«A.f. KYCPAEB C.C. KYTAT EJIAA3 E 6YJI EBO3 HATI H bI 14 AHAJI 143 РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С. Л. СОБОЛЕВА Нестандартные методы анализа А. Г. Кусраев С. С. Кутателадзе ...»

HECTAHOAPTHbIE METONbI AHAfl IA3A

A.f. KYCPAEB

C.C. KYTAT EJIAA3 E

6YJI EBO3 HATI H bI 14

AHAJI 143

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С. Л. СОБОЛЕВА

Нестандартные методы анализа

А. Г. Кусраев

С. С. Кутателадзе

БУЛЕВОЗНАЧНЫЙ АНАЛИЗ

Новосибирск Издательство Института математики 1999 УДК 517.11+517.98 ББК 22.16 K94 Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Булевозначный анализ. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999. x+384 с.

(Нестандартные методы анализа).

ISBN 5–86134–059–5.

Булевозначный анализ один из наиболее разработанных разделов, составляющих современные нестандартные методы анализа.

В монографии детально излагается техника спусков и подъемов для булевозначных моделей теории множеств, позволяющая существенно расширить объем и область применимости математических утверждений. Основное внимание уделено изучению изображений классических функционально-аналитических объектов: банаховых пространств и алгебр. Вскрывается имманентная связь последних с решеточно нормированными векторными пространствами, введенными Л. В. Канторовичем. Книга ориентирована на широкий круг читателей, интересующихся современными приложениями нестандартного анализа.

Библиогр.: 261.

Ответственный редактор академик Ю. Г. Решетняк Редактор серии С. С. Кутателадзе Издание осуществлено при финансовой поддержке:

Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ, коды проектов 94–01–00001, 94–01–00529-а, 97–01–00001), Международного научного фонда (ISF, коды проектов NYU000, NYU300), Международной Соросовской образовательной программы (ISSEP, коды проектов 385 p, p98–1358).

K 1602080000–01 Без объявл.

Я82(03)– c А. Г. Кусраев, С. С. Кутателадзе, ISBN 5–86134–059– c Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Содержание От редактора серии vi Глава Введение iv Глава 1. Универсумы множеств § 1.1. Булевы алгебры

§ 1.2. Реализация булевых алгебр

§ 1.3. Теория фон Неймана Геделя Бернайса....

§ 1.4. Ординалы

§ 1.5. Иерархии множеств

Глава 2. Булевозначные универсумы § 2.1. Универсум над булевой алгеброй................

§ 2.2. Преобразования булевозначных универсумов...

§ 2.3. Перемешивание и принцип максимума..........

§ 2.4. Принцип переноса

§ 2.5. Отделимые булевозначные универсумы.........

Глава 3. Функторы булевозначного анализа § 3.1. Каноническое вложение

§ 3.2. Функтор спуска

§ 3.3. Функтор подъема

§ 3.4. Функтор погружения

§ 3.5. Взаимосвязи основных функторов..............

§ 4.1. Алгебраические B-системы

§ 4.2. Спуски алгебраических систем..................

§ 4.3. Погружение алгебраических B-систем..........

§ 4.4. Упорядоченные алгебраические системы........

§ 4.5. Спуски полей

Глава 5. Булевозначный анализ банаховых § 5.1. Векторные решетки

§ 5.2. Реализация векторных решеток................

§ 5.3. Решеточно нормированные пространства.......

§ 5.4. Спуски банаховых пространств................

§ 5.5. Пространства со смешанной нормой............

§ 6.1. Спуски банаховых алгебр

§ 6.2. AW -алгебры и AW -модули.................

§ 6.3. Булева размерность AW -модуля.............

§ 6.4. Реализация AW -модулей § 6.6. Вложимые C -алгебры

§ A.1. Язык теории множеств

§ A.2. Аксиоматика Цермело Френкеля.............

§ A.3. Категории и функторы

От редактора серии Нестандартные методы анализа в современном понимании состоят в привлечении двух различных стандартной и нестандартной моделей теории множеств для исследования конкретных математических объектов и проблем. Такие методы получили существенное развитие во второй половине XX века и сформировались в несколько направлений.

Первое из названных направлений вслед за его основоположником А. Робинсоном часто называют запоминающимся, хотя и несколько эпатажным, термином нестандартный анализ (теперь чаще говорят о классическом или робинсоновском нестандартном анализе). Робинсоновский нестандартный анализ характеризуется широким использованием давно известных в практике естествознания, но долгое время запрещенных в математике XX века концепций, связанных с представлениями об актуальных бесконечно больших и актуальных бесконечно малых величинах. В этой связи сейчас за ним закрепилось наименование инфинитезимальный анализ, выразительно напоминающее о классическом анализе бесконечно малых.

Инфинитезимальный анализ бурно развивается и уже внес капитальные изменения в систему общематематических представлений. Прежде всего это связано с тем, что в нем предложено новое понимание метода неделимых, восходящего к глубокой древности, и осуществлен синтез подходов к дифференциальному и интегральному исчислениям, восходящих к их основоположникам. В наши дни инфинитезимальный анализ находит широкое распространение и проникает во все разделы современной математики. Наибольшие изменения происходят в этой связи в негладком анализе, в теории вероятностей и теории меры, в качественной теории дифференциальных уравнений и в математической экономике.

использованием таких терминов, как спуски и подъемы, циклические оболочки и миксинги, B-множества и изображения объектов в моделях. Развитие этого направления, становление которого связано со знаменитыми работами П. Дж.

Коэна по гипотезе континуума, привело к принципиально новым идеям и результатам в ряде направлений функционального анализа, прежде всего в теории пространств Канторовича, в теории алгебр фон Неймана, в выпуклом анализе и теории векторных мер.

В монографии [71], изданной в 1990 году Сибирским отделением издательства Наука и переизданной в 1994 году издательством Kluwer Academic Publishers на английском языке, впервые с единых методологических позиций были рассмотрены оба указанных выше направления, составляющих ядро современных нестандартных методов анализа.

Читательский интерес и стремительное развитие самой дисциплины поставили задачу отразить современное состояние дел, изложив новые темы и результаты. При работе над реализацией проекта выяснилось, что остаться в прежних рамках одной книги уже невозможно. В этой связи было принято решение о подготовке серии монографий под общим названием Нестандартные методы анализа, каждая из которых трактует различные аспекты этого математического направления. Настоящее издание, открывающее серию, посвящено булевозначному анализу. Наряду с систематическим изложением соответствующего формального аппарата, большое место в книге уделено анализу классических объектов функционального анализа и, прежде всего, банаховых пространств и алгебр.

Введение Как следует из названия, настоящая книга посвящена булевозначному анализу. Так называют аппарат исследования произвольных математических объектов, основанный на сравнительном изучении их вида в двух моделях теории множеств, конструкции которых основаны на принципиально различных булевых алгебрах. В качестве этих моделей используются классический канторов рай в форме универсума фон Неймана и специально построенный булевозначный универсум, в котором теоретико-множественные понятия и утверждения получают весьма нетрадиционные толкования. Одновременное использование двух моделей для изучения одного объекта фамильная черта так называемых нестандартных методов современной математики. В этой связи булевозначный анализ принято относить к разновидностям нестандартного анализа.

Своим возникновением булевозначный анализ обязан выдающемуся достижению П. Дж. Коэна, установившему в начале шестидесятых годов непротиворечивость добавления отрицания гипотезы континуума CH к аксиомам теории множеств Цермело Френкеля ZFC. Вместе с более ранним результатом К. Гделя о совместимости CH с ZFC, установленный П. Дж. Коэном факт означает независимость CH от обычных аксиом ZFC. Шаг, совершенный П. Дж. Коэном, связан с преодолением им принципиальной трудности, отмеченной Дж. Шепердсоном и отсутствующей в случае, разобранном К. Гделем. Доказательство непротиворечивости (ZFC) + (¬ CH) невозможно с помощью стандартных моделей. Точнее говоря, выбрав какую-либо реализацию универсума фон Неймана, мы не можем указать в ней подкласс, служащий моделью (ZFC)+(¬ CH), если лежности. П. Дж. Коэну удалось предложить новый мощный способ построения невнутренних нестандартных моделей ZFC, названный им методом форсинга. Термин форсинг часто переводят как вынуждение. Возможно, точнее говорить в этом контексте о методе принуждения. Использованные П. Дж. Коэном приемы применение аксиомы существования стандартной транзитивной модели для ZFC и насильственное превращение последней в принципиально нестандартную модель методом принуждения вступают в противоречие с обычной математической интуицией, исходящей, по словам самого П. Дж. Коэна, из нашей веры в естественную почти физическую модель математического мира [52, с. 202].

Трудности в восприятии результатов П. Дж. Коэна задолго до их появления прекрасно выразил Н. Н. Лузин в знаменитом докладе Современное состояние теории функций действительного переменного, сделанном им на Всероссийском съезде математиков в 1927 г.:

Первое, что приходит на ум, это то, что установление мощности continuum’а есть дело свободной аксиомы, вроде аксиомы о параллелях для геометрии. Но в то же время, как при инвариантности всех прочих аксиом геометрии Евклида и при варьировании аксиомы о параллельных меняется самый смысл произнесенных или написанных слов:,,точка“,,,прямая“, etc. смысл каких слов должен меняться, если мы делаем мощность continuum’а подвижной на алефической шкале, все время доказывая непротиворечивость этого движения? Мощность continuum’а, если только мыслить его как множество точек, есть единая некая реальность и она должна находиться на алефической шкале там, где она на ней есть; нужды нет, если определение этого места затруднительно или, как прибавил бы J. Hadamard,,,даже невозможно для нас, людей“ [84, с. 11–12].

Весьма характерный взгляд сформулировал П. С. Новиков:

...возможно (я сам придерживаюсь этого мнения), что результат Коэна имеет чисто отрицательное значение и обнаруживает конец развития,,наивной“ теории множеств в духе Кантора [96, с. 209].

Стремление облегчить указанные трудности в восприятии результатов и методов П. Дж. Коэна привело Д. Скотта и Р. Соловея к построению булевозначных моделей ZFC, обладающих привлекательной наглядностью с точки зрения классических математиков и в то же время приспособленных для получения теорем о независимости. Аналогичные модели были построены в тот же период начала 60-х годов П. Вопенкой.

Из уже сказанного видно, что булевозначные модели, приводящие к тем же целям, что и построенные П. Дж. Коэном с помощью форсинга, должны быть в каком-то смысле нестандартными, обязаны обладать чертами, отсутствующими у общепринятых моделей.

Качественно говоря, в понятии булевозначной модели присутствует новая концепция моделирования, которую можно назвать заочным моделированием или моделированием по телефону. Поясним суть этой концепции ее сравнением с традиционными подходами. В классическом смысле, сталкиваясь с двумя моделями одной теории, мы пытаемся установить взаимнооднозначное соответствие между фигурирующими в них универсумами. Если такую биекцию удается подобрать, переводя предикаты и операции одной модели в их аналоги в другой, мы говорим об изоморфности моделей. Таким образом, описанное представление об изоморфизме подразумевает очное сопоставление моделей предъявление биекции универсумов.

Представим себе, что мы лишены возможности одновременного физического поэлементного сравнения моделей, однако можем обмениваться информацией с обладателем другой модели, например, по телефону. В процессе общения легко установить, что собеседник с помощью своей модели изучает объекты, которые он именует знакомыми нам словами, говоря о множествах, их сравнении и принадлежности. Поскольку нас интересует ZFC, мы спрашиваем у него истинны ли аксиомы ZFC? Поработав в своей модели, он сообщает да, истинны. Убедившись также, что он использует те же правила вывода, что приняты нами, мы должны признать, что имеющаяся у него модель это модель интересующей нас теории.

Полезно подчеркнуть, что сделав такой вывод, мы ничего не узнали ни об объектах, составляющих его модель, ни о процедурах, с помощью которых он отличает истинные утверждения от ложных.† Итак, новая концепция моделирования связана как с отказом от отождествления предметных областей, так и с допуском новых процедур верификации утверждений.

При построении булевозначной модели мы начинаем с выбора некоторой полной булевой алгебры, краеугольного камня булеE, Eir и Em” из знаменитого Personal Pronoun Pronouncement представляются существенно более лучшим набором местоимений для данного абзаца возначного универсума и области прибытия оценки истинности, сопоставляющей формуле ZFC некоторый элемент алгебры B. Точнее говоря, задав B, мы строим универсум V(B), призванный служить универсумом рассмотрения теории ZFC. Каждой формуле, переменные которой теперь пробегают V(B), сопоставляется элемент [[]], лежащий в исходной булевой алгебре B. Величину [[]] называют оценкой истинности формулы. Оценки истинности используются для анализа формул ZFC. При этом оказывается, что теоремы ZFC получают наибольшую возможную оценку 1B, и мы объявляем их верными внутри V(B).

Детальное изложение упомянутых конструкций занимает главы 1–3 этой книги. Приводимые конструкции и, прежде всего, процедуры спуска и подъема, осуществляющие функториальные связи между универсумом фон Неймана V и булевозначным универсумом V(B), составляют техническую основу применений булевозначных моделей к задачам анализа. Необходимые детали аксиоматики теории множеств Цермело Френкеля для удобства чтения помещены в Приложении. Там же собраны простейшие сведения из теории категорий.

В заключительных главах мы демонстрируем важнейшие возможности, доставляемые булевозначным анализом, способы превращений функциональных пространств в числовые множества, операторов в функционалы, вектор-функций в обычные отображения и т. п. Разумеется, отбор объектов анализа и круга приложений к функциональному анализу во многом обусловлен нашими личными научными интересами.

Мы начинаем с детального изучения булевозначных реализаций общих алгебраических систем, которому посвящена глава 4. Теория алгебраических систем, заложенная в трудах А. И. Мальцева и А. Тарского, относится к числу важнейших общематематических достижений. В этой связи ясно, что сведения об булевозначном изображении таких систем необходимы для приложений к любому содержательному разделу математики. Столь же универсальное значение имеют конструкции, представленные в главе 5. Математика, во всяком случае математика как наука о бесконечном, немыслима без вещественных чисел. Булевозначный анализ вскрыл особую роль расширенного пространства Канторовича. Обнаружилось, что каждое из таких пространств служит равноправной моделью поля шетки, называемые также K-пространствами или пространствами Канторовича, были введены в тридцатые годы Л. В. Канторовичем как полезная абстракция поля вещественных чисел. Для новых объектов Л. В. Канторович выдвинул эвристический принцип переноса, состоящий в том, что элементы K-пространства аналогичны вещественным числам, а утверждениям о функционалах отвечают теоремы об операторах со значениями в K-пространствах. Время позволило вложить точный смысл в принцип Канторовича. Соответствующий аппарат, и в первую очередь основополагающая теорема Е. И. Гордона, составляет ядро главы 5. Здесь же мы подробно излагаем проблему булевозначной реализации центрального объекта классического функционального анализа банахова пространства.

Оказывается, что решеточно нормированные векторные пространства, также открытые при зарождении теории K-пространств, служат изображениями традиционных нормированных пространств.

Глава 6 посвящена теории операторных алгебр. Булевозначный анализ таких алгебр направление исследований, инициированное пионерскими работами Г. Такеути, интенсивно развивается в последние десятилетия. Изложение строится на основе результатов главы 4 о булевозначной реализации решеточно нормированных пространств. На этом пути возникает единый метод исследования таких аналитических объектов, как инволютивные банаховы алгебры, банаховы модули, алгебры Йордана Банаха, алгебры неограниченных операторов и т. п.

Монография ориентирована на широкий круг читателей, интересующихся современными теоретико-модельными методами в их приложении к функциональному анализу. Мы старались сделать книгу возможно более независимой, хотя полностью осуществить замысел не удалось ввиду большого количества математических идей и объектов, вовлеченных в изложение. Надеемся, что читатель поймет наши проблемы и простит пробелы и неточности.

Выполняя приятный долг, мы выражаем благодарность за помощь в подготовке книги своим коллегам по Институту математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук и Институту математики и информатики Северо-Осетинского научного центра.

Универсумы множеств В кредо наивной теории множеств входит мечта о канторовом рае об универсуме мире множеств, содержащем все мыслимые в обособленном виде образования, каждое из которых представляет собой соединение в некое целое M определенных хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления [37, с. 173].

Реалистические приближения к недостижимому идеалу адекватные формальные схемы, позволяющие предъявлять весьма богатый спектр конкретных множеств, оставаясь в комфортных условиях достаточной логической строгости, являются предметом современной теории множеств.

Наиболее существенной частью современных аксиоматических теорий множеств является построение универсумов, дающих удовлетворительные для тех или иных нужд аппроксимации снизу для мира наивных множеств. В рамках соответствующих аксиоматик удается точно обосновать и детально осмыслить качественные феноменологические принципы, закладываемые в стандартные и нестандартные математические модели.

В настоящее время наиболее разработанной и общеупотребительной является теория множеств Цермело Френкеля. В ее рамках мы и ведем изложение. Если читатель пожелает восстановить детали языка и аксиоматики этой теории, он может обратиться к Приложению.

В этой главе изложен формальный аппарат построения универсумов множеств как результата специфических трансфинитных проГл. 1. Универсумы множеств цессов создания так называемых кумулятивных иерархий. Наиболее важным для дальнейшего является детальное описание конструкции универсума фон Неймана.

С не меньшей тщательностью анализируется статут классов множеств в рамках формальной системы, восходящей к Дж. фон Нейману, К. Гделю и П. Бернайсу и являющейся консервативным расе ширением теории Цермело Френкеля.

1.1. Булевы алгебры В текущем параграфе дан эскиз нужных для дальнейшего сведений из теории булевых алгебр. Более полное изложение имеется в монографиях [17, 101, 151, 164, 191].

1.1.1. С целью фиксации терминологии напомним некоторые хорошо известные понятия.

Под упорядоченным множеством понимают пару (M, ), где отношение порядка на некотором M (см. П.1.10). Разумеется, тот же термин относят к основному множеству M. В дальнейшем мы применяем эту стандартную практику во всех аналогичных случаях без особых оговорок.

Верхняя граница подмножества X в упорядоченном множестве меньшую верхнюю границу подмножества X называют его точной верхней границей, или верхней гранью, или супремумом и обозначают sup(X) или sup X. Иначе говоря, a = sup(X) в том и только в том случае, если a верхняя граница X и a b для любой верхней границы b множества X.

Двойственным образом, переходя от к 1, определяют нижнюю границу и точную нижнюю границу inf(X) или inf X, которую называют инфимумом множества X. Если точная (верхняя или нижняя) граница данного подмножества существует, то она единственна.

Упорядоченное множество M называют решеткой, если любое двухэлементное подмножество {x, y} множества M имеет точные границы x y := sup{x, y} и x y := inf{x, y}. Для подмножества X решетки L приняты следующие обозначения:

Здесь X подмножество L, а (x )A семейство элементов L;

наконец, x1,..., xn некоторые элементы L.

В решетке L возникают бинарные операции (x, y) x y и (x, y) x y, для которых наблюдается (1) коммутативность:

(2) ассоциативность:

Из (2) индукцией выводится, что в решетке всякое непустое конечное множество имеет точные границы. Если же точные границы существуют у каждого подмножества решетки L, то L называют полной решеткой.

Говорят, что решетка L дистрибутивна, если в ней выполнены следующие соотношения:

Если существует наименьший (наибольший) элемент решетки, то он называется нулем (соответственно единицей). Нуль и единица в решетке L обозначаются символами 0L, 1L или просто 0, 1, если ясно, о какой решетке L идет речь. Отметим, что 0 и 1 являются нейтральными элементами:

В соответствии с общими определениями = sup := 0, = inf := 1. Дополнение x элемента x в решетке L с нулем и единицей определяют как такой элемент x L, что Элементы x и y в L называют дизъюнктными, если x y = 0.

Ясно, что каждый элемент x дизъюнктен любому своему дополнению x. Отметим, наконец, что если всякий элемент в L имеет хотя бы одно дополнение, то об L говорят как о решетке с дополнениями.

Само собой, далеко не всякая решетка есть решетка с дополнениями.

1.1.2. Булевой алгеброй называют дистрибутивную решетку с дополнениями и наибольшим и наименьшим элементами. В частности, в булевой алгебре B по определению имеются нуль 0 := 0B и единица 1 := 1B.

На первый взгляд данное определение может показаться несколько странным. В самом деле, из него сразу не видно, по каким причинам дистрибутивную решетку принято называть алгеброй, ведь слово алгебра относится к общепринятым (ср. алгебра Ли, банахова алгебра, C -алгебра и т. п.). Возникшее недоумение легко развеивается, ибо в действительности булева алгебра служит алгеброй над двухэлементным полем. Принципиальная важность этого обстоятельства найдет частичное отражение в следующем параграфе. Вместе с тем вполне естественно, что в разных контекстах на булевы алгебры удобно смотреть с разных точек зрения.

Ниже булева алгебра будет интересовать нас преимущественно как дистрибутивная решетка с дополнениями. Стоит подчеркнуть, что важные для функционального анализа конкретные булевы алгебры часто возникают именно как дистрибутивные решетки с дополнениями.

Отметим, что формальный пример булевой алгебры дает одноэлементная решетка, т. е. множество вида {x} с очевидным порядком x x. Эту алгебру называют вырожденной. Вырожденная булева алгебра естественна как алгебраическая система, но представляется нелепой простушкой в интересующем нас контексте булевозначного анализа. Простейшей невырожденной булевой алгеброй служит двухэлементная решетка {0, 1}, 0 = 1, с порядком: 0 1, 0 0, 1 1. Двухэлементная решетка играет существенную роль в последующих главах. В связи со сказанным условимся, говоря о булевой алгебре B, всегда считать, что 0B = 1B, т. е. исключим из рассмотрения вырожденные алгебры.

В булевой алгебре B каждый элемент x B имеет единственное дополнение, обозначаемое символом x. Возникающее отображение x x (x B) идемпотентно (т. е. ( x B) (x := (x ) = x)) и осуществляет дуальный изоморфизм или антиизоморфизм B на себя (т. е. является изоморфизмом упорядоченных множеств (B, ) и (B, 1 )). В частности, справедливы формулы де Моргана:

1.1.3. Три операции, и, заданные в произвольной булевой алгебре B, называют булевыми. Можно дать эквивалентное определение булевой алгебры B, охарактеризовав ее как универсальную алгебру (B,,,, 0, 1) с двумя бинарными операциями и, с одной унарной операцией и двумя выделенными элементами нульарными операциями 0 и 1, удовлетворяющими условиям: (1) операции и коммутативны и ассоциативны (1.1.1 (1, 2)); (2) операции и двояко дистрибутивны относительно друг друга (1.1.1 (3, 4));

(3) элементы x и x взаимно дополнительны (1.1.1 (6)); (4) 0 и 1 являются нейтральными элементами для операций и соответственно (1.1.1 (5)).

Определив такую универсальную алгебру B, можно ввести в ней отношение порядка, полагая x y, если x y = x. При этом окажется, что (B, ) дистрибутивная решетка с дополнениями, в которой и совпадают с решеточными операциями, с дополнением, а 0 и 1 наименьший и наибольший элементы. В литературе можно встретить много эквивалентных систем аксиом, характеризующих булевы алгебры.

1.1.4. Используя основные булевы операции, и, вводят ряд других:

Приведем несколько легко проверяемых соотношений, которые неоднократно применяются в дальнейшем:

Стоит подчеркнуть, что операция, называемая симметрической разностью, обладает свойствами метрики:

При этом относительно такой метрики решеточные операции становятся нерастягивающими, а дополнение изометрией:

1.1.5. Булеву алгебру B называют полной (-полной), если любое множество (любое счетное множество) в B имеет точные границы. Вместо -полных алгебр чаще говорят просто о -алгебрах.

С полной булевой алгеброй B связаны отображения, : P(B) B, сопоставляющие множеству в B его супремум и инфимум соответственно. Эти отображения иногда именуют бесконечными операциями. Для них справедливы многие полезные соотношения. Выделяют бесконечные дистрибутивные законы:

Из (1), (2) вытекают следующие часто используемые равенства:

Обеспечены также коммутативность и ассоциативность точных границ, в частных случаях отмеченные ранее в 1.1.1 (1, 2):

где X B ( A). Подчеркнем, что правила (1)–(6) имеют место в произвольной булевой алгебре, а (7)–(10) в любом упорядоченном множестве с очевидными оговорками о существовании точных границ.

1.1.6. Рассмотрим некоторые способы формирования булевых алгебр.

(1) Непустое подмножество B0 булевой алгебры B называют подалгеброй B, если B0 замкнуто относительно булевых операций Относительно индуцированного из B порядка подалгебра B0 будет булевой алгеброй с теми же нулем и единицей, что и у B. В частности, B0 := {0B, 1B } подалгебра B.

Подалгебру B0 B именуют правильной (-правильной) в том случае, когда для любого множества (любого счетного множества) A B0 точные границы A и A, существующие в B, входят в B0.

Пересечение произвольного семейства подалгебр снова будет подалгеброй. То же верно и для правильных (-правильных) подалгебр, что делает корректным следующее определение. Наименьшую подалгебру алгебры B, содержащую непустое подмножество M B, называют подалгеброй, порожденной множеством M. Аналогично вводят правильную (-правильную) подалгебру, порожденную множеством M.

(2) Под идеалом булевой алгебры B понимают непустое множество J B, удовлетворяющее условиям Примерами идеалов служат множества Ba := {x B : x a}, где a B. Такие идеалы называют главными. Если 0 = e B, то главный идеал Be является самостоятельной булевой алгеброй относительно индуцированного из B порядка. Роль единицы в Be играет элемент e. Решеточные операции наследуются из B, а дополнение в Be имеет вид x e x (x B).

Идеал J называют собственным, если J = B. Правильный идеал B часто именуют полосой или компонентой B.

(3) Возьмем булевы алгебры B и B. Отображение h : B B именуют (булевым) гомоморфизмом, если для любых x, y B выполняются равенства Гомоморфизм h является изотонным (x y h(x) h(y)) отображением. Если h гомоморфизм, то образ h(B) алгебры B подалгебра B. Если h биективен, то его называют изоморфизмом, а сами булевы алгебры B и B изоморфными. Об инъективном гомоморфизме принято говорить как о мономорфизме. Гомоморфизм называют полным, если он сохраняет точные грани всех тех подмножеств, у которых они есть.

Пусть C произвольное множество и определена некоторая биекция h : B C. Тогда в C можно ввести порядок, полагая h(x) h(y) в том и только в том случае, если x y. При этом C превратится в булеву алгебру, а h станет изоморфизмом булевых алгебр.

(4) Пусть J собственный идеал булевой алгебры B. Введем отношение эквивалентности в B правилом Обозначим через каноническое (фактор-)отображение алгебры B на фактор-множество B/J := B/. Для классов эквивалентности u, v B/J положим u v, если существуют элементы x u и y v такие, что x y. Тем самым в B/J определено отношение порядка. При этом B/J становится булевой алгеброй, которую называют фактор-алгеброй алгебры B по идеалу J. Возникающие в B/J булевы операции таковы, что становится гомоморгомоморфизм, то ker(h) := {x B :

физмом. Если h : B B h(x) = 0} будет идеалом и существует единственный мономорфизм g : B/ ker(h) B, для которого g = h, где : B B/ ker(h) фактор-гомоморфизм. Тем самым всякий гомоморфный образ булевой алгебры изоморфен ее фактор-алгебре по подходящему идеалу.

(5) Возьмем семейство булевых алгебр (B )A. Снабдим произведение B := A B покоординатным отношением порядка, полагая x y для x, y B, если x() y() при всех A.

Тогда B булева алгебра. Булевы операции в B совпадают с соответствующими покоординатными операциями в алгебрах B. Нуль 0B и единица 1B в B определяются равенствами 0B () := 0 и алгебру B называют декартовым произведением семейства булевых алгебр (B )A.

(6) Вновь рассмотрим семейство булевых алгебр (B )A.

Существуют булева алгебра B и семейство мономорфизмов : B B ( A), удовлетворяющие условиям: (1) семейство подалгебр ( (B ))A алгебры B независимо, т. е. для любого конечного набора ненулевых элементов xk k (Bk ), где 1,..., n A и k = l при k = l, выполняется x1... xn = 0; (2) подалгебра в B, порожденная объединением всех (B ), совпадает с B. Если булева алгебра B и семейство мономорфизмов : B B ( A) удовлетворяют тем же условиям (1) и (2), то существует изоморфизм h алгебры B на алгебру B такой, что h = ( A). Пару (B, ( )A ) называют булевым (или тензорным) произведением семейства (B )A и обозначают символом A B.

(7) Пополнением булевой алгебры B именуют пару (, A), если выполняются условия:

(c) правильная подалгебра в A, порожденная множеством (B), совпадает с A.

Разумеется, термин пополнение относят и к самой алгебре A.

Говорят, что пары (, A) и (, A ) изоморфны, если существует изоморфизм h : A A такой, что h =. Для любой булевой алгебры существует единственное с точностью до изоморфизма пополнение, которое можно получить, например, классическим методом сечений (восходящим к Дедекинду).

1.1.7. Примеры. (1) Для непустого множества X упорядоченГл. 1. Универсумы множеств ное по включению множество подмножеств P(X) есть полная булева алгебра, которую изредка называют булеаном X. При этом булевы операции совпадают с теоретико-множественными операциями объединения, пересечения и дополнения.

(2) Пусть X топологическое пространство. Множество всех открыто-замкнутых (т. е. открытых и замкнутых одновременно) подмножеств пространства X, упорядоченное по включению, является подалгеброй булеана P(X). Эту подалгебру мы обозначим символом Clop(X). Булевы операции в Clop(X) наследуются из P(X), а значит, совпадают с теоретико-множественными. Однако Clop B(X) не есть правильная подалгебра P(X), т. е. бесконечные операции в P(X) и Clop(X) могут существенно отличаться.

(3) Замкнутое подмножество F топологического пространства X называют регулярным, если F = cl(int(F )), т. е. если F совпадает с замыканием множества своих внутренних точек. Аналогично, регулярное открытое множество G определяется соотношением G = int(cl(G)). Пусть RC (X) и RO (X) множества регулярных замкнутых подмножеств и регулярных открытых подмножеств топологического пространства X. Множества RC (X) и RO (X), упорядоченные по включению, служат полными булевыми алгебрами.

Отображение F int(F ) (F RC (X)) устанавливает между ними изоморфизм. Алгебры RC (X) и RO (X) содержатся в булеане P(X), но не являются его подалгебрами. Так, например, в RC (X) булевы операции имеют вид (4) Пусть Bor(X) борелевская -алгебра топологического пространства X (т. е. -правильная подалгебра булеана P(X), порожденная топологией). Рассмотрим в Bor(X) идеал N, состоящий из всех тощих множеств (т. е. множеств первой категории). Тогда фактор-алгебра Bor(X)/N является полной булевой алгеброй.

Ее называют алгеброй борелевских множеств по модулю тощих множеств. Изоморфная алгебра получится, если вместо Bor(X) взять -алгебру множеств, обладающих свойством Бэра. (Множество M X обладает свойством Бэра, если для некоторого открытого G X симметрическая разность M G есть тощее множество.) крытых тощих множеств, то указанная алгебра изоморфна алгебре регулярных замкнутых множеств RC (X).

(5) Пусть B это -полная булева алгебра и задана положительная счетно-аддитивная функция µ : B R. Счетная аддитивность означает, как обычно, что для любой последовательности (xn ) попарно дизъюнктных элементов из B. Такую функцию µ принято называть (конечной) мерой. Положим N := {x B : µ(x) = 0}. Тогда N это полный идеал. На фактор-алгебре B := B/N существует единственная счетно-аддитивная функция µ, для которой µ = µ, где :BB фактор-гомоморфизм. Алгебра B является полной, а функция µ строго положительной, т. е. µ(x) = 0 x = 0. Если (x, y) := µ(x y), то (B, ) полно.

Пусть (X, B, µ) пространство с конечной мерой, т. е. X непустое множество, B это -полная подалгебра в P(X), а µ мера. Тогда алгебру B принято называть алгеброй измеримых множеств по модулю множеств нулевой меры.

(6) Пусть (X, B, µ) то же, что и в (5). Обозначим символом M (µ) := M (X, B, µ) пространство классов эквивалентности µизмеримых почти всюду конечных функций на X. Измеримые функции эквивалентны, если они могут принимать различные значения лишь на множестве нулевой меры. В пространстве M (µ) вводят порядок, полагая f g в том и только в том случае, если f (x) g(x) для почти всех x X. Здесь f класс эквивалентности функции f.

Упорядоченное множество M (µ) решетка. Пусть 1 класс эквивалентности функции, тождественно равной единице на X. Положим B := {e M (µ) : e (1 e) = 0}. При этом B полная булева алгебра относительно индуцированного из M (µ) порядка, где +, ·, суть сложение, умножение и вычитание в кольце M (µ).

(7) Пусть H комплексное гильбертово пространство и L (H) алгебра всех ограниченных эндоморфизмов H, т. е. всюду определенных непрерывных линейных операторов, действующих из H в H. Коммутант A множества A L (H) вводят формулой A := {T L (H) : ( S A) (T S = ST )}, а бикоммутант правилом A := (A ). Алгеброй фон Неймана называют любую самосопряженную (T A T A) подалгебру A L (H), совпадающую со своим бикоммутантом.

Возьмем коммутативную алгебру фон Неймана A. Множество всех ортопроекторов, содержащихся в A, обозначим символом P(A).

Отношение порядка в P(A) задают следующим способом:

При этом P(A) полная булева алгебра и булевы операции имеют вид 1.1.8. Примечания.

(1) Теория булевых алгебр берет свое начало от классического сочинения Дж. Буля Исследование законов мысли, на которых основаны математические теории логики и вероятностей [124, 401]. О цели и задаче книги Дж. Буль писал: В предлагаемом вниманию читателей трактате мы намереваемся исследовать фундаментальные законы тех операций, которые совершает разум в процессе рассуждений, дабы выразить их в символическом языке исчисления и на этой основе построить науку логики и ее метод. Следуя своей установке, Дж. Буль осуществил алгебраизацию логической системы, лежащей в основе классических математических рассуждений. В результате он стал автором алгебраической структуры, именуемой ныне булевой алгеброй или алгеброй Буля.

(2) Одним из важнейших примеров, рассмотренных в упомянутой книге, является алгебра высказываний. Говоря современным языком, алгебра высказываний булева алгебра, возникающая в результате отождествления эквивалентных формул в множестве всех замкнутых формул исчисления предикатов.

Сказанное в общем виде формализуется так. Пусть T теория первого порядка, основанная на классической (двузначной) логике.

В множестве всех высказываний теории T введем отношение предпорядка, полагая в том и только в том случае, если формула есть теорема теории T. Рассмотрим отношение эквивалентности в :

Пусть A(T ) := / соответствующее фактор-множество, снабженное индуцированным порядком. Точнее, если || класс эквивалентности формулы, то || || означает, что. Возникающее упорядоченное множество A(T ) является булевой алгеброй.

Ее называют иногда алгеброй Линденбаума Тарского теории T.

Булевы операции в A(T ) имеют вид Перевод логических проблем формальных теорий на язык соответствующих им булевых алгебр алгебр Линденбаума Тарского именуют булевым методом.

(3) Классические способы умозаключений (силлогизмы, исключенное третье, модус поненс, обобщение и т. п.) суть абстракции, возникшие в результате идеализации тех реальных операций, которые совершает разум в процессе рассуждений. Неизбежно огрубляя реальность, двузначная логика, строго говоря, дает лишь приблизительное, неполное описание законов мышления, что поясняет интерес к неклассическим логическим системам. Одна из таких систем выработана в рамках интуиционизма. Не вдаваясь в детали, коротко опишем соответствующую алгебру высказываний.

Псевдобулевой алгеброй называют решетку L с нулем и единицей, в которой для любых x, y L существует псевдодополнение x y элемента x относительно y. По определению псевдодополнение x y наибольший из элементов z L, удовлетворяющих неравенству z x y. Иначе говоря, верна эквивалентность (ср. 1.1.4 (3)) которую можно считать и определением x y. Псевдобулева алгебра является дистрибутивной решеткой. Полная решетка будет псевдобулевой алгеброй в том и только в том случае, если в ней выполняется следующий дистрибутивный закон:

Упорядоченное по включению множество всех открытых подмножеств топологического пространства пример полной псевдобулевой алгебры. Псевдобулевы алгебры называют брауэровыми решетками или, чаще всего, гейтинговыми алгебрами. Можно показать, что алгебра Линденбаума Тарского интуиционистской логики гейтингова алгебра. Таким образом, гейтинговы алгебры характеризуют интуиционистскую логику так же, как булевы алгебры характеризуют классическую логику, см. [5, 98].

(4) Исследование некоторых типов неклассических логик приводит, как и в случае интуиционистской логики, к различным классам алгебраических систем, являющихся дистрибутивными решетками. Наиболее известные разновидности импликативная решетка или решетка с относительными псевдодополнениями, топологическая булева алгебра (т. е. булева алгебра B с операцией I : B B, удовлетворяющей аксиомам внутренности: I(x y) = Ix Iy; x y Ix Iy, I2 = I, I0 = 0, I1 = 1), алгебра Поста и т. п. (см., например, [5, 29, 98]). Общая теория решеток самостоятельное направление с богатой внутренней проблематикой, имеющая многочисленные и глубокие связи с другими разделами математики.

(5) Происхождение упомянутых выше логик и решеток связано с исследованием законов мысли в духе упомянутой программы Дж. Буля. Принципиально иной тип логик породил анализ законов микромира. Логика квантовой механики значительно отклоняется как от классической, так и от интуиционистской и модальной логик.

Орторешеткой называют решетку L с нулем, единицей и одноместной операцией (ортодополнения) ( · ) : L L, удовлетворяющей условиям:

Дистрибутивная орторешетка является булевой алгеброй. Элементы x и y орторешетки называют ортогональными и пишут x y, если x y или, что равносильно, y x. Орторешетку L именуют ортомодулярной решеткой или (квантовой) логикой, если для любых x, y L, x y, существует такой элемент z L, что x z и xz = y.

Последнее равносильно тому, что из x y следует y = x (y x ).

Пример квантовой логики доставляет решетка всех замкнутых подпространств гильбертова пространства с операцией ортогонального дополнения.

1.2. Реализация булевых алгебр Принципиально важную возможность представить булеву алгебру в виде алгебры открыто-замкнутых подмножеств компактного пространства гарантирует теорема Стоуна. Доказательство этой теоремы и описание некоторых связанных с ней технических средств основная цель настоящего параграфа.

1.2.1. Пусть 2 := Z2 := P({}) := {0, 1} двухэлементное множество, наделенное структурой поля с помощью соотношений:

Отметим, что все элементы поля 2 идемпотентны. Рассмотрим теперь произвольное множество B, наделенное структурой ассоциативного кольца, в котором каждый элемент идемпотентен: b B b2 = b. Тогда B называют булевым кольцом. Такое кольцо коммутативно и удовлетворяет тождеству b = b для b B. Ясно, что булево кольцо является векторным пространством над полем 2, более того, коммутативной алгеброй над этим полем.

Напомним, что единица алгебры считается по определению отличной от ее нуля. Естественно, поле 2 можно отождествить с подкольцом булева кольца, составленным из нуля и единицы последнего.

Это отражается в обозначениях: для нуля любого кольца используют символ 0, для единицы символ 1. Конечно, такое соглашение приводит к довольно обычной коллизии обозначений (в поле сложение и умножение можно поменять местами, причем 0 станет играть роль 1 и наоборот).

Булево кольцо B всегда рассматривают с отношением порядка, определенным правилом:

Непосредственно выясняется, что упорядоченное множество (B, ) представляет собой дистрибутивную решетку с наименьшим элементом 0 и с наибольшим 1. При этом решеточные операции связаны с кольцевыми следующим образом:

Более того, у каждого элемента b B имеется, и притом единственное, дополнение, т. е. такой элемент b, что Очевидно, что b = 1 + b. Итак, всякое булево кольцо станет булевой алгеброй, если в нем определить порядок указанным выше способом.

В свою очередь, в булевой алгебре B можно ввести структуру кольца, полагая При этом (B, +, ·, 0, 1) становится булевым кольцом с единицей, для которого вновь возникающее отношение порядка совпадает с уже имеющимся.

Таким образом, булеву алгебру допустимо рассматривать как алгебру с единицей над полем 2, в которой каждый элемент идемпотентен.

1.2.2. Пусть B произвольная булева алгебра.

(1) Характером алгебры B называют (булев или, что то же, кольцевой) гомоморфизм : B 2. Обозначим символом X(B) множество всех характеров B с топологией поточечной сходимости.

Точнее, топология в X(B) индуцирована топологией произведения из 2B, причем 2 наделяется единственной компактной хаусдорфовой топологией, дискретной топологией 2. Напомним, что топологическое пространство X связно, если и X являются единственными открыто-замкнутыми подмножествами X. Топологическое пространство X называют вполне несвязным при условии, что любое связное подпространство X содержит не более одной точки. Возканторов дисконтинуум никшее топологическое пространство 2B хаусдорфово, компактно и вполне несвязно. Топологическое пространство с такими свойствами именуют булевым. Понятно, что замкнутое подмножество 2B. Следовательно, X(B) само X(B) является булевым пространством. Множество X(B) называют пространством характеров булевой алгебры B.

(2) Как известно, непустое множество F B называют фильтром, если Фильтр, отличный от B, именуют собственным. О максимальных (по включению) элементах множества всех собственных фильтров говорят как об ультрафильтрах. Пусть U (B) множество всех ультрафильтров в B, а U (b) множество ультрафильтров, содержащих b. Снабдим U (B) топологией, приняв систему множеств {U (b) : b B} за базу топологии. Такое определение топологии корректно, ибо, как легко проверить, U (x y) = U (x) U (y) (x, y B).

Топологическое пространство U (B) часто называют стоуновским пространством булевой алгебры B и обозначают St(B).

(3) Пусть M (B) множество всех максимальных (собственных) идеалов алгебры B. Идеал здесь можно понимать в соответствии с 1.1.6 (2), равно как и в стандартном смысле теории колец.

Множество J B будет идеалом в том и только в том случае, если U (B). Таким образом, отображение J J осуществляет биекцию между M (B) и U (B). Множество M (B) принято называть пространством максимальных идеалов и наделять той единственной топологией, которая делает гомеоморфизмом отображение J J.

1.2.3. Отметим некоторые алгебраические факты, необходимые в связи с применением преобразования Гельфанда в нашей ситуации.

(1) Булево кольцо B является полем в том и только в том случае, если оно содержит в точности два элемента 0 и 1. Следовательно, 2 единственное с точностью до изоморфизма булево поле.

В самом деле, ненулевой элемент x B обратим, поэтому справедливы импликации:

Для X(B) обозначим символом отображение x (x) (x B). Как видно, ker() := {x B : (x) = 0} идеал, а ker() фильтр.

(2) Отображения ker() ( X(B)) и ker() ( X(B)) являются гомеоморфизмами X(B) на M (B) и U (B) соответственно.

Отображение ker() инъективно. Если J M (B), то B/J поле и согласно (1) оно изоморфно 2. Положим :=, где : B B/J фактор-гомоморфизм, а : B/J 2 изоморфизм.

Ясно, что ker() = J, значит, указанное отображение биективно.

Остальные утверждения очевидны.

(3) Элемент b B равен нулю тогда и только тогда, когда (b) = 0 для всех X(B).

Допустим, что x = 0. Тогда главный идеал {y B : y x } является собственным и его можно расширить до максимального идеала J M (B). Это утверждение теорема Крулля непосредственно выводится из леммы Куратовского Цорна (см. П.3.9).

В силу (2) J = ker() для некоторого X(B). Поскольку x J, / то должно быть (x) = 0.

1.2.4. Теорема Стоуна. Каждая булева алгебра B изоморфна булевой алгебре открыто-замкнутых множеств единственного с точностью до гомеоморфизма булева пространства стоуновского компакта алгебры B.

Пусть C(X(B), 2) алгебра непрерывных 2-значных функций, определенных на вполне несвязном компакте X(B). Преобразование Гельфанда GB элементу x B ставит в соответствие 2-значную функцию Понятно, что GB : B C(X(B), 2) гомоморфизм. Из 1.2.3 (3) вытекает инъективность этого гомоморфизма. Возьмем f C(X(B), 2) и положим Vf := { X(B) : f () = 1}. Множество Vf открытозамкнуто. По определению топологии в X(B), найдутся b1,..., bk B и c1,..., cl B такие, что Vf можно описать так:

Отсюда видно, что f = b, следовательно, GB изоморфизм.

Предположим теперь, что Q1 и Q2 вполне несвязные компакты и отображение h : C(Q1, 2) C(Q2, 2) есть изоморфизм алгебр.

Если характер алгебры C(Q2, 2), то h характер алгебры C(Q1, 2). При этом отображение h осуществляет гомеоморфизм пространств характеров. С другой стороны, пространство характеров алгебры C(Qk, 2) гомеоморфно компакту Qk. Таким образом, компакты Q1 и Q2 гомеоморфны. Остается заметить, что алгебра C(X(B), 2) изоморфна алгебре открыто-замкнутых множеств пространства X(B), а значит, и пространства U (B).

Описанный в этой теореме изоморфизм B и Clop(St(B)) иногда именуют преобразованием Стоуна булевой алгебры B.

1.2.5. В дальнейшем нас будут интересовать, как правило, полные булевы алгебры. С полными булевыми алгебрами неразрывно связаны экстремальные компакты, т. е. компакты, представляющие собой экстремально несвязные пространства. Напомним, что хаусдорфово топологическое пространство называют экстремально несвязным или, короче, экстремальным, если замыкание любого его открытого подмножества открыто. Ясно, что экстремально несвязное пространство вполне несвязно.

Теорема Огасавары. Булева алгебра является полной в том и только в том случае, если ее стоуновский компакт экстремален.

алгебру открыто-замкнутых множеств компакта Q := U (B). Возьмем открытое множество G Q. Так как Q вполне несвязно, то G = U, где U совокупность открыто-замкнутых множеств, содержащихся в G. Пусть U := {h1 (U ) : U U } и b := U.

Открыто-замкнутое множество h(b) и есть замыкание G. В самом деле, cl(G) h(b) и h(b)\ cl(G) открыто. Если последнее множество непусто, то h(c) h(b)\ cl(G) для некоторого 0 = c B. Но это означает, что h(c) h(u) h(b) для всех u U. Последнее противоречит равенству b = U. Тем самым cl(G) = h(b) открытое множество.

Предположим теперь, что компакт Q экстремален. Пусть G некоторое множество открыто-замкнутых подмножеств Q и G := G. Множество G открыто и его замыкание cl(G) также должно быть открытым ввиду экстремальности Q. Понятно, что cl(G) точная верхняя граница множества G в булевой алгебре открытозамкнутых множеств Clop(Q).

1.2.6. Примеры.

(1) Стоуновский компакт булевой алгебры {0, 1} есть одноточечное множество. Если булева алгебра конечна, то она состоит из 2n элементов для некоторого n N и ее стоуновское пространство содержит в точности n точек.

(2) Возьмем непустое множество X. Стоуновский компакт булеана P(X) есть компактификация Стоуна Чеха (X) множества X, рассматриваемого как дискретное топологическое пространство.

(3) Если Q вполне несвязный компакт, то стоуновский компакт алгебры Clop(Q) гомеоморфен Q.

(4) Пусть B, B булевы алгебры и h : B B гомоморфизм.

Пусть : B Clop(St(B)) и : B Clop(St(B )) преобразования Стоуна алгебр B и B. Существует единственное непрерывное отображение : St(B ) St(B) такое, что Отображение h St(h) := является биекцией между множествами гомоморфизмов из B в B и непрерывных отображений из St(B ) в St(B). Если B еще одна булева алгебра и g : B B гомоморфизм, то St(gh) = St(h)St(g). Кроме того, St(IB ) = ISt(B).

Пусть Bool категория булевых алгебр и гомоморфизмов, а Comp категория компактов и непрерывных отображений. Сказанное выше можно сформулировать так (см. П.3).

Теорема. Отображение St является контравариантным функтором из категории Bool в категорию Comp.

Два важных частных случая описанной ситуации стоит выделить отдельно.

(5) Булева алгебра B0 изоморфна подалгебре булевой алгебры B в том и только в том случае, если стоуновский компакт St(B0 ) является непрерывным образом компакта St(B).

(6) Булева алгебра B является гомоморфным образом алгебры B (или изоморфна фактор-алгебре алгебры B) (см. 1.1.6 (4)) в том и только в том случае, если стоуновский компакт St(B ) гомеоморфен замкнутому подмножеству компакта St(B).

(7) Пусть B := A B, где (B )A непустое семейство булевых алгебр. Стоуновский компакт St(B) булевой алгебры B совпадает со стоун-чеховской компактификацией топологической суммы A St(B ) {} пространств St(B ).

(8) Пусть B := A B булево произведение непустого семейства булевых алгебр (1.1.6 (6)). Тогда стоуновский компакт St(B) алгебры B гомеоморфен произведению A St(B ).

(9) Абсолют компакта X это компакт aX, удовлетворяющий следующим условиям: (a) X непрерывный неприводимый образ aX (т. е. существует непрерывная сюръекция aX на X и X не является непрерывным образом никакого собственного замкнутого подмножества aX); (b) всякий компактный непрерывный неприводимый прообраз компакта X гомеоморфен aX.

Если oB пополнение булевой алгебры B, то St(oB) = a St(B);

т. е. абсолют стоуновского компакта алгебры B гомеоморфен стоуновскому компакту ее пополнения oB.

1.2.7. Атомом булевой алгебры B называют такой ее ненулевой элемент a, что {x B : 0 x a} = {0, a}. Эквивалентно, a = атом булевой алгебры B, если для любого x B либо a x, либо a x. Говорят, что B атомична, или атомна, если для всякого ненулевого элемента x B существует атом a x. Булеву алгебру называют безатомной, если она не содержит ни одного атома.

Будем говорить, что булева алгебра B вполне дистрибутивна, если где xm,n B (m M, n N ), M и N произвольные множества и N M := {f : f : M N }. Если в этом определении M и N счетные множества, то мы говорим, что B это -дистрибутивная или счетно-дистрибутивная булева алгебра (см. 5.2.15 (6)).

Теорема. Пусть B полная булева алгебра. Равносильны следующие утверждения:

(1) B изоморфна булеану P(A) для непустого A;

(2) B вполне дистрибутивна;

(1) (2) Достаточно заметить, что булеан с теоретико-множественными объединением и пересечением это вполне дистрибутивная булева алгебра.

(2) (3) Рассмотрим двойное семейство {xb,t B : b B, t 2}, где 2 := {0, 1}, xb,0 := b и xb,1 := b. Тогда Ввиду того, что B вполне дистрибутивная булева алгебра, будет где c(f ) := {xb,f (b) : b B}. Отсюда видно, что для b B верно b = {b c(f ) : f 2B }. Поэтому для ненулевого b B найдется g 2B такой, что b c(g) = 0. С другой стороны, для произвольных b B и f 2B возможны лишь два случая:

Итак, если b = 0, то либо b c(f ) = 0, либо c(f ) b, т. е. c(f ) атом B, если c(f ) = 0. Но так как имеется достаточно много ненулевых c(f ), то B атомичная булева алгебра.

(3) (1) Пусть A множество всех атомов булевой алгебры B.

Для x B обозначим символом h(x) множество всех атомов a B таких, что a x. Без труда проверяется, что отображение h : B P(A) есть изоморфизм булевых алгебр.

1.2.8. Примечания.

(1) Как видно из теоремы 1.2.4, булева алгебра полностью определяется своим стоуновским компактом. Точнее, любое свойство булевой алгебры B можно перевести на топологический язык, после чего оно становится свойством стоуновского компакта St(B). Такой способ исследования булевых алгебр называют реализационным методом.

(2) Основная идея, заложенная в теореме Стоуна 1.2.4, проходит и в случае произвольных дистрибутивных решеток. Для дистрибутивной решетки L роль пространства St(L) играет определенным образом топологизированное множество всех простых идеалов (или 1.3. Теория фон Неймана Гделя фильтров). Собственный идеал J L называют простым в следующем случае:

Стоуновы пространства дистрибутивных решеток можно использовать для построения новых решеток или для топологического описания теоретико-решеточных свойств (реализационный метод) (см.

[5, 29, 98]).

Схема аксиом подстановки ZF теории множеств Цермело Френкеля ZFC (см. Приложение) охватывает бесконечное число аксиом из-за произвола в выборе формулы. Стоит попытаться ввести новые неопределяемые примитивные объекты, определяемые формулами из ZF. Тогда множество утверждений, содержащихся в схеме ZF, предстанет в форме одной аксиомы о таких объектах.

При этом потребуются аксиомы, из которых вытекало бы существование объекта, соответствующего формуле. Поскольку все формулы строятся по единой процедуре за конечное число шагов, то не исключено, что можно достичь желаемого с помощью конечного числа аксиом. Это основное соображение, идущее от фон Неймана, заложено в аксиоматику теории множеств, развитой Гделем и Бернайсом и обозначаемой NGB.

Первоначальным неопределяемым объектом (понятием) NGB является класс. Класс, являющийся элементом какого-либо класса, называют множеством. Прочие классы именуют собственными. Объективизация классов определяет коренное отличие NGB от ZFC, в метаязыке которой класс и свойство воспринимаются как синонимы.

При аксиоматическом изложении NGB пользуются, как правило, одной из двух различных модификаций языка ZFC. Первая из них состоит в добавлении к языку ZFC нового одноместного предикатного символа M. Содержательно M (X) означает, что X есть множество. Вторая модификация использует два разных типа переменных для множеств и классов. Стоит подчеркнуть, что указанные приемы не являются обязательными для описания NGB, а используются лишь из соображений удобства.

1.3.1. Система NGB это теория первого порядка (с равенством). Строго говоря, язык NGB ничем не отличается от языка ZFC. Однако в качестве переменных принято употреблять прописные латинские буквы X, Y, Z,... (с индексами). Строчные латинские буквы мы оставляем для argo, возникающего в результате введения сокращающих символов, отсутствующих в языке NGB.

Пусть M (X) служит сокращением для формулы ( Y ) (X Y ) (читается X есть множество ). Строчные латинские буквы x, y, z,... (с индексами) будут обозначать переменные для множеств.

Точнее, формулы ( x)(x) и ( x)(x) являются сокращениями для формул ( X) (M (X) (X)) и ( X) (M (X) (X)) соответственно. Содержательно эти формулы означают: для любого множества верно и существует множество, для которого верно. При использовании указанных сокращений переменная X не должна входить в формулу, а также в те формулы, частями которых являются эти сокращения. Впрочем, установленных правил употребления строчных и прописных букв мы будем придерживаться лишь в пределах текущего параграфа. Убедившись же в принципиальной формализуемости теории классов, мы постепенно вернемся к общепринятому более свободному математическому языку. Например, перенося теоретико-множественную концепцию отображения в новый мир, мы обычно говорим о класс-функциях F, подразумевая, что такое F может уже и не быть множеством, но тем не менее обладает привычными свойствами функции. Такая практика представляет собой неотъемлемую привилегию работающего математика.

Приступим к формулировке специальных аксиом NGB.

1.3.2. Аксиома экстенсиональности NGB1:

два класса совпадают, если (и только если) они состоят из одних и тех же элементов 1.3.3. Аксиомы для множеств:

(1) аксиома (неупорядоченной) пары NGB2:

(2) аксиома объединения NGB3:

1.3. Теория фон Неймана Гделя (3) аксиома степени NGB4:

(4) аксиома бесконечности NGB5:

Как видно, эти аксиомы совпадают с одноименными аналогами из ZFC, сформулированными в П.2.3, П.2.4, П.2.7 и П.2.8. Следует только иметь в виду, что в словесных формулировках слово множество здесь уже означает класс, являющийся элементом класса.

В символической же записи аксиом малые латинские буквы свидетельствуют о сокращениях (см. 1.3.1). Так, например, частично развернутая аксиома степени NGB4 имеет вид (X)(M (X) (Y )(M (Y ) (Z)(M (Z) (Z Y Z X)))).

В записи аксиомы бесконечности NGB5 использовано сокращение Существование пустого множества в NGB заранее не предполагается, как и в ZFC, а вытекает из аксиом. Тем не менее иногда это утверждение включают в список NGB в качестве отдельной аксиомы:

1.3.4. Аксиома подстановки NGB6 : если класс X однозначен, то для любого множества y класс вторых компонент тех пар из X, первые компоненты которых входят в y, является множеством:

( X)(Un (X) ( y)( z)( u)(u z ( v)((v, u) X v y))), где Un (X) := ( u)( v)( w)((u, v) X (u, w) X v = w).

Как и предполагалось, схема ZF превратилась в одну аксиому. Здесь же отметим, что схеме аксиом выделения из ZF (см.

П.2.5) также соответствует одна аксиома аксиома выделения. Она утверждает, что для любых множества x и класса Y существует множество, состоящее из элементов, общих для x и Y, т. е.

Эта аксиома слабее аксиомы подстановки (она выводится из NGB и нижеследующей теоремы 1.3.14), но в некоторых случаях более удобна в обращении.

Следующая группа из аксиом NGB7 –NGB13 предназначена для формирования классов. Эти аксиомы утверждают, что для некоторых свойств, выраженных формулами, существуют классы всех множеств, обладающих соответствующими свойствами. Единственность при этом вытекает, как это обычно бывает, из аксиомы экстенсиональности NGB1.

1.3.5. Аксиома -отношения NGB7: существует класс, состоящий в точности из тех упорядоченных пар множеств, у которых первая компонента служит элементом второй:

1.3.6. Аксиома пересечения NGB8: для любых двух классов существует их пересечение:

1.3.7. Аксиома дополнения NGB9: для каждого класса существует дополнительный ему класс:

Отсюда вытекает существование универсального класса U := дополнения пустого класса.

1.3.8. Аксиома области определения NGB10: для каждого класса X упорядоченных пар существует класс Y := dom X, элементами которого являются в точности первые компоненты элементов класса X:

1.3. Теория фон Неймана Гделя 1.3.9. Аксиома декартова произведения NGB11: для всякого класса X существует класс Y := X U, состоящий из всевозможных упорядоченных пар, первые компоненты которых являются элементами класса X:

1.3.10. Аксиомы перестановки NGB12 и NGB13. Пусть := (1, 2, 3 ) перестановка множества {1, 2, 3}. Класс Y назовем -транспонированием класса X, если (x1, x2, x3 ) Y тогда и только тогда, когда (x1, x2, x3 ) X.

Для любого класса X существуют его (2, 3, 1)- и (1, 3, 2)-транспонирования:

1.3.11. Аксиома фундирования NGB14: в произвольном непустом классе есть элемент, не имеющий с ним общих элементов:

1.3.12. Аксиома выбора NGB15: для каждого класса X существует выбирающая функция, т. е. однозначный класс, сопоставляющий всякому непустому множеству из X некоторый его элемент:

Это очень сильная форма аксиомы выбора. Она равносильна существованию одновременного выбора по одному элементу из каждого непустого множества.

На этом список специальных аксиом NGB завершается. Как видно, аксиоматика NGB, в отличие от ZFC, конечна. Другое удобное качество системы NGB состоит в том, что она фактически оперирует и с множествами, и со свойствами множеств как с формальными объектами, осуществляя объективизацию, недоступную выразительным средствам ZFC.

1.3.13. Из группы аксиом формирования классов выведем несколько утверждений, которые потребуются нам при доказательстве общей теоремы о существовании классов.

(1) Для любого класса существует его (2, 1)-транспонирование:

Аксиома декартова произведения гарантирует существование класса X U.

Последовательное применение аксиом (2, 3, 1)- и (1, 3, 2)-транспонирования к классу X U дает класс Y всех троек (v, u, w) таких, что (v, u) X. Воспользовавшись аксиомой области определения, заключаем, что Z := dom(Y ) искомый класс.

(2) Для любых двух классов существует их декартово Нужно воспользоваться последовательно аксиомой декартова произведения, утверждением (1), аксиомой пересечения и положить Для n 2 в силу 1.3.13 (2) определен класс Un всех упорядоченных n-ок.

(3) Для любого класса X существует класс Z := (Un (4) Для любого класса X существует класс Z := (Um Для доказательства (3) и (4) нужно применить аксиому декартова произведения и аксиому пересечения.

(5) Для любого класса X существует класс Z такой, что Следует применить аксиомы перестановки и аксиому декартова произведения.

1.3.14. Теорема. Пусть формула, в построении которой участвуют только переменные из числа X1,..., Xn, Y1,..., Ym, причем предикативна, т. е. в связаны лишь переменные для множеств. Тогда в NGB доказуемо утверждение Пусть формула записана с учетом принятых сокращений в таком виде, что связанными в ней являются только переменные для множеств. Достаточно рассмотреть те, которые не содержат подформул вида Y W и X X, ибо последние заменяются на эквивалентные: ( x)(x = Y x W ) и ( u)(u = X u X). Кроме того, можно исключить из символ равенства, подставив в соответствии с аксиомой экстенсиональности вместо X = Y выражение ( u)(u X u Y ). Доказательство проводится индукцией по длине k формулы, т. е. по числу k логических связок и кванторов, входящих в.

-отношения существует класс W1, для которого Если же := x x, то вначале, воспользовавшись той же аксиомой, находим класс W2 со свойством а затем применяем 1.3.13 (1). В результате подберем класс W3, для которого будет Итак, в любом из этих двух случаев существует такой класс W, что справедлива формула На основании 1.3.13 (4) в формуле можно заменить подформулу (x, x ) W на (x1,..., x1, x ) Z1 для некоторого другого класса Z1 и добавить кванторы ( x1 )... ( x1 ) в начале. Пусть получаемая при этом формула. В силу 1.3.13 (5) в формуле вместо подформулы (x1,..., x1, x, x ) Z1 допустимо написать (x1,..., x, x+1,..., x ) Z2 для некоторого другого класса Z2 и добавить кванторы ( x+1 )... ( x1 ) в начале формулы. Наконец, применив 1.3.13 (3) к Z2, найдем класс Z, для которого верна формула Для оставшегося случая x Yl требуемое утверждение следует из существования декартовых произведений W := U1 Yl и Z := W Un. Тем самым теорема установлена при k = 0.

Допустим, что для всех k < p теорема доказана и формула имеет p логических связок и кванторов. Достаточно рассмотреть случаи, когда получается из каких-то формул с помощью отрицания, импликации и квантора общности.

Пусть := ¬. По индукционному предположению существует класс V такой, что По аксиоме дополнения имеется класс Z := U V := U\V, удовлетворяющий нужным условиям.

Пусть :=. Вновь по индукционному предположению найдутся классы V и W такие, что для V и выполнено отмеченное выше и, кроме того, Искомый класс Z := U (V (U W )) существует ввиду аксиомы пересечения и аксиомы дополнения.

Пусть := ( x), а V и те же, что и выше. Если применить аксиому области определения к классу X := UV, то получим класс Z1, для которого Класс Z := UZ1, который существует по аксиоме дополнения, будет искомым, ибо формула ( x) эквивалентна ¬ ( x)(¬ ).

1.3.15. Каждая аксиома формирования классов NGB7 – NGB является следствием теоремы 1.3.14 при подходящем выборе формулы. С другой стороны, сама эта теорема, как видно из доказательства, выводится из аксиом формирования классов. Замечательно, что вместо бесконечного числа утверждений, содержащихся в 1.3.14, можно обойтись конечным числом аксиом NGB7 –NGB13.

Теорема 1.3.14 позволяет доказывать существование самых разнообразных классов. Так, для всякого класса Y существуют класс всех его подмножеств P(Y ) и объединение всех элементов класса Y, определяемые обычными формулами В этом легко можно убедиться, если взять (X, Y ) := X Y и (X, Y ) := ( V )(X V V Y ). По аналогичным соображениям возможны определения Z 1, im(Z), Z Y, Z“Y, X Y и т. п., где X, Y иZ некоторые классы.

1.3.16. Теорема. Всякая теорема ZFC является теоремой NGB.

Все аксиомы ZF являются теоремами NGB. Докажем единственную неочевидную часть этого утверждения, касающуюся аксиомы подстановки ZF. Пусть формула не содержит свободных вхождений переменной y и {x, t, z1,..., zm } полный набор переменных, использованных в построении. Далее предположим, что для всех x, u, v, z1,..., zm выполняется Формула предикативна, если в ней связанными являются лишь переменные для множеств. По теореме 1.3.14 существует класс Z такой, что Из указанного выше свойства видно, что класс Z однозначен, т. е.

в NGB доказуема Un (Z). По аксиоме подстановки NGB6 существует множество y, для которого Ясно, что для y выполняется нужное соотношение 1.3.17. Теорема. Каждая теорема NGB, в которой говорится о множествах, является теоремой ZFC.

Доказательство можно найти, например, в [52]. Оно требует привлечения некоторых фактов из теории моделей, выходящих за рамки настоящей книги.

Содержание теорем 1.3.16 и 1.3.17 часто формулируют в следующем виде.

1.3.18. Теорема. Теория множеств фон Неймана Гделя Бернайса NGB является консервативным расширением теории множеств Цермело Френкеля ZFC.

1.3.19. Примечания.

(1) Имеется много изложений теории множеств. Упомянем только некоторые: [8, 13, 20, 21, 34, 36, 37, 52, 90, 91, 105, 127, 150, 163, 180, 248].

Теория NGB (наряду с теорией ZFC) является одной из наиболее простых и удобных аксиоматических систем теории множеств.

Обзор других аксиоматических систем дан в [8, 13, 105, 112].

(2) Из разнообразия аксиоматических теорий множеств выделим теорию Бернайса Морса, расширяющую NGB. Эта теория имеет специальные аксиомы NGB1 –NGB5, NGB14 и следующую схему аксиом выделения:

где произвольная формула, не содержащая вхождений переменной X.

(3) Теорема 3.1.17 принадлежит А. Мостовскому. Из нее следует, в частности, что теория ZF непротиворечива в том и только в том случае, когда непротиворечива теория NGB. Этот факт получили И. Новак и Дж. Шенфилд (см. [13, 111]).

Из 1.3.14 видно, что если в формуле область действия кванторов ограничена множеством, то схема аксиом выделения есть теорема NGB. Теория множеств Бернайса Морса допускает в схеме аксиом выделения квантификацию по произвольным классам. К теории множеств Бернайса Морса можно также добавить аксиому выбора NGB15.

1.4. Ординалы Концепция ординала является ключевой при изучении бесконечных множеств. Она предназначена для трансфинитного итерирования различных математических построений или рассуждений, а также служит для измерения мощностей. Как именно это делается тема текущего параграфа.

1.4.1. Рассмотрим классы X и Y. Скажем, что X есть отношение порядка или просто порядок на Y, если X является антисимметричным, рефлексивным и транзитивным отношением на Y.

Антисимметричность, рефлексивность и транзитивность отношения записываются так же, как и на языке ZFC (см. П.1.10). Порядок X на Y называют линейным, если Y Y X X 1. Говорят, что отношение X вполне упорядочивает Y или что Y вполне упорядоченный класс, если X порядок на Y и всякий непустой подкласс класса Y имеет наименьший элемент (относительно X). Классы X и X2, упорядоченные отношениями R1 и R2 соответственно, именуют подобными, если существует биекция h из X1 на X2 такая, что (x, y) R1 (h(x), h(y)) R2 для всех x, y X1.

1.4.2. Введем отношение E формулой Класс E существует в силу аксиомы -отношения NGB7 и теоремы 1.3.14. Как видно, E отношение порядка на универсальном классе Класс X называют транзитивным (не путать с транзитивным отношением!), если каждый его элемент является также и его подмножеством:

Ординальным классом мы будем именовать всякий транзитивный класс, вполне упорядоченный отношением E. Запись Ord (X) означает, что X ординальный класс. Ординальный класс, являющийся множеством, называют ординалом (или порядковым числом, или трансфинитным числом). Класс всех ординалов обозначают символом On. Напомним, что ординалы символизируются, как правило, малыми греческими буквами. При этом приняты следующие сокращения:

Если <, то говорят, что предшествует, а следует за.

Привлекая аксиому фундирования NGB14, легко установить следующий факт.

1.4.3. Класс является ординальным в том и только в том случае, если он транзитивен и линейно упорядочен отношением E.

Пусть транзитивный класс X линейно упорядочен отношением E. Возьмем непустой подкласс Y X и покажем, что Y имеет наименьший элемент. Существует по меньшей мере один элемент y Y. Если y =, то y искомый наименьший элемент в Y.

Если же y =, то по аксиоме фундирования можно подыскать элемент x y такой, что x y =. Тогда x наименьший элемент множества y, так как y линейно упорядочено. Ввиду линейной упорядоченности класса Y отношением E элемент x будет наименьшим и в классе Y. Тем самым X ординальный класс и достаточность указанного условия обоснована. Необходимость его очевидна.

Итак, в NGB или ZFC можно пользоваться более простым определением ординала:

Полезно подчеркнуть, что эквивалентность приведенных определений ординала устанавливается без аксиомы выбора.

Большинство приводимых ниже свойств ординалов можно вывести, не прибегая к аксиоме фундирования, пользуясь только первоначальным определением ординала. Это обстоятельство, важное, например, для обоснования совместимости аксиомы фундирования с остальными аксиомами ZF, для наших дальнейших целей несущественно.

1.4.4. Ниже нам потребуются несколько вспомогательных фактов.

(1) Пусть X и Y произвольные классы. Если X ординален, Y транзитивен и X = Y, то равносильны соотношения Y X При Y X класс Y множество и Y X из-за транзитивности X. Допустим, в свою очередь, что Y X. Так как X = Y, то Z := X Y =. Класс Z имеет наименьший элемент x Z (в смысле отношения порядка E). Это означает, что xZ = или x Y. Кроме того, x X, ибо x X и X транзитивен. Возьмем элемент y Y.

Так как X линейно упорядочен, то x y или x = y, или, наконец, y x. Первые два соотношения с учетом транзитивности Y дают x Y, что противоречит вхождению x Z. Следовательно, y x.

Тем самым Y x. Принимая в расчет уже доказанное включение x Y, получаем x = Y. Окончательно x = Y x X Y X.

(2) Пересечение любых двух ординальных классов есть ординальный класс.

(3) Если X и Y ординальные классы, то Пусть пересечение X Y = Z не совпадает ни с одним из классов X и Y. Тогда согласно (1) и (2) Z X и Z Y, т. е.

Z X Y = Z. Однако для множества Z X соотношение Z Z невозможно. Следовательно, либо Z = X и тогда Y X, либо Z = Y и тогда X Y. Остается сослаться на (1).

1.4.5. Теорема. Справедливы следующие утверждения:

(1) элементами любого ординального класса могут быть (2) класс On единственный ординальный класс, не являющийся ординалом;

ординалом, причем наименьшим из всех следующих (4) объединение X непустого класса ординалов X X есть верхняя граница множества X в упорядоченном классе On.

(1) Возьмем ординальный класс X и элемент x X. Так как X транзитивен, то x X, следовательно, x линейно упорядочено отношением E. Покажем Tr (x). Если z y x, то z X ввиду транзитивности X. Из возможных трех случаев z = x, x z и z x, первые два приводят к замкнутым циклам z y z и z y x z соответственно, противоречащим аксиоме фундирования. Стало быть, z x. Итак, z y z x, т. е. y x. Это доказывает Tr (x), а заодно и Ord (x).

(2) Линейная упорядоченность класса On следует из 1.4.4 (3), а его транзитивность из (1), поэтому Ord (On). Если On множество, то On ординал и получается противоречие: On On.

Следовательно, On ординальный класс, но не ординал. Для произвольного ординального класса X из X On вытекает X = On.

Действительно, утверждение 1.4.4 (3) допускает еще только одну возможность On X, которая входит в противоречие с тем, что On собственный класс.

(3) Если ординал, то множество + 1 линейно упорядочено по очевидным соображениям. Для x + 1 либо x, либо x =, причем в обоих случаях x. Но + 1, стало быть, x + 1, что и доказывает транзитивность + 1. Окончательно + ординал и < + 1. Если < для некоторого ординала, то и, т. е. {}. Согласно 1.4.4 (1) верно либо тем более, y Y. Ввиду транзитивности класса On (см. (2)) из x X следует x On, а потому Y On. Итак, Y транзитивный подкласс On, стало быть, Y ординал. Если X, то Y всех X, то Y и вновь по 1.4.4 (1) Y. Следовательно, Y = sup(X).

1.4.6. Точную верхнюю границу множества ординалов x принято обозначать lim(x). Ординал называется предельным, если = и lim() =. Эквивалентно, предельный ординал, если он не представим в виде = + 1 с каким-либо On. Обозначим символом KII класс всех предельных ординалов. Ординалы, не входящие в KII, образуют класс непредельных ординалов KI := On KII = { On : ( On) ( = + 1)}. Обозначим буквой наименьший предельный ординал (существование которого обеспечено теоремой 1.4.5 и аксиомой бесконечности). Можно показать, что совпадает с классом непредельных ординалов таких, что каждый предшественник также является непредельным:

Элементы называют конечными ординалами, или натуральными числами, или положительными целыми числами. Наименьший ординал нулевое множество 0 := содержится в. Следующий ординал 1 := 0 + 1 = 0 {0} = {} содержит единственный элемент 0. Далее, 2 := 1 {1} = {0} {1} = {0, 1} = {0, {0}}, 3 := 2 {2} = {0, {0}, {{0, {0}}} и т. д. Итак, Используется также обозначение В следующей теореме перечислены основные свойства множества натуральных чисел, совокупность которых известна под названием системы аксиом Пеано. Отметим, что по более давней математической традиции термин натуральное число относят только к элементам N. Нуль исторически менее натурален.

1.4.7. Теорема. Справедливы следующие утверждения:

(1) нуль является натуральным числом, т. е. 0 ;

(2) для каждого натурального числа непосредственно следующий за ним ординал + 1 также (5) если класс X содержит пустое множество и с каждым ординалом содержит также непосредственно следующий за ним ординал, то X.

1.4.8. Теорема (принцип трансфинитной индукции). Пусть некоторый класс, обладающий свойствами: (1) 0 X; (2) если ординал и X, то + 1 X; (3) если x множество ординалов, содержащееся в X, то lim(x) X. Тогда On X.

Предположим, что On X. Тогда непустой подкласс On X вполне упорядоченного класса On имеет наименьший элемент On X, причем это означает, что (On X) = 0 или X и = 0 ввиду (1). Если KI, т. е. = + 1 для некоторого On, KII, то из условия (3) выводим = lim() X. В обоих случаях имеем X, что противоречит включению On X.

1.4.9. Теорема (принцип трансфинитной рекурсии). Пусть G некоторая класс-функция. Тогда существует единственная функция F, для которой Определим класс Y соотношением Если f, g Y, то либо f g, либо g f. Действительно, если := dom(f ) и := dom(g), то или. Считая, например, то имеется наименьший элемент z. Тогда для всех < будет f () = g(), т. е. f = g. Но по определению класса Y верно также f () = G(f ) и g() = G(g ), следовательно, f () = g() и z. Это противоречит выбору, значит, z = 0, т. е. f () = g() при всех <. Отсюда получаем требуемое включение g f.

Положим F = Y. Легко видеть, что F функция, dom(F ) On (, G(F )) f при некотором f Y. Тогда := dom(f ) dom(F ) и ввиду транзитивности будет dom(F ). Итак, класс dom(F ) транзитивен и по 1.4.4 (1) либо dom(F ) = On, либо dom(F ) On. Однако последнее включение невозможно. В самом деле, из := dom(F ) On следует, что функция f := F {(, G(F ))} входит в Y, стало быть, f F, откуда выводим противоречие: f F dom(f ) dom(F ) dom(F ) =.

1.4.10. Бинарное отношение R называют вполне фундированным, если для всякого x U класс R1 (x) множество и для любого непустого x U существует элемент y x такой, что x R1 (y) = 0.

Последнее условие (в предположении аксиомы выбора) равносильно тому, что не существует бесконечной последовательности (xn ) со свойством xn R(xn+1 ) для всех n. Примером вполне фундированного отношения служит отношение. Принципы трансфинитной индукции и рекурсии удобно применять в следующем виде.

1.4.11. Теорема. Пусть R вполне фундированное отношение. Тогда справедливы утверждения:

(1) (индукция по R) если класс X таков, что для каждого 1.4.12. Два множества называют равномощными, если существует взаимнооднозначное отображение одного из них на другое.

Ординал, который не равномощен никакому предшествующему ординалу, называется кардиналом. Любое натуральное число является кардиналом. Кардинал, не являющийся натуральным числом, называют бесконечным. Значит, наименьший бесконечный кардинал.

Для любого ординала обозначим символом бесконечный кардинал, для которого упорядоченное множество всех бесконечных кардиналов, меньших, подобно. Если такой кардинал существует, то он единствен.

1.4.13. Теорема (принцип измерения мощностей). Справедливы следующие утверждения:

(1) бесконечные кардиналы образуют некоторый вполне упорядоченный собственный класс;

(2) для любого ординала существует кардинал, причем отображение является подобием класса ординалов и класса бесконечных кардиналов;

(3) существует отображение | · | из универсального класса U на класс всех кардиналов такое, что множества x Доказательство см., например, в [91].

Кардинал |x| называют мощностью или кардинальным числом множества x. Итак, всякое множество равномощно единственному кардиналу, а именно своему кардинальному числу. Множество x счетно, если |x| = 0 :=, и не более чем счетно, если |x| 0.

1.4.14. Для произвольного ординала обозначим символом мощность множества P( ), т. е. 2 := |P( )|. Такое обозначение оправдано тем, что 2x и P(X) равномощны для любого x, где 2x класс всех отображений из x в 2. Теорема, установленная Г. Кантором, утверждает, что |x| < |2x |, каково бы ни было множество x.

В частности, < 2 для любого ординала. Тогда по теореме 1.4.13 будет +1 2. Вопрос о том, имеются или нет промежуточные мощности между +1 и 2, т. е. выполнено ли равенство +1 = 2, составляет содержание обобщенной проблемы континуума. При = 0 это классическая проблема континуума. Под гипотезой континуума CH (обобщенной гипотезой континуума GCH ) понимают равенство 1 = 2 (соответственно равенство +1 = для всех On).

1.4.15. Введем порядок в классе On On, который мы будем называть каноническим. Рассмотрим 1, 2, 1, 2 On. Будем считать, что (1, 2 ) (1, 2 ), если выполнено любое из следующих условий:

Таким образом, пары (, ) сравниваются по sup{, }, а в множестве упорядоченных пар (, ), имеющих одинаковый sup{, }, порядок лексикографический.

Можно легко проверить, что класс On On с каноническим порядком есть вполне упорядоченный класс. Аналогично определяется каноническое вполне упорядочение класса On On On и т. д.

1.4.16. Примечания.

(1) Идея трансфинита относится к числу наиболее фундаментальных и оригинальных открытий Г. Кантора. Используя эту идею, он создал метод количественного анализа бесконечности, глубоко проникнув в ее сущность. Понятие бесконечности присутствует в религиозных и философских учениях с древнейших времен. Однако до Г. Кантора вся совокупность представлений о бесконечном составляла преимущественно гуманитарную дисциплину. Г. Кантор сделал само понятие бесконечности предметом математического исследования. Призванная и вдохновленная бесконечным, математика стала наукой о бесконечном. В этом состоит одна из наиболее распространенных точек зрения на предмет математики наших дней, свидетельствующая величие идеи Г. Кантора.

(2) Проблема континуума восходит к Г. Кантору и названа первой в знаменитом докладе Д. Гильберта [97]. Оставаясь десятилетиями нерешенной, она порождала глубокие исследования по основаниям теории множеств. В 1939 г. К. Гдель установил совместимость обобщенной гипотезы континуума с ZFC [19]. В 1963 г. П. Дж. Коэн показал, что отрицание обобщенной гипотезы континуума также совместимо с ZFC. Оба эти результата принесли с собой новые идеи, методы и проблемы.

(3) По Г. Кантору ординал есть порядковый тип некоторого вполне упорядоченного множества x, т. е. класс всех упорядоченных множеств, подобных x. Однако все порядковые типы, кроме порядкового типа пустого множества, являются собственными классами. Указанное обстоятельство делает невозможным развить теорию порядковых типов (в рамках NGB), ибо нельзя рассматривать классы порядковых типов. Определение 1.4.2 выделяет по одному каноническому представителю из каждого порядкового типа. Такое определение ординала принадлежит Дж. фон Нейману.

(4) Здесь мы привели лишь самые основные факты об ординалах. Подробности и дальнейшие сведения можно найти в [55, 91].

1.5. Иерархии множеств Рекурсивные определения, основанные на теореме 1.4.9 или ее вариантах, доставляют, в частности, возрастающие (или убывающие) трансфинитные последовательности множеств, называемые кумулятивными иерархиями. Особый интерес для нас представляют иерархии, приводящие к моделям теории множеств.

1.5.1. Рассмотрим некоторое множество x0 и два однозначных класса Q и R. Исходя из них, построим новый однозначный класс G.

Прежде всего положим G(0) := x0. Далее, если x функция и dom(x) = + 1 для некоторого On, то G(x) := Q(x()). Если же dom(x) = предельный ординал, то для получения G(x) сначала накопим множество из значений x() при <, а затем к полученному множеству применим R, т. е. G(x) := R( im(x)).

Во всех остальных случаях будем считать, что G(x) = 0. В силу теоремы 1.4.9 о трансфинитной рекурсии существует однозначный класс F, удовлетворяющий условиям норму этого оператора:

С другой стороны, норма элемента в K-пространстве ограниченных элементов E также совпадает с max{|1 |,..., |n |}. СледоваГл. 5. Анализ банаховых пространств тельно, J линейная изометрия подпространства E0 конечнозначных элементов из E в алгебру ограниченных операторов L (X). Ясно также, что J() = J() J() для всех, E0. Так как E0 плотно по норме в E, а L (X) банахова алгебра, то J может быть продолжен по непрерывности до изометрического изоморфизма алгебры E на замкнутую подалгебру алгебры L (X). Полагая x := x := J()x для x X и E, вводим на X структуру унитального E-модуля, причем x x ( E, x X).

Кроме того, UX + UX UX при || + || 1. Введем теперь отображение p : X E+ по формуле где инфимум берется в K-пространстве E. Если p(x) = 0, то для > 0 найдутся разбиение единицы ( ) B и семейство ( ) E+ UX UX и в силу замкнутости шара UX относительно перемешиваний будет x = mix( x) UX. Ввиду произвольного выбора > 0 должно быть x = 0. Если x UX и y UX для некоторых, E+, то, обозначив := + + 1, можно написать Следовательно, p(x + y) + + 1, и переход к инфимуму по указанным, и дает p(x + y) p(x) + p(y). Далее для B и x X имеют место равенства будет Отсюда видно, что p(x) = ||p(x) для всех E. Тем самым (X, p, E) разложимое решеточно нормированное пространство с разложимой нормой.

Докажем теперь, что норма пространства X является смешанной, т. е. x = p(x) (x X). Возьмем 0 = x X и положим y = x/ x. Тогда y UX и p(y) 1. Следовательно, p(x) x · или p(x) x · 1 = x. Наоборот, для > 0 можно подобрать разбиение единицы ( ) в Pr(E) и семейство ( ) E+ следовательно, x p(x) +. Учитывая произвол в выборе > 0 и 5.5.4 (2), получаем x p(x).

5.5.6. Нормированное B-пространство назовем B-циклическим, если в нем существует перемешивание любого ограниченного по норме семейства относительно любого разбиения единицы в B.

С учетом сказанного в 5.5.4, можно утверждать, что нормированное пространство X является B-цикличным тогда и только тогда, когда для любого разбиения единицы (b ) B и произвольного семейства (x ) в UX существует единственный элемент x UX такой, что b x = b x для всех.

(1) Банахово B-пространство X будет B-циклическим в том и только в том случае, если X дизъюнктно полно как решеточно нормированное пространство.

Очевидно из определений.

Изометрию между нормированными B-пространствами назовем B-изометрией, если она линейна и перестановочна с каждым проектором из B. Будем говорить, что Y это B-циклическое расширение B-пространства X, если Y является B-цикличным пространством и существует B-изометрия : X Y такая, что всякое B-циклическое подпространство в Y, содержащее (X), совпадает с Y.

(2) Нормированное B-пространство будет B-циклическим банаховым пространством в том и только в том случае, когда соответствующее решеточно нормированное пространство o-полно.

Это следует из 5.4.7 и (1), если учесть, что полнота по норме равносильна полноте относительно сходимости с регулятором, см.

5.5.2.

(3) Для каждого банахова B-пространства существует единственное с точностью до B-изометрии B-циклическое расширение.

Дадим, наконец, ответ на вопрос, сформулированный в 5.5.4.

5.5.7. Теорема. Банахово пространство линейно изометрично ограниченному спуску некоторого банахова пространства из модели V(B) в том и только в том случае, если оно B-циклическое.

См. 5.4.1, 5.4.2, 5.5.5, 5.5.6 (2).

Возьмем нормированное B-пространство X. Пусть X его пополнение по норме. Тогда X будет банаховым B-пространством, ибо каждый проектор b B имеет единственное продолжение с сохранением нормы на все X. Согласно 5.5.6 (3) X допускает циклическое B-расширение, которое мы обозначим через X. Теперь в соответствии с теоремой 5.5.7 возьмем банахово пространство X внутри V(B), ограниченный спуск которого B-изометричен X. Элемент X V(B) называют булевозначной реализацией X.

5.5.8. Пусть X и Y нормированные пространства, причем B L (X) и B L (Y ). Оператор T : X Y называют B-линейным, если он линеен и перестановочен с проекторами из B, т. е. b T = T b для всех b B. Обозначим через LB (X, Y ) множество всех ограниченных B-линейных операторов из X в Y. При этом W := LB (X, Y ) банахово и B W. Если Y является B-цикличным, то таким же будет и W. Проектор b B действует в W по правилу Пространство X # := LB (X, B(R)) называют B-сопряженным к X. Если X # и Y это B-изометричные пространства, то говорят, что Y является B-двойственным пространством и X это B-преддвойственное пространство к Y. При этом пишут X = Y#.

5.5.9. Теорема. Пусть X нормированное B-пространство, некоторое B-циклическое банахово пространство, а X и Y соответствующие булевозначные реализации пространств X и Y.

Пространство LB (X, Y ) B-изометрично ограниченному спуску пространства L (X, Y ) всех линейных ограниченных операторов из X в Y внутри V(B). При этом оператору T LB (X, Y ) соответствует элемент T := T V(B), определяемый соотношениями:

Без ограничения общности можно предположить, что X и Y ограниченные спуски банаховых пространств X и Y соответственно (см. 5.5.6 (3), 5.5.7).

Lb (X0, Y0 ) линейно изометричны. Но ограничение Lb (X0, Y0 ) относительно B(R) совпадает с ограниченным спуском пространства L (X, Y ). Остается заметить, что каждый оператор T из Lb (X, Y ) имеет единственное распространение с сохранением нормы.

5.5.10. Пусть пространство X банахово сопряженное к X.

Пусть символы и B обозначают изометрический изоморфизм и изометрический B-изоморфизм соответственно. Предположим, что X, Y, X и Y те же, что и в 5.5.9. Тогда (2) Если X это B-циклическое расширение X, то выполнено X = X.

5.5.11. Примечания.

(1) Пространства со смешанной нормой в смысле этого параграфа изучались в [64]. Там же даны различные приложения концепции смешанной нормы к геометрии банаховых пространств и теории линейных операторов.

Ограниченный спуск из 5.5.3 ранее изучали Г. Такеути в связи с алгебрами фон Неймана и C -алгебрами в булевозначных моделях [243, 244] и М. Озава в связи с булевозначной интерпретацией теории гильбертовых и банаховых пространств [209, 215].

(2) Основные результаты комментируемого параграфа установлены А. Г. Кусраевым в [64]. Позднее аналогичные утверждения получил М. Озава [215] в несколько иной постановке. Различие состоит в том, что в [215] рассматриваются банаховы пространства с дополнительной структурой модуля, которая может быть восстановлена в произвольном банаховом B-пространстве, см. 5.4.8 и 5.5.5.

(3) В связи с теоремой 5.5.7 лишь затронуто богатое и красивое направление геометрия нормированных пространств, см. [33, 178, 182, 183]. Банаховы пространства с полными булевыми алгебрами проекторов безотносительно к булевозначному анализу изучались в [15, 137, 227].

Булевозначный анализ банаховых алгебр Одним из наиболее привлекательных традиционных разделов функционального анализа является теория банаховых алгебр. В этой главе проводится булевозначный анализ инволютивных банаховых алгебр.

Булевозначный подход к изучению операторных алгебр основан на следующем соображении. Если центр алгебры достаточно квалифицирован и хорошо в ней расположен, то при погружении в соответствующую булевозначную модель центр становится одномерной подалгеброй, что может привести к более простой алгебре. В то же время, в силу принципа переноса, объемы формальных теорий исходной алгебры и ее булевозначной реализации совпадают. Детализация этого утверждения для банаховых алгебр и C -алгебр приведена в теоремах 6.1.5 и 6.1.6.

Изложение строится вокруг анализа AW -алгебр и AW -модулей, которые реализуются в булевозначной модели как AW -факторы и гильбертовы пространства соответственно, см. теоремы 6.2.4 и 6.2.8.

Размерность гильбертова пространства в модели это булевозначный кардинал, который естественно назвать булевой размерностью AW -модуля. Здесь проявляется весьма тонкий эффект смещения кардинальных чисел: при погружении в булевозначную модель стандартные кардиналы могут склеиваться. Это означает, сти. Отсюда вытекает также, что AW -алгебра типа I разлагается в прямую сумму однородных подалгебр, вообще говоря, многими способами. Последнее утверждение в качестве гипотезы высказал И. Капланский в 1953 году. Указанные результаты изложены в 6. и 6.4.

Опираясь на результаты о булевозначном погружении AW -модулей и AW -алгебр, мы выводим функциональные реализации этих объектов. Точнее говоря, устанавливается, что AW -модуль унитарно эквивалентен прямой сумме однородных AW -модулей, состоящих из непрерывных вектор-функций со значениями в гильбертовом пространстве. Аналогичное представление имеет и AW -алгебра типа I, только вместо непрерывных вектор-функций используются оператор-функции, непрерывные в сильной операторной топологии.

Соответствующие факты представлены в 6.5.

AW -алгебру называют вложимой, если она -изоморфна бикоммутанту в некоторой AW -алгебре типа I. Каждая вложимая AW -алгебра допускает булевозначную реализацию, являющуюся алгеброй или фактором фон Неймана. Даны различные характеризации вложимых AW -алгебр. В частности, в 6.6 установлено, что AW -алгебра будет вложимой в том и только в том случае, если она имеет разделяющее множество центрозначных нормальных состояний.

6.1. Спуски банаховых алгебр В предыдущей главе была намечена принципиальная схема булевозначной реализации для банаховых пространств. Здесь эта тема развивается для инволютивных банаховых алгебр.

6.1.1. Начнем с напоминания нужных определений, ограничиваясь рассмотрением комплексных алгебр. Подчеркнем, что говоря об алгебре, мы всегда имеем в виду ассоциативную алгебру с единицей. Инволютивной алгеброй или -алгеброй называют алгебру A с инволюцией, т. е. с отображением x x (x A), удовлетворяющим условиям:

Элемент x инволютивной алгебры именуют эрмитовым, если x = x. Эрмитов элемент e называют проектором, если он идемпотентен, т. е. если e2 = e. Множество всех проекторов инволютивной алгебры A мы будем обозначать символом P(A). Легко понять, что формула определяет отношение порядка в множестве проекторов. Проекторы e и c называют эквивалентными и пишут e c, если существует такой элемент x A, что x x = e и xx = c. В этой ситуации говорят также, что x частичная изометрия с начальным проектором e и с конечным проектором c. Отношение в действительности является эквивалентностью на P(A).

Проектор e называют центральным, если ex = xe для каждого x A. Множество всех центральных проекторов обозначается через Pc (A).

6.1.2. Для непустого множества M A положим Приняты следующие названия: M правый аннулятор, M левый аннулятор.