Подготовка к ЕГЭ по математике 2013-2014

Внимание! Программа изменена в соответствии с

изменением КИМ0в 30 октября 2014

Программа скорректирована.

Занятие 1. В1, В2 - уметь использовать приобретенные знания и умения в

практической деятельности и повседневной жизни.

Занятие 2. В3 - анализ и чтение графиков функции, диаграммы

Занятие 3. B4. Выбор оптимального варианта.

Занятие 4. В5. Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами Занятие 5. B6. Начала теории вероятностей Занятие 6. B7. Простейшие уравнения.

Занятие 7. B8. Планиметрия: задачи, связанные с углами.

Занятие 8. B9. Производная и первообразная.

Занятие 9. B10. Стереометрия.

Занятие 10. B11. Вычисления и преобразования.

Занятие 11. B12. Задачи с прикладным содержанием.

Занятие 12. B13. Задачи по стереометрии.

Занятие 13. B14. Текстовые задачи.

Занятие 14. B15. Наибольшее и наименьшее значение функций.

Занятие 15, 16. Комплексное повторение В1-В14, С1, С2.

Задание B6. Начала теории вероятностей.

Уметь строить и исследовать простейшие математические модели. Рекомендуемое время решения одной задачи: 3-5мин.

Умения, проверяемые заданиями:

Моделировать реальные ситуации на языке теории вероятностей и статистики, вычислять в простейших случаях вероятности событий Элементы содержания, проверяемые заданиями экзаменационной работы Вероятности событий; примеры использования вероятностей и статистики при решении прикладных задач.

Краткий справочник Во всех заданиях В6 на теорию вероятностей, которые представлены в Открытом банке заданий для подготовки к ЕГЭ по математике, требуется найти вероятность какого-либо события.

Нужно знать всего лишь одну формулу, с помощью которой вычисляется вероятность:

В этой формуле р – вероятность события, k – число событий, которые нас «устраивают», на языке теории вероятностей они называются благоприятными исходами.

n – число всех возможных событий, или число всех возможных исходов.

Очевидно, что число всех возможных событий больше, чем число благоприятных исходов, поэтом вероятность – это величина, которая меньше или равна 1.

Если вероятность события равна 1, это значит, что данное событие обязательно произойдет.

Такое событие называется достоверным. Например, то, что после воскресенья будет понедельник, является, к сожалению, достоверным событием и его вероятность равна 1.

Наибольшие сложности при решении задач возникают именно с нахождением чисел k и n.

При решении задач на теорию вероятностей, как и любых других, нужно внимательно читать условие, чтобы правильно понять что дано, и что требуется найти.

Вероятность суммы событий Теорема сложения вероятностей несовместных событий:

P(A+B)=P(A)+P(B) Теорема сложения вероятностей совместных событий:

P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB).

Вероятность произведения событий Теорема умножения вероятностей независимых событий:

P(AB)=P(A)P(B) Теорема умножения вероятностей зависимых событий:

P(A|B) - условная вероятность события A при условии, что произошло событие B, P(B|A) - условная вероятность события B при условии, что произошло событие A.

Формула полной вероятности, где H1, H2,…, Hn - полная группа гипотез, то есть - достоверное событие.

Примеры решения задач Задача 1. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

Решение.

Количество исходов, при которых в результате броска игральных костей выпадет 8 очков, равно 5: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. Каждый из кубиков может выпасть шестью вариантами, поэтому общее число исходов равно 6·6 = 36. Следовательно, вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков, равна О т в е т : 0,14.

Задача 2. В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдёт в магазин?

Решение.

Всего туристов пять, случайным образом из них выбирают двоих. Вероятность быть выбранным равна 2 : 5 = 0,4.

О т в е т : 0,4.

Задача 3. В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных.

Решение.

Из 5000 тысяч новорожденных 5000 2512 = 2488 девочек. Поэтому частота рождения девочек равна Задача 4. На олимпиаде в вузе участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по 120 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что всего было 250 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

Решение.

Всего в запасную аудиторию направили 250 120 120 = 10 человек. Поэтому вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории, равна 10 : 250 = 0,04.

Задача 5. В классе учится 21 человек. Среди них две подруги: Аня и Нина. Класс случайным образом делят на 7 групп, по 3 человека в каждой. Найти вероятность того. что Аня и Нина окажутся в одной группе.

Решение.

Пусть Аня оказалась в некоторой группе. Тогда для 20 оставшихся учащихся оказаться с ней в одной группе есть две возможности. Вероятность этого события равна 2 : 20 = 0,1.

Всего способов выбрать 3 учащихся из 21 учащегося класса равно. Выбрать пару «Аня и Нина» и поместить их в одну из семи групп можно способами. Добавить в эту группу еще одного из оставшихся 19 учащихся можно способами. Поэтому вероятность того, что девочки окажутся в одной группе равна Задача 6. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение.

Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное:

0,45 · 0,03 = 0,0135.

Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное:

0,55 · 0,01 = 0,0055.

Поэтому по формуле полной вероятности вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным равна 0,0135 + 0,0055 = 0,019.

Задача 7. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение.

Вероятность того, что кофе останется в первом автомате равна 1 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется во втором автомате равна 1 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется в первом или втором автомате равна 1 0,12 = 0,88. Поскольку P(A + B) = P(A) + P(B) P(A·B), имеем: 0,88 = 0,7 + 0,7 х, откуда искомая вероятность х = 0,52.

Задача 8. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Решение.

Пусть событие состоит в том, что яйцо имеет высшую категорию, события и состоят в том, что яйцо произведено в первом и втором хозяйствах соответственно. Тогда события и — события, состоящие в том, что яйцо высшей категории произведено в первом и втором хозяйстве соответственно. По формуле полной вероятности, вероятность того, что будет куплено яйцо высшей категории, равна:

Поскольку по условию эта вероятность равна 0,35, поэтому для вероятности того, что купленное яйцо произведено в первом хозяйстве имеем:

Задача 9. По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

Решение.

Вероятность того, что первый магазин не доставит товар равна 1 0,9 = 0,1. Вероятность того, что второй магазин не доставит товар равна 1 0,8 = 0,2. Поскольку эти события независимы, вероятность их произведения (оба магазина не доставят товар) равна произведению вероятностей этих событий: 0,1 · 0,2 = 0,02.

Задача 10. Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым, либо вторым выстрелом).

Решение.

Пусть A — событие, состоящее в том, что мишень поражена стрелком с первого выстрела, B — событие, состоящее в том, что мишень поражена со второго выстрела. Вероятность события A равна P(A) = 0,7. Событие B наступает, если, стреляя первый раз, стрелок промахнулся, а, стреляя второй раз, попал. Это независимые события, их вероятность равна произведению вероятностей этих событий: P(B) = 0,3·0,7 = 0,21. События A и B несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B) = 0,7 + 0,21 = 0,91.

О т в е т : 0,91.