«1.1.Требования ГОС по дисциплине и квалификационные требования Выпускник, получивший квалификацию учителя математики, должен быть готовым осуществлять обучение и воспитание обучающихся с учетом специфики преподаваемого ...»

1.1.Требования ГОС по дисциплине и квалификационные

требования

Выпускник, получивший квалификацию учителя математики, должен

быть готовым осуществлять обучение и воспитание обучающихся с учетом

специфики преподаваемого предмета; способствовать социализации,

формированию общей культуры личности, осознанному выбору и

последующему освоению профессиональных образовательных программ;

использовать разнообразные приемы, методы и средства обучения;

обеспечивать уровень подготовки обучающихся, соответствующий требованиям Государственного образовательного стандарта; осознавать необходимость соблюдения прав и свобод учащихся, предусмотренных Законом Российской Федерации "Об образовании", Конвенцией о правах ребенка, систематически повышать свою профессиональную квалификацию, участвовать в деятельности методических объединений и в других формах методической работы, осуществлять связь с родителями (лицами, их заменяющими), выполнять правила и нормы охраны труда, техники безопасности и противопожарной защиты, обеспечивать охрану жизни и здоровья учащихся в образовательном процессе.

Выпускник, получивший квалификацию учителя математики, подготовлен к выполнению основных видов профессиональной деятельности учителя математики, решению типовых профессиональных задач в учреждениях среднего общего (полного) образования.

Основная образовательная программа должна быть направлена на обеспечение профессиональной подготовки выпускника, воспитание у него гражданской ответственности, стремления к постоянному профессиональному росту и других личностных качеств. Это может быть достигнуто как включением в основную образовательную программу соответствующих курсов (разделов дисциплин), так и организацией внеаудиторной работы (научно-исследовательской, кружковой, конференций, семинаров, встреч с ведущими специалистами и т.д.).

1.2. Требования к обязательному минимуму содержания изучаемой дисциплины ДПП.00 Дисциплины предметной подготовки ДПП.Ф.00 Федеральный компонент ДПП.Ф.04 Дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Поле направлений, изоклины. Простейшие дифференциальные уравнения и методы их решения. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка и линейные системы. Матричный метод интегрирования линейных систем дифференциальных уравнений. Интегрирование линейных дифференциальных уравнений при помощи рядов. Уравнения с частными производными. Метод Фурье. История возникновения и развития теории дифференциальных уравнений.

2. Цели и задачи изучаемой дисциплины Данная программа определяет объём знаний по дисциплине «Дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными».

Целью курса является научное обоснование тем, относящихся к нему понятий. Курс имеет общеобразовательное и прикладное значение.

Необходимо дать научное определение важнейших математических понятий, показать историю развития этих понятий.

Примеры и задачи, выносимые на практические занятия должны иллюстрировать основные положения теоретического курса; должны быть связанными с практическими задачами физики, химии, социологии.

Необходимо прививать навыки, умения самостоятельной работы со специальной литературой, со школьными учебниками.

3. Место дисциплины в профессиональной подготовке студентов Место курса в профессиональной подготовке выпускника: в профессиональной подготовке выпускника определяется выдающейся ролью методов и идей дифференциальных уравнений в формировании специалиста по любой области знаний, серьезно использующей математику; кроме того, многие дискретные, " конечные" модели, задачи и алгоритмы, характерные для данной специальности, имеют своим источником,прообразом или предельным случаем ту или иную бесконечномерную ситуацию, а потому требуют свободного владения идеями и подходами, выработанными в дифференциальных уравнениях. Моделирование процессов физики, химии, социологии и экономики приводят к дифференциальным уравнениям в обыкновенных или частных производных.

4. Распределение времени, отведенного на изучение дисциплины по учебному плану Форма учебной работы Форма обучения очная Заочная 6 лет Заочная 3,5 лет по семестрам по семестрам по семестрам 1 1 2 3 4 7 8 10 4 Общая трудоемкость, всего 90 96 часов Аудиторные занятия ( АЗ) 38 18 Лекции ( Л) 19 10 Практические занятия (пз) 19 8 Семинары (с) Лабораторные занятия (лз) Другие виды аудиторных занятий Самостоятельная работа (ср) 52 78 Контрольная работа (кр) 1 + Курсовая работа + + Компьютерное тестирование Форма итогового контроля экз экз экз (зачет, экзамен) 5.Тематический план для очной формы обучения:

1 Наименование разделов и тем Форма обучения дифференциальных уравнений.

методы их решения.

7 Уравнение, допускающее понижение порядка. 1 1 8 Пространство решений линейного однородного 1 1 дифференциального уравнения.

уравнение, его решение.

решения задачи Коши.

12 Линейные дифференциальные уравнения n-го 1 1 порядка и линейные системы.

систем дифференциальных уравнений.

решения нормальной системы уравнений.

дифференциальных уравнений с помощью дифференциальных уравнений.

6.Тематический план для заочной формы обучения специальности дифференциальных уравнений.

методы их решения.

7 Уравнение, допускающее понижение порядка. 1 1 8 Пространство решений линейного однородного 0 0 дифференциального уравнения.

уравнение, его решение.

решения задачи Коши.

12 Линейные дифференциальные уравнения n-го 1 0 порядка и линейные системы.

систем дифференциальных уравнений.

решения нормальной системы уравнений.

дифференциальных уравнений с помощью дифференциальных уравнений.

6.Тематический план для заочной формы обучения 3,5 лет дифференциальных уравнений.

методы их решения.

дифференциального уравнения.

уравнение, его решение.

решения задачи Коши.

порядка и линейные системы.

систем дифференциальных уравнений.

решения нормальной системы уравнений.

дифференциальных уравнений с помощью дифференциальных уравнений.

7. Содержание курса Дифференциальные уравнения и уравнения с Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Простейшие дифференциальные уравнения и методы их решения.

Основные понятия. Уравнения с разделяющимися переменными. Линейные уравнения 1-го порядка.

Огибание семейства плоских кривых. Особые решения.

Уравнение, допускающее понижение порядка.

Пространство решений линейного однородного дифференциального уравнения.

Неоднородное линейное дифференциальное уравнение, его решение.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Поле направлений, изоклины.

Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка и линейные дифференциальных уравнений.

Теорема существования и единственности решения нормальной системы уравнений. Уравнения с частными производными. Постановка основных краевых задач. Метод Фурье. Интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений с помощью рядов. История возникновения и развития дифференциальных уравнений.

8. Список основной и дополнительной литературы 1. Д.А.Райков Одномерный математический анализ, М., 2. Г.М.Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления, М., 3. К.А.Бохан Курс математического анализа, М., т.1, 4. Н.Я. Виленкин Задачник по курсу математического анализа, М., ч.1, 5. Л.Д.Кудрявцев Курс математического анализа 6. Ю.С.Очан Математический анализ, М., 7. Я.С.Бугров, С.М.Никольский Дифференциальное и интегральное исчисление, М., 8. М.К.Гребенча Курс математического анализа, М.,т.2, 9. А.Н.Колмагоров, С.В.Фомин Элементы теории функции и функционального анализа, М., 10.Б.З.Вулих Введение в функциональный анализ, М., 11.И.П.Натансон Теория функции вещественной переменной, М., Наука, 12.Ю.С.Очан Сборник задач по математическому анализу, Просвещение, 13.А.И.Маркушевич Краткий курс теории аналитической функции, М., 14.Б.В.Шабат Введение в комплексный анализ, М.,ч.1, 15.М.А.Лаврентьев, Б.В.Шабат Методы теории функции комплексного переменного, М., 16.М.Б.Балк, В.А.Петров, А.А.Полухин Задачник практикум по теории аналитических функций, Просвещение, 17.Е.Д.Соломенцев Функции комплексного переменного, М., 18.М.Б.Балк и др. Математический анализ, теория аналитических функций, М., 19. В.В.Степанов Курс дифференциальных уравнений, М., Физматиздат, 20.Л.С.Понтрягин Обыкновенные дифференциальные уравнения, М.,Наука, 9. Требования к уровню освоения программы, виды текущего, В результате изучения данной дисциплины студент должен иметь представление об обыкновенном дифференциальном уравнении в частных производных; иметь представление о численных и аналитических методах решения;

иметь представление об основных математических моделях процессов и явлений, описываемых дифференциальными уравнениями: процессы теплопроводности, колебаний, диффузорные процессы и др.;

уметь определять тип уравнений и иметь представление о возможностях символьной математики для решения дифференциальных уравнений;

иметь представление об истории возникновения и развития теории дифференциальных уравнений;

знать методы решения основных типов уравнений первого порядка, разрешимых в квадратурах; знать теорему Коши и задачу Коши для дифференциального уравнения 1-го и n-го порядков;

уметь решать линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами; уметь сводить линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка в частных производных к системе уравнений и решать эту систему, знать основные типы линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка, уметь решать линейные системы дифференциальных уравнений методом Эйлера и методом последовательного дифференцирования;

владеть методами решения основных дифференциальных уравнений 1-го порядка, разрешимых в квадратурах;

уметь методом замены понижать порядок дифференциального уравнения;

владеть основными аналитическими методами решения систем дифференциальных уравнений в частных производных 1-го порядка;

владеть методом Фурье решения краевых задач.

Вопросы к экзамену:

1. Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных 2. Простейшие дифференциальные уравнения и методы их решения.

3. Основные понятия.

4. Уравнения с разделяющимися переменными. Линейные уравнения 5. Огибание семейства плоских кривых. Особые решения.

6. Уравнение, допускающее понижение порядка.

7. Пространство решений линейного однородного дифференциального уравнения.

8. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение, его 9. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

10.Поле направлений, изоклины.

11.Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка и линейные 12. Матричный метод интегрирования линейных систем дифференциальных уравнений.

13.Теорема существования и единственности решения нормальной системы уравнений.

14. Уравнения с частными производными.

15.Постановка основных краевых задач.

16. Метод Фурье.

17. Интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений 18. История возникновения и развития дифференциальных Сведения о переутверждении программы на очередной учебный год и Учебный Решение Внесенные Номера листов (страниц) Изме Номера листов(стр.) Всего Номера Подпись Дат Сро Дифференциальные уравнения Составил Яремко О.Э.

Пенза Решение различных геометрических, физических и инженерных задач часто приводят к уравнениям, которые связывают независимые переменные, характеризующие ту ил иную задачу, с какой – либо функцией этих переменных и производными этой функции различных порядков.

В качестве примера можно рассмотреть простейший случай равноускоренного движения материальной точки.

Известно, что перемещение материальной точки при равноускоренном движении является функцией времени и выражается по формуле:

В свою очередь ускорение a является производной по времени t от скорости V, которая также является производной по времени t от перемещения S. Т.е.

независимой переменной t и производной второго порядка функции f(t).

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции.

Определение. Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

x 3 y 8 y x 5 0 - обыкновенное дифференциальное уравнение 1 – го порядка. В общем виде записывается F ( x, y, y ) 0.

x 2 xy x 2 y - обыкновенное дифференциальное уравнение 2 – го порядка. В общем виде записывается F ( x, y, y, y ) xy 0 - дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция y = (x, C), которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество.

дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений.

2) При каких- либо начальных условиях х = х0, у(х0) = у0 существует такое значение С = С0, при котором решением дифференциального уравнения является функция у = (х, С0).

Определение. Решение вида у = (х, С0) называется частным решением дифференциального уравнения.

Определение. Задачей Коши (Огюстен Луи Коши (1789-1857)- французский математик) называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у = (х, С0), удовлетворяющего начальным условиям у(х0) = у0.

Теорема Коши. (теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 1- го порядка) Если функция f(x, y) непрерывна в некоторой области D в плоскости XOY и имеет в этой области непрерывную частную производную y f ( x, y), то какова бы не была точка (х0, у0) в области D, существует единственное решение y (x) уравнения y f ( x, y), определенное в некотором интервале, содержащем точку х0, принимающее при х = х0 значение (х0) = у0, т.е. существует единственное решение дифференциального уравнения.

Определение. Интегралом дифференциального уравнения называется любое уравнение, не содержащее производных, для которого данное дифференциальное уравнение является следствием.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения xy y 0.

Общее решение дифференциального уравнения ищется с помощью интегрирования левой и правой частей уравнения, которое предварительно преобразовано следующим образом:

Теперь интегрируем:

дифференциального уравнения.

Допустим, заданы некоторые начальные условия: x0 = 1; y0 = 2, тогда имеем При подстановке полученного значения постоянной в общее решение получаем частное решение при заданных начальных условиях (решение задачи Коши).

Определение. Интегральной кривой называется график y = (x) решения дифференциального уравнения на плоскости ХОY.

Определение. Особым решением дифференциального уравнения называется такое решение, во всех точках которого условие единственности Коши (см. Теорема Коши. ) не выполняется, т.е. в окрестности некоторой точки (х, у) существует не менее двух интегральных кривых.

Особые решения не зависят от постоянной С.

Особые решения нельзя получить из общего решения ни при каких значениях постоянной С. Если построить семейство интегральных кривых дифференциального уравнения, то особое решение будет изображаться линией, которая в каждой своей точке касается по крайней мере одной интегральной кривой.

Отметим, что не каждое дифференциальное уравнение имеет особые решения.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения: y y 0. Найти особое решение, если оно существует.

Данное дифференциальное уравнение имеет также особое решение у = 0. Это решение невозможно получить из общего, однако при подстановке в исходное уравнение получаем тождество. Мнение, что решение y = 0 можно получить из общего решения при С1 = 0 ошибочно, ведь C1 = eC 0.

Далее рассмотрим подробнее приемы и методы, которые используются при решении дифференциальных уравнений различных типов.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение, связывающее функцию, ее первую производную и независимую переменную, т.е. соотношение вида:

разрешенным относительно производной.

Преобразуем такое выражение далее:

в полученное выше уравнение имеем:

- это так называемая дифференциальная форма уравнения первого порядка.

Далее рассмотрим подробнее типы уравнений первого порядка и методы их решения.

Лекция №2 Уравнения разрешимые в квадратурах Пусть функция f(x) – определена и непрерывна на некотором интервале a < x < b. В таком случае все решения данного дифференциального уравнения находятся как y f ( x)dx C. Если заданы начальные условия х0 и у0, то можно определить постоянную С.

Определение. Дифференциальное уравнение y f ( x, y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде Такое уравнение можно представить также в виде:

Получаем:

После нахождения соответствующих интегралов получается общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

Если заданы начальные условия, то при их подстановке в общее решение находится постоянная величина С, а, соответственно, и частное решение.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения: yy Интеграл, стоящий в левой части, берется по частям (см. Интегрирование по частям.):

- это есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения, т.к. искомая функция и не выражена через независимую переменную. В этом и заключается отличие общего (частного) интеграла от общего (частного) решения.

Чтобы проверить правильность полученного ответа продифференцируем его по переменной х.

Пример. Найти решение дифференциального уравнения Пример. Решить уравнение y y 3.

Пример. Решить уравнение y x( y 2 1).

Пример. Решить уравнение Интеграл, стоящий в левой части будем брать по частям (см. Интегрирование по частям. ).

Для нахождения интеграла, стоящего в левой части уравнения см. Таблица основных интегралов. п.16. Получаем общий интеграл:

Преобразуем заданное уравнение:

Получили общий интеграл данного дифференциального уравнения. Если из этого соотношения выразить искомую функцию у, то получим общее решение.

Пример. Решить уравнение y x( y 2 1).

Допустим, заданы некоторые начальные условия х0 и у0. Тогда:

Получаем частное решение y tg arctgy0 0.

Определение. Функция f(x, y) называется однородной n – го измерения относительно своих аргументов х и у, если для любого значения параметра t (кроме нуля) выполняется тождество:

Пример. Является ли однородной функция f ( x, y ) x 3 3x 2 y ?

Таким образом, функция f(x, y) является однородной 3- го порядка.

однородным, если его правая часть f(x, y) есть однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов.

Любое уравнение вида P( x, y)dx Q( x, y)dy 0 является однородным, если функции P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одинакового измерения.

Решение любого однородного уравнения основано на приведении этого уравнения к уравнению с разделяющимися переменными.

Рассмотрим однородное уравнение y f ( x, y).

Т.к. функция f(x, y) – однородная нулевого измерения, то можно записать:

Т.к. параметр t вообще говоря произвольный, предположим, что t. Получаем:

Правая часть полученного равенства зависит фактически только от одного аргумента u, т.е.

Исходное дифференциальное уравнение таким образом можно записать в виде:

Далее заменяем y = ux, y u x ux.

таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции u.

Далее, заменив вспомогательную функцию u на ее выражение через х и у и найдя интегралы, получим общее решение однородного дифференциального уравнения.

Введем вспомогательную функцию u.

Отметим, что введенная нами функция u всегда положительна, т.к. в противном случае теряет смысл исходное дифференциальное уравнение, содержащее ln u ln.

Подставляем в исходное уравнение:

Разделяем переменные:

Интегрируя, получаем: ln ln u ln x C; ln u Cx; u eCx ;

Переходя от вспомогательной функции обратно к функции у, получаем общее решение:

Кроме уравнений, описанных выше, существует класс уравнений, которые с помощью определенных подстановок могут приведены к однородным.

Если определитель где и - решения системы уравнений Находим значение определителя Решаем систему уравнений Применяем подстановку x u 1 / 5; y v 7 / 5; в исходное уравнение:

записанное выше, имеем:

Разделяем переменные:

Переходим теперь к первоначальной функции у и переменной х.

Итого, выражение x 2 x xy 3 y y 2 C является общим интегралом исходного дифференциального уравнения.

В случае если в исходном уравнении вида y f 0, то переменные могут быть разделены подстановкой a1 b Находим значение определителя Применяем подстановку 3x 3 y t.

Подставляем это выражение в исходное уравнение:

Разделяем переменные:

Далее возвращаемся к первоначальной функции у и переменной х.

таким образом, мы получили общий интеграл исходного дифференциального уравнения.

Определение. Дифференциальное уравнение называется линейным относительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде:

при этом, если правая часть Q(x) равна нулю, то такое уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением, если правая часть Q(x) не равна нулю, то такое уравнение называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением.

P(x) и Q(x)- функции непрерывные на некотором промежутке a < x < b.

Линейные однородные дифференциальные уравнения.

Рассмотрим методы нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка вида Для этого типа дифференциальных уравнений разделение переменных не представляет сложностей.

Общее решение:

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения.

Для интегрирования линейных неоднородных уравнений (Q(x)0) применяются в основном два метода: метод Бернулли и метод Лагранжа.

(Якоб Бернулли (1654-1705) – швейцарский математик.) Суть метода заключается в том, что искомая функция представляется в виде произведения двух функций y uv.

При этом очевидно, что y u v - дифференцирование по частям.

Подставляя в исходное уравнение, получаем:

Далее следует важное замечание – т.к. первоначальная функция была представлена нами в виде произведения, то каждый из сомножителей, входящих в это произведение, может быть произвольным, выбранным по нашему усмотрению.

Таким образом, можно одну из составляющих произведение функций выбрать так, что выражение Таким образом, возможно получить функцию u, проинтегрировав, полученное соотношение как однородное дифференциальное уравнение по описанной выше схеме:

Для нахождения второй неизвестной функции v подставим поученное выражение для функции u в исходное уравнение u выражение, стоящее в скобках, равно нулю.

Интегрируя, можем найти функцию v:

Т.е. была получена вторая составляющая произведения определяет искомую функцию.

Подставляя полученные значения, получаем:

Окончательно получаем формулу:

дифференциального уравнения в общем виде по способу Бернулли.

( Ларганж Жозеф Луи (1736-1813) - французский математик, през. Берлинской АН, Метод Лагранжа решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений еще называют методом вариации произвольной постоянной.

Вернемся к поставленной задаче:

Первый шаг данного метода состоит в отбрасывании правой части уравнения и замене ее нулем.

Далее находится решение получившегося однородного дифференциального уравнения:

Для того, чтобы найти соответствующее решение неоднородного дифференциального уравнения, будем считать постоянную С1 некоторой функцией от х.

Тогда по правилам дифференцирования произведения функций получаем:

Подставляем полученное соотношение в исходное уравнение Из этого уравнения определим переменную функцию С1(х):

Интегрируя, получаем:

Подставляя это значение в исходное уравнение, получаем:

Таким образом, мы получили результат, полностью совпадающий с результатом расчета по методу Бернулли.

При выборе метода решения линейных дифференциальных уравнений следует руководствоваться простотой интегрирования функций, входящих в исходный интеграл.

Далее рассмотрим примеры решения различных дифференциальных уравнений различными методами и сравним результаты.

Применим полученную выше формулу: P 2 ; Q ae x ;

Определение. Уравнением Бернулли называется уравнение вида где P и Q – функции от х или постоянные числа, а n – постоянное число, не равное 1.

которой, уравнение Бернулли приводится к линейному.

Для этого разделим исходное уравнение на yn.

Т.е. получилось линейное уравнение относительно неизвестной функции z.

Решение этого уравнения будем искать в виде:

Пример. Решить уравнение xy y xy 2 ln x.

Разделим уравнение на xy2:

Полагаем z Произведя обратную подстановку, получаем:

Пример. Решить уравнение xy 4 y x 2 y.

Разделим обе части уравнения на x y.

Полагаем z соответствующее ему линейное однородное уравнение:

Полагаем C = C(x) и подставляем полученный результат в линейное неоднородное уравнение, с учетом того, что:

Применяя обратную подстановку, получаем окончательный ответ:

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка вида:

называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции u F ( x, y).

Интегрирование такого уравнения сводится к нахождению функции u, после чего решение легко находится в виде: du 0; u C.

Таким образом, для решения надо определить:

1) в каком случае левая часть уравнения представляет собой полный дифференциал функции u;

2) как найти эту функцию.

Если дифференциальная форма M ( x, y)dx N ( x, y)dy является полным дифференциалом некоторой функции u, то можно записать:

Найдем смешанные производные второго порядка, продифференцировав первое уравнение по у, а второе – по х:

Приравнивая левые части уравнений, получаем необходимое и достаточное условие того, что левая часть дифференциального уравнения является полным дифференциалом. Это условие также называется условием тотальности.

Теперь рассмотрим вопрос о нахождении собственно функции u.

Проинтегрируем равенство Вследствие интегрирования получаем не постоянную величину С, а некоторую функцию С(у), т.к. при интегрировании переменная у полагается постоянным параметром.

Определим функцию С(у).

Продифференцируем полученное равенство по у.

Для нахождения функции С(у) необходимо проинтегрировать приведенное выше равенство. Однако, перед интегрированием надо доказать, что функция С(у) не зависит от х. Это условие будет выполнено, если производная этой функции по х равна нулю.

Теперь определяем функцию С(у):

Подставляя этот результат в выражение для функции u, получаем:

Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения будет иметь вид:

Следует отметить, что при решении уравнений в полных дифференциалах не обязательно использовать полученную формулу. Решение может получиться более компактным, если просто следовать методу, которым формула была получена.

Пример. Решить уравнение (3x 2 10 xy)dx (5 x 2 1)dy Проверим условие тотальности:

Условие тотальности выполняется, следовательно, исходное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Определим функцию u.

Находим общий интеграл исходного дифференциального уравнения:

Решение уравнений, не содержащих в одном случае аргумента х, а в другом – функции у, ищем в параметрической форме, принимая за параметр производную неизвестной функции.

В результате этих преобразований имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Общий интеграл в параметрической форме представляется системой уравнений:

Исключив из этой системы параметр р, получим общий интеграл и не в параметрической форме.

Для дифференциального уравнения вида x = f(y’) с помощью той же самой подстановки и аналогичных рассуждений получаем результат:

( Алекси Клод Клеро (1713 – 1765) французский математик Определение. Уравнением Лагранжа называется дифференциальное уравнение, линейное относительно х и у, коэффициенты которого являются функциями от y’.

Для нахождения общего решение применяется подстановка p = y’.

Дифференцируя это уравнение,c учетом того, что dy pdx, получаем:

Если решение этого (линейного относительно х) уравнения есть x F ( p, C ), то общее решение уравнения Лагранжа может быть записано в виде:

Определение. Уравнением Клеро называется уравнение первой степени (т.е.

линейное) относительно функции и аргумента вида:

Вообще говоря, уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа.

С учетом замены y p, уравнение принимает вид:

Это уравнение имеет два возможных решения:

В первом случае: p c;

Видно, что общий интеграл уравнения Клеро представляет собой семейство прямых линий.

Во втором случае решение в параметрической форме выражается системой уравнений:

Исключая параметр р, получаем второе решение F(x, y) = 0. Это решение не содержит произвольной постоянной и не получено из общего решения, следовательно, не является частным решением.

Это решение будет являться особым интегралом. ( См. Особое решение. ) Далее рассмотрим примеры решения различных типов дифференциальных уравнений первого порядка.

Пример. Решить уравнение с заданными начальными условиями.

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка.

Решим соответствующее ему однородное уравнение.

Для неоднородного уравнения общее решение имеет вид:

Дифференцируя, получаем: y C ( x) x C ( x);

Для нахождения функции С(х) подставляем полученное значение в исходное дифференциальное уравнение:

Итого, общее решение: y x( x ln x C ).

C учетом начального условия y(1) 0 определяем постоянный коэффициент C.

Окончательно получаем: y x 2 x ln x x.

Для проверки подставим полученный результат в исходное дифференциальное уравнение:

Ниже показан график интегральной кривой уравнения.

Пример. Найти общий интеграл уравнения x( y 2 1)dx y ( x 2 1)dy 0.

Это уравнение с разделяющимися переменными.

Общий интеграл имеет вид: ( x 2 1)( y 2 1) C.

Построим интегральные кривые дифференциального уравнения при различных значениях Пример. Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Это уравнение с разделяющимися переменными.

Найдем частное решение при заданном начальном условии у(0) = 0.

Пример. Решить предыдущий пример другим способом.

Действительно, уравнение y cos x ( y 1) sin x может быть рассмотрено как линейное неоднородное дифференциальное уравнение.

Решим соответствующее ему линейное однородное уравнение.

Подставляя в исходное уравнение, получаем:

Как видно результаты, полученные при решении данного дифференциального уравнения различными способами, совпадают.

При решении дифференциальных уравнений бывает возможно выбирать метод решения, исходя из сложности преобразований.

Это линейное неоднородное уравнение. Решим соответствующее ему однородное уравнение.

Для линейного неоднородного уравнения общее решение будет иметь вид:

Для определения функции С(х) найдем производную функции у и подставим ее в исходное дифференциальное уравнение.

дифференциальное уравнение.

Найдем частное решение при у(0) = 0.

Окончательно y sin x e sin x 1.

Пример. Найти решение дифференциального уравнения с начальным условием у(1) = 1.

Это уравнение может быть преобразовано и представлено как уравнение с разделенными переменными.

С учетом начального условия:

Окончательно y Пример. Решить дифференциальное уравнение условием у(1) = 0.

Это линейное неоднородное уравнение.

Решим соответствующее ему однородное уравнение.

Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

Подставим в исходное уравнение:

начальным условием у(1) = е.

Это уравнение может быть приведено к виду уравнения с разделяющимися переменными с помощью замены переменных.

Уравнение принимает вид:

Получили уравнение с разделяющимися переменными.

Общее решение: y xe Cx 1 ;

Частное решение: y ex;

Второй способ решения.

Соответствующее однородное:

Решение исходного уравнения ищем в виде: y e C ( x ) x ;

Подставим полученные результаты в исходное уравнение:

Пример. Решить дифференциальное уравнение условием у(1)=0.

В этом уравнении также удобно применить замену переменных.

Делаем обратную подстановку: e x Общее решение: y x ln(ln Cx);

Частное решение: y x ln(ln ex);

Второй способ решения.

Замена переменной: u ; y ux;

Общее решение: y x ln(ln Cx);

Лекция №3. Теоремы существования и единственности Геометрическая интерпретация решений дифференциальных Как уже говорилось выше (см. Интегральные кривые. ), линия S, которая задается функцией, являющейся каким- либо решением дифференциального уравнения, называется интегральной кривой уравнения y f ( x, y).

Производная y’ является угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой.

В любой точке А(х, у) интегральной кривой этот угловой коэффициент касательной может быть найден еще до решения дифференциального уравнения.

Т.к. касательная указывает направление интегральной кривой еще до ее непосредственного построения, то при условии непрерывности функции f(x, y) и непрерывного перемещения точки А можно наглядно изобразить поле направлений кривых, которые получаются в результате интегрирования дифференциального уравнения, т.е. представляют собой его общее решение.

Определение. Множество касательных в каждой точке рассматриваемой области называется полем направлений.

С учетом сказанного выше можно привести следующее геометрическое истолкование дифференциального уравнения:

1) Задать дифференциальное уравнение первого порядка – это значит задать поле направлений.

2) Решить или проинтегрировать дифференциальное уравнение – это значит найти всевозможные кривые, у которых направление касательных в каждой точке совпадает с полем направлений.

Определение. Линии равного наклона в поле направлений называются изоклинами.

Численные методы решения дифференциальных уравнений.

Известные методы точного интегрирования дифференциальных уравнений позволяют найти решение в виде аналитической функции, однако эти методы применимы для очень ограниченного класса функций. Большинство уравнений, встречающихся при решении практических задач нельзя проинтегрировать с помощью этих методов.

В таких случаях используются численные методы решения, которые представляют решение дифференциального уравнения не в виде аналитической функции, а в виде таблиц значений искомой функции в зависимости от значения переменной.

Существует несколько методов численного интегрирования дифференциальных уравнений, которые отличаются друг от друга по сложности вычислений и точности результата.

Рассмотрим некоторые из них.

(Леонард Эйлер (1707 – 1783) швейцарский математик ) направлений. Решение этого уравнения с некоторыми начальными условиями дает кривую, которая касается поля направлений в любой точке.

Если взять последовательность точек х0, х1, х2, …. и заменить на получившихся отрезках интегральную кривую на отрезки касательных к ней, то получим ломаную линию.

При подстановке заданных начальных условий (х0, у0) в дифференциальное уравнение y f ( x, y) получаем угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в начальной точке Заменив на отрезке [x0, x1] интегральную кривую на касательную к ней, получаем значение Производя аналогичную операцию для отрезка [x1, x2], получаем:

Продолжая подобные действия далее, получаем ломаную кривую, которая называется ломаной Эйлера.

Можно записать общую формулу вычислений:

Если последовательность точек хi выбрать так, чтобы они отстояли друг от друга на одинаковое расстояние h, называемое шагом вычисления, то получаем формулу:

Следует отметить, что точность метода Эйлера относительно невысока. Увеличить точность можно, конечно, уменьшив шаг вычислений, однако, это приведет к усложнению расчетов. Поэтому на практике применяется так называемый уточненный метод Эйлера или формула пересчета.

Суть метода состоит в том, что в формуле y1 y 0 f ( x0, y 0 )h вместо значения y 0 f ( x0, y 0 ) берется среднее арифметическое значений f(x0, y0) и f(x1, y1). Тогда уточненное значение:

Затем находится значение производной в точке ( x1, y1(1) ). Заменяя f(x0, y0) средним арифметическим значений f(x0, y0) и f ( x1, y1(1) ), находят второе уточненное значение у1.

и т.д. пока два последовательных уточненных значения не совпадут в пределах заданной степени точности. Тогда это значение принимается за ординату точки М1 ломаной Эйлера.

Аналогичная операция производится для остальных значений у.

Подобное уточнение позволяет существенно повысить точность результата.

При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” возможно запустить программу, которая решает любое дифференциальное уравнение первого порядка методом Эйлера и уточненным методом Эйлера. На каждом шаге вычислений подробно выводятся все указанные выше значения.

Для запуска программы дважды щелкните на значке Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple ( Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV Release 4.

Метод Рунге – Кутта является более точным по сравнению с методом Эйлера.

Суть уточнения состоит в том, что искомое решение представляется в виде разложения в ряд Тейлора. (См. Формула Тейлора. ) Если в этой формуле ограничиться двумя первыми слагаемыми, то получим формулу метода Эйлера. Метод Рунге – Кутта учитывает четыре первых члена разложения.

В методе Рунге – Кутта приращения yi предлагается вычислять по формуле:

где коэффициенты ki вычисляются по формулам:

Пример. Решить методом Рунге – Кутта дифференциальное уравнение y x y при начальном условии у(0) = 1 на отрезке [0; 0,5] с шагом 0,1.

Для i = 0 вычислим коэффициенты ki.

y 0 (k1 2k 20) 2k 3( 0) k 40) ) (0,1 0,22 0,221 0,1211) 0,1104;

Последующие вычисления приводить не будем, а результаты представим в виде таблицы.

Решим этот же пример методом Эйлера.

Применяем формулу y n y n 1 hf ( x n 1, y n 1 ).

Производя аналогичные вычисления далее, получаем таблицу значений:

Применим теперь уточненный метод Эйлера.

Для сравнения точности приведенных методов численного решение данного уравнения решим его аналитически и найдем точные значения функции у на заданном отрезке.

Уравнение y y x является линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Решим соответствующее ему однородное уравнение.

Решение неоднородного уравнения имеет вид y C ( x)e x.

Общее решение: y Ce x x 1;

Частное решение: y 2e x x 1;

Для сравнения полученных результатов составим таблицу.

Как видно из полученных результатов метод Рунге – Кутта дает наиболее точный ответ. Точность достигает 0,0001. Кроме того, следует обратить внимание на то, ошибка (расхождение между точным и приближенным значениями) увеличивается с каждым шагом вычислений. Это обусловлено тем, что во – первых полученное приближенное значение округляется на каждом шаге, а во – вторых – тем, что в качестве основы вычисления принимается значение, полученное на предыдущем шаге, т.е. приближенное значение. Таким образом происходит накопление ошибки.

Это хорошо видно из таблицы. С каждым новым шагом приближенное значение все более отличается от точного.

При использовании кмпьютерной версии “Курса высшей математики” возможно запустить программу, которая решает любое дифференциальное уравнение первого порядка рассмотренным выше методом Рунге- Кутта. Программа подробно выводит результаты вычислений на каждом шаге.

Для запуска программы дважды щелкните на значке Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple ( Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV Release 4.

Лекция №4 Дифференциальные уравнения высших порядков.

Определение. Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида:

В некоторых случаях это уравнение можно разрешить относительно y(n):

Так же как и уравнение первого порядка, уравнения высших порядков имеют бесконечное количество решений.

удовлетворяющего начальным условиям x0, y 0, y 0,..., y 0n 1), называется решением задачи Коши.

Теорема Коши. (Теорема о необходимых и достаточных условиях существования решения задачи Коши).

Если функция (n-1) –й переменных вида f ( x, y, y,..., y ( n 1) ) в некоторой области D (n-1)- мерного пространства непрерывна и имеет непрерывные частные производные по y, y,..., y ( n 1), то какова бы не была точка ( x0, y 0, y 0,..., y 0n 1) ) в этой области, определенного в некотором интервале, содержащем точку х0, удовлетворяющее начальным условиям x0, y 0, y 0,..., y 0n 1).

Дифференциальные уравнения высших порядков, решение которых может быть найдено аналитически, можно разделить на несколько основных типов.

Рассмотрим подробнее методы нахождения решений этих уравнений.

Понижение порядка дифференциального уравнения – основной метод решения уравнений высших порядков. Этот метод дает возможность сравнительно легко находить решение, однако, он применим далеко не ко всем уравнениям. Рассмотрим случаи, когда возможно понижение порядка.

Если f(x) – функция непрерывная на некотором промежутке a < x < b, то решение может быть найдено последовательным интегрированием.

Пример. Решить уравнение y e 2 x с начальными условиями x0 = 0; y0 = 1;

Подставим начальные условия:

Получаем частное решение (решение задачи Коши): y e 2 x x 2 x.

Ниже показана интегральная кривая данного дифференциального уравнения.

Это уравнения вида: F ( x, y ( k ), y ( k 1),..., y ( n ) ) 0.

В уравнениях такого типа возможно понижение порядка на k единиц. Для этого производят замену переменной:

Тогда получаем: F ( x, z, z,..., z ( n k ) ) 0.

проинтегрировано и совокупность его решений выражается соотношением:

Делая обратную подстановку, имеем:

окончательный ответ:

Применяем подстановку z y ; z y ;

Произведя обратную замену, получаем:

Общее решение исходного дифференциального уравнения:

Отметим, что это соотношение является решением для всех значений переменной х кроме значения х =0.

Уравнения, не содержащие явно независимой переменной.

Порядок таких уравнений может быть понижен на единицу с помощью замены переменных y p.

Подставляя эти значения в исходное дифференциальное уравнение, получаем:

Если это уравнение проинтегрировать, и Ф( y, p, C1, C 2,..., C n 1 ) 0 - совокупность его решений, то для решения данного дифференциального уравнения остается решить уравнение первого порядка:

Пример. Найти общее решение уравнения yy ( y ) 2 4 yy 0.

переменной: u.

Общий интеграл имеет вид: ln ln C1 y 4 x C;

Таким образом, получили два общих решения.

Лекция №5. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Определение. Линейным дифференциальным уравнением n – го порядка называется любое уравнение первой степени относительно функции у и ее производных y, y,..., y ( n ) вида:

где p0, p1, …,pn – функции от х или постоянные величины, причем p0 0.

Левую часть этого уравнения обозначим L(y).

Определение. Если f(x) = 0, то уравнение L(y) = 0 называется линейным однородным уравнением, если f(x) 0, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным неоднородным уравнением, если все коэффициенты p0, p1, p2, … pn – постоянные числа, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным дифференциальным уравнением высшего порядка с постоянными коэффициентами.

Отметим одно важное свойство линейных уравнений высших порядков, которое отличает их от нелинейных. Для нелинейных уравнений частный интеграл находится из общего, а для линейных – наоборот, общий интеграл составляется из частных. Линейные уравнения представляют собой наиболее изученный класс дифференциальных уравнений высших порядков. Это объясняется сравнительной простотой нахождения решения. Если при решении каких – либо практических задач требуется решить нелинейное дифференциальное уравнение, то часто применяются приближенные методы, позволяющие заменить такое уравнение “близким” к нему линейным.

дифференциальных уравнений высших порядков.

Линейные однородные дифференциальные уравнения с называется линейным дифференциальным оператором.

Линейный дифференциальный оператор обладает следующими свойствами:

Решения линейного однородного уравнения обладают следующими свойствами:

1) Если функция у1 является решением уравнения, то функция Су1, где С – постоянное число, также является его решением.

2) Если функции у1 и у2 являются решениями уравнения, то у1 +у2 также является его решением.

Определение. Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n –го порядка на интервале (a, b) называется всякая система n линейно независимых на этом интервале решений уравнения.

Определение. Если из функций yi составить определитель n – го порядка то этот определитель называется определителем Вронского.

( Юзеф Вроньский (1776 – 1853) – польский математик и философ - мистик) Теорема. Если функции y1, y 2,..., y n линейно зависимы, то составленный для них определитель Вронского равен нулю.

Теорема. Если функции y1, y 2,..., y n линейно независимы, то составленный для них определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке рассматриваемого интервала.

Теорема. Для того, чтобы система решений линейного однородного дифференциального уравнения y1, y 2,..., y n была фундаментальной необходимо и достаточно, чтобы составленный для них определитель Вронского был не равен нулю.

Теорема. Если y1, y 2,..., y n - фундаментальная система решений на интервале (a, b), то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией этих решений.

где Ci –постоянные коэффициенты.

Применение приведенных выше свойств и теорем рассмотрим на примере линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка.

Общее решение линейного однородного дифференциального Из вышеизложенного видно, что отыскание общего решения линейного однородного дифференциального уравнения сводится к нахождению его фундаментальной системы решений.

Однако, даже для уравнения второго порядка, если коэффициенты р зависят от х, эта задача не может быть решена в общем виде.

Тем не менее, если известно одно ненулевое частное решение, то задача может быть решена.

Теорема. Если задано уравнение вида y p1 ( x) y p2 ( x) y 0 и известно одно ненулевое решение у = у1, то общее решение может быть найдено по формуле:

Таким образом, для получения общего решения надо подобрать какое – либо частное решение дифференциального уравнения, хотя это бывает часто довольно сложно.

Лекция №6. Линейные однородные дифференциальные уравнения с Решение дифференциального уравнения вида y ( n ) a1 y ( n 1)... a n y 0 или, короче, L( y ) 0 будем искать в виде y e kx, где k = const.

При этом многочлен F (k ) k n a1 k n 1... a n называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения.

дифференциального уравнения, необходимо и достаточно, чтобы Т.к. ekx 0, то F (k ) 0 - это уравнение называется характеристическим уравнением.

Как и любое алгебраическое уравнение степени n, характеристическое уравнение k a1 k n 1... a n 0 имеет n корней. Каждому корню характеристического уравнения ki соответствует решение дифференциального уравнения.

В зависимости от коэффициентов k характеристическое уравнение может иметь либо n различных действительных корней, либо среди действительных корней могут быть кратные корни, могут быть комплексно – сопряженные корни, как различные, так и кратные.

Не будем подробно рассматривать каждый случай, а сформулируем общее правило нахождения решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

1) Составляем характеристическое уравнение и находим его корни.

2) Находим частные решения дифференциального уравнения, причем:

a) каждому действительному корню соответствует решение ekx;

б) каждому действительному корню кратности m ставится в соответствие m характеристического уравнение ставится в соответствие два решения:

г) каждой паре m – кратных комплексно – сопряженных корней i характеристического уравнения ставится в соответствие 2m решений:

3) Составляем линейную комбинацию найденных решений.

Эта линейная комбинация и будет являться общим решением исходного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Пример. Решить уравнение y y 0.

Составим характеристическое уравнение: k 3 1 0;

Общее решение имеет вид: y C1e e C 2 cos x C3 sin Это линейное однородное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами второго порядка. Для нахождения общего решения необходимо отыскать какое - либо частное решение.

Таким частным решением будет являться функция y1 x.

Исходное дифференциальное уравнение можно преобразовать:

Пример. Решить уравнение y IV y 0.

Составим характеристическое уравнение: k 4 1 0.

Общее решение: y C1e 2 x C 2 xe 2 x.

Общее решение: y e x (C1 cos 2 x C 2 sin 2 x).

Общее решение: y C1e x C 2 e 2 x.

Это уравнение не является линейным, следовательно, приведенный выше метод решения к нему не применим.

Понизим порядок уравнения с помощью подстановки y p.

Окончательно получаем: y C1e Cx ;

Это выражение будет общим решением исходного дифференциального уравнения.

Полученное выше решение у1 = С1 получается из общего решения при С = 0.

Общее решение: y (C3 x C4 ). Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Рассмотрим уравнение вида y ( n ) p1 ( x) y ( n 1)... p n ( x) y f ( x).

С учетом обозначения y ( n ) p1 ( x) y ( n 1)... p n ( x) y L( x) можно записать:

При этом будем полагать, что коэффициенты и правая часть этого уравнения непрерывны на некотором интервале ( конечном или бесконечном).

Теорема. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y ( n ) p1 ( x) y ( n 1)... p n ( x) y f ( x) в некоторой области есть сумма любого дифференциального уравнения.

Доказательство. Пусть Y – некоторое решение неоднородного уравнения.

Тогда при подстановке этого решения в исходное уравнение получаем тождество:

Пусть y1, y 2,..., y n - фундаментальная система решений линейного однородного уравнения L( y ) 0. Тогда общее решение однородного уравнения можно записать в виде:

Далее покажем, что сумма Y C1 y1 C 2 y 2... C n y n является общим решением неоднородного уравнения.

Вообще говоря, решение Y может быть получено из общего решения, т.к. является частным решением.

Таким образом, в соответствии с доказанной теоремой, для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения необходимо найти общее решение соответствующего однородного уравнения и каким- то образом отыскать одно частное решение неоднородного уравнения. Обычно оно находится подбором.

На практике удобно применять метод вариации произвольных постоянных.

Для этого сначала находят общее решение соответствующего однородного уравнения в виде:

Затем, полагая коэффициенты Ci функциями от х, ищется решение неоднородного уравнения:

Можно доказать, что для нахождения функций Ci(x) надо решить систему уравнений:

Решаем линейное однородное уравнение y y 0.

Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

Составляем систему уравнений:

Решим эту систему:

Из соотношения A( x) 2 sin 2 x cos x x sin x найдем функцию А(х).

Теперь находим В(х).

Подставляем полученные значения в формулу общего решения неоднородного уравнения:

Окончательный ответ: y sin 2 x x C1 cos x C 2 sin x;

Таким образом, удалось избежать нахождения частного решения неоднородного уравнения методом подбора.

Вообще говоря, метод вариации произвольных постоянных пригоден для нахождения решений любого линейного неоднородного уравнения. Но т.к. нахождение фундаментальной системы решений соответствующего однородного уравнения может быть достаточно сложной задачей, этот метод в основном применяется для неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными Представляется возможным представить вид частного решения в зависимости от вида правой части неоднородного уравнения.

Различают следующие случаи:

I. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

где P ( x) A0 x m A1 x m 1... Am - многочлен степени m.

Тогда частное решение ищется в виде:

Здесь Q(x)- многочлен той же степени, что и P(x), но с неопределенными коэффициентами, а r – число, показывающее сколько раз число является корнем характеристического уравнения для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

Решим соответствующее однородное уравнение: y 4 y 0.

Теперь найдем частное решение исходного неоднородного уравнения.

Сопоставим правую часть уравнения с видом правой части, рассмотренным выше.

Частное решение ищем в виде: y x r e x Q(x), где r 1; 0; Q( x) Ax B.

Т.е. y Ax 2 Bx.

Теперь определим неизвестные коэффициенты А и В.

Подставим частное решение в общем виде в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.

Тогда общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:

II. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

Здесь Р1(х) и Р2(х) – многочлены степени m1 и m2 соответственно.

Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

где число r показывает сколько раз число i является корнем характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения, а Q1(x) и Q2(x) – многочлены степени не выше m, где m- большая из степеней m1 и m2.

Заметим, что если правая часть уравнения является комбинацией выражений рассмотренного выше вида, то решение находится как комбинация решений вспомогательных уравнений, каждое из которых имеет правую часть, соответствующую выражению, входящему в комбинацию.

Т.е. если уравнение имеет вид: L( y) f1 ( x) f 2 ( x), то частное решение этого уравнения будет y y1 y 2, где у1 и у2 – частные решения вспомогательных уравнений Для иллюстрации решим рассмотренный выше пример другим способом.

Правую часть дифференциального уравнения представим в виде суммы двух функций f1(x) + f2(x) = x + (-sinx).

1. Для функции f1(x) решение ищем в виде y1 x r e x Q( x).

Получаем: 0, r 0, Q( x) Ax B; Т.е. y1 Ax B;

2. Для функции f2(x) решение ищем в виде: y 2 x r e x (Q1 ( x) cos x Q2 ( x) sin x).

Анализируя функцию f2(x), получаем: P1 ( x) 0; P2 ( x) 1; 0; 2; r 0;

Т.е. искомое частное решение имеет вид: y y1 y 2 sin 2 x x;

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Рассмотрим примеры применения описанных методов.

Пример. Решить уравнение Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Составим характеристическое уравнение для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Общее решение однородного уравнения: Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Подставляя в исходное уравнение, получаем:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Частное решение имеет вид: Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Общее решение линейного неоднородного уравнения: Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Пример. Решить уравнение Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Характеристическое уравнение: Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Общее решение однородного уравнения: Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Частное решение неоднородного уравнения: Error! Objects cannot be created from editing field codes..

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Находим производные и подставляем их в исходное неоднородное уравнение:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Получаем общее решение неоднородного дифференциального уравнения:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Определение. Совокупность соотношений вида:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

где х- независимая переменная, у1, у2,…,уn – искомые функции, называется системой дифференциальных уравнений первого порядка.

Определение. Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от неизвестных функций называется нормальной системой дифференциальных уравнений.

Такая система имеет вид:

(1) Для примера можно сказать, что график решения системы двух дифференциальных уравнений представляет собой интегральную кривую в трехмерном пространстве.

Теорема. (Теорема Коши). Если в некоторой области (n-1) –мерного пространства функции Error! Objects cannot be created from editing field codes. Error!

Objects cannot be created from editing field codes. … Error! Objects cannot be created from editing field codes. непрерывны и имеют непрерывные частные производные по Error!

Objects cannot be created from editing field codes., то для любой точки Error! Objects cannot be created from editing field codes. этой области существует единственное решение Error! Objects cannot be created from editing field codes.

системы дифференциальных уравнений вида (1), определенное в некоторой окрестности точки х0 и удовлетворяющее начальным условиям Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Определение. Общим решением системы дифференциальных уравнений вида (1) будет совокупность функций Error! Objects cannot be created from editing field codes., Error! Objects cannot be created from editing field codes., … Error! Objects cannot be created from editing field codes., которые при подстановке в систему (1) обращают ее в тождество.

Нормальные системы линейных однородных дифференциальных При рассмотрении систем дифференциальных уравнений ограничимся случаем системы трех уравнений (n = 3). Все нижесказанное справедливо для систем произвольного порядка.

Определение. Нормальная система дифференциальных уравнений c постоянными коэффициентами называется линейной однородной, если ее можно записать в виде:

(2) Решения системы (2) обладают следующими свойствами:

1) Если y, z, u – решения системы, то Cy, Cz, Cu, где C = const – тоже являются решениями этой системы.

2) Если y1, z1, u1 и y2, z2, u2 – решения системы, то y1 + y2, z1 + z2, u1 + u2 – тоже являются решениями системы.

Решения системы ищутся в виде: Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Подставляя эти значения в систему (2) и перенеся все члены в одну сторону и сократив на ekx, получаем:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Для того, чтобы полученная система имела ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, т.е.:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

В результате вычисления определителя получаем уравнение третьей степени относительно k. Это уравнение называется характеристическим уравнением и имеет три корня k1, k2, k3. Каждому из этих корней соответствует ненулевое решение системы (2):

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Линейная комбинация этих решений с произвольными коэффициентами будет решением системы (2):

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Пример. Найти общее решение системы уравнений:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Составим характеристическое уравнение:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Решим систему уравнений:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Для k1: Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Полагая Error! Objects cannot be created from editing field codes.(принимается любое значение), получаем: Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Для k2: Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Полагая Error! Objects cannot be created from editing field codes.(принимается любое значение), получаем: Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Общее решение системы: Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Этот пример может быть решен другим способом:

Продифференцируем первое уравнение: Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Подставим в это выражение производную у =2x + 2y из второго уравнения.

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Подставим сюда у, выраженное из первого уравнения:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Обозначив Error! Objects cannot be created from editing field codes., получаем решение системы: Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Пример. Найти решение системы уравнений Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Эта система дифференциальных уравнений не относится к рассмотренному выше типу, т.к. не является однородным (в уравнение входит независимая переменная х).

Для решения продифференцируем первое уравнение по х. Получаем:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Заменяя значение z’ из второго уравнения получаем: Error! Objects cannot be created from editing field codes..

С учетом первого уравнения, получаем: Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Решаем полученное дифференциальное уравнение второго порядка.

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Общее решение однородного уравнения: Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Теперь находим частное решение неоднородного дифференциального уравнения по формуле Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Общее решение неоднородного уравнения:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Подставив полученное значение в первое уравнение системы, получаем:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Пример. Найти решение системы уравнений:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Составим характеристическое уравнение:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

1) k = -1.

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Если принять = 1, то решения в этом случае получаем:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

2) k2 = -2.

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Если принять = 1, то получаем:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

3) k3 = 3.

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Если принять = 3, то получаем:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Общее решение имеет вид:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Лекция №2. Качественная теория дифференциальных уравнений,.

Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений является одним из разделов качественной теории дифференциальных уравнений, которая посвящена не нахождению какого – либо решения уравнения, а изучению характера поведения этого решения при изменении начальных условий или аргумента.

Этот метод особенно важен, т.к. позволяет делать вывод о характере решения без непосредственного нахождения этого решения. Т.е. даже в тех случаях, когда решение дифференциального уравнения вообще не может быть найдено аналитически.

Пусть имеется некоторое явление, описанное системой дифференциальных уравнений:

(1) и начальные условия: Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Для конкретного явления начальные условия определяются опытным путем и поэтому неточны.

Теорема. (о непрерывной зависимости решения от начальных условий) Если правая часть дифференциального уравнения Error! Objects cannot be created from editing field codes.непрерывна и по переменной у имеет ограниченную частную производную Error! Objects cannot be created from editing field codes. на области прямоугольника, ограниченного Error! Objects cannot be created from editing field codes., то решение Error! Objects cannot be created from editing field codes., удовлетворяющее начальным условиям Error! Objects cannot be created from editing field codes., непрерывно зависит от начальных данных, т.е. для любого Error! Objects cannot be created from editing field codes., при котором если Error! Objects cannot be created from editing field codes. то Error! Objects cannot be created from editing field codes. при условии, что Error! Objects cannot be created from editing field codes. где Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Эта теорема справедлива как для одного дифференциального уравнения, так и для системы уравнений.

Определение. Если Error! Objects cannot be created from editing field codes. решение системы дифференциальных уравнений, то это решение называется устойчивым по Ляпунову, если для любого Error! Objects cannot be created from editing field codes., такое, что для любого решения Error! Objects cannot be created from editing field codes.

той же системы, начальные условия которого удовлетворяют неравенствам Error! Objects cannot be created from editing field codes.

справедливы неравенства Error! Objects cannot be created from editing field codes.

(Ляпунов Александр Михайлович (1857 – 1918) академик Петерб. АН) Т.е. можно сказать, что решение (t) устойчиво по Ляпунову, если близкие к нему по начальным условиям решения остаются близкими и при t t0.

Если Error! Objects cannot be created from editing field codes., то решение (t) называется асимптотически устойчивым.

Исследование на устойчивость по Ляпунову произвольного решения Error!

Objects cannot be created from editing field codes. системы Error! Objects cannot be created from editing field codes.можно свести к исследованию на устойчивость равного нулю решения некоторой другой системы, которая получена из данной заменой неизвестных функций:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Система (2) имеет тривиальное (равное нулю) решение Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Теорема. Решение Error! Objects cannot be created from editing field codes.

системы (1) устойчиво по Ляпунову тогда и только тогда, когда устойчиво по Ляпунову тривиальное решение системы (2).

Это тривиальное решение называется положением равновесия или точкой покоя.

Определение. Точка покоя Error! Objects cannot be created from editing field codes.системы (2) устойчива по Ляпунову, если для любого Error! Objects cannot be created from editing field codes. такое, что из неравенства Error! Objects cannot be created from editing field codes.

следует Error! Objects cannot be created from editing field codes..

Теорема. (Теорема Ляпунова). Пусть задана система Error! Objects cannot be created from editing field codes.

имеющая тривиальное решение Error! Objects cannot be created from editing field codes..

Пусть существует дифференцируемая функция Error! Objects cannot be created from editing field codes., удовлетворяющая условиям:

1) Error! Objects cannot be created from editing field codes.0 и v = 0 только при у1 = у2 = … = уn =0, т.е. функция v имеет минимум в начале координат.

2) Полная производная функции v вдоль фазовой траектории (т.е. вдоль решения yi(t) системы (1)) удовлетворяет условию:

Error! Objects cannot be created from editing field codes. при Error! Objects cannot be Тогда точка покоя Error! Objects cannot be created from editing field codes. устойчива по Ляпунову.

Если ввести дополнительное требование, чтобы вне сколь угодно малой окрестности начала координат Error! Objects cannot be created from editing field codes.

выполнялось условие Error! Objects cannot be created from editing field codes.

где - постоянная величина, то точка покоя Error! Objects cannot be created from editing field codes. асимптотически устойчива.

Функция v называется функцией Ляпунова.

Рассмотрим систему двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Характеристическое уравнение этой системы имеет вид:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Рассмотрим следующие возможные случаи:

1) Корни характеристического уравнения действительные, отрицательные и различные.

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Точка покоя Error! Objects cannot be created from editing field codes. будет устойчива.

Такая точка покоя называется устойчивым узлом.

2) Корни характеристического уравнения действительны и Error! Objects cannot be created from editing field codes. или Error! Objects cannot be В этом случае точка покоя также будет устойчива.

3) Хотя бы один из корней Error! Objects cannot be created from editing field codes.

положителен.

В этом случае точка покоя Error! Objects cannot be created from editing field codes.неустойчива, и такую точку называют неустойчивым седлом.

4) Оба корня характеристического уравнения положительны Error! Objects cannot be created from editing field codes..

В этом случае точка покоя Error! Objects cannot be created from editing field codes.неустойчива, и такую точку называют неустойчивым узлом.

Если полученного решения Error! Objects cannot be created from editing field codes.системы исключить параметр t, то полученная функция Error! Objects cannot be created from editing field codes. дает траекторию движения в системе координат XOY.

Возможны следующие случаи:

5) Корни характеристического уравнения комплексные Error! Objects cannot be created from editing field codes..

Если р = 0, т.е. корни чисто мнимые, то точка покоя (0, 0) устойчива по Ляпунову.

Такая точка покоя называется центром.

Если p< 0, то точка покоя устойчива и называется устойчивым фокусом.

Если p > 0, то точка покоя неустойчива и называется неустойчивым фокусом.

Лекция №7. Уравнения в частных производных.

Определение. Дифференциальным уравнением в частных производных называется уравнение относительно неизвестной функции нескольких переменных, ее аргументов и ее частных производных различных порядков.

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Порядком дифференциального уравнения в частных производных называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение. Решением уравнения будет некоторая функция Error! Objects cannot be created from editing field codes., которая обращает уравнение в тождество.

Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных Дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка от функции Error! Objects cannot be created from editing field codes. можно в общем виде записать как Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Линейное уравнение в частных производных имеет вид:

Error! Objects cannot be created from editing field codes., где Xi – некоторые заданные функции.

Очевидно, что одним из решений такого уравнения будет функция u = C.

Рассмотрим систему уравнений:

(2) или Error! Objects cannot be created from editing field codes.- такая система называется нормальной.

Общее решение этой системы имеет вид:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Если разрешить эти уравнения относительно постоянных С, получим:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Каждая из функций является интегралом системы (2).

Теорема. Если Error! Objects cannot be created from editing field codes. - интеграл системы (2), то функция Error! Objects cannot be created from editing field codes. решение уравнения (1).

Классификация основных типов уравнений математической 1) Волновое уравнение. (Уравнение колебаний струны, электроколебания, крутильные колебания вала и др.) Это простейшее уравнение гиперболического типа.

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

2) Уравнение теплопроводности. (Уравнение Фурье) Это простейшее уравнение параболического типа. Описывает процессы теплопроводности, фильтрации жидкости и газа, некоторые вопросы теории вероятностей.

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

3) Уравнение Лапласа. Это простейшее уравнение эллиптического типа. Описывает магнитные и электрические поля, гидродинамику, диффузию и др.

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

В этих уравнениях функция u зависит от двух переменных, однако, задача может быть расширена для случая трех переменных:

1) Волновое уравнение: Error! Objects cannot be created from editing field codes.

2) Уравнение теплопроводности: Error! Objects cannot be created from editing field codes.

3) Уравнение Лапласа: Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Рассмотрим подробнее каждое из этих уравнений.

Определение. В математической физике струной называется тонкая нить, в которой возможно возникновение напряжений только в продольном, но не в поперечном направлении.

Пусть концы натянутой струны закреплены в точках х = а и x = b, возникающие в ней напряжения обозначим Т. Будем также считать, что плотность струны постоянна на всем ее протяжении.

Допустим, что в момент t0 = 0 струна выведена из состояния равновесия и совершает малые колебания.

Отклонение струны в каждой точке с координатой х в момент времени t обозначим как Error! Objects cannot be created from editing field codes.

На произвольный элемент длины нити (х, х + х) действуют две силы натяжения Error! Objects cannot be created from editing field codes. и Error! Objects cannot be created from editing field codes.. При этом:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Если считать колебания малыми, то можно принять:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Тогда проекция силы Error! Objects cannot be created from editing field codes.на ось u:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Проекция силы Error! Objects cannot be created from editing field codes. на ось u:

Находим сумму этих проекций:

Выражение, стоящее в правой части равенства получено в результате применения теоремы Лагранжа ( см. Теорема Лагранжа ) к выражению, стоящему слева.

Произведение массы на ускорение рассматриваемого элемента струны равно:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

где - плотность струны.

Приравнивая полученное выражение к значению проекции силы, получим:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Или Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Для полного определения движения струны полученного уравнения недостаточно.

Функция u(x, t) должна еще удовлетворять граничным условиям, описывающим состояние струны на концах (в точках x = a и x = b) и начальным условиям, описывающим состояние струны в момент времени t = 0.

Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями.

Таким образом, задача Коши состоит в нахождении решения линейного дифференциального уравнения с частными производными второго порядка при начальных условиях Error! Objects cannot be created from editing field codes.

и краевых условиях Error! Objects cannot be created from editing field codes..

Начальные условия показывают, в каком положении находится струна в начальный момент времени и скорость каждой ее точки в начальный момент времени.

Функции f(x) и F(x) заданы.

Краевые условия показывают, что концы струны закреплены в точках a = 0, b = l Лекция №8. Основные методы решения уравнений в частных производных Решение задачи Коши методом разделения переменных.

Решение уравнения Error! Objects cannot be created from editing field codes.

будем искать в виде Error! Objects cannot be created from editing field codes. при граничных условиях:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Тогда X(0) = X(l) = 0.

Подставим решение в исходное уравнение:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Можно показать, что функции Х и Т имеют вид:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Все решения исходного дифференциального уравнения, удовлетворяющие граничным условиям, можно записать в виде:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Окончательно решение уравнения колебаний струны можно записать в виде:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

где Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

( Жан Лерон Д’Ламбер (1717 – 1783) – французский математик) В случае если длина струны очень велика, то на колебания, возникающие в середине струны, концы струны влияния практически не оказывают. Поэтому, рассматривая колебания бесконечной струны, уравнение Error! Objects cannot be created from editing field codes.

решается только при начальных условиях:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Для нахождения решения введем новые переменные:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Тогда исходное уравнение принимает вид:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Решением этого уравнения будет функция Error! Objects cannot be created from editing field codes., где и - некоторые функции, которые будем считать дважды дифференцируемыми.

Получаем: Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Если продифференцировать полученный ответ, получим:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Т.е. Error! Objects cannot be created from editing field codes..

Далее с использованием начальных условий находим функции и.

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Проинтегрировав последнее равенство на отрезке [0, x], получаем:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Тогда:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Решение задачи Коши получаем в виде:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Эта формула называется формулой Даламбера.

Температуру физического тела в произвольной точке с координатами (x, y, z) в момент времени t можно представить в виде функции:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Составим дифференциальное уравнение:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Выражение Error! Objects cannot be created from editing field codes. называется оператором Лапласа.

Тогда составленное нами дифференциальное уравнение принимает вид:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

и называется уравнением теплопроводности в пространстве.

В качестве частных случаев рассматривают:

Error! Objects cannot be created from editing field codes. - уравнение теплопроводности в стержне, Error! Objects cannot be created from editing field codes. - уравнение теплопроводности на плоскости.

В случае рассмотрения уравнения теплопроводности в стержне искомая функция u(x, t) должна удовлетворять записанному выше дифференциальному уравнению, начальному условию Error! Objects cannot be created from editing field codes. Error!

Objects cannot be created from editing field codes.и граничным условиям Error! Objects cannot be created from editing field codes..

В результате решения дифференциального уравнения методом Фурье получим:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Отметим, что распространение тепла в теле называется стационарным, если функция u не зависит от времени t.

Определение. Функция Error! Objects cannot be created from editing field codes.называется гармонической на области, если она имеет непрерывные частные производные второго порядка на области и удовлетворяет условию Error! Objects cannot be created from editing field codes., где - оператор Лапласа.

Уравнение Error! Objects cannot be created from editing field codes. называется уравнением Лапласа.

Если на некоторой границе Г тела поддерживать постоянную температуру Error!

Objects cannot be created from editing field codes., где f – заданная функция, то внутри тела установится единственная постоянная температура. С физической точки зрения это утверждение очевидно, однако, данный факт может быть доказан математически.

Математическое доказательство этого факта называется задачей Дирихле.

(Петер Густав Дирихле (1805 – 1859) – немецкий математик) Пусть в плоскости XOY имеется круг радиуса R с центром в начале координат и на его окружности задана функция f(), где - полярный угол.

Требуется найти функцию Error! Objects cannot be created from editing field codes., которая удовлетворяет уравнению Лапласа Error! Objects cannot be created from editing field codes.

и при Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Запишем уравнение Лапласа в полярных координатах:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Полагаем Error! Objects cannot be created from editing field codes. Подставляя это соотношение в уравнение Лапласа, получаем:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Таким образом, имеем два уравнения:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Общее решение первого уравнения имеет вид: Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Решение второго уравнения ищем в виде: Error! Objects cannot be created from editing field codes.. При подстановке получим:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Общее решение второго уравнения имеет вид: Error! Objects cannot be created from editing field codes..

Подставляя полученные решения в уравнение Error! Objects cannot be created from editing field codes., получим:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Эта функция будет решением уравнения Лапласа при любом k 0.

Если k = 0, то Error! Objects cannot be created from editing field codes.

следовательно Error! Objects cannot be created from editing field codes..

Решение должно быть периодическим, т.к. одно и то же значение будет повторяться через 2. (Тогда рассматривается одна и та же точка круга.) Поэтому В0 = 0.

Решение должно быть конечным и непрерывным, поэтому D0 = 0.

Окончательно получаем: Error! Objects cannot be created from editing field codes.

При этом: Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Если подставить эти коэффициенты в полученную выше формулу и произвести упрощение, получаем окончательный результат решения задачи Дирихле, который называется интегралом Пуассона.

(Симеон Дени Пуассон (1781 – 1840) – французский математик) Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности Error!

Objects cannot be created from editing field codes. называется числовым рядом.

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

При этом числа Error! Objects cannot be created from editing field codes. будем называть членами ряда, а un – общим членом ряда.

Определение. Суммы Error! Objects cannot be created from editing field codes., n = 1, 2, … называются частными (частичными) суммами ряда.

Таким образом, возможно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S1, S2, …,Sn, … Определение. Ряд Error! Objects cannot be created from editing field codes.

называется сходящимся, если сходится последовательность его частных сумм. Сумма сходящегося ряда – предел последовательности его частных сумм.

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы.

1) Сходимость или расходимость ряда не нарушится если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда.

2) Рассмотрим два ряда Error! Objects cannot be created from editing field codes. и Error! Objects cannot be created from editing field codes., где С – постоянное число.

Теорема. Если ряд Error! Objects cannot be created from editing field codes.сходится и его сумма равна S, то ряд Error! Objects cannot be created from editing field codes.тоже сходится, и его сумма равна СS. (C 0) 3) Рассмотрим два ряда Error! Objects cannot be created from editing field codes.и Error! Objects cannot be created from editing field codes.. Суммой или разностью этих рядов будет называться ряд Error! Objects cannot be created from editing field codes., где элементы получены в результате сложения (вычитания) исходных элементов с одинаковыми номерами.

Теорема. Если ряды Error! Objects cannot be created from editing field codes.и Error! Objects cannot be created from editing field codes.сходятся и их суммы равны соответственно S и, то ряд Error! Objects cannot be created from editing field codes.

тоже сходится и его сумма равна S +.

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом.

Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом.

О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.

При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда.

(необходимые и достаточные условия сходимости ряда) Для того, чтобы последовательность Error! Objects cannot be created from editing field codes.была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого Error! Objects cannot be created from editing field codes. существовал такой номер N, что при n > N и любом p > 0, где р – целое число, выполнялось бы неравенство:

Error! Objects cannot be created from editing field codes..

Доказательство. (необходимость) Пусть Error! Objects cannot be created from editing field codes., тогда для любого числа Error! Objects cannot be created from editing field codes.найдется номер N такой, что неравенство Error! Objects cannot be created from editing field codes. выполняется при n>N. При n>N и любом целом p>0 выполняется также неравенство Error! Objects cannot be created from editing field codes.. Учитывая оба неравенства, получаем:

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Необходимость доказана. Доказательство достаточности рассматривать не будем.

Сформулируем критерий Коши для ряда.

Для того, чтобы ряд Error! Objects cannot be created from editing field codes.был сходящимся необходимо и достаточно, чтобы для любого Error! Objects cannot be created from editing field codes. существовал номер N такой, что при n>N и любом p> выполнялось бы неравенство Error! Objects cannot be created from editing field codes..

Однако, на практике использовать непосредственно критерий Коши не очень удобно. Поэтому как правило используются более простые признаки сходимости:

1) Если ряд Error! Objects cannot be created from editing field codes.сходится, то необходимо, чтобы общий член un стремился к нулю. Однако, это условие не является достаточным. Можно говорить только о том, что если общий член не стремится к нулю, то ряд точно расходится. Например, так называемый гармонический ряд Error! Objects cannot be created from editing field codes. является расходящимся, хотя его общий член и стремится к нулю.

Пример. Исследовать сходимость ряда Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Найдем Error! Objects cannot be created from editing field codes. - необходимый признак сходимости не выполняется, значит ряд расходится.

2) Если ряд сходится, то последовательность его частных сумм ограничена.

Однако, этот признак также не является достаточным.