«ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ 5-е издание, исправленное и дополненное Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации Издательство МЦНМО ОАО Московские учебники Москва 2006 УДК 514.112 ББК ...»

AE AF AG

Из точки C на продолжения сторон AB и AD опущены перпендикуляры CE и CF соответственно. Докажите, что AB · AE + AD · AF = AC2.

1.25. Углы треугольника ABC связаны соотношением 3a + 2b = 180.

Докажите, что a2 + bc = c2.

1.26. Концы отрезков AB и CD перемещаются по сторонам данного угла, причём каждая из прямых AB и CD перемещается параллельно самой себе; M — точка пересечения отрезков AB и CD. Докажите, что величина остаётся постоянной.

1.27. Через произвольную точку P стороны AC треугольника ABC параллельно его медианам AK и CL проведены прямые, пересекающие стороны BC и AB в точках E и F соответственно. Докажите, что медианы AK и CL делят отрезок EF на три равные части.

1.28. На биссектрисе угла взята точка P. Прямая, проходящая через точку P, высекает на сторонах угла отрезки длиной a и b.

Докажите, что величина + не зависит от выбора этой прямой.

1.29. На стороне BC равностороннего треугольника ABC как на диаметре внешним образом построена полуокружность, на которой взяты точки K и L, делящие полуокружность на три равные дуги. Докажите, что прямые AK и AL делят отрезок BC на равные части.

1.30. Точка O — центр вписанной окружности треугольника ABC.

На сторонах AC и BC выбраны точки M и K соответственно так, что BK · AB = BO2 и AM · AB = AO2. Докажите, что точки M, O и K лежат на одной прямой.

1.31*. Докажите, что если a1 = a2 и b1 = b2 (рис. 1.1), то x = y.

1.32*. На отрезке MN построены подобные одинаково ориентированные треугольники AMN, NBM и MNC (рис. 1.2). Докажите, что треугольник ABC подобен всем этим треугольникам, а центр его описанной окружности равноудалён от точек M и N.

1.33*. Отрезок BE разбивает треугольник ABC два подобных треугольника, причём коэффициент подобия равен 3. Найдите углы треугольника ABC.

См. также задачу 5.52.

§ 3. Отношение площадей подобных треугольников 1.34. На стороне AC треугольника ABC взята точка E. Через точку E проведены прямая DE параллельно стороне BC и прямая EF параллельно стороне AB (D и E — точки на этих сторонах). Докажите, что SBDEF = 2 SADE · SEFC.

1.35. На боковых сторонах AB и CD трапеции ABCD взяты точки M и N так, что отрезок MN параллелен основаниям и делит площадь трапеции пополам. Найдите длину MN, если BC = a и AD = b.

1.36. Через некоторую точку Q, взятую внутри треугольника ABC, проведены три прямые, параллельные его сторонам. Эти прямые разбивают треугольник на шесть частей, три из которых — треугольники с площадями 1, S2и S3. Докажите, что площадь треугольника ABC равна ( S1 + S2 + S3 )2.

1.37. Докажите, что площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника площади S, равна 3S/4.

1.38. а) Докажите, что площадь четырёхугольника, образованного серединами сторон выпуклого четырёхугольника ABCD, равна половине площади ABCD.

б) Докажите, что если диагонали выпуклого четырёхугольника равны, то его площадь равна произведению длин отрезков, соединяющих середины противоположных сторон.

1.39. Точка O, лежащая внутри выпуклого четырёхугольника площади S, отражается симметрично относительно середин его сторон.

Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в полученных точках.

§ 4. Вспомогательные равные треугольники 1.40. Катет BC прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C разделён точками D и E на три равные части. Докажите, что если BC = 3AC, то сумма углов AEC, ADC и ABC равна 90.

1.41. Точка K — середина стороны AB квадрата ABCD, а точка L делит диагональ AC в отношении AL : LC = 3 : 1. Докажите, что угол KLD прямой.

1.42. Через вершину A квадрата ABCD проведены прямые l1 и l2, пересекающие его стороны. Из точек B и D опущены перпендикуляры BB1, BB2, DD1 и DD2 на эти прямые. Докажите, что отрезки B1 B2 и D1 D2 равны и перпендикулярны.

1.43. На катетах CA и CB равнобедренного прямоугольного треугольника ABC выбраны точки D и E так, что CD = CE. Продолжения перпендикуляров, опущенных из точек D и C на прямую AE, пересекают гипотенузу AB в точках K и L. Докажите, что KL = LB.

1.44*. На сторонах AB, BC, CD и DA вписанного четырёхугольника ABCD, длины которых равны a, b, c и d, внешним образом построены прямоугольники размером a c, b d, c a и d b. Докажите, что их центры являются вершинами прямоугольника.

1.45*. Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность радиуса R с центром O, причём AB = CD = EF = R. Докажите, что точки попарного пересечения описанных окружностей треугольников BOC, DOE и FOA, отличные от точки O, являются вершинами правильного треугольника со стороной R.

1.46. На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD построены внешним образом правильные треугольники BCK и DCL. Докажите, что треугольник AKL правильный.

1.47. На сторонах параллелограмма внешним образом построены квадраты. Докажите, что их центры образуют квадрат.

1.48*. На сторонах произвольного треугольника ABC внешним образом построены равнобедренные треугольники с углами 2a, 2b и 2g при вершинах A, B и C, причём a + b + g = 180. Докажите, что углы треугольника A B C равны a, b и g.

1.49*. На сторонах треугольника ABC как на основаниях построены подобные равнобедренные треугольники AB1 C и AC1 B внешним образом и BA1 C внутренним образом. Докажите, что AB1 A1 C1 — параллелограмм.

1.50*. а) На сторонах AB и AC треугольника ABC внешним образом построены прямоугольные треугольники ABC1 и AB1 C, причём C1 = B1 = 90, ABC1 = ACB1 = f; M — середина BC. Докажите, что MB1 = MC1 и B1 MC1 = 2f.

б) На сторонах треугольника ABC внешним образом построены правильные треугольники. Докажите, что их центры образуют правильный треугольник, причём его центр совпадает с точкой пересечения медиан треугольника ABC.

1.51*. На неравных сторонах AB и AC треугольника ABC внешним образом построены равнобедренные треугольники AC1 B и AB1 C с углом f при вершине.

а) M — точка медианы AA1 (или её продолжения), равноудалённая от точек B1 и C1. Докажите, что B1 MC1 = f.

б) O — точка серединного перпендикуляра к отрезку BC, равноудалённая от точек B1 и C1. Докажите, что B1 OC1 = 180 f.

1.52*. На сторонах выпуклого четырёхугольника ABCD внешним образом построены подобные ромбы, причём их острые углы a прилегают к вершинам A и C. Докажите, что отрезки, соединяющие центры противоположных ромбов, равны, а угол между ними равен a.

См. также задачи 1.23, 3.1, 3.22, 5.15, 5.16, 7.24—7.26, 8.45.

§ 5. Треугольник, образованный основаниями высот 1.53. Пусть AA1 и BB1 — высоты треугольника ABC. Докажите, что A1 B1 C ABC. Чему равен коэффициент подобия?

1.54. Из вершины C остроугольного треугольника ABC опущена высота CH, а из точки H опущены перпендикуляры HM и HN на стороны BC и AC соответственно. Докажите, что MNC ABC.

1.55. В треугольнике ABC проведены высоты BB1 и CC1.

а) Докажите, что касательная в точке A к описанной окружности параллельна прямой B1 C1.

б) Докажите, что B1 C1 OA, где O — центр описанной окружности.

1.56. На сторонах остроугольного треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1 так, что отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке H.

Докажите, что AH · A1 H = BH · B1 H = CH · C1 H тогда и только тогда, когда H — точка пересечения высот треугольника ABC.

1.57. а) Докажите, что высоты AA1, BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC делят углы треугольника A1 B1 C1 пополам.

б) На сторонах AB, BC и CA остроугольного треугольника ABC взяты точки C1, A1 и B1 соответственно. Докажите, что если B1 A1 C = = BA1 C1, A1 B1 C = AB1 C1 и A1 C1 B = AC1 B1, то точки A1, B1 и C являются основаниями высот треугольника ABC.

1.58. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1 и CC1. Докажите, что точка, симметричная A1 относительно прямой AC, лежит на прямой B1 C1.

1.59. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1 и CC1. Докажите, что если A1 B1 AB и B1 C1 BC, то A1 C1 AC.

1.60*. Пусть p — полупериметр остроугольного треугольника ABC, q — полупериметр треугольника, образованного основаниями его высот.

Докажите, что p : q = R : r, где R и r — радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника ABC.

1.61. В треугольник вписана окружность радиуса r. Касательные к этой окружности, параллельные сторонам треугольника, отсекают от него три треугольника. Пусть r1, r2, r3 — радиусы вписанных в эти треугольники окружностей. Докажите, что r1 + r2 + r3 = r.

1.62. Дан треугольник ABC. Постройте две прямые x и y так, чтобы для любой точки M на стороне AC сумма длин отрезков MXM и MYM, проведённых из точки M параллельно прямым x и y до пересечения со сторонами AB и BC треугольника, равнялась 1.

1.63. В равнобедренном треугольнике ABC из середины H основания BC опущен перпендикуляр HE на боковую сторону AC; O — середина отрезка HE. Докажите, что прямые AO и BE перпендикулярны.

1.64. Докажите, что проекции основания высоты треугольника на стороны, её заключающие, и на две другие высоты лежат на одной прямой.

1.65. На отрезке AC взята точка B и на отрезках AB, BC, CA построены полуокружности S1, S2, S3 по одну сторону от AC. D — такая точка на S3 , что BD AC. Общая касательная к S1 и S2, касается этих полуокружностей в точках F и E соответственно.

а) Докажите, что прямая EF параллельна касательной к S3, проведённой через точку D.

б) Докажите, что BFDE — прямоугольник.

1.66*. Из произвольной точки M окружности, описанной около прямоугольника ABCD, опустили перпендикуляры MQ и MP на две его противоположные стороны и перпендикуляры MR и MT на продолжения двух других сторон. Докажите, что прямые PR и QT перпендикулярны, а точка их пересечения принадлежит диагонали прямоугольника ABCD.

1.67*. К двум окружностям, расположенным одна вне другой, проведены одна внешняя и одна внутренняя касательные. Рассмотрим две прямые, каждая из которых проходит через точки касания, принадлежащие одной из окружностей. Докажите, что точка пересечения этих прямых расположена на прямой, соединяющей центры окружностей.

См. также задачу 6.27.

Задачи для самостоятельного решения 1.68. Основание равнобедренного треугольника составляет четверть его периметра. Из произвольной точки основания проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Во сколько раз периметр треугольника больше периметра отсечённого параллелограмма?

1.69. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Докажите, что произведение длин оснований трапеции равно сумме произведений длин отрезков одной диагонали и длин отрезков другой диагонали, на которые они делятся точкой пересечения.

1.70. Сторона квадрата равна 1. Через его центр проведена прямая.

Вычислите сумму квадратов расстояний от четырёх вершин квадрата до этой прямой.

1.71. Точки A1, B1 и C1 симметричны центру описанной окружности треугольника ABC относительно его сторон. Докажите, что 1.72. Докажите, что если BAC = 2ABC, то BC2 = (AC + AB) · AC.

1.73. На прямой l даны точки A, B, C и D. Через точки A и B, а также через точки C и D проводятся параллельные прямые. Докажите, что диагонали полученных таким образом параллелограммов (или их продолжения) пересекают прямую l в двух фиксированных точках.

1.74. В треугольнике ABC проведены биссектриса AD и средняя линия A1 C1. Прямые AD и A1 C1 пересекаются в точке K. Докажите, что 2A1 K = |b c|.

1.75. На сторонах AD и CD параллелограмма ABCD взяты точки M и N так, что MN AC. Докажите, что SABM = SCBN.

1.76. На диагонали AC параллелограмма ABCD взяты точки P и Q так, что AP = CQ. Точка M такова, что PM AD и QM AB. Докажите, что точка M лежит на диагонали BD.

1.77. Продолжения боковых сторон трапеции с основаниями AD и BC пересекаются в точке O. Концы отрезка EF, параллельного основаниям и проходящего через точку пересечения диагоналей, лежат соответственно на сторонах AB и CD. Докажите, что AE : CF = = AO : CO.

1.78. Три прямые, параллельные сторонам данного треугольника, отсекают от него три треугольника, причём остаётся равносторонний шестиугольник. Найдите длину стороны шестиугольника, если длины сторон треугольника равны a, b и c.

1.79. Три прямые, параллельные сторонам треугольника, пересекаются в одной точке, причём стороны треугольника высекают на этих прямых отрезки длиной x. Найдите x, если длины сторон треугольника равны a, b и c.

1.80. Точка P лежит внутри треугольника ABC, причём ABP = = ACP. На прямых AB и AC взяты такие точки C1 и B1, что BC1 : CB1 = CP : BP. Докажите, что одна из диагоналей параллелограмма, две стороны которого лежат на прямых BP и CP, а две другие стороны (или их продолжения) проходят через B1 и C1, параллельна BC.

1.1. a) Пусть P и Q — середины сторон AB и CD, K и L — точки пересечения прямой PQ с диагоналями AC и BD. Тогда PL = a/2 и PK = b/2, поэтому KL = PL PK = (a b)/2.

б) Возьмём на стороне AD точку F так, что BF CD. Пусть E — точка переq(a b) + (p + q)b 1.2. Пусть K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно четырёхугольника ABCD. Тогда KL = MN = AC/2 и отрезок KL параллелен MN, т. е. KLMN — параллелограмм. Теперь ясно, что KLMN — прямоугольник, если диагонали AC и BD перпендикулярны; ромб, если AC = BD;

квадрат, если диагонали AC и BD равны по длине и перпендикулярны.

1.3. а) Обозначим точку пересечения отрезков AA1 и BB1 через O. Проведём в треугольнике B1 BC отрезок A1 A2 BB1. Тогда B1 C/B1 A2 = 1 + p, поэтому AO : OA1 = AB1 : B1 A2 = B1 C : qB1 A2 = (1 + p) : q.

1.4. Пусть A2 — середина отрезка A1 B. Тогда CA1 : A1 A2 = CP : PC и A1 A2 : A1 B = 1 : 2, поэтому CA1 : A1 B = CP : 2PC1. Аналогично CB1 : B1 A = = CP : 2PC1 = CA1 : A1 B.

1.5. Точка P лежит на медиане QM треугольника AQD (или на её продолжении). Легко проверить, что решение задачи 1.4 остаётся верным и в случае, соединяющему середины сторон AB и CD. Аналогично он принадлежит отрезку, соединяющему 1.9. Пусть AC — диаметр окружности, описанной около четырёхугольника ABCD. Опустим перпендикуляры AA1 и CC1 на BD (рис. 1.3). Нужно доказать, что BA1 = DC1. Опустим перпендикуляр OP из центра O описанной окружности Рис. 1.3 на BD. Ясно, что P — середина отрезка BD. Прямые AA1, OP, CC1 параллельны и AO = OC, поэтому A1 P = PC1. Так как P — середина BD, то BA1 = DC1.

1.10. Так как BO = PD, то BO : OD = DP : PB = k. Пусть BC = 1. Тогда AD = k и ED = 1/k. Поэтому k = AD = AE + ED = 1 + (1/k), т. е. k2 = 1 + k.

Остаётся заметить, что k2 = AD2 и 1 + k = BC2 + BC · AD.

1.11. Пусть C, D, E, F — середины сторон AO, OB, BM, MA соответственно четырёхугольника AOBM. Поскольку AB = MO = R, где R — радиус данной окружности, то согласно задаче 1.2 CDEF — ромб. Поэтому CE DF.

1.12. а) Если прямые, на которых лежат данные точки, параллельны, то утверждение задачи очевидно. Будем считать, что эти прямые пересекаются в точке O. Тогда OA : OB = OB1 : OA1, и OC : OA = OA1 : OC1, поэтому OC : OB = OB1 : OC1, а значит, BC1 CB1 (отношения отрезков следует считать ориентированными).

б) Пусть D и E — точки пересечения прямых AB1 и CA1, CB1 и AC1. Тогда CA1 : A1 D = CB : BA = EC1 : C1 A. А так как CB1 D EB1 A, точки A1, B1 и C лежат на одной прямой.

1.13. Точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон.

Пусть a — расстояние от точки A1, до прямых AC и AB, b — расстояние от точки B1 до прямых AB и BC. Пусть, далее, A1 M : B1 M = p : q, причём p + q = 1. Тогда расстояния от точки M до прямых AC и BC равны qa и pb соответственно. С другой стороны, согласно задаче 1.1 б) расстояние от точки M до прямой AB равно qa + pb.

1.14. Пусть прямая, проходящая через центр O данного прямоугольника параллельно BC, пересекает отрезок QN в точке K (рис. 1.4). Так как MO PC, то QM : MP = QO : OC, а так как KO BC, то QO : OC = QK : KN. Следовательно, QM : MP = QK : KN, т. е. KM NP. Поэтому MNP = KMO = QNM.

1.15. Проведём через точку M прямую EF, параллельную CD (точки E и F лежат на прямых BC и AD). Тогда PL : PK = BL : KD и OK : OL = KA : CL = KA : KF = BL : EL. Так как KD = EL, то PL : PK = OK : OL, а значит, PL = OK.

1.16. Рассмотрим вспомогательный параллелограмм ABCD1. Можно считать, что точки D и D не совпадают (иначе утверждение задачи очевидно). Рис. 1. Возьмём на сторонах AD1 и CD1 точки S1 и R так, что SS1 DD1 и RR1 DD1. Пусть N — точка пересечения отрезков PR1 и QS1 ; N1 и N2 — точки пересечения прямой, проходящей через N параллельно DD1, с отрезками PR и QS соответственно. Тогда N1 N = bRR1 = abDD1 и N2 N = aSS1 = abDD1. Поэтому N1 = N2 — точка пересечения отрезков PR и QS. Ясно, что PN1 : PR = PN : PR1 = b и QN2 : QS = a.

З а м е ч а н и е. В случае a = b есть более простое решение. Так как BP : BA = BQ : BC = a, то PQ AC и PQ : AC = a. Аналогично RS AC и RS : AC = 1 a. Поэтому отрезки PR и QS делятся точкой их пересечения в отношении a : (1 a).

1.17. а) Опустим из вершин A и C перпендикуляры AK и CL на

BLC BKA

б) Учитывая, что BA1 : A1 C = BA : AC и BA1 + A1 C = BC, получаем BA1 = = ac/(b + c). Так как BO — биссектриса треугольника ABA1, то AO : OA1 = = AB : BA1 = (b + c) : a.

1.18. Пусть O — центр описанной окружности равнобедренного треугольника ABC, B1 — середина основания AC, A1 — середина боковой стороны BC. Так как BOA1 BCB1, то BO : BA1 = BC : BB1, а значит, R = BO = a2 / 4a2 b2.

1.19. Если EAD = f, то AE = AD/ cos f = AB/ cos f и AF = AB/ sin f. Поcos2 f + sin2 f) 1.20. Легко проверить, что AB2 = AB1 · AC = AC1 · AB = AC2.

1.21. а) Так как BQ : QM = BN : AM = BK : AK, то KQ AM.

б) Пусть O — центр вписанной окружности. Так как CBA + BAD = 180, то ABO + BAO = 90. Поэтому AKO OKB, т. е. AK : KO = OK : KB.

Следовательно, AK · KB = KO2 = R2, где R — радиус вписанной окружности.

Аналогично CL · LD = R2.

1.22. Если угол ABC тупой (соответственно острый), то угол MAN тоже тупой (соответственно острый). Кроме того, стороны этих углов взаимно перпендикулярны. Поэтому ABC = MAN. Прямоугольные треугольники

AB AD AC

AG AG AG AG

1.25. Так как a+b=90 (a/2), то g=180 ab=90 +(a/2). Поэтому на стороне AB можно выбрать точку D так, что ACD=90 (a/2), т. е. AC = AD.

Тогда ABC CBD, а значит, BC : BD = AB : CB, т. е. a2 = c(c b).

1.26. При перемещении отрезков AB и CD треугольник AMC заменится на другой треугольник, подобный исходному. Поэтому величина AM/CM остаётся постоянной. Аналогично величина BM/DM остаётся постоянной.

1.27. Обозначим точку пересечения медиан через O, точки пересечения медианы AK с прямыми FP и FE — через Q и M, точки пересечения медианы CL с прямыми EP и FE — через R и N соответственно (рис. 1.6). Ясно, что FM : FE = FQ : FP = LO : LC = 1 : 3, т. е. FM = FE/3. Аналогично EN = FE/3.

1.28. Пусть C — вершина данного угла, A и B — точки пересечения данной прямой со сторонами угла. Возьмём на отрезках AC и BC точки K и L так, что PK BC и PL AC. Так как а значит, (a p)(b p) = p2, где p = PK = PL. Следовательно, +=.

1.29. Обозначим середину стороны BC через O, а точки пересечения AK и AL со стороной BC — через P и Q. Можно считать, что BP < BQ. Треугольник LCO равносторонний и LC AB. Поэтому ABQ LCQ, т. е. BQ : QC = = AB : LC = 2 : 1. Следовательно, BC = BQ + QC = 3QC. Аналогично BC = 3BP.

1.30. Так как BK:BO=BO:AB и KBO=ABO, то KOB OAB. Поэтому KOB = OAB. Аналогично AOM = ABO. Следовательно, KOM = KOB + + BOA + AOM = OAB + BOA + ABO = 180, т. е. точки K, O и M лежат на одной прямой.

1.31. Проведём дополнительно прямые, параллельные прямым, на которых Перемножив эти равенства, получим x(y + z1 ) = y(x + z1 ), а значит, x = y.

1.32. Так как AMN = MNC и BMN = MNA, то AMB = ANC. Кроме того, AM : AN = NB : NM = BM : CN. Поэтому AMB ANC, а значит, MAB = NAC. Следовательно, BAC = MAN. Для других углов доказательство аналогично.

Пусть точки B1 и C1 симметричны B и C относительно серединного перпендикуляра к отрезку MN. Так как AM : NB = MN : BM = MC : NC, то MA · MC1 = AM · NC = NB · MC = MB1 · MC. При этом точки M, A, C1 лежат на одной прямой и точки M, B1, C лежат на одной прямой. Следовательно, точка A лежит на окружности, описанной вокруг трапеции BB1 CC1.

1.33. Так как AEB + BEC = 180, то эти углы не могут быть разными углами подобных треугольников ABE и BEC, т. е. они равны и BE — перпендикуляр.

Возможны два варианта: ABE = CBE или ABE = BCE. Первый вариант отпадает, так как в этом случае ABE = CBE. Остаётся второй вариант.

стороне AC, точки D и G — на стороне AB (рис. 1.8). Введём обозначения:

S = SABC, S1 = SGDQ, S2 = SIEQ, S3 = SHFQ. Тогда

S S S AC AC AC AC

1.38. Пусть E, F, G и H — середины сторон AB, BC, CD и DA.

SABD S S

SABCD S S S

1.39. Пусть E, F, G и H — середины сторон четырёхугольника ABCD;

точки E1, F1, G1 и H1 симметричны точке O относительно этих точек. Так как EF — средняя линия треугольника E1 OF1, то SE1 OF1 = 4SEOF. Аналогично SF1 OG1 = 4SFOG, SG1 OH1 = 4SGOH и SH1 OE1 = 4SHOE. Поэтому SE1 F1 G1 H1 = 4SEFGH.

Согласно задаче 1.38 а) SABCD = 2SEFGH. Поэтому SE1 F1 G1 H1 = 2SABCD = 2S.

1.40. П е р в о е р е ш е н и е. Рассмотрим квадрат BCMN и разделим его сторону MN точками P и Q на три равные части (рис. 1.9). Тогда ABC = и BA = 10, то DE : AE = EA : EB = AD : BA и DEA AEB. Следовательно, ABC = EAD. Кроме того, AEC = CAE = 45. Поэтому ABC + ADC + + AEC = (EAD + CAE) + ADC = CAD + ADC = 90.

1.41. Опустим из точки L перпендикуляры LM на AB и LN на AD. Тогда KM = MB = ND и KL = LB = DL, поэтому прямоугольные треугольники KML и DNL равны. Следовательно, DLK = NLM = 90.

1.42. Так как D1 A = B1 B, AD2 = BB2 и D1 AD2 = B1 BB2, то D1 AD2 = = B1 BB2. Стороны AD1 и BB1 (а также AD2 и BB2 ) этих треугольников перпендикулярны, поэтому B1 B2 D1 D2.

1.43. На продолжении отрезка AC за точку C возьмём точку M так, что CM = CE (рис. 1.10). Тогда треугольник ACE при повороте с центром C на 90 переходит в треугольник BCM. Поэтому прямая MB перпендикулярна прямой AE, а значит, параллельна прямой CL. Так как MC = CE = DC и прямые DK, CL и MB параллельны, то KL = LB.

1.44. Пусть на сторонах AB и BC построены прямоугольники ABC1 D и A2 BCD2 ; P, Q, R и S — центры прямоугольников, построенных на сторонах AB, BC, CD и DA. Так как ABC + ADC = 180, то ADC = A2 BC1. Рассматривая прямоугольники, построенные на сторонах этих равных треугольников, получаем, что RDS = PBQ и RS = = PQ. Аналогично QR = PS. Следовательно, PQRS — параллелограмм, причём один из треугольников RDS и PBQ построен на его сторонах внешним образом, а другой внутренним; аналогичное утверждение справедливо и для треугольников QCR и SAP. Поэтому PQR + RSP = BQC + DSA = 180, так как PQB = RSD и RQC = PSA. Следовательно, PQRS — прямоугольник.

1.45. Пусть K, L, M — точки пересечения описанных окружностей треугольников FOA и BOC, BOC и DOE, DOE и FOA;

2a, 2b и 2g — углы при вершинах равнобедренных треугольников BOC, DOE и FOA (рис. 1.11). Точка K лежит на дуге OB описанной окружности равнобедренного треуголь- Рис. 1. ника BOC, поэтому OKB = 90 + a. Аналогично OKA = 90 + g. Так как a + b + g = 90, то AKB = 90 + b. Внутри правильного треугольника AOB существует единственная точка K, из которой его стороны видны под данными углами. Аналогичные рассуждения для точки L, лежащей внутри треугольника COD, показывают, что OKB = CLO. Докажем теперь, что KOL = OKB. В самом деле, COL = KBO, поэтому KOB + COL = 180 OKB = 90 a, а значит, KOL = 2a + (90 a) = = 90 + a = OKB. Следовательно, KL = OB = R. Аналогично LM = MK = R.

1.46. Пусть A = a. Легко проверить, что оба угла KCL и ADL равны 240 a (или 120 + a). А так как KC = BC = AD и CL = DL, то KCL = = ADL, а значит, KL = AL. Аналогично KL = AK.

1.47. Пусть P, Q и R — центры квадратов, построенных на сторонах DA, AB и BC параллелограмма с острым углом a при вершине A. Легко проверить, что PAQ = 90 + a = RBQ, а значит, PAQ = RBQ. Стороны AQ и BQ этих равна 360, так как по условию сумма его углов при остальных вершинах равна 360. Построим на стороне AC внешним образом треугольник AC P, равный треугольнику BC A (рис. 1.12).

также, что четырёхугольник AB1 A1 C1 выпуклый.

1.50. а) Пусть P и Q — середины сторон AB и AC. Тогда MP = AC/2 = QB1, MQ = AB/2 = PC1 и C1 PM = C1 PB + BPM = B1 QC + CQM = B1 QM.

Следовательно, MQB1 = C1 PM, а значит, MC1 = MB1. Кроме того, PMC1 + + QMB1 = QB1 M + QMB1 = 180 MQB1, а MQB1 = A + CQB1 = = A + (180 2f). Следовательно, B1 MC1 = PMQ + 2f A = 2f. (Случай, когда C1 PB + BPM > 180, разбирается аналогично.) б) Возьмём на сторонах AB и AC такие точки B и C, что AB : AB = = AC : AC = 2 : 3. Середина M отрезка B C совпадает с точкой пересечения медиан треугольника ABC. Построим на сторонах AB и AC внешним образом прямоугольные треугольники AB C1 и AB1 C с углами 60 при вершинах B и C. Тогда B1 и C1 — центры правильных треугольников, построенных на сторонах AB и AC; с другой стороны, согласно задаче а) MB1 = MC и B1 MC1 = 120.

З а м е ч а н и е. Утверждения задач а) и б) остаются верными и для треугольников, построенных внутренним образом.

1.51. а) Пусть B — точка пересечения прямой AC и перпендикуляра к прямой AB1, восставленного из точки B1 ; точка C определяется аналогично.

Так как AB : AC = AC1 : AB1 = AB : AC, то B C BC. Если N — середина отрезка B C, то, как следует из задачи 1.50 а), NC1 = NB1 (т. е. N = M) и B1 NC1 = 2AB B1 = 180 2CAB1 = f.

б) Построим на стороне BC внешним образом равнобедренный треугольник BA1 C с углом 360 2f при вершине A1 (если f < 90, строим внутренним образом треугольник с углом 2f). Так как сумма углов при вершинах трёх построенных равнобедренных треугольников равна 360, треугольник A1 B1 C1 имеет углы 180 f, f/2 и f/2 (см. задачу 1.48). В частности, этот треугольник равнобедренный, а значит, A1 = O.

1.52. Пусть O1, O2, O3 и O4 — центры ромбов, построенных на сторонах AB, BC, CD и DA; M — середина диагонали AC. Тогда MO1 = MO2 и O1 MO2 = a (см. задачу 1.50 а). Аналогично MO3 = MO4 и O3 MO4 = a. Следовательно, при повороте на угол a относительно точки M треугольник O1 MO3 переходит в O2 MO4.

1.53. Так как A1 C = AC|cos C|, B1 C = BC|cos C| и угол C у треугольников ABC и A1 B1 C общий, то эти треугольники подобны, причём коэффициент подобия равен |cos C|.

1.54. Так как точки M и N лежат на окружности с диаметром CH, то CMN = CHN, а так как AC HN, то CHN = A. Аналогично CNM = B.

1.55. а) Пусть l — касательная в точке A к описанной окружности. Тогда для ориентированных углов получаем (l, AB) = (AC, CB) = (C1 B1, AC1 ), а значит, l B1 C1.

1.56. Если AA1, BB1 и CC1 — высоты, то AH · A1 H = BH · B1 H. Аналогично BH · B1 H = CH · C1 H. (Предполагается известным, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.) BA1 H = AB1 H = f. Поэтому CA1 H = CB1 H = 180 f. Аналогично AC1 H = = CA1 H = 180 f и AC1 H = AB1 H = f, поэтому f = 90 т. е. AA1, BB1 и CC1 — высоты.

1.57. а) Согласно задаче 1.53 C1 A1 B = CA1 B1 = A. Так как AA1 BC, то C1 A1 A = B1 A1 A. Аналогично доказывается, что лучи B1 B и C1 C — биссектрисы углов A1 B1 C1 и A1 C1 B1.

б) Прямые AB, BC и CA являются биссектрисами внешних углов треугольника A1 B1 C1, поэтому A1 A — биссектриса угла B1 A1 C1, а значит, AA1 BC.

Для прямых BB1 и CC1 доказательство аналогично.

1.58. Из результата задачи 1.57 а) следует, что прямая B1 A1 при симметрии относительно прямой AC переходит в прямую B1 C1.

1.59. Согласно задаче 1.53 B1 A1 C = BAC. Так как A1 B1 AB, то B1 A1 C = = ABC. Поэтому BAC = ABC. Аналогично из того, что B1 C1 BC, следует равенство ABC = BCA. Поэтому треугольник ABC равносторонний и A1 C1 AC.

1.60. Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC. Так как OA B1 C1 (см. задачу 1.55 б), то SAOC1 + SAOB1 = R · B1 C1 /2. Аналогичные рассуждения для вершин B и C показывают, что SABC = qR. С другой стороны, SABC = pr.

1.61. Периметр треугольника, отсекаемого прямой, параллельной стороне BC, равен сумме расстояний от точки A до точек касания вписанной окружности со сторонами AB и AC, поэтому сумма периметров отсечённых треугольников равна периметру треугольника ABC : P1 + P2 + P3 = P. Из подоГлава 1. Подобные треугольники бия треугольников следует, что ri /r = Pi /P. Складывая эти равенства, получаем требуемое.

а значит, DAO BAH и DOA = BHA = 90.

1.64. Пусть AA1, BB1 и CC1 — высоты треугольника ABC. Опустим из точки B1 перпендикуляры B1 K и B1 N на стороны AB и BC и перпендикуляры B1 L и B1 M на высоты AA1 и CC1. Так как KB1 : CC1 = AB1 : AC = LB1 : A1 C, то KLB1 C1 A1 C, а значит, KL C1 A1. Аналогично MN C1 A1. Кроме того, KN C1 A1 (см. задачи 1.53 и 1.54). Следовательно, точки K, L, M и N лежат на одной прямой.

1.65. а) Пусть O — середина AC, O1 — середина AB, O2 — середина BC.

Будем считать, что AB BC. Проведём через точку O1 прямую O1 K параллельно EF (K — точка на отрезке EO2 ). Докажем, продолжения сторон AB и CD (рис. 1.14). Обозначим через M1 и P1 вторые точки пересечения прямых RT и QP с окружностью.

Так как TM1 = RM = AQ и TM1 AQ, то AM1 TQ. Аналогично AP1 RP.

Поскольку M1 AP1 = 90, то RP TQ.

Обозначим точки пересечения прямых TQ и RP, M1 A и RP, P1 A и TQ через E, F, G соответственно. Чтобы доказать, что точка E лежит на прямой AC, достаточно доказать, что прямоугольники AFEG и AM1 CP1 подобны.

Так как ARF = AM1 R = M1 TG = M1 CT, можно обозначить величины этих углов одной буквой a. AF = RA sin a = M1 A sin2 a, AG = M1 T sin a = M1 C sin2 a, поэтому прямоугольники AFEG и AM1 CP1 подобны.

1.67. Обозначим центры окружностей через O1 и O2. Внешняя касательная касается первой окружности в точке K, а второй окружности в точке L;

внутренняя касательная касается первой окружности в точке M, а второй окружности в точке N (рис. 1.15). Пусть прямые KM и LN пересекают пряРис. 1. мую O1 O2 в точках P1 и P2 соответственно. Надо доказать, что P1 = P2. Рассмотрим точки A, D1, D2 пересечения прямых KL и MN, KM и O1 A, LN и O2 A соответственно. O1 AM + NAO2 = 90, поэтому прямоугольные треугольники O1 MA и ANO2 подобны, а также AO2 KM и AO1 LN. Из параллельности этих прямых получаем AD1 : D1 O1 = O2 P1 : P1 O1 и D2 O2 : AD2 = O2 P2 : P2 O1. Из подобия четырёхугольников AKO1 M и O2 NAL получаем AD1 :D1 O1 =D2 O2 :AD2.

Следовательно, O2 P1 : P1 O1 = O2 P2 : P2 O1, т. е. P1 = P2.

З а м е ч а н и е. По поводу другого решения см. задачу 3.70.

ВПИСАННЫЙ УГОЛ

2. Величина угла между хордой AB и касательной к окружности, проходящей через точку A, равна половине угловой величины дуги AB.

3. Угловые величины дуг, заключённых между параллельными хордами, равны.

4. Как уже говорилось, величины углов, опирающихся на одну хорду, могут быть равны, а могут составлять в сумме 180. Для того чтобы не рассматривать различные варианты расположения точек на окружности, введём понятие «ориентированный угол между прямыми». Величиной ориентированного угла между прямыми AB и CD (обозначение: (AB, CD)) будем называть величину угла, на который нужно повернуть против часовой стрелки прямую AB так, чтобы она стала параллельна прямой CD. При этом углы, отличающиеся на n · 180, считаются равными. Следует отметить, что ориентированный угол между прямыми CD и AB не равен ориентированному углу между прямыми AB и CD (они составляют в сумме 180 или, что по нашему соглашению то же самое, 0 ).

Легко проверить следующие свойства ориентированных углов:

а) (AB, BC) = (BC, AB);

б) (AB, CD) + (CD, EF) = (AB, EF);

в) точки A, B, C, D, не лежащие на одной прямой, принадлежат одной окружности тогда и только тогда, когда (AB, BC) = (AD, DC) (для доказательства этого свойства нужно рассмотреть два случая: точки B и D лежат по одну сторону от AC; точки B и D лежат по разные стороны от AC).

1. а) Из точки A, лежащей вне окружности, выходят лучи AB и AC, пересекающие эту окружность. Докажите, что величина угУсловия задач ла BAC равна полуразности угловых величин дуг окружности, заключённых внутри этого угла.

б) Вершина угла BAC расположена внутри окружности. Докажите, что величина угла BAC равна полусумме угловых величин дуг окружности, заключённых внутри угла BAC и внутри угла, симметричного ему относительно вершины A.

2. Из точки P, расположенной внутри острого угла BAC, опущены перпендикуляры PC1 и PB1 на прямые AB и AC. Докажите, что C1 AP = C1 B1 P.

3. Докажите, что все углы, образованные сторонами и диагоналями правильного n-угольника, кратны 180 /n.

4. Центр вписанной окружности треугольника ABC симметричен центру описанной окружности относительно стороны AB. Найдите углы треугольника ABC.

5. Биссектриса внешнего угла при вершине C треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке D. Докажите, что AD = BD.

§ 1. Углы, опирающиеся на равные дуги 2.1. Вершина A остроугольного треугольника ABC соединена отрезком с центром O описанной окружности. Из вершины A проведена высота AH. Докажите, что BAH = OAC.

2.2. Две окружности пересекаются в точках M и K. Через M и K проведены прямые AB и CD соответственно, пересекающие первую окружность в точках A и C, вторую в точках B и D. Докажите, что AC BD.

2.3. Из точки M, лежащей внутри данного угла с вершиной A, опущены перпендикуляры MP и MQ на стороны угла. Из точки A опущен перпендикуляр AK на отрезок PQ. Докажите, что PAK = MAQ.

2.4. а) Продолжение биссектрисы угла B треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке M; O — центр вписанной окружности, Ob — центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC. Докажите, что точки A, C, O и Ob лежат на окружности с центром M.

б) Точка O, лежащая внутри треугольника ABC, обладает тем свойством, что прямые AO, BO и CO проходят через центры описанных окружностей треугольников BCO, ACO и ABO. Докажите, что O — центр вписанной окружности треугольника ABC.

2.5. Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A движется так, что его вершины B и C скользят по сторонам данного прямого угла. Докажите, что множеством точек A является отрезок и найдите его длину.

2.6. Диагональ AC квадрата ABCD совпадает с гипотенузой прямоугольного треугольника ACK, причём точки B и K лежат по одну сторону от и DK = (AK + CK)/ 2.

2.7. В треугольнике ABC проведены медианы AA1 и BB1. Докажите, что если CAA1 = CBB1, то AC = BC.

2.8. Все углы треугольника ABC меньше 120. Докажите, что внутри его существует точка, из которой все стороны треугольника видны под углом 120 .

Точку из задачи 2.8 называют точкой Торричелли.

2.9. Окружность разделена на равные дуги n диаметрами. Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки M, лежащей внутри окружности, на эти диаметры, являются вершинами правильного многоугольника.

2.10. На окружности даны точки A, B, M и N. Из точки M проведены хорды MA1 и MB1, перпендикулярные прямым NB и NA соответственно. Докажите, что AA1 BB1.

2.11. Две окружности пересекаются в точках P и Q. Третья окружность с центром P пересекает первую окружность в точках A и B, а вторую — в точках C и D. Докажите, что AQD = BQC.

2.12. Шестиугольник ABCDEF вписанный, причём AB DE и BC EF. Докажите, что CD AF.

2.13*. Многоугольник A1 A2... A2n вписанный. Про все пары его противоположных сторон, кроме одной, известно, что они параллельны. Докажите, что при нечётном n оставшаяся пара сторон тоже параллельна, а при чётном n оставшаяся пара сторон равна по длине.

2.14*. Дан треугольник ABC. Докажите, что существует два семейства правильных треугольников, стороны которых (или их продолжения) проходят через точки A, B и C. Докажите также, что центры треугольников этих семейств лежат на двух концентрических окружностях.

См. также задачу 1.54.

§ 2. Величина угла между двумя хордами Решить задачи этого параграфа помогает следующий факт. Пусть A, B, C, D — точки на окружности в указанном порядке. Тогда угол между CD)/2, угол между хордами AB и CD CB|/2. (Для доказательства нужно через конец одной из хорд провести хорду, параллельную другой хорде.) 2.15. На окружности даны точки A, B, C, D в указанном порядке.

M — середина дуги AB. Обозначим точки пересечения хорд MC и MD с хордой AB через E и K. Докажите, что KECD — вписанный четырёхугольник.

2.16. По стороне правильного треугольника катится окружность радиуса, равного его высоте. Докажите, что угловая величина дуги, высекаемой на окружности сторонами треугольника, всегда равна 60.

2.17. Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с боковой стороной AB пересекаются в точке P. Докажите, что центр O её описанной окружности лежит на описанной окружности треугольника APB.

2.18. На окружности даны точки A, B, C, D в указанном порядке;

A1, B1, C1 и D1 — середины дуг AB, BC, CD и DA соответственно.

Докажите, что A1 C1 B1 D1.

2.19. Внутри треугольника ABC взята точка P так, что BPC = = A + 60, APC = B + 60 и APB = C + 60. Прямые AP, BP и CP пересекают описанную окружность треугольника ABC в точках A, B и C. Докажите, что треугольник A B C правильный.

2.20. На окружности взяты точки A, C1, B, A1, C, B1 в указанном порядке.

а) Докажите, что если прямые AA1, BB1 и CC1 являются биссектрисами углов треугольника ABC, то они являются высотами треугольника A1 B1 C1.

б) Докажите, что если прямые AA1, BB1 и CC1 являются высотами треугольника ABC, то они являются биссектрисами углов треугольника A1 B1 C1.

2.21*. В окружность вписаны треугольники T1 и T2, причём вершины треугольника T2 являются серединами дуг, на которые окружность разбивается вершинами треугольника T1. Докажите, что в шестиугольнике, являющемся пересечением треугольников T1 и T2, диагонали, соединяющие противоположные вершины, параллельны сторонам треугольника T1 и пересекаются в одной точке.

На языке ориентированных углов теорема об угле между касательной и хордой формулируется следующим образом. Если AB — хорда окружности, а l — касательная, проведённая в точке A, то для любой точки X данной окружности имеет место равенство (l, AB) = (XA, XB).

2.22. Две окружности пересекаются в точках P и Q. Через точку A первой окружности проведены прямые AP и AQ, пересекающие вторую окружность в точках B и C. Докажите, что касательная в точке A к первой окружности параллельна прямой BC.

2.23. Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и P. Через точку A проведена касательная AB к окружности S1, а через точку P — прямая CD, параллельная AB (точки B и C лежат на S2, точка D — на S1 ). Докажите, что ABCD — параллелограмм.

2.24. Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена касательная AQ к окружности S1 (точка Q лежит на S2 ), а через точку B — касательная BS к окружности S2 (точка S лежит на S1 ). Прямые BQ и AS пересекают окружности S1 и S в точках R и P. Докажите, что PQRS — параллелограмм.

2.25. Касательная в точке A к описанной окружности треугольника ABC пересекает прямую BC в точке E; AD — биссектриса треугольника ABC. Докажите, что AE = ED.

2.26. Окружности S1 и S2 пересекаются в точке A. Через точку A проведена прямая, пересекающая S1 в точке B, а S2 в точке C. В точках C и B проведены касательные к окружностям, пересекающиеся в точке D. Докажите, что угол BDC не зависит от выбора прямой, проходящей через A.

2.27. Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A к этим окружностям проведены касательные AM и AN (M и N — точки окружностей). Докажите, что:

б) BM/BN = (AM/AN)2.

2.28. Две окружности касаются внутренним образом в точке M.

Пусть AB — хорда большей окружности, касающаяся меньшей окружности в точке T. Докажите, что MT — биссектриса угла AMB.

2.29. Через точку M, лежащую внутри окружности S, проведена хорда AB; из точки M опущены перпендикуляры MP и MQ на касательные, проходящие через точки A и B. Докажите, что величина 1/PM + 1/QM не зависит от выбора хорды, проходящей через точку M.

2.30. Окружность S1 касается сторон угла ABC в точках A и C.

Окружность S2 касается прямой AC в точке C и проходит через точку B; окружность S1 она пересекает в точке M. Докажите, что прямая AM делит отрезок BC пополам.

2.31. Окружность S касается окружностей S1 и S2 в точках A1 и A2 ;

B — точка окружности S, а K1 и K2 — вторые точки пересечения прямых A1 B и A2 B с окружностями S1 и S2. Докажите, что если прямая K1 K2 касается окружности S1, то она касается и окружности S2.

См. также задачи 1.55 а), 6.49.

§ 4. Связь величины угла с длиной дуги и хорды 2.32. В окружность вписаны равнобедренные трапеции ABCD и A1 B1 C1 D1 с соответственно параллельными сторонами. Докажите, что AC = A1 C1.

2.33. Из точки M, двигающейся по окружности, опускаются перпендикуляры MP и MQ на диаметры AB и CD. Докажите, что длина отрезка PQ не зависит от положения точки M.

2.34. В треугольнике ABC угол B равен 60, биссектрисы AD и CE пересекаются в точке O. Докажите, что OD = OE.

2.35. В треугольнике ABC углы при вершинах B и C равны 40 ;

BD — биссектриса угла B. Докажите, что BD + DA = BC.

2.36. На хорде AB окружности S с центром O взята точка C.

Описанная окружность треугольника AOC пересекает окружность S в точке D. Докажите, что BC = CD.

2.37. Внутри квадрата ABCD выбрана точка M так, что MAC = = MCD = a. Найдите величину угла ABM.

2.38. Вершины A и B правильного треугольника ABC лежат на окружности S, а вершина C — внутри этой окружности. Точка D лежит на окружности S, причём BD = AB. Прямая CD вторично пересекает S в точке E. Докажите, что длина отрезка EC равна радиусу окружности S.

2.39*. По неподвижной окружности, касаясь её изнутри, катится без скольжения окружность вдвое меньшего радиуса. Какую траекторию описывает фиксированная точка K подвижной окружности?

2.40*. В треугольнике ABC угол A наименьший. Через вершину A проведена прямая, пересекающая отрезок BC. Она пересекает описанную окружность в точке X, а серединные перпендикуляры к сторонам AC и AB — в точках B1 и C1. Прямые BC1 и CB1 пересекаются в точке Y. Докажите, что BY + CY = AX.

§ 5. Четыре точки, лежащие на одной окружности 2.41. Из произвольной точки M катета BC прямоугольного треугольника ABC на гипотенузу AB опущен перпендикуляр MN. Докажите, что MAN = MCN.

2.42. Диагонали трапеции ABCD с основаниями AD и BC пересекаются в точке O; точки B и C симметричны вершинам B и C относительно биссектрисы угла BOC. Докажите, что C AC = B DB.

2.43. Продолжения сторон AB и CD вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P, а продолжения сторон BC и AD — в точке Q. Докажите, что точки пересечения биссектрис углов AQB и BPC со сторонами четырёхугольника являются вершинами ромба.

2.44*. Вписанная окружность касается сторон AB и AC треугольника ABC в точках M и N. Пусть P — точка пересечения прямой MN и биссектрисы угла B (или её продолжения). Докажите, что:

2.45*. Внутри четырёхугольника ABCD взята точка M так, что ABMD — параллелограмм. Докажите, что если CBM = CDM, то ACD = BCM.

2.46*. Прямые AP, BP и CP пересекают описанную окружность треугольника ABC в точках A1, B1 и C1. Точки A2, B2 и C2 взяты на прямых BC, CA и AB так, что (PA2, BC) = (PB2, CA) = (PC2, AB).

Докажите, что A2 B2 C2 A1 B1 C1.

2.47*. Вокруг правильного треугольника APQ описан прямоугольник ABCD, причём точки P и Q лежат на сторонах BC и CD соответственно; P и Q — середины сторон AP и AQ. Докажите, что треугольники BQ C и CP D правильные.

2.48*. Докажите, что если для вписанного четырёхугольника ABCD выполнено равенство CD = AD + BC, то точка пересечения биссектрис углов A и B лежит на стороне CD.

2.49*. Диагонали AC и CE правильного шестиугольника ABCDEF разделены точками M и N так, что AM : AC = CN : CE = l. Найдите l, если известно, что точки B, M и N лежат на одной прямой.

2.50*. Треугольники ABC и A1 B1 C1 имеют соответственно параллельные стороны, причём стороны AB и A1 B1 лежат на одной прямой.

Докажите, что прямая, соединяющая точки пересечения описанных окружностей треугольников A1 BC и AB1 C, содержит точку C1.

2.51*. В треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1 и CC1.

Прямая KL параллельна CC1, причём точки K и L лежат на прямых BC и B1 C1 соответственно. Докажите, что центр описанной окружности треугольника A1 KL лежит на прямой AC.

2.52*. Через точку O пересечения биссектрис треугольника ABC проведена прямая MN перпендикулярно CO, причём M и N лежат на сторонах AC и BC соответственно. Прямые AO и BO пересекают описанную окружность треугольника ABC в точках A и B. Докажите, что точка пересечения прямых A N и B M лежит на описанной окружности.

§ 6. Вписанный угол и подобные треугольники 2.53. На окружности взяты точки A, B, C и D. Прямые AB и CD пересекаются в точке M. Докажите, что AC · AD/AM = BC · BD/BM.

2.54. На окружности даны точки A, B и C, причём точка B более удалена от прямой l, касающейся окружности в точке A, чем C. Прямая AC пересекает прямую, проведённую через точку B параллельно l, в точке D. Докажите, что AB2 = AC · AD.

2.55. Прямая l касается окружности с диаметром AB в точке C;

M и N — проекции точек A и B на прямую l, D — проекция точки C на AB. Докажите, что CD2 = AM · BN.

2.56. В треугольнике ABC проведена высота AH, а из вершин B и C опущены перпендикуляры BB1 и CC1 на прямую, проходящую через точку A. Докажите, что ABC HB1 C1.

2.57. На дуге BC окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC, взята произвольная точка P. Отрезки AP и BC пересекаются в точке Q. Докажите, что 1/PQ = 1/PB + 1/PC.

2.58. На сторонах BC и CD квадрата ABCD взяты точки E и F так, что EAF = 45. Отрезки AE и AF пересекают диагональ BD в точках P и Q. Докажите, что SAEF /SAPQ = 2.

2.59. Прямая, проходящая через вершину C равнобедренного треугольника ABC, пересекает основание AB в точке M, а описанную окружность в точке N. Докажите, что CM · CN = AC2 и CM/CN = = AM · BM/(AN · BN).

2.60. Дан параллелограмм ABCD с острым углом при вершине A.

На лучах AB и CB отмечены точки H и K соответственно так, что CH = BC и AK = AB. Докажите, что:

2.61. а) Стороны угла с вершиной C касаются окружности в точках A и B. Из точки P, лежащей на окружности, опущены перпендикуляры PA1, PB1 и PC1 на прямые BC, CA и AB. Докажите, что PC2 = PA1 · PB1 и PA1 : PB1 = PB2 : PA2.

б) Из произвольной точки O вписанной окружности треугольника ABC опущены перпендикуляры OA, OB, OC на стороны треугольника ABC и перпендикуляры OA, OB, OC на стороны треугольника с вершинами в точках касания. Докажите, что OA · OB · OC = = OA · OB · OC.

2.62. Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Расстояния от точки E до прямых AB, BC и CD равны a, b и c соответственно.

Найдите расстояние от точки E до прямой AD.

2.63. В треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1 и CC1 ;

B2 и C2 — середины высот BB1 и CC1. Докажите, что A1 B2 C2 ABC.

2.64. На высотах треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1, делящие их в отношении 2 : 1, считая от вершины. Докажите, что A1 B1 C1 ABC.

2.65*. Окружность S1 с диаметром AB пересекает окружность S с центром A в точках C и D. Через точку B проведена прямая, пересекающая S2 в точке M, лежащей внутри S1, а S1 в точке N.

Докажите, что MN2 = CN · ND.

2.66*. Через середину C произвольной хорды AB окружности проведены две хорды KL и MN (точки K и M лежат по одну сторону от AB). Отрезки KN и ML пересекают AB в точках Q и P. Докажите, что PC = QC (задача о бабочке).

2.67*. а) Окружность, проходящая через точку C, пересекает стороны BC и AC треугольника ABC в точках A1 и B1, а его описанную окружность в точке M. Докажите, что AB1 M BA1 M.

б) На лучах AC и BC отложены отрезки AA1 и BB1, равные полупериметру треугольника ABC. M — такая точка его описанной окружности, что CM A1 B1. Докажите, что CMO = 90, где O — центр вписанной окружности.

См. также задачу 2.27 б).

§ 7. Биссектриса делит дугу пополам 2.68. В треугольнике ABC стороны AC и BC не равны. Докажите, что биссектриса угла C делит пополам угол между медианой и высотой, проведёнными из этой вершины, тогда и только тогда, когда C = 90.

2.69. Известно, что в некотором треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые из вершины C, делят угол на четыре равные части. Найдите углы этого треугольника.

2.70. Докажите, что в любом треугольнике ABC биссектриса AE лежит между медианой AM и высотой AH.

2.71. Дан треугольник ABC. На его стороне AB выбирается точка P и через неё проводятся прямые PM и PN, параллельные AC и BC соответственно (точки M и N лежат на сторонах BC и AC); Q — точка пересечения описанных окружностей треугольников APN и BPM.

Докажите, что все прямые PQ проходят через фиксированную точку.

2.72. Продолжение биссектрисы AD остроугольного треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке E. Из точки D на стороны AB и AC опущены перпендикуляры DP и DQ. Докажите, что SABC = SAPEQ.

с перпендикулярными диагоналями В этом параграфе ABCD — вписанный четырёхугольник, диагонали которого перпендикулярны. Мы будем использовать также следующие обозначения:

O — центр описанной окружности четырёхугольника ABCD, P — точка пересечения диагоналей.

2.73. Докажите, что ломаная AOC делит ABCD на две фигуры равной площади.

2.74. Известен радиус описанной окружности R.

а) Найдите AP2 + BP2 + CP2 + DP2.

б) Найдите сумму квадратов сторон четырёхугольника ABCD.

2.75. Найдите сумму квадратов диагоналей, если известны длина отрезка OP и радиус окружности R.

2.76. Из вершин A и B опущены перпендикуляры на CD, пересекающие прямые BD и AC в точках K и L соответственно. Докажите, что AKLB — ромб.

2.77. Докажите, что площадь четырёхугольника ABCD равна (AB · CD + BC · AD)/2.

2.78. Докажите, что расстояние от точки O до стороны AB равно половине длины стороны CD.

2.79. Докажите, что прямая, проведённая из точки P перпендикулярно BC, делит сторону AD пополам.

2.80. Докажите, что середины сторон четырёхугольника ABCD и проекции точки P на стороны лежат на одной окружности.

2.81. а) Через вершины A, B, C и D проведены касательные к описанной окружности. Докажите, что образованный ими четырёхугольник вписанный.

б) Четырёхугольник KLMN вписанный и описанный одновременно;

A и B — точки касания вписанной окружности со сторонами KL и LM.

Докажите, что AK · BM = r2, где r — радиус вписанной окружности.

См. также задачу 5.45.

2.82. На сторонах треугольника ABC внешним образом построены треугольники ABC, AB C и A BC, причём сумма углов при вершинах A, B и C кратна 180. Докажите, что описанные окружности построенных треугольников пересекаются в одной точке.

2.83. а) На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки A1, B1 и C1, отличные от вершин треугольника. Докажите, что описанные окружности треугольников AB1 C1, A1 BC1 и A1 B1 C пересекаются в одной точке.

б) Точки A1, B1 и C1 перемещаются по прямым BC, CA и AB так, что все треугольники A1 B1 C1 подобны одному и тому же треугольнику. Докажите, что точка пересечения описанных окружностей треугольников AB1 C1, A1 BC1 и A1 B1 C остаётся при этом неподвижной.

(Треугольники предполагаются не только подобными, но и одинаково ориентированными.) 2.84. Точки A1, B1, C1 движутся по прямым BC, CA, AB так, что все треугольники A1 B1 C1 подобны одному и тому же треугольнику (треугольники предполагаются не только подобными, но и одинаково ориентированными). Докажите, что треугольник A1 B1 C1 имеет минимальный размер тогда и только тогда, когда перпендикуляры, восставленные из точек A1, B1, C1 к прямым BC, CA, AB пересекаются в одной точке.

2.85. Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямые AX, BX и CX пересекают стороны треугольника в точках A1, B1 и C1.

Докажите, что если описанные окружности треугольников AB1 C1, A1 BC1 и A1 B1 C пересекаются в точке X, то X — точка пересечения высот треугольника ABC.

2.86*. На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1. Докажите, что если треугольники A1 B1 C1 и ABC подобны и противоположно ориентированы, то описанные окружности треугольников AB1 C1, A1 BC1 и A1 B1 C проходят через центр описанной окружности треугольника ABC.

2.87*. Точки A, B и C симметричны некоторой точке P относительно сторон BC, CA и AB треугольника ABC.

а) Докажите, что описанные окружности треугольников AB C, A BC, A B C и ABC имеют общую точку.

б) Докажите, что описанные окружности треугольников A BC, AB C, ABC и A B C имеют общую точку Q.

в) Пусть I, J, K и O — центры описанных окружностей треугольников A BC, AB C, ABC и A B C. Докажите, что QI : OI = QJ : OJ = = QK : OK.

См. также задачи 28.33, 28.34, 28.38.

2.88. Четыре прямые образуют четыре треугольника.

а) Докажите, что описанные окружности этих треугольников имеют общую точку (точка Микеля).

б) Докажите, что центры описанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности, проходящей через точку Микеля.

2.89*. Прямая пересекает стороны AB, BC и CA треугольника (или их продолжения) в точках C1, B1 и A1 ; O, Oa, Ob и Oc — центры описанных окружностей треугольников ABC, AB1 C1, A1 BC1 и A1 B1 C;

H, Ha, Hb и Hc — ортоцентры этих треугольников. Докажите, что:

б) серединные перпендикуляры к отрезкам OH, Oa Ha, Ob Hb и Oc Hc пересекаются в одной точке.

2.90*. Четырёхугольник ABCD вписанный. Докажите, что точка Микеля для прямых, содержащих его стороны, лежит на отрезке, соединяющем точки пересечения продолжений сторон.

2.91*. Точки A, B, C и D лежат на окружности с центром O.

Прямые AB и CD пересекаются в точке E, а описанные окружности треугольников AEC и BED пересекаются в точках E и P. Докажите, что:

а) точки A, D, P и O лежат на одной окружности;

2.92*. Даны четыре прямые. Докажите, что проекции точки Микеля на эти прямые лежат на одной прямой.

См. также задачи 19.46, 28.34, 28.36, 28.37.

2.93. В треугольнике ABC проведена высота AH; O — центр описанной окружности. Докажите, что OAH = |B C|.

2.94. Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC, а AA — диаметр его описанной окружности. Докажите, что отрезок A H делит сторону BC пополам.

2.95. Через вершины A и B треугольника ABC проведены две параллельные прямые, а прямые m и n симметричны им относительно биссектрис соответствующих углов. Докажите, что точка пересечения прямых m и n лежит на описанной окружности треугольника ABC.

2.96. а) Из точки A проведены прямые, касающиеся окружности S в точках B и C. Докажите, что центр вписанной окружности треУсловия задач угольника ABC и центр его вневписанной окружности, касающейся стороны BC, лежат на окружности S.

б) Докажите, что окружность, проходящая через вершины B и C любого треугольника ABC и центр O его вписанной окружности, высекает на прямых AB и AC равные хорды.

2.97*. На сторонах AC и BC треугольника ABC внешним образом построены квадраты ACA1 A2 и BCB1 B2. Докажите, что прямые A1 B, A2 B2 и AB1 пересекаются в одной точке.

2.98*. Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и B, причём касательные к S1 в этих точках являются радиусами S2. На внутренней дуге S1 взята точка C и соединена с точками A и B прямыми.

Докажите, что вторые точки пересечения этих прямых с S2 являются концами одного диаметра.

2.99*. Из центра O окружности опущен перпендикуляр OA на прямую l. На прямой l взяты точки B и C так, что AB = AC. Через точки B и C проведены две секущие, первая из которых пересекает окружность в точках P и Q, а вторая — в точках M и N. Прямые PM и QN пересекают прямую l в точках R и S. Докажите, что AR = AS (задача о бабочке).

Задачи для самостоятельного решения 2.100. В треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1 ; M — середина стороны AB. Докажите, что MA1 = MB1.

2.101. В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы A и C прямые.

Докажите, что AC = BD · sin ABC.

2.102. Диагонали AD, BE и CF вписанного шестиугольника ABCDEF пересекаются в одной точке. Докажите, что AB · CD · EF = = BC · DE · AF.

2.103. В выпуклом четырёхугольнике AB = BC = CD, M — точка пересечения диагоналей, K — точка пересечения биссектрис углов A и D.

Докажите, что точки A, M, K и D лежат на одной окружности.

2.104. Окружности с центрами O1 и O2 пересекаются в точках A и B. Прямая O1 A пересекает окружность с центром O2 в точке N.

Докажите, что точки O1, O2, B и N лежат на одной окружности.

2.105. Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и B. Прямая MN касается окружности S1 в точке M и окружности S2 в точке N. Пусть A — та из точек пересечения окружностей, которая более удалена от прямой MN. Докажите, что O1 AO2 = 2MAN.

2.106. Дан четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность, причём AB = BC. Докажите, что SABCD = (DA + CD) · hb, где hb — высота треугольника ABD, опущенная из вершины B.

2.107. Четырёхугольник ABCD вписанный, причём AC — биссектриса угла DAB. Докажите, что AC · BD = AD · DC + AB · BC.

2.108. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C проведены биссектриса CM и высота CH. HD и HE — биссектрисы треугольников AHC и CHB. Докажите, что точки C, D, H, E и M лежат на одной окружности.

2.109. Две окружности проходят через вершину угла и точку его биссектрисы. Докажите, что отрезки, высекаемые ими на сторонах угла, равны.

2.110. Треугольник BHC, где H — ортоцентр треугольника ABC, достроен до параллелограмма BHCD. Докажите, что BAD = CAH.

2.111. Вне правильного треугольника ABC, но внутри угла BAC взята точка M так, что CMA = 30 и BMA = a. Чему равен угол ABM?

2.112. Докажите, что если вписанный четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями является также и описанным, то он симметричен относительно одной из диагоналей.

2.1. Проведём диаметр AD. Тогда CDA = CBA, а значит, BAH = DAC, так как BHA = ACD = 90.

2.2. Из свойств ориентированных углов имеем (AC, CK) = (AM, MK) = = (BM, MK) = (BD, DK) = (BD, CK), т. е. AC BD.

2.3. Точки P и Q лежат на окружности с диаметром AM. Поэтому QMA = = QPA как углы, опирающиеся на одну дугу. Треугольники PAK и MAQ прямоугольные, следовательно, PAK = MAQ.

2.4. а) Так как AOM = BAO + ABO = (A + B)/2 и OAM = OAC + + CAM = A/2 + CBM = (A + B)/2, то MA = MO. Аналогично MC = MO.

Так как треугольник OAOb прямоугольный и AOM = MAO = f, то MAOb = MOb A = 90 f, а значит, MA = MOb. Аналогично MC = MOb.

б) Пусть P — центр описанной окружности треугольника ACO. Тогда COP = (180 CPO)/2 = 90 OAC. Поэтому BOC = 90 + OAC. Аналогично BOC = 90 + OAB, а значит, OAB = OAC. Аналогично доказывается, что точка O лежит на биссектрисах углов B и C.

2.5. Пусть O — вершина данного прямого угла. Точки O и A лежат на окружности с диаметром BC, поэтому AOB = ACB = C. Из этого следует, что точка A движется по прямой, образующей со стороной данного прямого угла угол, равный C. В крайних положениях расстояния от точки A до точки O равны гипотенузе BC и наименьшему катету BA.

Действительно, OA = BC sin f, где f = OCA. Угол f изменяется от C до 90 + C = 180 B, поэтому наибольшее значение sin f равно 1, а наименьшее значение равно наименьшему из чисел sin C и sin B. Таким образом, длина отрезка, по которому движется точка A, равна разности между длиной гипотенузы и длиной наименьшего катета прямоугольного треугольника ABC.

З а м е ч а н и е 1. Аналогичное утверждение верно для любого треугольника ABC, вершины которого скользят по сторонам угла MON, равного 180 A.

З а м е ч а н и е 2. В случае, когда угол A не прямой, вершина A движется по эллипсу (задача 31.63).

2.6. Точки B, D и K лежат на окружности с диаметром AC. Пусть для определённости KCA=f 45. Тогда BK=AC sin(45 f)=AC(cos fsin f)/ и DK = AC sin(45 + f) = AC(cos f + sin f)/ 2. Ясно, что AC cos f = CK и AC sin f = AK.

2.7. Так как B1 AA1 = A1 BB1, точки A, B, A1 и B1 лежат на одной окружности. Параллельные прямые AB и A1 B1 высекают на ней равные хорды AB1 и BA1. Поэтому AC = BC.

2.8. Построим на стороне BC треугольника ABC внешним образом правильный треугольник A1 BC. Пусть P — точка пересечения прямой AA1 с описанной окружностью треугольника A1 BC. Тогда точка P лежит внутри треугольника ABC и APC = 180 A1 PC = 180 A1 BC = 120. Аналогично APB = 120.

2.9. Основания перпендикуляров, опущенных из точки M на диаметры, лежат на окружности S с диаметром OM (O — центр исходной окружности).

Точки пересечения данных диаметров с окружностью S, отличные от точки O, делят её на n дуг. Так как на все дуги, не содержащие точку O, опираются углы 180 /n, то угловые величины этих дуг равны 360 /n. Поэтому угловая величина дуги, на которой лежит точка O, равна 360 (n 1) · 360 /n = = 360 /n. Следовательно, основания перпендикуляров делят окружность S на n равных дуг.

2.10. Ясно, что (AA1, BB1 ) = (AA1, AB1 ) + (AB1, BB1 ) = (MA1, MB1 ) + + (AN, BN). Так как MA1 BN и MB1 AN, то (MA1, MB1 ) = (BN, AN) = = (AN, BN). Поэтому (AA1, BB1 ) = 0, т. е. AA1 BB1.

2.11. Ясно, что (AQ, QD) = (AQ, QP) + (PQ, QD) = (AB, BP) + (PC, CD), (CQ, QB) = (CQ, QP) + (PQ, QB) = (CD, DP) + (PA, AB).

Треугольники APB и CPD равнобедренные, поэтому (AB, BP) = (PA, AB) и (PC, CD) = (CD, DP). Следовательно, (AQ, QD) = (CQ, QB).

2.12. Так как AB DE, то ACE = BFD, а так как BC EF, то CAE = = FDB. Треугольники ACE и BDF имеют по два равных угла, поэтому третьи углы у них тоже равны. Из равенства этих углов следует равенство дуг AC и DF, т. е. параллельность хорд CD и AF.

2.13. Доказательство проведём индукцией по n. Для четырёхугольника утверждение очевидно, для шестиугольника оно было доказано в предыдущей задаче. Допустим, что утверждение доказано для 2(n 1)-угольника, и докажем его для 2n-угольника. Пусть A1... A2n есть 2n-угольник, в котором A1 A2 An+1 An+2,..., An1 An A2n1 A2n. Рассмотрим 2(n 1)-угольник A1 A2... An1 An+1... A2n1. По предположению индукции при нечётном n получаем An1 An+1 = A2n1 A1, при чётном n получаем An1 An+1 A2n1 A1.

Рассмотрим треугольник An1 An An+1 и треугольник A2n1 A2n A1. Пусть n чётно. Тогда векторы An1 An и A2n1 A2n, An1 An+1 и A2n1 A1 параллельны и противоположно направлены, поэтому An An1 An+1 = A1 A2n1 A2n и An An+1 = A2n A1 как хорды, отсекающие равные дуги, что и требовалось.

Пусть n нечётно. Тогда An1 An+1 = A2n1 A1, т. е. A1 An1 An+1 A2n1. В шестиугольнике An1 An An+1 A2n1 A2n A1 имеем A1 An1 An+1 A2n1, An1 An A2n1 A2n, поэтому согласно предыдущей задаче An An+1 A2n A1, что и требовалось.

2.14. Пусть прямые FG, GE и EF проходят через точки A, B и C, причём треугольник EFG равносторонний, т. е. (GE, EF) = (EF, FG) = (FG, GE) = = ±60. Тогда (BE, EC) = (CF, FA) = (AG, GB) = ±60. Выбрав один из знаков, получим три окружности SE, SF и SG, на которых должны лежать точки E, F и G. Любая точка E окружности SE однозначно определяет треугольник EFG.

Пусть O — центр треугольника EFG; P, R и Q — точки пересечения прямых OE, OF и OG с соответствующими окружностями SE, SF и SG.

Докажем, что P, Q и R — центры правильных треугольников, построенных на сторонах треугольника ABC (для одного семейства внешним образом, для другого внутренним), а точка O лежит на описанной окружности треугольника PQR. Ясно, что (CB, BP) = (CE, EP) = (EF, EO) = 30, a (BP, CP) = (BE, EC) = (GE, EF) = ±60. Поэтому (CB, CP) = (CB, BP) + + (BP, CP) = ±30. Следовательно, P — центр правильного треугольника со стороной AB. Для точек Q и R доказательство аналогично. Треугольник PQR равносторонний, причём его центр совпадает с точкой пересечения медиан треугольника ABC (см. задачу 1.50 б). Можно проверить, что (PR, RQ) = 60 = (OE, OG) = (OP, OQ), т. е. точка O лежит на описанной окружности треугольника PQR.

BC) = 360, AM.

2.16. Обозначим угловую величину дуги, высекаемой сторонами треугольника ABC на окружности, через a. Рассмотрим дугу, высекаемую продолжениями сторон треугольника на окружности, и обозначим её угловую величину через a. Тогда (a + a )/2 = BAC = 60. Но a = a, так как эти дуги симметричны относительно прямой, проходящей через центр окружности параллельно стороне BC. Поэтому a = a = 60.

CD)/2 = AOB, точка O лежит на описанной окружности треугольника APB.

2.18. Пусть O — точка пересечения прямых A1 C1 и B1 D1 ; a, b, g и d — угловые величины дуг AB, BC, CD и DA. Тогда DD1 )/2 = (a + b + g + d)/4 = 90.

CA = 2(180 APC) = 240 2B AB = 480 2(A + B + C) = 120.

C A = 120.

2.20. а) Докажем, например, что AA1 C1 B1. Пусть M — точка пересечения BC1 )/2 = ABB1 + A1 AB + + BCC1 = (B + A + C)/2 = 90.

б) Пусть M1 и M2 — точки пересечения отрезков AA1 и BC, BB1 и AC.

Прямоугольные треугольники AM1 C и BM2 C имеют общий угол C, поэтому A1 C и B1 C1 C = A1 C1 C, т. е. CC1 — биссектриса угла A1 C1 B1.

2.21. Обозначим вершины треугольника T1 через A, B и C; середины дуг BC, CA, AB через A1, B1, C1. Тогда T2 = A1 B1 C1. Прямые AA1, BB1, CC являются биссектрисами треугольника T1, поэтому они пересекаются в одной точке O. Пусть прямые AB и C1 B1 пересекаются в точке K. Достаточно трисой и высотой (задача 2.20 а), поэтому этот треугольник равнобедренный.

Следовательно, треугольник AKO тоже равнобедренный. Прямые KO и AC параллельны, так как KOA = KAO = OAC.

2.22. Пусть l — касательная в точке A к первой окружности. Тогда (l, AP) = (AQ, PQ) = (BC, PB), а значит, l BC.

2.23. Так как (AB, AD) = (AP, PD) = (AB, BC), то BC AD.

2.24. Ясно, что (AB, BS) = (AQ, QB) и (BA, AQ) = (BS, SA). Поэтому (BA, AS) = (AB, BQ), а значит, PS QR. Далее, (AP, PQ) = (AB, BQ) = = (AS, SR), поэтому PQ SR.

2.25. Пусть для определённости точка E лежит на луче BC. Тогда ABC = = EAC и ADE = ABC + BAD = EAC + CAD = DAE.