Министерство образования Республики Беларусь

Учебно-методическое объединение вузов Республики Беларусь

по естественнонаучному образованию

УТВЕРЖДАЮ

Первый заместитель Министра образования

Республики Беларусь

А.И. Жук

«_» 2008 г.

Регистрационный № ТД-/тип.

Дифференциальные уравнения Типовая учебная программа для высших учебных заведений по специальности:

1-31 03 01 – математика

СОГЛАСОВАНО СОГЛАСОВАНО

Председатель УМО вузов Респуб- Начальник Управления высшего и лики Беларусь по естественнона- среднего специального образования учному образованию Ю.И. Миксюк _ В.В. Самохвал «_» 2008 г.

«_» 2008 г.

Первый проректор Государственного учреждения образования «Республиканский институт высшей школы»

В.И. Дынич «_» 2008 г.

Эксперт-нормоконтролер С.М. Артемьева «_» 2008 г.

Минск

СОСТАВИТЕЛИ:

Амелькин В.В. – доктор физико-математических наук, профессор кафедры дифференциальных уравнений Белорусского государственного университета Громак В.И. – доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой дифференциальных уравнений Белорусского государственного университета Мататов В.И. – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры дифференциальных уравнений Белорусского государственного университета Прохорова Р.А. – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры дифференциальных уравнений Белорусского государственного университета Садовский А.П. – доктор физико-математических наук, профессор кафедры дифференциальных уравнений Белорусского государственного университета.

РЕЦЕНЗЕНТЫ:

Кафедра высшей математики УО «Белорусский государственный экономический университет»

Макаров Е.К., главный научный сотрудник Института математики Национальной академии наук Республики Беларусь.

РЕКОМЕНДОВАНА К УТВЕРЖДЕНИЮ В КАЧЕСТВЕ ТИПОВОЙ:

Кафедрой дифференциальных уравнений Белорусского государственного университета (протокол № 6 от 19 февраля 2008 г.);

Научно-методическим советом Белорусского государственного университета (протокол № 3 от 27 марта 2008 г.);

Научно-методическим советом по математике и механике Учебно-методического объединения вузов Республики Беларусь по естественнонаучному образованию (протокол № 3 от 10 апреля 2008 г.) Ответственный за выпуск: В.И.Громак

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Курс «Дифференциальные уравнения» читается на 2-ом курсе в течение двух семестров. На курс отводится 136 учебных часов: 68 часов – лекции, 68 часов – практические занятия. Каждый семестр заканчивается экзаменом.

Теория дифференциальных уравнений является естественным развитием и продолжением дифференциального и интегрального исчислений. Дифференциальные уравнения являются источником большинства идей и теорий, которые составляют высший анализ.

Основная цель теории дифференциальных уравнений состоит в том, чтобы служить математическим инструментом для изучения явлений и процессов, происходящих в окружающей нас действительности.

Настоящий курс дифференциальных уравнений посвящён в основном обыкновенным дифференциальным уравнениям, теория которых наиболее развита, и знание которой необходимо при изучении общей теории дифференциальных уравнений.

Курс построен таким образом, что, прослушав его, студенты познакомятся с основными идеями и направлениями в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, в частности, с основными методами аналитической, качественной и асимптотической теории дифференциальных уравнений.

Студенты познакомятся также с последними достижениями и связью теории дифференциальных уравнений с другими математическими дисциплинами, они узнают о той большой роли, которую оказали и оказывают в развитии теории дифференциальных уравнений отечественные математики.

"ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ"

Цель курса "Дифференциальные уравнения": повышение уровня профессиональной компетенции студентов.

Образовательная цель: обучение студентов основным методам теории дифференциальных уравнений.

Развивающая цель: формирование у студентов навыков использовать современные методы построения и анализа математических моделей на основе теории дифференциальных уравнений.

Тематический план курса "Дифференциальные уравнения" уравнений. Вопросы существования решений уравнений. Общие свойства решений систем дифференциальных уравнений производных первого порядка ренциальных уравнений уравнений Тема 1. Введение в теорию дифференциальных уравнений Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Простейшие математические модели, описывающие дифференциальные уравнения.

Тема 2. Дифференциальные уравнения первого порядка Поле направлений. Изоклины. Решения. Интегральные кривые. Автономные системы. Особые точки. Фазовое пространство. Векторное поле. Траектории. Интеграл. Задача Коши. Теорема существования и единственности.

Элементарные приёмы интегрирования: дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, линейные, Бернулли, Риккати, в полных дифференциалах и приводящиеся к ним. Интегрирующий множитель. Специальные классы интегрирующих множителей. Существование и общий вид интегрирующего множителя.

ОДУ первого порядка, не разрешённые относительно производной. Решение. Задача Коши. Теорема существования и единственности. С- и Р-дискриминантные кривые. Неполные уравнения. Общий метод введения параметра. Уравнения Лагранжа и Клеро.

';

Тема 3. Дифференциальные уравнения высших порядков Общие понятия. Решение. Задача Коши. Связь между уравнением n-го порядка и нормальной системой. Методы понижения порядка уравнения.

Тема 4. Нормальные системы дифференциальных уравнений.

Теоремы существования и единственности решения для одного уравнения первого порядка и для системы дифференциальных уравнений. Метод последовательных приближений. Метод сжатых отображений. Продолжение решений. Теоремы существования и единственности для линейной системы и линейного уравнения n-го порядка. Голоморфные функции и мажоранты. Теоремы существования голоморфного решения задачи Коши.

Тема 5. Нормальные системы дифференциальных уравнений.

Общие свойства решений систем дифференциальных уравнений Непрерывная зависимость решений от начальных данных и параметров. Дифференцируемость решения по параметру (без доказательства). Уравнение в вариациях. Понятие о методе малого параметра.

Системы в нормальной и симметрической формах. Решение. Задача Коши. интеграл.

Независимые интегралы. Теорема о числе независимых интегралов. Существование полной системы первых интегралов для решения системы.

Линейное однородное уравнение в частных производных первого порядка и его связь с системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Структура общего решения. Начальная задача Коши.

Квазилинейное уравнение в частных производных первого порядка. Характеристики и интегральные поверхности. Теорема существования и единственности решения задача Коши (в случае двух независимых переменных) (без доказательства.). Системы дифференциальных уравнений в частных производных. Уравнение Пфаффа.

Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка. Свойства решений. Линейная зависимость и независимость функций. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений. Теорема об общем решении. Формула Остроградского – Лиувилля.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка. Свойства решений. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения n-го порядка.

Метод вариации произвольных постоянных. Метод Коши.

Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Метод Эйлера. Линейные неоднородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида – квазинолиномом.

Линейные уравнения второго порядка. Теорема о каноническом виде. Теоремы Штурма о нулях решений. Понятие о краевых задачах.

Линейные дифференциальные уравнения с голоморфными коэффициентами. Обобщённые степенные ряды. Интегрирование линейных дифференциальных уравнений при помощи степенных и обобщённых степенных рядов. Уравнение Эйри и Бесселя. Функции Бесселя.

Линейные однородные системы дифференциальных уравнений. Свойства решений.

Линейная зависимость и независимость вектор-функций. Формула ОстроградскогоЛиувилля. Фундаментальная система решений. Фундаментальная матрица. Структура общего решения линейной однородной системы.

Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений. Структура общего решения. Метод вариации произвольных постоянных.

Экспоненциальная функция матричного аргумента. Теорема Лаппо-Данилевского.

Матричный метод интегрирования линейной однородной системы с постоянными коэффициентами. Структура фундаментальной матрицы. Метод Эйлера. Линейные системы с периодическими коэффициентами. Решение неоднородной системы с правой частью специального вида.

Тема 9. Устойчивость по Ляпунову решений дифференциальных уравнений Устойчивость по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость. Функции Ляпунова.

Теоремы Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости. Критерий асимптотической устойчивости нулевого решения линейных автономных систем и уравнения n-го порядка. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.

Тема 10. Автономные системы дифференциальных уравнений Автономные системы. Свойства решений. Фазовые портреты линейной автономной системы двух уравнений. Особые точки: узел, седло, фокус, центр. Понятие предельного цикла.

КОНТРОЛЬНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ

Рекомендуется проведение не менее двух контрольных работ либо коллоквиума в течение каждого семестра.

ЛИТЕРАТУРА

Основная:

1. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. Москва: «Высшая школа», 1991.

2. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Минск: «Вышэйшая школа», 1974.

3. Федорюк М.В. Обыкновенных дифференциальные уравнения. Москва: «Наука», 1985.

4. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Москва «Наука», 1992.

Дополнительная:

1. Богданов Ю.С., Мазаник С.А., Сыроид Ю.Б. Курс дифференциальных уравнений.

Минск: «Университетское», 1996.

2. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений.

Минск: «Наук»,1972.

3. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. Москва: Физматгиз, 1959.

4. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. москва:

«Наука», 1969.

5. Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Минск: «Высшая школа», 1987.

5. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения:

примеры и задачи. Москва: «Высшая школа», 1989.