«Б. Н. Хабибуллин ПОЛНОТА СИСТЕМ ЭКСПОНЕНТ И МНОЖЕСТВА ЕДИНСТВЕННОСТИ Уфа РИЦ БашГУ 2006 УДК 517.5 + 517.982 ББК В161.5, В162 Х12 Рецензенты: доктор физико-математических наук, профессор, чл.-корр. РАН В. В. Напалков (ИМ ...»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Б. Н. Хабибуллин

ПОЛНОТА СИСТЕМ ЭКСПОНЕНТ

И МНОЖЕСТВА ЕДИНСТВЕННОСТИ

Уфа

РИЦ БашГУ 2006 УДК 517.5 + 517.982 ББК В161.5, В162 Х12 Рецензенты:

доктор физико-математических наук

, профессор, чл.-корр. РАН В. В. Напалков (ИМ с ВЦ УНЦ РАН, г. Уфа);

доктор физико-математических наук, профессор И. Ф. Красичков-Терновский (ИМ с ВЦ УНЦ РАН, г. Уфа) Хабибуллин Б. Н.

Х12 Полнота систем экспонент и множества единственности:

Монография. Уфа: РИЦ БашГУ, 2006. xvi, 172 с.; 2 рис.

Библиогр.: 404 назв.

ISBN 5-7477-1405- Настоящее издание существенно расширенный цикл лекций, прочитанных на "Международной уфимской зимней школе-конференции по математике и физике для студентов, аспирантов и молодых ученых", проходившей 30 ноября – 6 декабря 2005 г. при поддержке ФЦНТП Федерального агентства по науке и инновациям в рамках государственного контракта № 02.453.11.7025 на базе Башкирского государственного университета.

Дан обзор проблем полноты, минимальности, их устойчивости и т. п. для экспоненциальных систем в функциональных пространствах. Книга предназначена специалистам по теории функций преподавателям вузов и научным работникам, а также аспирантам, магистрантам, студентам.

УДК 517.5 + 517. ББК В161.5, В © Хабибуллин Б. Н., ISBN 5-7477-1405- © БашГУ, Посвящается светлой памяти моих родителей отца, Хабибуллина Нурм хмта Хабибулловича (1922–2001), и мамы, Хабибуллиной (Хасановой) Дании Габдрахмановны (1929–2002) MSC 2000 : 30E10, 30H05, 32A60, 30D15, 31A05, 31A10, 32U05, 32A70, 32A10, 32A15, 32A36, 46E05, 46E10, 46E15, 46E Reviewers:

Doctor of physico-mathematical Science, Professor, Corresponding Member of RAS V. V. Napalkov;

Doctor of physico-mathematical Science, Professor I. F. Krasichkov-Ternovski Khabibullin B. N.

COMPLETENESS OF EXPONENTIAL SYSTEMS AND UNIQUENESS SETS. Russia, Ufa: Bashkir State University Press, 2006.

xvi+172=188 pp., 2 gures. The bibliography contains 404 entries.

This publication is essentially enlarged series of lectures given on “International Ufa Winter Mathematical & Physical School–Conference for Undergraduate and Postgraduate Students and Young Scientists” which took place in Bashkir State University on November, 30th – on December, 6th in 2005 under support of FCSTP of the Federal agency on science and innovations within the limits of state contract no. 02.453.11.7025.

We consider problems of completeness, minimality, stability etc. for exponential systems {ek z }, z X, with a sequence of complex exponents = {k } in spaces of functions on X where X is either a domain (convex usually) or a closed set (a segment, or rectiable Jordan arc, or the closure of simply connected domain) and functions are holomorphic in the interior of X, if its interior is nonempty. As a rule, the topologies of these function spaces are generated routine sup- or Lp -norms. In view of well-known interconnection between the completeness and the uniqueness sets, we lead a parallel fractional survey on the description of (non-)uniqueness sets for weighted spaces of holomorphic and entire functions. In this direction a general non-constructive method is described.

This method use the classic and absract balayage (the sweeping out) of measures, functionals, and functions.

We touch on relatively infrequent multidimensional results on the completeness of exponential systems {e },, and on (non-)uniqueness sets.

© Bulat N. Khabibullin ISBN 5-7477-1405- Оглавление 0.1.3 Последовательности нулей 1.1.2 Минимальность 2 Пространства функций 2.1.1 Полнота на отрезке 2.1.2 Полнота на замкнутом луче 2.1.3 Минимальность 2.1.4 Избыток полноты. Устойчивость 2.2 Полнота систем экспонент на открытом интервале. 3 Пространства функций 3.1 Системы экспонент в пространствах на дуге.... 3.2 Полнота в неограниченной области 3.2.1 Неограниченная область............ 3.2.2 Замыкание неограниченной области..... 3.3 Полнота в ограниченной области........... 3.3.2 Устойчивость полноты............. 3.3.3 Абсолютная полнота в выпуклой области.. 3.4.2 Минимальность и экспоненциальные базисы 3.4.3 Устойчивость полноты и минимальности.

4.1 Дискретные дивизоры показателей.......... 4.1.3 Об ортонормированных базисах 4.1.7 Аппроксимация с ограничениями 4.2 Недискретные дивизоры показателей в Cn..... Предисловие Исследование возможности приближения в той или иной форме объектов из некоторого класса простейшими в определенном смысле элементами того же класса неотъемлемая часть идеологии математики. Одно из проявлений ее аппроксимативные свойства различных систем элементов в топологическом векторном пространстве, в частности, систем функций в функциональных пространствах или, еще уже, экспоненциальных систем.

Пусть N = {1, 2,... } множество всех натуральных чисел, = {k } C, k = 1, 2,..., пустая, конечная или счетная последовательность точек (чисел) на комплексной плоскости C. Последовательность порождает экспоненциальную систему, или систему (кратных) экспонент число вхождений точки C в последовательность где (). Можно рассматривать и более общие системы функций вида F := {f (z) : }, где f фиксированная целая функция, а точки последовательности попарно различны. При этом последовательность по отношению к системе Exp или F именуется далее последовательностью показателей.

Одними из важнейших аппроксимативных свойств систем Exp являются полнота, минимальность, их устойчивость относительно малых “шевелений” последовательности показателей или удалений (добавлений) определенного числа точек из, избыток полноты и другие связанные с ними понятия далее часто для краткости просто “полнота экспонент”. При этом важн выявление не только условий выполнения конкретного аппроксимативного свойства, а рвно и условий его нарушения со стыковкой в идеале тех и других в форме критерия.

Интерес к аппроксимативным свойствам именно систем Exp или, более общ, систем вида F возник как следующий логичо ный шаг после начала подобных исследований для многочленов.

Естественным образом он вызван и потребностями таких областей анализа, как (не)гармонический анализ Фурье, спектральный синтез, теория уравнений свертки, интерполяция, аналитическое продолжение, (не)квазианалитичность, исследование систем собственных функций дифференциальных операторов, начальнокраевые задачи для уравнений в частных производных и др. Известны приложения полноты экспонент или двойственной и зачастую более общей задачи описания множеств (не)единственности в пространствах голоморфных или целых функций в теориях сигналов, связи, антенн (см. монографию Я. И. Хургина и В. П. Яковлева [ХЯ62], обзоры Х. Бруны, Х. Массанеды и Х. Ортеги-Черды [BMO03], Дж. Дж. Бенедетто и Х.-Ч. Ву [BW00], и, например, статью Л. Кнокерта и Д. Де Зуттера [KnZ02]), к управляемости систем с распределёнными параметрами (см. монографию С. А. Авдонина и С. А. Иванова [АИ95]), в теории когерентных состояний из математической физики (см. монографию А. М. Переломова [Пе87], статью А. Вурдаса [Vou97]) и т. д.

Круг известных достаточных или необходимых условий полноты систем вида Exp и F в различных функциональных пространствах поистине необозрим. Поэтому по задаче полноты в нашем обзоре в полном объеме формулируются только классические теоремы, достижения последних лет, a также результаты переломного характера, использующие новые для своего времени понятия и характеристики или новаторские методы и подходы в доказательствах. При этом мы стремились не пропустить редких результатов законченного характера для различных пространств, в которых не накладывается каких-либо дополнительных априорных условий на распределение точек из последовательности показателей. Критерии полноты, которые формулируются как условие существования некоторой гипотетической целой или голоморфной функции, обращающейся в нуль на и обладающей определенными свойствами, рассматриваются нами лишь как первый шаг к решению задачи полноты и не включаются в категорию законченных результатов. В то же время критерии, сформулированные в виде условий на какую-либо голоморфную порождающую функцию F с последовательностью нулей, совпадающей с, воспринимаются как вариант окончательных утверждений. Конечно же, не последнюю, если не одну из главных ролей в отборе полных формулировок сыграли и субъективные факторы.

Мы лишь слегка коснемся базисности систем экспонент и не затрагиваем представления функций рядами экспонент, поскольку эти вопросы требуют отдельного глубокого и подробного освещения. По тем же причинам полнота экспонент, как правило, рассматривается в топологии, порожденной обычными sup- или Lp нормами, т. е. исследования по задаче полноты в весовых функциональных пространствах упоминаются лишь эпизодически. Не освещается и наиболее близкая к рассматриваемой тематике проблема спектрального синтеза для инвариантных относительно дифференцирования подпространств в пространствах функций, голоморфных в области или определенных на интервале, которую можно рассматривать как вопрос о полноте в инвариантном подпространстве максимальной системы Exp, содержащейся в это подпространстве. Включение в обзор исследований по последней проблеме представлялось нам естественным и даже необходимым.

Но основным препятствием для этого послужило обширное число работ и результатов по спектральному синтезу, увеличивающее объем обзора при условии их включения чуть ли не вдвое.

Исследования полноты экспонент и смежных вопросов в различных пространствах функций на интервале (открытом, замкнутом, ограниченном или неограниченном) вещественной оси R уже достаточно полно освещены в ряде обзоров и монографий многих авторов, в частности, у Н. Винера и Р. Пэли [WP34], Н. Левинсона [Le40], Р. Ф. Боаса [Boa54], Б. Я. Левина [Лев56], [Лев96], Л. Шварца [Sch43], М. М. Джрбашяна [Дж66], Р. М. Редхеффера [Red74], У. A. Дж. Люксембурга [Lux76], Р. М. Янга [You80], Н. К. Никольского, Б. С. Павлова и С. В. Хрущева [Ни80], [ХНП81], П. Кусиса [Koo88], [Koo92], [Koo96], В. П. Хавина и Б. Ерикке [ХJ94], П. Боруайна и Т. Эрдели [BE95], А. М. Седлецкого [Сед00], [Сед01 ], [Сед03], [Сед03 ], [Сед03 ], [Сед05], Е. И. Моисеева, А. П. Прудникова и А. М. Седлецкого [МПС04], и охватывают материал вплоть до последних лет. В связи с этим изложение вопросов полноты экспонент в функциональных пространствах на интервале в данной монографии-обзоре имеет много лакун и сконцентрировано либо на этапных моментах, модельных для исследования полноты экспонент в других пространствах, либо отражает результаты, не отмеченные в перечисленных выше источниках.

Совершенно иначе обстоит дело с вопросами полноты экспонент в пространствах функций с областью определения X C, когда множество X по существу отлично от интервала, а также в многомерной ситуации. Из основных источников общего характера можно упомянуть, наряду с книгами Б. Я. Левина [Лев56] и М. А. Евграфова [Ев79] с первоначальными классическими результатами, лишь монографии И. И. Ибрагимова [Иб71] и А. Ф. Леонтьева [Лео80]. И даже в них не охвачен, к примеру, такой достаточно глубокий совместный результат П. Мальявена и Л. А. Рубела [MR61] как критерий полноты системы экспонент с положительными показателями в горизонтальной полосе.

Справедливости ради следует отметить, что ссылка на [MR61] без формулировки основных результатов имеется в книге Б. Я. Левина [Лев96], а сам результат вошел в книгу Л. А. Рубела [Ru96] как один из основных. С другой стороны, в последней книге мало освещены работы советских и российских математиков. Так, не нашли отражения в ней полученные еще в 1989–91 гг. в работах Б. Н. Хабибуллина гораздо более общие окончательные критерии полноты системы экспонент с произвольными комплексными показателями в пространствах функций, голоморфных в неограниченной области. Имеется обзор Б. Н. Хабибуллина [Хаб00 ], но очень краткий и малодоступный (его еще более лаконичный вариант [Хаб00 ]).

По полноте на множествах в Rn можно обратиться по избранным результатам к обзору Я. Кореваара [Kor83], посвященному прежде всего полноте на дуге или кривой в C, к обзору Х. Бруны [Bru01], а также к обзору Л. И. Ронкина по целым функциям многих переменных [Рон86] и его же монографии [Рон92], в которых приведены некоторые результаты о множествах единственности, допускающие эквивалентную трактовку в виде достаточных условий полноты систем экспонент в функциональных пространствах в шаре и в параллелепипеде из Rn и Cn. В то же время при исследовании аппроксимативных свойств систем экспонент в xii функциональных пространствах на множествах, отличных от интервала, часто на первый план выдвигается именно полнота. К примеру, в пространствах голоморфных функций в области нет базисов из экспонент или вида F (см. Ю. Ф. Коробейник [Кор94, Теорема 9]), а “жесткие” банаховы пространства функций на компактах с непустой внутренностью нередко обеднены отсутствием базисов из экспонент или невозможностью представить функции из них (абсолютно) сходящимися рядами экспонент. Все это позволяет сделать вывод об актуальности и в то же время о явной недостаточности информации по полноте экспонент как в отечественной, так и в зарубежной математической литературе, что и послужило одним из основных мотивов для написания данной книги-путеводителя по вопросам полноты систем экспонент и более общих систем функций в функциональных пространствах на подмножествах из C, Rn или Cn. В связи с теми же обстоятельствами в вопросах полноты систем экспонент в функциональных пространствах на множествах, отличных от интервала, и в многомерном случае мы стремились к существенно более подробному изложению доступных нам материалов.

Принципиальная схема исследования полноты систем функций в функциональных пространствах очень часто (но далеко не всегда) сводится через теорему Хана–Банаха и описание сопряженного пространства путем соответствующего преобразования функционалов (Фурье, Лапласа, Меллина, Коши, Бореля, Гильберта и т. п.) к двойственной задаче о множествах (не)единственности для какого-либо пространства голоморфных функций. В случае системы Exp это, как правило, некоторое пространство, состоящее из целых функций экспоненциального типа или голоморфных функций в угле (чаще в полуплоскости).

Такой подход, следуя А. М. Седлецкому, мы называем аналитическим, и относительно методов именно он в центре нашего внимания. В связи с этим мы рассматриваем и зачастую более широкие, чем задача полноты, вопросы описания множеств (не)единственности для различных пространств целых и голоморфных функций. Результаты о множествах (не)единственности при их изложении, как правило, не выделяются в отдельные подразделы, а сопровождают, дополняют или предваряют соответствуюПредисловие xiii щие результаты по полноте экспонент. При этом уделяется существенное внимание разработанному автором общему подходу к описанию множеств (не)единственности, основанному на классическом и абстрактном выметании. Этот метод позволяет в едином ключе получить как ряд ранее известных утверждений о множествах (не)единственности для различных пространств голоморфных функций и, как следствие, условий (не)полноты систем экспонент часто короче, чем в оригинальных работах, так и прийти к новым результатам, иногда законченного характера.

Поддержка Значительная часть работы выполнена в рамках проекта “Аналитические обзоры” Российского фонда фундаментальных исследований № 02–01–07027 при частичной поддержке гранта РФФИ № 03–01–00033 и государственной программы “Поддержка ведущих научных школ”, грант НШ–1528.2003.1, а также при финансовой поддержке ФЦНТП Федерального агентства по науке и инновациям в рамках госконтракта № 02.453.11.7025 (НИР по лоту № 2005-РИ-27/019 “Проведение международной школыконференции по приоритетным направлениям развития науки и техники с участием молодых ученых, аспирантов и студентов”).

Благодарности Автор глубоко признателен за предоставленные в различное время ценную информацию и полезные материалы, нередко до их публикации, А. В. Абанину, В. С. Азарину, С. В. Бочкареву, А. Буавену, Б. В. Винницкому, А. М. Гайсину, Г. Т. Денгу, Э. Зиккосу, К. С. Казаряну, Ж.-П. Кахану, С. В. Кислякову, Ю. Ф. Коробейнику, И. Ф. Красичкову-Терновскому, П. Кусису, Р. Лионсу, В. Н. Логвиненко, Ю. И. Любарскому, Л. С. Маергойзу, В. А. Мазунову, В. В. Напалкову, Е. А. Полецкому, А. Ю. Попову, Т. Дж. Рансфорду, Л. И. Ронкину, М. Л. Содину, А. М. Седлецкому, С. Ю. Фаворову, В. П. Хавину, Х. Хеденмальму, А. И. Хейфицу, В. Б. Шерстюкову, оставшимся incognito рецензентам статей автора и др.

xiv Пояснения к тексту Книга состоит, наряду с введением, из четырех глав, разбитых на разделы подразделы ненумерованные пункты. Нумерации теорем и теоремоподобных структур, определений и формул производится с помощью тройки чисел, первое из которых указывает на номер главы, второе на номер раздела, и, наконец, третье на порядковый номер объекта в этом разделе.

Конец доказательства обозначается символом •. Ссылка на номер формулы или утверждения над знаками (не)равенства, включения, или, более общ, бинарного отношения, означает, что при переходе к правой части этого отношения применялись, в частности, и отмеченная формула или утверждение.

В предметном указателе подчеркнутый номер страницы у терминов и понятий указывает, что именно на этой странице дано либо определение термина, либо его обозначение, или же содержится основная информация о понятии.

Подстраховка Вряд ли какой-либо материал обзорного характера по достаточно обширной тематике может претендовать на абсолютную полноту и широту охвата всего объема сведений, относящихся к рассматриваемому предмету или касающихся его. Во всяком случае автор уверен, что это утверждение, как минимум, в полной мере применимо к предлагаемому обзору, претендующему на роль путеводителя в вопросах полноты систем экспонент в классических пространствах. Тем более, что освещаемая здесь тематика динамично развивается и отставание в информированности неизбежно. Конечно же, в нашем изложении есть как неточности в вопросах приоритета, так и опечатки и описки, а также спорные расстановки акцентов в суждениях по различным вопросам, поскольку элементы субъективности неотъемлемая часть любого авторского труда. Что поделать “errare humanum est”. Очень надеюсь, что удельный объем отмеченных погрешностей в обзоре меньше удельного объема ложки дегтя в бочке меда и не может перечеркнуть содержательную часть обзора. Заранее выражаю свое сожаление всем тем, кого могут коснуться какие-либо просчеты, упущения, ложные выводы, недоразумения, допущенные в обзоре. Автор будет глубоко признателен каждому, кто сообщит об обнаруженных в издании огрехах и недочетах.

По-видимому, была бы полезна и дальнейшая доработка настоящего обзора. Но “момент остановки” необходим “Le mieux est l’ennemi du bien”. Поэтому представляется уместным завершить предисловие словами Эрнестa Хемингуэя: “Если бы я медлил достаточно долго, то, скорее всего, вообще никогда ничего не написал бы, поскольку существует закономерность: когда ты действительно начинаешь что-то узнавать о явлении, не желая писать о нем, а желая, скорее, постоянно изучать его, то никогда не наступит такой момент (если, конечно, ты не достаточно честолюбив, а честолюбие во многих случаях и является причиной написания книг), когда бы ты мог сказать: теперь я знаю об этом явлении все и готов о нем написать. Безусловно, я не говорю так и теперь, с каждым годом я понимаю, что можно еще что-то узнать, но я имею достаточное понятие о некоторых явлениях, которые могут быть интересными в данный момент.” С этой домашней страницы можно скачать многие работы автора.

xvi

ДЛЯ ЗАМЕТОК

Введение Далее всюду векторные (линейные) пространства рассматриваются над полем комплексных чисел C, а функции предполагаются комплекснозначными, если только какое-либо ограничение не оговорено или не продиктовано контекстом.

Система элементов топологического векторного пространства E называется полной в E, если замыкание линейной оболочки этой системы совпадает с E.

Пусть непустое открытое или замкнутое подмножество X в Cn, n 1, выступает как область определения функций из некоторого функционального пространства. В предлагаемой книге-обзоре основной модельный 2 тип пространства на X это пространство функций, непрерывных на X и одновременно голоморфных во внутренности (если она не пуста) множества X, снабженное топологией равномерной сходимости на компактах из X. Говорим, что система функций полна на X, или в X, если она полна именно в таком пространстве. Это не исключает рассмотрение и других типов пространств, особенно если методы, разработанные для модельных пространств, экстраполируются на них.

Для простоты дальнейшее обсуждение вопросов полноты до конца введения, как правило, ведется для одномерного случая, т. е. для пространств функций на подмножествах в C или на R.

Задача полноты на X C, или в X, для систем вида Exp или F (см. предисловие) исключительно в терминах последовательности и множества X, а также функции f в случае F выявить условия, при которых полна или неполна эта система на X. В свете известных результатов задачу полноты на X естественно решать в терминах специальных плотностей распреЭтот термин используется только в контексте рассматриваемой тематики и, конечно же, отличается от понятия модельного пространства, общепринятого в теории пространств Харди и ее приложениях [Ни80], [МП05, 0.2].

деления точек из и в их взаимосвязи с геометрическими характеристиками множества X. По специфике задачи полноты и доступности ее исследования на современном этапе, а также по жесткости топологии модельного пространства на X C само множество X можно естественным образом отнести к одному из следующих семи типов:

1) X компактное подмножество в R, в основном X = [a, b] отрезок на R, C(X) банахово пространство непрерывных функций на X с sup-нормой f X := supxX |f (x)|, C[a, b] := C([a, b]). К этому же пункту отнесем и случай, когда расширенной вещественной оси R {±}. При этом полнота системы Exp на [a, +] или на [, b] будет означать соотв. полноту в пространстве C0 [a, +] или C0 [, b] непрерывных соотв. на [a, +] или [, b] функций, равных нулю в соотв.

+ или, с sup-нормой соотв. на [a, +] или [, b];

2) X = (a, b) открытый интервал, a < b +, либо X = [a, +) или X = (, b], a, b = ±; C(a, b) и соотв.

C[a, +) или C(, b] пространство функций, непрерывных на X, наделенное топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах (на компактах) из X;

3) X = ограниченная жорданова спрямляемая дуга или неограниченная жорданова локально спрямляемая кривая в C.

В первом случае C( ) пространство функций, непрерывных на, с sup-нормой на, а во втором C0 ( ) пространство функций из C( ), стремящихся к 0 на бесконечности, с sup-нормой;

4) X = G неограниченная область в C; пространство H(G) состоит из всех голоморфных в G функций и снабжено топологией равномерной сходимости на компактах из G;

5) X = clos G, где clos G замыкание неограниченной области G в C; A(G) пространство функций, непрерывных на clos G и одновременно голоморфных в G, наделенное топологией равномерной сходимости на компактах из clos G;

Всюду далее это сокращение для “соответственно”.

6) X = G ограниченная область в C, а пространство H(G) и топология в нем такие же, как в п. 4);

7) X = K компакт в C с непустой внутренностью, A(K) банахово пространство функций, непрерывных на K и одновременно голоморфных во внутренности int K, с sup-нормой.

Далее, когда речь идет о полноте системы на X, или в X, ее следует воспринимать как полноту в соответствующем модельном пространстве из 1)–7). Результаты, касающиеся полноты систем экспонент в пространствах иного типа (пространства Lp (a, b) и Смирнова, пространства функций, голоморфных на компакте, и др.), будут формулироваться как полнота в пространстве.

По-видимому, к первым результатам о полноте системы экспонент можно отнести прежде всего теорему К. Вейерштрасса [W885] о полноте системы {xn }, n = 0, 1,..., на отрезке [a, b], переходящей при a > 0 после замены x = ez в утверждение о полноте экспоненциальной системы enz, n = 0, 1,... на отрезке [log a, log b], а при a = 0 системы ExpN, на отрезке [, log b] расширенной вещественной оси. К истокам тематики можно отнести и “тригонометрический” вариант теоремы Вейерштрасса о полноте тригонометрических многочленов, или системы {einz }, n = 0, ±1, ±2,..., в пространстве 2-периодических непрерывных функций с sup-нормой на R, X = R. Этот вариант можно рассматривать и как первый, после алгебраического результата Л. Эйлера [E743] о решении однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, нетривиальный топологический факт допустимости спектрального синтеза для пространства решений конкретного (разностного) однородного уравнения свертки f (x) f (2 + x) 0, x R, в пространстве непрерывных ограниченных функций на X = R с sup-нормой на R.

C. Н. Бернштейн в 1912 г. обратил внимание на проблему полноты системы степеней {xk } на отрезке [0, 1] с последовательностью произвольных положительных показателей k и получил частные результаты в этом направлении [B12, гл. V, пп. 50–51], [B13].

Первыми в определенной степени законченными результатами о полноте системы Exp с последовательностью показателей, по существу отличной от подмножеств Z, по-видимому, явВведение ляются теоремы К. Х. Мюнтца [M14] и О. Саса [Sz16] об услоu виях (не)полноты системы степеней {xk } на отрезке [0, 1] и в L2 (0, 1) (после замены x = ez ). В аналогичной роли для задачи полноты в области из C выступает теорема Т. Карлемана [C22] о достаточном условии полноты системы Exp с положительной последовательностью показателей в горизонтальной полосе {z C : |Im z| < b}.

Дальнейшие сведения об эволюции исследований полноты систем экспонент содержатся в последующих главах в соответствии с систематикой 1)–7) и оглавлением.

0.1 Общие определения, обозначения и соглашения К этому подразделу можно обращаться по мере необходимости.

Множества, числа, функции, меры 0.1. Одним и тем же символом 0 обозначаем, по контексту, число нуль, нулевой вектор, нулевую функцию, нулевую меру и т. п. Пустое множество обозначаем символом.

Кроме уже введенных обозначений N и Z для множеств соотв. натуральных и целых чисел, а также для вещественной оси R и комплексной плоскости C используются обозначения [, +) := {} R, (, +] := R {+}, [, +] := {} R {+} для различных расширений вещественной оси R. Эти расширения рассматриваются с очевидной упорядоченностью и алгебраическими операциями при неопределенности для выражений (+) (+), (+) + (), () (), но при специальном соглашении 0 · (±) = 0. Каждое X [, +] имеет точную нижнюю грань inf X и точную верхнюю грань sup X; inf := +, sup :=.

Через C := C {} обозначаем расширенную комплексную плоскость, т. е. сферу Римана.

Топологию в множествах, рассматриваемых как подмножества в R и C, определяет стандартное евклидово расстояние |a b| между точками a и b, в подмножествах из [, +] расстояние d(a, b) = |a b|/(1 + |a b|) с договоренностью d(+, +) := 0.1. Общие определения, обозначения и соглашения d(, ) := 0, а в подмножествах из C сферическое, или хордальное, расстояние.

положительная полуось, а [0, +] := R {+} расширенная положительная полуось; C+ := {z C : Re z > 0} и C := {z C : Re z < 0} соотв. (открытые) правая и левая полуплоскости; iR мнимая ось в C.

Через const. обозначаем постоянные из R+.

Rn и Cn, n N, n-мерные соотв. вещественное и комплексное евклидовы пространства; Rn Cn вещественное пространство, iRn := (iR)n мнимое пространство в Cn ; (R+ )n положительный конус в Cn.

Для подмножества X топологического пространства T через clos X, int X, X обозначаем соотв. замыкание, внутренность и границу множества X в T. Если замыкание clos X компакт в T, то X предкомпактно в T и пишем X T.

Открытый круг в C радиуса t с центром в точке z C обозначаем через D(z, t); при t 0 это пустое множество; D(t) := D(0, t) и D := D(1). Угол {z C : < arg z < } обозначаем как (, ).

Через dist(·, ·) чаще всего обозначаем функцию евклидова расстояния между точками или подмножествами в Rn и в Cn, но это может означать далее и функцию расстояния в нормированных или метрических пространствах.

Положительность числа, функции, меры и т. п. при соответствующем отношении порядка понимаем как 0, а выполнение неравенства > 0 (для функций всюду в области определения) строгая положительность; аналогичные соглашения предлагаются и для отрицательности и строгой отрицательности.

В частности, число 0 R и положительное, и отрицательное. Как обычно, для элемента a [, +] его положительная (соотв.

отрицательная) часть обозначается как a+ := max{a, 0} (соотв.

a := max{a, 0}), а для z C его вещественная (соотв. мнимая) часть это Re z (соотв. Im z).

Пусть f : X B функция (отображение). Класс всех таких функций обозначаем B X. Для подмножества Y X через f Y обозначаем сужение f на Y. Аналогично для системы функций F на X совокупность сужений этих функций на Y X обозначается как F Y. Если функция f тождественно равна значению b на X, то пишем “f b на X”; в противном случае “f b на X”.

Функция f числовая, если B подмножество в [, +] или в C. Ее вещественная часть Re f и мнимая часть Im f определяются поточечно, а в случае B [, +] положительная часть f + и отрицательная часть f определяются равенствами f + (x) := max{0, f (x)}, x X, и f := (f )+. Носитель числовой функции f обозначаем через supp f. Функция f на X [, +] со значениями в [, +] возрастающая (соотв.

убывающая), если для любых a1 a2 из X справедливо неравенство f (a1 ) f (a2 ) (соотв. f (a1 ) f (a2 )), и строго возрастающая (соотв. строго убывающая), если для любых a1 < a2 из X справедливо строгое неравенство f (a1 ) < f (a2 ) (соотв. f (a1 ) > f (a2 )). Отношения f g и g f для числовых функций f, g с единой областью определения X понимаются поточечно, т. е. как f (x) g(x) для каждой точки x X.

Для сумм и произведений чисел по определению Пусть X открытое или замкнутое множество в Rn или в Cn.

Через m обозначаем меру Лебега на Rn или Cn, а также ее сужение на X, но на R используем и традиционные обозначения вида dx = dm. Кроме того, m(r) сужение меры Лебега m на круг или шар радиуса r с центром в нуле, нормированное так, что m(r) вероятностная мера. С такой же нормировкой рассматривается мера длины дуги или площади сферы s(r) соответственно на окружности или на сфере радиуса r с центром в нуле.

В отсутствие дополнительных ограничений меры на X предполагаются комплекснозначными и борелевскими регулярными.

Класс всех таких мер обозначаем M(X); Mc (X) класс мер с компактным носителем supp µ в X, рассматриваемый и как пространство мер Радона, т. е. линейных непрерывных функционалов на C(X), снабженное -слабой топологией; Mac (X) класс мер, абсолютно непрерывных относительно m. Добавление верхОбщие определения, обозначения и соглашения него индекса + к M каждый такой класс сужает на класс положительных мер M+ (X). Наряду с обозначением меры одним символом µ используем для той же меры обозначение вида dµ, т. е. через ее формальную плотность dµ.

Последовательности точек в области 0.1. Пусть = {k } не более чем счетная последовательность точек области G C, проиндексированная некоторым набором индексов k. В допускаются совпадения нескольких точек с различными индексам. Однако всегда предполагаем, что последовательность включает в себя каждую точку из G конечное число раз, а также не имеет точек сгущения в G, если не оговорено противное. Возможно, что =.

Когда выступает в роли последовательности показателей систем Exp и F или как перенумерованная с учетом кратности (под)последовательность нулей голоморфной функции, естественнее воспринимать ее как целочисленную положительную функцию (положительный дивизор) : G Z+, равную в каждой точке G числу вхождений точки в последовательность.

При такой трактовке две последовательности и = {k } из G равны (пишем = ), если для соответствующих им дивизоров () () при всех G. Иначе говоря, каждая последовательность точек рассматривается как представитель некоторого класса эквивалентности, состоящего из последовательностей в G с одинаковыми дивизорами. При этом носитель supp для последовательности точек это носитель соответствующего ей дивизора. Запись (соотв. ) означает, что supp (соотв. supp ). Для подмножества B C запись B означает, что supp B; B сужение последовательности на B с дивизором B. Последовательность точек G включена в, если () () в терминах дивизоров при всех G, и при этом пишем, а подпоследовательность последовательности ; объединение через дивизоры задается тождеством ( )() () + (); для и только в этом случае разность последовательностей \ определяет дивизор ( \ )() () (), G. На последовательностях точек операции и отношения, отличные от приведенных выше, понимаются поэлементно. Например, z := {zk }, Re := {Re k };

> 0, если k > 0 для всех k, и т. п.

Чтобы отличать такой подход от стандартного взгляда на последовательность как на функцию натурального или целого аргумента, каждую последовательность точек, для которой важна нумерация ее членов, будем называть занумерованной последовательностью, а точки занумерованных последовательностей изображаем в круглых скобках, т. е. в виде = (k ). Естественным образом с функций на занумерованные последовательности точек из R переносятся понятия (строгого) возрастания и убывания. Таким образом, если речь идет о возрастающей или убывающей последовательности точек из R, то подразумевается занумерованная последовательность.

В дальнейшем, не умаляя общности, удобно считать, что последовательности точек в областях не содержат точки 0.

Каждой последовательности точек в G сопоставляем считающую меру n, определенную по правилу В частности, n {} = () при всех G. Для последовательности C положим Последнее соотношение эквивалентно существованию постоянной > 0 такой, что при любом неравенство справедливо для всех конечных линейных комбинаций Полная минимальная, т. е. точная, система E равномерно минимальна тогда и только тогда, когда выполнено соотношение (здесь по-прежнему {S } биортогональная система к {e },, а · норма в E ). При условии (c) в силу биективности отображения F из (1.1.2) норма · в E индуцирует норму · на пространство E голоморфных в L функций по естественному правилу2 S := S. В обозначении (1.1.5), к примеру, S = f. Таким образом, для полной минимальной системы E с функцией F из теоремы 1.1.5 критерий (1.1.6) равномерной минимальности можно переписать в виде 1.1. Следуя Н. Винеру и Р. Пэли (см. [WP34], [AR67], [Red74]), в обозначениях предыдущего подраздела 1.1.2, говорим, что система E, или последовательность (для системы E ), имеет избыток exc E := exc = q Z в пространстве E, или для E, если мы придем от системы E к точной в E системе • при q 0 после удаления q попарно различных элементов из системы E, т. е. q чисел из последовательности ;

• при q < 0 после добавления |q| новых элементов к системе E из системы EL, т. е. добавления |q| попарно различных новых чисел к последовательности.

Внутреннее описание нормы · это, конечно, отдельный вопрос для каждого конкретного пространства E и каждой системы {e } и часто очень непростой. Для получения только достаточных (соотв. необходимых) условий равномерной минимальности можно обойтись лишь верхними (соотв. нижними) оценками нормы ·.

Если полнота не нарушается (не возникает) после удаления (соотв.

добавления) любого конечного набора попарно различных чисел, то exc E := exc := + (соотв. exc E := exc := ). Корректность этих определений обеспечивают, к примеру, условие (c) вместе с внутренней устойчивостью E на L по п. 3) теоремы 1.1.4.

Очевидно, по определениям система E полна тогда и только тогда, когда exc 0, минимальна, если и только если exc 0, и, наконец, точна в том и только том случае, когда exc = 0.

Двойственные аналитические постановки условий, при которых избыток принимает заданное значение, легко следуют из теорем 1.1.2, 1.1.3, 1.1.5:

Теорема 1.1.6. В условиях теоремы 1.1.4 избыток системы E равен q 0 (соотв. равен q < 0) тогда и только тогда, когда существуют голоморфная на L функция F с ZeroF = и конечная последовательность {0, 1,..., q } (соотв. L), для которой в обозначении sign q := q/|q| при q = 0 и sign 0 := одновременно выполнено следующие два условия:

Далее, exc E = + (соотв. exc E = ), если для любой (соотв. некоторой) голоморфной на L функции F с ZeroF при каждом q N (соотв. q N) для некоторой последовательности {1,..., q } (соотв. L) имеет место (1.1.7).

Как показал В. Д. Мильман [Мил70, Лемма 1.1], при условии exc = + на самом деле из системы E всегда можно удалить даже бесконечное число элементов, сохраняя полноту. Но в отношении условия exc = возможность добавления к E бесконечного числа элементов из EL с сохранением неполноты требует уже учета специфики пространства E и(или) системы E.

Абсолютная полнота и родственные понятия 1.1. С конца 1950-х годов в работах Ф. Дэвиса и Ки Фана [DF57], [Fa59] было положено начало исследованию полноты систем функций с учетом ограничений на коэффициенты аппроксимирующих линейных комбинаций функций из этой системы. Варианты такой стема элементов E банахова пространства E абсолютно полна в E (соотв. {m }-полна, m 0, ), если любой элемент e E аппроксимируется в E конечными линейными комбинациями c e, где |c | Ce (соотв. |c | Ce m, ) и постоянная Ce зависит только от e.

Двойственные критерии абсолютной полноты, а также критерии {m } -полноты в терминах сопряженного пространства E к E изложены в работах С. Я. Хавинсона [Хав71], Ф. Дэвиса и Ки Фана [DF57], [Fa59], И. Ф. Красичкова-Терновского [Кр86]. Зачастую эти два понятия эквивалентны (см. [Кр86]), поэтому здесь ограничимся обсуждением только абсолютной полноты. Двойственный критерий абсолютной полноты в трактовке И. Ф. Красичкова-Терновского, являющийся частным случаем значительно более общих результатов С. Я. Хавинсона [Хав71]– [Хав02], состоит в следующем: система E абсолютно полна в E в том и только том случае, когда выполнено соотношение Двойственная аналитическая версия этого критерия при условии (c) и в обозначениях п. 1.1.2 система E абсолютно полна в E только и только лишь при условии Варианты определения абсолютной полноты в локально выпуклых пространствах давались в работах В. Б. Шерстюкова [Ше95]– [Ше00 ], Ю. Ф. Коробейника и В. Б. Шерстюкова [КШ98] (см. также [Кр86, § 2, Замечание 1]).

Система E абсолютно полна в локально выпуклом пространстве E с набором полунорм P, определяющим топологию в E, если для всякого e E при некотором Ce > 0 для любой полунормы p P при каждом > 0 найдется конечная линейная комбинация c e, для которой одновременно выполнены неравенства Та же система ослабленно абсолютно полна в E, если для любой полунормы p P система E абсолютно полна в (E, p), т. е.

в пространстве с тем же множеством элементов, что и в E, но топологией, задаваемой одной полунормой p. Очевидно, для нормированного пространства E эти два понятия совпадают. Двойственный критерий система E абсолютно полна в отделимом локально выпуклом пространстве E тогда и только тогда, когда поляра S E : S, e 1, слабо ограничена в E. Если E реализуется как локально выпуклое пространство E голоморфных функций в области, то можно дать и двойственную аналитическая версию этого критерия в виде, близком к (1.1.8), но с заменой нормы на полунормы.

Дальнейшие обобщения этих понятий и их исследование см. в [Ше95] и [Ше00 ], где рассмотрены так называемые (ослабленно) T-полные системы, охватывающие как частный случай предыдущие понятия полноты с ограничениями на коэффициенты, включая O(p)-полноту в смысле С. Я. Хавинсона [Хав71].

1.2 Множества (не)единственности и выметание Согласно предыдущему разделу и в свете теоремы 1.1.2 при двойственном аналитическом подходе к полноте в пространстве E ключевую роль играет возможность распознавания множеств (не)единственности в функциональном пространстве E из (1.1.2).

В этом разделе предлагается двойственный метод такого распознавания для случая, когда функции из E голоморфны в некоторой области из C и в той или иной степени характеризуются поточечными ограничениями сверху системой функций-мажорант, или весовых функций (кратко весов).

В основе метода лежит абстрактное выметание меры или положительного функционала, поэтому здесь мы закрепляем за ним наименование “метод выметания” 3. Этот метод разрабатывался и применялся в работах Б. Н. Хабибуллина [Хаб91 ], [Хаб92]– Khab94, [Хаб96]–[Хаб01 ], [Хаб97], [Хаб04 ], [Хаб04 ], [Хаб05] (см.

также его отдельные элементы в [Koo96, гл. III], [Ra00]).

Спектр применений метода выметания в теории функций довольно широк (подробности в [Хаб01 ]) и описание множеств (не)единственности в весовых пространствах голоморфных функций одной и многих переменных лишь один из вариантов его использования. Само понятие выметания (balayage) впервые возникло в теории потенциала у А. Пуанкаре. Возможна и абстрактная его трактовка [Mei73], [АК78], [Хаб01 ]–[Хаб01 ].

два функционала на множестве Y. Функционал S выметание функционала T относительно K в Y, если T (k) S(k) для любого элемента k K.

Если K подпространство в векторном пространстве Y над полем C, то можно рассматривать и функционалы T, S : Y C.

При этом S выметание T относительно K в Y, если T (k) = S(k) для любого k K (см. [Be66]).

Всюду в этом разделе область в C, 0. Конус субгармонических функций в области обозначаем SH(), включая в него и функцию.

Меры Йенсена и их применение 1.2. Здесь мы оперируем частным случаем выметания, когда в роли Y выступает пространство C(), K это выпуклый конус SH() C(), а T = 0 мера Дирака, т. е. единичная масса в точке 0. В этом случае выметания меры Дирака 0 реализуются как специальный класс мер на, который полностью описывает Определение 1.2.1. Мера µ M+ () называется мерой Йенсеc на (для точки 0 в области ) если для любой функции u SH() справедливо неравенство В зависимости от акцентов его можно назвать также методом огибающей или методом наибольшей миноранты (наименьшей мажоранты).

Класс всех таких мер Йенсена обозначаем через J0 ().

Тривиальными примерами мер Йенсена из J0 () служат сама мера Дирака 0, нормированные единицей мера Лебега m(r) в круге D(r) и мера длины дуги s(r) на окружности D(r).

По-видимому, впервые меры Йенсена возникли в теории равномерных алгебр [FA66], [Ga78]. Ряд их свойств отражен, например, в [Koo83], [Koo92], [Koo96], [CR01], [Ra00], [Хаб91 ], [Хаб92 ], [Хаб03], а также в других работах, связанных с теорией функций в круге, с теорией (плюри)потенциала и пр.

В определенном смысле класс J0 () двойственен к конусу SH(). Одно из проявлений этого двойственное описание наибольшей субгармонической миноранты (или наименьшей супергармонической мажоранты ) функции в через меры Йенсена, являющееся следствием теоремы Хана–Банаха, но в усовершенствованной форме берущее начало в результате Д. А. Эдвардса [Edw66]. В дальнейшем эту важную двойственность по разнообразным поводам развивали С. Бу и В. Шахермайер [BSc92], Б. Коул и Т. Рансфорд [CR97, Следствие 1.7], [Ra00], П. Кусис [Koo83], [Koo92], [Koo96], Ф. Ларуссон и Р. Сигурдссон [LS98, Теорема 2.1], Е. А. Полецкий [Пол91]–[Пол99], [Пол01], Б. Н. Хабибуллин [Хаб92 ], [Хаб93], [Хаб93 ], [Хаб97], [Хаб01 ]–[Хаб01 ]. Другое проявление двойственности полная характеризация субгармонических функций в терминах произвольных мер Йенсена [Хаб03, Первый критерий субгармоничности].

Функция M : [, +] задает векторное пространство Всюду ниже в этом разделе для простоты предполагаем, что M () R и функция M непрерывна на.

Роль мер Йенсена в описании множеств (не)единственности определяется теоремой 1.2.1, сформулированной здесь в терминах произвольной порождающей функции f последовательности = {k } с с последовательностью нулей Zerof =.

Теорема 1.2.1. Если множество неединственности для пространства H(; M ), то справедливо соотношение Обратно, если выполнено (1.2.1), то для любого числа (0, 1) последовательность множество неединственности для класса H(; M ), где в обозначении d (z) := min{dist(z, ), 1} Для = C это результат из [Хаб91 ] (см. также [Ra00]).

Для односвязных областей эта теорема установлена в [Хаб97, Теорема 1.2]. Чуть более общая версия теоремы 1.2.1, включая и многомерный ее вариант, доказана в [Хаб01, Теорема 11.1]. Отличие этих результатов лишь в том, что в случае неограниченной области = C в определении (1.2.2) функции M () требовалось добавить еще и слагаемое const. log(1 + |z|). К сожалению, нами не было в свое время замечено, что при произвольном выборе фиксированной точки z0 C \ предварительное домножение функции f на множитель 1/(z z0 )m, где степень m N достаточно велика, позволяет ликвидировать это слагаемое. В [Хаб96 ] анонсирована, а в [Хаб01, Введение]–[Хаб01 ] описана и реализована общая схема использования двойственного представления наибольшей субгармонической миноранты (или, более общ, суо перлинейного функционала на проективном пределе векторных решеток) к описанию множеств (не)единственности и к ряду других проблем. В частности, используя, как и в [Хаб01, Теорема 7.1], сглаживания с помощью свертки, можно получить Дополнение 1.2.1. В теореме 1.2.1 в (1.2.1) можно заменить класс J0 () на подкласс абсолютно непрерывных мер Йенсена J0 () M+ () и даже на подкласс мер Йенсена с бесконечно дифференцируемыми плотностями с носителями, не пересекающимися с произвольным наперед заданным компактом из.

Важное подмножество класса J0 () класс H0 () гармонических мер D (0, ·) для подобластей D в точке 0 и его подreg класс H0 () H0 () для регулярных (для задачи Дирихле) подобластей D, содержащих 0. Использование совместных результатов Б. Коула и Т. Рансфорда [CR01, Теорема 4.2] дает возможность (см. [Хаб04, раздел 3]) получить еще одно Дополнение 1.2.2. Для любого компакта K в теореме 1.2.1 в (1.2.1) можно заменить класс J0 () на H0 ()M(\K).

Другой важный подкласс в J0 () порождают аналитические диски в. Аналитическим диском в области с центром в 0 называется функция g : D, непрерывная на D и голоморфная в D, для которой f (0) = 0 (см. [Пол91]–[Пол99], [CR01])4.

Если аналитический диск g в с центром 0 многочлен комплексной переменной, т. е. g C[z], то естественно называть его полиномиальным диском в с центром в точке 0.

Каждый аналитический диск g в области 0 с центром в нуле порождает меру µ = g s Mc по правилу Другими словами, мера g s(1) образ нормированной единицей меры длины дуги s на окружности D при отображении g.

Класс AD0 () J0 () всех таких мер называют голоморфными мерами или аналитическими диск-мерами [CR01, § 7] (для точки 0 в области ). Меры из подкласса PD0 () в AD0 (), порожденные полиномиальными дисками, будем называть полиномиальными диск-мерами. Как показали С. Бу и В. Шахермайер [BSc92, Теорема B], замыкание clos PD0 () этого подкласса в -слабой топологии на Mc () совпадает с J0 (), откуда можно получить Дополнение 1.2.3. В теореме 1.2.1 в (1.2.1) можно заменить класс J0 () на подкласс AD0 () или PD0 (). Иначе говоря, ввиду (1.2.3) теорема 1.2.1 верна, если (1.2.1) заменить на условие где sup взят по всем аналитическим дискам g AD0 () или по всем полиномиальным дискам g PD0 ().

1.2. Полезным оказался и следующий этап двойственности, заключающийся в рассмотрении потенциалов мер Йенсена. Двойственные к мерам Йенсена объекты в виде обычного логарифмического Если используются различные виды аналитических дисков, то рассматриваемые здесь аналитические диски выделяют как замкнутые [Пол99].

потенциала log |z | dµ(z) возникали уже в книге Т. Гамелина [Ga78]. Однако в связи с применениями к описанию множеств единственности более полезным оказалось [Хаб91 ] рассмотрение логарифмического потенциала рода Vµ () := мер Йенсена µ, поскольку эти меры вероятностные, а потенциал Vµ оказывается положительным. Внутреннее описание всех таких потенциалов дает (см. [Ga78], [Хаб91 ], [Хаб92 ], [Koo96] и наиболее детально в [Хаб03]) ническую в \ {0} функцию V называем функцией Йенсена (для точки 0 в области ), если выполнены следующие три условия:

1) V () 2) существует K Класс всех функций Йенсена обозначаем через PJ0 ().

Функции Йенсена V в 0 и потенциалы мер Йенсена из (1.2.4) всегда доопределяем нулевыми значениями на дополнении C \. Тогда они становятся субгармоническими в C \ {0}.

Функции Йенсена изучались также В. И. Мацаевым, И. В. Островским и М. Л. Содиным [МОС02] в случае плоскости = C и применялись К. Сандбергом [Su02] в единичном круге = D.

Пусть M субгармоническая функция в с мерой Рисса M = 2 M (здесь оператор Лапласа, а равенство в смысле теории распределений). В этом случае справедлива (для = C см. [Хаб91, Основная Теорема и Предложение 4.2], для односвязных областей [Хаб97, Теорема 1.3], [Хаб01, Теорема 11.2]) Теорема 1.2.2. Пусть M SH() C(). Теорема 1.2.1 справедлива, если вместо (1.2.1) использовать соотношение Переход от теоремы 1.2.1 к теореме 1.2.2 осуществляется на основе следующего обобщения классической формулы Пуассона– Йенсена для субгармонических функций.

Теорема 1.2.3. Пусть u SH() с мерой Рисса и при этом u (0) =. Тогда для каждой меры Йенсена µ в с потенциалом Vµ справедливо равенство Распространение в [Хаб03] обобщенной формулы Пуассона– Йенсена (1.2.6) на произвольные области позволяет обойтись без требования односвязности области и в теореме 1.2.2.

Каждая отдельная функция Йенсена V уже несет в себе достаточное условие для множеств единственности в весовом пространстве, если вместе с V рассматривать некоторые ее преобразования, оставляющие эту функцию в классе функций Йенсена. Особенно просто такие условия выглядят, когда область = C, поскольку если V PJ0 (C), то V (·/z) PJ0 (C) для любого z C \ {0}.

Следствие 1.2.1. Если = C и для функции V PJ0 (C) в условиях теоремы 1.2.2 имеет место соотношение то множество единственности для H(C; M ).

Теорема 1.2.2 и особенно следствие 1.2.1 делают актуальной задачу построения функций Йенсена. Укажем один такой способ построения (здесь только для одной переменной), в частном виде реализованный в статьях Б. Н. Хабибуллина (для одной переменной в [Хаб91, § 5, п. 4], для нескольких переменных и в неявной форме в [Хаб91, Лемма 2.2], в явном виде в [Хаб92 ], [Хаб99], а наиболее общо в [Хаб05, § 4]). За исходный объект такого построения можно взять произвольную субгармоническую функцию v в C. При этом для простоты будем считать функцию v непрерывно дифференцируемой. Дальнейшие возможные шаги:

i) v1 := (v const.)+, где const. столь велика, что v1 0 в некоторой открытой окрестности U точки 0;

ii) v () := v1 1/, C, инверсия v1 относительно D;

iii) используя инверсию v1 относительно D(r), r > 0, полагаем iv) положим Ar = sup[0,2) ar (), где сумма производных от Vr по внешней нормали соотв. на границах круга D(r) и его дополнения C \ D(r);

справа отбрасывается, функция Йенсена в нуле для всякой инверсия U (субгармоничность V в окрестности D(r) следует по построению из [Хаб93, Лемма 3.8.1], [Хаб99, Лемма 4.1] или общих теорем П. Бланше [Bl95, Теоремы 3.1–3.3]).

Возможно и обобщение конструкции i)–v) на пути замены круга D(r) некоторой односвязной областью D 0, а инверсии v1 (r2 / ) в iii) заменой переменной, основанной на конформном отображении D на ее внешность C \ D.

На альтернативный способ построения функций Йенсена указал нам в свое время В. С. Азарин в отзыве о диссертации [Хаб93].

Например, для области 0 и вероятностной меры µ M+ () c следующие две функции от = будут функциями Йенсена для 0 в (ср. с (1.2.4)), если постоянная const. столь велика, что V 0 вне некоторого K. Но при таком построении бывает трудно проследить изменения исходного потенциала Vµ () = log |1 z/| dµ(z), C \ {0}.

Если для получения максимального набора достаточных условий для множеств единственности выгодно использовать все функции Йенсена, то для, как правило, значительно более трудной задачи установления достаточных условий для множеств неединственности в целях облегчения проверки (1.2.5) важно максимально сузить класс тестирующих (1.2.5) функций Йенсена.

Отображение P : µ Vµ класса J0 () на класс PJ0 (), где Vµ потенциал меры Йенсена из (1.2.4), является биекцией (см.

[Хаб97, Предложение 3.4], [Хаб01, Лемма 11.1], [Хаб03, Теорема двойственности]), а мера Йенсена µ = P1 (V ) для V J0 () однозначно восстанавливается по правилу (см. [Хаб03, Предложение 1.4]). Кроме того, (J1) сужение отображения P на подкласс мер с бесконечно дифференцируемой плотностью дает в качестве образа подкласс функций Йенсена из C ( \ {0});

(J2) образ сужения отображения P на H0 () образует подкласс Greg () PJ0 () всех продолженных нулем на \D функций Грина gD (, 0),, с полюсом в нуле для регулярных областей D, содержащих 0 ;

(J3) образ сужения P на подкласс аналитических диск-мер или полиномиальных диск-мер совпадает с подклассом функций Йенсена, допускающих представление вида где g пробегают множество всех аналитических или соотв.

полиномиальных дисков в с центром в 0.

Дополнения 1.2.1–1.2.3 при этом перейдут в Дополнение 1.2.4. В теореме 1.2.2 в (1.2.5) можно заменить класс PJ0 () на любой подкласс функций Йенсена из (J1)–(J3).

Если последовательность множество неединственности для пространства H(, M ) с субгармоническим весом M, то в каком-то смысле считающая мера n должна мажорироваться мерой Рисса M. Теорема 1.2.2 и дополнение 1.2.4 придают этому эвристическому наблюдению вполне определенный смысл. При этом класс функций Йенсена и некоторые его подклассы играют в рассматриваемых вопросах роль тестовых классов функций, аналогичную роли положительных финитных основных функций при проверке стандартного отношения порядка между мерами или распределениями (обобщенными функциями).

Отметим, что условие непрерывности функции M может быть значительно ослаблено, а ее преобразования M () из (1.2.2) в формулировке теоремы 1.2.1, а значит, и во всех других утверждениях этого раздела допускают гораздо более широкое варьирование в зависимости от конкретной ситуации и потребностей.

Замечание. Многие классические формулы, такие, как формулы Неванлинны, Карлемана, Б. Я. Левина, а также и новые можно получить в едином ключе из обобщенной формулы Пуассона– Йенсена (1.2.6) теоремы 1.2.3 путем построения различных функций Йенсена по схеме i)–v), а по ним и мер Йенсена (посредством P1 из (1.2.8)). Вариации на эту тему в несколько завуалированной форме присутствуют в [Хаб91 ], [Хаб91, § 7, п. 4], [Хаб99, п. 4].

Глава Пространства функций вещественной переменной 2.1 Cистемы экспонент на замкнутых подмножествах Всюду в этом разделе рассматриваются вопросы полноты систем функций в пространствах функций, определенных на какомлибо типе замкнутого подмножества из R или из [, +].

2.1. или компактном подмножестве в R В основе аналитического подхода к полноте системы Exp на отрезке лежит следующая версия теоремы 1.1.2 (см. [Le40], [Sch43], [Сед00, 4.2, лемма 1]):

Теорема 2.1.1. Система Exp неполна на отрезке [a, b] при только тогда, когда существует целая функция F 0, обращающаяся в нуль на и представимая в виде где функция ограниченной вариации на [a, b] По теореме 2.1.1 и даже без нее легко видеть, что задача полноты системы Exp на отрезке и в Lp (a, b) не “чувствует” сдвига отрезка, а всякая гомотетия отрезка [a, b] с коэффициентом k или поворот отрезка вокруг нуля на угол переводит утверждения о (не)полноте системы Exp в такое же утверждение соотв.

для системы Exp1 или Expei. Поэтому некоторые результаты и проблемы, сформулированные для конкретного отрезка, например, [, ], или для последовательности i = {ik } носят, тем не менее, общий характер.

Целые функции вида (2.1.1) (соотв. (2.1.2)) это ц.ф.э.т.

вполне регулярного роста ([Лев56], [Лев96]) с индикатором роста hF () b cos+ a cos =: K[a,b] () опорная функция отрезка [a, b], R, удовлетворяющие неравенству (соотв. наряду с (2.1.3) и условию limy± F (iy) = 0). В частности, функция ei(a+b)/2 F (i) попадает в пространство Бернштейна B при значении = (b a)/2.

Для последовательности C (см. соглашение 0 из подраздела 0.1.2 введения) соотв. верхняя плотность и усредненная верхняя плотность последовательности. Если вместо верхних пределов в (2.1.4) поставить нижние, то получаем нижние плотности () и D(). Если () = () =: (), то () обычная плотность последовательности. Аналогично определяется обычная усредненная плотность D() := D() = D(). Максимальная плотность Пойа последовательности и ее усредненная максимальная плотность Пойа задается соотв. как [Koo88, VI E] Для последовательностей нулей ZeroF ненулевой ц.ф.э.т. вида (2.1.1) и (2.1.2) все плотности из (2.1.4) и (2.1.5) совпадают ввиду Глава 2. Пространства функций вещественной переменной определенной регулярности роста таких функций и распределения их нулей [Лев56], [Лев96], [Boa54].

На основе вытекающего из формулы Йенсена неравенства Йенсена D(ZeroF ) = lim sup где hF индикатор роста ц.ф.э.т. F, для функции F вида (2.1.1) и (2.1.2) последний интеграл в (2.1.7) не превышает (b a)/.

По теореме 2.1.1 наилучший возможный результат о полноте в терминах плотностей (2.1.4) и (2.1.5) Теорема 2.1.2. Если хотя бы одна из плотностей из (2.1.4) или (2.1.5) больше, чем (b a)/, то система Exp полна на [a, b] и в Lp (a, b). Если D() > (b a)/, то система Exp полна и в пространстве H[a, b] := H([a, b]) ростков голоморфных на отрезке [a, b] функций.

Теорема 2.1.2 еще очень “грубая” и мало учитывает специфику пространств C[a, b] и Lp (a, b). К первым утверждениям, в некоторой степени лишенным отмеченного недостатка, можно отнести следующий результат М. Картрайт [Car30] и Н. Левинсона [Le40] (см. также [Лев56, Приложение III], [Лев96, 17, Теорема 1; 18, Теорема 2]), который сильнее теоремы 2.1.2 “в 22 раз” (оценки плотностей снизу меньше в два раза и рассматривается “верхняя или нижняя половина” точек из последовательности ).

Теорема 2.1.3. Если при 0 < одна из плотностей из (2.1.4) или (2.1.5) последовательностей (/2+, 3/2) или (3/2+, /2) больше, чем (ba)/2, то система Exp полна на [a, b] и в Lp (a, b).

В то же время почти через 20 лет после поставленного Н. Левинсоном [Le40] вопроса Ж.-П. Кахан [Kah59] указал последоваCистемы экспонент на замкнутых подмножествах тельность iR нулевой верхней плотности, для которых система Exp полна на любом отрезке из R. Уже через год П. Кусис [Koo60] (см. также [Koo92, с. 294]) построил последовательность iN попарно различных чисел нулевой верхней плотности, для которой система Exp полна на любом отрезке длины < 2. Развитие этих примеров, показавших, что теорема 2.1. все еще недостаточно учитывает особенности пространств C[a, b] и Lp (a, b), можно найти в обзоре Р. М. Редхеффера [Red74, Теорема 37], где указана также нерешенная на момент его публикации Проблема 2.1.1. Для всякой ли возрастающей функции b на [1, +) при 1 b(t)t dt = найдется последовательность iN попарно различных чисел, для которой nrad (t) b(t) при t 1, но система Exp полна на любом отрезке в R длины < 2?

Дальнейшая судьба этой проблемы нам неизвестна.

Другой вариант условий и даже критерия полноты системы Exp, навеянный теоремами Мюнтца–Саса о полноте систем степеней (см. ниже), был предложен Дж. А. Кларксоном и П. Эрдешем [CE43] для положительных и Л. Шварцем [Sch43] для вещественных последовательностей показателей.

Говорим, что последовательность = {k } C отделена от мнимой оси (от iR), если имеет место соотношение Распространение критерия Кларксона–Эрдеша–Шварца на комплексные показатели в различной степени реализовали Б. Я. Левин [Лев56], У. Люксембург и Я. Кореваар [LK71] (для последовательностей, отделенных от iR), Р. М. Редхеффер [Red68], [Red74, Теорема 41] (для произвольных C):

Теорема 2.1.4. Для полноты системы Exp на [a, b] R или в Lp (a, b) необходимо, чтобы расходился ряд (условие расходимости Бляшке–Мюнтца) Глава 2. Пространства функций вещественной переменной и достаточно, чтобы расходился ряд Перечень условий, эквивалентных расходимости или сходимости ряда (2.1.10), можно найти у Л. Кнокерта [Kn02].

При отделенности от мнимой оси условия расходимости рядов (2.1.9) и (2.1.10) эквивалентны, а теорема 2.1.4 приобретает форму критерия, содержащего, как частный случай, критерий Кларксона–Эрдеша–Шварца для R:

Теорема 2.1.5. Для последовательности C, отделенной от мнимой оси, система Exp полна на [a, b] R (в Lp (a, b)) тогда и только тогда, когда расходится ряд (2.1.9).

Некоторую версию теоремы 2.1.5 можно извлечь из препринта Л. К. Л. Ботелхо [Bo99]. Специфическое развитие теоремы 2.1. для систем функций {f (k z)} на отрезке, где f голоморфна в выпуклой области, содержащей отрезок, относительно недавно предложено С. В. Злобиной [Зл99, Теорема]. Некоторые особые условия полноты систем подобного вида с целой функцией f в пространствах Lp (0, 1) функций с модулем, интегрируемым в p-ой степени по положительной мере µ на интервале (0, 1), даны в препринте Л. Д. Абреу [Abr04]. Сформулируем их здесь вместе.

Пусть заданы две целые функции f и g, представимые в виде с вещественными нулями, а последовательности Zerof R+ = (k ) и Zerog R+ = (k ) перенумерованы по возрастанию, k = 1, 2,....

Теорема 2.1.6 ([Abr04, Теоремы 1, 2]). Если limn an /bn = 0, а функция f порядка < 1, или же порядка < 2, но дополнительно k k при всех k, то система {f (k z)} полна в Lp (0, 1).

В [Abr04] эта теорема применяется и к вопросам полноты систем специальных функций. Последнее составляет одну из основных тематик монографии Дж. Р. Хиггинса [Hi77].

2.1. Cистемы экспонент на замкнутых подмножествах Для последовательности вещественных показателей П. Боруайн и Т. Эрдели [BE98] получили критерии полноты систем степеней {xk } в пространствах функций на предкомпактных подмножествах из (0, +). Они использовали прямые методы, отличные от двойственных и основанные на тонких неравенствах для конечных комбинаций степеней. Подробнее с этими методами, их истоками и многими дополнительными глубокими результатами, связанными с условием (бес)конечности суммы (2.1.9), можно ознакомиться по их монографии [BE95] и обзору Т. Эрдели [Er05]. Сформулируем два их критерия как утверждения о полноте систем экспонент Exp. В обоих критериях предполагается, что = {k } последовательность попарно различных вещественных чисел, а лебегова мера X R строго положительна.

Теорема 2.1.7 ([BE98, Теорема 3.4]). Пусть X = clos X. Система Exp полна на X, если и только если расходится ряд (2.1.9).

Измеримая функция w 0 на X R, измеримом по m, при p (0, +) порождает пространство Lp (X) с Lp -нормой на X, но с мерой w dx вместо dm (см. п. 0.1.4 введения).

Теорема 2.1.8 ([BE98, Теорема 3.7]). Пусть w 0 на X и X w(x) dx > 0. Система Exp полна в Lw (X), 0 < p < +, тогда и только тогда, когда расходится ряд (2.1.9).

По-видимому, открытой остается Проблема 2.1.2. Распространить критерии Боруайна–Эрдели, т. е. теоремы 2.1.7–2.1.8, на отделенные от мнимой оси последовательности показателей.

Решение части проблемы 2.1.7 возможно сразу на основе предыдущих результатов. Например, условие расходимости ряда (2.1.10) достаточно для полноты Exp на любом компакте в R.

Проблема в доказательстве необходимости.

Отклонение линейных комбинаций системы экспонент (степеней) от аппроксимируемой функции на отрезке исследовали, к примеру, М. фон Голичек [Go75] и Г. Стилл [Sti85].

Серъезный недостаток теорем 2.1.2 и 2.1.3, а также достаточного условия (2.1.10) в теореме 2.1.4 это бесконечный избыток полноты. Другими словами, из системы экспонент всегда можно Глава 2. Пространства функций вещественной переменной удалить бесконечное число функций, не нарушая полноты. К тому же условие расходимости (2.1.10) в теореме 2.1.4 не “чувствует” и длины отрезка [a, b]. Исходным пунктом еще одного типа условий полноты на [a, b], в некоторой мере лишенных этих недостатков, является ряд результатов Н. Левинсона [Le40]. Иллюстрирует их здесь только одна Теорема 2.1.9. Пусть p [1, +] и для C характеристика то система Exp полна в Lp (a, b) при p [1, +) и на [a, b] при p = +. В (2.1.11) заменить число p на меньшее нельзя.

Подробные комментарии и многочисленные результаты, связанные с теоремами 2.1.4 и 2.1.9 и их вариациями, можно найти в обзоре А. М. Седлецкого [Сед01, § 1], [Сед03, § 1] (см. также [Red74], [Сед00], [Сед03]–[Сед03 ], [Сед05], [You80], [МПС04]), где проведен и анализ точности теоремы 2.1.9 (см. также статью А. И. Хейфица [Хе68]). В вариациях этих теорем накладываются дополнительные условия на последовательность показателей.

Мы же отметим только, что условия теоремы 2.1.9, вообще говоря, “чувствуют” удаление даже одной экспоненты из Exp. Наиболее существенное продвижение по обобщению теоремы Левинсона 2.1.9 осуществлено недавно в совместной работе Н. Г. Макарова и А. Г. Полторацкого [МП05, 2.11].

Теоремы Берлинга–Мальявена Кульминацией исследований по задаче полноты для систем экспонент на ограниченном интервале (замкнутом или открытом) до сих пор остается знаменитая теорема Берлинга–Мальявена о радиусе полноты [BM67]. Приведем ее здесь в интерпретации Р. М. Редхеффера [Red72]. Плотность Редхеффера Re () занумерованной последовательности = (k ) определяем как точную нижнюю грань чисел c > 0, для которых существует такая послеCистемы экспонент на замкнутых подмножествах довательность (mk ) попарно различных целых чисел, что Теорема 2.1.10. При b a > 2Re () (соотв. < 2Re ()) система Expi полна (соотв. неполна) на [a, b] R и в Lp (a, b).

Другими словами, точная верхняя грань () радиусов отрезков, на которых полна система Expi, равна Re (). Отсюда легко следуют теоремы 2.1.2–2.1.5. Традиционно величина () называется радиусом полноты последовательности.

Отметим другие плотности распределения последовательностей, совпадающие с Re (). Они в различном терминологическом обрамлении возникали у авторов, причастных к данной тематике. В основном мы пользуемся терминологией и обозначениями Ж.-П. Кахана из [Kah62], Я. Кореваара из [Kor80] и И. Ф. Красичкова-Терновского из [Кр89].

Пусть пока R. Плотность, или характеристика, Кахана Ke () определяется как точная нижняя грань чисел a > 0, для которых найдется возрастающая функция k : R R, удовлетворяющая условию |k(x2 ) k(x1 )| a|x2 x1 | для всех x1, x2 R и Плотность, или характеристика, De (), называемая эффективной плотностью Берлинга–Мальявена, имеет более геометрический характер. Разбиение вещественной оси на непересекающиеся интервалы j R, j = 1, 2,..., R = j j называется тонj где |j | длина интевала j. Характеристика De () определяется как точная нижняя грань чисел d, для которых существуют тонкие разбиения {j } со свойством n (j ) d|j |, j = 1, 2,....

Две последние плотности сразу переносятся на произвольные меры M+ (R) как плотности Ke () и De (), если в их определениях заменить считающую меру n на меру.

Для переноса определений характеристик Ke () и De () на произвольные последовательности C конечной верхней плотВ [МП05] тонкое разбиение называется коротким или кратким (short).

Глава 2. Пространства функций вещественной переменной ности, удовлетворяющие условию достаточно по известному приему [BM67] каждой точке k при Re k = 0 сопоставить вещественное число по правилу Так возникает последовательность = { } R. После этоk го полагаем Ke () := Ke ( ) и De () := De ( ). Справедливы равенства Re () = Ke () = De () и эта цепочка может быть продолжена другими плотностями. Доказательства этих равенств включались как составная часть в доказательства самой теоремы о радиусе полноты, в связи с чем Я. Коревааром в [Kor80, 6, Вопрос 1] была сформулирована задача непосредственного доказательства совпадения этих и других плотностей. Окончательно она была решена И. Ф. Красичковым-Терновским [Кр89] для семи различных плотностей, включая приведенные.

Доказательства теоремы 2.1.10, в большей или меньшей степени являющиеся вариациями оригинального из [BM67], можно найти у Ж.-П. Кахана [Kah62], Я. Кореваара [Kor80], Р. М. Редхеффера [Red72], [Red74], И. Ф. Красичкова-Терновского [Кр89], В. П. Хавина и Б. Ерикке [ХJ94]. Несколько различных новых доказательств дал П. Кусис [Koo83], [Koo88]–[Koo92], [Koo96]. Методом выметания теорема 2.1.10 доказана в работе Б. Н. Хабибуллина [Хаб94] (см. также [Koo96, гл. III]). В фундаментальной работе Н. Г. Макарова и А. Г. Полторацкого [МП05, 4.4–5] дан принципиально новый подход к доказательству теоремы Берлинга– Мальявена о радиусе полноты, основанный на исследовании ядер специальных операторов Теплица. Все эти доказательства используют другую глубокую и не менее блестящую теорему Берлинга– Мальявена о мультипликаторе [BM62], многократно передоказывавшуюся различными способами (см. статью П. Мальявена [Mal79], книги Л. де Бранжа [Br68], П. Кусиса [Koo88]–[Koo92], [Koo96], [Koo98], В. П. Хавина и Б. Ерикке [ХJ94] и, возможно, наиболее естественное и относительно краткое вещественное 2.1. Cистемы экспонент на замкнутых подмножествах доказательство из совместной обзорной статьи Дж. Машреги, Ф. Л. Назарова и В. П. Хавина [MНХ04]). Один из ее вариантов Теорема 2.1.11. Пусть f ц.ф.э.т. в C. Для cуществования при любом > 0 ц.ф.э.т. 0 из пространства Бернштейна B, с которой модуль произведения f ограничен на R, необходимо и достаточно, чтобы функция f принадлежала классу Отсюда сразу следует условие полноты в терминах ц.ф.э.т.:

Теорема 2.1.12. Пусть f ц.ф.э.т. класса Картрайт с индикатором роста hf. Если Zerof, то система Expi полна на отрезке [a, b] и в Lp (a, b) при условии b a < hf (/2) hf (/2).

Обратно, если Zerof, то система Expi неполна на [a, b] и в Lp (a, b) при b a > hf (/2) hf (/2).

Обзор ряда других условий полноты на отрезке в терминах порождающей функции содержится в [Red74], [Сед01, § 1, 1.2], [Сед03, § 1, 1.2], [Сед05].

Отметим, что теоремы Берлинга–Мальявена 2.1.10 и 2.1.11 эквивалентны в том смысле, что пока нет доказательств теоремы о радиусе полноты без привлечения теоремы о мультипликаторе, а теорема о мультипликаторе сама может быть выведена с некоторыми сокращениями из теоремы о радиусе полноты.

В свое время Р. M. Редхеффер [Red72], [Red74] выдвинул задачу элементарного (в разумном смысле) прямого доказательства теоремы Берлинга–Мальявена о радиусе полноты без использования теоремы 2.1.11 о мультипликаторе. При этом доказательство необходимости в теореме 2.1.10 в варианте, предложенном П. Кусисом [Koo92], [Koo96, IIC1] и основанном на формуле Йенсена для эллипсов, можно уже признать элементарным. Основные трудности в доказательстве достаточности. По-видимому, доказательство достаточности в теореме 2.1.10 можно рассматривать как элементарное, если даже в нем будет использована “начальная” теорема о мультипликаторе, восходящая к Р. Пэли и Н. Винеру, а также к А. Е. Ингаму, 1934 г. (см. [Red74, Теорема 38]): если для возрасГлава 2. Пространства функций вещественной переменной тающей функции M : R+ [1, +) выполнено условие то для любого > 0 найдется такая ненулевая ц.ф.э.т. B, что произведение M |x| |(x)| также ограничено на R.

Аналог теоремы 2.1.10 для случайных последовательностей показателей системы Exp в вероятностном обрамлении основной результат работы К. Сейпа и А. М. Улановского:

Теорема 2.1.13 ([SU97, Теорема]). Пусть = {n }nZ последовательность независимых случайных величин на R и := nZ n мера на R, где меры n определены через функцию распределения R (x) := P(n < x) случайной величины n. Тогда почти наверное () = De ().

Взаимосвязи теорем Берлинга–Мальявена с другими вопросами анализа можно проследить по обзору Ж.-П. Кахана [Kah62, Теоремы II, IV, Проблема 3 ], по монографии П. Кусиса [Koo92], по краткому обзору П. Мальявена [Mal97], по обзору Дж. Машреги, Ф. Л. Назарова и В. П. Хавина [MНХ04]), по работе Н. Г. Макарова и А. Г. Полторацкого [МП05].

В отличие от теорем 2.1.10 и 2.1.12 в отношении полноты системы экспонент с показателями из iR на несвязном компакте (объединении отрезков) рассмотренные выше плотности, вообще говоря, неинформативны. Этот несколько неожиданный факт следует из результатов Х. Дж. Ландау:

Теорема 2.1.14 ([La64]–[La72]). Для любого числа > 0 найдется последовательность = {k } R, k Z, удовлетворяющая условию |k k| <, для которой система Expi при любом > 0 полна на каждом конечном объединении отрезков Если f сужение на интервал (, ) некоторой голоморфной в окрестности R функции с сужением на R из класса L1 (R), а последовательность нулей функции F, полученной из функции f как в (2.1.2) при a = и b =, то система Expi при любом > 0 полна на объединении [2 +, ] [, 2 ].

2.1. Cистемы экспонент на замкнутых подмножествах Заметим, что все рассматривавшиеся плотности для последовательностей из теоремы 2.1.14 не больше единицы. При этом суммарная длина объединения отрезков в первом утверждении теоремы 2.1.14 может быть сколь угодно большой, а во втором сколь угодно близкой к 4, что в два раза превышает критическое значение, диктуемое теоремой 2.1.12 для отрезка.

В то же время для произвольных измеримых по мере Лебега подмножеств A [, ] в определенном смысле возможно достижение критического значения.

Теорема 2.1.15 (Р. Лионс [Ly03, Следствие 7.14]). Для любого измеримого подмножества A [, ] лебеговой меры m(A) найдется подпоследовательность Z, для которой имеет место равенство 2Re () = m(A) и система Expi полна в L2 (A).

На самом деле Р. Лионс в [Ly03, Следствие 7.14] методами теории вероятности доказывает, что таких много в том смысле, что для специальной детерминантной вероятностной меры PA на подпоследовательностях из Z, заданной через некоторую матрицу Теплица, построенную по A, свойством, описанным в теореме, каждая последовательность Z обладает PA -почти наверное.

Основные проблемы И все же остается нерешенной ключевая Проблема 2.1.3. Найти критерий полноты системы Exp в пространствах C[a, b] или Lp (a, b), 1 p < (в каждом отдельно или во всех одновременно), в терминах распределения последовательности и длины интервала b a.

Получения критерия полноты системы Exp на отрезке или в Lp (a, b), как не раз отмечалось (см. [Кр86], [ХНП81], [Koo92, с. 167], [MНХ04, 3.3], [МП05, 0.1, стр. 2]), представляется исключительно трудной задачей даже при условии разделенности и(или) расположении только на мнимой оси iR. Часть этой проблемы (необходимые условия неполноты) была сформулирована Я. Коревааром в [Kor80, 6, Вопрос 2] фактически как задача Глава 2. Пространства функций вещественной переменной поиска более тонких характеристик распределения нулей ц.ф.э.т.

вида (2.1.1) и (2.1.2), чем поставляемые вариантами плотностей, связанными с теоремой Берлинга–Мальявена о радиусе полноты.

Даже эта проблема во многом terra incognita.

С проблемой 2.1.3 при аналитическом подходе тесно связана и Проблема 2.1.4. Дать внутреннее описание классов ц.ф.э.т., задаваемых в виде (2.1.1) и (2.1.2).

Если в случае p = 2 и [a, b] = [, ] такое полное описание как класса всех ц.ф.э.т. F B обеспечивает теорема Пэли–Винера, то при других значениях p и для случая (2.1.1) какое-либо удовлетворительное описание неизвестно. Например, условия принадлежности классу Бернштейна B недостаточно. Некоторая общая схема построения контрпримеров по последнему поводу изложена в работе А. М. Седлецкого [Сед97]. Для случая 1 < p < 2 полное решение в определенном смысле обратной задачи об описаp нии всех ц.ф.э.т. F класса B в терминах коэффициентов Фурье, представляющих их в виде (2.1.2) функций f Lq (, ), дано Л. С. Маергойзом в [Мае05, Теорема 1].

В очередной раз подчеркивают сложность проблем 2.1.3 и 2.1. статьи У. Уолкера [Wa91], Р. Эстрады [Es92], А. А. Кондратюка и Ю. Ф. Коробейника [КК92] и Дж. Клуни, К. И. Рахмана и У. Уолкера [CRW00, Теорема 3] вместе с библиографией из них, устанавливающие специфические свойства распределения нулей функций (2.1.1) и (2.1.2). Некоторые из них допускают переформулировку в виде условий полноты систем экспонент на отрезке:

Теорема 2.1.16 ([КК92, Теорема 4]). Пусть для последовательности = {k } выполнены условия 0 Re, sup Re k = +, inf Re k =, а последовательность построена по правиk лу (2.1.14). Тогда если расстояние между каждой парой соседних точек меньше (соотв. не превосходит) 1, то система Expi полна на отрезке [, ] (соотв. в Lp (, ), 1 p < +, а после дополнения одной функцией eix,, и на [, ]).

В контрасте с множествами неединственности неожиданно простое полное описание нулевых множеств для B и для класса Картрайт получено совсем недавно элементарными методами.

Теорема 2.1.17 (С. Ю. Фаворов [Фа05, Теоремы 1 и 2]). Последовательность = {k } C, 0, совпадает с последовательностью нулей Zerof некоторой функции f B, если и только если выполнены следующие условия:

, можно считать, что Из субгармоничности функций Йенсена V вне нуля и “слабой” логарифмической особенности в нуле (см. определение 1.2.2) следует оценка сверху функций V через гармоническое продолжение c iR в C+ и C, т.е. через интеграл Пуассона, а именно:

Из первого условия в (2.1.19) следует |k iy| |k |, y R, откуда согласно (2.1.20) и ограничению сверху на сумму в (2.1.19) Таким образом, по теореме 2.1.20 система Exp неполна на отрезке [2, 2], так как присоединение или удаление конечного числа экспонент не влияет на радиус полноты.

На основе оценок Мацаева–Островского–Содина из [МОС02] метод выметания позволяет дать новое доказательство начальной В свете замечания в конце подраздела 1.2 эта формула вполне вписывается в метод выметания.

Глава 2. Пространства функций вещественной переменной теоремы Пэли–Винера–Ингама о мультипликаторе (см. формулировку при (2.1.15)), а также обобщить ее (см. [Хаб04 ]) на целые функции порядка (1, 2]. Впрочем, эти обобщения для произвольного 1, полученные конструктивными методами, содержались в гораздо более ранних работах Р. М. Редхеффера [Red57], [Red74, Теорема 39], С. Мандельбройта [Man63], И. Кацнельсона и С. Мандельбройта [KM63], [KM65] (см. также обзоры [Red74, Теорема 40] и [ГЛО91, § 2]).

Полнота на замкнутом луче 2.1. и его подмножествах Задача полноты системы экспонент на лучах вида [a, +] и [, b] или в Lp (a, +) и Lp (, b) простой заменой сводится к проблеме полноты системы Exp на расширенной положительной полуоси [0, +] или в Lp (0, +). При этом очевидно требование включения последовательности в открытую левую полуплоскость C (пишем Re < 0), а аналогом теоремы 2.1.1 является Теорема 2.1.21. Система экспонент Exp неполна на [0, +] (в Lp (0, +), 1 p < +), если и только если найдется ненулевая функция F H(C ) вида (2.1.1) (соотв. вида (2.1.2)) с a = 0 и b = +, обращающаяся в нуль на.

Вещественные показатели Отправной пункт исследования полноты систем экспонент на [0, +] знаменитая теорема Мюнтца [M14, Satz, с. 304], даюu щая для строго возрастающей последовательностью попарно различных показателей = (k ) > 0 критерий полноты системы степеней {xk } на [0, 1]. Спустя два года аналогичный критерий был отмечен О. Сасом [Sz16] для пространства L2 (0, 1). После замены z = log x эти результаты допускают эквивалентную “экспоненциальную” трактовку.

В экспоненциальном варианте теорема Мюнтца–Саса утверждает, что для последовательности = {k } < 0 при условии sup < 0 система Exp полна на [0, +] (в L2 (0, +)) тогда и только тогда, когда расходится ряд (2.1.9).

2.1. Cистемы экспонент на замкнутых подмножествах Окончательный вариант теоремы Мюнтца–Саса для последовательности показателей < 0 впервые в полном объеме доказан М. Грамом [Gr56], [Gr57] аналитическими методами, но сформулирован он был еще в 1943 году Л. Шварцем в [Sch43] с неполным доказательством (см. также комментарии в [Сед03, Примечания и дополнения к гл. 9], [Сед05], [Сед03 ], [МПС04, § 3]).

Теорема 2.1.22 (М. Грам [Gr56]). Пусть 3 = {k } < 0. Система Exp полна на [0, +] (в Lp (0, +), 1 p < +), если и только если расходится ряд (2.1.10).

Теоремы типа Мюнтца–Саса многократно передоказывалась разнообразными вещественными, аналитическими и др. методами. Обширный и достаточно полный список работ и авторов, причастных к этому, может быть составлен на основе библиографии из монографий А. М. Седлецкого [Сед00], [Сед01 ], [Сед03 ], [Сед03 ], [Сед05], трудов П. Боруайна и Т. Эрдели [BE95], [BE96], [BE98], [Er05], обзора А. Пинкуса [Pin04]. Отметим здесь доказательства В. Форста [Fo70], У. Рудина [Rud70, Теорема 15.26] (функционально-аналитический метод), Р. П. Фейнермана и Д. Дж. Ньюмена [FN75, гл. X], Ф. Дж. Дэвиса [Dav75], М. фон Голичека [Go83] (очень краткое конструктивное доказательство достаточного условия полноты), Л. К. Дж. Роджерса [Rog81] (теоретико-вероятностный подход), Р. Б. Беркела и С. Сейки [BS83]. Различные специальные версии и обобщения теоремы Мюнтца–Саса рассматривали Л. Б. О. Фергюсон и М. фон Голичек [FG75, Теорема 2], Л. Б. О. Фергюсон [Fer80] (аппроксимация линейными комбинациями с целыми коэффициентами диофантова аппроксимация), Дж. С. Хванг, К. С. Пан и Л. С. Ву [HPW78], C. Такахаси [Tak80], Дж. С. Хванг и Г. Д. Лин [HwL78] (полнота систем вида {f nk }, {nk } N, на отрезке и в L1 (a, b)), Г. В. Харутунян [Har00] (аппроксимация на отрезке линейными комбинациями экспонент, коэффициенты которых из заданной возрастающей последовательности положительных чисел), Х. М. Алмира и У. Лутер [AL02], Х. М. Алмира, Н. Дель Торо и Х. Ходар [ADJ02], Х. М. Алмира, Н. Дель Торо и А. Х. Лопес-Морено [ADL04] и др.

(аппроксимация “урезанными” линейными комбинациями экспоДля последовательности допускается предельная точка 0.

Глава 2. Пространства функций вещественной переменной нент, диофантова аппроксимация такими комбинациями, а также аппроксимация функций на отрезке одновременно вместе с ее несколькими производными в естественных топологиях).

Имеется немало работ по приложениям теорем типа Мюнтца– Саса и их взаимосвязям с разнообразными вопросами анализа:

В. Феллер [Fel68], Б. Дж. К. Бекстер и А. Изерлес [BI97] (связь с вполне монотонными функциями), Дж. С. Хванг [Hw78, 4,5] (приложения к порядковой статистике), Э. Хлавка [Hl86] (применения в теории чисел), А. Дж. Дюран [Dur97, Теорема 4.1] (связь с проблемой моментов и обобщение на пространство распределений), П. С. Бурдон [Bou97], а также Г. А. Чакон, Г. Р. Чакон и Х. Хименес [CCG05] (ортогональность последовательности степеней ограниченной голоморфной функции в пространствах функций в круге), М. Дж. Крабб, Дж. Дункан, К. М. МакГрегор и Т. Дж. Рансфорд [CDGR01] (применения в теории банаховых алгебр), М. Гилленберг, А. Осипов и Л. Пеиверинта [GOP02] (демография: динамика популяций) и др.

По-видимому, существенное различие в методах и подходах иногда приводило исследователей к недостаточной информированности о достижениях других математиков. Так, частные случаи теоремы Грама 2.1.22 о полноте на [0, +] и в Lp (0, +), p = 1, 2, передоказывались П. Боруайном и Т. Эрдели [BE95, 4.2], [BE96, Теоремы 2.1–2.3] в “степенной” трактовке как новые результаты почти через 40 лет после их доказательства аналитическим методом, а случай произвольного p 1 формулировался П. Боруайном и Т. Эрдели [BE96, Гипотеза 2.4] как гипотеза, которая доказывалась В. Оперштейном [Op96] также как новая теорема.

В основу их методов были положены более или менее прямые конструктивные подходы (большей частью вещественной природы), основанные на специальных тонких оценках полиномов. Эти методы в конце концов позволили получить наиболее полные и законченные в определенной степени обобщения теоремы 2.1.22 для вещественных показателей в случае пространств Lp (0, +).

Теорема 2.1.23 (Т. Эрдели, У. Джонсон [ErJ01], [Er05], [Er05 ]).

Пусть < 0 последовательность попарно различных чисел.

Теорема Грама 2.1.22 справедлива в Lp (0, +) при всех значениях p > 0. Более того, при условиях A = clos A [0, +] 0 < p < +, эквивалентна расходимости ряда (2.1.10).

Здесь не обсуждается аналитическая продолжаемость функций из span Exp для неполных систем Exp (см. [BE96], [Er03]–[Er05 ]).

Отмеченная выше неинформированность также ярко проявилась и в исследованиях по проблематике Теорема Мюнтца на счетном множестве Пусть здесь последовательность попарно различных вещественных чисел. Если X R конечное множество, то аналог теоремы Мюнтца4 на X тривиально следует из решения специальной системы линейных уравнений по правилу Крамера: (каждая функция на X совпадает с сужением на X некоторой линейной комбинации функций из Exp )(система Exp полна на X)(число точек в не меньше числа точек в X). Вызывает некоторое недоразумение, что в работе Дж. В. Петерса [Pet83, Теорема 1] этот факт подавался как теорема.

Случай счетного (бесконечного) X не столь тривиален. Как и во введении, если подпоследовательность точек из X стремиться к +, то далее полнота на X означает полноту в пространстве непрерывных на X функций, стремящихся к нулю при x +, x X. По-видимому, впервые аналог теоремы Мюнтца для таких X рассмотрел А. А. Вагаршакян:

Теорема 2.1.24 ([Ваг77, Теоремы 1 и 2]). Пусть X R+ счетное замкнутое множество, не содержащее строго убывающей последовательности. При inf > 0 система Exp полна на X, если и только если бесконечная последовательность.

Напротив, если в счетном замкнутом множестве X R+ можно выделить строго убывающую последовательность точек, то всегда возможно построение такой последовательности = {k } R+, что k + и система Exp неполна на X.

Однако через семь лет после опубликования статьи А. А. Вагаршакяна в работе Дж. В. Петерса [Pet83, Теорема 2] предприЗдесь используется не степенная (полиномиальная), а только эквивалентная ей экспоненциальная трактовка.

Глава 2. Пространства функций вещественной переменной нята попытка доказать (без ссылок на [Ваг77, Теоремы 1 и 2] и с легко обнаруживаемым дефектом в доказательстве) результат о справедливости первой части теоремы 2.1.24 без каких-либо дополнительных условий на X, что противоречит ее второй части.

Отметим попутно, что в [Ваг77, Теоремы 3 и 4] содержатся также точные результаты-критерии типа теоремы Мюнтца–Саса для систем {ek x /(1 + x) }, k = 1, 2,..., Re k > 0, в пространствах C0 [0, +] и Lp (0, +), 1 p < +, при 1 для C0 [0, +] и > 1 + 1/p для Lp (0, +).

Относительно недавно некоторые результаты по теореме Мюнтца на счетном множестве обсуждались в тезисах Х. М. Алмиры [Alm03], где, в частности, анонсировано первое утверждение теоремы 2.1.24 без условия inf > 0 (кстати, тоже без упоминания работы А. А. Вагаршакяна), а также приведены некоторые дополнительные результаты. К сожалению, нам не удалось обнаружить информации об опубликовании какой-либо работы Х. М. Алмиры на эту тему с полными доказательствами.

Комплексные показатели О. Сас в [Sz16] впервые целенаправленно исследовал условия полноты системы {xk } с показателями k C, но не аналитическими методами. Результат завершенного характера был им получен лишь для пространства L2 (0, +) наряду с некоторыми необходимыми или достаточными условиями для других пространств.

Приведем наиболее сильное из известных нам обобщений теоремы Саса в виде объединения результатов А. М. Седлецкого [Сед75] и В. И. Ладыгина [Ла78] (подробнее см. [Сед00], [Сед01 ], [Сед03 ], [Сед03 ], [Сед05], [МПС04]), доказанных аналитическим методом.

Теорема 2.1.25. Пусть Re < 0. Расходимость ряда (2.1.10) достаточна для полноты системы Exp на [0, +], а также в Lp (0, +) при 2 p <, но если выполнено условие Седлецкого–Ладыгина то и в пространствах Lp (0, +) при 1 p < 2. Обратно, расходимость ряда (2.1.10) необходима для полноты системы Exp 2.1. Cистемы экспонент на замкнутых подмножествах в Lp (0, +) при 1 p 2, а если выполнено (2.1.21), то и на [0, +], и в L (0, +) при p > 2.

Теорема 2.1.25 при p = 2 есть в точности теорема Саса и полностью решает задачу полноты системы экспонент в L2 (0, +), а при условии (2.1.21) на [0, +] и в пространстве Lp [0, +] при каждом p 1. Но в отсутствии условия Седлецкого–Ладыгина (2.1.21) известные необходимые условия полноты системы Exp на [0, +] и в Lp (0, +) при p > 2 несколько слабее, чем условие расходимости ряда (2.1.10).

Теорема 2.1.26 (Н. Левинсон [Le74]). Если Re < 0 и система Exp полна на [0, +] или в Lp (0, +) при p > 2, то для любой возрастающей функции b > 0 на [0, +) при условии для последовательности = {k } имеем равенство Некоторое усиление (2.1.22) см. в [Сед03, Теорема 9.2.4].

Для последовательностей показателей с предельными точками на iR справедливы следующие результаты А. Р. Зигеля [Sie72] (п. 2 теоремы 2.1.27, случай =, = +), М. Грама [Gr56], [Gr57] (частный случай п. 3 теоремы 2.1.27), А. М. Седлецкого [Сед75], [Сед00] и В. И. Ладыгина [Ла78] (пп. 2, 3 теоремы 2.1.27), показывающие, что, вообще говоря, расходимости ряда (2.1.10) для полноты системы Exp на [0, +] не требуется, а для полноты этой системы в Lp [0, +] при 1 p < 2 расходимости ряда (2.1.10) еще недостаточно.

Теорема 2.1.27. 1) Если (линейная) мера множества предельных точек для, Re < 0, на iR строго положительна, то система Exp полна на [0, +].

2) При любых + найдется последовательность C с множеством предельных точек [i, i], для которой ряд (2.1.10) сходится, но тем не менее система Exp полна на [0, +].

Глава 2. Пространства функций вещественной переменной 3) Для любой функции d > 0 на R класса Lip 1, удовлетворяющей условию расходимости найдется некоторая последовательность C с ограничением dist(iy, ) d(y), y R, для которой ряд (2.1.10) расходится, но система Exp неполна в Lp (0, +) при 1 p < 2.

Таким образом, все еще открытой остается Проблема 2.1.5. Найти критерий полноты системы экспонент Exp на [0, +] и в Lp (0, +) при p = 2 в терминах распределения точек из.

Решение этой проблемы представляется более доступным, чем проблемы 2.1.3, поскольку в отличие от случая полноты на отрезке [a, b] R, присоединение (соотв. удаление) конечного числа точек к (соотв. из) не влияет на неполноту (соотв. полноту) Следствие 9.1.2]. Это означает (см. п. 1.1.3), что в последних пространствах для системы экспонент Exp для избытков возможны лишь две ситуации: exc = ±. Отсюда, в частности, всякая минимальная система Exp в этих пространствах неполна и в них нет одновременно полных и минимальных систем [Сед03, Следствие 9.1.3]. Аналитический метод решения этой проблемы, допустимый для исследования полноты на [0, +] и в Lp [0, +] при 1 p < +, тесно завязан на следующем аналоге проблемы 2.1.4:

Проблема 2.1.6. Дать внутреннее описание голоморфных в C функций, представимых с a = 0, b = + в виде (2.1.1) и (2.1.2).

В связи с п. 3) теоремы 2.1.27 возникают проблемы поиска новых достаточных условий для полноты системы Exp в Lp (0, +) при 1 p < 2, усиливающих условие расходимости ряда (2.1.10) (этот ряд или его модификации должны расходиться в некотором смысле достаточно быстро). Наметим здесь одну такую возможность, ранее, по-видимому, не отмечавшуюся.

Пример 2.1.1. Как и при оригинальном доказательстве теоремы 2.1.25 будем исходить из того, что неполнота системы Exp в Lp (0, +) влечет за собой существование голоморфной в левой полуплоскости функции F 0 вида (2.1.2) с a = 0 и b = +, F () = 0, удовлетворяющей по неравенству Гельдера оценке Замена G(z) := F z+1, z D, определяет голоморфную в единичном круге D функцию G 0, которая обращается в нуль на последовательности точек A = {ak } D, где ak := 1k, а (2.1.23) дает sup |G(z)|(1|z|)1/p <. Другими словами, функция G приzD надлежит классическому пространству A1/p (см. монографию Х. Хеденмальма, Б. Коренблюма и К. Жу [HKZ00]). Известны тонкие необходимые условия для (под)последовательностей нулей функций из таких пространств, полученные К. Сейпом [Se95, Теорема 1], которые мы используем в модификации [HKZ00, Теорема 4.24]. Не вдаваясь в детали обратного перехода от круга D к C, сразу сформулируем одно из таких условий для подпоследовательности нулей функции F из (2.1.23), согласовывая обозначения и терминологию с [HKZ00, гл. 4].

Пусть S конечная последовательность точек на расширенной мнимой оси i[, +], а {In } система дополнительных к этой последовательности интервалов на i[, +]. Величину |In | определим5 как раствор угола, под которым виден интервал In из точки 1, деленный на. Через нее определяется характеристика Берлинга–Карлесона последовательности S (относительно левой полуплоскости), а именно: (S) := n |In | log e/|In |, где e основание натуральных логарифмов.

С каждой точкой iy, y [, +], свяжем6 дугу riy окружности с центром на мнимой оси, соединяющую точки 1 и iy. К примеру, в крайних ситуациях ri·0 = [1, 0], ri·(±) = [, 1].

Затем положим rS = {riy : iy S} и Это гармоническая мера интервала In для C в точке 1.

Это образы радиусов, исходящих из центра единичного круга D, при переходе от D к левой полуплоскости C.

Глава 2. Пространства функций вещественной переменной Оценки (2.1.23) влекут за собой неравенства [HKZ00, Теорема 4.24] где const. не зависит от выбора множества S. Отсюда условие где sup берется по всем конечным подмножествам S расширенной мнимой оси, достаточное условие полноты системы Exp в L (0, +), 1 p < +.

Возможны и другие версии этого результата (см. [HKZ00, Теорема 4.25], [Se95, Теорема 1]). В отличие от условия расходимости ряда (2.1.10) условие полноты (2.1.24) уже тесно связано со значением показателя p.

Другие многочисленные условия (не)полноты на замкнутом луче [0, +], в пространствах Lp (0, +) и в их весовых вариантах можно найти в [Сед03, гл. 9] и в [Сед05].