МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Сыктывкарский лесной институт (филиал) федерального государственного бюджетного

образовательного учреждения высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский государственный лесотехнический университет имени С. М. Кирова»

Кафедра автоматизации технологических процессов и производств

Математические основы теории систем

Учебно-методический комплекс по дисциплине для студентов направления бакалавриата 220200 «Автоматизация и управление»

и специальности 220301«Автоматизация технологических процессов и производств (по отраслям)»

всех форм обучения Самостоятельное учебное электронное издание СЫКТЫВКАР 2012 УДК 681.5: ББК 32. М Рекомендован к изданию в электронном виде кафедрой автоматизации технологических процессов и производств Сыктывкарского лесного института Утвержден к изданию в электронном виде советом лесотранспортного факультета Сыктывкарского лесного института Составитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Н. А. Секушин, Отв. редактор:

кандидат экономических, доцент Е. Ю. Сундуков Математические основы теории систем [Электронный ресурс] :

М34 учеб.-метод. комплекс по дисциплине для студ. напр. бакалавриата 220200 «Автоматизация и управление» и спец. 220301 «Автоматизация технологических процессов и производств (по отраслям)» всех форм обучения : самост. учеб. электрон. изд. / Сыкт. лесн. ин-т ; сост.:

Н. А. Секушин. – Электрон. дан. – Сыктывкар : СЛИ, 2012. – Режим доступа: http://lib.sfi.komi.com. – Загл. с экрана.

В издании помещены материалы для освоения дисциплины «Математические основы теории систем». Приведены рабочая программа курса, конспект лекционного материала, методические указания по выполнению контрольных работ.

УДК 681.5: ББК 32. _ Самостоятельное учебное электронное издание Составители: Секушин Николай Александрович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИСТЕМ

Электронный формат – pdf. Объем 2,6 уч.-изд. л.

Сыктывкарский лесной институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный лесотехнический университет имени С. М. Кирова» (СЛИ), 167982, г. Сыктывкар, ул. Ленина, 39, [email protected], www.sli.komi.com Редакционно-издательский отдел СЛИ.

© СЛИ, Секушин Н.А., составление,

СОДЕРЖАНИЕ

1. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ.................................... 2. КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ.................................... 2.1. Разложение функций в степенной ряд Тейлора................................. 2.2. основы теории комплексных чисел.......................................... 2.3. Ряд и преобразование Фурье............................................... 2.4. Преобразование Лапласа................................................... 2.5. Расчет экспериментально наблюдаемых величин из передаточной функции.......

3. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ....

4. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

ДИСЦИПЛИНЫ........................................................... 5. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ТЕКУЩЕМУ КОНТРОЛЮ.................. 5.1. Рубежные контрольные мероприятия......................................... 5.2. Перечень вопросов для подготовки к зачету................................... 6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ...................

1. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

«МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИСТЕМ»

бакалавра по направлению 220200 «Автоматизация и управление»

Цель дисциплины – освоение математических методов анализа технических систем.

В результате изучения дисциплины студент должен приобрести навыки теоретического расчета характеристик технических систем, иметь представление о многоконтурных и многофункциональных системах автоматики, осуществляющих управление сложными технологическими процессами со случайными возмущающими и задающими воздействиями.

Должен знать:

- математический аппарат теории автоматического управления;

- понятия, определения, терминологию и схемы автоматики;

- методы математического описания технических средств автоматики;

- основные принципы построения систем автоматического управления;

- методы анализа и синтеза систем автоматического управления.

Должен уметь:

- разрабатывать принципиальные схемы систем автоматического управления;

- осуществлять выбор и расчет технических средств автоматики, используемых в системах управления;

- проводить анализ и расчет основных показателей: качества, надежности и техникоэкономической эффективности работы систем автоматического управления с использованием вычислительной техники.

1.3. Перечень дисциплин и тем, усвоение которых студентами необходимо для изучения дисциплины Перед изучением курса «Математические основы теории систем» студентом должны быть изучены следующие дисциплины и темы:

- математика (обыкновенные дифференциальные уравнения, операционное исчисление, векторные и комплексные функции действительного переменного, ряды, основы теории вероятностей);

- физика (физические основы механики, термодинамика, электричество, электромагнетизм, оптика);

- инженерная графика (основы технического черчения);

- теоретическая механика (статика и динамика твердого тела);

- общая электроника и электротехника.

Необходимы также общие сведения о системах и элементах автоматики; технических средствах автоматики и телемеханики; элементная база систем автоматического регулирования; системы телемеханики; автоматизация производственных процессов; надежность систем автоматики.

1.4. Дополнение к нормам государственного образовательного стандарта.

Теория комплексных чисел, основы дискретной математики, Булева алгебра, Z - преобразования Введение. Предмет и значение дисциплины, ее место и роль в системе подготовки специалистов инженерного профиля. Краткий очерк развития математики. Автоматизация, как главное направление научно-технического прогресса. Социальное и технико-экономическое значение автоматизации.- 2 ч.

1. Теория комплексных чисел. Формула Эйлера. Представление комплексных чисел в алгебраической, тригонометрической и экспоненциальной формах. Изображение комплексных чисел на комплексной плоскости. Комплексные колебания. Нули и полюса функции комплексной переменной.- 4 ч.

2. Теория решения линейных дифференциальных уравнений методом Эйлер. Характеристическое уравнение, характеристические числа, однородные и неоднородные уравнения. Теорема Безу. Разложение полиномов на множители. – 4 ч.

3. Ряды Фурье. Спектры периодических сигналов. Виды записи ряда Фурье: вещественная форма записи, комплексная форма записи, амплитудный и фазовый спектры. Спектр последовательности прямоугольных импульсов и последовательности дельта – функций. Спектральная ширина сигналов. 4 ч.

4. Основы операционного исчисления. Преобразования Фурье и Лапласа. Математические основы теории автоматического управления непрерывных систем. Таблицы преобразований Лапласа. Операционный метод нахождения решений линейных дифференциальных уравнений.

Методы осуществления обратного преобразования Лапласа. Передаточная функция – как особая запись линейного дифференциального уравнения. Структурная схема – как графическое изображение уравнений, описывающих систему. – 4 ч.

5. Степенные ряды Тейлора и Маклорена. Разложение трансцендентных функций в степенные ряды.. Доказательство формулы Эйлера. Линеаризация статических характеристик нелинейных систем. – 2 ч.

6. Основы дискретной математики. Представление об арифметике двоичных чисел. Переключательные (дискретные) функции 2-х дискретных переменных. Синтез переключательных функций по методу «совершенной дизъюнктивной нормальной формы» и «совершенной конъюктивной нормальной формы». Минимизация функций алгебраическим методом и методом карт Карно. Реализация функций с помощью реле, выключателей и логических электронных элементов. – 4 ч.

7. Математические основы теории автоматического управления дискретных систем.

Квантование сигналов (по времени, по уровню, по времени и по уровню) Виды импульсных систем: дискретные САУ, релейные САУ и цифровые САУ. Дискретное преобразование Лапласа и Z-преобразование. Разностные уравнения. Реализация звеньев технических систем программным методом. Z-передаточная функция дискретных систем и методы преобразования дискретных сигналов в непрерывные (фиксатор) – 2 ч.

8. Типовые звенья технических систем. Усилительное безинерционное звено. Апериодические звенья первого и второго порядка. Колебательное звено. Интегрирующие, дифференцирующие и интегро-дифференцирующие звенья. Звено с запаздыванием по времени. Соединения звеньев: последовательное, параллельное и встречно-параллельное (звено с обратной связью).

Частотные свойства типовых звеньев (АЧХ, ФЧХ, годограф, ЛАЧХ и ЛФЧХ)– 2 ч.

Синтез логического блока на реле и элементах И-НЕ. – 4 ч.

Исследование качества работы САУ на ЭВМ по ее структурной схеме. – 4 ч.

Настройка ПИД регулятора с помощью ЭВМ.- 4 ч.

Синтез логического блока в программном пакете System View. – 4 ч.

Моделирование нелинейных элементов в программном пакете System View. – 4 ч.

Изучение ждущих мультивибраторов и формирователей импульсов. – 4 ч Моделирование хаотических систем в программном пакете System View. – 2 ч.

Моделирование элемента сухого трения в программном пакете System View. – 2 ч.

дифференциальных уравнений ческого управления дискретных систем 1. Проработка лекционного материала по конспекту и учебной Зачет литературе Текущая успеваемость студентов контролируется отчетами о выполнении лабораторных работ (ОЛР), выполнением контрольных работ (к/р). Успеваемость студентов определяется на коллоквиумах и на зачете.

Темы контрольных работ и методические указания к ним даны в рукописи:

«Математические основы теории систем» (составитель Н.А.Секушин), с которой можно ознакомиться в читальном зале библиотеки СЛИ или взять в электронном виде на кафедре АТП Математические основы теории непрерывных линейных систем.

Математические основы теории дискретных линейных систем.

Критерии устойчивости линейных систем.

Переходные и весовые функции типовых звеньев, операторный метод их расчета.

Пассивные корректирующие цепи – расчет их частотных характеристик и использование при синтезе оптимальных САУ.

Корректирующие цепи на основе операционных усилителей – расчет их частотных характеристик и использование при синтезе оптимальных САУ.

Нелинейные элементы с гладкими характеристиками, их линеаризация и методы анализа динамических свойств.

Существенно нелинейные элементы САУ, классификация, примеры использования и методы анализа динамических свойств.

Расчет ошибок регулирования, статические и астатические САУ.

Синтез систем методом ЛАХ.

10.

Дискретный ПИД- регулятор.

11.

Преобразование Фурье. Спектры периодических и непериодических сигналов.

12.

Метод гармонической линеаризации.

13.

Квантование сигналов, теорема Котельникова.

14.

Классификация объектов управления, регуляторов, регулируемых величины, обратных связей.

15.

Системы автоматического регулирования (САР) и управления (САУ). Задающие, возмущающие и 16.

управляющие воздействия.

Принцип комбинированного управления. Понятия ошибок и отклонений регулируемой величины.

17.

Метод гармонической линеаризации.

18.

Метод анализа нелинейных систем методом фазовых траекторий.

19.

Позиционное регулирование, метод припасовывания.

20.

Моделирование систем автоматического управления в программном пакете System View.

21.

Особенности моделирования нелинейных систем в программном пакете System View.

22.

Программный пакет LabVIEW.

23.

Применение графического программирования для создания гибких и масштабируемых приложений для измерений, управления и испытаний.

Технология виртуальных приборов.

25.

2. КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

2.1. Разложение функции в степенной ряд Тейлор Для гладких, не имеющих изломов и разрывов функций разложение в степенной ряд осуществляется по формуле Тейлора:

где f (0), f (0), f (0) – соответственно, первая, вторая и третья производные при х = 0.

Доказательство формулы Тейлора Пусть функция представлена в виде степенного ряда:

Берем от этого ряда производные:

Подставляем в (3) x = 0. В результате получаем формулы для коэффициентов степенного ряда:

что доказывает соотношение (1).

Любой коэффициент ряда Тейлора можно определить по формуле:

Если точка, около которой необходимо провести разложение, находится при x = a, то ряд Тейлора имеет следующий вид:

Это соотношение используется при линеаризации статических характеристик, когда нелинейная зависимость f(x) заменяется двумя первыми членами ряда Тейлора (6).

С помощью (1) можно получить разложение в ряд Тейлора некоторых трансцендентных функций:

2.2. Основы теории комплексных чисел 2.2.1. Определение комплексного числа В основе теории линейных систем лежит алгебра комплексных чисел. Потребность в комплексных числах возникает при решении алгебраического квадратного уравнения:

Корнями полинома называются такие значения аргумента х, при которых полином принимает нулевые значения. Корни для уравнения (10) находят по формуле:

Если выражение под знаком квадратного корня отрицательно, то говорят, что действительных корней у квадратного полинома нет. Однако эту информацию нужно каким-то образом сохранить. Поэтому была введена мнимая единица:

Выражение (11) приобрело следующий вид:

где B – вещественная часть комплексного числа; С – его мнимая часть.

Два числа называются комплексно-сопряженными, если их действительные части равны, а мнимые части отличаются знаком. Операция комплексного сопряжения заключается в изменении знака перед всеми мнимыми единицами в формуле.

Из выражения (13) следует, что корни квадратного уравнения комплексно-сопряжены:

2 = 1, где надстрочная звездочка обозначает операцию комплексного сопряжения. Следует отметить, что операция комплексного сопряжения всегда легко выполнима, что и объясняет широкое использование комплексно-сопряженных чисел.

2.2.2. Формула Эйлера Эта формула имеет следующий вид:

Доказательство формулы Эйлера Возьмем ряд для экспоненты (7) и подставим в него в качестве аргумента x = j. Воспользуемся также очевидными соотношениями:

В итоге получаем следующее соотношение:

Соберем вместе действительную и мнимую части:

Сравнивая соотношение (16) с рядами Тейлора (8) и (9), можно заметить, что в действительной части находится косинус, а в мнимой – синус. Таким образом, формулу Эйлера (14) можно считать доказанной.

Формула Эйлера устанавливает связь между тригонометрией (правая часть (14)) и алгеброй (левая часть (14).

2.2.3. Виды представлений комплексных чисел 1) Алгебраическое представление комплексных чисел:

введены общепринятые обозначения ReD – действительная (реальная, вещественная) часть комплексного числа D, ImD – мнимая часть числа D.

2) Геометрическое представление комплексного числа.

Рассмотрим так называемую комплексную плоскость (рис. 1).

Рис. 1. Изображение комплексного числа на комплексной плоскости в виде вектора По оси абсцисс откладывается реальная часть комплексного числа, а по оси ординат – мнимая часть числа. Таким образом, любому комплексному числу можно сопоставить вектор на комплексной плоскости. Суммирование и вычитание комплексных чисел производится также, как и суммирование и вычитание векторов.

3) Тригонометрическое представление комплексных чисел.

Из рис. 1 следует, что при записи комплексного числа за основу можно взять длину вектора А, которую называют модулем комплексного числа, и угол - называемый фазой комплексRe D = A cos, Im D = A sin. Таким образом, основная форного числа. В этом случае:

мула тригонометрического представления приобретает следующий вид:

4) Экспоненциальное представление комплексного числа.

Если воспользоваться формулой Эйлера (14), то соотношение (18) значительно упрощается, а именно, приобретает следующий вид:

Это представление отличается компактностью и является основным в любых теориях, где используются комплексные числа.

Перечисленные выше представления являются как бы элементарными видами комплексных чисел. На практике же приходится иметь дело со сложными формулами, в которых могут присутствовать несколько мнимых единиц в разных позициях, в том числе и в качестве аргумента трансцендентных функций. Ниже будут приведены правила, помогающие преобразованию сложной комплексной функции к алгебраической и экспоненциальной формам.

Определение действительной и мнимой части комплексного числа.

Пусть D = B + jC – комплексное число, для которого несложно получить комплексно сопряженное число: D = B – jC. Если теперь просуммировать эти два соотношения, то мнимая часть сократится и будет получено выражение для действительной части:

Если же произвести вычитание, то сократится действительная часть, что позволяет определить мнимую часть числа:

Из (20), (21) и формулы Эйлера (14) несложно получить следующие важные соотношения:

Эти формулы можно рассматривать как алгебраическое определение тригонометрических функций, справедливое не только для действительных углов, но также и для мнимых. Попробуйте самостоятельно доказать следующее утверждение – косинус мнимого угла всегда больше 1.

Определение модуля комплексного числа Запишем комплексное и комплексно-сопряженное числа в экспоненциальной форме:

При перемножении этих двух формул показатели экспонент в правой части будут складыDD = A2e j j = A2.

ваться:

Таким образом, мы получаем формулу для нахождения модуля комплексного числа:

Из (24) вытекает полезное правило. Если нужно избавиться от мнимой единицы, например, в знаменателе дроби, то нужно помножить и числитель и знаменатель на комплексносопряженный знаменатель.

Из рис. 1, воспользовавшись теоремой Пифагора, можно получить еще один вариант формулы (24):

Нахождение фазы комплексного числа Такую формулу легко получить из рис. 1:

2.2.4. Основные формулы тригонометрии Главное достоинство арифметики комплексных чисел в том, что она сводит тригонометрические вычисления к алгебраическим вычислениям, поскольку благодаря формуле Эйлера все тригонометрические функции могут быть выражены в виде набора экспонент. При этом известные формулы, имеющие весьма громоздкие геометрические или тригонометрические выводы, при использовании комплексных чисел доказываются буквально в несколько строк.

В качестве примера получим формулы разложения sin(1+2) и cos(1+2) на синусы и косинусы 1 и 2.

Запишем формулу Эйлера для трех случаев:

Подставим два последних соотношения в первое:

После приравнивания раздельно вещественной и мнимой частей получим искомые соотношения:

Из соотношения (28) можно получить все основные формулы тригонометрии. Прежде всего поменяем знак у 2 в (28):

Если теперь просуммировать первое соотношение (28) с первым (29), то получим полезную формулу:

Если вычесть из первого (29) первый (28), то получим следующую формулу:

Еще одну полезную формулу можно получить, если просуммировать второе соотношение (28) со вторым (29):

2.2.5. Комплексные колебания Гармонические колебания обычно записывают в виде синусоиды или косинусоиды:

где А – амплитуда колебания, 0 - начальная фаза колебания, - частота, t – время.

Однако использование тригонометрических функций сильно затрудняет проведение расчетов. Поэтому колебательный процесс гораздо удобнее записывать в виде комплексного колебания:

Геометрическая интерпретация соотношения (36) Рис. 2. На комплексной плоскости изображен вектор (36). Длина вектора не зависит от что вектор вращается с постоянной угловой скоростью.

Вращение вектора на комплексной плоскости (рис. 2) называют комплексным колебанием. Конец вектора двигается по окружности против часовой стрелки.

Представление реального колебания в виде комплексного колебания дает следующие преимущества.

1. Колебание описывается вектором на комплексной плоскости с четким изображением мгновенной фазы и мгновенной амплитуды.

2. Приобретают смысл колебания с нулевой и даже отрицательной частотой. Колебания с =0 – это просто неподвижный вектор, ориентированный на комплексной плоскости в соответствии с начальной фазой. Колебание с отрицательной частотой – это вектор, вращающийся по часовой стрелке.

3. Использование комплексных колебаний позволяет наглядно производить суммирование колебаний. В качестве примера рассмотрим следующую электротехническую задачу. Два генератора соединены последовательно и вырабатывают синусоидальные напряжения одинаковой часТребуется определить амтоты, но разной амплитуды (А1А2) и начальной фазы плитуду (А) и начальную фазу () суммарного напряжения.

Вырабатываемые генераторами напряжения запишем в классическом виде:

Совместная работа генераторов даст напряжение той же самой частоты, но существенно другой амплитуды и фазы:

По условию задачи требуется найти А и.

Задачу можно решить тригонометрическим способом, используя соотношения (28) – (34).

В электротехнике используют более наглядный геометрический способ. На комплексной плоскости строят вектора обоих комплексных колебаний для времени t = 0 и затем их суммируют методом параллелепипеда. Однако, как уже говорилось выше, теория комплексных чисел позволяет сводить задачи тригонометрии и геометрии к алгебре. Поэтому наиболее легкий способ суммирования колебаний можно назвать алгебраическим. Он сводится к тому, что мы вместо реальных гармонических функций используем комплексные функции (36). Суммарное комплексное колебание равно следующей сумме:

Амплитуда колебаний равна модулю (37). Её определеним с помощью формулы (24):

Из соотношения (22) следует, что в скобке находится косинус. Таким образом, окончательное выражение для амплитуды имеет следующий вид:

Соотношению (26) используем для определения начальной фазы колебания. В этом случае необходимо подставить в (37) t = 0 и полученное выражение с помощью формулы Эйлера преобразовать в алгебраическую форму. В результате можно получить необходимую формулу:

Как видим, использование комплексных чисел позволяет значительно упростить вычисления, сводя сложные тригонометрические преобразования к более простым алгебраическим.

2.2.6. Нули и полюсы функции комплексной переменной Нули комплексной функции – это значения аргумента, при которых комплексная функция обращается в ноль. Полюсы комплексной функции – это значения аргумента, при которых комплексная функция обращается в бесконечность. Если комплексная функция имеет вид дроби, у которой в числителе и знаменателе находятся полиномы, то нахождение нулей и полюсов осуществляют следующим образом. Нули – это корни числителя. Полюсы – это корни знаменателя. Если нули и полюсы находятся на вещественной оси, то в соответствии с теоремой Безу полиномы можно разбить на сомножители:

где an, an 1,..., a1, a0 – постоянные коэффициенты; 1, 2,..., n – корни полинома.

Если у полинома имеется мнимый корень к, то корнем является также и комплексносопряженное число к*, так как мнимые корни всегда присутствуют парами. В этом случае в полиноме можно выделить чисто вещественный сомножитель следующего вида:

В теории технических систем разложение полиномов на сомножители приветствуется, так как у функции в таком виде можно быстро определить модуль, фазу, действительную и мнимую части.

Если у полинома известен один вещественный корень или пара комплексносопряженных корней, то степень полинома можно уменьшить, соответственно, на 1 или 2. В этом 2.3. Ряд и преобразование Фурье 2.3.1. Вещественный ряд Фурье Пусть сложный периодический процесс описывается функцией f(t). Эта функция удовлетворяет следующим условиям:

• она ограничена по величине;

• на протяжении одного периода T своего изменения имеет конечное число максимумов и минимумов и конечное число разрывов.

Тогда эта функция может быть представлена суммой простых гармонических функций (рядом Фурье) в следующем виде:

где амплитуды гармоник:

0 = - частота колебаний; n – целое положительное число (номер гармоники).

Вывод соотношений (42) – (44) основан на фундаментальном свойстве функций cos n0t и sin m0t (n, m – целые числа). Эти функции образуют так называемый ортонормированный базис бесконечномерного пространства. Ряд Фурье представляет собой разложением функции на составляющие этого пространства. Известно, что скалярное произведение векторов базиса между собой всегда равно нулю, поскольку они взаимно перпендикулярны. Однако скалярное произведение вектора базиса самого на себя дает 1. Для рассматриваемого базиса аналогом скалярного произведения являются записанные ниже интегралы:

Приведенные формулы очевидны, если воспользоваться соотношениями (30) – (32). Подынтегральные функции распадаются на две гармонические функции с частотами колебаний ( n m)0 и ( n + m)0. Интеграл по периоду от гармонических функций всегда равен нулю, поскольку площади под кривой выше и ниже оси абсцисс одинаковы и в сумме дадут ноль.

Если n = m, то из формул (33) – (34) вытекают следующие соотношения:

Соотношения (46) являются аналогами скалярного произведения базиса самого на себя.

Для доказательства справедливости разложения в ряд Фурье (42) подставим эту формулу в первое соотношение (43). Под интегралом в (43) оказывается бесконечная сумма функций. Такое выражение можно представить в виде суммы интегралов, причем все кроме одного будут иметь вид (45), т. е. равняться нулю. Отличный от нуля единственный интеграл будет иметь вид (46). Таким образом, соотношение (43) превращается в тождество. Аналогичным способом доказывается и второе соотношение (43).

С помощью соотношений (43) получают спектр периодического сигнала – это представление его в виде суммы гармонических сигналов различной амплитуды (амплитудный спектр).

3.2. Ряд Фурье в комплексной форме, фазовый спектр Приведем ряд Фурье (42) к более компактному виду. Объединим обе суммы в одну:

Амплитуды гармоник заменим следующими выражениями:

Подставим (48) в (47) и преобразуем полученное выражение по формуле (28):

Отсюда становится понятен смысл вновь введенных величин:

An = an + bn - амплитуда n-й гармоники;

Таким образом, для каждой периодической функции кроме амплитудного спектра существует также фазовый спектр.

Недостатками рядов (42) и (49) является наличие в нем тригонометрических функций, что существенно затрудняет математические вычисления. Используя формулы (22) для синуса и косинуса, запишем ряд Фурье (42) в комплексной форме:

Соотношение (50) приведем к более удобному виду:

Получим из (43) и (44) выражения для комплексных амплитуд гармоник:

Вторая амплитуда в (51), как нетрудно заметить, комплексно сопряжена первой:

Выражения (52) и (53) можно объединить вместе, если использовать отрицательные значения n. В этом случае формула (52) будет справедлива для положительных n, а формула (53) позволит определять коэффициенты для отрицательных n:

Формулы (52) и (54) совпадают, что позволяет определять все коэффициенты ряда (51) по одной достаточно простой формуле:

Использование отрицательных n дает возможность упростить ряд (51), так как в этом случае второе слагаемое при отрицательных n совпадает с первым слагаемым при положительных n.

Таким образом, ряд (51) приобретает следующий вид:

Запись ряда Фурье (56) в экспоненциальной форме отличается компактностью. С таким рядом в математическом плане работать гораздо легче, чем с рядом (42).

Физический смысл соотношения (56) заключается в следующем. Теперь периодическую функцию f(t) раскладываем на совокупность комплексных колебаний (см. раздел 2.5). Амплитуда этих колебаний cn в соответствии с (55) является комплексной величиной. При этом модуль cn равен амплитуде n - той гармоники, а фаза – начальной фазе этой гармоники.

2.3.3. Преобразование Фурье и спектры непериодических сигналов Непериодические функции можно рассматривать, как периодические, у которых период колебаний стремится к бесконечности:

0 = d 0; =. Разбиение спектра на гармоники в этом случае невозможно, так как спектр непериодического сигнала становится непрерывным. Поэтому в формуле (55) заменяем n0 на, а пределы интегрирования делаем равными бесконечности:

Поскольку теперь мы имеем дело с непрерывным спектром, то вместо дискретных амплитуд гармоник будем использовать непрерывную функцию F(), которую называют спектральной функцией или спектром. Формулу для её расчета получим из (57):

Полученное выражение называется преобразованием Фурье. Оно показывает, что временную функцию можно представить в виде суммы гармоник, совокупность амплитуд которых задается спектральной функцией F(). Если известен спектр, то можно восстановить временную функцию. Это осуществляется с помощью обратного преобразования Фурье, которое вытекает из (56). Непрерывность позволяет заменить суммирование интегрированием, а набор амплитуд поменять на спектральную функцию:

Отсюда получаем обратное преобразование Фурье:

С помощью формулы (58) находят спектральные функции непериодических сигналов. К сожалению, для большинства функций интеграл (58) расходится, что сужает область его применения. Вместе с тем существуют компьютерные программы, производящие как прямые (58), так и обратные (59) преобразования Фурье (опция FFT – Fast Fourier Transformation).

Преобразование Фурье широко используется в технике связи. В последние годы в связи с развитием высокоскоростного Интернета одна пара проводов используется для нескольких десятков каналов связи. Каждому каналу выделен определенный частотный интервал (для телефонной связи ширина канала составляет 4 кГц). Для того, чтобы выделить в линии связи полезный сигнал, его пропускают через Фурье-преобразователь, где он разлагается в спектр. Большую часть спектра удаляют за исключением той его части, которая относится к интересующему нас каналу. Затем производится обратное преобразование Фурье, восстанавливающее временной сигнал. Преобразование временных сигналов в частотные и обратно используют для снижения уровня шума. Известно, что шумы состоят из высокочастотных гармоник. Поэтому после получения спектра сигнала его высокочастотная часть удаляется. При возвращении к временному сигналу уровень шумов значительно уменьшается.

2.4. Преобразование Лапласа 2.4.1. Нахождение изображения по оригиналу Как указывалось выше, интегралы Фурье для большинства функций расходятся. Лаплас предложил преобразовывать не саму функцию, а её произведение на быстро затухающий экспоt ненциальный множитель: f ( t ) = y ( t ) e, где – положительная константа, t – время. Поскольку при отрицательном времени экспоненциальный множитель увеличивается, что приведет к расходимости интеграла (58), то было предложено рассматривать только такие функции y(t), которые при отрицательном t равны нулю. При изучении технических систем равенство нулю всех функций означает, что система выключена. Таким образом, метод Лапласа определения спектральной функции применим только для тех случаев, когда поведение системы в прошедшие моменты времени игнорируется. С научной точки зрения информация о будущих событиях всегда представляет больший интерес, чем о событиях прошедших. Поэтому отказ от информации о поведении системы при отрицательном времени ради познания будущего можно считать вполне оправданным. Таким образом, преобразование Фурье (П.58) приобрело следующий вид:

где y(t) – функция времени, называемая оригиналом (равна нулю при отрицательном времени);

Y(p) – функция от комплексного аргумента p, называемая изображением; p = + j – переменная пространства изображений (переменная Лапласа).

Соотношение (60) называется преобразованием Лапласа. Присутствие в (60) затухающего экспоненциального множителя приводит к тому, что для большинства функций интеграл Лапласа сходится. После подсчета изображения спектральная функция определяется подстановкой = 0 или p = j.

Интеграл (60) подсчитан для большого числа функций y(t). Результаты этих расчетов можно найти в так называемой таблице преобразований Лапласа. Наиболее полные версии этой таблицы содержат более 300 функций. Ниже приведена минимальная, рассчитанная на технических специалистов, таблица преобразований Лапласа. Изображение известных оригиналов находят либо по таблице, либо непосредственным интегрированием (60).

Прокомментируем наиболее важные соотношения из таблицы. В пункте 2 показано, что линейная комбинация двух оригиналов преобразуется в линейную комбинацию их изображений.

Благодаря этому свойству можно сложную функцию времени разбить на слагаемые и затем раздельно преобразовать каждое из них. Точно так же поступают и при обратном преобразовании, когда известно изображение, а нужно найти оригинал.

Пункты 3 и 4 демонстрируют самое важное свойство преобразования Лапласа. Если в пространстве оригиналов мы имеем дело с производными, то аналогичная операция в пространстве изображений сводится просто к умножению изображения функции на переменную Лапласа в степени n (это целое число, равное количеству дифференцирований оригинала). Таким образом, операция дифференцирования в пространстве изображений отсутствует. Отметим также, что соотношения, записанные в пунктах 3 и 4, справедливы для оригиналов, у которых в нуле должна быть отлична от нуля только (n –1)-я производная, а все младшие производные и сама функция равны нулю (нулевые начальные условия). Заметим также, что нулевая производная – это сама функция. Если это условие не соблюдается, то преобразования из пунктов 3 и 4 имеют более сложный вид.

Пункты 5 и 6 также имеют важное значение, поскольку показывают, что интегрирование временной функции эквивалентно делению изображения подинтегральной функции на переменную Лапласа. Таким образом, интегрирование в пространстве изображений также отсутствует.

В пункте 7 показано, как преобразуется запаздывающая функция. Время запаздывания равно a. Благодаря уменьшению аргумента на величину a, график функции смещается вправо.

Такими функциями можно описывать задержки в технических, химических, биологических и других системах. Изображение запаздывающей функции представляет собой экспоненту, помноженную на изображение той же функции, но без задержки.

В пункте 9 рассмотрена так называемая «дельта-функция», которая представляет собой идеальный импульс:

Площадь под графиком дельта-функции равна 1:

L (t ) = 1, где через L обозначен оператор Лапласа (60).

В пункте 10 показано, как преобразуется экспонента. В линейных системах временные процессы в ряде случаев могут быть описаны суперпозицией экспонент. Примером может служить кинетика тока заряда или разряда RС-двухполюсника. Как следует из таблицы, изображение экспоненты представляет собой простую дробь. Это обстоятельству в следующем разделе будет использовано для нахождения оригинала по известному изображению.

Завершим анализ таблицы пунктом 11, где рассмотрена так называемая «ступенчатая функция», которая равна:

Эта функция связана с дельта-функцией следующим соотношением:

Важным достоинством преобразования Лапласа является то, что возможно преобразование не только аналитических функций, но и кинетических кривых, заданных в виде графика. На основе этого можно реализовать частотный анализ временных функций.

4.2. Нахождение оригинала по изображению В теории технических систем наибольшие трудности вызывает нахождение оригинала по имеющемуся изображению. Существует формула обратного преобразования Лапласа:

которая, однако, представляет лишь теоретический интерес. В практических задачах использовать (64) невозможно, так как под интегралом находится функция комплексной переменной. Поэтому переход от изображения к оригиналу осуществляют с помощью таблицы преобразований Лапласа. Кроме этого существует несколько полезных формул, применимых для частных случаев. Пусть изображение представляет собой дробь следующего вида:

где Y1 ( p ), Y2 ( p ) – полиномы m-й и n-й степени p, соответственно, причем n > m.

Такую дробь можно разложить на сумму простых дробей по известной формуле:

где Y2 ( p) = С помощью пункта 10 таблицы можно сделать обратное преобразование Лапласа для каждой из дробей в (66). Далее необходимо просуммировать все полученные оригиналы. В результате получим следующую полезную формулу:

Пусть среди корней имеется пара комплексно-сопряженных корней: p1,2 = ± j. В этом случае две экспоненты в (67) можно объединить в одно выражение:

Несложно заметить, что в скобке второе слагаемое комплексно сопряжено первому слагаемому. Если воспользоваться формулой (20), то выражению можно придать более компактный вид:

Дробь в скобках является комплексным числом. Представим ее в экспоненциальной форме:

– модуль комплексного числа, – фаза комплексного числа.

где После подстановки (П.69) в (П.68) получаем следующее выражение:

Для определения реальной части (70) воспользуемся формулой Эйлера (14):

Полученное выражение показывает, что при наличии пары комплексных корней у знаменателя в (65), оригинал содержит колеблющуюся функцию времени, причем частота колебаний равна мнимой части корня. Амплитуда колебаний изменяется по экспоненциальному закону. При этом вещественная часть комплексного корня попадает в показатель экспоненты. Выходные сигналы в виде (71) характерны для, так называемых, колебательных звеньев, что будет более подробно рассмотрено в разделе 5.1.

Очевидно, что при < 0 амплитуда колебаний будет стремиться к нулю, а при > 0 амплитуда будет стремиться к бесконечности. Это пример неустойчивого процесса. При = 0 возникнут незатухающие гармонические колебания. Такая система находится на колебательной границе устойчивости. В этом случае любые внешние воздействия могут сместить значение либо в положительную сторону, и система станет неустойчивой. Если же смещение будет в минусовую область, то система перейдет в устойчивое состояние, и колебания затухнут.

Существует еще одна полезная формула получения оригинала из изображения. Пусть изображение имеет следующий вид:

В этом случае оригинал можно найти по формуле:

4.3. Передаточные функцию. Преобразование систем линейных дифференциальноинтегрального уравнений в структурные схемы Линейное интегро-дифференциальное уравнение имеет следующий вид:

a 1, a 2,..., a n + 1 – постоянные вещественные числа; x(t) – известная функция, аргде гументом которой чаще всего является время t; y – искомая функция t. В линейном уравнении все производные и интегралы функции y должны быть в первой степени, а также не должно быть произведений искомой функции на ее производные или перемножений производных друг с другом. В теории технических систем принимают х за входной сигнал, а y – за выходной некоторого абстрактного устройства, называемого звеном. Уравнение (74), таким образом, задает связь входного и выходного сигналов.

Если преобразовать по Лапласу правую и левую части (74), то получим алгебраическое уравнение, что вытекает из пунктов 3–5 таблицы преобразований Лапласа:

Именно благодаря способности преобразования Лапласа превращать линейные дифференциально-интегральные уравнения в алгебраические этот оператор нашел широкое применение в теории технических систем.

Одна из основных задач науки – это предсказание событий. Для осуществления этой задачи необходимо построение математической модели, в качестве которой могут быть дифференциальные, интегральные или алгебраические уравнения, связывающие различные параметры и сигналы системы. Вместе с тем в технических науках используются также другие формы математических моделей. В частности, широкое распространение нашли так называемые структурные схемы (не нужно их путать с электрохимическими структурными эквивалентными схемами). По определению, структурная схема – это графическое изображение уравнений, описывающих систему. Вместо уравнений типа (74) используются звенья, которые характеризуются передаточной функцией. Звено имеет один вход, на который подается сигнал х, и один выход, с которого снимается сигнал y. Линейное звено характеризуется передаточной функцией, которая, по определению, равна отношению изображения выходного сигнала Y(p) к изображению входного сигнала X(p):

Для линейных звеньев независимо от того, какой сигнал подается на вход, передаточная функция будет всегда одна и та же. Это правило не соблюдается для нелинейных звеньев, которые соответствуют нелинейным дифференциальным уравнениям. Поэтому передаточная функция используется только для описания линейных систем. Вместе с тем структурные схемы строятся как для линейных, так и для нелинейных процессов.

Передаточную функция звена, у которого входной и выходной сигнал связаны в виде уравнения (74), можно определить из (75). Для этого необходимо вынести изображение Y(p) за скобку:

Отсюда находим передаточную функцию звена:

Полином в знаменателе называется характеристическим полиномом, а его корни – характеристическими числами. На структурной схеме звено изображается в виде прямоугольника, внутри которого записывается передаточная функция.

Типовые звенья технических систем и их передаточные функции где K – постоянная величина.

где T – постоянная времени звена.

где – коэффициент демпфирования, величина которого заключена между нулем и (0 < < 1). Особенность колебательного звена в том, что корни его характеристического полинома являются комплексными числами.

Сигнал, проходящий через звено чистого запаздывания, не имеет искажений, а лишь задерживается на время :

11. Существует всего одно линейное звено с несколькими входами – это сумматор, характеристика которого дана в комментариях к рис. 3.

Рис. 3. Пример структурной схемы с 4 звеньями и 2 сумматорами, имеющей один вход и один выход.

Если структурная схема системы состоит только из линейных элементов и имеет один вход и один выход, то в этом случае всегда можно подсчитать общую для всей схемы передаточную функцию. Известно несколько правил преобразования структурных схем. Здесь мы рассмотрим только самые необходимые.

1. При параллельном соединении звеньев их передаточные функции складываются. На рис. 3 звенья W2 и W3 соединены параллельно. Существует общее правило, запрещающее соединять выходы звеньев напрямую. Для этих целей используется сумматор, обозначаемый на структурной схеме перечеркнутой окружностью –. При таком обозначении у сумматора имеется три входа (слева, сверху, снизу) и один выход (справа). Если необходимо просуммировать большее число сигналов, то последовательно соединяют несколько сумматоров. Если у сумматора сектор закрашен в черный цвет, то сигнал, поступающий на этот сектор, вычитается. На рис. слева изображен такой «вычитатель». Как нетрудно заметить, совокупность двух звеньев: W2, W и сумматора соединяется с остальной структурной схемой двумя проводниками, один из которых является входом, а другой – выходом. Таким образом, эта группа звеньев сама образует звено с передаточной функцией:

2. При последовательном соединении звеньев передаточные функции перемножаются. На рис. П3 последовательно соединены звенья W1 и W23. Здесь также совокупность этих двух звеньев имеет один вход и один выход, и, таким образом, сама является звеном с передаточной функW123 = W1 W23 = W1 (W2 + W3 ).

цией:

3. На структурной схеме имеется звено W4, через которое осуществляется отрицательная обратная связь (ООС). Сигнал с выхода подается на вход (обратная связь). Этот сигнал вычитается из входного сигнала (отсюда - отрицательная обратная связь). Если бы сигнал обратной связи суммировался с входным сигналом, то была бы положительная обратная связь. В литературе два звена, включенные по схеме ООС, называют также «соединенными антипараллельно». В этом случае их общая передаточная функция определяется по формуле:

Соотношение (88) является одним из основных в теории автоматического управления.

Приведенные три правила приведены без доказательств, так как вывод формул не представляют сложности.

2.5. Расчет экспериментально наблюдаемых величин из передаточной функции Структурная схема системы и ее передаточная функция (если система линейна) являются особыми видами математической модели, которая действуют в пространстве изображений. Благодаря этому все расчеты можно проводить алгебраическими методами, так как линейные дифференциально-интегральные уравнения при переходе в пространство изображений преобразуются в алгебраические уравнения. Вместе с тем, платой за переход является появление функций комплексной переменной p, что, однако, незначительно усложняет задачу.

В настоящем разделе пойдет речь о проверке адекватности передаточной функции системы экспериментальным данным. Эта процедура требует получения из передаточной функции измеряемых величин. Другими словами, передаточная функция должно предсказывать поведение системы в различных условиях. Если эти предсказания подтверждаются, то передаточную функцию можно считать относительно правильной.

2.5.1. Определение временных зависимостей выходного сигнала операционным способом Рассмотрим процедуру получения выходного сигнала при подаче на вход системы некоторой функции времени. Задачу решают следующим образом. Прежде всего получим изображение входного сигнала: X ( p ) = L x (t ), где L – оператор Лапласа. Затем, используя определение передаточной функции (76), находим изображение выходного сигнала:

Теперь остается сделать обратное преобразование Лапласа, что и даст искомую временную функцию: y (t ) = L Y ( p ) ( L – оператор обратного преобразования Лапласа). Эта процедура эквивалентна поиску частного решения линейного дифференциального уравнения методом Эйлера. Однако, как указывал Деч, использование преобразования Лапласа позволяет получить решение более коротким путем и с меньшими затратами усилий. В математике рассматриваемый нами метод называется операторным методом нахождения частных решений линейных дифференциальных уравнений. Выигрыш связан с тем, что в операторном методе начальные условия учитываются автоматически, так как они связаны с формой входного сигнала. В качестве примера получим переходную функцию апериодического звена первого порядка, реального дифференцирующего звена и колебательного звеньев.

По определению, переходной функцией h(t) называется реакция системы в виде зависимости выходного сигнала от времени при подаче на вход ступенчатой функции. Переходные функции в технологической литературе называют также «разгонными кривыми».

Изображение ступенчатой функции можно взять из таблицы преобразований Лапласа X ( p ) = L1(t ) =. Изображение переходной функции находим перемножением (пункт 11):

изображения входного сигнала на передаточную функцию апериодического звена 1-го порядка (81):

где Y1 и Y2 – полиномы числителя и знаменателя.

Обратное преобразование Лапласа можно осуществить по формуле (73). У полинома Y имеется всего один корень :. Поэтому вместо суммы в (73) будет всего одно слагаеT мое. Кроме этого, полином числителя Y1 = 1. Таким образом для искомой переходной функции получаем следующее выражение:

Для нахождения переходной функции реального дифференцирующего звена воспользуемся более простым способом. Передаточную функцию этого звена можно разбить на два сомноW ( p) = p. Структурная схема такого звена будет состоять из двух пожителя (83):

следовательно соединенных звеньев: апериодического первого порядка (81) и дифференцирующего (79). В линейных системах при последовательном соединении звеньев их очередность может быть любой. Вследствие этого ступенчатая функция сначала подадим на апериодическое звено первого порядка, а с его выхода сигнал поступит на дифференцирующее звено. Однако, последний сигнал нам уже известен, он равен (91). С другой стороны, дифференцирующее звено берет производную от входного сигнала. Таким образом, переходную функцию находим дифференцированием (91):

График переходная функция реального дифференцирующего звена представляет собой спадающую экспоненту.

У колебательного звена (86) характеристический полином имеет два комплексно сопряженных корня, что позволяет использовать соотношение (71). Кроме того необходимо добавить постоянную составляющую согласно формуле (73). Полином в числителя у колебательного звена равен 1. В итоге получаем следующее общее выражение для переходной функции:

На рис. 5 приведен график переходной функции колебательного звена, построенный в соответствии с (93). Переходная функция колебательного звена состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое дает уровень установившегося выходного сигнала, а второе – показывает вид переходного процесса.

Переходные функции остальных типовых звеньев можно рассчитать самостоятельно или найти в литературных источниках.

2.5.2. Получение частотных характеристик из передаточной функции Если на вход узла подать гармонический сигнал: x = X 0 cos t, то после завершения переходных процессов на выходе линейного узла сигнал будет иметь следующий = Y0 cos(t + ). Таким образом, линейное звено не изменяет частоту сигнала и вид вид: y функции, а меняет только амплитуда сигнала Y0 и создает сдвиг фазы. Следует заметить, что фазовый угол имеет некоторую неопределенность в виде добавки, кратной 360° (±2n, где n – целое число). В связи с этим обычно указывают минимальный из возможных углов.

По определении, отношение амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного сигнала в зависимости от частоты называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ):

АЧХ =. Зависимость сдвига фазы от частоты называется фазочастотной характеристиX кой (ФЧХ). Эти две частотные характеристики являются основными измеряемыми функциями как в технических, так и электрохимических системах.

Если гармонический сигнал пропустить через нелинейное звено, то на выходе будет получена искаженная синусоида, при разложении которой в спектр можно выделить набор гармоник.

В некоторых случаях в спектре выходного сигнала входная гармоника может вообще отсутствовать. В качестве примера возьмем нелинейное звено, известное в радиоэлектронике как квадратор. Зависимость выходного сигнала y от входного x у этого устройства имеет следующий вид:

y = x 2. Если подать гармонический сигнал x = X 0 cos t, то на выходе получим:

Здесь мы воспользуемся формулой (33).

На выходе квадратора имеем сумму постоянной составляющей и гармонического сигнала удвоенной частоты. Эту свойство используют в умножителях частоты. Таким образом, частотные характеристики имеют смысл только для линейных звеньев.

Расчет частотных характеристик из передаточной функции производится следующим обp = j. Физический смысл разом. В передаточной функции производим замену переменной:

этой операции описан в разделе 4.1. В результате получаем функцию комплексной переменной W(j), которую называют либо частотной передаточной функцией, либо комплексной амплитудно-фазочастотной характеристикой (КАФЧХ). Представим КАФЧХ в экспоненциальной форме:

A( ) = W ( j ) – модуль комплексной функции (АЧХ); () – фаза комплексной функции где (ФЧХ).

Кроме этих двух частотных функций, используют также следующие:

Мнимая частотная характеристика (МЧХ), которую находим по формуле (21):

Вещественная частотная характеристика (ВЧХ), которую находим по формуле (20):

АЧХ можно определить по формуле (24) или (25):

ФЧХ рассчитывают по формуле (26):

Функцию W(j) изображают на комплексной плоскости в виде графика, который называют «годографом». По оси абсцисс откладывают действительную часть КАФЧХ – P(), а по оси ординат – мнимую часть – S().

Приведем частотные характеристики типовых звеньев.

а). Пропорциональное звено:

г). Апериодическое звено 1-го порядка имеет КАФЧХ:

Для определения АЧХ и ФЧХ воспользуемся формулами (97) и (98):

Для построения годографа необходимо получить выражения для МЧХ и ВЧХ. Эти характеристики можно получить из (95) и (96). Вместе с тем существует более короткий путь. Он сводится к тому, чтобы в выражении (99) мнимую единице из знаменателя перенести в числитель. С этой целью необходимо в дроби (99) числитель и знаменатель помножить на комплексносопряженный знаменатель. Из (24) следует, что произведение комплексной функции на комплексно-сопряженную ей функцию дает квадрат модуля, который является действительной величиной. Таким образом можно избавиться от мнимой единицы в знаменателе:

Годограф апериодического звена 1–го порядка является полуокружностью.

д). Форсирующее звено:

Из экспоненциальной формы комплексного числа получаем выражения для АЧХ и ФЧХ:

Для остальных типовых звеньев частотные характеристики рассчитываются аналогичным способом, что можно проделать самостоятельно или воспользоваться источниками литературы.

2.5.3. Диаграммы Боде Эти диаграммы также являются частотными характеристиками, широко применяющимися в технических науках. В отечественной литературе они называются «логарифмическими амплитудно-частотными характеристиками» (ЛАЧХ) и «логарифмическим фазочастотными характеристиками» (ЛФЧХ). Прежде всего рассмотрим ЛАЧХ. Эта частотная характеристика представляет L = 20 lg A от lg, где A – амплитудно-частотная характеристика, – чассобой зависимость:

тота колебаний (в Гц), lg – десятичный логарифм. Значения L измеряют в децибелах (дБ), а логарифмическую шкалу частоты градуируют в декадах. Полезность ЛАЧХ заключается в том, что эту частотную характеристику можно в приближенном виде получить из передаточной функции звена без применения вычислительной техники. Для этого необходимо знать графики ЛАЧХ основных типовых звеньев.

а). Пропорциональное звено:

б). Дифференцирующее звено:

координат и имеющая тангенс угла наклона равный +20 дБ/дек.

в). Интегрирующее звено:

начало координат и имеющая тангенс угла наклона равный –20 дБ/дек.

шения (П.98). Для этого звена ЛАЧХ можно построить в приближенном асимптотическом виде. С этой целью необходимо получить низкочастотную и высокочастотную асимптоты.

Низкочастотная асимптота равна:

Таким образом, эта асимптота совпадает с осью абсцисс.

Высокочастотная асимптота:

Таким образом, высокочастотная асимптота является прямой линией с отрицательным наклоном. Как следует из формулы (102), тангенс ее угла наклона равен –20 дБ/дек.

Точку пересечения низкочастотной и высокочастотной асимптот называют частотой соL( ) = 0. Поскольку пряжения (с). Эту частоту можно определить из уравнения (109):

lg1 = 0, то отсюда находим частоту сопряжения:

Частота сопряжения является точкой перехода от низкочастотного поведения узла, когда входной сигнал проходит через узел без искажений, к высокочастотному поведению, когда на каждой декаде происходит ослабление сигнала на 20 дБ.

д). Форсирующее звено:

звена ЛАЧХ можно построить также в приближенном асимптотическом виде. С этой целью необходимо получить низкочастотную и высокочастотные асимптоты.

Низкочастотная асимптота равна: L( 0) = 20 lg 0 + 1 = 0. Таким образом, эта асимптота совпадает с осью абсцисс.

Высокочастотная асимптота:

Высокочастотная асимптота является прямой линией с положительным наклоном. Как следует из формулы, тангенс ее угла наклона равен +20 дБ/дек.

Частоту сопряжения находим так же по формуле (103).

2.5.4. Построение ЛАЧХ сложных передаточных функций Полезность ЛАЧХ связана с тем, что эти характеристики достаточно просто построить для сложных передаточных функций. Прежде всего необходимо передаточную функцию разбить на простые сомножители:

Подставим в (112) p = j. В результате получим частотную передаточную функцию:

Теперь каждую из комплексных функций запишем в экспоненциальной форме:

W ( j ), Wi ( j ) (i = 1, 2, 3), соответственно; ( ), i ( ) (i = 1, 2, 3) - фазы этих же комплексных функций.

Таким образом, при последовательном соединений звеньев АЧХ перемножаются:

а ФЧХ складываются:

Из (114) получим ЛАЧХ для последовательно соединенных звеньев:

где Li (i = 1, 2, 3) – ЛАЧХ элементарных звеньев.

Отсюда можно сделать следующий вывод: при последовательном соединении звеньев общая ЛАЧХ находится суммированием ЛАЧХ всех звеньев при условии, что эти звенья соединены последовательно.

Для того, чтобы можно было сопоставлять ЛАЧХ и ФЧХ, график последней строят также в зависимости от десятичного логарифма частоты. Такую функцию принято называть логарифмической ФЧХ (ЛФЧХ). Совокупность двух графиков ЛАЧХ и ЛФЧХ и называется диаграммой Боде.

И так, процедура получения диаграммы Боде состоит в том, что сначала на одном и том же рисунке строят асимптотические ЛАЧХ (обычно, в верхней части рисунка) и ЛФЧХ (в нижней части рисунка) каждого элементарного звена. Затем производится геометрическое суммирование, что дает общую ЛАЧХ и общую ЛФЧХ.

3. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Пример 1. Разбить передаточную функцию:

на элементарные составляющие и изобразить её в виде структурной схемы двумя способами: последовательным соединением звеньев и параллельным соединением звеньев. Охарактеризовать полученные звенья.

Прежде всего найдем корни знаменателя. Для этого нужно решить уравнение:

Первый корень находим методом перебора: p1 = 1. Теперь можно уменьшить порядок уравнения на 1. Для этого произведем деление полинома (90) на (p–1):

менатель можно разбить только на два сомножителя. Передаточная функция приобретает слеW= ная схема.

Эту же передаточную функцию можно представить в виде суммы дробей:

Окончательный вид передаточной функции следующий:

Соответствующая структурная схема приведена на рис. 5б.

Рис. 5. Структурные схемы, полученные из передаточной функции. На схеме б) присутствуют (сверху вниз): полосовой фильтр, неустойчивое (неминимально фазовое) звено, колебательное звено и со стороны выхода имеются суммирующее и пропорциональное звенья.

Пример 2. Получить частотные функции звена с передаточная функция:

Амплитудно-частотную характеристику (АЧХ), Фазо-частотную характеристику (ФЧХ), Мнимую частотную характеристику (МЧХ), Вещественную частотную характеристику (ВЧХ).

Построить графики всех функций и годограф.

Для получения частотной передаточной функции делаем замену: p = j. В результате получаем следующую функцию комплексной переменной:

Прежде всего найдем ВЧХ и МЧХ. Для этого необходимо избавиться от мнимой единицы в знаменателе. С этой целью числитель и знаменатель в (104) помножим на комплексносопряженный знаменатель. В результате этого частотная передаточная функция приобретает следующий вид:

Таким образом, ВЧХ и МЧХ, соответственно, имеет следующий вид:

Амплитудно-частотную характеристику найдем по соотношению (97):

Фазочастотную характеристику найдем из выражения (96):

-0, -0, -0, -0, Рис. 6. Вещественная, мнимая, амплитудная и фазовая частотные характеристики.

Построение всех зависимостей осуществим в программном пакете ORIGIN. Там же можно построить и годограф, который представляет собой зависимость мнимой части от вещественной.

Полученные кривые изображены на рис. 6 и 7.

Пример 3. Построить ЛАЧХ следующей передаточной функции:

где 1 = Прежде всего представим структурную схему в виде 4-х последовательно соединенных Далее строим ЛАЧХ всех звеньев на одном графике (рис. 5).

Рис. 8. На верхнем графике построены ЛАЧХ форсирующих (1, 2) и апериодических первого порядка (3, 4) звеньев. Внизу приведен результат их суммирования, который и является приближенной ЛАЧХ передаточной функции.

Задание 1. Привести комплексное выражение к экспоненциальному и алгебраическому виду (найти модуль, фазу, действительную и мнимую части).

Задание 2. Найти местоположение нулей и полюсов передаточной функции, разбить ее на сомножители в числителе и знаменателе и на простые дроби, отметить на комплексной плоскости особые точки (нули и полюсы), построить две эквивалентные структурные схемы.

Задание 3. Из передаточной функции получить частотные характеристики звена: АЧХ, ФЧХ, ВЧХ, МЧХ. Построить графики всех характеристик и годографа.

Задание 4. Посторить асимптотическую ЛАЧХ и ЛФЧХ по известной передаточной функции.

Задание 5. Рассчитать весовую функцию звена по известной передаточной функции.

Задание 6. Рассчитать переходную функцию звена по известной передаточной функции.

В вариантах контрольных работ приведены 6 математических выражений, номера которых соответствуют номерам заданий.

Варианты контрольных работ Вариант Вариант Вариант 4). W = Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант

4. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

ДИСЦИПЛИНЫ

Самостоятельная работа студентов по изучению отдельных тем дисциплины включает поиск учебных пособий по данному материалу, проработку и анализ теоретического материала, контроль знаний по данной теме с помощью нижеперечисле6нных вопросов и заданий.

1. Введение Приведите примеры систем управления.

Каково функциональное назначение в системе управления воспринимающего элемента, регулирующего органа и регулятора?

Как система управления должна реагировать на изменение задающего и возмущающего воздействий?

2. Теория комплекс- Как представить комплексное число в алгебраической форме?

ных чисел Как представить комплексное число в тригонометрической 3. Теория решения Чем отличается замкнутая система от разомкнутой?

линейных диффе- Что такое характеристические числа?

ренциальных урав- Что такое характеристическое уравнение?

нений методом Эй- Чем отличаются однородные и неоднородные уравнения?

4. Ряды Фурье. Напишите ряд Фурье в вещественной форме?

Спектры периоди- Напишите ряд Фурье в комплексной форме?

ческих сигналов. Что такое амплитудный и фазовый спектры?

Что представляет собой спектр последовательности прямоугольных импульсов?

5. Основы операци- 1) Напишите преобразования Фурье и Лапласа.

онного исчисления 2) Назовите математические основы теории автоматического 3) Напишите наиболее важные соотношения из таблицы преобразований Лапласа.

5) Перечислите основные методы нахождения обратного преобразования Лапласа.

8) Как графически изображаются уравнения, описывающие техническую систему?

9) Чему равно преобразование Лапласа для производной, интеграла, единичной ступенчатой, и синусоидальной функции?

6. Степенные ряды Выведите формулу разложение экспоненты в степенной ряд?

Тейлора и Маклоре- Выведите формулу разложение синуса в степенной ряд?

Как осуществляется линеаризация статических характеристик 7. Основы дискрет- 1) Как переводятся двоичные числа в десятичные и 16-ричные?

ной математики 2) Перечислите основные переключательные (дискретные) функции 2-х дискретных переменных?

3) Как осуществить синтез переключательных функций по методу 4) Как осуществить синтез переключательных функций по методу 5) Как минимизировать логическую функцию алгебраическим методом?

7) Как реализовать логические функции с помощью реле, выключателей и логических электронных элементов?

8. Математические 1) В чем заключается квантование сигналов (по времени, по уровосновы теории ав- ню, по времени и по уровню)?

томатического 2) Перечислите виды импульсных систем?

управления дис- 3) Что такое релейные САУ?

кретных систем 4) Что такое цифровые САУ?

5) Выведите формулу дискретного преобразования Лапласа?

8) Как осуществляется реализация звеньев технических систем 9) Выведите Z-передаточные функции дискретных интегратора и 10) Как осуществляется преобразование дискретных сигналов в 9. Типовые звенья 9. Что такое усилительное безинерционное звено?

технических систем 10. Что такое апериодические звенья первого и второго порядка?

12. Что такое интегрирующие, дифференцирующие и интегродифференцирующие звенья?

14. Как определяются передаточные функции при последовательном соединении звеньев?

17. Как из передаточной функции находят частотные характеристики звеньев (АЧХ, ФЧХ, годограф, ЛАЧХ и ЛФЧХ)?

4.2. Методические рекомендации по самостоятельному выполнению контрольной работы для студентов заочной формы обучения по дисциплине «Математические основы Согласно учебному плану по специальности предусмотрено выполнение одной контрольной работы, которая охватывает основные математические вопросы теории линейных систем автоматического управления.

Темы контрольных работ и методические указания к ним даны в рукописи:

«Математические основы теории систем» (составитель Н.А.Секушин), с которой можно ознакомиться в читальном зале библиотеки СЛИ или взять на кафедре АТП и П.

4.3. Методические рекомендации по выполнению практических занятий по дисциплине «Математические основы теории систем»

Задачи по каждому изучаемому разделу 4.3.1. Развитие практических навыков работы с комплексными числами а) Привести комплексное выражение к экспоненциальному и алгебраическому виду (Найти модуль, фазу, действительную и мнимую части) б) В следующих передаточных функциях от комплексной переменной p необходимо найти местоположение на комплексной плоскости нулей и полюсов, разбить функции на сомножители в числителе и знаменателе, отметить на комплексной плоскости особые точки (нули и полюса).

4.3.2. Составление дифференциальных уравнений и определение передаточных характеристик элементов автоматики и объектов управления а). Для передаточных функций из раздела 3.4.1б преобразовать их в дифференциальные уравнения;

б). Представить передаточные функции в виде совокупности типовых звеньев.

в). Найти эквивалентную передаточную функцию системы, имеющую следующую структурную схему г). Дана структурная схема САУ, состоящая из 4-х типовых звеньев:

W1 - звено чистого запаздывания, W2 –апериодические звено 1-го порядка, W3 - интегрирующее инерционное звено, W4 - реальное дифференцирующее звено.

Необходимо рассчитать передаточную характеристику.

д). На рис. изображена структурная схема непрерывной САУ с двойной отрицательной ОС. Передаточные характеристики звеньев в схеме имеют следующий вид:

W1 = 2, W2 =, W3 = p, W4 = p. Каким типовым звеном является данная САУ?

Получите формулу для передаточной характеристики в общем виде.

4.3.3. Составление структурных схем систем автоматического управления и их теоретическое исследование а). Рассчитать передаточную функцию узла, собранного на операционном усилителе по приведенной ниже схеме. Оценить динамические свойства этого узла.

б). Рассчитать передаточную характеристики узла, собранного на операционном усилителе по приведенной ниже схеме. Определить АЧХ и ФЧХ при условии, что R1 > R3. Построить ЛАЧХ.

в). Рассчитать передаточную характеристики узла, собранного на операционном усилителе по приведенной ниже схеме. Определить АЧХ и ФЧХ при условии, что R1 > R3. Построить ЛАЧХ.

4.3.4. Методы расчета частотных свойств типовых звеньев а). Для передаточных функций из раздела 3.4.1б получить выражения для АЧХ и ФЧХ;

б). Для этих же функций получить выражения для вещественной частотной характеристики (ВЧХ) и мнимой частотной характеристики (МЧХ);

в). Построить с помощью программы Excel годограф.

4.3.5. Методы расчета временных характеристик типовых звеньев а). Для передаточных функций из раздела 4.3.1б получить выражения для переходной функциии;

б). Для этих же функций получить выражения для весовой функции.

4.3.6. Анализ и синтез корректирующих цепей а). На вход схемы подан гармонический сигнал вида: x = X 0 cos t, где частота = 1000 с-1.

Определить фазовый сдвиг и амплитуду выходного сигнала y?

Определить фазовый сдвиг и амплитуду выходного сигнала y?

Определить фазовый сдвиг и амплитуду выходного сигнала y?

помощью реле по следующей схеме.

4.3.8. Методы расчета Z-передаточных функций Получить Z- передаточные функции для типовых звеньев:

a). Пропорционального.

б). Интегрирующего.

в). Дифференцирующего.

г). Апериодического 1-го порядка.

д). Колебательного.

е). ПИД-регулятора.

5. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ТЕКУЩЕМУ КОНТРОЛЮ

Текущая успеваемость студентов проверяется промежуточной аттестацией в виде выполнения контрольной работы, которая включает пройденный материал на лекциях и практических занятиях. Ниже приведены 6 вариантов контрольной работы по МОТС 1. Привести комплексное выражение к экспоненциальному и алгебраическому виду (найти модуль, фазу, действительную и мнимую части) 2. В следующей комплексной функции необходимо найти местоположение нулей и полюсов, разбить функцию на сомножители в числителе и знаменателе, отметить на комплексной плоскости особые точки (нули и полюса). Кроме этого, разбить на простые дроби.

3. То же самое 4. Проинтегрировать однородное линейное уравнение 5. Проинтегрировать неоднородное уравнение 1. Привести комплексное выражение к экспоненциальному и алгебраическому виду (найти модуль, фазу, действительную и мнимую части) 2. В следующей комплексной функции необходимо найти местоположение нулей и полюсов, разбить функцию на сомножители в числителе и знаменателе, отметить на комплексной плоскости особые точки (нули и полюса). Кроме этого, разбить на простые дроби.

3. То же самое 4. Проинтегрировать однородное линейное уравнение 5. Проинтегрировать неоднородное уравнение 1. Привести комплексное выражение к экспоненциальному и алгебраическому виду (найти модуль, фазу, действительную и мнимую части) 2. В следующей комплексной функции необходимо найти местоположение нулей и полюсов, разбить функцию на сомножители в числителе и знаменателе, отметить на комплексной плоскости особые точки (нули и полюса). Кроме этого, разбить на простые дроби.

3. То же самое 4. Проинтегрировать однородное линейное уравнение 5. Проинтегрировать неоднородное уравнение 1. Привести комплексное выражение к экспоненциальному и алгебраическому виду (найти модуль, фазу, действительную и мнимую части) 2. В следующей комплексной функции необходимо найти местоположение нулей и полюсов, разбить функцию на сомножители в числителе и знаменателе, отметить на комплексной плоскости особые точки (нули и полюса). Кроме этого, разбить на простые дроби.

3. То же самое 4. Проинтегрировать однородное линейное уравнение 5. Проинтегрировать неоднородное уравнение 1. Привести комплексное выражение к экспоненциальному и алгебраическому виду (найти модуль, фазу, действительную и мнимую части) 2. В следующей комплексной функции необходимо найти местоположение нулей и полюсов, разбить функцию на сомножители в числителе и знаменателе, отметить на комплексной плоскости особые точки (нули и полюса). Кроме этого, разбить на простые дроби.

3.То же самое 4. Проинтегрировать однородное линейное уравнение 5. Проинтегрировать неоднородное уравнение 1. Привести комплексное выражение к экспоненциальному и алгебраическому виду (найти модуль, фазу, действительную и мнимую части) 2. В следующей комплексной функции необходимо найти местоположение нулей и полюсов, разбить функцию на сомножители в числителе и знаменателе, отметить на комплексной плоскости особые точки (нули и полюса). Кроме этого, разбить на простые дроби.

3. То же самое 4. Проинтегрировать однородное линейное уравнение 5. Проинтегрировать неоднородное уравнение Математические основы теории непрерывных линейных систем.

Математические основы теории дискретных линейных систем.

Критерии устойчивости линейных систем.

Переходные и весовые функции типовых звеньев, операторный метод их расчета.

Пассивные корректирующие цепи – расчет их частотных характеристик и использование при синтезе оптимальных САУ.

Корректирующие цепи на основе операционных усилителей – расчет их частотных характеристик и использование при синтезе оптимальных САУ.

Нелинейные элементы с гладкими характеристиками, их линеаризация и методы анализа динамических свойств.

Существенно нелинейные элементы САУ, классификация, примеры использования и методы анализа динамических свойств.

Расчет ошибок регулирования, статические и астатические САУ.

Синтез систем методом ЛАХ.

Дискретный ПИД- регулятор.

Преобразование Фурье. Спектры периодических и непериодических сигналов.

Метод гармонической линеаризации.

Квантование сигналов, теорема Котельникова.

Классификация объектов управления, регуляторов, регулируемых величины, обратных связей.

Системы автоматического регулирования (САР) и управления (САУ). Задающие, возмущающие и управляющие воздействия.

Принцип комбинированного управления. Понятия ошибок и отклонений регулируемой величины.

Метод гармонической линеаризации.

Метод анализа нелинейных систем методом фазовых траекторий.

Позиционное регулирование, метод припасовывания.

Моделирование систем автоматического управления в программном пакете System View.

Особенности моделирования нелинейных систем в программном пакете System View.

Программный пакет LabVIEW.

Применение графического программирования для создания гибких и масштабируемых приложений для измерений, управления и испытаний.

Технология виртуальных приборов.

6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

1. Математические основы теории систем [Текст] : учеб. пособие для студ. спец. "Автоматизация технологических процессов и производств" и направления бакалавриата "Автоматизация и управление" очной и заочной форм обучения / Федеральное агентство по образованию, Сыкт. лесн. ин-т – фил. ГОУ ВПО "С.-Петерб. гос. лесотехн. акад. им. С. М. Кирова", Каф. автоматизации технол. процессов и производств ; сост. Н. А. Секушин. – Сыктывкар : СЛИ, 2010. – 52 с.

Дополнительная учебная, учебно-методическая литература 1. Бесекерский, В. А. Теория систем автоматического управления [Текст] : [учеб. пособие] / В. А. Бесекерский, Е. П. Попов. – 4-е изд., перераб. и доп. – Санкт-Петербург : Профессия, 2004.

– 752 с. – (Специалист).

2. Ерофеев, А. А. Теория автоматического управления [Текст] : учеб. для студ. вузов, обучающихся по направлениям "Автоматизация и управление", "Системный анализ и управление" / А. А. Ерофеев. – 2-е изд., перераб. и доп. – Санкт-Петербург : Политехника, 2003. – 302 с.

3. Корнеев, Н. В. Теория автоматического управления с практикумом [Текст] : учеб. пособие для студ. вузов, обучающихся по спец. "Автомобиле- и тракторостроение" / Н. В. Корнеев, Ю. С. Кустарев, Ю. Я. Морговский. – Москва : Академия, 2008. – 224 с. – (Высшее профессиональное образование).

4. Ротач, В. Я. Теория автоматического управления [Текст] : учеб. для студ. вузов / В. Я.

Ротач. – 2-е изд., перераб. и доп. – Москва : Изд-во МЭИ, 2004. – 400 с.

5. Савин, М. М. Теория автоматического управления [Текст] : учеб. пособие для студ. вузов, обучающихся по направлениям 550200, 651900 – "Автоматизация и управление" / М. М. Савин, В. С. Елсуков, О. Н. Пятина ; под ред. В. И. Лачина. – Ростов н/Д : Феникс, 2007. – 469 с. – (Высшее образование).

6. Шипачев, В. С. Курс высшей математики [Текст] : учебник / В. С. Шипачев ; ред. : А. Н.

Тихонов. – 2-е изд., перераб. и доп. – Москва : Проспект, 2005. – 600 с.

7. Шипачев, В. С. Курс высшей математики [Текст] : учебник для вузов / В. С. Шипачев ;

под ред. А. Н. Тихонова. – 3-е изд., испр. – Москва : Оникс, 2007. – 600 с.

1. Информационные технологии и вычислительные системы [Текст]. – Выходит ежеквартально.

2010 № 1-4;

2011 № 1-4;

2012 № 1,2;

2. Теория RCL-двухполюсников и ее применение для построения моделей в импендансспектроскопии [Текст] : [монография] / Н. А. Секушин ; Федеральное агентство по образованию, Сыкт. лесн. ин-т – фил. ГОУ ВПО "С.-Петерб. гос. лесотехн. акад. им. С. М. Кирова". – Сыктыв- кар : СЛИ, 2009. – 208 с.