МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВПО «Кемеровский государственный университет»

Новокузнецкий институт (филиал)

Факультет информационных технологий

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

(ЕН.Р.1) Функциональный анализ

для специальности

010501.65 Прикладная математика и информатика

Специализация 010202 Математическое моделирование, 010211 Системное программирование Новокузнецк 2013 Сведения о разработке и утверждении рабочей программы дисциплины Рабочая программа дисциплины (ЕН.Р.1) Функциональный анализ регионального компонента цикла ЕН составлена в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования второго поколения по специальности 010200 – Прикладная математика и информатика, утвержденному 23 марта 2000 г., номер государственной регистрации 199 ЕН / СП для специализаций «Системное программирование» и «Математическое моделирование»

Автор (ы) к.т.н., Бартышев А.В.

Рецензент (ы) Рабочая программа обсуждена на заседании кафедры математики и математического моделирования « 10 » декабря 2012г. Протокол № Заведующий кафедрой Е. В. Решетникова (подпись) Рабочая программа одобрена методической комиссией факультета информационных технологий « 15 » января 2013г. Протокол № Председатель методической комиссии Н.Б. Ермак (подпись) Пояснительная записка Дисциплина «Функциональный анализ» для студентов специальности 010501. «Прикладная математика и информатика» входит в состав Государственного Образовательного Стандарта Высшего Профессионального Образования. Ее место – в ряду общих математических и естественнонаучных дисциплин федерального компонента учебного плана.

Изучение дисциплины «Функциональный анализ» для специальности «Прикладная математика и информатика» проводится на третьем курсе и нацелено на формирование у будущих специалистов начальных навыков математического моделирования.

Целью изучения курса «Функциональный анализ» является, с одной стороны, интеллектуальное развитие студентов, формирование у них основных компонентов исследовательской деятельности, с другой – овладение конкретными математическими знаниями, используемыми при решении современных задач прикладной математики и необходимыми для изучения смежных дисциплин в процессе профессиональной подготовке в вузе.

Для этого необходимо обеспечить уровень подготовки студентов по функциональному анализу таким, чтобы они умели:

устанавливать сходимость последовательностей в функциональных метрических пространствах;

проверять выполнение аксиом скалярного произведения при построении евклидовых пространств;

доказывать ограниченность линейных операторов, действующих в функциональных пространствах;

применять понятия сильной и слабой сходимости для получения обобщенных решений дифференциальных уравнений;

давать оценки спектрального радиуса линейного оператора;

использовать принцип неподвижной точки при решении дифференциальных уравнений в банаховых пространствах.

Студенты должны знать:

метрические линейные и нормированные пространства;

бесконечномерные полные гильбертовы пространства;

линейные операторы и условия их обратимости;

ограниченные функционалы и сопряженные пространства;

элементы спектральной теории линейных операторов;

принцип неподвижной точки для нелинейных операторов;

основы теории дифференциальных уравнений в банаховых пространствах.

Задачи курса:

сформировать в процессе изучения математики познавательные способности и исследовательские умения;

познакомить с основными математическими понятиями;

научить применять математические знания, умения и навыки в практической деятельности;

сформировать представление о возможности применения математических моделей и методов в экономике.

По окончании курса студенты должны иметь представление:

о месте и роли математики в современном мире, мировой культуре;

о математическом мышлении, принципах математических рассуждений и математических доказательствах;

о математическом моделировании;

о возможности использования математических методов в экономике.

Курс функционального анализа изучается один семестр: понятие линейных и гильбертовых пространств, теория линейных операторов, применение теории вполне непрерывных операторов в задачах математической физики.

Особенностью изучения курса является его прикладная направленность. Каждый раздел сопровождается примерами использования методов функционального анализа в задачах математического моделирования.

Необходимый объем знаний для изучения данной дисциплины Для успешного изучения этой дисциплины студентам необходимо знать: курс математического анализа: дифференциальное и интегральное исчисление в полном объеме, предусмотренном рабочей программой, алгебру и аналитическую геометрию, основные разделы физики.

Курс «Функциональный анализ» для студентов специальности 010501.65 изучается в пятом семестре.

Формы обучения включают в себя:

- лекции, на которых закладываются теоретическая база знаний по дисциплине «Функциональный анализ»;

- практические занятия, где студенты приобретают навыки в решении задач по отдельным разделам дисциплины;

- самостоятельная работа студентов, которая осуществляется в двух формах:

индивидуального выполнения заданий по вариантам и индивидуально-аудиторного – с консультацией у преподавателя, а также составлении студентами тестов и задач по блокам тем;

- разбор сложных задач на плановых консультациях.

По дисциплине осуществляется текущий, промежуточный контроль и итоговый контроль в форме зачета.

Название и содержание Аудиторная работа 68 Самостоят 5 семестр пространства операторов пространствах при обучении в сокращенные сроки (дисциплина в целом, разделы и темы) применяются общие требования к Аудиторные контрольные работы – 2- в 5 семестре (5 и 11 недели).

Зачет 5 семестр.

Содержание частей, разделов и тем курса Тема 1 –Линейные нормированные функциональные пространства. Вводится понятие метрики, необходимое для определения предела последовательностей в функциональных пространствах. Приводятся примеры основных нормированных пространств и анализируется эквивалентность вводимых норм в бесконечномерных пространствах с точки зрения сходимости фундаментальных последовательностей.

Тема 2 – Банаховы и гильбертовы пространство. Понятия полноты и определение банаховых пространств. Евклидовы пространства, способы введения скалярного произведения. Гильбертовы пространства, ортонормированные системы и разложение в ряд Фурье. Соболевские пространства обобщенных функций как результат пополнения множества интегрируемых функций.

Тема 3 – Пространство линейных операторов. Общее понятие оператора. Линейные операторы, образ и прообраз. Непрерывность и ограниченность линейных операторов.

Нормированное пространство линейных операторов. Условия существования обратного оператора. График оператора, теорема о замкнутом операторе.

Тема 4 – Функционалы и сопряженное пространство. Понятия линейного ограниченного функционала. Сопряженное пространство и слабая сходимость. Теорема Хана – Банаха и ее следствия. Линейные функционалы в гильбертовых пространствах, теорема Рисса.

Сопряженные и самосопряженные операторы.

Тема 5 – Компактные множества вполне непрерывные операторы. Компактные множества в нормированных пространствах. Теорема Хаусдорфа и теорема Асколи – Арцела.

Линейные вполне непрерывные операторы. Нормально разрешимые операторы и теоремы Фредгольма. Линейные уравнения с точки зрения вычислений.

Тема 6 – Элементы спектральной теории линейных операторов. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов. Резольвентное множество и спектр линейного оператора. Спектральное разложение Самосопряженного оператора.

Тема 7 – Теоремы о неподвижных точках операторов. Нелинейные операторные уравнения. Степенные операторные ряды. Принцип сжимающий отображений.

Итерационный процесс Ньютона. Принцип Шаудера и его применение.

Тема 8 – Дифференциальные уравнения в банаховых пространствах. Понятие обобщенных решений краевых задач. Существование решения, единственность и непрерывная зависимость от начальных данных и правой части. Простейшие разностные схемы, их устойчивость и сходимость.

Темы практических занятий Практическое занятие №1. Векторные пространства. Аксиоматика и свойства.

План работы:

1. Опрос (письменный или устный). 2. Решение задач.

Примерные задания.

Доказать, что алгебраическая сумма и объединение двух ограниченных множеств – ограниченные множества.

Практическое занятие №2. Линейные нормированные функциональные пространства.

Примеры норм и метрик.

План работы:

1. Опрос (письменный или устный). 2. Решение задач.

Примерные задания.

Убедится в том, что выполняются аксиомы нормы, т.е. норма определена корректно.

Пространство Ет столбцов х=(хk) k 1 (xk R или хk C) с нормой Практическое занятие №3. Эквивалентность вводимых норм в конечномерных и бесконечномерных пространствах с точки зрения сходимости фундаментальных последовательностей.

План работы:

1. Опрос (письменный или устный). 2. Решение задач.

Примерные задания.

Пусть хn, x, yn, y X (n N). Доказать что:

а) если xn x, то xn – ограниченная последовательность;

Практическое занятие №4. Банаховы пространства. Теорема и вложенных шарах.

Пополние пространства.

План работы:

1. Опрос (письменный или устный). 2. Решение задач.

Примерные задания.

Доказать, что всякое конечномерное линейное нормированное пространство является банаховым пространством.

Практическое занятие №5.Евклидовы пространства, способы введения скалярного произведения. Гильбертовы пространства, ортонормированные системы и разложение в ряд Фурье.

План работы:

1. Опрос (письменный или устный). 2. Решение задач.

Примерные задания.

Доказать, что пространство L p [a, b] непрерывных на [a, b] функций с нормой