«В последнее время у нас и за рубежом часто обсуждается вопрос о недостатках традиционных программ преподавания математики в школе. Эти программы не содержат основных принципов и понятий современной математической науки, ...»

В.В.Давыдов

Логико-психологические проблемы начальной математики

как учебного предмета

В последнее время у нас и за рубежом часто обсуждается вопрос о недостатках

традиционных программ преподавания математики в школе. Эти программы не содержат

основных принципов и понятий современной математической науки, не обеспечивают

должного развития математического мышления учащихся, не обладают преемственностью и цельностью по отношению к начальной, средней и высшей школе.

Во многих странах и в международных организациях ведется работа по усовершенствованию учебных программ. Выдвигаются различные предложения о путях рационального изложения современных математических понятий в школьных курсах (в основном для средней школы). Некоторые предложения представляют, несомненно, большой теоретический и практический интерес (см., например, программу В.Г.Болтянского, Н.Я.Виленкина, И.М.Яглома [4]; обзор американских исследований в этой области [9], [40], [52] и др.).

Программа в концентрированной форме выражает содержание учебного предмета и способы его развертывания в преподавании. Поэтому попытки изменения программы по сути дела связаны с тем или иным изменением содержания предмета, с поисками новых способов его построения. Построение математики как целостного учебного предмета весьма сложная задача, требующая приложения совместных усилий педагогов и математиков, психологов и логиков. Важным моментом решения этой общей задачи является выделение понятий, с которых должно начинаться изучение математики в школе.

Эти понятия составляют фундамент для построения всего учебного предмета. От исходных понятий, усвоенных детьми, во многом зависит общая ориентировка в математической действительности, что в свою очередь существенно влияет на последующее продвижение в этой области знания. Многие трудности усвоения математики в начальной и средней школе, на наш взгляд, проистекают, во-первых, из-за несоответствия знаний, усваиваемых учащимися, тем понятиям, которые действительно конституируют математические построения, во-вторых, из-за неверной последовательности введения общематематических понятий в школьные курсы.

К сожалению, именно содержание начальных математических понятий и способ их введения при обучении не служат до сих пор предметом развернутого обсуждения и тщательного исследования, хотя только на этой основе можно последовательно и критически проанализировать ныне действующие программы, показать их достоинства и существенные недостатки, наметить новые варианты содержания математики в школе.

Работа в этом направлении затрудняется еще тем, что составители программ, как правило, в должной мере не учитывают современных методов психологического и логического анализа процесса усвоения знаний, недооценивают значение этих методов для программирования математики как учебного предмета.

В своей экспериментальной работе, связанной с построением учебных программ [17], [18], [48], мы столкнулись, в частности, с необходимостью выявления тех понятий, с которых целесообразно начинать преподавание математики в школе. Решение этого вопроса поставило ряд более общих проблем - проблему логической природы исходных понятий самой науки и их соотношения с понятиями, исходными при построении учебного предмета, проблему соотношения научных определений и содержания тех признаков объекта, на которые фактически ориентируется человек, усваивающий эти определения, проблему способов абстрагирования признаков объекта и превращения их в содержание понятий как в ходе исторической выработки знания, так и при его усвоении индивидом и ряд других логико-психологических проблем.

Построение традиционных программ также связано с тем или иным фактическим решением этих вопросов. Однако на первый план авторы программ предпочитают выдвигать не теоретико-познавательные и логико-психологические моменты, а собственно математическую сторону дела - вопросы связи самого математического материала. Впрочем, обсуждение направлений перестройки математического образования в основном также вращается вокруг объема математических знаний, подлежащих включению (или исключению) в программу (см., например, [33]). Логикопсихологические вопросы опять остаются в тени, во-первых, из-за их недостаточной выявленности, во-вторых, из-за силы мнения, будто содержание учебного предмета - при всем его своеобразии - является относительно прямой проекцией, лишь неразвернутым сколком с некоторых чисто "научных" сведений (оригинальная критика этого распространенного мнения дана Г.П.Щедровицким [45]).

Вместе с тем рассмотрение собственно математической стороны программ, особенно их начальных разделов, вызывает ряд недоумений именно с точки зрения "большой" математики. Как известно, изучение математики в школе начинается с натурального числа и в течение нескольких лет оно является основой всего преподавания.

Выбор такого "начала" чаще всего обосновывается соображениями математического характера, указанием места и роли этого понятия в системе математических знаний и т.п.

Но последнее как раз не так уже ясно, как первоначально кажется. Поэтому потребовался анализ математических работ, чтобы выявить некоторые основные особенности числа как математического понятия. Оказалось, что при обосновании числа как "начала" учебного предмета действуют не столько чисто математические аргументы, сколько явные или неявные представления методистов о самой "первичности" некоторых понятий, о возникновении и формировании абстракции как в истории знаний, так и в онтогенетическом процессе их усвоения ребенком, т.е. представления, больше связанные с логикой и психологией, нежели с "чистой" математикой.

В последнее время при модернизации программ особое значение придают подведению теоретико-множественного фундамента под школьный курс (эта тенденция отчетливо проявляется и у нас, и за рубежом). Реализация этой тенденции в преподавании (особенно в начальных классах, как это наблюдается, например, в американской школе [9]) неизбежно поставит ряд трудных вопросов перед детской и педагогической психологией и перед дидактикой, ибо сейчас почти нет исследований, раскрывающих особенности усвоения ребенком смысла понятия множества (в отличие от усвоения счета и числа, которое исследовалось весьма многосторонне).

Целесообразно рассмотреть содержание этого понятия в математической литературе, тем более что некоторыми авторами оно не признается за исходное и первичное. В недрах самой математики сейчас существенно переоценивается понятие о ее предмете, об исходных и всеобщих его признаках (работы Н.Бурбаки). Это обстоятельство тесно связано с определением природы самой математической абстракции, способов ее выведения, т.е. с логической стороной проблемы, которую нельзя не учитывать при создании учебного предмета.

Ниже приводятся материалы, почерпнутые из математических источников и характеризующие связь понятий числа и множества с другими математическими понятиями (в частности, с общим понятием структуры). Повторяем, это делается вовсе не для того, чтобы решать какие-либо собственно математические вопросы (большинство из затрагиваемых вопросов уже решено и стало достоянием "широкой" литературы). Задача в другом - сопоставить имеющиеся решения со способами построения учебного предмета с целью выявления некоторых логико-психологических вопросов.

Логические и психологические исследования последних лет (в особенности работы Ж.Пиаже) вскрыли связь некоторых "механизмов" детского мышления с общематематическими понятиями. Мы специально рассматриваем особенности этой связи и их значение для построения математики как учебного предмета (при этом речь пойдет о теоретической стороне дела, а не о каком-либо частном варианте программы). В заключение этого раздела кратко перечисляются основные логико-психологические проблемы, рассмотрение которых является предпосылкой работы в области программирования учебного математического материала.

Понятие числа и его связь с другими математическими понятиями Натуральное число является фундаментальным понятием математики на всем протяжении ее истории; весьма существенную роль оно играет во всех областях производства, техники, повседневной жизни. Это позволяет математикам-теоретикам отводить ему особое место среди других понятий математики. В разной форме высказываются положения о том, что понятие натурального числа - исходная ступень математической абстракции, что оно является основой для построения большинства математических дисциплин.

Выбор начальных элементов математики как учебного предмета по существу реализует эти общие положения. При этом предполагается, что, знакомясь с числом, ребенок одновременно раскрывает для себя исходные особенности количественных отношений. Счет и число - основа всего последующего усвоения математики в школе.

Однако есть основания полагать, что эти положения, справедливо выделяя особое и фундаментальное значение числа, вместе с тем неадекватно выражают его связь с другими математическими понятиями, неточно оценивают место и роль числа в процессе усвоения математики. Из-за этого обстоятельства, в частности проистекают некоторые существенные недостатки принятых программ, методик и учебников по математике.

Необходимо специально рассмотреть действительную связь понятия о числе с другими понятиями. С этой целью обратимся к книге Е.Г.Гонина "Теоретическая арифметика" [15], примечательной тем, что значительная ее часть посвящена изложению основных общематематических понятий, на основе которых затем раскрываются свойства числовых систем (предмета теоретической арифметики).

Исходными понятиями выступают здесь множество, элемент множества, подмножество, обладающие определенными свойствами и связями. Существуют некоторые простые способы получения новых множеств из данных (соединение, пересечение, разность). Особая символика фиксирует эти способы и их свойства (например, соединение - А * В; пересечение - А ** В; разность - А \ В). Важное значение имеет понятие соответствия между элементами множеств. Соответствие между элементами множеств А и В определяет отображение множества А в множество В, фиксируемое, например, буквой f (иногда вместо отображения говорят о функции, а также об унитарной операции). Вводятся особые условия выполнимости и однозначности отображения (частный случай последнего - взаимно однозначное отображение). Если существует взаимно однозначное отображение А в В, то множество А называется эквивалентным множеству В. С введением понятий эквивалентности и правильной части множества становятся возможными определения бесконечного и конечного множеств (множество, эквивалентное некоторой своей правильной части, называется бесконечным).

Понятию соответствия родственно понятие соотношения, определенного на множестве.

Соотношения обладают такими основными свойствами, как рефлексивность (нерефлексивность, иррефлексивность), симметричность, транзитивность, связность.

Обобщением понятия эквивалентности множеств является понятие изоморфизма. Каждое множество обладает таким свойством, как мощность (эквивалентные множества имеют одну и ту же мощность, неэквивалентные - различные мощности). Создание системы натуральных чисел связано с необходимостью описания этого важного свойства множеств.

Наряду с соотношением эквивалентности в математике важную роль играет соотношение порядка (антисимметричное и транзитивное соотношение), через которое определяется понятие упорядоченного множества. С введением понятий сечения, граничного элемента, скачка, пробела и других определяют непрерывное и дискретное упорядоченное множество.

Важнейшим понятием математики, далее, является понятие скалярной, аддитивной, аддитивно-скалярной величины. Частным случаем скалярной величины является мощность множества.

Понятия о бинарной операции и определенных ее свойствах (выполнимость, однозначность, ассоциативность), об обратных операциях позволяют выделить особые виды множеств - полугруппы и группы. Множество со связанными операциями сложения и умножения при определенных условиях является кольцом. Частный случай кольца тело (при операции деления). Особый вид тела - поле [15, стр. 7 - 96].

Числовые системы определяются на основе указанной цепи понятий. Так, "системой неотрицательных целых чисел называется дискретное точное упорядоченное коммутативное полукольцо с единичным элементом, не являющимся нулевым" [15, стр.

97]; "системой неотрицательных рациональных чисел называется минимальное точное упорядоченное полуполе" [15, стр. 131] и т.д.

Рассмотрение этого перечня понятий позволяет выделить ряд моментов. Прежде всего понятие о числе связано со многими предваряющими его понятиями, в частности с понятиями "множество", "отображение" (функции, операции), "эквивалентность", "мощность". Оно является описанием хотя и весьма важного, но все же лишь частного свойства множеств - их мощности. Таким образом, число в общей конструкции современных математических понятий не является первичным и основным. Важнейшие понятия (множество, величина, группа, кольцо) вводятся до числа и независимо от него.

Свойства же самих числовых систем раскрываются на основе других общематематических понятий.

Таково фактическое соотношение понятия числа с другими математическими понятиями. Поэтому не совсем ясны основания некоторых категорических утверждений, будто понятие числа первично, и математика не содержит его определения. Если при этом имеется в виду отсутствие удовлетворительного определения, то само по себе это не является основанием для утверждения "первичности" числа. Если имеется в виду трудность (или даже невозможность) его определения в пределах арифметики, то это не исключает возможности полноценного определения в пределах всей математики. Если предполагается, что в развитой, готовой теории число вводится (описывается) через систему аксиом, то это не означает отсутствия более широких оснований у самих аксиом либо в области математики, либо в других областях знания (например, такие основания усматриваются в логике [16]).

Следует иметь в виду, что термин "определение" не является однозначным. Часто его употребляют в формально - логическом смысле, и тогда невозможность построения такого определения отождествляют с "первичностью" соответствующего объекта, с его "невыводимостью". Однако в настоящее время существуют теории определения, не совпадающие с традиционным формально-логическим подходом к нему (см., например, работы Б.М.Кедрова [24 ] и др.).

Отметим также, что в истории науки делались попытки и поныне делаются многочисленные попытки дать определение понятию числа. Хорошо известно определение Фреге Рассела (см. его изложение в книге Р.Л.Гудстейна [16]), возбудившее ряд других поисков. Таким образом, реальные трудности определения числа, как математические, так и логические, не дают оснований для признания его первичности в общематематической системе понятий.

Правда, можно предположить, что хотя для описания числовых систем и требуются многие предварительные понятия, однако эти системы в совокупности и задают сам предмет математики в его всеобщих особенностях, ибо нечто становится математическим явлением лишь постольку, поскольку оно выражено в числовой форме, дано через число.

Но это предположение не оправдывается. Так, соотношение эквивалентности (рефлексивное, симметричное и транзитивное соотношение) можно обнаружить в равенстве отрезков, в подобии фигур. Примером соотношения порядка (антисимметричное и транзитивное соотношение) является соотношение "меньше" для отрезков, "моложе" для людей, "мягче" для минералов [15, стр. 27, 33]. Здесь предмет математического рассмотрения дан без его предварительного выражения в форме числа.

При этом ряд чисел сам является лишь частным случаем указанных соотношений.

Это положение вещей не противоречит по существу фундаментальному значению понятия числа для всей математики и для ее усвоения - важно только правильно оценить конкретное место и связь этого понятия с другими. Высоко оценивая роль числа в общей системе математических знаний, вместе с тем нельзя делать "быстрых" выводов применительно к указанию его места в программе преподавания математики.

Характерно следующее обстоятельство. Методисты (например, Н.С.Попова), полагающие, что преподавание математики в школе необходимо начинать именно со знакомства с натуральным числом, вместе с тем сами отмечают возможность фиксации количественных отношений множеств, не прибегая к счету и даже не умея называть числа. "Изучая развитие числовых представлений в онто- и филогенезе, мы приходим к убеждению, что понятие числа и операция счета возникают одновременно при условии взаимодействия категории количества и категории порядка, хотя обе эти категории могут существовать независимо от числа и счета и независимо одна от другой" [39, стр. 9]. "Еще не умея считать, ребенок различает знакомые группы предметов в количестве двух и даже трех... Такое непосредственное восприятие множества свидетельствует о зарождении у ребенка количественных представлений, однако в это время он еще далек от овладения понятием числа" [39, стр. 11].

В этих высказываниях, с одной стороны, признается производность числа и счета от категорий количества и порядка, независимость последних от первых, с другой возможность зарождения у ребенка количественных представлений до овладения понятием числа. Однако при построении учебного предмета вновь исходят из того, что в школе "приходится в первую очередь иметь дело с понятием числа (натурального) и с операцией счета" [39, стр. 6]. Такой подход к выбору начальных пунктов обучения становится возможным по крайней мере при трех допущениях.

Во-первых, при допущении, что категории количества и порядка хотя и возникают в филогенезе до и независимо от числа, однако с его появлением уже теряют свою самостоятельность, "снимаются" числом настолько, что практически не могут служить основой для формирования математических понятий. Число, как результат взаимодействия этих категорий, воплощает их настолько полно, что сами они могут быть раскрыты именно на числах, последовательность которых, кстати, ребенок быстро и успешно усваивает. Именно внутри числа и счета необходимо выделять их двойственную природу [39, стр. 14].

Во-вторых, до появления числа и счета количественная оценка совокупностей как в фило-, так и в онтогенезе носит доарифметический характер; "доарифметические операции" связаны с элементарными количественными и порядковыми представлениями [39, стр. 10, 11]. Возникновение в филогенезе арифметики приводит к сознательному счету и полноценным числовым представлениям [39, стр. 10]. В онтогенезе, который не повторяет полностью филогенеза, очевидно, следует сразу начинать с формирования "сознательного счета" и "полноценных числовых представлений".

Двойственная природа чисел и счета требует особого внимания педагога к "доарифметической" подготовке ребенка, но сама по себе, вне обучения числу и счету, она смысла не имеет.

В-третьих, указанная форма связи числа и счета (полноценных представлений арифметических операций) с возникшими до них категориями количества и порядка (неразвитых представлений - доарифметических образований) позволяет положить арифметику (число) в основу овладения всей математикой.

Эти допущения упускают, на наш взгляд, некоторые важные обстоятельства как собственно математического, так и логико-психологического характера.

Прежде всего, как было показано выше, многие общематематические понятия, и в частности понятия соотношения эквивалентности и порядка, систематически рассматриваются в математике независимо от числовой формы. Эти понятия не теряют своего независимого характера на их основе можно описывать и изучать частный предмет - разные числовые системы, понятия о которых сами по себе не покрывают смысла и значения исходных определений. Причем в истории математической науки общие понятия развивались именно в той мере, в какой "алгебраические операции", известный пример которых доставляют четыре действия арифметики, стали применяться к элементам совершенно не "числового" характера [6, стр. 13].

В филогенезе множества и их мощности как объекты определенных практических преобразований, очевидно, были выделены людьми раньше, чем собственно числовая характеристика совокупностей (см., например, соображение И.К.Андронова [3, стр. 6, 11 но общие понятия множества и мощности были сформулированы гораздо позже, чем делались попытки теоретически определить число (см., например, замечание Е.Г.Гонина [15, стр. 13]). Конечно, представление о множестве и соотношениях эквивалентности и порядка в древности не имело той теоретической формы, которую имеют современные научные понятия. Но из этого нельзя делать вывод, будто бы "доарифметические" сопоставления совокупностей сами по себе менее значимы, чем "арифметические", а арифметические действия являются более "важной" формой знания, чем "доарифметическое" описание.

Этот момент связан с трудными теоретико-познавательными и логическими проблемами относительно связи всеобщего, особенного и единичного в познании, о соотношении практически-производственной ("реальной") абстракции и абстракции теоретической. Применительно к возникновению и развитию математических знаний эти проблемы, к сожалению, до сих пор разработаны недостаточно. Но уже сейчас можно полагать, что хотя арифметика (числовые системы, законы вычислений и т.д.) в определенный период развития человечества была - в связи с конкретными производственными нуждами - ведущей математической дисциплиной, однако развитие производства и самой математики показало ограниченность ее форм фиксации количественных отношений, частный характер ее определений. В свое время эта частная форма как бы "забивала" общие особенности предмета математики и даже казалась более "высокой". Но затем эти особенности были выражены в специфической для них форме и обнаружили такое строение, которое требовало и особых средств описания, не совпадающих с арифметическим изображением математических зависимостей. При этом и сама арифметика (теория чисел) встала на новое место в общей системе математических дисциплин; ее специфические методы и понятия получили необходимую связь с общематематическими и алгебраическими определениями.

Если в онтогенезе обнаруживаются "доарифметические" способы, то это не является показателем недостаточной сознательности "количественных представлений", а только выражением особого - и не менее значимого - типа их фиксации и анализа, которому может и должна быть придана развернутая форма. И конечно, необходимо правильно сформировать у ребенка понятие о связи "доарифметических" и "арифметических" операций. Стремление же как можно "быстрее" ввести в обучение частную арифметическую форму выражения математических зависимостей извращает у детей представление об этих зависимостях, о связи общего и частного.

В последнее время делаются попытки развернуть в преподавании этап введения ребенка в математику. Эта тенденция находит свое выражение в методических руководствах, а также в некоторых экспериментальных учебниках. Так, в одном американском учебнике, предназначенном для обучения детей 6 - 7 лет [51], на первых страницах вводятся задания и упражнения, специально тренирующие детей в установлении тождественности предметных групп. Детям показывается прием соединения множеств, - при этом вводится соответствующая математическая символика (знаки * и +).

Работа с числами опирается на элементарные сведения о множествах [51, рр. 16, 82].

Можно по-разному оценивать содержание конкретных попыток реализации этой тенденции, но сама она, на наш взгляд, вполне правомерна и перспективна.

При выборе исходных пунктов школьного курса математики существенное значение имеет еще одно обстоятельство, касающееся природы математической абстракции и специфики ее предмета. Высоко оценивая стремление А.Лебега к выяснению материального содержания математических понятий, А.Н.Колмогоров вместе с тем упрекает его в недооценке самостоятельности математики. Следуя высказываниям Ф.Энгельса, А.Н.Колмогоров подчеркивает тот момент, что математика "изучает материальный мир с особой точки зрения, что ее непосредственным объектом являются пространственные формы и количественные отношения действительного мира. Сами эти формы и отношения в их чистом виде, а не конкретные материальные тела являются той реальностью, которая изучается математикой" [28, стр.11].

Конечно, здесь речь идет о математике как науке, однако с этим нельзя не считаться и при построении учебного предмета. Программа этого предмета должна предусматривать такую работу ребенка, благодаря которой он сможет правильно и в должный момент "отойти" от конкретных тел, выделив в них пространственные формы и количественные отношения, придав им "чистый вид". Только на этой основе у него может сформироваться правильное понимание предмета математического знания. Но формировать этот "вид" необходимо при постоянной связи с конкретными телами, действия с которыми придают понятиям их подлинный материальный смысл. В этом своеобразное противоречие начальных этапов преподавания математики (видимо, не только начальных). То, что математик-ученый уже имеет перед собой в "чистом виде", то в голове ребенка предстоит лишь только построить. Этот "вид" не дан ему с самого начала - его надо вывести, получить в процессе определенной работы.

Вместе с тем ясно, что учебный материал, с которым ребенок начинает работать, до поры до времени не может рассматриваться им с точки зрения "чистых" форм и отношений, ибо этой точки зрения у ребенка еще нет. И наоборот, уже при выделенности "чистого вида" сами материальные тела будут выглядеть для человека иначе, нежели до этого.

Как разрешать это противоречие при обучении математике? Какое построение курса и способ введения понятий наиболее соответствуют решению этой задачи? Без ответов на эти вопросы нельзя обоснованно строить и начальные разделы курса. Именно в решении этих вопросов традиционная методика страдает наибольшими дефектами. Она не раскрывает в должной мере те характеристики количественных отношений, выделение которых необходимо для построения в голове ребенка исходных математических абстракций и для дальнейшей работы в плане этих абстракций.

Вопрос о том, с чего начинать курс математики и целесообразно ли его начинать непосредственно с числа, имеет не узко методический и частный смысл, а принципиальное значение с точки зрения формирования у ребенка общих представлений о предмете математики. Можно предполагать, что подлинное значение начальных этапов преподавания как раз и состоит в том, чтобы раскрыть детям общие особенности абстракций, конституирующих предмет дальнейшего изучения, создающих его "чистый вид". Форма и степень этой "чистоты", конечно, не будут непосредственно совпадать с теорией предмета, но нечто сходное по содержанию здесь должно быть, - определение того, в чем именно заключается здесь расхождение и частичное сходство, является объектом логико-психологических и педагогических исследований.

Во всяком случае, здесь лежит камень, от которого начинаются два пути - либо в сторону действительного математического знания, либо в сторону его "словеснознаковых" фикций, которые нередко возникают в практике обучения.

Приведенные выше материалы показывают, что в современной математике особое место занимает общее понятие множества. Оно все больше и больше проникает и в чисто школьную литературу, приобретает все больший вес при введении числа. Поэтому целесообразно рассмотреть смысл этого понятия как одного из возможных начальных пунктов преподавания математики.

Понятие Множества и его связь с математическими структурами Операции на множествах и их свойства Понятие множества вводится в математику без логического определения. При этом подразумевается следующее: науки прежде всего имеют дело с некоторыми объектами, которые объединяются в совокупности, классы, множества. Объекты, принадлежащие множеству, называются элементами этого множества [15, стр. 7-8]. Иногда множество можно точно описать, перечисляя все его элементы. Но для очень обширных множеств это сделать трудно или просто невозможно. Более общий способ задания множеств состоит в том, что указывается правило, позволяющее относительно любого объекта установить, принадлежит он этому множеству или не принадлежит. Это правило (или требование, налагаемое на объекты) связано с некоторым свойством, присущим только тем объектам, которые этому правилу удовлетворяют. Следовательно, "с каждым множеством связано определенное свойство, присущее тем и только тем объектам, которые принадлежат этому множеству" [15, стр.9].

Рассмотрение этого способа введения "множества" показывает, что сам по себе он ничего специфически математического не несет. Действительно, вне математической интерпретации множеств и в повседневной жизни, и в разнообразных научных исследованиях люди постоянно выделяют классы, совокупности, группы объектов и отдельные входящие в эти совокупности элементы. Причем в каждом частном случае свойство, по которому выделяется та или иная группа, определяется как существенное ее качество. Поиск этого свойства ("выделение группы") и его отнесение к элементу (включение последнего в "множество") представляет проблему для соответствующих наук (физики, химии, биологии, политэкономии и др.). Еще с древних времен уже в пределах формальной логики были сформулированы правила, позволяющие фиксировать свойства объектов, выделяя сообразно этому свойству некую их группу. Каждое слово, как обобщение, уже фиксирует определенное свойство и выделяет соответствующий ему класс вещей (дом, человек и т.д.). Само выделение совокупности, класса реальных объектов и трактовка их как "множества" еще не указывает специфически математического аспекта в подходе к объектам других наук и практической деятельности.

Правда, при этом осуществляется важная абстракция - для "множества" безразлична природа входящих в него элементов, должно лишь быть указано, что к данному множеству принадлежит. Однако такая абстракция сама по себе лежит в пределах формально-логического описания и чисто логических правил, позволяющих производить некоторые соотнесения (например, в силлогизмах), отвлекаясь от "конкретной" природы рассматриваемых объектов.

Интересное соображение об исторической роли и месте понятия множества в современной математике содержится у Н.Бурбаки: "Мы... не касаемся щекотливых вопросов, полуфилософских, полуматематических, возникших в связи с проблемой "природы" математических "объектов". Ограничимся замечанием, что первоначальный плюрализм в наших представлениях этих "объектов", мыслимых сначала как идеализированные "абстракции" чувственного опыта и сохраняющих всю разнородность этих последних, в результате аксиоматических исследований ХIХ - ХХ вв. был заменен единой концепцией, посредством последовательного сведения всех математических понятий сначала к понятию целого числа, затем на втором этапе к понятию множества.

Последнее, рассматриваемое долгое время как "первоначальное" и "неопределимое", было объектом многочисленных споров, вызванных характером его исключительной общности и весьма туманной природой представлений, которое оно у нас вызывает. Трудности исчезли только тогда, когда исчезло само понятие множества (и с ним все метафизические псевдопроблемы относительно математических "объектов") в результате недавних исследований о логическом формализме. С точки зрения этой концепции единственными математическими объектами становятся, собственно говоря, математические структуры" [7, стр. 251].

В этом принципиально важном высказывании существен ряд моментов. Прежде всего отмечается, что сведение всех математических понятий к понятию множества привело к трудностям, причиной которых явились чрезвычайная общность и туманный характер вызываемых этим понятием представлений (под этим, очевидно, следует подразумевать реальные свойства объектов). Эти трудности были преодолены лишь с "исчезновением" самого понятия множества. Поскольку оно все же весьма широко используется (в том числе и Н.Бурбаки), то в этом утверждении, очевидно, имеется в виду "исчезновение" первоначального, исходного, неопределимого характера понятия множества. Единственным математическим объектом являются не множества, а математические структуры. Понятие множества предполагает определенные свойства таких структур, хотя это вначале может и не обнаруживаться сколько-нибудь отчетливо.

Особое обстоятельство, связанное с математическим исследованием множеств, отмечается Р.Курантом и Г.Роббинсом: "Математическое исследование множеств базируется на том обстоятельстве, что множества, комбинируясь, в результате выполнения некоторых операций отражают новые множества... Изучение операций над множествами включает "алгебру множеств" [26, стр. 163]. Следовательно, образование новых множеств посредством некоторых операций составляет "базу" математического подхода к множеству. Что это за операции? Это "объединение" ("логическая сумма": А + В), "пересечение" ("логическое произведение": АВ) и "дополнение" (АА') множеств [26, стр. 166, 168].

Сами по себе эти три операции являются переводом на условный язык весьма обычных связей вещей, которые нашли свое выражение и в формально-логических структурах. Так, объединение в обычной логической терминологии обозначается "или А, или В" (данная вещь принадлежит по крайней мере одной из совокупностей); пересечение обозначается "и А, и В" (эти вещи принадлежат и той, и другой совокупности);

дополнение обозначается "не-А" (эта вещь не принадлежит к этой совокупности, которая сама является частью другой).

Перечисленные операции сами по себе, на наш взгляд, также не вскрывают специфически математических характеристик. Указанный перевод с одного "языка" на другой сам по себе не может вскрыть в объекте нового качества. При этом не обнаруживается собственно количественная определенность объектов, то количественное отношение, которое так или иначе исследует математика. Очевидно, в приведенных описаниях операций и в способах их применения в алгебре фактически скрываются, оставаясь порой не высказываемыми, такие моменты, которые отражают специфику математического подхода к исследованию множеств.

Это обнаруживается в следующих обстоятельствах. При введении указанных операций внимание математиков прежде всего направлено на изучение их свойств (или законов), которые проявляются в системе равенств. Так, Р.Курант и Г.Роббинс выделяют 26 таких законов и среди них:

и др. [26, стр. 166].

Отметим, что законы 1-2 и 4-5 внешне тождественны с коммутативным и ассоциативным законами обыкновенной алгебры; законы 3 и 6 не имеют аналогов в этой алгебре.

Так, А.Г.Курош пишет: "Операции пересечения и объединения множеств связаны между собой следующими двойственными друг другу законами дистрибутивности: для любых трех множеств А, В, С В приведенных законах, как это отчетливо видно но их изображению, операции фигурируют не сами по себе, а связанными в определенных отношениях, и эта связь проступает в форме равенств, фиксированных особым знаком ("=").

Суждение "А объединяется с объединенным В и С" само по себе - даже при подразумевании крайне абстрактных элементов - обозначает лишь факт объединения и ничего не говорит относительно его свойств. Но если при этом еще утверждается, что такое объединение тождественно, равно другому (т.е. объединенным А и В, объединяемым с С), то здесь вскрывается специфическое свойство операции, фиксируемое ассоциативным законом, показывающим безразличие порядка соединения множеств для получения конечного результата (аналогичным образом можно рассматривать и другие законы, имеющие внутри своих формул связь "=").

Но любые ли реальные совокупности ("множества") подчиняются ассоциативному закону (и другим законам)?

Законы композиции и понятие математической структуры Представим себе, что есть три множества: стая старых волков (А), группа зайцев (В) и стая молодых волчат (С). "Объединим" их следующим образом: вначале В с С.

Результатом такого "объединения" будет В * С, ибо вряд ли волчата "сожрут" зайцев.

Затем соединим А с (В * С). Вполне возможно, что старые волки займутся "уходом" за волчатами и не тронут зайцев. Результат объединения - А * (В * С). Сохранится ли он, если изменить порядок объединения: вначале соединить А с В, а уже затем полученное с С? Очевидно, не сохранится - волки "сожрут" зайцев, окажется, что здесь ассоциативный закон не действует:

Этот пример наивен только на первый взгляд. На самом деле введение ассоциативного и других законов предполагает, очевидно, систему ограничений для объектов, которые могут попасть в сферу их приложения. Эти ограничения могут идти как за счет простого "отключения" какой-либо группы объектов из более широкой, так и за счет точного указания системы условий, в которых применяемое правило "работает". Но в обоих случаях мы имеем дело с процессом построения абстракции и построения таких конструкций (математических элементов), которые затем могут быть предметом собственно математических преобразований.

С этой точки зрения нельзя, например, любую реальную ("натуральную") совокупность вещей, взятую саму по себе, назвать математическим множеством, а включение или выключение, соединение или пересечение совокупностей математическими операциями. Реальная совокупность становится математическим множеством, очевидно, лишь тогда, когда она задана в определенных условиях, под углом зрения определенных "ограничений", т.е. через выделение и абстрагирование в ней некоторых свойств или отношений (у Н.Бурбаки - определенной структуры).

Что это за свойства? Как они выделяются в реальных объектах, становясь предметом математического анализа? Эти вопросы имеют первостепенное значение для практики конструирования учебной программы в начальном обучении.

Человек, уже практически владеющий математикой, как правило, не осознает тех ограничений, которые позволяют выделить предмет ее операций. Для него он уже выделен и выступает в своих собственных характеристиках. Но для ребенка этот предмет еще скрыт и его надо выделить из других отношений вещей (например, из физических, химических и т.д.). Представления педагогов о способах выделения нужных отношений существенно влияют на программу начального преподавания математики, на выбор соответствующих понятий, средств их изображения и типа упражнений.

С психологической точки зрения особый интерес как раз и представляет описание тех проблемных ситуаций, для разрешения которых человек создает (и усваивает) определенные способы действий, выделяя необходимые признаки и отношения вещей.

Знание этих ситуаций и способов действия позволяет так организовывать процесс обучения, чтобы в голове ребенка своевременно формировались адекватные абстракции, а не цепочки внешних словесных обозначений, непосредственно связанных с многочисленными свойствами вещей.

Трудности описания этих ситуаций и действий проистекают из того обстоятельства, что уже в сложившемся, готовом знании они сняты и даже кажутся излишними. Само это знание как бы непосредственно связано со свойствами вещей, к которым, кстати, прямо и относится. Это в определенной степени допустимо для общения теоретически развитых "голов", но, к сожалению, в подобную ситуацию часто попадает обучаемый ребенок, еще не владеющий способами построения данной абстракции.

Поэтому ее натурализация, ее опредмечивание приводит, с одной стороны, к потере умения "видеть" свойства самой вещи, с другой - к предметной ограниченности самой абстракции, к ее нежизненности, сколь бы она ни расцвечивалась "конкретными" образами и примерами.

Об этом приходится специально говорить ввиду того, что в современной методике преподавания математики порой слишком поверхностно и формально стали использовать термин множество, вводя его в школьные курсы. Этот термин соотносят с любой предметной совокупностью как некое родовое обозначение (множество яблок, множество стульев и т.д.), полагая, что тем самым подводится "современная" база, например, под понятие числа. Сама тенденция к такому "подведению" базы примечательна и правомерна. Но при этом нельзя останавливаться на том, чтобы просто заменить слова куча, группа словом множество, заведомо не указывая системы специфических условий, приводящих к выделению именно множественного момента в реальных совокупностях (в частности, таким дефектом, на наш взгляд, страдает подведение теоретикомножественной базы под арифметику в широко распространенных пособиях для учителей, написанных И.К.Андроновым [2], [31].

Таким образом, использование понятия множества как основы преподавания математики требует гораздо более широкого контекста, нежели те внешние особенности множества, которые в нем иногда описываются. Оно приобретает смысл и работает внутри особых систем отношений, которым подчиняются определенные категории вещей.

Лишь анализ этих отношений выделяет само множество, т.е. объект, обладающий этими отношениями и присущими им законами независимо от физической и прочей другой "конкретной" своей природы. Абстракция множества является следствием выделения определенных отношений между произвольными объектами. Законы, характеризующие эти отношения, выступают как те "ограничения", благодаря которым выделяются и абстрагируются собственно математические моменты. Знакомство с этими законами является по существу предпосылкой работы с понятием множества.

Но начинать преподавание математики с "алгебры множеств", - значит создать совсем другой учебный предмет, нежели тот, который имеется сейчас в школе. Сколь реальна эта задача - вопрос особый. Поскольку попытки ее решения уже предпринимаются, а сами понятия "отношение - структура" проникают и в психологические теории мышления (Ж.Пиаже), то целесообразно конкретнее рассмотреть смысл этих понятий.

Выше мы приводили суждение Н.Бурбаки об "объекте" математики: таковым являются математические структуры. Что это такое? "Общей чертой различных понятий, объединенных этим родовым названием, является то, что они применимы к множеству элементов, природа которых не определена. Чтобы определить структуру, задают одно или несколько отношений, в которых находятся его элементы...; затем постулируют, что данное отношение или данные отношения удовлетворяют некоторым условиям (которые перечисляют и которые являются аксиомами рассматриваемой структуры)" [7, стр. 251].

Н.Бурбаки указывает три основных типа математических структур: алгебраические структуры, структуры порядка и топологические (отмечая, что дальнейшее развитие математики вполне возможно приведет к увеличению числа фундаментальных структур, которые не остаются неизменными ни по их числу, ни по их сущности [7, стр. 256]).

Исходной точкой в определении структуры являются отношения, которые могут быть весьма разнообразными.

Упорядочивающим принципом современной математики в целом служит иерархия структур, идущая от простого к сложному, от общего к частному. В центре стоят перечисленные выше основные типы структур - порождающие структуры, которые являются неприводимыми друг к другу. За пределами этого ядра стоят сложные структуры, в которых органически скомбинированы одновременно одна или несколько порождающих структур (топологическая алгебра, алгебраическая топология, теория интегрирования и т.д.). Далее идут частные теории, в которых, как на перекрестках, "сталкиваются и взаимодействуют многочисленные математические структуры, имеющие более общий характер", благодаря чему объекты приобретают "индивидуальность" (теории классической математики - анализ, теория чисел и т.д.)" [7, стр. 256].

Такова, согласно Н.Бурбаки, архитектура современной математики, раскрытие которой осуществляется путем движения от общего, фундаментального, производящего, простого к частному, производному, сложному, индивидуальному. Содержание сложных структур можно правильно понять лишь посредством анализа этого движения, перехода, внутри которого органически связываются и взаимодействуют исходные, простые структуры, порождая частные и индивидуальные.

Эта схема развертывания математики как науки имеет прямую связь с теориями построения учебного предмета. Особое значение принадлежит особенностям начальных, исходных структур.

Алгебраическая структура определяется "законом композиции", т.е. таким отношением между тремя элементами, которое определяет однозначно третий элемент как функцию двух первых. Есть два типа этих законов: внутренние и внешние.

"Внутренним законом композиции элементов множества Е называется отображение f некоторого подмножества А произведения Е Х Е в Е. Значение f(x, у) отображения при (х, у) #А называется композицией х и у относительно этого закона" [6, стр. 17].

К внутренним законам композиции относятся ассоциативный и коммутативный законы.

"Всюду определенный закон композиции (х, у) -> хTу элементов множества Е называется ассоциативным, если, каковы бы ни были элементы х, у, z из Е, (хТу)Тz = хТ(уТz)" [6, стр. 23].

"Пусть T - закон композиции элементов множества Е. Элементы х, у из Е называются перестановочными относительно закона T, если xTу и уTx определены и хTу = уTх.

Закон композиции T элементов множества Е называется коммутативным, если для любой пары (х, у) элементов из Е, для которой хTу определено, х и у перестановочны" [6, стр. 28]. (Символ T обозначает здесь произвольный закон композиции.) "Внешним законом композиции элементов множества ###, называемого множеством операторов (или областью операторов) закона, и элементов множества Е называется отображение f некоторого множества А ### Х ЕвЕ. Значение f(a, х), принимаемое f в (а, х) # А, называется композицией и их относительно этого закона.

Элементы из ### называются операторами закона" [6, стр. 55 ].

Полное определение алгебраической структуры такое: "алгебраической структурой в множестве Е называется всякая структура, определяемая в Е одним или несколькими внутренними законами композиции элементов из Е и одним или несколькими внешними законами композиции операторов из областей операторов ###,... и элементов из Е, причем эти законы могут быть подчинены некоторым условиям (например, ассоциативности, коммутативности и т.п.) или быть связаны друг с другом некоторыми отношениями" [6, стр. 60).

Структура порядка определяется отношением порядка. "...Это - отношение между двумя элементами х, у, которое чаще всего мы выражаем словами "х меньше или равно у" и которое мы будем обозначать в общем случае xRy. Здесь больше не предполагается, что это отношение однозначно определяет один из элементов х, у как функцию другого.

Аксиомы, которым оно подчиняется, таковы:

b) из соотношений xRy, yRx следует х = у;

с) из соотношений xRy, yRz следует xRz" [7, стр. 252].

В тополoгических структурах находят математическую формулировку понятия "окрестность", "предел", "непрерывность", к которым приводит представление о пространстве [7, стр. 252 - 253].

Идеи Н.Бурбаки относительно "архитектуры математики" весьма заманчивы для педагогов, логиков и психологов. Возникает перспектива - положить в основу изучения математики знакомство с общими (простыми) структурами и развертывать учебный предмет через их взаимосвязь и переплетение. При обсуждении вопроса о реальности этой перспективы необходимо различать две стороны дела. Первая касается возможности и целесообразности подобного построения курса при тех образовательных целях и тех дидактических средствах, которыми обладает нынешняя массовая школа или школа ближайшего будущего. Здесь есть свои ответы и свои, как правило, "сдержанные" решения, с которыми приходится соглашаться, учитывая "реальные" обстоятельства.

Однако есть и другая сторона - исследовательская, поисковая, связанная с чисто экспериментальным изучением общих проблем построения учебных предметов, в частности математики. Здесь указанные идеи имеют первостепенное значение, ибо создают предпосылки для существенного и оправданного пересмотра представлений традиционной педагогики, для выработки нового понимания природы абстракции и обобщения, связи общего и частного, путей формирования детского мышления и т.д.

Иными словами, исследования в этой области могут решить многие трудные вопросы, важные и для "текущих" школьных дел.

Ряд зарубежных публикаций показывает, что некоторые бурбакианские идеи так или иначе, но уже фактически используются в экспериментальных программах и учебниках (в основном это касается средней школы и отдельных разделов курса). Так, определенное отражение они нашли, например, в пособии Р.Дэвиса [49], предназначенном для преподавания математики в V и более старших классах американской школы (детям с 10 - 11 лет). Это пособие нацелено на изучение элементов аксиоматической алгебры, декартовой системы координат (co-ordinate qeometry) и функций. Автор пособия, обобщая работу по своему и некоторым другим экспериментальным "проектам", в частности, отмечает, "что четвероклассники, пятиклассники и шестиклассники более восприимчивы к абстрактной математике и подходят к предмету более творчески и оригинально, чем более старшие дети" [49, р. 2].

Некоторые авторы указывают на возможность и целесообразность раннего знакомства детей с понятиями конечной математики, теории вероятностей и т.д. При этом выделяется особое значение общих принципов логики для усвоения математики и других дисциплин. В частности, есть предложение первые два года обучения детей в школе специально посвятить ознакомлению их с операциями логического сложения, умножения, включения и т.п. "Эти логические операции, несомненно, являются основой более специальных операций и понятий различных отраслей науки" [5, стр. 45]. (Отметим, кстати, что при такой подготовке можно сравнительно рано вводить и законы "алгебры множеств".) Поисковые исследования в этой области по сути дела могут быть только комплексными, так как содержат математический, логический, психологический и дидактический аспекты. В плане логико-математическом встают, например, вопросы о порядке введения структур, о круге изучаемых понятий и их связи, об определении состава признаков этих понятий, о разграничении "общих" и "частных" признаков и т.д.

Для психологии проблема, в частности, состоит в том, чтобы выявить ту систему действий ребенка с определенным дидактическим материалом, которая позволяет ему вскрыть, выделить и освоить исходные математические отношения. При этом важно учитывать этапы усвоения, разные формы и степени овладения и применения понятий.

Третью группу вопросов условно можно назвать психолого-дидактическими.

Можно ли практически реализовать такую программу в школе? Посильна ли она будет детям и с какого возраста (класса) она должна осваиваться? И главное, какой эффект это даст в отношении как интенсивности усвоения математики, так и его качества? Решение подобных вопросов тесно связано с психологическими сведениями относительно источников, условий и темпа развития детского мышления. Остановимся на этих моментах специально, так как в детской психологии здесь собраны интересные данные.

Психологические предпосылки построения математики как учебного предмета На первый взгляд понятия "отношение", "структура", "законы композиции" и др., имеющие сложные математические определения, не могут быть связаны с формированием математических представлений у маленьких детей. Конечно, весь подлинный и отвлеченный смысл этих понятий и их место в аксиоматическом построении математики как науки есть объект усвоения уже хорошо развитой и "натренированной" в математике головы. Однако некоторые свойства вещей, фиксируемые этими понятиями, так или иначе проступают для ребенка уже сравнительно рано: на это имеются конкретные психологические данные.

Прежде всего следует иметь в виду, что от момента рождения до 7 - 10 лет у ребенка возникают и формируются сложнейшие системы общих представлений об окружающем мире и закладывается фундамент содержательно-предметного мышления.

Причем на сравнительно узком эмпирическом материале дети выделяют общие схемы ориентации в пространственно-временных и причинно-следственных зависимостях вещей. Эти схемы служат своеобразным каркасом той "системы координат", внутри которой ребенок начинает все глубже овладевать разными свойствами многообразного мира. Конечно, эти общие схемы мало осознаны и в малой степени могут быть выражены самим ребенком в форме отвлеченного суждения. Они, говоря образно, являются интуитивной формой организации поведения ребенка (хотя, кoнечно, все более и более отображаются и в суждениях).

В последние десятилетия особенно интенсивно вопросы формирования интеллекта детей и возникновения у них общих представлений о действительности, времени и пространстве изучались известным швейцарским психологом Ж.Пиаже и его сотрудниками. Некоторые его работы имеют прямое отношение к проблемам развития математического мышления ребенка, и поэтому нам важно рассмотреть их применительно к вопросам конструирования учебной программы.

В одной из своих последних книг, написанной совместно с Б.Инельдер [37], Ж.Пиаже приводит экспериментальные данные о генезисе и формировании у детей (до - 14 лет) таких элементарных логических структур, как классификация и сериация.

Классификация предполагает выполнение операции включения (например, А + А' = В) и операции, ей обратной (В - А' = А). Сериация - это упорядочение предметов в систематические ряды (так, палочки разной длины можно расположить в ряд, каждый член которого больше всех предыдущих и меньше всех последующих).

Анализируя становление классификации, Ж.Пиаже и Б.Инельдер показывают, как от ее исходной формы, от создания "фигурной совокупности", основанной лишь на пространственной близости объектов, дети переходят к классификации, основанной уже на отношении сходства ("нефигурные совокупности"), а затем к самой сложной форме - к включению классов, обусловленному связью между объемом и содержанием понятия.

Авторы специально рассматривают вопрос о формировании классификации не только по одному, но и по двум-трем признакам, о формировании у детей умения изменять основание классификации при добавлении новых элементов. Аналогичные стадии авторы находят и в процессе становления сериации.

Эти исследования преследовали вполне определенную цель - выявить закономерности формирования операторных структур ума и прежде всего такого их конституирующего свойства как обратимость, т.е. способности ума двигаться в прямом и обратном направлении. Обратимость имеет место тогда, когда "операции и действия могут развертываться в двух направлениях, и понимание одного из этих направлений вызывает ipso facto [в силу самого факта] понимание другого" [36, стр. 15].

Обратимость, согласно Ж.Пиаже, представляет фундаментальный закон композиции, свойственный уму. Она имеет две взаимодополняющие и несводимые формы: обращение (инверсия или отрицание) и взаимность.

Обращение имеет место, например, в том случае, когда пространственное перемещение предмета из А в В можно аннулировать, переводя обратно предмет из В в А, что в итоге эквивалентно нулевому преобразованию (произведение операции на обратную есть тождественная операция, или нулевое преобразование).

Взаимность (или компенсация) предполагает тот случай, когда, например, при перемещении предмета из А в В предмет так и остается в В, но ребенок сам перемещается из А в В и воспроизводит начальное положение, когда предмет находился против его тела.

Движение предмета здесь не аннулировано, но оно компенсировалось путем cоответствующего перемешения собственного тела - и это уже другая форма преобразования, нежели обращение [36, стр. 16].

В своих работах Ж.Пиаже показал, что эти преобразования возникают вначале в форме сенсо-моторных схем (с 10 - 12 мес.). Постепенная координация чувственнодвигательных схем, функциональная символика и языковое отображение приводят к тому, что через ряд этапов обращение и взаимность становятся свойствами интеллектуальных действий (операций) и синтезируются в единой операторной структуре (в период с 7 до и с 12 до 15 лет). Теперь ребенок может координировать все перемещения в одно по двум системам отсчета сразу - одна мобильная, другая неподвижная.

Ж.Пиаже считает, что психологическое исследование развития арифметических и геометрических операций в сознании ребенка (особенно тех логических операций, которые осуществляют в них предварительные условия) позволяет точно соотнести операторные структуры мышления со структурами алгебраическими, структурами порядка и топологическими [36, стр.13]. Так, алгебраическая структура ("группа") соответствует операторным механизмам ума, подчиняющимся одной из форм обратимости - инверсии (отрицанию). Группа имеет четыре элементарных свойства:

произведение двух элементов группы также дает элемент группы; прямой операции соответствует одна и только одна обратная; существует операция тождества;

последовательные композиции ассоциативны. На языке интеллектуальных действий это означает:

1) координация двух систем действия составляет новую схему, присоединяемую к предыдущим;

2) операция может развиваться в двух направлениях;

3) при возвращении к исходной точке мы находим ее неизменной;

4) к одной и той же точке можно прийти разными путями, причем сама точка остается неизменной.

"В общем смысле, - пишет Ж.Пиаже, - "группа" есть символический перевод некоторых определенных функциональным свойств действий мышления: возможность координации действий, возможность возвращения и отходов" [36, стр.16].

Структуре порядка соответствует такая форма обратимости, как взаимность (перестановка порядка). В период от 7 до 11 и от 11 до 15 лет система отношений, основанная на принципе взаимности, приводит к образованию в сознании ребенка структуры порядка [36, стр.20].

Факты "самостоятельного" развития ребенка (т.е. развития, независимого от прямого влияния школьного обучения) показывают несоответствие порядка этапов геометрии и этапов формирования геометрических понятий у ребенка. Последние приближаются к порядку преемственности основных групп, где топология является первой. У ребенка, по данным Ж.Пиаже, вначале складывается интуиция топологическая, а затем он ориентируется в направлении проективных и метрических структур. Поэтому, в частности, как отмечает Ж.Пиаже, при первых попытках рисования ребенок не различает квадратов, окружностей, треугольников и других метрических фигур, но прекрасно различает фигуры открытые и закрытые, положение "вне" или "внутри" по отношению к границе, разделение и соседство (не различая до поры до времени расстояния) и т.д. [36, стр.23].

Поскольку операторные структуры мышления формируются по стадиям, важно представить их схему, намеченную Ж.Пиаже.

С рождения до 2 лет наблюдается стадия сенсо-моторного мышления. В его схемах уже есть обращение и взаимность, но как чисто внешние, двигательные характеристики поведения ребенка (например, отодвигание и обратное приближение предмета к себе).

С 2 до 7 лет наблюдается стадия наглядного мышления (дооперативный период), когда происходит расширение знаний об окружающем, и схемы внешних (предметных) действий переносятся в план представления, становятся мысленно выполняемыми (например, ребенок начинает мысленно выполнять ту систему перемещений, которую до этого делал на предметах). Способность ума к известной подвижности в прямом и обратном направлениях совершенствуется в предметной области, хотя и сталкивается со многими трудностями.

С 7 - 8 до 11 - 12 лет имеет место стадия конкретных операций. Умственные действия ребенка приобретают свойство обратимости и определенную структуру, но при решении задач только в предметном плане, а не в плане "чисто" словесных высказываний.

Обращение и взаимность существуют раздельно. Операции над классами и отношениями еще элементарны (элементарные "группировки").

С 11 - 12 до 14 - 15 лет наблюдается стадия формальных операций, организуемых в структурное целое.

Эти операции выполняются теперь и в плане "чистых" суждений (словесных высказываний). Происходит синтез двух структур, ранее основанных раздельно на обращении и взаимности; теперь это целое вполне соответствует структурам алгебраической и порядка.

Смена этих стадий закономерна. Источник же развития ума Ж.Пиаже по сути дела усматривает во внутренней логике становления психики как особой "системы", наподобие органической. Реальная среда (социальные условия) может задерживать или стимулировать ход умственного развития, но не определять, не детерминировать его основное содержание, направление и общие темпы.

В частности, Ж.Пиаже считает, что умственное развитие не есть прямая функция обучения. Здесь могут складываться даже противоречивые тенденции. Так, "самостоятельное", "спонтанное" развитие ведет ребенка от топологических представлений к проективным и метрическим, а в школе курс геометрии, наоборот, начинается с метрики. Нужно считаться с этим самостоятельным развитием и своевременно вводить в обучение то, что подготовлено в процессе формирования операторных структур. Тогда обучение будет ускорять дальнейшее развитие ума ребенка.

Рассмотрим основные положения, сформулированные Ж.Пиаже, применительно к вопросам построения учебной программы. Прежде всего, исследования Ж.Пиаже показывают, что в период дошкольного и школьного детства у ребенка формируются такие операторные структуры мышления, которые позволяют ему оценивать фундаментальные характеристики классов объектов и их отношений. Причем уже на стадии конкретных операций (с 7 - 8 лет) интеллект ребенка приобретает свойство обратимости, что исключительно важно для понимания теоретического содержания учебных предметов, в частности математики.

Эти данные говорят о том, что традиционная психология и педагогика не учитывали в достаточной мере сложного и емкого характера тех стадий умственного развития ребенка, которые связаны с периодом от 2 до 7 и от 7 до 11 лет.

Сам Ж.Пиаже эти операторные структуры прямо соотносит с основными математическими структурами. Однако в этом пункте важно рассмотреть следующее обстоятельство.

С фактической стороны "перевод" некоторых свойств "группы" на язык операций вполне оправдан и правомерен. Но что является источником такого соответствия? На этот вопрос у Ж.Пиаже нет достаточно четкого и обоснованного ответа. По сути дела его позиция сводится к тому, что математические структуры являются формальным "продолжением" операторных структур мышления [36, стр.16, 27].

Тогда причина соответствия - генетическое родство структур двух типов.

Источником такого родства является то, что операторные структуры возникают как абстракция действий, осуществляемых над предметами. Таково же и содержание логикоматематической абстракции в отличие, например, от физической, когда абстракция совершается в отношении свойств самого предмета [36, стр.30].

Итак, источник "соответствия" операторных и математических структур в общем типе абстракции (абстракции действий).

Не вдаваясь в обсуждение того, существует ли такой тип абстракции и каковы его действительные особенности (есть основание полагать, что он существует), правомерно поставить вопрос: в отношении каких реальных объектов складываются сами действия, подлежащие последующему абстрагированию? Можно прямо не отвечать на этот вопрос (как это имеет место по сути дела у Ж.Пиаже) и тогда источник соответствия структур можно видеть только в особом типе абстракции, одинаково им свойственном. Попытка же ответить на этот вопрос должна привести к указанию того свойства реальных объектов, выделение и "формализация" которого в действии приводит к возникновению и операторных и математических структур.

Общий ли у них "объект"? Если да, то каков он? У Пиаже указание на него отсутствует, ибо по существу его концепции такого общего объекта не существует - у структур мышления и математических структур общим является лишь тип абстракции. И естественно, что если математические структуры есть "продолжение" ранее складывающихся "операторных структур", то для ребенка действительный предмет математики открывается лишь сравнительно поздно - к 12 - 15 годам, когда структуры приобретают формальный характер.

Иными словами, математическое мышление возможно лишь на основе уже сложившихся операторных структур (и при этом остается в тени объект этих операций).

Это обстоятельство можно выразить и в такой форме: не "знакомство" с математическими объектами и усвоение способов действия с ними определяют формирование у ребенка операторных структур ума, а предварительное образование этих структур (как "координации действий") является началом математического мышления, "выделения" математических структур.

В конечном счете в этом положении определенным образом решается "каверзный" теоретико-познавательный вопрос об источниках математического знания. Его прямо ставит и сам Ж.Пиаже: "...порождены ли математические соотношения деятельностью ума или эта деятельность только открывает их как некую внешнюю реальность, действительно существующую" [36, стр. 10].

Ж.Пиаже не отвечает на этот вопрос вполне определенно. С одной стороны, он признает внешний источник математических знаний, с другой стороны, фактическим сопоставлением операторных и математических структур приходит к тому, что последние "порождены деятельностью ума". В данном пункте необходим более детальный анализ позиции Ж.Пиаже, отметим только, что от решения указанного выше вопроса зависит подход к пониманию источников математического мышления, а следовательно, и условий его формирования.

С нашей точки зрения, математические отношения есть объективная реальность, есть отношения действительно существующих вещей. Деятельность ума лишь открывает их, и по мере раскрытия их содержания формируется и сама. С этими отношениями ребенок, по-видимому, сталкивается очень рано: в 2-3 года он уже практически осваивает многие зависимости и связи вещей, имеющие математическую природу. Это пространственно-временные характеристики объектов, обладающие количественной определенностью. Очевидно, в процессе знакомства с ними, осуществляющегося в ходе практически-предметных манипуляций, складываются "операторные структуры" (в частности, "обратимость"), которые тем самым с самого начала выступают как характеристики реального математического мышления ребенка. Такое мышление еще не есть научно-математическое, но уже имеет дело с такими отношениями вещей, которые обладают математической характеристикой. Углубление в количественную определенность предметных отношений приводит, в частности, к формированию классификации и сериации, которые являются, очевидно, практическими преобразованиями математического характера, т.е. не "логическими" структурами, как полагает Ж. Пиаже, а практическими способами выделения и фиксации некоторых математических отношений. При этом "обратимость" является механизмом осуществления этих способов действия с объектами. В таком случае становится понятным факт соответствия свойств операторных и математических структур - первые с самого начала формируются как умственные механизмы ориентации ребенка в общих математических отношениях.

Здесь также "генетическое родство", но не на основании общего типа абстракции, а на основе общего объекта, ориентация в котором требует и определенного типа абстракции. Конечно, перед генетической (детской) психологией встает трудная проблема - выявить характеристику этого объекта, формы его "открытия" ребенком и причины, обусловливающие "открытие" именно тех свойств вещей, которые на вершинах формально-математического анализа описываются как особые отношения и структуры.

Таким образом, встает экспериментальная проблема выявления причин и условий соответствия операторных структур мышления и математических структур, которое столь детально прослежено в работах Ж.Пиаже.

Рассмотрение результатов, полученных Ж.Пиаже, позволяет сделать ряд существенных выводов применительно к конструированию учебной программы по математике. Прежде всего фактические данные о формировании интеллекта ребенка с 2 до 11 лет говорят о том, что ему в это время не только не "чужды" свойства объектов, описываемые посредством математических понятий "отношение - структура" но последние сами органически входят в мышление ребенка.

Традиционные программы не учитывают этого обстоятельства (особенно в области обучения геометрии). Поэтому они не реализуют многих возможностей, таящихся в процессе интеллектуального развития ребенка.

Материалы, имеющиеся в современной детской психологии, позволяют положительно оценивать общую идею построения такого учебного предмета, в основе которого лежали бы понятия об исходных математических структурах. Конечно, на этом пути возникают большие трудности, так как еще нет опыта построения такого учебного предмета. В частности, одна из них связана с определением возрастного "порога", с которого осуществимо обучение по новой программе. Если следовать логике Ж.Пиаже, то, видимо, по этим программам можно учить лишь тогда, когда у детей уже полностью сформировались операторные структуры (с 14 - 15 лет). Но если предположить, что реальное математическое мышление ребенка формируется как раз внутри того процесса, который обозначается Ж.Пиаже как процесс складывания операторных структур, то эти программы можно вводить гораздо раньше (например, с 7 - 8 лет), когда у детей начинают формироваться конкретные операции с высшим уровнем обратимости. В "естественных" условиях, при обучении по традиционным программам формальные операции, возможно, только и складываются к 13 - 15 годам. Но нельзя ли "ускорить" их формирование путем более раннего введения такого учебного материала, усвоение которого требует прямого анализа математических структур?

Мы полагаем, что такие возможности есть. К 7 - 8 годам у детей уже в достаточной мере развит план мыслительных действий, и путем обучения по соответствующей программе, в которой свойства математических структур даны "явно" и детям даются средства их анализа, можно быстрее подвести детей к уровню "формальных" операций, чем в те сроки, в которые это осуществляется при "самостоятельном" открытии этих свойств.

При этом важно учитывать следующее обстоятельство. Есть основания полагать, что особенности мышления на уровне конкретных операций, приуроченном Ж.Пиаже к 7 годам, сами неразрывно связаны с формами организации обучения, свойственными традиционной начальной школе. Это обучение (и у нас, и за рубежом) ведется на основе предельно эмпирического содержания, зачастую вообще не связанного с понятийным (теоретическим) отношением к объекту. Такое обучение поддерживает и закрепляет у детей мышление, опирающееся на внешние, прямым восприятием уловимые признаки вещей.

Связь "феноменов" развития детского мышления, обнаруженных Ж.Пиаже, с организацией обучения, формирующего у ребенка такое мышление, отмечена, например, П.Я.Гальпериным [12, стр. 35-36]. Вместе с тем специальное исследование, проведенное П.Я.Гальпериным и Л.С.Георгиевым [13], вскрыло важный факт. Меняя организацию и содержание обучения детей-дошкольников начальным математическим понятиям, они обнаружили закономерное исчезновение некоторых "феноменов", ранее обнаруженных Ж.Пиаже у детей этого возраста. Особое значение в новой организации обучения имело более раннее введение средств измерения количественной характеристики объектов, что "снимало" возможность ее оценки детьми лишь по впечатлению, по признаку, господствующему в непосредственном восприятии (как раз преимущественная ориентация ребенка на этот признак и свойственна "феноменам" Пиаже).

В своем экспериментальном исследовании особенностей счета у детейпервоклассников, осваивающих сведения о числе по традиционной программе, мы также обнаружили наличие у многих из них тенденции к непосредственной оценке количественной характеристики объектов. Эти дети ориентировались в основном на внешне воспринимаемые признаки предметных совокупностей, игнорируя наперед данное им основание счета, отличающееся от непосредственных свойств элементов совокупностей [17]. Этот факт, аналогичный "феноменам" Пиаже, закономерен для принятой в школе системы знакомства ребенка с числом и счетом. Однако изменение этой системы, иная организация всей работы детей, подводящей их к понятию числа, снимает (попросту устраняет) подобные "феномены". Если знакомство с числом с самого начала строить на основе действия, определяющего отношение целого и части (любого целого и любой части), то все дети с первых дней пребывания в 1 классе правильно определяют числовую характеристику совокупностей, не "сползая" к ее оценке по непосредственному впечатлению от них. Правда, такое обучение дает ребенку и другую абстракцию, нежели ту, которую он получает по традиционной программе, но как раз в этом и состоит задача иной организации дела, с самого начала формирующей у ребенка умение действовать с особыми "эталонами" как средствами ориентаций в окружающем (работа, связанная с таким обучением счету, подробно описана в данной книге, а также в статье Е.С.Орловой [34]).

Отмечая большое значение исследований Ж.Пиаже, П.Я.Гальперин вместе с тем пишет: "В теории подлинную проблему составляет переход от непосредственного мышления к мышлению опосредствованному... Этот переход диктуется не только логикой постепенного овладения "интеллектуальными операциями", как полагает Пиаже, а фактической организацией перехода к "орудийному мышлению", организацией усвоения действий по использованию эталонов, мер, этих подлинных орудий интеллектуальной деятельности, фактической организацией формирования опосредствованного мышления в смысле Л.С.Выготского" [12, стр. 36]. На наш взгляд, лишь в контексте экспериментального решения этой общей проблемы можно судить о действительных особенностях детского мышления, об этапах и темпах его развития. Последние сами являются производными от конкретных способов фактической организации обучения, в частности от того, в какой степени и в какие возрастные периоды дети осваивают подлинные "эталоны" (или понятийные "нормы") умственной деятельности. Вместе с тем в контексте этой проблемы будут решаться вопросы о так называемых возрастных особенностях детского мышления, которые по сути дела могут быть лишь относительными, зависящими от "фактической организации" формирования мышления в процессе обучения (в широком смысле этого слова).

Важнейшим моментом, составляющим эту "организацию", является содержание учебных предметов, которое в свою очередь тесно связано с типом учения (в смысле, развиваемом П.Я.Гальпериным [11]). Изменяя определенным образом содержание и тип учения, можно экспериментально изучать оптимальные условия формирования опосредствованного мышления, а тем самым выявлять психологические предпосылки конструирования учебных предметов.

Таким образом, в настоящее время имеются фактические данные, показывающие тесную связь операторных структур детского мышления и общематематических структур, хотя "механизм" этой связи далеко не ясен и почти не исследован. Наличие этой связи открывает принципиальные возможности (пока лишь возможности!) для построения учебного предмета, развертывающегося по схеме "от простых структур - к их сложным сочетаниям". Одним из условий реализации этих возможностей является изучение перехода к опосредствованному мышлению и его возрастных нормативов. Указанный способ построения математики как учебного предмета сам может быть мощным рычагом формирования у детей такого мышления, которое опирается на достаточно прочный понятийный фундамент.

Некоторые общие вопросы определения содержания учебных предметов Приведенные выше материалы позволяют выделить некоторые ведущие логикопсихологические предпосылки построения традиционного курса математики как учебного предмета.

Прежде всего здесь в том или ином виде содержится предположение о том, что курс необходимо начинать с относительно простого понятия, с первой абстракции. Таким понятием полагается число.

Мы попытались показать, что в системе современных общематематических понятий число не является ни простым, ни первым. Принятие его за "начало" по существу противоречит самой указанной предпосылке. "Простота" его усвоения не есть синоним "простоты" понятия числа с точки зрения его действительного содержании как предполагаемого фундамента школьной математики. Это довольно сложная абстракция, требующая многих более "простых" оснований.

Наличие этого противоречия обнаруживается, например, в том, что в настоящее время крепнет тенденция к введению таких оснований в начальном курсе математики (одним из них выступает понятие множества и т.д.).

Одним из аргументов в защиту числа как "начала" служит указание на то, что оно было первым и в истории самой математики. В этом аргументе отражается еще одна предпосылка построения курса - увязывание его "начала" с историей знания.

Но являлось ли это понятие "первым" в истории математического знания? И с какой точки зрения целесообразно подходить к истории понятий?

Многочисленные факты свидетельствуют о том, что в истории человечества (как, впрочем, и в онтогенезе) категории "количества", "порядка" и ряд других возникли и употреблялись еще до их выражения в специфически числовой форме. Вряд ли можно проходить мимо этого существенного момента.

Далее, как показывает математическая теория, некоторые абстрактные законы современной алгебры неразрывно связаны с простейшими вычислениями и просвечивают в них: "В математике существует немного понятий, которые были бы первичнее понятия "закон композиции": оно кажется неотделимым от элементарных вычислений с натуральными числами и измеримыми величинами" [7, стр. 64].

Авторы традиционных способов построения учебного предмета, с одной стороны, игнорируют "дочисловые", "неарифметические" средства анализа математических отношений, с другой стороны, не выделяют явлений, связанных с композиционностью и присущих тем же вычислениям, но не только (и не столько) им. И то, и другое возможно лишь постольку, поскольку сама история знания заранее просматривается с точки зрения ведущего положения "целого числа". Здесь определенная теория служит ориентиром в истории.

Но, как было показано выше, существует и другая теория, где ведущее значение имеют понятия "отношение - структура". С этой точки зрения и в самой истории знания могут быть выявлены и прослежены моменты, обычно не улавливаемые. В частности, может быть намечена тесная связь действий над натуральными числами и законов композиции. И дело не в том, что при этом сохраняются "вычисления", а в том, что будет в центре внимания анализирующего человека - частные ли особенности частных же объектов или более общие способы их преобразования.

В эмпирической истории последовательность смены исчислений шла в направлении от "числа" к "операциям". В прямом следовании этой истории строится и учебный предмет. Правильный тезис о необходимости начинать курс с истоков знания фактически оборачивается здесь подчинением схемы учебного предмета внешней, эмпирической истории науки. Подобный "историзм" превращается во внешний хронологизм. Иными словами, при решении вопроса о связи исторического и логического в учебном предмете предпочтение отдается историческому, которое зачастую берется в его конкретной эмпирической форме.

Это обстоятельство позволяет обнаружить еще одну предпосылку традиционного построения учебного предмета. Материал в нем развертывается так, чтобы по ходу его усвоения у ребенка постепенно формировалось обобщение, выступающее конечным итогом продвижения в этом материале. В истории знания общие принципы (обобщения) выделяются сравнительно поздно. Поэтому и при обучении необходимо сохранить постепенный переход к общему, к абстракции. Например, ребенок вначале должен освоить технику работы с целыми числами (с частными математическими "объектами") и лишь затем переходить к оперированию буквенными символами, отражающими более общие "объекты". Несколько лет ребенок должен накапливать представления о частных случаях функциональной зависимости и лишь сравнительно поздно получить понятие о функции и общих способах ее описания.

Такое построение учебного предмета исходит из предположения, будто общее лишь вытекает из совокупности частных "конкретных" знаний, лишь следует из них, венчает их. Сами же эти частные знания существуют наряду с общим и такими, какими были до него. В таком случае создается своеобразное положение: для овладения частными сведениями нет нужды в их общем освещении, а знание последнего не меняет сути частного.

Такое понимание обобщения вполне соответствует развертыванию учебного предмета сообразно эмпирической хронологии формирования самого научного знания.

Однако в подлинной истории науки и в соответствующем процессе усвоения знаний общее и абстракция играют иную роль, чем ту, которую им отводят в традиционной педагогике и педагогической психологии. Появление в науке тех или иных новых общих идей существенно влияет и на понимание ранее исходных, простых, отправных ее пунктов. Идеи "верха" неизбежно меняют способ закладки фундамента, который теперь сам получает отсвет от "поздних" общих идей. Здесь общее не только вытекает из частного, но и меняет, перестраивает весь облик, все соподчинение породивших его частных знаний.

Применительно к математике этот момент в яркой форме выражен, например, в следующем высказывании А.Лихнеровича: "Существенное затруднение и основное препятствие в преподавании в историческом плане заключается в характерной для математики особенности думать и передумывать про все целиком, но это же является и залогом ее прогресса... В силу самой общности математики уяснение первоначальных понятий и теорем подвергается неизбежной и полной переработке. То, что являлось первоначальным этапом на пути исканий, превращается в простое упражнение при новых точках зрения" [29; стр. 55-56].

Учебный предмет, конечно, должен соответствовать истории науки, но истории, уже выраженной в теоретической форме, в логическом, которое в очищенном от случайностей виде концентрирует в себе и истоки знания.

Различение подлинного историзма и внешнего хронологизма в каждом отдельном случае выступает как особая исследовательская задача. Отметим, что здесь порой нельзя ориентироваться лишь на терминологию. Так, возражая против засилья "исторического плана" в преподавании, А.Лихнерович [29] имеет в виду по сути дела "хронологизм".

Защита же "исторического плана" иногда выступает как требование подлинного единства теории и истории. Например, в предисловии к книге "Преподавание математики" говорится, будто Ж.Дьедонне (крупнейший французский математик) "придерживается идеи введения математических структур, следуя исторической перспективе" [20, стр.8].

Анализ содержания статьи самого Ж.Дьедонне [20] обнаруживает примечательное обстоятельство: выделяя определенные исторические ступени математической абстракции, он вместе с тем категорически выступает против слепого следования в преподавании приемам мышления, присущим древним. Он требует поиска связи "исторической перспективы" с современными идеями.

Вот как Ж.Дьедонне формулирует задачу преподавания математики: "Мы склонны в наши дни, в частности среди преподавателей... ухищряться маскировать или уменьшать возможно дольше абстрактный характер математики. Это, на мой взгляд, большое заблуждение. Конечно, речь идет не о том, чтобы с самого начала поставить детей перед лицом очень абстрактных понятий, но чтобы по мере развития их ума они этими понятиями овладевали и чтобы математика представилась бы в своем настоящем виде, когда у них сформируются структуры мысли... Сущность математического метода должна стать основой преподавания, а преподаваемый материал представляться лишь хорошо выбранной иллюстрацией" [20, стр. 41].

Ж.Дьедонне полагает, что при учете исторической перспективы развития алгебры необходимо откровенно показывать детям ее абстрактную суть, воспитывать у них способность к абстракции, к использованию ее теоретической силы.

Теоретическое выражение истории знания совпадает с постепенным раскрытием общих идей, с переходом от простых, первых и "пустых" абстракций к сложным, производным и конкретным понятиям. Знание развертывается здесь от абстрактного (одностороннего, крайне "тощего") к конкретному (многостороннему, единству многообразного).

Именно этот путь - путь восхождения от абстрактного к конкретному соответствует теоретическому способу мысленного воспроизведения действительности, способу, разрабатываемому в диалектической логике.

И в этом пункте способы построения учебного предмета не могут не иметь чего-то принципиально общего с научным мышлением, так как у них единая цель воспроизведение в голове человека конкретного знания об объекте. Учебный предмет обладает особыми чертами в отличие от "чистой" науки, ибо он специально призван формировать сами мыслительные способности индивидов, для чего необходимы и свои дидактические средства, но в основе он сходен с теорией: и там и здесь осуществляется движение от простого к сложному, от абстрактного к конкретному, от одностороннего к единству многообразного.

Таким образом, реализация логико-психологических предпосылок построения учебного предмета тесно связана с теорией обобщения и абстракции. От понимания отношения общего и частного, логического и исторического, эмпирического и теоретического во многом зависит выбор исходных понятий учебного предмета при данном уровне развития соответствующей науки, а также принцип развертывания этих понятий.

Теория обобщения, лежащая в основе построения традиционного курса математики, характеризует процесс сведения эмпирических знаний к общему, абстрактному их описанию. Но при этом не раскрывается обратное воздействие абстракции на "обработку" эмпирических, частных знаний. Эта теория в сущности игнорирует собственную логику абстракции, логику теоретической формы знания, которая позволяет еще и выводить конкретное из абстрактного, двигаться в конкретном содержании самих понятий. Отсюда боязнь абстракции (см. остроумное описание этого момента у Ж.Дьедонне [20]), неумение работать с нею (ведь стало притчей во языцах мнение о "трудностях" усвоения математики), применение различных "ухищрений", упрощающих преподавание математики (его методика является самой разработанной среди других частных методик, и при всем этом традиционный школьный курс едва только "дотянулся" до идей математики XVII в.).

Обновление способов построения курса математики, в частности исследование возможности строить его на основе понятий "отношение - структура", предполагает, на наш взгляд, иную теорию обобщения - теорию, раскрывающую "механизмы" работы с самими понятиями, работы по выведению конкретного знания через взаимосвязь абстракций. Такой теорией является диалектно-материалистическая теория о соотношении всеобщего, особенного и единичного в познании, о формах теоретического обобщения и его связи с историей познания. Анализ этих проблем, поставленных в свое время Гегелем, а затем классиками марксизма-ленинизма, все шире и глубже проводится в нашей философской литературе (отсылаем читателя к работам Б.М.Кедрова [24], Э.В.Ильенкова [22], З.М.Оруджева [35], Ж.Абдильдина, А.Касымжанова, Л.Науменко, М.Баканидзе [1] и др.).

В психологических и дидактических исследованиях необходимо раскрыть особенности деятельности детей по усвоению тех форм обобщения, которые указываются в этой теории, а также особенности построения учебных предметов, обеспечивающих развитие именно такого пути обобщения. Иными словами, встает большая исследовательская задача по определению средств развития у детей теоретического мышления (в психологической терминологии - опосредствованного мышления), принцип которого состоит в переходе от абстрактно-всеобщих определений к конкретно-частным описаниям объекта.

Решение этой задачи является, на наш взгляд, общим условием построения такого учебного предмета, который соответствовал бы требованиям современных идей науки. В противном случае любые "революции" будут приводить лишь к внешним изменениям традиционной программы, часто противоречащим смыслу ее установившегося содержания. Пример последнего - намечающееся во многих методических работах использование теоретико-множественных характеристик. "Множество" - это сугубо теоретическое определение, имеющее смысл только, и лишь внутри особой системы подхода к математическому моделированию объектов. В этой системе на сегодняшний день исходным является момент "отношение - структура". Найти способ ее изображения и раскрытия детям 7 - 8 лет - это проблема поиска "начала" курса математики. Но именно ее и обходят многие, ибо введение "отношения" требует другой логики, другой теории обобщения, нежели та, которой обычно руководствуются. "Множество" (вернее, "квазимножество") дается как непосредственная, внешняя, родовая характеристика совокупностей объектов, поэтому оно и лишено внутренне-математического движения, "раскручивания" (кстати, подобные "реформы" безболезненно воспринимаются самыми последовательными сторонниками традиционного курса математики).

Любое отношение (на особом уровне анализа - структура) - объект глубокой абстракции и вместе с тем начало понятия (именно начало, а не конец, как принято думать в традициях локковско-миллевской логики). Для его введения в преподавание требуются особые знаковые средства (см. их общую характеристику в работе Г.П.Щедровицкого [44]). Недостаточное знание о последних - серьезное препятствие для исследования теоретической формы обобщения и для изучения путей ее формирования в обучении. При этом важно иметь в виду, что отношение-структура - предмет усвоения особого типа, который по настоящему еще не изучался педагогикой и психологией (некоторые его особенности были отмечены в свое время Л.С.Выготским [10]). Комплексное исследование закономерностей усвоения такого типа - задача, от решения которой во многом зависит построение математики как современного учебного предмета и, в частности, определение действительного содержания его начальных разделов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ж.Абдильдин, А.Касымжанов, Л.Науменко, М.Баканидзе. Проблемы логики и диалектики познания. Алма-Ата, изд. АН Каз.ССР, 196З.

2. Андронов И.К. Арифметика натуральных чисел, М., Учпедгиз, 1954.

3. Андронов И.К. Арифметика. Развитие понятия числа и действий над числами.

М., Учпедгиз, 1959.

4. Болтянский В.Г., Виленкин Н.Я., Яглом И.М. О содержании курса математики в средней школе. Сб. "Математическое просвещение", вып. 1, М., Физматгиз, 1959.

5. Брунер Дж. Процесс обучения, пер. с англ. М., изд. АПН РСФСР, 1962.

6. Бурбаки Н. Алгебра, пер. с франц. М., Физматгиз, 1962.

7. Бурбаки Н. Очерки по истории математики, пер. с франц. М., ИЛ, 1963.

8. Виленкин Н.Я. О некоторых аспектах преподавания математики в младших классах. "Математика в школе", 1965, N1.

9. Вогели Б.Р. Модернизация преподавания математики в американской школе.

"Математика в школе", 1964, N 4.

10. Выготский Л.С. Избранные психологические исследования. М., изд. АПН РСФСР, 1956.

11. Гальперин П.Я. Развитие исследований по формированию умственных действий. Сб. "Психологическая наука в СССР", т. 1, М., изд. АПН РСФСР, 1959.

12. Гальперин П.Я. Основные результаты исследований по проблеме "Формирование умственных действий и понятий". М.. 1965 (на правах рукописи).

13. Гальперин П.Я., Георгиев Л.С. Психологические вопросы формирования начальных математических понятий у детей. "Доклады АПН РСФСР", 1961, N 1.

14. Глейгевихт Б. Об основных понятиях общей алгебры. "Математика в школе", 1964, N 2.

15. Гонин Е.Г. Теоретическая арифметика. М., Учпедгиз, 1959.

16. Гудстейн Р.Л. Математическая логика, пер. с англ. М., ИЛ, 1961.

17. Давыдов В.В. Анализ строения счета как предпосылка построения программы по арифметике. Сб. "Вопросы психологии учебной деятельности младших школьников".

М., изд. АПН РСФСР, 1962.

18. Давыдов В.В. Опыт введения элементов алгебры в начальной школе.

"Советская педагогика", 1962, N 8.

19. Давыдов В.В. Об изменении содержания начального обучения. "Советская педагогика", 1964, N 4.

20. Дьедонне Ж. Абстракция в математике и эволюция алгебры. Сб. "Преподавание математики", пер. с франц. М., Учпедгиз, 1960.

21. 3апорожец А.В., Эльконин Д.Б. (ред). Психология детей дошкольного возраста.

Развитие познавательных процессов. М., изд. АПН РСФСР, 1963.

22. Ильенков Э.В. Диалектика абстрактного и конкретного в "Капитале" Маркса.

М., изд. AH СССР, 1960.

23. Ильенков Э.В. Школа должна учить мыслить. "Народное образование", 1964, N 1, (приложение).

24. Кедров Б.М. Оперирование научными понятиями в диалектической и формальной логике. Сб. "Диалектика и логика. Формы мышления". М., изд. АН СССР, 1962.

25. Кольман Э. Предмет и метод современной математики. М., Соцэкгиз, 1936.

26. Курант Р. и Роббинс Г. Что такое математика, пер. с англ., М. - Л., ОГИЗ, 1947.

27. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. М., Физматгиз, 1962.

А.Н.Колмогорова, изд. 2, М., Учпедгиз, l960.

29. Лихнерович А. Проникновение духа современной алгебры в элементарную алгебру и геометрию. Сб. "Преподавание математики", пер. с франц., М., Учпедгиз, 196О.

30. Маркушевич А.И. К вопросу о реформе школьного курса математики, "Математика в школе", 1964, N 6.

31. "Меморандум американских математиков". пер. с англ., "Математика в школе", 1964, N 4.

32. Менчинская Н.А., Моро М.И. Вопросы методики и психологии обучения арифметике в начальных классах. М., Изд. "Просвещение", 1965.

33. "Объем знаний по математике для восьмилетней школы", "Математика в школе", 1965, N 2.

34. Орлова Е.С. Обучение счету на основе измерения. Сб. "Haш опыт учебновоспитательной работы в школе", М., изд. АПН РСФСР, 1962.

35. Оруджев З.М. К.Маркс и диалектическая логика, Баку, Азербайджанское гос.