УТВЕРЖДАЮ

Ректор СамГТУ, профессор

Калашников В.В.

_

«» _ 2002 г.

ПРОГРАММА

вступительного экзамена в аспирантуру СамГТУ по специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

(физико-математические науки) Алгебра и аналитическая геометрия 1. Определители и их свойства.

2. Матрицы, действия над ними, ранг матрицы, его вычисление, обратная матрица.

3. Решение систем линейных уравнений (СЛУ): методов Гаусса, обратной матрицы;

формулы Крамера, однородные и неоднородные СЛУ, теорема Кронекера-Капелли.

4. Векторная алгебра: скалярное, векторное, смешанное, двойное векторное произведения и их свойства.

5. Комплексные числа и действия над ними, формулы Эйлера.

6. Прямая на плоскости и в пространстве, плоскость в R 3 и их взаимное расположение.

7. Канонические уравнения кривых второго порядка и их графики: эллипс, гипербола, парабола.

8. Канонические уравнения поверхностей второго порядка в R 3.

9. Линейные пространства, евклидовы пространства, скалярное произведение.

10. Линейные операторы, действия над операторами. Обратный, сопряженный, самосопряженный операторы. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.

11. Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду.

12. Общая теория кривых и поверхностей второго порядка и их приведение к каноническому виду.

Математический анализ 1. Элементы теории множеств. Отображения.

2. Предел переменной величины (последовательности при n, функции при x x0 ). Свойства пределов.

3. Признак Коши существования предела.

4. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

5. Замечательные пределы.

6. Непрерывность отображения. Равномерная непрерывность функций.

7. Производная функции одного переменного. Дифференцируемость функции.

8. Основные теоремы дифференциального исчисления (Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши). Правило Лопиталя.

9. Производные высших порядков. Формула Тейлора. Разложения для основных функций 10. Первообразная и неопределенный интеграл. Методы интегрирования.

11. Определенный интеграл по Риману, по Лебегу. Несобственные интегралы.

12. Функция ограниченной вариации. Интеграл Стилтьеса.

13. Функции нескольких переменных. Экстремум функции нескольких переменных.

Доказательство необходимого и достаточного условий экстремума.

14. Градиент, производная по направлению функции многих переменных. Условный экстремум.

15. Интеграл по мере множества. Двойной, тройной интегралы.

16. Замена переменных в кратном интеграле.

17. Векторные поля. Криволинейные и поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода.

18. Формулы Остроградского-Гаусса, Стокса. Потенциальные и соленоидальные поля.

19. Положительные числовые ряды. Признаки сходимости.

20. Знакочередующиеся числовые ряды. Абсолютная сходимость.

21. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признаки равномерной сходимости функционального ряда. Степенные ряды.

22. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость по параметру. Признаки Вейерштрасса, Дини.

23. Ортогональные системы функций. Ряды Фурье. Уравнения замкнутости. Формула Парсеваля.

Обыкновенные дифференциальные уравнения 1. Понятие обыкновенных ДУ. Решение (интеграл) ДУ, частное решение, интегральная кривая. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши.

2. Интегрируемые типы ДУ 1-го порядка, разрешенные относительно производной (с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли, в полных дифференциалах). Понятие интегрального множителя.

3. Понятие особой точки ДУ. Типы особой точки.

4. Интегрируемые типы ДУ, не разрешенных относительно производной (уравнения Лагранжа и Клеро). Понятие особого решения.

5. ДУ высших порядков, допускающих понижение порядка. Основные способы понижения порядка.

6. Линейный дифференциальный оператор. Линейные ДУ. Структура общего решения линейного однородного ДУ. Линейно независимые решения, фундаментальная система решений ДУ. Структура общего решения линейного неоднородного ДУ.

7. Линейные ДУ с переменными коэффициентами (уравнения Эйлера, Лагранжа, Чебышева, Бесселя) и способы их интегрирования.

8. Нормальная форма системы ДУ 1-го порядка по Коши. Сведение системы ДУ к одному ДУ более высокого порядка. Понятие I интеграла системы ДУ.

9. Локальная устойчивость решения ДУ и устойчивость решений системы ДУ.

Асимптотическая устойчивость.

Теория вероятностей и математическая статистика 1. Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли. Асимптотика Пуассона для формулы Бернулли.

2. Непрерывная случайная величина. Функция распределения случайной величины и ее свойства. Плотность вероятности случайной величины и ее свойства 3. Характеристики положения случайной величины: математическое ожидание и его свойства, мода, медиана.

4. Характеристики разброса случайной величины: дисперсия и ее свойства, среднее квадратичное отклонение.

5. Совместное распределение вероятностей двух случайных величин. Условные функции распределения.

6. Закон распределения функции одного случайного аргумента, периодической функции, функции, не имеющей обратной.

7. Эмпирическая функция распределения, гистограмма распределения.

8. Статистические критерии Пирсона и Колмогорова о соответствии эмпирического и теоретического распределений.

9. Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность, несмещенность и эффективность оценок. Оценивание при помощи доверительного интервала.

10. Числовые характеристики случайного процесса. Свойства корреляционной функции. Взаимная корреляционная функция и ее свойства.

11. Спектральная теория стационарных случайных процессов. Свойства спектральной плотности. Взаимная спектральная плотность.

12. Основные законы распределения случайной величины: нормальный, показательный, гамма-распределение.

Теория функций комплексного переменного 1. Комплексные числа. Геометрическая интерпретация. Тригонометрическая, показательная, алгебраическая формы комплексного числа. Операции с комплексными числами.

2. Функция комплексного переменного. Аналитическая функция, условия КошиРимана.

3. Геометрический смысл аргумента и модуля производной аналитической функции.

Понятие конформного отображения. Примеры конформных отображений.

4. Интеграл от функции комплексного переменного. Интегральные теоремы Коши.

Интегральная формула Коши.

5. Изолированные особые точки. Разложение функции комплексного переменного в ряд Лорана в окрестности особой точки. Типы особых точек. Понятие вычета функции комплексного переменного относительно особой точки. Приложение теории вычетов к вычислению интегралов.

6. Функция-оригинал. Преобразование по Лапласу. Решение дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа.

7. Свертка функций. Интегральные уравнения типа свертки.

1. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. Численные методы как раздел современной математики. Роль компьютерно-ориентированных численных методов в исследовании сложных математических моделей.

2. Приближенные числа. Абсолютная и относительная погрешности. Округление чисел. Погрешность суммы, разности, произведения и частного. Погрешность функции одной или нескольких переменных.

3. Решение алгебраических уравнений третьего и четвертого порядка. Формулы Кардано. Теорема Абеля.

4. Отделение корней уравнения. Оценка модулей корней алгебраического уравнения.

5. Метод бисекций. Метод Ньютона. Метод хорд. Комбинированный метод хорд и касательных. Метод простых итераций. Сходимость методов. Оценки погрешности.

6. Основные задачи линейной алгебры. Классификация методов линейной алгебры.

Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса. Количество арифметических операций в методе Гаусса. Вычисление определителей и обращение матриц методом Гаусса. Метод квадратного корня.

7. Норма и обусловленность матрицы. Устойчивость решения систем линейных уравнений. Оценка погрешности решения систем линейных уравнений.

8. Итерационные методы решения систем линейных уравнений, Метод простой итерации. Сходимость метода и оценка погрешности. Метод Зейделя.

9. Интерполирование алгебраическими многочленами. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Погрешность интерполяционной формулы. Схема Эйткена. Обратное интерполирование.

10. Конечные разности. Интерполяционные формулы Ньютона.

11. Среднеквадратичные приближения. Определитель Грамма. Многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения.

12. Среднеквадратичные приближения алгебраическими многочленами. Метод наименьших квадратов. Многочлены Лежандра.

13. Среднеквадратичные приближения тригонометрическими многочленами.

14. Равномерное приближение функций. Многочлены Чебышева. Выбор узлов, минимизирующих оценку погрешности интерполяции.

15. Сплайн-интерполирование. Аппроксимация кубическими сплайнами. Способы задания наклонов интерполяционного сплайна.

16. Интерполяционные квадратурные формулы. Формулы прямоугольников, трапеции и Симпсона. Погрешности формул численного интегрирования.

17. Правило Рунге оценки погрешности. Уточнение приближенного решения по Ричардсону. Применение правила Рунге к квадратурным формулам.

18. Квадратурная формула Гаусса. Приближенное интегрирование с помощью рядов.

Вычисление несобственных интегралов.

19. Формулы численного интегрирования для кратных интегралов. Метод МонтеКарло и его применение к вычислению интегралов.

20. Одношаговые и многошаговые методы решения задачи Коши. Устойчивость, сходимость и точность. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов Тейлора. Метод последовательных приближений.

21. Метод Эйлера. Сходимость и точность метода Эйлера. Метод Рунге-Кутта. Погрешность метода Рунге-Кутта. Применение правила Рунге.

22. Методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Разностный метод. Основные понятия теории разностных схем.

Аппроксимация, устойчивость, сходимость. Метод прогонки решения алгебраической системы уравнений.

23. Методы минимизации невязок. Интегральный и дискретный методы наименьших квадратов. Метод Галеркина.

24. Постановка задачи линейной оптимизации. Целевая функция. Графический способ решения задачи линейного программирования. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования.

25. Понятие о нелинейной оптимизации. Методы одномерной минимизации. Метод золотого сечения.

26. Многомерные задачи оптимизации. Метод покоординатного спуска. Градиентный метод и метод наискорейшего спуска.

1. Основные вариационные принципы теории упругости.

2. Основные этапы исследования поведения деформируемых тел, математическое моделирование процесса деформирования, основные уравнения линейной теории упругости, постановка краевых задач.

3. Основные понятия вариационного исчисления: функционал, типы функционалов, вариация и ее свойства, приращение и вариация функционала, максимумы и минимумы функционалов.

4. Замена краевой задачи вариационной проблемой: уравнение равновесия нити, функционал и уравнение Эйлера.

5. Вариационные методы. Метод Ритца. Обобщенный метод Бубнова-Галеркина для решения УМФ. Метод Треффца. Метод Лейбентона. Применение принципа возможных изменений для решения задачи теории упругости. Модифицированные методы Ритца и Бубнова-Галеркина. Модифицированный принцип возможных изменений напряженного состояния и его применение для решения задач теории упругости.

6. Одномерные задачи механики деформируемого твердого тела. Сведение ДУ n-го порядка к нормальной системе. Вывод основных уравнений краевых одномерных задач. Матричная форма записи основных уравнений краевых одномерных задач.

Метод начальных параметров. Погрешность, достоверность и устойчивость численных расчетов.

7. Сеточные методы. Метод коллокаций. Метод наименьших квадратов. Аппроксимация производных для числовой функции одной или нескольких переменных. Построение конечно-разностных уравнений для балки, лежащей на упругом основании. Аппроксимация граничных условий для одномерных задач изгиба балки. Решение методом сеток задачи о кручении призматического стержня и прогиба прямоугольной пластины. Аппроксимация граничных условий на криволинейном контуре двухмерной области.

8. Общая теория метода сеток для задач УМФ. Обыкновенные ДУ. Основные понятия теории разностных схем. Погрешности замены первой и второй производных через конечные разности. Разностные схемы для обыкновенного ДУ. Аппроксимация, устойчивость, сходимость. Устойчивость по правой части.

9. Разностные схемы для уравнений с частными производными. Линейные уравнения с частными производными первого порядка: сетки и нормы, разностная схема, шаблон, аппроксимация, вычислительный алгоритм, устойчивость, исследование устойчивости методом возмущений, примеры разностных схем неустойчивых при любом отношении шагов. Смешанная задача для уравнения теплопроводности: постановка задачи, разностная схема, шаблоны, аппроксимация, вычислительный алгоритм, устойчивость и сходимость. Волновое уравнение: разностная схема, понятие о методе прямых. Задача Дирихле для уравнения Пуассона: разностная схема для случая прямоугольной и произвольной форм области, аппроксимация граничных условий.

10. Понятие о методе конечных элементов. Основные типы КЭ, матрица жесткости для одного конечного элемента и системы конечных элементов. Выражение напряженно деформируемого состояния через перемещение узлов конечного элемента. Основные соотношения для треугольных конечных элементов в плоской задаче теории упругости: линейная аппроксимация. Повышение порядка аппроксимации.

Трехмерная задача: основные соотношения для тетраэдра. Вывод основных уравнений МКЭ в варианте метода перемещений.

1. Постановка задачи линейного программирования. Прямой симплекс-метод.

Алгебра прямого симплекс-метода.

2. Двойственная задача линейного программирования. Двойственный симплексметод. Экономическая интерпретация исходной и двойственной задач. Анализ устойчивости двойственных оценок.

3. Транспортная задача. Построение опорного плана. Метод потенциалов.

4. Целочисленное программирование. Метод Гомори. Метод ветвей и границ.

5. Обобщение метода множителей Лагранжа. Условия Куна-Таккера.

6. Задача выпуклого программирования. Теорема Куна-Таккера.

7. Градиентные методы. Метод допустимых направлений.

8. Динамическое программирование. Признак оптимальности. Вывод рекуррентного соотношения Беллмана. Анализ чувствительности решений задач динамического программирования.

1. Классификация ДУ с двумя переменными. Характеристические кривые и характеристические уравнения.

2. Решение волнового уравнения методом характеристик.

3. Метод разделения переменных (метод Фурье) для уравнений свободных колебаний струны.

4. Постановка краевых задач для одномерного уравнения теплопроводности. Теорема о максимуме и минимуме для уравнения параболического типа.

5. Метод Фурье для решения задачи об охлаждении стержня через его границу.

6. Уравнения Лапласа и Пуассона, постановка краевых задач. Метод Фурье для решения краевых задач эллиптического типа.

1. Общая постановка и классификация задач оптимизации.

2. Общая постановка и формулировка задачи оптимального управления.

3. Формулировка и техника применения принципа максимума Понтрягина в задачах оптимального управления динамическими системами.

4. Доказательство принципа максимума Понтрягина в задачах оптимального управления со свободным правым концом траектории.

5. Доказательство принципа максимума Понтрягина в задачах оптимального управления с подвижным правым концом траектории.

Понятие алгоритма и его свойства.

Средства записи алгоритмов. Пример.

Основные алгоритмические конструкции (следование, ветвление, выбор, цикл).

Структура и принципы организации ЭВМ.

Структура данных (массивы, записи, объединения).

Способы организации данных (линейные, списки, стеки, деревья).

Алгоритмы сортировки.

Алгоритмы поиска.

Языки программирования и методы трансляции 1. Краткая характеристика языка Паскаль.

2. Краткая характеристика языка Си (Си++).

3. Принципы объектно-ориентированного программирования (инкапсуляция, наследование, полиморфизм).

4. Типы трансляторов (компиляторы и интерпретаторы). Основные фазы компиляции.

Текстовый процессор Word и его возможности для работы с текстом.

Электронные таблицы Excel и их возможности.

Реализация деловой и иллюстративной графики на ПК.

Пакет прикладных программ для научных и инженерных расчетов MathCAD и его возможности.

5. Особенности методов искусственного интеллекта и их реализация на ПК.

6. Основные функции операционной системы. ПК и их реализация в MS-DOS.

7. Организация оперативной памяти ПК.

8. Организация и работа внешней памяти ПК.

9. Файловая система и ее организация операционной системы MS-DOS.

10. Работа ЭВМ в мультипрограммном режиме.

Таблицы в Access и работа над ними.

Функциональное назначение запросов и работа с ними в Access.

Функциональное назначение форм и работа с ними в Access.

Отчеты в Access и работа с ними.

Функциональное назначение макросов и работа с ними в Access.

Метод логического программирования.

Схема исчисления логический предикатов на языке ПРОЛОГ.

Особенности программирования на языке ПРОЛОГ.

Механизмы поиска цели при прямой и обратной цепочках рассуждений в продукционных экспертных системах.

10. Методы анализа текста при общении с компьютером на естественном языке.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М.: Наука. 1981.

2. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Наука. 1984.

3. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М: Наука.

4. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука. 1967.

5. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Основы математического анализа. Учебник в 2 частях.

М.: Наука. 1982.

6. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Учебн.: в 2 томах. М.: Наука. 1981.

7. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Н. Математический анализ. Учебн.: в частях. М.: Изд-во Моск. Ун-та. 1985-1987.

8. Никольский С.М. Курс математического анализа. Учебн.: В 2 частях. М.: Наука.

9. Понтрягин Л.С. Обыкновенная дифференциальные уравнения. М.: Наука. 1979.

10. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.:

11. Петровский И.Ю. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

М.: Наука. 1970. 280 с.

12. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. М.:

Наука. 1982. 255 с.

13. Каимов Г.П. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Изд-во МГУ.

1983. 328 с.

14. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. М.: Высшая школа.

1992. 304 с.

15. Лаврентьев М.А. Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.

М.: Наука. 1979. 736 с.

16. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. М.:

Наука. 1979. 319 с.

17. Бахвалов Н.С,, Жидков Н.П.,, Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука.

1987.598 с.

18. Калиткин Н.Н. Численные методы. Учебн. пособие. М.: Наука. 1978.512 с.

19. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. Наука. 1989. 608 с.

20. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука. 1989. 616 с.

21. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. Н.: Наука. 1988.

22. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука. 1986. 285 с.

23. Сухарев А.Г., Тихонов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. М.: Наука 24. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука.

25. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. М.: Наука 1982. 336 с.

26. Кошляков Н.С. и др. Уравнения в частных производных математической физики.

М.: Высш. школа. 1970. 710 с.

27. Понтрягин Л.С. и др. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука.

1983.392 с.

28. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. М.: Физматгиз. 1960.

29. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Наука. 1979.

30. Хоггер К. Введение в логическое программирование. М.: Мир. 1988.

31. Котов В.Е., Сабельфельд В.К. Теория схем программ. М.: Наука. 32. Кауфман В.Ш. Языки программирования. Концепция и принципы М.: Радио и 33. Буч Г. Объектно-ориентированное проектирование с примерами. М.: Мир. 1993.

34. Ахо А., Ульман Д. Теория синтаксического анализа, перевода и компиляций М.:

35. Бек Л. Введение в системное программирование. М.: Мир. 1988.

36. Фигурнов В.Э. IBM PC для пользователя. М.: Финансы и статистика. Юнити. 1995.

37. Дейт К. Введение в системы баз данных. М.: Наука. 1980.

38. Лорьер Ж.-Л. Системы искусственного интеллекта. М.: Мир. 1991.

39. Добронравов В.В., Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. М.: Наука. 1983.

40. Тарг С.М. Кратчайший курс теоретической механики. М.: Высшая школа. 1963.

41. Мак-Коннел А.Дж, Введение в тензорный анализ. М.: Физматгиз. 1963.

42. Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. М.: Мир. 1974.

43. Седов Л.И. Механика сплошной среды.Т.2. М.: Наука.1970.

44. Работнов Ю.Р., Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука. 1979.

45. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука. 1975.

46. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука. 1966. 752 с.

47. Самарин Ю.П. Уравнения состояния материалов со сложными реологическими свойствами. Куйбышев: Куйбышевский госуниверситет. 1979. 84 с.

48. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение. 1976.

49. Бленд Д. Теория линейной вязкоупругости. М.: Мир. 1965.

Программа составлена доктором физико-математических наук, профессором РАДЧЕНКО В.П.

Утверждена на заседании кафедры «Прикладная математика и информатика»

13 июня 2002 г.

Утверждена на заседании Ученого совета экономического факультета СамГТУ 30 июня 2002 г.