«Анализ и синтез химико­ технологических систем Допущено Государственным комитетом по народному образованию в качестве учебника для студентов химико-техно.югических специальностей высших учебных заведений М О СКВА Х И М ...»

Количество молей кислорода, необходимое для реакции горения, равно пяти;

общее количество молей кислорода с учетом 25% избытка (1,25 х 5) = (у25.

Общее количество молей воздуха (предполагается, что содержание кислорода в воздухе равно 21%) = 6,25/0,21 = 29,75. Количество молей азота составит 23,50.

Результаты расчета материального баланса представлены в табл. 2.2.

Теперь можно рассчитать требуемое количество воздуха для получения 100 молей дымовых газов G,:

GB= (100 молей газов) х (29,75 молей воздуха)/(31,75 молей газов) = = 93,7 молей воздуха.

В ар и ан т 2. Вычислительный базис- 1 моль воздуха. Принимая во внима­ ние избыток требуемого воздуха, количество молей пропана равно (1/5) х х (0,21)/1,25 = 0,0336. Результаты расчета материального баланса приведены в табл. 2.3.

Определим количество молей воздуха, необходимое для получения 100 молей дымовых газов G, = (100 молей газов) х (1 моль воздуха)/(1,068 молей газов) = 93,7 молей воздуха.

В а р и а н т 3. Вычислительный б а з и с - 100 молей дымовых газов. Введем обоз­ начения для состава дымовых газов: N - моли азота; О - моли кислорода; Р - моли С 0 2 ; б -м о л и Н 2 0 ; для состава входного потока: Л - моли воздуха; В - моли пропана.

Могут быть составлены следующие уравнения материальных балансов по расходу химических компонентов:

Кроме этого, запишем уравнение, вытекающее из выбора вычислительного базиса:

Избыток требуемого воздуха равен Стехиометрическое соотношение между реагентами (1);

Таблица 2.3. Результаты расчета материального баланса (вычислительный б ази с-1 моль воздуха) Материальный баланс по общим массовым расходам:

Баланс по расходу воздуха:

Таким образом, составлены N = 1 0 линейных уравнений (2) — (11), вклю­ чающие М = 6 неизвестных (А, 5, N, О, Р и Q). Определим независимость этих десяти уравнений. Для этого указанные уравнения запишем в матричной форме (табл. 2.4), где каждому уравнению соответствует столбец. Составленная матрица системы уравнений имеет размерность (7 х 10).

С использованием методов линейной алгебры найдено, что имеются семь линейно независимых столбцов (включая столбец 9), как показано в табл. 2.4.

Так как имеются N, = 7 независимых уравнений с М = 6 неизвестными переменными, то эти уравнения должны быть несовместимыми. Возникшая ситуация обусловлена тем, что при записи уравнения ( 1 0 ) допущена некорректТаблица 2.4. Р е з у л ь т а т ы р а с ч е та м атериального баланса для м а т р и ч н о й формы си сте м ы уравнений ( 2 ) - ( I I ) нование бод­ ный член ная неза­ виси­ мость урав­ нений * Если вместо знамения 29,0 используется 28,84.

ность в определении молекулярной массы воздуха. Основываясь на составе 21% 0 2 и 79% N j, получим уточненное значение молекулярной массы воздуха:

Если подставить это значение в (10), то можно установить, что уравнение (10) избыточно. Следовательно, можно найти однозначное решение системы уравне­ ний N = 6 с М = 6 неизвестными. Результаты решений приведены в последнем столбце табл. 2.4.

Очевидно, что третий вариант расчета материальных балансов при вычисли­ тельном базисе 1 0 0 моль дымовых газов, хотя он избегает операций преобразова­ ния всех ТП к выбранному базису, является значительно более трудоемким по сравнению с первым и вторым вариантами выбора вычислительного базиса.

6. Определяют сквозное, или связующее вещество в техноло­ гических потоках ХТС. Сквозное, или связующее вещество -это химический элемент, частица или вещество, которые проходят через ТП системы не изменяясь. В качестве сквозного вещества часто выбирают воздух, воду или инертный газ.

Если смесь реагентов содержит известное количество инерт­ ного компонента, не участвующего в химической реакции (напри­ мер, растворитель, катализатор, инертный газ, нереагирующее вещество, представляющее собой примесь исходного сырья и т.д.), то очень часто можно отнести количество исходных ве­ ществ и целевых продуктов к количеству этого компонента и быстро рассчитать, например, выход, без составления полного баланса.

Такой метод особенно удобен при необходимости расчета балансов действующих ХТС, когда точные измерения количеств реагирующих веществ и продуктов иногда затруднены или даже невозможны. В этом случае в реакционную смесь вводят извест­ ное количество инертного компонента-трассера (например, раз­ ноактивного изотопа), концентрацию которого определить не­ трудно, и на основе анализа смесей перед реакцией и после нее рассчитывают степень превращения, выход, производительность.

Метод сквозного вещества в общем случае поясняют стехио­ метрические уравнения (2.72)-(2.75).

Пр и м ер 2.3.Рассматривается ХТП выпаривания водного раствора суль­ фатов калия и магния (M g S 0 4 в растворе находится в избытке по отношению к K2 S 0 4), из раствора которого осаждается кристаллогидрат - шенит:

Перед выпариванием в раствор введено 0,1 кг инертного компонента J.

Анализы дали следующие результаты: перед выпариванием в растворе содержит­ ся 12,8% K2 S 0 4 и 0,0542% J, а после кристаллизации шенита 4,09% K2 S 0 4 и 0,662 J. Необходимо определить: 1) количество раствора перед выпариванием и после кристаллизации шенита; 2) выход процесса выделения K2S 0 4 из раствора;

3) количества полученного шенита и выпаренной воды.

Решение 1. Расчет количества раствора облегчается тем, что количество инертного компонента J в растворе не изменяется. Перед выпариванием коли­ чество раствора равно а после выпаривания и кристаллизации шенита количество раствора равно:

2. В 100 кг раствора перед выпариванием содержится 12.80 кг K,S 0 4, а после выпаривания 4,09 кг K2 S 0 4. Количество раствора вследствие выпаривания и кристаллизации шенита изменяется обратно пропорционально содержанию инертного компонента J: таким образом из 100 кг исходного раствора в конечном растворе остается следующее количество K2 S 0 4, кг Выход процесса выделения K,S 0 4 равен, %:

3. Относительные молекулярные массы: K2 S 0 4 равна 174,2, а шенита 402,6.

Количество полученного шенита равно:

(184,5/100) х 12,8 х 0,974(402,6/174,2) = 53,3 кг.

Количество выпаренной воды равно:

7. Определяют границы фрагмента структуры ХТС (элемент, подсистема, система в целом), для которого составляется система уравнений МТБ (2.50)-(2.53). При составлении уравнений МТБ целесообразно каждый раз выбирать такой фрагмент структуры ХТС, через который проходит только лишь один ТП с неизвест­ ными значениями массовых и тепловых расходов.

2.8. П Р И З Н А К И С У Щ Е С Т В О В А Н И Я Р Е Ш Е Н И Я С И С Т Е М

У Р А В Н Е Н И Й М А Т Е Р И А Л Ь Н О -Т Е П Л О В Ы Х Б А Л А Н С О В

Систему уравнений МТБ (2.50)-(2.52), составленную для элемен­ та (подсистемы или ХТС), можно рассматривать как совокуп­ ность неявных функций (ф, ; i = 1,и) от т переменных (x j,j = 1,т, т ^ и):

о п р е д е л е н а, если она имеет единственное решение, и н е о п р е д е л е н а, если она имеет бесконечное множество решений.

Чтобы система уравнений МТБ (2.76) имела решение, все функции Фх, ф2 э, ф„, определенные при всех значениях, х 2, Функции ф !, ф2,, ф„ называют функционально зависимы­ ми, если хотя бы одна из них представляет собой некоторую функциональную зависимость от остальных функций, т. е.

Если тождество (2.77) для данного набора функций (2.76) не выполняется, то функции срх, ср2,, срп называют функциональ­ но независимыми.

Из теории функционального анализа известно, что функции (Pj,, фп функционально независимы, а переменные,..., хп будут определены однозначно из (2.76) при известных (т —п) переменных лп+1, определитель этой совокупности функций (2.76) отличен от нуля:

В случае, когда каждая из неявных функций ф1, ф2,, ф„ является линейной функцией, определенной при всех значениях х у, х2,, хП, функции линейно независимы, если при всех значениях что В противном случае эти п функций, или уравнений линейно зависимы, т. е. по крайней мере одна из функций, например ф1?

может быть представлена как линейная комбинация остальных с некоторыми числовыми коэффициентами:

Для определения линейно независимых уравнений фх, ф2, ф„ (2.76) можно применить метод, основанный на построении определителя Грама для п векторов, который составлен из попарных скалярных произведений этих векторов Г = Г (ф,, ф2,, ф„) = det [(ф;, ф*)], i, k = 1, и, где ф,-вектор, соответствую­ щий левой части выражения (2.76). Так, для трех векторов (фх, Ф2, Фз) определитель Грама равен:

Из линейной алгебры известно, что п векторов (фх, ф2,, пространства U линейно независимы в том и только том случае, если определитель Грама «-го порядка отличен от нуля:

Системы уравнений МТБ всегда содержат число уравнений n ^ т, где т-число переменных, поэтому эти системы уравнений имеют в математическом аспекте бесконечно много ненулевых или нетривиальных решений. Однако в технологическом и физико-химическом отношении это число ненулевых решений всегда конечно. Каждое ненулевое решение системы уравнений МТБ должно удовлетворять необходимым физико-химическим и тех­ нологическим условиям функционирования ХТС.

Для определения независимости уравнений и совместимости системы уравнений МТБ необходимо рассматривать соответст­ вующую данной системе уравнений функциональную матрицу Якоби.

В качестве признака существования и единственности решения системы уравнений (2.76) рассматривают значение ранга г мат­ рицы [J] (/ = 1, п; j = 1 т; т > п)\ если г = п, то система уравне­ ний состоит из п независимых уравнений и является совместной;

если г < п, то система уравнений балансов состоит из г независи­ мых уравнений, а (п —г) уравнений зависят от других г уравне­ ний, и система уравнений является совместной. Ненулевые реше­ ния системы уравнений МТБ (2.76) определяют, исходя из выбо­ ра г-го числа уравнений с г неизвестными, для которых функцио­ нальный определитель, или якобиан отличен от нуля, т. е. спра­ ведливо соотношение (2.78). При выполнении соотношения (2.78) рассматривают систему г уравнений с г неизвестными, которые оказываются выраженными через (т —г) остальных переменных хг+1, хг+2,..., хт. Переменные хг+1, хг+2,, хт называют свободными. Все свободные переменные системы уравнений ба­ лансов должны быть независимыми одна от другой и соответст­ вовать физико-химическим и технологическим условиям функ­ ционирования.

Если система уравнений МТБ является линейной, то функцио­ нальную матрицу Якоби можно не составлять, так как в этом случае она совпадает с матрицей системы линейных уравнений (СЛУ). Признаки существования и единственности решения СЛУ сформулированы в известных теоремах линейной алгебры.

При составлении системы независимых уравнений МТБ не­ обходимо учитывать, что для любого элемента ХТС баланс по общим массовым расходам (2.50) равен сумме балансов по массовым расходам всех компонентов (2.51). В отсутствие в ХТС химических превращений составление элементных балансов из­ лишне, так как элементные балансы содержатся в покомпонент­ ных балансах. Для каждого элемента, подсистемы или ХТС в целом в общем случае можно составить несколько вариантов систем независимых уравнений материальных балансов.

Поскольку для любой ХТС при составлении систем уравнений МТБ можно выбирать различные вычислительные базисы, выде­ лять различные фрагменты структуры и выбирать различные наборы независимых уравнений, задача составления систем урав­ нений МТБ является многовариантной, т. е. для любой ХТС можно составить множество эквивалентных систем уравнений МТБ. Напомним, что две системы уравнений называются экви­ валентными, если решение одной системы уравнений является решением другой системы уравнений, и наоборот.

ТП в м олях.

балан с углерода баланс водорода У равнен ия (1) (9) п ред став л яю т собой систем у уравнений м атери ал ьн ы х бал ан сов из п = 9 уравнений с т = 12 неизвестны м и: ; D; W, x r ; л ; х с; x D ;

В этой системе уравнений независимыми являются, например, уравнения:

(1) - (6 ); (2) - (7); (1), (3) - (7). Зависимость уравнений СУ балансов (1) - (9) вытекает из следующих соотношений, которые справедливы для некоторых уравнений, а именно:

содерж ит п = 6 независим ы х уравнений с т = 12 неизвестны м и, т. е. дан н ая систем а уравнений им еет т — п = 6 свободны х переменны х.

П р и м е р 2.5. Д л я Т О разделени я смеси у глеводородов (см. рис. 2.10) необ­ ходи м о п р о а н а л и зи р о в а ть влияние вы бора н аб о р а своб одны х перем енны х систе­ мы уравнений М Б на х арак тер реш ения систем ы уравнений (совм естность, оп ределенн ость и неопределенн ость систем ы уравнений).

Решение. Вариант 1. Д оп усти м, что в качестве н аб о р а своб одн ы х перем енны х вы браны = 100 км о л ь/ч, D = 75 км ол ь/ч. концентрации ком п о н ен то в в м о л ь ­ ных до л ях х = 0,740. х = 0,200, x D^ = 0,9733, хВв = 0,020. Н е о б х о д и м о опреде­ Д л я определения численны х значений этих ш ести неизвестны х р а сс м о тр и м С Л У м атер и ал ь н о го балан са, в к л ю чаю щ ую независи м ы е уравн ен ия (1) (6).

Р еш ая эту С Л У, п олуч аем, км оль/ч:

П ри за д а н н о м н аборе свободны х перем енны х С Л У (1) —(6) о к а за л а с ь совм естной и определенной.

В а р и а н т 2. В качестве своб одны х перем енны х заданы : = 100 км оль/ч, обусловлено тем ф а к то р о м, что т о л ь к о л и ш ь п ят ь своб одн ы х перем енны х яв л яю тся н езависи м ы м и, ибо W = — D. В э т о м случае им еем т о л ь к о пять независи м ы х уравнений в систем е уравнений ( 2 ) - ( 6 ) с ш естью неизвестны м и х, В ар и ан т 3. Задан набор свободны х переменных: = 100 км оль/ч, D = 70 кмоль/ч, x f = 0,70, x Fg = 0,20, x Dg = 0,01, x Wg = 0,70, x W(, = 0,15. Н ео б х о д и м о найти зн а ­ чения перем енны х: W, х, x D, x D, x w.

Кажется, что получено решение системы уравнений материального баланса ТО разделения. Однако проверим истинность этого решения подстановкой в уравнение (3), которое не было использовано из-за избытка свободных переменных:

Ошибку в решении можно было уже заметить из того факта, что xD > x D и x wA = x wc. Таким образом, рассматриваемая СУ несовместна, так как имеет п = 6 уравнений с т = 5 неизвестными. Это получилось в результате излишка исходных данных по сравнению с требуемым числом независимых свободных переменных и некорректности задания некоторых исходных данных.

Рассмотренная в этом примере ситуация является типичной для решения практических задач проектирования и эксплуатации ХТС, когда число исходных данных больше, чем число независимых уравнений ММ системы.

П р и м ер 2.6. Для одноконтурной ХТС, состоящей из совокупности трех ТО (рис. 2.11), определить независимые уравнения МБ по массовым расходам компо­ нентов А к В, которые имеют следующий вид:

Функциональная матрица Якоби для системы уравнений (1 )-(8 ) имеет вид:

Из рассмотрения матрицы [У] (9) очевидно, что ее ранг г = 6, так как строки 7 и представляют собой линейные комбинации трех строк соответственно: (7) = Рис. 2.11. Простая одноконтурная ХТС:

= (1) + (3) + (5) и (8 ) = (2) + (4) + (6 ). Независимыми уравнениями в данной системе уравнений ( 1 ) - ( 8 ) являются, например, два набора уравнений: ( 1 ) (6 ) или (1 )-(5 ) и (8 ).

П ри м ер 2.7 Одноконтурная ХТС производства 1,2-дихлорэтана (рис. 2.12) состоит из смесителей / и II, реактора III. колонны ректификации IV и механического разделителя технологического потока без изменения концентра­ ций. В реакторе протекает реакция: С2 Н4 + С12 - С2 Н 4 С12. Введем обозначения химических компонентов С12 - 1, С2 Н4 - 2, С2 Н4 С12 - 3. Номера технологических потоков 1 - 9 указаны на операторной схеме (рис. 2.12).

Входной технологический поток ХТС (ТП-1) содержит 100 молей С12, а входной ТП-2 содержит 100 молей С2 Н4. Степень превращения этилена в реакторе х = 0,9. Выходной поток реактора (ТП-5) разделяется в колонне ректи­ фикации таким образом, что поток дистиллята (ТП-6 ) содержит 99,9% С12, 8 % С2 Н4 и 2% С2 Н4 С12 от количества соответствующих химических компонентов в потоке питания колонны ТП-5. На выходе разделителя 5% от общего массового расхода дистиллята (ТП-6 ) сбрасывается в атмосферу (ТП-7).

Необходимо определить количество хлора в обратном ТП (ТП-8 ) и количест­ во 1,2-дихлорэтана в кубовом остатке колонны ректификации (ТП-9).

Решение. При составлении СУ материального баланса данной ХТС массовый расход каждого химического компонента будем измерять в молях, введя следую­ щее обозначение: лц- число молей i-то химического компонента (/' = 1, 3) в j -м ТП (/ = 1,9).

Поскольку в каждом из пяти элементов ХТС осуществляется физико-хими­ ческое преобразование трех химических компонентов, можно составить N = уравнений МБ по массовым расходам химических компонентов:

Рис. 2.12. Операторная схе­ изводства 1,2 -дихлорэтана ( L, - L, - обозначения техно­ логических потоков) ректиф ика ц ио нна я колонна I V разделитель V Исходя из условия задачи, составим следующие 15 уравнений физико-химических связей:

мольный состав ТП- мольный состав ТП- количество этилена на выходе реактора I I I количество хлора, этилена и 1,2 -дихлорэтана в дистилляте:

количество С12. С 2 Н4 и С2 Н4 С12, соответственно сбрасываемых в атмосферу фиктивный сток этилена преобразования, получим следующую систему линейных уравнений (л = т = 15) в матричной форме.

Результаты решения СЛУ с использованием метода Гаусса представлены в табл. 2.5.

Пр и м ер. 2.8. Дана одноконтурная ХТС производства продукта В (рис. 2.13), в структуру которой входят смеситель /, адиабатический реактор Таблица 2.5. Р е з у л ь т а т ы р а сч е та м атериального баланса Х Т С производства 1,2-дихлорэтана нологическо­ 00000000000^*

О О I ОООООООООО

ООО I ООт - ООООООО О I ООт-ООООООООО О- Т- ООООООООООО I I ОО1 О 4- Рис. 2.13. О п ер а то р н ая схем а одн окон турн ой Х Т С п рои зводства п род укта В по реакции А - * 2 В протекает ж и дк оф азн ая экзотерм ическая реакци я А - У2 ' ' Уп)~ л-мерный в е к т о р базисных переменных; U ( П ) - операция объединения (пересечения) множеств; 0 - пустое множество.

Кратко рассмотрим основные понятия те о р и и м н о ж е с т в. Множество это конечная или бесконечная совокупность объектов любой природы, называемых эл е м е нта м и м н о ж е с т в а. Рассуждения, которые далее приведены, не зависят от природы этих объектов, последние могут быть оценками свойств ХТС: передаточ­ ными функциями элементов ХТС, информационными переменными ХТС и т.д.

Множества обозначают большими латинскими буквами А, В, X,..., а элементы множества-малыми латинскими буквами а, Ь, х, Множество А, элементами которого являются а, Ь, с, d, обозначают символом А = {a, b, c, d }. Целесообразно рассматривать также п у с т о е м н о ж е с т в о 0, т. е. множество, не содержащее элементов. Как правило, любое множество А определяется не перечислением его элементов, а указанием свойств этих элементов, например множество простых чисел можно записать так: А = {.х/х - число простое}. М о щ н о с т ь ю м н о ж е с т в а А называют число элементов и, образующих данное множество, и обозначают \А \ = п.

Для отображения принадлежности элементов множеству используют следую­ щие обозначения: а е А ( а - это элемент множества А); а фА (а не является элементом множества А).

Если А и В -э т о множества, то между ними могут быть следующие виды отношений - «содержится»; «совпадает» («не совпадает»), «строго содержится», которые обозначаются следующим образом:

А т, то задача анализа или оптимизации ХТС в математическом и (или) физико-химическом аспекте сформули­ рована некорректно, или неправильно. В этом случае невозможно найти величины всех переменных, которые удовлетворяют ин­ формационным связям ХТС. В правильно поставленной задаче анализа ХТС при и = т н е существует никакой свободы действий в определении численных значений информационных перемен­ ных: только лишь вполне определенные численные значения переменных удовлетворяют информационным связям системы (2.82).

П р и м ер 2.9. Необходимо определить число степеней свободы и выбрать свободные информационные переменные ТО смешения двух потоков некоторой ХТС.

Решение. Простейшая математическая модель рассматриваемого элемента ХТС может быть представлена в следующем виде.

Случай I. Материальный баланс по общим расходам физических потоков: а) А + В — С = 0. Степень соотношения компонентов, определяющая качество сме­ си: б) S = В/А. Смеситель является элементом ХТС, поэтому его информацион­ ные переменные должны удовлетворять некоторым условиям: в) А = А * ; г) С = С* ; д) S = S*.

Число информационных переменных связей составленной ММ смесителя п = 5, а число информационных переменных (А, В, С, 5) равно т = 4. Значение величины незаданной информационной переменной В, которое удовлетворяло бы всем информационным связям, найти невозможно, ибо задача сформулирована неправильно.

С л у ч ай II. Математическая модель смесителя представлена совокупностью четырех информационных связей (я = 4): а) А + В — С = 0; б) S = В/А; в) А = А* ;

г) S = S*. Так как в данном случае т = п, а по условиям взаимосвязи смесителя с другими элементами ХТС заданы только лишь две информационные переменные (/4 и S), то оставшиеся информационные переменные (В и С) определяются однозначно. В рассмотренных выше случаях задача оптимизации процесса функ­ ционирования элемента ХТС не имеет места, так как отсутствуют какиелибо варьируемые условия и значения информационных переменных строго фиксированы.

Случай III. Если из ММ смесителя (случай II) устранить информационную связь, определяющую величину степени соотношения компонентов S, то остав­ шееся число информационных связей будет равно п = 3, а число информационных переменных сохраняется (т = 4). Появляется одна степень свободы, т. е. для однозначного описания процесса функционирования смесителя из трех информа­ ционных переменных (В; С; S) одну можно выбрать как свободную (независимую) переменную. Изменяя численное значение этой свободной переменной, получают несколько значений величин информационных переменных В, С и S, которые удовлетворяют заданным информационным связям элемента ХТС. Эта степень свободы может быть использована для решения задачи оптимизации функциони­ рования смесителя в соответствии с некоторым критерием качества.

Если в структуру ХТС входит ХТП, соответствующий равно­ весной термодинамической гетерогенной физико-химической подсистеме, то число степеней свободы этой подсистемы F определяют по правилу Гиббса. Правило Гиббса устанавливает число и характер свободных информационных переменных, кото­ рые необходимы и достаточны для однозначного определения всех свойств равновесной неоднородной термодинамической под­ системы, состоящей из ср фаз и к компонентов. ММ такой термодинамической подсистемы представляет собой совокуп­ ность ф уравнений Гиббса - Дюгема для каждой фазы:

где / — 1, ф -н ом ер фазы системы; / = 1, к -н ом ер компонента в каждой фазе;

число молей; К1-о б ъ ем данной фазы; S '-энтропия данной фазы; Г-темпера­ тура; р - давление; ц, - химический потенциал; р и ц, вследствие равновесного состояния подсистемы одинаковы в каждой фазе.

Число информационных переменных в равновесной термоди­ намической подсистеме, таким образом, равно т = (к + 2), число информационных связей п = ф. По правилу Гиббса число степе­ ней свободы равновесной открытой термодинамической под­ системы в отсутствие химических реакций при условии, что все компоненты распределены между фазами равно:

Необходимо отметить, что и в отсутствие равновесия число информационных связей в подсистеме так5ке равно п = ф, а число переменных т = {к + 2). Число степеней свободы неравновесной многофазной термодинамической подсистемы выразится также уравнением (2.89).

Правило фаз Гиббса (2.89) сформулировано с использованием интенсивных (или удельных) величин состояния и не содержит никакой информации о массе фаз. Из этого следует, что кроме (к + 2) интенсивных величин, характеризующих состояние под­ системы, для каждой фазы может быть выбрана еще одна экстенсивная (или количественная) величина. В этом случае число степеней свободы выражается уравнением а для одной фазы В соответствии с уравнением (2.91) можно сделать вывод, что для однозначного описания свойств однофазной термодинами­ ческой подсистемы с одним входным и одним выходным пото­ ком необходимо иметь численные значения (к + 1) интенсивных величин-температура, давление -, (к — 1)- мольных долей ком­ понентов и одной экстенсивной величины (расход массы).

П ри м ер 2. 10. Необходимо определить степени свободы для простого ТО, имеющего один вход и один выход, для ТО диффузионного разделения, имеюще­ го один входной и два выходных ТП, и для ТО смешения, имеющего два входных и один выходной ТП. Каждый из указанных ТО будем рассматривать как некоторую равновесную термодинамическую систему, в которой не происходят химические и физические превращения, а ТП являются гомогенными и состоят из с компонентов. Состояние каждого ТП характеризуется (с -I- 2) информацион­ ными переменными.

Решение. В соответствии с уравнением (2.91) число степеней свободы просто­ го ТО равно = с + 2.

Определение числа степеней свободы для ТО диффузионного разделения и ТО смешения поясняют табл. 2.6 и 2.7.

Таким образом, для однозначного описания ТО диффузионного разделения'к числу (с + 2 ) свободных информационных переменных, которыми являются массовый расход, покомпонентный состав, температура и давление входного ТП, необходимо добавить еще одну свободную информационную переменную. В качестве этой свободной переменной можно выбрать, например, массовый расход одного из выходных потоков ТО, т. е. экстенсивную величину, либо коэффициент Таблица 2.6. Определение числа степеней свободы технологического оператора диффузионного разделения Массовый расход компонентов технологических потоков Зс Покомпонентный состав технологических потоков Общее число информационных связей элемента Таблица 2.7 Определение числа степеней свободы технологического оператора смешения Общее число информационных связей ТО соотношения массовых расходов двух любых ТП, т.е. безразмерную интенсив­ ную величину.

При рассмотрении ТО смешения из табл. 2.7 очевидно, что массовый расход и физическое состояние двух ТП определяют однозначно массовый расход в том же агрегатном состоянии и физическое состояние третьего технологического потока ТО смешения.

Рассмотрим методику определения числа степеней свободы F ХТС в целом, если известны степени свободы F3i каждого /-го элемента ХТС.

Число степеней свободы F ХТС, состоящей из совокупности нескольких элементов (подсистем), зависит от числа степеней свободы каждого элемента (подсистемы) и от структуры техно­ логических связей между элементами (подсистемами) следую­ щим образом:

где - число степеней свободы ХТС; F3l- число степеней свободы каждого /-го элемента (подсистемы) или степень свободы каждого /'-го элемента; - число информационных переменных, соответствующее каждой j -й технологической связи (/-му физическому потоку) между соседними элементами (или j -й точке соприкосновения элементов).

2.1 0. Р Е К О М Е Н Д А Ц И И П О В Ы Б О Р У Р Е Г Л А М Е Н Т И Р О В А Н Н Ы Х

»' О П Т И М И ЗИ РУ Ю Щ И Х И Н Ф О Р М А Ц И О Н Н Ы Х П Е РЕ М Е Н Н Ы Х ХТС

При решении задач проектирования и эксплуатации ХТС часто обнаруживается неопределенность и возникают немалые слож­ ности при выборе свободных информационных переменных (СВИП), имеющих первостепенное значение для однозначного математического описания ХТС. Это обусловлено тем фактом, что общую универсальную методику выбора среди множества информационных переменных (ИП) подмножества свободных (независимых) переменных разработать невозможно, так как каждая исследуемая ХТС строго индивидуальна по характеру процессов функционирования. Однако можно дать некоторые основные рекомендации по выбору СВИП системы.

В инженерно-технологическом аспекте все ИП, полностью характеризующие функционирование ХТС подразделяют на проектные (заданные) и расчетные (искомые) переменные. Про­ ектные переменные Х Т С -это такие переменные, которые харак­ теризуют основную цель функционирования ХТС, воздействия на систему или подсистему окружающей среды, взаимосвязь данной системы с другими ХТС и возможность оптимизации процессов функционирования ХТС в соответствии с некоторым КЭ. Ра­ счетные (искомые) переменные Х Т С -это такие ИП, которые отображают основную цель решения задач проектирования и эксплуатации ХТС.

В качестве СВИП системы из всего множества ИП могут быть выбраны только лишь проектные переменные ХТС. Среди про­ ектных переменных выделяют регламентированные и оптимизи­ рующие или управляющие переменные ХТС.

Таким образом, для числа степеней свободы ХТС справедли­ во соотношение:

где /„-ч и сл о проектных переменных,/р(4 ) -число регламентированных (оптими­ зирующих) переменных ХТС.

Регламентированные переменные определяют основную цель функционирования ХТС, влияние внешней среды на систему, взаимодействие данной ХТС с другими системами.

Значительную часть регламентированных переменных выби­ рают по результатам анализа ТЗ на проектирование с учетом требований технологических условий. К регламентированным переменным относят следующие технологические параметры ХТС: параметры состояния и свойств ТП и продуктов; типы растворителей и катализаторов; параметры по ТП теплоносите­ лей на входе в теплообменные системы и выходе из них, а также параметры технологических режимов элементов или подсистем.

Другую группу регламентированных переменных составляют конструкционные параметры элементов или подсистем.

Оптимизирующие переменные -это такие ИП, варьирование значений которых при заданных регламентированных перемен­ ных обеспечивает оптимизацию процесса функционирования ХТС в соответствии с некоторым КЭ (1.3).

Функционирование ХТС протекает при определенных ограни­ чениях на качественные и количественные значения технологи­ ческих и конструкционных переменных системы. Так, по усло­ виям обеспечения взрывобезопасности функционирования ХТС для подсистем с окислительными процессами начальные концен­ трации реагентов должны быть меньше предела взрываемости;

температура ТП системы ограничена возможностями теплооб­ менников и нагревательных устройств; максимально допустимое изменение давления обусловлено характеристиками насосов или компрессоров; по условиям сохранности катализатора иногда требуется, чтобы концентрация некоторых компонентов в реак­ торе не уменьшалась ниже определенного уровня и т. п.

Конструкционные параметры элементов ограничены требо­ ваниями ГОСТов, межведомственных и ведомственных норма­ лей, а также характеристиками прочности и надежности оборудо­ вания.

Для корректной инженерно-технологической постановки за­ дач проектирования и эксплуатации ХТС и резкого сокращения объема вычислительных процедур в качестве оптимизирующих проектных переменных рекомендуется прежде всего выбирать ИП двух видов: 1) ИП, принимающие согласно ТЗ и технологи­ ческим условиям дискретные значения (например, конструкцион­ ный тип аппарата, стандартизированные геометрические разме­ ры оборудования, допустимые типы катализатора или раствори­ теля и т. д.); 2) ИП, которые по ТЗ и технологическим условиям или вследствие взаимодействия элементов ХТС, могут прини­ мать узко ограниченный диапазон возможных значений.

Так, если по технологическим условиям температура ?*, при которой происходит химическое превращение в реакторе, ограни­ чена узким диапазоном значений /m < t* < ?maj, то эту ИП целесообразно выбрать как оптимизирующую переменную ХТС.

Изменяя величину t* в заданном диапазоне температур, можно определить оптимальный технологический режим в реакторе.

Между тем, если бы эта ИП t* была бы принята как расчетная (зависимая) переменная, то ее численное значение можно было бы определить только после решения системы уравнений ММ реактора и, следовательно, только тогда убедиться, удовлетво­ ряет ли полученный оптимальный технологический режим огра­ ничению на температуру в реакторе. Такое решение задачи оптимизации требует большого числа вычислительных процедур.

Если число степеней свободы ХТС после выбора в качестве оптимизирующих переменных указанных выше двух видов ИП остается еще не полностью израсходованным, то в качестве оптимизирующих выбирают такие ИП, изменение значений кото­ рых в широком диапазоне при заданных регламентированных переменных обеспечивает оптимизацию системы.

Отметим, что подразделение проектных переменных ХТС на регламентированные и оптимизирующие несколько относитель­ но, так как в зависимости от конкретных условий функциониро­ вания ХТС одни и те же ИП могут быть либо оптимизирующи­ ми, либо регламентированными. Так, если поток исходной реакРис. 2.15. Структурная схема и информаци­ онные переменные теплообменника ХТС:

А-п вер н сть теп о б ен А о стр к и н ы ти теп W- м вы р о ыохл д о жд о их ад та;

2 ассо е асх д ажаем й и к сти л аген -!л-тем ературы тех о о ч и п то о L — -сред елогари м ческая д жщ си а теп о ер ач ;

(?-к л ч теп а, п ед н е п то о го я ейжд о ционной смеси поступает в реактор из какой-либо другой под­ системы и его массовый расход, состав и давление нельзя изменять по некоторой желаемой программе или стабилизиро­ вать, то эти ИП будут регламентированными, а в противном случае - оптимизирующими переменными системами. При реше­ нии задач проектирования оптимальных ХТС оптимизирующи­ ми переменными являются как технологические, так и конструк­ ционные параметры; при оптимизации действующих ХТС-толь­ ко технологические параметры, обеспечивающие наилучшие по­ казатели функционирования.

П р и м е р 2.11. Определить число степеней свободы и выбрать регламентиро­ ванные и оптимизирующие информационные переменные для теплообменника ХТС (рис. 2.15). Теплообменник предназначен для охлаждения потока горячей жидкости L, (массовый расход И7 = W*) от температуры f, = t* до температуры r2 = ft • В качестве хладоносителя используют поток воды L 3 с температурой t3 = А.

Решение. Функционирование теплообменника полностью характеризуется информационными переменными: К - конструкционный тип теплообменника (противоточный, прямоточный, кожухотрубный, труба в трубе и т.п.); Л -поверх­ ность теплообмена; Q - количество тепла, переданное потоком горячей жидкости потоку хладоносителя, Л -общ ий коэффициент теплопередачи, Д Г-среднелога­ рифмическая движущая сила теплопередачи, г, (t2)~ температура горячего потока на входе (выходе) теплообменника; f3 (f4 ) - температура хладоносителя на входе (выходе) теплообменника;

ММ теплообменника имеет следующий вид:

основные уравнения теплопередачи уравнения теплового баланса Таким образом, для теплообменника имеем: п = 5, т = 1 1, число степеней свободы: F = m — я = 6. В соответствии с технологическими условиями функцио­ нирования теплообменника в ХТС регламентированными переменными явля­ ются: И',; /,; i2; t3. Общее число регламентированных переменных р = 4, следовательно, число оптимизирующих переменных 0 = — р = 2.

В качестве оптимизирующих переменных можно выбирать К - конструкцион­ ный тип теплообменника и W2- массовый расход хладоносителя. Варьирование этих переменных обеспечит оптимизацию функционирования теплообменника.

Численные значения базисных (искомых) информационных переменных (А ; Q, h;

ДГ; (4) получают после решения уравнений ММ теплообменника.

ДЛЯ СА М О СТО ЯТЕЛЬН О Й РАБОТЫ

В. 2-1. Какими способами могут быть разработаны операторно-символические математические модели элементов ХТС?

В. 2-2. Какие виды математических операторов могут использоваться при составлении операторно-символических моделей ХТС?

В. 2-3. В чем сущность прямого метода идентификации ХТС?

В. 2-4. Какие методы статистической обработки информации используются при параметрической идентификации ХТС?

В. 2-5. Чему равно общее число необходимых опытов при полном и дробном факторных экспериментах при идентификации ХТС?

В. 2-6. Дайте общую характеристику ортогонального и рототабельного центрального комплексного планирования экспериментов при идентификации ХТС.

В. 2-7. В чем различие задач проектирования и эксплуатации ХТС?

В. 2-8. Какова роль математического моделирования ХТС при разработке АСУТП?

В. 2-9. В чем сущность задач расчета материально-тепловых балансов ХТС?

В. 2-10. В чем различие операций анализа и оптимизации ХТС?

В. 2-11. Запишите математическую формулировку задач проектного и по­ верочного анализа ХТС.

В. 2-12. В чем различие блочного и информационного принципов решения задач анализа ХТС?

В. 2-13. Что такое алгоритм оптимальной стратегии решения системы уравнений математической модели ХТС?

В. 2-14. В чем различие параллельного и последовательного способов расче­ та технологических режимов ХТС?

В. 2-15. Чем различаются технологическо-направленный и информацион­ но-направленный способы последовательного, или раздельного расчета техноло­ гических режимов ХТС?

В. 2-16. Дайте характеристику процедуры разрыва обратных ТП, которая используется при технологическо-направленном последовательном способе ана­ лиза сложных многоконтурных ХТС.

В. 2-17. Назовите основные рекомендации по рациональному выбору вы­ числительного базиса при составлении и расчете систем уравнений МТБ.

В. 2-18. Каким образом при составлении систем уравнений МТБ выбирают сквозное, или связующее вещество?

В. 2-19. Приведите примеры уравнений физико-химических связей, исполь­ зуемых при составлении систем уравнений МТБ химических реакторов, колонн ректификации и теплообменников ХТС.

В. 2-20. В чем отличие физических и фиктивных потоков ХТС?

В. 2-21. Запишите в общем виде уравнения теплового, энергетического и эксергетического балансов одного элемента ХТС.

В. 2-22. Чем обусловлена многовариантность составления систем уравнений балансов ХТС?

В. 2-23. Как математически проверить независимость уравнений, входящих в систему уравнений МТБ?

В. 2-24. Что такое схема химического способа производства ХТС?

В. 2-25. Что такое разреженная, или неплотная матрица? Какие коэффици­ енты оценивают информационную структуру разреженных матриц?

В. 2-26. Что такое степень свободы ХТС? Как определяют число степеней свободы ХТС?

В. 2-27. Какие основные инженерно-технологические рекомендации исполь­ зуют для рационального выбора набора свободных информационных перемен­ ных ХТС?

3.2-1. Составьте в общем виде операторно-символические математические модели ХТС с параллельным соединением трех ТО, с байпасным и обратным технологическим потоком, степени свободы которых определены в примере 2.1 0.

3.2-2. Для ТО разделения смеси углеводородов, рассмотренного в примерах и 5, с помощью функциональной матрицы Якоби необходимо определить независимые уравнения, входящие в следующую систему уравнений МБ: (1) — (4), (8 ) и (9), где п = 6, т = 12.

Рис. 2.16. Структурная схема ХТС извлечения радиоактивного стронция из сырья:

3.2-3. Извлечение радиоактивного стронция-90 из сырья, содержащего в своей составе кальций и стронций, осуществляется в аппарате с насадкой из С аН Р 04, который охвачен байпасным потоком (рис. 2.16). В аппарате с насадкой происходит полное извлечение радиоактивного стронция и частичное извлечение ионов кальция (97% ионов Са). Согласно санитарным требованиям, сырье на выходе из аппарата должно содержать не менее 5 х 10” 5 кг/м3 кальция. Таким образом, сырье, содержащее 4,85 х 10' 4 кг/м3 стронция-90 и 10_ 3 кг/м3 кальция должно быть пропущено через аппарат с насадкой из С аН Р04, чтобы извлечь как можно больше стронция при одновременном выполнении требований санитарных норм по содержанию кальция.

Необходимо определить концентрацию стронция в выходящем потоке (в г/л) в предположении, что состав насадки постоянен и что выходная концентрация в точке В не изменяется со временем.

3.2-4. Для ХТС опреснения артезианской минерализованной воды (см. при­ мер 2.1) необходимо составить две эквивалентные системы уравнений МБ для расчета массового расхода рассола и концентрации соли в рассоле, которые по сравнению с системой уравнений в примере 2. 1 удовлетворяют следующим условиям: 1) не содержат уравнение МБ для ХТС в целом и уравнение баланса по массовому расходу соли для смесителя; 2 ) содержат уравнения баланса по расходу соли для бака-водоприемника и для ХТС в целом.

3.2-5. Дана одноконтурная ХТС (рис. 2.17), в структуру которой входят смеситель /, реактор идеального смешения II и разделитель III. В реакторе протекают реакции А + В -> 2 R и B+±S. Константы скоростей реакции равны:

х 10_ 3 с - 1 (кмоль/м3) -1. В начальный момент времени CSg = CRg = 0; плотность Рис. 2.17. Операторная схема одноконтурной ХТС производства продукта Р по реакции А + В -* 2 R и B+±S шение объемной скорости рецикла к общей скорости подачи и = 0, 1 2 ; объем реактора К= 2 м3; начальные концентрации исходных веществ СА = 1,05 кмоль/м3;

Св = 2,4 кмоль/м3 Необходимо определить концентрацию0 продукта R на выходе из ХТС и производительность ХТС по продукту R.

Глава

ОПЕРАЦИИ ПЕРЕРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ

ПРИ МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ

И АНАЛИЗЕ ХТС

3.1. Л О Г И К О - И Н Ф О Р М А Ц И О Н Н Ы Е С Х Е М Ы Х Т С М ОДЕЛИ

П ЕРЕРА БО ТКИ И Н Ф О РМ А Ц И И

При использовании информационного принципа анализа ХТС (см. раздел 2.4) и информационно направленного последователь­ ного способа анализа ХТС (см. раздел 2.5) перед проведением вычислительных экспериментов на ЭВМ с математической моделью ХТС необходимо наглядно изобразить направления переработки (преобразования) всех информационных перемен­ ных, или информационных сигналов ХТС, при численном реше­ нии систем уравнений (СУ) их математических моделей.

Стратегию анализа ХТС с использованием информационного принципа и информационно направленного последовательного способа анализа ХТС изображают в виде ло1 ико-информационных схем ХТС.

Логико-информационная схема (ЛИНС) ХТС-это модель пре­ образования информационных потоков, которая отображает информационные взаимосвязи между ММ отдельных элементов системы в виде информационных операторов, а также особен­ ности преобразования входных информационных потоков (ИПТ) ХТС в выходные ИПТ системы (см. раздел 2.5). В логико-информационной схеме ХТС информационный оператор каждого элемента изображают в виде блока переработки информации, а каждый информационный поток, который соответствует либо информа­ ционной переменной физического потока ХТС, либо технологи­ ческому и конструкционному параметру отдельного элемента ХТС, изображают направленной линией. Изображаемые на ЛИНС входные информационные потоки каждого отдельного ИО соответствуют его свободным информационным переменным, а его выходные ИП Т-базисным ИП (см. раздел 2.9). При построе­ нии ЛИНС считают, что входные информационные потоки ХТС выходят из некоторых независимых источников информации, а выходные связаны с некоторыми приемниками информации.

Источники и приемники информации на ЛИНС рисуют заштри­ хованными двойными кружками.

Так как при анализе и оптимизации ХТС для отдельного элемента (подсистемы) свободные и базисные ИП могут в общем случае соответствовать информационным переменным как вход­ ных, так и выходных физических потоков элемента, направление ИПТ, отображающих параметры некоторого физического пото­ ка, может совпадать и (или) не совпадать с направлением этого физического потока ХТС.

При построении ЛИНС весьма часто необходимо использо­ вать единичные информационные операторы, которые осущест­ вляют преобразование одного входного ИПТ во множество тождественных выходных ИПТ. Каждый единичный ИО изобра­ жают на ЛИНС двойным кружком, внутри которого рисуется единичная матрица [].

Необходимо отметить, что ЛИНС можно построить для отдельного ИО любого элемента ХТС или рассматривать в виде ИО каждое уравнение математической модели этого элемента.

Приведем примеры построения ЛИНС в соответствии с изло­ женными правилами. Для теплообменника ХТС, определение степени свободы которого было рассмотрено в примере 2.11, логико-информационная схема теплообменника, или ИО изобра­ жена на рис. 3.1, а. На рис. ЗА,б изображена ЛИНС этого же теплообменника, когда его математическую модель рассматри­ вают как совокупность пяти ИО, каждый из которых соответст­ вует одному из уравнений f l —/ 5.

Логико-информационная схема одноконтурной ХТС, общий вид математической модели которой был рассмотрен в примере 2.1, изображена на рис. 3.2.

П р и м е р 3.1. Дана подсистема экстракции некоторой ХТС, операторная схема которой изображена на рис. 3.3, а. Качество функционирования подсистемы определяется КЭ вида:

где Q - массовый расход первичного растворителя смеси компонентов; массо­ вый расход вторичного растворителя (экстрагента); jc, -начальная концентрация экстрагируемого компонента в смеси; х0 - концентрация экстрагируемого компо­ нента в рафинате; cq(cw - стоимость единицы массы экстрагируемого компонента (экстрагента).

Необходимо записать математическую постановку задачи определения опти­ мальных величин массового расхода W и типа S экстрагента, при которых \|/* = т а х у, а также нарисовать логико-информационную схему подсистемы, отображающую стратегию решения этой задачи. По технологическим условиям Рис. 3.1. Логико-информационные схемы теплообменника, математическая м о­ дель которого рассматривается как один ИО (а) и как совокупность пяти ИО (5):

ТА-теп ен ы ап арат;/•-Mи фр ац о н йо ер р о б аж щй/'-еу авн и м ати ес* функционирования экстракционной подсистемы в ХТС определены значения величин Q = Q* и х х = х*, а также указано, что экстрагент S может быть двух типов: А или В.

Решение. Для записи математической постановки задачи оптимизации преж­ де всего составим упрощенную ММ исследуемой подсистемы в следующем виде:

уравнение материального баланса по экстрагируемому компоненту уравнение ф азо в о го равн овесия экстрак та и р а ф и н а та дл я к аж д о го ти п а экстрагента где о тн оси тел ьн ая конц ен трац и я эк страги руем ого ком п он ен та в экстракте (в раф инате).

В со ответстви и с условиями задачи очевидно, что общ ее число И П подсисте­ мы : т = 6, число р егл ам ен ти рован н ы х И П : F p = 2, число ин ф орм ац и он н ы х связей М М : п = 2. С л ед ов ател ьн о, при о п ти м и зац и и эк стракцион ной п од си стем ы число если в ы б и р а ть в качестве о п ти м и зи рую щ и х И П тип эк стр аген та (S = А или В ) и его м ассовы й расход W, т о дл я определения н аи б о л ь ш его значения К Э у * и значений базисны х И П н еобходи м о о д н оврем ен н о р е ш а ть два уравн ен ия М М / t и / 2. М атем ати ч еск ая п остановка зад ач и о п ти м и зац и и п од си стем ы экстракции при S и W, вы бранны х в качестве о п ти м и зи рую щ и х И П, им еет вид:

Л И Н С под систем ы экстракции, с оотв етств ую щ и е стратеги и реш ения рас­ с м отрен н ой задачи оп ти м и зац и и, п редставлены на рис. 3.3, б и 3.4, а.

Рис. 3.3. О п ер ато р н ая (а) и л о ги к о -и н ф о р м ац и о н н ая (б) схем ы под систем ы экст­ ракции, м атем ати ческая м одел ь ко то р о й п р едставл ен а как один И О ( А Э - а п п а р ат экстракции) Логико-информационные схемы ХТС целесообразно исполь­ зовать для определения числа степеней свободы ХТС (см. раздел 2.9) по формуле (2.92). Если определенная совокупность элемен­ тов образует некоторую ХТС, то ИО этих элементов взаимосвя­ зываются между собой информационными потоками, структура которых обусловливает степень свободы системы. При взаимо­ связи ИО элементов степень свободы каждого элемента остается величиной постоянной, значение которой равно числу входных ИПТ этого элемента на ЛИНС.

Каждому' набору свободных и базисных информационных переменных ХТС соответствует вполне определенное направле­ ние информационных потоков на ЛИНС. Если ИПТ между информационными операторами двух элементов образуют ин­ формационный контур, то для определения значений базисных ИП системы уравнений ММ этих элементов необходимо решать совместно.

Наличие информационных контуров на ЛИНС, образованных информационными потоками, обусловливает трудоемкость вы­ числительных операций при решении задачи анализа и оптимиза­ ции ХТС. С целью оптимизации вычислительных операций можно изменять набор свободных и базисных ИП, т. е. осущест­ влять инверсию направления информационных потоков на ЛИНС и образовывать новые источники и стоки информации таким образом, чтобы полностью исключить или сократить число и размеры информационных контуров в ЛИНС. При изменении наборов свободных и базисных ИП математической модели ХТС, т. е. при инверсии направлений информационных потоков на ЛИНС системы, число степеней свободы каждого элемента и ХТС в целом должно оставаться постоянным. Оче­ видно, что изменение направления каждого ИП, связанное с Рис. 3.4. Логико-информационные схемы подсистемы экстракции ХТС при раз;

личных наборах оптимизирующих информационных переменных: W и S С и х0 и S (6) определенным ИО, соответствует преобразованию вида уравне­ ния математической модели этого ИО, которое однако не всегда возможно осуществить из-за наличия как физико-химических и технологических ограничений, так и ряда формальных математи­ ческих условий.

Для осуществления весьма трудоемкой операции изменения направлений информационных потоков на ЛИНС при выборе оптимальной стратегии решения задач анализа ХТС необходимо использовать специальные топологические модели и алгоритмы (см. раздел 4.5).

На рис. 3.4, б приведена ЛИНС подсистемы экстракции (см.

рис. 3.3), которая получена в результате замены исходного набора оптимизирующих свободных ИП (Wn S) новым набором свободных ИП (jc0 и 5), что соответствует инверсии направлений информационных потоков,v0 и W b исходной ЛИНС (см. рис. 3.4, а). Необходимо отметить, что в результате этой инверсии на­ правлений ИПТ х 0 и W в новой ЛИНС (см. рис. 3.4, б) информа­ ционный контур не существует.

3.2. С Т Р А Т Е Г И Я Р Е Ш Е Н И Я И Н Ф О Р М А Ц И О Н Н О Р А З Р Е Ж Е Н Н Ы Х

С И С Т Е М У Р А В Н Е Н И Й М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Х М О Д Е Л Е Й Х ТС

При решении разнообразных задач анализа, оптимизации и синтеза ХТС типичной операцией переработки информации ЭВМ является переработка информационных массивов в виде больших неплотных, или разреженных матриц. Учет информационной разреженности систем уравнений ММ сложных ХТС позволяет существенно сократить требуемый объем оперативной памяти, снизить время и повысить точность расчета на ЭВМ, создавая тем самым объективные предпосылки для значительного увели­ чения размерности решаемых задач анализа, оптимизации и синтеза ХТС.

Эффективность учета информационной разреженности прояв­ ляется в возможности как существенного сокращения времени вычислений при выполнении операций с разреженными матрица­ ми, так и значительного снижения требуемой памяти оператив­ но-запоминающих устройств (ОЗУ) ЭВМ. С этой целью при арифметических операциях с разреженными матрицами необхо­ димо не выполнять арифметические действия с заранее извест­ ным результатом, так как один из операндов (сомножитель или слагаемое) представляет собой нулевой элемент матриц. Значи­ тельное снижение объема памяти ОЗУ при выполнении операций с разреженными матрицами обусловлено возможностью хране­ ния в ОЗУ только ненулевых элементов матриц.

Для разработки оптимальной стратегии решения информа­ ционно разреженных СУ можно использовать два подхода: на основе метода последовательной подстановки ИП; на основе использования стандартных блочно-компактных форм (СБКФ) разреженных матриц.

Рассмотрим методику разработки оптимальной стратегии с применением метода последовательной подстановки ИП, кото­ рая базируется на свойстве разрешимости СУ относительно информационных переменных, на возможности изменения набо­ ра свободных и базисных ИП данной СУ, а также на возможности изменения направлений информационных потоков в ЛИНС, ко­ торая отображает СУ данной ХТС.

Свойство разрешимости СУ относительно информационных переменных состоит в том, что для любого уравнения входя щ его в С У (2.82), м о ж н о при задан н ы х значениях zf, z *,..., z * _, значение к-й перем ен н ой z** так, чтобы ф у н к ц и я / (г}1, z f,..., z*_ j, z * * ) тож деств ен н о стала равной нул ю, т. е.

Следовательно, каждое f уравнение СУ, содержащее к ИП, при фиксированных значениях (к — 1) ИП (zf, zf,..., z_ l ), входящих в это уравнение, можно при определенных условиях разрешить относительно zjf*, т. е. представить эту переменную как явную функцию (к — 1) ИП уравнения:

Решение. Выделение строго соподчиненных, совместно замкнутых и совместно разомкнутых spj подсистем в СУ видов А, В и С и при некоторых наборах выходных ИП поясняет табл. 3.1.

П р и м е р 3.3. Показать для ММ подсистемы экстракции, рассмотренной в примере 3.1, возможность неоднозначного выбора набора свободных информа­ ционных переменных. Для каждого возможного набора свободных ИП построить ЛИНС; выбрать рациональный набор свободных ИП, соответствующий технолоТаблица 3.1. Выделение строго соподчиненных, совместно замкнутых и совместно разомкнутых подсистем в трех системах уравнений математических моделей ХТС Вдс с Н ор в х д Свм о р м Свм о замн ты п д гическим условиям функционирования ХТС и обеспечивающий декомпозицию системы уравнений ММ на строго соподчиненные уравнения.

Решение. Для анализируемой подсистемы имеем п = 2 и т = 6 ; две информа­ ционные переменные Q и.г, - регламентированные. Необходимо рассмотреть все возможные наборы из двух оптимизирующих ИП. Общее число таких наборов оптимизирующих ИП Р = С°_, т. е. равно числу сочетаний из (т — Fp) элемен­ тов по F 0 элементов в каждом сочетании. Так как F = т — п = 0 — F, то F = 4 и о = 2.

В первый набор оптимизирующих ИП вошли тип экстрагента S (А или В ) и массовый расход экстрагента W. Логико-информационная схема, соответствую­ щая этим оптимизирующим ИП, представлена на рис. 3.4, а. Как было показано в этом случае, при решении задачи отыскания экстремума КЭ у и определении численных значений базисных ИП необходимо одновременно решать два уравне­ ния математической модели. Каждому набору оптимизирующих ИП при задан­ ном виде КЭ V соответствует новая формулировка задачи оптимизации.

Если в качестве оптимизирующих ИП выбирают величину начальной кон­ центрации экстрагируемого компонента,х0 в исходной смеси и тип экстрагента S, то вычислительные процедуры намного упрощаются. По диаграммам равновесия определяют для некоторого х0 величину концентрации экстрагируемого компо­ нента у0 в экстракте, а затем по уравнению материального баланса для экстраги­ руемого компонента находят массовый расход экстрагента W. Изменение направ­ ления ИПТ в структуре ЛИНС подсистемы экстракции (рис. 3.4, б) обеспечило декомпозицию СУ математической модели на два строго соподчиненных уравне­ ния.

Сравнительная оценка других четырех наборов оптимизирующих ИП дана в табл. 3.2, а соответствующие им ЛИНС представлены на рис. 3.5. В соответствии с набором оптимизирующих ИП S и х0 (или S и _ 0), который обеспечивает минимальные вычислительные трудности при расчете СУ математической моде­ ли подсистемы, необходимо видоизменить в отличие от выражения, полученного в примере 3.1, постановку задачи оптимизации следующим образом:

Выбор в качестве свободных ИП наборов (ў0, х„ ); (Й i 0); (W, р0) невозможен, так как такие наборы оптимизирующих ИП не соответствуют заданным технологическим условиям функционирования подсистемы экстракции. Напри­ мер, выбор произвольных значений относительной концентрации экстрагируемо­ го компонента в рафинате х0 и массового расхода экстрагента W приводит к необходимости определять вид уравнения равновесия и тип экстрагента, который, Таблица 3.2. Сравнительная оценка возможных наборов оптимизирующих информационных переменных Рис. 3.5. Л оги ко -и н ф о р м ац и о н н ы е схемы д л я четырех различны х н аб о р о в о п ти ­ м изи рую щ и х переменны х: S, ў 0 (а);.х0, f 0 (o);.v0, W(e)\ j 0, Щ г ) о дн ако, по технологическим условиям ограничен т о л ь к о двум я ти п а м и (S = А или В).

Разработка алгоритмов оптимальной стратегии решения ин­ формационно разреженных многомерных СУ представляет собой сложную комбинаторно-логическую процедуру. В связи с этим для разработки алгоритмов оптимальной стратегии решения многомерных СУ математических моделей ХТС необходимо применять основанные на использовании топологических моде­ лей ХТС специальные алгоритмы преобразования исходной ин­ формационной структуры СУ либо к какой-то новой упорядочен­ ной информационной структуре, либо к одной из определенных стандартных блочно-компактных форм. Для численного решения СУ с разреженными матрицами, имеющими определенные СБКФ, разработаны эффективные алгоритмы (см. раздел 7.4).

3.3. К Л А С С И Ф И К А Ц И Я М О Д У Л Е Й Р А С Ч Е Т А

Т Е Х Н О Л О Г И Ч Е С К И Х О П Е Р А Т О Р О В Х ТС

В общем случае ММ каждого технологического оператора ХТС (1:4) представляет собой систему нелинейных алгебраических уравнений (СНАУ) или дифференциальных уравнений большой размерности, решение которой на ЭВМ требует значительного времени. В связи с этим при расчете СУ математической модели ХТС вида (2.39) могут возникать определенные трудности, обус­ ловленные ограниченным объемом памяти ОЗУ и быстродейст­ вием ЭВМ.

На начальных этапах математического моделирования и ана­ лиза ХТС создаются более простые математические модели ТО с желаемым уровнем адекватности. На завершающих этапах ана­ лиза ХТС необходимо использовать сложные математические модели ТО, которые более полно учитывают кинетику ХТП и наиболее реально отражают влияние параметров технологичес­ ких режимов и параметров элементов на функционирование ХТС в целом. Наиболее широко для разработки упрощенных матема­ тических моделей ТО используют методы линеаризации и теории приближений функций, методы планирования эксперимента, а также методы аппроксимации непрерывных элементов с расп­ ределенными параметрами дискретными элементами с сосредо­ точенными параметрами.

При решении задач анализа и оптимизации ХТС этап разра­ ботки математических моделей ТО, входящих в ХТС, является одним из наименее формализованных и наиболее грудоемких.

Так, в общем бюджете времени на математическое моделирова­ ние, анализ и оптимизацию ХТС производства серной кислоты из серы затраты времени на разработку ММ отдельных ТО системы и проверку их адекватности составляют около 55%.

При анализе ХТС (см. раздел 2.4) математическую модель каждого ТО рассматривают как модуль расчета ТО. Модуль расчета технологического оператора, или ХТП, представляет собой информационный оператор, который позволяет, используя некоторый алгоритм, численно решать СУ математический моде­ ли данного ТО и рассчитывать значения выходных информацион­ ных переменных ТО как функцию значений свободных информа­ ционных переменных.

Модели расчета ХТП, которые часто используются при ана­ лизе, оптимизации и синтезе различных ХТС, должны быть построены таким образом, чтобы для реализации на ЭВМ вычислительных операций, выполняемых для данного модуля, требовалось минимальное машинное время. Для этой цели при разработке модулей необходимо использовать алгоритмы опти­ мальной стратегии решения СУ математических моделей (см.

раздел 3.2).

Совокупность различных модулей расчета одного класса ТО образует библиотеку. Каждая библиотека модулей расчета ТО, или ХТП-это некоторая подсистема переработки информации, для создания которой необходимо использовать основные прин­ ципы построения программного обеспечения САПР и АСУТП:

блочность, адаптируемость, модифицируемость и расширяе­ мость.

Рассмотрим функционально-информационные принципы разра­ ботки библиотек модулей расчета ХТП, позволяющие опреде­ лить состав модулей, которые должны входить в структуру некоторой библиотеки, а также информационные взаимосвязи между отдельными модулями библиотеки. Эти функциональ­ но-информационные принципы основаны на следующих призна­ ках классификаций модулей: признак функционального назначе­ ния; признак информационности; признак общности применения, или специализации.

На различных этапах анализа, оптимизации и синтеза ХТС необходимо использовать по признаку функционального назна­ чения два вида модулей расчета ХТП: модули расчета состояний и модули расчета параметров. Модуль расчета состояний (МРС)-это ИО, который обеспечивает для определенного конст­ рукционного типа аппарата, где протекает данный ХТП, преоб­ разование вектора параметров входных ТП Х { в вектор перемен­ ных состояния ХТП Y при заданном векторе параметров окру­ жающей среды V и векторе конструкционных параметров аппара­ та К,, а также при известном Df или рассчитываемом векторе технологических параметров ХТП [ЙДХ,, Yh Ki; V )\ Математи­ ческая формализация МРС имеет следующий вид:

где, { } - информационный оператор.

Модуль расчета параметров (МРП)-это ИО, который обеспе­ чивает для определенного конструкционного типа аппарата, где протекает данный ХТП, преобразование векторов параметров входных X, и выходных технологических потоков в вектор конструкционных параметров аппарата Kt при заданном векторе параметров окружающей среды V, а также при известном D* или рассчитываемом векторе технологических параметров ХТП [),(К,, X t, Yt, Р)]. Математическая формализация МРП имеет следующий вид:

где Ф{ } - информационный оператор.

В дальнейшем рассматриваются модули расчета состояний и параметров ХТП, которые представляют собой детерминирован­ ные, стационарные, линейные и нелинейные параметрические или непараметрические информационные операторы в пространстве состояний.

Признак информационности модулей расчета ХТП отобража­ ет объем информации, который может быть получен при исполь­ зовании модуля для решения задач анализа ХТС. По признаку информационности выделяют следующие три класса модулей:

минимально информационные (или балансовые) модули; расширен­ но информационные модули; широко информационные модули.

Классификация по признакам функционального назначения и информационности модулей расчета ТО нагрева - охлаждения, отображающего теплообмен между двумя технологическими по­ токами в ТА, представлена на рис. 3.6.

Классификация модулей расчета ХТП или ТО по признаку общности назначения, или специализации основывается на оценке возможности использования данного модуля для отображения процессов функционирования определенного типа элементов или аппаратов ХТС, в которых осуществляется физико-химическое преобразование определенного типа веществ. Выделяют четыре класса модулей расчета состояний ХТП по признаку общности назначения, или специализации: узко специализированные моду­ ли, специализированные модули, широко специализированные модули, общие модули.

Кратко рассмотрим характеристику различных классов моду­ лей по признаку общности их применения и методику оценки точности модулей.

Узко специализированные модули предназначены для расчета ХТП, протекающих только в определенных элементах ХТС с известными конструкционными и технологическими параметра­ ми при входных ТП, которые содержат заданные виды химичес­ ких веществ в заданном составе.

Специализированные модули осуществляют расчет ХТП, кото­ рые протекают в элементах ХТС данного типа с известными конструкционными и технологическими параметрами при вход­ ных ТП, образованных совокупностью определенного набора веществ.

Широко специализированные модули предназначены для расче­ та ХТП, происходящих в элементах данного типа при входных Рис. 3.6. Классификация по признакам функционального назначения и информа­ ционности модулей расчета технологических операторов нагрева-охлаждения, отображающих процесс теплообмена между двумя технологическими потоками в теплообменном аппарате (М Р С - модуль расчета состояний, М Р П - модуль расчета параметров) технологических потоках, которые состоят из веществ данного класса.

Общие модули позволяют осуществить расчет ХТП, которые протекают в любом элементе ХТС данного типа при входных ТП, состоящих из любых веществ. Очевидно, что МРС более высоких степеней общности (широко специализированные и об­ щие) имеют преимущества в отличие от узко специализирован­ ных модулей, так как их использование требует при синтезе и анализе ХТС меньшего объема памяти ЭВМ и позволяет избе­ гать повторных вычислений.

Разработка общих модулей дает возможность создавать биб­ лиотеки модулей для решения задач анализа, оптимизации и синтеза различных классов ХТС. Однако увеличение степени общности МРС достигается за счет удаления из модулей опера­ ций по вычислению конструкционных параметров элементов и параметров физико-химических свойств веществ и смесей. Это приводит к увеличению объема входной информации для МРС и требует создания отдельной подсистемы (или библиотеки) расче­ та параметров физико-химических свойств веществ и смесей. В зависимости от направленности проводимой исследовательской работы такой подход может быть неудобен и малоэффективен в отношении требуемых затрат машинного времени.

Так как цель математического моделирования ХТС состоит в том, чтобы предсказать процесс функционирования ХТС, необхо­ димо обеспечить модулям расчета ХТП возможность коррекции и экстраполяции параметров применительно к изменяющимся условиям. Такую возможность дают МРС, которые разработаны на основе фундаментального изучения физико-химической сущ­ ности ХТП с использованием принципа математического моде­ лирования.

Факторы, от которых зависит точность модулей расчета ХТП, следующие: точность (погрешность) представления и до­ стоверности вводимых в ЭВМ числовых данных, которые явля­ ются входными ИП модуля; точность (погрешность) расчета значений параметров физико-химических свойств ТП и физико­ химических констант ХТП;

степень адекватности математических моделей ХТП; реали­ зуемый в модуле численный метод решения уравнений, который определяет число итераций и наибольшую продолжительность этапов расчета; значение ошибок округления для используемого в ЭВМ способа выполнения различных арифметических операций.

Если в результате решения задач анализа ХТС с заданной точностью оказывается, что точность задачи превышает допусти­ мую, то повышение точности МРС (с учетом особенностей методов вычислительной математики) можно осуществить либо изменением реализуемых в МРС методов вычислений (в частно­ сти, увеличением числа итераций и т. п.), либо введением вычис­ лительных операций с числами увеличенной разрядности.

Требуемая точность различных классов МРС, которая необ­ ходима при решении задач анализа ХТС, определяется на основе исследования характеристик чувствительности ХТС к изменению параметров МРС и применения методов теории погрешностей вычислений. Анализ характеристик чувствительности ХТС позво­ ляет определить, какие эксперименты необходимо дополнитель­ но провести на пилотной, полупромышленной или промышлен­ ной установке для получения более достоверной информации о физико-химических константах ХТП и параметрах свойств ТП системы.

В условиях объективной неопределенности априорной инфор­ мации о физико-химических константах ХТП и о параметрах свойств ТП для получения достоверных решений задач проекти­ рования и эксплуатации ХТС необходимо в общем случае ис­ пользовать стохастические или вероятностные модули расчета ХТП.

При составлении СУ математических моделей и описании характеристик различных классов модулей расчета параметров и состояний ТО рекуперативного теплообмена, или ТО нагреваохлаждения (см. рис. 3.6), отображающих процессы теплообмена (с изменением и без изменения агрегатного состояния потоков) между двумя потоками в теплообменном аппарате (ТА), исполь­ зуется более 30 ИП. Кратко рассмотрим различные классы модулей расчета ТО нагрева-охлаждения.

Минимально информационный (балансный) МРС представляет собой информационный оператор, который реализует безытерационный алгоритм расчета системы уравнений теплового балан­ са ТА. Показатели информационности этого МРС: число уравне­ ний (базисных переменных) N = 3, число свобод тых информа­ ционных переменных F = 7.

Расширенно информационный М Р С -это информационный оператор, который реализует итерационный алгоритм, включаю­ щий перерасчет значений конечных температур выходных ТП, которые обеспечиваются поверхностью теплообмена стандартно­ го ТА. Показатели информационности: N = 3; F = 11.

Широко информационный МРС -это ИО, который реализует алгоритм расчета конечных температур выходных ТП, что обес­ печивается поверхностью теплообмена стандартного ТА, вклю­ чая расчет коэффициента теплопередачи. Показатели информа­ ционности: N = 23; F = 14.

Расширенно информационный МР П - это ИО, реализующий безытерационный алгоритм расчета поверхности теплообмена из основного уравнения теплопередачи с выбором ТА из стандарт­ ного ряда. Показатели информационности МРП: N = 4; F = (при заданных конечных температурах потоков); N = 6; F = (при заданном А ?*,„).

Широко информационный МРП -это информационный опера­ тор, реализующий итерационный алгоритм расчета поверхности теплообмена с выбором ТА из стандартного ряда, включающий расчет коэффициента теплопередачи.

Например, при заданном ACm показатели информацион­ ности: N = 23; F = 13.

Рассмотрим характеристику некоторых модулей расчета ТО химического превращения.

Минимально информационный (балансный) МРП -это ИО, который при заданных значениях массовых расходов, составов, давлений и энтальпий входных или выходных потоков ТОХГТ, степени превращения для ключевого химического компонента из системы уравнений МТБ для выбранного типа реактора опреде­ ляет его объем, время пребывания и величину приведенных затрат (ПЗ) на функционирование ТОХП.

Расширенно информационный МРП -это ИО, который при заданных значениях массовых расходов, составов, давлений и энтальпий входных или выходных потоков ТОХП, констант скоростей химических реакций и химического равновесия, коэф­ фициентов тепло- и массопереноса для гетерофазных физико-химических систем из уравнений МТБ, составленных для ключевых компонентов химических реакций для выбранного типа реактора, определяет его объем, время пребывания, температуру (или температурный профиль), степень превращения, обеспечивающие минимум ПЗ на функционирование ТОХП.

Расширенно информационный МРС -это ИО, который при заданных значениях массовых расходов, составов, давлений и энтальпий входных потоков ТОХП, констант скоростей химичес­ ких реакций и химического равновесия, коэффициентов тепло- и массопереноса для гетерофазных физико-химических систем, вре­ мени пребывания компонентов в реакторе заданного типа, объе­ ма реактора из нелинейных уравнений МТБ, составленных для ключевых компонентов химических реакций, определяет степень превращения, составы, энтальпии и давления выходных потоков ТОХП.

Широко информационный МРС -это ИО, который при задан­ ных значениях массовых расходов, составов, давлений и энталь­ пий входных потоков ТОХП, констант скоростей химических реакций и химического равновесия, коэффициентов переноса для гетерофазных систем, нижних и верхних пределов изменения реакционного объема (или длины реактора), концентраций клю­ чевых компонентов из системы нелинейных интегро-дифференциальных уравнений МТБ, составленных для ключевых компо­ нентов, определяет степень превращения, составы, расходы, энтальпии и давления выходных потоков ТОХП.

Рассмотрим характеристики некоторых модулей расчета ТО диффузионного разделения, отображающих процесс ректифика­ ции многокомпонентных смесей в простых тарельчатых колон­ нах.

Минимально информационный (балансный) М Р П - это ИО, который при заданных значениях массовых расходов потоков питания F, дистиллята D и (или) кубовой жидкости W составов, x F(xFi, ‘ = UN ), x D(xDi, i = 1,N), x w ( xWi, i = 1,N), давлений pF, pD, pw и энтальпий HF, HD, Hw из уравнений материально-теплового баланса с применением уравнений Фенске - Андервуда - Джиллиленда определяет минимальное флегмовое число, оптимальное число тарелок и величину ПЗ на функционирование РК. Число степеней свободы этого модуля F = 10 + 0 = 10; Fр {pD, pw, F, D, х, xD, р, Н, HD, Hw} \ число базисных ИП модуля N = 6 {Лт1п, R, nmin, п, W, л>}.

Расширенно информационный МРП -это ИО, который при заданных значениях массовых расходов, составов, энтальпий и давлений потоков, соответственно, питания, дистиллята и (или) кубовой жидкости путем потарелочного расчета системы уравне­ ний материального и (или) теплового балансов, фазового равно­ весия и кинетики массопередачи на тарелках колонны определяет положение тарелки ввода питания, число гарелок и оптимальное флегмовое число, обеспечивающих минимум ПЗ на функциони­ рование РК.

Широко информационный МРП -это ИО, который при задан­ ных значениях массовых расходов, составов, энтальпий и давле­ ний потоков, соответственно, питания, дистиллята и (или) кубо­ вой жидкости путем потарелочного расчета системы уравнений материального и (или) теплового балансов, фазового равновесия с применением уравнений, учитывающих неидеальность МКС (например, уравнений Вильсона, AT/?7L, UNIFAC и др.), и кинети­ ки массопередачи с учетом фактора диффузионного взаимодейст­ вия компонентов смеси, определяет положение тарелки ввода питания, оптимальное флегмовое число и число тарелок колон­ ны, обеспечивающих минимум ПЗ.

Расширенно информационный МРС -это ИО, который при заданных значениях положения тарелки ввода питания, опти­ мального флегмового числа, числа тарелок, диаметра и высоты РК, массового расхода, состава, энтальпии и давления потока питания путем потарелочного расчета СУ материального и (или) теплового балансов, фазового равновесия и кинетики массопере­ дачи определяет массовые расходы, составы, энтальпии и давле­ ния потоков дистиллята и (или) кубовой жидкости.

Широко информационный МРС -это ИО, который при задан­ ных значениях положения тарелки ввода питания, оптимального флегмового числа, числа тарелок диаметра и высоты РК, массо­ вого расхода, состава, энтальпии и давления потока питания путем потарелочного расчета СУ материального и (или) теплово­ го балансов, фазового равновесия с применением уравнений Вильсона или NRTLn кинетики массопередачи с учетом диффузи­ онного взаимодействия компонентов смеси определяет массовые расходы, составы, энтальпии и давления потоков дистиллята и (или) кубовой жидкости РК.

Для численного решения СУ, входящих в модули расчета РК, наиболее целесообразно использовать метод независимого опре­ деления концентраций с использованием ленточной трехдиаго­ нальной матрицы, который имеет широкую область применения для МКС всех видов и РК разных типов (простые, с несколькими вводами и выводами); метод довольно прост и обеспечивает в большинстве случаев достаточно быструю и надежную сходи­ мость итерационных вычислений.

3.4. П О Н Я Т И Я К О Э Ф Ф И Ц И Е Н Т О В Р А З Д Е Л Е Н И Я

И К О Э Ф Ф И Ц И ЕН ТО В П О Л ЕЗН О ГО ДЕЙ СТВИ Я

Т Е Х Н О Л О Г И Ч Е С К И Х О П Е Р А Т О Р О В ХТС

Для разработки упрощенных модулей расчета ТО в виде СЛУ с постоянными коэффициентами используют так называемые коэффициенты разделения входных потоков для химических компонентов в ТО.

Коэффициент разделения входного потока (крвп) для химичес­ ких компонентов ТО -это отношение массового расхода некото­ рого /-го компонента в выходном потоке ТО к массовому расходу /-го компонента во входном ТП данного ТО:

где массовый расход /-го компонента во входном (^-ом выходном) ТП.

Значения каждого крвп для любого химического компонента в каждом ТО, или элементе ХТС зависят от параметров элемента, а также в общем случае и от параметров входных технологичес­ ких потоков. Для определения значений крвп необходимо решать СУ математических моделей отдельных ТО, которые отобража­ ют физико-химическую сущность ХТП.

Используя понятие крвп (3.1), математическую модель ТО, в которой не происходит химического превращения (например, ТО разделения), можно записать в виде уравнения МБ для каждого химического компонента (2.51):

ИЛИ Рис. 3.7. Представление математической модели ТО в форме линейных уравнений с коэффициентом разделения входных потоков:

mlll м вы р сх л /-го к м о ен в< ф в еств При использовании крвп предполагают, что внутри ТО каж­ дому q-ому выходному технологическому потоку соответствует определенная q-я «фаза вещества», имеющая массовый расход тя«) (Рис- 3.7).

Рассмотрим построение линейной математической модели ТО химического превращения, в котором протекает химическая реакция А -» В, с использованием понятия крвп. На вход ТО посту­ пает реагент А в количестве тл, а в выходном ТП содержится смесь продукта В в количестве т и непрореагировавшего компо­ нента А в количестве т Для представления математической модели г-го ТО химического превращения (рис. 3.8, а) в виде линейного уравнения с крвп предполагают, что реактор состоит из совокупности двух последовательно соединенных ТО разделе­ ния: TO(I_ u и TO,f. 2), в которых не происходит химической реакции. Первый ТО разделения TO(I_ u имеет две фазы и два потока на выходе. Первая фаза соответствует количеству компо­ нента А(тл — т'А), вступившему в реакцию (фиктивный сток), а вторая фаза - непрореагировавшему количеству компонента т'А.

TO(i- 2, имеет также две фазы и два потока на выходе: поток свежего питания WB, который отображает количество компонен­ та В, образовавшегося в реакторе (фиктивный источник), и поток Рис. 3.8. Операторная (а) и структурная (б) схемы химического реактора (вол­ нистая линия граница раздела фаз; штриховая линия - граница технологического оператора) т'А. В этом случае значения крвп для ТО химического превраще­ ния определяют следующим образом:

где N m- м и н и м ал ьн ое число ступеней раздел ен и я в колонне.

Для ТО разделения, отображаю щ его процесс абсорбции сухих газов, значение крвп j\ i-го noi лиш аемого компонента опреде­ ляется следующим образом:

где А г ф ак тор абсорб ции, или ди ф ф узионны й потен циал; A i = L / K -G \ L - расход абсорб ен та; С - р а с х о д газа; К,- коэф ф ициент ф азо в о го равн овесия; N -ч и с л о ступеней разделени я в абсорбере.

Если изменение параметров входного ТП абсорбера не влияет на величину Л,, то значение крвп / постоянная величина.

Для ТО процесса десорбции значение крвп у'-го десорбирован­ ного компонента равно:

Существует несколько способов определения значений крвп для элементов ХТС. На ранних этапах исследования и проектиро­ вания ХТС значения крвп / могут бы ть заданы, исходя из предположения, что эти величины должны быть достигнуты в реальной ХТС при обеспечении необходимых технологических и конструкционных параметров элементов ХТС. Более того, при наличии многопараметрических ТП необходимо обеспечить так­ же возм ожность достижения одновременно всех желаемых значе­ ний /(/ = 1, л ).

Другой способ состоит в определении вел и ч и н ы / по экспери­ ментальным данным с использованием методов регрессионного анализа. Однако этот способ имеет недостатки, связанные с невозможностью перенесения полученных зависимостей на дру­ гие условия и размеры.

Наилучший способ - получение зн а ч е н и й / по М М, составлен­ ной на основе изучения физико-химической сущности ХТП, и экспериментальное уточнение значений /. Такой способ дает наиболее полную информацию о свойствах ХТП. Однако он связан с многочисленными трудностями: функциональная форма нелинейных уравнений ММ не всегда известна (особенно в случае сложных химических процессов); задача проведения эксперимен­ та и определения параметров в нелинейных М М может быть сложной; наконец, вычислительный эксперимент на самой ММ для определения значений крвп, связывающих параметры вход­ ных и выходных ТП элементов ХТС, может быть весьма трудо­ емким. При этом особое значение приобретает проблема аппрок­ симации решений.

Значения крвп / для различных ТО зависят от значений к.п.д.

этих ТО, оценивающих степень приближения ХТП к состоянию равновесия. Рассмотрим выражения к.п.д. для ТО химического превращения, ТО рекуперативного теплообмена и ТО диффузи­ онного разделения.

Для ТО химического превращения к.п.д. равен к-степ ен и превращения некоторого /-го реагента. К ром е того, эффектив­ ность химического превращения оценивают величиной ^ - в ы х о ­ дом продукта и ф - избирательностью (селективностью) химичес­ кого превращения веществ.

Ф ормулы для расчета этих величин, а такж е связи между ними определяются, прежде всего, типом реакции и реактора, а также кинетическими закономерностями химического превращения ве­ щества.

Степень превращения х исходного вещества:

где -*0 - н ачал ьн ая кон ц ен трац и я реагирую щ его вещ ества; х - конечная ко н ц ен тр а­ ция реагирую щ его вещ ества.

При переменном реакционном объеме степень превращения веществ определяется по формуле:

где V0, V, - реакци онны й объ ем при степени превращ ен ия х = О и х = 1, со о т ­ ветственно, м 3; р0, р,- п л о т н о с т ь реагирую щ их вещ еств при х = 0 и х = с оответственно, к г /м 3.

Степень превращения для необратимых реакций в реакторе идеального вытеснения (РИВ) при е = 0 (реакция нулевого по­ рядка; —г = к\ г-ск о р о ст ь химической реакции, выраженная по /-му веществу):

Реакция первого порядка ( —г = кх):

реакция второго порядка ( —г = к х1х 2):

При стехиометрическом соотношении исходных веществ:

Степень превращения для обратимой реакции первого поряд­ ка в РИВ ( —г = к 1х 1 — к2х 2):

где х* - равн овесн ая степень превращ ен ия (су м м ар н ая скорость реакции г = 0).

Для обратим ой реакции первого порядка в реакторе идеаль­ ного смешения (РИС):

Для обратим ой реакции второго порядка в РИС:

М гновенная (дифференциальная) избирательность химическо­ го процесса:

Д ля параллельно и параллельно-последовательно протекаю ­ щих реакций (г, = k lx" r i + l = к2Д^2):

Общая (интегральная) избирательность процесса Ф:

где х х,.х, -к о н е ч н ы е концентрац ии реагирую щ их вещ еств; х,, х,, Xj - текущ ие концентрац ии реагирую щ их вещ еств.

Общая избирательность химического процесса в непрерывно действующем РИВ имеет следующее выражение:

которое справедливо при условии —г, = гп + гп. п, где индексы «п» и «п.п» относятся к продукту и побочным продуктам соот­ ветственно.

Д ля непрерывно действующего РИС:

Выход продукта в химическом процессе т| определяется как соотношение между концентрациями продукта д:п и реагирующих веществ хр. „ тельных реакций соотношение между выходом, степенью пре­ вращения и избирательностью химического процесса имеет вид:

Д ля процесса, протекающего в непрерывно действующем РИВ и в периодически действующем РИС, эта зависимость имеет вид:

3.5. М А Т Р И Ц Ы П Р Е О Б Р А З О В А Н И Я Т Е Х Н О Л О Г И Ч Е С К И Х

О П Е Р А ТО Р О В Х Т С

Если при составлении системы уравнений М М технологического оператора (1.2) использовать известные значения крвп, то СУ (1.2) можно представить в следующей матричной форме:

(входны х) потоков.

Каждый элемент гт матрицы преобразования [/?тп] пред­ ставляет собой некоторый крвп, величина которого не зависит от параметров входных потоков.

Рассмотрим в соответствии с определением понятия крвп (см.

раздел 3.4) выражения для матриц преобразования ТО механи­ ческого разделения, ТО селективного разделения и ТО хими­ ческого превращения. Д ля ТО механического разделения м атри­ ца п реоб разован и я-это диагональная матрица:

где а - крвп: Ет едини чная м атри ц а.

Матричное уравнение (3.39) для каждого одного выходного потока ТО механического разделения имеет следующий вид:

Для каждого одного выходного потока Yml ТО селективного, или диффузионного, разделения, отражаю щ его четкое разделение смеси т компонентов в процессах ректификации, дистилляции, абсорбции и десорбции, матричное уравнение имеет следующий вид:

где элементы м атрицы гт не равны между собой и представляю т различные крвп для отдельных компонентов.

Если в ТО химического превращения одновременно протекает z независимых реакций, то можно записать систему уравнений М Б химических компонентов:

j = \, к - число ком п он ен тов, участвую щ их в реакции.

Стехиометрическая матрица [Szt] системы уравнений (3.43) имеет вид:

М атричное уравнение, отображающее связь между векторами параметров входных и выходных технологических потоков ТОХП представляют в следующем виде:

где [ и ]-е д и н и ч н а я м атр и ц а; [ x j - м атри ц а степеней превращ ен ия реаген тов в химических реакциях; т - индекс транспон ировани я м атри ц ы ;

м атр и ц а п реоб разов ан и я Т О хим ического превращ ения; м ат р и ц а [Л ы] - н едиаго­ нальная; элем ен ты м атр и ц ы [Л 44] зави сят от п ар ам е тр о в Т О (см. р азд ел 3.4).

П р и м е р 3.3. Задан Т О Х П, в к о то р о м п ротекает реакци я си н теза мочевины :

С 0 2 + 2 N H 3 - » C O ( N H 2)2 + Н 20. И звестна степень превращ ен ия С 0 2 в мочевину х,. О бозначение химических ком понентов: / = 1 ( С 0 2); / = 2 ( N H 3); / = 3 ( Н 20 ) Решение. П о определени ю состав и м м атрицу [ S. J 1 : [ S 14] T = [1 —2 1 1]'.

М атр и ц а степеней превращ ен ия им еет вид: [ К 14] = [ x t 0 0 0]. М атри чн ое уравнение дан н ого Т О Х П :

где л, (_)’,) концентрация /-го к ом п он ен та на входе (вы ходе) Т О Х П.

в присутствии ин ертного газа Ы2:

И звестна степень превращ ен ия по этилену х и и зб и р а те л ьн о с ть д л я 1 - й реакции ф.

О бозначения ком понентов / = 1 ( С 2Н 4), / = 2 ( С 2Н 40 ), / = 3 ( С 0 2), / = 4 ( 0 2), Н еобход и м о состав и ть м атр и ц у п реобразован и я д л я Т О Х П (3.46).

Решение. С оставим стехиом етрическую м атриц у ф [и ! = фх; х 2 = (1 — ф )х ] им еет вид:

Рассмотрим процедуру построения матрицы преобразования [/?] (3.46) для ТОХП, в котором протекает сложная реакция, вводя в СУ материального баланса новых оптимизирующих, или управляющ их ИП. Ввод в СУ новых управляющих И П позволяет линеаризировать эту СУ, а нелинейные члены перенести в вы ра­ жение для расчета КЭ.

Пусть в РИВ протекает обратим ая реакция:

Если в момент времени / степень превращения вещества А х ((г)) известна, то концентрации веществ А, В, С, D (соответственно zA, z B zc, z D) определяются из следующих соотношений:

Д ля входных (л,) и выходных (j',) переменных реактора выполняются соотношения:

Из соотношений (3.48) и (3.49) получают Введем в качестве новой управляющей переменной величину х. Тогда матрица преобразования для реактора [Л] будет иметь вид:

Используя математическую модель РИВ, нетрудно получить уравнение следующего вида:

Поскольку длина реактора Г, как правило, входит в выражение КЭ, то заменив величину Г на ее выражение из формулы (3.52), получают, что КЭ нелинейным образом зависит от переменных к, *!, х 2, х 3, х4, Т. Как видим, с введением новой управляющей переменной й М М реактора стала линейной (3.51), а нелиней­ ность перешла в КЭ. Данный м етод не обладает универсаль­ ностью, так как для каждого вида ТОХП необходимо каждый раз проводить специальные преобразования СУ М етод определения значений крвп или элементов м атриц преобразования ТО на основе решения СУ математических моделей ХТП, являющийся весьма трудоемким, не всегда можно использовать на практике при разработке математической м оде­ ли ХТС в целом. Д ля определения значений элементов матриц преобразования ТО, описываемых сложными математическими моделями, наиболее целесообразно применять методы планиро­ вания эксперимента на математической модели данного ТО, отображающей физико-химическую сущность ХТП. И спользова­ ние методов планирования эксперимента на ММ позволяет существенно сократить расчетные процедуры при м атем ати­ ческом моделировании ХТС и получить достаточно точные корректные результаты в заданном диапазоне изменения пара­ метров входных ТП.

Построение линейных регрессионных уравнений, входящих в упрощенные матричные уравнения ТО (3.39), осуществляют с использованием планов первого порядка, к которы м относятся ПФЭ и ДФЭ (см. раздел 2.2). Однако для ХТП, имеющих существенно нелинейные М М, необходимо принять кусочно-ли­ нейную аппроксимацию для исходной ММ. В результате кусочно-линейной аппроксимации данный ТО отображается набором различных м атриц преобразования.

Использование ПФЭ и ДФЭ при определенных допущениях на диапазон варьирования значений входных переменных [X ni] позволяет получить следующее матричное уравнение для лю бого ТО:

где [Ут1] ( [ Я ^ ] ) - м а т р и ц а - с т о л б е ц вы ходны х (входны х) перем енны х; [Л тл] - м а т ­ рица п реоб разов ан и я с эл ем ен там и о„ яв л яю щ и м и ся коэф ф ициентам и уравнения (2.36); [ X 5 ^ ]-м а т р и ц а -с т о л б е ц свободны х членов уравнения (2.36).

Если каждому /-ому элементу ХТС соответствует определен­ ная /-я матрица преобразования [/?,], то матричное уравнение ХТС в целом будет вклю чать некоторую эквивалентную матрицу преобразования ХТС [Л *], которая зависит от м атриц преобра­ зования отдельных элементов [/?,],..., [/?w входящих в струкУРУ ХТС:

где [ Я ] ( [ Ч ) _ м ат р и ц а-с то л б е ц п а р ам е тр о в входны х (вы ходны х) технологических п о ток ов ХТС; [Л * ] эк ви вал ен тн ая м атр и ц а п реобразован и я Х Т С ; [Л * ]- м атри ц а Д ля получения эквивалентной матрицы преобразования ХТС [/?*] необходимо по структурной схеме ХТС построить структурно-топологическую модель ХТС (см. раздел 1.8) в виде м ат­ ричной структурной блок-схемы ХТС.

Матричная блок-схема (МБС) Х Т С -э т о графическое пред­ ставление ММ данной системы в виде соединений определенных совокупностей матричных блоков, условно обозначаемых двой­ ными прямоугольниками и соответствующих м атрицам преобра­ зования каждого ТО между его одним входным и одним выход­ ным технологическим потоком (рис. 3.10, а). Соединения между отдельными матричными блоками на М БС изображаются двой­ ными направленными линиями векторов, каждый из которых отображ ает вектор параметров входных, промежуточных и вы­ ходных ТП системы.

Кроме матричных блоков и векторов в структуру М БС входят два вида узлов: узел алгебраического суммирования векторов, которому соответствует матричное уравнение [У] = [А \] + [ЛГ2] (рис. 3.10,6), и узел размножения вектора, которому соответст­ вует уравнение [X ] = [ X,] = = [ X J (см. рис. 3.10,в).

При построении М БС используются следующие предпосылки:

все матрицы-столбцы векторов параметров технологических потоков имеют одинаковую размерность (я х 1), а исходная матрица преобразования (3.39) между каждым входным и вы­ ходным технологическим потоком лю бого ТО в соответствии с видом регрессионного уравнения записывается следующим образом (см. рис. 3.10, г):

где [-Vni] ([y „ i]) м ат р и ц а-с то л б е ц п арам етров входного (вы ходн ого) Т П ;

со о тв етств у ю щ ая нул евы м членам линейного регрессионн ого уравнения.

Все преобразования М БС на основе аппарата матричного исчисления, необходимые для получения [Л*] ХТС в целом, осуществляют с использованием правил эквивалентного преоб­ разования М БС, которые могут быть полностью алгоритм изи­ рованы для автоматического выполнения на ЭВМ (см. раз­ дел 5.4).

Рис. 3.10. Граф ическое изображ ен и е основны х эл ем ен то в м атр и ч н о й блок-схем ы ХТС;

а- матричны блок; 6- узел алгебраическогослож векторов; в- узел разм ения вектора; г - м изображ технологического оператора, которое соответствует виду линейны регрессионны уравнений Рис. 3.11. С тр у кту р н ая схем а (а) и м атр и ч н ая блок-схем а (б) абсорб ц и он н о-десорбц и он н ой Х Т С м о н о этан о л ам и н о в о й очистки син тез-газа о т С 0 2 в прои зводстве ам м и ак а:

/-абсбрбер; 2 десорбер; 3 теплообменник: 4 холодильник Д ля абсорбционно-десорбционной ХТС моноэтаноламиновой очистки синтез-газа от С 0 2 в производстве аммиака, структурная схема которой изображена на рис. 3.11, а; матричная блок-схема системы показана на рис. 3.11,6. Параметры ТП обозначены:

G - расход очищаемого синтез-газа; L -к р атн о сть циркуляции раствора абсорбента-м оноэтанолам ина; х - концентрация аб­ сорбента; х 3,,v7 - концентрации активной части абсорбента в насыщенном и регенерированном растворах; д 2, д 6-п о те р и аб­ сорбента в абсорбере и десорбере; Qs, Q9 - параметры состояния ТП пара и охлаждающей воды; температура синтез-газа на входе в абсорбер; 03, 04, 07, 08, ( температуры соответствующих ТП раствора абсорбента.

Исходные матрицы преобразования технологических опера­ торов ХТС, полученные на основе статистических испытаний м етодом ПФЭ на математических моделях отдельных элементов системы имею т следующий вид:

для абсорбера для десорбера для теплообменника для холодильника По исходным м атрицам преобразования элементов ХТС за­ пишем с учетом правил построения М БС вид матричных уравне­ ний для матричных блоков (см. рис. 3.10, г), отображаю щ их на М БС (см. рис. 3.11, а) абсорбер 1 и холодильник 4: