Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования “Тобольский государственный педагогический институт
имени Д.И. Менделеева”
Кафедра алгебры и геометрии
УМК утверждён на заседании
кафедры алгебры и геометрии:
протокол № 9 от 24. 04. 2008 г.
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО ДИСЦИПЛИНЕ
“АЛГЕБРА” (СПЕЦИАЛЬНОСТЬ: 050201.65 – “Математика”) Составили:к.ф.-м.н. Валицкас А.И.
ст. преп. Евсюкова Е.В.
Тобольск Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования “Тобольский государственный педагогический институт имени Д.И. Менделеева” Кафедра алгебры и геометрии УМК утверждён на заседании кафедры алгебры и геометрии:
протокол № 9 от 24. 04. 2008 г.
УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ
“АЛГЕБРА” (СПЕЦИАЛЬНОСТЬ: 050201.65 – “Математика”) Составили:к.ф.-м.н. Валицкас А.И.
ст. преп. Евсюкова Е.В.
Тобольск
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Дисциплина “Алгебра” относится к циклу специальных дисциплин и изучается в I-м, II-м, III-м и IV-м семестрах I и II курсов. На её изучение отведено 520 часов, из них аудиторных – 262 часа: 122 часа лекций, 140 часов практических занятий. Лекционные и практические занятия распределены следующим образом: по 36 часов лекций и 36 часов практических занятий в I-м и во II-м семестрах, в III-м семестре 18 часов лекций и 36 часов практических занятий, 32 часа лекций и 32 часа практических занятий в IV-м семестре.На самостоятельную работу студентов выделено 258 часов. Формы итогового контроля: зачёты в I-м и IV-м семестрах, экзамены – во II-м и III-м семестрах.
I. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
Основные требования к знаниям и умениям студентов по курсу алгебры раскрываются через требования, заложенные в стандарте.Будущий учитель математики должен:
знать роль и место математики в системе наук, осознавать фундаментальный и прикладной характеры математики;
владеть системой основных математических структур и аксиоматическим методом;
владеть методологией построения математических моделей;
знать основные этапы истории математики и иметь представление об основных современных тенденциях её развития;
уметь выявлять и развивать математические способности учащихся.
Программа курса алгебры состоит из следующих основных блоков:
1. Элементы логики и теории множеств, 2. Основные числовые системы, 3. Основные алгебраические структуры (группы, кольца, поля), 4. Линейная алгебра, 5. Теория многочленов.
Порядок изучения этих блоков может быть различным, однако целесообразно построить курс так, чтобы он был согласован с курсом геометрии, математического анализа и теории чисел. Главная цель курса – изучение основных видов алгебраических структур, воспитание математической культуры и глубокого понимания, как основного школьного курса математики, так и сути этого курса с точки зрения высшей математики.
Вместе с тем, изучение курса алгебры в педагогическом институте преследует и следующие цели:
Знание курса необходимо для других предметов, для которых алгебра является поставщиком понятий, дает необходимый математический аппарат (геометрия, информатика, математический анализ);
Знакомство с приложениями различных тем курса и их значением в математике, в самых различных областях жизни;
Освещение определенных задач элементарной математики с точки зрения современной науки. Имея высокою эрудицию, из всех подходов к освещению какого-либо вопроса легче выбрать самый целесообразный;
Отдельные разделы курса тесно связаны со школьной программой по математике, а другие являются основой для школьных факультативных курсов. Это позволяет глубже понимать школьный курс математики и школьные факультативные курсы, создает базу для работы в классах с углубленным изучением математики, ведения кружковых занятий;
Явная ориентация на профессиональное становление будущего учителя математики.
Изучение дисциплины направлено на подготовку студентов к выполнению следующих видов профессиональной деятельности:
учебно-воспитательную;
научно-методическую;
культурно-просветительскую.
В рамках этих видов деятельности студенты должны быть готовы к решению следующих профессиональных задач:
учебно-воспитательная:
проводить уроки математики с учащимися различного возраста с учётом особенностей учебных программ;
использовать в процессе обучения математики современные информационные, компьютерные и педагогические технологии, различные формы и методы обучения;
обучать учащихся приёмам учебной и познавательной деятельности;
использовать различные формы контроля за результатами усвоения знаний.
уметь организовывать научно-исследовательскую деятельность учащихся;
участвовать в работе методических объединений учителей;
уметь организовать учебно-методическую работу в школе и т.д.
владеть основными понятиями математики, уметь использовать математический аппарат при изучении и количественном описании реальных процессов и явлений, иметь целостное представление о математике как науке, её месте в современном мире и в системе наук;
уметь анализировать собственную деятельность с целью её совершенствования и повышения своей квалификации;
уметь стимулировать развитие внеурочной деятельности учащихся.
2. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Изучение каждой темы предполагает овладение определёнными знаниями, умениями и навыками, которые представлены далее на языке микроцелей.
СИСТЕМА МИКРОЦЕЛЕЙ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ “АЛГЕБРА”
Изучается в рамках Водного курса (I семестр, I курс) Раздел II: Основные алгебраические структуры Ц 1. Знать определение бинарной алгебраической операции, уметь определять её свойства (ассоциативность, коммутативность, наличие нейтрального и симметричных элементов).Ц 2. Освоить понятия группы, кольца, поля и уметь определять является ли данное множество с бинарными алгебраическими операциями группой, кольцом, полем.
Ц 1. Понимать взаимосвязь основных числовых систем (N, Z, Q, R, C), уметь применять метод математической индукции для доказательства различных математических утверждений.
Ц 2. Уметь выполнять действия над комплексными числами в алгебраической форме записи.
Ц 3. Уметь записывать комплексные числа и выполнять действия с ними в тригонометрической форме записи.
Ц 4. Уметь использовать геометрическую интерпретацию комплексных чисел и действий над ними при решении задач.
Ц 1. Знать определение векторного пространства, критерий подпространства, линейной оболочки системы векторов, определения базиса и размерности пространства.
Ц 2. Знать определения и свойства линейной зависимости и независимости векторов, уметь определять является ли данная система векторов арифметического векторного пространства линейно зависимой.
Ц 3. Уметь находить ранг и базис данной системы векторов, координаты вектора в данном базисе, матрицу перехода от одного базиса к другому.
Ц 4. Знать определения скалярного произведения векторов, длины вектора и угла между векторами, уметь находить их для конкретных евклидовых пространств.
Ц 5. Уметь применять на практике процесс ортогонализации векторов.
Ц 6. Уметь распознавать ортонормированные системы векторов и выполнять процесс ортонормирования.
Ц 1. Уметь вычислять ранг матрицы.
Ц 2. Уметь решать системы линейных уравнений методом Гаусса.
Ц 3. Знать теорему Кронекера-Капелли и уметь применять её к исследованию систем линейных уравнений.
Ц 4. Уметь находить фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений.
Ц 1. Знать определение и свойства операций над матрицами и уметь ими пользоваться при вычислениях.
Ц 2. Уметь решать матричные уравнения (системы линейных уравнений в матричном виде), предварительно вычислив обратную матрицу с помощью элементарных преобразований строк.
Ц 3. Знать определение перестановки и подстановки, уметь определять их чётности и знаки.
Ц 4. Уметь вычислять определители на основании определения (как суммы ( sign( ) a1 ( 1 )... a n ( n ) ), с помощью свойств определителей, путём разложения по строкам и столбцам, приведением матрицы к треугольному виду.
Ц 5. Уметь решать системы линейных уравнений по формулам Крамера, находить ранг матрицы и обратную матрицу с помощью определителей.
Ц 1. Знать определение и простейшие свойства линейных отображений, уметь находить матрицу линейного оператора в заданном базисе.
Ц 2. Знать связи между координатами вектора и его образа а также между матрицами линейного оператора в различных базисах, уметь находить соответствующие матрицы перехода.
Ц 3. Уметь находить ядро и образ линейного оператора, их базисы и размерности (ранг и дефект).
Ц 4. Уметь находить матрицы суммы и произведения линейных операторов в заданном базисе.
Ц 5. Уметь вычислять собственные числа и собственные векторы данного линейного оператора.
Ц 1. Знать определения группы, подгруппы, критерий подгруппы, уметь определять является ли заданное множество с бинарной алгебраической операцией группой.
Ц 2. Знать определения смежного класса группы по подгруппе и нормальной подгруппы, уметь находить разбиение группы на смежные классы по подгруппе и определять нормальность подгруппы.
Ц 3. Уметь строить фактор-группу заданной группы по её нормальной подгруппе и находить произведение элементов фактор-группы.
Ц 4. Знать определения гомоморфизма, изоморфизма и уметь определять, изоморфны ли заданные группы.
Ц 1. Знать определение кольца, поля, подкольца, подполя и уметь определять является ли заданное множество с двумя бинарными алгебраическими операциями кольцом или полем.
Ц 2. Освоить понятия идеала кольца, фактор-кольца, гомоморфизма колец.
Ц 3. Знать определения и основные свойства делимости в коммутативном кольце, понимать взаимосвязи между факториальными кольцами, кольцами главных идеалов и евклидовыми кольцами.
Ц 1. Знать определения многочленов от одного переменного над полем и основных операций над ними, уметь использовать схему Горнера при решении различных задач.
Ц 2. Знать алгоритм Евклида, уметь с его помощью находить наибольший общий делитель двух многочленов и его линейное разложение.
Ц 3. Уметь разлагать многочлен над полем в произведение неприводимых множителей и применять это разложение к нахождению наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух многочленов.
Ц 1. Знать определение многочленов от нескольких переменных над полем и основных операций над ними, уметь упорядочивать лексикографически мономы многочленов.
Ц 2. Знать основные симметрические многочлены, уметь выражать через них любой симметрический многочлен и использовать полученное выражение вместе с формулами Виета для решения разнообразных задач о корнях многочленов от одного переменного.
Ц 1. Знать формулы Виета, уметь находить многочлен наименьшей степени, имеющий заданные корни, уметь решать различные задачи с помощью формул Виета.
Ц 2. Знать и уметь применять алгоритм нахождения рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами, уметь использовать критерий Эйзенштейна для решения вопроса о неприводимости многочлена с целыми коэффициентами.
Ц 3. Уметь решать алгебраические уравнения 3-й и 4-й степеней с помощью формулы Кардано и метода Феррари.
Ц 4. Знать определения алгебраического и трансцендентного элементов над заданным полем, минимального многочлена и степени алгебраического числа, освоить понятие простого алгебраического расширения поля.
Ц 5. Знать и уметь применять алгоритм освобождения от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби.
Приводимый ниже (в приложении I К УП) перечень стандартных контрольных работ по курсу алгебры позволяет более предметно судить о приобретаемых в процессе обучения знаниях, умениях и навыках.
3. ОБЪЁМ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ
3.1. ДЛЯ ОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ Общая трудоёмкость дисциплины работы) – темы, выносимые на самостоятельное изучение – выполнение заданий творческого характера – контрольные работы (домашние)4. СОДЕРЖАНИ ДИСЦИПЛИНЫ
4.1. РАЗДЕЛЫ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ ЗАНЯТИЙ
VIII4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
4.2.1. ЛЕКЦИОННЫЙ КУРС Семестр № ЛК Раздел, тема, содержание лекции Тема: Понятия полугруппы и группы. Примеры полугрупп и групп.Тема: Гомоморфизмы групп, колец, полей и их основные свойства.
– конспект лекций по дисциплине дан в приложении I к УМК Тема: Гомоморфизмы алгебр и алгебраических систем.
Тема: Натуральные числа. Метод математической индукции.
Тема: Поле комплексных чисел. Алгебраическая форма записи комплексного числа.
Тема: Геометрическое представление комплексных Тема: Тригонометрическая форма записи комплексного числа.
Семестр Раздел, тема, содержание лекции Раздел IV: Векторные и евклидовы пространства.
Тема: Понятие векторного пространства. Примеры векторных пространств.
Тема: Подпространства и линейные оболочки векторов.
Тема: Линейная зависимость и независимость системы I Тема: Размерность векторного пространства.
Тема: Изоморфизм векторных пространств одинаковой Раздел IV: Векторные и евклидовы пространства.
Тема: Евклидовы векторные пространства. Длина вектора и угол между векторами.
Тема: Ортогональное дополнение подпространства.
Тема: Изоморфизм евклидовых пространств.
Тема: Равносильные системы уравнений и элементарные Тема: Метод Гаусса нахождения общего решения системы линейных уравнений.
Тема: Критерии совместности и определённости систем Тема: Однородные системы линейных уравнений: пространство решений.
Тема: Неоднородные системы линейных уравнений: лиII Тема: Обратимые матрицы. Нахождение обратной матрицы.
Тема: Решение некоторых матричных уравнений.
Тема: Ранг матрицы. Равенство строчечного и столбцового рангов.
Тема: Группа подстановок: чётность и знак подстановки.
Тема: Определитель квадратной матрицы и его основные Тема: Миноры и алгебраические дополнения: разложение Тема: Вычисление обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений.
Семестр № ЛК Раздел, тема, содержание лекции Раздел VII: Линейные отображения векторных пространств.
Тема: Линейные отображения векторных пространств.
Тема: Матрица линейного оператора и его координатная форма записи (связь между координатными столбцами x и Тема: Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.
Тема*: Линейные операторы с простым спектром. Условия Тема: Смежные классы по подгруппе. Теорема Лагранжа.
Тема: Нормальные делители группы. Фактор-группа.
Тема: Ядра гомоморфизмов и теорема об эпиморфизме.
Тема: Теоремы о гомоморфизмах и изоморфизмах колец.
Тема: Кольца главных идеалов. Евклидовы и факториальные кольца.
Тема: Кольцо K[x] многочленов от одного переменного.
Тема: Разложение многочленов в произведение неприводимых множителей.
Семестр № ЛК Раздел, тема, содержание лекции переменных. Лексикографическое упорядочение мономов.
Тема: Факториальность кольца многочленов от нескольких переменных над факториальным кольцом.
основная теорема о симметрических многочленах и следствия из неё.
Тема: Критерий Эйзенштейна неприводимости многочлена с целыми коэффициентами.
Тема: Простое алгебраическое расширение поля. Конечные алгебраические расширения.
Тема: Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби.
4.2.2. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ Тема: Понятие кольца. Примеры колец.
Тема: Первое знакомство с группой подстановок.
Тема: Натуральные числа. Метод математической индукции.
Тема: Тригонометрическая форма записодержание практических занятий и методические указания к их выполнению даны в приложении II к Тема: Корни из комплексных чисел и двучленные уравнения.
Тема: Геометрическая интерпретация Тема: Понятие векторного пространства. Примеры векторных пространств.
Тема: Подпространства и линейные Тема: Линейная зависимость и незавиВекторные и симость системы векторов.
Тема: Базис и ранг системы векторов.
Тема: Координаты вектора в базисе.
Тема: Ортогональное дополнение подпространства. Процесс ортогонализации Тема: Равносильные системы уравнений и элементарные преобразования систем.
Тема: Критерии совместности и опреде- Системы лённости систем линейных уравнений. линейных Тема: Однородные системы линейных уравнений: пространство решений.
Тема: Неоднородные системы линейных уравнений: линейное многообразие решений.
Тема: Алгебраические операции над Тема: Обратимые матрицы. Нахождение Тема: Решение некоторых матричных Тема: Группа подстановок: чётность и Тема: Определитель квадратной матри- Раздел VI:
Тема: Миноры и алгебраические допол- определители нения: разложение определителя по строкам и столбцам.
Тема: Вычисление обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений.
Тема: Правило Крамера для решения систем линейных уравнений.
Тема: Вычисление ранга матрицы с помощью базисных миноров.
Тема: Линейные отображения вектор- Раздел VII:
ных пространств. Матрица линейного Линейные оператора и его координатная форма за- отображения Тема: Матрица перехода. Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах.
Тема: Ядро и образ линейного оператора.
Тема: Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.
Тема: Бинарные алгебраические операции и их свойства.
Тема: Таблицы Кэли.
Тема: Группы и подгруппы.
Тема: Группа подстановок Sn.
Тема: Смежные классы по подгруппе. Раздел VIII:
Тема: Нормальные делители группы.
Фактор-группа.
Тема: Порядок элемента группы. Циклические группы.
Тема: Ядра гомоморфизмов и теорема Тема: Понятие кольца. Примеры колец. Раздел IX:
Тема: Идеалы колец. Фактор-кольцо. Элементы теории Тема: Кольца главных идеалов. Евкликолец довы и факториальные кольца.
Тема: Кольцо K[x] многочленов от одного переменного.
Тема: Значение многочлена. Теорема Тема: Схема Горнера и деление много- Раздел X:
Тема: Теорема о делении многочленов с одного Тема: НОД многочленов и его свойства.
Тема: Алгоритм Евклида и линейное Тема: НОК многочленов.
Тема: Кольцо многочленов K[x1, …, xn] от нескольких переменных. ЛексикограРаздел XI фическое упорядочение мономов.
Тема: Симметрические многочлены:
симметрических многочленах и следствия Тема: Целые и рациональные корни мно- Раздел XII:
Тема: Критерий Эйзенштейна неприводимости многочлена с целыми коэффициентами.
иррациональности в знаменателе дроби.
4.2.3. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ
ДЛЯ ОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ
Разделы II-XII 4.2.4. ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ Лабораторный практикум по дисциплине не предусмотрен.
5. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
5.1. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРАА) ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА:
1. Апатёнок Р.Ф., Маркина А.М., Попова Н.В., Хейнман В.Б. Сборник задач по линейной алгебре. – Мн: Выш. школа, 1980.2. Валицкас А.И., Евсюкова Е.В., Шаипова А.Я., Шебанова Л.П. Разноуровневые задания по курсу: «Алгебра и теория чисел»: Учебно-методическое пособие для студентов физико-математических факультетов пединститутов. – Тобольск: изд-во ТГПИ, 1998.
– содержание и методические указания для СРС приведены в приложении III к УМК 3. Евсюкова Е.В. Элементы теории групп: Учебно-методическое пособие для студентов физико-математических факультетов пединститутов. – Тобольск: изд-во ТГПИ, 1999.
4. Кострикин А.И. Введение в алгебру (в 3-х Т.Т.). – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001-2004.
5. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. – М.: Высшая школа, 1979.
6. Куликов Л.Я., Москаленко А.И., Фомин А.А. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.: Просвещение, 1993.
7. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. Части I, II. – М.: Просвещение, 1978.
8. Окунев Л.Я. Высшая алгебра. – М.: Просвещение, 1966.
9. Окунев Л.Я. Сборник задач по высшей алгебре. – М.: Просвещение, 1964.
10. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001.
11. Сирота Е.Р., Евсюкова Е.В. Готовимся к государственному экзамену. Алгебра и теория чисел. – Тобольск: Изд-во ТГПИ, 1995.
12. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре. – СПб.: Издательство “Лань”, 13. Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – Мн: Выш. школа, 1982.
ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ:
1. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра: Учебное пособие для студентовзаочников I-го курса физико-математических факультетов педагогических институтов. – М.: Просвещение, 1981.2. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С., Стеллецкий И.В. Алгебра: Учебное пособие для студентов-заочников I-го курса физико-математических факультетов педагогических институтов. – М.: Просвещение, 1978.
«