[ «А.В. Крюков ПРЕДЕЛЬНЫЕ РЕЖИМЫ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ Иркутск 2012 УДК 621.311 ББК 31.27-01 К 85 Представлено к изданию Иркутским государственным университетом путей сообщения Рецензенты: доктор технических наук, ...»
При отсутствии измеренных данных о величине P она может быть определена по выражению где Pn1 и Pn2 – суммарные мощности нагрузки с каждой из сторон рассматриваемого сечения. Коэффициент k принимается равным 1.5 при ручном регулировании мощности и 0.75 при автоматическом регулировании частоты и перетоков мощности.
В [277] детально оговариваются группы расчетных (нормативных) коэффициентов, при которых должны определяться коэффициенты запаса для характерных режимов (нормальный, утяжеленный, послеаварийный) в зависимости от наличия или отсутствия противоаварийной автоматики.
При анализе такого нормирования запасов СУ необходимо оценить, насколько правильно определяется допустимость режимов энергосистемы при ограничении перетоков в контролируемых сечениях на уровне нормативных значений, а также выяснить, каким образом учитывать многообразие схемно-режимных ситуаций и возможных траекторий утяжеления при расчете предельно допустимых перетоков.
Для объективной оценки необходимо введение иного определения понятия запаса СУ, которое было бы связано со строгим описанием предельной поверхности и использовало бы понятие кратчайшего расстояния от точки рассматриваемого режима до этой поверхности. Использование понятия «наиболее опасного» направления утяжеления в свою очередь устраняет погрешности, вызываемые неоднозначностью выбора направления утяжеления при определении запаса. Введение вектора критического направления утяжеления позволяет легко найти путь наиболее быстрого удаления от предельной поверхности при недопустимых значениях коэффициента запаса. Благодаря этому данный критерий носит конструктивный характер.
В работе [60] предложено именно такое обобщение понятия запаса на случай многокоординатных утяжелений. Для этой цели используется переход из исходного пространства регулируемых параметров yi в пространство коэффициентов запаса ki. При этом используется вектор K = [k1k2...ki...km ], компонентами которого являются масштабированные значения коэффициентов запаса по отдельным регулируемым параметрам режима где YLi, Y0 i – значения i-го регулируемого параметра в предельном и исходном режимах; kiH – нормативный коэффициент.
Критическое направление утяжеления предлагается определять в ходе решение одной из задач минимизации:
или где X L – вектор зависимых переменных в точках предельной поверхности;
– величина запаса.
Использование нормы не в полной мере характеризует близость режима к границе устойчивости [61], так как при этом не учитываются изменения других переменных y j, входящих в вектор утяжеления.
В отличие от m-нормы критерий запаса, определенный через геометрическую норму (2.3), соответствует кратчайшему расстоянию от точки анализируемого режима до предельной поверхности в координатах коэффициентов запаса K. Это с очевидностью следует из самой постановки задачи минимизации (2.3).
Однако определение запаса статической устойчивости в виде геометрической нормы (2.3) также имеет ряд недостатков и противоречий, которые следует учитывать как при создании алгоритмов определения предельных режимов, так и в практических расчетах. Рассмотрим этот вопрос более подробно.
Представим задачу минимизации в виде где K (X L ) – вектор коэффициентов ki. Условия достижения экстремума (максимума или минимума) будут следующими Можно доказать, что условия (2.5) соответствуют всем нормалям, которые можно провести из точки анализируемого режима к предельной поверхности. Количество таких нормалей определяется топологическими особенностями границы области устойчивости (существования режимов) и положением точки анализируемого режима в этой области. Как известно, области существования режимов имеют весьма сложную многослойную структуру [49]. В результате количество нормалей, определяющих наиболее близкие и далекие точки до границы области относительно точки исследуемого режима, может быть очень значительным.
Для примера рассмотрим трехузловую позиционную модель энергосистемы (рис. 2.1) с параметрами r12=r13=r23=20 Ом, х12=х13=х23=40 Ом, U1=110 кВ, U2=115 кВ, U3=110 кВ. Для удобства получения и анализа результатов расчеты проводятся в относительных единицах. За базисные величины приняты: Uб=110 кВ и Pб=100 МВт, при этом Zб=121 Ом. U1=1 о.е., U2=1,045 о.е.
На рис. 2.2 построена область существования решений в координатах Y и проведены нормали, соответствующие текущему режиму. Естественно, что из всего множества нормалей и соответствующих им точек предельной поверхности интерес представляет только одна – определяющая запас. Очевидно, что эта нормаль должна быть минимальной.
На рис. 2.2 точка пересечения минимальной из нормалей (определяющей критический путь утяжеления) с предельной поверхностью обозначена как Yп*р. В работе [145] было показано, что для определения именно критического пути утяжеления при решении системы нелинейных уравнений (2.5) принципиальное значение имеют начальные приближения переменных X, а также используемый численный метод. Там же изложены способы «отсечения» тривиальных решений системы (2.5), соответствующих уравнению Рис. 2.2. Возможные направления нормалей к поверхности det С учетом данного определения вектора K условия экстремальности (2.5) приводятся к виду где M (Y0 ) = diagµ ( yi 0 ) – диагональная матрица коэффициентов преобраi зования. Коэффициенты µ i зависят от положения точки Y0 :
Эта зависимость приводит к существенным искажениям критического пути утяжеления как в координатах независимых переменных, так и коэффициентов K [208]. Кроме того, функция запаса (2.3) нелинейно зависит от Y0 и имеет разрывы в точках y j 0 = 0.
На основании изложенного можно сделать следующие выводы.
1. Величина запаса, определяемая как расстояние по критической траектории в виде (2.3), является нелинейной разрывной функцией, что противоречит идее введения запаса как метрики евклидова пространства.
2. Причиной этого нежелательного свойства является нелинейность коэффициентов преобразования µ i ( yi 0 ). Эта нелинейность весьма затрудняет оценку запаса в общем случае, когда отдельные параметры y j 0 малы или равны нулю.
О технической приемлемости того или иного режима энергосистемы можно судить на основании взаимного расположения в пространстве регулируемых параметров Y отвечающей ему точки Y0 и границы допустимой области. Поэтому к правильности определения границ этой области предъявляются весьма жесткие требования. Действительно, неоправданное «сужение» допустимой области ведет к избыточности управляющих воздействий, что снижает эффективность управления из-за излишнего уменьшения генерации, ограничения потребителей, отключения линий и т.д. Наоборот, при слишком оптимистичной аппроксимации границ возрастает опасность аварий с серьезными последствиями.
На практике, как правило, границы допустимой области определяются через ограничения на перетоки в выделенных сечениях и линиях. Такие ограничения на перетоки зависят как от условий термической стойкости сетевого оборудования, так и от условий, связанных с обеспечением нормативных запасов устойчивости. Для энергосистем со слабыми связями характерна ситуация, когда ограничения «по устойчивости» уже ограничений «по нагреву». Таким образом, во многих контролируемых сечениях ограничения на перетоки являются аппроксимацией границ области допустимых по устойчивости режимов. Указанная аппроксимация неточно отражает истинные границы допустимой по условиям устойчивости области.
Причиной этого являются следующие обстоятельства.
1. Неэквивалентность условий нарушения апериодической устойчивости и условий поддержания заданного «экстремального» перетока через сечение.
2. Зависимость полученной «экстремальной» величины перетока от выбранного направления и траектории поиска предельного по устойчивости режима.
3. Зависимость получаемого «экстремального» перетока от выбора исходного режима (начального для процедуры направленного утяжеления).
4. Невозможность охвата аппроксимацией всей области устойчивости путем ограничения перетоков в ограниченном количестве сечений.
5. Неконструктивность критериев ограничения перетоков в сечениях с точки зрения получения информации о направлении изменения параметров для ввода режима в допустимую область.
Неэквивалентность условий устойчивости и ограничений на перетоки в сечениях приводит к существенной погрешности при аппроксимации границы области допустимых режимов. Причина этого состоит в том, что поверхности, определяемые «экстремальными» перетоками в координатах регулируемых параметров, не располагаются вдоль границ области устойчивости. Одна их часть может находиться внутри области, а другая – за ее пределами. Соответственно, и те поверхности, которые находятся от «экстремальных» на расстоянии, определяемом нормативным запасом устойчивости, могут пересекать истинную ДО. Таким образом, при аппроксимации имеются как случаи необоснованного «сужения» границ ДО в некоторых направлениях, так и случаи их «расширения» за пределы допустимого.
Проиллюстрируем эти рассуждения на примере эквивалентной трехузловой модели ЭЭС (рис. 2.3).
Рис. 2.3. Расчетная схема ЭЭС для исследования аппроксимации границы По методике, предложенной в третьей главе, можно построить ОУ и допустимую область с 20 %-м запасом в координатах независимых параметров (рис. 2.4). Пусть рассматривается некоторый допустимый режим (точка Y0), имеющий место в энергосистеме. Как это принято на практике при определении экстремальных перетоков, можно задать направление утяжеления Y и найти точку на предельной поверхности YL в этом направлении. Экстремальные перетоки PSmax, PSmax, PSmax в сечениях S1, S2, S могут быть найдены следующим образом:
Рис. 2.4. Границы допустимой области ДО для трехмашинной ЭЭС и ее Опираясь на эти значения можно выполнить аппроксимацию границы области устойчивости (рис. 2.4). Очевидно, что экстремальным значениям PSmax и PSmax будут соответствовать прямые, параллельные осям P1 и P2. Что же касается значений PSmax, то ему отвечает прямая: P2 = PSmax P.
Отступив от прямых PSmax, PSmax и PSmax на 20 %, можно получить аппроксимацию границы допустимой области. Нетрудно заметить, что граница «истинной» допустимой области и ее аппроксимация значительно отличаются. Рассматриваемый пример носит иллюстративный характер. Чтобы экспериментально подтвердить приведенные рассуждения, рассмотрим расчетную схему более сложной ЭЭС, представленную на рис. 2.5. Узел представляет собой эквивалент, объединяющий группу из 4-х станций общей мощностью 420 МВт. Основное потребление сосредоточено в узлах и 4, через сечение S1 передается мощность от узла 1 к узлам 3 и 4 линиями 220 кВ длиной 150 км (1-3) и 300 км (1-4). Параметры исходного режима данной ЭЭС приведены в табл. 2.1.
Исходные данные текущего режима эквивалентной схемы ЭЭС При аварийном отключении одной из цепей (например, 1-4) нарушается устойчивая работа ЭЭС вследствие перегрузки остающихся связей, из-за чего происходит каскадное отключение линий 1-4, 3-4, 1-2 и аварийное погашение районов энергопотребления. Поэтому правильная настройка противоаварийной автоматики в сечении S1 принципиально важна для надежной работы данной энергосистемы.
В связи с этим можно оценить правильность аппроксимации границы ДО путем ограничения перетока в сечении S1 при отключении одной из цепей ЛЭП 1-4.
С этой целью выполняется следующая последовательность действий.
1. Задается вектор изменения нагрузки в узлах 4 и где a4, a3 – коэффициенты, определяющие относительные изменения соответствующих нагрузок в процессе изменение режима; 1 – параметр, определяющий положение точки режима на пути утяжеления.
Значения коэффициентов a4, a3 принимаются равными соответственно 0.7 и 0.3, что примерно отвечает соотношению нагрузок в узлах 4 и 3.
Задается изменение мощности эквивалентного генератора в узле 1:
причем a1= 1, а параметр 2 играет ту же роль, что и 1.
Таким образом, при 1 = 2 можно получить модель реального утяжеления в период максимальных нагрузок. Изменяя 2 и 1 при неизменных величинах a4, a3 и a1, можно получать режимы в некотором сечении.
2. В координатах 1 и 2 строится граница ДО с запасом 8 % при одной отключенной цепи линии 1-4 (рис. 2.6). Результаты сводятся в табл.
2.2 и 2.3.
расчета расчета 3. Рассчитывается предельный по устойчивости переток PSmax в сечении S1 на основе задания характерных перетоков, определяемых условиями:
Для получения искомого значения PSmax используется программа ПАУЭР, реализующая пошаговое утяжеление. При значениях параметров 1 = 2 =1324.5 МВт и величине PSmax = 1304.64 МВт находится допусD тимая величина перетока PS 1 из условия обеспечения нормативного запаса устойчивости ( k H = 0.8) Результаты расчетов сводятся в табл. 2.4.
расчета Рис. 2.6. Аппроксимация границ допустимой области при фиксированной 4. Строится АДО при фиксированной величине перетока PS 1 = PSD Для этого, задаваясь определенной величиной параметра 1 в ходе последовательных расчетов, подбирается такое значение 1, при котором переток равен PS 1. Затем берется новое значение 1 и т.д. (табл. 2.5).
Экспертная оценка и реальное значение перетоков в сечениях Анализируя результаты аппроксимации, выполненной по тем же принципам, что используются в практических расчетах, можно сделать следующие выводы.
1. Погрешность аппроксимации существенна, при этом имеет место как неоправданное сужение, так и расширение границ ДО.
2. В некоторых точках получить аппроксимацию не удается, так как итерационный процесс расходится. Это связано с нарушением условий существования режима в этих точках.
Таким образом, подтверждается вывод о неэквивалентности условий нарушения апериодической устойчивости и выдерживания заданного «экстремального» перетока в сечении. Существующая практика выбора направления и траектории утяжеления режима связана, в основном, с экспертными оценками специалистов. Опираясь на свой опыт и знание особенностей схемы и режимов конкретной энергосистемы, эксперты определяют те характерные утяжеления, которые следует использовать для нахождения предельно допустимых перетоков в выбранных сечениях. Однако реальные изменения потокораспределения, приводящие к нарушению критериев допустимости режимов, могут значительно отличаться от тех, которые определены экспертами. Из-за этого расчетные и реальные перетоки, предельно допустимые в сечениях, могут существенно отличаться.
Пояснить это можно на примере схемы ЭЭС, приведенной на рис.
2.3. На рис. 2.7 изображены построенные границы ОУ и допустимой области, а также точка исходного режима. При изменении направления утяжеления от экспертного Y1 и реальному Y2 происходит фактическое уменьшение предельно-допустимой величины перетока в сечении S1 Ps1, Ps2. Если при анализе допустимости режима опираться на «старые»
значения Ps1, то выводы о допустимости и недопустимости режима оказываются неверными.
Еще одной причиной отличия значений экстремального и допустимого перетоков в сечениях от заранее запланированных величин является отклонение текущего режима от плана. Это можно показать также на примере схемы, показанной на рис. 2.3. В координатах P1 и P2 построены область устойчивости и допустимая область (рис. 2.8). Пусть при определении экстремального перетока в сечении S1 путем направленного утяжеления от точки планируемого режима P01 получено экстремальное значение перетока Ps1. Реальный режим энергосистемы P02 может отличаться от запланированного. По этой причине реальное значение экстремального перетока Ps2 (при том же направлении утяжеления) будет отличаться от Ps1 на величину Ps1. Вследствие этого использования ограничения Psn при отклонении режима от точки P01 может приводить к ошибкам при определении допустимости текущего режима.
Рис. 2.7. Изменение предельноРис. 2.8. Зависимость экстремального допустимого перетока в сечении S1 при вариации направления утяжеления При проектировании и эксплуатации энергосистем допустимость режимов их работы определяют через ограничение перетоков в ряде выделенных сечений. Каждому ограничению соответствует своя гиперповерхность, аппроксимирующая границу области допустимых режимов в координатах независимых параметров. Однако, как правило, количество контролируемых сечений значительно меньше, чем общее число сечений, которое можно определить в энергосистеме. Вследствие этого возможны такие траектории утяжеления, при которых достигается опасная близость к пределу без нарушения ограничений в контролируемых сечениях.
Информация о перегрузке неконтролируемых сечений сама по себе дает возможность оценить наиболее рациональные мероприятия по вводу режима в допустимую область, который может быть выполнен различными способами:
• за счет изменения мощностей генерации;
• коммутацией сети;
• подключением или отключением в узлах отдельных элементов;
• ограничением нагрузки.
Однако нет уверенности, что эти мероприятия являются наиболее эффективными. В связи с этим желательно разработать такие критерии допустимости режима, которые давали бы конструктивную информацию о тех параметрах режима, изменяя которые можно осуществить ввод в допустимую область наиболее рациональным образом.
К построению границ области устойчивости и области допустимых режимов предъявляются весьма жесткие требования.
1. Метрика пространства, в котором строится область, должна отражать величину запаса, взятую либо непосредственно, либо через линейный множитель.
2. Каждый анализируемый режим должен отображаться своей точкой пространства, причем расстояния от точки до границ области должны отражать реальные запасы устойчивости в соответствующих направлениях.
3. Конфигурация границ области может изменяться только при изменениях коммутационного состояния и параметров сети, но должна оставаться неизменной при изменении регулируемых параметров (узловых мощностей).
4. Граница ДО должна быть эквидистантной по отношению к границе области устойчивости (существования режимов).
Оказывается, что перечисленные требования не могут быть удовлетворены при введении вектора запаса. Показать это можно, рассмотрев особенности построения допустимой области в пространстве регулируемых параметров Y [208]. Приближенно координаты точек границ ДО можно найти из соотношения где yiD – координаты точек границы ДО, H – нормативная величина запаса в координатах K.
Последнее выражение можно представить в виде Уравнения (2.9) описывают n-мерный эллипсоид с центром в точке с единичными координатами i = 1,i = 1...n. Этот эллипсоид можно назвать образующим, так как его поверхность определяется только коэффициентами kiH, H и не зависит от Y(X).
Для определения yiD достаточно вычислить при i, удовлетворяющих (2.9). Причем преобразование (2.10) непрерывно отображает поверхность эллипсоида в некоторую эллипсоидоподобную поверхность с крайними точками Внутренняя огибающая семейства эллипсоидоподобных поверхностей, взятых для различных точек предельной поверхности YL(X), образует границу ДО. Из (2.10) следует, что размеры таких фигур определяются как значениями kiH, так и координатами точек предельной поверхности. Поэтому расстояние между границами областей в координатах регулируемых параметров получается переменным. Для трехузловой схемы ЭЭС при H = 1 и k iH =0,2 уравнение образующей поверхности будет иметь вид Эта поверхность имеет центр в точке (1,1) и радиус r = 0,2. Для любой точки поверхности YL(X) можно определить по значениям 1 и точки эллипсоподобной фигуры:
Преобразование предельной поверхности при переходе в пространство K связано не только с ее смещением, но и сжатием-растяжением в µ раз по каждой i-й координате. Причем совокупность таких сжатийрастяжений границы областей по различным пространственным координатам происходит при каждом изменении точки текущего режима Y0. Такая «нестабильная» деформация границы ДО создает существенные трудности при решении задачи оперативного управления энергосистемы.
Общей причиной перечисленных недостатков является нелинейная зависимость коэффициентов преобразования µi от параметров текущего режима. Поэтому при определении коэффициентов µi в знаменателе вместо переменной величины yi 0 целесообразнее использовать постоянное значение параметра yi, например, его номинальное значение yiH.
Таким образом, можно сделать следующие выводы.
1. Регламентируемое понятие запаса устойчивости [277], использующее величины предельных перетоков в контролируемых сечениях, обладает рядом принципиальных недостатков. Во-первых, поверхности, соответствующие фиксации перетока в сечении на уровне допустимого значения, весьма грубо аппроксимируют границу допустимой области. Вовторых, сама величина предельно допустимого перетока сильно зависит от выбранного направления и траектории утяжеления режима. В-третьих, для охвата аппроксимацией всей допустимой области требуется определение предельных перетоков в очень большом количестве сечений. В-четвертых, критерий ограничения перетока в сечении не дает конструктивной информации о наиболее эффективном управлении для разгрузки этого сечения.
2. Весьма перспективным является определение понятия запаса как наименьшего расстояния от точки анализируемого режима до предельной поверхности в координатах запаса K [61]. Однако из-за нелинейной зависимости µi от параметров текущего режима граница ДО является неэквидистантной области устойчивости (существования). Поэтому при определении µi целесообразно в его знаменателе использовать постоянное значение параметра yi.
3. Анализ запаса устойчивости текущего режима необходимо проводить в самом процессе оперативного диспетчерского управления по критерию его близости к предельной поверхности.
2.2. Оценка запасов статической устойчивости на основе модифицированных уравнений предельных режимов На основании анализа, проведенного в предыдущем параграфе, запас статической устойчивости можно определять как евклидову норму вектора характеризующую его длину.
В такой постановке запас статической устойчивости представляет собой расстояние (в метрике, задаваемой коэффициентами µi ) от точки Y до гиперповерхности LW (рис. 2.9). Каждому направлению утяжеления Yi будет соответствовать свое значение i и для достоверной оценки запаса устойчивости необходим поиск критического направления утяжеления соответствующего наименьшей длине min вектора K.
На основе УПР, описанных в предыдущей главе, может быть реализована методика определения параметров YL, необходимых для достоверной оценки запасов устойчивости [142, 148, 225].
Задача оценки запаса устойчивости в критическом направлении утяжеления может быть сформулирована следующим образом:
определить при ограничениях где Y0 – значение вектора регулируемых параметров в режиме, для которого определяется запас; DY = [dy1 dy 2... dy n ] – вектор приращений переT Формально кроме условия (2.14) необходимо было бы ввести ограничение det F = 0.
Однако, как будет показано ниже, это ограничение уже заложено в уравнения (2.14) и (2.15).
менных Y0, обеспечивающих «вывод» режима на гиперповерхность LF M = diagµi.
Для решения сформулированной задачи (в предположении, что пределы устойчивости и передаваемой мощности совпадают) записывается функция Лагранжа где – вектор неопределенных множителей.
Минимуму L соответствуют условия Эта система имеет два решения.
1. Тривиальное, отвечающее исходному режиму с параметрами X0, Y0, когда = [0... 0 ], D Y = [0...0 ].
2. Искомое, когда хотя бы одна из компонент векторов и DY не равны 0. В этом случае уравнение соответствует условию Следовательно, такое решение отвечает гиперповерхности предельных режимов LF. Первое уравнение системы обеспечивает в заданной матрицей М метрике кратчайшее расстояние от точки Y0 до гиперповерхности LF. Второе уравнение системы обеспечивает «вывод» режима на гиперповерхность LF при ненулевом. Третье уравнение системы отвечает сбалансированности режима.
Геометрически решение системы (2.16) представляет собой точку касания гиперповерхности LF и эллипсоида с центром в точке Y0 (рис.
2.10), описываемого уравнением:
Уравнения (2.16) можно представить в виде Рис. 2.10. Геометрическая интерпретация поиска критического направления утяжеления Так как вектор определяется с точностью до множителя, можно сделать замену переменных:
тогда Определив из первого уравнения и, подставив в третье уравнение, можно получить систему, представляющую собой модификацию УПР, предназначенную для поиска предельного режима в критическом направлении утяжеления:
Если компоненты вектора DY входят в первую группу уравнений (2.21) линейно, то Это имеет место тогда, когда УУР, записанные в декартовой системе координат, представимы в виде:
где Pi0, Qi0 – инъекции мощностей в исходном режиме; U i',U i'' – действительные и мнимые составляющие узловых напряжений; dPi, dQi – компоненты вектора DY ; p – число узлов сети, кроме балансирующего. При неT диагональной и ее элементы определяются по формулам, приведенным в приложении А.
Рассмотрим применение метода Ньютона для решения уравнений (2.21). При этом на каждой итерации решается следующая система линейных уравнений (СЛУ):
Матрица в общем случае отличается от аналогичной матрицы в (2.21), так имеет место зависимость элементов матрицы На основе описанной методики были разработаны алгоритмы и экспериментальная программа для ЭВМ. Многочисленные расчеты подтвердили эффективность использования уравнений (2.21) для оценки запасов устойчивости и расчета допустимых режимов. На рис. 2.12...2.14 в качестве иллюстрации приведены результаты расчетов предельных режимов в критическом (наиболее опасном направлении утяжеления) для схемы из узлов (рис. 2.11).
При решении уравнений (2.21) необходимо учитывать следующее обстоятельство. Наряду с нетривиальными решениями X = X*, отвечаюL щими точкам предельной гиперповерхности LF, уравнения имеют тривиальное решение X = X0, R = 0. Поэтому требуется специальные приемы выбора начальных приближений, обеспечивающих сходимость к нетривиальному решению.
Рис. 2.12. Предельный режим в критическом направлении утяжеления для схемы Рис. 2.13. Изменение невязок на итерациях при расчете критического Рис. 2.14. Изменение невязок на итерациях при расчете критического режима Систему (2.21) можно записать в виде одного векторного уравнения Этому уравнению будут отвечать два решения:
Если УУР представимы в виде Y = F (X ), нагрузки представлены квадратичными статическими характеристиками, а генераторы – постоянными мощностями, то уравнения (2.21) обладают квадратичной нелинейностью и в соответствии с теоремой, приведенной в работе [108], точка Z в середине отрезка, соединяющего точки Z 0 и Z*, отвечает условию det Точки Z1 образуют гиперповерхность LZ, которая делит пространство X, Y на области G и D, конфигурация которых применительно к трехузловой эквивалентной модели ЭЭС (рис. 2.3) показана на рис. 2.15 и 2.16.
Выбор начальных приближений Z (0) в области G обеспечивают притяжение к тривиальному решению, а в области D – к нетривиальному Z*.
Следует отметить, что наряду с нетривиальными решениями Z*, отL вечающими глобальному экстремуму функции возможен выход в точки (рис. 2.17) локальных экстремумов этой функции.
Рис. 2.15. Области G и D в пространстве Y Рис. 2.16. Области G и D в пространстве X Для обеспечения надежной сходимости к точке нетривиального решения Z*, отвечающей глобальному экстремуму YL, задание начальных приближений Z ( 0 ) должно производиться в окрестности, хотя и достаточно широкой, гиперповерхности LF, отвечающей точке YL. При этом может применяться следующая методика. Выбирается направление утяжеления Y, находящееся в секторе области существования решений УУР, отвечающем глобальному экстремуму YL (рис. 2.18). Выбор Y может осуществляться на основе следующих соображений. В качестве Y может быть принято направление градиента det = J, вычисленного в исходX ной точке Y0 по методике, предложенной в работе [60] и основанной на разностной аппроксимации частных производных J по вектору K. При этом Рис. 2.17. Экстремумы функции для схемы, приведенной на рис. 2. Величина y j задается так, чтобы разностная аппроксимация не приводила к превышению разумного предела представления чисел в разJ рядной сетке ЭВМ. Расчетные исследования по определению, провеY денные в [60], показали, что наиболее целесообразной следует признать аппроксимацию (2.27) на интервалах если параметр утяжеления – мощность генератора или нагрузки, и если y j – фиксированный модуль напряжения.
При найденном направлении утяжеления Y рассчитывается предельный режим и определяются параметры X(L0 ), которые используются в качестве начальных приближений для X при решении уравнений (2.21).
При вычисленных X (L0 ) компоненты вектора R 0 могут быть определены из решения уравнений где – матрица без последнего столбца и строки; – последxn ний столбец матрицы без последнего элемента.
Использование параметров Z = X0, R 0 в качестве начальных приL ближений обеспечивает, как правило, надежную сходимость к нетривиальному решению, отвечающему экстремуму ‚min.
Эффективный способ определения начальных приближений для решения системы (2.21) может быть основан на использовании уравнений предельных режимов, записанных в форме (1.12). В результате решения этих уравнений даже с «грубой» точностью легко получить хорошие начальные приближения для X и R, обеспечивающие надежную сходимость к точке XL, YL. Сказанное иллюстрируется результатами расчета (рис.
2.19, 2.20) предельного режима в критическом направлении утяжеления для схемы, показанной на рис. 1.17.
Другим способом определения начальных приближений для решения уравнений (2.21) является метод «выстреливания», использующий способ получения точек предельной гиперповерхности, основанный на решении системы уравнений где R Z – заданный вектор [143].
Для получения начальных приближений перед решением уравнений (2.29) следует примерно оценить критическое направление утяжеления, задать коллинеарный ему вектор R и найти из (2.29) вектор зависимых переменных Х. Сказанное иллюстрируется на рис. 2.21, где показаны точки предельного режима в критическом направлении утяжеления для схемы, приведенный на рис. 1.17. Следует отметить, что решение системы (2.29) не требует значительных вычислительных затрат. Действительно, если УУР представимы в явном виде, то уравнения (2.29) линейны относительно Х, и получить их решение не требует особых затрат.
Эффективный способ преодоления затруднений, связанных с наличием тривиального решения уравнений (2.21), может быть реализован путем включения в эти уравнения условия, требующего, чтобы вектор R в точке решения не был нулевым [138].
Рис. 2.19. Изменение нормы F вектора невязок F при определении предельного режима в критическом направлении утяжеления для схемы, Рис. 2.20. Изменение нормы V (а) и невязки U (б) при определении предельного режима в критическом направлении утяжеления для схемы, Рис. 2.21. Расчет предельного режима в критическом направлении утяжеления при использовании начальных приближений, полученных методом Это можно сделать, если ввести фиктивную переменную, представив систему (2.21) в виде:
где 1 0 – фиктивная величина запаса.
В этом случае СЛУ, решаемая на каждой итерации, будет иметь вид:
В сокращенном виде последняя система может быть записана так:
Величина запаса устойчивости определяется после окончания процесса итераций по формуле:
Описанный метод иллюстрируется рис. 2.22…2.25, где показан хаF H рактер изменения невязок и определителей det и det на итерациях при расчете предельного режима в критическом направлении утяжеления для схемы, приведенной на рис. 1.17.
Рис. 2.22. Изменение нормы F вектора невязок F на итерациях Рис. 2.23а. Изменение нормы при использовании фиктивной переменной Рис. 2.23б. Изменение невязки U при использовании фиктивной переменной 2.3. Определение запасов при отличии пределов устойчивости и В предыдущем параграфе была рассмотрена методика решения задачи поиска критического направления утяжеления Y* в предположении, что предельные по устойчивости режимы совпадают с предельными по существованию (передаваемой мощности), т.е.
Однако, как было показано выше, в общем случае пределы устойчивости и передаваемой мощности не совпадают. Поэтому задача определения критического режима, соответствующего min, при отличии пределов устойчивости и передаваемой мощности представляется достаточно актуальной.
Математически эту задачу можно сформулировать следующим образом: определить при ограничениях где DY – вектор приращения переменных Y, обеспечивающих вывод реW жима на гиперповерхность LW, отвечающей условию det ственный вектор матрицы значению.
Для решения сформулированной задачи запишем функцию Лагранжа где 1, 2 – векторы неопределенных множителей.
Минимуму функции L соответствуют условия На основе непосредственного дифференцирования можно убедиться, что Для упрощения системы из второй группы уравнений найдем вектор и подставим в первое векторное уравнение.
Тогда система примет вид:
первую группу уравнений можно записать так:
или Так как в уравнениях длина вектора 2 не определена, можно сделать замену:
При этом система приобретает следующий вид:
Из первой группы уравнений этой системы определим DY и подставим во второе векторное уравнение:
следовательно:
Чтобы избавиться от необходимости умножения на обратную матрицу, в первом векторном уравнении введем вспомогательный вектор С:
Следовательно, этот вектор может быть найден из решения следующей системы линейных уравнений:
Поэтому окончательно можно написать:
Из решения этой системы определяются параметры X* L, Y * L предельного по устойчивости решения в критическом направлении утяжеления, отвечающем min, при отличии пределов устойчивости и передаваемой мощности.
Решение системы (2.32) возможно осуществить на основе метода Ньютона. При этом на каждой итерации решается следующая СЛУ:
Путем непосредственного дифференцирования легко убедиться в том, что Компоненты матрицы определятся из выражений:
X X X X X X
Если функции wi, i=1...n, представимы полиномами не выше второй степени, то второе слагаемое в последнем выражении равно нулю, тогда где i – матрица Гессе от функции fi.где i – матрица Гессе от функции wi.
или где ij – j-я строка матрицы i.
При квадратичной зависимости Y от X последняя матрица может быть найдена на основе соотношения или при квадратичной зависимости Y от X вид На основании изложенного можно сделать вывод о том, что все подH матрицы, входящие в, являются слабозаполненными, а также могут быть сформированы по унифицированным алгоритмам.
Процесс определения параметров предельного режима в критическом направлении утяжеления иллюстрируется на примере схемы, показанной на рис. 1.7. Для этой схемы уравнения (2.32) примут вид или Последняя система имеет тривиальное решение s1=s2=r1=r2= c1=c2=0, U 1' = U 10,U 1'' = U 1'' в точке исходного режима U10,U10. Поэтому для надежной сходимости необходим выбор начальных приближений вблизи предельной поверхности.
Нетрудно также убедиться, что система удовлетворяет искомому предельному режиму, в котором U 1 = 0.
Структура матрицы Якоби уравнений (2.33) будет иметь вид Из приведенной таблицы видно, что полная матрица состоит из блоков, которые либо равны друг другу, либо подобны, кроме того все они являются слабозаполненными, а поэтому решение этой системы известными методами не доставит больших затруднений. Рассмотренный алгоритм реализован в виде экспериментальной программы для ЭВМ. На рис. 2. приведены результаты расчетов предельных режимов для схемы ЭЭС, показанной на рис. 1.16. Для отсечения тривиальных решений начальные приближения выбирались вблизи предельной поверхности LW. Проведенные расчеты для этой и других схем ЭЭС показали, что при соответствующем выборе начальных приближений обеспечивается надежная сходимость за 8-10 итераций метода Ньютона. Использование стартовых алгоритмов позволяет существенно сократить число итераций.
На основании проведенных исследований можно сделать следующие выводы.
1) Предложенная система нелинейных уравнений обеспечивает выход на гиперповерхность предельных по устойчивости режимов минуя предел передаваемой мощности 2) Выход происходит по кратчайшему расстоянию (т.е. по нормали) при µ1 = µ 2 = 1. При µ1 µ 2 1 выход будет происходить по кратчайшему расстоянию в метрике, задаваемой матрицей М.
Рис. 2.26. Результаты расчета предельного режима Системы уравнений, используемые для определения критического направления утяжеления при отличии пределов устойчивости и передаваемой мощности, имеют размерность, существенно превышающую размерность УУР. Однако это не является препятствием для практического использования методики по следующим причинам.
1. Ресурсы современных ЭВМ вполне позволяют решать задачи такого порядка за приемлемое для практических целей время.
2. Матрицы Якоби представленных в данном разделе уравнений являются слабозаполненными, что позволяет применять эффективные алгоритмы исключения действий с нулевыми элементами, позволяющими существенно сократить требуемые объемы памяти ЭВМ и повысить быстродействие.
3. При использовании декартовых координат U ',U " узловых напряжений все основные блоки матрицы Якоби этих уравнений могут быть сформированы на основе единого алгоритма, что позволяет упрощать программную реализацию алгоритмов.
1. Проанализированы методологические особенности оценки запасов устойчивости при многокоординатных утяжелениях и показано, что наиболее целесообразным является определение запаса САУ текущего режима ЭЭС по критерию близости отвечающей ему точки в пространстве регулируемых параметров к предельной поверхности.
2. Получена модификация уравнений предельных режимов, позволяющая определять предельный по устойчивости (существованию) режим в критическом направлении утяжеления, соответствующем кратчайшему расстоянию в пространстве регулируемых параметров от точки исследуемого режима до предельной гиперповерхности.
3. Проанализированы особенности предложенных уравнений и разработаны эффективные численные методы и алгоритмы их решения. Показана невырожденность указанных уравнений на предельной гиперповерхности.
4. Проведены экспериментальные исследования, показавшие эффективность применения разработанной методики поиска предельных режимов в критическом (наиболее опасном) направлении утяжеления для решения практических задач оценки запасов статической апериодической устойчивости.
5. Разработана методика поиска предельных режимов в критическом направлении утяжеления в наиболее общем случае отличия пределов устойчивости и передаваемой мощности.
3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕЖИМОВ, ОТВЕЧАЮЩИХ
ТРЕБУЕМОМУ ЗАПАСУ СТАТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ,
И ВЫБОР УПРАВЛЯЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ
ПРОТИВОАВАРИЙНОЙ АВТОМАТИКИ
3.1. Определение допустимых по статической устойчивости режимов При управлении сложными ЭЭС весьма актуальна информация о принадлежности параметров текущего режима допустимой области. Одним из определяющих критериев для построения этой области является требуемая (нормированная) T величина запаса статической апериодической устойчивости [248]. При этом граница LD (рис. 3.1) допустимой области в пространстве регулируемых параметров режима будет определяться уравнением Для определения параметров режимов, принадлежащих границе LD можно использовать модификацию уравнений, полученных в предыдущей главе.Задача определения режима, отвечающего требуемому запасу статической устойчивости, может быть формализована следующим образом [188, 165]. Вначале предполагается, что уравнения установившегося режима представимы в явном виде, то есть заданы точка исходного режима Y0 = Y (X 0 ), Y = MY, M = diagµ i и направление утяжеления Y (рис. 3.2).
Необходимо найти точку отвечающую границе LD области допустимых режимов. Этой точке соответствуют параметры YL = Y (X ) гиперповерхности предельных режимов LF. Длина нормали R *, опущенной из точки YL, равна T. В такой постановке параметры X, YL, X + X, YD могут быть определены из решения системы уравнений [142, 165]:
Рис. 3.1. Граница допустимой области в масштабированном пространстве регулируемых параметров Y = MY, M = diagµ k,k = 1...m Рис. 3.2. К определению допустимого режима Эти уравнения могут использоваться для аналитического описания области допустимых по условиям устойчивости режимов LD и в качестве ограничений в задачах оптимизации. Систему (3.1) можно упростить путем подстановки Y (X + X ) из первого векторного уравнения в третье. Тогда Из решения этой системы можно определить параметры X, YL = Y (X ) и компоненты вектора R *, а значения X + X, YD = Y (X + X ) легко найти из уравнений:
Систему (3.2) можно преобразовать к форме, аналогичной (2.39).
Так, вектор R * определяется первым уравнением системы (3.2); с точностью до множителя можно записать следующее:
Переходя в (3.2) к немасштабированным УУР, систему (3.2) можно представить в следующем виде:
получим аналогично (2.39) Последняя система является модификацией УПР для расчетов допустимых режимов. Геометрическая интерпретация уравнений (3.5) приведена на рис. 3.3.
Рис. 3.3. Геометрическая интерпретация уравнений (3.5) Уравнения (3.5) можно обобщить на случай неявной зависимости Y от X. Для этого необходимо задать параметры исходного режима Y0 и требуемый запас Необходимо найти вектор (рис. 3.4), удовлетворяющий условию то есть Рис. 3.4. Геометрическая интерпретация задачи поиска допустимого режима Тогда параметры YL, X L предельного режима, соответствующего YD, могут быть найдены из решения следующей системы уравнений:
После определения YL, X L, Т параметры YD найдутся из соотношения (3.7), а X D – из решения уравнений Окончательно уравнения (3.8) можно записать в следующем виде:
где M = diagµi ; µ i может принимать два значения: 0 – при расчете предельных режимов; yiH kiH – при определении запасов устойчивости и допустимых режимов.
Уравнения (3.9) названы обобщенными уравнениями предельных режимов (ОУПР), так как при соответствующем задании переменных и компонент матрицы М эти уравнения позволяют следующее:
• определить параметры YL, ХL предельного по устойчивости режима в заданном направлении утяжеления Y ;
• находить YL, X L в критическом направлении утяжеления, отвечающего кратчайшему расстоянию от точки исследуемого режима Y0 до гиперповерхности LF и величину запаса устойчивости ;
• рассчитывать параметры X D, YD допустимого режима, соответствующего требуемому запасу устойчивости.
Рассмотрим применение метода Ньютона для решения уравнений (3.9) при расчетах режимов, отвечающих заданному запасу статической апериодической устойчивости. На каждой итерации решается следующая СЛУ:
где Тогда можно записать
DY M DY R
Отсюда видно, что все подматрицы, входящие в последнюю систему, слабозаполненны, и, кроме того, основной диагональный блок матрицы этих уравнений так же, как и в уравнениях (2.39), является симметричным Описанный алгоритм определения параметров режима, отвечающего заданному значению запаса, реализован в виде экспериментальной программы для ПЭВМ. На рис. 3.6 приведены результаты расчетов для схемы ЭЭС, включающей 24 узла и 31 ветвь, показанной на рис. 3.5.Расчеты проводились при различных направлениях утяжеления Y.
Анализируя эти результаты, а также результаты расчетов для других схем ЭЭС, необходимо отметить, что допустимый режим находится достаточно надежно (за 5…10 итераций) при правильном выборе начальных приближений для X, что иллюстрируется характером изменения невязок на итерациях (рис. 3.7...3.10).
780+j370 315+j150 250 65+j40 375+j 550+j Рис. 3.6. Результаты расчета режимов, отвечающих заданному запасу Рис. 3.7 Характер изменения нормы F Рис. 3.8. Характер изменения нормы V = v1 + v2... + vn вектора невязок V Рис. 3.9 Характер изменения невязки U на итерациях Рис. 3.10. Характер изменения определителей на итерациях Кроме того, приведенные исследования показали, что уравнения (3.9) можно использовать для ввода режима ЭЭС в область существования с обеспечением требуемого запаса устойчивости. Сказанное иллюстрируется на рис. 3.11. На этом рисунке граница LF 1 (LW 1 ) соответствует полной схеме сети, при этом точка Y0 отвечает исходному режиму. В результате отключения одной из ветвей область устойчивости деформируется (граница LF 2 (LW 2 ) ) и точка Y0 выходит за границу области существования.
Рис. 3.11.Ввод режима в область существования с требуемым запасом устойчивости Рис. 3.12. «Переворачивание» вектора R в процессе решения уравнений (3.9) При решении уравнений (3.9) может возникнуть ряд особенностей, появляющихся из-за возможности «переворачивания» вектора R в точке решения (рис. 3.12). Действительно, так как вектор R определяется с точностью до знака, возможен выход в точку YL, отвечающую значению YD, лежащему за пределами области существования. Сказанное иллюстрируется на рис. 3.13, где показан такой случай для схемы ЭЭС на рис. 1.17. Результаты многочисленных расчетов показали, что при выходе YD за пределы области существования необходимо повторить расчет с противоположным знаком R 0 (начальные приближения вектора R).
Рис. 3.13. Выход YD за пределы области существования 3.2. Выбор управляющих воздействий противоаварийной автоматики Одна из основных задач, решаемых централизованными системами противоаварийного управления, состоит в обеспечении статической устойчивости послеаварийных режимов. При этом выбор управляющих воздействий можно сформулировать как задачу ввода ПАР в допустимую область (область устойчивости) при минимальных ущербах, связанных с отключением источников и потребителей электроэнергии.
Математически эту задачу можно сформулировать так:
определить при ограничениях DY = [dy1dy 2...dyi...dy m ] – вектор управляющих воздействий, обеспечивающий ввод ПАР на границу области устойчивости; A = [ A1 A2...Ai...Am ] ;
N = diag ; Bi, Ai – постоянные коэффициенты; yiHOM – номинальное значение параметра yi.
Геометрическая интерпретация задачи выбора УВ ПАА приведена на рис. 3.14. Здесь линия LF 1 представляет собой сечение границы области устойчивости полной схемы ЭЭС плоскостью параметров yi, y j. При этом точка исходного (доаварийного) режима лежит внутри области устойчивости. В результате аварийного отключения какого-либо элемента ЭЭС, например, загруженной ЛЭП высокого напряжения, граница области устойчивости деформируется (кривая LF 2 ). При этом точка Y0 выходит за пределы области устойчивости. Для предотвращения системной аварии необходим ввод режима в область существования (на границу LF 2 ). Причем этот ввод должен осуществляться с минимальным ущербом, определяемым функционалом (DY ). Изменение режима должно осуществляться в направлении DYopt, отвечающему min (DY ).
Рис. 3.14. Геометрическая интерпретация задачи выбора УВ ПАА Ниже рассмотрена методика решения поставленной задачи. Уравнение (3.17) представляет собой ограничение по СУ, однако его явное использование (как это уже указывалось в первой главе) приводит к существенным вычислительным трудностям, связанным с непредставимостью этого ограничения в виде аналитических выражений. Указанного затруднения можно избежать на основе того же вычислительного приема, что и при расчете запаса СУ в заданном направлении утяжеления. Для этого можно искать минимум (DY ) при использовании только ограничения (3.16).
Составляется функция Лагранжа [216] где – вектор неопределенных множителей.
Минимуму (DY ) соответствуют следующие условия:
Последняя система имеет два решения.
1. Тривиальное, отвечающее исходному режиму с параметрами X 0,Y0, когда = [0...0], DY = [0...0] 2. Искомое, соответствующее гиперповерхности предельных режимов, когда хотя бы одна из компонент векторов или DY не равна нулю.
В этом случае второе уравнение системы (3.18) соответствует условию (3.17) и явный учет этого условия становится ненужным [161]. ДействиF тельно, если матрица вырождена, то ее строки линейно зависимы, то есть существует ненулевой собственный вектор, отвечающий нулевому собственному значению.
Проведя дифференцирование, можно записать следующее:
Выразим из этого уравнения DY и подставим в последнее уравнение системы (3.18), обозначив в целях унификации через R:
При использовании метода Ньютона на каждой итерации решается следующая СЛУ:
или где Матрица Якоби уравнений системы (3.20) является симметричной, что существенно облегчает формирование и решение этих уравнений. На рис. 3.16 в качестве иллюстрации приведены результаты выбора УВ ПАА для схемы из 12 узлов, показанной на рис. 1.9, при различных значениях постоянных коэффициентов, входящих в матрицы А и N.
На рис. 3.17, 3.18 показано изменение невязок на итерациях. Характер этих уравнений свидетельствует о надежной сходимости. На рис. 3.19 привеF H дены зависимости det Рис. 3.17. Характер изменения нормы F = f1 + f 2 +... + f n вектора Рис. 3.18. Характер изменения нормы V = v1 + v2 +... + vn вектора невязок Приведенные результаты, а также многочисленные расчеты для других схем ЭЭС показывают, что предложенный алгоритм позволяет решить задачу выбора оптимальных управляющих воздействий ПАА без применения многошаговых оптимизационных процедур, требующих существенных затрат времени ЭВМ.
Рис. 3.19. Характер изменения определителей на итерациях 3.3. Учет изменений напряжений и частоты при выборе управляющих воздействий противоаварийной автоматики Рассмотренная в предыдущем параграфе методика может быть обобщена на случай, когда функционал является функцией нерегулируемых параметров, т.е. напряжений в узловых точках и частоты в ЭЭС.
В начале предполагается, что = (X ), где Математически задачу определения параметров X L,YL, отвечающих min (X ) можно сформулировать следующим образом:
определить min (X ) при ограничениях Функция Лагранжа в этом случае будет иметь вид:
где 1, 2 – векторы неопределенных множителей.
Минимуму L(X, DY,R,1, 2 ) будут соответствовать уравнения Так как ранг матрицы DY равен n, то из второго уравнения этой системы следует 1 = 0.
Путем непосредственного дифференцирования легко убедиться в Рассматриваемая задача может быть легко обобщена на случай отличия пределов устойчивости и передаваемой мощности. При этом F заменяется на W.
том, что При этом система (3.22) принимает вид:
где через S обозначено 2.
В качестве иллюстрации рассмотрим процесс формирования и решения уравнений (3.23) при условии, что функционал (X ) представляет сумму квадратов отклонений напряжений в узловых точках сети от заданных значений U iZ, т.е.
При этом из решения уравнений (3.23) определяется предельный режим, отвечающий минимальном отклонениям напряжений в выбранных узловых точках ЭЭС от заданных значений. При этом где Для решения системы (3.23) можно использовать метод Ньютона.
При этом на каждой итерации решается следующая система линейных алгебраических уравнений:
Если зависимость Y от X квадратичная, то При использовании декартовых координат узловых напряжений можно записать то матрица есть блочно-диагональная матрица, состоящая из симX метричных блоков а компоненты матрицы при квадратичной зависимости Y от X можно найти следующим образом:
Таким образом Окончательно можно записать В сокращенном виде последнюю систему можно переписать как:
Из анализа системы (3.24) можно сделать следующие выводы.
1. Все матрицы, входящие в эту систему, являются слабозаполнеными и при их решении можно использовать эффективные алгоритмы исключения действий с нулевыми элементами.
2. Блоки, составляющие матрицу Якоби уравнений (3.24), могут быть сформированы на основе двух унифицированных алгоритмов, что существенно облегчает программную реализацию методики.
На рис. 3.20 в качестве иллюстрации показан ход решения уравнений (3.23) для 2-х узловой модели ЭЭС, на рис. 3.21 приведены графики измеF нения невязок, на рис. 3.22 значения определителя det на итерациях.
Из рассмотрения приведенных зависимостей видно, что на основе использования уравнений (3.23) может быть реализована достаточно эффективная методика определения параметров предельного режима, отвечающего min (X ). При этом точка Y0 может находиться как внутри, так и снаружи области существования. Таким образом, предложенная методика может использоваться для решения задачи ввода режима в область существования при минимальных отклонениях напряжения в узловых точках.
Описанная методика выбора УВ ПАА может быть обобщена на более общий случай, когда функционал ущербов зависит как от нерегулируемых X, так и от регулируемых Y параметров режима.
Математически эту задачу можно сформулировать следующим образом:
Найти минимум функционала min (DY, X ) при ограничениях Рис. 3.20. Траектории изменения параметров Y Рис.3.22. Изменение значений определителя det на итерациях Для решения поставленной задачи также воспользуемся методом Лагранжа. При этом функция Лагранжа будет иметь вид:
где 1, 2 – векторы неопределенных множителей.
Минимуму L(X, DY,R,1, 2 ) будут соответствовать условия:
DY DY DY
Функционал (X, DY ) представляется в виде: где N = diag i ; A = [a1a2...ai...a m ] ; B = d1k bi, ai, d i, ki – постоянные коэффициенты; * = ( ) / 0 – относительное значение частоты в ЭЭС; 0 – номинальная частота в ЭЭС.Выполнив дифференцирование, можно записать следующее:
Такой функционал используется при решении задач ПАУ [106].
(3.25), можно получить:
Подставив DY в четвертое уравнение системы (3.25) можно записать:
С учетом того, что в состав функционала (X, DY ) входит только один нерегулируемый параметр *, последнее уравнение системы (3.26) можно представить в следующем виде:
Учитывая, что и обозначив в целях унификации 2 через S, окончательно систему (3.26) можно представить в следующем виде:
Решение этой системы возможно на основе применения метода Ньютона. При этом на каждой итерации должна решаться следующая система линейных алгебраических уравнений:
Путем непосредственного дифференцирования легко убедиться в том, что Расчеты, проведенные для ряда простых эквивалентных моделей ЭЭС, показали применимость предложенной методики для решения задачи ввода режимов в область устойчивости при выборе управляющих воздействий противоаварийной автоматики энергосистем.
3.4. Определение допустимых режимов на основе сингулярных чисел матрицы Якоби уравнений установившегося режима Как отмечалось выше, запас статической устойчивости является одним из основных показателей, определяющих допустимость режима работы энергосистемы. Обеспечение запаса необходимо главным образом для того, чтобы сохранить устойчивость ЭЭС при нерегулярных колебаниях DY параметров Y, лежащих в пределах гиперэллипсоида [232]:
где DY = Y MY ; M – символ математического ожидания;
S = M (Y MY )(Y MY ) – ковариационная матрица.
Поэтому практическое значение имеют лишь те режимы работы ЭЭС, которые достаточным образом удалены от границы LF (LW ). Величина, характеризующая удаленность от этой границы, и будет являться запасом устойчивости. Одним из возможных критериев допустимости текущего режима энергосистемы, характеризующим его близость к границе статической апериодической устойчивости, является минимальное сингулярное число min матрицы Якоби УУР. Величина min определяется следующими уравнениями:
или Отсюда следует, что min является корнем квадратным из минимальT T ного собственного значения min матриц При использовании консервативной модели ЭЭС (активные сопротивления приняты равными нулю) матрица Якоби УУР является симметричной, ее собственные значения µi действительны и в качестве меры допустимости текущего режима ЭЭС может использована величина µmin = min.
Для определения допустимого режима, отвечающего заданному значению min = min в заданном направлении утяжеления Y изменения исходного режима Y0 (рис. 3.23), можно использовать следующую систему уравнений [193]:
где Т – скалярный параметр, определяющий величину утяжеления в наT правлении Y ; R – собственный вектор матрицы X X, отвечающий собственному значению min.
Решение уравнений (3.28) может быть осуществлено на основе метода Ньютона. При этом на каждой итерации решается следующая система линейных уравнений:
где Рис. 3.23.Определение допустимого режима в заданном направлении утяжеления При использовании уравнений (3.28) возникают алгоритмические затруднения, связанные с формированием матрицы Эти затруднения снимаются при использовании консервативной модели ЭЭС. Тогда уравнения (3.28) преобразуются к следующему виду:
и матрица вычисляется следующим образом:
Выполнив дифференцирование, можно записать следующее:
откуда следует где i – матрица Гессе от функции fi.
При учете активных сопротивлений алгоритмические затруднения, пользования другой модификации уравнений (3.28), а именно:
Решение уравнений (3.29) методом Ньютона связано с поиском корней следующей системы линейных уравнений:
или где где ij – j-я строка матрицы i.
Таким образом, алгоритмические трудности, связанные с формированием матрицы снимаются.
На основе модификации уравнений (3.29) может быть организован алгоритм вычисления сингулярного числа min и векторов К и L при возмущениях режима.
Пусть известны значения нерегулируемых параметров X0, сингулярного числа min, а также векторов K 0 и L 0 для некоторого значения вектора регулируемых параметров Y0. Необходимо найти значения параметров Х, K и L при возмущениях режима где DY – величина возмущения.
Эти параметры могут быть найдены из решения следующей системы уравнений:
Из решения этой системы определяются значения X1,K1,L1 и min, отвечающие значению вектора Y = Y1. При этом на каждой итерации метода Ньютона решается следующая СЛУ:
Если значение возмущения DY не слишком велико, будет обеспечена достаточно хорошая сходимость к значению 1, отвечающему матриmin (X = X1 ) и соответствующим ей векторам K1 и L1.
При использовании консервативной модели ЭЭС вычисление min = µmin может быть совмещено с расчетом возмущенного режима на основе уравнений:
При использовании метода Ньютона на каждой итерации решается следующая СЛУ:
где Другой алгоритм вычисления min = min при возмущениях исходного режима может быть реализован на основе решения следующих уравнений:
При этом линеаризованная система будет иметь вид:
Описанная методика оценки допустимого режима реализована в виде экспериментальной программы для ЭВМ. В качестве иллюстрации на рис. 3.24…3.26 представлены результаты определения поверхностей min = const для схемы ЭЭС, содержащей 12 узлов и 15 ветвей. Сходимость итерационного процесса при последовательном переходе от точки к точке поверхности min = const путем поворота вектора Y обеспечивается за 3…4 итерации.
содержащей 12 узлов и 15 ветвей: 1) Рис. 3.25. Изменение невязок на итерациях при расчете допустимого режима при На рис. 3.27 показаны результаты построения допустимой области, отвечающей min = const, для трехузловой замкнутой модели ЭЭС. Здесь же приведена допустимая область LD, построенная по условию =const.
Величина определяет кратчайшее расстояние от выбранной точки YL предельной поверхности LW до границы LD, т.е.
При этом допустимая область, рассчитанная при min = const, практически совпала с областью, полученной при =const.
Из анализа полученных результатов расчета можно сделать следующие выводы.
1. Предложенный метод построения допустимой области управления режимами ЭЭС обеспечивает надежную сходимость вычислительных процессов.
2. Разработанная методика применима для решения практических задач, связанных с оперативным управлением режимами сложных энергосистем.
3.5. Стохастический подход к оценке допустимой области Режим энергосистемы в процессе функционирования не остается постоянным, «плавающая» точка режима вызывает неопределенность оценки запаса устойчивости, поэтому актуальна задача оценки запаса на основе стохастических методов. В работе [275] предложены эффективные методы оценки запасов статической устойчивости, основанные на статистических испытаниях и аналитических расчетах, но не позволяющие определить наиболее опасное направление утяжеления.
В работе [256] предлагается метод оценки запасов на основе, уравнений, аналогичных УПР, использующих нелинейную траекторию утяжеления:
где R – радиус окружности, определяющий траекторию движения точки режима; y1, y 2 – регулируемые параметры; y10, y 20 – параметры анализируемого режима.
В данной работе предлагается другой метод оперативного определения запаса СУ в стохастической постановке, основанный на использовании УПР. Впервые идея стохастического обобщения УПР была предложена в работе А.З. Гамма. Активные и реактивные мощности генераторов и нагрузок, образующих вектор Y, являются случайными величинами, зависящими от множества факторов. При нерегулярных колебаниях параметров Y возможно достижение границы ОУ. Надежная работа ЭЭС будет обеспечена, если гиперэллипсоид не будет иметь общих точек с гиперповерхностью LF предельных режимов.
Методы решения задач реального времени в электроэнергетике/ А.З. Гамм, Ю.Н. Кучеров, С.И. Паламарчук и др. Новосибирск: Наука, 1990, с.205-207.
На основе изложенного можно сформулировать следующий подход к оценке запаса СУ: определить при ограничениях При этом параметры X L,YL, отвечающие minС, могут быть найдены из решения следующей системы уравнений:
На основе найденного значения minС определяется вероятность наступления предельного режима. Сравнение ее с нормированным значением дает возможность оценивать запас устойчивости. Ковариационная матрица S, входящая в (3.32), может быть определена на основе хорошо разработанных методов оценивания состояния ЭЭС [72, 75].
Геометрическая интерпретация указанного алгоритма приведена на рис. 3.28. Чем ближе точка анализируемого режима к предельной поверхности LF, тем больше вероятность "выхода" за ее границы вероятностного эллипса.
Рис. 3.28. Геометрическая интерпретация уравнений (3.32) Описанные алгоритмы реализованы в виде экспериментальных программ для персональных ЭВМ. Проиллюстрируем работу алгоритма на примере трехузловой эквивалентной модели ЭЭС. Исходные данные и результаты расчетов, характеризующие ход итерационного процесса, представлены в табл. 3.1, 3.2. На основании этих данных построены область устойчивости и эллипс уравнения (3.31), показанные на рис. 3.29. На рис.
3.30 приведены графики изменения невязок на итерациях, свидетельствующие о надежной сходимости вычислительного процесса решения уравнений (3.32).
Приведенные результаты, а также многочисленные расчеты для других схем ЭЭС показывают, что предложенный алгоритм позволяет эффективно решать задачу оценки запаса статической устойчивости в стохастической постановке и может быть использован в задачах оперативного управления режимами ЭЭС.
Результаты расчета предельного режима в стохастической постановке Изменение значений невязок и якобианов на итерациях Номер итерации На базе уравнений (3.32) может быть сформулирован стохастический подход к задаче выбора критического направления утяжеления Y*B. Для пояснения этой возможности на рис. 3.29 представлены также результаты расчетов предельного режима в детерминированной постановке (точка YL D ).
Рис. 3.30. Характер изменения невязок на итерациях Из приведенных результатов видно, что критические направления утяжеления в детерминированной и стохастической постановках могут существенно отличаться. При этом учет наиболее вероятного направления Y *B «выхода» режима на предельную гиперповерхность LF позволит более объективно подходить к задаче учета ограничений по статической устойчивости в процессе оперативного управления ЭЭС.
Кроме того, на основе анализа компонент вектора Y возможно получение дополнительной информации для решения задачи выбора рациональных мероприятий по повышению устойчивости при краткосрочном планировании режимов ЭЭС.
3.6. Определение допустимых режимов энергосистем на основе Уравнения, описывающие допустимые режимы, но имеющие удвоенную размерность по отношению к системе УУР, можно получить, используя прием, аналогичный преобразованию, используемому для получения логарифмической сферической меры матрицы. При этом симметрироW W W Тогда можно записать следующую систему [199]:
где min – минимальное собственное значение матрицы A = + ;
S – собственный вектор, отвечающий собственному значению min матрицы А.
После несложных преобразований можно записать Для проверки работоспособности алгоритма определения допустимых режимов, основанного на решении уравнений (3.33), были проведены расчеты применительно к эквивалентной схеме ЭЭС, приведенной на рис.
3.31.
На рис. 3.32 показана область допустимых режимов, полученная на основе уравнений (1.25). Контурные диаграммы, иллюстрирующие харакW тер изменения определителя матрицы показаны на рис. 3.33. На этих диаграммах белыми линиями выделены нуW симметрирования матрицы Якоби позволяет получить уравнения, на основе которых можно определять допустимые по статической устойчивости режимы энергосистем.
Сопоставление границ допустимых областей LD, полученных из условия min = const, с границами L*D, найденными на основе традиционно применяемого условия, отвечающего кратчайшему расстоянию от точек L*D до предельной гиперповерхности LW, показало, что LD и L*D практически тождественны. При этом расстояние от точек L*D до гиперповерхности LW определялось как эвклидова норма вектора К*. Аналогичные приведенным на рис. 3.32 результаты были получены при расчете допустимых режимов для других схем ЭЭС по уравнениям (1.25).
Рис. 3.33. Контурные диаграммы, иллюстрирующие характер изменения определителя матрицы 1. Показано, что на основе обобщенных уравнений предельных режимов может быть реализована эффективная методика определения режимов энергосистем, отвечающих требуемой величине запаса статической устойчивости. С помощью экспериментальных исследований выявлено, что указанная методика применима также для ввода режимов в допустимую область по заданным траекториям изменения регулируемых параметров.
2. Получены нелинейные уравнения, описывающие предельные режимы энергосистем, отвечающие экстремальным значениям функционалов, зависящих от регулируемых и нерегулируемых параметров режима.
На основе этих уравнений реализована методика выбора управляющих воздействий противоаварийной автоматики, отвечающих минимальным ущербам, вызванным отключениями источников и потребителей электроэнергии. Предложена методика учета дополнительного ущерба, связанного с отклонениями уровней напряжения в узловых точках сети и изменении частоты в энергосистеме в результате выполнения противоаварийных мероприятий.
3. Сформулирован подход к построению допустимой области управления режимами ЭЭС, основанный на использовании минимальных сингулярных чисел матрицы Якоби УУР. Получены уравнения, позволяющие определять точки, принадлежащие границе, соответствующей фиксированному значению минимального сингулярного числа. Кроме того, получены уравнения, обеспечивающие совместный расчет возмущенного режима и вычисление значения отвечающего ему минимального сингулярного числа.
4. Сформулирован стохастический подход к оценке запасов статической апериодической устойчивости. Получены уравнения, позволяющие находить предельный режим в критическом (наиболее опасном) направлении утяжеления, определяемом на основе ковариационной матрицы регулируемых параметров режима.
5. Проведенные экспериментальные исследования показали возможность использования предложенных методов и алгоритмов в задачах оперативного управления энергосистемами.
4. УЧЕТ ПРОДОЛЬНОЙ И ПОПЕРЕЧНОЙ НЕСИММЕТРИИ ПРИ
ОПРЕДЕЛЕНИИ ПРЕДЕЛЬНЫХ РЕЖИМОВ
4.1. Использование метода симметричных составляющих Широко применяемые алгоритмы учета несимметрии при расчетах режимов трехфазных ЭЭС основываются на методе симметричных составляющих, предложенном Фортескью и детально разработанным Вагнером и Эвансом. В методе используются следующие преобразования:или в матричной форме Аналогичные уравнения могут быть записаны и для токов:
На основе преобразований (4.1)…(4.4) можно получить уравнения установившегося режима для симметричных составляющих. Вывод этих уравнений проводится на основе участка сети, схема которого показана на рис. 4.1.
Для этого участка справедливы уравнения
Z A Z AB Z AC
Z AC Z BC Z C
С учетом (4.3) и (4.4) уравнения (4.5) можно записать в следующем виде Отсюда следует, что где Z s = S 1Z S – матрица сопротивлений в системе фазных координат.Наиболее эффективно метод реализуется для симметрично выполненных сетей при несимметричных воздействиях. В этом случае матрица сопротивлений в симметричных координатах является диагональной, т.е. уравнения для отдельных последовательностей становятся независимыми и расчет режимов для этих последовательностей можно производить раздельно.
Действительно, с учетом структуры матрицы Z S можно записать следующие УУР:
где U1, U 2, U 0, I1,I 2,I 0 – векторы напряжений и токов прямой, обратной и нулевой последовательностей; Z1,Z 2,Z 0 – матрицы собственных и взаимных сопротивлений прямой, обратной и нулевой последовательностей.
Метод симметричных составляющих имеет ограниченное применение для несимметричных электрических сетей. Это связано со значительным усложнением схем замещения при росте числа несимметрий в ЭЭС.
Поэтому затруднено применение метода при создании программных продуктов. Также очень затруднительно использование метода симметричных составляющих для специальных трансформаторов, например, фазоповоротных, применяемых в управляемых самокомпенсирующихся ЛЭП повышенной пропускной способности.
В задачах определения предельных режимов ЭЭС применение метода симметричных составляющих возможно для простейших схем ЭЭС.
Изображенная на рис. 4.2 схема представляет собой такую простую систему, включающую генератор Г, два трансформатора со схемой соединения обмоток Y0/Y0 (при изолированной нейтрали аналитический расчет резко усложняется) и линию электропередачи, в которой предусматривается два вида несимметрий: обрыв фазы А и с обрыв двух фаз В и С. Генератор снабжен автоматическим регулятором возбуждения сильного действия, обеспечивающим неизменность модуля напряжения на шинах 10 кВ.
Внутреннее сопротивление генератора при этом считается равным нулю.
Система С имеет достаточно большую мощность, обеспечивающую неизменность модуля и фазы напряжения на шинах низкого напряжения правого по схеме трансформатора.
Линия электропередачи имеет длину L=120 км и выполнена проводами АС-240/56 с радиусом провода rпр=10 мм. Схема расположения проводов (с учетом стрелы провеса) приведена на рис. 4.3. Линия имеет полный цикл транспонирования. Погонные сопротивления ЛЭП приняты равными R01=0.122 Ом/км, X01=0.41 Ом/км для прямой последовательности и R00=0.274 Ом/км, X00=1.38 Ом/км для нулевой последовательности. На рис.
4.4 представлено схематическое расположение проводов для расчетов среднего геометрического расстояния между проводами. Среднее геометрическое расстояние между проводами равно DCP = 3 d AC d AB d BC = 5.38 м.
Удельное сопротивление прямой последовательности определяется этим расстоянием:
X 01 = 0.144 lg CP + 0.0157 =0.41 Ом/км.
Сопротивления ЛЭП получаются равными XЛ1=X01L=49.1 Ом, XЛ0=X00L=165.6 Ом. Трансформаторы Т1 и Т2 типа ТДЦ-125000/121/10.5Y/Y с параметрами UК=10.5%, PК=400 кВт, PХ=120 кВт, IХ=0.55 %. Сопротивление трансформатора, приведенное к стороне 110 кВ, равно Напряжение на шинах генератора Г, приведенное к стороне 110 кВ, принято равным 115.2 кВ, напряжение на шинах системы С, приведенное к стороне 110 кВ, принято равным 115 кВ. На рис. 4.5 изображена однолинейная схема замещения системы при пренебрежении емкостными проводимостями линии и ветвями намагничивания трансформаторов.
Рис. 4.4. К расчету среднего геометрического расстояния между проводами Результирующее сопротивление прямой последовательности системы равно X1=2XТ+XЛ1=71.3 Ом. Угловая характеристика мощности симметричной системы определяется разностью углов напряжений на передающем и приемном концах передачи с максимумом 185.9 МВт при угловом сдвиге 90°.
При обрыве фазы А комплексная схема замещения показана на рис.
4.6. Результирующие сопротивления для этого случая равны X2= X1;
X0=2XТ+XЛ0=187. X 1L = =51.7 Ом. Соответственно угловая характеристика мощX 2 + X ности определяется уравнением P( ) = ( sin с максимумом 107. МВт при угловом сдвиге 90°.
Рис. 4.6. Комплексная схема замещения для обрыва одной фазы При обрыве двух фаз В и С комплексная схема замещения представлена на рис. 4.7.
Результирующие сопротивления для этого случая те же, X2=X1;
X0=2XТ+XЛ0=187.8 Ом. Дополнительный реактанс X 2 ) = X 2 + X 0 = 259. Ом. Угловая характеристика мощности P( ) = ( sin, максимум равен 40.1 МВт.
Рис. 4.7. Комплексная схема замещения для обрыва двух фаз Угловые характеристики мощности представлены на рис. 4.8, сводные результаты расчета предельных режимов приведены в табл. 4.1.
Симметричный Обрыв одной фазы Обрыв двух фаз Полученные результаты используются в дальнейшем для проверки адекватности моделирования предельных режимов по предлагаемым методикам.
4.2. Моделирование элементов ЭЭС решетчатыми схемами замещения Наиболее естественные модели ЭЭС могут быть получены на основе фазных координат узловых напряжений. На основе фазных координат эффективно решаются задачи расчетов сложнонесимметричных режимов ЭЭС [96]. При их использовании ЭЭС представляется в виде трехлинейной схемы. Это приводит к увеличению числа узлов в три раза по сравнению с традиционным однолинейным представлением электрической сети, что не является существенным препятствием в применении фазных координат.
Более серьезные затруднения вызывает корректный учет электромагнитных связей между отдельными проводами элементов ЭЭС, на основе которого возможно моделировать любые многопроводные объекты, например, линии электропередачи с расщепленными проводами, а также многообмоточные трансформаторы различного конструктивного исполнения. В основу методики моделирования положены полносвязные решетчатые схемы замещения из RLC-элементов [96], что позволяет использовать хорошо разработанные алгоритмы расчета режимов ЭЭС, широко применяемые в однолинейной постановке.
Линии электропередачи и трансформаторы разных типов представляют собой статические многопроводные элементы из нескольких проводов или обмоток, обладающих взаимной электромагнитной связью, рис.
4.9. Если вынести соединения этих проводов (обмоток) за пределы рассматриваемого СМЭ, то линии и трансформаторы будут отличаться друг от друга только характером взаимоиндуктивной связи между проводами или обмотками.
На первом этапе моделирования матрица проводимостей, используемая для получения решетчатой схемы СМЭ, формируется без учета фактического соединения отдельных проводов или обмоток на основе следующего матричного преобразования [96] где Y PC – матрица размерностью 2r 2r; n=2r; Z – исходная матрица сопротивлений элемента размерностью r r, учитывающая взаимные индуктивные связи между проводами; z ik = z ki ; D = Z ; r – исходное число проводов элемента без учета их соединения; M 0 – топологическая матрица, определяемая на основе соотношения M 0 = r, E r – единичная матриE r ца размерностью r r.
Следует отметить, что, несмотря на вид, отличный от традиционно используемого в электротехнике [74], Y PC является именно матрицей проводимостей, так как обладает всеми необходимыми свойствами, присущими этой матрице.
В, частности, для матрицы проводимостей выполняется соотношение Выполнение этого свойства для Y PC можно показать на основе следующих преобразований:
где Ввиду того, что построчные суммы элементов матрицы Y PC нулевые, вектор n является собственным вектором матрицы Y PC, отвечающим нулевому собственному значению. Нуль-пространство матрицы Y PC образуют вектора вида s (0 ) = [n x n X ], где n x – r-мерный вектор n, в котором Х элементов заменены нулями, Х=0…r–1, поэтому Y PC n = 0. Тогда Элементы y ij матрицы Y PC отвечают взятым с обратным знаком проводимостям отдельных ветвей решетчатой схемы, соединяющих между собой узлы, номера которых соответствуют номерам строк и столбцов матрицы; y kj = y jk. Матрице Y PC соответствует полный граф с числом ребер, равным Полному графу отвечает матрица смежности [5] вида Примеры графов, отвечающих решетчатым схемам для трехфазных одноцепной и двухцепной ЛЭП, показаны на рис. 4.10, 4.11.
При отсутствии в элементе связей с узлом нулевого потенциала (землей), т.е. z k 0 =, k =1…r, матрица Y PC является r-кратно вырожденной, что, однако, не препятствует использованию модели в расчетах.
После формирования расчетной схемы сети путем объединения моделей нескольких элементов и исключения уравнений, отвечающих базисным узлам, матрица проводимостей сети становится хорошо обусловленной.
Рис. 4.10. Граф и матрица смежности, отвечающие решетчатой схеме замещения Для учета емкостных проводимостей необходимо дополнить полученную схему шунтами и ветвями, определяемыми величинами частичных емкостей. Последние можно найти из потенциальных коэффициентов первой группы формул Максвелла:
где U – r-мерный вектор напряжений провод-земля, T = [ 1 1... r ] – вектор зарядов проводов, A – матрица потенциальных коэффициентов, размерностью rr.
Рис. 4.11. Граф, отвечающий решетчатой схеме замещения трехфазной двухцепной Для вычисления потенциальных коэффициентов, входящих в матрицу А, могут использоваться следующие выражения [96]:
где 0 – электрическая постоянная; h – высота провода над землей с учетом стрелы провеса (на две трети стрелы провеса ниже высоты точки крепления у опоры); d ij – расстояние от провода i до провода j; Dij – расстояние от провода i до зеркального изображения провода j; r – радиус провода.
На основе матрицы B= A 1 могут быть вычислены собственные и взаимные частичные емкости. В узлы решетчатой схемы добавляются шунты, сопротивления которых определяются половиной соответствующей собственной емкости. Кроме того, с каждой стороны системы проводов формируются дополнительные ветви с сопротивлениями, рассчитываемыми по половинным значениям соответствующих взаимных емкостей.
В результате матрица Y PC преобразуется к новому виду, который можно обозначить как Y C :
где CY = Матрица Y C, в отличие от Y PC, является невырожденной и может непосредственно использоваться в расчетах режимов, например для схемы, состоящей из одного СМЭ.
На основе схемы соединений проводов конкретного элемента выполняется преобразование матрицы Y C путем объединения соответствующих узлов и сложения образующихся при этом параллельных ветвей решетчатой схемы. Указанное преобразование можно проиллюстрировать следующим образом. Предположив без потери общности, что объединяемые узлы имеют последние номера, можно разделить матрицу Y C на блоки:
где Y 2 – блок размерностью k k, отвечающий объединяемым узлам.
Тогда преобразованную матрицу Y S можно представить в виде где e k = [1 1... 1]T – k-мерный вектор, состоящий из единиц.
Таким образом, может быть реализован единый методологический подход к построению моделей статических многопроводных элементов для расчетов сложнонесимметричных режимов, отличающийся математической строгостью и физической интерпретируемостью получаемых моделей, реализуемых набором RLC-элементов, соединенных по схеме полного графа.
Описанный способ моделирования несимметричных режимов ЭЭС реализован в программном продукте FLOW3, разработанном в ИрГУПС [96]. Главное окно программного комплекса FLOW3 показано на рис. 4.12.
В комплексе реализована процедура автоматического утяжеления режима в симметричной и несимметричной постановке, а также организован контроль за величиной и знаком определителя матрицы Якоби УУР (рис.
4.13).
Рис. 4.13. Окно реализации процедуры автоматического утяжеления режима в симметричной и несимметричной постановках Адекватность математического моделирования сложнонесимметричных режимов с помощью комплекса FLOW3 проверена путем сопоставления с расчетами по программам, прошедшим полномасштабную опытную проверку, а также с помощью специально организованных натурных экспериментов в системе электроснабжения западного участка БайкалоАмурской железнодорожной магистрали.
Расхождения в результатах расчетов в сопоставимых случаях составили доли процента по уровням напряжений в узлах, токах и потоках мощности. В экспериментальных исследованиях получено приемлемое для практических целей совпадение расчетных и измеренных параметров.
4.3. Применение фазных координат при расчетах предельных режимов Использование фазных координат целесообразно при необходимости учета различий в фазных параметрах линии, для расчетов режимов комбинированных однофазных и трехфазных сетей и электрических систем с особыми схемами соединений трансформаторов, а также при расчетах взаимных электромагнитных влияний линий.
В настоящем разделе приведены результаты исследований, направленных на разработку методов определения предельных по САУ режимов на основе фазных координат узловых напряжений [95…102]. Расчеты выполнены применительно к схеме ЭЭС, показанной на рис. 4.2, путем расчетов предельных режимов в фазных координатах программным комплексом FLOW3. Для расчетов были подготовлены модели трансформаторов и ЛЭП по приведенным выше параметрам и из них сформированы расчетные схемы.
Определение предельных режимов осуществлялось путем дискретного увеличения передаваемой мощности с дроблением шага при подходе к предельному режиму. При этом были получены следующие результаты.
При симметричной сети максимальная мощность генерации в узлах 7, 8, 9 составила 213 МВт при угле напряжения узла 7, равном 100°, угле узла 1, равном 87°. Превышение результата по сравнению с аналитическим расчетом вполне объясняется емкостной генерацией линии, которая при холостом ходе составляет 4.5 Мвар, а также потерями в трансформаторах.
При обрыве фазы А максимальная мощность на шинах генератора составила 126 МВт (по 42 МВт на фазу) при углах напряжения по фазам генератора 145°, –21°, –153°. Превышение по сравнению с аналитическим расчетом связано также с емкостной генерацией и потерями в трансформаторах.
При обрыве фаз В и С максимальная мощность составила 44.4 МВт (по 14.8 МВт на фазу) при углах напряжения 90°, 13°, –123°.
В табл. 4.2 и 4.3 и на рис. 4.14 представлены результаты расчета предельных режимов, а также сопоставление аналитического расчета и расчетов по программному комплексу.
Расчеты режимов при заданных мощностях генерации с определением среднего Обрыв A Таким образом, расчеты в фазных координатах дают пределы устойчивости ЭЭС в симметричном и несимметричном режимах, аналогичные полученным аналитическим расчетом. Некоторые превышения рассчитанных величин определяются учетом в программном комплексе емкостной генерации ЛЭП и потерь в трансформаторах, не учтенных при аналитических вычислениях.
Результаты расчета для трехузловой схемы ЭЭС кольцевого типа представлены на рис. 4.15, 4.16. Несимметрия вводилась путем обрыва фаз и применения модели нетранспонированной ЛЭП. Кроме того, выполнены расчеты предельных режимов в несимметричной постановке для сложной модели ЭЭС, сформированной на основе схемы внешнего электроснабжения западного участка Байкало-Амурской железнодорожной магистрали.
Рис. 4.15. Области устойчивости для трехузловой схемы ЭЭС Программный комплекс FLOW3 [96] содержит в своем составе блок вычисления предельного режима по заданным направлениям утяжеления в выбранных узлах. С целью проверки корректности расчетов предельных режимов, а также для уточнения роли емкостной генерации линий электропередачи выполнены сопоставительные расчеты предельных режимов в простой системе, схема которой показана на рис. 4.17. В состав системы входят два генератора, шины бесконечной мощности, шесть одинаковых трансформаторов и три линии электропередачи. Генераторы снабжены АРВ и поддерживают неизменным уровни напряжения на шинах 15 кВ.
Система С поддерживает и модуль, и фазу напряжения на шинах, генерируя или поглощая необходимые активную и реактивную мощность, то есть работая в режиме идеального источника ЭДС.
Рис. 4.16. Зависимость якобиана от генерируемой мощности P2 при P1=50 МВт мощностей P1 и P2 генераторов. Такие программного комплекса FLOW3 в трех вариантах: для упрощенной трехузловой однолинейной схемы, для схемы с трансформаторами и с индуктивными элементами вместо воздушных линий электропередачи и для схемы с полнофункциональными моделями ЛЭП.
Воздушные линии выполнены из провода АС-150/19, R0=0.2 Ом/км.
Предполагается полная транспозиция проводов каждой ЛЭП. Схема расположения проводов на опоре приведена Рис. 4.18. Схема опоры 110 кВ на рис. 4.18. Трансформаторы типа ТДЦ-250000/110 имеют следующие параметры: номинальные напряжения ВН 121 кВ, НН 15.7 кВ, мощность потерь короткого замыкания 640 кВт, холостого хода 200 кВт. Ток холостого хода 0.5%, напряжение короткого замыкания 10.5%.
Аналитические расчеты предельных режимов проведены в предположении полной симметрии системы, активные сопротивлений элементов не учитывались. Однолинейная схема замещения системы прямой последовательности приведена на рис. 4.19. За базисное напряжение принято напряжение генераторных шин U б =15 кВ. Удельное индуктивное сопротивление ЛЭП X0=0,4 Ом/км.
Сопротивления элементов определены по следующим формулам:
• трансформаторы • линии электропередачи Предполагается, что генераторы снабжены автоматическими регуляторами возбуждения сильного действия, поэтому XГ = 0. После простых преобразований схема замещения приобретает вид, показанный на рис.
4.20.
Уравнения установившегося режима для схемы, приведенной на рис.
4.20, имеют вид С учетом принятого допущения R jk = 0 и можно записать Уравнения, описывающие предельные по передаваемой мощности режимы, можно представить так:
где P, P2 – параметры, задающие направление изменения, Т – скалярная переменная, определяющая шаг утяжеления;
Численные значения параметров таковы: U1 = U 2 = U 3 = 15 кВ;
Решение уравнений (4.10) осуществлено на основе метода Левенберга-Маркарда. Результаты расчетов сведены в табл. 4.4, а на рис. 4.21, 4. показаны области существования режимов в координатах регулируемых параметров и в угловых координатах. Порядок величины определителя в точках предельной поверхности составляет 10 5.
det Предельные режимы по аналитическому расчету Рис. 4.21. Предельная поверхность в координатах P1, P Рис. 4.22. Предельная поверхность в угловых координатах Для расчетов предельных режимов в программном комплексе FLOW3 составлены три расчетные схемы: простейшая схема (рис. 4.23), эквивалентная однолинейной схеме замещения с параметрами по рис. 4.20, расчетная схема (рис. 4.24) с реактивными сопротивлениями, эквивалентными сопротивлениям ЛЭП прямой последовательности для стороны кВ, и расчетная схема (рис. 4.25) с полнофункциональными моделями ЛЭП.
Рис. 4.23. Простейшая расчетная схема комплекса FLOW Рис. 4.24. Расчетная схема с реактансами прямой последовательности Рис. 4.25. Расчетная схема с полнофункциональными моделями ЛЭП Результаты расчетов предельных режимов для разных схем представлены в табл. 4.4 и 4.5 и на рис. 4.26, 4.27.
Предельные режимы схемы с RL-элементами и трансформаторами Предельные режимы схемы с моделями ЛЭП и трансформаторов Результаты расчетов показывают, что аналитический расчет и расчеты аналогичной трехузловой схемы комплексом FLOW3 совпадают по значениям мощностей с погрешностями в доли процента, а по углам – с разницей порядка 1°. Различия по предельным мощностям порядка 1 % имеются и для схемы с реактивными сопротивлениями вместо линий, с несколько увеличенными угловыми различиями. Однако расчеты по схеме с полнофункциональными моделями ЛЭП отличаются от аналитического расчета очень существенно: по мощностям до 1.7 раза, а по углам – до 60°.
Последние различия относятся к влиянию на предельный режим реактивной генерации линий.
Рис. 4.26. Области существования в координатах P1 и P Рис. 4.27. Области существования в угловых координатах Таким образом, аналитические расчеты предельных режимов трехузловой схемы и расчеты комплексом FLOW3 подтверждают корректность расчетов программным комплексом.
На рис. 4.28, 4.29 представлены результаты расчетов предельных режимов ЭЭС по рис. 4.17 с учетом продольной и поперечной несимметрии.
На рис. 4.28 представлены границы LW, полученные при наличии в узлах генераторов. Расчеты выполнялись при использовании подробных моделей элементов ЭЭС, реализованных на основе решетчатых схем замещения. Рассматривались наиболее выраженные виды продольной несимметрии, вызванные обрывами проводов в линии L1.
Рис. 4.28. Предельные режимы, полученные с учетом несимметрии Рис. 4.29. Предельные режимы, полученные с учетом несимметрии На рис. 4.29 приведены результаты расчетов предельных по передаваемой мощности режимов при задании в узлах 1, 2 нагрузок. Продольная несимметрия задавалась путем отключения проводов ЛЭП, а поперечная вводилась путем пофазного утяжеления режима, что особенно актуально для энергосистем, питающих мощные тяговые подстанции переменного тока. Из анализа представленных результатов можно сделать вывод о том, что несимметрия существенно влияет на результаты расчетов предельных режимов. При этом области устойчивости (существования режимов) существенно сужаются, что необходимо учитывать при проектировании энергосистем, долгосрочном и краткосрочном планировании режимов и оперативном управлении.
На рис. 4.30 показана расчетная схема системы электроснабжения железнодорожной магистрали, реализованная средствами комплекса FLOW3. В табл. 4.8, 4.9 и на рис. 4.31 представлены результаты расчетов предельных режимов, выполненные применительно к этой системе. Расчеты выполнялись при симметричном утяжелении на тяговых подстанциях «СБ» и «ТМ», а также при изменении однофазной тяговой нагрузки на этих подстанциях.
Расчеты предельных режимов для симметричных нагрузок 220 кВ ТП «СБ» (P1) и Расчеты предельных режимов при несимметричном утяжелении для фидеров 27. Рис. 4.31. Результаты расчета предельных режимов в системе электроснабжения железнодорожной магистрали:
PС – активная мощность ТП СБ; PT – активная мощность ТП ТМ Анализ полученных результатов позволяет сделать вывод о том, что при несимметричном утяжелении пределы передаваемой мощности существенно уменьшаются. Этот факт необходимо учитывать при планировании перспективных размеров движения по этому участку магистрали.
4.4. Уравнения предельных режимов, учитывающие продольную и На основе фазных координат может быть предложена новая форма записи уравнений предельных режимов, учитывающая продольную и поперечную несимметрию. Эти уравнения могут быть представлены в двух формах:
или где FA,FB,FC – нелинейные вектор-функции, отвечающие уравнениям установившегося режима ЭЭС, записанным в фазных координатах;
Y(T ) = [ y1 (T ) y2 (T )... ym (T )] – вектор регулируемых параметров, явT ляющийся заданной функцией скалярного параметра T ; X – вектор нереFA FB FC отвечающие уравнениям баланса мощности узлов, относящихся к фазам А, В и С; S,R – собственные векторы прямой и транспонированной матрицы Якоби УУР, записанных в фазных координатах.
Нормировка векторов S, R осуществляется по методике, описанной в разделе 1.4.
Решение уравнений (4.11а) и (4.11б) может осуществляться на основе метода Ньютона. Покажем порядок решения на примере уравнений (4.11а). Для этого уравнения (4.11а) запишем в виде На каждой итерации метода Ньютона решается следующая система линейных уравнений:
«