометрических, дробно-линейных).
График обратной функции. Выпуклые функции, геометрические свойства графика.
Множество действительных чисел. Рациональные и иррациональные числа, Предел последовательности. Теорема Вейерштрасса. Длина окружности, площадь круга и объем конуса как предел. Предельный переход в неравенствах. Бесконечная геометрическая прогрессия.
Предел функции. Основные теоремы о пределах функций. Первый и второй замечательный предел. Асимптоты. Непрерывные функции, основные свойства.
Производная, физический и геометрический смысл. Правила нахождения (произведение, частное, композиция, обратная), производные элементарных функций. Уравнение касательной. Нахождение скорости и ускорения в процессах, заданных формулами. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.
Применение производной при нахождении экстремумов функций и исследовании на возрастание, убывание и выпуклость.
Использование свойств и графиков функций Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств от двух переменных. Решение уравнений и неравенств с параметрами с использованием графических методов.
Площадь криволинейной трапеции. Понятие определенного интеграла.
Первообразная. Первообразные элементарных функций. Правила интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление длины кривой.
Нахождение площадей, объемов, работы, положения центра масс.
АЛГЕБРА
Натуральные, целые и рациональные числа. Делимость целых чисел.
Признаки делимости. Деление с остатком. Сравнения. Простые и составные числа. Бесконечность множества простых чисел. Основная теорема арифметики. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.
Алгоритм Евклида. Линейные диофантовы уравнения.
Принцип математической индукции. Неравенство Бернулли.
Арифметическая и геометрическая прогрессии, формулы общего члена и суммы. Последовательность Фибоначчи.
Многочлены от одной переменной. Делимость многочленов, деление многочленов с остатком. Схема Горнера. Корни многочлена. Теорема Безу.
Теорема Виета. Число корней многочлена. Разложение многочленов на множители, метод неопределенных коэффициентов.
Многочлены от нескольких переменных. Формулы сокращенного умножения для старших степеней. Бином Ньютона. Симметрические многочлены.
Преобразование суммы в произведение и произведения в сумму.
Универсальная замена (тангенс половинного угла). Метод вспомогательного аргумента.
Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики. Общий вид решения простейших тригонометрических уравнений.
Линейные, квадратные, рациональные уравнения и неравенства. Уравнения, сводящиеся к квадратным. Частные методы решения уравнений высоких степеней: использование замены и разложения на множители, возвратные уравнения, метод неопределенных коэффициентов отыскание рациональных корней многочленов с целыми коэффициентами.
Уравнения и неравенства с модулем. Иррациональные уравнения и неравенства. Метод следствий. Метод равносильных преобразований.
Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Уравнения и неравенства с тригонометрическими и обратными тригонометрическими функциями.
Методы решения систем уравнений. Равносильные преобразования систем.
Использование симметрии при решении систем рациональных уравнений, сведение к симметрическим многочленам. Системы неравенств с одной переменной.
Решение уравнений, неравенств и систем с параметрами.
Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств. Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множеств решений уравнений, неравенств, систем с двумя переменными.
Графические методы решения задач с параметрами.
Доказательство неравенств. Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим двух чисел. Неравенство для суммы двух взаимно обратных чисел.
Текстовые задачи на движение, работу, проценты и смеси. Составление уравнений и систем уравнений. Текстовые задачи с целыми числами.
Выборки элементов конечного множества. Правило произведения.
Дискретное пространство элементарных событий. Операции над событиями.
Вероятность в дискретном пространстве элементарных событий. Формула классической вероятности. Теорема сложения вероятностей. Понятие частоты. Закон больших чисел в форме Бернулли.
Алгебраическая и геометрическая интерпретации комплексных чисел.
Действительная и мнимая часть комплексного чмсла, его модуль и аргумент, комплексное сопряжение. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи. Формула Муавра. Решение уравнений в комплексных числах.
Основная теорема алгебры.
Кольцо вычетов, его обратимые элементы. Теорема Вильсона, малая теорема Ферма. Функция Эйлера и теорема Эйлера. Китайская теорема об остатках.
Мультипликативная группа поля вычетов. Геометрическая теория чисел (теорема Минковского и ее следствия).
Решение уравнений 3-й и 4-й степени в радикалах, формулы Кардано и Феррари. Неприводимый случай уравнения третьей степени.
Тригонометрическая подстановка в кубических уравнениях. Основная теорема о симметрических многочленах.
Разрешимость задач на построение циркулем и линейкой, Квадратичные иррациональности. Разрешимость кубических уравнений с рациональными коэффициентами в квадратичных иррациональностях. Многочлен дления круга и построение правильных многоугольников циркулем и линейкой.
Дополнительные темы рассматриваются на лекциях и семинарах при наличии времени по выбору учителя Перестановки и сочетания с повторениями. Полиномиальная теорема.
Формула включений и исключений.
Разложение многочленов на неприводимые над полями действительных и комплексных чисел. Корни из комплексных чисел. Комплексная экспонента, формула Эйлера. Линейные и дробно-линейные преобразования комплексной плоскости, круговое свойство.
ГЕОМЕТРИЯ
Решение треугольников. Теорема Пифагора. Вычисление биссектрис, медиан, высот, радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника. Формулы для площади треугольника.
Методы решения аффинных задач: использование теоремы Фалеса, метод площадей, использование гомотетии. Теоремы Чевы и Менелая. Барицентрические координаты.
Теорема об отрезках касательных, проведенных к окружности из одной точки, и ее применения к задачам на вписанную окружность. Теорема о вписанном угле и ее следствия. Свойства и признаки вписанных и описанных четырехугольников. Вписанные и описанные многоугольники.
Подобные треугольники, связанные с окружностью. Теоремы о произведении отрезков хорд, о касательной и секущей.
Геометрические места точек. Применение метода координат. Уравнение окружности, окружность Аполлония. Эллипс, гипербола и парабола как геометрические места точек.
Методы решения задач на построение циркулем и линейкой. Неразрешимость трех классических задач на построение: удвоения куба, трисекции угла, квадратуры круга.
Движения и преобразования подобия.
Аксиомы стереометрии. Прямые и плоскости в пространстве Основные понятия стереометрии, Аксиомы соединения. Представление об аксиоматическом способе построения геометрии. Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые. Взаимное расположение прямых и плоскостей. Теоремы о параллельности прямых и плоскостей.
Изображение пространственных фигур. Параллельная проекция. Центральная проекция. Построение сечений многогранников и другие построения на изображениях.
Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярность прямой и плоскости. Теорема о трех перпендикулярах. Перпендикуляр и наклонная к плоскости. Угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями. Перпендикулярность плоскостей. Двугранный угол, линейный угол двугранного угла.
Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между параллельными плоскостями, параллельными прямой и плоскостью. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
Ортогональная проекция. Формула площади ортогональной проекции фигуры. Применение ортогональной проекции к нахождению расстояний и углов.
Многогранный угол. Трёхгранный угол, соотношения между его элементами.
Призма, ее элементы. Виды призм. Параллелепипед, куб.
Пирамида, ее элементы. Виды пирамид. Усеченная пирамида.
Правильные многогранники, их классификация.
Понятие о симметрии в пространстве. Центральная, осевая, зеркальная симметрии. Элементы симметрии куба, параллелепипеда, призмы, пирамиды.
Преобразования пространства.
Задачи на комбинации многогранников.
Цилиндрические и конические поверхности. Цилиндр, конус, усеченный конус, их элементы. Сечения цилиндра и конуса: осевые сечения, сечения, параллельные основанию; эллипс, гипербола и парабола как сечения конической поверхности.
Шар и сфера, их сечения. Касательная плоскость к сфере. Сфера, вписанная в многогранник и сфера, описанная около многогранника.
Задачи на комбинации тел вращения, тел вращения и многогранников.
Понятие об объеме тела. Формулы объемов куба, параллелепипеда, призмы, цилиндра; пирамиды и конуса, усеченной пирамиды и усеченного конуса.
Формула объема шара. Площади поверхности цилиндра, конуса; площадь сферы и ее частей.
Декартовы координаты в пространстве. Формула расстояния между двумя точками. Уравнения сферы и плоскости. Формула расстояния от точки до плоскости.
Векторы. Длина вектора. Коллинеарность и компланарность векторов. Равенство векторов. Сложение векторов и умножение вектора на число. Координаты вектора. Теоремы о разложении вектора на плоскости и в пространстве.
Угол между векторами. Скалярное произведение векторов. Применение векторов к нахождению углов и расстояний в пространстве.
Понятия и факты из геометрии треугольника: вневписанные окружности, прямая и окружность Эйлера, прямая Симсона, теорема Стюарта, формула Дополнительные темы рассматриваются на лекциях и семинарах при наличии времени по выбору учителя Эйлера для расстояния между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника, теорема Наполеона, теорема Фейербаха, теорема Морлея.
Применение центра масс в геометрии.
Понятие об аффинных и проективных свойствах. Теорема о прямой Гаусса.
Степень точки относительно окружности, радикальная ось двух окружностей, радикальный центр трех окружностей. Теорема Птолемея.
Равносоставленность многоугольников, теорема Бойяи-Гервина; многоугольники на решетках, формула Пика.
Теорема Шаля о движениях; композиция движений; гомотетия, виды преобразований подобия. Группы преобразований, группы бордюров и орнаментов. Преобразования подобия как комплексные числа. Инверсия, приложение к теории построений одним циркулем.
Конечные модели для аксиом соединения, элементы абстрактной аффинной геометрии.
Метод проекции в задачах на сечение многогранников.
Связь между многогранными углами и сферическими многоугольниками.
Неравенства для плоских и двугранных углов трёхгранного и многогранных углов. Теоремы косинусов и синусов для трехгранного угла. Полярный угол трёхгранного угла. Площадь сферического многоугольника.
Геометрия тетраэдра: замечательные точки и линии в тетраэдре; виды тетраэдров (ортоцентрический, ортогональный, равногранный, каркасный), их свойства и признаки; сферы, связанные с тетраэдром.
Определение площади и объема по Жордану. Квадрируемость и кубируемость простейших фигур. Принцип Кавальери. Объём клина; формула Симпсона для объёма. Объём тела вращения, теоремы Гюльдена-Паппа. Определение площади поверхности по Минковскому.
Векторное и смешанное произведение векторов, их применение.
Элементы проективной геометрии: теоремы Дезарга, Паппа; метод отправки в бесконечность; построения одной линейкой; двойное отношение. Проективная двойственность. Теоремы Паскаля и Брианшона.
Элементы геометрии Лобачевского, модели Клейна и Пуанкаре.
Учащиеся 2-годичного потока за время обучения выполняют несколько практикумов по математике, в том числе компьютерных, с использованием программ динамической геометрии. Среди них практикумы:
по преобразованиям плоскости (нахождение композиций преобразований, рисование орнаментов);
по построению на изображении, в том числе на трехмерных моделях геометрических тел (построение сечений, построение моделей многогранников по их описанию);
«Инверсия» (построение образа картинки при инверсии);
«День и ночь» (вычисление продолжительности светового дня в заданной точке как функции от даты).
Требования к уровню подготовки выпускников В результате изучения математики на профильном уровне ученик должен знать/понимать:
значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;
значение практики для формирования и развития математической науки;
возможности математического языка как средства описания свойств реальных предметов;
универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость в различных областях человеческой деятельности;
«