Рабочая программа

«Применение групп Ли к дифференциальным уравнениям»

факультет математики, механики и компьютерных наук,

специальность 010501

(прикладная математика и информатика)

Лекции: 68 часов.

Семинарские занятия: 34 часа.

Итого аудиторных занятий: 102 часа.

Самостоятельная работа: 102 часов.

Форма контроля: зачет, экзамен.

§ 1. Основные понятия теории групп Ли 4 часа лекций, 2 часа семинарских занятий Групповой анализ и его практическое применение для исследования дифференциальных уравнений и задач математической физики. Элементарные примеры — построение автомодельных решений уравнения теплопроводности и одного квазилинейного гиперболического уравнений при помощи замены переменных.

Определение многообразия. Примеры многообразий. Отображения многообразий. Замены переменных.

Определение группы. Примеры групп. Определение группы Ли (группа, обладающая структурой гладкого многообразия). Примеры групп Ли. Подгруппы Ли.

Локальные группы Ли (способ, позволяющий обойтись без абстрактной теории многообразий, используя лишь выражения групповых операций в локальных координатах). Примеры локальных групп Ли.

Локальные группы преобразований. Орбиты. Примеры локальных групп преобразования — группа сдвигов, группа растяжений, группа вращений.

[1, 3] § 2. Векторные поля 4 часа лекций, 2 часа семинарских занятий Кривая на многообразии. Касательный вектор. Локальные координаты. Специальный «базис» касательных векторов. Примеры.

Касательное пространство. Касательное расслоение многообразия. Векторное поле. Интегральная кривая векторного поля. Потоки. Уравнение Ли. Инфинитезимальное преобразование. Примеры векторных полей и потоков. Экспонирование векторного поля.

Действие векторного поля на функцию. Ряд Ли. Касательный вектор как операция дифференцирования. Дифференциал отображения. Замена переменных.

Скобка Ли. Коммутатор векторных полей. Тождество Якоби. Свойства скобки Ли. Теоремы о скобке Ли. Геометрическая интерпретация скобки Ли. Теорема Фробениуса. Алгебра Ли. Правоинвариантное векторное поле.

Алгебры Ли локальных групп Ли. Экспоненциальное отображение. Структурные константы. Таблица коммутирования. Инфинитезимальное действие групп. Примеры.

[1, 2, 3] § 3. Производная Ли 4 часа лекций, 2 часа семинарских занятий Дифференцирование векторного поля. Производная Ли. Связь скобки Ли и производной Ли. Тождество Якоби. Теоремы. Примеры.

Дифференциальные формы. Определения и основные свойства. Кокасательное пространство.

Двойственный базис. Внешнее произведение. Внутреннее произведение. Внешняя производная (дифференциал d). Интегрирование и теорема Стокса. Примеры.

Производная Ли дифференциальных форм. Инвариантность дифференциальной формы относительно потока векторного поля. Примеры.

[1, 2, 3, 4] § 4. Группы симметрий дифференциальных уравнений 4 часы лекций, 2 часа семинарских занятий Симметрии алгебраических уравнений. Инвариантные подмножества. Инфинитезимальная инвариантность. Методы построения инвариантов. Примеры (группа вращений, группа сдвигов).

Группы и дифференциальные уравнения. Определение группы симметрий дифференциального уравнения. Действие группы преобразований на функцию. Примеры.

Операция продолжения. Продолженное пространство. Струя. Пространство струй. Продолжение действия группы. Продолжение векторных полей (определение и примеры). Основная формула продолжения и ее варианты. Примеры. Полные производные.

[1, 2, 3] § 5. Вычисление групп симметрий 4 часы лекций, 2 часа семинарских занятий Уравнение теплопроводности: 1. Первое и второе продолжение векторного поля. 2. Условие инвариантности. 3. Действие векторного поля на уравнение. 4. Метод неопределенных коэффициентов.

5. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений — определение инфинитезимальных симметрий. 6. Однопараметрические группы преобразований, порожденные векторными полями.

7. Использование групп преобразований для построения решения уравнения.

[1] § 6. Вычисление групп симметрий (продолжение) 4 часы лекций, 2 часа семинарских занятий Уравнение Бюргерса. Сходство алгебры симметрий уравнения Бюргерса с алгеброй симметрий уравнения теплопроводности. Замена Коула – Хопфа.

Волновое уравнение.

Уравнение Кортевега – де Фриза (КдФ).

[1] § 7. Обобщенные симметрии 4 часа лекций, 2 часа семинарских занятий Обобщение понятия группы симметрий — коэффициенты проложенного векторного поля зависят от производных функции. Обобщенное векторное поле. Обобщенное векторное поле и обобщенная инфинитезималная симметрия. Общее продолжение. Характеристики.

Эволюционные векторные поля. Примеры. Эквивалентность и тривиальные симметрии. Обобщенная симметрия системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

[1] § 8. Вычисление обобщенных симметрий 4 часа лекций, 2 часов семинарских занятий Простейшее нелинейное волновое уравнение.

Обобщенные симметрии уравнения Бюргерса.

Модифицированное уравнение Бюргерса.

[1] § 9. Обобщенные симметрии (продолжение) 4 часов лекций, 2 часов семинарских занятий Обобщенные симметрии и группы преобразований. Свойства эволюционных векторных полей.

Симметрии и продолжение. Скобка Ли обобщенных векторных полей. Свойства скобки Ли для обобщенных векторных полей (теоремы).

Эволюционные уравнения. Обобщенные симметрии модифицированного уравнения Бюргерса.

[1] § 10. Операторы рекурсии 4 часов лекций, 2 часов семинарских занятий Определение оператора рекурсии. Пример. Теоремы об операторах рекурсии. Пример применения теорем.

Двумерное волновое уравнение. Применение оператора рекурсии для его исследования.

Производная Фреше. Связь между производной Фреше и продолжение векторного поля. Критерий рекурсивности операторов.

Модифицированное уравнение Бюргерса. Использование связи между производной Фреше и продолжением векторного поля для вычисления обобщенных симметрий уравнения Бюргерса.

Обобщенные симметрии уравнения Кортевега – де Фриза.

[1] § 11. Группы симметрий и законы сохранения 4 часа лекций, 2 часа семинарских занятий Основные сведения из вариационного исчисления. Функционал. Вариация. Вариационная задача.

Экстремаль. Вариационная производная. Оператор Эйлера. Инвариантность оператора Эйлера.

Вариационные симметрии. Группы вариационных симметрий. Примеры. Инфинитезимальный критерий инвариантности. Примеры.

Симметрии уравнений Лагранжа – Эйлера. Основная теорема о связи вариационной симметрии и группой симметрии уравнений Лагранжа – Эйлера.

Пример. Волновое уравнение.

Пример. Задача Кеплера.

§ 12. Группы симметрий и законы сохранения (продолжение) Законы сохранения. Плотность и поток закона сохранения. Пример (уравнение неразрывности).

Тривиальные законы сохранения. Характеристики законов сохранения. Пример (волновое уравнение).

Теорема Нетер. Следствие теоремы Нетер. Пример (система частиц, движущаяся в потенциальном поле).

Дивергентные симметрии. Основные теоремы. Примеры для волнового Уравнения и системы частиц в потенциальном поле. Вычисление групп симметрий.

Сопряженные дифференциальные операторы. Характеристики законов сохранения. Пример для уравнения Бюргерса. Вариационные симметрии. Теорема о связи обобщенного векторного поля с вариационной симметрией. Групповые преобразования.

Теорема Нетер и обобщенные симметрии. Пример уравнения sin-Гордона.

Пример двумерного волнового уравнения. Таблица операторов рекурсии, характеристик и плотностей закона сохранения.

§ 14. Приложения теории групп. Конечномерные гамильтоновы системы Скобки Пуассона. Гамильтоновы векторные поля. Структурные функции. Структура Ли – Пуассона. Симплектические структуры. Симметрии, первые интегралы и понижение порядка. Примеры.

Гамильтоновы методы для эволюционных уравнений. Производная Ли дифференциальных операторов. Тождество Якоби. Пример (уравнение Кортевега – де Фриза). Законы сохранения.

Бигамильтоновы системы. Пример ((уравнение Кортевега – де Фриза). Операторы рекурсии. Пример (уравнение Буссинеска).

Основные физические гипотезы. Размерности физических величин. Масштабная инвариантность.

Группа растяжений. Пи-теорема.

Примеры. 1. Колебания маятника. 2. Давление в центре земли. 3. Высота гор на планетах. 4. Числа подобия — Рейнольдса, Прандтля, Рэлея, Фруда и т. п. 5. Связь массы планет и их химического состава.

Полярные и аксиальные векторные поля. Конструирование уравнений Максвелла на основе инвариантности векторных полей.

§ 16. Приложения теории групп. Автомодельные решения Определение автомодельных решений. Способы конструирования автомодельных решений на основе группы растяжений.

Автомодельное решение уравнения теплопроводности. Тепловые волны. Режимы с обострением.

Автомодельные решения квазилинейных гиперболических уравнений. Вычисления групп для квазилинейных гиперболических уравнений.

§ 17. Приложения теории групп. Физические приложения Термодинамика. Тождество Максвелла и другие математические тождества. Теорема Каратеодори.

Гамильтонова механика. Гамильтоновы векторные поля. Канонические преобразования. Соответствия между векторами и один-формами. Скобки Пуассона. Симплектические формы.

Динамика идеальной жидкости. Роль производных Ли. Полная производная по времени. Уравнение движения. Сохранение вихря. Теорема Эртеля.

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА

[1] Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. — М.: Мир, 1089.

[2] Шутц Б. Геометрические методы математической физики. — М.: Мир, 1984.

[3] Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. — М.: Наука. 1978.

[4] Зорич В. А. Математический анализ. Т. II. М.: Наука, 1984.

[5] Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука. 1968.

ДРУГИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ

[6] Зайцев В. Ф. Введение в современный групповой анализ. Учебное пособие к спецкурсу.

СпБ. Российский государственный педагогический университет им. А. И. Герцена, 1996.