[ 2
Программа разработана на основе ФГОС высшего образования по программе бакалавриата 01.03.03 Механика и математическое моделирование.
Объектами профессиональной деятельности магистра механики являются
научно-исследовательские центры, промышленное производство, образовательные учреждения. Магистр подготовлен преимущественно к выполнению исследовательской деятельности в областях, использующих математические методы и
компьютерные технологии; к созданию и использованию математических моделей процессов и объектов; к разработке эффективных математических методов решения задач естествознания, техники; программно-информационному обеспечению научно-исследовательской, проектно-конструкторской и эксплуатационноуправленческой деятельности; преподаванию цикла механических, математических и компьютерных дисциплин. Магистр подготовлен к деятельности, требующей углубленной фундаментальной и профессиональной подготовки, в том числе, к научно-исследовательской работе, а при условии освоения соответствующей образовательно-профессиональной программы педагогического профиля – к педагогической деятельности.
Вступительные испытания по дисциплинам (собеседование):
1. Прикладная математика 2. Теоретическая механика 3. Механика сплошной среды Аннотации к программам по направлению 01.04.03 Механика и математическое моделирование (очная форма обучения) 1. Наименование магистерской программы:
«Математическое и компьютерное моделирование в механике сплошных сред»
Руководитель магистерской программы: Спорыхин Анатолий Николаевич доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической и прикладной механики факультета ПММ, заслуженный деятель науки РФ, действительный член Международной академии информатизации, автор более 230 научных трудов, из них 7 монографий. Им подготовлено более 20 кандидатов наук и 7 докторов наук.
Краткое описание магистерской программы:
Основными разделами программы являются: математические модели явлений и процессов в сложных средах при статическом и динамическом нагружении;
нелинейная теория упругости; теория ползучести; гиперпластичность; механика разрушения; наномеханика; современные компьютерные технологии в механике, методы решения нелинейных задач; компьютерное моделирование; современные проблемы механики сплошных сред. В подготовке магистрантов на кафедре принимают участие 6 профессоров – докторов физико-математических наук и 5 доцентов – кандидатов физико-математических наук.
Кафедра поддерживает связь с ведущими научными центрами России, ближнего и дальнего зарубежья.
2. Наименование магистерской программы: «Прикладная механика и компьютерное моделирование»
Руководитель магистерской программы: Ковалев Алексей Викторович доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической и прикладной механики факультета ПММ, автор более 89 научных трудов, из них 2 монографий.
Краткое описание магистерской программы:
Основными разделами программы являются: математические модели явлений и процессов в сложных средах при статическом и динамическом нагружении;
волновая динамика, механика сыпучих сред, история и методология механики; гиперпластичность; современные проблемы механики разрушения; математические основы наномеханики; компьютерная графика в механике; современные методы расчета задач механики деформируемого твердого тела; методы решения нелинейных задач; компьютерное моделирование; современные проблемы механики сплошных сред.
Выпускники кафедры – магистры механики, могут работать в научноисследовательских центрах, промышленных предприятиях, образовательных учреждениях. Магистр механики должен понять проблему (физику явления или процесса), перевести ее на математический язык, т.е. построить формальную модель, определить технологию ее реализации и обеспечить эту реализацию практически.
При подготовке магистров используются научные монографии, учебные и учебно-методические пособия, подготовленные сотрудниками кафедры.
Программа вступительных испытаний по дисциплине «Прикладная математика»
1. Наименование дисциплины: Прикладная математика 2. Составители:
Ковалев Алексей Викторович, д.ф.-м.н., профессор, Яковлев Александр Юрьевич, к.ф.-м.н.
3. Основные знания, умения и навыки, которые должен обладать поступающий.
Знать основные определения, теоремы с доказательством по дисциплинам: математический анализ, алгебра и геометрия, дифференциальные уравнения, ТВиМС, УМФ, численные методы, методы оптимизации. Уметь применять их при решении задач механики.
4. Разделы и тематический план.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
1. Числовые последовательности и их пределы. Нахождение частичных пределов последовательностей.2. Предел функции одной переменной. Вычисление пределов.
3. Непрерывные функции одной переменной. Точки разрыва функции и их классификация. Понятие равномерной непрерывности функции на множестве.
4. Понятие производной. Дифференцирование сложной функции, обратной функции и функции, заданной параметрически. Производные высших порядков и их вычисление.
5. Формула Тейлора. Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора. Использование разложений для вычисления пределов функций.
6. Экстремумы функций одной переменной. Необходимое условие экстремума.
Достаточные условия экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке. Нахождение точных граней функции на множестве.
7. Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Основные свойства неопределенного интеграла. Интегрирование подстановкой и интегрирование по частям.
8. Определенный интеграл Римана и его основные свойства. Формула НьютонаЛейбница. Геометрические приложения определенного интеграла.
9. Несобственные интегралы. Признаки сходимости несобственных интегралов.
Замена переменной в несобственном интеграле. Формула интегрирования по частям.
10. Числовые ряды. Признаки сходимости числовых рядов. Оценка для остатка ряда лейбницевского типа.
11. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов. Признаки Вейерштрасса и ДирихлеАбеля равномерной сходимости функциональных рядов. Основные свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов.
12. Степенные ряды и их основные свойства. Теорема Коши-Адамара. Нахождение промежутка сходимости степенного ряда.
13. Ряд Фурье абсолютно интегрируемой функции. Разложение функций в ряд Фурье. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля.
14. Функции n переменных и их пределы. Вычисление пределов. Повторные пределы.
15. Непрерывные функции n переменных. Понятие равномерной непрерывности функции n переменных на множестве.
16. Частные производные и их вычисление. Частные производные высших порядков. Понятие дифференцируемости для функции n переменных. Дифференциал.
Дифференцируемость композиции. Дифференциалы высших порядков. Производная по направлению.
17. Формула Тейлора для функций n переменных.
18. Экстремумы функций n переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на множестве.
19. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
20. Неявные функции. Нахождение производных функций, заданных неявно.
21. Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода и их вычисление. Восстановление функции по ее дифференциалу.
22. Двойные интегралы и их вычисление. Формула Грина. Замена переменных в двойном интеграле.
23. Тройные интегралы и их вычисление. Замена переменных в тройном интеграле.
24. Поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода и их вычисление.
25. Формула Гаусса-Остроградского. Формула Стокса.
ГЕОМЕТРИЯ И АЛГЕБРА. Аналитическая геометрия.
1. Матрица, действия над матрицами, обратная матрица, определитель квадратной матрицы, минор, алгебраическое дополнение, базисный минор, ранг матрицы.
2. Линейное пространство, линейная зависимость (независимость) системы векторов, базис, координаты, матрица перехода от одного базиса к другому, связь координат вектора в разных базисах, размерность. Линейная оболочка, подпространство, сумма и пересечение подпространств, прямая сумма подпространств.
3. Системы линейных уравнений, общее решение, фундаментальная система решений, решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
4. Евклидово и унитарное пространство, скалярное произведение, евклидова норма вектора, ортонормированная система векторов, процесс ортогонализации Грама-Шмидта.
5. Линейный оператор, матрица линейного оператора, изменение матрицы линейного оператора при изменении базисов. Собственные векторы и собственные значения оператора, характеристический многочлен.
6. Сопряженный оператор, самосопряженный оператор.
7. Билинейные и квадратичные формы, матрица квадратичной формы, положительный и отрицательный индексы инерции, положительно или отрицательно определенная форма, приведение квадратичной формы к каноническому виду, критерий Сильвестра.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
1. Обыкновенное дифференциальное уравнение и его решение; общее решение;частное решение; порядок дифференциального уравнения.
2. Дифференциальное уравнение первого порядка; уравнение, разрешенное относительно производной; задача Коши (начальная задача); замена переменных в дифференциальном уравнении; уравнения с разделяющимися переменными, линейные (однородные, неоднородные, метод вариации произвольных постоянных); в полных дифференциалах; Бернулли и Риккати.
3. Линейные уравнения n-го порядка, линейные уравнения n-го порядка однородные, неоднородные; задача Коши; фундаментальная система решений; определитель Вронского; метод вариации произвольных постоянных; характеристическое уравнение; квазиполином, метод неопределенных коэффициентов, резонансный и нерезонансный случаи, краевая задача.
4. Устойчивость по Ляпунову, неустойчивость, асимптотическая устойчивость;
критерий Рауса-Гурвица; положение равновесия (точка покоя, особая точка) системы; система первого приближения.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
1. Случайные величины дискретного и непрерывного типов. Случайные векторы.Функции случайных величин. Функции распределения, ряд распределения, плотность вероятностей и их свойства. Независимость случайных величин.
2. Математическое ожидание и его свойства. Дисперсия и ее свойства. Начальные и центральные моменты. Корреляционный момент, коэффициент корреляции. Корреляционная матрица.
3. Законы распределения: нормальный (гауссовский), равномерный, экспоненциальный (показательный), Релея, Пуассона, биномиальный (Бернулли).
4. Генеральная совокупность, выборка, выборочные значения. Статистика, эмпирическая функция распределения.
5. Точечная оценка параметра распределения генеральной совокупности. Несмещенность, эффективность, состоятельность.
6. Методы нахождения точечных оценок: максимального правдоподобия, метод моментов.
7. Проверка гипотезы о виде функции распределения: критерий согласия 2 Пирсона, критерий согласия Колмогорова.
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ.
1. Задача на собственные значения, задача Штурма-Лиувилля, собственные значения, собственные функции, свойства собственных функций и собственных значений. Общая схема решения начально-краевых задач методом Фурье для параболических и гиперболических уравнений. Применение метода Фурье к решению краевых задач для уравнения Лапласа.
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ.
1. Постановка задачи линейного программирования (ЗЛП). Каноническая задача.Графическое решение ЗЛП. Базисные точки (опорные планы) ЗЛП. Оптимальные точки (решения) ЗЛП. Оценки векторов-столбцов. Симплекс- метод. Метод искусственного базиса. M-метод. Вырожденные ЗЛП. Двойственная задача, правила построения. Основные свойства двойственных задач.
2. Задача безусловной оптимизации. Методы спуска: направление движения, величина шага. Метод градиентного спуска, метод наискорейшего спуска.
3. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнения Эйлера. Задача Больца. Условие трансверсальности.
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ.
1. Итерационный метод решения скалярных уравнений. Достаточное условие сходимости итерационного метода. Решение скалярных уравнений и систем скалярных уравнений методом Ньютона. Оценка погрешности метода Ньютона.2. Метод Гаусса (схема единственного деления). Метод Гаусса с выбором главного элемента. Матрица отражения. Метод отражений. Метод простой итерации для решения линейных систем. Достаточное условие сходимости метода простой итерации, оценка погрешности метода простой итерации. Необходимое и достаточное условие сходимости метода простой итерации.
3. Интерполяционный многочлен. Построение интерполяционного многочлена методом неопределенных коэффициентов. Многочлен Лагранжа. Формула для погрешности интерполяции. Конечные и разделенные разности. Многочлен Ньютона.
4. Понятие о формуле численного дифференцирования (о разностной аппроксимации производной). Построение разностных аппроксимаций производных методом неопределенных коэффициентов. Построение разностных аппроксимаций производных интерполяционным методом. Остаточный член формулы численного дифференцирования (погрешность разностной аппроксимации производной).
5. Понятие об интерполяционной квадратурной формуле. Интерполяционные квадратурные формулы с равноотстоящими узлами: формулы центральных прямоугольников, трапеций, Симпсона, трех восьмых. Остаточные члены (погрешности) интерполяционных квадратурных формул центральных прямоугольников, трапеций, Симпсона. Составные (локально интерполяционные) квадратурные формулы центральных прямоугольников, трапеций, Симпсона и их погрешности.
6. Понятие о наилучшем среднеквадратичном приближении по линейно независимой системе функций. Система линейных алгебраических уравнений для отыскания коэффициентов многочлена наилучшего среднеквадратичного приближения.
Дискретный вариант метода наименьших квадратов.
7. Понятие об одношаговых методах решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка и для систем обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Явный метод Эйлера и его геометрический смысл. Погрешность одношагового метода на шаге и способ ее оценки. Накопленная погрешность одношагового метода в узле и ее связь с полной погрешностью одношагового метода в предыдущем узле. Формула для полной погрешности одношагового метода в узле, порядок точности метода. Метод разложения решения в ряд Тейлора. Методы Рунге-Кутты 2-го порядка точности. Метод Рунге--Кутты 4го порядка точности.
8. Понятие о многошаговом методе решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка (понятие о разностной схеме). Явные и неявные методы Адамса. Погрешность аппроксимации дифференциального уравнения разностной схемой. Построение разностных схем методом неопределенных коэффициентов. Условие устойчивости. Оценка погрешности устойчивого многошагового метода, порядок точности метода.
9. Простейшая сеточная аппроксимация двухточечной краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка. Порядок аппроксимации дифференциальной задачи сеточной задачей на решении дифференциальной задачи. Алгоритм прогонки для решения системы сеточных уравнений. Понятие устойчивости сеточной задачи. Связь между сходимостью, аппроксимацией и устойчивостью.
10. Простейшие явные и неявные сеточные аппроксимации задач Коши для линейного уравнения переноса и уравнения теплопроводности в полосе. Проверка условия аппроксимации дифференциальной задачи сеточной задачей. Исследование устойчивости сеточных задач с помощью спектрального критерия. Сеточные аппроксимации задачи Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольных и непрямоугольных областях, проверка условий аппроксимации.
5. Список рекомендуемой литературы.
а) основная литература:
1. Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу. Часть 1, 2. «Дрофа», 2004 г. (и другие издания).
2. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.
«Наука», 1972 г., М.: изд-ва АСТ, Астрель, 2003. (и другие издания), 3. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Том 1, 2, 3. «Физматлит», 2003 (и другие издания).
4. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.I, II, III. М.: ГИФМЛ, 1963; СПБ: Невский диалект, 2001, 2002.
5. Гелбаум Б., Омстед Дж. Контрпримеры в анализе. М.: Мир, 1967. М.: изд-во ЛКИ, 2007.
6. Зорич В.А. Математический анализ. Ч. I, II. М.: Фазис, 1997, 1998; МЦНМО, 2002. Издавался позднее.
7. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. Т. I, II. М.:
Изд-во Моск. ун-та, 1985; 2004.
8. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М.: Дрофа, 2004. Издавась позднее.
9. Лукомский С.Ф. Интегральное исчисление (функции одной переменной). Саратов: изд-во Саратовского ун-та, 2005.
б) дополнительная литература:
Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959.
Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1966.
Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.
Арнольд В.И., Ильяшенко Ю.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. //Итоги науки и техники. Сер. «Современные проблемы математики.
Фундаментальные направления», Том 1. М.: ВИНИТИ, 1985.
Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974.
Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.:
Наука, 1967.
Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.
М.: Наука, 1971.
Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Изд-во иностр. лит., 1958.
Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.;Л.: Гостехиздат, 1949.
Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Изд-во иностр. лит. Т.1. 1953; Т.2. 1954.
6. Образец КИМ МИНОБРНАУКИ РОССИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
УТВЕРЖДАЮ
Предмет: Прикладная математика Предел функции одной переменной. Вычисление пределов.7. Критерии оценки качества подготовки поступающего 75-100 Дан полный и правильный ответ на вопрос КИМа. Приведены доказательства и точные формулировки теорем.
50-75 Ответ в целом правильный, но имеются неточности в формулировках и доказательствах теорем.
33-50 Ответ приведен без доказательств теорем.
0-32 Ответ отсутствует или он неправильный Программа вступительных испытаний по дисциплине 1. Наименование дисциплины: Теоретическая механика 2. Составители:
Ковалев Алексей Викторович, д.ф.-м.н., профессор, Яковлев Александр Юрьевич, к.ф.-м.н.
3. Основные знания, умения и навыки, которые должен обладать поступающий.
Знать: Основные математические модели механики (материальная точка, система материальных точек, абсолютно твердое тело (АТТ), Основные понятия механики (сила, момент силы, перемещение, скорость, ускорение, законы равновесия системы сил).
Закономерности вычисления скорости и ускорения материальной точки и точек абсолютно твердого тела. Законы движения материальной точки и системы материальных точек. Математические модели движения АТТ. Закономерности движения искусственных спутников Земли (ИСЗ). Уравнения движения системы материальных точек в инвариантом виде (в обобщенных координатах). Дифференциальные вариационные принципы. Интегральные вариационные принципы движения системы материальных точек.
Уметь: Использовать основные понятия механики при формулировке задач механики.
Строить уравнения равновесия системы сил, пользуясь уравнениями или вариационными принципами. Стоить уравнения движения материальной точки и решать их. Составлять уравнения движения конкретного АТТ. Составлять уравнения движения системы материальных точек в форме Лагранжа и Гамильтона. Давать формулировку дифференциальных или интегральных вариационных принципов для конкретных случаев.
Подготавливать исходные данные для численного решения на ЭВМ и использованием стандартных программ типа Рунге – Кутта задач о движении конкретных систем материальных точек.
4. Разделы и тематический план.
1. Статика Классификация сил. Связи. Реакции связей. Приведение системы сил к центру. Главный вектор и главный момент. Уравнения равновесия.
2. Кинематика Способы задания закона движения точки. Траектория, скорость и ускорение точки. Круговое движение точки. Угловая скорость и угловое ускорение.
Теорема Эйлера о поле скоростей твердого тела. Поле ускорений.
Мгновенный центр скоростей и мгновенный центр ускорений. Сложное движение точки и тела. Теорема Кориолиса. Уравнения движения и равновесия в относительном движении.
3. Динамика точки Уравнения движения. Теоремы движения точки. Первые интегралы. Движение под действием центральной силы. Относительное движение и относительное равновесие точки со связью.
Колебания материальной точки. Собственные колебания. Затухающие колебания. Вынужденные колебания материальной точки. Резонанс.
4. Динамика систем материальных точек Основные теоремы динамики механической системы. Теорема об изменении количества движения. Движение центра масс.
Теорема об изменении кинетического момента. Теорема об изменении кинетической энергии. Теорема Кенига.
Кинематические и динамические уравнения Эйлера. Гироскопический момент.
Обобщенные координаты и силы. Общее уравнение динамики.
Уравнения Лагранжа второго рода.
Вариационные принципы. Принцип Гамильтона.
5. Список рекомендуемой литературы.
а) основная литература:
1. Мещерский, Иван Всеволодович Задачи по теоретической механике : учебное пособие для студ. вузов, обуч. по техн. специальностям / И. В. Мещерский ; под ред. В. А. Пальмова, Д. Р. Меркина.— Изд. 43-е, стер. — СПб. : Лань, 2005.— 447,[1]с.
б) дополнительная литература:
2. Тарг, Семен Михайлович Краткий курс теоретической механики : Учебник для студ. втузов / С. М. Тарг.— 12-е изд., стер. — М. : Высшая школа, 2002.— 416 с.
3. Яблонский, Александр Александрович Курс теоретической механики. Статика.
Кинематика. Динамика : Учебное пособие для студ.вузов, обуч. по техн. специальностям / А. А. Яблонский, В. М. Никифорова.— 9-е изд., стер. — СПб. : Лань,.— 763,[1] с.
6. Образец КИМ МИНОБРНАУКИ РОССИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
УТВЕРЖДАЮ
Предмет: Теоретическая механика Теорема об изменении кинетической энергии.7. Вариант ответа на КИМ Теорема об изменении кинетической энергии точки.
Рассмотрим точку с массой m, перемещающуюся под действием приложенных к ней сил из положения M0, где она имеет скорость, в положение М1, где ее скорость равна. Для получения искомой зависимости обратимся ко второму закону Ньютона ma Fk, выражающему основной закон динамики. Проектируя обе части этого равенства на касательную Mt к траектории точки М, направленную в сторону движения, получим:
Стоящую слева величину касательного ускорения можно представить в виде В результате будем иметь:
Умножив обе части этого равенства на ds, внесем m под знак дифференциала.
Тогда, замечая, что Fk ds dAk где dAk - элементарная работа силы Fk получим выражение теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме:
Проинтегрировав теперь обе части этого равенства в пределах, соответствующих значениям переменных в точках M0 и M1, найдем окончательно:
Уравнение выражает теорему об изменении кинетической энергии точки в конечном виде: изменение кинетической энергии точки при некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на точку сил на том же перемещении.
8. Критерии оценки качества подготовки поступающего 75-100 Дан полный и правильный ответ на вопрос КИМа. Приведены доказательства теорем и точные формулировки определений.
50-75 Ответ в целом правильный, но имеются неточности в формулировках определений и доказательствах теорем.
33-50 Ответ приведен без доказательства теорем, с неточными или некорректными формулировками.
0-32 Ответ отсутствует или он неправильный.
Программа вступительных испытаний по дисциплине 1. Наименование дисциплины: Механика сплошной среды 2. Составители:
Ковалев Алексей Викторович, д.ф.-м.н., профессор, Яковлев Александр Юрьевич, к.ф.-м.н.
3. Основные знания, умения и навыки, которые должен обладать поступающий.
Знание основных концепций и проблем механики сплошных сред, достаточно свободное ориентирование в специальных разделах механики сплошных сред, включающих в себя теорию упругости, теорию пластичности, гидромеханику.
4. Разделы и тематический план.
Феноменологический метод описания свойств реальной среды. Деформируемые среды. Деформируемые тела как подвижные материальные континуумы.
Закон движения континуума. Лагранжев и Эйлеров способы описания движения сплошной среды. Индивидуальная и местная производные по времени. Траектории и линии тока. Система отсчета и сопутствующая система.
Полная система уравнений в случае упрочняющегося упруговязкопластического тела.
Тензоры деформаций. Геометрический смысл ковариантных компонент тензоров деформаций.
Тензоры Грина, Альманси, Коши. Уравнения совместности деформаций.
Тензор скоростей деформаций. Уравнения совместности скоростей деформаций.
Теорема Коши-Гельмгольца.
Уравнения неразрывности в переменных Эйлера и в переменных Лагранжа.
Уравнения движения сплошной среды в интегральной форме. Условия на поверхности.
Тензор напряжений. Главные значения тензора напряжений.
Уравнения движения сплошной среды в дифференциальной форме в произвольной и декартовой системах координат.
Уравнения Эйлера. Полная система уравнений движения идеальной жидкости.
Законы Гука и Навье-Стокса в произвольной и декартовой системах координат, в главных осях.
Уравнения Навье-Стокса и уравнения Ламе; полные системы уравнений вязкой жидкости и линейной теории упругости.
Кинетическая энергия и уравнения кинетической энергии для сплошной среды в интегральной и дифференциальной формах.
Теория упругости Три типа задач теории упругости. Постановка задач теории упругости в перемещениях и в напряжениях. Уравнения Ламе. Уравнения Бельтрами-Митчелла.
Теорема единственности. Задача Ламе.
Вариационные принципы. Вариационное уравнение равновесия Лагранжа.
Вариационное уравнение Кастилиано. Метод Ритца. Метод Галёркина.
Плоская задача теории упругости. Плоское напряженное состояние. Плоская деформация. Математическая постановка плоской задачи. Функция напряжений Эри.
Понятие о динамических задачах МСС. Скорости распространения упругих волн.
Теория пластичности Поверхность нагружения. Геометрическая интерпретация. Условия пластичности Треска и Мизеса. Ассоциированный закон пластического течения. Теоремы предельного равновесия. Полное решение. Плоская деформация. Соотношения Генки и Гейрингер. Кручение. Песчаная аналогия. Сложные пластические среды. Соотношения Прандтля-Рейса. Учет упрочнения, сжимаемости, вязкости.
Устойчивость Разрушение. Задача Эйлера. Статический и динамический методы. Теорема Дирихле-Лагранжа. Парадокс Николаи. Основы трехмерной линеаризированной теории устойчивости. Основные понятия о разрушении конструкций. Критерии разрушения: энергетический, силовой, деформационный; разрушение с позиции теории устойчивости.
Пластины и оболочки Основные соотношения теории пластин и оболочек. Краевой эффект. Поперечный изгиб прямоугольных пластин и цилиндрических оболочек.
Методы сопротивления материалов Диаграмма растяжения (сжатия). Поперечный изгиб балок. Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил. Нормальные напряжения при изгибе. Перемещения при изгибе. Расчет на прочность и жесткость.
Теории прочности. Теория прочности Мора.
Гидромеханика Основные определяющие уравнения. Начальные и граничные условия. Основы теории размерности и подобия. Критерии подобия. Числа Маха, Фруда, Рейнольдса и др. Уравнения равновесия. Закон Паскаля, закон Архимеда. Уравнения в форме Громеко-Лемба. Интеграл Бернулли. Теорема Жуковского. Элементарная теория сопла Лаваля. Течение вязких жидкостей. Движение Пуазейля в трубах.
Понятие о пограничном слое. Уравнение Прандтля. Задача Блаузиса. Ламинарные и турбулентные движения. Уравнение Рейнольдса.
Молекулярная физика и термодинамика Законы термодинамики (первый, второй, третий). Идеальный газ. Уравнения Клапейрона-Менделеева. Уравнение Ван-дер-Ваальса. Изотерма реального газа. Фазовые переходы. Распределение Максвелла. Вероятностный смысл энтропии. Формула Больцмана. Явление переноса. Законы Ньютона, Фурье, Фика.
5. Список рекомендуемой литературы.
а) основная литература:
1. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов / В. И. Феодосьев 2. Беляев Н. М. Сборник задач по сопротивлению материалов / Н. М.Беляев – М. : Физматгиз, 1962.
3. Работнов Ю. Н. Сопротивление материалов / Ю. Н. Работнов. – М. : Физматлит, 1962.
4. Седов Л. И. Введение в механику сплошных сред / Л. И. Седов. – М. : Наука, 5. Седов Л. И. Механика сплошной среды : в 2–х т. / Л. И. Седов. – М. : Наука, б) дополнительная литература:
6. Введение в МСС : методические указания к решению задач по курсу «Механика Сплошной Среды» : для студ. 3-4 курсов д/о и в/о специальностей 010500 и 010200 / сост. А. Н. Спорыхин, Ю. М. Мяснянкин, А. С. Чеботарев. – Воронеж, 2002..
7. Вариационные принципы и методы в механике деформируемых твердых тел : в 3–х ч. : учеб. метод. разработка / М. А. Артемов, Ю. М. Мяснянкин, Т. Д.
Семыкина. – Воронеж : ЛОП ВГУ, 2001.
8. Качанов Л. М. Основы теории пластичности / Л. М. Качанов. – М. : Наука, 1969.
9. Ивлев Д. Д. Теория идеальной пластичности / Д. Д. Ивлев. – М. : Физматлит, 10. Теоретическая гидромеханика / Н. Е.Кочин [и др.] – М. – Л., 1963.
11. Ландау Л.Д. Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лившиц. – М. : Наука, 1988.
12. Седов Л. И. Механика сплошной среды : в 2 – х т. / Л. И.Седов. – М. : Наука, 13. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости / Дж. Бетчелор. – М. : Мир, 14. Гиргидов А. Д. Техническая механика жидкости и газа / А. Д. Гиргидов. – СПб. : Изд-во СПбГТУ, 2001.
15. Тимошенко С. П. Пластины и оболочки / С. П. Тимошенко, С. ВойновскийКригер. – М. : Физматгиз, 1963.
16. Огибалов П. М. Пластины и оболочки / П. М. Огибалов, М. А. Колтунов. – М.
: Изд-во МГУ,1969.
17. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. – М. : Мир, 18. Матвеев А. Н. Молекулярная физика / А. Н. Матвеев. – М. : Высш. шк., 19. Ноздрев В. Ф. Курс статистической физики / В. Ф. Ноздрев, А. А. Сенкевич.
– М. : Высш. шк., 1969.
20. Иродов И. Е. Задачи по общей физике / И. Е. Иродов. – М. : Наука, 1982.
6. Образец КИМ МИНОБРНАУКИ РОССИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
УТВЕРЖДАЮ
Предмет: МСС Полная система уравнений в случае упрочняющегося упруговязкопластического тела.7. Вариант ответа на КИМ 1. Уравнения равновесия в напряжениях компоненты тензора напряжений, ковариантная производная по – ой координате.
2. Соотношения, связывающие полные, упругие и пластические деформации деформаций, e j компоненты тензора пластических деформаций.
3. Соотношения закона Гука, связывающие напряжения и упругие деформации, где S j компоненты девиатора тензора напряжений, G модуль сдвига.
4. Уравнение поверхности нагружения X e p i e p j dt, где c коэффициент упрочнения, коэффициент вязкости, компоненты тензора скоростей пластических деформаций, k X предел текучести, t время.
Очевидно, если k X 0 и c 0, то поверхность нагружения изотропно расширяясь, одновременно перемещается в пространстве напряжений, так как имеет место пластическое деформирование материала с изотропным и кинематическим упрочнением.
5. Соотношения ассоциированного закона пластического течения где d скалярный положительный множитель.
6. Соотношения Коши, связывающие компоненты тензора деформаций e j и вектора перемещений ui 7. Граничные условия в напряжениях на части поверхности, где заданы усилия Pi ( n j компоненты вектора нормали), и граничные условия для перемещений на части поверхности, где известны перемещения ui.
8. Условия непрерывности вектора напряжений и перемещений на упругопластической границе Здесь и далее квадратные скобки обозначают разность значений выражений, заключенных в скобки, соответствующих упругой и пластической областям.
По индексам, повторяющимся два раза, предполагается суммирование от 1 до 3, если не оговорено противное. Нижний индекс, стоящий после запятой, указывает на дифференцирование по координате, соответствующей этому индексу.
Уравнения (1)-(9) при учете условия несжимаемости представляют систему уравнений, описывающих напряженно-деформированное состояние упрочняющегося упруговязкопластического тела.
8. Критерии оценки качества подготовки поступающего 75-100 Дан полный и правильный ответ на вопрос КИМа. Приведены доказательства теорем и точные формулировки определений.
50-75 Ответ в целом правильный, но имеются неточности в формулировках определений и доказательствах теорем.
33-50 Ответ приведен без доказательства теорем, с неточными или некорректными формулировками.
0-32 Ответ отсутствует или он неправильный.
«