«А. А. Чакак, С. Н. Летута ФИЗИКА КРАТКИЙ КУРС Рекомендовано к изданию Ученым советом Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Оренбургский государственный университет в качестве ...»

Министерство образования и науки

Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Оренбургский государственный университет

А. А. Чакак, С. Н. Летута

ФИЗИКА

КРАТКИЙ КУРС

Рекомендовано к изданию Ученым советом Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Оренбургский государственный университет в качестве учебного пособия для студентов очно-заочной формы обучения вузов, слушателей курсов повышения квалификации и профессиональной переподготовки специалистов, для студентов факультета дистанционных образовательных технологий Оренбург

ИПК ГОУ ОГУ

УДК 53 (075.8) ББК 22.3я Ч Рецензент профессор, доктор физико-математических наук М. Г. Кучеренко Чакак, А. А.

Ч 16 Физика. Краткий курс: учебное пособие для студентов очно-заочной формы обучения вузов, слушателей курсов повышения квалификации и профессиональной переподготовки специалистов, для студентов факультета дистанционных образовательных технологий / А. А. Чакак, С. Н. Летута; Оренбургский гос. ун-т – Оренбург: ОГУ, 2010. – 541 с.

ISBN 978-5-7410-1129- В учебном пособии дано систематическое изложение основных понятий физики и закономерностей развития отдельных процессов и явлений.

Для каждого раздела учебного пособия разработаны контрольные задачи и экзаменационные тестовые задания. В приложении к пособию представлены справочные материалы, которые, по мнению авторов, окажутся полезными при выполнении практических заданий.

Учебное пособие предназначено для самостоятельного изучения «Курса физики» студентами очно-заочной формы обучения вузов, слушателями курсов повышения квалификации и профессиональной переподготовки специалистов, студентами факультета дистанционных образовательных технологий. Пособие может оказаться полезным для студентов вузов и старшеклассников при самостоятельном изучении отдельных разделов физики.

УДК 53 (075.8) ББК 22.3я Чакак А.А., Летута С.Н., ГОУ ОГУ, ISBN 978-5-7410-1129- Содержание Предисловие…………………………………………………………………. 1 Механика………………………………………………………………….. § 1.1 Модели в механике. Системы отсчёта. Траектория, путь, перемещение………………………………………………………………………….. § 1.2 Скорость и ускорение при прямолинейном движении…………….. § 1.3 Скорость и ускорение при движении точки в пространстве………. § 1.4 Кинематика вращательного движения………………………………. § 1.5 Первый закон Ньютона. Масса и импульс тела. Сила……………… § 1.6 Второй закон Ньютона……………………………………………….. § 1.7 Третий закон Ньютона………………………………………………… § 1.8 Энергия, работа, мощность…………………………………………… § 1.9 Кинетическая энергия………………………………………………… § 1.10 Потенциальная энергия…………………………………………….. § 1.11 Закон сохранения энергии…………………………………………… § 1.12 Закон сохранения импульса………………………………………… § 1.13 Закон сохранения момента импульса………………………………. § 1.14 Силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета………………………………………………………………. § 1.15 Центробежная сила инерции………………………………………… § 1.16 Сила Кориолиса………………………………………………………. § 1.17 Периодические колебания. Гармонические колебания…………… § 1.18 Динамика свободных гармонических колебаний. Маятники…….. § 1.19 Энергия гармонического осциллятора……………………………… Контрольные вопросы………………………………………………………. Тесты…………………………………………………………………………. Упражнения для самоконтроля…………………………………………….. 2 Молекулярная физика…………………………………………………….. § 2.20 Идеальный газ………………………………………………………… § 2.33 Реальные газы. Молекулярные силы и отклонения свойств газов § 2.35 Изотермы газа Ван-дер-Ваальса

§ 2.36 Критическая температура и критическое состояние

§ 2.43 Энтропия

§ 5.47 Теплоёмкость неидеальных газов

§ 2.48 Термодинамическая шкала температур

§ 2.49 Третье начало термодинамики

Упражнения для самоконтроля…………………………………………….. § 3.50 Закон сохранения электрического заряда………………………….. § 3.52 Электростатическое поле. Напряжённость электростатического § 3.53 Потенциал. Связь между потенциалом и напряжённостью электрического поля………………………………………………………………. § 3.55 Сторонние силы. Электродвижущая сила и напряжение…………. § 3.56 Закон Ома. Сопротивление проводников…………………………... § 3.57 Разветвлённые цепи. Правила Кирхгофа…………………………… § 3.58 Работа и мощность тока. Закон Джоуля-Ленца…………………… § 3.59 Магнитное поле и его характеристики……………………………… § 3.60 Закон Био-Савара-Лапласа…………………………………………... § 3.61 Магнитное поле движущегося заряда………………………………. § 3.62 Закон Ампера. Сила Лоренца………………………………………... § 3.63 Работа при перемещении проводника с током в постоянном магнитном поле…………………………………………………………………… § 3.64 Явление электромагнитной индукции……………………………… § 3.65 Закон электромагнитной индукции (закон Фарадея)……………… § 3.66 Генератор переменного тока………………………………………… Упражнения для самоконтроля…………………………………………….. § 4.67 Общие методические указания к решению задач и выполнению § 4.68 Контрольные задачи…………………………………………………. § 5.69 Общие положения……………………………………………………. § 5.70 Экзаменационные тестовые задания……………………………….. 6 Примеры решения задач………………………………………………….. 7 Литература, рекомендуемая для изучения физики…………………….. Список использованных источников……………………………………… Приложение А Основные физические константы………………………… Приложение Б Соотношения между единицами некоторых физических Приложение В Основные формулы по математике………………………. Приложение Г Некоторые сведения из математики………………………. Приложение Д Основные формулы по физике……………………………. Приложение Е Таблицы физических величин…………………………….. В основу этого учебного пособия легли материалы лекций и практических занятий, которые авторы в течение ряда лет проводили для студентов Оренбургского госуниверситета. Книга предназначена для студентов очно-заочной, заочной и дистанционной форм обучения. Основное внимание в ней уделено выяснению физического смысла и содержания основных законов и понятий физики, установлению границ применимости этих законов, развитию у студентов навыков физического мышления и умения ставить и решать конкретные задачи.

Авторы ограничились изложением основ трех разделов классической физики:

механики, молекулярной физики и электромагнетизма. В основах механики дано описание физических явлений и законов, имеющих универсальный характер и используемых в дальнейшем при рассмотрении основных положений современной физики. Молекулярная физика и термодинамика излагаются с точки зрения статистического и термодинамического подходов к рассмотрению поведения многих частиц. Изложение основ электромагнетизма проведено путем обобщения основных понятий и принципов, используемых при описании электрических и магнитных явлений. Таким образом, сделан акцент на изложение основных идей и методов физической науки. Показана роль фундаментальных экспериментов в становлении современной физики. Даны разъяснения физических явлений, основополагающих законов и понятий с целью их дальнейшего применения для решения практических задач.

Данное учебное пособие включает в себя не только теоретические вопросы курса физики, изложенные с современных позиций, но и примеры решения задач по всем разделам курса, задачи для самостоятельного решения, а также необходимый справочный материал. Мы посчитали такую структуру книги методически оправданной, так как она способствует более глубокому пониманию содержания теории и ее связи с опытом.

Главная трудность, с которой столкнулись авторы, заключается в диспропорции между огромным объёмом материала и ограниченным количеством часов, отводимых на его изучение. Поэтому, авторы по мере возможности стремились доступно и сжато изложить основные законы и явления классической физики, их физический смысл и методы исследования.

Тем не менее, объём книги достаточно велик и авторы отчетливо понимают, что трудности, связанные со стремлением доступного изложения материала и подбором соответствующего уровня практических задач к каждому разделу, не могли не привести к недостаткам учебника. Мы будем благодарны всем, кто выскажет нам критические замечания и пожелания к улучшению этой книги.

Авторы выражают признательность профессору М. Г. Кучеренко и профессору Н. А. Манакову за рецензию рукописи и высказанные советы и рекомендации.

Все они были учтены при подготовке рукописи к изданию.

Механика – раздел физики, в котором изучается движение материальных объектов и азаимодействие между ними. Под механическим движением понимают изменение с течением времени взаимного положения тел или их частей в пространстве; например, движение небесных тел, колебания земной коры, воздушные и морские течения, движения летательных аппаратов и транспортных средств, машин и механизмов, деформации элементов конструкций и сооружений, движения жидкостей и газов и др. Рассматриваемые в механике взаимодействия представляют собой такие действия тел друг на друга, результатом которых являются изменения скоростей этих тел или их деформации, например притяжения тел вследствие всемирного тяготения, взаимные давления соприкасающихся тел, воздействия частиц жидкости или газа друг на друга и на движущиеся (или покоящиеся) в них тела и т.п.

В основе классической механики лежат законы Ньютона и принцип относительности Галилея, а предметом изучения являются движение материальных тел и причины, вызывающие это движение. В нашем курсе мы ограничимся изучением движения тел со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света.

§ 1.1 Модели в механике. Системы отсчёта. Траектория, путь, перемещение Для описания движения тел в механике используются различные физические модели. В реальном мире связи между явлениями столь многообразны, что учесть их все достаточно сложно. Однако при решении многих задач этого и не требуется.

Часто целесообразно лишь выделить наиболее существенные особенности какоголибо явления, не учитывая второстепенные. Так создаётся модель, которая есть лишь отображение реальности. Выделить все несущественное – важнейший элемент физического исследования. К сожалению, не существует единого рецепта, следуя которому можно было бы выделять в исследуемом явлении главное и не учитывать второстепенное. Здесь следует опираться на опыт и физическую интуицию исследователя.

Учёт наиболее существенных факторов сводится к идеализации реальной ситуации и созданию определённой физической модели. В физике используется целый ряд абстракций (абстрактных понятий), связанных с идеализацией тех или иных объектов или процессов. Примерами абстракций, встречающихся в механике, являются: материальная точка, прямолинейное равномерное движение, абсолютно твёрдое тело, абсолютно упругий удар, гармонические колебания, несжимаемая и невязкая жидкость и др.

Простейшей физической моделью является материальная точка тело, в геометрическом смысле эквивалентное математической точке, т.е. считается, что она не обладает внутренней структурой, формой и размерами, но обладает массой (т.е.

инертностью). Введение понятия материальной точки облегчает решение практических задач. Например, изучая движение поезда из Оренбурга в Москву, можно принять его за материальную точку; если же мы рассматриваем перемещение пассажира относительно поезда, то размеры поезда необходимо учитывать. Таким образом, когда мы принимаем тело за материальную точку, то пренебрегаем размерами тела по сравнению с характерными расстояниями, на которых рассматривается его движение. Абсолютных материальных точек в природе не существует.

Произвольное макроскопическое тело или систему тел можно мысленно разбить на малые взаимодействующие между собой части, каждая из которых рассматривается как материальная точка. Тогда изучение движения произвольной системы тел сводится к изучению движения системы материальных точек.

При взаимодействии друг с другом тела могут деформироваться, т.е. изменять свою форму и размеры. В определённых случаях деформации тел можно не учитывать. Для таких случаев вводится ещё одна модель абсолютно твёрдое тело. Абсолютно твёрдым телом называется тело, которое ни при каких условиях не деформируется, т.е. расстояние между двумя его произвольными точками остаётся неизменным.

Всякое движение твёрдого тела можно разложить на два основных вида движения – поступательное и вращательное. Поступательное движение – это движение, при котором любая прямая, жёстко связанная с движущимся телом, остаётся параллельной самой себе. При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.

Движение тел происходит в пространстве и во времени. Поэтому для описания движения материальной точки надо знать, в каких местах пространства эта точка находилась в разные моменты времени.

Положение материальной точки в пространстве определяется с помощью системы координат, связанной с произвольно выбранным телом отсчёта (тело отсчёта – какое-либо протяжённое тело, по отношению к которому определяется положение материальной точки; точка отсчёта 0 на рисунке 1). Система отсчёта – это совокупность системы координат, связанной с телом отсчёта, и часов, необходимых для регистрации положения материальной точки в различные моменты времени. Наиболее часто используется прямоугольная декартова система координат, в которой положение точки А в данный момент времени t определяется заданием трёх функций x(t), y(t) и z(t), представляющих собой значения координат точки, отложенных в определённом масштабе, в момент времени t (рисунок 1). Эти функции являются проекциями или компонентами вектора r(t) = r(x(t), y(t), z(t)), идущего из начала системы координат, определяемая по правилу правого винта. Если правый винт поворачивать в плоскости х0у кратчайшим путем от положительного направления оси 0х к положительному направлению направлению оси 0у, то поступательное движение винта будет происходить в положительном направлении оси 0z.

При движении материальной точки ее координаты с течением времени изменяются.

В общем случае движение материальной точки определяется скалярными уравнениями или эквивалентным векторным уравнением где i, j, k орты координатных осей, т.е. единичные векторы, направленные вдоль координатных осей x, y, z.

Уравнения (1.1) и (1.2) называются кинематическими уравнениями движения материальной точки. Уравнения (1.1) представляют координатный способ описания движения, при котором задаётся зависимость выбранных координат движущейся точки от времени. А уравнение (1.2) представляет векторный способ описания движения, при котором положение точки задаётся с помощью радиус-вектора r, проведённого в эту точку из начала отсчёта 0 (рисунок 1). Если r = const, то точка относительно системы отсчёта покоится. В общем случае при движении точки ее радиусвектор меняется и по величине и по направлению. При этом точка А (конец радиусвектора r(t)) движется по траектории, которую называют годографом вектора r.

Преимущество векторного способа задания движения точки в виде (1.2) состоит в том, что он позволяет в наглядной и компактной форме ввести такие векторные характеристики движения как перемещение, скорость, ускорение. Однако при решении конкретных задач, связанных с вычислениями, переходят к координатному способу описания движения. При этом оперируют проекциями радиус-вектора r на координатные оси.

Число независимых координат, полностью определяющих положение точки в пространстве, называется числом степеней свободы. Следовательно, если материальная точка движется в пространстве, то она обладает тремя степенями свободы (координаты х, у и z); если – в некоторой плоскости, то двумя степенями свободы;

если – вдоль заданной линии, то – одной степенью свободы.

Исключая время t из уравнений (1.1), получаем уравнение траектории движения материальной точки.

Траектория движения материальной точки – линия, описываемая этой точкой в пространстве. Так как покой и движение точки относительны, то и вид траектории точки зависит от той системы отсчёта, к которой отнесено движение. Например, небольшое тело, брошенное вертикально вверх в прямолинейно и равномерно движущемся вагоне поезда, в разных системах отсчёта будет двигаться по разным траекториям: относительно вагона – прямолинейно, а относительно полотна железной дороги – по параболе. В зависимости от формы траектории движение может быть прямолинейным или криволинейным.

Рассмотрим движение материальной точВ Отсчёт времени начнём с момента, когда точка ектории АВ, пройденного материальной точкой с момента начала отсчёта времени, называется длиной пути S (или путь) и является скалярной функцией времени: S = S(t). Вектор, проведённый из начального положения А движущейся точки в положение В ее в данный момент времени (приращение радиус-вектора точки за рассматриваемый промежуток времени r = r r0), называется перемещением.

Необходимо отличать перемещение от пути – расстояния S, отсчитываемого вдоль траектории. Путь – скалярная величина, представляющая собой неубывающую функцию S. В частном случае, при прямолинейном движении материальной точки в одном направлении (и только в этом случае), например, вдоль положительной полуоси 0х, вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории, и модуль перемещения r равен пройденному пути S. В остальных случаях значения модуля перемещения r = r и пройденного пути S могут отличаться. Так, например, если материальная точка, начиная движение из точки А, снова вернется в исходное положение (в точку А), то в этом случае перемещение r будет равно нулю (модуль нулевого вектора), а путь S отличен от нуля.

§ 1.2 Скорость и ускорение при прямолинейном движении Нужно ясно понимать различие между системой отсчёта и системой координат. Систему отсчёта образуют реальные тела. Перемещение, скорость, ускорение материальной точки в выбранной системе отсчёта – это та реальность, с которой мы имеем дело при решении конкретной задачи. Система координат является математической абстракцией. Один и тот же вектор в различных системах координат имеет различные компоненты, однако его положение относительно системы отсчёта остатся неизменным. Обычно выбор системы координат определяется соображениями удобства. Самое простое движение материальной точки – движение по прямой линии. С течением времени точка смещается вдоль прямой линии, удаляясь или приближаясь к заданной точке на данной линии. Вдоль прямой линии в этом случае направляется ось координат, относительно которой и рассматривается движение точки.

Если известна координата х (расстояние движущейся точки от некоторой произвольно выбранной точки 0 – начала координат на прямой) как функция времени t, то известен закон движения материальной точки по прямой – х(t). Для анализа удобно изобразить завих симость координаты х от времени t графически (рисунок 3), отложив по оси ординат координату х в определённом масштабе, а по оси абсцисс – время t, приняв определённый отрезок равным единице времени. По графику можно полностью определить характер движения данной точки. Если с увеличением t кривая х(t) поднимается вверх, точка удаляется от начала координат 0, и чем круче кривая поднимается, тем быстрее точка удаляется от 0;

участки кривой, параллельные оси абсцисс, соответствуют остановке точки, падение кривой вниз – приближению точки к 0, и т.д.

Для получения экспериментальным путём графика движения тела, перемещающегося по прямой и рассматриваемого как материальная точка, необходимо произвести измерения расстояния х от начала координат 0 в известные моменты времени t. Нужно отметить, что таким образом мы можем определить координату х, которую имеет точка в данный момент времени t, а не путь, пройденный точкой.

Путь, пройденный точкой, можно определить по ее координате только в том случае, если точка движется в одном направлении. Например, при движении, соответствующем графику рисунка 3, точка не может иметь координату, большую х0, однако после момента t0 путь S(t), пройденный точкой, будет больше величины х0, а координата х, наоборот меньше х0.

Зависимость координаты от времени х(t) полностью определяет движение точки по прямой, однако в механике важно знать еще две величины: скорость и ускорение тела (точки).

Скорость точки есть физическая величина, определяющая быстроту изменения координаты с течением времени. Пусть в момент времени t материальная точка находилась в точке с координатами х1= х(t), а в момент t+t – в точке с координатами х2= х(t+t). За время t материальная точка совершит перемещение х = х2 х1 = х(t+t) х(t). Перемещение считается положительным, если оно совершается в сторону положительной полуоси 0х, и отрицательным, если перемещение совершается в сторону отрицательной полуоси 0х. Отношение перемещения х к промежутку времени t, за которое это перемещение произошло, называется средней скоростью перемещения материальной точки за время t, или точнее за время между t и t+t.

Таким образом, по определению средняя скорость перемещения равна:

Из (2.1) следует, что размерность скорости равна отношению двух величин – длины и времени. Скорость измеряется в м/с, см/с, км/ч.

Очевидно, что средняя скорость зависит от промежутка времени, за который мы ее определяем. Если средняя скорость для любого промежутка времени при данном движении одинакова, то это движение происходит с постоянной скоростью и называется равномерным движением. На графике зависимости координаты от времени х(t) равномерное движение представляется прямой линией. При равномерном движении от начала координат нет разницы между величиной координаты и перемещением.

При неравномерном движении средняя скорость будет различной в зависимости от того, за какой промежуток времени мы ее определяем. Поэтому для более полной и точной характеристики движения вводят мгновенную скорость перемещения, т.е. скорость точки в данный момент времени t. По определению мгновенная скорость перемещения равна пределу:

В математике этот предел называется производной координаты х по времени t и обозначается:

Понятие производной является основным понятием дифференциального исчисления. Используя это понятие можно сказать, что в рассматриваемом случае прямолинейного движения мгновенная скорость перемещения v(t) есть производная координаты х(t) по времени t:

Перемещение, совершенное точкой за промежуток времени t2t1 при постоянной скорости v0, очевидно, равно произведению скорости v0 на время t2t1:

При непостоянной скорости движения точки это выражение лишено смысла.

Если известна средняя скорость vср за время t2t1, то перемещение будет выражаться формулой, аналогичной (2.5), в которой вместо v0 будет стоять vср.

В случае, когда средняя скорость неизвестна, вычисление перемещения, совершённого телом, нужно производить особым способом, основанным на том, что всякое движение за достаточно малый промежуток времени можно всегда с достаточной точностью полагать равномерным. Поэтому для определения перемещениияния dx, которое совершает тело за достаточно малый промежуток времени dt, нужно скорость v(t) в данный момент времени t умножить на соответствующее приращение времени dt:

Предположим, что мы разбили весь промежуток времени t2t1 на бесконечно большое число малых промежутков dt. Каждому малому промежутку dt соответствует свое малое приращение dx. Перемещение х2х1, совершаемое за время t2t1, можно записать в виде суммы всех dx. Такая сумма называется интегралом и записывается в виде:

Вместо dx под знаком интеграла подставим равную ему величину v(t)dt, и будем суммировать по времени от t1 до t2. Тогда отрезок (перемещение), пройденный телом за время t2t1, можно записать в такой форме:

Вычисление величины х2х1 по известной функциональной зависимости v(t) представляет задачу интегрального исчисления. Интегрирование представляет собой действие, обратное дифференцированию, т.е. получению производной. Величина перемещения равна интегралу от скорости v(t) по времени t. Закономерная связь трёх физических величин – координаты, времени и скорости математически определяется производной и интегралом.

Из (2.7) следует, что, зная начальное положение х(0) тела в начальный момент времени t0 = 0 и зависимость скорости от времени v(t), можно определить координату х(t) тела в произвольный момент времени t:

При этом длина пути S, пройденного телом за это же время t, будет определяться по формуле В отличие от (2.8) под знаком интеграла в (2.9) стоит не алгебраическая величина скорости, а ее модуль, поэтому S(t) х(t) х(0).

Заметим, что при v = v0 = const формулы (2.8) и (2.9) упрощаются:

При неравномерном движении точка имеет переменную скорость, которую, подобно координате, можно рассматривать как функцию времени v(t). На быстроту изменения скорости указывает величина ускорения. Ускорением материальной точки а называют величину, численно равную производной скорости по времени:

или Ускорение можно определить и так: ускорение – «скорость изменения» скорости. Понятно, что слово скорость в данном случае имеет различные значения, поэтому одно из них, выражающее быстроту изменения скорости, поставили в кавычки. Пользуясь математическими терминами, слово «скорость изменения» можно заменить словом «производная».

Из (2.12) следует, что размерность ускорения равна отношению размерностей скорости и времени. Если скорость измеряется в м/с, а время – в секундах, то ускорение будет измеряться в м/с2. Единицы скорости и ускорения, как правило, не имеют названия. Только в морском деле употребляется единица скорости «узел», равная скорости, при которой одна морская миля (1,853 км) проходится за один час.

В технике иногда ускорение выражают в долях ускорения свободного падения тела в безвоздушном пространстве у поверхности Земли; тогда величину ускорения, равную 9,81 м/с2, принимают за единицу.

С учетом (2.3) выражение для ускорения (2.11) можно записать через вторую производную координаты х по времени, которую обозначают символами:

Математические понятия производной и интеграла были введены Ньютоном для того, чтобы правильно представить законы неравномерного движения тела по прямой (термин «определённый интеграл» ввел Г. Лейбниц в 1686 г.; ему же принадлежат термины «координата», «функция», «дифференциальное» и «интегральное» исчисления; знаки равенства и умножения). Без этих математических понятий трудно и часто даже невозможно разобраться в закономерностях сложных механических движений. Поэтому изучение механики сложных движений тесно связано с развитием математических наук.

Движение с постоянным ускорением называется равнопеременным. В этом случае зависимости координаты х и скорости v от времени t даются уравнениями:

где х0 = x(0) начальная координата;

v0 = v(0) – начальная скорость.

В (2.14) v0 и а – алгебраические величины, т.е. v0 0 и а 0, если векторы скорости v0 и ускорения а направлены в сторону положительной полуоси 0х, и v0 0 и а 0 – в противном случае.

Примерами равнопеременного движения могут служить свободное падение тел, движение тела, брошенного вертикально вверх, и скатывание тел по наклонной плоскости без трения.

§ 1.3 Скорость и ускорение при движении точки в пространстве Для характеристики движения материальной точки в пространстве вводится векторная величина скорость, которая определяет как быстроту движения, так и его направление в данный момент времени.

Пусть материальная точка движется по какой-либо криволинейной траектории так, что в момент времени t ее положение определено радиус-вектором r0 (см.

рисунок 4). В течение малого промежутка времени t точка пройдет путь S и совершит элементарное перемещение r = АВ.

Направление вектора средней скорости совпадает с направлением r. При неограниченном уменьшении t средняя скорость стремится к предельному значению, которое называется мгновенной скоростью v:

Мгновенная скорость v, таким образом, есть векторная величина, равная первой производной радиус-вектора движущейся точки по времени. Так как секущая в пределе совпадает с касательной, то вектор скорости v направлен по касательной к траектории в сторону движения (рисунок 4). Выражение для v можно записать в виде:

где единичный вектор, направленный по касательной к траектории в ту же сторону, что и v;

По мере уменьшения t путь S все больше будет приближаться к r, поэтому модуль мгновенной скорости Таким образом, модуль мгновенной скорости равен первой производной пути по времени:

При равнопеременном движении модуль мгновенной скорости с течением времени изменяется. В этом случае движение точки можно характеризовать скалярной величиной vср средней скоростью равнопеременного движения:

Из рисунка 4 вытекает, vср v ср, так как S > | r |, и только в случае прямолинейного движения Если выражение dS = vdt (см. формулу (3.3)) проинтегрировать по времени в пределах от t до t+t, то найдем путь, пройденный точкой за время t:

В случае равномерного движения численное значение мгновенной скорости постоянно; тогда выражение (3.4) примет вид Длина пути, пройденного точкой за промежуток времени от t1 до t2, дается интегралом Под знаком интеграла в (3.5) стоит модуль скорости, а не ее алгебраическая величина, так как в общем случае при движении вдоль некоторой траектории материальная точка может изменить направление своего движения вдоль нее.

Если выражение dr = vdt (см. формулу (3.2)) проинтегрировать по времени в пределах от t1 до t2, то найдём перемещение r точки за этот интервал:

Подставляя в (3.1) выражение (1.2) для радиус-вектора имеем:

где vx, vy, vz – составляющие вектора скорости v.

Значение его модуля находим по теореме Пифагора Скорость частицы v может изменяться со временем, как по величине, так и по направлению. Для характеристики быстроты изменения вектора скорости точки в механике вводится понятие ускорения.

Пусть в момент времени t скорость равна v, а в момент t + t она равна v + v.

Средним ускорением равнопеременного движения за интервал времени от t до t + t называется векторная величина, равная отношению изменения скорости v к интервалу времени t:

Мгновенным ускорением называют предел среднего ускорения:

Таким образом, ускорение a есть векторная величина, равная первой производной скорости по времени. Подставляя в (3.9) выражение (3.7) для вектора скорости имеем:

где ax, ay, az – составляющие вектора ускорения a.

Значение его модуля находим по теореме Пифагора Если подставить в формулу (3.9) выражение (3.2) для v, то для ускорения а получим следующее соотношение:

Для исследования свойств обоих слагаемых ограничимся случаем, когда траектория тела является плоской кривой. Первое слагаемое есть вектор, направленный по касательной к траектории. Он представляет собой тангенциальную составляющую а ускорения а точки и связан с изменением величины (модуля) скорости. Таким образом, Модуль тангенциального ускорения равен:

Если 0 (скорость увеличивается), вектор а направлен в ту же сторону, что и (или v). Если 0 (скорость со временем уменьшается), векторы а и v направлены в противоположные стороны.

Для выяснения свойств второго слагаемого в (3.12) нужно установить, чем определяется, т.е. быстрота изменения со временем направления касательной к траектории. Легко сообразить, что эта быстрота будет тем больше, чем сильнее искривлена траектория и чем быстрее перемещается частица по траектории.

траектории k, которая определяется выражением:

где угол между касательными к кривой в точках, отстоящих друг от друга на элементе участка траектории S (рисунок 5).

Таким образом, кривизна определяет скорость поворота касательной при перемещении вдоль кривой. Величину, обратную кривизне k, называют радиусом кривизны в данной точке кривой и обозначают буквой R:

Радиус кривизны траектории представляет собой радиус окружности, которая совпадает с ней на данном участке траектории на бесконечно малом ее участке.

Центр такой окружности называют центром кривизны для данной точки кривой.

Радиус и центр кривизны в точке А (см. рисунок 5) можно определить следующим образом. При движении точки по криволинейной траектории АВ в этих правленные по касательной к траектории. ПерпенS=vt дикуляры к ним пересекутся в некоторой точке 0.

Отметим, что для кривой, не являющейся окружR чаться друг от друга. Если точку В приближать к точке А, пересечение перпендикуляров 0 будет перемещаться вдоль прямой R и в пределе окажется в некоторой точке 0. Расстояния R и R будут стремиться к общему пределу, равному радиусу кривизны R. Если элемент участка траектории АВ=S, то радиус кривизны траектории в данной точке (А) определяют выражением (3.16), т.е. R = dS/d.

При t 0 направление вектора = будет приближаться к направлению нормали n к траектории в точке А (рисунок 5). По абсолютной величине а сам вектор Отсюда находим, что где R = радиус кривизны траектории в точке А.

Таким образом, второе слагаемое ускорения а в формуле (3.12) равно Эта нормальная составляющая аn ускорения а направлена по нормали n к центру кривизны траектории и связана с изменением вектора скорости v по направлению.

Окончательно для вектора ускорения а получаем:

где а и аn проекции ускорения а на направления касательной и нормали к касательной к траектории соответственно;

а и аn тангенциальное (касательное) и нормальное ускорения (рисунок 6).

Так как а аn, то модуль полного ускорения будет равен Нормальная составляющая ускорения an направлена по нормали к траектории к центру ее кривизны. Поэтому ее называют также центростремительным ускорением. При прямолинейном движении нормальное ускорение отсутствует, так как при этом радиус кривизны R. Если при криволинейном движении а = 0 (скорость постоянна или достигает экстремума), то ускорение а будет направлено по нормали n: а = аn. Аналогично, если аn = = 0, то вектор а будет направлен по касательной к траектории. Такой случай может иметь место или при обращении скорости точки в нуль (изменение направления движения на противоположное) или в точке перегиба траектории (рисунок 7). Если же в течение некоторого промежутка времени а = (а = 0 и аn = 0), то точка в это время движется в выбранной системе отсчета равномерно и прямолинейно.

Пусть точка движется равномерно с постоянным по величине ускорением. Поскольку при равномерном движении скорость не изменяется по величине, то a = 0, так что a = an. Постоянство по величине an означает, что v2/R = const. Отсюда заключаем, что R = const (v = const вследствие равномерности движения). Значит, точка движется по кривой постоянной кривизны, т.е. по окружности. Таким образом, в случае, когда ускорение точки постоянно по величине и направлено в любой момент времени перпендикулярно к вектору скорости, траекторией точки будет окружность.

§ 1.4 Кинематика вращательного движения Рассмотрим твёрдое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. Тогда отдельные точки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры которых лежат на оси вращения. Пусть некоторая точка движется по окружности радиуса R (рисунок 8). Ее повоv рот за промежуток времени t зададим углом. ЭлеR сопоставить вектор. Модуль этого вектора равен углу поворота, а его направление совпадает с направлением поступательного движения головки правого винта, если винт вращается в направлении движения точки по окружности, т.е. подчиняется правилу правого винта (рисунок 8). Другими словами – если смотреть с конца вектора, то мы видим круговое движение точки, совершаемое против часовой стрелки. Векторы, направления которых связываются с направлением вращения, называются псевдовекторами или аксиальными векторами. Эти векторы не имеют определённых точек приложения: они могут откладываться из любой точки оси вращения.

Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота точки по времени:

Из (4.1) следует, что вектор направлен вдоль оси вращения так же, как и вектор (см. рисунок 8). Если с конца вектора смотреть на плоскость, в которой вращается рассматриваемая точка твёрдого тела, то наблюдаем вращение против часовой стрелки. Размерность угловой скорости – радиан в секунду (рад/с).

Вращение с постоянной угловой скоростью называют равномерным. Если вращение является равномерным, то = / t, где угол поворота за время t (сравните с выражением для скорости при равномерном движении v = S / t). Таким образом, при равномерном вращении показывает, на какой угол поворачивается точка за единицу времени.

Равномерное вращение можно характеризовать периодом вращения Т, под которым понимают время совершения одного оборота, т.е. время поворота на угол 2.

Так как промежутку времени t = Т соответствует угол поворота = 2, то откуда Число оборотов в единицу времени (частота вращения), очевидно, равно Из (4.4) следует, что угловая скорость равна углу поворота 2, умноженному на частоту вращения :

Понятия периода вращения Т и частоты вращения можно сохранить и для неравномерного вращения. В этом случае под мгновенным значением Т следует понимать то время, за которое точка совершала бы один оборот, если она вращалась равномерно с данным значением угловой скорости, а под, понимая то число оборотов, которое совершала бы точка за единицу времени при аналогичных условиях.

Отдельные точки вращающегося тела имеют различные линейные скорости v.

Скорость каждой из точек непрерывно изменяет свое направление. Величина скорости v определяется угловой скоростью вращения тела и расстоянием R рассматриваемой точки от оси вращения. Пусть за малый промежуток времени тело повернулось на угол (рисунок 8). Точка, находящаяся на расстоянии R от оси вращения при этом проходит путь S = R. Линейная скорость точки равна Таким образом, Формула (4.6) связывает модули линейной и угловой скоростей. Вектор скорости v связан с через векторное произведение (см. Приложения В и Г):

Вектор может изменяться как за счет изменения скорости вращения тела вокруг оси (в этом случае он изменяется по величине), так и за счет поворота оси вращения в пространстве (в этом случае изменяется по направлению). Пусть за время t вектор получает приращение. Изменение вектора угловой скорости со временем характеризуют величиной :

называемой угловым ускорением. Угловое ускорение, как и угловая скорость, является псевдовектором. Размерность углового ускорения – рад/с2.

При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор совпадает по направлению с вектором, при замедленном – направлен противоположно ему.

Предположим, что ориентация оси вращения тела не изменяется в пространстве. Согласно (3.14) модуль тангенциального ускорения равен dv/dt.

Воспользовавшись соотношением (4.6) и учитывая, что расстояние рассматриваемой точки тела от оси вращения R = const, можно написать:

где модуль углового ускорения.

Комбинируя выражения (4.6) и (3.20), получим следующие уравнения для нормального (центростремительного) ускорения при движении точки по окружности:

Уравнения (4.10) справедливы и при равнопеременном движении по окружности радиуса R, т.е. для любого произвольного момента времени, характеризуемого значением линейной скорости v(t) (или угловой скорости (t)).

Таким образом, связь между линейными и угловыми величинами определяется следующими формулами:

Из (4.11) видно, что нормальное и тангенциальное ускорения растут линейно с увеличением расстояния от точки до оси вращения.

В случае равнопеременного движения точки по окружности ( = const):

где 0 начальная угловая скорость;

0 начальное угловое положение материальной точки на окружности.

§ 1.5 Первый закон Ньютона. Масса и импульс тела. Сила Динамика материальной точки и поступательного движения твёрдого тела. Кинематика описывает движение тел, без рассмотрения его причин. Динамика это раздел механики, в котором изучаются причины возникновения механического движения. Основные законы механики установлены итальянским физиком и астрономом Галилеем (15641642) и окончательно сформулированы английским учёным Ньютоном. В основе динамики лежат три закона Ньютона, сформулированные им в 1687 г.

Механика Галилея-Ньютона называется классической (нерелятивистской) механикой. В ней изучаются законы движения макроскопических тел, скорости которых малы по сравнению со скоростью света с в вакууме (с = 3108 м/с). Законы движения тел со скоростями, сравнимыми со скоростью с, изучаются в релятивистской механике, основанной на специальной теории относительности, сформулированной Эйнштейном (18791955). Для описания движения микроскопических тел (отдельные атомы и элементарные частицы) законы классической (ньютоновой) механики заменяются законами квантовой механики.

В нашем курсе рассматривается классическая механика, т.е. движение макроскопических тел со скоростями, значительно меньшими скорости света с в вакууме.

При описании движений в кинематике нет никакой принципиальной разницы между различными системами отсчёта. Выбор той или иной системы диктуется лишь удобством ее использования. Иное дело в динамике – здесь обнаруживается существенное различие между разными системами отсчёта и преимущество одного класса систем по сравнению с другими. На это указывает хотя бы то обстоятельство, что ускорение тела при переходе от одной системы отсчёта к другой может либо измениться, либо остаться неизменным в зависимости от того, как эти системы движутся относительно друг друга.

Рассмотрим ускорение некоторого тела (материальной точки) относительно произвольной системы отсчёта. Какова же причина этого ускорения? Опыт показывает, что ускорение возникает либо вследствие взаимодействия рассматриваемого тела с другими телами, либо за счёт свойств самой системы отсчёта (в одной системе тело может двигаться равномерно и прямолинейно, а в другой, движущейся относительно первой с ускорением, то же тело будет двигаться ускоренно).

Рассматривая окружающие нас тела в системе отсчёта, связанной с неподвижной относительно Земли лабораторией (далее – лабораторная система отсчёта), мы приходим к выводу, что их движение вызывается или изменяется в результате взаимодействия с другими телами. Например, движение биллиардного шара после удара по нему кием. Или полёт снаряда по искривлённой траектории за счёт притяжения к Земле после выстрела из орудия под некоторым углом к горизонту. Во всех этих случаях изменяется вектор скорости тела. Причиной ускорения тел здесь является их взаимодействие с другими телами.

В других случаях дело обстоит иначе. Наблюдая ускоренное движение скользящих по полу предметов в останавливающемся вагоне поезда (в системе отсчёта, связанной с вагоном), или отклонение сидений подвесной карусели (в системе отсчёта, связанной с вращающейся каруселью), мы не можем указать тел, взаимодействие с которыми приводит к этим эффектам.

Возникает вопрос: существуют ли такие системы отсчёта, в которых ускорение материального тела обусловлено только его взаимодействием с другими телами? В таких системах отсчёта свободное тело, не подверженное действию других тел, будет двигаться прямолинейно и равномерно, или, как говорят, по инерции. Утвердительный ответ на поставленный вопрос заключается в первом законе Ньютона.

Инерциальная система отсчёта – система отсчёта, в которой справедлив первый закон Ньютона (закон инерции): «Всякая материальная точка (тело) находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, когда на нее не действуют никакие силы (или действуют взаимно уравновешенные силы)». Инерциальной системой отсчёта является любая система, которая либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно относительно какой-то другой инерциальной системы. Следовательно, теоретически может существовать любое число равноправных инерциальных систем отсчёта, обладающих тем важным свойством, что во всех таких системах законы физики одинаковы. Система отсчёта, движущаяся по отношению к инерциальной системе отсчёта с ускорением, неинерциальна, и закон инерции в ней не выполняется. В вышеприведённых примерах системы отсчёта, связанные с останавливающимся вагоном или с вращающейся каруселью, являются неинерциальными.

Существование инерциальных систем отсчёта подтверждается опытом. Вместе с тем для строгой экспериментальной проверки первого закона Ньютона, очевидно, следовало бы изучать движение свободных тел. Свободное тело – это такая же физическая абстракция, как и материальная точка. Можно избавиться от взаимодействий, возникающих при непосредственном соприкосновении тел, но как избавиться от сил, например, гравитационного притяжения? Фактически при установлении инерциальности рассматриваемой системы отсчёта следует ответить на вопрос: всегда ли ускоренное движение тела в данной системе отсчёта можно объяснить его взаимодействием с окружающими телами или нет? Классическая механика, по сути, постулирует, что существуют такие системы отсчёта (инерциальные системы отсчёта), в которых все свободные тела либо сохраняют состояние покоя, либо движутся равномерно и прямолинейно.

Таким образом, понятие инерциальной системы отсчёта является научной абстракцией. Реальная система отсчёта всегда связывается с каким-нибудь конкретным телом (Солнцем, Землей, корпусом корабля или самолёта и т.п.), по отношению к которому и изучается движение различных тел. Поскольку все реальные тела движутся с тем или иным ускорением, любая реальная система отсчёта может рассматриваться как инерциальная система отсчёта лишь с определённой степенью приближения.

С очень высокой степенью точности инерциальной можно считать гелиоцентрическую систему отсчёта, связанную с Солнцем и звёздами (Солнце, находясь на расстоянии примерно 10 кпк от центра нашей Галактики – Млечного Пути, движется вокруг него со скоростью примерно 250 км/с с периодом вращения примерно млн. лет). В гелиоцентрической системе начало координат находится в центре Солнца, а три взаимно перпендикулярные оси проведены в направлении трёх определённых звёзд, положение которых в силу их огромной удалённости практически не изменяется со временем. Такая инерциальная система отсчёта используется главным образом в задачах небесной механики и космонавтики. При изучении движения тел в земных условиях мы часто пользуемся лабораторной системой отсчёта, связанной с поверхностью Земли; рассматривать, как движутся эти тела относительно Солнца и звёзд, практически было бы затруднительно. Система отсчёта, связанная с поверхностью Земли, строго говоря, неинерциальна, однако эффекты, обусловленные ее неинерциальностью (Земля вращается вокруг собственной оси и вокруг Солнца), при решении многих задач пренебрежимо малы, и в этих случаях ее можно считать инерциальной. В особенности это относится к таким движениям, которые происходят в течение не очень продолжительного времени и на сравнительно коротких расстояниях вблизи поверхности Земли. Вместе с тем, когда возникает необходимость, например, определить характер движения воздуха в циклонах и антициклонах или рассчитать полёт баллистической ракеты, то обнаруживается, что систему отсчёта «Земля» нельзя считать инерциальной.

При переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой в классической механике Ньютона для пространственных координат и времени справедливы преобразования Галилея, а в релятивистской механике преобразования Лоренца.

Первый закон Ньютона показывает, что состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения не требует для своего поддержания каких-либо внешних воздействий. В этом проявляется особое динамическое свойство тел, называемое инертностью. Инертность – свойство материальных тел, проявляющееся в том, что тело сохраняет неизменным состояние своего движения или покоя по отношению к так называемой инерциальной системе отсчёта, когда внешние воздействия на тело (силы) отсутствуют или взаимно уравновешиваются. Если же на тело действует неуравновешенная система сил, то свойство инертности сказывается в том, что изменение состояния покоя или движения тела, т.е. изменение скоростей его точек, происходит постепенно, а не мгновенно; при этом движение изменяется тем медленнее, чем больше инертность тела. Мерой инертности тела является его масса.

Из опыта известно, что при одинаковых воздействиях различные тела приобретают различные ускорения. Ускорение зависит не только от величины воздействия, но и от свойств самого тела (от его массы).

Масса – фундаментальная физическая величина, определяющая инерционные и гравитационные свойства тел – от макроскопических объектов до атомов и элементарных частиц в нерелятивистском приближении, когда их скорости пренебрежимо малы по сравнению со скоростью света с.

В этом приближении масса тела служит мерой содержащегося в теле вещества, и имеют место законы сохранения и аддитивности массы: масса изолированной системы тел не меняется со временем и равна сумме масс тел, составляющих эту систему. Нерелятивистское приближение является предельным случаем теории относительности, рассматривающей движение с любыми скоростями вплоть до скорости света.

Определение массы производят путем сравнения с эталоном. Масса тела m скалярная физическая величина, являющаяся одной из основных характеристик материи, определяющая ее инерционные (инертная масса) и гравитационные (гравитационная масса) свойства.

Чтобы описывать воздействия, упоминаемые в первом законе Ньютона, вводят понятие силы. Под действием сил тела либо изменяют скорость движения, т.е. приобретают ускорения (динамическое проявление сил), либо деформируются, т.е. изменяют свою форму и размеры (статическое проявление сил). В каждый момент времени сила характеризуется числовым значением, направлением в пространстве и точкой приложения. Итак, сила F это векторная величина, являющаяся основной мерой механического взаимодействия тел. Это взаимодействие вызывает изменение скоростей точек тела или его деформацию. Механическое взаимодействие может осуществляться как между непосредственно контактирующими телами (например, при трении, при давлении прижатых друг к другу тел), так и между удалёнными телами (посредством полей – гравитационного, электромагнитного и т.д.). Прямая, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы. Если тело можно рассматривать как недеформируемое (абсолютно твёрдое), то силу можно считать приложенной в любой точке на линии ее действия.

Группу рассматриваемых тел называют системой тел. Силы взаимодействия между телами, входящими в систему, называют внутренними. Силы, действующие на тела, входящие в систему, со стороны тел, не входящих в систему, называют внешними. Систему называют замкнутой (изолированной), если на нее не действуют внешние силы.

Массу материальной точки (произвольного тела) можно определить следующим образом. Под действием силы материальная точка изменяет свою скорость не мгновенно, а постепенно, т.е. приобретает конечное по величине ускорение, которое тем меньше, чем больше масса материальной точки. Если два тела с разными массами m1 и m2 испытывают одинаковые воздействия (F1= F2), то тела движутся с ускорениями, обратно пропорциональными их массам:

Таким образом, сравнение масс двух тел, на которые действует одна та же сила, сводится к сравнению ускорений этих тел. Взяв некоторое тело за эталон массы, можно сравнивать массу любого тела с этим эталоном. В физике в качестве основной единицы массы принят килограмм. Килограмм есть масса эталонной гири из платиноиридиевого сплава, хранящейся в Севре (Франция) в Международном бюро мер и весов.

Импульсом или количеством движения называют вектор р, равный произведению массы материальной точки (тела) на ее скорость:

Импульсом системы материальных точек называют векторную сумму импульсов отдельных материальных точек, из которых эта система состоит:

В релятивистской механике импульс частицы также определяется выражением (5.2), только масса m зависит от скорости v согласно формуле:

где c скорость света в вакууме;

m0 постоянная для данной частицы величина, называемая ее массой покоя.

Масса покоя совпадает с массой, рассматриваемой в классической механике.

§ 1.6 Второй закон Ньютона Второй закон Ньютона основной закон динамики поступательного движения. Он отвечает на вопрос, как изменяется механическое движение материальной точки (тела) под действием приложенных к ней сил. Второй закон Ньютона гласит, что производная импульса материальной точки по времени равна действующей на эту точку силе:

Уравнение (6.1) называют уравнением движения тела.

Заменив согласно (5.2) импульс р произведением mv и считая, что в классической механике масса остается постоянной (не зависит от скорости), можно представить соотношение (6.1) в виде:

Таким образом, мы пришли к другой формулировке второго закона Ньютона:

произведение массы тела на его ускорение равно действующей на тело силе. Физический смысл этого закона заключён в следующих утверждениях: 1) направления ускорения тела и действующей на это тело силы совпадают; 2) ускорение пропорционально силе; 3) ускорение обратно пропорционально массе тела. Уравнение (6.2) также называют уравнением движения материальной точки. В механике Ньютона уравнения (6.1) и (6.2) различаются чисто формально. В зависимости от решаемой задачи используют то или иное уравнение.

Единица силы в СИ ньютон (Н): 1 Н сила, которая телу массы 1 кг сообщает ускорение 1 м/с2 в направлении действия силы: 1 Н = 1 кгм/с2. В технической литературе и на практике часто используют внесистемную единицу измерения силы (веса) – килограмм-сила (обозначают кгс или кГ, kgf или kG). Килограмм-сила определяется как сила, сообщающая телу массы 1 кг ускорение, равное 9,80665 м/с2.

Из этого определения следует, что 1 кгс = 9,80665 Н. Значение веса тела в кгс (кГ) численно совпадает с массой в кг (например, нам в магазине продукты взвешивают в кГ). В некоторых европейских государствах для килограмм-силы официально принято название килопонд (kP).

Вес можно непосредственно измерять с помощью пружинных весов и косвенно на рычажных весах, где используется пропорциональность веса и массы. Даже при покоящихся пружинных весах измеренный вес тела может более или менее отличаться от «истинного» (измеренного при тех же условиях в вакууме) за счет уменьшения веса в газообразной или жидкой среде из-за действия выталкивающей силы (Архимеда).

В механике большое значение имеет принцип независимости действия сил:

если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение согласно второму закону Ньютона, как будто других сил не было, т.е. действие каждой силы не зависит от присутствия или отсутствия других сил. Из этого принципа следует принцип суперпозиции, если на рассматриваемое тело действует несколько сил, то его движение будет таким же, как если бы на тело действовала результирующая сила, равная векторной сумме отдельных сил:

Под F в уравнениях (6.1) и (6.2) понимают результирующую силу, определяемую соотношением (6.3).

Интегрируя (6.1), можно определить приращение импульса за конечный промежуток времени t = t2 t1:

В случае постоянной силы выражение (6.4) упрощается:

Выражения, стоящие в правых частях уравнений (6.4) и (6.5), называются импульсом силы за промежуток времени t. Эти уравнения означают, что приращение импульса тела за некоторый промежуток времени равно импульсу равнодействующей всех сил, действующих на это тело.

Таким образом, импульс (количество движения), приобретаемый телом, зависит не только от величины силы, но и от продолжительности ее действия. Это утверждение можно проиллюстрировать большим числом эффектных опытов: выдёргиванием полоски бумаги из-под колбы с водой, ломанием резким ударом деревянной рейки, опирающейся на бумажные кольца, и т.п.

Один из таких опытов представлен на рисунке 9. Тяжёлый шар подF вешен на нити, снизу к нему прикреплена такая же нить. Если медленно тянуть за нижнюю нить, то рвётся верхняя нить. Это происхоРисунок дит потому, что в результате незначительного смещения тела вниз деформация верхней нити достигает предельно допустимого значения. При этом непосредственно перед разрывом разность сил натяжения F1 F2 уравновешивает вес груза и, таким образом, F1 F2. Если же быстро дёрнуть за нижнюю нить, то рвётся именно она, а верхняя остается целой. В этом случае шар «не успевает» скольконибудь сдвинуться за время рывка, верхняя нить практически не испытывает дополнительного растяжения и поэтому остаётся целой.

Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчёта.

Первый закон Ньютона постулирует существование таких систем отсчёта.

§ 1.7 Третий закон Ньютона Механическое воздействие тел друг на друга носит характер их взаимодействия: если тело 1 действует на тело 2 с силой F21, то и тело 2 в свою очередь действует на тело 1 с силой F12. Третий закон Ньютона утверждает, что силы взаимодействия двух материальных точек равны по модулю, противоположны по направлению и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки:

Физический смысл третьего закона Ньютона заключён в следующих утверждениях: 1) силы возникают парами и имеют одинаковую природу; они приложены к разным телам; 2) эти силы равны по величине в любой момент времени независимо от движения взаимодействующих тел; 3) они действуют вдоль одной прямой в противоположных направлениях.

При использовании законов динамики иногда допускают следующую ошибку:

так как действующая сила (например, F12) всегда вызывает равную по модулю и противоположную по направлению силу противодействия (F21), то, следовательно, их равнодействующая должна быть равна нулю и тела вообще не могут приобрести ускорения. Однако надо помнить, что во втором законе Ньютона речь идет об ускорении, приобретаемом телом под действием приложенных к нему сил. Равенство нулю ускорения означает равенство нулю равнодействующей сил, приложенных к одному и тому же телу. Третий же закон Ньютона говорит о равенстве сил, приложенных к различным телам. На каждое из двух взаимодействующих тел действует только одна сила (F12 или F21), которая и сообщает данному телу ускорение.

Третий закон Ньютона позволяет осуществить переход от динамики отдельной материальной точки к динамике системы материальных точек. Это следует из того, что и для системы материальных точек взаимодействие сводится к силам парного взаимодействия между материальными точками.

Третий закон Ньютона строго выполняется в случае контактных взаимодействий (т.е. при непосредственном соприкосновении тел), а также при взаимодействии посредством поля находящихся на некотором расстоянии покоящихся тел.

§ 1.8 Энергия, работа, мощность Энергия универсальная мера различных форм движения и взаимодействия материи. С различными формами движения материи связывают различные формы энергии: механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную и др. В одних явлениях форма движения материи не изменяется (например, горячее тело нагревает холодное), в других переходит в иную форму (например, в результате трения механическое движение превращается в тепловое). Однако во всех случаях энергия, отданная (в той или иной форме) одним телом другому телу, равна энергии, полученной вторым телом.

Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел. Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится понятие работы силы. Работа является мерой изменения энергии.

Если тело движется поступательно и на него действует постоянная сила F, которая составляет некоторый угол с направлением перемещения dS, то элементарная работа dA этой силы равна скалярному произведению этих векторов, т.е. произведению проекции силы Fs на направление перемещения (Fs = Fcos), умноженной на перемещение точки приложения силы (рисунок 10):

Если вектор силы и направление перемещения образуют острый угол (cos0), работа положительна. Если угол тупой (cos0), работа отрицательна. При =/2 работа равна нулю. Последнее обстоятельство особенно отчётливо показывает, что понятие работы в механике существенно отличается от обыденного представления о работе. В обыденном понимании всякое усилие, в частности мускульное напряжение, всегда сопровождается совершением работы. Например, для того, чтобы держать тяжелый груз, стоя неподвижно или перемещать его горизонтально, носильщик затрачивает много усилий, т.е. «совершает работу». Однако работа как механическая величина в этих случаях равна нулю, а энергия груза при этом не изменяется.

Если при перемещении точки приложения сила изменяется как по величине, так и по направлению, то нужно вычислить элеменF тарную работу dA на каждом бесконечно малом учаFs стке пути dS, равную FsdS, а затем сложить значения всех элементарных работ вдоль всего участка пути, например, от точки 1 до точки 2 (рисунок 10).

Эта сумма приводится к интегралу который называется криволинейным интегралом вдоль траектории 12 (часто кривую 12 обозначают одной буквой L). Как видно из (8.2) работа А в общем случае зависит не только от характеристик силы, но и от вида траектории, по которой движется частица. Именно поэтому использование в выражении (8.1) обозначения элементарной работы дифференциала dA является не совсем корректным, но это в целом не повлияет на ход всех приведённых рассуждений.

Если F = F1 + F2, то, проецируя это векторное уравнение на направление элементарного перемещения dS, получим Fs = F1s + F2s, а после умножения на dS: FsdS = F1sdS + F2s dS, или Таким образом, элементарная работа результирующей двух или нескольких сил равна сумме элементарных работ этих сил. Очевидно, то же утверждение справедливо и для работ на конечных перемещениях:

Соотношение (8.3) выражает очевидное свойство аддитивности работы.

Единица работы в СИ джоуль (Дж): 1 Дж работа, совершаемая силой в 1 Н при перемещении на 1 м при условии, что направление силы совпадает с направлением перемещения. (1 Дж = 1 Нм).

Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности. Мощность – это работа, совершаемая силой за единицу времени. Если за время dt совершается работа dA, то мощность равна За время dt сила F совершает работу FdS, и мощность, развиваемая этой силой, в данный момент времени т. е. равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы; из выражений (8.5) и (8.6) видно, что мощность, как и работа, величина скалярная.

Зная мощность силы F, можно найти и работу, которую совершает эта сила за промежуток времени t. В самом деле, представив подынтегральное выражение в формуле (8.2) в виде F,dS = F, vdt =Рdt, получим Единица мощности ватт (Вт): 1 Вт мощность, при которой за 1 с совершается работа в 1 Дж (1 Вт = 1 Дж/с). Внесистемная единица измерения мощности лошадиная сила (л. с.), 1 л. с. = 735 Вт.

Когда говорят о работе (или мощности), то необходимо в каждом конкретном случае чётко представлять себе, работа (мощность) какой силы или сил имеется в виду.

§ 1.9 Кинетическая энергия Пусть частица массы m движется под действием некоторой силы F (в общем случае сила F может быть результирующей нескольких сил). Найдем элементарную работу, которую совершает эта сила F на элементарном перемещении dS. Учитывая, что F = mdv/dt и dS = vdt, можем записать:

вектором v (рисунок 11). По определению скалярного произведения где dv элементарное приращение длины вектора v.

Отсюда получается, что Такое соотношение справедливо не только для вектора v, но и для любого другого вектора.

Поэтому элементарную работу (9.1) запишем следующим образом:

Отсюда видно, что работа силы F (под F можно понимать результирующую всех сил, действующих на рассматриваемую частицу) идёт на приращение некоторой величины (стоящей в скобках), которую называют кинетической энергией:

Таким образом, приращение кинетической энергии частицы при элементарном перемещении равно а при конечном перемещении из точки 1 в точку т.е. приращение кинетической энергии частицы при некотором перемещении равно алгебраической сумме работ всех сил, действующих на частицу при этом перемещении. Если А12 0, то Т2 Т1, т.е. кинетическая энергия частицы увеличивается; если А12 0, то кинетическая энергия частицы уменьшается.

Полученный результат без труда обобщается на случай произвольной системы материальных точек. Кинетической энергией системы называется сумма кинетических энергий материальных точек, из которых эта система состоит или на которые ее можно мысленно разделить. Напишем соотношение (9.7) для каждой материальной точки системы, а затем все такие соотношения сложим. В результате снова получится формула (9.7), но уже не для одной материальной точки, а для системы материальных точек. Под А12 надо понимать сумму работ всех сил, как внутренних, так и внешних, действующих на материальные точки системы. Таким образом, работа всех сил, действующих на систему материальных точек, равна приращению кинетической энергии системы.

Из формулы (9.5) видно, что кинетическая энергия зависит только от массы и скорости тела, т.е. кинетическая энергия системы есть функция состояния ее движения.

При выводе формулы (9.5) предполагалось, что движение рассматривается в инерциальной системе отсчёта, так как иначе нельзя было бы использовать законы Ньютона. В разных инерциальных системах отсчёта, движущихся друг относительно друга, скорость тела, а, следовательно, и его кинетическая энергия будут неодинаковы. Таким образом, кинетическая энергия зависит от выбора системы отсчёта.

§ 1.10 Потенциальная энергия Потенциальная энергия это энергия, определяемая взаимным расположением тел и характером сил взаимодействия между ними.

Пусть, F(x, y, z) сила, действующая на тело. Тогда элементарная работа этой силы по перемещению тела равна где Fx, Fy, Fz проекции силы F на оси координат.

Введем функцию U(x, y, z), удовлетворяющую следующим условиям:

Функцию U(x, y, z), удовлетворяющую условиям (10.2), называют потенциальной функцией, а силу F – консервативной (или потенциальной) силой. При этом элементарная работа dA будет равна:

Пусть тело под действием силы F перемещается из точки 1 в точку 2, тогда работа этой силы при таком перемещении в соответствии с (10.3) равна:

где U1, U2 начальное и конечное значения потенциальной функции U(x, y, z).

Таким образом, работа консервативной силы зависит лишь от начального и конечного положения точек пути, и не зависит от формы пути, по которому движется тело при перемещении из точки 1 в точку 2. Если, например, тело переходит под действием силы тяжести с высоты h0 над уровнем Земли на высоту h, то работа зависит не от того, по какому пути тело двигалось, а лишь от начального и конечного уровней.

Потенциальная функция, определяемая соотношениями (10.2), связывающими ее с консервативной силой, называется потенциальной энергией. Из (10.3) заключаем, что изменение dU потенциальной энергии тела определяется как взятая с обратным знаком элементарная работа dA действующих на тело консервативных сил при его перемещении из одной точки в другую (dU = dA). Из выражения (10.4) следует, что работа консервативной силы на любом замкнутом пути равна нулю, так как в этом случае U1 = U2.

Если же работа, совершаемая силой, зависит от формы пути, то такая сила называется неконсервативной. Примерами неконсервативных сил являются: сила тяги ракеты; сила, действующая на заряженную частицу в вихревом электрическом поле;

сила трения, направленная, как известно, против относительной скорости тела. Если сила трения не зависит от скорости (сухое трение), то работа, очевидно, прямо пропорциональна длине l траектории, по которой движется частица:

Таким образом, работа силы сухого трения при перемещении частицы из точки 1 в точку 2 (рисунок 12) по разным путям будет различна. Очевидно, что Атр1Атр2, так как l1 l2.

Заметим, что силу трения называют еще диссипативной силой. В зависимости от выбора системы отсчёта работа такой силы может быть как положительной, так и отрицательной. Однако суммарная работа всех внутренних диссипативных сил, действующих на тела системы, всегда отрицательна: Адис 0. Это неравенство является отличительной особенностью диссипативных сил.

В качестве примера рассмотрим тело 1, которое скользит по поверхности неподвижного тела 2 со скоростью vотн (рисунок 13а). Сила трения Fтр1 направлена против скорости vотн и, таким образом, совершает отрицательную работу. В системе отсчёта К, движущейся со скоростью v в направлении vотн, тело 1 будет иметь скорость (vотн v), а тело 2 скорость v (рисунок 13б). Если v vотн, то работа А силы Fтр1 за время dt в этой системе отсчёта окажется положительной:

Работа А2 силы Fтр2, действующей на тело 2, будет отрицательной:

Полная работа сил трения т.е. всегда отрицательна, независимо от скорости v выбранной системы отсчета.

Тело, находясь в поле консервативных сил, называемом потенциальным полем, обладает потенциальной энергией U(x, y, z). Согласно (10.3) работа консервативных сил при элементарном (бесконечно малом) изменении конфигурации системы равна приращению ее потенциальной энергии, взятому со знаком минус, так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии dA = dU.

Поскольку начало отсчёта (состояние с энергией U1) выбирается произвольно, то потенциальная энергия U системы может иметь отрицательное значение. Если принять за нуль потенциальную энергию тела, лежащего на поверхности Земли, то потенциальная энергия тела, находящегося на дне шахты глубиной h, равна U = mgh. Таким образом, потенциальная энергия системы определяется с точностью до постоянной величины и в зависимости от начала отсчёта может принимать положительные или отрицательные значения. В то же время ее кинетическая энергия независимо от выбора системы отсчёта может принимать только положительные значения.

Пример 1. Рассмотрим растяжение (сжатие) пружины. Согласно закону Гука сила упругости при небольших растяжениях и сжатиях пропорциональна изменению длины пружины х, взятому с обратным знаком, т.е. F = kx, где k жесткость (коэффициент упругости) пружины, а знак минус означает, что сила упругости всегда направлена в сторону, противоположную смещению из положения равновесия, в котором пружина не деформирована. С другой стороны согласно (10.2) F = dU/dx.

Из приведённых двух выражений заключаем, что потенциальная энергия упругой деформации U равна:

Пружина (упругое тело) приобретает энергию за счет работы А внешней силы (см. рисунок 14). Эта работа является мерой изменения потенциальной энергии деформируемого тела (пружины), т.е. А = U.

Пример 2. Пусть, потенциальная энергия взаимодействия двух тел обратно пропорциональна расстоянию R между ними, взятому с обратным знаком, т.е. U = С/R, где С некоторая постоянная. Тогда, сила взаимодействия между этими телами, равная F = dU/dR= С/R2, будет являться силой притяжения этих тел друг к другу (см. рисунок 15).

Из этих примеров следует, что внутренние силы, возникающие в системе, действуют в сторону уменьшения ее потенциальной энергии.

Полная механическая энергия системы энергия механического движения и взаимодействия равна сумме кинетической и потенциальной энергий:

§ 1.11 Закон сохранения энергии Закон сохранения энергии результат обобщения многих экспериментальных данных. Идея этого закона принадлежит М. В. Ломоносову (17111765), изложившему закон сохранения материи и движения, а количественная формулировка закона сохранения энергии дана немецким врачом Ю. Майером (18141878) и немецким естествоиспытателем Г. Гельмгольцем (18211894).

Пусть на рассматриваемое тело действуют только потенциальные силы, т.е.

силы, удовлетворяющие условию (10.2). Для такого случая согласно (10.3) dA = dU. С другой стороны, согласно (9.6) приращение кинетической энергии происходит за счёт работы этих сил, т.е. dT = dA. Из сравнения выражений (9.6) и (10.3) находим, что dT = dU или d(T + U) = dE = 0. Откуда следует, что величина E = T + U = const. Таким образом, выполняется закон сохранения полной механической энергии Е, равной сумме кинетической Т и потенциальной U энергий, если на тело действуют только потенциальные силы.

Теперь рассмотрим замкнутую консервативную систему тел, т.е. такую систему, на которую не действуют внешние силы. Положение отдельных тел системы определяется радиус-векторами ri(xi,yi,zi ), i = 1, 2, 3,…, n; n количество тел в системе. Потенциальная энергия системы зависит от положения всех тел системы, т.е.

U=U(r1, r2, r3,…, rn). Предположим, что смещается только i-ое тело, а все остальные неподвижны. Тогда элементарная работа перемещения i-го тела будет равна:

dAi= Fi, dS i =Fxidxi+Fyidyi+Fzidzi= т.е. элементарная работа совершается за счет убыли потенциальной энергии. С другой стороны эта элементарная работа идёт на приращение кинетической энергии i-го тела, т.е.

Сравнивая соотношения (11.1) и (11.2), получаем Просуммируем выражения (11.3) для всех тел системы в предположении возможности перемещения всех тел системы:

Первое слагаемое в (11.4) представляет собой полное изменение кинетической энергии всех тел системы dТ, а второе слагаемое представляет собой изменение потенциальной энергии системы dU. Тогда выражение (11.4) принимает вид d(T+U) = dE = 0. Откуда следует, что величина Таким образом, выполняется закон сохранения полной механической энергии E для замкнутой консервативной системы тел. В замкнутых системах могут происходить лишь превращения кинетической энергии в потенциальную энергию и обратно в эквивалентных количествах, так что полная механическая энергия остаётся неизменной.

В данном параграфе мы рассматриваем закон сохранения энергии при макроскопическом движении макроскопических тел, т.е. мы полностью отвлекаемся от внутреннего атомистического (микроскопического) строения вещества. Закон сохранения и превращения энергии фундаментальный закон природы, он справедлив как для систем макроскопических тел, так и для систем микрочастиц.

Системы, в которых действуют диссипативные силы, например силы трения, называются диссипативными. В диссипативных системах полная механическая энергия постепенно уменьшается за счёт преобразования в другие (немеханические) формы энергии, например, во внутреннюю энергию (внутренняя энергия складывается из кинетической энергии невидимого беспорядочного движения атомов и молекул вещества и потенциальной энергии их взаимодействия; беспорядочное движение атомов и молекул воспринимается нашими органами чувств в виде тепла; таково физическое объяснение кажущейся потери механической энергии при действии диссипативных сил). Этот процесс получил название диссипации (или рассеяния) энергии.

Строго говоря, все реальные макроскопические системы в природе являются диссипативными. Замкнутая система тел является идеализированной моделью для упрощённого рассмотрения многих явлений и процессов.

Следовательно, в реальных случаях закон сохранения механической энергии не выполняется. Однако при «исчезновении» механической энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида. Таким образом, энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой.

В этом и заключается физическая сущность закона сохранения и превращения энергии. Нужно иметь ввиду, что деление энергии на кинетическую и потенциальную имеет смысл только в механике и не охватывает всех форм энергии.

Применительно к незамкнутым (неизолированным) системам закон сохранения энергии означает, что изменение энергии такой системы равно работе, совершаемой системой (энергия системы уменьшается), или работе, совершаемой над системой внешними силами (энергия системы увеличивается).

§ 1.12 Закон сохранения импульса Рассмотрим произвольную систему из n частиц в любой инерциальной системе отсчёта. В общем случае частицы этой системы могут взаимодействовать как между собой, так и с телами, не входящими в систему. Поэтому уравнение движения i-й частицы согласно (6.1) можем записать в виде:

где Fi векторная сумма внешних сил, действующих на i-ую частицу;

Fik сила, действующая на i-ую частицу со стороны k-й частицы; и их векторная сумма (первое слагаемое в уравнении) равна векторной сумме внутренних сил, действующих на i-ую частицу.

Просуммируем соотношение (12.1) по всем частицам (телам) системы:

В правой части уравнения (12.2) второе слагаемое представляет собой результирующую внешнюю силу Fвнеш, действующую на систему, а первое слагаемое, представляющее векторную сумму всех внутренних сил, равно нулю, так как в соответствии с третьим законом Ньютона силы взаимодействия между любыми парами частиц системы равны по величине и противоположны по направлению: Fik Fki. А в левой части, поменяв порядки суммирования и дифференцирования, получим:

т.е. производная по времени импульса системы частиц равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на частицы системы. Импульс системы частиц р р i может изменяться только под действием внешних сил. Внутренние силы не могут изменить импульс системы. В случае замкнутой (изолированной) системы на нее не действуют внешние силы (Fвнеш = Fi =0), и dp / dt =0. Таким образом, получаем закон сохранения импульса – импульс замкнутой системы р р i остаётся постоянным, т.е. не меняется со временем. При этом отдельные части замкнутой системы могут только обмениваться импульсами так, что приращение импульса одной части системы всегда равно уменьшению импульса оставшейся части системы.

Импульс может сохраняться и у незамкнутой системы при условии равенства нулю результирующей всех внешних сил. Это непосредственно вытекает из уравнения (12.3). Закон сохранение импульса даёт возможность получать достаточно простым путём ряд сведений о поведении системы, не вникая в детальное рассмотрение процесса.

У незамкнутой системы может сохраняться не сам импульс р, а его проекция рх на некоторое направление 0х, в случае если проекция результирующей внешней силы Fвнеш на направление 0х равна нулю, т.е. когда вектор Fвнеш перпендикулярен направлению 0х. Действительно, из уравнения (12.3) для проекций на направление 0х, имеем:

Отсюда следует, что если Fвнеш х=0, то рх=const. Например, при движении системы в однородном поле сил тяжести сохраняется проекция ее импульса на любое горизонтальное направление. В таких случаях говорят, что система замкнута в данном направлении, и рассматривают сохранение проекции импульса на данное направление.

Рассмотрим примеры на закон сохранения импульса. Допустим, что платформа с орудием движется без трения по горизонтальной поверхности с некоторой постоянной скоростью v1 (рисунок 16а). В некоторый момент времени был произведён выстрел в сторону движения платформы, причём скорость снаряда относительно платформы равна u (рисунок 16б). Зная массу m снаряда и массу М платформы с орудием без снаряда, можно определить скорость v2 платформы после выстрела.

Действительно, записывая закон сохранения импульса в системе отсчёта, связанной с горизонтальной поверхностью, получим:

откуда Чем больше масса платформы, тем на меньшую величину изменяется ее скорость в результате выстрела.

Отметим, что тот же результат можно получить в другой инерциальной системе отсчёта – например, в системе, движущейся со скоростью v1 (скорость платформы до выстрела). В этой системе начальный импульс равен нулю, а конечный складывается из импульса m(v2 v1 + u) снаряда и импульса M(v2 v1) платформы с орудием. Таким образом, откуда для скорости v2 платформы получается результат (12.6). Данный пример показывает, что если импульс сохраняется в одной инерциальной системе отсчёта, то он сохраняется и в любой другой инерциальной системе отсчёта. Это утверждение находится в полном соответствии с принципом относительности Галилея.

Заметим, что в рассмотренном силу давления пороховых газов, и время действия этой силы неизвестны, поэтому решить эту задачу с помощью законов Ньютона было бы нельзя.

В следующем примере частица с импульсом р распадается на две более мелкие частицы, разлетающиеся под некоторым углом друг к другу (рисунок 17а). Зная импульс р1 одной из образовавшихся частиц и угол ее отклонения от исходного направления, можно определить импульс р2 второй частицы (рисунок 17б):

и угол разлета частиц:

Существует еще одна ситуация, при которой закон сохранения импульса можно в определённом приближении применять для незамкнутой системы. Это случай, когда начальное и конечное состояния отделены малым промежутком времени (выстрел, взрыв, удар), а внутренние силы значительно больше внешних сил. При этом импульс внешней силы (например, силы тяжести, реакции опоры или трения) не может заметно изменить импульс системы тел за рассматриваемый промежуток времени, и им можно пренебречь. Такая ситуация, например, имеет место в задаче о разрыве летящего снаряда, когда приравниваются импульс снаряда непосредственно перед разрывом и суммарный импульс осколков сразу же после разрыва: импульс внешних сил (тяжести, сопротивления воздуха) незначителен ввиду малости времени разрыва.

§ 1.13 Закон сохранения момента импульса Важные законы механики связаны с понятиями момента импульса и момента силы. Следует различать моменты этих векторов относительно точки и относительно оси. Момент вектора относительно точки и относительно оси разные понятия, хотя и связанные между собой. Момент вектора относительно точки сам есть вектор. Момент того же вектора относительно оси есть его проекция на эту ось относительно точки, лежащей на той же оси. Таким образом, момент вектора относительно оси уже не является вектором.

Пусть, 0 – какая-либо точка, относительно которой рассматривается момент вектора силы. Ее называют началом или полюсом. Обозначим букA вой r радиус-вектор, проведённый из этой точки к точке приложения силы F (рисунок 18). Моментом Рисунок силы F относительно точки 0 называют векторное произведение радиус-вектора r на силу F:

Здесь M псевдовектор, перпендикулярный векторам r и F, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к F в направлении кратчайшего поворота (на рисунке 18 вектор М будет направлен «на нас»). Модуль момента силы равен:

где угол между r и F (см. приложение Г данного пособия);

rsin = d кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой 0 (d плечо силы).

Из этого определения непосредственно следует, что момент силы M не изменится, если точку приложения силы F перенести в любую другую точку, расположенную на линии действия силы.

Аналогично определяется момент импульса L материальной точки относительно точки или полюса 0. Моментом импульса называется векторное произведение где p = mv импульс материальной точки;

r радиус-вектор, проведенный из полюса в точку, в которой в данный момент находится рассматриваемая материальная точка.

Вектор L перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы r и р, а его направление зависит от взаимной ориентации r и р и определяется по правилу правого винта. Если векторы r и р привести к одному началу и правый винт поворачивать кратчайшим путем от r к р, то поступательное движение винта укажет направление вектора L. Модуль вектора момента импульса L равен где угол между векторами r и р;

d плечо вектора р относительно точки 0.

Рассмотрим произвольную систему из n частиц в некоторой инерциальной системе отсчёта. В общем случае частицы этой системы могут взаимодействовать как между собой, так и с телами, не входящими в систему. Поэтому уравнение движения i-й частицы согласно (6.1) можем записать в виде:

где Fi - векторная сумма внешних сил, действующих на i-ую частицу;

Fik - сила, действующая на i-ую частицу со стороны k-й частицы; и их векторная сумма (первое слагаемое в уравнении (12.5)) равна векторной сумме внутренних сил, действующих на i-ую частицу.

Если все слагаемые в уравнении (13.5) векторно умножить на ri радиусвектор относительно некоторого полюса, то, учитывая, что Li = ri,pi, M i ri, Fi, M ik ri,Fik, получим:

где Mi векторная сумма моментов внешних сил, действующих на i-ую частицу;

Mik момент силы, действующей на i-ую частицу со стороны k-й частицы, их векторная сумма (первое слагаемое в уравнении) равна векторной сумме моментов внутренних сил, действующих на i-ую частицу;

Просуммируем соотношение (13.6) по всем частицам (телам) системы:

В правой части уравнения (13.7) второе слагаемое представляет собой результирующий момент внешних сил Мвнеш, действующих на систему, а первое слагаемое, представляющее векторную сумму моментов всех внутренних сил, равно нулю, так как в соответствии с третьим законом Ньютона Fik Fki, т.е. и Mik = Mki для любой пары частиц системы. Момент таких двух сил, а значит и моменты всех внутренних сил равны нулю. А в левой части, поменяв порядки суммирования и дифференцирования, имеем:

Соотношение (13.8) означает, что производная по времени от момента импульса системы частиц (материальных точек) относительно произвольной точки выбранной системы отсчёта равна векторной сумме моментов всех внешних сил относительно той же точки (полюса). Следовательно, момент импульса системы частиц L L i может изменяться только под действием момента внешних сил. Моменты внутренних сил не могут изменить момент импульса системы.

Если момент внешних сил относительно неподвижной точки 0 равен нулю, т.е.

Мвнеш = 0, то момент импульса системы относительно той же точки остаётся постоянным во времени, т.е. L L i = const. Это положение называют законом сохранения момента импульса. В частности, момент импульса сохраняется для изолированной системы частиц. При этом отдельные части замкнутой системы могут только обмениваться моментами импульса так, что приращение моF2 m мента импульса одной части системы всегда равно уменьшению момента импульса остальной части системы.

Некоторые замечания к закону сохранения момента импульса:

1. Если результирующая внешних сил равна нулю, то это еще не значит, что будет L = const, так как в этом случае может быть М 0 (например, в случае действия пары сил, не лежащих на одной прямой, рисунок 19).

2. Часто встречаются случаи, когда система частиц не замкнута (ее импульс изменяется со временем), и, тем не менее, существуют точки, относительно которых М = 0, и, следовательно, L = const. Примером может служить система, находящаяся в поле центральных сил. В этом случае момент импульса системы относительно силового центра (полюса) остаётся неизменным.

3. У незамкнутых систем может сохраняться не сам вектор L, а его проекция на некоторую неподвижную ось 0z. Так будет в том случае, когда проекция вектора М на эту ось равна нулю. Действительно, записывая уравнение (13.7) в проекциях на ось 0z, получим:

Отсюда и следует, что если Mz = 0, то и Lz = const. Так, например, система, включающая в себя планеты Солнечной системы, является незамкнутой. Ее импульс изменяется под действием сил тяготения со стороны Солнца. Вместе с тем суммарный момент импульса системы планет относительно центра Солнца остаётся неизменным, так как гравитационное поле, создаваемое Солнцем, центральное. Интересно отметить, что орбиты всех планет Солнечной системы лежат приблизительно в одной плоскости, так что их орбитальные моменты импульса складываются алгебраически. При этом все планеты движутся вокруг Солнца в одном и том же направлении, в связи с чем суммарный момент импульса планет Солнечной системы отличен от нуля. Момент импульса самого Солнца направлен в ту же сторону, а его величина составляет около 2 % от момента импульса планет.

При вращении абсолютно твёрдого тела вокруг неподвижной оси каждая отдельная точка (частица) тела движется по окружности постоянного радиуса ri с некоторой скоростью vi. Скорость vi и импульс mivi перпендикулярны этому радиусу, т.е. радиус является плечом вектора mivi. Поэтому можем записать, что момент импульса отдельной частицы равен и направлен вдоль оси вращения в сторону, определяемую правилом правого винта.

Момент импульса твёрдого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных его частиц:

Подставляя в (13.10) формулу (4.6) vi = ri и учитывая, что в твёрдом теле все частицы вращаются с одинаковой угловой скоростью, получим:

Моментом инерции J системы (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс материальных точек (частиц) системы (тела) на квадраты их расстояний до оси вращения. Как видно из (13.12) момент инерции твёрдого тела зависит от распределения массы относительно оси вращения и является величиной аддитивной. В случае непрерывного распределения массы суммирование сводится к интегрированию по объёму тела V:

где dm и dV масса и объём элемента тела, находящегося на расстоянии r от оси вращения;

Уравнение (13.11) в векторной форме имеет вид:

Таким образом, момент импульса L твёрдого тела относительно выбранной оси равен произведению момента инерции J тела относительно той же оси на угловую скорость.

С учётом (13.14) уравнение (13.8) принимает вид где Мвнеш результирующий момент внешних сил относительно оси вращения.

Соотношение (13.15) представляет основное уравнение динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси. Оно напоминает уравнение Ньютона для движения материальной точки. Роль массы в нем играет момент инерции J, роль скорости угловая скорость, роль силы момент силы Мвнеш.

Если система неинерциальная, то момент Мвнеш, помимо момента сил взаимодействия данного тела с другими телами, должен включать в себя также момент сил инерции.

При вращении симметричного твёрдого тела вокруг неподвижной оси симметрии момент инерции J остаётся постоянным, и уравнение (13.15) примет вид:

Произведение момента инерции J твёрдого тела относительно неподвижной оси вращения на угловое ускорение = d/dt равно моменту внешних сил Мвнеш относительно той же оси.

Рассмотрим пример использования уравнения моментов (13.8) при исследовании вращательных движений. Небольшое тело масM сой m, подвешенное на лёгкой невесомой нити 0А, вращается вокруг вертикальной оси так, что угол между осью и нитью остаётся постоянным (рисунок 20). При этом вектор L момента импульса тела относительно точки подвеса 0 «движется» по конической поверхности с углом полураствора =. Измеr чием момента силы тяжести rmg = М относительmg но точки 0; момент силы Т натяжения нити относи- Рисунок тельно точки подвеса 0 равен нулю.

Интегрируя (13.8), можно определить приращение момента импульса частицы за конечный промежуток времени t = t t0:

Величину, стоящую в правой части, называют импульсом момента силы за промежуток времени t. Таким образом, приращение момента импульса материальной точки за некоторый промежуток времени равно импульсу момента силы за это же время.

Из уравнения моментов (13.8) следует, что если М = 0, то L = const. Таким образом, если относительно некоторой точки 0 момент всех сил, действующих на частицу, равен нулю, то момент импульса частицы относительно этой точки остаётся неизменным.

§ 1.14 Силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчёта В системах отсчёта, движущихся ускоренно, появляются добавочные силы, обусловленные наличием ускорения. Такие силы называют силами инерции. Их определяется радиус-векторами r и r, а положение начала координат 0 системы К относительно начала координат 0 системы К определяется радиус-вектором r0.

Можно записать очевидное соотношение между этими векторами:

Дважды дифференцируя это соотношение по времени, получим:

Все слагаемые соотношения (14.2) умножим на массу частицы m и с учетом того, что произведение mа равно результирующей силе F, действующей на частицу, имеем:

Полученное уравнение (14.3) представляет собой уравнение движения частицы в неинерциальной системе отсчёта. Таким образом, при описании движения в неинерциальных системах отсчёта можно пользоваться уравнениями динамики Ньютона, если наряду с силами F, обусловленными воздействием тел друг на друга, учитывать так называемые силы инерции Fин. Силы инерции следует полагать равными произведению массы частицы (тела) на взятое с обратным знаком ускорение неинерциальной системы отсчёта, т.е.

железнодорожного вагона, движущегося с ускорением a0, подвешен на нити груз массы m (рисунок 22). Наблюдатель, находящийся в вагоне, отмечает, что груз на нити отклоняется от вертикального направления на угол и несмотря на действие сил тяжести mg и натяжения нити Fн остаётся в таком состоянии. Это можно объяснить, если допустить, что на груз, находящийся в ускоренно движущейся системе отсчёта, действует дополнительная сила – сила инерции, равная которая направлена противоположно ускорению. Под действием трёх перечисленных сил груз может находиться в равновесии, т.е. в отклонённом от вертикали положении, если их векторная сумма равна нулю:

Если бы грузу, висящему в вагоне (см. рисунок 22), сообщили толчок, то груз стал бы совершать колебания, как маятник. Если ускорение вагона остаётся постоянным во время его движения, то анализ колебаний маятника относительно вагона не представляет никаких затруднений. В самом деле, к силе тяжести mg будет прибавлена сила инерции Fин, результирующая этих двух сил направлена под углом к вертикали, и маятник будет совершать колебания около направления равновесия нити, наклонённой под углом к вертикали. В состоянии равновесия сила, действующая вдоль нити, будет больше силы тяжести, она равна квадратному корню из суммы квадратов силы тяжести и силы инерции и направлена противоположно силе натяжения нити Fн. Если обрезать нить, то груз будет падать в вагоне по прямой, направленной под углом к вертикали, с ускорением Относительно Земли груз будет двигаться по параболе, которая определяется скоростью вагона в момент отрыва груза и ускорением g.