«Р. В. ШАМИН ПОЛУГРУППЫ ГРУППЫ Учебное пособие Москва 2008 Инновационная образовательная программа Российского университета дружбы народов Создание комплекса инновационных образовательных программ и формирование ...»

ПРИОРИТЕТНЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ

ОБРАЗОВАНИЕ

РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

Р. В. ШАМИН

ПОЛУГРУППЫ ГРУППЫ

Учебное пособие

Москва

2008

Инновационная образовательная программа Российского университета дружбы народов

Создание комплекса инновационных образовательных программ и формирование инновационной образовательной среды, позволяющих эффективно реализовывать государственные интересы РФ через систему экспорта образовательных услуг Шамин Р.В.

Полугруппы операторов. М.: РУДН, 2008. 173 с.

Учебное пособие посвящено современной теории абстрактных параболических уравнений. Последовательно рассматриваются: теория полугрупп операторов, теория интерполяции гильбертовых пространств, абстрактные параболические задачи, нелокальные параболические уравнения. Помимо теоретического изложения в пособие включены разделы, посвященные вычислительным экспериментам и решению типовых задач. Учебное пособие адресовано студентам бакалавриата, обучающимся по направлениям Информационные технологии, Прикладная математика и информатика, Физика, Математика. Прикладная математика, Автоматизация и управление.

Учебное пособие выполнено в рамках инновационной образовательной программы Российского университета дружбы народов, по направлениям Информационные технологии, Прикладная математика и информатика, Физика, Математика. Прикладная математика, Автоматизация и управление, и входит в состав учебно-методического комплекса, включающего описание курса, программу и электронный учебник.

c Шамин Р.В.

Своему первому учителю профессору Александру Леонидовичу Скубачевскому я посвящаю эту книгу Оглавление Введение Глава 1. Элементы функционального анализа 1.1. Банаховы пространства....................... 1.2. Интеграл Лебега........................... 1.3. Гильбертовы пространства...................... 1.4. Ограниченные линейные операторы................ 1.5. Неограниченные операторы..................... 1.6. Полуторалинейные формы...................... Глава 2. Постановка параболических задач 2.1. Абстрактные параболические задачи................ 2.2. Сильные решения........................... 2.3. Пространства начальных данных.................. Глава 3. Полугруппы операторов в гильбертовом пространстве 3.1. Сильно непрерывные полугруппы.................. 3.2. Генераторы полугрупп........................ 3.3. Спектральные свойства генераторов полугрупп.......... 3.4. Теорема Хилле Иосиды и ее обобщения.............. 3.5. Аналитические полугруппы..................... Глава 4. Теория интерполяции гильбертовых пространств 4.1. Вспомогательные утверждения................... 4.2. Определение интерполяционных пространств........... 4.3. Теоремы о следах........................... 4.4. Интерполяционная теорема..................... 4.5. Повторная интерполяция и двойственность............ Глава 5. Разрешимость параболических задач 5.1. Единственность сильных решений................. 5.2. Неоднородные уравнения...................... 5.3. Уравнения с начальными условиями................ 5.4. Конструктивное описание пространств начальных данных.... 6.2. Существование и единственность.................. 7.2. Операторно-дифференциальные уравнения............ 7.3. Дифференциально-разностные уравнения............. 7.4. Уравнения с растяжением и сжатием аргументов......... 8.1. Нелокальные условия без подхода носителей нелокальных членов 8.2. Нелокальные условия в цилиндре.................. 8.3. Параболические задачи с нелокальными условиями на сдвигах 9.1. Гладкость решений параболических задач с нелокальными условиями без подхода носителей нелокальных 9.2. Гладкость решений параболических задач с нелокальными условиями на сдвигах границы.......... 9.3. Гладкость решений параболических дифференциально-разностных уравнений............................ 10.1.Вычислительные эксперименты в математике........... 10.2.Идея исследования пространств начальных данных....... 10.3.Численно-аналитичный метод Фурье................ 10.4.План вычислительного эксперимента................ 10.5.Программная реализация...................... 10.6.Проведение вычислительных экспериментов............ Настоящее учебное пособие подготовлено на основе лекционных курсов, которые автор читал в течение нескольких лет в Московском авиационном институте и продолжает читать в Российском университете дружбы народов на кафедре дифференциальных уравнений и математической физики. Учебное пособие адресовано студентам старших курсов и аспирантам, специализирующимся в теории дифференциальных уравнений в частных производных, функциональном анализе и теории функционально-дифференциальных уравнений.

Основное внимание уделено абстрактным параболическим уравнениям в гильбертовых пространствах. Уравнения такого типа возникают во многих интересных задачах математики и физики. В то же время абстрактные дифференциальные уравнения справедливо занимают особое место в области функционального анализа, поскольку современные методы их исследования требуют применения различных разделов функционального анализа.

Разрешимость параболических задач во многом обеспечивается результатами теории эллиптических задач. Однако для эффективного применения эллиптической теории в параболических задачах необходимо использовать специальные методы. Наиболее эффективным средством для связи между эллиптическими и параболическими задачами является теория полугрупп операторов. Эта эффективность обеспечивается естественностью теории полугрупп в параболических задач. Действительно, как правило, если (автономное) параболическое уравнение является разрешимым, то его решения могут быть представлены через полугруппу операторов. Для наиболее эффективного применения теории полугрупп операторов для параболических задач необходимо использовать также теорию интерполяции банаховых пространств.

Параболические задачи обладают и специфическими параболическими проблемами. Одной из наиболее важных и трудных проблем является точное описание пространства начальных данных. Под пространством начальных данных мы понимаем те начальные значения, для которых существуют сильные решения. Эта проблема нетривиальна и для классических уравнений, но еще более принципиально сложной является проблема описания пространства начальных данных для функционально-дифференциальных уравнений. Описание пространств начальных данных может быть выполнено в терминах теории полугрупп (см. [21]). Однако исчерпывающее описание пространств начальных данных получается применением методов теории интерполяции гильбертовых пространств.

Большое место в настоящем пособии занимают нелокальные параболические задачи. При это мы рассматриваем как параболические функциональнодифференциальные уравнения, так и параболические уравнения с нелокальными условиями. С одной стороны, эти задачи имеют интересные приложения в естествознании, а с другой являются хорошими примерами в трудных проблемах параболических задач. И хотя в пособии выбрана строгая и теоретическая манера изложения, мы включили главу, посвященную вычислительным экспериментам.

Рассмотрим содержимое глав пособия.

Глава 1 является вспомогательной. В этой главе рассматриваем без доказательств некоторые факты из функционального анализа, которые непосредственно используются в пособии.

Постановки параболических задач приведены в главе 2. В этой же главе мы вводим многократно использующееся в последующем изложении понятие сильной разрешимости параболических задач.

В главе 3 излагаются основы теории полугрупп операторов и показаны методы применения этой теории в параболических задачах. Хотя теория полугрупп получила развитие в 50-х годах прошлого столетия в работах Э. Хилле, К. Иосиды, Р. Филлипса, В. Феллера, Т. Като, С. Г. Крейна, П. Е. Соболевского и многих других, в учебниках, посвященных уравнениям в частных производных, изложение методов теории полугрупп явление редкое. Удачным исключением является учебник [11]. Рассмотрение же сильных решений (с помощью теории полугрупп) еще более редкое явление даже в монографической литературе. Наиболее известным трудом, где изучаются сильные решения, является монография [22], в которой в полной мере последовательно изучены полугруппы и их применения. С современной точки зрения сильные решения рассматриваются в книге [21].

Заметим, что известные монографии [4–6, 20] по теории полугрупп полностью посвящены классическим операторным решениям.

В главе, посвященной теории полугрупп, рассматриваются не только сильно непрерывные полугруппы, но и аналитические (голоморфные) полугруппы операторов. Аналитические полугруппы значительно более тонко характеризуют сильные решения абстрактных параболических задач.

Заметим, что в этой главе приводится единственная в пособии теорема без доказательства. Эта теорема 3.8 в дальнейшем изложении не используется, поэтому ее доказательство (весьма громоздкое) было нецелесообразным.

Глава 4 посвящена теории интерполяции гильбертовых пространств. Теория интерполяции гильбертовых (или, банаховых пространств) представляет собой абстрактную теорию на стыке функционального анализа, теории функций и функциональных пространств. Эта область математики, несмотря на свою абстрактность, а порой и изрядную сложность, является удивительным сочетанием различных разделов математики от теории экстремальных задач до комплексного анализа. Теория интерполяции пространств не только красивая и неожиданная теория, но и очень эффективное средство в современной математике. В частности, с использованием этой техники получено исчерпывающее описание пространств начальных данных. К сожалению, теория интерполяции представлена практически исключительно в монографиях (см. [1, 7, 10, 18]). К тому же это изложение зачастую перегружено общими случаями, что сильно затрудняет ее изучение студентами. В главе 4 мы следуем изложению в [10], где теория интерполяции рассматривается для случая гильбертовых пространств, что существенно доступнее для начального изучения.

В главе 5 после того, изложения теории полугрупп и теорией интерполяции, мы приступаем к получениею результатов о сильной разрешимости и описанию пространств начальных данных. Результаты, приведенные в разделе 5.4, получены автором в [19] и позволяют конструктивно описать пространства начальных данных.

В главе 6 рассматривается метод Галеркина для нахождения приближенных решений параболических функционально-дифференциальных уравнений. При этом мы также пользуемся методами теории полугрупп. Отметим, что в этой главе (в единственный раз) рассматриваются уравнения, содержащие нелинейность. Это уравнение оправдываем тем, что именно такие задачи (для параболических функционально-дифференциальных уравнений) имеют важные применения в нелинейной оптике.

В главе 7 приводятся примеры параболических задач, для которых использованы результаты раздела 5.4. Наиболее успешно эти результаты могут быть применены в теории функционально-дифференциальных уравнений. Функционально-дифференциальные уравнения представляют не только теоретический интерес в теории дифференциальных уравнений, но и имеют интересные приложения в таких разделах, как нелинейная оптика, нелокальные задачи и многих других.

Глава 8 посвящена параболическим уравнениям с нелокальными условиями. Также в этой главе показано, что параболические уравнения с нелокальными условиями тесно связаны с функционально-дифференциальными уравнениями.

Как отмечалось, нелокальные параболические задачи (функциональнодифференциальные уравнения и уравнения с нелокальными условиями) обладают рядом необычных свойств. В частности, гладкость сильных решений может нарушаться в области, где рассматривается уравнение. Поэтому глава 9 посвящена изучению гладкости нелокальных задач. В этой главе рассматриваются специальные весовые пространства, которые характеризуют нарушение гладкости сильных решений. Также приведены примеры сильных решений, у которых нарушается гладкость.

Глава 10 выполняет демонстрационную роль в настоящем пособии. Здесь мы рассматриваем вычислительные эксперименты, которые ставят своей целью продемонстрировать важнейший результат нашего курса конструктивное определение пространств начальных данных. Приводится описание методики проведения вычислительных экспериментов, рассматривается текст программы для проведения вычислительных экспериментов, а также даются результаты типовых вычислительных экспериментов.

Наконец, последняя глава 11 посвящена небольшому практикуму по курсу. В этой главе рассматривается ряд типовых задач и дается их подробное решение.

Многие результаты, изложенные в данном пособии, принадлежат автору, часть результатов получена в совместных работах автора и профессора А.Л. Скубачевского.

С методическими и научными материалами, сопровождающими спецкурс, посвященный абстрактным параболическим задачам, можно ознакомиться на следующем сайте: http://www.lector.ru.

Автор с благодарностью примет любые замечания и пожелания по следующим адресам: http://www.shamin.ru, [email protected].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору А. Л. Скубачевскому за внимание к написанию пособия, а главное за многолетнюю совместную работу. Автор также благодарен М. А. Скрябину за неоценимую помощь при наборе пособия.

Глава Элементы функционального анализа Линейное пространство L называется нормированным, если каждому его элементу f можно поставить в соответствие вещественное число f = f (норма f ), и это соответствие обладает следующими свойствами:

2) cf = |c| f при произвольных комплексном c и f L;

3) f1 + f2 f1 + f2 для любых f1, f2 L (неравенство треугольника).

Любое нормированное пространство является метрическим пространством с метрикой (f1, f2 ) = f1 f2, где f1, f2 L. В дальнейшем, если не оговорено противное, будем рассматривать понятие сходимости в нормированном пространстве в смысле соответствующей метрики.

Последовательность {fm } элементов из L называется сходящейся к f Последовательность {fn } элементов из L называется фундаментальной, Если fm f, то fm f (непрерывность нормы). Действительно, Линейное нормированное пространство называется полным, если для любой фундаментальной последовательности его элементов найдется элемент этого пространства, к которому она сходится.

Полное линейное нормированное пространство называется банаховым пространством.

Банахово пространство B называется сепарабельным, если в нем существует счетное всюду плотное множество.

Приведем некоторые примеры функциональных пространств, т.е. таких пространств, элементами которых являются числовые функции.

Пример 1.1. Пространство C[a, b] всех непрерывных функций на отрезке [a, b] является нормированным пространством с нормой Сходимость по этой норме означает равномерную сходимость. Фундаментальность (или условие Коши) означает, что |uk (x) um (x)| 0 равномерно на [a, b]. Из математического анализа известно, что отсюда следует равномерная сходимость um (x) к непрерывной функции u(x). Таким образом, C[a, b] полно, и мы имеем пример банахова пространства.

Пример 1.2. Пространство C k [a, b] всех непрерывных функций, имеющих непрерывные производные вплоть до k-го порядка на отрезке [a, b], является нормированным пространством с нормой По аналогичным причинам, что и в предыдущем примере, пространство C k [a, b] является банаховым пространством.

Пример 1.3. Пример 1.3. В пространстве C[a, b] введем интегральную где p 1, а интеграл понимается в смысле Римана.

Покажем, что такое пространство не является банаховым. Пусть [a, b] = [1, 1] для каждого k > 1 положим Видно, что uk (x) C[1, 1]. Покажем, что последовательность {uk } фундаментальна. Возьмем произвольные k, m > 0 для определенности будем считать, что k > m. Имеем оценку нормы разности uk um < 2/m, следовательно, uk um 0 при k, m, и наша последовательность фундаментальна. Однако эта последовательность сходится к функx 0, а суммарная длина этих интервалов |Ii | <, где |Ii | длина интервала Непосредственно из определения вытекает, что множество, состоящее из счетного (и тем более конечного) числа точек, есть множество меры нуль.

Пересечение и объединение счетного числа множеств меры нуль есть также множество меры нуль.

Если какое-либо свойство выполняется для всех точек x из некоторого множества G, за исключением, быть может, множества меры нуль, то говорят, что это свойство выполнено для почти всех точек x G, почти везде в G, почти всюду в G (п.в. в G). Так, функция Дирихле (x), равная для точек, у которых все координаты рациональны, и 0 во всех остальных точках, равна нулю п.в. в R.

Пусть Q некоторый интервал. Наряду с функциями, определенными всюду в Q (т.е. имеющими в каждой точке Q конечное значение), будем рассматривать и функции, определенные почти всюду в Q, т.е. функции, значения которых не определены на множествах меры нуль.

С понятием интегрируемых функций тесно связано понятие измеримых функций. Пусть Q некоторый интервал. Последовательность (определенных п.в. в Q) функций fk (x), k = 1, 2,..., называется сходящейся п.в.

в Q, если для почти всех x0 Q числовая последовательность значений этих функций в точке x0 имеет (конечный) предел. Функция f (x) называется пределом п.в. сходящейся последовательности fk (x), k = 1, 2,..., fk (x) f (x) п.в. в Q при k, если для п.в. x0 Q lim fk (x0 ) = f (x0 ).

Функция f (x) называется измеримой в Q, если она является пределом п.в. сходящейся последовательности функций из C(Q).

Отметим некоторые свойства измеримых функций.

Из определения вытекает, что функция f (x), принадлежащая C(Q), измерима. Произвольная функция f (x) C(Q) тоже измерима, так как ее можно представить в виде предела сходящейся в Q последовательности функций из C(Q) : f (x) = lim f (x) (x), где (x) срезающая функция для Q.

Линейная комбинация измеримых функций есть измеримая функция.

Для измеримых f1 и f2 функции f1 f2 и f1 /f2 (последняя при дополнительном условии f2 = 0 п.в.) также измеримы. Если функция f измерима, то такова же и функция |f |.

Введем в рассмотрение монотонные п.в. в Q последовательности, т.е.

последовательности fk (x), k = 1, 2,... измеримых функций, для которых при всех k 1 п.в. в Q имеют место неравенства fk+1 (x) fk (x) (fk+1 (x) fk (x)). Если такая последовательность п.в. ограничена, то она сходится п.в.

к некоторой функции. Будем при этом использовать обозначения: fk f п.в. при k, если последовательность монотонно не убывает.

Обозначим через 1 = 1 (Q) множество всех функций, которые являются пределами п.в. сходящихся монотонно неубывающих последовательностей функций из C(Q) с ограниченными сверху последовательностями интегралов Римана.

монотонно неубывающая последовательность непрерывных в Q функций с ограниченной последовательностью интегралов, п.в. сходящаяся к f (x).

Точная верхняя грань множества называется интегралом Лебега функции f (x) 1 (Q):

Можно показать, что интеграл Лебега от функции f (x) не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности, а только от самой функции f (x).

Пока мы определили интеграл Лебега только для функций из 1, перейдем к определению интеграла Лебега для более общих функций. Заданная в интервале Q вещественнозначная функция f (x) называется интегрируемой по Лебегу по интервалу Q, если она представляется в виде где f (x) и f (x) функции из 1 (Q); при этом интегралом Лебега функции f (x) по Q определяется равенством Интеграл Лебега также не зависит от того, разностью каких функций f (x) из 1 является функция f (x).

Обозначим через (Q) множество всех функций, интегрируемых по Лебегу по интервалу Q. Функция, интегрируемая по Лебегу, абсолютно интегрируема.

Приведем теорему о замкнутости множества (Q) относительно монотонных предельных переходов.

Теорема 2.1 (Б. Леви). Всякая монотонная п.в. последовательность fk (x), k = 1, 2,..., интегрируемых по Лебегу в Q функций с ограниченной последовательностью интегралов п.в., в Q сходится к некоторой интегрируемой по Лебегу функции f (x), и при этом Рассмотрим вопрос об отношениях интеграла Римана и интеграла Лебега. Если функция f (x) интегрируема по Риману (в собственном смысле), то она интегрируема и по Лебегу, и ее интегралы по Риману и по Лебегу совпадают. Множество ограниченных функций, входящих в (Q), шире множества функций, интегрируемых по Риману, поскольку, например, функция Дирихле (x) (Q) ограничена и неинтегрируемая по Риману.

Далее при построении интеграла Лебега от функции f (x) не предполагалась ее ограниченность; например, неограниченная функция |x| при 0 < < 1 принадлежит (1, 1). В курсе математического анализа рассматривается обобщение интеграла Римана на некоторые неограниченные функции (несобственный интеграл). Не трудно показать, что абсолютно интегрируемая по Риману (в несобственном смысле) функция f (x) принадлежит (Q) и ее интеграл Лебега совпадает с несобственным интегралом Римана.

Однако если функция не абсолютно интегрируема, но интегрируема по Риману, то такая функция может быть не интегрируема по Лебегу, примером такой функции является заданная на (0, 1) функция sin x.

Перейдем теперь к установлению связи между измеримостью и интегрируемостью функции. По определению интегрируемая функция измерима.

Однако не всякая измеримая функция, как показывает пример заданной на (1, 1) функции |x|, 0 < < 1, интегрируема. Приведем некоторые достаточные условия интегрируемости по Лебегу.

Теорема 2.2 (лемма Фату). Если последовательность fk (x), k = 1, 2,... интегрируемых п.в. неотрицательных функций сходится п.в. к функции f (x) и fk dx A, k = 1, 2,..., то f (x) интегрируема и Одним из центральных результатов теории лебеговского интегрирования является следующая теорема Лебега о возможности перехода к пределу под знаком интеграла.

Теорема 2.3 (теорема Лебега). Если последовательность измеримых функций fk (x), k = 1, 2,... сходится п.в. в Q к некоторой функции f (x) и |fk (x)| g(x) п.в. k = 1, 2,..., где g(x) интегрируема, то f (x) тоже интегрируема и В конце приведем определение меры множества с использованием интеграла Лебега. Рассмотрим некоторое подмножество E Q. Функция E (x), равная 1 для x E и 0 для x Q \ E, называется характеристической функцией множества E или индикатором E.

Множество E называется измеримым если измерима его характеристическая функция. Мера измеримого множества E определяется следующим образом:

Определенные ранее множества меры нуль измеримы, и они и только они имеют меру, равную нулю.

Будем говорить, что в линейном пространстве H введено скалярное произведение, если любой паре элементов h1, h2 H поставлено в соответствие комплексное число (h1, h2 )H = (h1, h2 ) (скалярное произведение этих элементов), и это соответствие обладает следующими свойствами:

i) (h, h) 0, причем (h, h) = 0 только для h = 0, iii) (ch1, h2 ) = c(h1, h2 ) для любого комплексного c, Установим следующее важное неравенство Коши-Буняковского:

имеющее место для любых h1 и h2 из H. Если h2 = 0, то неравенство th2, h1 +th2 ) = (h1, h1 )+t(h1, h2 )+t(h1, h2 )+|t|2 (h2, h2 ). Если t = (h2,h2 ), то (h, h). Тогда неравенство (3.1) запишется в виде:

Все свойства нормы, кроме неравенства треугольника, очевидны. Для доказательства неравенства треугольника воспользуемся неравенством КошиБуняковского Линейное пространство со скалярным произведением, полное в норме, порождаемой этим скалярным произведением (т.е. являющееся банаховым в этой норме), называется гильбертовым пространством.

Наличие в H скалярного произведения позволяет ввести в этом пространстве не только норму (т.е. длину) элемента, но и угол между элементами в вещественном гильбертовом пространстве: именно угол между векторами h1 и h2 определяется формулой:

При этом из неравенства Коши-Буняковского вытекает, что выражение для косинуса по модулю не превосходит 1, и, следовательно, формула (2) действительно для любых ненулевых h1 и h2 определяет некоторый угол Если (h1, h2 ) = 0, то из (3.2) получаем, что = /2; в этом случае векторы h1 и h2 называются ортогональными.

Для нас наиболее важным является пример гильбертова пространства измеримых функций с интегрируемым (по Лебегу) квадратом модуля. Обозначим через L2 (a, b) множество всех измеримых функций f (x) на (a, b) таких, что существует (и конечный) интеграл это линейное пространство. Введем теперь в нем скалярное произведение по формуле:

Одним из самых важных свойств сепарабельных гильбертовых пространств является существование ортонормированного базиса. Пусть H сепарабельное гильбертово пространство. Для определенности будем считать, что H является бесконечномерным пространством. Множество элементов {xn } из пространства H называется ортонормированной системой, если выполнено:

Любая ортонормированная система является и линейно независимой системой. При этом из любой линейно независимой системы (конечной или счетной) можно построить ортонормированную систему с помощью процедуры ортогонализации Гильберта-Шмидта. Пусть {yn } линейно независимая система элементов пространства H, тогда существует такая ортонормированная система {xn }, которая выражается через yn линейным образом:

Ортонормированная система en называется ортонормированным базисом в пространстве H, если любой элемент H представляется в виде где ряд сходится в пространстве H. Этот ряд называется рядом Фурье в пространстве H, а коэффициенты cn называются коэффициентами Фурье.

Для фиксированного базиса разложение в ряд Фурье является единственным. При этом коэффициенты Фурье вычисляются по формуле:

Для ортонормированного базиса и любого элемента верно равенство Парсеваля Пример 1.4. Рассмотрим гильбертово пространство L2 (0, ). В этом множество функций является ортонормированным базисом.

Мы рассматривали в качестве гильбертовых пространств пространство Лебега L2. Другим примером пространства Гильберта является пространство l2, состоящее из числовых последовательностей a = (a1, a2,... ) таких, что В пространстве l2 можно ввести скалярное произведение по формуле С нормой, индуцированной этим скалярным произведением, пространство l2 является гильбертовым.

Рассмотрим теперь произвольное сепарабельное (бесконечномерное) пространство H с ортонормированным базисом en. Тогда для любого элемента H коэффициенты Фурье, которые мы обозначим через c = (c1, c2,... ), являются элементом пространства l2, причем в силу равенства Парсеваля мы имеем Можно показать, что все сепарабельные бесконечномерные пространства изоморфны пространству l2 и соответственно между собой.

1.4. Ограниченные линейные операторы Пусть X и Y суть линейные пространства. Под оператором, действующим из пространства X в пространство Y, будем понимать однозначное отображение, заданное для элементов пространства X, со значениями в пространстве Y. Для оператора A будем использовать обозначение Определение 1.1. Оператор A : X Y называется линейным, если для любых x1, x2 X и любого числа выполнено равенство:

Если будем рассматривать операторы, действующие в нормируемых (банаховых) пространствах, то можно ввести понятия непрерывности и ограниченности операторов. В дальнейшем будем считать X и Y банаховыми пространствами.

Определение 1.2. Оператор A : X Y называется непрерывным, если для любой последовательности {xn } X, сходящейся в пространстве X, существует предел в пространстве Y последовательности Axn.

Определение 1.3. Оператор A : X Y называется ограниченным, если существует такое число M > 0, что для всех элементов x X выполнено неравенство Для линейных операторов непрерывность и ограниченность эквивалентные понятия. Более того, для ограниченного линейного оператора можно ввести норму оператора согласно следующему определению.

Определение 1.4. Для линейного ограниченного оператора нормой называется число A XY Если это не приводит к путанице, будем обозначать норму оператора просто A.

Пусть X, Y, Z суть банаховы пространства. Рассмотрим линейный ограниченный оператор A : Y Z и линейный ограниченный оператор B : X Y. Тогда можно определить линейный оператор C = AB : X Z, являющийся композицией операторов A и B. Оператор C будет также ограниченным, и имеет место оценка для нормы:

Через L(X, Y ) обозначим множество всех линейных непрерывных операторов A : X Y. Очевидно, множество L(X, Y ) является линейным пространством. Более того, это пространство само является банаховым с операторной нормой. Пространство L(X, X) будем обозначать L(X). В пространстве L(X) можно определить операцию умножения, соответствующую операции композиции операторов. В этом случае пространство L(X) является банаховой алгеброй. Отметим еще, что для оператора A L(X) можно определить степень An = AAn1 для любого n N. При этом имеет место следующая оценка:

Важными линейными операторами являются операторы из пространства L(X, C), т.е. операторы с числовыми значениями.

Определение 1.5. Оператор f L(X, C) называется линейным функционалом.

Определение 1.6. Пространство L(X, C) называется сопряженным к X пространством и обозначается X.

Используя понятие функционалов, можно определить понятие слабой сходимости в пространстве X.

Определение 1.7. Будем говорить, что последовательность {xn } X имеет слабым пределом элемент x X, если для всех функционалов f X.

В силу непрерывности функционалов сильно сходящиеся последовательность сходятся и слабо к тому же пределу. Однако обратное не верно слабо сходящиеся последовательности, вообще говоря, не имеют сильного предела.

Рассмотрим гильбертово пространство H. Легко видеть, что произвольный элемент f H задает линейный ограниченный функционал по формуле:

При этом норма функционала f совпадает с нормой элемента f. Согласно теореме Рисса верно и обратное для любого функционала g H существует единственный элемент g пространства H такой, что и имеет место равенство норм. Таким образом, пространство, сопряженное к гильбертову пространству H, может быть отождествлено с самим пространством H.

Рассмотрим линейный ограниченный оператор A : H1 H2, где Hi, i = 1, 2 гильбертовы пространства. Оператор A : H2 : H1 называется сопряженным (к оператору A) оператором, если Приведем некоторые примеры ограниченных операторов в различных пространствах.

Пример 1.5. Любой линейный оператор в конечных пространствах A :

Rn Rm является числовой матрицей n m.

Пример 1.6. Рассмотрим оператор дифференцирования D1 : C k [a, b] C k1 [a, b], k 1. Этот оператор является непрерывным оператором.

Пример 1.7. В пространстве C[0, 1] рассмотрим интегральный оператор где K(x, y) непрерывная функция двух переменных, называемая ядром оператора J.

Пример 1.8. Рассмотрим оператор A : C[0, 1] C 1 [0, 1], заданный по формуле:

Пример 1.9. Рассмотрим сепарабельное гильбертово пространство H с ортонормированным базисом en. Тогда любой элемент H представляется единственным образом в виде ряда Фурье: = n en. Определим оператор A L(H) следующим образом:

Рассмотрим несколько примеров линейных непрерывных функционалов.

Пример 1.10. Рассмотрим функционалы в пространстве L2 (a, b). В силу теоремы Рисса все линейные ограниченные функционалы в этом пространстве исчерпываются функционалами вида:

где функция f (x) сама принадлежит пространству L2 (a, b).

Функционалы в пространстве C[a, b] более разнообразны.

Пример 1.11. Рассмотрим функционал в пространстве C[0, 1], заданный по формуле:

Пример 1.12. Рассмотрим функционал в пространстве C[1, 1], заданный по формуле:

Рассмотрим еще пример шкалы гильбертовых пространств Hs, s 0.

Пусть в сепарабельном гильбертовом пространстве H фиксирован ортонормированный базис en. Пространства Hs определим как такие гильбертовы пространства, состоящие из элементов вида:

где коэффициенты cn удовлетворяют условию:

В пространстве Hs скалярное пространство вводится следующим образом В настоящем разделе будем рассматривать неограниченные операторы.

Эти операторы, в отличие от ограниченных, могут быть заданы не на всем пространстве. Пусть X, Y банаховы пространства, рассмотрим линейный оператор A, заданный на линейном подпространстве D(A) X. Линейное пространство D(A) называется областью определения оператора A. Будем пользоваться следующим обозначением: A : D(A) X Y.

При работе с неограниченными операторами следует соблюдать определенную осторожность. В частности, для двух неограниченных операторов A : D(A) X Y и B : D(B) X Y сумма определяется следующем образом:

Определение 1.8. Если множество D(A) плотно в пространстве X, то оператор A называется плотно определенным.

Важным свойством для неограниченных операторов является замкнутость оператора.

Определение 1.9. Оператор A называется замкнутым, если для любой последовательности {xn } D(A) такой, что элемент x D(A) и y = Ax.

Для замкнутого оператора A область определения D(A) можно сделать банаховым пространством с нормой графика:

В этом случае можно рассматривать ограниченный оператор Рассмотрим неограниченный оператор A, действующий в гильбертовом пространстве H с областью определения D(A). Если оператор A является плотно определенным, то можно определить сопряженный оператор A.

Сопряженный оператор A определяется как максимальный оператор с областью определения D(A ), для которого верно соотношение:

Если линейный ограниченный оператор A : X Y является биективным отображением пространства X на пространство Y, то существует линейный ограниченный обратный оператор A1 : Y X и Рассмотрим замкнутый неограниченный оператор A : D(A) H H в гильбертовом пространстве H. Оператор A называется обратимым, если оператор A взаимно однозначно отображает область определения D(A) на пространство H.

Резольвентным множеством оператора A будем называть множество всех комплексных чисел таких, что оператор A I ограниченно обратим. Соответственно семейство ограниченных операторов, зависящее от комплексных чисел из резольвентного множества, называется резольвентой оператора A. Резольвентное множество будем обозначать через (A).

Важнейшим в теории операторов является понятие спектра операторов.

Дополнением к резольвентному множеству в комплексной плоскости называется спектр оператора A, который обозначается (A). Можно показать, что спектр (если он не пуст) является замкнутым множеством.

Определение 1.10. Оператор A : D(A) H H называется самосопряженным, если A = A.

Спектр самосопряженного оператора принадлежит вещественной оси.

Будем рассматривать гильбертово пространство H. На прямом произведении пространств H H зададим полуторалинейную комплекснозначную форму t[u, v], определенную при u, v D(t). Полуторалинейность означает, что эта форма линейна по u при фиксированном v и полулинейна по v при фиксированном u. Множество, на котором определена полуторалинейная форма, называется областью определения этой формы. Форма t[u] = t[u, u] называется квадратичной формой. В дальнейшем будем опускать слово полуторалинейная и пользоваться определением просто форма.

Определение 1.11. Форма t называется симметричной, если для всех u, v D(t).

Определение 1.12. Форма t называется сопряженной к форме t, если и D(t ) = D(t).

Множество значений, которые принимает функция t[u], когда u D(t) и u = 1, называется числовой областью значений формы t и обозначается (t). Будем говорить, что форма t ограничена слева, если (t) является подмножеством полуплоскости: Re. Будем говорить, что форма t является секториальной, если множество (t) есть подмножество сектора Определение 1.13. Секториальная форма t называется замкнутой, если для последовательности {un } D(t) такой, что верно, что u D(t) и t[un u] 0, n.

Пусть форма t является полно определенной и замкнутой секториальной полуторалинейной формой в H, тогда существует оператор T : D(T ) H H такой, что:

для всех u D(T ) и v D(t). Этот оператор определяется единственным образом. Будем говорить в этом случае, что оператор T порождается секториальной формой t, а сам оператор будем называть максимальным секториальным оператором.

Если форма t является симметричной, то оператор T будет самосопряженным оператором.

Глава Постановка параболических задач 2.1. Абстрактные параболические задачи Пусть V и H сепарабельные гильбертовы пространства и V плотно и непрерывно вложено в H. Отождествим пространство H с его сопряженным, тогда получим где каждое пространство плотно в последующем.

Рассмотрим непрерывный оператор A : V V.

Определение 2.1. Оператор A называется V -коэрцитивным, если для любого v V выполняется неравенство:

где c1 > 0 не зависит от v.

В дальнейшем будем предполагать, что оператор A является V -коэрцитивным.

Замечание 2.1. В силу теоремы 9.1 [10, глава 2] оператор A взаимнооднозначно отображает V на V.

Рассмотрим полуторалинейную форму a[u, v] в H, определенную по формуле:

с областью определения D(a) = V. В силу (2.1) форма a является замкнутой секториальной формой в V. Действительно, для произвольного u V имеем Из последнего неравенства и из (2.1) следует, что числовая область значения (a) лежит в секторе где 1 = arctg(c2 /c1 ) < /2.

В силу теоремы о представлении (см. теорему 2.1 [5, глава 6]) существует замкнутый, плотно определенный, секториальный оператор A : D(A) H H, порожденный формой a[·], такой, что (Au, v)H = a[u, v], u D(A), v V. Очевидно, Au = Au, когда u D(A) = {u V : Au H}.

Будем рассматривать область определения D(A) как гильбертово пространство со скалярным произведением Через I обозначим связное подмножество вещественной оси, а через Y гильбертово пространство. Обозначим через L2 (I; Y ) пространство функций f со значениями в Y, измеримых на I относительно меры Лебега и таких, что Как обычно, отождествляя функции равные почти всюду, введем в пространстве L2 (I; Y ) скалярное произведение по формуле:

Стандартным методом можно показать, что пространство L2 (I; Y ) является гильбертовым пространством.

вплоть до порядка k на I функций со значениями в гильбертовом пространстве Y. Пространство C k (I; Y ) является банаховым пространством с нормой:

Будем рассматривать дифференциальное уравнение в гильбертовом пространстве H:

с начальным условием Определение 2.2. Функция u L2 (0, T ; V ) называется обобщенным решением задачи (2.4)–(2.5), если для любой функции v C 1 ([0, T ]; V ) такой, что v(T ) = 0 выполнено интегральное равенство:

V = H 1 (Q). Можно показать (см. [10]), что пространство H 1 (Q) состоит из обобщенных производных первого порядка функций из L2 (Q), более мем оператор Лапласа с условиями Дирихле. Для этого введем оператор A = : H 1 (Q) H 1 (Q), действующий в смысле обобщенных производных. Очевидно, что этот оператор будет непрерывным. Покажем, что оператор A является H 1 (Q)-коэрцитивным. Для произвольной u H 1 (Q) при k. Для функции uk имеем:

В силу плотности пространства C (Q) в H 1 (Q) отсюда следует, что Задача (2.4)–(2.5) в нашем примере представляет собой первую смешанную задачу для уравнения теплопроводности, а обобщенное решение совпадает с обобщенным решением из класса L2 (0, T ; H 1 (Q)) H 1,0 (Q (0, T )).

Упражнение 2.1. Рассмотреть пример 2.1 при наличии младших членов, т.е. в качестве оператора A взять оператор Выяснить, при каких условиях на коэффициенты bi, c0 оператор A будет H 1 (Q)-коэрцитивным.

Обобщенные решения имеют важное значение в исследовании разрешимости задач, в обосновании численных методов и в ряде других важных вопросов. Однако по сути обобщенные решения не удовлетворяют собственно уравнению (2.4) и условию (2.5). Рассмотрение же классических решений сужает класс, в котором ищется решение, и налагает излишние ограничения на правые части и коэффициенты уравнения. При этом многие задачи математической физики требуют рассмотрения разрывных правых частей.

Удобным компромиссом является рассмотрение сильных решений. Сильные решения удовлетворяют уравнению (2.4) почти всюду при минимальных ограничениях на правую часть, начальную функцию и коэффициенты. Для определения сильных решений нам потребуется определить операцию дифференцирования в смысле обобщенных функций со значениями в гильбертовом пространстве.

Введем пространство основных функций D(I; H) как множество бесконечно дифференцируемых функций на I со значениями в H, с компактным в I носителем. Пространство D(I; H) является пространством Фреше с топологией, заданной системой полунорм:

где Ki последовательность компактов в I, такая что Ki = I. Через D (I; H) обозначим линейное пространство всех линейных ограниченных функционалов над пространством D(I; H). Пространство D (I; H) будем называть пространством распределений, а элементы D (I; H) будем называть распределениями или обобщенными функциями.

Пусть T D (I; H), D(I; H), тогда через T, будем обозначать значение функционала T на. Для любого T D (I; H) определим обобdT щенную производную равенством:

Итерируя, можно определить производную любого порядка от распределения.

Поскольку любая функция из L2 (I; H) определяет некоторый линейный ограниченный функционал на D(I; H) по формуле:

то имеют место следующие вложения:

Те элементы пространства D (I; H), которые допускают представление в виде формулы (2.6), будем называть регулярными функциями.

Определение 2.3. Обобщенное решение u(t) задачи (2.4)–(2.5) называется сильным решением, если u L2 (0, T ; H), где производная по t понимается в смысле обобщенных функций.

При рассмотрении сильных решений удобно ввести пространство сильных решений. Определим гильбертово пространство со скалярным произведением где производные по t понимаются в смысле распределений со значениями в L2 (0, T ; H).

Предоставляем читателю показать, что обобщенное решение u является сильным решением тогда и только тогда, когда u W(A).

2.3. Пространства начальных данных Как отмечалось, для существования сильных решений на правые части и начальную функцию необходимо налагать дополнительные условия.

Что касается функции из правой части уравнения (2.4), то необходимым условием существования сильного решения является принадлежность этой функции пространству L2 (0, T ; H). Это условие является естественным и легко проверяемым. С другой стороны, условия на начальную функцию являются довольно сложными (в нетривиальных случаях) и зачастую неконструктивными. Уже в простом случае уравнения теплопроводности из примера 2.1 необходимо накладывать условия на начальную функцию. Для случая параболических дифференциальных уравнений с гладкими коэффициентами в гладких областях (соответственно, допускающих гладкие решения) условия существования сильных решений были получены в работах О.А. Ладыженской, Л.Н. Слободецкого и других авторов.

Пример 2.2 (первая смешанная задача для уравнения теплопроводности).

Продолжим рассмотрение примера 2.1, считая границу области достаточно гладкой либо считая, что область Q является прямоугольником. В этом случае обобщенное решение является сильным, если принадлежит пространству H 2,1 (Q(0, T )). Хорошо известно (см. [12]), что если H 1 (Q), то обобщенное решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности принадлежит H 2,1 (Q (0, T )). Можно показать, что условие H 1 (Q) является и необходимым для существования сильного решения.

Введем определение пространства начальных данных.

Определение 2.4. Пространством начальных данных для задачи (2.4)– (2.5) называется множество:

(A) = { H : существует сильное решение задачи (2.4)–(2.5)}.

Определение 2.4 является неконструктивным, однако, применяя методы теории интерполяции, можно дать описание пространств начальных данных в терминах интерполяционных пространств. Для эффективного применения теории интерполяции необходимо использовать аппарат теории аналитических полугрупп. В то же время аналитические полугруппы естественным образом возникают в параболических задачах и являются одним из самых мощных средств исследования параболических задач и особенно абстрактных параболических задач.

Глава Полугруппы операторов в гильбертовом пространстве 3.1. Сильно непрерывные полугруппы Пусть в гильбертовом пространстве H задано однопараметрическое семейство Tt (t 0) ограниченных операторов.

Определение 3.1. Семейство Tt (t 0) называется C0 -полугруппой, или сильно непрерывной полугруппой, или просто полугруппой, если выполнены следующие условия:

2. Функция Tt непрерывна в пространстве H на [0, ) при каждом фиксированном H.

Из определения полугруппы следует оценка нормы полугруппы.

Теорема 3.1. Пусть Tt (t 0) C0 -полугруппа. Тогда существуют такие константы и M 1, что выполнено неравенство:

Доказательство. Положим c1 = sup Tt. Обозначая через [t] целую часть t, имеем для любого t 0. Отсюда следует, что где = ln T1. Следовательно, где M = c1, если Определение 3.2. Точная нижняя грань всех чисел, для которых верно неравенство (3.1), называется порядком роста полугруппы.

Определение 3.3. В случае, когда порядок роста равен нулю, а M = 1, то есть имеет место оценка полугруппа называется сжимающей.

Пусть Tt (t 0) C0 - полугруппа. Введем линейный, вообще говоря, неограниченный оператор G по формуле:

определенный на таких элементах D(G), для которых этот предел существует.

Определение 3.4. Определенный таким образом оператор G называется генератором полугруппы или инфинитезимальным производящим оператором полугруппы Tt (t 0).

Пример 3.1 (случай ограниченного генератора). Пусть B : H H произвольный ограниченный оператор. Тогда можно определить семейство операторов Tt по формуле Этот ряд сходится по норме операторов при всех t 0, так как его члены мажорируются членами разложения в степенной ряд функции e. Непосредственно можно видеть, что определенное таким образом семейство операторов является C0 -полугруппой с оператором B в качестве генератора.

Упражнение 3.1. Найти все непрерывные числовые функции, заданные на [0, ), которые удовлетворяют условию:

для всех x, y 0.

Упражнение 3.2. Рассмотреть все возможные полугруппы в конечномерном пространстве Rn.

Из примера 3.1 видно, что любой ограниченный оператор является генератором C0 -полугруппы. Однако далеко не каждый неограниченный оператор будет генератором.

Теорема 3.2. Генератор C0 -полугруппы имеет плотную в H область определения.

Доказательство. Пусть G генератор полугруппы Tt. Сначала покажем, что для всех > 0 и 0 H элементы вида:

принадлежат D(G). Элементы (3.3) образуют плотное в H множество, так как для любого 0 H:

С другой стороны, имеем откуда Мы показали, что D(G) и Теорема 3.3. Пусть Tt и G соответственно C0 -полугруппа и генератор этой полугруппы. Тогда оператор-функция Tt преобразует область определения D(G) в себя и имеет место равенство:

Доказательство теоремы следует из очевидного равенства:

путем предельного перехода.

Теорема 3.4. Генератор C0 -полугруппы является замкнутым оператором.

Доказательство. Пусть G генератор полугруппы Tt. Возьмем произвольную последовательность {k } D(G) такую, что k и Gk сходятся в H к пределам 0 и y0 соответственно. Из (3.4) следует, что при h > имеем Переходя в этом равенстве к пределу при k (и фиксированном h), получаем Устремим теперь h к нулю. Передел в правой части существует и равен y0, следовательно, 0 D(G) и G0 = y0.

3.3. Спектральные свойства генераторов полугрупп Через R(, G) будем обозначать резольвенту оператора G, то есть для тех C, для которых существует ограниченный оператор (I G)1. Когда это не приводит к путанице, будем сокращать запись: R() = R(, G).

Оказывается, на спектр генераторов полугрупп необходимо налагаются существенные условия. В частности, эти условия связаны с порядком роста полугруппы.

Теорема 3.5. Пусть Tt C0 -полугруппа, а 0 есть ее порядок роста.

Тогда множество { C : Re > 0 } принадлежит резольвентному множеству оператора G. Причем Доказательство. Пусть Re > 0. Тогда существует такое M (), что выполнено неравенство (3.1), поэтому интеграл равномерно и абсолютно сходится и определяет ограниченный оператор.

Поскольку оператор G замкнут, то для доказательства теоремы достаточно доказать, что для любого D(G).

следует, что функция et (I G)Tt интегрируема на [0, ). Далее, в силу замкнутости оператора I G имеем Интегрируя по частям, получаем Из (3.6) следует, что Следствие 3.1. В условиях теоремы 3.5 имеют место следующие формулы:

Доказательство. Формулы (3.7) следуют из того, что все интегралы в (3.7) абсолютно сходятся.

3.4. Теорема Хилле Иосиды и ее обобщения Ранее мы получили ряд необходимых свойств генераторов полугрупп.

Сейчас рассмотрим вопрос о критериях для генераторов C0 -полугрупп.

Теорема 3.6. Замкнутый оператор G, имеющий плотную область определения, является генератором C0 -полугруппы тогда и только тогда, когда существует такое число 0, что все числа, Re 0 являются резольвентными для оператора G, и для этих чисел выполнено неравенство:

где константа c1 > 0 не зависит от k.

Доказательство. Необходимость. Пусть G генератор полугруппы Tt.

Тогда из теоремы 3.5 следует, что если Re > 0, где 0 порядок роста, то принадлежит резольвентному множеству. Поскольку резольвента является аналитической оператор-функцией на резольвентном множестве, то в силу вида коэффициентов ряда Тейлора и формулы (3.7) имеем формулу:

Оценивая отсюда (R())k с помощью оценки (3.1), получаем при любом фиксированном > 0 и Re > :

Достаточность. Пусть оператор G удовлетворяет условиям теоремы.

Построим полугруппу, производящим оператором которой является оператор G.

Введем ограниченные операторы (аппроксимации Иосиды):

где n принимает целые значения, большие, чем 0. Покажем, что операторы Gn на элементах D(G) сходятся к G:

Для этого сначала докажем, что для любого H В случае, когда D(G) имеем Откуда (3.10) следует для D(G). Для других элементов H справедливость (3.10) вытекает из плотности D(G) в H и равномерной ограниченности норм операторов nR(n):

Из (3.10) и соотношения следует (3.9).

Поскольку операторы Gn ограничены, то, используя ряд (3.2) из примера 3.1, определим операторы eGh t. Так как С помощью неравенств (3.8) оцениваем Таким образом, при достаточно больших n имеем где > 0 любое фиксированное число.

Покажем теперь, что последовательность ограниченных операторов eGn t сходится на всем H равномерно относительно t из каждого ограниченного отрезка [0, t0 ]. В силу (3.11) этот факт достаточно установить для элементов из плотного в H множества D(G).

Пусть D(G). Тогда при достаточно больших m и n откуда в силу (3.11) получаем и в силу (3.9) Следовательно, операторы eGn t сходятся к пределу, который обозначим через Tt.

Поскольку оператор-функции eGn t непрерывны и функции eGn t сходятся равномерно по t, то оператор-функция Tt будет также непрерывной. Переходя к пределу в равенстве получим полугрупповое соотношение Tt+s = Tt Ts. Очевидно, T0 = I. Следовательно, Tt является сильно непрерывной полугруппой.

Остается показать, что генератором полугруппы Tt будет оператор G.

Обозначим через G генератор полугруппы Tt. Пусть D(G). Переходя к пределу в равенстве получим соотношение из которого следует, что D(G), причем G = G при D(G). В силу теоремы 3.5 при достаточно большом > 0 образ оператора (I G) совпадает со всем H, а значит, и с образом оператора (I G), что доказывает совпадение операторов G и G.

Непосредственная проверка условия (3.8) затруднительна. Однако существует более сильное и простое условие, из которого следует условие (3.8).

Следствие 3.2. Теорема 3.6 остается верной, если условие (3.8) заменить условием В случае, когда и 0 = 0, это следствие носит название теоремы Хилле Иосиды. Приведем полную формулировку.

Теорема 3.7 (Хилле Иосида). Замкнутый оператор G, имеющий плотную область определения, является генератором сжимающей C0 -полугруппы тогда и только тогда, когда все числа > 0 являются резольвентными для оператора G, и для этих чисел выполнено неравенство:

Доказательство. Остается доказать, что получаемая полугруппа будет сжимающей. Действительно, из неравенства (3.11) вытекает, что откуда, переходя к пределу при n, получаем При рассмотрении сильных решений неоднородных параболических задач возникают аналитические полугруппы.

Определение 3.5. Сильно непрерывная полугруппа Tt называется аналитической, если она может быть аналитически продолжена в некоторый сектор:

неравенство Теорема 3.8. Определения 3.5 и 3.6 эквивалентны.

Поскольку мы не будем пользоваться теоремой 3.8, то за доказательством мы отсылаем читателя к [4, глава 9, раздел 10].

Покажем, что аналитические полугруппы необходимо возникают при рассмотрении сильных решений параболических задач. Пусть G генератор C0 -полугруппы Tt. Рассмотрим задачу:

Сильное решение задачи (3.16)–(3.17) понимаем в смысле определения 2.3.

Теорема 3.9. Пусть для любого f C([0, 1]; H) задача (3.16)–(3.17) имеет сильное решение u такое, что тогда полугруппа Tt является аналитической полугруппой.

Доказательство. Возьмем произвольное D(G) и сконструируем функцию v(t) = tTt. Легко проверить, что v является сильным решением задачи (3.16)–(3.17) с f (t) = Tt. В силу неравенств (3.18) и (3.1) следует Отсюда, учитывая плотность области определения G в H, получаем для t > 0 оценку Из (3.19) следует, что для любого H и t > 0 имеем Tt D(G).

Покажем, что Действительно, учитывая замкнутость оператора G, получаем Повторяя эти рассуждения, получаем (3.20).

Следовательно, оператор-функция Tt, дифференцируемая при t > 0, и имеют место оценки для производных Из этих оценок следует, что существует такая константа c2, что при |tt0 | < c2 t0 ряд Тейлора сходится. А это означает, что Tt может быть аналитически продолжена в сектор при определенном > 0.

Замечание 3.1. Можно показать, что условие (3.19) является не только достаточным для аналитичности полугруппы, но и необходимым.

Из теоремы 3.9 следует следующая важная теорема.

Теорема 3.10. Пусть Tt есть аналитическая полугруппа в пространстве H, а оператор G является ее генератором, тогда для любого t0 > оператор является ограниченным.

Замечание 3.2. Теорема 3.10 не верна для для C0 -полугрупп.

Упражнение 3.3. Привести пример C0 -полугруппы, для которой (3.22) не верно.

Глава Теория интерполяции гильбертовых пространств 4.1. Вспомогательные утверждения Пусть X и Y сепарабельные гильбертовы пространства. Предположим, что вложение X Y плотное и непрерывное. Для целого m введем гильбертово пространство:

со скалярным произведением где u(m) производная порядка m в смысле теории распределений. Покажем, что пространство W m (I; X, Y ) действительно полно относительно нормы, порожденной скалярным произведением (4.1). Пусть uk фундаментальная последовательность в W m (I; X, Y ). Тогда в силу полноты пространства L2 (I; X) последовательность сходится к u L2 (I; X), соm) ответственно последовательность производных uk сходится к функции v L2 (I; Y ). Поскольку операция m непрерывна в пространстве распреdt делений D (I; X), то имеет место равенство v = u(m).

Методами, применяемыми в теории пространств Соболева, можно доказать теоремы о плотности пространства D(I; X) в W m (I; X, Y ) и о продолжении функций из пространства W m (I; X, Y ) на все R.

4.2. Определение интерполяционных пространств Определим в пространстве Y замкнутую, симметричную, положительную форму t[u, v] = (u, v)X , D(t) = X. Пусть T ассоциированный с ней самосопряженный положительный оператор. Тогда оператор = T 1/ есть также положительный оператор в Y, и в силу теоремы 2.23 [5, глава 6] область определения D() = D(t) = X, причем t[u, v] = (u, v)Y.

определена для положительного оператора. Пространство [X; Y ] есть гильбертово пространство со скалярным произведением:

Введем понятие непрерывных прямых сумм гильбертовых пространств (см. [2]). Пусть D некоторое множество, на котором задана положительная мера µ. Пусть каждой точке этого множества сопоставлено сепарабельное гильбертово пространство h() размерности n(), где n() может принимать значения 1, 2,... или значение, причем функция n() измерима по мере µ. Разобьем множество D на измеримые подмножества D1, D2,..., Dn,..., в каждом из которых имеет место равенство n() = n.

Для Dn отождествим пространства h() с одним и тем же гильбертовым пространством hn размерности n. Построим пространство Hn, состоящее из таких вектор-функций f () на множестве Dn, принимающих значения в пространстве hn, что:

1) для любого элемента g hn числовая функция (f (), g)hn измерима по мере µ, 2) числовая функция f () имеет интегрируемый квадрат по мере µ Определим в пространстве Hn линейные операции и введем скалярное произведение, положив Можно показать, что Hn является гильбертовым пространством (см. [2]).

Обозначим теперь через H ортогональную прямую сумму гильбертовых пространств H1,..., Hn,...:

Это гильбертово пространство и будем называть непрерывной прямой суммой пространств h() относительно меры µ и обозначать В силу теоремы 4 [2, глава 1, раздел 4] о спектральном разложении самосопряженных операторов в гильбертовых пространствах существует такая положительная мера µ на вещественной оси и такое изометрическое вложение U пространства H в непрерывную прямую сумму H гильбертовых пространств относительно меры µ, что оператору соответствует при этом оператор умножения на. Поскольку оператор является положительно определенным, то существует 0 > 0 такое, что µ(, 0 ) = 0.

Поэтому для любого s R введем гильбертово пространство Hs = {v H : s v H} со скалярным произведением:

При этом пространство X = D() отобразится на гильбертово пространство H1 = {v H : v H}. Причем для любой u D(). С другой стороны, [X; Y ] = D(1 ) отобразится на гильбертово пространство H1 = {v H : 1 v H}.

Начнем с теоремы, называемой теоремой о промежуточных производных.

Теорема 4.1. Пусть u W m (I; X, Y ). Тогда Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда I = R. В этом случае можно дать другое (эквивалентное) определение пространства W m (R; X, Y ).

Для функций из L2 (R; H) определим преобразование Фурье формулой:

Тогда u W m (R; X, Y ) эквивалентно тому, что F [u] L2 (R; X) и Покажем, что Для u L2 (R; Y ) определим U u равенством (U u)(t) = U (u(t)) почти всюду. Тогда U будет изоморфизм L2 (R; [X; Y ] ) на L2 (R; H1 ). Положим v(, ) = U (F [u]).

Поэтому (4.2) эквивалентно требованию:

Используя неравенство Гельдера, получаем оценку:

где p выбираем таким образом, что (1 k/m)p = 1 (тогда kp = m). Из последнего неравенства следует оценка Следовательно, мы можем оценить В силу того, что u W m (R; X, Y ), имеем ( + ||m )v(, ) L2 (R; H), поэтому из последнего неравенства следует (4.3).

В случае, когда I = R, нужно воспользоваться теоремой о продолжении Теорема 4.1 устанавливает суммируемость в квадрате производных функций из W m (I; X, Y ). Однако, как показывает следующая теорема, в более широком пространстве производные непрерывны.

Теорема 4.2. Пусть u W m (I; X, Y ). Тогда Возможно, после изменения функции u(k) на множестве меры нуль.

Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 4.1, без ограничения общности можно считать, что I = R.

Возьмем произвольную u D(R; X). Вновь положим v(, ) = U (F [u]).

поскольку, делая замену = 1/m, имеем Следовательно, z L1 (R). Поскольку функция, образ Фурье который принадлежит пространству L1 (R), непрерывна (см., например, теорему 7.5 [14, глава 7]), то имеем В силу того, что D(R; X) плотно в W m (R; X, Y ), последнее неравенство имеет место и для u W m (R; X, Y ) С теоремой 4.2 тесно связана следующая важная теорема о следах.

W m (0, ; X, Y ), восстанавливающее по произвольному набору {ak }m1, ak [X; Y ](k+1/2)/m функцию u W m (0, ; X, Y ) такую, что u(k) (0) = ak, Доказательство. Сначала покажем, что для любого a H1(k+1/2)/m существует функция w W m (0, ; H1, H) такая, что w(k) (0) = a и имеет место неравенство:

Возьмем функцию D([0, ), R) такую, что (k) (0) = 1. Построим функцию w по формуле:

Так как функция финитная и бесконечно дифференцируемая, то функция w принадлежит пространству W m (0, ; H1, H). Поскольку, w(k) = a()(k) (1/m t), то w(k) (0) = a. Покажем, что верно (4.4). Действительно, Функция u(t) = U 1 (w(t)) принадлежит пространству W m (0, ; X, Y ) и удовлетворяет условию u(m) (0) = U 1 a [X, Y ](k+1/2)/m.

Построим функцию Vk W m (0, ; X, Y ) такую, что Vk (0) = 0 при uk (0) = ak. Положим где константы cr определяются из условий:

Условия (4.5) действительно определяют константы cr, поскольку определитель Вандермонда в системе (4.5) не равен нулю.

Функция V = ak. И можно положить V = R{ak }m1 ограниченность отображения R обеспечивается неравенствами (4.4).

Замечание 4.1. В теореме 4.3 предположение I = (0, ) является несущественным. Утверждение и доказательство остаются в силе для любого I и любой точки t0 I, в которой определяются следы.

Как уже отмечалось, пространство W m (R; X, Y ) допускает эквивалентное определение через преобразование Фурье. При таком определении условие, что m является целым, не является существенным, и сейчас дадим определение пространства W s (R; X, Y ) для любого вещественного s > 0.

Для целых s пространства W s (R; X, Y ) совпадают с W m (R; X, Y ), s = m.

Определим W s (R; X, Y ) = {u L2 (R; X) : ||s F [u] L2 (R, Y )}. Введем в W s (R; X, Y ) скалярное произведение:

(u, v)W s (R;X,Y ) = (u, v)L2 (R;X) + (||s F [u], ||s F [v])L2 (R;Y ).

Доказанные теоремы 4.1, 4.2 и 4.3 допускают обобщение на пространства W s (R; X, Y ).

Пространства следов допускают другое определение с использованием фактор-нормы.

Теорема 4.4. Пространство [X, Y ] может быть определено как пространство следов u(0) функций из W s (R; X, Y ), где s = с эквивалентной нормой следующим образом:

для любого a [X, Y ].

Доказательство. Возможность определения через пространства следов следует из теорем 4.2 и 4.3. Покажем эквивалентность норм. В самом деле, пространство [X, Y ], снабженное нормой (4.6), есть фактор-пространство гильбертова пространства W s (R; X, Y ) по замкнутому подпространству таких функций v(t), для которых v(0) = 0, и, следовательно, снова гильбертово пространство. Поскольку операция взятия следа является непрерывным отображением W s (R; X, Y ) [X, Y ], то Обратное неравенство следует из ограниченности оператора поднятия R.

Наряду с парой пространств {X, Y }, рассмотрим аналогичную пару {X1, Y1 } сепарабельных гильбертовых пространств. Аналогично предположим, что вложение X1 Y1 плотное и непрерывное.

Имеет место следующая основная в теории интерполяции теорема.

Теорема 4.5. Пусть T линейный оператор, удовлетворяющий условиям:

Тогда для всех (0, 1).

Доказательство. Возьмем произвольное a [X, Y ], тогда согласно теореме 4.4 положим s =, тогда существует такая функция u W s (R; X, Y ), что u(0) = a. Введем функцию v(t) = T u(t), при почти всех t. В силу свойств оператора T имеем Тогда имеют место оценки:

Следовательно, v W s (R; X1, Y1 ) и Тогда v(0) [X1, Y1 ] и v(0) = T a, и имеет место оценка откуда, используя (4.7), получаем Отсюда, учитывая теорему 4.4, следует утверждение теоремы.

Упражнение 4.1. Рассмотреть пример теоремы 4.5 для дифференциального оператора в шкале гильбертовых пространств.

4.5. Повторная интерполяция и двойственность Пусть 1, 2 (0, 1) такие, что 1 < 2. Из определения интерполяционных пространств следует вложение:

Теорема 4.6. Вложение (4.8) является плотным.

Доказательство. Для доказательства будем использовать изоморфизм U, определенный в разделе 4.2. Мы видим, что U есть изоморфизм пространств [X; Y ] и H1. При этом H11 плотно в H12.

В силу теоремы 4.6 к паре пространств {[X, Y ]1, [X, Y ]2 } можно снова применить теорию интерполяции.

Теорема 4.7. Для любого (0, 1) имеет место Доказательство. Утверждение теоремы эквивалентно равенству С другой стороны, пространство H11 есть область определения оператора умножения на 2 1 в пространстве H12. Следовательно, пространство [H11, H12 ] есть область определения оператора умножения на (1)(2 1 ) в пространстве H12. Таким образом, [H11, H12 ] совпадает со всеми v H такими, что 1 ((1)(2 1 ) v) H, что и означает (4.9).

Теорема 4.8. Для любого (0, 1) справедливо равенство Доказательство. При доказательстве вновь используем изоморфизм U.

Гильбертовы пространства Y и Y мы можем отождествить, соответственно отождествим H и H = H0. Поскольку U есть изоморфизм из X на H1, а также из [X; Y ] на H1, то свойство (4.10) эквивалентно равенству H1 = [H, H1 ]1, которое само является следствием определения пространств [X, Y ], поскольку H может быть описано как область определения оператора умножения на в пространстве H1.

Глава Разрешимость параболических задач 5.1. Единственность сильных решений В постановке задачи (2.4)–(2.5) участвует оператор A. Чтобы воспользоваться теорией полугрупп для исследования разрешимости этой задачи, докажем следующую теорему.

Теорема 5.1. Пусть оператор A является V -коэрцитивным. Тогда оператор A является генератором аналитической полугруппы.

Доказательство. Так как оператор A является секториальным, то мы можем применить теорему 3.2 [5, глава 5] и получить выполнение условия определения 3.6.

Замечание 5.1. В силу (2.2) спектр оператора A лежит в левой полуплоскости, и мнимая ось принадлежит резольвентному множеству.

Чтобы показать единственность сильных решений задачи (2.4)–(2.5), получим формулу для решений в терминах теории полугрупп.

Теорема 5.2. Пусть оператор A является генератором аналитической полугруппы Tt (t 0), и пусть u(t) сильное решение задачи (2.4)–(2.5), тогда имеет место формула:

Интегрируя это равенство по s от 0 до t, получаем Отсюда в силу замкнутости оператора A и соотношения (3.4) получаем (5.1) Теорема 5.3. При выполнении условий теоремы 5.2 задача (2.4)–(2.5) может иметь не более одного сильного решения.

Доказательство теоремы следует из формулы (5.1).

Заметим еще раз, что теорема не утверждает существования сильного решения.

В этом разделе будем рассматривать неоднородную задачу (2.4)–(2.5) в случае нулевых начальных условиях (2.5).

Теорема 5.4. Пусть оператор A является V -коэрцитивным оператором. Тогда для любого f L2 (0, T ; H) и = 0 задача (2.4)–(2.5) имеет сильное решение.

Доказательство. Продолжим функцию f нулем на R. Это продолжение Через K обозначим интегральный оператор с ядром K(t). Покажем, что оператор B : L2 (R, H) L2 (R, H), определенный по формуле:

ограничен. Используя преобразование Фурье, имеем В силу теоремы 3.5 и замечания 5.1 имеем В силу равенства Парсеваля получаем Здесь использовано соотношение A(iI A)1 = i(iI A)1 I и оценка (3.15).

Покажем теперь, что является сильным решением задачи (2.4)–(2.5). Достаточно убедиться, что u W(A). Действительно, имеем В силу ограниченности оператора B и замкнутости оператора A получаем, что u, Au L2 (0, T ; H).

Упражнение 5.1. Привести конкретную реализацию оператора B для конечномерного случая.

5.3. Уравнения с начальными условиями С помощью теории полугрупп легко получить разрешимость однородных параболических задач по формуле (3.4). Однако применение этой формулы накладывает излишние условия на начальную функцию. Использование теории интерполяции позволяет получить точные условия на начальную функцию, гарантирующие сильную разрешимость. Используя теоремы о следах 4.3 сведем однородное уравнение к неоднородному уравнению с нулевыми начальными условиями.

Теорема 5.5. Пусть оператор A является V -коэрцитивным оператором, тогда для любого f L2 (0, T ; H) задача (2.4)–(2.5) имеет единственное сильное решение тогда и только тогда, когда [H, D(A)]1/2.

Доказательство. Предположим, что начальная функция принадлежит интерполяционному пространству [D(A), H]1/2. Покажем, что задача (2.4)– (2.5) имеет сильное решение. Действительно, в силу теоремы 4.3 существует такая функция v W(A), что u(0) =. Рассмотрим следующую задачу для функции w:

где F (t) = f (t) v Av(t). Поскольку F L2 (0, T ; H), то к задаче (5.2)– (5.3) применима теорема 5.4, и существует функция w W(A), являющаяся сильным решением задачи (5.2)–(5.3). Следовательно, функция u = w+v является сильным решением задачи (2.4)–(2.5).

Пусть теперь функция u W(A) есть сильное решение задачи (2.4)– (2.5), тогда = u(0) принадлежит интерполяционному пространству [D(A), H]1/2 в силу теоремы 4.2.

Теорема 5.5 имеет существенный недостаток в большинстве приложений, поскольку условие [D(A); H]1/2 является неконструктивным. Действительно, описание интерполяционных пространств, за исключением редких случаев, задача очень трудная. Кроме того, во многих случаях мы не имеем конструктивного описания области определения D(A). Подобная ситуация особенно характерна в теории функционально-дифференциальных уравнений.

5.4. Конструктивное описание пространств Рассмотрим в H форму a, сопряженную к форме a. Форма a определяется по формуле a[u, v] = A u, v, где оператор A сопряженный к A оператор. В силу теоремы 2.5 [5, глава 6] форма a порождает оператор A, сопряженный к оператору A. Область определения D(A ) будем рассматривать как гильбертово пространство со скалярным произведением, аналогичным (2.3).

Теорема 5.6. Пусть оператор A является V -коэрцитивным. Предположим, что имеют место непрерывные вложения V [D(A); H]1/2 и V [D(A ); H]1/2.

Тогда V = [D(A); H]1/2 = [D(A ); H]1/2.

Доказательство. Для произвольного u H форма (Aw, u)H определяет линейный непрерывный функционал f на D(A) по формуле w, f = (Aw, u)H. Действительно, Функционал f можно представить в виде f = A0 u, где оператор A0 ограничен как оператор Покажем, что A A0, т.е. A0 u = A u для u D(A ). Пусть u D(A ) и w D(A). Обозначим A0 u = f1 и A u = f2. Тогда В силу произвольности w D(A) имеем A u = A0 u в (D(A)), но A u H и H (D(A )), следовательно, A u = A0 u H для u D(A ). Поскольку оператор A ограниченно отображает D(A ) в H, то и оператор A0 ограничен как оператор Из (5.4) и (5.5) в силу интерполяционной теоремы 4.5 оператор A0 ограничен как оператор Однако согласно теореме 4.8 о двойственности справедливо равенство Поэтому ограничен оператор Покажем, что A0 u = A u, если u V. Возьмем u V и w D(A). Пусть A0 u = f1 и A u = f2. Тогда В силу произвольности w D(A) получаем равенство A u = A0 u в (D(A)), но A u V и V (D(A)). Следовательно, A u = A0 u V.

Возьмем произвольное f V. Тогда u = (A )1 f V и где c1 > 0 от f не зависит. По предположению теоремы u [D(A ); H]1/2 и где c2 > 0 от f не зависит.

В силу (5.6) получаем A0 u = f ([D(A); H]1/2 ). Учитывая (5.7), (5.8), получаем В силу произвольности f V получаем, что V ([D(A); H]1/2 ). Переходя к сопряженным пространствам, получаем, что [D(A); H]1/2 V. Вместе с предположением теоремы это означает, что V = [D(A); H]1/2 с точностью до эквивалентности норм.

Равенство V = [D(A ); H]1/2 устанавливается аналогично.

Глава Приближенные методы В настоящей главе рассматривается первая смешанная задача для параболического дифференциально-разностного уравнения со сдвигами по пространственным переменным, содержащего ограниченную нелинейность.

Доказано существование и единственность решений этой задачи, а также обоснован метод построения приближенных решений. Именно такие задачи возникают в приложениях нелинейной оптики.

ются открытыми и связными в топологии Q. Пусть в окрестности каждой точки g Q\ Mi область Q диффеоморфна n-мерному двугранному углу, если n 3, и плоскому углу, если n = 2.

Будем обозначать через H k (Q) пространство Соболева комплекснозначных функций из L2 (Q), имеющих все обобщенные производные вплоть до k-го порядка из L2 (Q), с нормой Через H k (Q) обозначим замыкание множества финитных бесконечно дифференцируемых функций C (Q)(Q) в H k (Q), а через H 1 (Q) обозначим пространство, сопряженное к H 1 (Q).

Введем ограниченный дифференциально-разностный оператор AR : H 1 (Q)(Q) H 1 (Q) по формуле:

Здесь RijQ = PQ Rij IQ, RiQ = PQ Ri IQ, M Rn конечное множество векторов с целочисленными координатами, функции из L2 (Rn ) на Q.

Определение 6.1. Оператор AR будем называть сильно эллиптическим, если существует константа c1 > 0 такая, что для всех u C (Q)(Q) Необходимые и достаточные условия сильной эллиптичности в алгебраической форме будут сформулированы в конце этого параграфа.

Будем рассматривать дифференциально-разностное уравнение с краевым условием и начальным условием Всюду в дальнейшем будем предполагать, что оператор AR сильно эллиптический.

Для того чтобы сформулировать условия сильной эллиптичности оператора AR, введем некоторые вспомогательные обозначения. Обозначим через G аддитивную абелеву группу, порожденную множеством M, а через Определение 6.2. Множества Qr будем называть подобластями, а совокупность R всевозможных подобластей Qr разбиением множества Q.

Разбиение R естественным образом распадается на непересекающиеся классы : будем считать, что подобласти Qr1, Qr2 R принадлежат одному классу, если существует h G такое, что Qr2 = Qr1 + h. Обозначим подобласти Qr через Qsl, где s номер класса (s = 1, 2,...), а l порядковый номер подобласти в s-ом классе. В силу ограниченности области Q каждый класс состоит из конечного числа N = N (s) подобластей Qsl и N (s) Для того чтобы сформулировать необходимые условия сильной эллиптичности в алгебраической форме, введем матрицы Rijs (x) (x Qs1 ) порядка N (s) N (s) с элементами:

В силу теоремы 9.1, [23], если оператор AR сильно эллиптический, то положительно определены.

Пусть теперь x Qs1 произвольная точка. Рассмотрим все точки xl Q такие, что xl x G. Поскольку область Q ограниченная, множество {xl } состоит из конечного числа точек I = I(s, x) (I N (s)).

Перенумеруем точки xl так, что xl = x + hsl для l = 1,..., N = N (s), x1 = x, где hsl удовлетворяет условию Qsl = Qs1 + hsl. Введем матрицы Aijs (x) порядка I I с элементами aijs (x) по формуле:

В силу теоремы 9.2, [23], если для всех s = 1, 2,..., x Qs1 и 0 = Rn матрицы положительно определены, то оператор AR сильно эллиптический.

Очевидно, если I = N, то матрица Rijs (x) равна матрице Aijs (x). Если N < I, то матрица Rijs (x) получается из матрицы Aijs вычеркиванием последних I N строк и столбцов.

Определим решение задачи (6.2)–(6.4).

Определение 6.3. Будем называть функцию u L2 (0, T ; H 1 (Q)(Q)) обобщенным решением задачи (6.2)–(6.4), если для любой функции v {H(QT ) :

v|T = 0, v|t=T = 0} выполнено интегральное тождество:

Введем неограниченный оператор AR : D(AR ) L2 (Q) L2 (Q), действующий в пространстве распределений D (Q) по формуле: AR u = AR u (u D(AR ) = {u H 1 (Q)(Q) : AR u L2 (Q)}).

Определение 6.4. Обобщенное решение задачи (6.2)–(6.4) u будем называть классическим операторным решением, если u C([0, T ]; L2 (Q)) C 1 ((0, T ); L2 (Q)), u D(AR ) для всех 0 < t < T.

Для доказательства существования и единственности воспользуемся методами теории полугрупп. Приведем соответствующие определения.

Теорема 6.1. Пусть оператор AR сильно эллиптический, f C 1 (R1 ), |f (y)| M, |f (y)| M, 0 < M <, D(AR ). Тогда задача (6.2)–(6.4) имеет единственное классическое операторное решение.

Доказательство. В силу теоремы 3.2 из [15] оператор AR является генератором аналитической полугруппы. Следовательно, по теореме 1.5 гл.6 [22] задача (6.2)–(6.4) имеет единственное классическое операторное решение.

Введем полуторалинейную форму в пространстве H 1 (Q) :

В силу сильной эллиптичности оператора AR для формы a выполнено неравенство:

для любой u H 1 (Q)(Q).

Пусть u классическое операторное решение задачи (6.2)–(6.4). Тогда u удовлетворяет задаче:

для любой v H 1 (Q).

В пространстве H 1 (Q) выберем базис k. Множество линейных комN бинаций Приближенное решение будем искать в виде:

где коэффициенты k определяются из задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

Задачу Коши (6.10)–(6.11) можно переписать в матричном виде:

где Поскольку k являются базисом, матрица B невырождена. А в силу предположения относительно f правая часть уравнения (6.12) ограничена. Следовательно, задача Коши (6.12)–(6.13) имеет единственное решение при t [0, T ].

Получим априорную оценку для приближенного решения uN (x, t). Для этого умножим каждое уравнение (6.10) на i (t) и сложим результаты по i = 1,..., N. Получим Интегрируя по t, имеем Используя неравенство (6.7) и неравенство Гельдера, получаем Из последнего соотношения в силу неравенства получаем Таким образом, имеем следующую априорную оценку:

В силу (6.16) из последовательности {uN } можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся к u слабо в L2 (0, T ; H 1 (Q)).

Замечание 6.1. В дальнейшем покажем, что u есть единственное решение задачи (6.2)–(6.4), следовательно, и сама uN будет сходиться к u.

В силу (6.14) для любой функции v {H 1 (Q)(Q), v|T = 0, v|t=T = 0} верно следующее равенство:

Покажем, что в (6.17) можно перейти к пределу при N. В силу слабой сходимости в L2 (0, T ; H 1 (Q)) последовательности uN к u, нетривиальным является предельный переход только в нелинейном члене. В силу предположений относительно функции f имеем Поэтому из {f (uN )} можно извлечь подпоследовательность, слабо сходящуюся в L2 (QT ). Без ограничения общности можно считать, что и сама f (uN ) слабо сходится к f (u).

Переходя к пределу в (6.10) при N, получаем, что uN сходится к обобщенному решению задачи (6.2)–(6.4) слабо в L2 (0, T ; H 1 (Q)).

Пример 6.1. Пусть Q = (0, 2) (0, 1). Рассмотрим дифференциальноразностный оператор:

где, R. Предположим, что выполнено соотношение | + | < 2, тогда оператор AR будет сильно эллиптическим. Рассмотрим задачу:

Поскольку начальная функция u|t=0 принадлежит пространству H 2 (Q), следовательно, согласно лемме 3.2 [24] принадлежит и D(AR ). Таким образом, для рассматриваемого примера существует классическое операторное решение, и приближенные решения получаемые по методу, предложенному в настоящей работе, сходятся к обобщенному решению.

Упражнение 6.1. Реализовать предложенную процедуру для получения численных решений задачи (6.2)–(6.4) на ЭВМ.

Упражнение 6.2. Используя программу, разработанную в упражнении 6.1, получить приближенные решения для примера 6.1 и оценить погрешность.

Глава Функциональнодифференциальные уравнения Первым примером рассмотрим простейшее уравнение уравнение теплопроводности.

Нам понадобится одна лемма о вложении интерполяционных пространств.

Рассмотрим гильбертово пространство H2, относительного которого будем предполагать, что вложение H2 H плотно и непрерывно.

Лемма 7.1. Предположим, что пространство H2 непрерывно вложено в пространство H1. Тогда имеет место непрерывное вложение [H2, H]1/ [H1 ; H]1/2.

Доказательство. Для любых t > 0 и H определим функционал В силу теоремы 15.1 [10, глава 1] имеет место равенство:

В силу вложения H2 H1 имеет место оценка функции K(t, ; H1, H) при t> Поэтому, если t1 K(t, ; H2, H) L2 (0, ), то и t1 K(t, ; H1, H) L2 (0, ).

Следовательно, [H2, H]1/2 [H1 ; H]1/2.

Рассмотрим в качестве примера уравнение теплопроводности. Необходимые и достаточные условия сильной разрешимости первой смешанной задачи для такого уравнения изучались в работах [8, 9, 16].

Пусть Q Rn ограниченная область с гладкой границей. Через QT обозначим ограниченный цилиндр QT = Q (0, T ). Мы будем обознаk чать через W2 (Q) пространство Соболева комплекснозначных функций из L2 (Q), имеющих все обобщенные производные вплоть до k-го порядка из L2 (Q) с нормой Через W2 (Q) обозначим замыкание множества финитных бесконечно дифk ференцируемых функций C (Q) в W2 (Q), а через W2 (Q) обозначим проk странство, сопряженное к W2 (Q).

Рассмотрим первую смешанную задачу для уравнения теплопроводности:

с краевым условием и начальным условием В качестве пространства H возьмем пространство L2 (Q), за пространство V примем пространство W2 (Q), соответственно V = W2 (Q). Оператор A : W2 (Q) W2 (Q) определим по формуле Au = u, где производные понимаются в смысле обобщенные производных.

Оператор A будет W2 (Q)-коэрцитивным. Действительно, для любой u C (Q) имеет место Задачу (7.1)–(7.3) можно переформулировать, как задачу (2.4), (2.5).

Очевидно, W2 (Q) непрерывно вложено в D(A), где A неограниченный оператор, построенный по оператору A. В силу теоремы 11.6 [10, глава 1] имеет место равенство:

Следовательно, согласно лемме 7.1 имеем W2 (Q) [D(A); L2 (Q)]1/2, и это вложение непрерывно. В силу теоремы 5.5 имеем следующий результат. Задача (7.1)–(7.3) имеет единственное сильное решение тогда и только тогда, когда W2 (Q).

Аналогично можно исследовать первую краевую задачу и для параболического уравнения с сильно эллиптическим оператором 2m-го порядка.

Упражнение 7.1. Получить аналогичные результаты для параболического уравнения бигармоническим оператором в качестве эллиптической части.

7.2. Операторно-дифференциальные уравнения Рассмотрим применение теоремы 5.5 для параболических функционально-дифференциальных уравнений. Как уже отмечалось, такие уравнения обладают рядом принципиально новых свойств, например, гладкость сильных решений может нарушаться внутри цилиндрической области. Тем не менее оказывается, что необходимое и достаточное условие сильной разрешимости для параболических функционально-дифференциальных уравнений совпадает с критерием сильной разрешимости уравнения теплопроводности.

Рассмотрим ограниченный оператор AB : W2 (Q) W2 (Q), действующий по формуле AB u = div(B u), где B : Ln (Q) Ln (Q) ограниченn n W2 (Q) = W2 (Q). Относительно оператора B будем предполагать, что выполнены следующие условия.

Условие 7.1. Оператор B ограниченно отображает пространство W2 (Q) в пространство W2 (Q).

Условие 7.2. Оператор AB является W2 (Q)-коэрцитивным.

Через AB обозначим неограниченный оператор, построенный по оператору AB.

Рассмотрим первую смешанную задачу для параболического операторно-дифференциального уравнения:

с краевым условием и начальным условием Задачу (7.5)–(7.7) можно рассматривать, как задачу (2.4), (2.5).

Заметим, что из выполнения условия 7.2 для оператора B следует выполнение условия 7.2 и для оператора B. Сопряженным к оператору AB будет оператор AB. Действительно, для любых u, v C (Q) Так как C (Q) всюду плотно в W2 (Q), тождества (7.8) справедливы для любых u D(AB ), v D(AB ). Следовательно, AB (AB ) и AB (AB ). Однако в силу W2 (Q)-коэрцитивности операторов AB и AB, (AB ) (AB ), то по лемме 13 [3, глава 14, раздел 6] о сопряженных операторах (AB ) = AB.

Поскольку оператор B ограниченно отображает W2 (Q) в W2 (Q), имеет место непрерывное вложение W2 (Q) D(AB ). Соответственно W2 (Q) непрерывно вложено в D(AB ). В силу леммы 7.1 имеют место непрерывные вложения W2 (Q) [D(AB ); L2 (Q)]1/2 и W2 (Q) [D(AB ); L2 (Q)]1/2.

Таким образом, для задачи (7.5)–(7.7) выполнены условия теоремы 5.5, и мы имеем следующий результат.

Теорема 7.1. Пусть оператор B удовлетворяет условиям 7.1 и 7.2, а оператор B удовлетворяет условию 7.1.

Тогда для любого f L2 (Q(0, T )) задача (7.5)–(7.7) имеет единственное сильное решение тогда и только тогда, когда W2 (Q).

7.3. Дифференциально-разностные уравнения Приведем примеры операторов B, для которых выполнены условия 7. и 7.2. Покажем, что для важных классов функционально-дифференциальных уравнений применима теорема 7.1.

Сделаем дополнительные предположения относительно области Q. Пусть ются открытыми и связными в топологии Q. Пусть в окрестности каждой точки g Q\ Mi область Q диффеоморфна n-мерному двугранному угi лу, если n 3, и плоскому углу, если n = 2.

Введем ограниченные разностные операторы Rij : L2 (Rn ) L2 (Rn ) и RijQ : L2 (Q) L2 (Q) по формулам:

функций из L2 (Rn ) на Q.

В качестве оператора B возьмем оператор R : Ln (Q) Ln (Q), введенный по формуле:

Будем рассматривать дифференциально-разностный оператор AR по формуле:

Соответственно введем неограниченный оператор AR : D(AR ) L2 (Q) L2 (Q).

Для того чтобы сформулировать условия W2 (Q)-коэрцитивности оператора AR, следуя [23], введем некоторые вспомогательные обозначения. Обозначим через G аддитивную абелеву группу, порожденную множеством M, Определение 7.1. Множества Qr будем называть подобластями, а совокупность R всевозможных подобластей Qr разбиением множества Q.

Разбиение R естественным образом распадается на непересекающиеся классы: будем считать, что подобласти Qr1, Qr2 R принадлежат одному классу, если существует h G такое, что Qr2 = Qr1 + h. Обозначим подобласти Qr через Qsl, где s номер класса (s = 1, 2,...), а l порядковый номер подобласти в s-ом классе. В силу ограниченности области Q каждый класс состоит из конечного числа N = N (s) подобластей Qsl и N (s) Для того чтобы сформулировать необходимые условия W2 (Q)-коэрцитивности в алгебраической форме, введем матрицы Rijs (x) (x Qs1 ) порядка N (s) N (s) с элементами:

В силу теоремы 9.1 [23, глава 2], если оператор AR является W2 (Q)коэрцитивным, то для всех s = 1, 2,..., x Qs1 и 0 = Rn матрицы положительно определены.

Пусть теперь x Qs1 произвольная точка. Рассмотрим все точки xl Q такие, что xl x G. Поскольку область Q ограниченная, множество {xl } состоит из конечного числа точек I = I(s, x) (I N (s)).

Перенумеруем точки xl так, что xl = x + hsl для l = 1,..., N = N (s), x1 = x, где hsl удовлетворяет условию Qsl = Qs1 + hsl.

Введем матрицы Aijs (x) порядка I I с элементами aijs (x) по формуле:

В силу теоремы 9.2 [23, глава 2], если для всех s = 1, 2,..., x Qs1 и 0 = Rn матрицы положительно определены, то оператор AR является W2 (Q)-коэрцитивным.

Очевидно, если I = N, то матрица Rijs (x) равна матрице Aijs (x). Если N < I, то матрица Rijs (x) получается из матрицы Aijs вычеркиванием последних I N строк и столбцов.

Рассмотрим параболическое дифференциально-разностное уравнение:

с краевым условием и начальным условием Теорема 7.2. Пусть выполнено условие W2 (Q)-коэрцитивности для оператора AR.

Тогда задача (7.9)–(7.11) имеет единственное сильное решение тогда и только тогда, когда W2 (Q).

Доказательство. Покажем, что оператор R удовлетворяет условиям 7.1 и 7.2. Действительно, в силу леммы 8.13 [23, глава 2] оператор R непрерывно отображает W2 (Q) в W2 (Q). А по условию теоремы оператор AR является W2 (Q)-коэрцитивным. Аналогично R удовлетворяет условию 7.1.

Таким образом, к задаче (7.9)–(7.11) применима теорема 7.1:

Пример 7.1. Рассмотрим задачу (7.9)–(7.11), предполагая, что Q = (0, 4 ) (0, 4 ), RQ = PQ RIQ, Ru(x) = u(x)+au(x1 +1, x2 +1)+au(x1 1, x2 1), 0 < a < 1.

Очевидно, разбиение R области Q состоит из двух классов подобластей:

2. Q21 = Q \ (Q11 Q12 ).

Введем множество K Q, состоящее из из четырех точек:

Матрицы As (x) (x Qs1, s = 1, 2) имеют вид:

Таким образом, матрицы As (x)(1 + 2 ) (x Qs1 ; s = 1, 2) положительно определены. Следовательно, оператор AR является W2 (Q)-коэрцитивным.

Согласно теореме 7.2 задача (7.9)–(7.11) имеет единственное сильное решение тогда и только тогда, когда W2 (Q).

Однако в [23] доказано, что D(AR ) W2 (Q). Используя этот результат, в работе [15] было показано, что имеет место нарушение гладкости сильных решений на границе соседних подобластей Qs1 l1 (0, T ) и Qs2 l2 (0, T ) и вблизи множества K (0, T ). В этом примере область определения D(AR ) не может быть описана в терминах пространств Соболева. Тем не менее, используя подходы, предложенные в настоящей статье, имеем описание пространства начальных данных в виде пространства Соболева.

7.4. Уравнения с растяжением и сжатием аргументов Введем теперь операторы растяжения и сжатия Tij : L2 (Rn ) L2 (Rn ) и TijQ : L2 (Q) L2 (Q) по формулам:

где N N конечное множество целых чисел; aijl C; q > 1; операторы IQ и PQ определены так же, как и в разделе 7.3.

Введем оператор T : Ln (Q) Ln (Q) по формуле:

где u = (u1,..., un )T. Возьмем в качестве оператора B оператор T и рассмотрим функционально-дифференциальный оператор AT с растяжением и сжатием аргументов. Соответственно введем неограниченный оператор AT : D(AT ) L2 (Q) L2 (Q).

Обозначим tij () = является достаточным для W2 (Q)-коэрцитивности оператора AT. Если дополнительно предположить, что область Q удовлетворяет условию то в силу теоремы 2 [13] условие (7.12) является и необходимым для W2 (Q)коэрцитивности оператора AT.

Упражнение 7.2. Привести примеры областей, удовлетворяющих условию 7.13.

Рассмотрим параболическое функционально-дифференциальное уравнение с растяжением и сжатием аргументов:

с краевым условием и начальным условием Теорема 7.3. Пусть для оператора T выполнено условие (7.12). Тогда задача (7.14)–(7.16) имеет единственное сильное решение тогда и только тогда, когда W2 (Q).

Доказательство. Покажем, что операторы T, T удовлетворяют условию 7.1. Легко видеть, что операторы T, T ограниченно отображают W2 (Q) в W2 (Q). По условию теоремы AT и AT будут W2 (Q)-коэрцитивными.

Таким образом, к задаче (7.14)–(7.16) применима теорема 7.1.

Пример 7.2. Пусть Q = {|x| < 1} Rn. Рассмотрим задачу:

где q > 1, a1 R.

В данном примере условие (7.12) означает |a1 | задача (7.17)–(7.19) имеет сильное решение тогда и только тогда, когда W2 (Q).

Глава Нелокальные задачи 8.1. Нелокальные условия без подхода носителей Рассмотрим нелокальную задачу для параболического уравнения:

с нелокальным условием и начальным условием вещественные функции;

H (Q) L2 (Q) ограничен. Операторы B1 и B2 удовлетворяют следующим условиям.

Условие 8.1. B1 : L2 (Q) L2 (Q) линейный ограниченный оператор, а его сужение B1 : H 2 (Q) H 2 (Q) также ограниченный оператор, при этом существует > 0 такое, что где Q = {x Q : (x, Q) > }; c1, c2 > 0 не зависят от u.

Условие 8.2. B2 : L2 (Q) L2 (Q) линейный ограниченный оператор, а его сужение B2 : H 3/2 (Q) H 3/2 (Q) также ограниченный оператор.

Введем неограниченный оператор L : D(L ) L2 (Q) L2 (Q), по формуле L u = (A0 + A1 )u, (u D(L )) с областью определения D(L ) = B1 u)|Q + B2 u.

В работе [23] получен следующий результат о спектре оператора L.

Теорема 8.1. Пусть выполнены условия 8.1 и 8.2, тогда:

(a) Спектр оператора L дискретный, и для для (L ) резольвента R(; L ) компактный оператор.

(b) Для каждого 0 < < существует q > 0 такое, что (L ) (c) Для,q имеет место оценка на резольвенту где c3 > 0 не зависит от.

Доказательство. Утверждения (a) и (b) следуют из теоремы 21.3, гл. 5, [23]. Пусть f L2 (Q), из теоремы 21.2, гл. 5, [23] следует, что для,q имеет место следующая оценка:

Из этой оценки следует оценка (8.4).

Для исследования сильной разрешимости задачи (8.1)–(8.3) воспользуемся теорией полугрупп.

В силу теоремы 8.1 и критерия п.1, гл 1 [21] получаем следующий результат.

Теорема 8.2. Пусть выполнены условия 8.1 и 8.2. Тогда оператор L порождает аналитическую полугруппу {Tt }t 0.

Перепишем задачу (8.1)–(8.3) в виде абстрактной задачи Коши в гильбертовом пространстве L2 (Q):

где f L2 (0, T ; L2 (Q)), L2 (Q).

Определение 8.1. Функция u W(L ) называется сильным решением задачи (8.1)–(8.3), если u удовлетворяет почти всюду уравнению (8.1) и удовлетворяет условию (8.3).

Теорема 8.3. Пусть выполнены условия 8.1 и 8.2. Тогда для всех f L2 (QT ), D(L ) задача (8.1)–(8.3) имеет единственное сильное решение u W(L ). Более того, это решение представляется по формуле:

где {Tt }t аналитическая полугруппа, порожденная оператором L.

Доказательство. В силу теоремы 3.7, гл. 1 [21] задача (8.5), (8.6) имеет единственное сильное решение, представленное формулой (8.7) тогда и только тогда, когда выполнено следующее неравенство:

Поскольку D(L ), то L Tt = Tt L, и имеем Вопрос о гладкости сильных решений задачи (8.1)–(8.3) рассмотрим в § 9.1.

Пример 8.1. Рассмотрим уравнение:

с нелокальными условиями и с начальным условием где aij, bi, c, s C (Q) вещественные функции; s бесконечно дифференцируемое невырожденное отображение некоторой окрестности границы Q на s () так, что s () Q при s > 0, а 0 (x) = x, 0 (x) = 1.

Как показано в примере 21.1, гл. 5 [23], нелокальные условия (8.10) можно представить в виде (8.2) с B2 = 0.

Таким образом, можем рассматривать задачу (8.9)–(8.11) как частный случай задачи (8.1)–(8.3). В силу теоремы 8.3 задача (8.9)–(8.11) имеет единственное сильное решение для всех f L2 (QT ) и H 2 (Q) таких, что s= Упражнение 8.1. Привести примеры конкретных уравнений, соответствующих примеру 8.1.

Рассмотрим нелокальную задачу для параболического уравнения: