Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Новосибирский государственный университет» (НГУ)

Факультет информационных технологий

Кафедра Математики

ПРОГРАММА

ДИСЦИПЛИНЫ: ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА И

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

ЦИКЛ ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫЕ ДИСЦИПЛИНЫ

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ 230105.65 «ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ И АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМ»

Автор _к.т.н. Людвина Н.А._ Новосибирск Программа дисциплины «Теория вероятностей, математическая статистика_и случайные процессы» составлена в соответствии с требованиями к обязательному минимуму содержания и уровню подготовки дипломированного специалиста по циклу «Естественнонаучных дисциплин» Федеральных государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования по специальности 230105. «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем».

1. Цели и задачи дисциплины (курса) Дисциплина (курс) Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы имеет своей целью:

обучение студентов построению и анализу математических моделей случайных явлений.

Для достижения поставленной цели выделяются задачи курса:

ознакомить студентов с основными понятиями и методами теории вероятностей, математической статистики и случайных процессов, заложить понимание формальных основ дисциплины, привить навыки интерпретации теоретиковероятностных конструкций, познакомить со статистическим инструментарием, предназначенным для обработки и анализа статистических данных.

2. Требования к уровню освоения содержания дисциплины В результате освоения дисциплины студент должен:

Иметь представление об основных положениях и методах современной математической теории вероятностей, о приложениях теории вероятностей в прикладной статистике;

Знать математический аппарат современной теории вероятностей, математической статистики и случайных процессов;

Уметь строить вероятностные модели случайных явлений, решать стандартные теоретиковероятностные задачи, использовать статистические методы для обработки и анализа эмпирических данных.

3. Объем дисциплины и виды учебной работы Вид учебной работы Всего часов Семестры 3 Общая трудоемкость дисциплины 100 Аудиторные занятия, в том числе: 64 Лекции 32 Семинары 32 Лабораторные работы Самостоятельная работа, в том числе: 36 Курсовой проект Реферат Расчетные работы 36 Другие виды самостоятельной работы Вид промежуточного контроля экзамен Общая трудоемкость дисциплины составляет зачетных единиц (если применяется на факультете/кафедре).

4. Содержание дисциплины 4.1. Данная дисциплина связана с предшествующими ей дисциплинами “Высшая математика”, “Дискретная математика”, «Математический анализ». Дисциплина относится к блоку естественнонаучных дисциплин, обеспечивающих математическую подготовку студентов.

4.2. Тематический план курса (распределение часов по видам учебной работы).

№ Наименование ВСЕГО Аудиторные занятия Самостоятел п/п тем и разделов (часов) (часов), в том числе ьная работа (часов) Лекции Семинары Лаб.

работы 1. Основные понятия 8 4 4 теории вероятностей 2. Основные теоремы 8 4 4 теории вероятностей 3. Случайные величины, 10 5 5 способы их задания и числовые характеристики распределения случайных величин центральная предельная теорема математической статистики ка параметров распределения ческих гипотез ного и регрессионного 4.3. Содержание разделов и тем курса.

1. Основные понятия теории вероятностей Предмет теории вероятностей. Различные подходы к определению вероятности.

Примеры вероятностных задач.

Опыт с конечным числом равновероятных исходов. Классическое определение вероятности. Элементы комбинаторики в теории вероятностей. Геометрическая вероятность. Основные свойства вероятности.

Теоретико-множественное описание операций над событиями. Алгебры и сигмаалгебры событий. Вероятностное пространство. Аксиоматика Колмогорова.

Частота, или статистическая вероятность, события. Статистическая устойчивость.

2. Основные теоремы теории вероятностей Теорема сложения и следствия из нее. Условная вероятность. Независимость событий. Попарная независимость и независимость в совокупности. Теорема умножения и следствия из нее.

Система гипотез. Формула полной вероятности и теорема Байеса. Принятие решений: байесовский подход.

Cxeма Бернулли. Биномиальные вероятности. Пуассоновское приближение.

Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

3. Случайные величины, способы их задания и числовые характеристики Случайная величина. Примеры случайных величин. Виды случайных величин (конечные, дискретные, непрерывные). Ряд распределения, многоугольник распределения.

Функция распределения как универсальная характеристика случайной величины и ее свойства. Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал.

Плотность распределения непрерывной случайной величины и ее свойства. Эффект нулевой вероятности.

Характеристики положения: математическое ожидание, мода, медиана.

Моменты: дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

Свойства математического ожидания и дисперсии.

4. Основные законы распределения случайных величин Основные распределения дискретных случайных величин и их параметры:

биномиальное распределение, распределение Бернулли, Пуассона, геометрическое и гипергеометрическое распределение.

Основные распределения непрерывных случайных величин и их параметры:

равномерное, нормальное, экспоненциальное. Функции от случайных величин.

Вычисление математического ожидания функции от случайных величин.

5. Системы случайных величин Понятие о системе случайных величин. Система двух случайных величин.

Закон распределения, функция распределения, условные законы распределения.

Числовые характеристики системы двух случайных величин. Регрессия и корреляция. Коэффициент корреляции и его свойства. Линейная средняя квадратическая регрессия.

6. Закон больших чисел, центральная предельная теорема Устойчивость средних и закон больших чисел.

Неравенство Чебышева. Основные предельные теоремы. Теорема Пуассона, теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Как следствие интегральная теорема Муавра-Лапласа.

7. Основные понятия математической статистики Генеральная совокупность, выборка из нее. Основные способы организации выборки. Вариационный ряд, статистическое распределение выборки и его числовые характеристики. Эмпирическая функция распределения, гистограмма, полигон частот.

8. Статистическая оценка параметров распределения Задача оценки неизвестных параметров теоретической функции распределения.

Свойства оценок: несмещенность, состоятельность и эффективность. Методы получения оценок: моментов, максимального правдоподобия, наименьших квадратов. Состоятельные и несмещенные оценки для математического ожидания и дисперсии.

Распределения случайных величин, используемые в статистике.

Интервальное оценивание параметров распределения.

9. Проверка статистических гипотез Статистическая гипотеза. Статистический критерий.

Проверка гипотез о числовых значениях параметров. Проверка гипотез о равенстве параметров распределений двух совокупностей.

Критерии согласия: критерий 2, критерий Колмогорова.

10. Основы корреляционного и регрессионного анализа Статистическая и корреляционная зависимость. Линейная парная регрессия.

Оценка параметров линейной регрессии по методу наименьших квадратов.

Доверительные интервалы для параметров линейной регрессии. Проверка значимости регрессии. Коэффициент корреляции и проверка его значимости. Нелинейная регрессия.

11. Случайные процессы Случайный процесс: определение, математическая модель. Реализация случайного процесса. Статистические характеристики случайного процесса. Стационарный случайный процесс. Марковский случайный процесс.

4.4. Перечень примерных контрольных вопросов и заданий для самостоятельной работы.

Классическая вероятностная модель. Алгебра событий. Аксиомы теории вероятностей. Геометрические вероятности.

2. Совместные и несовместные события. Теорема сложения для классической модели.

Следствия теоремы сложения.

3. Произведение событий. Зависимые и независимые события. Понятие условной вероятности. Теорема умножения для классической модели. Следствия теоремы 4. Формула полной вероятности. Теорема Байеса.

5. Повторение испытаний. Формула Бернулли. Асимптотические формулы вычисления биномиальных вероятностей.

6. Случайные величины, их виды и примеры. Функция распределения случайной величины и ее свойства.

7. Плотность распределения непрерывной случайной величины и ее свойства.

8. Математическое ожидание случайной величины и ее свойства. Дисперсия случайной величины и ее свойства.

9. Равномерное распределение случайной величины и его свойства.

10. Биномиальное распределение случайной величины, его параметры и числовые характеристики.

11. Распределение Пуассона, его параметры и числовые характеристики..

12. Нормальное распределение случайной величины. Нормальная кривая. Вероятность попадания нормальной случайной величины на заданный интервал.

13. Системы случайных величин и их функциональные характеристики.

14. Зависимость случайных величин. Корреляционная зависимость. Коэффициент корреляции и его свойства. Линейная средняя квадратическая регрессия.

Неравенство Чебышева. Основные предельные теоремы. Центральная предельная 16. Генеральная совокупность и выборка. Способы организации выборки.

Вариационный ряд. Эмпирическая функция распределения и ее свойства.

Гистограмма. Полигон частот.

17. Состоятельные и несмещенные оценки для математического ожидания и дисперсии. Доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии.

18. Проверка гипотез о среднем значении нормально распределенной случайной 19. Проверка гипотез о равенстве средних значений двух нормально распределенных случайных величин.

20. F-распределение. Проверка гипотез о равенстве дисперсий двух нормально распределенных величин.

21. Проверка гипотез о законе распределения (критерии Пирсона и Колмогорова).

22. Статистическая оценка коэффициента корреляции.

23. Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов.

24. Случайный процесс. Классификация случайных процессов. Статистические характеристики случайного процесса.

Задание №1.

В задачах 1-3 необходимо:

1. Задать пространство элементарных исходов рассматриваемого испытания и описать события А, В, С как его подмножества.

2. Используя классическое или геометрическое определение вероятности, найти вероятности событий А, В, С.

3. Проверить попарную несовместность событий А, В, С.

4. Проверить, образуют ли события А, В, С полную группу несовместных событий.

5. Проверить независимость событий А, В, С попарно и в совокупности.

6. Используя теоремы сложения и умножения найти P ( A + B), P ( A + BC ), P ( A + B + C ), Задача 1.

Пять шариков случайным образом разбрасываются по пяти лункам, расположенным в ряд.

Каждый шарик может попасть в любую лунку. Рассматриваются события:

А={в одной из лунок окажутся три шарика, в другой – два шарика}, В={все шарики окажутся в двух лунках}, C={в первой лунке окажется хотя бы один шарик}.

Задача 2.

Из множества 6-тизначных номеров случайным образом выбирается один номер.

Рассматриваются события:

А={каждая цифра номера встречается дважды}, В={номер содержит только 4 различные цифры}, C={сумма цифр номера равна 6}.

Задача 3.

На отрезок АВ длины l = 9 наугад бросаются две точки C и D. Рассматриваются события:

А={расстояние между точками C и D не превосходит 4}, В={длина наибольшего из отрезков AC и AD находится в пределах от l 4 до l 2 }, C={сумма длин отрезков AC и AD не превышает 3l 8 }.

Задание №2.

1. Вероятность того, что на один лотерейный билет выпадет выигрыш равна 0,1. Некто купил п билетов. Найти вероятность следующих событий: А - из купленных билетов выиграют т билетов; В - выигравших билетов будет не менее k1 и не более k 2 ; С – выиграет хотя бы один билет. Сколько надо купить билетов, чтобы вероятность выигрыша хотя бы одного билета была не менее 0,9? Рассмотреть два случая: а) п=5, 2. К объекту летят 3 бомбардировщика, причем один из них является носителем ядерного оружия. Объект охраняется двумя ракетными установками, каждая из которых наводится на один наудачу выбранный бомбардировщик и сбивает его с вероятностью 0,9 (две установки на один самолет не наводятся). Если к объекту прорвется носитель ядерного оружия, то объект поражается наверняка. Если прорвутся два бомбардировщика с обычными бомбами, то объект поражается с вероятностью 0,6, а если один, то с вероятностью 0,2. Определить вероятность поражения объекта.

3. В партии 6 деталей первого сорта и 4 детали второго сорта. Наудачу одна за другой без возвращения отбираются детали до тех пор, пока деталь не окажется первосортной.

Составить закон распределения числа отобранных деталей и представить его графически. Вычислить среднее число отобранных деталей и среднее квадратичное отклонение этой величины.

4. Случайное отклонение размера детали от номинала распределено по нормальному закону с математическим ожиданием а=1 и средним квадратическим отклонением =3.

Годными считаются детали, для которых отклонение от номинала лежит в интервале (а-, а+), где =3,846. Найти вероятность того, что при выборе наудачу п=3 деталей отклонение каждой из них попадет в интервал (-3,945; 1,375). Определить, какое наименьшее число деталей необходимо изготовить, чтобы среди них с вероятностью не меньшей, чем Р=0,95, хотя бы одна деталь была годной.

5. Случайная величина распределена равномерно на некотором промежутке, причем ее среднее значение равно 4, а дисперсия равна 3. Найти плотность и функцию распределения этой случайной величины и построить их графики.

Задание №3.

Задача 1.

Имеются результаты тестирования 20 студентов по некоторой дисциплине: { 2, 2, 3, 3, 3, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 10}. По данной выборке необходимо:

1) Построить дискретный статистический ряд частот и относительных частот. Изобразить его графически с помощью полигона частот (относительных частот).

2) Записать эмпирическую функцию распределения и построить ее график.

3) Вычислить среднюю выборочную, медиану и моду.

4) Найти дисперсию, исправленную дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

5) Вычислить вариационный размах, среднее линейное отклонение, коэффициент вариации.

6) Найти начальные и центральные моменты к-го порядка, к=1,2,3,4.

7) Вычислить коэффициент асимметрии и эксцесс.

Задача 2.

В таблице представлены результаты 50 измерений некоторой физической величины.

По данной выборке необходимо:

1) Построить интервальный статистический ряд частот и относительных частот.

Изобразить его графически с помощью гистограммы частот (относительных 2) Построить график эмпирической функции распределения.

3) Вычислить среднюю выборочную, медиану и моду.

4) Найти дисперсию, исправленную дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

5) Вычислить вариационный размах, среднее линейное отклонение, коэффициент 6) Найти начальные и центральные моменты к-го порядка, к=1,2,3,4.

7) Вычислить коэффициент асимметрии и эксцесс.

Задача 3.

1) С помощью критерия Пирсона, при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что исследуемый в задаче 2 признак Х подчиняется нормальному закону распределения.

2) Найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии признака Х с надежностью 0,98.

3) Проверить гипотезу о том, что математическое ожидание а признака Х равно [1, x ] при уровне значимости 0,02.

4) Проверить гипотезу о том, что дисперсия 2 признака Х равна [1,5 s 2 ] при уровне значимости 0,02.

Задача 4.

По выборке пар значений признаков X и Y объема п=100 построена корреляционная таблица:

По данной корреляционной таблице необходимо:

1) Найти условные средние по Х и Y. Вычислить выборочные числовые характеристики (средние значения, дисперсии и стандартные отклонения) для признаков Х и Y.

2) Найти выборочный коэффициент линейной корреляции, проверить его значимость при =0,05. Сделать вывод о степени линейной зависимости между признаками.

3) Построить регрессионные линейные модели зависимости Х от Y, и Y от Х, проверить их значимость. Изобразить корреляционное поле и линии регрессии.

5. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (курса) 5.1. Примерный перечень вопросов к зачету (экзамену) по всему курсу.

1. Основные понятия комбинаторики.

2. Событие. Алгебры и сигма-алгебры событий.

3. Классическое определение вероятности события.

4. Статистическое определение вероятности события. Устойчивость относительных частот.

5. Геометрические вероятности.

6. Вероятность события. Аксиомы теории вероятностей. Вероятностное 7. Совместные и несовместные события. Теоремы сложения вероятностей совместных и несовместных событий.

8. Условная вероятность. Зависимые и независимые события. Теоремы умножения вероятностей зависимых и независимых событий.

9. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

10. Формула Бернулли (частная теорема о повторении испытаний). Общая теорема о повторении испытаний. Производящая функция.

11. Формула Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

12. Случайная величина. Закон распределения случайной величины.

13. Операции над случайными величинами и их свойства.

14. Математическое ожидание дискретной случайной величины. Свойства математического ожидания.

15. Дисперсия дискретной случайной величины. Свойства дисперсии.

16. Функция распределения случайной величины. Свойства функции распределения.

17. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности. Свойства плотности вероятности.

18. Числовые характеристики непрерывной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия.

19. Числовые характеристики непрерывной случайной величины: мода, медиана, начальные и центральные моменты, коэффициент асимметрии, эксцесс.

20. Биномиальный закон распределения.

21. Геометрический закон распределения.

22. Гипергеометрический закон распределения.

23. Закон распределения Пуассона.

24. Равномерный закон распределения.

25. Показательный закон распределения.

26. Нормальный закон распределения.

27. Свойства нормально распределенной случайной величины. Правило 3-х сигм.

28. Неравенство Маркова. Неравенство Чебышева.

29. Закон больших чисел. Теорема Чебышева.

30. Теорема Бернулли. Теорема Пуассона.

31. Центральная предельная теорема. Теорема Ляпунова.

32. Основные понятия статистики: выборочный метод, выборка, генеральная совокупность, способы отбора.

33. Статистические ряды и их графическое изображение.

34. Средние величины. Свойства средней арифметической. Структурные средние.

35. Показатели вариации. Свойства выборочной дисперсии.

36. Точечные оценки параметров распределения. Свойства оценок. Методы нахождения точечных оценок.

37. Интервальные оценки. Доверительная вероятность и предельная ошибка выборки.

38. Статистическая гипотеза и общая схема ее проверки.

39. Проверка гипотез о равенстве средних.

40. Проверка гипотез о равенстве дисперсий.

41. Проверка гипотез о законе распределения.

42. Статистическая и корреляционная зависимость. Линейная парная регрессия.

43. Коэффициент корреляции и его свойства.

44. Нелинейная регрессия.

45. Случайный процесс и его характеристики.

46. Стационарный случайный процесс.

47. Однородные марковские случайные процессы.

5.2.

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Высшая школа, 2001.

2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. Задачи и упражнения. М.: Наука, 2001.

3. Коршунов Д.А., Фосс С.Г. Сборник задач и упражнений по теории вероятностей.

4. Людвина Н.А. Теория вероятностей (учебное пособие). Н.: Изд-во НГУ, 2006.

5. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 6. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 2003.

7. Колемаев Г.П., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая 8. Людвина Н.А. Математическая статистика (учебное пособие). Н.: Изд-во НГУ, 9. Розанов Ю. А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая 5.3. Дополнительная литература.

1. Агапов Г.И. Задачник по теории вероятностей. М.: Высшая школа, 1986.

2. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. / Под ред. В.А. Свешникова М.: Наука, 1970.

3. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1969.

4. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1982.

5. Беляев Ю.К., Носко В.П. Основные понятия и задачи математической 6. Сборник задач по общей теории статистики. М.: Филинъ, 1999.

6. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины Методика преподавания дисциплины «Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы» включает чтение лекций, проведение семинарских занятий, выполнение студентами контрольных работ, домашних заданий, подготовку к практическим (семинарским) занятиям.

Итоговая аттестация студентов проводится по результатам выполнения трех индивидуальных заданий (см. пункт 4.4). В рамках семестра необходимо выполнить контрольную работу №1 (по темам: классическое и геометрическое определение вероятности, теоремы сложения и умножения вероятностей, повторение испытаний), контрольную работу №2 (по темам: дискретные и непрерывные случайные величины) и сдать тест по теоретическим вопросам.

Каждый вид контроля оценивается по пятибалльной системе. Если не зачтена хотя бы одна индивидуальная или контрольная работа или не сдан тест, студент не аттестуется.

Для проверки знаний студентов преподавателем и для самопроверки имеется список контрольных вопросов. Контрольные вопросы используются для текущего контроля знаний студентов. Итоговой формой аттестации по курсу является экзамен.

Главной задачей лекционной части курса является изучения данного курса по каждой теме конкретно, формирование концептуальных теоретических знаний, позволяющих студентам самостоятельно изучить дополнительные материалы.

Лекция, как правило, строится в соответствии со следующей типовой схемой:

Не более 10 источников.

- введение, в котором представлена подборка теоретических сведений по изучаемой теме лекции;

- постановка задачи, содержащая практические примеры и логические предпосылки последующих методических и методологических положений;

- практические рекомендации, объединенные по направлениям и способам решения поставленной проблемы – в виде конкретных решений, приемов и методов;

- выводы и обобщения, помогающие закрепить изученный материал, представляемые в виде ключевых понятий и перечня вопросов для самостоятельного изучения и подготовки к практическим занятиям работам.

-в целях интенсификации процесса обучения широко используются активные методы обучения, обсуждение конкретных задач и примеров.

С учетом содержания и обновления курса предлагается список как основной литературы, так и дополнительной.

Время, отведенное в программе для самостоятельной работы, студентам рекомендуется использовать для подборки и изучения литературы по курсу, самостоятельного осмысления вопросов курса, самоконтроля на основе использования списка контрольных вопросов курса.

Обязательным условием получения итоговой оценки по курсу является посещение всех лекций и практических занятий и выполнение всех заданий, предлагаемых преподавателем на практических занятиях.