«А.В. Крюков ПРЕДЕЛЬНЫЕ РЕЖИМЫ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ Иркутск 2012 УДК 621.311 ББК 31.27-01 К 85 Представлено к изданию Иркутским государственным университетом путей сообщения Рецензенты: доктор технических наук, ...»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ

СООБЩЕНИЯ

А.В. Крюков

ПРЕДЕЛЬНЫЕ РЕЖИМЫ

ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Иркутск 2012 УДК 621.311 ББК 31.27-01 К 85 Представлено к изданию Иркутским государственным университетом путей сообщения Рецензенты:

доктор технических наук, проф. В. П. Закарюкин кандидат технических наук, проф. И.В. Игнатьев Крюков А.В.

К 85 Предельные режимы электроэнергетических систем. – Иркутск :

ИрГУПС. – 2012. – 236 с.

ISBN 978-5-98710-202- Монография посвящена методам и компьютерным технологиям для определения предельных по статической апериодической устойчивости режимов электроэнергетических систем. Описан предложенный автором математический аппарат теории расчета и анализа предельных режимов сложных энергосистем, основанный на использовании и физической интерпретации собственных векторов матрицы Якоби уравнений установившегося режима, отвечающих нулевым собственным значениям.

В монографии получены уравнения предельных режимов энергосистем и даны методы их решения. На основе этих уравнений разработана методика определения пределов статической устойчивости. Сформулирован общий подход к решению задачи нахождения запасов статической апериодической устойчивости, с помощью которого получены обобщенные уравнения предельных режимов. Разработана методика выбора оптимальных управляющих воздействий противоаварийной автоматики.

На основе фазных координат и моделей элементов электроэнергетических систем, реализованных в виде решетчатых схем замещения, предложена методика определения предельных по устойчивости режимов энергосистем, учитывающая продольную и поперечную несимметрию в электрической сети. Разработана методика моделирования предельных режимов для энергосистем, имеющих в своем составе компактные, трехцепные и управляемые самокомпенсирующиеся линии электропередачи.

Работа выполнена в рамках плана научных исследований по направлению «Интеллектуальные сети (Smart Grid) для эффективной энергетической системы будущего», проводимых под руководством ведущих ученых в российских образовательных учреждениях высшего профессионального образования в соответствии с Постановлением Правительства РФ № 220 от 09.04.2010 г. Договор № 11.G34.31.0044 от 27.10.2011.

Монография предназначена для инженерно-технических работников, занимающихся проектированием и эксплуатацией электроэнергетических систем, а также для аспирантов и студентов электроэнергетических специальностей.

Библиогр.: 326 назв.

УДК 621. ББК 31.27- © Крюков А.В., © Иркутский государственный университет путей сообщения, ISBN 978-5-98710-202-

ОГЛАВЛЕНИЕ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ

1. ЭКСПРЕСС-РАСЧЕТ ПРЕДЕЛЬНЫХ РЕЖИМОВ СЛОЖНЫХ

ЭНЕРГОСИСТЕМ

1.1. Предельные режимы энергосистем и анализ методов их определения................ 1.2. Уравнения предельных режимов

1.3. Решение уравнений предельных режимов

1.4. Применение УПР для решения задач управления энергосистемами

1.4.1. Определение пределов передаваемой мощности и устойчивости и ввод режимов в область существования

1.4.2. Аппроксимация границ области устойчивости

Выводы

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАПАСОВ СТАТИЧЕСКОЙ АПЕРИОДИЧЕСКОЙ

УСТОЙЧИВОСТИ ЭНЕРГОСИСТЕМ

2.1. Особенности оценки запасов статической устойчивости при многокоординатных утяжелениях

2.2. Оценка запасов статической устойчивости на основе модифицированных уравнений предельных режимов

2.3. Определение запасов при отличии пределов устойчивости и передаваемой мощности

Выводы

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕЖИМОВ, ОТВЕЧАЮЩИХ ТРЕБУЕМОМУ ЗАПАСУ

СТАТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ, И ВЫБОР УПРАВЛЯЮЩИХ

ВОЗДЕЙСТВИЙ ПРОТИВОАВАРИЙНОЙ АВТОМАТИКИ

3.1. Определение допустимых по статической устойчивости режимов

3.2. Выбор управляющих воздействий противоаварийной автоматики

3.3. Учет изменений напряжений и частоты при выборе управляющих воздействий противоаварийной автоматики

3.4. Определение допустимых режимов на основе сингулярных чисел матрицы Якоби уравнений установившегося режима

3.5. Стохастический подход к оценке допустимой области управления режимами энергосистемы

3.6. Определение допустимых режимов энергосистем на основе сферической логарифмической нормы

Выводы

4. УЧЕТ ПРОДОЛЬНОЙ И ПОПЕРЕЧНОЙ НЕСИММЕТРИИ ПРИ

ОПРЕДЕЛЕНИИ ПРЕДЕЛЬНЫХ РЕЖИМОВ

4.1. Использование метода симметричных составляющих

4.2. Моделирование элементов ЭЭС решетчатыми схемами замещения.................. 4.3. Применение фазных координат при расчетах предельных режимов электрических систем

4.4. Уравнения предельных режимов, учитывающие продольную и поперечную несимметрию

Выводы

5. ПРЕДЕЛЬНЫЕ РЕЖИМЫ В ЭНЕРГОСИСТЕМАХ С ЛИНИЯМИ НОВЫХ

ТИПОВ

5.1. Предельные режимы в энергосистемах с компактными ЛЭП

5.2. Предельные режимы энергосистем с трехцепными самокомпенсирующимися линиями

5.3. Предельные режимы в энергосистемах с управляемыми самокомпенсирующимися ЛЭП

Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Приложение А

Фрактальный характер областей устойчивости энергосистем

Приложение В

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

АДО – аппроксимация допустимой области АРВ – автоматический регулятор возбуждения БрГУ – Братский государственный университет ДО – допустимая область ИВС – информационно-вычислительная система КВЛ – компактная воздушная линия ЛЭП – линия электропередачи ОУ – область устойчивости ОУПР – обобщенные уравнения предельных режимов ПАА – противоаварийная автоматика ПАР – послеаварийный режим ПАУ – противоаварийное управление ПК – программный комплекс ПР – предельный режим РПН – регулирование напряжения под нагрузкой САУ – статическая апериодическая устойчивость СЛУ – система линейных уравнений СМЭ – статический многопроводный элемент СУ – статическая устойчивость ТП – тяговая подстанция УВ – управляющее воздействие УПР – уравнения предельного режима УСВЛ – управляемая самокомпенсирующаяся линия УУР – уравнения установившегося режима ЭДС – электродвижущая сила ЭЭС – электроэнергетическая система

ВВЕДЕНИЕ

Расчеты предельных по статической апериодической устойчивости режимов актуальны при проектировании и эксплуатации электроэнергетических систем и имеют как самостоятельное значение, так и являются составной частью других электротехнических задач, связанных с обеспечением требуемого уровня надежности и экономичности функционирования ЭЭС [4, 5, 25, 26, 34, 35, 57, 58, 94, 106, 107, 111, 115, 151, 152, 249, 272…274, 277, 283…285, 302, 303].

Значительный вклад в разработку различных аспектов многогранной проблемы исследования САУ ЭЭС внесли Андреюк В.А., Баринов В.А., Бартоломей П.И., Бушуев В.В., Васин В.П., Веников В.А., Гамм А.З., Горев А.А., Жданов П.С., Идельчик В.И., Конторович А.М., Крумм Л.А., Левинштейн М.Л., Лукашов Э.С., Манусов В.Э., Маркович И.Н., Рудницкий М.П., Совалов С.А., Строев В.А., Тарасов В.И., Ушаков Е.И., Фазылов Х.Ф., Цукерник Л.В., Щербачев О.В. и их коллеги [9, 12…14, 23…25, 27…33, 41, 44…55, 59…62, 71…79, 80, 81, 84, 85, 93, 105…109, 124…126, 143, 144… 146, 154, 155, 245, 249, 255, 256, 257, 275, 276, 279…281, 283…287, 291, 292, 293…296, 304…326].

В настоящее время актуальность вопросов, связанных с расчетами предельных режимов, оценкой запасов и построением областей САУ в пространстве регулируемых параметров существенно возросла. Это вызвано широким внедрением в электроэнергетику современных средств вычислительной техники, созданием информационно-вычислительных систем и оперативных информационных комплексов для решения задач диспетчерского и противоаварийного управления энергосистемами [3, 11, 19, 67, 68…70, 111, 243, 262, 266…268, 289]. Появились и новые задачи, обусловленные следующими обстоятельствами:

• необходимость ввода режимов в область устойчивости с минимальным ущербом от отключения генераторов и нагрузок при выборе управляющих воздействий в централизованных системах противоаварийного управления [56, 64, 65];

• требование выделения слабых звеньев по САУ при разработке мероприятий по повышению устойчивости [1, 2, 6, 47, 51, 77, 86, 259];

• необходимость определения вероятности нарушения устойчивости при случайных колебаниях нагрузки [46].

Решение большинства из перечисленных выше задач непосредственно в контуре управления энергосистемами и энергообъединениями на основе информации, получаемой по каналам телемеханики, требует разработки эффективных методов и алгоритмов, обеспечивающих высокую степень надежности получения решения и построенных на единой методологической базе.

В настоящую монографию включены основные результаты исследований, выполнявшихся автором и под его научным руководством на протяжении девяти лет в Восточно-Сибирском государственном технологическом университете, шести лет в Санкт-Петербургском государственном политехническом университете и тринадцати лет в Иркутском государственном университете путей сообщения [90, 91, 94…102, 122, 123, 127…142, 156…239]. Они охватывают целый ряд вопросов, связанных с теорией и практикой расчета и анализа предельных по статической апериодической устойчивости и передаваемой мощности режимов сложных энергосистем. Большое внимание уделено задачам оценки и особенностям нормирования запасов САУ при многокоординатных утяжелениях, определению режимов, отвечающих требуемому значению запаса устойчивости, построению стохастических моделей для оценки запасов САУ, выбору оптимальных управляющих воздействий противоаварийной автоматики ЭЭС из условия обеспечения статической апериодической устойчивости послеаварийных режимов. Кроме того, рассматриваются вопросы, связанные с построением и аппроксимацией областей САУ в пространстве регулируемых режимных параметров, применением сингулярного анализа для оценки допустимой области управления энергосистемами.

Основная часть разработанных математических моделей, методов и алгоритмов доведена до информационных технологий расчета и анализа предельных режимов, то есть реализована (или включена в состав) промышленных, опытно-промышленных и экспериментальных программ для ЭВМ, эксплуатация которых подтвердила положительные результаты апробации предлагаемых в монографии методик.

Работа выполнена в рамках плана научных исследований по направлению «Интеллектуальные сети (Smart Grid) для эффективной энергетической системы будущего», проводимых под руководством ведущих ученых в российских образовательных учреждениях высшего профессионального образования в соответствии с Постановлением Правительства РФ № 220 от 09.04.2010 г., договор № 11.G34.31.0044 от 27.10.2011.

Вся работа построена на единой теоретической основе. Одно из главных методических отличий от многочисленных работ по теории и методам анализа устойчивости и расчета предельных режимов состоит во введении и активном использовании собственных векторов матрицы Якоби уравнений установившегося режима, отвечающих нулевым собственным значениям1. Это позволило по новому сформулировать ряд задач, связанных с управлением режимами сложных энергосистем, и дать более эффективные методы их решения. В, частности, применение собственных векторов позволило избежать при расчете предельных режимов решения Актуальность этого направления подтверждается появлением в последние годы работ, также использующих собственные векторы матрицы УУР [20…22].

некорректных задач вычислительной математики, связанных с вырожденностью системы УУР на предельной гиперповерхности. Другая отличительная особенность заключается в широком использовании свойств уравнений с квадратичной нелинейностью, что позволило разработать эффективные вычислительные алгоритмы, построенные на единой методической основе. Кроме того, отличительной особенностью предлагаемых в работе методов является возможность использования наиболее полных моделей элементов ЭЭС с их регулирующими устройствами, учета изменений частоты в ЭЭС, что, однако, не ограничивает применение адекватно построенных упрощенных моделей, которые в ряде случаев, как показано в работе [72], являются более предпочтительными.

Материал монографии состоит из пяти глав.

Первая глава посвящена методам расчета предельных по статической устойчивости и передаваемой мощности (существованию) режимов ЭЭС в заданном направлении утяжеления. Основное содержание главы связано с рассмотрением уравнений предельных режимов и включает вопросы их формирования, численного решения и применения для задач проектирования и эксплуатации энергосистем.

В первом параграфе детально проанализированы широко применяемые методы расчета предельных режимов, основанные на дискретном (пошаговом) утяжелении, положительным качеством которых является простота алгоритма и легкость учета ограничений-неравенств, накладываемых как на регулируемые, так и на не регулируемые параметры режима. Конкретные реализации этих методов зависят от применяемых форм записи УУР [7, 12…14, 15…18, 36, 82, 88, 89, 94, 105…109, 120, 246, 247, 261, ] и численных методов их решения [87, 92, 244, 269, 278, 283…287, 300, 301]. Недостатки указанных методов состоят в необходимости расчета серий промежуточных режимов, которые, как правило, не интересуют расчетчика, а также в существенных вычислительных трудностях, связанных с тем, что в точке решения матрица Якоби УУР вырождена.

Для повышения эффективности расчетов были разработаны методы непрерывного утяжеления [283, 286], основанные на применении вычислительной процедуры Энеева-Матвеева. В дальнейшем были предложены аналогичные методы [144], основанные на дополнительном учете старших членов разложения в ряд Тейлора вектор-функции, обратной к векторфункции невязок УУР [89]. Однако, несмотря на существенное повышение эффективности расчетов, применение этих методов не снимает вычислительных трудностей, связанных с решением вырожденных систем нелинейных уравнений. Кроме того, они не применимы при отличии пределов устойчивости и передаваемой мощности.

Избежать указанных затруднений можно с помощью уравнений предельных режимов. Если рассматривать Якобиан УУР как функциональный определитель и условие равенства его нулю дополнить уравнениями установившегося режима, то полученная система будет описывать предельные по существованию (передаваемой мощности) режимы ЭЭС. Однако, представление детерминантного равенства в развернутом виде практически невозможно. Трудности, связанные с непредставимостью детерминантного равенства в виде ряда, можно обойти заменой этого уравнения на эквивалентные соотношения – равенства нулю произведения матрицы Якоби (прямой или транспонированной) на ее собственный вектор, отвечающий нулевому собственному значению. При этом вектор зависимых переменных дополняется компонентами соответствующего собственного вектора.

Принципиальным свойством УПР является то, что они не вырождаются в точках решений. В работе приведено строгое доказательство этого положения и его экспериментальное подтверждение. Существенно также, что применение УПР, в отличие от методов непрерывного утяжеления, позволяет определять не только предельные по передаваемой мощности режимы, но и предельные по устойчивости. В последнем случае матрица Якоби УУР заменяется на матрицу, отвечающую свободному члену характеристического полинома системы дифференциальных уравнений, описывающих переходные процессы в ЭЭС при малых возмущениях. Таким образом, применение УПР сводит задачу поиска предельного режима к решению уравнений с неособенной матрицей Якоби. При этом применимы все известные итерационные методы [87, 92, 119, 244, 271], не требующие, в отличие от методов дискретного и непрерывного утяжеления, вычислительной устойчивости при работе с плохо обусловленными матрицами вблизи решения.

В работе подробно рассмотрены вопросы, связанные с применением методов ньютоновского типа для решения УПР, записанных в различных формах. Показана возможность снижения размерности решаемых в процессе итерации линейных уравнений. Приведены результаты подробных экспериментальных исследований, подтверждающих эффективность применения предложенной методики поиска предельных режимов. В, частности, показано, что наряду с повышением эффективности расчетов применение УПР дает возможность получать решение в случаях, когда другие методы неприменимы. Это касается таких траекторий утяжеления, когда в процессе поиска предельного по устойчивости режима достигается точка вырожденности матрицы Якоби УУР, то есть предел передаваемой мощности наступает раньше предела устойчивости. Кроме того, на основе результатов экспериментальных исследований показано, что УПР применимы для решения задачи ввода режима в область существования (устойчивости).

Наряду с поиском предельных режимов в заданном направлении утяжеления УПР могут быть использованы для построения и аппроксимации гиперповерхностей предельных режимов и, особенно, их сечений координатными плоскостями. Если собственный вектор S прямой матрицы Якоби УУР не имеет наглядной геометрической интерпретации, то вектор R транспонированной матрицы совпадает с направлением нормали к гиперповерхности предельных режимов в вычисленной точке. Использование этого факта позволило разработать эффективные методики кусочнолинейной и нелинейной аппроксимации областей устойчивости и их сечений.

Вторая глава посвящена методам определения запасов статической апериодической устойчивости на основе обобщенных уравнений предельных режимов.

В первом параграфе детально проанализированы особенности оценки запасов статической устойчивости ЭЭС при многокоординатных утяжелениях и обоснована целесообразность оценки запаса САУ текущего режима ЭЭС по критерию близости отвечающей ему точки в масштабированном пространстве независимых переменных к предельной гиперповерхности [60, 64]. При этом весьма важен корректный выбор способа масштабирования пространства, так как применяемые способы нормировки могут приводить к существенным методическим и вычислительным затруднениям. На основе детальных исследований и многочисленных расчетов показано, что сформулированный критерий (при соответствующем способе масштабирования) дает большие преимущества с точки зрения повышения надежности работы ЭЭС и уменьшения управляющих воздействий противоаварийной автоматики по сравнению с существующей практикой нахождения предельных перетоков в сечениях на этапах планирования режимов.

Совпадение собственного вектора R транспонированной матрицы Якоби УУР с направлением нормали к предельной гиперповерхности позволяет обобщить УПР на случай поиска предельного режима в наиболее опасном (критическом) направлении утяжеления, отвечающем кратчайшему расстоянию в метрике нормированных независимых переменных от точки рассматриваемого режима до предельной гиперповерхности, и тем самым получить объективную оценку запаса САУ.

В работе подробно рассмотрены вопросы формирования и решения обобщенных уравнений предельных режимов, приведены результаты вычислительных экспериментов, подтверждающих эффективность применения ОУПР для оценки запасов САУ, а также для ввода режимов в область существования по кратчайшему расстоянию в метрике регулируемых параметров. Рассмотрены также стартовые алгоритмы и другие специальные приемы, существенно повышающие эффективность вычислительных процедур решения ОУПР. Кроме того, в работе получена модификация ОУПР, позволяющая определять предельные режимы в критическом направлении утяжеления в наиболее общем случае, когда пределы передаваемой мощности и устойчивости не совпадают.

Третья глава посвящена вопросам определения режимов, отвечающих требуемому запасу САУ, а также выбору оптимальных управляющих воздействий противоаварийной автоматики из условия обеспечения статической устойчивости ПАР.

Показано, что на основе ОУПР возможно получение точек, принадлежащих границе допустимой области, отстоящей в метрике масштабированных независимых переменных на заданное расстояние от границы существования режимов (устойчивости). В работе подробно рассмотрены вопросы формирования и особенности численного решения этой модификации ОУПР на основе вычислительных процедур ньютоновского типа.

Приведены результаты расчетов, подтверждающих эффективность предложенной методики оценки допустимой области управления режимами ЭЭС.

Кроме того, предложены уравнения, на основе которых могут быть определены предельные режимы, отвечающие экстремальным значениям функционалов, зависящих от регулируемых и нерегулируемых параметров режима. На основе этих уравнений реализована методика выбора оптимальных управляющих воздействий противоаварийной автоматики из условия обеспечения статической устойчивости послеаварийных режимов.

Целевой функцией оптимизации является ущерб, вызванный отключением источников и потребителей электрической энергии при выполнении противоаварийных мероприятий. В работе показано, что возможен также учет ущерба от изменения уровней напряжения в узловых точках сети и частоты в энергосистеме. Отличительной особенностью предлагаемой методики выбора оптимальных УВ является отсутствие многошаговых оптимизационных процедур и численного дифференцирования. Поиск оптимального решения осуществляется путем решения методом Ньютона системы уравнений с квадратичной нелинейностью.

Также в данной главе рассмотрены вопросы, связанные с применением минимальных сингулярных чисел матрицы Якоби УУР (или матрицы, отвечающей свободному члену характеристического полинома) и соответствующих им векторов для оценки допустимой области управления режимами ЭЭС. Показано, что на этой основе могут быть реализованы алгоритмы определения точек границы допустимой области, а также алгоритмы расчета режима с одновременным вычислением минимального сингулярного числа и отвечающих ему векторов. Кроме того, эти вектора могут использоваться для выявления сенсорных узлов электрической сети.

В заключительной части главы предложен стохастический подход к оценке допустимой области управления режимами на основе разработанной системы уравнений, описывающих предельный режим в критическом направлении утяжеления с учетом случайных колебаний нагрузок.

Эффективность всех предложенных в данной главе методов и алгоритмов подтверждена вычислительными экспериментами.

В четвертой главе предложены методы определения предельных режимов ЭЭС с учетом продольной и поперечной несимметрии в электрической сети. Задача определения предельных режимов и построения областей устойчивости в пространстве регулируемых параметров при наличии продольной и поперечной несимметрии может быть решена на основе использования фазных координат [95…102]. При их применении электрическая сеть может описываться трехлинейной схемой или представляться в виде компаунд-сети. В первом случае каждый трехфазный элемент задается тремя сопротивлениями с электромагнитными связями или соответствующими схемами замещения. Число узлов расчетной схемы по отношению к однолинейной сети при этом утраивается. Во втором случае трехфазная сеть рассматривается как однолинейная, в которой каждая ветвь представляется матрицей размерности 3x3, а токи и напряжения – векторами размерности 3. Первый способ позволяет рассматривать любые многофазные элементы, например, линии электропередачи с тросами. При втором способе учет таких элементов существенно затрудняется.

Проведенный теоретический анализ показал, что для расчета сложнонесимметричных режимов ЭЭС, вызванных однофазными, например, тяговыми нагрузками и неравенством продольных параметров, наиболее приемлемым является первый способ представления электрической сети в фазных координатах. При этом элементы системы замещаются решетчатыми схемами, что позволяет использовать хорошо разработанные алгоритмы расчета режимов ЭЭС.

На основе программного комплекса FLOW3 [96] были проведены многочисленные расчеты предельных режимов реальных и эквивалентных схем ЭЭС с учетом продольной и поперечной несимметрии. Анализ полученных результатов позволяет сделать вывод о том, что при несимметричном утяжелении пределы передаваемой мощности существенно уменьшаются. Этот факт необходимо учитывать при планировании перспективных режимов работы ЭЭС, питающих мощные электротяговые нагрузки.

На основе фазных координат может быть предложена новая форма записи уравнений предельных режимов, учитывающая продольную и поперечную несимметрию. Предложенная математическая модель открывает новое направление в исследовании предельных режимов сложных электроэнергетических систем [99]. В частности, на ее основе могут определяться предельные режимы при продольной несимметрии в ЭЭС, которая возникает при обрыве одной или двух фаз на линиях электропередачи высокого и сверхвысокого напряжений. Кроме того, могут анализироваться предельные режимы при многократной поперечной несимметрии, что весьма актуально для энергосистем, питающих тяговые подстанции железных дорог переменного тока.

В пятой главе предложены методы определения предельных режимов в энергосистемах с воздушными линиями электропередачи новых типов [99]: компактных, трехцепных, управляемых самокомпенсирующихся.

Повышение передаваемых мощностей в электроэнергетических системах приводит к необходимости разработки новых типов ЛЭП с нетрадиционным расположением проводов. В частности, предлагаются ЛЭП с линейным и концентрическим расположением проводов, обладающие повышенной пропускной способностью. Анализ предельных режимов систем с такими линиями осложняется из-за возникновения несимметрии и существенного взаимного электромагнитного влияния проводов.

Для анализа были приняты три типа линий следующего вида:

• традиционная воздушная ЛЭП;

• компактная воздушная линия с плоским расположением проводов;

• КВЛ с концентрическим расположением проводов.

Решение задачи расчета режимов электрических систем, имеющих в своем составе ЛЭП с нетрадиционным расположением проводов, наиболее эффективно может быть проведено в фазных координатах. При этом используются решетчатые схемы замещения с RLC-элементами, что позволяет получать эффективные модели многопроводных ЛЭП и трансформаторов. На основе проведенных исследований показано, что наличие КВЛ существенно увеличивает пределы передаваемых мощностей и, соответственно, расширяет области устойчивости. КВЛ с плоским расположением проводов вносит заметную несимметрию, а линия с концентрическим расположением характеризуется еще большой несимметрией, приводящей к циркуляции потоков мощности при холостом ходе и дополнительным потерям в линии.

Для повышения передаваемых мощностей в электроэнергетических системах предлагается использование трехцепных линий электропередачи с разными напряжениями цепей, что должно повышать пропускную способность комбинированной линии по сравнению с разнесенными ЛЭП.

Анализ предельных режимов систем с такими линиями осложняется из-за значительной несимметрии, возникающей вследствие сильного взаимного электромагнитного влияния проводов. В главе представлены результаты сопоставительного анализа предельных режимов в простой ЭЭС с трехцепными линиями и с разнесенными традиционными ЛЭП. Показано, что трехцепная воздушная линия с расположением проводов по типу ACBcbaBAC характеризуется более высокой симметрией параметров и пропускной способностью по сравнению с одноцепными линиями. Предельные режимы трехцепных линий с разным расположением проводов отличаются друг от друга на 13 %.

Для количественной проверки пропускной способности управляемых линий электропередачи выполнены расчеты предельных режимов для эквивалентной схемы ЭЭС. Области устойчивости построены при углах между напряжениями цепей 0, 90, 180. Показано, что наличие УСВЛ позволяет повысить пределы устойчивости ЭЭС.

Основные научные результаты, полученные автором и отраженные в монографии, заключаются в следующем.

Разработан математический аппарат теории расчета и анализа предельных режимов сложных энергосистем, основанный на использовании и физической интерпретации собственных векторов матрицы Якоби УУР, отвечающих нулевым собственным значениям. На основе этого аппарата созданы эффективные и высоконадежные методы и алгоритмы, позволяющие решать следующие актуальные задачи, возникающие при управлении режимами ЭЭС:

• экспресс-расчет предельных по статической апериодической устойчивости и передаваемой мощности режимов энергосистем в заданном направлении утяжеления;

• определение предельных режимов в критическом (наиболее опасном) направлении утяжеления;

• ввод режимов в область существования (устойчивости) по заданным траекториям изменения регулируемых параметров;

• ввод режимов в область существования по траектории, отвечающей кратчайшему расстоянию до предельной гиперповерхности;

• определение режимов, отвечающих требуемой величине запаса статической апериодической устойчивости;

• расчет предельных режимов, отвечающих минимальным значениям функционалов ущербов от выполнения противоаварийных мероприятий;

• определение предельных режимов в критическом направлении утяжеления с учетом случайных колебаний нагрузок;

• построение и аппроксимация границ области устойчивости (существования) и кусочно-линейная и нелинейная аппроксимация сечений этих областей координатными плоскостями.

Практическая ценность научных результатов, изложенных в монографии, состоит в решении технических проблем, связанных с созданием автоматизированных систем диспетчерского и противоаварийного управления ЭЭС и централизованных систем противоаварийной автоматики.

Полученные результаты позволяют повысить скорость принятия решений, точность оперативного управления ЭЭС, снизить ущерб при отключении генераторов и нагрузок при проведении режимных ограничений потребителей, упростить алгоритмы выбора управляющих воздействий, полнее использовать резервы энергосистем по пропускной способности.

Разработанные методы оценки запасов устойчивости обеспечивают обоснованный подход к решению проблемы нормирования запасов статической апериодической устойчивости.

1. ЭКСПРЕСС-РАСЧЕТ ПРЕДЕЛЬНЫХ РЕЖИМОВ СЛОЖНЫХ

ЭНЕРГОСИСТЕМ

1.1. Предельные режимы энергосистем и анализ методов их Положение равновесия автономной системы дифференциальных уравнений является асимптотически устойчивым по Ляпунову, если устойчива линеаризованная система (система первого приближения):

где xk = xk xk 0 ; xk 0 – координаты точки равновесия, удовлетворяющие уравнениям Процедура линеаризации выполняется на основе разложения функций wi ( x1, x2,..., xn ),i = 1...n в ряд Тэйлора и отбрасывания нелинейных членов.

Устойчивость решения уравнений (1.2) имеет место, если отрицательны действительные части всех корней характеристического уравнения где вычисленная в точке равновесия; E = diag1 – единичная матрица порядка n. Положение равновесия будет неустойчивым, если уравнение (1.2) имеет хотя бы один корень с положительной действительной частью. Если таких корней нет, но среди корней есть чисто мнимые, то по системе первого приближения нельзя судить об устойчивости. В этом случае требуются дополнительные исследования.

Применительно к установившимся режимам электрических систем устойчивость по Ляпунову носит название статической устойчивости, которую по характеру нарушения обычно разделяют на апериодическую и колебательную. Первый вид неустойчивости связывают с появлением действительных положительных корней, второй – с появлением комплексных корней с положительной вещественной частью (рис. 1.1). Практические методы определения апериодической и колебательной устойчивости различаются между собой. Ниже рассматриваются только методы и критерии определения апериодического нарушения устойчивости.

Для того, чтобы характеристическое уравнение (1.3), которое можно представить в следующем развернутом виде относительно символа р не имело вещественных положительных корней p k, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты (1.4) были больше нуля. Однако, если определять предел устойчивости в процессе утяжеления исходного устойчивого режима, то нет необходимости следить за знаками всех коэффициентов, так как первым изменит знак на отрицательный свободный член характеристического уравнения a0.

Рис.1.1. Характер нарушения устойчивости:

а) – расположение корней на комплексной плоскости; б) – зависимость x = x(t ) Действительно, из (1.3) и (1.4) следует, что Поэтому при изменении значения вещественного корня с отрицательного на положительный неизбежно изменение знака a0. На контроле знака свободного члена характеристического уравнения основаны основные методы определения предельных по устойчивости режимов.

Установившиеся режимы электроэнергетических систем описываются нелинейными уравнениями вида:

где F = [ f1 f 2...f n ] баланса мощностей или токов в узлах сети; Y = [ y1 y 2...y m ] – заданный векT тор регулируемых параметров (независимых переменных); X = [x1x2...xn ]T – искомый вектор нерегулируемых параметров (зависимых переменных) [155].

В качестве регулируемых параметров обычно используются активные и реактивные мощности генераторов и нагрузок, а также зафиксированные в отдельных узлах сети модули напряжений. Зависимыми переменными считаются действительные и мнимые составляющие или модули и фазы узловых напряжений. Также, в состав вектора зависимых переменных X может входить значение частоты в энергосистеме.

Режимами, предельными по статической апериодической устойчивости, можно считать режимы ЭЭС, соответствующие точкам X L, YL пространства параметров Z = X U Y, в которых выполняются уравнения (1.1) и условие:

где W – n-мерная вектор-функция, отвечающая правым частям дифференциальных уравнений описывающих переходные процессы в ЭЭС при малых возмущениях; а0 – свободный член характеристического полинома В работе [78] показано, что выражение для а0 может быть получено без составления дифференциальных уравнений, а непосредственно из УУР записанных с учетом характеристик элементов электрической системы при малых возмущениях.

Точки YL образуют в пространстве Y дискриминантную гиперповерхность LW (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Области устойчивости и существования режимов в пространстве Режимами, предельными по существованию (передаваемой мощности), можно считать режимы, отвечающие точкам X LP, YLP пространства параметров Z = X U Y, в которых выполняются уравнения установившегося режима (1.6) и соотношение:• где – матрица Якоби УУР (1.6).

Точки YLP образуют в пространстве Y дискриминантную гиперповерхность LF (рис. 1.2). Фрагменты областей устойчивости и суПри строгом рассмотрении условие (1.5) является необходимым, но недостаточным.

Подробно данный вопрос рассмотрен в работе [107].

ществования для трехузловой модели ЭЭС показаны на рис. 1.3 и 1.4.

Рис. 1.3. Фрагменты областей устойчивости для трехузловой модели ЭЭС:

а) – пространство Y = [P P2 ] ; P1, P2 – активные мощности генераторов электростанций; б) – пространство X = [ 1 2 ] ; 1, 2 – угловые сдвиги векторов напряжений узлов 1 и 2 относительно базисного узла Рис. 1.4. Фрагменты областей существования для трехузловой модели ЭЭС:

а) – схема ЭЭС; б) – область существования определении параметров установившегося режима, и матрицы, применяемые для анализа устойчивости, могут не совпадать по следующим причинам.

1. Уравнения установившегося режима (1.6) могут быть записаны при различных допущениях и в разных формах, в общем случае не совпадающих с принятыми при записи дифференциальных уравнений (1.8).

2. Исходя из предположения о том, что астатическое регулирование напряжения U G на шинах генераторов производится соответствующим изменением уставок автоматических регуляторов возбуждения, модуль UG при расчетах режимов принимается, как правило, заданным. Если такое регулирование осуществляется диспетчером дискретно, то предположение о неизменности напряжения на шинах генераторов, вполне приемлемое при расчете режимов, будет неудовлетворительным при определении устойчивости. В этом случае правильней принимать неизменной э.д.с. генератора за некоторой реактивностью, определяемой в зависимости от типа и значений коэффициентов усиления АРВ, или полностью учитывать математическую формулировку закона регулирования возбуждения. Если АРВ имеет достаточно большие коэффициенты усиления, то оба способа моделирования генераторов приводят к одним и тем же результатам [107].

3. При наличии на питающих потребителей подстанциях трансформаторов с регулированием напряжения под нагрузкой мощность электроприемников в расчетах режимов можно считать неизменной (рис. 1.5а). В отличие от этого, при проверке устойчивости мощность нагрузки следует принимать изменяющейся по статической характеристике, так как указанное регулирование имеет дискретный характер и не действует при малых возмущениях (рис. 1.5б).

Рис. 1.5. Статические характеристики нагрузки:

Пределы устойчивости и передаваемой мощности будут равными тогда, когда характеристики генераторов и нагрузок, используемые для расчета режимов и для исследования устойчивости, будут совпадать. В этом случае при одинаковых формах записи уравнений (1.6) и (1.9) матрицы Сказанное можно пояснить на основе упрощенных уравнений установившегося режима генератора без учета активных сопротивлений статора и различия сопротивлений xd и xq по продольной и поперечной осям (рис. 1.6). Последнее упрощение касается гидрогенераторов, так как для турбогенераторов xq = xd. При описании автоматического регулятора возбуждения учитывается только канал регулирования по отклонению напряжения.

При указанных допущениях уравнения, описывающие установившийся режим работы генератора, могут быть представлены в следующем виде:

где – внутренний угол между ЭДС Eq и напряжением шин; CU – коэффициент усиления АРВ.

Первое уравнение отражает равенство механической PG и электромагнитной мощности генератора в установившемся режиме. Второе – уравнение баланса реактивной мощности. Третье уравнение относится к АРВ, осуществляющему регулирование ЭДС возбуждения Eq относительно величины Eq 0, заданной в некотором исходном режиме из условия U = U 0, где U 0 напряжение уставки регулятора.

Для составления матрицы Якоби, соответствующей свободному члену характеристического уравнения, можно воспользоваться уравнениями (1.12). При этом все производные, за исключением производных от реактивных мощностей генератора, найдутся прямым дифференцированием.

Так как активная мощность генератора, выдаваемая в сеть, равна механической мощности и, следовательно, не зависит от напряжения на шиP QG записав их в приращениях:

Обозначив через N = можно получить Выразив d из первого уравнения и подставив во второе, можно получить После преобразований можно записать или Обозначив через можно записать С помощью третьего уравнения в (1.14) можно исключить из (1.15) приращения Eq и после несложных преобразований прийти к следующему выражению для dQG или то искомая производная равна С помощью (1.16) можно оценить влияние регулирования возбуждеQG ния на величину. Для этого необходимо найти эквивалентное сопроU тивление xq, при котором производная без учета регулирования возU буждения совпадает с полученной при учете регулирования. Исходя из этого, можно записать и найти Из (1.17) видно, что регулирование возбуждения эквивалентно уменьшению сопротивления генератора. Зависимость xq = xq (CU ) приведена на рис. 1.7. Так как значения CU достигают нескольких десятков единиц, то влияние регулирования на величину эквивалентного сопротивления очень заметное.

В качестве примера можно рассмотреть режимы генератора, работающего через линию на шины бесконечной мощности (рис. 1.8).

Рис. 1.8. Генератор, работающий на шины бесконечной мощности Угловую характеристику мощности можно представить в виде где x12 – сопротивление линии; – внутренний угол генератора; 12 – угол вектора напряжения генератора относительно напряжения U 2 шин бесконечной мощности.

При отсутствии АРВ, т.е. при Eq = const, предел устойчивости наступает в точке максимума угловой характеристики, когда 12 + =. При этом величина угла на линии достигает некоторой величины 12 <. Для оценки влияния сопротивления генератора на величину предела устойчивости, следует реактивную мощность Q у приемного конца линии выразить двумя способами:

Из последнего выражения следует, что в предельном режиме при Из полученной формулы можно сделать вывод о том, что предельный угол на линии тем больше, чем меньше отношение сопротивления генератора к суммарному сопротивлению генератора и линии (рис. 1.9).

Поэтому регулирование возбуждения генератора приводит к увеличению предела устойчивости: при значениях CU, равных десяткам единиц, эквивалентное сопротивление генератора мало по отношению к сопротивлению линии и в этой случае предел устойчивости и предел передаваемой мощности, который достигается при 12 =, практически совпадают. Таким образом, только при отсутствии регулирования возбуждения или малых коэффициентах усиления предел устойчивости наступает заметно раньше предела передаваемой мощности.

Для получения зависимости 12 = (CU ) можно записать уравнения, аналогичные (1.12), для активной мощности После преобразований можно получить Из (1.20) и (1.21) следует, что Подставив в последнюю формулу выражение для эквивалентного сопротивления (1.17), можно записать Зависимость 12 = (CU ) представлена на рис. 1.10.

Сделанные выводы относительно влияния регулирования на устойчивость и взаимосвязи пределов устойчивости и передаваемой мощности (существования режима) справедливы и для сложных энергосистем.

Широко применяемые методы определения предельных режимов [23, 83, 109, 124, 147, 149, 267, 279, 281, 291], которые можно назвать методами дискретного утяжеления, включают следующие этапы.

1. Рассчитывается некоторый заведомо устойчивый режим.

2. Для этого режима вычисляется значение свободного члена или какoго-либо практического критерия устойчивости где M ij – минор, полученный из det вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца2.

3. Производится изменение регулируемых параметров Y (рис. 1.11) в соответствии с выбранным законом утяжеления где T – скалярный параметр, и рассчитываются новые режимы.

Рис. 1.11. Произвольная траектория утяжеления режима. Трехузловая модель В работах [298, 299] в качестве косвенного критерия наступления предельного режима используются производные потерь активной мощности.

Обычно траектория Y(T ) в пространстве Y принимается линейной (рис. 1.12), где Y 0 соответствует исходному режиму, а Y определяет направление утяжеления в пространстве Y. Утяжеление продолжается до тех пор, пока на k-том шаге Yk =Y 0 +Tk Y1 не произойдет изменение знака a 0 или ij (рис. 1.13) или пока решение уравнений F(X,Yk ) = 0 не перестанет существовать (рис. 1.14).

Рис. 1.12. Линейная траектория утяжеления. Трехузловая модель ЭЭС Рис. 1.13. Изменение знака a0 в процессе утяжеления режима Рис. 1.14. Выход режима за пределы области существования в процессе Расчет последовательно утяжеляемых режимов требует больших вычислительных затрат, но он необходим потому, что детерминантные уравнения (1.7) или (1.10) представить в развернутом виде практически невозможно.

Для сокращения вычислений и повышения точности поиска параметров X L применяют дробление шага утяжеления. Это делается следующим образом. Начальный шаг выбирается достаточно большим, а после первого пересечения LW происходит деление первоначального шага утяжеления пополам. Такой процесс дробления завершается после того, как длина шага утяжеления будет меньше заданной точности поиска параметров YL.

Повышение эффективности расчетов может быть достигнуто также путем использования предложенных в работах [23, 24, 257] специально организованных вычислительных процессов решения УУР, сходящихся только к статически устойчивым режимам. При этом отпадает необходимость определения на каждом шаге утяжеления значения a0 или Конкретная реализация рассматриваемых методов зависит от форм записи УУР, применяемых численных методов и используемых критериев СУ [4, 57, 58. 257, 277, 295, 298, 299].

Преимущества методов дискретного утяжеления состоит в простоте реализации, возможности изменения параметров утяжеления на любом шаге процесса. Это позволяет учитывать действия противоаварийной автоматики [253, 300] и технические эксплуатационные ограничения. К недостаткам данных методов можно отнести значительную трудоемкость, связанную с необходимостью расчета большого числа промежуточных режимов, которые, как правило, не интересуют расчетчика. Кроме того, существенные трудности возникают при совпадении пределов передаваемой мощности и устойчивости, или при определении режимов, предельных по существованию. В этом случае матрица Якоби УУР становится выроX жденной в точке решения X L, которая соответствует предельному режиму.

При этом возникает необходимость решения плохо обусловленных систем линейных уравнений.

Для повышения эффективности расчетов предельных режимов были разработаны методы непрерывного утяжеления [144, 283, 285…287], не требующие применения многошаговых вычислительных процедур, связанных с расчетом серии промежуточных режимов. Эти методы основаны на свойстве особо надежных методов численного решения уравнений установившегося режима, заключающемся в том, что если по ходу вычислений встречаются точки, в которых то благодаря искусственному ограничению шага, итерационный процесс «зависает» вблизи этих точек. Поэтому, если задать величину утяжеления настолько большой, чтобы она соответствовала несуществующему режиму, то в конечном итоге будет достигнута одна из точек предельной поверхности (о чем можно судить, например, по резко убывающей величине шага).

В основе способа непрерывного утяжеления, предложенного в работах [283…287], лежит метод В.А. Матвеева, итерационная формула которого имеет вид:

где k – корректирующий коэффициент, определяемый по выражению:

Область применения указанных методов ограничивается условием совпадения пределов устойчивости и передаваемой мощности.

Второй сомножитель для Bk представляет собой максимальный по модулю элемент вектора, полученного в результате умножения матрицы вторых производных вектор-функции F(X ) на компоненты вектора поправок X, найденные на k-й итерации. Доказано, что если не происходит вырождения матрицы Якоби УУР, итерационная процедура (1.22) обеспечивает сходимость вычислительного процесса для любых существующих режимов, а при расчете несуществующих режимов процесс вычислений сходиться к точке предельной гиперповерхности, где якобиан системы УУР равен нулю.

Суть способа непрерывного утяжеления можно проиллюстрировать на прмере расчета предельного режима в направлении Начальная величина параметра Т выбирается таким образом, чтобы выйти за пределы области устойчивости (существования решения). После первой итерации вследствие неучета нелинейных членов разложения функции F(X,Y ) в ряд Тейлора, кроме невязки Ty i по утяжеляемому параметру появляются невязки по другим координатам. По этой причине на второй итерации направление утяжеления несколько изменяется, осуществляется переход в следующую точку, где также имеет место отклонение от выбранной траектории Y(T ).

При достижении предельной поверхности LW (LF ) из-за наличия результирующих невязок по параметрам, не являющимся утяжеляемыми, полученная точка не будет лежать на заданной траектории утяжеления. Поэтому появляется необходимость в уточнении решения. При этом вычислительный процесс, на каждой итерации которого невязка по утяжеляемому параметру полагается нулевой, проходит вблизи предельной поверхности, где матрица плохо обусловлена.

Можно обойтись без процесса уточнения одним из следующих способов. Первый основан на дополнительной балансировке неутяжеляемых параметров на каждой итерации при выходе их за пределы допустимых значений. Другой способ связан с дополнительным, по сравнению с выбранным, уменьшением шага. Этим обеспечивается требуемая степень соответствия результирующей точки вычислительного процесса и искомой предельной точки. Однако обе рассмотренные модификации приводят к нежелательному увеличению количества итераций. Общей причиной указанных осложнений является линеаризация УУР при использовании итерационной процедуры (1.6). Указанный недостаток можно устранить с помощью применения вычислительных методов [124], которые позволяют увеличить шаг в выбранном направлении при обеспечении заданной точности по неутяжеляемым параметрам.

Они основаны на дополнительном учете старших членов разложения в ряд Тейлора вектор-функции X = (Y ), обратной к F(X ).

В результате разложения X представляется в виде где X F r – векторы поправок, зависящие от произведений компонент вектора с суммой степеней, равной r. Причем в точке решения X p следует принять Поправки X p вычисляются по рекуррентным выражениям:

где k – номер итерации; X(k ) – вектор r-х поправок; r = 1...3....

Компоненты векторов входящих в выражения для второй и третьей поправок, вычисляются по формуле – матрица Гессе от функции fi (X ), вычисленная в точке X (k ).

Первая поправка совпадает с определенной по методу Ньютона и соответствует линейной аппроксимации X от F. Вторые и последующие поправки соответствуют аппроксимации X полиномами более высокой степени, что и объясняет ускорение итерационного процесса при увеличении числа учитываемых поправок.

В представленном виде рассматриваемый метод вследствие плохой сходимости ряда при начальных приближениях, выбранных «вдали» от решения, не обеспеПредполагается, что УУР представимы в виде Y=F(X).

чивает большей надежности расчета «тяжелых» режимов, чем метод Ньютона. Повышение надежности метода связано с улучшением сходимости указанного ряда, и с этой целью производится ввод корректирующих коэффициентов, заключающийся в следующем. Вместо поиска точки решения X p, в которой F (X p ) = 0, определяется промежуточная точка X* со значением функции невязок Подстановка в (1.22а) показывает, что ввод корректирующих коэффициентов приводит к изменению поправок в r раз, где r – номер поправки.

Таким образом, Подбором всегда можно обеспечить сходимость ряда и, найдя промежуточную точку X*, перейти к поиску решения X P или следующей промежуточной точки, если ряд недостаточно хорошо сходится. В результате или будет получено решение, или процесс поиска «зависнет» над некоторой предельной точкой X L, если решение отсутствует. Последнее проявляется в том, что коэффициенты, обеспечивающие сходимость промежуточных рядов, начинают стремиться к нулю, а последовательность промежуточных точек – к точке X L, в которой якобиан УУР обращается в нуль.

В работе [144] показано, что надежная сходимость ряда обеспечивается при выборе по условию где 0 < < 1 – коэффициент, обеспечивающий заданную скорость сходимости ряда;

– нормы векторов первой и старшей поправок.

Очередное приближение вектора зависимых переменных вычисляется следующим образом:

Благодаря учету старших нелинейных членов разложения функции решения X = (Y ) в ряд Тейлора удается обеспечить такой ход итерационного процесса, при котором невязки по параметрам, не входящим в число утяжеляемых, всегда остаются в пределах допустимых значений.

Для дополнительного уменьшения отклонений от заданного направления Y, вызванных ограничением числа вычисляемых членов ряда, исF пользуется аппроксимация зависимости якобиана det от переменной Т, определяющей величину утяжеления. Изменяясь по ходу итерационного процесса, прогнозируемая величина будет стремиться к предельному значению утяжеляемого параметра. Это обеспечивает компенсацию всех невязок по мере приближения к предельному режиму.

Для реализации алгоритмов непрерывного утяжеления могут также использоваться эффективные методы второго порядка, описанные в работе [11], и усовершенствованные методы последовательных интервалов, учитывающие нелинейные члены разложения вектор-функции F(X) в ряд Тэйлора [4, 11].

Достоинство методов непрерывного утяжеления состоит в существенном сокращении вычислительных затрат по сравнению с методами дискретного утяжеления. Недостатки их заключаются в неприменимости при отличии пределов устойчивости и передаваемой мощности, а также в необходимости решения плохо обусловленных систем линейных уравнений при подходе к решению.

Проведенный выше анализ показывает, что несмотря на разработку целого ряда эффективных алгоритмов проблема экспресс-расчета предельных по статической устойчивости и передаваемой мощности режимов остается актуальной. Поэтому в настоящей работе предпринята попытка создания более общей методики определения предельных режимов, не требующая многошаговых вычислительных процедур и применимая как при совпадении, так и при отличии пределов передаваемой мощности и устойчивости, а также позволяющая избежать затруднений, связанных с решением плохо обусловленных СЛУ [105, 109, 270].

Эта методика основана на замене условия (1.23) эквивалентным соотношением, которое может быть представлено в двух видах:

где V – n-мерная вектор-функция; S = [s1... sn ], R = [r1 r2... rn ] венному значению.

Так как (1.7) и (1.8) определяют собственные вектора с точностью до постоянного множителя, одна из их компонент может быть принята произвольной, отличной от нуля. Например, rn = s n = 1. Другой способ доопределения уравнений (1.7) и (1.8), впервые предложенный в работе А.З. Гамма, состоит в задании длины, например единичной, для векторов R и S, т.е. в дополнении этих систем уравнениями:

Элементы матрицы Якоби являются функциями зависимых параметров Х, и поэтому, в отличие от (1.7), условия (1.23) и (1.24) дают аналитическое описание гиперповерхности предельных режимов Lw.

При этом определение предельных по статической устойчивости режимов сводится к совместному решению следующей системы уравнений, называемой в дальнейшем уравнениями предельных режимов:

или При использовании транспонированной матрицы вторые векторные уравнения в системах (1.25) и (1.26) заменяются соотношением (1.24).

или Методы решения задач реального времени в электроэнергетике/ А.З. Гамм, Ю.Н. Кучеров, С.И. Паламарчук и др. Новосибирск: Наука, 1990, с. 205-207.

где Y = Y 0 +TY – вектор регулируемых параметров.

При совпадении пределов устойчивости и передаваемой мощности, а также при расчете режимов, предельных по существованию, системы уравнений (1.25)...(1.28) преобразуются к виду:

– для прямой матрицы – для транспонированной матрицы При использовании той или иной формы записи УПР необходимо учитывать следующие обстоятельства.

1. В [136] показано, что некоторые компоненты векторов R и S могут быть равны и близки к нулю и закрепление такой компоненты может привести к несовместности уравнений. Поэтому при использовании форм (1.25) и (1.27) необходимо применять специальные приемы, обеспечивающие правильный выбор закрепленной компоненты, что несколько усложняет алгоритм формирования и решения УПР. При использовании форм (1.26), (1.28) подобная проблема не возникает. С другой стороны, УПР в формах (1.26), (1.28) линейны относительно неизвестных компонент векторов R и S, что позволяет исключить эти неизвестные из числа переменных, участвующих в итерациях, и тем самым снять некоторые затруднения, связанные с выбором начальных приближений для этих неизвестных.

2. Собственный вектор R, входящий в состав УПР, записанных в формах (1.27), (1.28), совпадает с направлением нормали к предельной поверхности [142], что позволяет получать дополнительную информацию о характеристиках рассчитываемого предельного режима. Например, оценивать близость выбранной траектории утяжеления к критической (наиболее опасной), отвечающей кратчайшему расстоянию в пространстве Y от исходной точки Y 0 до предельной гиперповрхности LW. С другой стороны, ниже будет показано, что применение прямой матрицы (УПР в формах (1.25), (1.26)) существенно упрощает алгоритм формирования матрицы Якоби Для решения УПР можно применить метод Ньютона, каждой итерации которого соответствует следующая система линейных уравнений (например, для системы УПР, записанной в форме (1.25)):

Существенным свойством УПР является невырожденность отвечающей им матрицы в точке X L. Покажем это на примере формы записи УПР, использующей вектор S. При этом справедливы следующие теоремы.

Когда пределы передаваемой мощности и устойчивости различны, матрица, отвечающая свободному члену характеристического полиX тельно, в точках, соответствующих пределам статической устойчивости, матрица будет неособенной, что в общем случае обеспечивает невыX при допущении о том, что вектор в предельных точках не является лиT тое допущение выполняется при реальных направлениях утяжеления практически всегда, так как равенство будет справедливым только в том случае, когда изменение режима идет «вдоль» предельной гиперповерхности LW, т.е. вектор Y лежит в гиперплоскости, касательной к ней. Изменение режима «вдоль» предельной гиперповерхности возможно при движении из точки Y0, лежащей вне указанной области, рис. 1.15. Однако задание такого направления утяжеления ( Y1 ) не имеет практического смысла, так как при вводе режимов в область существования или определении управляющих воздействий противоаварийной автоматики вектор Y = Y2 совпадает с направлением нормали к LW или близок к нему.

дена. Тогда должен существовать ненулевой собственный вектор K, отвеДля упрощения выкладок положим, что УУР представимы в виде Y = F ( X ).

чающий нулевому собственному значению этой матрицы.

Рис. 1.15. Изменение режима «вдоль» гиперповерхности LW При этом должны выполняться уравнения:

где K III = k2 n+1.

Первое векторное уравнение этой системы выполняется при сделанном выше допущении только при условии Тогда второе и третье матричные уравнения принимает вид Второе равенство в (1.29) выполняется только при условии K II = 0, при этом первое равенство выполняется только тогда, когда S=0, так как S не является собственным Таким образом, все компоненты вектора K нулевые и вырождения матрицы в точках решения, отвечающих предельной гиперповерхZ ности, не происходит.

противного.

Тогда должен существовать ненулевой собственный вектор K, отвечающий нулевому собственному значению этой матрицы. При этом должны выполняться уравнения:

где Первое векторное уравнение этой системы выполняется только при условии K I = S ; K III = 0. Тогда второе матричное уравнение принимает вид Рассмотрим вначале случай K II = 0. Равенство выполняется только тогда, когда S=0, так как S не является собственным черкиванием последнего столбца.

ной к предельной гиперповерхности, поэтому условие (1.31) будет выполняться в том случае, если вектор W1 (S, S ) будет лежать в той же гиперплоскости.

Разложим функцию F(X ) в ряд Тэйлора относительно X в направлении, совпадающем с собственным вектором S :

Второй член в этом разложении равен нулю, и при достаточно малом движению вдоль вектора S в координатах X будет соответствовать движение вдоль вектора W1 (S, S ) в координатах Y. Так как в координатах Y вектор W1 (S, S ) лежит в гиперплоскости, касательной к гиперповерхности предельных режимов, то в соответствии с (1.32) вектор S располагается в гиперплоскости, касательной к этой гиперповерхности в координатах X. Собственный вектор S является касательным к гиперповерхности предельных режимов только в точках ветвления решений УУР, являющихся особыми точками. Таким образом, за исключением указанных точек выроH ждения матрицы на предельной гиперповерхности не происходит.

ках гиперповерхности LW ограничивает область применения УПР, записанных в виде (1.25), (1.27). Поэтому более рациональным является способ записи, использующий для доопределения векторов S и R задание их длины. Сформулированные утверждения распространяются и на формы запиT T предельных режимов на примере двухузловой схемы электрической системы (рис. 1.16).

Уравнения установившегося режима при задании в узле 1 активной мощности PG 0 и неизменного модуля напряжения U1 можно записать так:

Предел устойчивости определяется условием:

т.е. U ' = 0.

Уравнения предельных режимов при утяжелении за счет изменения активной мощности генератора запишутся так:

Положив s2 = 1, можно получить выражение для определителя матрицы Якоби УПР:

Таким образом, в соответствии с приведенным доказательством определитель матрицы Якоби отличен от нуля. Экспериментальное подтверждение невырожденности УПР для схем общего вида приведнено ниже.

Таким образом, задача определения параметров предельного режима может быть сведена на основе УПР к задаче с неособенной матрицей. Это позволяет избежать затруднений, связанных с решением плохо обусловленных СЛУ, с которыми приходится сталкиваться при определении предельных режимов методами дискретного и непрерывного утяжеления.

1.3. Решение уравнений предельных режимов Ниже рассмотрены особенности решения УПР, записанных в формах, приведенных в предыдущем параграфе, методом Ньютона.

Форма 1. При использовании формы записи (1.25) линеаризованная система уравнений, решаемая на каждой итерации имеет вид:

или размерностью 2n 2n.

Расчетные формулы, применяемые для определения элементов матрицы, приведены в [157]. Путем непосредственного дифференX цирования легко убедиться в том, что где представляет собой матрицу без последнего столбца.

При совпадении пределов мощности и устойчивости матрицы и тождественны и элементы определяются по формулам, приведенным в [157].

При различии в способах моделирования генераторов и нагрузок для расчетов режимов и для определения устойчивости матрицы и не совпадают по следующим причинам. В режимных расчетах мощность нагрузки в диапазоне действия устройств регулирования напряжения под нагрузкой (РПН) принимается постоянной и производные и в матрице равны нулю. При соблюдении ограничений по реактивной мощности генераторов, напряжение на их шинах в расчетах режимов принимается низменным. Поэтому элементы, отвечающие генераторным узлам, вычисляются по формулам, приведенным в работе [157].

При определении же устойчивости мощность нагрузки принимается изменяющейся по статической характеристике и производные и не равны нулю, а определяются по выражениям (10) работы [157].

Генераторы в расчетах устойчивости моделируются неизменными э.д.с.

EG за реактансами xG, величина которых зависит от характеристик системы регулирования возбуждения. Кроме того, используются более сложные модели генераторов, учитывающие полную формулировку АРВ [124]. При этом отлична от нуля. Для определения этой производной запишем уравнения генераторной ветви:

где – угол между векторами EG и U; РТ – механическая мощность турбины.

Выражения для можно получить, составив полные дифференU циалы для PG и QG:

где Определив из (1.35) и подставив в (1.34), можно записать Элементы матрицы представляют собой частные производные от функций невязок уравнений (1.7). Определение элементов этой матрицы можно выполнить по выражениям, приведенным в работе [157]. Для унификации алгоритмов формирования УПР предлагается использовать следующий прием.

Возможно применение и более сложных моделей, учитывающих регулятор возбуждения в явном виде [124].

X, можно записать где При этом i есть матрица Гессе от составляющей wi векторфункции W:

Если функции wi, i=1...n, представимы полиномами не выше второй степени, что имеет место при задании нагрузок квадратичными статическими характеристиками и генераторов постоянными мощностями, то вектор D S (S,X) может быть записан в виде [124] вой степени – на нули.

Так как равенства (1.36) и (1.37) справедливы при любых X, то В более общем случае вектор-функция W непредставима в виде полиномов второго порядка. Тем не менее, можно воспользоваться преобразованием (1.38), записав W следующим образом:

где элементы W ( 2 ) представимы полиномами не выше второго порядка.

Соответственно:

войдут только вторые производные от мощностей генераторов и нагрузок по составляющим напряжений узлов, к которым они относятся. Эти производные вычисляются по выражениям, приведенным в работе [157].

Таким образом, все матрицы, входящие в (1.16), могут быть получены по алгоритму формирования матрицы Якоби УУР, что облегчает программную реализацию рассматриваемой методики определения предельных режимов.

матрицы, входящие в УПР, являются слабозаполненными и при решении этих уравнений могут использоваться эффективные алгоритмы исключения действий с нулевыми элементами [40].

При использовании транспонированной матрицы для записи УПР произведение становится не представимым в виде (1.21), что, однако, не ограничивает применение транспонированной формы записи.

При формировании и решении уравнений (1.25) необходимо учитывать следующие обстоятельства.

1. Уравнения V[X,Y(T ),S] = 0 линейны относительно неизвестных si, i=1...n–1, поэтому эти неизвестные могут быть исключены из числа переменных, участвующих в итерациях. Действительно, вторую группу уравнений (1.25) можно представить в виде:

или в матричной форме где W1 – первые n–1 уравнений системы (1.39); W2 – n-е уравнение (1.39).

Для очередных приближений параметров X значения si, i = 1...n– могут быть найдены из первого матричного уравнения системы (1.40):

2. При совпадении пределов мощности и устойчивости матрица F в точке решения является особенной, поэтому непосредственное исключение неизвестных X из уравнений (1.25) и приведение их к виду невозможно.

Исходя из сказанного предлагается следующий порядок решения.

Система уравнений (1.9) представляется в виде:

где в F1, V1 входят первые n–1 компоненты, а в F2, V2 – последние компоненты вектор-функций F и V.

При этом линеаризованная система запишется так:

В результате исключения из системы (1.42) неизвестных S ' можно записать:

где торого можно избежать, используя равенство:

умножается на обратную транспонированную матрицу, и полуS При практической реализации алгоритма обращение матриц не используется, а применяется их треугольное разложение (см. ниже).

ченный вектор умножается на ' проводить как в прямой, так и в транспонированной форме.

На каждой итерации метода Ньютона для очередных приближений X и T значения компонент вектора S ' могут быть найдены из решения уравнений При этом в системе (1.43) AV =0 и вычислительный процесс переводится из пространства переменных X, S ', T размерностью 2n в пространство – X, T, размерностью n+1. Тем самым снимаются некоторые затруднения, описанные ниже и связанные с выбором начальных приближений для После исключения X' система (1.43) приводится к двум уравнениям относительно неизвестных xn, T где Векторы R n, RT, R p определяются по выражениям:

По найденным из решения системы (1.45) значениям xn и T определяются поправки:

и происходит переход к следующей итерации.

большое число ненулевых элементов, для хранения которых требуются значительные объемы памяти ЭВМ. Эти затраты могут существенно сокращены при использовании методов триангуляции [40, 87], позволяющих виде произведений нижних L1, L2 и верхних H1, H2 треугольных матриц, также имеющих большое число ненулевых элементов, т.е.

При этом выражения, включающие обратные матрицы, преобразуются следующим образом.

На основании (1.40) определение собственного вектора сводится к решению системы уравнений которая с учетом (1.47) принимает вид получим Поскольку L 2 – нижняя, а H2 – верхняя треугольная матрицы, то B S определяется методом прямой подстановки, а S ' – методом обратной подстановки.

определение компонент которого требуется для нахождения A x в (1.44), может быть представлен так где вектор C A определяется из решения системы которая на основании (1.47) может быть записана в виде или Векторы R n, R T, R p, входящие в (1.46), определяются из решения следующих систем уравнений Форма 2. При использовании УПР, записанных в форме (1.26) линеаризованная система уравнений будет иметь вид:

где В сокращенном виде система (1.48) может быть записана так:

Решение системы (1.48) можно осуществить следующим образом.

Представим (1.48) в виде:

С помощью первой группы уравнений исключим из этой системы неизвестные X :

X X S T X X T X X

После исключения S система (1.49) приводится к виду:

При практической реализации алгоритма, также как описано выше, применяется треугольное разложение матриц.

Форма 3. Линеаризованная система уравнений в этом случае имеет вид матрицы, входящей в эту систему, определяется по выражениям Выполнив дифференцирование, можно записать где i – матрица Гессе от функции wi.

Исключение неизвестных из системы (1.50) производится по алгоритму, описанному применительно к форме 1.

Форма 4. Линеаризованная система при использовании этой формы записи УПР имеет вид:

где ся по алгоритму, применяемому для решения уравнений в форме 2.

1.4. Применение УПР для решения задач управления энергосистемами 1.4.1. Определение пределов передаваемой мощности и устойчивости и Для экспериментального исследования вычислительных характеристик решения УПР проведены многочисленные расчеты предельных режимов применительно к различным схемам энергосистем. На рис.

1.18…1.20 в качестве иллюстрации представлены результаты расчетов предельных режимов на основе решения уравнений предельных режимов применительно к схеме рис. 1.17, включающей 12 узлов 15 ветвей. Из рассмотрения представленных зависимостей изменения норм векторов невязок отдельных групп уравнений видно, что предельный режим рассчитывается за 4-5 итераций, рис. 1.18. Приведенная зависимость где N – число итераций, показывает, что в точке решения УПР не вырожH даются. Хотя величина определителя полной матрицы УПР в процесZ се итераций уменьшается, указанная матрица остается хорошо обусловленной, и потому вблизи решения обеспечивается надежная сходимость, о чем свидетельствуют приведенные на рисунках зависимости изменения невязок на итерациях. Из рис. 1.20 видно, что на первых итерациях якобиF ан det изменяется несущественно, затем начинает уменьшаться и на последнем шаге расчета меняет знак, что свидетельствует о наступлении предельного режима. Расчеты выполнялись на основе экспериментальных программ, реализующих основные алгоритмы решения уравнений предельных режимов, описанные в предыдущем параграфе.

Экспериментальные исследования вычислительных характеристик численных методов решения УПР проводились для решения следующих вопросов:

• оценка влияния способа задания координат УПР на сходимость вычислительных процессов решения УПР;

• разработка методики оптимального выбора начальных приближений для неизвестных;

• анализ точности решения УПР;

• оценка возможности расчета параметров предельного режима из точек Y0, лежащих за пределами области существования.

Ниже приведены основные результаты, полученные при решении сформулированных задач на основе серии вычислительных экспериментов.

Рис. 1.18. Изменение норм F = невязок на итерациях решения УПР, записанных в форме Рис. 1.19. Изменение норм F = невязок на итерациях решения УПР, записанных в форме Рис. 1.20. Изменение det и det на итерациях решения УПР, Изменение невязок и определителей на итерациях для УПР, записанных в форме (1.25) и (1.26), имеет аналогичный характер.

Применение УПР позволяет существенно повысить эффективность расчетов предельных режимов по сравнению с методами дискретного утяжеления. Об этом свидетельствуют результаты сопоставительных расчетов, приведенные в табл. 1.1.

узлов Уравнения установившегося режима, входящие в УПР, могут быть записаны в декартовых U i',U i'' или полярных (U i, i ) координатах.

Применение полярных координат приводит к некоторым дополнительным затратам процессорного времени, связанным с многократными вычислениями тригонометрических функций в процессе итерационного расчета. Тем не менее, полярные координаты успешно используются в программах расчета установившихся режимов [82, 282, 315], так как их применение обеспечивает в ряде случаев более стабильную сходимость итерационных процессов, чем применение декартовых координат.

Многочисленные расчеты, проведенные применительно к УПР, записанных как в полярных, так и в декартовых координатах, показали, что способ записи УУР практически не влияет на сходимость вычислительных процессов решения УПР (рис. 1.21).

Применение УПР, записанных в полярных координатах, будет, очевидно, эффективным при решении задач противоаварийного управления, в которых часто вводится допущение о неизменности модулей напряжений узлов сети во всех рассматриваемых режимах. Вследствии этого размерность УПР, записанных в полярных координатах, уменьшается вдвое по сравнению с уравнениями, записанными в декартовых координатах.

В состав вектора неизвестных для УПР входят следующие группы переменных:

Рис. 1.21. Влияние координат, применяемых для записи УУР, на сходимость вычислительных процессов решения УПР:

Для обеспечения надежной сходимости итерационного процесса решения УПР методом Ньютона начальные приближения Z 0 для Z должны быть достаточно близки к решению [92].

При решении задач оперативного управления в условиях полного использования пропускной способности основных связей выбор начальных приближений, как правило, не вызывает затруднений. Действительно, в этом случае точка исходного режима X0 располагается «вблизи» предельной гиперповерхности, а параметры X0, которые можно использовать в качестве начальных приближений для вектора X, периодически рассчитываются в рамках системы АСДУ по программам оценивания состояния ЭЭС [72, 75].

Несколько более сложным является выбор начальных приближений для вектора S (или R). Однако многочисленные расчеты применительно к различным схемам ЭЭС показали, что при выполнении условия близости точки X0 к предельной гиперповерхности LW начальные приближения для собственных векторов могут быть заданы весьма произвольно, например, все компоненты этих векторов могут быть принятыми равными единице.

Сказанное иллюстрируются рис. 1.22, на котором приведены графики изменения невязок на итерациях при расчете предельных режимов для схемы, показанной на рис. 1.17.

Если исходная точка Y0 соответствует «легкому» режиму, достаточно удаленному от гиперповерхности LW, то для обеспечения надежной сходимости вычислительных процессов решения УПР необходимо применение стартовых алгоритмов, обеспечивающих получение начальных приближений «вблизи» предела устойчивости.

Рис. 1.22. Ход итерационного процесса при использовании единичных начальных В качестве эффективного стартового алгоритма можно использовать методику «выстреливания» на предельную поверхность [143], основанную на решении уравнений или при заданном векторе S (или R).

При использовании для записи УУР декартовых координат узловых напряжений и задании нагрузок постоянными мощностями (что вполне допустимо для стартового алгоритма, не требующего большой точности моделирования) уравнения (1.51) и (1.52) линейны относительно неизвестных X и их решение требует весьма малых вычислительных ресурсов.

Сказанное иллюстрируется на рис. 1.23, на котором показан ход вычислительного процесса определения предельного режима для схемы рис. 1. при использовании описанного стартового алгоритма.

Кроме того, на рис. 1.24 показано построение точек сечения предельной гиперповерхности координатной плоскостью. При этом начальная точка вычислена с использованием описанного стартового алгоритма, а последующие точки Y (i +1) рассчитывались с использованием в качестве начальных приближений параметров X(i ), S (i ), T (i ) полученных при расчете предыдущей точки сечения. При достаточной близости точек i и i+1 расчет осуществляется за 3…6 итераций.

Рис. 1.23. Ход вычислительного процесса решения УПР при использовании стартового алгоритма для УПР, записанных в форме Рис. 1.24. Построение фрагмента предельной гиперповерхности (в скобках Система УПР состоит из двух групп уравнений. В первую входят уравнения установившегося режима, точность решения которых может быть задана на основании известных соображений.

Вторую группу образуют уравнения или невязки которых определяют погрешность Y нахождения параметров Непосредственная физическая интерпретация этих уравнений затруднена и потому не удается связать max vi с Y, т. е. с точностью расчета параметра TL.

Указанного затруднения можно избежать, если в ходе итерационного процесса наряду с проверкой точности решения УПР контролировать изменение параметра T. В общем случае небольшие изменения этого параметра еще не являются достаточным условием достижения YL. Так, например, известно, что применение методов простой итерации и Зейделя для определения режимов, близких к предельным по существованию, может приводить к небольшим изменениям зависимых переменных на итерациях, хотя сбалансированный режим еще не достигнут [107].

Однако, как показывает опыт расчета режимов, при использовании метода Ньютона малые и быстро уменьшающиеся изменения зависимых переменных свидетельствуют о подходе к решению. Сказанное иллюстрируется на рис. 1.25, где показан характер изменения параметра T на итерациях при определении X L, YL с помощью УПР.

Рис. 1.25. Изменение параметра Т на итерациях Для дополнительного контроля достижения предельного режима можно вычислять на каждой итерации значение якобиана и следить за его изменением. Аппроксимация на каждой итерации зависиK ) мости J = J(T) и сравнение точек T* ее перехода через нуль с текущим значением T ( K ) даст полную уверенность в том, что предельный режим найден с заданной точностью. Характер изменения J и T в процессе решения УПР показан на рис. 1.26.

Рис. 1.26 Изменение det и T в процессе итераций для трехузловой модели Определение det на итерациях не связано с дополнительными вычислительными затратами и легко осуществляются в процессе исключения неизвестных из системы (1.42), (1.48), (1.50).

В процессе решения задач выбора управляющих воздействий противоаварийной автоматики и при оптимизации режимов ЭЭС возникает задача ввода режима в область существования. В этом случае точка Y0 не принадлежит области, ограниченной LW и необходимо найти ближайший существующий режим в заданном направлении Y. Ясно, что такой режим будет соответствовать LW. Методика, основанная на применении УПР, позволяет решить сформулированную задачу. Сказанное иллюстрируется рис. 1.27, где показан ход итерационного процесса решения УПР при начальных приближениях, не соответствующих сбалансированному режиму.

Наряду с повышением эффективности расчетов применение УПР позволяет получать решение в случаях, когда существующие методы не применимы. Например, если автоматические регуляторы поддерживают неизменным напряжение на шинах при малых возмущениях, а в процессе утяжеления реактивная мощность генератора достигает технического ограничения и в дальнейшем не меняется, то с увеличением PG предельный по передаваемой мощности режим наступает раньше, чем предельный по устойчивости [273]. При этом точка X L лежит в области «вторых» решений УУР и ее определение требует применения специальных приемов. На практике в этих случаях производят замену вектора утяжеляемых параметров, переходя, как правило, от утяжеления по мощности к утяжелению по углу [63]. Сказанное иллюстрируется рис.1.28, где сплошная линия соответствует «основным», а пунктирная – «вторым» решениям УУР.

Рис. 1.27. Ввод режима в область существования Рассмотрим этот случай более подробно применительно к схеме, изображенной на рис. 1.16 (с учетом активных сопротивлений). Уравнения режима рассматриваемой ЭЭС при задании в узле 1 мощностей PG 0 и QG имеют вид:

На основании этих уравнений построены характеристики PG ( ) и 1.29 и 1.30). Они понадобятся в дальнейшем для анализа результатов расчета предельного режима.

Точки, обозначенные как (L ) на этих характеристиках, отвечают предельному по передаваемой мощности режиму, в котором Рис. 1.28. Изменение det в процессе утяжеления режима где Точки предельных режимов, отвечающие различным значениям QG, определяют на плоскостях PG, и PG, U1 линии, приведенные на рис. 1. и 1.30.

Уравнения режима, записанные с учетом характеристик рассматриваемой ЭЭС при малых возмущениях, имеют вид С учетом выражений (1.53) и (1.54) можно прийти к следующей системе уравнений предельных режимов:

где s 2 =1.

На рис. 1.31 и 1.32 показан ход вычислительного процесса решения этих уравнений. Полученные на первых трех итерациях значения PG,, U 1 практически соответствуют характеристикам мощности PG ( ) и PG (U 1 ). Пройдя на четвертой итерации через границу det =0, расчетные точки PG, и PG, U1 приближаются к поверхности предельных по устойчивости режимов и затем располагаются вблизи этой поверхности.

В процессе итераций происходит переход через поверхность, отвечающую точкам вырожденности матрицы Якоби УУР, и через границу усW тойчивости, соответствующую нулевому значению det (рис. 1.31).

Возможность такого перехода обеспечивается невырожденностью матриH в точках (L ) характеристик PG ( ) и PG (U 1 ) (рис..28). Этим же объясняется достаточно быстрое изменение небалансов на итерациях (рис.

1.32).

Рис. 1.32. Изменение нормы вектора H = F T F + V T V на итерациях При расчетах предельных режимов необходимо учитывать ограничения-неравенства, устанавливающие технически допустимые пределы изменения режимных параметров. Покажем, как осуществляется такой учет при решении УПР на примере наиболее часто встречающегося на практике вида ограничений где QGi, QGi – технически допустимые пределы изменения генерируемой реактивной мощности в узлах P U типа, определяемые параметрами и системами возбуждения подключенных к этим узлам генераторов.

Результаты экспериментальных исследований показали, что при использовании УПР наиболее эффективным является пост-итерационный способ учета ограничений. Учет же ограничений непосредственно в процессе итераций мало приемлем в виду того, что требует искусственного ограничения шага, что существенно увеличивает время расчета. Кроме того, эксперименты показали, что при поитерационном способе учета ограничений возможно нарушение сходимости вычислительного процесса.

При пост-итерационном учете ограничений решение УПР выполняется в два этапа. На первом – определяются параметры X L предельного режима без учета ограничений, рассчитываются мощности QGi и проверяются условия (1.55). Нарушенные ограничения фиксируются на верхних или нижних пределах. При этом в соответствующих узлах уравнение заменяется уравнением баланса реактивной мощности где g kj, b kj – активная и реактивная проводимости ветви, соединяющей k-й и j-й узлы; QHk – реактивная мощность нагрузки; U kZ – заданный модуль напряжения.

Осуществляется повторный расчет предельного режима, при этом в качестве начальных приближений можно использовать параметры X L, найденные на первом этапе. Расчеты, выполненные для схем ЭЭС, приведенных в данном параграфе, показали применимость описанной методики учета ограничений-неравенств при расчетах предельных режимов на основе УПР.

1.4.2. Аппроксимация границ области устойчивости Полученные выше уравнения предельных режимов могут использоваться для решения других задач, возникающих при управлении энергосистемами, в частности, для построения и аппроксимации границ области устойчивости. Области статической устойчивости, построенные в пространстве регулируемых параметров режима, используются при проектировании ЭЭС, а также для настройки некоторых типов устройств автоматической дозировки управляющих воздействий ПАА [18, 37, 44…55, 103, 104, 143, 276]. Построение указанных областей на основе широко применяемых методов определения пределов устойчивости требует значительных затрат времени ЭВМ из-за необходимости расчета серии последовательно утяжеляемых режимов для поиска точки, принадлежащей границе LW этой области. Получение аналитических выражений для LW методами [44, 49] также достаточно трудоемко. В работе [276] предлагается заменить поиск LW для сложной ЭЭС определением границы области экстремальных передаваемых мощностей ее упрощенной модели. Однако при получении упрощенных моделей ЭЭС возможна потеря значительной информации о реальных характеристиках ее схемы и режима.

Более общий подход к решению рассматриваемой задачи, использующий достаточно точные модели ЭЭС, может быть реализован на основе УПР. Границы LW являются гиперповерхностями в многомерном пространстве Y и лишены наглядности. Поэтому их, как правило, определяют с помощью сечений координатными плоскостями Y (обычно в координатах активных мощностей Pi, Pj ). Рассмотрим применение УПР для построения границы сечения LW в плоскости параметров ( yi, y j ). Зададимся направлением утяжеления Y = 00...0yi 0...0y j 0... и путем решения УПР найдем точку ( yi1, y j1 ) границы сечения LW в плоскости параметров ( yi, y j ). Изменяя направление утяжеления на yi( 1 ), y (j1 ), определим следующую точку предельного режима ( yi 2, y j 2 ).

При этом в качестве начальных приближений для расчета каждой новой точки могут использоваться значения параметров предельного режима, полученные на предыдущем этапе. Это возможно благодаря невырожденH ности матрицы в точках LW. Так, например, путем решения УПР быZ ли найдены точки границы LW для схемы, приведенной на рис. 1.9. Результаты расчетов приведены на рис. 1.30.

Кроме того можно использовать методику построения границы LW, основанную на непосредственном использовании соотношений [143]:

или для определения точек X L, принадлежащих поверхности LW. Рассмотрим, в качестве примера последнюю систему. Задавшись вектором R = R1 из решения уравнений можно найти соответствующие значения X L1. Поворот R1 в положение R обеспечивает определение следующей точки X L 2 (рис.1.31). Таким образом можно «обойти» всю предельную поверхность. Аналогично можно использовать и систему уравнений (1.56). Рассмотренный метод наиболее эффективен при использовании декартовых координат U i',U i'' узловых напряжений и задании нагрузок постоянными мощностями. В этом случае матрица не выше первой и, следовательно, при заданных значениях собственных векторов S и R уравнения (1.38) или (1.39) могут быть легко переформированы к линейным относительно X:

С помощью УПР можно также получить приближенное описание LW. Для этого воспользуемся методикой аппроксимации границ областей устойчивости [41], основанной на замене LW выпуклым многоугольником.

Покажем вначале, что вектор R совпадает с направлением нормали к предельной гиперповерхности, рис. 1.33. Для этого можно воспользоваться результатами, полученными в работах [44...55]. В этих работах показано, что линейная форма достигает экстремальных значений ( max L или min L ) в точках гиперповерхности LW (LF ). При этом уравнения определяют гиперплоскости, касательные к LW (LF ), и, следовательно, вектор является нормалью к этой гиперплоскости.

Предполагается, что уравнения W(X,Y)=0 представимы в виде Y=W(X).

Рис. 1.33. Определение точек предельной гиперповерхности на основе Экстремум L( X) достигается при условии Сравнивая это выражение с уравнением (1.57), можно сделать вывод о том, что вектор R совпадает с направлением нормали к предельной гиперповерхности.

Можно показать, также, что гиперплоскость, касательная к поверхности LW (LF ) в точке XL, натянута на вектор-столбцы матрицы. Уравнения (1.39) можно представить в виде:

столбцу, i=1...n, и потому лежат в касательной гиперплоскости.

Зная направление нормали в точке yi( k ), y(j k ), можно найти уравнение прямой, касательной к LW :

Составим аналогичные уравнения для ряда точек LW и получим ее кусочно-линейную аппроксимацию. Координаты вершин многоугольника определяются из совместного решения уравнений для смежных точек LW.

Например, для вершины “m” аппроксимирующего многогранника (рис.

1.34) координаты yi, y j определяются из системы уравнений:

Рис. 1.34. Кусочно-линейная аппроксимация границ области устойчивости где При использовании для записи УПР матрицы компоненты векX тора R определяются непосредственно в результате решения этих уравнений. Если же применять не транспонированную матрицу, то они могут быть найдены после окончания процесса итераций следующим образом.

Представим (1.57) в виде:

Полагая rn = 1, из первых n–1 уравнения системы (1.59) получим Рис. 1.35. Пример аппроксимация области устойчивости Рассмотренная методика аппроксимации реализована в виде экспериментальной программы для персональной ЭВМ, которая позволяет строить границу области устойчивости и аппроксимирующий многоугольник. В качестве иллюстрации на рис. 1.35 показана область устойчивости и аппроксимирующий многоугольник для схемы, приведенной на рис. 1.17.

Методы аппроксимации границ LW сложных ЭЭС, использующие кривыe второго порядка (квадрики) [18], являются более точными. Покажем, что использование УПР позволяет достаточно быстро определять коэффициенты этих квадрик и строить аппроксимирующую поверхность для В настоящем параграфе предлагается методика аппроксимации сечений гиперповерхности LW с помощью квадрик, описываемых уравнениями Запишем уравнение касательной к сечению, проходящей через точку M 0 yi0, y 0 (рис. 1.36):

где С учетом (1.62) уравнение (1.61) можно записать в виде или Из уравнения (1.60) можно получить следующее:

Так как вектор R совпадает с направлением нормали к гиперповерхности предельных режимов, уравнение касательной K (Y ) = 0 может быть записано в виде:

или Сравнивая (1.60) и (1.64) можно записать следующее:

Составив аналогичные уравнения для других точек LW можно получить расширенную систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов a11, a22, a12, c, которую можно записать в виде где Используя метод наименьших квадратов, можно получить На рис. 1.37 в качестве иллюстрации приведены результаты аппроксимации сечения гиперповерхности LW координатной плоскостью P P для схемы, показанной на рис. 1.17.

Рис. 1.37. Пример аппроксимации сечения LW 1. Предложена форма записи условия нарушения статической апериодической устойчивости сложных ЭЭС, основанная на использовании собственных векторов матрицы Якоби уравнений установившегося режима, записанных с учетом характеристик элементов ЭЭС при малых возмущениях. Не представимое аналитически условие равенства нулю определителя матрицы, отвечающей свободному члену характеристического полинома, сведено к аналитическим выражениям. На этой основе получены уравнения предельных режимов (УПР) и даны методы их решения.

2. Невырожденность матрицы Якоби УПР позволяет свести расчеты предельных режимов к задаче с неособенной матрицей и применить для ее решения известные итерационные методы.

3. На основе уравнений предельных режимов разработана методика определения пределов передаваемой мощности и устойчивости, не требующая расчета серии промежуточных режимов и применимая как в общем случае, когда указанные пределы различны, так и в частном – при их совпадении.

4. Использование разработанной методики эффективно при проектировании и эксплуатации электрических систем и, в особенности, при решении задач оперативного управления, связанных с многочисленными расчетами предельных режимов.

5. На основе вычислительных экспериментов показано, что применение уравнений предельных режимов позволяет существенно повысить эффективность расчетов пределов устойчивости и передаваемой мощности. При этом не возникает трудностей, связанных с решением систем линейных уравнений с плохо обусловленными матрицами.

6. Уравнения предельных режимов могут эффективно применяться для построения и аппроксимации (кусочно-линейной и нелинейной) областей устойчивости и их сечений координатными плоскостями.

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАПАСОВ СТАТИЧЕСКОЙ

АПЕРИОДИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ЭНЕРГОСИСТЕМ

2.1. Особенности оценки запасов статической устойчивости при В соответствии с требованиями «Руководящих указаний по устойчивости энергосистем» [277] запас статической устойчивости характеризуется коэффициентами запаса по активной мощности, передаваемой по данному контролируемому сечению электрической сети где P0 – значение передаваемой активной мощности через сечение в анализируемом сечении энергосистемы; PL – переток через это же сечение в предельном по устойчивости режиме; P – амплитуда нерегулярных колебаний перетока.